harmonik zwischen ordnung und chaos€¦ · … im bereich der begegnung von ordnung und chaos...
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HARMONIK
ordnet
messbaren
ZAHLEN oder ABMESSUNGEN
anhörbare
KLÄNGE
zu
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Seit Pythagoras ist bekannt,
dass die ganzzahlige Teilung einer Saite zu Tönen führt ,
die zusammen mit dem Ton der ganzen Saite
einfache harmonische Intervalle
ergeben
z.B. auf einem Monochord
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Einer Zahl oder einem Maß allein
kann noch keine klingende Bedeutung
zugeordnet werden.
Diese entsteht erst in einem Intervall,
also in einer Tonbeziehung,
der eine Beziehungen, d.h. ein Verhältnis
zwischen Zahlen oder Maßen entspricht.
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Teilung 1:2 Teilung 1:3 Teilung 1:5
Ganze Saite
1 = ,c
,c
oktav-
reduziert
oktav-
reduziert
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Wesentlich für das
harmonikale Verständnis der Natur
ist die Tatsache,
dass beim Schwingen jeder einzelnen Saite
Obertöne mitschwingen,
die mit den Tönen identisch sind,
die beim einfachen ganzzahligen Teilen einer Saite
entstehen.
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Das Teilen einer Saite auf dem Monochord in
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
entspricht den reziproken Werten der Saitenlange als Frequenz-Zahl
1 2 3 4 5 6 7 8
Dieses Teilen erzeugt auf der Basis Grundton = ,c die Töne:
,c c g c‘ e‘ g‘ b‘ c‘‘
Das ist auch der Anfang der Obertonreihe auf der Basis ,,c:
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Das Vergrößern einer Saite auf dem Monochord in
1/1 2x1 3x1 4x1 5x1 6x1 7x1 8x1
entspricht den reziproken Werten der Saitenlange als Frequenz-Zahl
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
Dieses Vergrößern erzeugt auf der Basis Grundton = ,c die Töne:
c‘‘ c‘ f c ,as ,f d ,,c
Das ist auch der Anfang der Untertonreihe auf der Basis c‘:
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HARMONIK
vermittelt
ENTSPRECHUNGEN
Grundlegenden Strukturen
der Natur und der Kultur
ENTSPRECHEN
Klänge
als sinnliche Wahrnehmung
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Messen
Rechnen
Denken
Hören
Fühlen
Empfinden
Ganzheitliches
Wahrnehmen
ERLEBEN
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Harmonik ist Mittel und Weg,
um auf der Basis
objektiv gesicherter Erkenntnisse,
und ihnen zugeordneten subjektiven Empfindungen
zum ganzheitlichen Erlebnis der
Grundlagen der Natur
und damit auch der
Eingebundenheit des Menschen
in eine natürlich-kosmische Ordnung zu gelangen
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Chaos-Theorie meint deshalb eigentlich
die Wissenschaft von
DYNAMISCHEN SYSTEMEN
die einerseits fern vom Gleichgewicht stabil sind,
so wie das in der Natur die lebendigen Systeme sind,
also Viren, Bakterien, Pflanzen, Tiere und der Mensch;
Deren Verhalten hängt aber
von geringen Veränderungen der Anfangsbedingungen ab,
die nicht sicher erfassbar sind, und dabei zu
chaotisch-irregulären zeitliches Abläufen führen können.
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Statische Gleichgewichte
labil stabil
Gleichgewichts-
Wanderung
Wanderung
fern vom Gleichgewicht
Quasistatisches
System
Dynamisches System
System
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z.B. Wetter und Klima
Populations-Dynamik in der Ökologie
Biochemische Systeme in Organismen
stabilisieren sich: durch Rückkopplungsmechanismen
und
durch Verbrauch von Energie
sie erzeugen in zeitlich begrenzten Prozessen (Lebenszeit)
komplexe Strukturen
die Formen solcher Strukturen sind fraktal
und (in begrenzten Bereichen)
selbstähnlich
durch Selbstorganisation
mittels
Austausch und Weitergabe von Information
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Besonders bekannt sind die Strukturen des „Apfelmännchens“
Ein Fraktal ist ein natürliches oder künstliches Gebilde (oder geometrisches
Muster) das Skaleninvarianz, aufweist, d.h. bei Änderung des Maßstabes
erscheinen selbstähnliche Formen.
Ein einfaches Beispiel ist das sog. „Sierpinski-Dreieck“
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Selbstähnliche Strukturen
bei Farnen
Ein nach dem Prinzip der
Selbstähnlichkeit berechnetes
Bild einer Seerose.
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… im Bereich der Begegnung von Ordnung und Chaos
hoch-harmonische Strukturen
aufleuchten:
die sich aus dem Makroskopischen in teils
neuen, teils selbstähnlichen Formen immer
weiter in das Mikroskopische fortsetzen
periodisch (Bifurktionen)
chaotisch/periodisch
Ordnung
(„konvergent“)
Mandelbrotmenge
alias „Apfelmännchen“
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Die Abbildung von Gleichtonlinien aus den Teiltonkoordinaten
auf dem Monochord.
Bild gross Bild gross Bild gross
wenige im 16x16-System alle im 16x16-System
sehr viele
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Dynamische Systeme
nach den Anfangsbedingungen:
verhalten sich auch dann verschieden,
wenn die gleichen Prozesse zugrunde liegen, und zwar je
nach den Umweltbedingungen:
nach der inneren Dynamik
(Wachstumskonstanten)
beliebig kleine Änderung der Anfangsbedingungen können zu einem
vollkommen unterschiedlichen Systemverhalten im Zeitverlauf
führen
z.B. hängen Populationsentwicklungen im Tierreich von
Veränderungen bei der Zahl der Fressfeinde und der Fressbeute
ab
z.B. Beschleunigung des exponentiellen Wachstum des Anfangs-Kapitals
Zo in der Zinseszins-Rechnung: mit wachsendem Verzinsungsfaktor c
ergibt sich nach Z(t) = Zo * e(c*t)
Verzinsungsfaktor C3 > C2 > C1
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Dynamische Systeme
1. Einschwingen in
quasi-statische Stabilität
Sie zeigen prinzipiell dreierlei verschiedenes Verhalten*:
2. Periodisches Schwingen
3. Chaotisches Verhalten
*) am Beispiel der Verhulst-Dynamik
mit der Iterationsgleichung
xn+1 = w xn (1 - xn) mit w: Wachstumskonstante
1 <w <3
3 <w <3.45 3.45 <w <3.54
w = 4
verhalten sich auch dann verschieden, wenn die gleichen Prozesse zugrunde liegen.
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Erste Bifurkation
Trägt man die Population P nach vielfachen Iterationen der
Verhulstgleichung gegen die Wachstumskonstante auf, erhält man das
Feigenbaum Diagramm, in dem der Wechsel der Stabilitätsbereiche
erkennbar wird.
Zweite Bifurkation
Chaos
Chaos Chaos
Neue Bifurkationen
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Trifurkation
In Bereichen zwischen dem Chaos treten also hochgeordnete
Zustände, hier mit den Vervielfältigungs-Zahlen 2 und 3 auf!
Bifurkationen
Chaos
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2er-Periode, 2x2er-Periode, 4x2er-Periode
3erPeriode
5er-Periode
6er-Periode 7er-Periode
4er-Periode
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0
Wachstumskonstante r
Die harmonikalen Obertonzahlen
2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7
im Wechsel von Chaos und Ordnung!
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Die Gesetze der Harmonik sind die Gesetze eines
die ganze Natur durchdringenden
Schöpferischen Prinzips
Musik Zahl
Geometrie
Sprache
Bild
Gedanke
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