helena rebi c - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/reb02.pdf · broj 1 nije ni prost ni slo...

Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Helena Rebic

Realni brojevi kroz povijest

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Helena Rebic


Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Osnovni pojmovi 2

1.1. Polje realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Povijesni razvoj 12

2.1. Hippasus i pravilni peterokut (pentagon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Eudoks i teorija proporcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Iracionalni brojevi u modernoj matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Formulacija preciznijih definicija u 19. stoljecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Dedekindovi rezovi 22

3.1. Skup rezova R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Relacija uredaja na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Zbrajanje u R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Mnozenje u R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Ugnijezdenje intervala 26

4.1. Povijesne cinjenice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Ugnijezdeni intervali i potpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Aksiomatska definicija realnih brojeva 30

5.1. Prirodni brojevi, cijeli brojevi i racionalni brojevi u polju realnih brojeva . . . 30

5.2. Teorem potpunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3. Postojanje i jedinstvenost realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Fundamentalni niz 35

6.1. Povijesne znamenitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2. Cauchyjev kriterij konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3. Prsten fundamentalnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4. Polje klasa ostataka F/N fundamentalnih nizova modulo nul-nizovi . . . . . . 37

6.5. Potpuna uredenost polja klasa ostataka F/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Literatura 40

Sazetak 41

Title and Summary 42

Zivotopis 43


Uvod

Osnovni je cilj ovog rada dati pregled povijesnog razvoja skupa realnih brojeva. Rad

je podijeljen na sest poglavlja. U prvom poglavlju definiramo osnovne pojmove. Brojeva

ima beskonacno mnogo, ali razlikujemo ih prema njihovim svojstvima. Obzirom na svojstva

razvrstavamo ih na skupove. Uz prirodne i cijele brojeve tijekom ljudske povijesti stvoreni su i

drugi skupovi brojeva. Njihovo je uvodenje potaknuto nekim stvarnim i prakticnim pitanjima.

Tako je dijeljenje cijelih brojeva dovelo do uvodenja racionalnih, a neka jednostavna mjerenja,

kao sto je duljina dijagonale pravokutnika ili opseg kruga, uvjetovala su uvodenje iracionalnih

brojeva.

U drugom poglavlju zapocinjemo povijesni razvoj s Hippasusom koji je prema pitagore-

jcima pocinio neoprostiv grijeh veleizdaje razglasivsi postojanje iracionalnih brojeva. Preko

Eudoksa i teorije proporcija do iracionalnih brojeva u modernoj matematici.

Trece poglavlje opisuje Dedekindov rez koji se uzima kao skup aksioma za realne brojeve,

a nabrojani su: svojstva reza, uredene relacije, operacije zbrajanja i mnozenja u R.

U cetvrtom poglavlju opisujemo ugnijezdene intervale kroz povijesne zanimljivosti do

prakticnih prednosti njihove upotrebe.

Peto poglavlje opisuje aksiomatsku definiciju realnih brojeva, teorem potpunosti te posto-

janje i jedinstvenost realnih brojeva.

U posljednjem poglavlju opisujemo fundamentalni niz, koji je poznat pod nazivom Ca-

uchyjev niz, navedene su povijesne znamenitosti nastanka fundamentalnog niza, opisan je

Cauchyjev kriterij konvergencije, prsten fundamentalnih nizova te potpuna uredenost polja

klasa ostataka F/N .

1


Poglavlje 1

Osnovni pojmovi

Broj je matematicki objekt koji se koristi za brojanje i mjerenje. Osim upotrebe za brojanje

i mjerenje, brojevi se cesto koriste za etiketiranje (telefonski brojevi), za klasificiranje (serijski

brojevi) i za sifre (npr. ISBN 1 ). U matematici, definicija broja je vremenom prosirena da

bi ukljucila i takve brojeve kao sto su nula, negativni brojevi, racionalni brojevi, iracionalni

brojevi i kompleksni brojevi.

Slika 1. Skupovi brojeva

”Prirodne brojeve stvorio je Bog, svi su ostali djelo ljudsko”, rekao je matematicar Krone-

cker 2. Mozda je izreka posljedica otvaranja silnih novih pitanja sto ih je izazvalo prosirivanje

1ISBN = International Standard Book Number = Medunarodni standardni knjizni broj.2Leopold Kronecker (1823. -1891.) njemacki matematicar.

2


skupa prirodnih brojeva potaknuto prakticnim zahtjevima. Vec je uvodenje nule pustilo duha

iz boce. ”Kako nista moze biti nesto?”, pitali su se stari Grci. Jos do srednjeg vijeka vukla

su se slicna pitanja premda su nulu poznavali i neki stari narodi kao primjerice Egipcani i

Babilonci. Pitagora 3 je smatrao broj idealnim nacelom oblikovanja svemira. Pitagorejska

simbolika brojeva preplitala je aritmeticka i geometrijska svojstva brojeva. Jedinica je u

geometriji tocka, ishodiste i simbol pocetka. Dvojka kao dvije tocke stvara odnos u prostoru,

ali i prvu zakonitost ili suprotnost. Trojka kao tri tocke stvara geometrijski lik, ali moze

unijeti i rizik nestabilnosti. Cetvorka moze uvesti jos jednu ravninu pa samim time i novu

dimenziju tvoreci tijelo. Svaka sljedeca tocka trazi novu zakonitost i sirenje. Pitagorino ucenje

nadograduje Platon, koji broj naziva prvim i pravim izvorom, kao i nacelom postojanja svih

bica.

Prvi pojam broja, koji se pojavio u povijesti zbog elementarne potrebe covjeka da na

odredeni nacin zna izraziti kolicinu elemenata odredenog skupa, bio je pojam prirodnog broja.

Skup prirodnih brojeva uzimamo kao temeljni skup, a oznacavamo ga sa N. Imamo dakle

N={1,2,3,...,n,...}.

Definicija 1.1. Neprazni skup N zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi prirodni

brojevi, ako vrijede sljedeci aksiomi:

(A1) Postoji funkcija s : N→ N. Ovu funkciju zovemo “biti sljedbenik“.

(A2) Postoji barem jedan element u N,oznacimo ga sa 1, takav da je s(n) 6= 1 za svaki n ∈ N.

(A3) Ako je s(m) = s(n) za svaki m,n ∈ N onda je m = n.

(A4) (princip indukcije) Ako je M podskup skupa N i ako vrijedi

(a) 1 ∈M ,

(b) (∀x ∈ N)(x ∈M → s(x) ∈M),

onda je M = N.

Navedeni aksiomi su poznati pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema

talijanskom matematicaru G. Peanu. 4

Skup N nije gust, jer se izmedu svaka dva susjedna prirodna broja ne nalazi niti jedan

prirodan broj. Osnovna podjela prirodnih brojeva jest podjela prirodnih brojeva na parne i

neparne. Parni (prirodni) brojevi su svi brojevi koji su djeljivi brojem 2. Neparni brojevi nisu

djeljivi brojem 2 i prethodnici su parnih brojeva.

Osnovna svojstva zbrajanja i mnozenja prirodnih brojeva su:

3Pitagora (582. - 496. p.n.e) matematicar i filozof.4Giuseppe Peano (1858. -1932.) talijanski matematicar i logicar.

3


1. komutativnost (∀x, y ∈ N)

x+ y = y + x,

x · y = y · x.

2. asocijativnost (∀x, y, z ∈ N)

(x+ y) + z = x+ (y + z),

(x · y) · z = x · (y · z).

3. distributivnost mnozenja prema zbrajanju (∀x, y, z ∈ N)

x · (y + z) = xy + xz,

(y + z) · x = yx+ zx.

Najprirodnija podjela prirodnih brojeva jest podjela obzirom na djeljivost, tj. na slozene

i proste brojeve.

Definicija 1.2. Reci cemo da je prirodan broj p > 1 prost ako je djeljiv samo s 1 i sa samim

sobom. Ako prirodan broj p > 1 nije prost, onda kazemo da je slozen.

Broj 1 nije ni prost ni slozen, jer on ima samo jednog djelitelja tj. samog sebe.

Oduzimanje dvaju jednakih prirodnih brojeva dovodi nas do prvog prosirenja skupa pri-

rodnih brojeva tj. uvodenje nule odnosno do skupa N0 = N ∪ 0. Neka svojstva:

Nula je razlika dvaju jednakih brojeva:

n− n = 0.

Ako dodamo ili oduzmemo nulu nekom broju, taj se broj nece promijeniti:

n+ 0 = 0 + n = n,

n− 0 = n.

Mnozenje bilo kojeg broja s nulom daje nulu:

n · 0 = 0 · n = 0.

Mnozenje nule s nulom daje nulu:

0 · 0 = 0 · 0 = 0.

Nula podijeljena s bilo kojim brojem daje nulu:

0 : n = 0.

4


Nula je jedini realan broj koji nema reciprocan broj, koji nije paran ni neparan, ni pozitivan

ni negativan, odnosno i jedno i drugo. Dijeljenje s nulom nije definirano.

Cijeli brojevi se uvode zbog toga sto je oduzimanje opcenito neizvedivo u skupu prirodnih

brojeva.

Definicija 1.3. Skup cijelih brojeva, u oznaci Z, je unija skupa prirodnih brojeva, skupa ciji

je jedini element broj 0 i skupa brojeva suprotnih prirodnim brojevima.

Skup Z nema ni najveceg ni najmanjeg elementa, prebrojivo je beskonacan i nije gust. Na

skupu Z definiramo binarne operacije zbrajanja “+“ i mnozenja “·“ tako da vrijede sljedeca

svojstva:

1. asocijativnost zbrajanja (∀x, y, z ∈ Z)

(x+ y) + z = x+ (y + z),

2. neutralni element za zbrajanje ∃0 ∈ Z (x ∈ Z), td.

x+ 0 = 0 + x,

3. suprotni broj (x ∈ Z) ∃ − x ∈ Z td.

x+ (−x) = (−x) + x = 0,

4. komutativnost zbrajanja (∀x, y ∈ Z)

x+ y = y + x,

5. asocijativnost mnozenja (∀x, y, z ∈ Z)

(x · y) · z = x · (y · z),

6. neutralni element za mnozenje ∃1 ∈ Z, (x ∈ Z), td.

x · 1 = 1 · x = x,

7. komutativnost mnozenja (∀x, y ∈ Z)

x · y = y · x,

5


8. distributivnost mnozenja prema zbrajanju (∀x, y ∈ Z)

(x+ y) · z = (x · z) + (y · z),

z · (x+ y) = (z · x) + (z · y).

(Z,+) je po definiciji (svojstva 1.- 4.) komutativna grupa, a (Z, ·) je komutativni monoid

zbog svojstva 5. - 7. Svojstva 1. - 8. znace da je (Z,+, ·) komutativni prsten.

Skup Q racionalnih brojeva cine brojevi oblika ab

gdje su a ∈ Z , b ∈ N.

Skup racionalnih brojeva nema ni najveceg ni najmanjeg elementa.

Propozicija 1.1 (gustoca skupa Q). Izmedu bilo koja dva razlicita racionalna broja a i b

postoji bar jedan racionalan broj razlicit od a i b.

Dokaz:

Neka su a = m/n i b = p/q (m, p ∈ Z, n, q ∈ N) i neka je a < b. Aritmeticka sredina brojeva a

i b je broj (a+ b)/2 = (mq+ np)/2nq sto je takoder racionalan broj i lako se vidi da je strogo

veci od a, a strogo manji od b. �

Iracionalni brojevi prvi put su primjeceni racunanjem omjera dijagonale kvadrata i njegove

stranice (√

2). Babilonski crtez kvadrata i njegovih dijagonala prikazuje pokusaj izracunavanja

dijagonale kvadrata. Rezultat racuna je broj koji preveden u nas brojevni sustav glasi:

1 ◦ 24′51′′100 = 1 + 24/60 + 51/60 + 10/60 = 1, 41421296296.

Slika 2. Babilonski crtez kvadrata i dijagonala

6


Definicija 1.4. Iracionalan broj je broj koji se ne moze napisati u obliku ab, gdje su a ∈ Z,

b ∈ N.

Propozicija 1.2.√

2 nije racionalan broj.

Dokaz:

Pretpostavimo da vrijedi suprotno, tj. da je√

2 racionalan broj. Tada bi mogli√

2 prikazati

kao razlomak ab

=√

2. Bez smanjenja opcenitosti neka je ab

takav da su a, b relativno prosti.

Tada je√

22

= 2, tj. 2 = a2

b2, pa slijedi 2b2 = a2. To znaci da je a2 paran broj pa je i a paran.

Zato je a2 djeljiv sa 4 pa iz a2 = 2b2 slijedi da je 2b2 djeljiv sa 4 pa je b2 paran, tj. i b je

paran broj. Dokazali smo da su a i b oba parni - kontradikcija pretpostavci da je razlomak ab

potpuno skracen. Znaci da takav racionalan broj ne postoji.

�

Ovaj se problem moze rijesiti tocno geometrijskom konstrukcijom, a racunskim putem

samo priblizno, jer rjesenje ovog problema je rjesenje jednadzbe x2 = 2.

Sve brojeve koji nisu racionalni zovemo iracionalnima i vrijedi R = Q ∪ I i Q ∩ I = ∅.

1.1. Polje realnih brojeva

Na skupu R s dvije binarne operacije; zbrajanje (u oznaci +) i mnozenje (u oznaci ·) i

linearnom relacijom “biti manji ili jednak“ (u oznaci ≤) vrijede ova svojstva:

1. asocijativnost zbrajanja (∀x, y, z ∈ R)

(x+ y) + z = x+ (y + z),

2. postoji jedinstveni element 0 ∈ R (neutralni element za zbrajanje) takav da je (∀x ∈ R)

x+ 0 = 0 + x,

3. za (∀x ∈ R) postoji jedinstven −x ∈ R inverzni element s obzirom na zbrajanje, tako

da je

x+ (−x) = (−x) + x = 0.

Broj −x se zove suprotni broj broju x.

4. komutativnost zbrajanja (∀x, y ∈ R)

x+ y = y + x,

7


5. asocijativnost mnozenja (∀x, y, z ∈ R)

(x · y) · z = x · (y · z),

6. komutativnost mnozenja (∀x, y ∈ R)

x · y = y · x,

7. postoji samo jedan element 1 ∈ R, neutralni element za mnozenje, takav da je 1 6= 0 i

da za svaki x ∈ R vrijedi

x · 1 = 1 · x = x,

8. za svaki x ∈ R i x 6= 0, postoji jedinstven element x−1 = 1x∈ R (inverzni element za

mnozenje) takav da je (∀x ∈ R)

x · x−1 = x−1 · x = 1,

9. mnozenje je distributivno prema zbrajanju (∀x, y, z ∈ R)

(x+ y) · z = x · z + y · z.

Kaze se da je R polje kad su na R definirane dvije operacije zbrajanja i mnozenja koje

imaju prethodnih devet navedenih svojstava. Relacija uredaja “≤“ ima ova svojstva:

10. za bilo koja dva elementa x i y skupa R vrijedi

x = y ili x ≤ y ili y ≤ x,

11. ako x ≤ y ∧ y ≤ x ako i samo ako je x = y,

12. ako je x ≤ y ∧ y ≤ z onda je x ≤ z,

13. relacija uredaja je u suglasnosti sa zbrajanjem tj. (∀z ∈ R)

(x ≤ y)⇒ (x+ y ≤ y + z),

14. relacija uredaja je u suglasnosti sa mnozenjem

(0 ≤ x ∧ 0 ≤ y)⇒ (0 ≤ xy).

R je uredeno polje, obzirom na navedenih cetrnaest svojstava skupa R (u odnosu na

operacije zbrajanja i mnozenja te relaciju uredaja). Nadalje, skup R ima sljedece dodatno

svojstvo:

8


Definicija 1.5. Kazemo da je skup S ⊆ R odozgo omeden ili ogranicen, ako postoji

realan broj M takav da je x ≤ M za svaki x ∈ S. Svaki broj M s navedenim svojstvom

nazivamo gornja meda ili majoranta skupa S. Ako skup S nije odozgo omeden kazemo

da je odozgo neomeden.

Definicija 1.6. Kazemo da je skup S ⊆ R odozdo omeden ili ogranicen, ako postoji

realan broj m takav da je x ≥ m za svaki x ∈ S. Svaki broj m s navedenim svojstvom

nazivamo donja meda ili minoranta skupa S. Ako skup S nije odozdo omeden kazemo

da je odozdo neomeden.

Definicija 1.7. Najmanju majorantu skupa S nazivamo supremum i oznacavamo sa sup

S. Ako je supS ∈ S, nazivamo ga maksimalnim elementom skupa S i oznacavamo s max

S.

Definicija 1.8. Najvecu minorantu skupa S nazivamo infimum i oznacavamo sa inf S.

Ako je infS ∈ S, nazivamo ga minimalnim elementom skupa S i oznacavamo s min S.

Nadalje, skup R ima sljedece dodatno svojstvo:

15. svaki odozgo ogranicen neprazan skup S ⊆ R ima supremum u R

Skup R je potpuno uredeno polje obzirom da zbrajanje, mnozenje i uredaj na R imaju

navedena svojstva (1. - 15.). Iz tih se svojstava mogu dokazati sva uobicajena svojstva i

pravila za racunanje s realnim brojevima.

Teorem 1.1. (G.Cantor) 5

Skup realnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz:

Ocito je dovoljno dokazati da je interval 〈0, 1〉 neprebrojiv.

Pretpostavimo suprotno. Neka je 〈0, 1〉 = {a0, a1, a2, a3, ...}, pri cemu je :

a1 = 0 · a11a12a13a14 · · ·

a2 = 0 · a21a22a23a24 · · ·

a3 = 0 · a31a32a33a34 · · ·

· · ·

Pretpostavljamo da je svaki realan broj ai dan u decimalnom zapisu koji ima beskonacno

mnogo decimala razlicitih od nule. Npr. umjesto 0.5 pisemo 0.49999...

5George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845. - 1918.) njemacki matematicar.

9


Za svaki k ∈ N definiramo

bk =

{akk + 1, ako je akk ∈ {0, 1, 2, ..., 7},

1, ako je akk ∈ {8, 9}.

Definiramo b = 0.b0b1b2b3.... Ocito je b ∈ 〈0, 1〉 (naglasimo da je b 6= 0 i b 6= 1).

Uocimo b 6= ak,∀k ∈ N (razlikuju se na k -tom decimalnom mjestu). Time je dobivena kontra-

dikcija.

�

Realnih brojeva ima neprebrojivo beskonacno tj. vise od prirodnih.

Jedno od osnovnih svojstava realnih brojeva je Arhimedov 6 aksiom za ciji dokaz nam je

potrebna sljedeca lema:

Lema 1.1. Neka je S ⊆ N (ili Z) neprazan skup.

(i) Ako je S odozgo omeden, onda ima maksimalni element max S;

(ii) Ako je S odozdo omeden, onda ima minimalni element min S.

Teorem 1.2. (Arhimedov aksiom)

Neka su a, b ∈ R, a > 0. Tada postoji jedinstveni cijeli broj k ∈ Z, takav da je

(k − 1)a ≤ b < ka.

Dokaz:

Kako Z nije odozgo omeden, onda je S = {n ∈ Z|b/a < n} ⊆ Z neprazan odozdo omeden

skup u Z. Tada zbog Leme 1.1. postoji minS = k, tj. (k − 1) ≤ b/a < k. Kako je a > 0

ove nejednakosti su ekvivalentne sa (k − 1)a ≤ b < ka. Jedinstvenost broja k ∈ Z slijedi iz

jedinstvenosti minimalnog elementa.

�

Teorem 1.3. Izmedu svaka dva realna broja postoji racionalan broj.

Dokaz:

Neka je a < b (a, b ∈ R). Uzmimo da je b > 0 i stavimo c = b − a. Buduci da je c > 0, to je1c> 0. Za realne brojeve 1 i 1

cpostoji prirodan broj n takav da je n · 1 > 1

c; dakle je c > 1

n. Za

realan broj 1n

po Teoremu 2.2. postoji prirodni broj k takav da je b ≤ k · 1n. Neka je K skup

svih prirodnih brojeva k takvih da je b ≤ k · 1n. Buduci da je K ⊆ N, u K postoji najmanji

broj h; dakle je b ≤ h · 1n, ali je (h− 1) · 1

n< b. Prema tome je

b >h− 1

n.

6Arhimed iz Sirakuze (oko 287.- 212. pr. Kr.) grcki fizicar, astronom i jedan od najvecih matematicarastarog vijeka.

10


Pretpostavka h−1n≤ a vodi na

b ≤ h

n=

(h− 1) + 1

n=h− 1

n+

1

n≤ a+

1

n,

a to se protivi uvjetu c = b− a > 1n. Prema tome je h−1

n> a; dakle je

a <h− 1

n< b,

pa je time tvrdnja dokazana.

�

Definicija 1.9. Algebarski brojevi su svi realni brojevi koji su rjesenja algebarske jednadzbe:

anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 = 0

gdje su a0, ..., an cjelobrojni koeficijenti.

Svi realni brojevi koji nisu algebarski zovu se transcedentni brojevi. Najpoznatiji transce-

dentni brojevi su π i e.

11


Poglavlje 2

Povijesni razvoj

2.1. Hippasus i pravilni peterokut (pentagon)

Slika 2.1.1. Hippasusovportret

Hippasus iz Metaponta (oko 470.g. pr. Kr.) pitagorejskifilozof. Pripisuje mu se otkrice da je

√2 iracionalan broj,

sto dokazuje postojanje iracionalnih brojeva u vrijemekada su pitagorejci vjerovali da cijeli brojevi i njihoviomjeri mogu opisati sve sto je geometrijsko. I ne samoto, oni vjeruju da ne postoji potreba za bilo kakvimdrugim brojevima. Otkrice iracionalnih brojeva bilo jesokantno za pitagorejce i pretpostavlja se da se Hippasusutopio na moru, navodno za kaznu od bogova radi togotkrica. Malo je poznato o zivotu Hippasusa. Zivio je ukasnom 5. stoljecu pr. Kr. Vecinu vremena proveo je uMetapontumu u Italiji koji se navodi kao njegov rodnigrad. Navodi se da je Hippasus bio osnivac pitagorejskesekte Acusmatici (istrazivali su istinu) kao suprotnostMathematici (pasivno su slusali i upijali znanje).

Postoji vise legendi o njegovoj smrti. Prema jednoj, zbog otkrica postojanja ”zabranje-

nih” nesrazmjernih velicina pitagorejci su ga izbacili iz broda te se utopio. Prema drugoj

legendi, to se dogodilo jer nije Pitagori pripisao otkrice dodekaedra, odnosno utopio se jer su

ga ”kaznili bogovi”. Prilicno sigurno jest da je Hipasus bio izopcen iz pitagorejske skole zbog

suprotstavljanja nekim idejama pitagorejaca te su mu jos za zivota izradili grob.

Kada u danasnje vrijeme definiramo realne brojeve kao elemente potpuno uredenog polja,

skloni smo zaboraviti velicinu intelektualne i filozofske krize prouzrocene otkricem da postoje

stvari izvan dohvata racionalnih brojeva. Uistinu, ako mozemo vjerovati legendama, otkrivac

je navukao gnjev bogova. Mislimo, naravno, na otkrice pripisano u 5. stoljecu prije Krista

pitagorejcu Hippasusu iz Metapontuma, koji kaze: postoje linijski segmenati ciji su omjeri

nemjerljivi. Receno je da je otkrice uzrokovalo veliki sok u pitagorejskim krugovima, jer je

dovelo u pitanje jedno od osnovnih nacela njihove filozofije: sve je bilo moguce izraziti u

12


pojmovima cijelih brojeva.

Kako bi razumjeli utjecaj te krize, moramo zapamtiti da pitagorejci nisu bili aktivni samo

kao vrlo utjecajna matematicka skola, prvi su se zalagali za tocnu matematicku znanost i

inzistirali su na strogom obrazovanju iz aritmetike, geometrije, astronomije i glazbe za svoje

clanove, vec su se uz sve to obvezali na uredan nacin zivota. Do ustanka 445. godine prije

Krista bili su dominantna sila u cijeloj juznoj Italiji. U cijelom tom metezu, pretpostavlja se

da je Hippasus odigrao vaznu ulogu.

Obrada omjera linijskih segmenata je proizasla iz uobicajenog prakticiranja mjerenja. Se-

gment pravca a tradicionalno se mjerio polaganjem uz liniju pridruzene mjere e, jedan za

drugim po liniji, onoliko puta koliko je bilo potrebno:

a = e+ · · ·+ e︸︷︷︸m

= m · e.

Za dva segmenta a0 i a1 kaze se da su srazmjerni, ako se oba mogu izmjeriti, u tom smislu,

istom mjernom jedinicom e, tako da je a0 = m · e i a1 = n · e gdje su m,n prirodni brojevi. U

tom slucaju je omjer a0 : a1 linijskih segmenata jednak omjeru m : n dva prirodna broja.

Metoda pronalazenja zajednickog djelitelja dva linijska segmenta a0, a1 bila je vec primje-

njivana prije grcke folozofije i znanosti, od strane obrtnika alternativnim procesom “oduzi-

manja“. Euklid 7 je opisao postupak u svojim Elementima koji se sada nazivaju Euklidski

algoritam. Manji segment a1 se oduzme od veceg segmenta a0 onoliko puta koliko je moguce,

dok ostatak nije manji od a1, tako da ako je a2 ostatak, onda

a1 = n1a1 + a2 gdjeje a2 < a1.

Nastavljamo na isti nacin:

a2 = n2a2 + a3 gdjeje a3 < a2,

a3 = n3a3 + a4 gdjeje a4 < a3,

...

Ako a0 i a1 imaju zajednickog djelitelja, proces dolazi do kraja nakon konacno broja koraka,

tako da postoji k takav da je ak−1 = nkak, a ak je najveci zajednicki djelitelj od a0 i a1.

U pocetku, vjerojatno po intuiciji mislilo se da ce postupak uvijek zavrsiti te da ce zbog

toga uvijek postojati zajednicki djelitelj. U modernom jeziku, medutim, sve sto taj postupak

pokazuje je da se svaki omjer linijskih segmenata moze prikazati kao verizni razlomak

7Euklid (330.- 275.) grcki matematicar.

13


a0 : a1 = n1 + a2 : a1

= n1 +1

a1 : a2= n1 +

1

n2 + a3 : a2

= n1 +1

n2 + 1a2:a3

= · · · = n1 +1

n2 + 1n3+···

koji je konacan kada su a0 i a1 proporcionalni. Oznaka ili simbol njihovog poretka koji su

koristili pitagorejci je pravilni peterokut, koji je zadrzao svoje magicno znacenje u srednjovje-

kovnoj astrologiji i prema legendi ga je koristio Faust 8 kako bi otjerao demona Memphisto-

phelesa 9. Postoji dobar razlog za vjerovanje da je Hippasus radeci s tim simbolom otkrio da

su dvije linije u tome nesrazmjerne.

Slika 3. Pravilni peterokut

Kako bismo to uocili, pocinjemo s pravilnim peterokutom ABCDE u kojemu je nacrtano

svih pet dijagonala. Presjek dijagonala tvori manji pravilni peterokut A’B’C’D’E’ u sredini.

Zbog simetrije, svaka stranica pravilnog peterokuta paralelna je s jednom dijagonalom. Tako,

8Johann Georg Faust (1466. ili o. 1480. - o. 1539.), njemacki renesansni pustolov, alkemicar i astrolog.9Mephistopheles je demon ili Vrag iz njemacke pucke mitologije. U knjizevnosti se prvi put pojavljuje

krajem 16. stoljeca u drami Christophera Marlowa Doktor Faust, u kojoj stari doktor Faust prodaje dusuMephisophelesu za dar bogastva i mladosti.

14


trokut AED i trokut BE’C imaju odgovarajuce stranice paralelne pa su stoga slicni, tako da

je AD : AE = BC : BE ′. Sada je BE ′ = BD −BC, a kako je BC = AE = DE ′, kako je EA

paralelna s DB, a DE je paralelna s AC. Stoga za svaki pravilni peterokut vrijedi

dijagonala : stranica = stranica : (dijagonala− stranica).

Ako oznacimo dijagonalu s a0, stranicu s a1 i njihovu razliku s a2 = a0− a1, tada a0 : a1 =

a1 : a2 ako je a2 < a1. Ako napravimo razliku a3 = a1 − a2, dobivamo istu jednadzbu izmedu

omjera a1 : a2 = a2 : a3, ako je a3 < a2. Proces ocito mozemo nastaviti u beskonacnost:

a2 = a0 − a1, a3 = a1 − a2, a4 = a2 − a3, · · ·

a0 : a1 = a1 : a2 = a2 : a3 = a3 : a4 = · · ·

Euklidov algoritam za a0 i a1, naime

a0 = 1 · a1 + a2

a1 = 1 · a2 + a3

a2 = 1 · a3 + a4

· · ·

nikad ne zavrsava, tako stranica a1 i dijagonala a0 peterokuta nisu proporcionalne. Za

omjer dobivamo razlomak

a0 : a1 = 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 11+...

Slijedi iz a0 : a1 = a1 : (a0 − a1) tako da je a0 : a1 = 12(1 +

√5) . Taj je omjer poznat kao

zlatni rez. Cinjenica da Euklidski algoritam nikad ne zavrsava pokazuje da svaki peterokut

unutar uvijek ima manji peterokut, tako da postoji beskonacno mnogo peterokuta, cije su

stranice duljine a1, a3, a5, . . . i dijagonale duljine a2, a4, a6, . . .

15


2.2. Eudoks i teorija proporcija

Slika 2.2.1. Eudoksovportret

Eudoks iz Knida (408. pr. Kr. - 355. pr. Kr.) grckimatematicar, astronom i naucnik, jedan od Platonovihucenika. Eudoks je proveo neko vrijeme u Tarentumuu juznoj Italiji gdje je studirao matematiku, studirao jetakoder medicinu i astronomiju. Osnovao je skolu u Ki-ziku na Mramornome moru. Predavao je s Platonom naAkademiji u Ateni. Proucavao je odnose izmedu velicinai duzina i uocio da mogu postojati dvije duzine bez za-jednicke mjere, tzv. nesumjerljive duzine. Stereometrijije dao znanstvenu osnovu. Dokazao je da je volumenpiramide, odn. stosca, jedna trecina volumena prizme,odn. valjka jednake baze i jednake visine. Od njegovihdjela sacuvani su samo fragmenti.

Radio je na proucavanju geometrijskih proporcija. Njegova tzv. metoda ekshaustije (iscrp-

ljivanja) predstavlja metodu izracuavanja povrsine nekog oblika tako sto se u njega ubacuje

niz poligona cije povrsine konvergiraju k povrsini cijelog oblika. Ako je niz pravilno napra-

vljen, razlika izmedu povrsine ubacenih i povrsine n-tog poligona te povrsine oblika ce postati

beznacajno mala kada n postane velik. Kako ta razlika postaje mala, tako su moguce vri-

jednosti povrsine sistematski “iscrpljene“ kroz manje povrsine ustanovljene visim clanovima

niza. Eudoksu se pripisuje glavni dio sadrzaja pete knjige Euklidovih Elemenata.

Babilonci su radili s racionalnim aproksimacijama i iracionalnim omjerima. Na primjer,

koristili su seksagezimalni brojevni sustav 10 i odgovarajuce razlomke 1;25 i 1;24, 51, 10 kao

aproksimaciju za√

2. Ali temeljno otkrice da je√

2, omjer dijagonale i stranice kvadrata, ira-

cionalan dugujemo grckim matematicarima. U X. Knjizi Euklidovih Elemenata pronalazimo

dokaz Propozicije 1.2. (√

2 nije racionalan broj ).

Medutim, iracionalnost od√

2 je sigurno bila poznata i prije Euklida. Prema Platonu11 iracionalnost odredenih kvadratnih korijena kao sto su

√3,√

5, . . . ,√

7 ranije je pokazao

Theodorus 12 iz Cyrene. U Platonovim Zakonima postoji odlomak u kojem atenski stranac

govori o sramotonom zanemarivanju opcenitosti Grka koji nisu svjesni da nisu sve geometrijske

velicine medusobno proporcionalne i dodaje da je kasno i on saznao istinu.

Odlucujuci cimbenik u brzom napretku grcke matematike bila je karakteristicna logika.

Oblik zakljucivanja poznat kao svodenje na nemoguce (reductio ad absurdum) postupkom se

na pocetku dokaza pretpostavlja suprotno od onoga sto se zeli dokazati, ako se na kraju dokaza

slijedom istinitih tvrdnji dode do kontradikcije, znaci da je pocetna pretpostavka neodrziva i

10Seksagezimalni sustav (prema latinskom sexagesimus: sezdeseti) Babilonci su koristili brojevni sustav sbazom 60 (seksagezimalni sustav), taj sustav je ostavio utjecaja sve do danas - koristimo ga za racunanjevremena i kuteva (vec su Babilonci dijelili dan na 24 sata, sate na 60 min, i minute na 60 sekundi).

11Platon (427. - 347.) grcki filozof, idealist.12Theodorus (465. - 398. pr. Kr.) grcki matematicar.

16


time je dokaz zavrsen, omogucuje im da daju prve dokaze nemogucnosti odredenih tvrdnji i

prvu preciznu tvrdnju o “beskonacnosti“. Kako je Hermann Weyl 13 napisao, matematika je

po prvi put, u rukama Grka, postala “znanost o beskonacnosti“.

To je bio brilijantan potez genija, Eudoks iz Knidosa, koje je stvorilo geometrijsku te-

oriju razmjera sposobnu nositi se s nesrazmjernim kao i s proporcionalnim velicinama. Ovu

se teoriju moze pronaci u Knjizi V, Euklidovih Elemenata. Eudoks polazi od (pozitivnih)

geometrijskih velicina iste vrste; na primjer, linijskih segmenata a, b, . . . ili povrsina A,B, . . . .

On pretpostavlja da se velicine iste vrste mogu zbrajati i presutno pretpostavlja da zbrajanje

ispunjava komutativne i asocijativne zakone. Velicine iste vrste su poredane: a < b ako i samo

ako postoji c takav da je a+ c = b. Pretpostavlja se kada je a 6= b, jedan od dva odnosa a < b

ili b < a mora vrijediti. Sastavni visekratnici definirani su ponavljanim dodavanjem, tako da

m · a = a + · · · + a sa m pribrojnika na desnoj strani. Pretpostavlja se aksiom poznat pod

nazivom Arhimedov aksiom. To znaci da za bilo koje a, b postoji prirodan broj n za koji je

a < n · b. Prema tome beskonacno male velicine su iskljucene.

Okosnicu ove teorije tvore omjeri izmedu geometrijskih velicina iste vrste, koje ne mo-

raju nuzno biti sumjerljive (poput omjera linijskih segmenata, povrsina i slicno). Kako bi

se omogucila medusobna usporedba takvih omjera, dano je sljedece ( Definicija 5 u Knjizi

V Euklidovih Elemenata u Heatovom prijevodu): “Kaze se da su velicine u istom odnosu,

prva prema drugoj kao treca prema cetvrtoj, ako su bilo koji visekratnici prve i trece u isto

vrijeme ili veci, ili manji, ili jednaki od bilo kojih visekratnika druge i cetvrte, svaki prema

svakom uzet u odgovarajucem poretku“. Izrazeno u modernom matematickom rjecniku, to

znaci: definiramo a : b = A : B kao ekvivalent izrazu “ n · a > m · b ako i samo ako nA > mB,

n · a = m · b ako i samo ako n · A = m · B i n · a < n · b ako i samo ako nA < nB“, gdje su

m,n bilo koja dva prirodna broja.

Mnogi od teorema u teoriji proporcija danas se mogu tumaciti kao aritmeticki zakoni koji

reguliraju racune s realnim brojevima. To uvijek treba imati na umu, medutim, Grci niti u

jednom trenutku nisu smatrali racionalne omjere, a kamo li iracionalne omjere, kao prosirenja

skupa prirodnih brojeva. Oni su ih vidjeli kao koncept sui generis (svoje/posebne vrste). Svrha

teorije proporcija su geometrijski rezultati, kao sto su na primjer tocna obrazlozenja brojnih

formula koje se odnose na povrsine i volumene. Geometrijski dokazi toga, koji u najvecem djelu

koriste reductio ad absurdum argumente (svodenje znacenja na apsurd), mogu nam se ciniti

dosadno dugacki i komplicirani. Ali sve do 19.stoljeca nisu bile razvijene elegantnije metode

koje su omogucile opravdano stroge kriterije koji su bili uobicajeni u grckoj matematici.

13Hermann Klaus Hugo Weyl (1885. - 1955.) njemacki matematicar, teorijski fizicar i filozof.

17


2.3. Iracionalni brojevi u modernoj matematici

Nakon geometrijske teorije o proporcijama kod Grka, sada se okrecemo aritmetickom a-

spektu koji postaje bitan za razvoj matematike u moderno doba. Njegova povijest se moze

pratiti natrag do prakticnog izracuna pribliznih vrijednosti, koji matematicari zainteresirani

za astronomiju i graditeljstvo upotrebljavaju od ranih vremena. Nakon Babilonaca, moramo

posebno zapamtiti Arhimeda 14, koji je u svom odredivanju opsega kruga uspio pokazati da

se π nalazi izmedu 317

i 31071

, i Ptolomeja, velikog astronoma iz antickog i srednjovjekovnog

doba, koji je izabrao seksagezimalni prikaz 3; 8, 30 kao srednju vrijednost izmedu 317

= 3; 8, 34

i 31071

= 3; 8, 27. Ovdje je upotrebljen proces ugnjezdenja intervala.

Dok su grcki matematicari pokazivali malo zanimanja za aritmeticke izracune, koji su

drzani u pozadini u usporedbi s geometrijskim konstrukcijama i dokazima propozicija logickim

zakljucivanjem, razvoj koncepta broja dobio je odlucujuci poticaj od indijsko-arapske algebre.

Prema tome, na primjer, arapski matematicar Abu Kamil 15 je bio u mogucnosti da radi s

izrazima koji ukljucuju kvadratni korijen, koristeci pravila, oblika, izmedu ostalog:

√p+√q =

√p+ q + 2 · √pq.

Pocinje raditi s novim izrazima ne shvacajuci da je to nova vrsta brojeva. Taj je pro-

ces dobio dodatni poticaj u 16. stoljecu otkricem formule za rjesenje kubne i bikvadratne

jednadzbe.

M. Stifel 16 je u svom djelu Arithmetica integra, (1544.) napisao “Kako beskonacni broj

nije broj, isto tako i iracionalni broj nije pravi broj, jer je takoreci skriven pod maglom

beskonacnosti“.

“Maglu beskonacnosti“ tocnije je definirao Simon Stevin 17, kao beskonacni slijed decima-

lnih razlomaka, predstavljajuci slijed ugnijezdenih intervala, koje je razvio, za na primjer, u

pronalazenju uzastopnih aproksimacija za rjesenje jednadzbe x3 = 300x+ 33900000. Napisao

je: “nastavljajuci ovako u nedogled, pristupamo beskonacno blize potrebnoj vrijednosti“.

U Descartesovoj 18 Geometriji, (1637.), operacije zbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijelje-

nja i korijenovanja linijskih segmenata definirane su na takav nacin da je rezultat operacije u

svakom slucaju opet linijski segment. Posto se umnozak dva linijska segmenta do tada uvijek

tumacio kao pravokutnik, Descartes upotrebljava umnozak kao cetvrtu proporcionalu (duzinu)

u Talesovu 19 poucku, kada se prvi presjek uzima u jedinici duzine, tako da je 1 prema b, kao

a prema a · b.14Arhimed iz Sirakuze (oko 287.- 212. pr. Kr.) grcki fizicar, astronom i jedan od najvecih matematicara

starog vijeka.15Abu Kamil Shuja (oko 850. - 930.) egipatski muslimanski matematicar tijekom islamskog zlatnog doba.16Michael Stifel (1487. - 1567.) njemacki redovnik. Bavio se aritmetikom i algebrom.17Simon Stevin (1548. - 1620.) belgijski inzenjer.18Rene Descartes (1597-1651.) francuski matematicar, fizicar i filozof.19Tales iz Mileta (oko 624. -547. pr Kr.) grcki matematicar, filozof, znanstvenik i inzenjer.

18


Slika 4. Talesov poucak

Razvoj koncepta broja dobio je novi poticaj kroz infinitezimalni racun u 17. i 18. sto-

ljecu. Ovdje je teorija nizova, pogotovo iz vremena Leibniza 20 i brace Bernoulli 21, otvorila

nove mogucnosti za prikaz brojeva. U knjizi Arithmetica infinitorum (1655.) matematicara

J.Wallisa 22 pronalazimo, na primjer, beskonacni umnozak π2

= 21· 23· 43· 45· 65· 67· · · ·

Prikazivanje brojeva u obliku beskonacnih suma i beskonacnih umnozaka nije definirano,

medutim, kao i obicno od strane Cauchyja i Weierstrassa 23 , prikazi su bili u obliku konve-

rgentnih redova, koristeci koncept limesa. Umjesto toga, suma poput

∞∑k=1

1

k(k + 1)

treba se razlikovati od 1 za “infinitezimalnu“ ili “infinitezimalno malu“ kolicinu. Euler je

1734. formulirao kriterij konvergencije redova na jeziku infinitezimala. Neovisno od “konacnih“

i “pravih“ (realnih) brojeva, koji su pronasli svoju primjenu kao vrijednosti u mjerenju, po-

javljuju se i “beskonacni“ i “savrseni“ (idealni) brojevi. U 19. stoljecu takvi pojmovi su bili

izbaceni iz matematike kao neprecizni i “psiholoski“ oblik izrazavanja te se smatrao suvisnim

nakon pojasnjenja koje je dano uvodenjem koncepta limesa. Samo s relativno nedavnim ne-

standardnim analizama beskonacno malih brojeva je ponovo vracen ugled, ponovo su dosli u

“modu“.

2.4. Formulacija preciznijih definicija u 19. stoljecu

Cauchy je u svom Cours d’analyse (1821.) formulirao konvergencijski kriterij, nazvan po

njemu, smatrajuci ga ociglednim zakonom aritmetike. Cjelovitost sustava realnih brojeva,

svojstvo koje Cauchy opisuje, vec je bila pretpostavljana prije njega. Tako je, na primjer,

Leibniz pretpostavio da neprekidna linija nacrtana na povrsini koja dijelom lezi u, a dijelom

izvan te povrsine mora presjecati rub te povrsine.

20Gottfried Wilhelm Leibniz (1646. - 1716.) njemacki matematicar.21Braca Jacob Bernouli (1654. - 1705.) i Johann Bernouli (1667. - 1748.) svicarski matematicari.22John Wallis (1616. - 1703.) engleski matematicar.23Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. -1897.) njemacki matematicar.

19


Godine 1817., Bolzano 24 je dokazao teorem srednje vrijednosti pod pretpostavkom Ca-

uchyjevog kriterija. Medutim, treba istaknuti da je taj kriterij imao na raspolaganju prije

Caucyja. Nedavno je otkriven Bolzanov rukopis koji sadrzi neobjavljenu skicu knjige pod

naslovom Teorija o kolicinama (Theory of Quantities) u kojoj je on pokusao bazirati teoriju

realnih brojeva na cvrstim temeljima koristeci nizove intervala.

Uz Weierstrassova razmatranja, temeljni sustav realnog broja je usao u osnovni mate-

maticki nastavni plan i program. Medutim, sve od toga sto je doslo do nas su neke bi-

ljeske pisane od strane njegovih ucenika koje je djelom kritizirao Weierstrass. Sredisnja za-

misao koncepta realnih brojeva koju je vizualizirao Weierstrass je izrazena u obliku nacela

ugnijezdivanja intervala. On ju takoder koristi za dokaz svog poznatog teorema granicne vrije-

dnosti (Limit-point Theorem). Sustavno definiranje realnih brojeva u terminima ugnijezdenog

intervala dao je Bachmann 25 1892.g.

Jos jednu metodu definiranja realnih brojeva je uveo Cantor u svojoj teoriji fundamentalnih

nizova 26. Neposredno prije, Meray je koristio (iako Cantor nije bio svjestan toga) pristup za

definiranje iracionalnih brojeva s pogledom na njih kao ”fiktivne” granice konvergentnih nizova

i vracajuci se na otkrica iz antike, nazivajuci ih “nombres incommensurables“.

Naposlijetku, Dedekind je u svojoj poznatoj knjizi Stetigkeit und irrationalzahlen (Ko-

ntinuitet i iracionalni brojevi) objavljenoj 1872.g preuzeo Eudoksuvu teoriju proporcija i pre-

dstavio je u moderniziranom obliku s primjerenom jasnocom. Dedekindova definicija izrazava

geometrijsku intuiciju kontinuuma, koja je tako duboko ukorijenjena jos iz antickog razdoblja.

Ta intuicija nam govori da su tocke pravca definirane s “raspolavljanjem pravca na dva djela“

(Dedekind), “zajednickom granicom izmedu dva dijela, koji zajedno cine cjelinu“ (Leibniz),

ili “ekstremitetima dva dijela koji se dodiruju“ (Aristotel). Pitanje da li su Eudoxus i Euklid

svojim teorijama proporcija zadovoljili definiranje iracionalnih brojeva, dovelo je do odredenih

kontroverzi vezanih uz rad koji je objavio Dedekind 1872. Stoga je Lipschitz 27 1876. pisao

Dedekindu: “Mogu samo reci da osobno smatram definiciju iz V. Knjige Euklidovih Elemenata

jednako zadovoljavajucu kao i tvoju. Iz tog razloga volio bih da su izostavljene, primjerice,

izjave da propozicije poput√

2 ·√

3 =√

6 nikada jos zapravo nisu dokazane“. Karakteristicno

u Lipschitzovoj opasci: “Ono sto ste spomenuli u odnosu na potpunost domene, zakljuceno

iz vasih nacela, samo se poklapa s osnovnim svojstvom pravca, bez kojeg nitko ne moze ni

zamisliti pravac“.

Dok Lipschitz izrazava stav podsjecajuci da su se matematicari proslog stoljeca cesto osla-

njali na intuitivno razumijevanje temelja svoje znanosti, Dedekind se nalazi na pocetku jedne

24Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781. -1848.) ceski matematicar i filozof talijanskog injemackog podrijetla.

25Paul Gustav Heinrich Bachmann (1837. - 1920.) njemacki matematicar.26fundamentalni niz je poznat po nazivu Cauchyjev niz, detaljnije je opisan u poglavlju 6 .27Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832. -1903.) njemacki matematicar.

20


ere najavljujuci novi metodicki pristup. On je zabrinut, kao sto su bili Cantor, Frege 28, Peano

i drugi, za formuliranje jasnih i preciznih koncepta na kojima se temelji matematika. Pa tako

Dedekind pise Lipschitzu s posebnim naglaskom na koncept cjelovitosti: “Ali Euklid u potpu-

nosti suti o tome, najvaznijoj tocki aritmetike, pa zato ja ne mogu podijeliti svoje misljenje

da se kompletna teorija iracionalnih brojeva nalazi u Euklidu“.

Koncept realnog broja postao je problematicno podrucje jos jednom u raspravi 1920.-ih

izmedu Hilberta 29 i Brouwera 30 o temeljima matematike, nakon sto je Russel izveo kontra-

dikcije iz tzv. ”naivne” teorije Cantora i Fregea i nakon sto je otkrio da cak ni nova aksioma-

tizirana inacica teorije skupova ne moze dokazati da je dosljedna i kao sto je Godel 31 pokazao,

po sebi nije sposobna da se dokaze dosljednom konacnim metodama. Unutar matematicke

logike ovakve okolnosti dovele su do zanimljive rasprave, koja se nastavlja do danasnjih dana,

s vise ogranicenih pojmova kao sto su, na primjer, izracunljivi brojevi i konstruktibilni realni

brojevi.

28Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848. - 1925.) njemacki matematicar koji je postao logicar i filozof.29David Hilbert (1862.- 1943.) njemacki matematicar.30Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881. - 1966.) nizozemski matematicar i filozof.31Kurt Friedrich Godel (1906. - 1978.) austrijsko-americki matematicar i logicar.

21


Poglavlje 3

Dedekindovi rezovi

Slika 3.0.1. Dedekindovportret

Richard Dedekind (1831.- 1916.) njemacki matematicar.Jedan je od najvecih matematicara devetnaestog sto-ljeca. Dedekindov otac je bio profesor na Collegium Ca-rolinum u Brunswicku. Njegova majka je bila kci pro-fesora koji je takoder radio na Collegium Carolinum.Richard je bio najmladi od cetvero djece i nikad se nijeozenio. Zivio je vecinu svog zivota s jednom od svojihsestara koja se takoder nije udavala. Pohadao je Colle-gium Carolinum 1848. prije premjestanja na Sveucilisteu Gottingenu u 1850. Napisao je disertaciju pod vo-dstvom Gaussa, te je doktorirao 1852.g. Godine 1858.pocinje predavati na Veleucilistu u Zurichu. Dok je pre-davao na Veleucilistu Dedekind je dosao na ideju po-znatu pod nazivom Dedekindov rez.

Dedekind je svestran i vrlo kreativan matematicar, a svoje radove objavljuje polako i pazljivo.

Dao je temeljne doprinose u teoriji brojeva, od kojih treba posebno istaknuti Dedekindov rez

u teoriji realnih brojeva. Suradivao je s G. Cantorom i s njim unapredivao teoriju skupova.

Nepotpunost polja Q racionalnih brojeva moze se popraviti tako sto se naprave rezovi u Q,

koji se na prirodan nacin mogu potpuno i linearno urediti. Zbrajanje i mnozenje su definirani

za ove nove objekte na takav nacin da tvore polje. Sveukupno ti rezovi posjeduju sljedeca

svojstva (R1)− (R3), koja se danas najcesce uzimaju kao skup aksioma za realne brojeve.

Za skup (K,+, ·,≤) s dva (unutarnja) sastava “ +“ i “·“ i linearnom relacijom “≤“ kazemo

da je skup realnih brojeva ako i samo ako su zadovoljeni sljedeci aksiomi:

(R1) (K,+, ·) je polje

(R2) ≤ je linearni poredak u K, kompatibilan s zbrajanjem i mnozenjem

(R3) Potpunost: bilo koji neprazan podskup M od skupa K, omeden odozdo, ima infimum u

K.

22


Za donju granicu s uredenog skupa M kazemo da je infimum od M (standardna skracenica

je infM), ako su sve donje granice od M ≤ s. Stoga infM je ocigledno najveca donja granica

od M .

3.1. Skup rezova RDedekindov rez je uredeni par (α, β) kojeg cine dva skupa, α ( “lijevi“ ili “donji“ skup) i

β (“desni“ ili “gornji“ skup), α, β ⊂ Q, zadovoljavajuci sljedece uvjete:

(D1) Svaki racionalni broj pripada jednom od dva skupa α, β.

(D2) Niti α ni β nisu prazni.

(D3) Svaki element iz α je manji od svakog elementa iz β.

(D4) β nema najmanji element (β nema minimum).

Svaki je rez jedinstveno odreden svojim lijevim i desnim skupom od kojih jedan odreduje

drugi. Mozemo ga, dakle, od sada identificirati s desnim skupom β, koji ima sljedeca svojstva:

(D’1) β i njegov komplementarni skup β = Q\β su neprazni.

(D’2) Ako je r ∈ β, s ∈ Q i r < s tada je s ∈ β.

(D’3) β nema najmanji element (minimum).

U nastavku cemo koristiti grcka slova α, β, . . . za oznacavanje desnog skupa i zvat cemo

Dedekindov rez realnim brojem. Skup svih Dedekindovih rezova oznacimo s R.

Svaki racionalni broj s definira rez: s := {r : r ∈ Q, s < r} koji je opisan kao racionalan.

Rez α je racionalan, ako i samo ako α ima najveci element (maksimum). Q je ugraden u Rpreslikavanjem Q→ R, s 7→ s.

Nisu svi rezovi racionalni. Na primjer√

2, koji je definiran s α = {r : r ∈ Q, r > 0, r2 > 2},nije racionalan. Lako je provjeriti da α zadovoljava prva dva aksioma reza. Da bi dokazali

treci, moramo pokazati da za svaki r ∈ α, postoji s ∈ α za koji vrijedi s < r. Za tu svrhu

odabiremo s := (2r+2)(r+2)

≥ 0.

Kako je r− s = r2−2r+2≥ 0 i r2 > 2 nejednakost r ≥ 0 povlaci s < r. Kako je s2−2 = 2(r2−2)

(r+2)2

i r2 > 2 slijedi s2 > 2. Rez α je iracionalan jer komplementarni skup α nema najveci element.

Za r ∈ α takav da je r ≥ 0 (r2 < 2) opet biramo s kao gore navedeno. Tada slijedi, s2 > 2,

gdje s ∈ α i r < s.

23


3.2. Relacija uredaja na RZa bilo koja dva desna skupa uredena relacija α < β je definirana postavljenom teorijskom

inkluzijom β ⊂ α. Refleksivnost, tranzitivnost i antisimetricnost za ovu relaciju se lako dokazu.

Uredaj je potpun. Za α 6= β, i recimo r ∈ α, te r /∈ β, tada r ∈ β, za svaki s ∈ β slijedi r < s,

pa stoga s ∈ α, ili drugim rijecima β ⊂ α. Uredaj je potpun u smislu aksioma (R3). Da bi to

pokazali, neka je A skup rezova omeden odozdo. Tada je β =⋃α∈A α rez. (Kako je A odozdo

omeden, postoji c ∈ Q koji c /∈ β). Drugi i treci aksiom za β se lako provjere iz cinjenice da

je β infimum od A.

Ako cemo jos jednom provesti konstrukciju Dedekindovog reza na R, ne dobivamo nista

novo. Svakom rezu a iz R odgovara γ ∈ R takav da a = {α ∈ R : γ < α}. Zapravo,

jednostavno uzmemo infimum γ =⋃α∈A α od a.

Ugradivanje Q u R je kompatibilno s relacijom uredaja. Racionalni brojevi su gusti u R:

za svaka dva reza (realna broja) α i β, postoji r ∈ Q takav da je α < r¯< β.

3.3. Zbrajanje u RZa bilo koja dva reza α i β iz R, sumu α + β definiramo s {r + s : r ∈ α, s ∈ β}. Tri

karakteristicna svojstva reza slijede za α + β iz odgovarajucih svojstava od α i β, pa tako

α + β ∈ R. Na podskupu Q od R zbroj se podudara s onim definiranim za uobicajeno

zbrajanje realnih brojeva. Sto se tice relacije uredaja, odmah je jasno da ako su α, β bilo koja

dva reza takva da α < β, onda je α + γ < β + γ za svaki γ iz R.

Teorem 3.1. Skup R je uredena komutativna grupa s obzirom na zbrajanje, s nulom (rezom)

kao neutralnim elementom.

Dokaz:

Asocijativnost, komutativnost i α + 0¯

= α slijede iz definicije zbrajanja. Inverzni rez reza

α ∈ R je definiran kao −α = {−r : r ∈ α, r 6= maxα}. (−maxα treba izuzeti kako bi

se osiguralo da je zadovoljen uvjet (D′3) ). Za dokaz da je α + (−α) = 0¯, inkluzija ⊂ se

jednostavno provjeri. Suprotno, pretpostavimo r ∈ 0¯

i prema tome r > 0; moramo dokazati

da r ∈ α + (−α). Kako se α i α proizvoljno priblizavaju jedno drugome, postoje s ∈ α i

t ∈ α takvi da je 0 < t − s < r. Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je s 6= max α,

−s ∈ −α, stoga t− s ∈ α + (−α) i zato r > t− s, moramo takoder imati r ∈ α + (−α).

�

3.4. Mnozenje u RU slucaju kada su oba reza α, β ≥ 0, umnozak je definiran na ocigledan nacin, odnosno s

α · β = {r · s : r ∈ α, s ∈ β}. Moze se provjeriti na rutinski nacin da α · β zadovoljava aksiome

24


(D′1) do (D′3) za rez; da je ovaj umnozak asocijativan i komutativan; da je 1¯

jedinicni element;

da distribucijski zakon vrijedi i da mnozenje cuva uredaj.

Poteskoce pocinju s postojanjem multiplikativnih inverza. Ako je α > 0 rez, definiramo

a−1 := {r−1 : r ∈ α, r > 0, r 6= max α}.

Da dokazemo da je α · a−1 = 1¯

preostaje nam pokazati da je 1¯⊂ α · a−1, sto je ocigledno.

Pretpostavimo da je r ∈ 1¯

i stoga r − 1 > 0. Pretpostavimo i q ∈ a−1. Prema Arhimedovom

principu za racionalne brojeve, postoji prirodan broj n za koji q < n · (r − 1). Koristimo

isti postupak koji smo koristili u dokazu da je α + (−α) = 0¯. Kako se α i α proizvoljno

priblizavaju jedno drugome, mogu se pronaci s ∈ α i t ∈ α takvi da je 0 < t − s < n−1, gdje

bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da je s 6= max α i q−1 < s. Tada je s−1 ∈ a−1,pa je t · s−1 ∈ α · a−1. Sada t · s−1 < (s + n−1)s−1 = 1 + n−1s−1 < 1 + n−1q < r pa je stoga

r ∈ α · a−1.Daljnja poteskoca se nalazi u cinjenici da gore navedena definicija, odnosno, α ·β = {r · s :

r ∈ α, s ∈ β} ima smisla samo kada su α ≥ 0 i β ≥ 0, jer inace ne dobivamo rez. Kako

bi mnozili i s negativnim rezovima, primjenjujemo postupak koji se vec koristi u definiranju

mnozenja cijelih brojeva. Prvo pokazimo da se svaki rez γ moze zapisati kao razlika dva

nenegativna reza α ≥ 0 i β ≥ 0, tj. γ = α− β tada umnozak rezova γ = α− β i γ′ = α′ − β′

gdje su α′, β′ takoder ≥ 0, mozemo definirati izrazom dobivenim iz mnozenja

γ · γ′ = (α− β) · (α′ · β′) := α · α′ + β · β′ − α · β′ − β · α′.

Jednostavno se provjeri da ovako definiran rez ovisi samo o γ i γ′, a ne o pojedinim

razlikama izabranih pojedinacnih predstavnika. Kada su γ i γ′ oba ≥ 0 nova definicija se

podudara sa starom. To je lako vidjeti s obzirom na zastupljenost γ = γ − 0 , γ′ = γ′ − 0.

Medutim, zamoran je i rutinski posao, dokazati da vrijede svi aksiomi reza. E. Landau je u

svom “Predgovoru za strucnjake“ napisao: “...ali nitko drugi nije preuzeo taj zadatak koji je

djelomicno dosadan“. U svom “Predgovoru za strucnjake“, s druge strane kaze: “Molim vas,

zaboravite sve sto ste naucili u skoli, jer to zapravo nikad niste naucili“.

Nesumnjivo je istina da kad smo krenuli obrazloziti sve operacije s brojevima koji su nam

poznati iz skolskih dana, moramo obratiti veliku paznju da koristimo samo ono sto je vec

dokazano, a ne samo pretpostavljati da su stvari istinite samo zato sto su sam toliko poznate.

25


Poglavlje 4

Ugnijezdenje intervala

4.1. Povijesne cinjenice

Ideja namjestanja intervala, jednog unutar drugog, u obliku tzv. gnijezda intervala, je stara

i nalazi se prije svega u primijenjenoj matematici u vezi s izracunavanjem pribliznih vrijednosti.

U babilonsko vrijeme, vec je pronaden razlomak u seksagezimalnom zapisu 1; 25 = 1 + 2560

i

1; 24, 51, 10 = 1+ 2460

+ 51602

+ 10603

kao aproksimacija√

2. Takvi razlomci se mogu dobiti sljedecim

opcim postupkom obuhvacanja√a u sve manji i manji interval, koji je primjenjiv za bilo koji

a > 1:

a >√a > 1,

x0 =1

2(a+ 1) >

√a >

a

x0,

x1 =1

2

(x0 +

a

x0

)>√a >

a

x1,

x2 =1

2

(x1 +

a

x1

)>√a >

a

x2.

U biti, kada je a = 2, dobivamo vrijednosti x0 = 32

= 1; 30, x1 = 12(32

+ 43) = 17

12= 1; 25 i

x2 = 12

+ (1712

+ 2417

) = 577408

= 1; 24, 51, 10. Medutim, glavni postupak nije izricito dan kao sto

je u tekstovima Babilonaca, tako da se oslanjamo na uvjerljivu pretpostavku. Ovaj postupak

se moze smatrati kao primjena tvrdnje da se geometrijska sredina nalazi izmedu harmonijske

i aritmeticke sredine: 2ab(a+b)

<√a · b < a+b

2, u konkretnom slucaju kada je b = 1. Ovo je vec

bilo poznato pitagorejcima kao sto pokazuje uzorak iz Archytas of Tarentum.

Odredivanje povrsine kruga koji lezi izmedu upisanih i opisanih poligona jos je jedan pri-

mjer ugnijezdenja intervala. Stevin je oko 1594.g. koristio tehniku racunanja decimalama i

definirao realni broj pomocu ugnijezdenja intervala. U 19. stoljecu ugnijezdeni intervali su

bili koristeni u dokazivanju osnovnih teorema analize. Pokusaj definiranja realnih brojeva

26


odredenim nizom intervala kako bi se dokazao Cauchyjev kriterij konvergencije seze do Bo-

llzana. Weierstrass koristi intervale ugnijezdenja kako bi dokazao svoj teorem o gomilistima

(prema kojem svaki beskonacan omedeni skup ima gomiliste). Konacno, Bachmann u svo-

jem djelu Vorlesungen uber die Theorie der Irrationalzahlen uvodi realne brojeve sustavnim

koristenjem ugnijezdenih intervala.

4.2. Ugnijezdeni intervali i potpunost

Uvodenje realnih brojeva pomocu ugnijezdenih intervala potaknuto je sljedecom situaci-

jom. Promatramo niz intervala I1, I2, . . . , In, . . . , na realnoj osi, od kojih je svaki sadrzan

unutar onoga koji mu prethodi, tako da duzina od In n-tog intervala povecavanjem tezi ka

nuli. (U konkretnom slucaju intervala duzina od In je 10−n, a zavrsne tocke od In su uza-

stopni visekratnici od 10−n) Zahtjevamo da u svakom takvom nizu ugnijezdenih intervala treba

postojati jedna jedina tocka na realnoj osi koja je sadrzana u svim intervalima niza:

Slika 5. Ugnijezdeni intervali

Racionalni niz ugnijezdenih intervala, ili skraceno racionalna mreza, je niz zatvorenih i-

ntervala In = [rn, sn] gdje su rn, sn ∈ Q takvi da je In ⊃ In+1 za svaki n i lim(sn− rn) = 0. Za

mrezu (Jn) kazemo da je finija od (In), ako je Jn ⊆ In za svaki n. Kazemo da su (In) i (In+1)

ekvivalentne ako postoji mreza (Jn) koja je finija od svake i kazemo da je (Jn) profinjenjenje

od (In) i (I ′n). To vrijedi, ako i samo ako je r′′n = max(rn, r′n) ≤ s′′n = min(sn, s

′n) jer je

I ′′n = [r′′n, s′′n] tada zajednicko profinjenje. Sada mozemo definirati realne brojeve kao klase

ekvivalencije mreza. Racionalni brojevi su ugradeni u te realne brojeve buduci da svaki r ∈ Qodgovara ekvivalentnom razredu koji sadrzi (konstantnu) mrezu (In) definiranu s In := [r, r]

za svaki n.

Primjer mreze ugnjezdenih intervala je ([en, e′n]) gdje je en := (1 + 1

n)n i e′n := (1 + 1

n)n+1.

Ova mreza definira realni broj e = 2.71828 . . . , koji je predstavio Euler, koji je od kljucne

vaznosti u analizama logaritamskih i eksponencijalnih funkcija.

27


U ovom trenutku zbrajanje, mmozenje i uredaj tih ekvivalentnih klasa mreza treba de-

finirati i aksiome (R1) - (R3). Medutim, necemo prihvatiti ovaj smjer, nego cemo umjesto

toga postaviti direktnu korespondenciju izmedu mreza i Dedekindovih rezova s jedne strane

te izmedu fundamentalnih nizova s druge strane.

Sukladno danoj mrezi ([rn, sn]) oblikujemo skupove α := {x :∈ Q i x ≤ sn za svaki n}i β′ := {y : y ∈ Q, i y > rn za svaki n}. Ako β′ sadrzi najmanji element, uklonimo ga i

oblikujemo skup β := β′ − {min β′}. Tada (α, β) imaju svojstva (D1) - (D4) Dedekindova

reza. Ako cemo profiniti mrezu, rez ostaje nepromijenjen. Obratno, Dedekindovu rezu (α, β)

odgovara mreza ([rn, sn]) gdje su rn ∈ α i sn ∈ β. Pocinjemo s bilo kojim r0 ∈ α, s0 ∈ β i

nastavljamo rekurzivno: nakon sto smo dobili rn, sn definiramo aritmeticku sredinu

dn = 12(rn + sn) te stavimo

[rn+1, sn+1] =

{[dn, sn], ako je, dn ∈ α,[rn, dn], ako je, dn ∈ β.

Sve mreze [rn, sn] sa rn ∈ α i sn ∈ β su ekvivalentne. Povezujemo (α, β) s klasom ekvi-

valencije. Dvije na taj nacin definirane korespondencije su inverzne jedna drugoj. Takoder,

shvacanja racionalnih brojeva kao klasa ekvivalencija mreza i kao Dedekindovih rezova su

medusobno odgovarajuca obzirom na danu korespodenciju.

Izravna relacija izmedu mreza i fundamentalnih nizova pociva na sljedecim cinjenicama:

(1) svaki omedeni, monotoni niz je fundamentalni niz,

(2) svakom racionalnom fundamentalnom nizu (an) odgovara monotono rastuci racionalni niz

(rn) i monotono padajuci racionalni niz (sn), takvi da su nizovi (rn−an) i (sn−an) nul-nizovi.

Sada, ako je [rn, sn] dana mreza ugnijezdenih intervala, (rn) i (sn) su fundamentalni nizovi i

(sn−rn) je nul-niz. Korespondencija ([rn, sn])→ (rn) dakle navodi dobro definirano preslikava-

nje klasa ekvivalencije racionalnih mreza ugnijezdenih intervala unutar Cantorovog polja F/N

konvergentnih nizova modulo nul-nizova. Odgovarajuci bilo kojem danom fundamentalnom

nizu (an) moze se odabrati monotono rastuci niz (rn) i monotono padajuci niz (sn) prema

cinjenici (2) i tada ce ([rn, sn]) postati mreza. Ako bi poceli od nekog drugog fundamenta-

lnog niza a′n umjesto od (an) tako da je a′n − an nul-niz i ako bi izabrali (r′n) i (s′n) prema

cinjenici (2), tada bi ocito ([rn, sn]) bilo ekvivalentno ([r′n, s′n]). Prema tome, imamo dobro

definirano preslikavanje fundamentalnih nizova modulo nul-nizova u skup klasa ekvivalencije

mreza ugnijezdenih intervala. Ovo preslikavanje je inverzno gore napisanom.

Prakticne prednosti ugnijezdenih intervala u odnosu na rezove fundamentalnih nizova su

sljedece. Ako je realni broj x opisan (In)-ovom pozicijom od x na x-osi fiksna je unutar

definiranih granica svakog In. S druge strane, s fundamentalnim nizom (rn), poznavanje

jednog rn i dalje nam ne govori nista o poziciji od x. Ponovo, opis x kao reza (α, β) moze

slijediti iz definicije skupa α putem tvrdnji koje ne govore nista direktno o poziciji x. Teoretski

28


nedostatak uporabe pristupa ugnijezdenih intervala jeste u predstavljanju uredaja “≤“ izmedu

klasa ekvivalencije ugnijezdenih intervala i provjere svojstava polja za zbrajanje i mnozenje u

odredenim situacijama.

29


Poglavlje 5

Aksiomatska definicija realnih brojeva

Dok su se aksiomatske metode u pocetku koristile samo u geometriji, sve do relativno

nedavnog objavljivanja Hilbertove Fundamentalne geometrije, nisu se koristile za realne bro-

jeve. Aksiomatski postupak koji slijedi ipak se nece temeljiti na aksiomatskom sustavu koji je

predlozio Hilbert, nego na aksiomima (R1) - (R3).

5.1. Prirodni brojevi, cijeli brojevi i racionalni brojevi

u polju realnih brojeva

Neka je K potpuno uredeno polje, ili drugim rijecima neka K zadovoljava aksiome (R1) i

(R2) iz poglavlja 3. Reci cemo da je poskup M ⊂ K induktivan, ako je 0 ∈M i x+1 ∈M kad

god je x ∈M . Na primjer, K i podskup K+ = {x : x ∈ K, x ≥ 0} su oba induktivni. Presjek

N svih induktivnih K podskupova je najmanji induktivni podskup od K. On ispunjava,

funkcijom sljedbenika S(x) := x+ 1 aksiome (S1) - (S3) za prirodne brojeve. Prema teoremu

jedinstvenosti skup N ⊂ K moze se dakle nedvosmisleno identificirati sa N.

Neka je Z ⊂ K najmanji potprsten koji sadrzi 1. Potpunom indukcijom slijedi da je

N ⊂ Z. Prema tome Z, kao najmanji prsten koji sadrzi N, na jedinstven nacin je izomorfan

sa Z.

Neka je Q ⊂ K najmanje potpolje. Ono sadrzi najmanji potprsten Z i time je Q na

jedinstven nacin izomorfan sa Q.

Uredeno polje K zadovoljava Arhimedov aksiom (tj. za bilo koja dva elementa a, b > 0 iz

K, uvijek se moze pronaci n ∈ N takav da je na > b) ako i samo ako je Q gust u K, to jest,

izmedu bilo koja dva elementa x < y u K, postoji r ∈ Q takav da je x < r < y.

Ova propozicija je vec dokazana u jednom smjeru. Obrnuto, ako je a = 1 i b = (y − x)−1,

postoji n ∈ N takav da je (y − x)−1 < n. Povrh toga, sada mozemo pronaci m ∈ Z, takav

da je mn≤ x < m+1

ni tada je x < m+1

n< x + 1

n< y, posljednja nejednakost posljedica je

(y − x)−1 < n.

30


5.2. Teorem potpunosti

Svaka od tri razlicite metode konstrukcije realnih brojeva, rezovima, fundamentalnim ni-

zovima i ugnijezdenim intervalima temelji se na razlicitim formuliranjem ideja o cjelovitosti.

Sada cemo pokazati da je svaka ekvivalentna aksiomu potpunosti (R3) iz 3.

Neka je K potpuno uredeno polje tj. pretpostavimo da su aksiomi (R1) i (R2) zadovoljeni

u K. Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne.

(a) Svaki podskup od K koji je odozdo omeden ima infimum (najvecu donju granicu).

(a’) Svaki poskup od K koji je odozgo omeden ima supremum (najmanju gornju granicu).

(b) Ako je (α, β) rez u K (tj.ako su zadovoljeni aksiomi (D1) - (D4) iz 3. kada su uzeti

elementi iz K umjesto racionalnih brojeva), onda α sadrzi najveci element.

(c) Svaki monotono padajuci niz α, omeden odozdo, konvergira u K.

(c’) Svaki monotono rastuci niz α, omeden odozgo, konvergira u K.

(d) K ima Arhimedski uredaj i svaki fundamentalni niz (Cauchyjev niz) elementa u K ko-

nvergira u K.

(e) Polje K ima Arhimedski uredaj i za svaki niz ugnijezdenih intervala I0 ⊃ I1 ⊃ · · · ⊃ In . . .

u K, za koje duzina od In konvergira prema nuli sa povecanjem n, postoji samo jedan s

koji lezi u svim intervalima In.

(a) i (a′) su ocito ekvivalentni: ako i samo ako je M odozdo omeden, −M = {−x : x ∈M}je odozgo omeden i vrijedi −M = sup(−M). Slicno, (c) i (c′) su ekvivalntni. Potpuna

ekvivalencija svih tvrdnji uslijedit ce iz implikacija (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (a) koje

dokazujemo u nastavku.

(a) ⇒ (b): Skup β je odozdo omeden, svaki a ∈ α je donja granica. Prema (a), β ima

infimum. Kako β nema minimum, inf β ∈ α. Kako a < b vrijedi za sve a ∈ α i b ∈ β, imamo

a ≤ inf β za svaki a ∈ α za koji je inf β maksimum od α.

(b) ⇒ (c): Neka je (bn) monotono padajuci niz, omeden odozdo. Mozemo definirati rez

(α, β) sa α = {x : x ≤ bn za svaki n} i β = {y :postoji n takav da je bn < y}. Prema (b) skup

α ima maksimum s. Sada mozemo pokazati da (bn) konvergira u s. Kako bismo ovo dokazali

pretpostavimo da je dan ε > 0, tada postoji indeks k takav da je bk < s + ε jer ako bi s + ε

bilo ≤ bn za svaki k trebali bismo imati s + ε ∈ α, u kontradikciji s s = maxα. Kako je (bn)

monotono padajuci niz, bm ≤ bn za svaki m ≥ k, a kako je s ≤ bm za svaki m, stoga imamo

s ≤ bm ≤ bk < s+ ε za svaki m ≥ k.

31


(c) ⇒ (d): Arhimedsko svojstvo uredaja na K moze se dokazati na sljedeci nacin. Neka

su a, b > 0 i pretpostavimo da je na ≤ b za svaki n ∈ N. Tada bi (na) bio monotono rastuci

niz omeden odozgo, koji prema (c) konvergira prema nekom s. Tada bi takoder postojao k

takav da je s− a < na < s za svaki n ≥ k. Medutim, izmedu s− a i s ima mjesta jedino jos

za jedan clan na od niza (na).

Kako bismo dokazali da svaki fundamentalni niz konvergira, potrebne su nam dvije leme.

Lema (1) Svaki niz (an) ima monotoni podniz.

Lema (2) Svaki fundamentalni niz je omeden.

Na trenutak cemo odgoditi dokazivanje Lema (1) i (2), te cemo prvo pokazati da svaki

fundamentalni niz (an) konvergira. Neka je (an) monotoni podniz. Omeden je i time s =

limn→∞ an postoji. Tvrdimo da s = limn→∞ an; za svaki dani ε > 0, mozemo izabrati indeks

k takav da |am − an| < 12

za svaki m,n ≥ k, te postoji j takav da nj ≥ k i |anj− s| < 1

2ε.

Tada slijedi da je |an − anj|+ |anj

− s| < ε za svaki n ≥ k.

Dokaz Leme (1): Reci cemo da niz (an) ima maksimum ak za indeks k, ako je ak ≥ an za

svaki n ≥ k. Ako postoji beskonacno monogo maksimuma, onda oni cine monotoni nerastuci

niz. Ako nema maksimuma ili ih ima konacno mnogo, postoji posljednji indeks k nakon kojeg

nema maksimuma. Podniz pocinjemo s n0 = k+1. Kako an0 nije maksimum, postoji n1 > n0,

za koji je an1 > an0 . Kako an1 nije maksimum, postoji n2 > n1, takav da je an2 > an2 i tako

dalje. Time smo rekurzijom pronasli monotono rastuci podniz (anj).

�

Dokaz Leme (2): Neka je (an) fundamentalni niz. Postoji indeks k takav da je |am−an| <1 za sve m,n ≥ k. Posebno zbog toga se svi pojmovi podniza an za n ≥ k nalaze unutar

omedenog intervala (ak − 1, ak + 1). Konacno mnogo pocetnih uvjeta a0, . . . , ak−1 niza ocito

cine omeden skup, a time je skup svih uvjeta an ∈ N takoder omeden.

�

(d) ⇒ (e): Neka je ([an, bn]) niz ugnijezdenih intervala. Tada je (an) fundamentalni niz,

jer za svaki k i za sve m,n ≥ k, am, an leze u [ak, bk], i time je |am − an| < bk − ak. Kako je

lim(bn − an) = 0, mozemo zbog toga osigurati da je |am − an| < ε odabirom dovoljno velikog

k. Po (d) s = lim an postoji. Posto (an) monotono raste, an ≤ s za svaki n. Kako je ak ≤ bn

za svaki k i n, takoder imamo s ≤ bn za svaki n, i time je s ∈ [an, bn] za svaki n. Posto bn− anpostaje proizvoljno malo kako se n povecava, s je jednoznacno odreden.

(e) ⇒ (a): Neka je M neprazan podskup od K, omeden odozdo. Mozemo konstruirati niz

ugnijezdenih intervala ([an, bn]), u kojemu su svi an donje granice od M , dok niti jedan bn nije

32


donja granica od M . Pocinjemo s bilo kojom donjom granicom a0 i b0 koji nije donja granica.

Zatim nastavljamo rekurzivno: nakon sto smo vec definirali [an, bn], formiramo aritmeticku

sredinu dn = 12(an + bn) i definiramo

[an+1, bn+1] =

{[dn, bn], ako je, dn donja granica,

[an, dn], ako je, dn nije gornja granica.

Onda je bn+1 − an+1 = 12(bn − an) tako da je bn − an = 2−n(b0 − a0). Kako je uredaj

arhimedski, lim(bn−an) = 0. Prema (e) postoji samo jedan s koji se nalazi u svim intervalima

[an, bn]. Sada c je donja granica od M , jer inace bi postojao neki x ∈ M gdje je x < c, a

kako je svaki an ≤ x trebali bi imati bn − an ≥ c − an ≥ c − x sto ce biti kontradikcija s

lim(bn − an) = 0. Taj c je najveca donja granica, jer ako bi b > c bio donja granica, trebali bi

imati bn > b i bn > b i bn − an > b− an > b− c u kontradikciji s lim(bn − an) = 0.

�

Popis (a) - (e) ekvivalentnih tvrdnji nikako ne iscrpljuje sve moguce formulacije. Moze

se takoder spomenuti, na primjer, cinjenica da svaki omedeni beskonacni podskup sadrzi go-

miliste.

Postoje potpuno uredena polja u kojima svaki fundamentalni niz konvergira, ali u kojemu

uredaj nije arhimedski. Prema H. Cartanu 32: uredena grupa je arhimedska, ako i samo ako

je izomorfna aditivnoj podgrupi grupe realnih brojeva. Ne mora se ni pretpostavljati da je

grupa komutativna, to slijedi iz druge hipoteze.

5.3. Postojanje i jedinstvenost realnih brojeva

Sada cemo pokazati da sustav aksioma (R1) - (R3) jednoznacno karakterizira realne bro-

jeve. Neka je F/N Cantorovo polje fundamentalnih nizova modulo nul-nizovi.

Teorem 5.1. Za svako uredeno polje K koje zadovoljava aksiome (R1) - (R3) postoji jedi-

nstveni izomorfizam ϕ : K → F/N .

Dokaz:

Preslikavanje ϕ : K → F/N definira se na sljedeci nacin. Neka je x element od K, kako

je Q gust u K, postoji racionalni fundamentalni niz (xn) takav da je limxn = x. Stavimo

ϕ(x) = (xn) + N . Ova definicija ne ovisi o izboru (xn), jer za bilo koji drugi izbor, recimo

(x′n), razlika x′n−xn formira nul-niz. Kako je limes kompatibilan sa zbrajanjem i mnozenjem,

ϕ je homomorfizam. Ocito ϕ preslikava racionalne brojeve na same sebe, a posebno ϕ nije

32Henri Paul Cartan (1904. - 2008.) francuski matematicar.

33


nul-homomorfizam, dok njegova jezgra mora biti nul-ideal, drugim rijecima ϕ je injektivna.

Do sada smo koristili cinjenicu da je K arhimedsko. Iz pretpostavke da je svaki (racionalni)

fundamentalni niz u K konvergentan, slijedi da je ϕ takoder surjektivno i time izomorfizam.

Jedinstvenost od ϕ je posljedica sljedeceg rezultata, koji je takoder interesantan sam za

sebe.

Polje realnih brojeva nema drugog automorfizma osim identitete.

Pod “poljem realnih brojeva“ ovdje mislimo na bilo koje polje K koje zadovoljava aksiome

(R1) - (R3). Da bi to dokazali krecemo od cinjenice da K mora sadrzavati polje racionalnih

brojeva Q. Svaki automorfizam σ od K je identiteta na Q, posto je σ(0) = 0 i σ(1) = 1 pa

intuitivno slijedi σ|N = idN. Kako se svaki element od Q moze izraziti u obliku (a− b)/c gdje

su a, b, c ∈ N, slijedi σ|Q = idQ.

Relacija uredaja u K se moze definirati na temelju same strukture polja. Imamo x ≥ y,

ako i samo ako postoji z ∈ K takav da je z2 = x − y. Slijedi da svaki automorfizam σ cuva

uredaj. Ako sada neki niz (xυ) konvergira prema x u K, slika niza (σ(xυ)) mora konvergirati

prema σ(x), ili drugim rijecima σ je neprekidno. Kako je Q gust u K, za svaki x ∈ K postoji

niz u Q koji konvergira prema x. σ takav niz preslikava na samog sebe. Smatrmo da slika

niza konvergira prema σ(x). Buduci da je limes jedinstven definiran, σ(x) = x.

�

34


Poglavlje 6

Fundamentalni niz

6.1. Povijesne znamenitosti

Definicija realnih brojeva pomocu fundamentalnih nizova, koje sezu do Cantora i Meraya,

koristi ideju da je svaki pravi realni broj limes niza racionalnih brojeva, u kojima razlike izmedu

uzastopnih pojmova postaju proizvoljno male. Takav je niz poznat kao “fundamentalni niz“

te je prikazan u nastavku; sljedeci izrazi r1, r2, . . . predstavljaju potklase.

Slika 6. Prikaz fundamentalnog niza

Cantorov doprinos teoriji iracionalnih brojeva oblikuje dio vece teorije, Temelji opce te-

orije razdjelnika, izdane 1883., u kojoj on razvija novu teoriju skupova. Kao dodatak vla-

stitoj definiciji, Cantor takoder spominje pristup preuzet od Weierstrassa i rad Dedekinda.

U Cantorovom pogledu logicne jasnoce Dedekindova definicija se mora suprostaviti “velikom

nedostataku“ da se brojevi u analizi nikad ne predstavljaju u obliku “rezova“ i zbog toga se

moraju prije svega dovesti u taj oblik razradenih vjestina. S druge strane, Cantor ne ostavlja

mjesta sumnji da svoj oblik definicije smatra “najjednostavnijim i najprirodnijim od svih“.

Spominje se da povijesnom razvoju ovog pristupa doprinose njegovo djelo objavljeno 1871. i

Lipschitzova knjiga.

Za razliku od upotrebe u definiciji realnih brojeva, Cantorova konstrukcija s fundamenta-

lnim redoslijedom pokazala se najplodnijom, buduci da se takoder moze upotrijebiti za ko-

nstrukciju metrickih prostora. U tom smislu, treba se sloziti s Cantorom kada tvrdi, govoreci

da ova konstrukcija: “Ima prednost u tome da se najizravnije analitickom racunu prilagodava“.

U nastavku pretpostavljamo osnovne cinjenice o nizovima.

35


6.2. Cauchyjev kriterij konvergencije

Slika 6.2.1. Cauchyjevportret

Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) francuski ma-tematicar koji se bavio matematickom analizom, ko-mpleksnim funkcijama, diferencijalnim jednadzbama,hidrodinamikom i nebeskom mehanikom. Cauchy je biosin Louisa Francoisa Cauchya i Marie-Madeleine Dese-stre. Cauchy je imao dva brata, Alexandra LaurentaCauchya, koji je postao predsjednik djela zalbenog sudai Eugena Francoisa Cauchya, publicist, koji je takodernapisao nekoliko matematickih djela. Nakon zavrsetkaskolovanja 1810.g., Cauchy je prihvatio posao kao mladiinzenjer u Cherbourgu, gdje Napoleon namjerava izgra-diti pomorsku bazu. U rujnu 1812. u dobi 23 godine,nakon sto je obolio od premorenosti, Cauchy se vraca uPariz. Jos jedan od razloga za njegov povratak u glavnigrad je bio gubitak zanimanja za inzenjerski posao, svevise i vise ga privlace apstraktne ljepote matematike.

Bio je profesor matematike i astronomije u Parizu. Smatra se osnivacem teorije funkcija jedne

kompleksne varijable. Razvio je teoriju valova u optici, radio je na teoriji elasticnosti. Napisao

je mnoga djela iz razlicitih podrucja matematike, no posebno je poznat po sklonosti ”zagu-

bljivanju” radova drugih matematicara i kasnijem objavljivanju njihovih rezultata pod svojim

imenom. Ipak, njegova vlastita zasluga je postavljanje novih mjerila za strogost matematickog

dokaza i postavljanje opceprihvacenih temelja matematicke analize dosljednim koristenjem te-

orije nejednakosti.

Prema Cantorovoj osnovnoj ideji, realni brojevi se mogu opisati konvergentnim raciona-

lnim nizom. Dva racionalna niza (rn) i (sn) imaju isti limes, onda i samo onda ako niz njihovih

razlika (rn − sn) konvergira prema nuli. Stoga je prirodno definirati realne brojeve kao klasu

ekvivalencije konvergentnih racionalnih nizova; dva niza su ekvivalentna kada niz njihove ra-

zlike konvergira prema nuli. Da bi ova definicija bila smislena, konvergencija niza mora biti

obiljezena bez koristenja svojih limesa. To se moze postici pomocu Cauchyjevog kriterija, koji

ce se koristiti za definiranje promatranih nizova.

Za niz (rn) racionalnih brojeva kazemo da je fundamentalni niz ili Cauchyjev niz, ako za

svaki racionalni ε > 0 postoji k, takav da je |rm − rn| < ε za sve m,n ≥ k. Za racionalni

niz (rn) kazemo da je racionalno konvergentan, ako postoji racionalni broj r takav da za svaki

ε > 0 postoji k, gdje je |rn − r| < ε za svaki n ≥ k. U tom slucaju r je jedinstveno definiran i

pisemo r = lim rn. Svaki racionalno konvergentni niz je fundamentalni niz.

S druge strane, postoje fundamentalni nizovi koji ne konvergiraju racionalno. Svaki nepe-

riodicni decimalni razlomak daje takav primjer, na primjer, za√

2, gdje

36


r0 = 1; r1 = 1.4; r2 = 1.41; r3 = 1.414; r4 = 1.4142; . . .

.

6.3. Prsten fundamentalnih nizova

Skup F svih fundamentalnih nizova postaje prsten kada se zbrajanje i mnozenje definiraju

po komponentama

(rn) + (sn) := (rn + sn),

(rn) · (sn) := (rn · sn).

Provjerimo, da su zbroj i umnozak takoder fundamentalni nizovi. Za svaki ε > 0, mozemo

izabrati dovoljno veliki k da bi osigurali da |rm−rn| < 12ε i |sm−sn| < 1

2ε za bilo koje m,n ≥ k.

Tada je |rm + sm − rn − sn| ≤ |rm − rn| + |sm − sn| < ε. U slucaju umnoska prvo koristimo

cinjenicu da su fundamentalni nizovi omedeni tako da postoji c ≥ 1, takav da je |rn|, |sn| ≤ c.

Za bilo koji ε > 0, biramo k dovoljno velik da osiguramo |rm − rn|, |sm − sn| < 12· εc

za svaki

m,n ≥ k. Tada je

|rmsm − rnsn| = |rm(sm − sn) + sn(rm − rn)|

≤ |rm||sm − sn|+ |sn||rm − rn| < c1

2

ε

c+ c

1

2

ε

c= ε.

Q moze biti ulozen u F kao potprsten identificiranjem svakog r ∈ Q s konstantnim nizom

(r, r, r, . . . ).

6.4. Polje klasa ostataka F/N fundamentalnih nizova mo-

dulo nul-nizovi

Za racionalni niz (rn) kazemo da je nul-niz kada lim rn = 0. Skup N nul-nizova je ideal u

F , ili drugim rijecima,

(1) ako su (rn) i (sn) nul-nizovi, tada je (rn + sn) nul-niz

(2) ako je (rn) nul-niz, a (sn) bilo koji fundamentalni niz, tada je (rn · sn) nul-niz.

Za dva fundamentalna niza kazemo da su ekvivalentni ako je njihova razlika nul-niz. Klasa

ekvivalencija predstavljena s (rn) je (rn) + N := {(rn + hn) : (hn) ∈ N}. Ona se zove polje

klasa ostataka rn modulo N . Kako je N ideal, polja klasa ostataka se mogu zbrajati i mnoziti:

((rn) +N) + ((sn) +N) = (rn + sn) +N i ((rn) +N) · ((sn) +N) = (rn · sn) +N. Skup F/N

polja klasa ostataka na ovaj nacin tvori komutativni prsten s jedinicnim elementom takoder

sadrzi Q kao podskup, gdje smo identificirali svaki racionalni r s pripadajucom F/N klasom

konstantnih nizova modulo N .

37


Teorem 6.1. Klase ostataka fundamentalnih nizova modulo nul-nizovi tvore polje F/N .

Dokaz:

Za svaki (rn) +N sa (rn) /∈ N moramo biti u stanju definirati klasu koja je njegov multiplika-

tivni inverz. Ociti kandidat je ( 1rn

)+N . Medutim, za to moramo imati rn /∈ 0. No, mozemo to

pretpostaviti. Kako je (rn) /∈ N , samo konacan broj clanova niza rn je jednak nuli. Zamjenimo

ih s 1, sto ne mijenja klasu (rn) + N . Sada moramo pokazati da je ( 1rn

) fundamentalni niz:

kako je (rn) /∈ N i svi rn razliciti od nula, postoji δ > 0 takav da je |rn| > δ za svaki n. Za

bilo koji ε > 0 biramo k dovoljno velik da osiguramo |rm − rn| < δ2 za svake m,n ≥ k. Tada

je ∣∣∣∣ 1

rm− 1

rn

∣∣∣∣ =|rm − rn||rmrn|

<δ2ε

δδ= ε

Slijedeci Cantora sada definiramo polje realnih brojeva s R := F/N . �

6.5. Potpuna uredenost polja klasa ostataka F/N

Za racionalan niz (rn) kazemo da je pozitivan ako postoji racionalan ε > 0 takav da je

rn > ε za skoro svaki (tj., za svaki osim konacnog broja) n. Neka je P skup pozitivnih

fundamentalnih nizova. Ocito P +N ⊂ P, P +P ⊂ P i P ·P ⊂ P . Skup svih fundamentalnih

nizova F se moze izraziti kao unija disjunktnih podskupova F = −P ∪N ∪P . Mozemo stoga

zadrzati dobro definiran potpun uredaj na F/N definiranjem

(rn) +N ≥ (sn) +N ako i samo ako je (rn − sn) ∈ P ∪N.Zbroj i umnozak pozitivnih elemenata u F/N su opet pozitivni. Na podskupu Q ⊂ F/N ,

uredaj se podudara s uobicajenim uredajem racionalnih brojeva.

Iz definicije pozitivnih racionalnih fundamentalnih nizova slijedi da za svaki ρ ∈ F/N je

ρ > 0, postoji r ∈ Q, gdje 0 < r < ρ. Prema definiciji konvergencije u F/N , nema razlike

da li su dozvoljeni svi pozitivni ε ∈ F/N , ili samo oni koji pripadaju Q. Takoder je istina da

za svaki σ ∈ F/N postoji s ∈ Q, gdje je s ≥ σ . (To je trivijalno za σ < 0 i ako se nemoze

izabrati r ∈ Q takav da je 0 < r ≤ σ−1 i uzmemo s = r−1.)

Uredaj u F/N je arhimedski, jer ako su α, β oba pozitivni i pripadaju F/N , moze se

pronaci prirodni broj n takav da je nα > β na sljedeci nacin. Izaberemo a, b ∈ Q, takve da je

0 < a < α i β < b.

Kako je Q arhimedski ureden, postoji n takav da na > b pa je stoga nα ≥ na > b ≥ β.

Polje F/N je konstruirano tako da

(1) svaki ρ ∈ F/N je limes racionalnog niza (rn) i

(2) niz u F/N je konvergentan.

Mozemo (2) poboljsati sljedecim teoremom:

38


Bibliografija

[1] B. Artmann, Euclid, The Creation of Mathematics , Springer Verlang, New York, 1999.

[2] N. Bourbaki, The History of Mathematics, The Open University, London, 1987.

[3] N. Bourbaki, Elements of the History of Mathematics, Springer Verlang, Berlin, 1999.

[4] F. M. Bruckler, Povijest matematike I , Sveuciliste J. J. Strossmayera, Odjel za matema-

tiku, Osijek, 2007.

[5] F. M. Bruckler, Povijest matematike II , Sveuciliste J. J. Strossmayera, Odjel za mate-

matiku, Osijek, 2011.

[6] R. Courant, F. John Introduction to Calculus and Analysis Volume II/1, Springer Verlang,

Berlin, 2000.

[7] Z. Dadic, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Skolska knjiga, Zagreb, 1992.

[8] H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, J. Neukirch, A. Prestel, R.

Remmert, Numbers, Springer Verlang, New York, 1991.

[9] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Sveuciliste J. J. Strossmayera, Osijek, 2004.

[10] D. Klobucar, Matematika nasa svagdasnja, Element, Zagreb, 2012.

[11] S. Mardesic, Matematicka analiza u n-dimenzionalnom prostoru- Prvi dio, Skolska knjiga,

Zagreb, 1988.

[12] V. Nicic, M. Trifunovic, Matematika I, Naucna knjiga, Beograd, 1988.

[13] Z. Sikic, Kako je stvarana novovjekovna matematika, Skolska knjiga, Zagreb, 1989.

[14] S. Znam, Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989

[15] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real numbers 1.html

[16] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real numbers 2.html

40


Sazetak

Upotreba matematickih simbola u bilo kojem pogledu (pocevsi od brojeva pa do slozenih

matematickih oznaka) predstavlja rutinu koja ne zahtjeva razmisljanje o njenom nastanku,

medutim ne smijemo zaboraviti da je matematickom razvoju prethodio dug period od oko

6000 godina postupnog razvoja. Nezgrapna i nejasna u pocetku, razvila se do danas u mnogo

elegantniji i razumljiviji oblik u procesu koji jos uvijek traje i predstavlja rastuce polje stalno

promjenjivih oblika apstraktnih pojmova. Matematika je oduvijek bila velika vrijednost za

covjecanstvo, a njena korist neprestano raste.

Kroz radnju su obradeni povijesni i algebarski razvoj realnih brojeva. Na pocetku smo se

upoznali s osnovnim pojmovima i svojstvima skupova, zatim je opisan povijesni razvoj realnih

brojeva preko Hippasusa iz Metapontuma cije je otkrice iracionalnih brojeva bilo sokantno za

pitagorejce i pretpostavlja se da se Hippasus utopio na moru, navodno za kaznu od bogova

radi tog otkrica.

Dalje kroz rad su opisani Dedekindovi rezovi sa svojstvima, ugnijezdeni intervali , aksi-

omatske definicije realnih brojeva. Posljednje poglavlje opisuje fundamentalne nizove, poznate

pod nazivom Cauchyjev niz.

41


Title and Summary

Real numbers through history

The use of mathematical symbols in any aspect (starting from the numbers to the complex

mathematical mark) is a routine that does not require thinking about its origin, but one must

not forget that the mathematical development was preceded by a long period of about 6000

years of gradual development. Cumbersome and unclear initially, it developed to this day in a

much more elegant and comprehensible form in a process that is still ongoing and is a growing

field of constantly changing shapes of abstract concepts. Mathematics has always been a great

value to humanity, and its benefits are incessantly growing.

In this dissertation we have processed historical and algebraic development of real num-

bers. At the beginning, we are introduced to the basic terms and properties of sets, then

was described the historical development of the real numbers via Hippasus of Metapontum

whose discovery of irrational numbers were shocking for the Pythagoreans, it is assumed that

Hippasus drowned at sea, apparently as punishment from the gods for the sake of his discovery.

Further the work are described Dedekind cuts with the properties, nested intervals, axi-

omatic definition of real numbers. The final chapter describes the fundamental sequences,

known as the Cauchy’s sequence.

42


Zivotopis

Rodena sam u Nasicama, 17. kolovoza 1984. godine. Osnovnu skolu zavrsila sam u Zde-

ncima. Nakon zavrsene osnovne skole upisala sam Ugostiteljsko - turisticku skolu u Osijeku,

smjer Hoteljersko - turisticki tehnicar. Nakon zavrsene srednje skole na Odjelu za matematiku

upisujem Preddiplomski studij matematike. 2008.g upisala sam Diplomski studij matematike,

smjer financijska i poslovna matematika.

43

helena rebi c - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/reb02.pdf · broj 1 nije ni prost ni slo...

Documents