vuqns’k

1. vkius fgUnh dks ek/;e pquk gS A bl ijh{kk iqfLrdk esa ,d lkS chl (20 Hkkx 'A' esa + 40 Hkkx 'B' + 60 Hkkx 'C' esa ) cgqy fodYi iz’u (MCQ)fn, x, gSa A vkidks Hkkx 'A' esa ls vf/kdre 15 vkSj Hkkx 'B' esa 25 iz’uksa rFkk Hkkx 'C' esa Lks 20 iz’uksa ds mRrj nsus gSa A ;fn fu/kkZfjr Lks vf/kd iz’uksa ds mRrj fn, x, rc dsoy igys Hkkx 'A' Lks 15,Hkkx 'B' ls 25 rFkk Hkkx 'C' ls 20 mRrjksa dh tkap dh tk,xh A

2. vksñ,eñvkjñ mRrj i=d vyx Lks fn;k x;k gS A viuk jksy uEcj vkSj dsUnz dk uke fy[kus Lks igys ;g tkap yhft, fd iqfLrdk esa i`”B iwjs vkSj lgh gSa rFkk dgha Lks dVs&QVs ugha gSa A ;fn ,slk gS rks vki bfUothysVj Lks mlh dksM dh iqfLrdk cnyus dk fuosnu dj ldrs gSa A blh rjg Lks vksñ,eñvkjñ mRrj i=d dks Hkh tkap ysa A bl iqfLrdk esa jQ dke djus ds fy, vfrfjDr iUus layXu gSa A

3. vksñ,eñvkjñ mRrj i=d ds i`”B 1 esa fn, x, LFkku ij viuk jksy uEcj] uke rFkk bl ijh{kk iqfLrdk dk Øekad fyf[k,] lkFk gh viuk gLrk{kj Hkh vo'; djsa A

4. vki viuh vksñ,eñvkjñ mRrj i=d esa jksy uacj] fo”k; dksM] iqfLrdk dksM vkSj dsUnz dksM ls lacaf/kr leqfpr o`rksa dks dkys ckWy isu ls vo’; dkyk dj saA ;g ,d ek= ijh{kkFkhZ dh ftEesnkjh gS fd og vksñ,eñvkjñ mRrj i=d esa fn, x, funsZ’kksa dk iwjh lko/kkuh ls ikyu djsa] ,slk u djus ij dEI;wVj fooj.kksa dk lgh rjhds Lks vdwfVr ugha dj ik,xk] ftlls varr% vkidks gkfu] ftlls vkidh vksñ,eñvkjñ mRrj i=d dh vLohdf̀r Hkh ‘kkfey] gks ldrh gS A

5. Hkkx 'A' esa izR;sd iz’u 2 vad , Hkkx 'B' esa izR;sd iz’u ds 3 vad rFkk Hkkx 'C' esa izR;sd iz’u 4.75 vad dk gS A izR;sd xyr mRrj dk _.kkRed ewY;kadu Hkkx 'A' esa @ 0.5 vad rFkk Hkkx 'B' esa @ 0.75 vad ls fd;k tk,xk A Hkkx 'C' ds mRrjksa ds fy, _.kkRed ewY;kadu ugha gS A

6. Hkkx 'A' rFkk Hkkx 'B' ds izR;sd iz’u ds uhps pkj fodYi fn, x, gSa A buesa Lks dsoy ,d fodYi gh Þlghß vFkok ÞloksZRre gyß gS A vkidks izR;sd iz’u dk lgh vFkok loksZRre gy <wa<uk gS A Hkkx 'C' esa izR;sd iz’u dk “,d ” ;k “,d Lks vf/kd” fodYi lgh gks ldrs gSa A Hkkx 'C' esa izR;sd iz’u ds lHkh fodYiksa dk lgh p;u djus ij gh ØsfMV izkIr gksxk A lc lgh fodYiksa dk p;u ugha djus ij dksb vakf‘kd ØsfMV ugha fn;k tk,xk A

7. udy djrs gq, ;k vuqfpr rjhdksa dk iz;ksx djrs gq, ik, tkus okys ijh{kkfFZk;ksa dk bl vkSj vU; Hkkoh ijh{kkvksa ds fy, v;ksX; Bgjk;k tk ldrk gS A

8. ijh{kkFkhZ dks mRrj ;k jQ iUuksa ds vfrfjDr dgha vkSj dqN Hkh ugha fy[kuk pkfg, A 9. dsydwysVj dk mi;ksx djus dh vuqefr ugha gS A 10. ijh{kk lekfIr ij fNnz fcUnq fpfUgr LFkku ls OMR mRrj i=d dks foHkkftr djsaA bfUothysVj dks

ewy OMR mRrj i=d lkSaius ds i’pkr vki bldh dkWcZuySl izfrfyfi ys tk ldrs gSaA 11. fgUnh ek/;e@laLdj.k ds iz’u esa folaxfr gksus@ik;s tkus ij vaxzsth laLdj.k izekf.kd gksxk A 12. dsoy ijh{kk dh iwjh vof/k rd cSBus okys ijh{kkFkhZ dks gh ijh{kk iqfLrdk lkFk ys tkus dh

vuqefr nh tk,xh A

H

Øekad

Ikw.kkZad : 200 vad

Lke; : 3:00 ?kaVs

fo”k; dksM iqfLrdk dksM

vH;FkhZ }kjk Hkjh xbZ tkudkjh dks eSa lR;kfir djrk gw¡ A

………………………… bfUothysVj ds gLrk{kj

jksy uacj : …………………………. uke : .........................................

2016 (II) Xkf.kr foKku

iz’u i=

4 A

2

FOR ROUGH WORK

3

Hkkx \PART 'A'

1. तीन बहनों के मकान एक ही पंक्तत में हैं, लेककन मंझली बहन बीच वाले मकान में नहीं रहती है। सुबह के समय सबसे बडी बहन के मकान की छाया सबसे छोटी बहन के मकान पर पडती है। कौन-सा ननष् कर्ष रनत या ननकाला ाा सकता है?

1. सबसे छोटी बहन बीच में रहती है

2. सबसे बडी बहन बीच में रहती है।

3. सबसे छोटी या सबसे बडी बहन बीच में रहती है।

4. सबसे छोटी बहन का मकान मंझली बहन के मकान के पूव में है।

1. The houses of three sisters lie in the same

row, but the middle sister does not live in the middle house. In the morning, the shadow of the eldest sister’s house falls on the youngest sister’s house. What can be concluded for sure?

1. The youngest sister lives in the middle. 2. The eldest sister lives in the middle. 3. Either the youngest or the eldest

sister lives in the middle. 4. The youngest sister’s house lies on the east

of the middle sister’s house. 2. एक महहला रूपये X तथा Y पैसे लेकर खरीददारी

करने ननकलती है तथा रूपये 3.50 खच करने के पश् चात उ कसके पास रूपये 2Y तथा 2 X पैसे बचत ेहैं। वह धन राशर क्ासे लेकर वह महहला खरीददारी करने ननकलती है, वह है:

1. रूपये 48.24 2. रूपये 28.64

3. रूपये 32.14 4. रूपये 23.42 2. A woman starts shopping with Rs. X and Y

paise, spends Rs. 3.50 and is left with Rs. 2Y and 2 X paise. The amount she started with is

1. Rs. 48.24 2. Rs. 28.64 3. Rs. 32.14 4. Rs. 23.42

3. एक खान 10000टन तांबे का खनना क्ासमें 1.5

भार % तांबा है, एक स मेलटर को रदादान करती है। स मेलटर खनना से 80% तााँबा कसी हदन ननकालता है। ककतने टन/रदानतहदन तााँबा बनाया ााता है?

1. 80 2. 12 3. 120 4. 150 3. A mine supplies 10000 tons of copper ore,

containing an average of 1.5 wt% copper, to a smelter every day. The smelter extracts 80% of the copper from the ore on the same day. What is the production of copper in tons/day?

1. 80 2. 12 3. 120 4. 150 4. ववशभन् न वर्षों में हुई ककसी देर की गेहूाँ की पैदावार

को दरा या गया है। ककस वर्ष में रदानतरत पैदावार सवा धधक घटी?

1. 2001 2. 2002 3. 2003 4. 2004 4. Wheat production of a country over a number

of years is shown. Which year recorded highest percent reduction in production over the previous year?

1. 2001 2. 2002 3. 2003 4. 2004

4 5. हदये गये क्रम में अगला रदानतमान कौन-सा होगा?

5. What is the next pattern in the given

sequence?

6. संपूर् रूप से समुद्राल के अदंर बैठा एक व् यक्तत

सूय का लगातार रेदाक्षर् करता है। ाल के बाहर ककसी व् यक्तत की तुलना में ाल के अंदर बैठा व् यक्तत नन् न में से कौन-सा रेदाक्षर् करेगा?

1. ना तो सूयोदय/सूया स त का समय, ना ही क्षक्षनता की कोर्ीय दरूी बदलेगी।

2. सूयोदय देर से होगा, सूया स त पहले होगा, परंतु क्षक्षनता की कोर्ीय दरूी अपररवनत त रहेगी।

3. सूयोदय/सूया स त का समय अपररवनत त होगा, परंतु क्षक्षनता की कोर्ीय दरूी शसकुड ाायेगी।

4. हदन की समयावधध व क्षक्षनता की कोर्ीय दरूी दोनों घटेंगें।

6. A person completely under sea water tracks

the Sun. Compared to an observer above water, which of the following observations would be made by the underwater observer?

1. Neither the time of sunrise or sunset nor the angular span of the horizon changes.

2. Sunrise is delayed, sunset is advanced, but there is no change in the angular span of the horizon.

3. Sunrise and sunset times remain unchanged, but the angular span of the horizon shrinks.

4. The duration of the day and the angular span of the horizon, both decrease.

7. तीन वस तओं A, B तथा C को बेचने पर ककसी

व् यक्तत को A पर 10% लाभ, B पर 20% लाभ तथा C पर 10% हानन होती है। A तथा C के संयुत त

बेचान मूल्य यों के ्टक्ष्टगत कसे न हानन व लाभ होता है ाबकक B तथा C के संयुत त बेचान मूल्य यों के ्टक्ष्टगत कसे 5% लाभ होता है। कस व् यक्तत को होने वाली ववरुद्ध हानन या लाभ त या है?

1. 10% लाभ

2. 20% लाभ

3. 10.66% लाभ

4. 6.66% लाभ 7. A man sells three articles A, B, C and gains

10% on A, 20% on B and loses 10% on C. He breaks even when combined selling prices of A and C are considered, whereas he gains 5% when combined selling prices of B and C are considered. What is his net loss or gain on the sale of all the articles?

1. 10% gain 2. 20% gain 3. 10.66% gain 4. 6.66% gain

5 8. भूसतह के क्षेत्रफल का ववशभन्न ऊाँ चाइयों व

गहराइयों (समुद्र ालस तर के सापेक्ष) पर ववतरर् धचत्र में दरा या गया है। इसके आधार पर नन् न में से कौन-सा कथन असत्यर है?

1. पथृ वी की सतह का अधधकतर भाग समुद्र

ालस तर से नीच ेहै।

2. समुद्र ालस तर से ऊपर की सतह के कुल क्षेत्रफल का अधधकतर भार 2 कक.मी. ऊाँ चाई से नीच ेहै।

3. समुद्र ालस तर से नीच ेकी सतह के कुल क्षेत्रफल का सबसे कम भार 4 कक.मी. गहराई से नीच ेहै

4. समुद्र ालस तर से सवा धधक गहराई की दरूी समुद्र ालस तर से सवा धधक ऊाँ चाई से अधधक है।

8. Based on the distribution of surface area of

the Earth at different elevations and depths (with reference to sea-level) shown in the figure, which of the following is FALSE?

1. Larger proportion of the surface of the Earth is below sea-level

2. Of the surface area above sea-level, larger proportion lies below 2 km elevation

3. Of the surface area below sea-level, smaller proportion lies below 4 km depth

4. Distance from sea level to the maximum depth is greater than that to the maximum elevation

9. दो वस तुओं A तथा B के समय-दरूी ग्राफ को नीच ेदरा या गया है।

यहद अक्षों की अदला-बदली कर दी ााये तो इसी सूचना को नीच ेहदये गये ग्राफों में से कौन-सा ग्राफ दरा ता है?

9. Time-distance graph of two objects A and B

are shown.

6 If the axes are interchanged, then the same

information is shown by

10. तीन बत सों में रदाेयेक में 30 चॉकलेट हैं, इन् हें

लेकर एक सेल्यसमैन यात्रा कर रहा है। यात्रावधध में कसे 30 टोल बूथ से गुारना पडता है। रदाेयेक टोल बूथ पर एक ननरीक्षक क्ान बत सों में चॉकलेट है कनमें से रदानत बत सा एक चॉकलेट टैत स के रूप में लेता है। सब टोल बूथ से गुारने के पश् चात उ कसके पास अधधकतम ककतनी चॉकलेट बची रहेंगी?

1. 0 2. 30 3. 25 4. 20 10. A chocolate salesman is travelling with 3

boxes with 30 chocolates in each box. During his journey he encounters 30 toll booths. Each toll booth inspector takes one chocolate per box that contains chocolate(s), as tax.

What is the largest number of chocolates he can be left with after passing through all toll booths?

1. 0 2. 30 3. 25 4. 20 11. एक दधूवाला 90 लीटर दधू में 10 लीटर पानी

शमलाता है। कुल दधु का 1/5th भाग बेचने के बाद वह रेर्ष भाग में बेच ेहुए भाग की मात्रा के समान और पानी शमलाता है। इस शमश्रर् में पानी व दधू का अनुपात है:

1. 72:28 2. 28:72 3. 20:80 4. 30:70 11. A milkman adds 10 litres of water to 90 litres

of milk. After selling 1/5th of the total quantity, he adds water equal to the quantity he has sold. The proportion of water to milk he sells now would be

1. 72:28 2. 28:72 3. 20:80 4. 30:70 12. दो नाररयलों की गुठशलयों के अन् दर की ागह

गोलाकार है, एवं रदाथम का आन् तररक व् यास दसूरे के आन् तररक व् यास का दोगुना है। बड े आकार वाला एक द्रव से आधा ाबकक छोटा पूरा भरा है। नन् न कथनों में से कौन-सा कथन सही है?

1. बड ेनाररयल में छोटे से 4 गुना अधधक द्रव है।

2. बड ेनाररयल में छोटे से 2 गुना अधधक द्रव है।

3. दोनों नाररयलों में द्रव समान आयतन में है।

4. छोटे नाररयल में बड ेसे 2 गुना द्रव है। 12. Two coconuts have spherical space inside

their kernels, with the first having an inner diameter twice that of the other. The larger one is half filled with liquid, while the smaller is completely filled. Which of the following statements is correct?

1. The larger coconut contains 4 times the liquid in the smaller one.

2. The larger coconut contains twice the liquid in the smaller one.

3. The coconuts contain equal volumes of liquid.

4. The smaller coconut contains twice the liquid in the larger one.

7 13. नन् न ग्राफों में से कौन-सा मीठे पानी के स थायी

झील को दरा ता है? (अथा त उ ाल की ऊर् वा धर गनतरीलता नहीं)

13. Which of the following graphs represents a

stable fresh water lake?(i.e., no vertical motion of water)

14. एक बाघ, हवा की ववपरीत हदरा से अपने शरकार

की ताक में रहता है। इसका कारर् है कक

1. हवा कसे अपने शरकार का अक्न्तम ाानलेवा हमला करने में सहायता करती है।

2. हवा अपने साथ शरकार की गधं को बाघ तक पहुाँचाती है क्ाससे कसे शरकार को ढंूढने में आसानी होती है।

3. हवा की ववपरीत हदरा में सामान्यतः घनी हररयाली होने से कसे बेहतर छद्म आवरर् शमलता है।

4. हवा की ववपरीत हदरा में बाघ की क्सथनत कसकी गंध को शरकार तक नहीं पहंुचने देने में मदद करती है।

8 14. A tiger usually stalks its prey from a direction

that is upwind of the prey. The reason for this is

1. the wind aids its final burst for killing the prey

2. the wind carries the scent of the prey to the tiger and helps the tiger locate the prey easily

3. the upwind area usually has denser vege- tation and better camouflage

4. the upwind location aids the tiger by not letting its smell reach the prey

15. एक सेलफोन टावर (मीनार) से 1W रक्तत का

वव ककरर् होता है। आपके सेलफोन के ट्ांस मीटर से

0.1 mW रक्तत का ववककरर् होता है। यहद आप टावर से 100m की दरूी पर है, और फोन आप के कान से सटा हुआ है, तो आपके शसर तक टॉवर से पहंुचने वाली ऊाा (E1) तथा आपके फोन से पहंुचने वाली ऊाा (E2) की सही तुलना होगी

1. E1 >> E2 2. E2 >> E1 3. E1 = E2 , ाो संपक बनाने के शलए ारूरी है

4. दी गयी ाानकारी लगभग तुलना के हेतु पया प् त नहीं है।

15. A cellphone tower radiates 1W power while

the handset transmitter radiates 0.1 mW power. The correct comparison of the radiation energy received by your head from a tower 100m away (E1) and that from a handset held to your ear (E2) is

1. E1 >> E2 2. E2 >> E1 3. E1 = E2 for communication to be established 4. insufficient data even for a rough comparison 16. एक क्सरदांग की पेचदरूी 5 शम.मी. है। क्सरदांग का

व् यास 1 सेंमी है। यह क्सरदांग अपनी अक्ष पर 2

चत कर रदानत सै. की गनत से घूमती है। क्सरदांग अपनी अक्ष के समांतर ककस गनत से चलती रदातीत होती है?

1. 1 mm/s 2. 5 mm/s 3. 6 mm/s 4. 10 mm/s 16. The pitch of a spring is 5 mm. The diameter

of the spring is 1 cm. The spring spins about its axis with a speed of 2 rotations/s. The

spring appears to be moving parallel to its axis with a speed of

1. 1 mm/s 2. 5 mm/s 3. 6 mm/s 4. 10 mm/s 17. एक फर का आकार 18 24 है। कन एक रूपी

वगा कार टाइलों की न् यूनतम संय या ककतनी होगी क्ाससे कक संपूर् फर ककसी भी टाइल को तोड ेबबना ढका ाा सके?

1. 6 2. 24 3. 8 4. 12 17. The dimensions of a floor are 18 24. What

is the smallest number of identical square tiles that will pave the entire floor without the need to break any tile?

1. 6 2. 24 3. 8 4. 12 18. एक पाररक्सथनतकी वैज्ञाननक तोतों की ववरल

आबादी वाले क्षेत्र में कनकी आबादी का अनुमान लगाने के शलए 30 तोतों को पकड कर कन की गरदनों में एक-एक मुहद्रका पहना देता है। एक सप् ताह बाद वह कफर 40 तोतों को पकड लेता है, और पाता है कक कन में से 8 तोतों की गद नों में मुहद्रका है। इन ाानकारी के आधार पर तोतों की अनुमाननत आबादी ककतनी बतायी ाायेगी?

1. 70 2. 150 3. 160 4. 100 18. To determine the number of parrots in a

sparse population, an ecologist captures 30 parrots and puts rings around their necks and releases them. After a week he captures 40 parrots and finds that 8 of them have rings on their necks. What approximately is the parrot population?

1. 70 2. 150 3. 160 4. 100 19. एक अघ वृे त के चाप के मर्य बबन्द ु को कसके

व् यास के अंनतम बबन् दओुं से सीधी रेखाओं से ाोडा गया हैं। धचत्र में दरा ये छायांककत क्षेत्र तथा बत्रभुा के क्षेत्रफलों का अनुपात बतायें?

9

1.

2.

3. 4.

19. The mid-point of the arc of a semicircle is

connected by two straight lines to the ends of the diameter as shown. What is the ratio of the shaded area to the area of the triangle?

1.

2.

3. 4.

20. क्ान तालाबों में हायशसन् थ ाैसी ाल वनस पनत

अे यधधक मात्रा में पनपती हो, कन तालाबों में मछली की आबादी कम पायी ााती है, क्ासका कारर् है

1. हायशसन् थ (ाल वनस पनत) सूरा की रोरनी को तालाब के तल तक पहंुचने से रोकती है।

2. सडने वाली हायशसन् थ (ान वनस पनत) पानी में घुले ऑक्तसान को नष् ट करती है।

3. हायशसन् थ ाैसी ाल वनस पनत मछशलयों के शलए पया प् त आहार नहीं होती।

4. हायशसन् थ (ाल वनस पनत) पानी में ाहरीले पदाथ छोडती है।

20. Why is there low fish population in lakes that

have large hyacinth growth? 1. Hyacinth prevents sunlight from

reaching the depths of the lake. 2. Decaying matter from hyacinth consumes

dissolved oxygen in copious amounts. 3. Hyacinth is not a suitable food for fishes. 4. Hyacinth releases toxins in the water.

Hkkx \PART 'B'

21. इन अनुक्रमों के समुच् चयों पर ववचारें :

तथा

अे याधधकत: पररशमतत: बहुल के शलए है}.

तो

1. गर्नीय है, Y पररशमत है।

2. अगर्ीय है, Y गर्नीय है।

3. गर्नीय है, Y गर्नीय है।

4. अगर्नीय है, Y अगर्नीय है। 21. Consider the sets of sequences and for at most finitely many }. Then 1. is countable, Y is finite. 2. is uncountable, Y is countable. 3. is countable, Y is countable. 4. is uncountable, Y is uncountable.

22. आव् यहू

1. धनाे मक-ननक्श्चत है।

2. अऋर्ाे मक-ननक्श्चत है, परंतु धनाे मक-ननक्श्चत नहीं।

3. ऋर्ाे मक-ननक्श्चत है।

4. न तो ऋर्ाे मक-ननक्श्चत है, न धनाे मक ननक्श्चत।

22. The matrix

is

1. positive definite. 2. non-negative definite but not positive

definite. 3. negative definite. 4. neither negative definite nor positive

definite.

Unit-1

10

23. मानें कक ,

से हदया ााता है। तो पर का अवकला है इससे हदया गया रैखखक रूपांतरर्:

1.

2.

3.

4.

23. Let be given by . Then the derivative of at is the linear

transformation given by

1. 2.

3. 4.

24. एक फलन , से पररभावर्षत

है। मानें कक तथा के दो अवयव हैं। a पर का की हदरा में हदकउ- अवकलना है

1. 2.

3.

4.

24. A function is defined by . Let and

be two elements of . The directional derivative of in the direction of at a is:

1. 2.

3.

4.

25.

इस समान है

1. 4 2. 16 3. 1 4. 8 25.

1. 4 2. 16 3. 1 4. 8

26. ऐसे है कक । सभी के शलए

है। हम इस ननष् कर्ष पर पहंुच सकत ेहैं कक

1. में है।

2. में है।

3. में है।

4. में है। 26. is such that and

for all . We can conclude that

is in 1. . 2. . 3. . 4. . 27. के नन् न कपसमुच् चयों में से कौन-सा का

आधार है ?

1. तथा , परंतु नहीं।

2. तथा ।

3. तथा , परंतु नहीं ।

4. मात्र

27. Which of the following subsets of is a basis

of ?

1. and but not 2. and 3. and but not 4. Only 28. मानें कक

तथा

हैं। तो

1. = 2. =2

3. = 4. =

11

28. Let

and

. Then

1. = 2. =2

3. = 4. =

29. आव् यूह

, ाहां

है, पर ववचारें। तो इस समान है:

1. 2.

3.

4.

29. Consider the matrix

, where

Then equals

1. 2.

3.

4.

30. मानें कक एक आव् यूह को ननहद ष् ट करता है, क्ासकी सभी रदाववक्ष्टयां 1 है तथा मानें कक एक

आव् यूह है ाो

से

हदया ााता है। तो की कोहट है:

1. 2.

3. 4.

30. Let denote the matrix of order with all

entries 1 and let be a matrix

given by

Then the rank of is 1. 2. 3. 4. 31. से तक के फलनों के नन् न समुच् चयों में से

कौन-सा पर एक सहदर समक्ष्ट है?

का अक्सते व है

1. मात्र .

2. मात्र . 3. तथा , परंतु नहीं ।

4. सभी तीनों सहदर समक्ष्टयां हैं।

31. Which of the following sets of functions from

to is a vector space over ?

1. Only 2. Only 3. and but not 4. All the three are vector spaces 32. मानें कक एक आव् यूह है, क्ासकी हर

रदाववक्ष्ट या 0 है ताकक हर स तंभ में ठ क-ठ क एक तथा एक है। हम यह ननष् कर्ष ननकाल सकत ेहैं कक

1. की कोटी

2. की कोटी 3. 4. 32. Let be an matrix with each entry equal

to or 0 such that every column has exactly one and exactly one . We can conclude that

1. Rank 2. Rank 3. 4.

12

33. शे्रर्ी

की अशभसरर् बत्रज् या है 1. 0 2. 3. 1 4. 2 33. The radius of convergence of the series

is

1. 0 2. 3. 1 4. 2 34. मानें कक सक््मश्र समतल में वृे त है

ाो वामावत हदरा में है। का वह मान क्ासके शलए

है, 1. 2.

3. 4. 34. Let be the circle in the complex

plane that is oriented in the counter clockwise direction. The value of for which

is 1. 2.

3. 4. 35. मानें कक तथा सव त्र वैश् लेवर्षक फलन हैं, तथा

सभी के शलए है। यहद है, तो हम ननष् कर्ष ननकालत ेहैं कक

1. सभी के शलए . 2. एक अचर फलन है। 3. . 4. कुछ के शलए है।

35. Suppose and are entire functions and for all . If , then we conclude that

1. for all . 2. is a constant function. 3. . 4. for some . 36. मानें कक , , पर एक होलोमाकफ् क

फलन है ाो लौरां शे्रर्ी

से हदया ााता है। यह भी हदये ााने पर कक हम ननष् कर्ष ननकाल सकत ेहैं कक

1. सभी के शलए तथा है।

2. कुछ के शलए तथा सभी के शलए है।

3. सभी के शलए है।

4. सभी के शलए है। 36. Let be a holomorphic function on

, given by a convergent Laurent series

Given also that

We can conclude that 1. and for all 2. for some and for

all 3. for all 4. for all 37. रदााकृनतक संय या के हदये ााने पर, ताकक

है, हम ननष् कर्ष ननकाल सकत ेहैं कक

1. ाहां अभाज् य है, . 2. ाहां तथा शभन् न अभाज् य हैं।

3. ाहां शभन् न अभाज् य हैं।

4. ाहां एक अभाज् य है।

Unit-2

13

37. Given a natural number such that . We can conclude that

1. where is prime, . 2. where are distinct primes. 3. where are distinct primes. 4. where is a prime. 38. मानें कक , रदातीकों पर क्रमचय समूह को

ननहद ष्ट करता है, तथा सम क्रमचयों का कपसमूह है। नन् न में से कौन-सा सही है?

1. ऐसे एक पररशमत समूह का अक्सते व है, ाो ककसी भी के शलए का एक कपसमूह नहीं है।

2. कुछ के शलए हर पररशमत समूह का एक कपसमूह है।

3. कुछ के शलए हर पररशमत समूह का एक भागफल है।

4. के शलए कोई भी पररशमत आबेली समूह का एक भागफल नहीं है।

38. Let denote the permutation group on

symbols and be the subgroup of even permutations. Which of the following is true?

1. There exists a finite group which is not a subgroup of for any .

2. Every finite group is a subgroup of for some .

3. Every finite group is a quotient of for some .

4. No finite abelian group is a quotient of for .

39. पर, ाो दो अवयवों का एक पररशमत क्षेत्र है,

व् युे क्रमर्ीय आव् यूहों की संय या त या है? 1. 168. 2. 384. 3. 23. 4. 32. 39. What is the number of non-singular

matrices over , the finite field with two elements?

1. 168. 2. 384. 3. 23. 4. 32. 40. मानें कक पर G एक वववतृ समुच् चय है। दो

बबदं ु तुल्य य कहलात ेहैं यहद दोनों को एक

संतत पथ द्वारा शमलाया ाा सकता है, ाो G के पूर् त: अंदर है। तुल्य यता वगों की संय या है

1. मात्र एक।

2. अधधकत: पररशमत।

3. अधधकत: गर्नीय।

4. पररशमत, गर्नीय या अगर्नीय हो सकता है। 40. Let G be an open set in . Two points

are said to be equivalent if they can be joined by a continuous path completely lying inside G. Number of equivalence classes is

1. only one. 2. at most finite. 3. at most countable. 4. can be finite, countable or uncountable. 41. मानें कक सा.अ.स. तंत्र

का समाधान करत ेहैं। यहद तथा

दो हल हैं तथा

है, तो

इस समान है:

1. . 2. . 3. . 4. . 41. Let satisfy the system of ODEs

If and are two solutions and

then

is equal to

1. . 2. . 3. . 4. .

Unit-3

14

42. पररसीमा रदानतबंधों, ,

के अधीन पररसीमा मान समस या , का एक अद्ववतीय हल है

यहद 1. . 2. . 3. . 4.

.

42. The boundary value problem , subject to the boundary

conditions , has a unique solution if 1. . 2. . 3. . 4.

.

43. आं.अ.स.

है

1. अनतपरवलनयक के शलए।

2. दीघ वृे तीय के शलए।

3. परवलनयक के शलए।

4. दीघ वृे तीय के शलए।

43. The PDE

is

1. hyperbolic for . 2. elliptic for . 3. hyperbolic for . 4. elliptic for . 44. मानें कक रदाारंशभक पररसीमा समस या

, का समाधान करता है, तो

इस समान है:

1. . 2.

3. . 4. .

44. Let satisfy the initial boundary value problem

, Then for

is equal to 1. . 2.

3. . 4. .

45. तथा के मान, ताकक

की ततृीय कोहट अशभसरर् तक है, हैं

1. ,

.

2. ,

.

3. ,

.

4. ,

.

45. The values of and , such that

has 3rd order convergence to , are 1.

,

.

2. ,

.

3. ,

.

4. ,

.

46. यहद

तथा स वेच् छ है, तो चरम है

1. . 2. . 3. . 4. . 46. If

and is arbitrary then the extremal is

1. . 2. . 3. . 4. .

15

47. मानें कक समाधान करता है

को,

तो इससे हदया ााता है

47. Let satisfy

Then is given by

48. एक मखर्का बबना घर्ष र् एक घर्ष र्ववहीन तार पर

सरकती है, क्ा सका समीकरर् , , . वाले एक चक्रा के आकार में है। तो लग्रांाी फलन

है 1.

2.

3.

4.

48. A bead slides without friction on a frictionless

wire in the shape of a cycloid with equation , , . Then the Lagrangian function is 1.

2.

3.

4.

49. दो बत से हैं। बत से 1 में 2 लाल गेंदें तथा 4 हरी गेंदें

हैं। बत से 2 में 4 लाल गेंदें तथा 2 हरी गेंदें हैं। या्टक्च्छकत: एक बत सा चुना ााता है तथा चुने गये बत से से एक गेंद या्टक्च्छकत: चुनी ााती है। यहद गेंद लाल ननकलता है, तो इसकी त या रदाानयकता है कक बतसा 1 चुना गया?

1. 2.

3. 4.

49. There are two boxes. Box 1 contains 2 red balls

and 4 green balls. Box 2 contains 4 red balls and 2 green balls. A box is selected at random and a ball is chosen randomly from the selected box. If the ball turns out to be red, what is the probability that Box 1 had been selected?

1. 2.

3. 4.

50. ककसी भी दो घटनाओं A तथा B के शलए नन् न

संबंधों में कौन-सा हमेरा सही है? 1.

2.

3. 4.

50. For any two events A and B, which of the

following relations always holds? 1.

2.

3. 4.

51. मानें कक एक दकूान पर ग्राहक, गनत 4 रदानत घंटा वाली

प् वासों रदाकक्रया के अनुसार आगमन करत े हैं। दकूान रदाात: 10:00 बाे खुलता है। यहद यह हदया गया है कक दसूरा ग्राहक रदाात: 10:40 पर आता है, तो इसकी रदाानयकता त या है कक रदाात: 10:30 के पहले कोई ग्राहक आया ही नहीं?

Unit-4

16

1. 2.

3. 4.

51. Suppose customers arrive in a shop according to

a Poisson process with rate 4 per hour. The shop opens at 10:00 am. If it is given that the second customer arrives at 10:40 am, what is the probability that no customer arrived before 10:30 am?

1. 2.

3. 4.

52. मानें कक एक या्टक्च्छक रदानतदर है,

ाो घने व फलन ाहां

यहद अन् यथा

है, वाले बंटन से ननकाला गया है।

का रदाानयकता घने व फलन त या है?

1.

2.

3.

4.

52. Suppose is a random sample from

a distribution with probability density

function where

.

What is the probability density function of ?

1.

2.

3.

4.

53. स वतंत्रत: एवं सव थासमानत: बंहटत

या्टक्च्छक चर हैं, ाहां मात्र पूर्ाांक मान लेता है, अथा त उ । नन् न में से कौन-सा का अधधकतम संभाववता आकलक है?

1. 2. पूर्ाांक ाो के ननकटतम है।

3. का पूर्ाांक भाग (कच् चतम पूर्ाांक )।

4. की मक्र्यका। 53. are independent and identically

distributed random variables, where takes only integer values i.e. .

Which of the following is the maximum likelihood estimator of ?

1. 2. Integer closest to 3. Integer part of (Largest integer ) 4. median of 54. के साथ के एक या्टक्च्छक चर X के शलए,

ववचरर् का गुर्ांक पररभावर्षत है

द्वारा, ाहां

, X का रदासरर् है। मानें कक

एक रदासामान् य समक्ष्ट क्ासका मार् य 2 है तथा अज्ञात ववचरर् गुर्ांक है, से रदााप् त स वतंत्र रदानतदर हैं। यह चाहा ााता है कक बनाम का परीक्षर् हो। संभाव् यता अनुपात परीक्षर् इस रदाकार है: को अस वीकार करें

1. यहद है।

2. यहद है।

3. यहद

है।

4. यहद

है।

54. For a random variable X, with , the

coefficient of variation is defined as

where

is the variance of X. Suppose are independent samples from a normal population with mean 2 and unknown coefficient of variation . It is desired to test against . The likelihood ratio test is of the form Reject if

1. .

2. .

3.

.

4.

.

17

55. आकड ेहैं, X-कृष् य भूशम तथा Y-वास तववकत: कृ वर्ष के अधीन क्षेत्र, दोनों वग फुट में मावपत, क्ास पर मानें कक रदानतरूप , ाहां या्टक्च्छक त्रुहट है, में

के न् यूनतम वग आकलक हैं। यहद आंकडों को वग मीटर पर रूपांररत ककया ााये, तो

1. बदलेगा, परंतु नहीं।

2. बदलेगा, परंतु नहीं।

3. तथा , दोनों बदलेंगें।

4. , में कोई भी नहीं बदलेगा। 55. are data on X-

cultivable land in a district and Y-the area actually under cultivation, both measured in square feet. Let be the least squares estimates of in the model where is the random error. If the data are converted to square meters, then

1. may change but will not. 2. may change but will not. 3. both and may change. 4. Neither nor will change. 56. मानें कक रदासरर् के एक-पथ ववश् लेर्षर् के एक

रदानतरूप में, सभी समूहों के मार् यों के वगों का योगफल 0 है (मानें कक सभी रेदाक्षर् समान नहीं हैं)। तो सामान् य F- परीक्षर् रदानतदर ा का मान, मार् यों की समानता के परीक्षर् के शलए,

1. कपरोत त ाानकारी से ननधा ररत नहीं ककया ाा सकता।

2. अपररभावर्षत है।

3. 0 है।

4. 1 है। 56. Suppose in a one-way analysis of variance

model, the sum of squares of all the group means is 0 (Assume that all the observations are not same). Then the value of the usual F- test statistic for testing the equality of means

1. cannot be determined from the above information.

2. is undefined. 3. is 0. 4. is 1.

57. मानें कक एक या्टक्च्छक सहदर है, मार् य

तथा धन-ननक्श्चत पररक्षेपर् आव् यूह

के साथ। तो रदाथम मुय य घटक का गुर्ांक सहदर

1. के सभी अशभलक्षखर्क मानों का सहदर है। 2. के न् यूनतम अशभलक्षखर्क मान से संगत

अशभलक्षर् सहदर है।

3. के कच् चतम अशभलक्षर् मान से संगत अशभलक्षर् सहदर है।

4. के सभी अशभलक्षर् मानों का सहदर है। 57. Let be a random vector with

mean

and a positive definite dispersion

matrix . Then the coefficient vector of the first principal component

1. the vector of all the eigenvalues of .

2. the eigenvector corresponding to the smallest eigenvalue of .

3. the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of .

4. the vector of all the eigenvalues of 58. आमाप n का एक सरल या्टक्च्छक रदानतदर (बबना

पुन:स थापन के) आमाप की एक पररशमत समक्ष्ट से ननकाला ााता है। इसकी रदाानयकता त या है कक चौथी समक्ष्ट इकाई रदानतदर में राशमल है परंतु छठ समक्ष्ट इकाई रदानतदर में राशमल नहीं है?

1.

2.

3.

4.

58. A simple random sample (without replacement)

of size n is drawn from a finite population of size . What is the probability that the 4th population unit is included in the sample but the 6th population unit is not included in the sample?

18

1. 2.

3. 4.

59. एक संतुशलत अपूर् खंड अशभकल्य पना

के मानक रदााचल हैं। नन् न में से कौन-सा के रदााचल हो सकत ेहैं?

1. 2. 3. 4. 59. are the standard parameters of a

balanced incomplete block design . Which of the following can be parameters of a ?

1. 2. 3. 4. 60. आगमन गनत तथा सेवा गनत , के साथ,

के एक M/M/1 कतार पर ववचारें। समय 5 के पहले कोई भी ग्राहक तंत्र से बाहर नही ंगया, इसकी त या रदानयकता है?

1.

2.

3.

4.

60. Consider an M/M/1 Queue with arrival rate

and service rate with . What is the probability that no customer exited the system before time 5?

1.

2.

3.

4.

Hkkx \PART 'C'

61. मानें कक एक व् युे करर्ीय आव् यूह है, वास तववक रदाववक्ष्टयों के साथ। मानें कक ,

के पररवत को ननहद ष्ट करता है। नन् न आव् यूहों में से कौन-सा धनाे मक-ननक्श्चत है?

1. 2. 3. 4.

61. Let be a non-singular matrix with real

entries. Let denote the transpose of . Which of the following matrices are positive definite?

1. 2. 3. 4.

62. मानें कक s । तो तय करें नन् न में से

कौन-से सही हैं। 1. 2. 3. 4. 62. Let s . Then decide which of the

following are true. 1. 2. 3. 4. 63. मानें कक . तो तय करें

कक नन् न में से कौन-से सहीं हैं।

1. के एक बबदुंर: अशभसारी कपानुक्रम का अक्सते व है।

2. का कोई बबदंरु: अशभसारी कपानुक्रम नहीं है।

3. सव त्र बबदंरु: अशभसररत होता है।

4. का ठ क-ठ क एक बबदुंर: अशभसारी कपानुक्रम है।

Unit-1

19

63. Let . Then decide which of the following are true.

1. there exists a pointwise convergent subsequence of .

2. has no pointwise convergent subsequence. 3. converges pointwise everywhere. 4. has exactly one pointwise convergent

subsequence.

64. फलन के शलए

नन् न में से कौन-से सही हैं?

64. Which of the following are true for the function

?

65. पता लगायें कक के शलए नन् न में से

कौन-सी शे्रखर्यां एकसमान अशभसररत होती हैं?

65. Find out which of the following series converge

uniformly for .

66. तय करें कक नन् न फलनों में से कौन-से, पर

एकसमानत: संतत है। 1. 2. 3.

4. 66. Decide which of the following functions are

uniformly continuous on . 1. 2. 3.

4. 67. मानें कक कस फलन को ननहद ष् ट करता है ाो

यहद है तो 1, तथा अन् यथा 0 है।

पर ववचारें। तो पर

1. रीमान उ समाकलनीय है।

2. लेबेग समाकलनीय है।

3. एक संतत फलन है।

4. एक एकहदष् ट फलन है।

20

67. Let denote the function which is 1 if and 0 otherwise. Consider

Then is

1. Riemann integrable on . 2. Lebesgue integrable on . 3. is a continuous function on . 4. is a monotone function on . 68. पर एक फलन के नन् न आंशरक

अवकला हैं

.

तो

1. के हदकउ -अवकला सव त्र सभी हदराओं में है।

2. का एक अवकला सभी बबदंओंु पर है।

3. का मात्र हदरा के समांतर सव त्र एक हदकउ -अवकला है।

4. का कोई हदकउ -अवकला सव त्र ककसी भी हदरा में नहीं है।

68. A function on has the following

partial derivatives

.

Then 1. has directional derivatives in all directions

everywhere. 2. has a derivative at all points. 3. has directional derivative only along the

direction everywhere. 4. does not have directional derivatives in

any direction everywhere. 69. मानें कक पर नन् न दरूीक हैं:

तो तय करें कक नन् न में से कौन-सा पर एक दरूीक है।

1.

2.

3. 4. 69. Let be the following metrics on .

Then decide which of the following is a metric on .

1.

2. 3. 4. 70. मानें कक , का नन् न कपसमुच् चय है:

sin1 , >0.

तो

1. संबद्ध है।

2. संहत है।

3. पथ-संबंधधत है।

4. पररबद्ध है। 70. Let be the following subset of

.

Then 1. is connected 2. is compact 3. is path connected 4. is bounded 71. मानें कक

एक मानधचत्र को इस रदाकार पररभावर्षत करें:

नन् न कथनों में से कौन-सा सही है?

1. एक संतत रैखखक मानधचत्र है।

2. को पर आच् छादकत: मानधचबत्रत करता है।

3. का अक्सतेव है तथा वह संतत है।

4. एकसमानत: संतत है।

21

71. Let

Define a map as

.

Which of the following statements is true? 1. is a continuous linear map 2. maps onto 3. exists and is continuous 4. is uniformly continuous 72. मानें कक एक आव् यूह है ताकक

सभी के शलए एक पूर्ाांक है। मानें कक , के साथ (ाहां ते समक आव् यूह है)। वग आव् यूह के शलए, कसके सारखर्क को ननहद ष् ट करता है। नन् न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. यहद है, तो है।

2. हर के एक पूर्ाांक होने के शलए का पूर्ाांक होना पया प् त रदानतबंध है ।

3. हमेरा एक पूर्ाांक आव् यूह है।

4. हर के एक पूर्ाांक होने के शलए एक आवश् यक रदानतबंध है हो।

72. Let be an matrix such that

is an integer for all Let with (where is the identity matrix). For a square matrix det denotes its determinant. Which of the following statements is true?

1. If then . 2. A sufficient condition for each to be an

integer is that is an integer. 3. is always an integer matrix. 4. necessary condition for each to be an

integer is . 73. मानें कक

तथा मानें कक तथा , के दो अशभलक्षखर्क मानों को ननहद ष् ट करत ेहैं ताकक है। तो

1. ाैसे ,

2. ाैसे ,

3. यहद सम है तो धन है।

4. यहद ववर्षम है तो ऋर् है। 73. Let

and let and denote the two eigenvalues of such that . Then

1. as 2. as 3. is positive if is even. 4. is negative if is odd. 74. मानें कक सभी वास तववक आव् यूहों की

सहदर समक्ष्ट को ननहद ष् ट करता है। के नन्न कपसमुच् चयों में से तय करें कक कौन-सी रैखखक कपसमक्ष्टयां हैं।

1. व् युे क्रमर्ीय है 2. 3. अनुरेख 4. ाहां में एक ननयत

आव् यूह है। 74. Let denote the vector space of all real

matrices. Among the following subsets of , decide which are linear subspaces.

1. 2. 3. 4. where is some fixed

matrix in . 75. यहद तथा व् युे क्रमर्ीय आव् यूह हैं ताकक

है, तो हम यह ननष् कर्ष ननकाल सकत ेहैं कक

1. 2. 3. 4. 75. If are invertible matrices such that

, then we can conclude that 1. 2. 3. 4.

22

76. मानें कक एक ववर्षम संय या है . मानें कक

एक आव् यूह है, सभी के शलए तथा . मानें कक सभी अन् य युगलों के शलए। तो हम ननष् कर्ष ननकाल सकत ेहैं कक

1. के अशभलक्षखर्क मानों में एक 1 है।

2. के अशभलक्षखर्क मानों में एक है। 3. का कम-से-कम एक अशभलक्षखर्क मान है

क्ासकी बहुकता है।

4. का कोई वास तववक अशभलक्षखर्क मान नहीं है। 76. Let be an odd number . Let be

an matrix with for all and . Let for all the other pairs . Then we can conclude that

1. has 1 as an eigenvalue. 2. has as an eigenvalue. 3. has at least one eigenvalue with

multiplicity . 4. has no real eigenvalues. 77. मानें कक , के तीन शभन् न

कपसमक्ष्टयां हैं ताकक हर की ववमा 9 है। मानें कक है। तो हम यह ननष् कर्ष पर पहंुच सकत ेहैं कक

1. यह आवश् यक नहीं है कक की एक कपसमक्ष्ट हो।

2. 3. 4. 77. Let be three distinct subspaces of

such that each has dimension 9. Let . Then we can conclude that

1. may not be a subspace of 2. 3. 4. 78. मानें कक एक वास तववक समशमत आव् यूह है। तो

हम इस ननष् कर्ष पर पहंुच सकत ेहैं कक

1. के अशभलक्षखर्क मानों में 0 नहीं है।

2. के सभी अशभलक्षखर्क मान वास तववक हैं।

3. यहद का अक्सते व है, तो वास तववक तथा समशमत है।

4. का कम से कम एक धन अशभलक्षखर्क मान है। 78. Let be a real symmetric matrix. Then we can

conclude that 1. does not have 0 as an eigenvalue 2. All eigenvalues of are real 3. If exists, then is real and symmetric 4. has at least one positive eigenvalue 79. मानें कक ,

से हदया ााने वाला एक

अनंतकी फलन है। तो

1. एक द्ववघात अनंतक है।

2. हर के शलए, एक सरल अनतंक है।

3. हर के शलए, एक सरल अनंतक है।

4. एक अनंतक है। 79. Let be the meromorphic function given by

. Then 1. is a pole of order 2. 2. for every is a simple pole. 3. for every is a simple pole. 4. is a pole. 80. बहुपद

पर ववचारें। तो के साथ 1. 2. वववतृ है।

3. संवतृ है।

4. पररबद्ध है।

Unit-2

23

80. Consider the polynomial

Then, with 1. 2. is open 3. is closed 4. is bounded 81. बहुपद

ाहां, हैं। तो बहुकता

युत त मूलों को धगनत ेहुए हम ननष् कर्ष ननकालत ेहैं कक

1. के कम से कम दो वास तववक मूल हैं।

2. के 14 सक््मश्र मूल हैं।

3. का कोई वास तववक मूल नहीं है।

4. के 12 सक््मश्र मूल हैं। 81. Consider the polynomial

where . Then

counting roots with multiplicity we can conclude that has

1. at least two real roots. 2. 14 complex roots. 3. no real roots. 4. 12 complex roots. 82. मानें कक पर एक वववतृ इकाई चकक्रका है। मानें

कक होलोमाकफ् क है, , तथा मानें कक

.

नन् न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. में होलोमाकफ् क है 2. . 3. . 4. .

82. Let be the open unit disc in . Let be holomorphic, , and

let

.

Which of the following statements are true? 1. is holomorphic in . 2. . 3. . 4. . 83. पर व् युे क्रमर्ीय आव् यूहों के समूह के नन् न

कपसमुच् चयों पर ववचारें।

.

नन् न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. आव् यूह गुर्न के अंदर G एक समूह बनाता है।

2. G का एक सामान् य कपसमूह H है । 3. भागफल समूह G/H सुपररभावर्षत है तथा आबेली है।

4. भागफल समूह G/H सुपररभावर्षत है तथा ( पर)

सारखर्क 1 के साथ, ववकर् आव् यूहो के समूह के साथ तुल्य याकारी है।

83. Consider the following subsets of the group of

non-singular matrices over :

.

Which of the following statements are correct? 1. G forms a group under matrix multiplication. 2. H is a normal subgroup of G. 3. The quotient group G/H is well-defined and

is Abelian. 4. The quotient group G/H is well defined and

is isomorphic to the group of diagonal matrices (over ) with determinant 1.

84. मानें कक सक््मश्र संय याओं का क्षेत्र हैं तथा ,

गुर्न के अंदर रून् येतर सक््मश्र संय याओं का समूह। तो नन् न में से कौन-से सही हैं?

1. चकक्रक है।

2. का हर पररशमत कपसमूह चकक्रक है।

3. के पररशमतत: कई पररशमत कपसमूह हैं।

4. का हर कधचत कपसमूह चकक्रक है।

24

84. Let be the field of complex numbers and be the group of non zero complex numbers under multiplication. Then which of the following are true?

1. is cyclic . 2. Every finite subgroup of is cyclic. 3. has finitely many finite subgroups. 4. Every proper subgroup of is cyclic. 85. मानें कक R एक पररशमत रून् येतर क्रमववननमेय

वलय, ते समक अवयव के साथ है। तो नन् न कथनों में से कौन-से आवश् यकत: सही हैं?

1. R का कोई भी रून् येतर अवयव, या तो एकक है या रून् य का भााक है।

2. यह संभव है कक R के एक रून् येतर अवयव का अक्सते व है, ाो न तो एकक है न तो रून् य का भााक है।

3. R का हर अभाज् य गुर्ाावली कक्च्चष् ठ है।

4. यहद R का कोई रून् य का भााक नहीं है तो R के ककसी भी योज् य कपसमूह का घात एक अभाज् य घात है।

85. Let R be a finite non-zero commutative ring

with unity. Then which of the following statements are necessarily true?

1. Any non-zero element of R is either a unit or a zero divisor.

2. There may exist a non-zero element of R which is neither a unit nor a zero divisor.

3. Every prime ideal of R is maximal. 4. If R has no zero divisors then order of any

additive subgroup of R is a prime power. 86. नन् न कथनों में से कौन-से आवश् यकत: सही हैं?

1. एक मुय य गुर्ाावली रदाांत है।

2. एक अद्ववतीय गुर्नखंडन रदाांत है।

3. यहद एक मुय य गुर्ाावली रदाांत है, तथा एक रून् येतर अभाज् य गुर्ाावली, है तो के पररशमतत: बहुत अभाज् य गुर्ाावशलयां हैं।

4. यहद एक मुय य गुर्ाावली रदाांत है, तो का कोई भी कपवलय क्ासमें 1 अंतवव ष् ट है, वह कफर एक मुय य गुर्ाावली रदाांत है।

86. Which of the following statements are true? 1. is a principal ideal domain. 2. is a unique factorization

domain. 3. If is a principal ideal domain and is a

non-zero prime ideal, then has finitely many prime ideals

4. If is a principal ideal domain, then any subring of containing 1 is again a principal ideal domain

87. मानें कक एक क्रमववननमेय वलय है, ते समक

अवयव के साथ, तथा एक चर में एक बहुपद वलय है। ककसी रून् येतर

के शलए पररभावर्षत करें कक है लघुत्यiम , ताकक और . तो नन् न कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं?

1. . 2. . 3. , if . 4. यहद एक पूर्ाांक रदाांत है, तो है। 87. Let be a commutative ring with unity and

be the polynomial ring in one variable. For a non zero

, define to be the smallest such that . Also

. Then which of the following statements is/are true?

1. . 2. . 3. , if . 4. if is an integral

domain. 88. मानें कक एक पररशमत क्षेत्र है घात 2 का। तो

नन्न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. के मात्र पररशमतत: बहुत अलघुकरर्ीय अवयव है।

2. का घात 2 का ठ क-ठ क एक अलघुकरर्ीय बहुपद है।

3. पर एक पररशमत ववमा सहदर समक्ष्ट है।

4. में घात 5 का कोई भी अलघुकरर्ीय बहुपद, के ककसी भी बीात: संवतृता में शभन् न मूल रखता है।

25

88. Let be the finite field of order 2. Then which of the following statements are true?

1. has only finitely many irreducible elements.

2. has exactly one irreducible polynomial of degree 2.

3. is a finite dimensional vector space over .

4. Any irreducible polynomial in of degree 5 has distinct roots in any algebraic closure of .

89. मानें कक एक दरूीक समक्ष्ट है। तो

1. में एक स वेच् छ वववतृ समुच् चय संवतृ समुच् चयों का एक गर्नीय सक््मलन है।

2. यहद संबद्ध है तो में एक स वेच् छ वववतृ समुच् चय , संवतृ समुच् चयों का एक गर्नीय सक््मलन नहीं हो सकता।

3. मात्र यहद गर्नीय है, में एक स वेच् छ वववतृ समुच् चय , संवतृ समुच् चयों का एक गर्नीय सक््मलन है।

4. मात्र यहद स था नत: संहत है, में एक स वेच् छ वववतृ समुच् चय , संवतृ समुच् चयों का एक गर्नीय सक््मलन है।

89. Let be a metric space. Then 1. An arbitrary open set in is a countable

union of closed sets. 2. An arbitrary open set in cannot be

countable union of closed sets if is connected.

3. An arbitrary open set in is a countable union of closed sets only if is countable.

4. An arbitrary open set in is a countable union of closed sets only if is locally compact.

90. मानें कक तथा . मानें कक , से ननदेर मूल बबदं ुको

ननकाल देने के बाद पाया गया समुच् चय है। मानें कक से तक, एक संतत फलन है। सभी सही ववकल्य पों को चुनें:

1. के रदानतबबबं को संबद्ध होना चाहहए।

2. के रदानतबबबं को संहत होना चाहहए।

3. ऐसे ककसी भी संतत फलन को से तक के एक संतत फलन तक ववस ततृ ककया ाा सकता है।

4. यहद से तक के एक संतत फलन तक यहद

को ववस ततृ ककया ाा सकता है तो का रदानतबबबं पररबद्ध है।

90. Let . Let , the set obtained by removing

the origin from . Let be a continuous function from to .

Choose all correct options.

1. Image of must be connected. 2. Image of must be compact. 3. Any such continuous function can be

extended to a continuous function from to . 4. If can be extended to a continuous function

from to then the image of is bounded. 91. मानें कक सा.अ.स.

का एक रून् येतर हल है। तो समुच् चय की गुर्नसांक्ययकी है

1. 1 के समान

2. 2 से अधधक या समान

3. 2 के समान

4. 3 से अधधक या समान 91. Let be a nonzero solution of the

ODE

for .

Then the cardinality of the set

is

1. equal to 1 2. greater than or equal to 2 3. equal to 2 4. greater than or equal to 3

Unit-3

26

92. रदाारंशभक मान समस या ाहां है, पर ववचारें। नन् न कथनों में से

कौन-से आवश् यकत: से य हैं?

1. एक संतत फलन तथा का अक्सते व है ताकक कपरोत त समस या का कोई हल 0 के ककसी भी सामीप् य में नहीं है।

2. ाब शलपशरट्ज उ संतत है, हर के शलए समस या का एक अद्ववतीय हल है।

3. ाब दो बार संतत अवकलनीय है, कपरोत त उ रदाारंशभक मान समस या के शलए अक्सते व का कक्च्च्ष्ठ अंतराल है।

4. ाब पररबद्ध है तथा संतत अवकलनीय है, कपरोत त समस या के अक्सते व का कक्च्चष् ठ अंतराल है।

92. Consider the initial value problem where

. Which of the following statements are

necessarily true? 1. There exists a continuous function and such that the above

problem does not have a solution in any neighbourhood of 0.

2. The problem has a unique solution for every when is Lipschitz continuous.

3. When is twice continuously differentiable, the maximal interval of existence for the above initial value problem is .

4. The maximal interval of existence for the above problem is when is bounded and continuously differentiable.

93. मानें कक के शलए

,

, .

का समाधान करता है। तो इस समान है 1. 2. 3. 4.

93. Let satisfy for

,

, .

Then is equal to 1. 2. 3. 4. 94. के शलए तरंग समीकरर् पर ववचारें:

मानें कक कपरोत त समस या का हल है, त था

, के शलए ाहा ं तथा

हदये गये फलन हैं ाो हर के शलए तथा का समाधान करत े हैं। नन् न कथनों में से कौन-से आवश् यकत: से य हैं?

1. 2. 3.

4.

94. Consider the wave equation for

Let be the solution of the above problem

with and for where and are given functions satisfying and

, for every . Which of the following statements are necessarily true?

1. 2. 3.

4.

27

95. मानें कक एक फलन हैं ाो सभी के शलए

का समाधान करता है। माने कक इस रूप में है:

, ाहां एक अचरेतर फलन है, तो

95. Let be a function

satisfying

, for all . Suppose is of the form , where , is a nonconstant function, then

96. कोरी समस या

का एक अद्ववतीय हल, हर अवकलनीय फलन के शलए के सामीप् य में है, यहद

1. 2. 3. 4.

96. The Cauchy problem

has a unique solution in a neighbourhood of for every differentiable function if

1. 2. 3. 4.

97. को हल करने के शलए रैखखक बहुचरर्

ववधध

3 +1 की कोहट है

1. if 2. if 3. if 4. if 97. The order of linear multi step method

3 +1

for solving is 1. if 2. if 3. if 4. if 98. फलनक

ाहां पर तथा ,

हैं, का 1. दबु ल न् यूनतम है।

2. दबु ल कच् चतम है।

3. रदा बल न् यूनतम है।

4. रदाबल कच् चतम है। 98. The functional

where and on has

1. weak minimum 2. weak maximum 3. strong minimum 4. strong maximum 99. मानें कक एक खंडर: संतत: अवकलनीय फलन

पर है। तो फलनक

एक न् यूनतम पर पहंुचता है यहद है 1.

2. y=

3. y=

4. y=

28

99. Let be a piecewise continuously differentiable function on . Then the functional

attains minimum if is 1.

2. y=

3. y=

4. y=

100. फे्रडहोम समघात समीकरर् क्ासकी अक्ष्ठ

है, के शलए नन् न में से कौन-से अशभलक्षखर्क संय यायें तथा संगत अशभलक्षखर्क फलन हैं?

1. 2. 3. 4.

100. Which of the following are the characteristic numbers and the corresponding eigenfunctions for the Fredholm homogeneous equation whose kernel is

?

1. 2. 3. 4.

101. समाकल समीकरर्

के अपररशमतत: बहुत हल हैं यहद 1. 2. 3. 4.

101. The integral equation

has infinitely many solutions if

1. 2. 3. 4.

102. नन् न में से कौन-से ववहहत रूपांतरर् हैं? (ाहां

क्रमर: रदानतननधधे व करत ेहैं व् यपकीकृत ननदेरांक तथा व् यापकीकृत संवेग को)

1. 2.

3.

4.

102. Which of the following are canonical transformations? (Where represent generalized coordinate and generalised momentum respectively)

1. 2.

3.

4.

103. एक न् याय्य य पासे को दो बार स वतंत्रत: कछाला ााता

है। मानें कक इन दो कछालों के नतीाे हैं तथा है। माने कक ाब को 6 से भाक्ात ककया ााता है रेर्ष है। तो नन् न कथनों में से कौन-सा/से से य है/हैं?

1. तथा स वतंत्र हैं।

2. तथा स वतंत्र हैं। 3. तथा स वतंत्र हैं।

4. तथा स वतंत्र नहीं हैं।

103. A fair die is thrown two times independently. Let be the outcomes of these two throws and . Let be the remainder obtained when is divided by 6. Then which of the following statement(s) is/are true?

1. and are independent 2. and are independent 3. and are independent 4. and are not independent

Unit-2

29

104. तथा एक खेल खेलत े हैं क्ासमें एक न् याय्य य शसत का कछाला ााता है। खेल की रुरूआत करता है शसत के को एक बार कछालकर, दो बार शसत के को कछालता है, बाद में एक बार शसत के को कछालता है तथा दो बार, ऐसे खेल ाारी रहता है तब तक, ाब तक एक रीर्ष का नतीाा नहीं आता। क्ासे भी रीर्ष पहले शमल ााता है वह ाीतता है। तो

1. 2. 3. 4.

104. and play a game of tossing a fair coin. starts the game by tossing the coin once and then tosses the coin twice, followed by tossing the coin once and tossing the coin twice and this continues until a head turns up. Whoever gets the first head wins the game. Then,

1. 2. 3. 4.

105. अवस था समक्ष्ट ाहां है युतत एक मॉकोव रृंखला पर ववचारें। मानें कक संक्रमर् रदाानयकता आव् यूह समाधान करता है

यहद सम है

यहद ववर्षम है, तो

1. मॉकोव रंखला अलघुकरर्ीय है।

2. एक ऐसी अवस था का अक्सते व है ाो क्षखर्क है।

3. एक ऐसी अवस था का अक्सते व है क्ासका आवत काल है। .

4. अपररशमतत: बहुत स तब् ध बंटनों का अक्सेतव है।

105. Consider the Markov Chain with state space where . Suppose that the transition probability matrix satisfies

if is even if is odd. Then 1. The Markov chain is irreducible. 2. There exists a state which is transient.

3. There exists a state with period . 4. There are infinitely many stationary

distributions.

106. मानें कक रदाे येक मार् य 2 तथा रदासरर् 5

के रदासामान् य बंटन रखने वाले स वतंत्र या्टक्च्छक चरों का एक अनुक्रम है। तो नन् न में से कौन-से सही हैं?

रदाानयकता में तक अशभसररत होता है।

रदाानयकता में तक अशभसररत होता है।

रदाानयकता में तक अशभसररत होता है।

रदाानयकता में तक अशभसररत होता है।

106. Let be a sequence of independent random variables each having a normal distri-bution with mean 2 and variance 5. Then which of the following are true

107. मानें कक एक या्टक्च्छक चर है ककसी एक अनपभ्रष् ट

बंटन के साथ। तो सही कथनों को पहचानें:

1. यहद का एक चरघातांकी बंटन है तो मक्र्यका

है।

2. अंतराल में यहद का एकसमान बंटन है तो, मक्र्यका है।

30

3. यहद का एक द्ववपद बंटन है, तो है।

4. यहद का एक रदासामान् य बंटन है, तो है।

107. Let be a random variable with a certain non-

degenerate distribution. Then identify the correct statements

1. If has an exponential distribution then median

2. If has a uniform distribution on an interval , then

3. If has a Binomial distribution then

4. If has a normal distribution, then

108. मानें कक रदााचलों तथा के अंदर एक या्टक्च्छक चर की रदाानयकता द्रव् यमान फलन नन् न से हदया ााता है

0 1 2 3

0.01 0.04 0.5 0.45 0.02 0.08 0.4 0.5

परीक्षर् को पररभावर्षत करें ताकक यहद

यहद

बनाम , की परीक्षर् के शलए परीक्षर् है

1. स तर 0.05 पर एक रत ततम परीक्षर् है।

2. स तर 0.05 पर एक संभाववता अनुपात परीक्षर् है। 3. एक अनशभनत परीक्षर् है।

4. आमाप 0.05 का एक परीक्षर् है।

108. Suppose the probability mass function of a random variable under the parameter and are given by

0 1 2 3

0.01 0.04 0.5 0.45 0.02 0.08 0.4 0.5

Define a test such that if if

For testing against , the test is

1. a most powerful test at level 0.05 2. a likelihood ratio test at level 0.05 3. an unbiased test 4. test of size 0.05

109. हैं स वतंत्रत: एवं सव थासमानत: बंहटत

। तो

का न् यूनतम रदासरर् अनशभनत आकला

है।

का न् यूनतम रदासरर् अनशभनत आकला

है।

का कच् चतम संभाववता आकला

है।

का कच् चतम संभाववता आकला

है।

109. are independent and identically distributed as . Then

31

110. मानें कक स वतंत्रत: एवं सव थासमानत: बंहटत या्टक्च्छक चर हैं, रदाे येक एकसमान बंटन, को अनुसरर् करत ेहुए। पररभावर्षत करें

तथा

.

नन् न में से कौन-सा से य है?

1. के शलए पया प् त है।

2. के शलए अनशभनत है।

3. के शलए

अनशभनत है।

4. के शलए

अनशभनत है।

110. Let be independent and identically distributed random variables each following uniform distribution, . Define

and

.

Which of the following is true? 1. is sufficient for

2. is unbiased for

3.

is unbiased for

4.

is unbiased for

111. मानें कक आम संतत बंटन फलन

के साथ स वतंत्रत: एव ंसव थासमानत: बंहटत हैं तथा आम संतत बंटन फलन

के साथ स वतंत्रत: एवं सव थासमानत: बंहटत हैं। यह भी मानें कक सभी के शलए तथा स वतंत्र है। परीक्षर् समस या बनाम पर ववचारें।

मानें कक के बीच

कोहट तथा

कोहट । पररभावर्षत करें कक

ाहां

यहद है यहद है।

नन् न में से कौन-से सही हैं?

1. के अंदर

1, 3= + + =1=1 + ! . 2. तथा

रैखखकत: संबंधधत हैं।

3. के अंदर

. 4. बनाम के परीक्षर् के शलए पर आधाररत

दक्षक्षर् पचृ् छ परीक्षर् कपयुत त है।

111. Suppose are independent and

identically distributed with common continuous distribution function and are independent and identically distributed with common continuous distribution function . Also suppose and are independent for all . Consider the problem of testing against .

Let and

among .

Define

where

if

if

Which of the following are true? 1.

+ =1=1 + ! under 0.

2. and are linearly related.

3.

under . 4. Right tailed test based on is appropriate

for testing against .

112. एक शसत के के कछाल में रीर्ष पाने की

रदाानयकता है। शसत का तीन बार कछाला ााता है तथा हम अंककत करत ेहैं

यहद सभी तीनों कछालों में रीर्ष ननकलता है।

यहद सभी तीनों कछालों में पचृ् छ ननकलता है।

अन् यथा

यहद का पूव घने व Beta है, तथा

के शलए के हदए ााने पर का पश् च मार् य

है, तो 1. 2.

32

3. से हदया ााने वाला का पश् च घने व एक

Beta घने व है।

4. से हदया ााने वाला का पश् च घने व एक

Beta घने व नहीं है।

112. is the probability of obtaining a head in the toss of a coin. The coin is tossed three times and we record

if all the three tosses result in heads if all the three tosses result in tails otherwise If the prior density of is Beta , and is the posterior mean of given , for

, then

1. 2. 3. The posterior density of given is a

Beta density 4. The posterior density of given is

not a Beta density

113. मानें कक स वतंत्रत: तथा सव थासमानत: बंहटत मानक रदासामान् य या्टक्च्छक चर हैं, तथा

। यहद एक वग सम

आव् यूह है, तो नन् न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. तथा स वतंत्र हैं।

2. तथा सव थासमानत: बंहटत उ हैं यहद सम है तथा अनुरेख

है।

3. एक गॉमा बटंन का अनुसरर् करता है

यहद है।

4. एक काई-वग बंटन का अनुसरर् करता है यहद है।

113. Suppose are independent and

identically distributed standard normal random variables, and . If is an idempotent matrix, then which of the following statements are true?

1. and are independent. 2. and are identically

distributed if is even and trace .

3. follows a gamma distribution if

. 4. follows a chi-squared

distribution if .

114. आंकडा समुच् चय के शलए नन् न दो रदानतरूप, न् यूनतम वग ववधध के अनुसार कफ्ट ककये गये।

Model 1: Model 2:

मानें कक के न् यूनतम वग आकला हैं

रदानतरूप 1, से तथा रदानतरूप 2 से न् यूनतम वग आकला हैं

.

मानें कक

हैं। तो 1. 2. 3. यह हो सकता है कक परंतु

4. यह हो सकता है कक परंतु

114. For a data set the following two models were fitted using least square method.

Model 1:

Model 2:

Let be least square estimates of from model 1 and

be the least square estimates from model 2.

Let

Then 1. 2. 3. It can happen that but 4. It can happen that but

115. मानें कक मार् य सहदर तथा रदासरर्-

सहरदासरर् आव् यूह युत त द्ववचर रदासामान् य

बंटन का घने व है। घने व

रखनेवाले एक

या्टक्च्छक सहदर पर ववचारें। तो

1. तथा दोनों का कपांत बंटन मानक रदासामान् य है। 2. सहरदासरर् है।

3. तथा स वतंत्र हैं।

4. का द्ववचर रदासामान् य बंटन है।

33

115. Let be the density of bivariate normal distribution with mean vector

and

Variance-Covariance matrix Consider

a random vector having density

. Then

1. Marginal distribution of both and is standard normal.

2. 3. and are independent. 4. has a bivariate normal distribution. 116. मानें कक पुन:स थापन योाना के साथ सामान् य

या्टक्च्छक रदानतदर न के कपयोग से रदााप् त, रदानतदर आमाप n से संगत अर् ययन चरों का रदानतदर मा् य है तथा आनुपाती ननयतन के अंदर पुन:स थापन योाना के साथ स तररत या्टक्च्छक रदानतदर न से रदााप् त, रदानतदर आमाप n से संगत अर् ययन चरों का रदानतदर मार्य है। रदासरर् रदासरर् के शलए नन् न में से कौन-सा /से पया प् त रदानतबंध है/हैं?

1. सभी स तरों के आमाप समान हैं।

2. सभी स तरी योगफल समान हैं।

3. सभी स तरी मार् य समान हैं।

4. सभी स तरी रदासरर् समान हैं। 116. Suppose is the sample mean of the study

variables corresponding to a sample of size n using simple random sampling with replacement scheme and is the sample mean of the study variables corresponding to a sample of size n using stratified random sampling with replacement scheme under proportional allocation. Which of the following is/are sufficient condition/conditions for ?

1. All the stratum sizes are equal 2. All the stratum totals are equal 3. All the stratum means are equal 4. All the stratum variances are equal 117. हमें कुछ संतुशलत अपूर् खंड अशभकल्य पनायें

(BIBDs) दी ााती हैं, रदााचलों के साथ, ताकक तथा (सभी क्सथररत) हैं। ऐसे

BIBD को v के नन् न मानों में से ककसके कपयोग से ननशम त ककया ाा सकता है।?

1. 2. 3. 4. 117. We are given some balanced incomplete block

designs (BIBDs) with parameters such that and (are fixed). With which of the following values of v can one construct such a BIBD?

1. 2. 3. 4. 118. ज्ञात रदासरर् के एक रदासामान् य स मक्ष्ट के मार् य के

शलए एक आंकडा समुच् चय 95% ववश् वास यता अंतराल (2.5, 3.6), देता है। मानें कक एक ननयत संय या है। यहद हम इन् हीं आंकडों को

के परीक्षर् के शलए कपयोग करत े हैं, तो

1. पर आवश् यकत: अस वीकररत होगा।

2. पर आवश् यकत: अस वीकररत होगा।

3. के शलए ननष् कर्ष ननकालने के शलए सूचना अपया प् त है।

4. के शलए ननष् कर्ष ननकालने के शलए सूचना अपया प् त है।

118. A data set gave a 95% confidence interval (2.5,

3.6), for the mean of a normal population with known variance. Let be a fixed number. If we use the same data to test

1. would be necessarily rejected at 2. would be necessarily rejected at 3. For the information is not enough to

draw a conclusion 4. For the information is not enough

to draw a conclusion 119. मानें कक चरघातांकी बंटन, मार् य एक के साथ,

का अनुसरर् करता है। नन्न कथनों में से कौन-से सही हैं?

1. का ाोखखम फलन एक अचर फलन है।

2. का ाोखखम फलन एक अचर फलन है।

3. का ाोखखम फलन एक ते समक फलन है।

4. का ाोखखम फलन एक ते समक फलन है।

34

119. Suppose follows exponential distribution with unit mean. Which of the following statement(s) are correct?

1. The hazard function of is a constant function.

2. The hazard function of is a constant function.

3. The hazard function of is the identity function.

4. The hazard function of is the identity function.

120. नन् न रैखखक रदाोग्रामन समस या पर ववचारें:

को नन् न रदानतबंधों के अंदर अधधकमीकृत करें

. तो

1. कोई सुसंगत हल को अनुमत नहीं करता।

2. के एक अद्ववतीय इष् टतम हल का अक्सते व है।

3. द्वैत समस या के एक अद्ववतीय इष् टतम हल का अक्सते व है।

4. द्वैत समस या का एक अपररबद्ध हल है। 120. Consider the linear programming problem

maximize Subject to . Then 1. The does not admit any feasible

solutions. 2. There exists a unique optimal solution to the

. 3. There exists a unique optimal solution to the

dual problem. 4. The dual problem has an unbounded

solution.

FOR ROUGH WORK