hidraulički udar pri naglom - fsb online · pdf filespremnik proširena cijev ventil v...
TRANSCRIPT
Hidraulički udar pri naglom Hidraulički udar pri naglom zatvaranju ventilazatvaranju ventila
ap
H
0v
L
Slika 4.
D
spremnikproširena cijev ventil
v v = 0
L
Prirast tlaka ∆p Brzina zvuka c
Statički tlak p0 t < L/c
spremnikproširenacijev
ventil
v = 0
L
p0 + ∆p
t = L/c
spremnikproširena cijev ventil
v v = 0
L
Prirast tlaka ∆p Brzina zvuka c
Statički tlak p0 L/c < t < 2L/c
spremnikcijev ventil
v
L
p0 t =2L/c
spremniksužena cijev ventil
v v = 0
L
p0 - ∆p
Brzina zvuka c
Statički tlak p0 2L/c < t < 3L/c
spremniksužena cijev ventil
v = 0
L
p0 - ∆p t =3L/c
spremniksužena cijev ventil
v v = 0
L
p0 - ∆p
Brzina zvuka c
Statički tlak p0 3L/c < t < 4L/c
spremnikcijev ventil
v
L
p0 t =4L/c
Izvod brzine zvukaIzvod brzine zvukaJednadžba kontinuiteta
Bernoullijeva jednadžba
Bernulijeva jednadžba za idealni fluid
Brzina širenja slabog tlačnog poremečaja c
( )ρρ= −
dtd vD
ds
ρ ρ θ τ∂⋅ = − − ⋅ −
∂4cos
dt wDv p g
s D
ρ ∂⋅ = −
∂dtDv p
s
= ⋅ds c dt
Izvod brzine zvukaIzvod brzine zvuka( ) ( )ρ ρρ
= − = −⋅dt
d v d vDds c dt
ρ ρ⋅ = − = − ⋅ = −⋅dt
Dv dp dp dpdvds c dt c
( )ρ ρ ρρ += − = −
d v dv vddc c
ρ ρ ρ ρ= − − = −dpcd dv vd vdc
ρ+ =2(1 )vc d dpc ρ
=dpcd
AllieviAllievi –– evev izrazizraz
ρ ρ⋅ = − = − ⋅ = −⋅dt
Dv dp dp dpdvds c dt c
ρ ρ⋅ = − = − ⋅ ⋅dpdv dp c dvc
Brzina zvukaBrzina zvuka
c
KDEs
=+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
ρ
Zaštita od Zaštita od hidraulčikoghidraulčikog udaraudara
Kompenzacione posudeRasteretna komoraSigurnosni ventilDozračni ventil
Model jModel jednodimenzijskoednodimenzijskog,g,izotermiizotermiččkokog,g, nestacionarnonestacionarnog,g,
strujanjstrujanjee fluidafluida
Jednadžba kontinuiteta
Jednadžba količine gibanja
Brzina zvuka
vhx
ht
cg
vx
vzx
∂∂
∂∂
∂∂
+ + − =2
0dd
∂∂
∂∂
∂∂
hx
vg
vx g
vt
v vgD
+ + + =1
20
λ
c
KDEs
=+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
ρ
Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi
Klasifikacija diferencijalnih jednadžbi prema Garabedianu
eliptičke parabolične hiperbolične
eliptičke D < 0parabolične D = 0hiperbolične D > 0
2 2 2
2 2 0u u u u uA B C D E Fu Gx x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 4 0B AC− <2 4 0B AC− =
2 4 0B AC− >11 11 12 12 1
21 21 22 22 2
u u v vA B A B Ex y x yu u v vA B A B Ex y x y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )( )211 22 21 12 22 11 12 21 11 22 21 12 11 22 21 124D A B A B A B A B A A A A B B B B= − + − − − −
Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi
2 0p p vv cx t x
ρ∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
12v vp v v dzv g
g x x t D dxλ∂ ∂ ∂
+ + = − −∂ ∂ ∂
A11 = v ; B11 = 1 ; A12 = c2ρ ; B12 = 0 ; E1 = 0A12 = 1/ ρ ; B21 = 0 ; A22 = v ; B22 = 1 ; E2 =
D = (v – 0 + v – 0)2 – 4(v2 – c2)(1 – 0) = 4c2
Hiperbolični sustav jednadžbi
2v v dzgD dx
λ− −
Metoda karakteristikaMetoda karakteristikaHiperbolični sustav jednadžbi može se zapisati u obliku
Za model sustav jednadžbi glasi
Traženi karakteristični smjerovi izvode se iz jednadžbe
U UA Bt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
2 0
1/2
p pv cv v dzv vt xv gD dx
ρρ λ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
0A Iλ− =2
01/
v cv
λ ρρ λ
− +=
− +
Pozitivna karakteristika ima nagib
i uzduž nje vrijedi izraz:
Negativna karakteristika ima nagib
i uzduž nje vrijedi izraz:
( )1=d d 1t x v cλ = +
dh d 0d d 2
v vg vc t t D
λ+ + + =
( )2 =d d 1t x v cλ = −
dh d 0d d 2
v vg vc t t D
λ− + + =
KarakteristikeKarakteristike
DiskretizacijaDiskretizacija vremensko vremensko prostornog kontinuumaprostornog kontinuuma
( )
( )v v v
v v vR M O1
S N O2
= + −
= + −
α α
β β
1
1
( )( )
R M O
S N O
1
1
h h h
h h h
α α
β β
= + −
= + −
InterpolacijaInterpolacija
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P1 R P1 R RR
P2 S P2 S SS
sign 0
-sign 0
gi h h v v Fcgj h h v v Fc
− + − + =
− + − + =
( )
( )
F F v v Fv v t
D
F F v v Fv v t
D
R R P1 R RO R
S S P2 S SO S
= + =+
= + =+
,
,
λ
λ
∆
∆
8
8
d d 0d d 2
v vg h vc t t D
λ+ + + =
dh d 0d d 2
v vg vc t t D
λ− + + =
PrimjerPrimjerDuljina cijevi................................L=91,44 mPromjer cijevi...............................D=10,97 mmDebljina stjenke...........................s=0,81 mmRazina vode u spremniku.............H=0.1275 mGustoća vode................................ρ=992,8 kg/m3
Kinematička viskoznost................ν=0,6414×10-6 m2/sVol. modul elastičnosti vode........K=2,2774×109 PaModul elastičnosti cijevi..............E=1,1003×1011 PaDubina fluida u rezervoaru……….h = 7.2 m
D, L
H
ρ,ν
h
Model strujanjaModel strujanja( )1=d d 1t x v cλ = +
d d 0d d 2
v vg h vc t t D
λ+ + + =
( )2 =d d 1t x v cλ = −
dh d 0d d 2
v vg vc t t D
λ− + + =
Pozitivna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:
Negativna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:
Pretpostavke:•v mnogo manji od c pa ga zanemarujemo u nagibu karakteristike•koeficijent trenja zavisi samo od relativne hrapavosti λ = const.•Lewi Courantov broj CFL = 1
DiskretizacijaDiskretizacija prostor prostor --vrijemevrijeme
1 11 1( ) ( ) 0n n n n
i i i ig h h v vc
+ ++ +− − + − =
1 11 1( ) ( ) 0n n n n
i i i ig h h v vc
+ +− −+ − + − =
11 1 1 1
1 ( ) ( )2 2
n n n n ni i i i i
ch h h v vg
+− + − += + + −
11 1 1 1
1( ) ( )2 2
n n n n ni i i i i
gv h h v vc
+− + − += − + +
Rubni uvjetiRubni uvjetiRubni uvjeti:Za visinu tlaka slijedi izraz iz pozitivne karakteristike koja vrijedi
na kraju cijevi:
Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz spremnika:
1 11 1( )n n n n
i i i ich h v vg
+ +− −= − −
1 11 1( )n n n n
i i i igv v h hc
+ ++ += + −
Početni uvjetiPočetni uvjeti
Bernoullijeva jednadžba od površine lijevog do površine desnog spremnika uz zanemarenje trenja glasi
a odatle izraz za brzinu strujanja u cijevi u stacionarnom režimu strujanja
v = 0.05 m/s
2
2Pa Pa vHg g gρ ρ+ = +
2v gH=
RezultatiRezultati1 5 9
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
101
105
S1
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00