högskoleingenjörsutbildning - tekniskt basåringforum.haninge.kth.se/mat1a/kursbunt_hf0021.pdf ·...
TRANSCRIPT
-
Tekn
K
niskt
Kursbu
basår
unt
r
V
Version1.yy
-
Teknisktbasår MatematikI
2
-
Teknisktbasår MatematikI
3
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1Implikationochekvivalens.....................................................................................................42Linjäraekvationssystem..........................................................................................................53Meromvektorer.........................................................................................................................134Absolutbelopp..............................................................................................................................175Formler............................................................................................................................................206Area‐ochvolymskala................................................................................................................22Facit.......................................................................................................................................................26
-
Tekniskt
Ekviva
ExempExempImplik
Exemp
ExempExemp
1Sid4nåochKultu
101.
tbasår
IMP
alenspil
pel1pel2
kationspil
pel3
pel4
pel5
ågotomarbeturläromedel
Vilkenavsskaståirua) TriangeTriange
b) 2 3c) ärettheltal.
d) Vinkelspetsig.
e) CirkelnsCirkelns
f) Robinåtonåring
LIKAImatemaoch⟹.PDubbelpieller”om⟺
Ompåståsant.Ochpilensan
3 1"" å Enkelpile”medför”⟹
Mansägepåståend
3 0Omvändn
3" äOmvändn" äOmvändnmedbörja
tatfrån:M.Ka,ISBN978‐9
symbolernautan?Motivelärliksidigelnsvinklar
19naturligtta
50°.sradieär5sdiameterr17år.Rg.
ATIONatiskargumPilarnakanilen⟺äremochendas
åendetförehompåståent.10 ⟺
ä
enärenim”.
erattdetfödetföljerav0 ⟹ningengällmedande ningengäll ningengällare.
arlsson,E.Hö1‐27‐42160‐
a⟺eller⟹veradittsvag.rärlika.
8al. äreVinkel ä
5 .är10 .Robinären
4
NOCHmentationaskrivasmeenekvivalenstom”.
epilenärsaendetefter
7 . "
mplikationsp
örstapåståvdetförsta9lerej.Denaenförstaen
. " ⟹ "lerej.Detfi
lerej.Detfi
ögsborn,Å.Lu8
⟹ar.
ettr
n
1
HEKVanvändsiblellantvåpånspil.Denu
ant,såäropilenärsa
⟺ ä
pil.Denutt
endetmedf.Omvändn
andraekvandasthare
ä innsfyrhör. " ⟹ "
innsEU‐me
undbom(201
102. Geexekansta) 3b) Vinc) d) e) Vin54
f) g) Djuh) He
VIVALlanddelogåståendenuttalas”’är
cksåpåståeant,såäroc
. "talas”impli
fördetandningengälle
tionenharnlösning örningarsom
ä edborgare
11),Matemat
empelpåetåefterpile
5 17 ⟺nkel 10
ärenre25 ⟺
nkelsumma0° ⟺0 ⟺
uretärenfiltalet ärd
Ma
LENSgiskasymbooch .ekvivalent
endeteftercksåpåståe
icerar”elle
dra,elleratterdockinte
rtvålösning3 .
. "minteärkv
sominteär
tik5000kurs
ettpåståenden.⟺00°.⟹ektangel.⟹aienpolyg
fisk.⟹delbartme
atematikI
1olerna⟺
tmed”
rpilenendetföre
r
tdetandrae.
gar
vadrater.. "
rsvenska
1C,Natur
desom
⟹gonär
d3.⟺
a
-
Tekniskt
Rätalin
Riktnin
Interce
Propor
2Sid5‐12läromede
tbasår
RÄTLINJ
njensekva
ngskoeffic
pt
rtionalitet
2 3;
2någotomarel,ISBN978‐
TALINJÄRAation En
ochcient Ekv
kalEttkoostö
Ettfunvar
Omdär
Kovarx
t Omp
2, 3Rik
ochvar
rbetatfrån:L‐91‐27‐42253
NJENSEKVAfunktionärenför
h avgördvationenllasriktningt positivt k-vordinatsysterre värdet b
t negativt k-nktionsvärderiabeln.
m k 0 så hrför parallel
onstanten mr linjen skär0, alltså d
m 0,dvproportione
3ktningskoe
hvisarhurrieenhetvi
.Alfredsson,3‐7
5
SEKVATIO
varstaordningdetlinjära
gskoefficien
värde ger enemet, vilketblir på den o
-värde ger eet blir mind
har kurvan ellt med x-ax
kallas konsr y-axeln. mdär linjen sk
vs.omlinjeellamotva
3; 0,fficienten
mångaenhigårframå
K.Bråtingm
VATIONSSYarsgrafäregenspolynsambandetbeskriverntochbeten linje som t innebär attoberoende v
en linje somdre ju större
en horisontexeln.
stantterm elm-värdet mokär y-axeln.engårgenoarandra.
3definiera
∆∆
heterstigeråti ‐led.
.fl.(2012),M
ONOYSTEMenrätlinjeomtmellanvadenrätalincknarlutnilutar snett u funktionsv
variabeln.
m lutar snett värdet blir
ell lutning o
ller även inttsvarar y-vä
omorigo,är
1,5ssom:
rellerfalle
Matematik500
Ma
CH2Märenlinjär,därkonst
ariablernanjensekvatingenpålinuppåt åt högvärdet blir st
neråt åt högpå den obe
och kurvan
tercept och ärdet i den p
rvariablern
3; 1
erlinjeni ‐
00kurs2c,Na
atematikI
rfunktion.tanternaoch .tion.knjen.ger i törre ju
ger, att roende
ligger
bestämmer punkten där
na och
1,5, 3
‐ledför
atur&Kultur
r
r
-
Tekniskt
Linjärtekvatio
Exemp
GrafiskSamma
AlgebrMetodeSubstit
tbasårtonssystem
pel1
klösninganfattning
raiskalösner tutionsme
Etm ek
ekVatainrepu
Lö
Vikoär
Exeg Att
ekvekvlös
nings‐ Deger
toden En
21
3
ttlinjärtekkvationer.Lkvationeräarjetalparalparet ,nnebärattpepresenteraunkten ,
ösekvation
51 ⟹
iritardebåonstaterarrlösningen
emplenovatlösaettekvationernavationssystsningenilinalgebraiskrdenexaktmetodkallLösutenErsättvaochlöse
Lösningeekvation
6
kvationssysLösningenäretttalparmotsvararsatisfiera
punktenasavdessaärderät
nssystemet
⟹
ådalinjernaattpunktenntillekvatio
anvisarpåkvationssysasgemensatemmedtvnjernasskäkalösningstalösningelassubstitunvariabeluariabelnidekvationenentillekvanerna,som
stembestårtillettlinjär , somenpunktiarbådaekv, liggerpaekvationettalinjerna
t 515
1
aisammakn 3; 2 liggonssysteme
åengrafisksteminnebmmalösninvåobekantaärningspunmetodernan.utionsmetourdenenadenandrae.ationensättdärefterlö
ravtvåelleärtekvationmsatisfierarkoordinatsvationeriepådebådar.Dettaärasskärning51grafiskt.
koordinatsgerpåbådaet.
lösningtillärattmanng.Tillettlakanmannkt.aärdemeto
odenochinekvationenekvationen
tsininågonöses.
Maerflerarätanssystemmrbådaekvatsystemet.Aekvationssyrätalinjerbaramöjliggspunkt.
systemochalinjeroch
lekvationsbestämmelinjärtgrafisktfin
odersomd
nnebärn.meddetta
navdeurs
atematikIalinjersmedtvåationer.Attystemetsomgtom
hdärmed
ssystemet.ernna
direkt
uttryck
sprungliga
-
Teknisktbasår MatematikI
7
Exempel2: Lösföljandeekvationssystemexakt. 2 3 315 1
Denandraekvationerger 5 1.
5 1sättsinidenförstaekvationen.
2 3 5 1 31⟹ 2 ⟹ 17 34 17 34⟹ 2
2insättesi 5 1somger 5 ∙ 2 1 9 Svar:Ekvationssystemetharlösningen 29Additionsmetoden Hurlöserviettekvationssystemdärviintepåettenkeltsättkan
lösautenvariabel? Viundersökerekvationssystemet
2 3 16 14 3 14 2
Jämförekvation(1)ochekvation(2).Koefficienternaframföryharsammasiffervärde,menmotsatttecken.Adderarviledvis,tary‐termernautvarandra.
2 3 164 3 14 6 0 30 5 5sättsinienavekvationernaochger 2.
Ekvationssystemetharlösningen 52.
Additionsmetodeninnebär
Multipliceradenenaellerbådaekvationernamedlämpligatalsåattkoefficienternaframfördenenavariabelnblirmotsattatal.Adderaekvationernaledvis.Vifårdåenekvationmedenvariabel.Lösekvationen.Lösningentillekvationensättsininågonavdeursprungligaekvationerna,somdärefterlöses.
3
12
32
1
-
Tekniskt
Exemp
201. Gr
ekfig
Avläsek202.
a)
b)
tbasårpel3
3
rafernatillkvationssysguren.
kvationssy
Ritagrafe3
koordinat) Avläslösnekvations
Lös115
Förförelimekvfra
1
ekvationerstemärrita
stemetslös
ntillisammatsystem.ningentillsystemet
2
3
1
sekvations1 3
2 1rattlösaekrstbestämmmineras.Ovationen 1amför blir
2 13 2215
3 7
5 ∙ 3 72Svar:E
rnaiettadei
sning.
1och
8
ssystemetm3 11 2kvationssymaossvilkmvivillfå1 med2ocrmotsattat1 35 22 6 65 67 3 3 77sättsini2 18 7 ⟹
Ekvationssy
203
204
medadditio
ystemetmeenavvariabortvariabchekvationtal, 6och2 ∙ 33 ∙ 1
63
ekvation(2
4 7ystemetlös
.
a) Bestämb) Vilketlösasgfiguren
c) Avläsl
. Lösekvata) b) 24
onsmetode
dadditionsablerna elbel ,börvn 2 med6.
2)
ningär
mlinjernasekvationssgrafisktmen?lösningen.tionssystem
12 3
2 1 03 6 0
Maen.
smetoden,ller somsvimultiplic3.Koeffic
3 74 7
sekvationesystemkanedhjälpav
metgrafisk
0
atematikI
måsteviskaeraienterna
r.n
kt.
-
Tekniskt
338
205. Lab
206. Lpabc
207. L
sabcd
208.
ab
209. Lsfvs
38
tbasår
8krkr
Lösekvatioa) 4
b) 210
Lösutvariaparentesena) 5b) 7c) 2 6Lösekvatiosubstitutiona) 3
b) 2 34c) 54 3d) 2 34
a) Ställuppsombesk
b) Bestämprespektiv
Lösningentsystemet
33 7
fårvinärvärdeharstämmer.
8kr
46k46k
onssysteme158
abelnsoms.8310
onssystemensmetod.26 5
2 3584
pettekvatiokriversituaprisetpåenveenostm
tillekvation18/5,me
?Visaattl
46krkrkr
et
ståri
enmed
onssystemationen.nbananmacka.
ns‐
nvilketösningen
r
9
2
2
2
2
2
2
2
59 kr
10.
a) Stälsom
b) Bestkaff
11. Bestämskärnibådara) 2b)
12. Bestäm5 45 4
13. Linjernoch0,5entriakoordihörn.
14. Unders2
2ochsam
15. Bestämekvatio
Fårlös16. Lösek
additio
a) 27b) 1
59 kr
3 2 0
luppettekmbeskrivertämprisetferespektivmexaktkoongspunktenättalinjern
2och3 3 0
mtalet ie4 såat4 3fårvna 25 2ngel.Bestäinaternafö
sökomlinj3 0,53 011 0gå
mmapunktmtalenaoconssysteme
6
sningenvationssystonsmetode
2511
1 1313 3
Ma
0
kvationssysrsituationepåenkoppveenbulleordinaternanmellandna.h3 20och
ekvationenttuttryckevärdet9.3, 20innesl
ämexaktrtriangeln
jernaochårgenomekt.chbsåattet
7ochtemetmeden.5118
30
63kr
atematikI
stemen.p.aföre1
t
1luterns
en
2.d
-
Tekniskt
82
217. 3a)
b)218. Lö
ad
a)
b)219. 53
Varevia)b)
220. Lö
ad
a)
b)
c)
221. Lö
ge1⁄
222. Lö
tbasår
8 42 8
3 25
) Vadskaandraek‐termeaddition
) Lösekvaösekvationdditionsme) 2 35) 27 35 43 6adkandumespektiveeidaddition) –term) –termösekvationdditionsme) 4 93 7) 2 812) 0,5
ösekvation
enomattsä⁄ .ösekvation3 42 6
33,75
651 dumultiplkvationenmernaska”fön?ationssystenssystemetetoden.
3113 010 0
559
multiplicerekvation2mvilleliminernaernanssystemetetoden.
432612 0
2 8 00,3 64 0
nssystemet
ätta1⁄
nssystemet1 122 3
liceradenmedförattörsvinna”vemet.tmed
0
raekvationmedomduera
tmed
00
t
och
t
10
tvid
n1u
223.
224.
225.
Lös följanAnvänd suadditionsm
a) 1,20,8
b) 1000100
JoséharltillsammapantautomlämnatenBildenvis
Bestämppantenfö
Företagetsortersbuochenex
Bumeraförhandtraditiontimmarmåla.EnfyratimtimmarUndereantalbuveckansfärdigabsnidarna150timsammanHurmåntillverka
nde ekvationubstitutionsmetoden
2,01,4
0 1027
ämnattrebans60tommatenochnbackmedsarderaskv
antenföreöretttomgltKooritillvumerangerklusivvari
ngernaskadochsedannellbumerattsnidaonexklusivbmarattsniattmåla.nveckatillumerangerslutendasbumerangeaarbetatsamarochmnlagti100tngabumeraadesunder
Ma
nssystem. smetoden el
5,47,8 330
7
backarmedmglasiMariahard14tomglakvitton.
entombacklas.verkartvåor,entraditiiant.
aförstsnidnmålas.Enrangtartrechentimmbumerangtidaochtrelverkadesesåattdetvstfannsheler.Dåhadeammanlagt
målarnatimmar.angerrdennavec
atematikI
ler
d
as.
koch
olikaonell
asnmeatttar
ettvidlteti
cka?
-
Tekniskt
NågraExemp
Fall1Fall2Fall3
tbasår
aspecielpel
llaekvatNärAttobeLåt1
Alg
2
2
Ekvlösn
0Ekvlösn
VilekvEkvsamEkvoän
tionssystrmanlöserekvationssegränsatanosstittapå
26
gebraisklö
26
2 6426 2 4
25
2 5
22 4
vationssystning: 24
3(orimligvationssystning.
öserutyuvationenocvationernammarättalvationssystndligtmång
11
temrettekvatisystemethantallösningåtreexemp
2
ösning
4
5
temethare24
gt)temetsakna
rdenandrchfårbeskriverinje.temethargalösninga
onssystemarenlösningar.pel.
25
en
ar
a2‐
ar.
kantrefalng,saknar
3 2Grafisk
En skärninDetta gälleolika k-vär
Ingen skärDetta gällesamma k-vvärde.
Alla punktDetta gällesamma -vvärde.
Ma
llinträffa:lösningell
22 4
klösning
ngspunkt er när linjernrden.
rningspunkter när linjernvärde och oli
ter är gemener när linjernvärde och sa
atematikI
erhar
na har
t. na har ika m-
nsamma. na har mma -
-
Tekniskt
226.
227.
V
228.
b
229.
v
tbasår
Ekvationssharendast
10.BeLinjerna
3o3
VadkanduekvationssMotiverad
Grafernatiekvationssärritadeif
a) Bestämb) Vilken
systemc) Omlin
skärnivärdetvärdehekvatiooändlig3
Undersökaekvationssvärdenpåsvar.
systemettenlösningstämtaletharekvatoch har3
usägaomlsystemetdittsvar.illekvationsystemetfiguren.
mtalet .lösninghamet?njen rotengspunktetpå ochhar ochonssystemgtmångalö
7antaletlösnsystemetföoch .Mo
3 4g 2och.
tionenekvationen
ösningenti33
nernai2
arekvationerarruntnsåändras.Vilketdåetharösningar?
ningartillrolikaotiveradin
12
h
n
ill3?
s‐
s
na
4
69
230. Lössvar
a)
b)
c)
d)
231. Skritills2systa)b)
232. 2
a)b)c)
233. För
ekv
Ene
234. Lös
ExaFörklitendettlösn
2 56 1
12 125
ekvationssretgrafiskt2222210 55 22,5
ivenekvatammansm3 5ge
temsomSaknarlösHaroändli
62
Förvilkavsaknarekvlösningharekvatilösningharekvatilösningi1, 0 ?
vilkavärdeationssyste
endalösninekvationss
kt,för33,1.klarageomnändringitafallgereningen.
Ma
1,5
1127
systemetot.3535315101
tionsommedekvatioerettekvasningigtmångal
värdenpåvationssystionssystemionssystem1:akvadran?enpåtaletemet
ng?systemet
33ochsedmetrisktvarkoefficientenstorändr
atematikI
chtolka
onentions‐
lösningar.
temet
metenmetennten
ahar
danförrförenten iringi
-
Tekniskt
Basvek
ON‐sys
ParallevektorExemp
Lösnin
3Sid13‐191‐44‐04
tbasår
MERED
ktorer blä
stem OdVbsä
ella Ter
pel1 B
v
ngfi
Dti
s
Dv
16någotoma4635‐9
ROMEnvektorkDessariktni‐riktning.ObasvektorerängdenettONbetyderdärförattbaVarjevektorblir 3ägerattveär3 och2
Tvåvektore
Bestämdetvektor 1, 1
3, 1 1,innasettta1, 1 3
Dennavektoillekvation3 1 2omharlös
25Detreellata
3, 1 1,vilketärpar
arbetatfrån:
VEKTanalltiddeingargesiOmdeväljsr,deutgöreutgördeenortonormaasvektorerrkanalltid+2 ellerktorn har2 .
er och ä
reellatalet.
, 2 3alk,sådant3 , 1 2orekvationnssystemetningen
alet 2g, 2 3, 1rallellmed
L.A.Callenbe
13
TOREelasuppikplanetavtssåattdeienbas.Omnsåkalladal,ortofrånrnaharlängdskrivassorommanurkoordina
ärparallella
ttsåattve
, 1 2 satt
ngeruppho:
göratt2 1, 2
1, 1 .
erg(2006),M
ER3komposantetvåvektoreinteärparadedessutoON‐bas,etngdenett.omensummunderförståterna 3, 2
aomochen
ktor 3
skavarapa
ov
3, 1
MatematikBre
erlängstvår, ochallellasägsomärvinkettON‐system(vinkelrä
maav ocårbasvekto.Komposa
ndastom
3, 1 1,
arallellmed
2, 4 5
eddning,Stud
Ma
ågivnarikt,dvs.i ‐rvektorparelrätaochhm.ät)ochnorm
ch .Ifiguorerna, 3, 2anternatill
∙ ,
, 2 blirpar
d 1, 1 .De
5, 5
dentlitteratur
atematikI
tningar.respektiveetvarahar
merat
rennedan2 .Manvektor
∈ .
rallellmed
tskaalltså
rAB,ISBN
-
Tekniskt
Ekvivaklass
Ortvek
Exemp
Lösnin
tbasår
alens‐ Tr
Ov
ktor o
Oov”s
I
pel2 Pk
ngk
Tvåvektoreiktning.Ma
Omenvektovektorsammortsvektor.Ommanisiochslutipuvektornslutpunkte
figurenins
Punkternakoordinater
ärvektkoordinater
53
ersägsvaraankanocks
Vektooriekvivalmakoordin
ittkoordinaunkten kblirns”koordi
sesävenatt
och harnaförvekt
ornsomgårärnaturli3, 3 45, 4 3
14
aekvivalensåsägaatt
orerursamm
lensklassennatersomd
atsystemrikanmanka
,naterminu
t
arkoordinatorerna
årmellanogtvis 3,4
2, 12, 1
ntaomdeädetillhörs
maekvivalensk
nharsinbödenpunktd
itarinenvalladennav
omus”startpun
aterna 3, 4, och
rigoochpu
rlikalångasammaekv
klass.örjaniorigodärvektorn
ektormedvektor
, ocnktens”koo
4 respektivh .
unktenP1o
Ma
aochharsavivalensklas
o,såhardenslutar,oc
startipun.Koordinachordinater.
ve 5, 3 .Be
ochvektorn
atematikI
ammass.
ennachkallas
kten aternaför, ,dvs.
estäm
ns
-
Tekniskt
ExempLösnin
Vektor
Exemp
tbasår
pel3 PabVcV
ng a)bkclä
rlängd IOLev
I
pel4 V
22
Punkternaa)Bestämkob)VektornQVarför?)OrtsvektoVilkenpunk
)b)P P harkoordinaterc)Envektorängdochri
mångatilläOmmanharLängdenavllerbeloppvektorn.
enON‐bas
Vektor
2 2 3, 22 √6
och haoordinaternQ Q ärekvornidennakt?
2 0, 0rsammalänrärsammarsombörjaiktningsom
ämpningarrangettvekenvektorkpet,skrivs|
är| |
3, 2 ärgi
6, 4 4 √3
15
arkoordinnaförvektvivalentmeekvivalens
1 2,ngdochrika.ariorigoomQ Q
rärdetviktktorskoorkallasofta|.Längde
om
ven.Beräk
6 16 √
aterna 0, 1tornQ Qedavvektosklassstart
1 ktningsomchslutarip
tigtattkundinateriOocksåförbnavenvek
mkoordina
kna 2 .
√52
1 respekti.orernaiExetariorigoo
Q Q efterpunkten(2
naberäknaN‐basblirdbeloppet.Läktorärettr
aternaför
Ma
ive 2, 0 .
empel2.Viochslutari
rsomvekto2,‐1)harsa
aenvektordettaväldiängdenavreellttalko
är , .
atematikI
ilken?enpunkt.
orernasamma
rslängd.gtenkelt.vektorn ,opplattill
-
Teknisktbasår MatematikI
16
301. Låtu 1, 4 ochv 2, 2 .Beräknaikoordinatforma) 3 b) 2 c) 3 d) 32
302. Vektorn 2, 5 och 1, 4 ärgivna.Beräknaa) | |b) 2 3
303. Vektorerna 0, 4 och4, 3 ärgivna.Beräkna
a) 3| |b) |2 3 |c) | | | |d) | |
304. Iettkoordinatsystemärentriangelritad.Hörnenärplaceradeipunkterna 1, 2 , 4, 0 och
1, 1 .Angekoordinaternaförvektorernaa) b) c) d)
305. Visaattpunkterna 1, 0 ,4, 2 och 6, 10 3⁄
liggerpåenrätlinjegenomattberäknakoordinaternaförvektorerna och .
306. Bestäm såattdetrepunkterna
1, 2 , 0, 4 och 3, liggerpåenrätlinje.
-
Tekniskt
Definit
Exemp
RäknerEkvatiochOlikhe
4 Sid.17NStudentli
tbasår
ABStion A
|
pel1 |3NEOGgtap|
regler
ioner Ed
eter |inVäfö
NågotomarbitteraturAB,
ab
OLUTAbsolutbelo
| 3| 3Noteraatt|Ettalternati
ObserveraaGeometriskgenerelltreallinjen,eftpunkten
|
Ekvationend.v.s.tvåpu
|nnebärattVidalgebraiärdetoftapöljandesam
etatfrån:K.EISBN978914
|| ∙ |
a)
b)
TBELoppetavett |0| 0| 0föraivtsättatt
att√ |ktrepresentpresenteratersomdett
påtallin
| | däunkterpåtakantolkasmåstelig
isklösningpraktisktatmband:0 å ä0 å ä
Eriksson,H.G44089997
| | || | ∙ | |
17
LOPP4ttal bete00
| 5allareellatdefiniera|
|gälleralterar| |avar| |ataavståndnjentill0.
är 0haallinjensomssomettavggamellangavekvatiottdelaupp| || |
Gavel(2013),
4cknas| |o
5| 5tal ,och||ärdärför
ltid,men√vståndetmavståndetmärdetsam
artvålösninmstårpåavvståndsom
ochonerocholiproblemet
,Diskretmate
c)d)
ochdefinier
| 0barar| | √
√ gälellanxochmellanpunkmmasomav
ngar,vståndet märmindre
.ikhetermetiolikafall
ematikochdi
| || |
| |
Ma
rasenligtn
aom 0..
llerbaranäh0påtallinkterna ocvståndetfrå
ochfrån0.Olikeän ,såd
dabsolutbmedhjälp
iskretamodel
atematikI
nedan:
är 0.jen.Merch påån
,khetendetta
eloppsåav
ller,
-
Teknisktbasår MatematikI
18
Exempel2a Lösekvationen| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹
33
Exempel2b Lösolikheten| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹
3 00 3 ⟹ 3 3
Exempel2c Lösolikheten| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹
33
⟹ 3 3
Exempel2d Lösolikheten| 1| 4 Lösning 1 0 1 4 1 0 1 4 ⟹
3 11 5
⟹ 3 5
Exempel2e Lösolikheten| 1| 3Lösning 1 0 1 3 1 0 1 3 ⟹
24
⟹ 2 4
4 3 2 1 1 2 3 4
4 3 2 1 1 2 3 4
3 2 1 0 2 3 4 5
4 3 2 1 0 2 3 4
4 3 2 1 1 2 3 4
-
Teknisktbasår MatematikI
19
Idettaintervallblirolikheten
xVifår
3x 2 12 3x 12 1 3x
Idettaintervallblirolikheten
Vifår 1
3 2 13 3
1
23
Exempel3a Lösekvationen|5 2 | 3.Användtallinje Lösning:förattenkeltvisa Teckenväxlingskernär5 2 0d.v.s.när 2,5aktuelltintervall Svar: 1och 4Exempel3b Lösolikheten|3 2| 1. Lösning: Teckenväxlingskernär3 2 0d.v.s.när 23 Svar:1 3 1⁄
401. Beräknagenomatttabortabsolutbeloppetstecken.a) |5 7|b) |7 5|c) |4 |d) |2 8|
402. Låt 3och 7,ochvisaatt
räknereglernaa)tilld)nedanstämmera) | | | |
b) | ∙ | | | ∙ | |
c) | || |
d |x| x
403. Lösekvationena) | 2| 1b) | 4| 7c) |2 5| 2d) 2| | 1e) | 2| 1
404. Lösolikheten
a) | 1| 3b) | 4| 1c) |2 5| 2d) | 1| 2e) 1 | 1| 3
5 2 3 2 5 3 2 8
4
Idettaintervallblirekvationen5 2 3 2 2 1
Idettaintervallblirekvationen
2,5
-
Tekniskt
Formel
Lösaut
tbasår
FORISverFahre
Föra1. Su2. D3. Sv
l Istäl
Enfouttry
t OmvtillFa
Attlölikhelikhe
RMLErigemäterenheit
attomvandubtrahera3Divideramevaretärigletförattb
ormelärenyck.FormelvilöserutFahrenheitg
ösaenvariatstecknetotstecknet.
Vänsterled
Rvitempera.
lafrångrad32frånFahed1,8.raderCelsibeskrivade
likhet,därnovangerFidennalikraderF.
abelutureochalltann
VL
20
aturenigra
derFahrenhrenheitgraius.ettamedor
rvänstralerossenregkhetfårvie
1,8
ettuttryckinat(ävenan
321,8
aderCelsiu
nheittillgraaderna.
rdkanvigö
detärenvgelförhurtenformelf
32innebärattndravariab
2 H
s .IUS
aderCelsiu
öradetmed
variabelochtemperaturförattöver
tfådenfritbler)påand
ögerledHL
Ma
SAanvänds
usgörman
dhjälpave
hhögraledrenCkanbrföraCelsiu
ttpåenasiddrasidana
atematikI
grader
såhär:
enformel.
detärettberäknas.usgraderC
danavav
-
Teknisktbasår MatematikI
21
501. Lösutvariabelsomstårinomparentesefterformeln.a) 3 4 13 0 b) 5 3 14 0 c) S 2 2 d)
502. Lösutvariabelsomstårinom
parentesefterformeln.a) b) c) d) 2
503. Lösutvariabelsomstårinom
parentesefterformeln.a) 2 b) c) 1 d)
504. Lösutvariabelsomstårinom
parentesefterformeln.a) b) 2 c) F d) e) √ f)
505. LösutIursambandet . 506. Lösut urformeln . 507. LösutdepositivastorheternaD
respektiveLursambandet ∙ .
508. Manharsambandet ∙
därallaingåendestorheterärpositiva.Lösut , , resp .
509. Dåmanräknarpåentypavväxelströmkretskommermanframtillsambandet därallastorheterärpositiva.Lösut , respektive .
510. Ommanräknarmedenergisåkan
mankommaframtillsambandet
mellandepositivastorheterna,, , , och .Lösut , resp.
511. Densomsysslarmedplanböjning
avrakbalkfårförrellersenareanledningattbefattasigsambandet
.Lösutstorheterna , resp .
512. Lösuthurformeln 2 .
513. Lösut urformeln
.
514. Manhar 0och 0.Lösut urformeln .
515. Lösut , 0,urformeln2 1 2.
-
Tekniskt
ExempExempExemp
Längd
Areask
Volym
SammaFattnin
5Sid22‐2Kulturlä
tbasår
AREK(f
pel1 O
pel2 O
pel3
Dc
dskala
kala
mskala
A
an‐ng
25någotomaäromedel,ISB
EA–OKartorochrföremålet)Omenkarta
Omenritnin ä
Denstoracyylindern.
ä
Allmäntgäll
arbetatfrån:BN978‐91‐27
Om längd
OCHVritningarär.aharskalan
ä ä
ngärgjort
ylindernär
ä
öä
lerförlikfo
L.Alfredsson7‐42253‐7
dskalan s
22
VOLYrlikformig
n(skalfaktå
iskalan1:50
renlikform
ä ä
å
ormigaomr
n,K.Bråtingm
så är areaska
MSKAaavbildnin
orn)1:200
50,såär
migavbildn
ö å
ö å
rådenochk
m.fl.(2012),M
alan o
ALA5ngaravver
000,såär
ä
ing(enförs
å
=
∙∙
kroppar
Matematik50
och volymska
Ma
rkligheten
ä å
storing)av
∙
000kurs2c,N
kalan
atematikI
vdenlilla
Natur&
-
Tekniskt
Exemp
Exemp
tbasår
pel1 T
BabcLabcS
pel2 Thd
LDsd
Trianglarnaärenavb
Bestäma) längdskb) areaska) areanLösning:
a) äb) ) 32
Svar:AreanTvåvaserhhögochhardenmindre .
Lösning:Denmindreomenförmdenstörre,vä
1000216
a och äbildningav
kalanalan
1ä
∙ 9 4 72av är72arsammafrvolymen1vasensvol
evasenkanminskadmovilketger
9 1510
3 5
22023
ärlikformi.
2 8 3 2ä 2 2.formmeno1000 .Dlym,
nsesodellav3 5
00
ga.
3 2
olikastorleDenmindr
9 4
ek.Denstörevasenär
Ma
rrevasenä9,0 hög
atematikI
är15cmg.Beräkna
-
Tekniskt
601. AgAabc
602. Tma
B
abc
603. R
B
604. I
tmtVdt
605. P
unHo
606. V
fab
tbasår
S
1 1 ∙
AvettföremgörsenkopAngea) längdskab) areaskalc) volymsk
Trianglarnamensammaavbildning
Bestäma) längdskab) areaskalc) denmindRätblockenBeräknade.
denmindrtrianglarärmotsvarandtriangeln.VilketärfördenmindretriangelnarPåenkartauppskattarnaturreservHurmångaområdetiv
Vilkenlängfördubblinga) areanb) volymen
Svar:Denm
10
målmedhöpiamedhöjalanankalan.aharolikaaform. äav .
alanandretriangenärlikformenokändav
reavtvålikrensida80desidaiderhållandeteochdenstreor?aiskala1:4Bellaareanvattill80ha(hektarverklighete
dskalagergav
n
mindrevaseöjden4jden1 .
storlekären
elnsarea.miga.volymen,
kformiga0%avenstörremellantörre
4000navett
.r)ärn?
en
24
ensvolymä6
6
6
6
är220607. A‐form
pappe
Allarelikform1ha
841a) Den74lån
b) Vilk608. Hurm
areanlängdma) 2ggb) 3ggc) 4gg
609. Sverigharen4500ÄrdetskalaA4‐pa
610. Tillettbyxlän80Medhtygåtgparjeamede
. matetärdeersformaten
ektanglarnamiga. 0harmåtten59.
nkortasida.Vilket
gsidan?kenareahamångagångavenfigurmåttifigurgrsålångagrsålångagrsålångageärca157ntotalarea00 .tsantatten1:100000apper?Motitparjeansngden(innegårdet hurmångapgångenökaansavsamen10%län
Ma
evanligasteniEuropa.
aiA‐serienararean194
anpåetttmåttharar 2?gerstörrebromallarenbliraaa?7 långtapånSverigeka0fårplatsiveradittsmedersömmen
tyg.procentböa,ommansmmamodellngreinners
atematikI
e
när.
7är
blir
och
artaipåettvar.
n)örsyrettlmenöm?
-
Tekniskt
611.
tbasår
Ettkoniskdetärfylld
Hurmångdruckitdåtillhälften
ktglasrymmdtillbredd
gacentiliteråvätskanshn?
mer8 dåden.
rharmanhöjdsjunki
25
å
it
6
6
612. Etträtavbia) areb) vol
613. Triangsomp
Bestä
tblockmedildasmedseaskalanärlymskalanägeln hparallelltrap
miexaktfo
Ma
dsidornaskalan .Vir är .harlikastorpetsen
ormkvoten
atematikI
, ochsaatt
rarea.
n ⁄ .
-
Tekniskt
FAC
101. Sy
Sy
102. a) b)c) d)e) f) g) h)
201.
Le202. a)
b)
203.
a)
b)
204.
a)
b)
tbasår
CIT
ymbolen⟺skaymbolen⟹ska
Tex: 4 Tex:VinkelnTex: ä
Tex: 5Tex:PolygonTex: ärettTex:Djuretk
Tex:Siffersumed3.
21
edtråd:Avlässk
21
3 4
13
2 3⁄ och
1,8och
aståirutornaaståirutorna
närtrubbig.ärenfyrhörnin5nenärenfemhtnegativttal.kansimma.ummaniheltal
kärningspunkt
5 3⁄
0,4
ia),b)oche).c),d)ochf).
ng.hörning.
let ärdelbar
ten.
26
20
20
20
20
20
21
21
05. a)
LedtErsä
b) 06.
a) b) c) d)
07. a) b) c) d) LedtrådcBörjame
08. a) 43
ärenm
b) Enbc) Enm
09. 1 5⁄Kontroll:
3 ∙3
10. a) 23
ärpris
b) Enkc) Enb
11. a)
520
tråd:ätt med4 id64
8 5 7 32⁄ 1 2⁄
5 3
24322
12
4c):edattlösautx
382 46
rprisetpåenbmacka.banankostar6mackakostar1
15 1
35
55
7 ∙ 15 115
4 593 63
rprisetpåenketpåenbulle.koppkaffekostbullekostar8,5
34
Ma
denandraekv
idenförstaek
bananoch är6kr.14kr.
55
85 15
575
85
koppkaffeochtar12,50.50kr.
atematikI
vationen.
kvationen.
prisetpå
är
-
Teknisktbasår MatematikI
27
b) 5 2⁄1 6⁄ 212. 12
Ledtråd:Bestämvärdetpå5 4 om5 4 3 9
213. 1 2, 2⁄ , 2, 3 , 2, 1
214. Ja,allalinjergårgenompunkten 14, 25 .
215. 3, 1
Ledtråd:Sättin 7och 2.Lösekvationssystemeti och
216.
a) 417b) 42
Ledtråd:Börjamedattadderaledvis.217.
a) 3b) 194
Ledtråd:Lösekvationssystemet3 2 653 15 3
218.
a) 29b) 11
219. Texa) Ekvation1med3ochekvation2med 5.b) Ekvation1med6ochekvation2med4.
220.
a) 6725b) 51 4⁄ c) 106
221. 82 Ledtråd:Ekvationssystemet8 4 32 8 3,75ger 1 8⁄ och 1 2⁄ .
222. 11
Ledtråd:Börjamedattmultipliceraekvationernamednågongemensamnämnare.
223.
a) 4,53b) 0,0330
224. Enbackpantasför21,4krochetttomglasför
0,70kr.Ledtråd:Lösekvationssystemet
3 60 106,2014 31,20
225. Dettillverkas10traditionellabumerangeroch30exklusivabumeranger.Ledtråd:Lösekvationssystemet3 4 150
3 100226. 5227. Ekvationssystemetsaknarlösningeftersom
linjernasaknarskärningspunkt.Linjernaärparallella.
228.
a) 2 3⁄ Ledtråd:Bestämlutningenpå
b) 3, 1 c) 1och 2
Ledtråd:Ekvationssystemetharoändligtmångalösningareftersomekvationernabeskriversammalinje.
229. Om 3finnsenendalösningtillekvationssystemet.Motivering:Linjernaärinteparallella.Om 3och 7saknaslösning.Motivering:Linjernaärparallellameninteidentiska.Om 3och 7finnsoändligtmångalösningar.Motivering:Ekvationernaäridentiska.
230.
a) Saknarlösning.Grafisktolkning:Ingenskärningspunkt.
b) Lösning:21
Grafisktolkning:Enskärningspunkt.c) Lösning:
Alla , förvilka2 3Grafisktolkning:Allapunkterärgemensamma.
d) Saknarlösning.Grafisktolkning:Ingenskärningspunkt.
231.
a) Tex 2 3 1Ledtråd:2 3 5kanskrivas
2 3 5 3b) Tex4 6 10
232.
a) 0,5b) 0,5c) 1 3⁄
Ledtråd:Då 1 3⁄ hamnarskärningspunktenpå ‐axeln.
-
Tekniskt
233. 234.
LinLeJäm
301. a)b)c)d)
302.
a) b)
303. a) b)c) d)
304. a) b)c) d)
305.
Villin
306. 307.
6308. 309.
tbasår
333ger 433,1ger
njernaärnästaedtråd:mförderas ‐v
) 3, 12 ) 3, 8 ) 5, 10 ) 2, 7
√29 √2915
√1459
√653, 2
5, 1 2, 3
5, 1
3, 223 ⟹ ∥lketinnebärat
nje.10
och 2 22, 3
49 3⁄ 16,3o98och
anparallella.värden.
2 ,⟹ ∥
tt , och lig
ch 44269,4
2, 4 3⁄
ggerpåenrätt
28
t
40
4040
40
50
50
50
50
01.
a) 2b) 2c) 4
d) 2802. ‐
03.
a) b) c) d) e) Alla
04. a) 2b) 5c) 7⁄d) e) 22
01.
a) b) c) d)
02. a) b) c) d)
03. a) b) c) d)
04. a) b) c) d) e) f)
44 48 42 4
13216
04 5⁄ 1
1 3⁄ 2
43
2⁄ 3 2⁄1eller 3
04
13 4 3⁄ 5 4 3⁄ 2 ⁄
⁄ ⁄
2
2 2 2
√
2
4 1 4
Ma
23
1
atematikI
-
Tekniskt
505. 506.
507.
508.
509.
510.
511.
512.
513.
514.
515. Om
601. a)
b)
c)
602.
a)
b)c)
tbasår
2 4
√
22 2
2
1 1
√m √
1 4Ledtråd:
ä 1 16Ledtråd: 11 64Ledtråd: 1
3 4Ledtråd:Ska
9 146,8 (6
2
√ såfårman
ö å⁄
4
4
alanbrukaran
6,75)
ntvålösningar
ä
ngesmedhelta
29
.
al.
6060
6060
60
60
60
61
61
61
61
03. 16004. Förhållan
är64%aLedtråd:
05. 13hekta
06. a) Längb) Läng
07. a) 105b) 0,25
08. a) 4b) 9c) 16
09. Nej.MotiverinKartbilde
10. 21%Ledtråd:Längdsk
11. 7 Ledtråd:
12. a) Rätb
Bild
b) RätbBild
13. √2
ndetär16 25⁄ avdenstörrea80%kanskri
ar (12,8)
dskalan=√2dskalan=√2
5
ng:enavSverigeä
alan 1,1
Volymskalan
blockensarea2 2
densarea:2 ∙ ∙2 2∙
blockensvolym
densvolym:∙ ∙
2 1
Ma
ellerdenmindarean.ivas4 5⁄ .
är157cmlång
1 2
2 2 ∙ ∙ 22
m:
∙
atematikI
drearean
g.
∙ ∙
-
Teknisktbasår MatematikI
30
-
Teknisktbasår MatematikI
31