hidraulica´ ingenier´ıa en acuicultura. · conservacion de la energ´ ´ıa y ... ahora,...
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HIDRAULICAIngenierıa en Acuicultura.
Omar Jimenez Henrıquez
Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,
Antofagasta, Chile,
I semestre 2011.
Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 1
Contenidos
1 HidrodinamicaEcuacion de ContinuidadConservacion de la energıa y ecuacion de Bernoulli
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Hidrodinamica
Fluidos en movimiento
Ahora, analizamos fluidos en movimiento. La cantidad de fluidoque pasa por un sistema por unidad de tiempo puedeexpresarse por:
Q[
m3
s
]: El flujo volumetrico, que es el volumen de fluido que
circula en una seccion por unidad de tiempo. Se determinacomo,
Q = Av ,
donde, A es el area de la seccion y v es la velocidad promediodel flujo.
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Hidrodinamica
Fluidos en movimiento
M[
kgs
]: El flujo masico, que es la masa de fluido que circula
en una seccion por unidad de tiempo. El flujo masico M serelaciona con Q por medio de la ecuacion.
M = ρQ.
donde, ρ es la densidad del fluido.
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Hidrodinamica
Fluidos en movimiento
Considere el conducto de la figura. Unfluido circula con un flujo volumetricoconstante de la seccion 1 a la seccion 2.Es decir, la cantidad de fluido que circulaa traves de cualquier seccion en ciertacantidad de tiempo es constante. Estose conoce como flujo estable.
En el caso de un flujo estable, el flujo masico satisface lasiguiente relacion,
M1 = M2,
dado que M = ρAv , tenemos
ρ1A1v1 = ρ2A2v2,
esta relacion se conoce como ecuacion de continuidad.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidraulica FS-425. 5
Hidrodinamica
Fluidos en movimiento
Si el fluido es incomprensible, es decir ρ1 = ρ2, se tiene que
A1v1 = A2v2,
o bien dado que Q = Av , tenemos que Q1 = Q2 es el mismoflujo volumetrico.
Ejercicio 1: ¿Que diametro debe de tener una tuberıa paratransportar 2[m3/s] a una velocidad media de 3[m/s]?.Sol: d = 0.92[m].
Ejercicio 2: Una tuberıa de 15[cm] de diametro transporta80`/s. La tuberıa se ramifica en otras dos, una de 5[cm] y laotra de 10[cm] de diametro. Si la velocidad en la tuberıa de5[cm] es de 12[m/s]. ¿Cual es la velocidad en la tuberıa de10[cm]?. Sol: v = 7.2[m/s].
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
La energıa no se crea ni se destruye, solo se transforma. Esteenunciado se conoce como la ley de conservacion de laenergıa.
Hay tres formas de energıa que setoman siempre en consideracioncuando se analiza un problema deflujo en tuberıas. Consideramos unelemento de fluido como el queaparece en la figura.
El elemento de fluido se localiza a cierta elevacion z, tienevelocidad v y presion p. El elemento de fluido posee lassiguientes formas de energıa:
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
1) Energıa potencial debido a su elevacion, la energıapotencial del elemento con respecto al nivel de referencia es
EP = mgz.
2) Energıa cinetica debido a su velocidad, la energıa potencialdel elemento es
EP =12
mv2.
3) Energıa de flujo o energıa de presion y representa lacantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluidoa traves de cierta seccion contra la presion p. La energıa deflujo es
EF = pV ,
donde, V es el volumen del elemento de fluido.
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
La cantidad total de energıa de estas tres formas que posee elelemento de fluido es la suma, E
E = EP + EC + EF ,
o bien
E = mgz +12
mv2 + pV ,
donde, la energıa total E se mide en Joule [J].
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
Ahora consideramos el siguiente caso.
La energıa total en el punto 1 es
E1 = mgz1 +12
mv21 + p1V .
La energıa total en el punto 2 es
E2 = mgz2 +12
mv22 + p2V .
Si no hay energıa que se agregue o pierda en el fluido entre lassecciones 1 y 2 entonces el principio de la conservacion de laenergıa requiere que:
E1 = E2.
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
mgz1 +12
mv21 + p1V = mgz2 +
12
mv22 + p2V .
Si, ahora dividimos por el peso mg, tenemos dado queγ = mg/V
z1 +v2
12g
+p1
γ= z2 +
v22
2g+
p2
γ.
Esta ecuacion es conocida como ecuacion de Bernoulli ytiene unidad de metros [m]. Ahora,
z: es la altura de elevacion [m].v2
2g : es la altura de velocidad o es la carga de velocidad [m].pγ : es la altura de presion o es la carga de presion [m].
La suma de estos tres terminos se denomina carga total.
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
La ecuacion de Bernoulli
z1 +v2
12g
+p1
γ= z2 +
v22
2g+
p2
γ.
es valida para fluidos incompresibles, no viscosos y para flujoestacionario. Ademas, no debe haber perdidas de energıadebido a la friccion o transferencia de calor hacia el fluido ofuera de este.
En realidad ningun sistema satisface todas estas restricciones.Sin embargo, hay muchos sistemas donde la ecuacion deBernoulli entrega resultados con pequenos errores.
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Hidrodinamica
Ecuacion de BernoulliEjemplo:
Debido a que A1 < A2 ydado que Q1 = Q2, o bienA1v1 = A2v2, tenemos que
v2 =A1
A2v1 < v1,
v2 es menor que v1, luego v22
2g
es mucho menor que v21
2g .
Ademas, cuando crece elarea, la altura de presionaumenta dado que la alturade velocidad disminuye.
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Hidrodinamica
Ecuacion de Bernoulli
Por lo tanto, la ecuacion de Bernoulli
z1 +v2
12g
+p1
γ= z2 +
v22
2g+
p2
γ,
toma en cuenta los cambios en la carga de elevacion z, cargade velocidad v2
2g y carga de presion pγ , entre dos puntos en un
sistema de flujo de fluido. Se asume que no hay perdidas oaumentos de energıa entre los dos puntos, por lo que la cargatotal permanece constante.
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Hidrodinamica
Tubo Venturi
La tuberıa horizontal estrechada que semuestra en la figura, conocido comotubo Venturi, se puede usar para medirla velocidad de un flujo en fluidosincompresibles. Determine la velocidaddel flujo en el punto 2 si se conoce laspresiones en los puntos 1 y 2.
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Hidrodinamica
Tubo Venturi
La tuberıa horizontal estrechada que semuestra en la figura, conocido comotubo Venturi, se puede usar para medirla velocidad de un flujo en fluidosincompresibles. Determine la velocidaddel flujo en el punto 2 si se conoce laspresiones en los puntos 1 y 2.
Como la tuberıa es horizontal z1 = z2, luego la ecuacion deBernoulli queda de la forma,
v21
2g+
P1
γ=
v22
2g+
P2
γ.
De la ecuacion de continuidad, tenemos Q1 = Q2, con lo cualA1v1 = A2v2, luego
v1 =A2
A1v2.
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Hidrodinamica
Tubo Venturi
v21 +
2gP1
γ= v2
2 +2gP2
γ.
v22 = v2
1 +2P1
ρ− 2P2
ρ,
v22 =
[A2
A1v2
]2
+2ρ(P1 − P2)
v22
(1−
[A2
A1
]2)=
2ρ(P1 − P2)
⇒ v1 = A1
√2(P1 − P2)
ρ(A21 − A2
2).
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Hidrodinamica
Ley de Torricelli
Un tanque que contiene un lıquido dedensidad ρ tiene un orificio pequeno enun lado, a una distancia y1 del fondo. Elaire por sobre el lıquido se mantiene auna presion P. Determine la rapidez conla cual sale el lıquido por el orificio,cuando el nivel del lıquido esta a unadistancia h arriba del orificio.
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Hidrodinamica
Ley de Torricelli
Un tanque que contiene un lıquido dedensidad ρ tiene un orificio pequeno enun lado, a una distancia y1 del fondo. Elaire por sobre el lıquido se mantiene auna presion P. Determine la rapidez conla cual sale el lıquido por el orificio,cuando el nivel del lıquido esta a unadistancia h arriba del orificio.
Suponemos que no hay perdidas de energıa, con lo cual
z1 +v2
12g
+p1
γ= z2 +
v22
2g+
p2
γ.
Ahora, consideramos que A2 >> A1 y dado que Q1 = Q2, esdecir A2v1 = A2v2 tenemos que v2 = A1
A2v1, con lo cual v2 es
pequeno y lo despreciamos v2 ≈ 0.
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Hidrodinamica
Ley de Torricelli
Luego, v21
2g= z2 − z1 +
P2 − P1
γ,
en este caso, z2 − z1 = h, la presion P2 = P y la presionP1 = Patm, tenemos
v1 =
√2gh + 2
(P − Patm
ρ
).
Si el punto 2 esta abierto a la atmosfera, tenemos P = Patm y
v1 =√
2gh.
Luego, la rapidez para un recipiente abierto es igual a la queadquiere un cuerpo en caıda libre cuando cae una distancia h.Esto se conoce como ley de Torricelli.
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Hidrodinamica
Sifon
En la figura se muestra un sifon utilizado para conducir aguadesde una alberca. La tuberıa que conforma el sifon tiene undiametro interior de 40[mm] y termina en una tobera de25[mm] de diametro. Si suponemos que en el sistema no hayperdida de energıa, calcule el flujo volumetrico a traves delsifon y la presion en los puntos B al E.
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Hidrodinamica
Sifon
La presion en la ecuacion de Bernoulli se puede considerarcomo la presion manometrica.
Puntos A y F:
zA +v2
A2g
+PA
γ= zF +
v2F
2g+
PF
γ.
La presion en el punto A y F es la presion atmosferica, luegoPA = 0 y PF = 0. Por otro lado, la velocidad del punto A sepuede aproximar a cero, es decir vA = 0, luego
v2F
2g= zA−zF ⇒ vF =
√2g(zA − zF ) ⇒ vF = 7,67[m/s],
El caudal o flujo volumetrico es
Q = AF vF = 3,76× 10−3[
m3
s
].
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Hidrodinamica
Sifon
Puntos A y B:
zA +v2
A2g
+PA
γ= zB +
v2B
2g+
PB
γ.
Tenemos vA = 0, PA = 0 y zA = zB, luego
v2B
2g+
PB
γ= 0 ⇒ PB = −ρ
2v2
B.
Ademas, se cumple que
Q = ABvB ⇒ vB =QAB
⇒ vB = 3[
ms
],
y finalmentePB = −4500[Pa].
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Hidrodinamica
Sifon
Puntos A y C:
zA +v2
A2g
+PA
γ= zC +
v2C
2g+
PC
γ.
Tenemos vA = 0, PA = 0 y vC = vB, luego
PC
γ= zA − zC −
v2C
2g⇒ PC = ρg(zA − zC)−
ρ
2v2
C .
y finalmente
PB = −16260[Pa] = −16,26[kPa].
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Hidrodinamica
Sifon
Puntos A y D:La presion en PD = PB = −4.5[kPa] y vD = vB = 3[m/s].
Puntos A y E:
zA +v2
A2g
+PA
γ= zE +
v2E
2g+
PE
γ.
Tenemos vA = 0, PA = 0 y vE = vB, luego
PE
γ= zA − zE −
v2E
2g⇒ PE = ρg(zA − zE)−
ρ
2v2
E .
y finalmentePB = 24900[Pa] = 24.9[kPa].
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