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Halloween
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Através da festa do Halloween, construir
um chapéu de bruxa, utilizando a
planificaçao do cone para diferentes
ângulos;
2. Estudar diferentes medidas de ângulos:
grau e radiano;
3. Gerar uma função matemática da forma
C/x, para x não nulo e C constante, bem
como o gráfico de tal função.
Halloween
Série
Matemática na Escola
Conteúdo
Cone, planificação.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Estudar a planificação de um cone circular reto, reconhecendo as suas propriedades;
2. Estudar as medidas de ângulos: radiano, grau e sua relação;
3. Introduzir uma função matemática da forma f(x) = C/x, para x não nulo e C constante, e estudar o seu gráfico.
Sinopse
Uma jovem estudante sonha em trabalhar com moda. Ela recebe uma encomenda, por telefone, de chapéus para uma festa de Halloween, ou seja, de chapéus de bruxa. Fica aflita e pede ajuda a uma senhora, que é modista e entende matemática. Esta senhora lhe ensina a fazer o molde do corpo do chapéu, que, na realidade, é de um tronco de cone circular reto, e em seguida as abas que são faixas circulares. Surgem alguns parâmetros que estão relacionados e geram uma função do tipo f(x) = C/x, para x positivo.
Material relacionado
Experimentos: Princípio de Cavalieri; Vídeos: 3,2,1, mistério; Softwares: Volume de um cone; Áudios: O que é hipérbole?
VÍDEO
Halloween 3/13
Introdução
Sobre a série
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.
Sobre o programa
O programa aborda um
problema cujo modelo
matemático é um cone
cirucular reto. As abas
dos chapéus são obtidas
por faixas circulares. As
planificações são
obtidas e o chapéu é
construído. As medidas
de radiano e grau de um
ângulo são relacionadas.
Professor, atenção às
figuras do vídeo: o
ângulo que aparece denotado por α é
denotado aqui por θ.
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Halloween 4/13
A construção do chapéu de bruxa é também um bom exemplo de
como obter como modelo uma função da forma f(x) = C/x, para x real não nulo e C uma constante.
Vamos refazer a construção do cone para diferentes ângulos.
A figura abaixo mostra um chapéu de bruxa, a planificação do corpo do chapéu e da aba.
A planificação de um cone reto.
� g é geratriz do cone � r é o raio da base � θ é o ângulo do vértice na planificação
A parte pontilhada é onde deve ser dobrado.
VÍDEO
Halloween 5/13
Sugestões de atividades
Depois da execução
Atividade 1) Sugira aos alunos que construam corpos de chapéus, em cartolina, para os diferentes ângulos �:
•2
π radianos( 90 graus);
•3
π radianos(60 graus);
•4
πradianos (45 graus);
•3
2π radianos ( 120 graus); e
• π radianos ( 180 graus).
Exemplos de como fazer:
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Halloween 6/13
Exemplo 1. Vamos considerar uma pessoa que tenha cm54 de medida do comprimento C , da maior circunferência da cabeça. No caso de
2
πradianos, observe que o comprimento deste arco de circunferência
de raio g correspondente a este ângulo é 4
2 gπ (ver a figura).
Sendo assim, Cg
=4
2π, onde cmC 54= , ou seja,
π
254 ×=g .
Vamos considerar g aproximadamente igual a 35 cm ( ≈π 3,14159654).
Daí, com um compasso feito de barbante, faça o cone.
Feche o cone com cola.
VÍDEO
Halloween 7/13
Exemplo 2. Considere novamente C = 54 cm. No caso de 3
πradianos, o
comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a
este ângulo é 6
2 gπ (ver figura).
Daí Cg
=6
2π, ou seja,
π
354×=g ou aproximadamente 52 cm.
VÍDEO
Halloween 8/13
Exemplo 3. Considere novamente C = 54 cm. No caso de 4
π radianos,
teremos que o arco da circunferência de raio g correspondente a este
ângulo é de 8
2 gπ, e daí C
g=
8
2π.
Neste caso, g é aproximadamente igual a 69 cm. Como a folha de cartolina mede 50 cm x 66 cm, deve ser colado um pedaço de papel na extremidade da folha, como mostra a ilustração.
Exemplo 4. Considere cmC 54= . No caso de 3
2πradianos, o
comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a
VÍDEO
Halloween 9/13
este ângulo é 3
2 gπ, e daí
π2
354 ×=g ou g é aproximadamente igual a 26
cm.
Exemplo 5. Para C = 54 cm, o comprimento do arco da circunferência
de raio g correspondente a este ângulo é 2
2 gπ, e daí
π2
254 ×=g ou
aproximadamente igual a 17,5 cm, no caso de 180 graus.
VÍDEO
Halloween 10/13
Atividade 2. Sugira aos alunos fazerem a aba de cada chapéu.
Desenvolvimento: seja r o raio da cabeça, que é obtido por π2
Cr = .
Trace dois círculos concêntricos de raios r e r + 4 cm, por exemplo, e recorte por dentro e por fora, ou seja, fazendo uma coroa circular com raios r e r + 4. Para facilitar, recorte um quadrado bem grande e o dobre em 4. A partir do centro, marque os arcos de raios r e r+4. Recorte o papel por dentro e por fora.
Cole a aba no cone. Segue uma sequência do procedimento no caso de 90 graus.
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Halloween 11/13
Veja os chapéus com diferentes ângulos.
Atividade 3) Sugira a generalização da solução do problema, ou seja, encontrar a geratriz g em função do angulo θ.
Desenvolvimento: sabemos que o comprimento do arco de ângulo central θ de uma circunferência de raio g é igual a θg . Veja na figura ao lado.
Assim, temos que Cg =θ , onde C é o comprimento da maior
circunferência da cabeça. Temos então que θ
Cg = , para o ângulo θ ,
medido em radianos.
Considere novamente cmC 54= . Peça aos alunos que analisem algumas
características da funçãoθ
54=g .
É importante que todos se deparem com as conclusões que seguem:
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Halloween 12/13
1) A função é decrescente, ou seja, se 21 θθ > , então 21
5454
θθ< .
2) Não existe θ tal que 0)( =θg .
3) Quando θ cresce indefinidamente, θ
54 se aproxima de zero.
4) Quando θ decresce, se aproximando de zero, θ
54 cresce
rapidamente.
A partir dessas informações, peça aos alunos que desenhem um esboço do gráfico desta função num plano coordenado g por θ , para θ positivo, em papel quadriculado, marcando alguns pontos obtidos nas etapas anteriores. Sugestão: compare os esboços obtidos pelos alunos com o gráfico de g , obtido num software gráfico ou numa calculadora gráfica, sem esquecer que o domínio de g é o conjunto dos reais positivos.
A figura mostra o gráfico da função θ
54=g feita na tela do Winplot.
p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p 9p/4 5p/2
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
x
y
VÍDEO
Halloween 13/13
Atividade 4: Estenda esta função, que dá a geratriz em função do ângulo, para uma função definida no conjunto dos números reais não
nulos da forma x
axf =)( , onde a é uma constante real não nula.
Utilizando uma calculadora gráfica ou um software gráfico ou um papel quadriculado, desenhe os gráficos das seguintes funções:
xxf
1)( = ,
xxf
2)( = ,
xxf
3)( = ,
xxf
2)( −= ,
xxf
3)( −= .
Sugestões de leitura
1. E.Wagner, Construções Geométricas. Rio de Janeiro, SBM,1993.
2. Elon L.Lima, P.C.P.Carvalho,E.Wagner,A.C.Morgado, A Matemática do Ensino Médio- Coleção do Professor de Matemática, volume 2– SBM, Rio de Janeiro ,1999-
3. E.L.Lima- Medidas e Formas em Geometria- Rio de Janeiro, SBM, 1991.
4. E.Q.Frota, M.L.B.Queiroz, Geometria Plana Euclidiana e construções geometricas- Editora da UNICAMP- 2008.
Ficha técnica
Autor Otilia Terezinha W. Paques
Revisor Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira