HAKEKAT MATEMATIKA

Oleh: M. Jainuri, M.Pd

Untuk memahami hakekat matematika, kita dapat memperhatikan

pengertian istilah matematika. Untuk menjawab pertanyaan : “Apakah

matematika itu ?” tidak dapat dengan mudah dijawab dengan satu atau dua

kalimat begitu saja. Berbagai pendapat muncul tentang pengertian

matematika, dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing

yang berbeda. Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada

kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui

karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui

hakekat matematika.

Berdasarkan etimologinya perkataan “matematika” berarti ilmu

pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Hal ini dimaksudkan bukan

berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam

matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran)

sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau

eksperimen di samping penalaran. Pada tahap awal terbentuk dari

pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris, karena matematika

sebagai aktifitas manusia kemudian pengalaman itu diproses dalam dunia

rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran dalam struktur

kognitif sehingga sampai pada suatu kesimpulan berupa konsep-konsep

matematika. Agar konsep-konsep matematika tersebut dapat dipahami oleh

orang lain dan dengan mudah dapat dimanipulasi dengan tepat, maka

digunakan notasi dan istilah yang cermat dan disepakati bersama secara

global (universal) yang dikenal dengan bahasa matematika.

James dan James (1976) mengatakan bahwa matematika adalah

ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep

yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah banyak

yang terbagi dalam tiga bidang : aljabar, analisis dan geometri. Sedangkan

1

Johnson dan Rising (1972) mangatakan bahwa matematika adalah pola

berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu

adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat,

jelas dan akurat, refresentasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa

simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.

Sementara Reys dkk (1984) mengemukakan bahwa matematika

adalah telaah tentang pola berpikir, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni,

suatu bahasa dan suatu alat. Kemudian Klein (1973) manyatakan bahwa

matematika bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena

dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu

dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam.

Hudoyo (1979) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan

dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur

menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-

konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika

dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol

formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang

beroperasi di dalam struktur-struktur.

Menurut Soedjadi (2000) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam

matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti

sesuai dengan lingkup semestanya. Agar simbol itu berarti maka kita harus

memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal

terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri

disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y”

yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri

analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2),

B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik

B(6,9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9.

Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan

konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.

2

Selanjutnya Soedjadi mengemukakan bahwa ada beberapa definisi

atau pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu

sebagai berikut:

a. Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr

secara sistematik

b. Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi

c. Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan

berhubungan dengan bilangan.

d. Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah

tentang ruang dan bentuk.

e. Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic

f. Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Menurut Sumardyono (2004) secara umum definisi matematika dapat

dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:

1. Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan

ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan

struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas

beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian

pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma

(teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat).

2. Matematika sebagai alat (tool). Matematika juga sering dipandang

sebagai alat dalammencari solusi pelbagai masalah dalam kehidupan

sehari-hari.

3. Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan

pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau

pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila

telah dibuktikan secara deduktif (umum).

4. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika

dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena

beberapa hal, seperti matematika matematika memuat cara pembuktian

yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat

penalaran matematika yang sistematis.

3

5. Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang

paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa

simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada

suatu konteks.

6. Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan

efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan

menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni,

khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

Dari pendapat-pendapat di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa

matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta

operasi-operasinya, melainkan juga unsur ruang sebagai sasarannya.

Namun penunjukan kuantitas seperti itu belum memenuhi sasaran

matematika yang lain, yaitu yang ditujukan kepada hubungan pola, bentuk,

dan struktur. Sasaran atau obyek penelaahan matematika adalah fakta,

konsep, operasi, dan prinsip. Obyek penelaahan tersebut menggunakan

simbol-simbol yang kosong dalam arti, ciri ini yang memungkinkan dapat

memasuki wilayah bidang studi atau cabang lain.

Penelaahan matematika tidak sekedar kuantitas, tetapi lebih

dititikberatkan kepada hubungan pola, bentuk, struktur, fakta, operasi

dan prinsip. Sasaran kuantitas tidak banyak artinya dalam matematika.

Hal ini berarti bahwa matematika itu berkenaan dengan gagasan yang

berstruktur yang hubungan-hubungannya diatur secara logis, di mana

konsep-konsepnya abstrak dan penalarannya deduktif.

4

KARAKTERISTIK PESERTA DIDIK

Pengertian Karakteristik Peserta Didik

Karakteristik berasal dari kata karakter yang berarti tabiat watak,

pembawaan, atau kebiasaan yang di miliki oleh individu yang relatif tetap

(Dahlan, 1994). Karakteristik adalah mengacu kepada karakter dan gaya

hidup seseorang serta nilai-nilai yang berkembang secara teratur sehingga

tingkah laku menjadi lebih konsisten dan mudah di perhatikan.(Usman,1989)

Siswa atau anak didik adalah setiap orang yang menerima pengaruh dari

seseorang atau sekelompok orang yang menjalankan pendidikan. Anak didik

adalah unsur penting dalam kegiatan interaksi edukatif karena sebagai pokok

persoalan dalam semua aktifitas pembelajaran (Djamarah, 2000)

Keseluruhan pola kelakuan dan kemampuan yang ada pada siswa

sebagai hasil dari pembawaan dari lingkungan sosialnya sehingga

menentukan pola aktivitas dalam meraih cita-citanya (Sudirman,1990).

Karakteristik siswa adalah aspek-aspek atau kualitas perseorangan siswa

yang terdiri dari minat, sikap, motivasi belajar, gaya belajar kemampuan

berfikir, dan kemampuan awal yang dimiliki (Uno, 2007).

Dari pendapat tersebut dapat disimpulkan bahwa karakteristik peserta

didik mencakup keseluruhan pola tingkah laku, aspek-aspek atau

kualitas yang terdiri dari minat, sikap, motivasi belajar, gaya belajar dan

kemampuan berpikir sebagai hasil pembawaan dan dari lingkungan

sosialnya sehingga menentukan pola aktifitas pembelajaran.

Kalasifikasi Karakteristik Peserta Didik

Pribadi dan lingkungan : Umur, Jenis kelamin, Keadaan ekonomi orang

tua, Kemampuan pra sekolah, Lingkungan tempat tinggal

Psikis : Tingkat Kecerdasan, Perkembangan jiwa anak, Modalitas belajar,

Motivasi, Bakat dan minat.

5

Kalasifikasi Karakteristik Peserta Didik Berdasarkan Potensi

Aliran yang berkaitan dengan potensi manusia menerima pendidikan :

1. Nativisme, Arthur Schopenhour dari Jerman (1788-1860) anak yang

baru lahir membawa bakat kesanggupan dan sifat-sifat tertentu.

2. Empirisme, manusia itu dalam perkembangan pribadinya semata-mata

ditentukan oleh dunia di luar dirinya. John Locke (1632-1704) dari Inggris

dengan teorinya “Tabula Rasa”.

3. Konvergensi, William Stern (1871-1938), yang mengatakan :

“kemungkinan-kemungkinan yang dibawa lahir itu adalah petunjuk-

petunjuk nasib dengan ruangan permainan. Dalam ruangan permainan

itulah letaknya pendidikan dalam arti seluas-luasnya

Manfaat Analisis Karakteristik Peserta Didik

1. Guru dapat memperoleh tentang kemampuan awal siswa sebagai

landasan dalam memberikan materi baru dan lanjutan

2. Guru dapat mengatahui tentang luas dan jenis pengalaman belajar

siswa, hal ini berpengaruh terhadap daya serap siswa terhadap materi

baru yang akan disampaikan

3. Guru dapat mengetahui latar belakang sosial dan keluarga siswa.

Meliputi tingkat pendidikan orang tua, sosial ekonomi, emosional dan

mental sehingga guru dapat menajjikan bahan serta metode lebih serasi

dan efisien

4. Guru dapat Mengetahui tingkat pertumbuhan dan perkembangan dan

aspirasi dan kebutuhan siswa

5. Mengetahui tingkat penguasaan yang telah di peroleh siswa sebelumnya

6

BELAJAR AKTIF

Umumnya, proses pembelajaran dimaknai sebagai guru menjelaskan

materi dan siswa mendengarkan secara pasif. Akan tetapi, kenyataan

menunjukkan bahwa kualitas proses pembelajaran akan meningkat jika

siswa (peserta proses pembelajaran) diberikan kesempatan yang luas untuk

bertanya, berdiskusi, dan menggunakan secara aktif pengetahuan dan

keterampilannya. Dengan kata lain, perluasan pengakomodasian potensi

aktif siswa akan membuat materi pembelajaran dapat dipahami dan dikuasai

secara lebih baik.

Pembelajaran aktif adalah segala bentuk pembelajaran yang

memungkinkan siswa berperan secara aktif dalam proses pembelajaran itu

sendiri baik dalam bentuk interaksi antar siswa maupun siswa dengan guru

dalam proses pembelajaran tersebut.

Menurut Bonwell (1995), pembelajaran aktif memiliki karakteristik

sebagai berikut: (1) Penekanan proses pembelajaran bukan pada

penyampaian informasi oleh guru melainkan pada pengembangan

ketrampilan pemikiran analitis dan kritis terhadap topik atau permasalahan

yang dibahas; (2) Siswa tidak hanya mendengarkan materi pelajaran secara

pasif tetapi mengerjakan sesuatu yang berkaitan dengan materi; (3)

Penekanan pada eksplorasi nilai-nilai dan sikap-sikap berkenaan dengan

materi pelajaran; (4) Siswa lebih banyak dituntut untuk berpikir kritis,

menganalisa dan melakukan evaluasi; dan (5) Umpan-balik yang lebih cepat

akan terjadi pada proses pembelajaran.

Suatu proses pembelajaran aktif memungkinkan diperolehnya

beberapa hal. Pertama, interaksi yang berkembang selama proses

pembelajaran akan bermuara pada hal-hal yang positif dengan konsolidasi

pengetahuan yang dipelajari hanya dapat diperoleh secara bersama-sama

melalui eksplorasi aktif dalam belajar. Kedua, setiap individu harus terlibat

aktif dalam proses pembelajaran dan guru harus dapat mendapatkan

penilaian untuk setiap siswa sehingga terjadi peningkatan kualitas individu.

Ketiga, proses pembelajaran aktif ini agar dapat berjalan dengan efektif

7

diperlukan tingkat kerjasama yang tinggi sejalan dengan kecerdasan

emosional dan sosial (EQ dan SQ). Dengan demikian kualitas pembelajaran

dapat ditingkatkan sehingga penguasaan materi juga meningkat.

Salah satu metode yang menunjang dan berakar pada kegiatan

pembelajaran aktif adalah Belajar Aktif. (Karjawati, 1995) menyatakan bahwa

Belajar Aktif adalah metode di mana guru mengajak siswa belajar di luar

kelas untuk melihat peristiwa langsung di lapangan dengan tujuan untuk

mengakrabkan siswa dengan lingkungannya. Melalui Belajar Aktif lingkungan

di luar sekolah dapat digunakan sebagai sumber belajar. Peran guru disini

adalah sebagai motivator, artinya guru sebagai pemandu agar siswa belajar

secara aktif, kreatif dan akrab dengan lingkungaan. Belajar Aktif pada proses

pembelajaran menjadi sarana memupuk kreatifitas inisiatif kemandirian,

kerjasama atau gotong royong dan meningkatkan minat pada kegiatan

pembelajaran.

Apabila sebuah kegiatan pembelajaran yang dilakukan dengan Belajar

Aktif ingin mencapai tujuan, maka sebaiknya memperhatikan beberapa faktor

sebagai berikut:

Pertama, kebermaknaan. Pemahaman akan meningkat bila informasi

baru dengan gagasan dan pengetahuan yang telah dikuasai oleh murid.

Khususnya, istilah dan konsep sering sulit dipahami. Pemahaman tersebut

perlu digali melalui pengalaman siswa itu sendiri. Artinya, materi

pembelajaran akan terasa bermakna bagi siswa ketika siswa menemukan

korelasi langsung dengan lingkungannya.

Kedua, penguatan. terdiri atas pengulangan oleh guru dan latihan oleh

siswa. Pengulangan tersebut dan latihan dapat menanggulangi proses lupa.

Dalam Belajar Aktif, penguatan merupakan elemen yang harus diperhatikan.

Ketiga, umpan balik. Kegiatan belajar akan efektif bila siswa menerima

dengan cepat tentang hasil-hasil tugas belajar tersebut. Umpan balik

sederhana, misalnya koreksi jawaban siswa atas pertanyaan guru selama

pelajaran berlangsung, atau koreksi pekerjaan siswa.

Penerapan belajar aktif didasarkan pada 3 hal : karakteristik anak

(sifat ingin tahu dan imajinasi), hakikat belajar (proses menemukan dan

8

membangun sendiri makna/pengertian dari suatu informasi/pengalaman

berdasarkan persepsi, pikiran dan perasaaan) dan karakteristik lulusan

yang dikehendaki. Karakteristik lulusan yang dikehendaki adalah yang peka

(berpikiran tajam, kritis, tanggap terhadap pikiran dan perasaan orang

lain), mandiri (berani dan mampu bertindak tanpa selalu tergantung pada

orang lain, kreatif) dan bertanggung jawab (siap menerima akibat dari

keputusan dan tindakan yang diambil).

Suasana belajar aktif adalah suasana belajar-mengajar yang membuat

siswa dapat melakukan : pengalaman, interaksi, komunikasi dan refleksi.

Pengalaman langsung mengaktifkan lebih banyak indera daripada sekedar

mendengarkan penjelasan guru; dan kualitas belajarnya akan meningkat

dengan adanya interaksi dengan orang lain melalui diskusi, saling bertanya

dan saling menjelaskan. Pemahaman yang telah diperoleh akan semakin

mantap ketika siswa mengungkapkan pikiran dan perasaannya, baik secara

lisan maupun tertulis (komunikasi). Akhirnya ketika gagasan yang

dikemukakan mendapat tanggapan dari orang lain, siswa yang bersangkutan

akan merenungkan kembali gagasannya tadi (refleksi) yang kemudian akan

memperbaiki atau memperkuat gagasannya. Refleksi dapat dipicu melalui

interaksi dan komunikasi, antara lain berupa umpan balik dalam bentuk

pertanyaan yang menantang dari gurunya.

9

STRATEGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Pada hakekatnya belajar matematika adalah berfikir dan berbuat atau

mengerjakan matematika. Di sinilah makna dari strategi pembelajaran

matematika adalah strategi pembelajaran aktif yang di tandai oleh faktor.

1. Interaksi antara seluruh komponen dalam proses belajar mengajar, di

antaranya antara dua komponen utama yaitu guru dan siswa

2. Berfungsinya secara optimal yang meliputi indra , emosi, karsa, karya,

dan nalar. Hal itu dapat berlangsung antara lain jika proses itu

melibatkan aspek visual, audio, maupun teks ( Anderson, 1981 ).

Dua hal penting yang merupakan bagian dari tujuan pembelajaran

matematika adalah pembentukan sifat yaitu pola berpikir kritis dan kreatif.

Dalam proses pembelajaran perlu memperhatikan daya imajinasi dan rasa

ingin tahu dari peserta didik. Peserta didik harus dibiasakan bertanya dan

berpendapat sehingga proses pembelajaran matematika lebih bermakna.

Dalam pemilihan strategi pembelajaran matematika, harus melibatkan

siswa aktif dalam belajar baik secara mental, fisik maupun sosial. Peserta

didik dibawa ke arah mengamati, menebak, berbuat, mencoba, maupun

menjawab pertanyaan mengapa dan kalau mungkin mendebat. Prinsip

belajar aktif inilah yang diharapkan dapat menumbuhkan sasaran

pembelajaran matematika yang kreatif dan kritis.

Penerapan strategi pembelajaran matematika harus bertumpu pada

optimalisasi interaksi semua unsur pembelajaran dan optimalisasi

keterlibatan seluruh indra siswa. Penyampaian bahan ajar perlu beragam,

tidak harus terus-menerus dilaksanakan di dalam kelas, tetapi sesekali

pelaksanaan pembelajaran matematika dapat dilakukan di luar kelas.

Demi peningkatan optimalisasi interaksi dalam pembelajaran

matematika, untuk pokok bahasan/sub pokok bahasan tertentu mungkin

dapat dengan pendekatan penemuan, pemecahan masalah atau

penyelidikan. Demikian pula dengan soal-soal untuk balikan atau tugas dapat

berupa soal yang mengarah pada jawaban lebih dari satu cara untuk

menyelesaikannya, dan memungkinkan peserta didik untuk mencoba dengan

10

berbagai cara sepanjang cara tersebut benar, atau permasalahan open-

ended.

Penekanan pembelajaran matematika tidak hanya pada melatih

keterampilan dan hafal fakta, tetapi pada pemahaman konsep. Tidak hanya

kepada “bagaimana” suatu soal harus diselesaikan, tetapi juga pada

“mengapa” soal tersebut diselesaikan dengan cara tertentu.