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Über den Gehalt von WahrscheinlichkeitsaussagenAuthor(s): Carl G. HempelSource: Erkenntnis, Vol. 5 (1935), pp. 228-260
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(228)
?ber
den Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
Von
Carl G. Hempel (Br?ffel)
Einleitung
Die
vorliegende
Arbeit
verfucht,
einen
Beitrag
zur
logifchen
Analyfe
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
zu
liefern.
Die
philofophi?
fchen
Bem?hungen
um
die
Kl?rung
diefes
Begriffs
find fo alt
wie
feine
Gefchichte,
und bis in
die
Anf?nge
diefer Gefchichte reichen
auch
die
Grundgedanken
der
beiden
Haupttheoriengruppen
zur?ck,
die die
Bedeutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffes
zu
beftimmen
fuchen,
und die
man
f?r
eine
erfte
Orientierung
als die
?apriorifti
fchen" und als die
?empiriftifchen"
Theorien der Wahrfcheinlichkeit
einander
gegen?berftellen
kann.
Den
aprioriftifchen
Theorien
zufolge
ift die
Wahricheinliehkeits?
lehre
eine auf Urteilen
a
priori
beruhende Theorie
empirifcher
oder
logiieher
Spielraumverh?ltniffe;
den
empiriftiiehen
Theorien
zufolge
hat
es
die
Wahricheinliehkeitslehre
mit den
relativen
H?ufigkeiten
zu
tun,
mit
denen
gewiffe
Ergebniffe
in
ftatiftifehen Reihen
empiri?
fcher
Beobachtungsdaten
auftreten.
Gegenw?rtig
ftehen diefe
beiden
Auffaffungen
einander
nicht
mehr gleichberechtigt gegen?ber: die fortfchreitend verfeinerte
logifche
Analyfe
wiffenfehaftlicher
Begriffsbildungen
hat
vielmehr
immer
deutlicher
erkennen
laffen,
da?
eine
angemeffene
logifch
defkriptive
Theorie des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
nur
in
der
Rich?
tung
gefunden
werden
kann,
in
der die
empiriftifche
Deutung
fie
fucht.
Die
konfequente
Durchf?hrung
der
empiriftifchen Auffaffung
f?hrt indeffen
in
gewiffe
logifche
Schwierigkeiten,
die auch durch
neuere
Ausgeftaltungen
der
empiriftifch-ftatiftifchen
Wahrfcheinlich?
keitstheorie nicht v?llig ?berwunden worden find. Die vorliegende
Arbeit unterfucht
diefe
Schwierigkeiten
und
entwickelt einen
Vor?
fchlag
zu
ihrer
Behebung
auf
Grund einer
?finitiftifchen"
Wendung
der
ftatiftifichen
Deutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs.
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeit
s
u
s
jagen
229
1. Die
logifchen
Schwierigkeiten
der ftatiftifehen
Deutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
Das
Grundproblem
der
logifchen
Analyfe
des
Wahrfcheinlichkeits?
begriffs,
das
Problem,
in
deffen
Beantwortung
fich
die
eben
erw?hn?
ten
Theoriengruppen
unterfcheiden,
ift
die
Frage
nach
dem Sinn der
?Wahrfcheinlichkeitsausfagen"
(R
e
i
ch
e
n
b
a
ch),
d.
h.
derjenigen
Ausfagen,
die
einem
Ereignis
eine
beftimmte
Wahrfcheinlichkeit
zu?
fchreiben.
Jede
Antwort auf
diefe
von
Reichenbach als
?Sinn?
problem der Wahrfcheinlichkeit" bezeichnete Frage legt zugleich die
Bedeutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffes
n
beftimmter
eife
feil;
denn die
logifche
Funktion
eines
Begriffes
erfch?pft
fich
darin,
in
S?tzen
gewiffer
Form
auftreten
zu
k?nnen,
und mit
dem Sinn
dieier
S?tze
ift
auch die
Bedeutung
des
Begriffes
vollft?ndig
feftgelegt.
Jede
Entfcheidung
es
Sinnproblems
er
Wahrfcheinlichkeit
eftimmt
ferner auch
eine
Antwort
auf die
Frage
nach
der
Begr?ndung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen (die
Reichenbachals
das
?Geltungs?
problem
der
Wahrfcheinlichkeit"
bezeichnet und
von
dem
zuerft
ge?
nannten Sinnproblem unterfcheidet); denn der Sinn eines Satzes ift
durch die Gefamtheit
feiner
nachpr?fbaren
Konfequenzen
beftimmt;
diefe bilden aber
zugleich
auch
die
Grundlage jeder
Entfcheidung
?ber feine
Geltung.
Die
empiriftifch-ftatiftifchen
Theorien der
Wahrfcheinlichkeit
?
fie
ftimmen
in
ihren
Grundgedanken
fo
weitgehend
?berein,
da?
im
folgenden
auch kurz
von
?der"
empiriftifchen
Theorie
gefprochen
werden
wird
?
gehen
von
der
Feftftellung
aus,
da?
die
Nachpr?fung
einer
Ausfage,
die
einem
beftimmten
Ereignis
eine
gewiffe
Wahr?
fcheinlichkeit zufchreibt, fich im Prinzip ftets auf die Ermittlung der
relativen
H?ufigkeit
des
betreffenden
Ereigniffes
in
einer
langen
Beobachtungsreihe
ft?tzt;
hiernach
befagt
z.
B.
die
Ausfage,
da? die
Sterbenswahrfcheinlichkeit bei
einer
beftimmten
Krankheit
0.05
ift,
nichts
anderes,
als
da?
in
einer
hinreichend
gro?en
Reihe
von
Er?
krankungen
der
betreffenden
Art
5%
der
F?lle
t?dlich
verlaufen.
In
den
neueren
Ausgeftaltungen
der
ftatiftifehen Theorie
fuchte
man
diefem
Grundgedanken
eine
pr?zife
und
zugleich
der
mathe?
matifchen
Behandlung
bequem zug?ngliche
Form
zu
geben.
Man
ging
dabei von dem
empirifchen
Befund aus, da? in den ftatiftifehen
Reihen,
auf
die
in
der
empirifchen
Wiffenfchaft
wahrfcheinlichkeits
theoretifche
Betrachtungen
angewendet
werden,
die
Schwankungen
der
relativen
H?ufigkeit
eines
Ereigniffes
mit
zunehmender
L?nge
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230
Carl G.
Hempel
der
Reihe fehr
klein werden.
Hierauf ft?tzt die
ftatiftifche
Theorie
die
mathematifch befonders
gut
auswertbare
?Annahme",
da?
bei
beliebiger
Verl?ngerung
einer
folchen
ftatiftifchen
Reihe die relative
H?ufigkeit
eines
beftimmten
Ereigniffes
gegen
einen Grenzwert
kon?
vergiert;
diefer wird als die
Wahrfcheinlichkeit
des
betreffenden
Er?
eigniffes
in
der
ftatiftifchen
Reihe bezeichnet.
Die
hiermit
gewonnene
Begriffsbildung
ift
nun
einem
fchwer
wiegenden
Einwand
ausgefetzt,
der
mit
befonderem Nachdruck
von
H. F e ig 1*) und von H. R e i ch e n b a ch2) entwickelt worden ift.
Der
Einwand
lautet fo: Der
vorgefchlagenen Deutung
des
Wahr
fcheinlichkeitsbegriffs
zufolge
befitzt eine
Wahrfcheinlichkeitsausfage
?berhaupt
keinen
empirifchen
Gehalt;
fie
beftimmt hiernach n?mlich
lediglich
den
Limes der
relativen
H?ufigkeit
eines
Ereigniffes
in
einer
unendlich
verl?ngert
gedachten
Beobachtungsreihe;
nun
find
der
empirifchen
Nachpr?fung
ftets
nur
endliche ftatiftifche
Reihen
zug?nglich;
aus
dem
Wert
des
Limes
einer
konvergenten
Zahlenfolge
aber
l??t
fich
bekanntlich ?ber die
Werte
ihrer
Glieder
in
endlichen
Abfchnitten gar nichts entnehmen: eine Wahrfcheinlichkeitsausfage
hat
daher keinerlei
empirifch
nachpr?fbare
Konfequenzen,
mit
an?
deren
Worten:
fie hat
keinen
empirifchen
Sinn
oder,
wie wir
im
folgenden
fagen
wollen,
keinen
empirifchen
Gehalt.
?
Nun
werden
die
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
in
der
empirifchen
Wiffenfchaft
offenfichtlich
einem
empirifchen
Nachpr?fungsverfahren
unterzogen,
es
wird ihnen
alfo ein
empirifcher
Gehalt
zugefchrieben.
Die ftati?
ftifche Theorie
gibt
fomit
in
diefem
wefentlichen Punkt den
Charak?
ter
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffes
nicht
zutreffend
wieder.
Anfchaulich kann man den Einwand fo formulieren: Es fei eine
Wahrfcheinlichkeitsausfage
gegeben,
die
dem
Auftreten
eines
ge
wiffen
Ereigniffes
in einer
beftimmten ftatiftifchen
Reihe die Wahr?
fcheinlichkeit
w
zufchreibe.
Man
betrachte
nun
die
folgenden
M?g?
lichkeiten:
i.
Es
wird
eine
gr??ere
Zahl
von
F?llen
der
betreffenden
Reihe
beobachtet;
die
relative
H?ufigkeit
des
fraglichen
Ereigniffes
wird
nahezu
gleich
w
gefunden;
2.
es
wird
eine
gr??ere
Zahl
von
F?llen
beobachtet;
das
fragliche
Ereignis
tritt mit
einer
erheblich
von
w
verfchiedenen
relativen
H?ufigkeit
auf.
?
Wollte
man
jetzt
*)
In
feiner
nicht
im
Druck
erfchienenen Wiener
Diifertation
(etwa 1928),
ferner
in dem
Auffatz
?Wahrfcheinlichkeit
und
Erfahrung",
Erk.
1,
249.
2)
?Kaufalit?t
und
Wahrfcheinlichkeit",
Erk.
1,
158;
?Axiomatik
der Wahr?
fcheinlichkeitsrechnung",
Math. ZS
34,
568;
?Die
logifchen
Grundlagen
des
Wahr?
fcheinlichkeitsbegriffs",
Erk.
3,
401;
und
an
anderen
Stellen.
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
231
die
obige
Deutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
konfequent
durch?
f?hren,
fo m??te
man
fagen,
da? der erfte Fall
keineswegs
eine
beffere
Beft?tigung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfage
darfteile
als der
zweite:
die
Wahrfcheinlichkeitsausfage lege ja
nur
den Limes
der
relativen
H?ufigkeiten
feil,
und
?ber die
Richtigkeit
diefer
Angabe
laffe
fich
aus
jenen
zwar
langen
aber
doch endlichen
Beobachtungs?
reihen noch
gar
nichts
entnehmen.
?
Offenbar
wird aber
in
der
empirifchen
Wiffenfchaft nicht
nach diefem
Grundfatz verfahren.
Die hiermit gekennzeichnete Schwierigkeit tritt nun in charakte
riftifchen
Formen
auch
in
den
neueften
Ausgeftaltungen
der
empirifti?
fchenWahrfcheinlichkeitstheorie
auf,
wie
im
folgenden
auf
Grund
einer
Unterfuchung
der
Theorien
von
R.
v.
M i
f
e
s
und
von
H.
Reichenbach
dargelegt
werden foil.
2.
?ber
die
logifche
Form
der Wahrfcheinlich
keitstheorievonR.
v.
Mifes
Die
Theorie
von
R.
v.
Mifes,
deren
Inhalt3)
hier
im
weient?
liehen als
bekannt
vorausgeietzt
werden
mu?,
ftellt die erfte
konfe
quente
Durchf?hrung
der
Limesdeutung
des
Wahrfcheinlichkeits?
begriffs
dar. Sie
beruht
auf
dem
Gedanken,
da? die Wahrfchein?
lichkeitsausfagen
S?tze
der
empirifchen
Wiffenfchaft
feien,
und da?
die
Wahrfcheinlichkeitstheorie daher als die
mathematifche Theorie
eines
gewiffen
Zweiges
der
empirifchen
Wiffenfchaft
zu
entwickeln
fei,
fo
wie die
formale
Geometrie
als
mathematifche
Theorie eines
Zweiges
der
empirifchen
Wiffenfchaft,
n?mlich der
phyfikalifchen
Geometrie,
dargeftellt
werden
kann.
Es
fei hier kurz
daran
erinnert,
da?
die
logifche
Analyfe
des
Geometrieproblems
zu
einer
Unterfcheidung
zwifchen
?formalen"
oder
?mathematifchen"
Geometrien
einerfeits
und der
?phyfikali?
fchen" Geometrie
andererfeits
gef?hrt
hat.
Eine
formale Geometrie
ftellt
ein
Syftem
von
S?tzen
dar,
die
aus
gewiffen Ausgangsf?tzen,
den
Axiomen,
rein
logifch
deduziert werden
k?nnen.
In
den
Axiomen
treten
gewiffe
Grundbegriffe
auf
wie
?Punkt",
?Gerade",
?Ebene",
?Kongruenz",
?Inzidenz"
ufw.,
die
nicht
explizit
definiert
werden,
und die
zun?chft keine
inhaltliche
Bedeutung befitzen. Die
Frage
nach der
Geltung
der
Lehrf?tze
einer
formalen
Geometrie
ift
3)
Vgl.
vor
allem:
?Wahr?cheinlichkeitsrechnung
und ihre
Anwendung",
Deuticke,
1931.
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23*
Carl
G.
Hempel
durch den
Hinweis
zu
beantworten,
da?
jeder
diefer
S?tze
als
eine
generelle
Implikation
dargeftellt
werden
kann,
die
die
Konjunktion
aller
Axiome
als
Implikans
und
den
Lehrf
atz
als
Implikat
enth?lt,
und
da?,
der
eben erw?hnten Deduzierbarkeit
entfprechend, jede
folche
Implikation
analytifch
ift,
alfo keinen
empirifchen
Gehalt befitzt.
Die
phyfikalifche
Geometrie
dagegen
Hellt
?
eine
Reihe
von
Kon?
ventionen ?ber
die
Meffung
vorausgefetzt
?
ein
Syftem
von
S?tzen
mit
empirifchem
Gehalt
dar,
das andeutend
als die
phyfikalifche
Theorie der Lagebeziehungen phyfikalifcher Gebilde, insbeiondere
ftarrer
K?rper,
bezeichnet werden kann.
Man
kann
dies
Syftem
aus
einer
geeignet
gew?hlten
formalen Geometrie
durch
eine
inhaltliche
Deutung
der
Grundbegriffe
gewinnen,
die auf dem
von
R
e
i
ch
e
n
-
b
a
ch4) eingehend
unterfuchten
Wege
der
?Zuordnungsdefinitionen"
erfolgt;
und die
Aufgabe,
eine
mathematifche Theorie
der
phyfika
lifchen
Geometrie
?unferer
Welt"
zu
entwickeln,
kann
als
gel?ft
gelten,
wenn
(I)
eine
axiomatifierte formale
Geometrie
und
(II)
ein
Syftem
von
Zuordnungsdefinitionen angegeben
werden,
derart,
da?
verm?ge der Zuordnungsdefinitionen die S?tze der formalen Geo?
metrie in
diejenigen
der
phyfikalifchen
Geometrie
?bergehen.
Ganz
entfprechend
will
v.
M
i
?
e
s
die
Aufgabe
verftanden
wiffen,
die
Wahrfcheinlichkeitstheorie
als
die mathematifche
Theorie
eines
gewiffen Zweiges
der
empirifchen
Wiffenfchaft
aufzubauen;
und
er
w?hlt
deshalb auch
f?r den
Aufbau
feiner
Theorie
die axiomatifche
Methode.
Wir wollen die
Grundgedanken
diefes
Aufbaues
ganz
knapp
fkizzieren,
um
ihn im
Hinblick
auf
feine
logifche
Form
mit
der
axiomatifchen
Aufl?iung
des
Geometrieproblems
zu
vergleichen.
Der Fundamentalbegriff der v. M i ? e s fchen Theorie iftder des
Kollektivs.
Als
?einfachffies
Kollektiv"
wird
eine
unendliche
Folge
gleichartiger
Beobachtungen
definiert,
deren
jedesmalige
Ergebniffe
durch
zwei
Zeichen,
etwa
?o"
und
?i",
dargeftellt
werden
k?nnen,
und
die
folgenden
zwei
Forderungen gen?gt:
i.
Forderung:
Ift
n%
bzw.
m
die
Anzahl
derjenigen
unter
den
erften
n
Beobachtungen,
deren
Ergebnis
?o"
bzw.
?i" ift,
fo
exi
ftieren die
Grenzwerte
lim -^ = Wo; lim? = w\.
n
n
n->oo
n->
oo
4)
Vgl.
z.
B.
?Philofophie
der
Raum-Zeit-Lehre",
de
Gruyter,
1928;
?Ziele
und
Wege
der
phyfikalifchen
Erkenntnis",
Handb.
d.
Phyf.,
Bd.
4,
Springer,
1929.
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?ber den Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
233
2.
Forderung:
Wird
aus
der
Gefamtfolge
durch
?Stellenauswahl"
eine
unendliche
Teilfolge
gebildet,
fo
exiftieren auch
innerhalb
diefer
Teilfolgen
die
gleichen
Grenzwerte
lim
-t~
?
w0;
lim
-y-
=w1.
n->
co
n
n^>
00
n
Dabei
wird
unter
einer
?Stellenauswahl"
aus
einer
unendlichen
Beobachtungsfolge
die
Bildung
einer
Teilfolge
auf Grund
einer
Vor?
fehrift
verftanden,
die
allgemein
?ber
die
Zugeh?rigkeit
der
rc-ten
Beobachtung
zur
Teilfolge unabh?ngig
von
dem
Ergebnis
dieier
rc-ten
Beobachtung
und
h?chftens
unter
Benutzung
der
vorangegange?
nen
Beobachtungsergebniffe
enticheidet.
Der
Wahrfcheinlichkeitsbegriff
wird
nun
ausfchlie?lich
mit
Bezug
auf Kollektive
definiert;
und
zwar
werden
die
oben
eingef?hrten
Grenzwerte
wo
und
wt
als
die
Wahrfcheinlichkeiten
f?r das Auf?
treten
des Merkmals
?o"
bzw.
?1"
innerhalb
des betrachteten
Kol?
lektivs bezeichnet. (Von einer Ber?ckfichtigung des allgemeinen
Kollektivbegriffs,
der
auf
den
eben
definierten
zur?ckgef?hrt
wird,
kann
in
unferm
Zuiammenhang abgefehen werden.)
Die
eben
formulierten
Bedingungen,
die
ein
Kollektiv
charakteri
fieren,
bilden
die Axiome
der
v.
Mifes fehen
Theorie
der
Wahr?
fcheinlichkeit.
(Die
zweite
Forderung
wird
von
v.
M
i f
e s
als
?Regellofigkeitsaxiom"
bezeichnet.)
Diefe Theorie ift
nichts
anderes
als die
rein
mathematifche,
alfo
logifch-deduktive
Theorie
der
Limites
der relativen
H?ufigkeiten
in
Folgen
mit
Kollektivcharakter;
die Wahrfcheinlichkeitsrechnung hat, wie v. Mifes nachdr?cklich
betont,
lediglich
die
Aufgabe,
aus
den
als
gegeben
vorausgefetzten
Limites
der
relativen
H?ufigkeiten
innerhalb
gewiffer Ausgangs?
kollektive die
Limites
der
relativen
H?ufigkeiten
innerhalb
gewiffer
neuer
Kollektive
zu
ermitteln,
die nach
beftimmten,
genau
pr?zifier
baren
Methoden
aus
den
urfpr?nglichen
Kollektiven
?abgeleitet"
find.
Entfprechend
der
im
Zuiammenhang
mit
dem
Geometrieproblem
eingef?hrten
weiteilung
betrachten
wir
zun?chft
I)
die
logifche
Form
der
mathematifchen Theorie und
fragen
dann
(II)
nach
den
Zuordnungsdefinitionen, die die mathematifche Theorie in einen
Zweig
der
empirifchen
Wiffenfchaft
?berf?hren.
Ad
(I).
Innerhalb
des
formalen
Aufbaus der
v.
Mifes fehen
Theorie
entfteht
zun?chft
folgende
Schwierigkeit:
Das
Regellofig
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^34
Carl
G.
Hempel
keitsaxiom f?hrt
zu
der
Konfequenz,
da?
Zahlenfolgen
mit
Kollek?
tivcharakter nicht
intenfional,
d.
h.
durch
ein
allgemeines Bildungs
gefetz
f?r ihre Glieder
gegeben
werden
k?nnen5);
nun
kann
aber
eine
unendliche
mathematifche
Folge grundf?tzlich
nur
durch
ihr
Bildungsgefetz
beftimmt
erden;
alfo ftellt
der
Kollektivbegriff
nach
v.
M i
f
e s
keinen
eigentlichen
mathematifchen
Begriff
dar.
Die
in
diefem
Zufammenhang
entftehenden
intern-mathematifchen
Schwierigkeiten
find
bereits mehrfach
6)
eingehend
unterfucht
worden
und folien daher hier nicht weiter er?rtert werden.
v.
M
i
f
e
s
nimmt
das
Regellofigkeitsaxiom
gleichwohl
in
die
Grundlagen
feiner Theorie
auf,
um
auf diefe
Weife
eine
explizite
Definition
des
Kollektivbegriffs
zu
gewinnen,
aus
der f?mtliche
S?tze
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
mathematifch
ableitbar
wer?
den.
Mit
diefer
Zielfetzung
aber
wird
das
Prinzip
einer
eigentlichen
Axiomatifierung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung aufgegeben:
Neh?
men
wir
an,
die
Schwierigkeiten
der
Regellofigkeitsforderung
w?r?
den
?
etwa
durch
Einf?hrung
einer
geeigneten
Erfatzforderung
?
?berwunden, fo ft?nden an der Spitze der Theorie explizite Defini?
tionen
der
Begriffe
?Kollektiv"
und
?Wahrfcheinlichkeit",
und alle
S?tze der
Theorie
w?ren
mit rein
logifchen
Mitteln
aus
diefen
Definitionen deduzierbar.
Da
nun
nach
Vorausfetzung jene
Aus?
gangsdefinitionen
ausfchlie?lich
mathematifch-logifche Begriffs?
bildungen
enthielten,
fo
tr?te
in
dem
ganzen
Syftem
kein
au?er
logifches
Grundzeichen
auf,
und
es
w?re
daher
unm?glich,
dem
Syftem
irgendeine
inhaltliche
Deutung
zu
geben;
eine
folche Theorie
k?nnte alfo
grundf?tzlich
nicht das
formale
Ger?ft
einer
empirifchen
Theorie darfteilen. (Diefe Erw?gung gilt auch f?r folche Ausge
ftaltungen
der ftatiftifchen
Theorie, die,
wie
diejenige
von
Kamke7),
die Definition des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
auf den
Limesbegriff
der mathematifchen
Analyfis
ft?tzen
und auf eine
dem
Regellofig?
keitsaxiom
entfprechende
Vorausfetzung
verzichten.)
Umgekehrt
5)
Vgl.
z.
B. R.
v.
Mifes
?Grundlagen
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung",
Math. ZS
5, 52.
6)
Vor
allem
von
D ?
r
g
e
?Zu
der
von
R.
v.
Mifes
gegebenen Begr?ndung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung",
Math.
ZS.
32;
Kamke
??ber
neuere
Begr?n?
dungen
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung",
Jahresber.
d. Deutfchen Math. Ver.
XLII,
14;
derf.
?Einf?hrung
in die
Wahrfcheinlichkeitstheorie",
Leipzig
1932;
Reichenbach
?Axiomatik
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung",
Math. ZS.
34,
568;
Waismann
?Logifche
Analyfe
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs",
Erk.
1,228.
7)
Siehe
Fu?note
6).
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
23$
wird
man
fagen
d?rfen:
Gerade
in
dem
Umftand,
da?
die
Regel
lofigkeitsforderung
nicht
mittels
rein
logifch-mathematifcher
Begriffe
darfteilbar
ift,
kommt der
Anfpruch
der
v.
Mifes fehen
Theorie
auf
empirifche
Deutbarkeit
zum
Ausdruck.
Doch
befitzt
eben
jene
Forderung
weder felbft die
Form
eines
echten
Axioms,
noch
l??t fie
einen
Zugang
zur
Axiomatifierung
?berhaupt
erkennen.
Ad
(II).
Zur
Frage
der
Zuordnungsdefinition
ift zun?chft
zu
be?
merken:
v.
M i f
e
s
f?hrt felbft nicht
ausdr?cklich die
Unterfcheidung
zwifchen der
Aufftellung
eines
Axiomenfyftems
und
der
Angabe
einer
empirifchen
Deutung
ein.
Es
finden fich
jedoch
in
den
grund?
legenden
Definitionen feiner
Theorie
fowie
in
den
beigegebenen
Erl?uterungen
ausf?hrliche
Hinweife,
die
es
geftatten,
empirifche
Kollektive
in
feinem
Sinne
recht
genau
zu
charakterifieren.
So
d?rfte die
folgende
Zuordnungsdefinition
der
v.
Mifes
fehen
Auffaffung
gerecht
werden: Unter
einem
empirifchen
Kollektiv
ver?
liehe
man
eine
beliebig verl?ngerbare
Serie
gleichartiger
empirifcher
Beobachtungsdaten,
die
den
beiden
in
den Axiomen
der
Wahrfchein?
lichkeitsrechnung
ausgefprochenen
Bedingungen gen?gt.
?
Durch
diefe
Feftlegung
erf?hrt
zugleich
auch
der
Begriff
der
Wahrfchein?
lichkeit
feine
phyfikalifche
Deutung.
Auf
diefe
Beftimmung
es
empirifchenollektivbegriffs
??t fich
aber der
fr?her
entwickelte
Einwand
?bertragen:
Alle
Wahrfchein?
lichkeitsausfagen
beziehen
fich
v.
M i
?
e
s
zufolge
auf die Limites
der
relativen
H?ufigkeiten
in
Kollektivs
und
find daher mit
finiten
Mitteln,
wie
fie
der
empirifchen
Wiffenfchaft
allein
zur
Verf?gung
ftehen,
grundf?tzlich
nicht
nachpr?fbar;
fie haben
alfo keinen
empi?
rifchen
Gehalt.
v.
Mifes
hat
folchen
Bedenken
gegen?ber
geltend
gemacht,
da?
die
Anwendung
des
Begriffs
der
unendlichen
Folge
auf
phyfikalifche
Probleme
eine
Idealifierung
darftelle,
und
zwar
von
ganz
derfelben
Art
wie
diejenige,
die
auch bei
der
Anwendung
geometrifcher
Be?
griffe
auf die
Phyfik
vorgenommen
werde. So
fetze
z.
B.
die
Be?
hauptung,
ein
beftimmtes
phyfikalifches
Gebilde
befitze
eine
Kugel
geftalt,
die
Ausf?hrung
unendlich
vieler
Meffungen
voraus;
tatf?ch?
lich
entfchlie?e
man
fich
bereits
nach einer
hinreichend
gro?en
end?
lichen
Zahl
von
Meffungen
zur
Vornahme
einer
Idealifierung;
man
befchreibe
aus
Gr?nden
der
Zweckm??igkeit
die
endliche
Gefamtheit
mit
Hilfe
des
Begriffes
?Kugel".
In
derfelben
Weife
f?hrt
man,
wie
v.
Mifes
fagt,
bei
der
An?
wendung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auf
phyfikalifche
Fragen
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236
Carl
G.
Hempel
jeweils
bereits
auf
Grund
endlich vieler
Beobachtungen
eine
Ideali
fierung
ein:
?Aus
praktifchen
Gr?nden
bedient
man
fich der
infiniten
Theorie,
man
rechnet,
obwohl
das
Verfuchsmaterial
endlichen Ab
fchnitten
entnommen
ift, fo,
als ob
es
unendlich
w?re..."8).
?
Der
ielben
Auffaffung
neigt
auch
K
a m
k
e zu.
Indeffen ??t fich
zeigen,
da?
diefer
Vergleich
zwifchen
Wahr
fcheinlichkeitstheorie
und Geometrie
nicht
zutreffend
ift.
Betrachten
wir
zun?chft den
Satz:
?Diefer
K?rper
ift
eine
homogene
Kugel".
Er beftimmt offenbar eine unbegrenzt erweiterbare Menge empirifch
nachpr?fbarer
Konfequenzen,
z.
B.:
Es
l??t
fich
auf
genau
angeb?
bare Weife
ein
Punkt
im
Innern
des
K?rpers
finden
derart,
da?
je
zwei
fehr
d?nne,
geradlinige
Kan?le,
die
von
zwei
beliebigen
Punkten
der
Oberfl?che
aus
zu
ihm hin
gebohrt
werden,
gleich
lang
find. Ferner:
Auf
einer
horizontalen
Ebene
wird
fich
der
K?rper
im
indifferenten
Gleichgewicht
befinden;
aus
einem
?berlaufgef??
wird
er
ein
Fl?ffigkeitsvolumen
verdr?ngen,
das
in
einem
beftimm?
ten
arithmetifchen
Zufammenhang
mit
der
L?nge
feines
Durch
meffers
?
einer nach beftimmten Anweifungen zu meffenden Strecke
?
fteht;
ufw.
Die
Nachpr?fung
der
Folgef?tze
geftattet
nun
eine
empiriiche
Kontrolle
des
Ausgangsfatzes.
Diefe kann
freilich
?
wegen
der
unbegrenzten
Erweiterbarkeit der
Menge
der
Folgef?tze
?
nicht
zu
einer
vollft?ndigen
und
endg?ltigen,
fondern immer
nur zu
einer
fchrittweife
fich
verbeffernden
Beft?tigung
des
Ausgangsfatzes
f?hren
?
oder
auch
zu
einer
Widerlegung;
dann
n?mlich,
wenn
ein
empiri
fcher
Befund
eintritt,
der
nicht
mit
dem
Ausgangsfatz
vereinbar
ift,
z. B. ein von der Vorausfage abweichendes Ergebnis des Fl?ffigkeits
verdr?ngungsverfuches.
Eine
Verfch?rfung
diefer
?berlegung
werde
auf einen
fp?teren
Abfchnitt
diefer
Arbeit
verfchoben.
Vorl?ufig
wollen
wir im
Anfchlu?
an
die
?bliche
Bezeichnungsweife
fagen:
Die
Behauptung,
ein beftimmter
phyfikalifcher
K?rper
fei
eine
Kugel,
ftellt ine
Hypothefe
dar: fie ift
icht
vollft?ndig
nd
endg?ltig
nt
fcheidbar,
wohl
aber
?kontrollierbar"
in dem
Sinne,
da? fie
zur
Aufftellung
beliebig
vieler
nachpr?fbarer
Konfequenzen
f?hrt.
Die
?idealifierende"
Behauptung
indeffen,
eine
vorgegebene
Menge
von
Beobachtungsdaten
beftimme ein
Kollektiv,
iftvon
grundf?tzlich
anderem
Charakter:
Aus
ihr
l??t fich kein
einziger
nachpr?fbarer
8)
v.
Mifes
u.
a.:
?Diskuffion
?ber
Wahrfcheinlichkeit",
Erk.
i,
260.
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
237
Satz herleiten, da aus der Exiftenz und felbft aus dem Wert des
Limes einer
unendlichen
Folge
keinerlei
Schl?ffe
auf die
Werte
der
Glieder
in
irgendeinem
endlichen
Abfchnitt
gezogen
werden
k?nnen.
Da
nun
ausfchlie?lich
folche
endlichen
Abfchnitte
einer
empirifchen
Kontrolle
zug?nglich
find,
fo l??t
fich
grundf?tzlich
eine
einzige
empirifche
Feftftellung
als
?zu
der
Behauptung
ftimmend"
oder
als
?nicht
mit
ihr
in
Einklang
befindlich"
bezeichnen;
ja,
es
kann offen?
bar nicht einmal
von
einer
n?herungsweifen
Nachpr?fung
jener
Be?
hauptung
die
Rede
fein;
kurzum:
es
liegt
hier
nicht,
wie bei
einer
echten
Hypothefe,
eine unendliche Gefamtheit von Ausfagen vor,
iondern eine
Scheinausiage
?ber
eine
unendliche Gefamtheit.
Was
tatf?chlich bei der
empirifchen
Beft?tigung
einer
Wahrfchein?
lichkeitsausfage
feftgeftellt
wird,
ift
gleichfam
viel mehr
als das
Be?
ftehen des betreffenden
Grenzwertes:
es
ift die
Tatfache,
da?
die
zur
Unterfuchung
ftehenden
relativen
H?ufigkeiten
fchon
in
end?
lichen,
uns
relativ
bequem
zug?nglichen
Bereichen bei
Verl?ngerung
der
Beobachtungsreihen
nahezu
einen
konftanten
Wert behalten.
?
Diefer Gedanke wird
fp?ter
wieder
aufgenommen
werden.
Die
transfinite
Charakterifierung
des
empirifchen
Kollektivs
l??t
fich auch
nicht durch
den
Hinweis
rechtfertigen,
da? der
Schlu?
von
den
jeweils
endlich
vielen
beobachteten
Daten
auf
das
Vorliegen
bzw.
Nichtvorliegen
eines Kollektivs
mit
feinen charakteriftifchen
transfiniten
Eigenfchaften
ein
Induktionsfchlu?
fei,
wie
er
beft?ndig
in
der
empirifchen
Wiffenfchaft
angewandt
werde.
Denn
die
empi?
rifchen
Induktionsfchl?ffe
f?hren
ftets
zu
Ergebniffen,
die
im oben
genannten
Sinne
?kontrollierbar"
find;
hieraus
ergibt
fich
ohne
wei?
teres, da? die nicht kontrollierbare Behauptung, eine vorliegende
endliche
Menge
von
Beobachtungsdaten
beftimme
ein
Kollektiv,
auch
nicht
das
Ergebnis
eines Induktionsfchluffes
fein kann.
Noch auf
eine
weitere
Konfequenz
der
obigen
?berlegungen
fei
hier
hingewiefen:
Wie
erw?hnt,
kn?pfen
die
Anf?tze der
ftatiftifehen
Theorie im
allgemeinen
an
die
?Annahme"
an,
es
gelte
in
unferer
Welt
ein
eigent?mliches
Gefetz,
das
zum
Ausdruck komme
in
der
?Erfahrungstatfache,
da? bei
gewiffen Erfcheinungsreihen
die rela?
tive
H?ufigkeit
des Auftretens
eines
Ereigniffes
fich bei unbefchr?nkt
fortgefetzter Beobachtung einem beftimmten Grenzwert n?hert" 9).
Man
erkennt
jetzt,
da?
diefe,
oft als
?Gefetz
der
gro?en
Zahlen"
9)
v.
Mi
fes
?Wahr?cheinlichkeit,
Statiftik und
Wahrheit",
Wien
1928,
S.
91.
16
Erkenntnis
V
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238
Carl G.
Hempel
bezeichnete,
?Annahme"
ihres transfiniten
Charakters
wegen
keinen
empirifchen
Gehalt befitzt und daher
nicht mit
den
eigentlichen
Ge
fetzen
der
empirifchen
Wiffenfchaft
in
Parallele
gefetzt
werden
darf.
Endlich laffen die
?berlegungen
unter
(I)
erkennen,
da?
die
Gel?
tung
der
S?tze der
Wahrfcheinlichkeitstheorie f?r transfinit
gedeutete
empiriiche
Kollektive ielbftverft?ndlich
ft,
denn
dieie erf?llen
definitionsgem??
jene
Bedingungen,
aus
denen i?mtliche
S?tze
der
Theorie
analytiich folgen.
Der
empiriiche
Gehalt
der Theorie
ift
alio in die Zuordnungsdefinition gelegt, ftatt in die Axiome: Um
auf Grund
der
Zuordnungsdefinition
gewi?
iein
zu
k?nnen,
da?
eine ftatiftiiiche
Reihe
empiriicher
Daten
ein
Kollektiv
beftimme,
da?
man
alio die
Wahricheinlichkeitstheorie
auf fie
anwenden
d?rfe,
mu?
man
?ber
die
Reihe mindeftens
ebenioviel
wiffen,
wie nach?
tr?glich
die
S?tze der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
?ber fie
auszu
fagen geftatten.
?
Freilich
entfteht
nun
kein
Geltungsproblem
f?r
die
Wahricheinlichkeitsrechnung
mehr,
aber die
Theorie
erm?glicht
auch nicht die
Aufftellung
nicht-analytiicher
S?tze. So
zeigt
die
Er?rterung des Problems der empiriichen Deutung die bereits in (I)
aufgewieiene
Schwierigkeit
in einem
neuen
Aipekt.
Man
bedenke,
da? die
Zuordnungsdefinitionen
der
Geometrie
von
ganz
anderem
Charakter
find:
Sie kennzeichnen
diejenigen
Gebilde,
die
als
?phyfikaliiche
Punkte",
?phyfikaliiche
Geraden"
uiw.
be?
zeichnet
werden
iollen,
nicht
durch
die
Forderung,
da? die
betreffen?
den Gebilde
den
inhaltlich
interpretierten
Axiomen
der
formalen
Geometrie
gen?gen
iollen,
iondern
ohne
jede
Bezugnahme
auf
die
Axiome
(im
Sinne
des
Schemas:
Punkte
=
kleine
K?rperchen,
Geraden = Lichtftrahlen uiw.). So f?hren die Zuordnungsdefini?
tionen die
S?tze der
reinen
Geometrie
in
phyfikaliiche
S?tze
?ber,
die
nicht
i?mtlich
analytiich
find.
Aus
dem
Vorftehenden
ergeben
fich
zwei
Hauptaufgaben
f?r
eine
logiich
befriedigende
Ausgeftaltung
der
empiriftiichen
Theorie
der
Wahricheinlichkeit
:
(I.)
Formalifierung
er
phyfikaliichen
ahrfcheinlichkeitstheorie
in einer
Axiomatik,
die
auch
den
oben
unter
(I)
entwickelten
Be?
dingungen gen?gt.
(II.) Angabe
einer inhaltlichen
Deutung
der
Grundbegriffe
diefer
Axiomatik,
die
von
finiter
Form
ift
und
die
fich
nicht auf die
Be?
dingung
ft?tzt,
da?
die
zu
kennzeichnenden
empirifchen
Gebilde
die
in
den
Axiomen
formulierten
Eigenfchaften
befitzen.
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
239
3. ?ber H. Reichenbachs Axiomatik der Wahr?
fcheinlich keitsre chn
u
n
g
Die
logifche nalyfe
des
?Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
ft
n
j?ng
fler Zeit
durch
die
Unterfuchungen
von
H. R
e
i
ch
e
n
b
a
ch
10)
wefentlich
gef?rdert
worden. Wir
wollen
verfuchen,
die
Bedeutung
diefer
Unterfuchungen
?
deren Inhalt
wiederum
im
weientliehen
als bekannt
vorausgeietzt
werden mu?
?
f?r die
am
Schlu?
des
vorigen
Abfchnittes umriffenen
Fragenkreife
kurz
zu
kennzeichnen.
Ad
(I).
Reichenbach entwickelt
eine
den oben
angegebenen
Bedingungen
gen?gende
Axiomatifierung
der
Wahrfcheinlichkeits?
rechnung.
In
diefer
wird
jede
Wahrfcheinlichkeitsausfage
in
folgen?
der
Form
dargeftellt:
(i)
(x?e0^y?eP)
P
wof?r
auch
abk?rzend
(O^P)
P
gefchrieben
wird.
Die Axiome der
?formalen
Wahricheinlichkeitsrechnung"
? wie
Reichenbach
in
Anlehnung
an
den Ausdruck
?formale
Geo?
metrie"
fagt
?
enthalten
au?er
Zeichenverbindungen
diefer
Form
noch die
logifchen
Grundbegriffe
des
Ausfagen-
und
des
engeren
Funktionenkalk?ls;
die
Ableitung
der S?tze
der formalen Wahr?
fcheinlichkeitsrechnung erfolgt
nach
den
Schlu?regeln
diefer Kalk?le.
Reichenbachs
Axiomatik
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
enth?lt
alfo
in
der
Tat
au?erlogifche
Grundzeichen: das
Zeichen ->
P
der ?Wahrfcheinlichkeitsimplikation vom Grade p", ferner kleine
lateinifche
Buchftaben
mit
Indizes,
wie
x-t,
y?
(i
i,
2,
3,...)
zur
Be?
zeichnung
der
Elemente
zweier
eineindeutig
aufeinander
abgebildeter
abz?hlbar unendlicher
Mengen,
und
gro?e
lateinifche Buchftaben
wie
O,
P
zur
Bezeichnung
von
variablen
Klaffen,
die
ihrem
logiichen
Typ
nach
die
x?
bzw.
y?
als
Elemente enthalten k?nnen.
Bildet
die
von
Reichenbach
gegebene
Darftellung
der
Form
einer
Wahricheinlichkeitsausiage
im
weientliehen
eine
logiftiieh
pr?
zifierte
Ausgeftaltung
des
v.
M i ?
e
s
?chen
Grundgedankens,
da?
der
Wahr?cheinlichkeitsbegriff ein Relationsbegriff fei, der finngem??
10)
Vgl.
befonders:
?Axiomatik
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung",
Math.
ZS.
34,
568
und
?Die
logifchen
Grundlagen
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs",
Erk.
3,
401;
im
folgenden
zitiert
als
?Axiomatik"
und
?Log.
Grundlagen".
16*
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240
Carl
G.
Hempel
nur
mit
Bezug
auf ein
Kollektiv
definiert
werden
k?nne,
fo
liegt
der
in
unferem
Zufammenhang
befonders
intereffierende
Fortfehritt
der
Reichenbach fchen Theorie
darin,
da?
die Wahrfcheinlichkeits?
theorie
hier
im Sinne
der axiomatifchen Methode
rein
formal
unter
Verzicht auf
jede
inhaltliche
Deutung
der
au?erlogifchen
Grund?
begriffe
aufgebaut
wird.
Insbefondere
wird nicht
vorausgefetzt,
da?
Wahrfcheinlichkeitsimplikationen
Limesausfagen
darftellen;
es
wird
vielmehr
gezeigt,
da? die
Limesfaffung
des ftatiftifchenWahrfchein
lichkeitsbegriffs
als
eine
arithmetifche Deutung
der formalen
Wahr
fcheinlichkeitsimplikation
betrachtet
werden
kann;
verm?ge
diefer
Deutung
geht jede
Formel der formalen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
in
einen
analytifchen
arithmetifchen
Satz
?ber,
und
man
erh?lt
fo
ein
?arithmetifches
Modell"
der formalen
Wahrfcheinlichkeits?
rechnung,
das
die und
nur
die S?tze
der mathematifch-ftatiftifchen
Wahrfcheinlichkeitstheorie
enth?lt,
die
allein
aus
der
Vorausfetzung
der
Konvergenz
der
betrachteten
Folgen
(1.
Forderung
der Theorie
von
R.
v.
M i
f
e
s)
ableitbar find.
Ad (II). Um zu einer empirifchen Deutung feinesAxiomenfyftems
zu
gelangen,
bedient fich
Reichenbach
(in
?Axiomatik")
einer
Zuordnungsdefinition,
deren
Grundgedanke
fo
formuliert werden
kann:
Unter
x?,
y?(i
=
i, 2,
3,.
.
.)
verliehe
man
die
paarweife
ein?
ander
zugeordneten
Elemente
zweier
beliebig
erweiterbarer
Mengen
von
empirifchen
Beobachtungsdaten,
unter
O,
P
zwei
Klaffen,
denen
die
x?
bezw.
y-t
als Elemente
angeh?ren
k?nnen,
und die
Formel
(i)(x?
0->y?e
P)
P
deute
man
durch
folgende Ausfage:
?Die
relative
H?ufigkeit
der?
jenigen
F?lle
in
den
Datenreihen,
in
denen
x?
s
O
und
y?
e
P
gilt,
bezogen
auf
die
Anzahl der
F?lle,
in
denen
x?
e
O
gilt, konvergiert
mit
wachfender Zahl der F?lle
gegen
den
Grenzwert
p".
Die
Deutung
der
S?tze der formalen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
mittels
diefer
Zuordnungsdefinition
f?hrt
nun
aber wieder
zu
der
oben
er?rterten
Schwierigkeit:
Wegen
des
transfiniten
Charakters
der
Deutungsvorfchrift
kann
f?r kein
empirifches
Beobachtungs?
material
dar?ber
entfehieden
werden,
ob
es
den
Bedingungen
der
Zuordnungsdefinition gen?gt oder nicht.
Reichenbach h?lt
(in
?Axiomatik")
eine
Behebung
diefer
Schwierigkeit
f?r
ausgeichloffen,
falls
nur
iolche
Behauptungen
als
finnvoll
anerkannt
werden,
die
prinzipiell
endg?ltig
als wahr
oder
als falich entichieden
werden
k?nnen.
Er
vollzieht deshalb
den
?bergang
von
der
?ftrengen
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?ber
den Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
241
Logik"
zu
einer
?Wahrfcheinlichkeitslogik".
Innerhalb
der Wahr?
fcheinlichkeitslogik
werden
die
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
wenn
auch
nicht
als
wahr,
fo doch
als
wahrfcheinlich
entfcheidbar;
das
fei
f?r
die
Wahrfcheinlichkeitslogik
finnvoll und
hinreichend.
Von
diefer
Bafis
aus
greift
Reichenbach
das
durch
den
trans?
finiten
Charakter feiner
Zuordnungsdefinition gegebene
Problem
auf
Grund
folgender
Erw?gung
an:
Die
Entfcheidung
dar?ber,
ob
eine
vorgelegte
Reihe
phyfikalifcher
Beobachtungen
Limescharakter
befitzt oder
nicht,
kann
nicht Sache
empirifcher Feftftellung,
fondern
mu?
Sache
einer
axiomatifchen
Feftfetzung
fein.
Zur
Sicherung
der
Anwendbarkeit
jener
Zuordnungsdefinition
ill
daher
die
Einf?hrung
eines
befonderen
Axioms
erforderlich.
Dies
lautet
wie
folgt:
?Axiom
der Induktion:
Wenn
eine
phyfikalifche
Vorfehrift eine
beliebig verl?ngerbare Folge
von
H?ufigkeitsgr??en
h? (d.
f.
Gr??en,
die
entweder
relative
H?ufigkeiten
find
oder durch
gewiffe
arith?
metifche
Operationen
aus
folchen
hervorgehen;
d.
Vf.)
beftimmt,
von
denen
bereits ht...
hn
ermittelt
vorliegen,
und
wenn 51
und
st
Zahlen
find
derart,
da?
von
einem
Glied
hm(i^m^n)
ab
alle
h
?(m^i^n)
zwifchen den Schranken
st
und
st
liegen,
fo befteht
eine
Wahrfcheinlichkeit
w
daf?r,
da?
die
Folge
einem
Limes
zwifchen
st
und
52
zuftrebt;
w
w?chft
gegen
1,
wenn n?m
nach Unendlich
geht
und dabei
alle
h?
(m^i^n)
zwifchen
diefen Schranken bleiben."
(a.
a.
O. S.
614.)
Damit
ift
die
von
Reichenbach
in
?Axiomatik"
entwickelte
Theorie der
Wahrfcheinlichkeit
in
ihren
Grundz?gen
umriffen.
In
feinen
j?ngften
Ver?ffentlichungen
hat
Reichenbach
feine
Grundlegung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
infofern
ver?ndert,
als
er,
ohne
von
der
transfiniten Form
der
empirifchen
Wahrfchein?
lichkeitsausfagen
abzugehen,
doch
darauf
verzichtet,
die
Anwendbar?
keit
feiner
Deutungsvorfchrift
durch
die
Einf?hrung
eines
befonderen
Induktionsaxioms
zu
fiebern.
Wir
werden auf
diefe
neuere
Auf?
faffung
am
Schlu?
des
Abfehnittes
zur?ckkommen.
1.
Sehen
wir
indeffen zun?chft
von
der
Anwendbarkeitsfrage
ab.
Nehmen wir
an,
es
fei
m?glieh
zu
entfeheiden,
ob zwei
Reihen
empirifcher Beobachtungsdaten
x?,
y?
bei
unendlicher
Verl?ngerung
der
in
der
obigen
Zuordnungsdefinition
ausgefprochenen
Limes?
bedingung
gen?gen:
Dann
bleibt
doch der oben
gegen?ber
der
Theorie
von
R.
v.
Mifes
entwickelte
Einwand
beftehen,
da?
man
bei diefer
Wahl
der
Deutungsvorfchrift
vor
einer
Anwendung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auf
ein
empirifche?
Material
ebenfoviel
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242
Carl
G.
Hempel
?ber die?es Material wiffen mu?, wie nachtr?glich alle Formeln der
Wahricheinlichkeitsrechnung
dar?ber
auszuiagen geftatten:
man
mu?
n?mlich
wiffen,
da? die betrachteten
Folgen
Limescharakter
befitzen,
und wie
Reichenbach
mit der
Aufweifung
des arithmetifchen
Modells
der
formalen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
felbft
zeigt,
find
f?r
konvergente Folgen
?
ob
ihre Elemente
rein
arithmetifch
oder
empirifch
gewonnene
Daten
darfteilen,
ift
offenbar
gleichg?ltig
?
f?mtliche
Formeln
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
analytifche
S?tze.
F?r
dasjenige empiriiche
Material
alio,
auf das
man
gem??
Reichenbachs Zuordnungsdefinition die Formeln der Wahr?
icheinlichkeitsrechnung
anwenden
kann,
ftellen
die
S?tze
der Wahr?
icheinlichkeitsrechnung
analytiiche
Auslagen
dar.
2.
Das
Induktionsaxiom
hat
nun,
wie wir
kurz
lagen
k?nnen,
die
Funktion,
die
Verlegung
des
empiriichen
Gehaltes der
Theorie
in
die
Zuordnungsdefinitionen
gleichiam
wieder
r?ckg?ngig
zu
machen:
in
der Tat foil
es
ja
eine
Anwendung
der Formeln
der
Wahrfchein?
lichkeitsrechnung
fchon auf endliche Reihen
empirifcher
H?ufig?
keitsgr??en erm?glichen.
Indeffen
ift
diefe
Methode,
die
empiriiche
Anwendbarkeit derWahricheinlichkeitsrechnung zu fichern, gewiffen
Bedenken
ausgeietzt.
Reichenbach
reduziert
(?Axiomatik"
S.
618)
das
Geltungs?
problem
der
angewandten
Wahricheinlichkeitsrechnung
auf das
Problem der
Geltung
des
Induktionsaxioms;
das letztere wird alio
wie ein
Naturgeietz
behandelt.
Da
das
Induktionsaxiom aber
ieines
transfiniten
Charakters
wegen
keinen
empirifchen
Gehalt
befitzt,
fo
gibt
es
auch
kein
Geltungsproblem
f?r das Induktionsaxiom
(wohl
gerade
mit
R?ckficht auf diefe
Erw?gung
fpricht
Reichenbach
ausdr?cklich von einem Axiom und erkl?rt, da? es durch eine ??ber
das Feftftellbare
hinausgehende
axiomatifche
Forderung"
eingef?hrt
werde.
Aber diefer
Hinweis behebt
die
Schwierigkeit
nicht,
fondern
macht
erft recht
deutlich,
da?
f?r
das
Induktionsaxiom
kein Gel?
tungsproblem
beftehen
kann.)
Weiter
erkennt
man
unfchwer,
da?
zu
jeder
Folge
von
H?ufig?
keitsgr??en
der
im
Induktionsaxiom
erw?hnten
Art
drei nat?rliche
Zahlen
m,
st,
st
angegeben
werden
k?nnen
derart,
da? die Be?
dingungen
des
Axioms
erf?llt
find. Hiernach
find dem Axiom
zu?
folge die Formeln derWahrfcheinlichkeitsrechnung auf jede beliebige
endliche
Reihe
von
H?ufigkeitszahlen
mit einer
gewiffen
Wahr
fcheinlichkeit
anwendbar.
Das
Induktionsaxiom
icheint alio
in
der
obigen
Form in
einer
beftimmten
Hinficht
?zu
viel",
in einer
anderen
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
243
?zu
wenig"
zu
befagen:
zu
viel
infofern,
als
es
die ?blichen
?empi?
rifchenKollektive"
in
keiner
Weife
von
willk?rlich
zufammengeftell
ten
Folgen
phyfikalifcher
H?ufigkeitsgr??en
unterfcheidet,
zu
wenig
infofern,
als
es
durch den unbeftimmten
Zufatz
?mit
einer
gewiffen
Wahrfcheinlichkeit"
in
un?berfehbarer
Weife
abgefchw?cht
ift.
Aus allen
diefen Gr?nden
erfcheint
es
als nicht
ang?ngig,
das
Induktionsaxiom
als
eine
Art
Naturgefetz
einzuf?hren.
Vielmehr
d?rfte
das
Axiom
angemeffener
als Ausdruck
einer
Feftfetzung
zu
bezeichnen fein,
die aber
nicht
die
quafi-empirifche Konvergenz
phyfikalifcher
Folgen
im
Falle
ihrer
?unendlichen
Verl?ngerung"
be?
trifft,
fondern
die inhaltliche
Deutung
der
Formeln
von
der
Geftalt
(O-^P).
Anftatt
nun
unter
Zwifchenfchaining
des
Induktionsaxioms
P
zu
fagen:
Endliche
Reihen
empirifcher
H?ufigkeitszahlen
haben
mit
einer
gewiffen
Wahrfcheinlichkeit
Limescharakter,
und
f?r
Folgen
mit
Limescharakter
find die
Formeln der
Wahricheinlichkeitsrechnung
analytiich,
?
?cheint
es
mir
der
logiichen
Situation
mehr
zu
ent
iprechen,
wenn
man
im
Sinn der
Aufftellung
einer
Zuordnungs?
definition feftfetzt: Die Formeln der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
find auf
endliche Reihen
empirifcher
H?ufigkeitsgr??en
anzuwenden.
Durch
eine
derartige
Feftfetzung
?
die
freilich noch
einer
forg
f?ltigen
Formulierung
bedarf
?
wird
einerfeits
die Wahrfcheinlich?
keitsrechnung
als
formale
Theorie
eines
Zweiges
der
empirifchen
Wiffenfchaft
dargeftellt
und
andererfeits
die
Problematik
des
Induk?
tionsaxioms
vermieden.
3.
Die
unter
2.
entwickelten
Bedenken
entfallen
gegen?ber
der?
jenigen,
etwas
ver?nderten
Form,
die
R
e
i
ch
e
n
b
a
ch
feiner
Theorie
in feinen
j?ngften
Ver?ffentlichungen
gegeben
hat.
Wie
aus
dem in
?Log. Grundlagen"
entwickelten
?berblick
?ber
feine
gegen?
w?rtige
Auffaffung hervorgeht,
beh?lt
Reichenbach
fowohl
die
Axiomatik
wie auch
die
transfinite
Zuordnungsdefinition
bei
(die
hierzu
unter
1.
angeftellten
Erw?gungen
bleiben
daher
beftehen);
dagegen
fichert
er
die
Anwendbarkeit
der
Zuordnungsdefinition,
die
das
Beftehen
konvergenter empirifcher
Folgen
vorausfetzt,
nicht
mehr durch ein
Axiom,
fondern
ft?tzt
die
Anwendung
der Wahr?
fcheinlichkeitsrechnung
auf
eine
?Theorie
der
Setzung". Wegen
der
Einzelheiten
diefes
Begriffs
mu?
auf
den
genannten
Auffatz ver
wiefen
werden;
hier
fei
nur
die
f?r
unferen
Zufammenhang
ent?
fcheidende
Stelle
zitiert:
?Wenn
wir
in
dem
vorliegenden
endlichen
Abfchnitt
der
Folge
eine
gewiffe
H?ufigkeit
hn
beobachtet
haben,
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244
Carl
G.
Hempel
io
fetzen
wir
darauf,
da? die
Folge
bei weiterer
Verl?ngerung
einem
Limes bei hn
(richtiger:
innerhalb
/?"+(?)
zuftrebt.
Wir
fetzen
dies;
wir
wollen nicht
iagen,
da?
dies
wahr
ift,
wir
ietzen
es
nur
in
dem
ielben
Sinne,
wie
der
Spieler
auf das
Pferd
ietzt,
welches
er
f?r
das
ichnellfte h?lt"
(a.
a.
O.
S.
414).
Reichenbach
iucht
auch
eine
Rechtfertigung
des
hiermit zun?chft
nur
befchriebenen
wiffen
fchaftlichen Verfahrens
zu
geben,
das
er
als
?approximative
Setzung"
bezeichnet.
Die
Grundgedanken
ieiner
Argumentation
kann
man
io
zuiammenf?ffen: Ift die unteriuchte empiriiche Datenreihe ?ber?
haupt
konvergent,
io
f?hrt
das
Verfahren
der
approximativen
Setzung
ficher
zu
einer
?chrittwei?en
Ann?herung
an
den Wert ihres
Limes;
liegt
dagegen
eine
divergente
empiriiche
Folge
vor,
io kann
?berhaupt
kein
Verfahren
zum
Ziele f?hren.
Wir
k?nnen
nun
zwar
von
einer
empiriichen
Folge
nie
wiffen,
ob
fie
konvergiert;
wohl
aber
k?nnen
wir
lagen,
da? das Verfahren der
approximativen
Setzung
dann,
wenn
?berhaupt
etwas
zu
erreichen
ift,
zum
Ziele
f?hrt.
Dieie Betrachtungsweiie icheint mir nun einen Gedanken wieder
aufzunehmen,
der bereits der
Einf?hrung
des
Induktionsaxioms
zu?
grunde
lag:
So
wie dort die
S?tze der
angewandten
Wahricheinlich?
keitsrechnung
auf
die
Geltung
des
Induktionsaxioms
geft?tzt
werden
iollten,
io
wird
die
Berechtigung
der
approximativen
Setzung
auf
die
Vorausietzung
zur?ckgef?hrt,
da?
die
empiriichen
Folgen
Limes?
charakter
befitzen
?
nur
wird
die
Geltung
dieier
Vorausietzung
nicht
poftuliert,
iondern
als
problematiich
hingeftellt.
Auf
dieie
Be?
trachtung
?bertragen
fich
finngem??
die oben
unter
2.
entwickelten
Bedenken, die ?berhaupt io lange beftehen bleiben d?rften, wie
man
die
erw?hnte
transfinite
Betrachtungsweiie
f?r
die
empiriichen
Datenreihen
wie
eine
Behauptung
oder
Vorausietzung
mit
empiri
ichem
Gehalt
behandelt.
Pofitiv
gewendet:
In
dem Gedanken
?empiriiche
Wahricheinlich
keiten
find
aus
endlichen
Datenreihen
durch
approximative
Setzung
zu
beftimmen;
die
approximative
Setzung
f?hrt
zu
richtigen
Ergeb
niffen,
wenn
die
Datenreihen
konvergente
Folgen
beftimmen;
in die
iem Falle
gelten
f?r die
durch das
finitiftiiche
Setzungsverfahren
ge?
fundenen Zahlen die S?tze der Wahricheinlichkeitsrechnung"
d?rfte wiederum
eine
finitiftiiche
Zuordnungsdefinition
zum
Aus?
druck
kommen,
die
im
weientlichen
beiagt:
Die Formeln
der Wahr?
icheinlichkeitsrechnung
find auf
endliche
Reihen
empiriicher
H?ufig?
keitsgr??en
anzuwenden.
Eine iolche
Betrachtungsweiie
macht
die
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
245
Anwendung
der
Wahricheinlichkeitsrechnung
auch
unabh?ngig
von
der
von
Reichenbach
unternommenen
Rechtfertigung
der
approximativen
Setzung
mit
ihren
transfinit-empirifchen
Voraus?
fetzungen:
Genau
fo
wenig
wie
die
Zuordnungsdefinitionen,
die
die
formale
in
die
angewandte
Geometrie
?berf?hren,
noch
eine
befon?
dere
?Begr?ndung"
erhalten,
fo
wenig
erfcheint
es
auch
als
erforder?
lich,
oder
nur
als
zul?ffig,
die
Zuordnungsdefinition,
die
mit
dem
Begriff
der
approximativen
Setzung
implizit
eingef?hrt
wird,
durch
zuf?tzliche
Betrachtungen
zu
rechtfertigen
oder
zu
begr?nden.
Im folgendenfoildieM?glichkeit einerfinitiftifcheneutung des
empirifch-ftatiftifchen
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs,
wie fie
oben
be?
reits
mehrfach
angedeutet
worden
ift,
n?her
unterfucht
werden.
4.
Zur
?finitiftifchen"
Deutung
des
empirifchen
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs.
Eine
finitiftifche
eutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
ird
nicht
nur
durch
die
Einficht
in
die bisher
er?rterten
logifchen
Schwierigkeiten
der
transfiniten
Deutung
nahegelegt:
fie
ergibt
fich
auch auf Grund einer rein
defkriptiven
Analyfe
der
Methoden,
mittels deren
in
der
empirifchen
Wiffenfchaft
Wahrfcheinlichkeits?
ausfagen aufgeftellt
oder
nachgepr?ft
werden.
Dies foil
nun
n?her
erl?utert
werden.
(Dabei
werden
wir
uns
h?ufig
auf die
Unter?
fuchung
wahrfcheinlichkeitstheoretifcher
Betrachtungen
in
der
Phyfik
befchr?nken,
die fich
zwar
durchaus
nicht
grundf?tzlich
von
den?
jenigen
anderer
Zweige
der
empirifchen
Wiffenfchaft
unterfcheiden,
die
aber
wegen
der
Pr?zifion
der
phyfikalifchen Begriffsbildung
einer
logifchen
Analyfe
am
eheften
zug?nglich find.)
a)
Die
Nachpr?fung
einer
empirifchen
Wahrfcheinlichkeitsausfage
fl?tzt fich offenbar ftets auf
ein
fin?tes
Material;
insbefondere
wen?
det
man
die
Gefetze der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auch auf
folche
Beobachtungsreihen
an,
die nicht einmal
?im
Prinzip"
beliebig
ver?
l?ngerbar
find,
wie
es
die
Anwendung
des
Limesbegriffs
der Wahr?
fcheinlichkeit vorausfetzt:
man
denke
etwa
an
das
Gebiet der Sozial
flatiftik,
ferner
an
alle
im
engeren
Sinne
phyfikalifchen
Anwen?
dungen
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung,
foweit
fie
fich auf Schar?
mittelungen
ft?tzen:
dort
w?rde die
?beliebige
Erweiterbarkeit" des
ftatiftifehenMaterials vorausfetzen, da? es ?unendlich viele"
gleich?
artige
Dinge
oder
Vorg?nge
in
der
Welt
gebe;
z.
B.
in
der An?
wendung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auf die
Elektronen?
ila
tiftik:
unendlich
viele
Elektronen.
Ganz
abgefehen
davon
nun,
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246
Carl G.
Hempel
da?
der Sinn
einer
derartigen
Hypotheie
noch
einer
iorgf?ltigen
Kl?rung
bed?rfte,
kann
jedenfalls geiagt
werden,
da?
die Anwen?
dung
wahricheinlichkeitstheoretiicher
Methoden
in
der
Phyfik
nicht
davon
abh?ngig
gemacht
wird,
ob
iolche
Vorausfetzungen
als finn?
voll
und
g?ltig
angeiehen
werden oder nicht.
Entiprechendes
gilt
von
denjenigen
F?llen,
in
denen die
Wahricheinlichkeitsrechnung
auf
zeitliche
Mittelbildungen
angewandt
wird.
b)
Sehr
klar tritt
der finitiftiiche
Charakter
der
empiriichen
Wahricheinlichkeitsausiagen
an
iolchen Stellen
hervor,
wo
ftatiftiich
gedeutete
Wahricheinlichkeitswerte
mit
den
Werten
anderer Gr??en
in
Zuiammenhang gebracht
werden;
dies
geichieht
z.
B.,
wenn
man
im
Rahmen
der
Bohr
ichen Theorie die Intenfit?tsverh?ltniffe
von
Spektrallinien
gleich
den
Verh?ltniffen
der
entiprechenden
?ber
gangswahricheinlichkeiten
anietzt: Da
in
endlicher
Beobachtungszeit
gewi?
nur
endlich viele
Quantenipr?nge
ftattfinden,
io
bedeutet
n?mlich
jener
Aniatz,
da?
die
Wahricheinlichkeit
eines
beftimmten
?berganges
durch ieine relative
H?ufigkeit
in
einer
endlichen
Menge
von
Quantenipr?ngen
er
letzt
wird;
und ohne
eine
iolche
Finitifie
rung
w?re
der
Wahricheinlichkeitsbegriff
offenbar
nicht
zur
Ver?
mittlung jener
kontrollierbaren
Auslage
?ber Intenfit?tsverh?ltniffe
geeignet.
Ein
?hnlicher
Fall
liegt
vor,
wenn aus
der Zerfallswahr
fcheinlichkeit
einer
radioaktiven Subftanz
in
bekannter
Weiie
be?
rechnet
wird,
wie
viele
von
n
Atomen dieier
Subftanz
nach Ablauf
einer Zeit Ai
noch
vorhanden find.
Auch
dieie
Erw?gungen
laffen
es
als
angemeffen
ericheinen,
die
inhaltliche
Deutung
der
Wahricheinlichkeitsausiagen
finit
zu
faffen.
Und
tati?chlich
ind finitiftiicheendenzen
in
der Diskuifion
des
Wahricheinlichkeitsproblems
bereits mehrfach
hervorgetreten.
Ein
inftruktives
Beiipiel
f?r
folche
Beftrebungen
Hellt die
Frage
dar,
die
O.
Neurath
1929
auf der
Prager
Tagung
f?r
Erkenntnislehre
der
exakten Naturwiffenfchaften
aufwarf:
?ob
fich
nicht
der
Begriff
des
Infiniten ausfchalten
lie?e,
indem fchon das
Geb?ude
der
mathe?
matifchen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
ftatt auf dem
Begriff
des
Kollektivs auf dem einer
endlichen
Menge
von
Elementen
aufgebaut
werden k?nnte"
(Erk.
I,
277)
u).
R.
v.
M
i
?
e
s
erwiderte
damals:
n) Die Grundz?ge des Aufbaus einer Wahrfcheinlichkeitstheorie als einer
mathematifchen
Theorie
endlicher Kollektive
find
inzwifchen
von
J.
Blume
in
folgenden
zwei Arbeiten
entwickelt
worden:
(i)
Zur axiomatifchen
Grundlegung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung. Inauguraldi??ertation
der
philofoph.
u.
natur
wi??enfchaftl.
Fakult?t
der
Univerfit?t
M?nfter.
Vorgelegt
1933.
?
(2)
Mathe
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
24J
?...
das w?re fehr
fchwierig
und
un?berfichtlich,
und
man
w?rde
keinen
einzigen
einfachen
Satz
herausbekommen.
Der erfte
Anfatz,
den
eine
Verficherungsgefeilfchaft
bei ihren
Rechnungen
macht,
fetzt
fehon
eine
unendliche
Maffe
voraus.
Es
verh?lt fich demnach
fo:
Aus
praktifchen
Gr?nden bedient
man
fich der
infiniten
Theorie,
man
rechnet,
obwohl
das
Verfuchsmaterial
endlichen Abfehnitten
entnommen
ift,
fo,
als ob
es
unendlich
w?re,
und
in
allen
Opera?
tionen bedient
man
fich
der
Rechenregeln,
die auf
der Annahme
unendlicher
Kollektivs
beruhen,
weil fie
k?rzer, einfacher,
?berficht
licher find".
(Erk.
I,
279).
In
diefer Diskuffion wird indeffen nicht
deutlich
unterfchieden
zwifchen der
logifchen
Struktur
der
S?tze einer
formalifierten
Theorie und
der
logifchen
Struktur der ihnen durch die
Deutungs?
vorfchrift
zugeordneten
empirifchen
S?tze.
Wie die
vorangegange?
nen
?berlegungen
zeigen,
ift
es
nun
f?r eine
Behebung
der
logifchen
Schwierigkeiten
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
keineswegs
erforder?
lich,
die
kalk?lm??ige
Behandlung
der
Wahrfcheinlichkeitsreehnung
zu finitifieren;efentlich ft ediglich, a? die empirifcheeutung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
keinen transfiniten
Charakter
er?
h?lt;
nicht
die
Formeln des Kalk?ls find
alfo
zu
finitifieren,
fondern
diejenigen
S?tze,
mittels deren
der
Gehalt der
empirifchen
Wahr?
fcheinlichkeitsausfagen
dargeftellt
wird.
F?r
die
Kl?rung
diefer
logifchen
Situation ift die
durch
Reichenbachs
axiomatifche
Theorie
erm?glichte
Einficht
von
gr??tem
Wert,
da?
die
Limesdeutung
des
Wahrfcheinlichkeits?
begriffs
nur
eines
der
Modelle
der
formalen Wahrfcheinlichkeits?
rechnung charakterifiert, da? fie dagegen f?r den Aufbau der forma?
len
Theorie felbft
keineswegs
notwendig
ift.
Die
Verkennung
diefes
Umftandes d?rfte
zu
der
Meinung
beigetragen
haben,
da?
auch die
Anwendung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auf
unendliche
Folgen
zu
befchr?nken fei.
F?r
das
Feilhalten
an
einer
transfiniten
Deutung
der
empirifchen
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
find
aber
noch
andere
Erw?gungen
ma?gebend geweien.
Der
Gedanke
n?mlich,
die
Wahrfcheinlichkeits
ausiagen
als
Auslagen
?ber
relative
H?ufigkeiten
in
endlichen
Datenreihen zu
betrachten,
fcheint
(a)
in manchen F?llen
geradezu
in
Abfurdit?ten
zu
f?hren,
und
(?)
in
keinem
Falle
eine
Darfteilung
matifche
Begr?ndung
einer
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
mit
finiten
Kollektiven.
Zeitfchrift ?r
Phyfik.
1934.
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248
Carl
G.
Hempel
des
Sinnes
der
empirifchen
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
zu
erm?g?
lichen.
In
der
Tat
w?rde
eine
finitiftifche
Interpretation
etwa
der
Aus?
lage:
?Die
Wahrfcheinlichkeit,
mit
diefem W?rfel
einen
F?nferwurf
zu
machen,
ift
V6"
in
erfter
Ann?herung
fo
lauten:
?In
jeder
Reihe
mit
einer
beliebigen
endlichen
Zahl
n von
W?rfen
mit
diefem
W?r?
fel
treten
?
F?nferw?rfe
auf."
?
Dies ift
nun
(a)
abfurd
f?r folche
6
Werte
von
n,
die
keine
ganzzahligen
Vielfachen
von
6
find,
(?)
Ab
gefehen
hiervon
aber hat
jene Wahrfcheinlichkeitsausfage
auch
nicht
den
Sinn,
die relative
H?ufigkeit
der F?nferw?rfe
auf
genau
V6
feftzulegen:
man
bezeichnet
beim
Auftreten
gewiffer
Abweichungen
die
Wahrfcheinlichkeitsausfage
nicht
gleich
als
falfch;
man
erwartet
im
Gegenteil
regelm??ig
auch
gr??ere Abweichungen.
Diefe
Erw?gungen
k?nnen
nun
zwar
keineswegs
die transfinite
Deutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
rechtfertigen,
denn
offen?
bar
laffen
fie i?mtliche
Bedenken,
die
oben
gegen
dieie
vorgebracht
wurden, ganz unber?hrt;
wohl
aber
k?nnen
fie
als
Hinweiie f?r
eine
geeignete
Einfchr?nkung
der
eben
angedeuteten
finitiftifchen
Faffung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
dienen.
Die
Schwierigkeit
(cc)
l??t
fich,
wie
bald
gezeigt
werden
wird,
durch
eine
geeignete
Ab?nderung
der finitiftifchen
Deutung
leicht
vermeiden.
Der Einwand
(?)
dagegen
fcheint
mir
?berhaupt
nicht
eine
logifche
Schwierigkeit
aufzudecken,
die
gerade
der
finitiftifchen
Deutung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
anhaftet
und
ihre
Unnah?
barkeit
erweift,
fondern
er
fcheint
mir
lediglich
am
Beifpiel
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
eine
logifche
Situation
zu
beleuchten,
die
grundf?tzlich
f?r
jeden
Satz
der
empirifchen
Wiffenfchaft
vorliegt.
Der Einwand
(?)
fetzt
n?mlich die
fchon
fr?her
angedeutete
?
wie wir
fagen
wollen: klaffifche
?
Auffaffung
der
Hypothefen
voraus.
Dieier
Auffaffung
zufolge
ift
eine
Hypothefe
ein
genereller
Satz
(genauer:
eine
generelle
Implikation);
fie
umfa?t unendlich
viele
Einzel-
oder
Spezialf?lle,
die nicht alle
nachgepr?ft
werden
k?nnen,
und
l??t
fich daher
ihrerfeits nicht
vollft?ndig
und
endg?ltig
beft?tigen.
Dagegen
l??t fich
eine
Hypothefe
endg?ltig
widerlegen;
hierzu gen?gt bereits der Nachweis, da? ein einziger ihrer Spezial?
f?lle
ein
empirifch
falfcher
Satz ift.
Auf unferen
Fall
angewandt
befagt
dies:
Der
vorgefchlagenen
finitiftifchen
Deutung zufolge
ift
die
Ausfage
?ber die
Wahrfcheinlichkeit
eines
F?nferwurfs
eine
Hypothefe,
die
generell
f?r
jeden
Wert
von
n
gilt.
Ihre Einzelf?lle
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
249
erh?lt man durch Einfetzen
beliebiger
ganzzahliger
Werte f?r n.
Einer diefer
Einzelf?lle lautet
alfo:
?Unter 24
W?rfen
mit
jenem
W?rfel kommen
genau 4
F?nferw?rfe
vor".
Trifft die finitiftiiche
Deutung
zu,
io
m??te
die?e
Ausfage
bereits
als
widerlegt
gelten,
wenn
bei einer
Nachpr?fung
fich
auch
nur
dieier eine
Folgeiatz
als
falich
erwieie.
Tatf?chlich wird aber
in
einem
iolchen Falle die
Wahrfcheinlichkeitsausfage
noch
keineswegs notwendig
als
falich be?
zeichnet;
daher
kann die
finitiftiiche
Deutung
den
Sinn
der
empiri?
ichen
Wahricheinlichkeitsausiagen
nicht erfaffen.
Es l??t fich indeffen
zeigen,
da? ein
empiriicher
Satz,
ganz
gleich
welcher
logiichen
Form,
fich
grundi?tzlich
ebeniowenig endg?ltig
und
vollft?ndig
widerlegen
wie
beft?tigen
l??t.
Die
?klaifi?che"
Auf?
faffung
der
Hypotheien
erweift fich
damit als
zu
eng
und
der
auf
ihr
beruhende
Einwand
(?)
wird
hinf?llig.
Dies
foil
jetzt
genauer
dargelegt
werden.
Zu einer
formalen
Charakterifierung
des
Verfahrens,
nach dem
die
empiriiche
Wiffenichaft
ihre S?tze
nachpr?ft,
kann
man
12)
durch
folgende
Betrachtung gelangen:
Die
empiriiche
Wiffenichaft ftellt
ein
Syftem
von S?tzen
dar,
die nach
gewiffen
?fyntaktifchen" Regeln
aus
beftimmten
Grundbeftandteilen
aufgebaut
find,
und zwiichen
denen
gewiffe
Ableitungsbeziehungen
beftehen.
Der
durch
den
Fort?
ichritt
der
Forichung
bedingten
Ver?nderlichkeit
des
Erkenntnis
beftandes der
empiriichen
Wiffenichaft wird
in
dieier
formalen
Be?
trachtungsweiie
dadurch
Rechnung
getragen,
da? das
erw?hnte
Syftem
von
S?tzen
als
ab?nderbar
angefetzt
wird: die
Gewinnung
einer
neuen
empirifchen
Erkenntnis
kommt
in
der
Aufnahme eines
(oder
nat?rlich
mehrerer)
?neuen"
Satzes
in
das
Syftem
zum
Aus?
druck, die daf?r unter Umft?nden die
Streichung gewiffer
?alter"
S?tze
erforderlich
machen
wird.
Dabei
nennen
wir einen Satz
?alt"
oder
?neu",
je
nachdem
er
eine
logifche
Folge
der
bereits
anerkann?
ten
S?tze
ift
oder nicht.
Wie
wird
nun
dar?ber
entfchieden,
ob ein
f?r
die
Aufnahme
in
Vorfchlag
gebrachter
neuer
Satz
?
wir
wollen
einen
folchen,
unab?
h?ngig
von
feiner
logiichen
Form,
auch
eine
?Hypotheie"
nennen
?
in
den
Beftand der
empirifchen
S?tze
aufgenommen
wird
oder
nicht?
Man
pflegt
in
der
?blichen
?inhaltlichen"
(Carnap)
Redeweife
zu fagen, zu jedem Satze geh?rten beftimmte
Verifikationsbedingun
12)
Im
Anfchlu?
an
Carnap
??ber
Protokollf?tze",
Erk.
3,215;
und
Neu?
rath
?Protokollf?tze",
Erk.
3,
204.
Vgl.
zum
folgenden
auch:
Hempel
"On
the
Logical
Positivists*
Theory
of
Truth".
Analysis
(Oxford),
Vol.
2,
No.
4.
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2?0
Carl
G.
Hempel
gen,
die
es
geftatten,
durch
geeignete
Beobachtungen
oder
Experi?
mente
die Wahrheit
oder Falfchheit des
betreffenden
Satzes
feftzu?
ftellen.
(Zwifchen
der
?beobachtenden"
und
der
?experimentellen"
Methode beftehen
keine
grundf?tzlichen
Unterfchiede;
wir
brauchen
daher
im
folgenden
die
terminologifche
Unterfcheidung
nicht
immer
ausdr?cklich
durchzuf?hren.)
Das
Nachpr?fungsverfahren
ft?tzt
fich
alfo auf
geeignete
Kontrollverfuche
und macht
die Wahrheit
des
Satzes
von
dem Ausfall der Verfuche
abh?ngig.
Dabei
ift
es
erkenntnistheoretifch ohne Belang, ob die Kontrollverfuche zeitlich
vor
oder nach
der
Aufftellung
der
zu
pr?fenden
Hypothefe
durch?
gef?hrt
werden.
Erkenntnispraktifch
liegt
hier
freilich
u.
U.
ein
wichtiger
Unterfchied
vor:
im
zuerft
genannten
Falle kann
es
fich
um
die
?Aufftellung
einer
Hypothefe
an
Hand beftimmter
empiri?
fcher
Daten",
im
zweiten
dagegen
um
die
?nachtr?gliche
Nach?
pr?fung"
einer
?
anderweitig
gewonnenen
oder
auch
auf Grund
einer
Vermutung
probeweife
angefetzten
?
Hypothefe
durch
ein
eigens
zu
diefem Zwecke
befchafftes
empirifches
Material handeln.
Die logifche Struktur des Kontrollverfahrens ift indeffen in beiden
F?llen diefelbe:
Jedesmal
wird
die
zu
pr?fende
Ausfage,
die
?Hypo?
thefe",
mit
dem Gefamtbeftande
der anerkannten
empirifchen
S?tze
konfrontiert.
Diefe
Konfrontation
gefchieht
nach
folgendem
Schema:
Zu der
Hypothefe
h
werden
geeignete
generelle
oder
fingul?re
S?tze
pt, pt,..
.y
k
aus
dem
Syftem
S
der anerkannten
empirifchen
S?tze
adjungiert;
aus
der fo
entftehenden
Satzmenge
{
h,
pt,..
.,
p^}
wer?
den
gewiffe
Folgerungen
ft, ft,..
.,
fi
abgeleitet,
und
diefe
werden
mit geeigneten weiteren S?tzen gt,gt,. .. gm aus S verglichen.
Beifpiel:
h
bedeute:
?Die
Dichte
des
Queckfilbers
bei
Zimmertemperatur
ift
13,5".
Die
Nachpr?fung
erfolge
durch
W?gung
eines
mit
Queckfilber
gef?llten
Gef??es.
Dann
enth?lt
das
Syftem
der
S?tze
pK
die Definition
des
Begriffes
?Dichte",
ferner
etwa
die
Angaben:
?Das
Volumen
des Gef??es
betr?gt
50
cm3",
?Das
?ewicht
des
leeren
Gef??es
betr?gt
30
g".
Aus diefen
S?tzen
zufammen
mit der
Hypothefe
h
l??t
fich
die
Folgerung
/
ableiten:
?Mit
Queckfilber
von
Zimmertemperatur
gef?llt,
wiegt
das Gef??
(30+13,5.50=)
705
g".
Ein
?ge?
eigneter"
Satz
aus
S,
mit
dem
/
verglichen
werden
kann,
ift
nun
ein
folcher
Satz,
der das
bei der
W?gung
ermittelte
Gewicht
des mit
Queckfilber
gef?llten
Ge?
f??es
angibt.
Er lautet etwa g: ?Das mit
Queckfilber
gef?llte Gef?? wog 703 g".
Wir
wollen
iolche
S?tze
g^
aus
5,
an
denen
die
Pr?fung
einer
Hypothefe
erfolgt,
?Kontr
oll
f
tze"
nennen;
ferner
folien
diejenigen
S?tze
fx,
die
aus
der
Hypothefe
und
geeigneten
weiteren
Pr?miffen
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
251
abgeleitet
werden,
als
?Kontrollfolgef?tze"
oder kurz
?Kontroll?
folgen"
der
Hypothefe
bezeichnet
werden.
Es
ift
zu
beachten,
da? im
Prinzip
jeder
beliebige
Satz
aus
5
als
Kontrollfatz
fungieren
kann;
die
Kontrollf?tze
?
und ebenfo daher die
Kontrollfolgen
?
unterliegen
in
der
Wiffenfchaft
keinerlei
einfchr?nkenden
Bedingungen:
Insbe
fondere
find fie
weder
auf
die
Klaffe
der
formal einfachften
S?tze der
phyfika
lifchen
Sprache
noch
auf
die Klaffe
der
fog. ?Beobachtungsausfagen"
befchr?nkt.
(Man
vergleiche
hierzu die
eingehenden
Ausf?hrungen
Carnap
s
(f.
Fu?note
12,
S.
222
ff.).
Die hier
fkizzierten
fyntaktifchen
Feftftellungen
charakterifieren
bei
Carnap
eine
unter
mehreren
m?glichen
Sprachformen,
die
er
als
zweite
Sprach?
form,
Weg
B
bezeichnet:
Protokollf?tze
ohne
Befchr?nkung
innerhalb
der
Syftem
fprache.
Hier
ift
lediglich
diefe
eine
Sprachform
in
Betracht
gezogen
worden,
da
fie,
?
und dies
d?rfte auch
die
Anficht C
a
r n a
p
s
fein
?
die
Struktur
der
Sprache
der
gegenw?rtigen
Wiffenfchaft
am
genaueften
darftellt.
Wie
die
letzten
?berlegungen
zeigen,
ift zun?chft
der Grund?
gedanke
der
klaffifchen
Auffaffung,
da?
eine
Hypothefe
grundf?tz?
lich
nicht
endg?ltig beft?tigt
werden
k?nne,
auf
alle
empirifchen
S?tze
auszudehnen.
In
der Tat laffen fich
f?r
jeden empirifchen
Satz
beliebig
viele
Kontrollm?glichkeiten
angeben (im
obigen
Bei
fpiel
von der Dichte des
Queckfilbers
gibt
es noch zahlreiche andere
Me?methoden,
es
l??t
fich
aber auch die eine oben
zugrunde gelegte
Methode
durch
Ab?nderung
der
in
die
Meffung eingehenden
Kon
ftanten wie
Gef??
volumen,
Gef??gewicht
uff.
beliebig
variieren;
jedesmal
entliehen
dann andere
Kontrollfolgen).
Mit anderen
Worten: Das
Syftem
S
l??t
fich
auf
beliebig
viele
verfchiedene
Weifen
durch
Einf?hrung
neuer
S?tze
(?inhaltlich"
gefprochen:
durch
Realifierung
immer
neuer
Verfuchsbedingungen
zur
Nachpr?fung
von
h)
fo
erweitern,
da?
auch
die
Menge
der
Kontrollfolgen
von
h
erweitert wird. In diefem Sinne wollen wir fagen, da? eine Hypo?
thefe
?beliebig
viele"
Kontrollfolgen
befitze.
Die klaffifche Annahme
der
M?glichkeit
einer
endg?ltigen
Wider?
legung
empirifcher
S?tze l??t fich
dagegen
nicht
aufrechterhalten.
Den
diefer
Annahme
zugrunde liegenden
Gedanken k?nnen
wir
jetzt
fo
formulieren:
Eine
Hypothefe
h
wird
nicht
in S
aufgenommen,
wenn
es
mindeftens
eine
Kontrollfolge
/
von
h
gibt,
die nicht
mit
dem
entfprechenden
Kontrollfatz
g
?bereinftimmt.
Indeffen
ent
fpricht
diefe
Auffaffung,
wie
beionders
R
e
i
ch
e n
b
a
ch mehrfach
hervorgehoben
hat,
nicht dem
tati?chlich
in
der
Wiffenichaft
ge?
?bten
Nachpr?fungsverfahren.
Die
vorhin
betrachtete
Auslage
?ber
die
Dichte
des
Queckfilbers
z.
B.
gilt
nicht
notwendig
als
widerlegt,
wenn,
wie oben
angenommen,
der
?empiriiche
Befund"
(Kontroll
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2?2
Carl
G.
Hempel
fatz)
nicht
genau
der
?Vorausfage" (Kontrollfolge)
entfpricht.
Das?
felbe
gilt
grundf?tzlich
in
jedem
anderen
Falle;
befonders inftruk
tive
Beifpiele
bilden
Kontrollfolgen,
die
die
Form
zahlenm??iger
Angaben (etwa
von
L?ngen,
Temperaturen
etc.)
befitzen.
In
diefen
F?llen
begn?gt
man
fich
damit,
da?
die
jeweils
zu
meffende
Gr??e
in ein
hinreichend fchmales
Intervall
um
den durch die Kontroll?
folge
feftgelegten
Wert
f?llt,
und
man
kann
fagen,
da?
eine
Hypo?
thefe
nicht
nur
nicht
notwendig
aufgegeben
wird,
wenn
einer der
Kontrollverfuche
zu
einem abweichenden Refultat f?hrt, fondern
da?
in
vielen
F?llen,
insbefondere metrifcher
Angaben,
die
?Be?
ft?tigung"
einer
Hypothefe
ausfchlie?lich auf Grund folcher
Meffungsbefunde
erfolgt,
die kleine
Abweichungen
von
den
gem??
der
Hypothefe
zu
erwartenden
Ergebniffen
zeigen.
Einen
typifchen
Fall
diefer Art
bildet
die Konftruktion
einer
Kurve,
die einen
empi?
rifchen
Zufammenhang
darfteilen
foil,
aus
?Meffungspunkten",
von
denen
u.
U. kein
einziger
auf
der
Kurve
liegt.
Wird eine
Hypothefe
trotz
des
Beftehens
von
Abweichungen
der
angedeuteten
Art
in das
Syftem
S
aufgenommen,
fo
mu?
deffen Satzbeftand
zur
Sicherung
der
Wideripruchsfreiheit
in
geeigneter
Weife
abge?ndert
werden.
Hierzu
werden
meiftens
einige
der
S?tze
p
oder
einige
der S?tze
g
aus
dem
Syftem
S
ausge
fchieden.
(Im
einfachften
Fall
bedeutet
dies
anfchaulich,
da?
Fehler
der
Verfuchs?
anordnung
oder
der
Beobachtung
angenommen
werden.)
Die
Wideripruchsfreiheit
kann noch durch andere
Ab?nderungen
gefichert
werden,
die hier
jedoch
nicht
n?her
er?rtert
werden
folien.
Man
k?nnte
nun
verfuchen,
den
Grundgedanken
der
klaffifchen
Auffaffung
von
der
Widerlegbarkeit
einer
Hypothefe
in der
folgen?
den,
dem
wiffenfchaftlichen
Vorgehen
beffer
angepa?ten
Form
feil?
zuhalten:
Eine
Hypothefe gilt
als
widerlegt,
wenn
mindeftens
ein
Kontrollverfuch
ein
Ergebnis
liefert,
das mehr als
um
einen
feilen
Maximalbetrag
von
dem
gem??
der
Hypothefe
zu
erwartenden
Refultat
abweicht.
?
In
der
Tat
werden
phyfikalifche
Hypothefen
metrifcher
Form
h?ufig
ausdr?cklich
mit einem
Zufatz
?ber
die
maximale
Abweichung
verfehen.
Man
gibt
indeffen
u.
U.
eine
Hypo?
thefe felbft
dann nicht
auf,
wenn
gelegentlich
jenes
Intervall ?ber
fchritten
wird;
felbft auf
Hypotheien
mit
Intervallangabe
trifft
alfo
die klaffifche
Anficht
von
der
endg?ltigen
Widerlegbarkeit
einer
Hypothefe durch
ein
einziges Gegenbeifpiel
nicht
zu;
die
Frage
nach
den
Kriterien der Falfifikation
entfteht,
gleichfam
auf
einer
h?heren
Stufe,
von
neuem.
Man
k?nnte fchlie?lich
ie klaffifche
uffaffung
n Form
der
all?
gemeineren
Behauptung
zu
halten
verfuchen,
die
Anerkennung
einer
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?ber
den
Gehalt
von
W
ahrf
cheinlichkeit
saus
fagen
253
Hypothefe ietze nicht die ?bereinftimmung jedes einzelnen Meffungs
ergebniffes,
fondern
nur
eines
geeignet
zu
definierenden
Mittelwertes
der
Ergebniffe
einer
Reihe
gleichartiger
Meffungen
mit
dem
aus
der
Hypothefe
fich
ergebenden
Werte
voraus.
Indeffen wird eine
Hypo?
thefe
zuweilen
felbft dann
beibehalten,
wenn
keine
genaue
?ber?
einftimmung
diefer
Art
befteht.
Es
liegt
hier
ganz
?hnlich
wie
im
Falle
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen:
Ein
Wahrfcheinlichkeits
anfatz
kann beibehalten
werden,
felbft
wenn
gelegentlich
gr??ere
Abweichungen
von
der
zu
erwartenden
relativen
H?ufigkeit
ein?
treten. Die ?bereinftimmung geht fogar noch weiter: Statt n?mlich
zu
fagen,
f?r die
Annahme
einer
Hypothefe
gen?ge
eine
hinreichend
gute
ann?hernde
Beft?tigung
ihrer
Kontrollfolgen,
pflegt
man zu?
weilen
zu
erkl?ren,
eine
metrifche
Hypothefe
befage
erft
etwas
?ber
den Limes
der erw?hnten
Mittelwerte
?
ganz
fo,
wie
man
eine
Wahrfcheinlichkeitsausfage
als
Ausfage
?ber
den Limes relativer
H?ufigkeiten interpretiert,
obwohl
auch hier
die
empirifche
Nach?
pr?fung
grundf?tzlich
auf die
Feftftellung
einer
mehr oder minder
angen?herten
?bereinftimmung
der
angefetzten
Wahrfcheinlichkeit
mit den relativen H?ufigkeiten in endlichen Reihen befchr?nkt ift.
Der
Veriuch,
die kla?fi?che
Auffaffung
von
der
endg?ltigen
Falfifizierbarkeit einer
Hypothe?e
durch
Angabe
von
maximalen
zul?ifigen
Abweichungen
zu
halten,
f?hrt
noch
in
andere
Schwierig?
keiten:
Jede
Hypothe?e
kann,
wie oben
dargelegt,
auf
iehr
ver
fchiedene
Arten
nachgepr?ft
werden;
die
empiriiche
Nachpr?fung
kann
z.
B.
durch
Unteriuchung
einiger weniger
Kontrollf?tze
der
Hypothe?e
oder
auch durch
Unteriuchung
umfangreicher
Syfteme
von
folchen
erfolgen;
fie
kann
fich
auf
Kontrollf?tze
gleicher
oder
verfchiedener logifcher Form erftrecken ufw.; und f?r jeden diefer
F?lle
m??te
der
Hypothefe
ein
befonderes
Maximalintervall der
Abweichung
zugeordnet
werden
?
eine
Konftruktion,
die
offenbar
nicht
dem in
der
empiriichen
Wiffenichaft
ge?bten
Verfahren
entfpricht.
Zuiammenf?ffend
wollen wir
iagen:
Ein
empirifcher
Satz
ift
durch
eine
endliche
Menge
von
Nachpr?fungsbefunden
weder
endg?ltig
zu
beft?tigen
noch
endg?ltig
zu
widerlegen,
er
kann
fich
vielmehr
an
einem
beftimmten
Material
nur
mehr oder
minder
gut
bew?hren;
es
beftehen aber keine eindeutigen und einheitlich angewandten Kri?
terien
daf?r,
?wie
gut"
die
Bew?hrung
mindeftens
iein
mu?,
wenn
er
durch
die
betreffenden
empirifchen
Befunde noch als
beft?tigt
gelten
foil,
und
?wie
fchlecht" die
Bew?hrung
mindeftens
fein
mu?,
17
Erkenntnis
V
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254
Carl
G.
Hempel
wenn
der
Satz
durch
die
der
Nachpr?fung
zugrunde
gelegten
Be?
funde
als
widerlegt
gelten
foil.
Bei
der
Entfcheidung
?ber
die Annahme
oder die
Ablehnung
eines
Satzes
angefichts
beftimmter
Nachpr?fungsergebniffe fpielen
neben
der
G?te
der
Ubereinftimmung
zwifchen Kontrollf?tzen und
Kon?
trollfolgen
gewiffe
??bergreifende
Gefichtspunkte"
eine wefentliche
Rolle,
wie
z.
B.
das
Intereffe
an
der
Aufrechterhaltung
eines
allge?
meinen Satzes oder
die
R?ckficht
auf die
Sicherung
einer
m?glichft
gro?en
Einfachheit
und
Leiftungsf?higkeit
des
Syftems
S. F?r
eine
Entfcheidung
unter
diefen
Gefichtspunkten
beftehen ebenfalls keine
einheitlichen
und
eindeutigen
Kriterien,
die
eine
angemeffene
formale
Nachkonftruktion
zulaffen.
Hiermit d?rfte
gezeigt
fein,
da? der
Grundgedanke
des oben for?
mulierten
?Einwandes
(?)"
fich ohne
weiteres
von
den finit
inter?
pretierten
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
auf
jeden
empirifchen
Satz
?bertragen
l??t,
und
da?
er
?berhaupt
keinen
Einwand
darfteilt,
da
er
auf
einer
zu
ftark
fchematifierten
Auffaffung
vom
Charakter
empirifcher
S?tze
beruht. Auch
in
diefem
Zufammenhang zeigt fich,
da?
erft
eine finitiftifche
Deutung
die
Wahrfcheinlichkeitsausfagen,
entfprechend
der
Auffaffung
aller
Vertreter
einer
empiriftifchen
Wahrfcheinlichkeitstheorie,
wirklich
in
die Klaffe der
empirifchen
S?tze
einzuf?gen geftattet;
denn
nur
auf
die
finitiftifch,
nicht
auf
die
transfinit
gedeuteten
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
trifft
ja
der
Grundgedanke
des
?Einwandes
(?)"
zu,
der,
wie
zu
zeigen
verfucht
wurde,
in
Wahrheit
eine
charakteriftifehe
Eigenfchaft
aller
empiri?
fchen
S?tze
zum
Ausdruck
bringt.
Im folgenden foil nun eine finitiftifcheDeutung der empirifchen
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
umriffen
werden;
fie
legt
den
Gehalt
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
nicht
in
allen
Einzelheiten,
fondern
nur
in
gewiffen
grundf?tzlich
wichtigen
Z?gen
feil: Eine
Wahr?
fcheinlichkeitsausfage
(etwa
?(O^Q)"
in
der
Schreibweife
von
P
R
e
i
ch
e n
b
a
ch)
ift
ein
empirifcher
atz,
der fich
nicht
prinzipiell
von
anderen
Arten
empirifcher
S?tze
unterfcheidet;
fie macht
keine
Angaben
ftatiftifcher oder
fonftiger
Art
?ber unendliche
Mengen
empirifcher
Daten,
fie
legt dagegen
eine
beliebig
erweiterbare
Menge
von
Kontrollfolgen
verfchiedener
logiieher
Form feil. Eine
wichtige
Teilklaffe
diefer
Kontrollfolgen
find
diejenigen
ftatiftifcher
orm.
Diefe
find
als
empirifche
S?tze
jedenfalls
fo
zu
formulieren,
da?
fie
?idi auf endliche
Beobachtungsreihen
beziehen
und fomit
finit
kon
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
255
trollierbar
find. Die ftatiftifehen
Kontrollfolgen
einer
Wahrfchein?
lichkeitsausfage
befagen,
da? die
relative
H?ufigkeit
des
in
Rede
flehenden
Ereigniffes
jeweils
in ein
gewiffes
Intervall
um
den
ange?
fetztenWahrfcheinlichkeitswert
p
f?llt,
deffen Breite
mit
wachfender
L?nge
der
ftatiftifehen
Reihe
abnimmt;
fie
befagen
mit anderen
Worten,
da? f?r
jede
Zahl
n
von
F?llen
gilt:
U)
p-09.
<f(n)
Dabei bezeichnet
p
die Wahrfcheinlichkeit
des
Beobachtungs
ergebniffes
Q (unter
beftimmten
Verfuchsbedingungen;
diefe werden
z.
B. in
der
Reichenbach
fehen
Darftellungsweife
in
der Feft
legung
von
O
ber?ckfichtigt),
?q
die
Anzahl der
?Q-F?lle"
bei
n
Beobachtungen
unter
den
vorgefchriebenen
Bedingungen,
und
/ (x)
eine
monoton
abnehmende Funktion
von
x,
deren
Werte
zwifchen
o
und
1
liegen,
und
die
fich
mit
wachfendem
x
afymptotifch
dem
Werte
o
n?hert.
Es
foil hier nicht verfucht
werden,
eine
ganz
beftimmte Funktion
diefer
Art
feftzulegen;
denn
das
in
den
empirifchen
Wiffenfchaften
ge?bte
ftatiftifche Verfahren
zur
Nachpr?fung
von
Wahrfcheinlich?
keitsausfagen
ift
nicht
fo
fcharf
umriffen,
da?
man
es
mittels
einer
und
nur
einer
folchen Funktion
/ (x)
?rational
nachkonftruieren"
k?nnte.
Im
allgemeinen
wird
jedenfalls
gelten:
/(x)
?:?
(f?r
jedes
x);
denn
n
x
\p???1<-
ift
gleichbedeutend
mit
I
n
p
?
nn
|<
1;
dies
befagt
aber,
da?
n
n
1
v
1
?
unabh?ngig
von
der Gefamtzahl
n
?
die Zahl der
Q-F?lle
gleich
n
.
p
oder,
falls
dies
keine
ganze
Zahl
ift,
gleich
einer der
zu n
.
p
?benachbarten"
ganzen
Zahlen ift. Eine fo weitgehende Forderung wird praktifeh kaum je der Nach?
pr?fung
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
zugrunde gelegt
werden.
?
Wie
man
im
Zufammenhang
mit
diefer
?berlegung
erkennt,
vermeidet die
Formulierung
(1)
auch
den oben
erw?hnten
Einwand
(a).
Eine
Wahrfcheinlichkeitsausfage
kann
hiernach
durch
eine
endliche
Menge
von
Nachpr?fungsergebniffen
ebenfowenig endg?ltig
be?
ft?tigt
oder
widerlegt
werden
wie
jeder
andere
empirifche
Satz;
fie
ift
jeweils
nur
einer
mehr
oder minder
guten
Bew?hrung
an
einem
beftimmten
empirifchen
Material
f?hig.
Soweit
fich die
empirifche
Nachpr?fung
gerade
auf die
foeben
betrachteten
ftatiftifehen
Kon?
trollfolgen
bezieht,
ift
f?r
die
Beurteilung
der
Bew?hrung
in
erfter
Linie
die
Abweichung
der
beobachteten relativen
H?ufigkeiten
von
den
durch die
Kontrollfolgen
der
Wahrfcheinlichkeitsausfage
ange?
gebenen
Werten
entfeheidend;
es
laffen
fich auch
noch weitere
Ge
17*
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2S6
Carl
G.
Hempel
fichtspunkte
der
Beurteilung
angeben,
doch
gibt
es
im
wiffenfchaft
lichen Gebrauch der
Wahricheinlichkeitsausiagen
keine
eindeutigen
Kriterien
daf?r,
unter
welchen
Bedingungen
eine Wahrfcheinlich
keitsausiage
angefichts
beftimmter ftatiftiicher Befunde
noch
als be
ft?tigt
und
unter
welchen fie
?chon als
widerlegt
zu
gelten
hat.
Auch
hier
fpielen
bei der
Enticheidung
oft
wieder
?bergreifende
Gefichts
punkte
eine
wefentliche
Rolle.
Im
?brigen
aber
machen
die
Kontrollfolgen
ftatiftiicher
Form
keineswegs die Geiamtheit der Kontrollfolgen einerWahrfcheinlich
keitsausiage
aus.
Im
Hinblick
auf
die
fr?heren
?berlegungen
ieien
noch
einige
weitere
Formen
in
Erinnerung
gebracht,
deren Auf
weifung
zugleich
zu
einer
gewiffen
Auflockerung
der
engeren,
nur
ftatiftifchen
eutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
?hrt
und
eine
noch
koniequentere
Durchf?hrung
der
empiriftifchen
Deutung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen erm?glicht.
Aus einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage
laffen
fich zun?chft folche
Kontrollfolgen
ableiten,
die
felbftwieder
die
Form
von
Wahrfchein?
lichkeitsausfagen haben, und die dann mit gewiffen anderweitig ge?
wonnenen
Kontrollf?tzen
in
Form
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
konfrontiert
werden
k?nnen.
Zu
Ableitungen
diefer
Art
dienen
die
S?tze
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung.
Ferner
laffen
fich
aus
einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage
(unter
Hinzunahme
geeigneter
S?tze
p
x
aus
S)
auch
Kontrollfolgen
ganz
anderer
Form
ableiten.
So kann
man z.
B.
aus
Angaben
?ber
die
?bergangswahrfcheinlichkeiten
beftimmter
Quantenzuft?nde
eines
Gafes
Ausfagen
?ber die Intenfit?tsverh?ltniffe beftimmter
Spektral?
linien
gewinnen,
aus
der
Angabe
der Zerfallswahrfcheinlichkeit
einer
radioaktiven Subftanz
Ausfagen
?ber die Zahl der
Szintillationen,
die
ein
Leuchtfchirm
pro
Minute
zeigt,
ufw.
Es
kann
nun
genauer
angegeben
werden,
inwiefern der eben
ent?
wickelte
Vorfchlag
eine
?finitiflifche"
Deutung
der
Wahrfcheinlich?
keitsausfagen
darfteilt:
die
Finitifierung
ezieht fich
ausfchlie?lich
auf
die
Form
einer
beftimmten
Klaffe
von
Kontrollfolgef?tzen
einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage,
n?mlich auf
die
der
ftatiftifchen
Kon
trollfolgef?tze;
und tatf?chlich
ift
die wefentliche
Problematik der
empiriftifch-ftatiftifchen
Wahrfcheinlichkeitstheorie
gerade
mit Kon?
trollfolgef?tzen
dieier
Art
verkn?pft.
Es
bedeutet
keine
Verletzung
des
finitiftiichen
Grundgedankens,
wenn
oben ausdr?cklich
geiagt
wurde,
da?
aus
einer
Wahrichein
lichkeitsausiage beliebig
viele
(finit-)
ftatiftifche
Kontrollfolgen
ab
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?ber
den
Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
257
leitbar
feien;
denn
es
liegt
hier
nicht
ein
Satz
der
empirifchen
Wiffen?
fchaft,
fondern
ein
Satz
aus
der
Syntax
der
Sprache
der
empirifchen
Wiffenfchaft
vor,
der
allgemein befagt:
Aus
jedem
nicht-analytifchen
empirifchen
Satz
laffen fich
in
dem oben
(S.
251)
angegebenen
Sinne
beliebig
viele,
fogar
beliebig
viele
logifch
unabh?ngige
Kontroll
folgef?tze
herleiten.
Bei
der
empirifchen
Pr?fung
eines Satzes
wer?
den
von
diefen
ftets
nur
endlich
viele
unterfucht.
W?hrend
nun
die
Limesdeutung
des
Wahrfcheinlichkeitsbegriffs
den
Kontrollfragen
einen
transfiniten
Charakter
verleiht,
wird
hier
eine
finitiftifche
Deutung
f?r
die
einzelnen
Kontrollfolgen
vorgefchlagen,
und
gerade
eine
iolche d?rfte
dem
empirifch-finiten Pr?fungsverfahren
Rech?
nung
tragen,
das
die
Wiffenfchaft,
wie
bei
jeder
anderen
Hypotheie,
io
auch
bei
der
Pr?fung
einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage
anzu?
wenden
pflegt.
Es
ift im
vorliegenden
Abfchnitt
ftets
nur
von
den
Methoden
der
Nachpr?fung
einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage
die
Rede
geweien,
nicht aber
davon,
an
Hand
welcher
Befunde
(etwa
ftatiftifcher
Art)
in der
empirifchen
WiiTenfchaft
eine
Wahrfcheinlichkeitsausfage
aufge?ellt
wird. Hier ift indeffen
nur
fcheinbar
eine
wichtige
Frageftellung vernachl?ffigt
worden;
die zweite
Frage
ordnet
fich n?mlich
ihrem
theoretiiehen
Gehalt nach
in
das
Problem der
Nachpr?fung
einer
Hypo?
thefe
ein. Denn da
jede
Hypothefe
eine
unendliche
Menge
logifch
unabh?ngiger
Kontrollfolgef?tze
befitzt,
fo
beftimmt
ein
noch fo
umfangreiches
empirifches
Material
?
eine
noch
fo
gro?e
endliche
Menge
von
S?tzen
glf
g2,...,
gm
?
nicht
eindeutig
eine
Hypothefe,
deren
Kontrollfolgen
die
g?
find.
Vielmehr
ordnen
die
g?
einer anf
atz
weife
eingef?hrten
Hypothefe
h einen beftimmten
?Bew?hrungsgrad"
?
diefe
Ausdrucksweife
vorbehaltlich
aller
oben
genannten
Einichr?nkungen
genommen
?
zu,
und
man
kann
nun
nach
einer
Hypotheie
iuehen,
die fich
an
den
g?
m?glichft
gut
bew?hrt.
Eindeutig
ift aber
diefer
?Auf
ftieg
von
der
Erfahrung
zur
Theorie"
keineswegs,
und die dabei
auftretenden
echt theoretiiehen
Momente
geh?ren
offenbar
dem
Zufammenhang
des
Nach?
pr?fungsproblems
an,
fo
da?
in
den
vorangehenden
Abfchnitten
auf
eine
ge?n?
derte
Behandlung
der
zweiten
Frage
verzichtet
werden
durfte.
Die
oben
vorgefchlagene
Deutung
des
ftatiftifehen Gehalts
einer
Wahrfcheinlichkeitsausfage gen?gt
den fr?her
entwickelten
Bedingun?
gen:
fie f?hrt die
formalen
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
in
S?tze
mit
empirifchem
Gehalt
?ber,
fie hat eine
finite
Form,
und
fie
nimmt
auf die
Axiome der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
in
keiner Weife
Bezug.
Aus dem zuletzt
genannten
Umft?nde
folgt
freilich
noch
nicht,
da? auch die ?Lehrf?tze"
(Formeln)
der formalen Wahrfcheinlich?
keitsrechnung,
die
ja gewiffe
Beziehungen
zwifchen
den
Wahrfchein?
lichkeitsausfagen
darftellen,
durch
die
vorgefchlagene Deutung
in
S?tze
mit
empirifchem
Gehalt
?bergef?hrt
werden: Die
Formel
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2S8
Carl
G.
Hempel
?p
V
p"
des
Ausfagenkalk?ls
z. B. wird durch eine inhaltliche Deu?
tung
der
Ausfagenvariablen
p
?
etwa:
?es
regnet
jetzt
hier"
?
in
einen Satz
ohne
empirifchen
Gehalt
?
?es
regnet
jetzt
hier
oder
es
regnet
jetzt
hier
nicht"
?
?bergef?hrt.
Ganz
entfprechend
k?nnten
auch
die
Formeln der
Wahricheinlichkeitsrechnung
durch
die
vorge
ichlagene
Deutung
in
analytiiche
S?tze
?bergef?hrt
werden.
?
Die?e
M?glichkeit
ift
nun
f?r
die
Lehri?tze
eines
beftimmten
eils der
formalen
Wahricheinlichkeitsrechnung
verwirklicht:
F?r
die
oben
erw?hnten,
von
R
e
i
ch
e
n
b
a
ch
angegebenen
Axiome der
Wahr?
icheinlichkeitsrechnung
l??t fich ein finit-arithmetifches Modell an?
geben.
Dies
kann
im
Prinzip
io
befchrieben werden:
n
fei
eine
be?
liebige
feile nat?rliche
Zahl,
xt, xt,...,
xn
feien reelle
Zahlen,
O
die
Menge
diefer
Zahlen,
Q
eine
Eigenfchaft,
die
einer reellen Zahl
mit
Sinn
zugefchrieben
oder
abgefprochen
werden
kann. Die
Wahr?
fcheinlichkeitsausfage
(O->Q)
deute
man nun
fo:
?Die
Anzahl
der
P
jenigen
Zahlen
xi
in
O,
die
die
Eigenfchaft
befitzen,
dividiert
durch die Gefamtzahl
n,
ift
gleich
p".
Diefe finit-ftatiftifcheeutung f?hrtdie R e ichen b a chfchen
Axiome f?mtlich
in
analytiiche
arithmetiiche
S?tze ?ber.
Wie
man
hieraus
unmittelbar
entnimmt,
gelten
die Axiome der Wahrichein?
lichkeitsrechnung
und
die
aus
ihnen ableitbaren
S?tze
alio
auch
ana?
lytiich
f?r
jede
endliche
abgeichloffen
vorliegende
Reihe
empirifcher
Beobachtungsdaten,
wenn
die
Wahricheinlichkeit
eines
Beobachtungs
ergebniffes
durch
feine relative
H?ufigkeit
innerhalb
der
ganzen
endlichen Reihe
definiert
wird.
(So
befagt
dann
etwa
das
in
Reichenbachs
Axiom
III,
i
formulierte
Additionstheorem,
an
einem Beifpiel erl?utert, nur dies: Wenn in einer endlichen Menge
von
W?rfel
w?rfen
20%
F?nferw?rfe
und
i4?/o
Sechferw?rfe
auf?
treten,
fo
treten
in
ihr
34%
W?rfe
mit
dem
Ergebnis
?f?nf
oder
fechs"
auf.
?
?hnliche
Betrachtungen
laffen
fich
f?r
jedes
andere
Axiom des
Syftems
durchf?hren.)
Wenn fich
die
Anwendung
der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
auf
F?lle
diefer
Art
befchr?nkte,
fo
w?re
auch
bei
finitiftifcher
Deutung
die inhaltlich
interpretierte
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
nur
ein
Syftem
analytifcher
S?tze und
nicht
eine Theorie
mit
empirifchem
Gehalt. Indeffen macht man in der empirifchen Wiffenfchaft einen
weitergehenden
Gebrauch
von
den
S?tzen der
Wahrfcheinlichkeits?
rechnung:
man
wendet
fie n?mlich
auch auf
folche
Datenreihen
an,
die nicht
fchon
mit allen
ihren
Elementen
abgeichloffen
vorliegen,
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?ber
den Gehalt
von
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
259
fondern,
wenngleich
endlich,
fo doch
?beliebig
erweiterbar" find.
Die
S?tze,
die
fich auf diefe
Weife
ergeben,
w?ren
analytifch,
wenn
die
relativen
H?ufigkeiten
aller
in
Betracht
gezogenen
EreignifiVbei
jeder
Verl?ngerung
der
ftatiftifehen Reihe
konftant
blieben;
dies
ift
nun
freilich
?
fchon
aus
Gr?nden
der
Arithmetik
?
nicht
immer
ftreng
m?glich;
aber die
?berlegung
zeigt
immerhin,
da?
die
ange?
n?herte
G?ltigkeit
der
finit-empirifch
interpretierten
Formeln
jeden?
falls
f?r
folche
empirifchen
olgen
gew?hrleiftet
ft,
n denen die
relativen
H?ufigkeiten
der unterfuchten
Ergebniffe
ann?hernd
kon?
ftant
bleiben;
in
diefer
Beziehung
ift
nun
der
empirifche
Gehalt
des?
jenigen
Teils der
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
angegeben,
den
Reichenbach
mit
den
oben
erw?hnten
Axiomen
pr?zifiert
hat.
Auch das
?Gefetz
der
gro?en
Zahlen",
deffen transfinite
Formu?
lierung
oben
(S.
237)
als
leer erwiefen
wurde,
bringt,
im Sinne
der
hier
vorgefchlagenen
finitiftifchen
Auffaffung interpretiert,
nur
die
Bedingung
der
n?herungsweifen
Konftanz
der
relativen
H?ufig?
keiten in
ftatiftifehen Reihen
zum
Ausdruck,
und
man
kann
daher
fagen:
In
jedem
Bereich
von
empirifchen
H?ufigkeitserfcheinungen,
f?r den das
finitiftifch verftandene
Gefetz der
gro?en
Zahlen
gilt,
gelten
auch
die
finitiftifch
interpretierten
S?tze
der Wahrfcheinlich?
keitsrechnung.
Wie
fr?her
(S. 240)
hervorgehoben,
laffen fich
aus
den
R
e
i
ch
e
n
-
b
a
ch
fehen
Axiomen
alle
diejenigen
S?tze
der
klaffifchen
Wahr?
fcheinlichkeitsrechnung
deduzieren,
die
in
der
Theorie
von
R.
v.
M
i
?
e
s
allein
aus
dem
Axiom
I,
aus
der
Forderung
der
Kon?
vergenz
der
relativen
H?ufigkeiten
in
den
betrachteten
Reihen,
ab?
leitbar find.
Nun
gibt
es aber eine Reihe von S?tzen ? hierunter
wichtige
S?tze
der klaffifchen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
?
die
v.
M
i
f
e
s
unter
Hinzunahme der
Regellofigkeitsforderung
beweift.
Diefe
S?tze
gelten,
wie
R
e
i
ch
e n
b
a
ch
(?Axiomatik",
S.
^94
ff.)
zeigt,
im
Syftem
der
allgemeinen
formalen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
nur
unter
beftimmten
Vorausfetzungen,
die
mit
den Axiomen
der
all?
gemeinen
Theorie
vertr?glich
find,
aber nicht
aus
diefen
folgen.
R
e
i
ch
e
n
b
a
ch
bezeichnet
ie
Klaffe
derjenigen
?tze,
die
aus
den
Axiomen
unter
jenen
zuf?tzlichen
Vorausfetzungen (es
ift im
weient?
liehen die
Geltung
des
iog.
?fpeziellen
Multiplikationstheorems")
ableitbar
find,
als
die
Theorie der
normalen
Folgen;
dieie
verh?lt
fich
zu
der
allgemeinen
formalen
Wahrfcheinlichkeitsrechnung
wie
etwa
eine
Theorie
der
gleichfeitigen
Dreiecke
zur
allgemeinen
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2
6o
Carl
G.
Hempel
Euklidifchen
Geometrie
(:
gleichzeitige
Dreiecke
gen?gen
beftimmten
einichr?nkenden
Vorausietzungen,
die mit
den Axiomen
der
Geo?
metrie
vertr?glich
find,
aber nicht auf
Grund der Axiome
allgemein
f?r
jedes
Dreieck
gelten).
?
Wie R
e
i
ch
e
n
b
a
ch
a. a.
O.
zeigt,
laffen
fich noch
verichiedene
andere
derartige
Spezialifierungen
feiner
allgemeinen
Theorie
durchf?hren.
Jedes
fo
zu
gewinnende
Spezialfyftem
wird
nun
durch die fini
tiftifch-empirifche
Deutung
der
Wahrfcheinlichkeitsausfagen
in eine
befondere empiriiche Wahricheinlichkeitstheorie ?bergef?hrt, die in?
deffen nicht mehr f?r
jeden
Bereich
empiriicher
Statiftik
gilt,
f?r
den
nur
das finitiftiich
interpretierte
Geietz
der
gro?en
Zahlen
er?
f?llt
ift. Welche
fpezielle
wahricheinlichkeitstheoretiiche
Struktur
ein beftimmter ftatiftiicher
Erfahrungsbereich
befitzt,
welche
ipezielle
Wahricheinlichkeitstheorie ?r ihn
gilt,
ift
jeweils
durch
empiriiche
Unterfuchungen
zu
enticheiden.
Eine
iolche
Enticheidung
fetzt
wiederum die
finitiftiiche
Deutung
der
Wahricheinlichkeitsausiagen
voraus.
Dieie
Deutung,
die oben
aus
dem Verfuch einer de?kriptiv-logi?chen Analyie des wiffenfchaft
lichen
Gebrauchs
der
Wahricheinlichkeitsausiagen
entwickelt
wurde,
erm?glicht
alio
erft
die
konfequente
Durchf?hrung
des
Leitgedankens
jeder
empiriftiich-ftatiftiichen
Theorie: Sie
weift den
Wahrichein?
lichkeitsausiagen
einen
empiriichen
Gehalt
zu
und
ordnet
fie damit
in
die
Gefamtheit der
empirifchen
S?tze
ein,
und
fie
erm?glicht
es
ferner,
die
Behandlung
des
Wahrfcheinlichkeitsproblems
im
Sinne
des
Programms
von
R.
v.
M
i ?
e s
mit
derjenigen
des
Geometrie?
problems
in Parallele
zu
ietzen.
Die
hier
durchgef?hrten
?ber?
legungen
fcheinen
mir
daher
im
Grunde nichts
anderes
zu
fein als
eine
Entwicklung
gewiffer
Konfequenzen
der
methodologiichen
Grundprinzipien
jeder
empirifchen
Deutung
des
Wahrfcheinlichkeits
begriffs.
Zufatz
bei
der
Korrektur.
Das
Manufkript
des
vorftehenden
Auf
fatzes
wurde
im
Oktober
1934
eingereicht.
Die
feitdem ver?ffentlichten
ein
fchl?gigen
Unterfuchungen,
als
deren
wichtigfte
mir
H.
Reichenbachs
?Wahr
fcheinlichkeitslehre"
Sijthoff,
Leiden,
1935)
und
K.
Poppers
?Logik
der
Forfchung" (Springer,
Wien,
1935)
erfcheinen,
find daher
nicht mehr
ber?ckfichtigt.
? Es fei hier nur noch bemerkt, da? m. E. die oben
(S. 242)
entwickelten Be?
denken
auch
gegen?ber
der
verfeinerten
Faffung
beftehen
bleiben,
die R
e
i ch
e n
-
b
a
ch feiner
Induktionstheorie
in
der
?Wahrfcheinlichkeitslehre"
gegeben
hat;
denn
in
diefer
fpielt
(vgl.
befonders
??79
und
80)
der
Limesbegriff
im
wefent?
lichen diefelbe
Rolle wie
in
der Induktionstheorie
der
?Axiomatik".