hallar la derivada por definición de · dy f x g x f x g x gx ? 5. encontrar la derivada por...

Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Derivadas y Aplicaciones de la Derivada

1 E-mail: [email protected]

1. Hallar la derivada por definición de ( ) 1f x x x

Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

0

1 1( ) 1 '( ) lim

h

x h x h x xf x x x f x

h

Para hallar la derivada mediante definición debemos levantar la indeterminación, multiplicado y dividiendo por la conjugada del numerador, se tiene.

2 22

0 0

2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2

0 0

1 11 1 1 1'( ) lim lim

1 1 1 1

2 1 1 2 2 2'( ) lim lim

1 1 1

h h

h h

x h x h x xx h x h x x x h x h x xf x

h x h x h x x h x h x h x x

x xh h x h x x x x h xh x h xh h x xh h x xf x

h x h x h x x h x h x h

1x x

Cancelando y simplificando términos semejantes se tiene:

2 2 2 2 3 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 2'( ) lim lim

1 1 1 1h h

x h xh x h xh h xh h x xh x xh h x hf x

h x h x h x x x h x h x x

Evaluando el límite: 2 22 2 3 2 3 2

'( ) '( )2 1 2 11 1

x x x x xf x f x

x xx x x x

2. Hallar la derivada de ( )f x por definición si ( ) sec( )f x x


( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

0

sec( ) sec( )( ) sec( ) '( ) lim

h

x h xf x x f x

h

Aplicando identidades trigonométricas

1

sec( ) cos( ) cos cos sin sincos

x x h x h x hx

, el problema se lo

puede escribir de la siguiente manera.

0 0 0

1 1

cos( ) cos cos sin sincos( ) cos( )cos( ) cos( )'( ) lim lim lim

cos( )cos( ) cos( )cos( )h h h

x x h x hx x hx h xf x

h h x x h h x x h

Repartiendo el denominador de la siguiente manera y aplicando propiedades de límites.

0 0

0 0

sin sin cos( ) 1 cos( ) sin sincos( ) cos( )cos( )'( ) lim lim

cos( )cos( ) cos( )cos( ) cos( )cos( ) cos( )cos( )

1 cos( )1 sin( ) 1'( ) lim lim

cos( ) cos( ) cos( )

h h

h h

x h x h x hx x hf x

h x x h h x x h h x x h h x x h

h xf x

x h h x x h

sin h

h

Aplicando los siguientes limites conocidos: 0 0

1 cos( ) sin( )lim 0 lim 1h h

h h

h h



2

1 sin( ) 1 sin( )'( ) 0 1 '( )

cos( ) cos( ) cos( ) cos ( )

x xf x f x

x x x x

3. Hallar por definición la derivada de ( ) logf x x


( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

0

log( ) log'( ) log '( ) lim

h

x h xf x x f x

h

Aplicando la propiedad de resta de logaritmos. 1

0 0 0 0

log( ) log 1 1'( ) lim lim log lim log 1 limlog 1

h

h h h h

x h x x h h hf x

h h x h x x

Recordando el límite conocido 1

0lim 1 x

xx e

y haciendo la analogía para nuestro problema.

1

1

0

1 1 1 1'( ) limlog 1 log log '( ) log

ln10 ln10

x xh

x

h

hf x e e f x e

x x x x x

4. Demostrar por definición la derivada de ( )

( )

f xy

g x , es

2

'( ) ( ) ( ) '( )

( )

dy f x g x f x g x

dx g x

Solución: aplicando la definición de la derivada para el cociente de funciones (manteniendo la notación de las funciones).

0 0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )lim lim

( ) ( )h h

f x h f x

dy f x h g x f x g x hg x h g x

dx h hg x g x h

Sumando y restando ( ) ( )f x g x en el numerador y factorizando funciones, se tiene:

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( )h h

g x f x h f x f x g x h g xdy f x h g x f x g x f x g x h f x g x

dx hg x g x h hg x g x h

Repartiendo el denominador para cada término y ordenando de manera conveniente.

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( )

h

h h

g x f x h f x f x g x h g xdy

dx hg x g x h hg x g x h

f x h f x g x h g xdy g x f x

dx g x g x h h g x g x h h

Repartiendo los límites para cada producto.

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim

( ) ( ) ( ) ( )h h h h

dy g x f x h f x f x g x h g x

dx g x g x h h g x g x h h

Notemos para cada termino aparece la definición de la derivada. 0

0

( ) ( )lim '( )

( ) ( )lim '( )

h

h

f x h f xf x

h

g x h g xg x

h

Reemplazando y evaluando los límites.



2

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )'( ) '( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dy g x f x f x g x f x g xf x g x

dx g x g x g x g x g x

2

'( ) ( ) ( ) '( )

( )

dy f x g x f x g x

dx g x

5. Encontrar la derivada por definición: 2

1( )f x

x

Solución: empleando la deriva por definición, se tiene:

2 2

0 0

1 1

( ) ( )'( ) lim '( ) lim

h h

xx hf x h f xf x f x

h h

Sacando mínimo común denominador y desarrollando los binomios, se tiene:

22

2 22 2 2 22 2

2 22 20 0 0 0

1 1

2 2'( ) lim lim lim lim

h h h h

x x h

x x x xh hx h x h x xh hf x

h h x h x h x h x h

Factorizando h del numerador y simplificando, se tiene:

2 22 20 0

2 2'( ) lim lim

h h

h x h x hf x

x h x h x h x

Evaluando el límite y simplificando x se tiene:

2 32

2 2'( ) '( )

xf x f x

xx x

6. Hallar por definición la deriva de: 3( )f x x

Solución: empleando la fórmula para hallar la derivada por definición de la función:

3 3

0 0

( ) ( )'( ) lim '( ) lim

h h

x h xf x h f xf x f x

h h

La manera más conveniente de levantar la indeterminación es racionalizar las raíces cubicas de numerador, para ello nos valemos del siguiente artificio matemático:

2 23 333 33

30 0 33 3

'( ) lim limh h

x h x x h xx h xf x

h x h x h x h x

Simplificando las raíces cuadradas, desarrollando los binomios y restando términos semejantes.

3 3 2 2 3 3 2 23

0 0 03 3 33 3 3

3 3 3 3'( ) lim lim lim

h h h

x x h xh h x h x xh hx h xf x

h x h x h x h x h x h x



Simplificando h y evaluando el límite:

2 2 2 2

30 3 3 33

3 3 3 3'( ) lim '( )

2h

x xh h x xf x f x

xx xx h x

7. Derivar y simplificar al máximo la siguiente expresión 2

22

2 1 2( ) ln 2arctan

12 1

x x xf x

xx x

Solución: aplicando propiedades de logaritmos y derivando en donde aplicaremos regla de la cadena.

2 2

2

2 2

2 22 2

2

2

2 22 2 2 2 2

22

2( ) ln 2 1 ln 2 1 2arctan

1

1 1 1 2'( ) 2 1 2 1 2

12 1 2 1 21

1

2 1 2 21 1 1'( ) 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 1

1

xf x x x x x

x

d d d xf x x x x x

dx dx dx xx x x x x

x

x x xf x x x

x x x x x x x

x

Simplificando, se puede observar que en los primeros términos tenemos diferencia de cuadrados en el denominador y en el ultimo termino hay términos que se simplifican.

22 2 2 2

2 22 2 2 2 2

3 2 2 3 2 2 2 2

22 2 2 2

22 2

222

2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2'( ) 2

2 1 2 1 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2'( ) 2

1 2 1 2 1 2

2 22 2 4 2 2 2'( ) 2

11 2

x x x x x x x x x xf x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x xf x

x x x x x x

xx xf x

x x

2 2

2 4 2 2 2 4 2 42 2

4

2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

2 1 2 1 2 2 12

4 2'( )

1

x x

x x x x x x xx x

f xx

8. Derivar y simplificar al máximo: 41 1

( ) arcsinx b

f xx ab

Solución: Antes de comenzar a derivar podemos escribir la función de la siguiente manera. 4 21 1 1 1

( ) arcsin arcsin ( ) arcsinx b x b b

f x f x xx a x a ab b b

Derivando y aplicando regla de la cadena, se tiene.



2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1'( ) arcsin

11

d b d b b bf x x x

dx a dx a ab b b b abx a bx a bxbx a aa

De donde el resultado será: 2

1'( )f x

a bx

9. Hallar la derivada de la función: 2 4( ) ln cos 1 cosf x x x

Solución: Si derivamos tal como esta la función esta se hace mas compleja, por lo que se debe hacer un cambio de variable, si

es posible. Si 2 2cos ( ) ln 1u x f u u u

Como podemos ver ahora tenemos una composición de funciones, procedemos a derivar aplicando derivada de un logaritmo y regla de la cadena:

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1ln 1 1 1 1

1 1 2 1

1 11 2

1 2 1

df d d du u u u u

dx dx dx dxu u u u u

df duu

dx dxu u u

Ahora se añade a nuestro problema du

dxpor la dependencia que se da en el cambio de variable, procediendo a simplificar.

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1

df u du u u du du df du

dx dx dx dx dx dxu u u u u u u u

2

2 22

22

cos1 1

sin 22cos ( sin ) 2sin cos sin 21 1 cos

sin 2

1 cos

u xdf du df

xdudx dx dxx x x x xu xdx

df x

dxx

10. Hallar la derivada de la función: 44

44

44

1 1 1 1( ) arctan 1 ln

2 4 1 1

xf x x

x

Solución: Si derivamos tal como esta la función esta se hace mas compleja, por lo que se debe hacer un cambio de variable, si

es posible. Si 44 1 1 11 ( ) arctan ln

2 4 1

uu x f x u

u

Como podemos ver ahora tenemos una composición de funciones, procedemos a derivar (Se procede a añadir du

dx a causa

de la dependencia que existe en el cambio de variable).



2

22 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1arctan ln arctan ln

12 4 1 2 4 1 2 4 11

1

1 11 1 1 1 1 1 1 1

2 4 1 2 4 11 11

df d u d d u du d uu u

udx dx u dx dx u dx dx uu

u

u udf du u du du

dx dx u dx dx uu uu

2 2

44

3

34 3 34 3

4 44 4443 3

4 44 4

2 1 1 1

1 2 1 1

11 1 1

1 11 4 1 11 14 1 1

du du

u dx u u dx

u xdf du df x df

du xdx u dx dx dxx x x xxdx x x

11. Derivar y simplificar: 29

( ) arctan2

x xf x

x

Solución: aplicando la derivada: 2 29 9

arctan arctan2 2

df d x x d x d x

dx dx x dx dx x

Aplicando reglas de derivación regla de la cadena y tablas de derivadas se tiene:

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

9 99 1

arctan2 2

12

1 19 9 2 9

1 1 1 42 9 2 9

2 2 41

4

d dx x x x

df d x d x d x dx dx

dx dx dx x dx xx

dx x x x x x

dxdf x x

xdx x x x

Simplificando al máximo, se tiene:

22 2

22

2 2

2 2 2 2 2 2 2

99

92 2 29 9

4 4 4 9

x xxx

df x x

dx x x x x x x x

Entonces la derivada queda: 2 2 2

2 9

4 9

df

dx x x x

12. Aplicando la regla de la cadena derivar y simplificar: 2

1 1 cosln tan

2 2 2 sin

x xy

x

Solución: derivando respecto de x, se tiene:

2 2

1 1 cos 1 1 cosln tan ln tan

2 2 2 sin 2 2 2 sin

dy d x x d x d x

dx dx x dx dx x

Aplicando reglas de derivación, derivada por tablas y regla de la cadena, se tiene:



2 2

22

2

2

4

3 2

42

sin cos cos sin1 1 1

tan2 2 2 sintan

2

sin sin cos 2sin sin1 1 1

sec2 2 2 2 sin

tan2

cos1 1 1 1 sin 2cos sin 12

2 2 2 sin 2sin cos

2 2

d dx x x x

dy d x dx dxxdx dx x

dx x x x x

dy x d x dxxdx dx x

xdf x x x

x xdx x

2 2

3

2 2 2 2

3 3 3

1 1 sin 2cos

2 sin2sin cos

2 2

1 1 sin 2cos 1 2sin 2cos 1

2 sin sin 2 sin sin

x x

x x x

df x x x df

dx x x x dx x

13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 1x yxe e en el punto donde la abscisa es x=1.

Solución: Para resolver el problema emplearemos la ecuación punto pendiente. 1

1 P

y y dy

x x dx

, donde

1 1( , )

P

dypendiente

dx

P x y curva

Para hallar recta tangente a la curva primero debemos determinar dy

dx de nuestra función, para ello emplearemos lo que es

derivación implícita.

1 1

1

x y x x y

x x

y

d d dyxe e e xe e

dx dx dx

dy e xe

dx e

Ahora determinamos el punto P que pertenece a la curva, esto con la ayuda de la abscisa.

1 1 11 1 ln ln

ln 1 ln 1 1 0 (1,0)

y yx e e e e

e y e y y P

Reemplazando el punto P(1,0) en la pendiente 1 1

1 0 1

12

x x

y

P

dy e xe e e

dx e e

Reemplazando el punto P y la pendiente en la ecuación punto pendiente de la curva, se tiene.

02 2 2

1

yy x

x

14. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la parábola 22 6 7y x x , en el punto P donde la

pendiente de la recta es 2.



Solución: la ecuación de la recta tangente y la recta normal son 1 1

1 1

1

P

P

y y y ydy

dyx x dx x x

dx

respectivamente, donde

P

dypendiente

dx , derivando la función e igualando a 2, se tiene.

22 6 7 4 6 2 2dy

y x x x xdx

Reemplazando x=2 en la parábola para hallar la ordenada.

2

2 2 2 6 2 7 3 (2,3)x y y P

Tenemos el punto y tenemos la pendiente, ahora procedemos a hallar la curva tangente y normal.

32 2 1...

2

3 14 ...

2 2 2

T

N

yy x L

x

y xy L

x

15. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente a la curva 2 2 2 9x y x en el punto donde la ordenada es y=3.


1 P

y y dy

x x dx

, donde

1 1( , )

P

dypendiente

dx

P x y curva

Para hallar la pendiente de la recta debemos derivar implícitamente.

2 2 12 9 2 2 2 0

d d dy dy xx y x x y

dx dx dx dx y

Ahora determinemos la abscisa, para ello reemplazamos la ordenada en la función.

2 2 2

1

2

3 3 2 9 2 0

0 (0,3)( 2) 0

2 ( 2,3)

y x x x x

x Px x

x P

Para cada punto nos dará una recta tendremos un pendiente distinta y por ende dos rectas tangentes distintas.

1

2

1 1

2 2

0 1 1 3 1 1(0,3) 3 ...

3 3 0 3 3

2 1 3 1 1 11( 2,3) 0 ...

3 2 3 3 3

P

P

dy yP y x L

dx x

dy yP y x L

dx x

16. Encontrar la recta tangente a la curva 3 23 3 6 4y x x x , que se paralela a la recta 2 3 0x y .




1 P

y y dy

x x dx

Despejando y derivando.

3 2

3 2 2 23 6 4 1 13 6 4 3 6 6 2 2

3 3 3

x x x dy d dyy x x x x x x x

dx dx dx

Para que la recta tangente sea paralela a la recta 2 3 0x y , estas deben tener pendientes iguales.

2

2

20

2 3 0 2 2 222 2

mxdy

x y m x xdyxdxx x

dx

Para cada abscisa determinemos su respectiva ordenada, reemplazando en la curva

23

1

23

2

0 3 0 6 0 4 4 40 (0, )

3 3 3

2 3 2 6 2 42 4 (2,4)

3

x y y P

x y y P

Para cada punto obtendremos una recta distinta pero con la misma pendiente.

1

2

1 1

2 2

4

4 43(0, ) 2 2 2 ...3 0 3

4(2,4) 2 2 2 ....

2

T

P

T

P

ydy

P y x Ldx x

dy yP y x L

dx x

17. Graficar analizando máximos, mínimos, intervalos de crecimiento,

decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad de: 4 2( ) 3 6 5f x x x

Solución:

Derivada de primer orden 4 2 3( ) 3 6 5 '( ) 12 12f x x x f x x x

Determinando los puntos críticos, para ello '( ) 0f x . 3'( ) 12 12 0 0, 1, 1f x x x x x x

Determinando los intervalos de crecimiento, para ello '( ) 0f x

'( ) 12 ( 1)( 1) 0f x x x x

Derivada de segundo orden 3 2'( ) 12 12 ''( ) 36 12 12 3 1 3 1f x x x f x x x x

Determinando los puntos de inflexión ''( ) 0f x

1 1''( ) 12 3 1 3 1 0 ,

3 3f x x x x x

Determinando los intervalos de concavidad, para ello ''( ) 0,f x

''( ) 12 3 1 3 1 0f x x x

Determinando los máximos y mínimos (utilizando el criterio de la segunda

derivada). ''( ) 12 3 1 3 1f x x x

0 ''(0) 12 0x f , entonces existe un máximo.

1 ''(1) 24 0x f , entonces existe un mínimo.



1 ''( 1) 24 0x f , entonces existe un mínimo.

18. Graficar analizando máximos, mínimos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de

concavidad de:

22 ( 4)

( )4

x xf x

Solución:

Derivada de primer orden

2

22 ( 4) 1 3( ) '( ) 2 2 4 2 2 2

4 4 4

x xf x f x x x x x x

Determinando los puntos críticos, para ello '( ) 0f x .

3

'( ) 2 2 0 2, 24

f x x x x x


3

'( ) 2 2 04

f x x x

Derivada de segundo orden 3 3 3

'( ) 2 2 ''( ) 2 24 4 2

f x x x f x x x x


3''( ) 0 0

2f x x x


3''( ) 0

2f x x

Determinando los máximos y mínimos (utilizando el criterio de la segunda derivada).

3''( )

2f x x


2 ''( 2) 3 0x f , entonces existe un máximo.

19. Graficar realizando un análisis completo 5

( )5

xf x

x

Solución:

Derivada de primer orden2

2 2

5 5 1 25( ) '( )

5 5 5

x xf x f x

x x x

Determinando los puntos críticos, para ello '( ) 0f x . 2

2

25'( ) 0 5, 5, 0

5

xf x x x x

x

Determinando los intervalos de crecimiento, para ello '( ) 0f x 2

2

25'( ) 0

5

xf x

x

Derivada de segundo



orden2

2 3

25 10'( ) ''( )

5

xf x f x

x x


3

10''( ) 0f x

x Intervalos de concavidad


derivada). 3

10''( )f x

x

2

5 ''(5) 025

x f , entonces existe un mínimo.

2

5 ''( 5) 025

x f , entonces existe un máximo.

20. Graficar realizando un análisis completo 21( ) xf x e

Solución:

Derivada de primer orden2 21 1( ) '( ) 2x xf x e f x xe

Determinando los puntos críticos, para ello '( ) 0f x . 21'( ) 2 0 0xf x xe x

Determinando los intervalos de crecimiento, para ello '( ) 0f x 21'( ) 2 0xf x xe

Derivada de segundo orden 2 2 2 21 1 1 1 2'( ) 2 ''( ) 2 2 2 2 1x x x xf x xe f x e xe x e x


21 2 1 1

''( ) 2 2 1 0 ,2 2

xf x e x x x


21 2''( ) 2 2 1 0xf x e x

Determinando los máximos y mínimos (utilizando el criterio de la segunda derivada).

21 2''( ) 2 2 1xf x e x

0 ''(0) 2 0x f e , entonces existe un máximo.

21. Hallar las dimensiones del triángulo rectangular de área máxima cuya hipotenusa es h.

Solución: como en el problema se hace referencia ha que es un triangulo rectángulo podemos utilizar el teorema de Pitágoras, según la grafica

2 2 2 2 2 ...1h x y y h x

Primero debemos reconocer la función a maximizar.1

...22

A xy



Segundo debemos llevar todo en función de una variable. Ecuación 1 en 2, 2 21

2A x h x

Tercero debemos derivar la función respecto a x e igualar a cero despejando x, como se ve.

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 22 2

2 2

1 1 ( 2 ) 10

2 2 22

10 2 0

2 2

d d x h x xA x h x h x x

dx dx h x h x

h x x hh x x u

h x

Cuarto debemos determinar la otra incógnita (en este caso y), reemplazando x en 1.

2 2

2

22 2

h h hy h y u

22. Con un alamina de hojalata cuadrada de 24 cm. por lado se va a construir una caja sin tapa, si se recortan cuadrados

en cada esquina de la lámina ¿Cuál debe ser la longitud del cuadrado de la esquina para que su volumen sea máximo?

Solución: la longitud del cuadrado de la esquina y la longitud de un lado viene dada por: 4 2 24 24 2 ...1L x x y y x

Primero debemos reconocer la función a maximizar. 2...2V xy

Segundo debemos llevar todo en función de una variable. Ecuación 1 en 2 2

24 2V x x

Tercero debemos derivar la función respecto a x e igualar a cero además de despejar x.

2 224 2 24 2 2 24 2 2 0

1224 2 24 2 4 0 24 2 24 6 0

4

dV dx x x x x

dx dx

xx x x x x

x

Cuarto debemos determinar la otra incógnita (en este caso y), reemplazando x en 1. 12 0 4 16x y x y

Los primeros datos se descartan ya que no existiría un volumen, entonces se debe tomar los datos segundos por lo que la longitud del cuadrado será 16 u

23. En la elipse 2 2

2 21

x y

a b , hay que inscribir un rectángulo con los lados paralelos al eje de la elipse, ¿Cuál deben ser

las dimensiones del rectángulo de modo que su área sea máxima?

Solución: despejando y de la elipse se tiene: 2

21 ...1

xy b

a

Primero debemos reconocer la función a maximizar, de la gráfica se puede determinar la siguiente función. (2 )(2 )...2A x y

Segundo debemos llevar todo en función de una variable. Ecuación 1 en 2

2 2

2 22 2 1 4 1

x xA x b xb

a a

Tercero debemos derivar la función respecto a x e igualar a cero, y luego



despejamos x, como se ve.

2 2

2 22 2 22

2 2 22 2

2 2

21

4 1 4 1 4 0 1 2 02

2 1 1

x xx

a adA d x x x aaxb b x b x

dx dx a a ax x

a a

Cuarto debemos determinar la otra incógnita (en este caso y), reemplazando x en 1.

2

2

21

2

a

by b y

a

24. Encontrar los puntos de la curva 2 1y x , que estén más cerca del origen.

Solución: Despejando y de la anterior función: 2 1 1...1y x y x

Primero debemos reconocer la función a minimizar, de la gráfica se puede la distancia del origen a un punto cualquiera de la función, esta

viene dada por 2 2 ...2D x y

Segundo debemos llevar todo en función de una variable. Ecuación 1

en 2 2

2 21 1D x x x x

Tercero debemos derivar la función respecto a x e igualar a cero, después despejamos x, como se ve.

2

2

2 1 11 0 2 1 0

22 1

dD d xx x x x

dy dy x x

Cuarto debemos determinar la otra incógnita (en este caso y),

reemplazando x en 1. 1 1

12 2

y y

Por lo tanto los puntos más cercanos al origen, esta dado por: 1 2 1

1 1 1 1, ,

2 22 2P P P

1. Hallar la derivada por definición: 2

( )2 3

f xx

Solución: empleando la fórmula para hallar la derivada por definición de la función:

0 0

2 2

2 32 3( ) ( )'( ) lim '( ) lim

h h

xx hf x h f xf x f x

h h

Desarrollando el MCD y racionalizando el numerador:

0 0

2 2 3 2 2 3

2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3'( ) lim lim

2 3 2 32 3 2 3h h

x x h

x h x x x h x x hf x

h x x hh x h x



22

0

0

0

2 2 3 2 3

'( ) lim2 3 2 3 2 3 2 3

2 2 3 2 3'( ) lim

2 3 2 3 2 3 2 3

2 2'( ) lim

2 3 2 3 2 3 2 3

h

h

h

x x h

f xh x h x x x h

x x hf x

h x h x x x h

hf x

h x h x x x h

Simplificando h y evaluando el límite tenemos:

0

3

4 4'( ) lim

2 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 3

4 2 2'( ) '( )

2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

hf x

x x x xx h x x x h

f x f xx x x x x x x

2. Derivar y simplificar: 2

arcsin 1ln

11

x xy

xx

Solución: derivando

2 2

arcsin 1 arcsinln ln 1 ln 1

11 1

dy d x x dy d xx x

dx dx x dx dxx x

Empleando reglas de derivación y luego regla de la cadena.

2 2

222

2 2

2 2

22

2

2 2

22

arcsin ' 1 arcsin 1 'arcsin 1 1ln 1 ln 1 1 ' 1 '

1 11 1

1 11 arcsin 1 '

1 11 2 11 1

1 11

1 11 arcsin 2

1 11 2 1

1 11

x x x xdy xx x x x

dx x xx x

x x xdy x x

dx x xx

x x xdy x x

dx x xx

Simplificando al máximo:

2

2 22

2 32 2 2 22 2

2

32

1 arcsin

2 1 arcsin 2 1 1 arcsin12

1 1 1 11 1

arcsin 1

1

x x x

dy x x x x x xx

dx x x x xx x

dy x x x

dx x



3. Escriba las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva 4 44 6y x xy en el punto (1,1)

Solución: Para resolver el problema emplearemos:

La ecuación de la tangente. 1

1 P

y y dy

x x dx

, donde

1 1( , )

P

dypendiente

dx

P x y curva

La ecuación de la normal 1

1

1

P

y y

dyx x

dx

, donde

1 1( , )

P

dypendiente

dx

P x y curva

.

Para hallar la pendiente de la recta debemos derivar implícitamente.

3

4 4 3 3

3

16 64 6 4 16 6

4 6

d d dy dy dy x yy x xy y x y x

dx dx dx dx dx y x

Ahora determinemos la pendiente de

acuerdo al punto: 3

3

(1,1) (1,1)

16 6 22, (1,1) 11

4 6 2P P

dy x y dy dyP

dx y x dx dx

Ahora hallamos la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal, de acuerdo a la pendiente y el punto

1

1

1

1

1

1

1(1,1), 11 11 12 11 ...

1

1 1 1 10(1,1), 11 ...

1 11 11

T

P P

N

P

P

y ydy dy yP y x L

dx x x dx x

y ydy y xP y L

dydx x x x

dx

4. Analizando máximos, mínimos, puntos de inflexión, crecimiento, decrecimiento y el sentido de concavidad graficar:

4 2( ) 3 6y f x x x

Solución:

Derivada de primer orden 4 2 3( ) 3 6 '( ) 12 12f x x x f x x x

Determinando los puntos críticos, para ello '( ) 0f x .

3 2

0

'( ) 12 12 0 12 1 0 1

1

x

f x x x x x x

x

Determinando los intervalos de crecimiento, para ello '( ) 0f x 3'( ) 12 12 0f x x x

Derivada de segundo orden 3 2'( ) 12 12 ''( ) 36 12f x x x f x x


2

1

3''( ) 36 12 0

1

3

x

f x x

x

-1VV

1F

0

VF

convexa convexaconcava



Determinando los intervalos de concavidad, para ello ''( ) 0f x 2''( ) 36 12 0f x x


derivada). 2''( ) 36 12f x x


1 ''(1) 24 0x f , entonces existe un máximo.

1 ''( 1) 24 0x f , entonces existe un máximo.

Entonces la gráfica será:

5. Hállese en la parábola 2y x un punto N cuya distancia a la recta 2 4y x sea mínima

Solución: empleando la fórmula de distancia de un punto a una recta 1 1

2 21 1

0

( , )

Ax By CAx By CD

N x yA B

, donde:

La recta 0Ax By C es 2 4 0x y ,

El Punto 2 22

1 1 1 1 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )N x y y x y x N x y N x x

Reemplazando en la formula, llevando todo en función de una variable y luego derivando:

2 2

1 1 1 1

122 2

1 1

2 4 2 41' 2 2 0

5 2 42 1

x x x xD D x

x x

En donde la única solución real es 1 1x si 2

1 1y x entonces 1 1y , por lo tanto: 1 1, 1,1N x y N

Siendo la distancia:

2 2

2 1 45

2 1D D



Formulario

1. Definición de la derivada 0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h

2. Reglas de derivación: si c es una constante cualquiera y las funciones ( ), ( ), ( )u x v x w x son derivables, se tiene.

0

d c

dx Derivada de una constante.

d du dvuv v u

dx dx dx Derivada de un producto.

d du

cu cdx dx

Derivada de una constante por una función.

2

du dvv u

d u dx dx

dx v v

Derivada de un cociente.

d du dv dw

u v wdx dx dx dx

Derivada de una suma.

3. Formulas principales de derivación

1n ndx nx

dx

2

1arcsin

1

dx

dx x

1 1log , ln

lna

d dx x

dx x a dx x

sin cosd

x xdx

2

1arccos

1

dx

dx x

sinh cosh

dx x

dx

cos sind

x xdx

2

1arctan

1

dx

dx x

cosh sinh

dx x

dx

2tan secd

x xdx

2

1arcctan

1

dx

dx x

2

1tanh

cosh

dx

dx x

2ctan csecd

x xdx

ln ,x x x xd da a a e e

dx dx 2

1ctanh

sinh

dx

dx x

4. Derivada del logaritmo de la función dada se llama derivada logarítmica de dicha función: '( )

ln ( )( )

d f xf x

dx f x

5. Derivada de una función inversa.- una función derivable ( )y f x , con derivada ' '( )y f x tiene función inversa

1( )x f y siendo también la función inversa derivable, y verificándose la formula. 1dx

dydy

dx

6. Derivada de una función dada en forma paramétrica. Si ( )

( )

x t

y t

donde ( )t y ( )t son funciones derivables

respecto de t, entonces se tiene:

d

dy dtddx

dt

7. Derivadas de orden superior. Las derivadas de orden superior de una función ( )y f x se define mediante.

1( ) ( )n ndf x f x

dx



8. Derivada de una función implícita. Sea la función ( , ) 0f x y donde la derivada de la función viene dada por

'( , , ) 0dy

f x ydx

Donde se despeja dy

dx de la ecuación.

9. Ecuaciones de la tangente y la normal a una curva cualquiera. Si ( )y f x es una curva en el plano, la ecuación de

la recta tangente y normal viene dada por 1

1 P

y y dy

x x dx

y 1

1

1

P

y y

dyx x

dx

donde

1 1( , )

P

dypendiente

dx

P x y curva

.

10. Gráfica de funciones: para graficar debemos seguir los siguientes pasos: sea ( )y f x la función a graficar

Primero debemos hallar la derivada de primer orden ( ) ' '( )y f x y f x

Determinamos los puntos críticos, para ello '( ) 0f x .


Segundo debemos hallar la derivada de segundo orden ' '( ) '' ''( )y f x y f x



Tercero determinamos los máximos y mínimos (utilizando el criterio de la segunda derivada). '' ''( )y f x

Si 1'' ''( ) 0y f x , entonces existe un máximo.

Si 2'' ''( ) 0y f x , entonces existe un mínimo.



Práctica:

1. Usando la definición de la derivada calcule '( )f x de la función ( )3

xf x

x

2. Usando la definición de la derivada calcule '( )f x de la función ( ) sinf x x

3. Usando la definición de la derivada demostrar: ( ) ( ) ( ) ( )d df dg

f x g x g x f xdx dx dx

4. Calcule la derivada de la función 2

2

4( ) ln

4

x xf x

x x

Rpta.: 2

2'( )

4f x

x

5. Calcule la derivada de2 2

2 2

1 1( )

1 1

x xf x

x x

(Sug. racionalice el denominador) Rpta.:

3

4

2'( ) 2

1

xf x x

x

6. Hallar la derivada de la siguiente función 2

2 2 arcsin2 2

x a xy a x

a

Rpta.: 2 2'y a x

7. Hallar la derivada de la siguiente función ( ) arctan lna x a

f x ax x a

Rpta.:

3

4 4

2'( )

af x

x a

8. Derivar y simplificar: 2 4ln cos 1 cosy x x Rpta: 4

sin 2'

1 cos

xy

x

9. Utilizando derivación implícita calcular: 'y si ln 2 2x x y y

10. Utilizando derivación implícita demostrar que 'y

yx

, si m nn mx y x y

11. Demostrar que ( ) xf x xe satisface la ecuación diferencial ''( ) ( ) 2 xf x f x e

12. comprobar que la función 1 2

1 2

x xy c e c e satisface la ecuación 1 2 1 2'' ' 0y y y

13. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la reta normal a 22 6 7y x x en el punto 0P donde la pendiente

de la tangente es 2. Rpta.: 2 1, 2 8x y x y

14. Hallar la recta tangente a la curva: 3 26y y x , en el punto 0 (1,2)P Rpta.: 12 11 10 0x y

15. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva 22 3y x que es paralela a la recta 8 3 0x y

Rpta.: 8 5 0x y


concavidad de: 3 2( ) 6 9f x x x x


concavidad de: 4 2( ) 2 5f x x x

18. Realizando un análisis completo construir la gráfica de: 2

( ) 1 2f x x x

19. Entre todos los rectángulos de un área S, determinar aquél cuyo perímetro sea mínimo.

Rpta.: los lados del rectangulo son s

20. Hallar el triángulo rectángulo de área máxima. Si la suma de un cateto y la hipotenusa es una constante C

Rpta.: los lados del triangulo son y 33

c c

21. Hallar las coordenadas ( , )x y de la parábola 22y x , más cercano al punto (9,0)P Rpta.: (1,2)P

hallar la derivada por definición de · dy f x g x f x g x gx ? 5. encontrar la derivada por...

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