Het algoritme van Euclides

Presentatie gemaakt door:

Johannes Kruisselbrink

&

Peter Rutgers

Euclides aan het werk op een school in Athene.

Probleem stelling

Los op: a * x = 1 (mod y)

Hoe bepaal ik a (de inverse) zonder te gokken (x,y bekend)

Voorwaarden voor: a * x = 1 (mod y)

• De gekozen x en y moeten relatief priem zijn.

• Relatief priem houdt in dat de ggd 1 moet zijn.

• a is een getal tussen de 0 en de y

Voorbeeldsoma * 7 = 1 (mod 32)

Stap 1: Bepaal de ggd m.b.v Euclides

Stap 3: Terugrekenen

Stap 4: Uitkomst a

Stap 2: Anders schrijven

Stap 5: Controle

Stap 1: Bepaal ggda * 7 = 1 (mod 32)

Oude methode

32 / 7 = 4 rest 4

7 / 4 = 1 rest 3

4 / 3 = 1 rest 1

Nieuwe methode

32 = 4 * 7 + 4

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1

Dus de ggd is 1

Stap 2: Anders schrijven

Nieuwe methode

32 = 4 * 7 + 4

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1

Anders geschreven

4 = 32 - (4 * 7)

3 = 7 - (1 * 4)

1 = 4 - (1 * 3)

Stap 3: TerugrekenenUitwerking stap 2

4 = 32 - (4 * 7)

3 = 7 - (1 * 4)

1 = 4 - (1 * 3)

Terugrekennen m.b.v. stap 2

1 = 4 - (7 - (1 * 4)) Haakjes wegwerken

1 = 4 - 7 + 4 Laat de 4 staan

1 = (2 * 4) -7 4 invullen

1 = 2 (32 - (4 * 7)) - 7 Haakjes wegwerken

1 = 2 * 32 - 8 * 7 - 7 In 7’s en 32’s schrijven

1 = 2 * 32 - 9 * 7 Leidt het antwoord af

1 = 4 - (1 * 3) 3 invullen

Stap 4: Uitkomst a

1 = 2 * 32 - 9 * 7

Aangezien de a tussen de 0 en 32 moet liggen tellen wij 32 bij -9 op.

Antwoord: a (inverse) is 23

-9 * 7 = 1 (mod 32)

Stap 5: Controle

23 * 7 = 161

161 / 32 = 5 rest 1

Is gelijk aan 23 * 7 = 1 (mod 32)

De inverse van 7 (mod 32) = 23