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MTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIN DEL REPARTO DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIN DE AGUAHardy Cross, naci en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y creador del mtodo de clculo de estructuras conocido como mtodo de Cross o mtodo de distribucin de momentos, concebido para el clculo de grandes estructuras de hormign armado. Este mtodo fue usado con frecuencia entre el ao 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros mtodos. El mtodo de Cross hizo posible el diseo eficiente y seguro de un gran nmero de construcciones de hormign armado durante una generacin entera.Adems tambin es el autor del mtodo de Hardy Cross para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Hasta las ltimas dcadas era el mtodo ms usual para resolver una gran cantidad de problemas.

HARDY CROSS

PRIMEROS AO DE HARDY CROSS []Obtuvo el ttulo de Bachillerato de Ciencia en ingeniera civil del Instituto de Tecnologa de Massachusetts en 1908, y despus ingres en el departamento de puentes de los Ferrocarriles del Pacfico de Missouri en St. Louis, donde permaneci durante un ao. Despus volvi a la academia de Norfolk en 1909. Un ao despus de su graduacin estudi en Harvard donde obtuvo el ttulo de MCE en 1911. Hardy Cross desarroll el mtodo de distribucin de momentos mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabaj como profesor asistente de ingeniera civil en la universidad de Brown, donde ense durante 7 aos. Despus de un breve regreso a la prctica de ingeniera en general, acept un puesto como profesor de ingeniera estructural en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy Cross desarrollo su mtodo de distribucin de momentos e influy en muchos jvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con l un duro momento argumentando porque l era difcil de escuchar.MTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUAOtro mtodo de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de abastecimiento de agua potable. Hasta dcadas recientes, fue el mtodo ms comn para resolver tales problemas.El recibi numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana para Educacin en Ingeniera (1944), la medalla Wason del Instituto Americano del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros Estructurales de Gran Bretaa (1959).

MTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA REDEl Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservacin de la energa en los circuitos.El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen Williams o, bien, la ecuacin de Darcy Weisbach.La ecuacin de Hazen Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el clculo de las "prdidas" de energa.La ecuacin de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el nmero de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberas.Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,Q, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSSEl mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:1. Ley de continuidad de masa en los nudos:"La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

Donde:Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.qi: Caudal concentrado en el nudo im : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos:"La suma algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

Donde:hf ij:Prdida de carga por friccin en el tramo n : Nmero de tramos del circuito iCLCULO DE REDES DE TUBERASEn esta actividad se va a resolver la red de tuberas mostrada, utilizando el mtodo Hardy-Cross.

Datos del problema:

Longitud de cada tramo: 1000 m. Dimetro interior de las tuberas: 400 mm. Fluido transportado: agua. Viscosidad cinemtica: 1e-6 m2/s.

Descripcin del mtodo:1) = Numerar los tramos de tuberas y asignarles un sentido (esta eleccin es arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.2) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).3) = Asignar un valor numrico a cada caudal de forma que se cumpla la conservacin de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla.4) = Calcular el coeficiente Ci de cada lnea: , donde Ki es el coeficiente de prdidas de carga lineales . Se recomienda calcular el coeficiente de friccin con la frmula aproximada .5) = Calcular la correccin a los caudales de cada malla: .6) = Aplicar la correccin de cada malla a los caudales que la componen. En el caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la correccin de otras mallas tendr signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la primera malla. Esta situacin ocurre con la lnea 1.7) = Repetir la iteracin.

EJERCICIOSEjercicio 1:Desarrollar la expresin empleada en el estudio de de los caudales en redes de tubera:

Solucin:El mtodo del clculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a continuacin hacer un balance de las prdidas de carga calculadas. En el laso o circuito nico, mostrado en la figura 10, para que los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habr de verificar

Para aplicar esta expresin, la prdida de carga en funcin del caudal habr que ponerse en la forma, . En el caso de utilizar la formula de Hazen Williams, la expresin anterior toma la forma Como se suponen unos caudales , el caudal verdadero en una tubera cualquiera de la red puede expresarse , donde es la correccin que habr de aplicarse a . Entonces mediante el desarrollo del binomio,

Se desprecian los trminos a partir del segundo pro ser tan pequeos comparado con .Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuacin (I) se obtine:

Despejando .

En general para un circuito ms complicado se tiene:

Pero y por lo tanto,

Ejercicio 2:En el sistema de tuberas en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para , los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el mtodo de Hardy Cross.

Solucin:Se supone que los caudales Son iguales, respectivamente, a y los clculos se realizan en la tabla que sigue (obsrvese que se ha puesto ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego y a continuacin se determinan . se notara que cuanto mayor sea ms alejados de los correctos estarn los caudales . (los valores de se han elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores grandes de y as ilustrar en el procedimiento.)DcmLm supuesto

m

30401500900150-30625.5-14.40.1700.046-27.8-27.8122.2-333.8

0.216456

Entonces, los valores de sern y . Repitiendo de nuevo el proceso de clculo:

16.5-17.10.1350.051+3.2+3.2125.4330.6

0.186456

No es necesario hacer una nueva aproximacin ya que el diagrama B no puede conseguirse una mayor precisin de 3l/s aproximadamente. Tericamente, HL deberan ser igual a cero, pero esta condicin se obtiene muy raramente.Se observa que el caudal que fluye por la tubera de 30cm era el 26,4% de 456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobacin satisfactoria.

Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar H C = 100 en todas las tuberas.

Solucin. Para la solucin de esta red vamos a aplicar el mtodo de Hardy Cross. La ecuacin de descarga en cada tubera es.

Estas ecuaciones corresponden a la frmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia est en los datos referido a dicha frmula. Si ste no fuera el caso se utilizara las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podra ser al contrario.Haremos tambin, tentativamente, una suposicin con respecto a la distribucin de caudales. En consecuencia cada caudal vendr asociado a un signo. Habr caudales positivos y negativos. Por consiguiente las prdidas de carga en cada tramo tambin estarn afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las prdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condicin 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene as:

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan slo que se cumpla la ecuacin de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar as el clculo de la prdida de carga con los diferentes caudales que nos irn aproximando sucesivamente a la solucin final.

CIRCUITO ICIRCUITO II

BNNMMB0,033670,02806MBCMMNNC0,009690,028060,00830

Calculemos ahora los valores de la prdida de carga f0 h en cada circuito aplicando la ecuacin de descarga.CIRCUITO ICIRCUITO II

BNNMMB

+87.23- 7.16-56.35+23.72CMMNNC

-57.93+7.16+34.23-16.54

Aplicamos ahora la ecuacin

Para obtener la correccin que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito.

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la prdida de carga hf son los siguientes.

Calculamos nuevamente

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son

Calculamos ahora nuevamente la correccin Q

En consecuencia los caudales son:

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.Obsrvese que la condicin 1, hf=0 para cada circuito es la expresin de conceptos bsicos del flujo en tuberas. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuacin.

Por lo tanto se debe cumplir la ecuacin fundamental.

Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

La condicin 3 queda tambin satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).UNPRG ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MECANICA DE FLUIDOS II HARDY CROSS11

TABLA CALCULOS DEL EJEMPLO 3

K

Qhf

Qhf

BNNMMBCircuito 10,033670,028060,00692+70-20-13087,23-7,16-56,35

+23,72-6-13-6+64-33-136+73,91-18,09-61,26

-5,44+1+3+1+65-30-135+76,06-15,16-60,43

+0,47000

CMMNNCCircuito 20,009690,028060,00830-110+20+9057,93+7,16+34,23

-16,54+7+13+7-103+33+97-51,29+18,09+39,32

+6,12-2-3-2-105+30+95-53,15+15,16+37,83

-0,16000

Al aplicar el mtodo de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulacin como la aqu presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.

EJEMPLO 4.-Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de prdidas de carga k constante.

Datos:

Resolucin En primer lugar, debe hacerse una suposicin de caudales:

Malla I:

Malla II: En primera iteracin ser:TuberaQihpihpi lQiQ1

Malla I1-21-42-42-30.35-0.650.110.24220.5-287.372.6115.26304426604800-0.0016

Malla II3-42-4-0.76-0.1084-1039.6-70.51368650.4-0.03

Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Ntese que el caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido previamente en la malla I. A continuacin se repite el proceso:

TuberaQihpihpi lQiQ1

Malla I1-21-42-42-30.348-0.6520.1110.237217.9-28973.9112.3326.4443.36664740-0.0008

Malla II3-42-4-0.763-0.11-1047.9-72.6

1373.4660-0.00018

La aproximacin es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal son los siguientes:

EJEMPLO 5.- Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del mtodo de Cross.

Esquema de la red de tuberas del ejemplo.Los resultados del anlisis de la red Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos mtodos, se obtuvieron los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidosDATOS INICIALES DE LA REDC = 125; k = 0.15 mmMETODO DE CROSS-HAZEN & WILLIAMSMETODO DE CROSS-DARCY & WEISBACH

Circuito No.TramoLongitudDimetroQinicialNo. Circuito adyacenteQDEFHfVQDEFhfv

mpulgmml/sl/smm/sl/smm/s

I1-1600164001800195.7113.5261.557196.0763.0941.560

*1-23001230060276.2681.2511.07976.3581.0771.080

*1-3300820010325.0111.1440.79625.2491.0040.804

*1-460012300-704-46.509-1.001-0.658-45.841-0.809-0.649

1-560016400-2500-234.289-4.919-1.864-233.924-4.367-1.862

hf = 0.001 hf = -0.001

II*2-130012300-601-76.268-1.251-1.079-76.358-1.077-1.080

2-23001230070069.4431.0510.98269.7180.9040.986

*2-33008200-103-11.257-0.261-0.358-11.109-0.212-0.354

2-43001230045044.4430.4600.62944.7180.3860.633

hf = -0.001 hf = -0.001

III*3-13008200-101-25.011-1.144-0.796-25.249-1.004-0.804

*3-2300820010211.2570.2610.35811.1090.2120.354

3-3300820025025.7001.2030.81825.8271.0490.822

*3-430012300-454-36.521-0.320-0.517-36.091-0.257-0.511

hf = 0.000 hf = 0.000

IV*4-16001230070146.5091.0010.65845.8410.8090.649

4-230012300-800-87.779-1.622-1.242-88.082-1.420-1.246

*4-33001230045336.5210.3200.51736.0910.2570.511

4-4300820060052.2214.4691.66251.9184.0501.653

4-59008200-200-27.779-4.168-0.884-28.082-3.695-0.894

hf = 0.000 hf = -0.001

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultneamente.

CONCLUSIONES Si bien la ecuacin de Hazen & Williams es muy prctica en el clculo de las prdidas de carga en tuberas, deja tambin un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, an con las variaciones del caudal y del nmero de Reynolds. Como consecuencia de lo anterior, las "prdidas" de energa por friccin, hf, sern sobreestimadas en comparacin con las calculadas con la ecuacin de Darcy Weisbach. As mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el Mtodo de Cross y la ecuacin de Hazen & Williams, conducira a la especificacin de dimetros mayores que los que se obtendran si se aplicara el mismo mtodo con la ecuacin de Darcy & Weisbach. Ello se comprobara cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presin mnima y mxima, se trata. RECOMENDACIONES Se recomienda la difusin y el uso ms generalizado del Mtodo de Cross con la ecuacin de Darcy Weisbach, en conjuncin con la ecuacin de Colebrook White. Es ms confiable un valor de k que el correspondiente a C. El valor del coeficiente de viscosidad cinemtica, v, debe introducirse lo ms acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo ms real posible.

BIBLIOGRAFIA Mecnica de fluidos II de F Ugarte Buscador google Mecnica de los fluidos y hidrulica de Ronald V. Giles Hidrulica de canales de Arturo Rocha