hamming

Jean-Paul Molina d'aprs Logique combinatoire et Technologie 1

Systme de transmission numrique avec correction d'une erreur. Dans un systme de transmission, on veut une certaine scurit, c'est--dire tre capable de dtecter et de corriger une erreur. Pour cela, on utilise un codage particulier appel "code de Hamming". Pour transmettre les 4 lments binaires m1, m2, m3, m4 correspondant un chiffre du systme dcimal, on ajoute 3 lments binaires k1, k2, k3 de contrle. La position relative des lments binaires est donne par le tableau suivant :

1 2 3 4 5 6 7 k1 k2 m1 k3 m2 m3 m4

On effectue 3 tests de parit pour la dtection de l'erreur : - test T1 se fait sur les lments binaires 1 3 5 7 - test T2 se fait sur les lments binaires 2 3 6 7 - test T3 se fait sur les lments binaires 4 5 6 7 Le rsultat d'un test de parit donne 0 si le nombre de 1 dans la zone considre est pair. La disposition est choisie de telle faon que le nombre binaire 2123 )TTT( form par les rsultats des tests T1 T3 donne la position de l'lment binaire nonc. (cf exemple ci-dessous)

Code de Hamming pour 9N0

N k1

k2

m1

k3

m2

m3

m4

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 0 3 1 0 0 0 0 1 1 4 1 0 0 1 1 0 0 5 0 1 0 0 1 0 1 6 1 1 0 0 1 1 0 7 0 0 0 1 1 1 1 8 1 1 1 0 0 0 0 9 0 0 1 1 0 0 1

1 - Dterminer les fonctions logiques permettant de produire k1, k2, k3. Montrer qu'un seul type de porte logique est utilisable. En dduire le schma du dispositif "metteur". 2 - Etudier et donner le schma du dispositif rcepteur ( 2 solutions possibles). 3 - Proposer un dispositif simple ralisant la correction de l'lment binaire erron.

n lment binaire

bit 5 erron


Corrig Question 1 : Tableau de Karnaugh pour k1 On constate que m3 n'intervient pas. Tableau de Karnaugh pour k2 On constate que m2 n'intervient pas. Tableau de Karnaugh pour k3 On constate que m1 n'intervient pas. Le cblage s'effectue partir de circuits OU exclusif

On remplit le tableau partir du code de Hamming. L'criture de la fonction trs simplifie s'tablit en utilisant un regroupement supplmentaire de 2 tats indiffrents que l'on prend gaux 1.

1 2 4

1 2

1 1 2 4 1 2 4 1 2 4

1 4 1 2 4 1 2 1 2

1 4 1 2 4 1 2 1 2 4

( ( )

. .

)

k m m m m m m m m m

k m m m m m m m m

k m m m m

m m

m m m m

m

m

m

m

= + + +

= + +

= + =

+

L'criture de la fonction s'tablit en utilisant un regroupement supplmentaire de 2 tats indiffrents que l'on prend gaux 1.

1 3 4

1 3

2 1 3 4 1 3 4 1 3 4

2 4 1 3 4 1 3 1 3

2 4 1 3 4 1 3 1 3 4

( ( )

. .

)

k m m m m m m m m m

k m m m m m m m m

k m m m m

m m

m m m m

m

m

m

m

= + + +

= + +

= + =

+

3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4

3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3

3 4 2 3 4 2 3 2 3 4

( ) ( )

. .

k m m m m m m m m m m m m

k m m m m m m m m m m

k m m m m m m m m m

= + + +

= + + +

= + =


Question 2 : Solution 1 : fabriquer k'i partir des variables binaires mj et comparer avec ki

Solution 2 : calculer Tx partir des diffrentes possibilits de mj , ki

On sait que T1 donne 0 si le nombre de 1 dans la zone considre est pair. On crit la table de vrit pour T1 sachant que m3 n'intervient pas.

k1 m1 m2 m4 T1

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

Sachant que pour k1 , m3 n'intervient pas. k2 m2 n'intervient pas. k3 m1 n'intervient pas Si l'on dit que T1=0 si k1 = k' 1 et T1=1 si k1 k' 1 (erreur), cela revient mettre alors un OU exclusif. On effectue le mme raisonnement pour T2 et T3. Ce qui donne :

1 1 1 2 4

2 2 1 3 4

3 3 2 3 4

T k m m mT k m m mT k m m m

= = =

Pas de simplification possible. L'examen des quadruplets montre le OU exclusif vu dans la solution 1.


Question 3 : Pour des infos supplmentaires, voir par exemple http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/IMG/pdf/combiHamming.pdf

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