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IV Congreso Internacional HIDRO 2011Obras de Saneamiento, HIDRÁULICA,

Hidrología y Medio Ambiente

INSTITUTO DE LA CONSTRUCCION Y GERENCIA – ICGe-mail: [email protected] / Web: www.construccion.org

USO DE ALGORITMOS GENETICOS MULTIOBJETIVO APLICADO ALDISEÑO DE REDES DE AGUA POTABLE, CASO AA.HH. PUENTE

CAMIARA, DISTRITO LOCUMBA-TACNA

Espinoza Canqui J.1, Pino Vargas E.2,

1Escuela de Ingeniería Civil, Universidad Nacional Jorge Basadre G. Tacna 2Escuela de Ingeniería Geológica-Geotecnia, Universidad Nacional Jorge Basadre G. Tacna

RESUMEN

El presente trabajo de investigación usa la aplicación de un algoritmo genético multi-objetivo en eldiseño óptimo de la red de agua potable del AA.HH. Puente Camiara, ubicado en el distrito deLocumba de la Provincia Jorge Basadre Grohmann de la Región de Tacna.Se pretende medianteel proceso de optimización planteado la búsqueda de la red de mínimo costo y máximaconfiabilidad, que a su vez está sujeta a múltiples restricciones del tipo hidráulicas y normativas.

Palabras clave: Algoritmo genético, multi-objetivo, diseño óptimo.

INTRODUCCION

Las redes de distribución de agua potable son sistemas compuestos por tuberías, bombas, etc.,conectados de tal modo que suministren a los consumidores las cantidades de agua demandada alas presiones requeridas. La implementación tanto de una nueva red de distribución como lasampliaciones de redes ya existentes, implica importantes costos de inversión y mantenimiento, lo

que obliga a cuidar con atención su diseño (configuración y dimensionamiento) así como lascondiciones de operación.

El diseñador debe seleccionar los elementos de la red (diámetros) de tal manera que la redcumplan con principios físicos y técnicos necesarios para el buen funcionamiento de la red deagua potable teniendo en cuenta que para cada componente existen varias opciones; de estamanera el diseñador debe encontrar de entre un número muy grande de posibilidades la másapropiada que cumpla estos principios y que económicamente sea la menos costosa, además debrindar la confiabilidad adecuada a la red de agua potable planteada.

Dado el gran número de posibilidades de diseño para una misma red se hace necesario unprocedimiento de selección que busca optimizar la red de agua potable con mejor aptitud anteobjetivos específicos, es por ello que en los algoritmos genéticos multi-objetivo se encuentra unaalternativa de búsqueda optimizada de la red con mejor aptitud ante múltiples objetivos.

MATERIALES Y MÉTODOS

Optimización Multi-objetivo

La optimización multi-objetivo general incluye un conjunto de n parámetros (variables de decisión),un conjunto de k funciones objetivo y un conjunto de m restricciones. Las funciones objetivo y lasrestricciones son funciones de las variables de decisión. Luego, el problema de optimización multi-

objetivo puede expresarse como:

Max/Min fk(x) k= 2,3……..k.

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Sujeto a :

Gm(x) >= 0 m = 1,2,3……M

xJ≤

xn≤

xJLa principal diferencia con un modelo mono-objetivo radica en la presencia de un grupo defunciones que deben ser optimizadas simultáneamente. De esta manera se busca encontrar unvector de variables de estado x=(x1; x2; x3;…. Xn) que cumplan con el conjunto de restricciones ydonde las funciones objetivo sean optimizadas.

Desde el punto de vista tradicional de las matemáticas, el concepto de optimización es imposiblecuando múltiples criterios están involucrados. De aquí se deriva el hecho de que la solución en unproblema multi-objetivo es un conjunto de soluciones alternativas más que una única solución.Este concepto se conoce como Optimo de Pareto (Coello et al, 2002). Por lo tanto se debe de

incluir las siguientes definiciones importantes como:Óptimo de Pareto

Una solución x(1) que pertenece al conjunto de soluciones posibles es un óptimo de Pareto si ysólo si no existe ninguna x(2) que pertenece al conjunto de soluciones, para la cual x(2) evaluadaen el conjunto de objetivos domina a x(1) evaluada en el conjunto de soluciones objetivo.

El óptimo de Pareto generalmente produce no una solución única, sino un conjunto de soluciones,conocidas también como soluciones no-dominadas (frentes de Pareto), definiéndose de estemodo el rango de dominancia de un conjunto de soluciones sobre las demás comor j.

Dominancia

En el procedimiento de optimización multi-objetivo se debe definir el criterio de dominancia, elcual define que una solución x(1) domina a otra solución x(2) si se cumple las siguientescondiciones:

La solución x(1) no es de menor calidad que x(2) en todos los objetivos.

La solución x(1) es estrictamente mejor que x(2) en al menos uno de los objetivos.

Aplicando iterativamente estas reglas sobre un conjunto de soluciones al problema deoptimización multi-objetivo, se puede establecer cuáles son las alternativas dominantes o conjuntono dominado; las soluciones restantes forman parte del conjunto de soluciones dominadas.

Mediante estas definiciones se pretende establecer que soluciones son mejores que otrasseparando por niveles la población de posibles soluciones al problema, de acuerdo a su nivel deadaptación a las funciones objetivo y restricciones planteadas, generándose así los diversosfrentes de dominancia.

Coeficiente de Apilamiento

El operador de apilamiento permite cuantificar el espacio alrededor de una alternativa que no se

encuentra ocupada por ninguna otra solución. Para esto se debe calcular el perímetro del cuboideformado por las soluciones vecinas que poseen el mismo rango de dominancia que la alternativa i,lo cual se describe por medio de la siguiente ecuación:

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F1

F2

Xi

X(i+1)

X (i-1)

F1

X(i+1)F1

X(i-1)

F2

X(i+1)F2

X(i-1)

Donde :

Coeficiente de apilamiento de la solución x i.M = Es el número de funciones de optimización o funciones objetivo.

=Valor de la soluciónx(i+1)en la función objetivo m. Valor de la solución x(i-1)en la función objetivo m. Valor máximo sobre todo el espacio de solución de la función objetivo m. = Valor mínimo sobre todo el espacio de solución de la función objetivo m.Por ejemplo para el caso de la figura anterior, con dos funciones objetivo y tres rangos dedominancia para las diez alternativas mostradas, el semi-perímetro del área sombreada estarádado por la siguiente ecuación:

De esta manera se puede afirmar para un conjunto de soluciones en competencia, la alternativaque introduce el mayor nivel de diversidad es aquella con la mayor distancia de apilamiento.

METODOLOGIA EMPLEADA

Se inició el trabajo con la recopilación de la información necesaria y existente de la red de aguaproyectada para el asentamiento humano, datos de población, plano de urbanización de la zona,plano topográfico de la zona entre otros necesarios para el diseño de una red de agua potable.

Luego con la aplicación del algoritmo genético multi-objetivo basado en el algoritmo NSGA-II, elpseudo código del algoritmo en general consta de los siguientes pasos:

1. Generación de una población P de tamaño N de forma aleatoria, formando N redescon losdiámetros comerciales a disposición.

2. Determinar las funciones objetivo y restricciones del modelo matemático de la red de aguapotable.

3. Identificar los frentes de dominancia y evaluar las distancias de apilamiento de cada individuo

(solución).

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4. Usando los operadores genéticos de selección, cruzamiento y mutación se genera unapoblación descendiente del mismo tamaño P que debe de ser de tamaño N.

5. Reunir padres e hijos en un conjunto de tamaño 2N y clasificar los frentes de dominancia.

6. Determinar el conjunto de descendencia final seleccionando individuos pertenecientes a losfrentes de mejor rango. Si se supera el límite de población N, eliminar las soluciones conmenor distancia de apilamiento en el último frente seleccionado.

7. Si se cumple el criterio de convergencia, Fin del proceso. De lo contrario retornar al punto 3 ycontinuar.

En cuanto al operador genético deselección se efectúa una selección basada en la posición de laposible solución de acuerdo a su frente de dominancia y su distancia de apilamiento,Esteprocedimiento reemplaza la selección usada en el algoritmo genético tradicional. Consiste en

comparar dos soluciones las cuales poseen dos atributos cada una las cuales son:

Un rango de no dominancia según el frente de dominancia (frente de Pareto). Una distancia local de apilamiento .El operador genético de selección retorna la solución ganadora i basándose en dos criteriosfundamentales.

Si tiene mejor rango rd.Función ob jetivo de cos to de la red de agua potable

Los costos de infraestructura para redes de tuberías fluyendo a presión están compuestos por 2rubros principales:

El primero de ellos es el costo de las tuberías y sus accesorios, el cual varía exponencialmente

con el diámetro de la tubería.

El segundo corresponde a los costos de instalación. Estos también varían exponencialmente

con el diámetro de la tubería, pero no tan bruscamente como en el caso del costo de la tubería.

Dónde:

= Costo total de la red.

= Constante en unidades monetarias.

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= Longitud de la tubería en particular=Diámetro de una tubería en particular.

= Constante adimensional.nt= número de tuberías de la red.

Función objetivo de confiabilidad

Índice de Resilencia ( El índice de resilencia de una red de agua potable . Se define como: la capacidad de un sistemade reaccionar y superar un estado de esfuerzos o el incremento de la redundancia energética ydecrecimiento de la energía disipada internamente en una red.

Coeficiente de conectividad (Cj)

Las redes de distribución de agua potable con circuitos son más confiables y más practicas si losdiámetros de las tuberías conectadas a un nodo no varían ampliamente.

∑ . C j=Coeficiente de conectividad del nudo j.

NT= Numero de tuberías que llegan a un nudo en particular j.

Di= Diámetro de tubería que llega a un nudo en particular j.

maxDi=Máximo diámetro que llega a un nudo en particular j

De lo anterior se tiene que la confiabilidad final de la red de agua potable en función de laresilencia y el coeficiente de conectividad estará dada por:

∑ ∑

∑

QJ= Caudal demandado en cada nudo.

Qe= Caudal entregado por el reservorio.

He= Altura piezométrica del reservorio.

HJ= Altura piezométrica real.

HJ*= Altura piezométrica ideal.

nu= número de nudos.

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ne= número de reservorios.

Restricciones del modelo hidráulico

Además de funciones objetivo se incluirán en el modelo matemático restricciones tipo hidráulica ytécnica normativas, las restricciones incluidas en el modelo son las siguientes:

Restricciones hidráulicas

Principio de conservación de la masa, expresa que la sumatoria de flujos que entran y salen de unnodo es igual a cero. (Aportes, Demandas, y Caudales).

Principio de conservación de la energía, donde la sumatoria de las pérdidas de energía porfricción a lo largo de los tramos que pertenecen a una malla debe ser igual a cero.

Restricciones técnico – normativas

Presión en los Nudos, que según las normas específicas adoptadas de uso local, la presiónmáxima y la presión mínima en una red de distribución deben estar entre 10 y 60 metrosrespectivamente. En general para cualquier nudo que conforme la red de agua potable:

Velocidad en los tramos, donde las velocidades deben estar entre valores mínimos y máximos. Seimponen unos límites de velocidad, tanto superiores como inferiores. Los primeros para evitar laerosión excesiva, y los segundos para evitar un estancamiento perjudicial desde el punto de vistade la salubridad, por lo cual se propone mantener la velocidad en un límite mínimo de 0.5 m/s yvelocidad máxima de 3 m/s, con excepcionalidades escritas en la norma.

Restricciones en el uso de diámetros

La aplicación de un algoritmo genético como método de optimización implica la utilización de unaserie de diámetros comerciales, que en general se ve limitada por la disponibilidad de estosmateriales en diversa área geográficas.

MODELADO DE LA RED DE AGUA POTABLE

Se muestra el modelado de la red de agua potable tomada como ejemplo, se aprecian losdiámetros comerciales establecidos en el diseño sin criterios de optimización, las longitudes de lostramos de tuberías, las cotas de los nodos y las demandas en cada nudo respectivamente.

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1

2

3

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20

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1

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1 3

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1 9

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2 1

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2 3

2 4

2 8

2 72 6

2 5

1 6

1 7

2 9

3 1

3 2

3 4

3 0

3 3

2 NUDO

RESERVORIO

31 TUBERIA

Tabla 01, Datos de la red modelada

RESULTADOS

Se muestran los resultados obtenidos luego de aplicado un algoritmo genético multi-objetivobasado en un ordenamiento no dominado (NSGA-II); se analizaron un total de 8 000,00 redes deagua potable correspondientes a 80 generaciones de una población inicial generadaaleatoriamente de 100 individuos, cada uno de los individuos se constituyó con 8 diámetroscomerciales disponible.

De este modo se obtuvieron los siguientes resultados que son comparados con la red diseñadasin criterios de optimización.

Tabla 02, Resultados de la red modelada diseño sin y con optimización

MODELADO DE LA RED DE AGUA POTABLETOMADA COMO EJEMPLO –AAHH PUENTE

CAMIARATramo Longitud(m)

DiámetroComercial

(mm)

1 153.80 75.00

2 53.86 75.003 39.83 75.004 45.84 75.005 131.65 75.006 131.11 75.007 130.70 75.008 130.24 75.009 55.96 75.00

10 38.58 75.0011 44.95 75.0012 53.79 75.0013 90.27 75.0014 91.30 75.0015 91.77 75.0016 92.34 75.0017 30.00 75.0018 65.14 75.0019 44.36 75.00

20 53.39 75.0021 129.66 75.0022 129.70 75.0023 89.75 75.0024 89.20 75.0025 66.01 75.0026 43.49 75.0027 39.97 75.0028 53.01 75.0029 32.23 75.0030 29.13 75.0031 84.94 75.0032 91.91 75.00

33 30.34 75.00

34 63.40 75.00

# NudoDemandaTotal (l/s)

1 -

2 -3 0.07

4 -5 -

6 0.377 1.65

8 0.52

9 1.4

10 -

11 1.04

12 -13 0.04

14 0.2815 0.25

16 1.25

17 1.15

18 0.21

19 0.93

20 0.4221 -

22 1.4423 -

24 0.01

25 2.29

Total 13.32

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Tramo

Tubería

DISEÑO SIN OPTIMIZACION DISEÑO CON OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO

DIAMETRO INT(mm)

CAUDAL (m3/s)

VELOCIDAD (m/s) NUDO

PRESION mca

DIAMETRO INT(mm)

CAUDAL (m3/s)

VELOCIDAD (m/s) NUDO

PRESION mca

1 69.40 0.0133 3.521 1 ‐ 83.40 0.0133 2.438 1 ‐

2

69.40

0.0072 1.914

2 19.34 102.00 0.0204 2.500

2

32.193 69.40 0.0001 0.019 3 20.89 58.40 0.0373 13.918 3 34.63

4 69.40 0.0051 1.358 4 22.89 83.40 0.0077 1.417 4 46.57

5 69.40 0.0061 1.607 5 23.53 83.40 0.0071 1.301 5 47.35

6 69.40 0.0043 1.132 6 16.59 83.40 0.0116 2.126 6 41.76

7 69.40 0.0052 1.377 7 20.38 102.00 0.0295 3.615 7 43.72

8 69.40 0.0044 1.152 8 20.77 58.40 0.0013 0.489 8 56.94

9 69.40 0.0026 0.678 9 21.96 83.40 0.0232 4.251 9 58.40

10 69.40 0.0052 1.374 10 22.92 58.40 0.0365 13.621 10 56.31

11 69.40 0.0004 0.099 11 15.12 83.40 0.0032 0.587 11 34.81

12 69.40 0.0007 0.189 12 17.57 58.40 0.0051 1.907 12 36.71

13

69.40

0.0031

0.832

13

19.90

83.40

0.0157

2.883

13

47.49

14 69.40 0.0009 0.241 14 22.13 69.40 0.0107 2.821 14 49.86

15 69.40 0.0026 0.692 15 24.20 69.40 0.0046 1.220 15 56.96

16 69.40 0.0007 0.189 16 20.48 102.00 0.0051 0.625 16 42.36

17 69.40 0.0021 0.556 17 22.52 102.00 0.0147 1.799 17 49.41

18 69.40 0.0009 0.227 18 24.13 58.40 0.0081 3.025 18 50.38

19 69.40 0.0006 0.152 19 22.66 69.40 0.0024 0.630 19 48.24

20 69.40 0.0000 0.010 20 24.86 69.40 0.0126 3.322 20 52.20

21 69.40 0.0012 0.328 21 19.99 69.40 0.0066 1.745 21 36.35

22 69.40 0.0005 0.129 22 23.10 69.40 0.0002 0.059 22 44.74

23 69.40 0.0017 0.456 23 19.68 69.40 0.0053 1.398 23 42.96

24 69.40 0.0005 0.133 24 18.96 58.40 0.0077 2.876 24 41.84

25

69.40

0.0000 0.003

25 17.70 58.40 0.0053 1.996

25

40.49

26 69.40 0.0007 0.178 69.40 0.0040 1.051

27 69.40 0.0009 0.233 69.40 0.0038 0.995

28 69.40 0.0001 0.023 69.40 0.0081 2.147

29 69.40 0.0030 0.781 58.40 0.0053 1.984

30 69.40 0.0008 0.207 58.40 0.0091 3.379

31 69.40 0.0030 0.781 58.40 0.0053 1.984

32 69.40 0.0007 0.173 58.40 0.0076 2.842

33 69.40 0.0007 0.175 58.40 0.0076 2.840

34 69.40 0.0023 0.606 58.40 0.0023 0.856

COSTO S/. 15,970.48 COSTO S/. 18,932.24

CONFIABILIDAD

0.28

CONFIABILIDAD

0.638

CONCLUSIONES

Se ha evidenciado que es posible aplicar los métodos evolutivos conocidos como algoritmosgenéticos en su variante multi-objetivo para el diseño de una red de agua potable, con notablesmejoras respecto a los métodos tradicionales de diseño que se limitan a verificar condicioneshidráulica y no pretenden optimizar el diseño de la red de agua potable, toda esta metodologíase basa en la compresión del comportamiento hidráulico y energético de la red de aguapotable.

Del análisis efectuado al diseño de la red de agua potable proyectada al AAHH Puente Camiara- Locumba, de acuerdo a lo antes explicado, se puede concluir que la red planteada eseconómicamente superior a la optimizada (S/.15,970.48 vs S/. 18,932.24), sin embargo alincluir como parámetro a optimizar en el diseño la confiabilidad de la red de agua potable, se

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hizo evidente que la red más confiable es la optimizada con un índice de resilencia de 0.638para la red optimizada contra un índice de resilencia de 0.28 para la red diseñada de maneratradicional sin criterios de optimización; recomendándose por la literatura un índice deresilencia superior a 0,50 para evitar fugas, rupturas de tuberías.

Este método de optimización aplicado al diseño de redes de agua potable pretende buscar elequilibrio entre las funciones objetivo que se le plantea en el modelo matemático, para nuestrocaso el menor costo de toda la red con una confiabilidad máxima, para lograrlo iterativamentetras las generaciones se transgreden algunas de las restricciones impuestas como se puedeapreciar en el caso de las velocidades muy cercanas al mínimo y en algunos tramos inferior alas mínimas, es decir las lleva al límite, para poder de este modo mejorar las presiones en losnudos y de este modo mejor la confiabilidad del sistema.

El encontrar la red de agua potable de mínimo costo, no garantiza encontrar un nivel deconfiabilidad deseable, en la mayoría de los casos no se toma en cuenta la confiabilidad de lared de agua potable, de tal modo que las redes de mínimo costo presentan índices deconfiabilidad muy bajos, es decir, no cuentan con un superávit de energía suficiente quegarantice el suministro en caso de presentarse una falla.

Se puede decir también que es necesario utilizar criterios de optimización para encontrar la redde agua potable de mínimo costo, puesto que los recursos económicos en algunas zonasgeográficas del país son limitadas, sin embargo se debe garantizar un nivel de confianzaaceptable, de lo contrario no tendría ningún sentido diseñar redes de agua potable económicaspero poco confiables.

REFERENCIAS.

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