GRAEVINSKI FAKULTETUNIVERZITET U SARAJEVUODSJEK ZA HIDROTEHNIKU

II ciklus studijakol. god. 2010/2011

Seminarski rad br. 2

Predmet: Hidrodinamika podzemnih voda

Student: Indira MurtiSADRAJ

1) Rjeenje Laplace-ove jednaine na datom polju, aproksimiranom drugim redom tanosti, metodom konanih razlikaMREA KONANIH RAZLIKAMETODA KONANIH RAZLIKA SA GREKOM DRUGOG REDA, TEORETSKE MATEMATSKE OSNOVEJEDNAINE ZA PRORAUNMATRINI PRIKAZTABELARNI PRIKAZ REZULTATA DOBIVENIH ANALITIKOM I NUMERIKOM METODOM

2) Rjeenja Laplace-ove jednaine na datom polju metodom konanih elemenata u software-u Geo SeepMETODA KONANIH ELEMENATA, TEORETSKE OSNOVEGALERKINOVA METODAHIDRAULIKA PROVODLJIVOST U SOFTWARE-U GEO SEEPGRAFIKI PRIKAZ REZULTATA (GEO SEEP)

3) Prikaz rjeenjaPRIKAZ NUMERIKIH RJEENJA U DISKRETIZACIONOJ MREI ZA TABELARNI PRIKAZ ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA I RAZLIKE DOBIVENE NUMERIKOM APROKSIMACIJOM GRAFIKI PRIKAZ ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJAGRAFIKI PRIKAZ RAZLIKE ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJAGRAFIKI PRIKAZ RAZLIKE ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA (%)

1) Rjeenje Laplace-ove jednaine na datom polju, aproksimiranom drugim redom tanosti, metodom konanih razlika

MREA KONANIH RAZLIKA

METODA KONANIH RAZLIKA SA GREKOM DRUGOG REDA, TEORETSKE MATEMATSKE OSNOVE

Opi oblik linearne parcijalne diferencijalne jednadbe drugog reda u dvije varijable je:

Jednaina br. 1

gdje su A,B,C,D,E,F,G date funkcije koje su neprekidne u odredenom podruju S ravnine x0y. Podruje S obino je definirano kao unutranjost neke krivulje . Tipian problem koji se postavlja je pronalaenje dva puta neprekidno-diferencijabilnog rjeenja (x, y) u(x, y) koje zadovoljava navedenu jednadbu I odreene uvjete na krivulji (rubu) .Linearne parcijalne diferencijalne jednadbe drugog reda mogu biti klasificirane kao eliptike, parabolike i hiperbolike jednadbe u ovisnosti o ponaanju koeficijenata A,B,C . Naime neka je

Ako je u danom podruju S:1. D > 0, jednaina(1) je eliptikog tipa;2. D = 0, jednaina (1) je parabolikog tipa;3. D < 0, jednaina (1) je hiperbolikog tipa.

LAPLACE-ova JEDNAINA

Ako brzinu u homogenom i izotropnom podzemlju definiemo preko Darcyevog zakona filtracije, imamo za 2D strujanje:

(*)

Jednaina kontinuiteta glasi za sluaj bez vertikalnog bilansa: (**)

Kad se uvrsti (*) u (**) dobije se Laplaceova jednaina:

Ova jednaina predstavlja homogeni dio Poisson-ove jednaine i njen je specijalan sluaj, jer nema dodatnih uslova (izvora, tj. ponora).

Druga notacija ove jednaine mogua je na sljedei nain:

Poisson-ova jednaina je nehomogena Laplaceova i glasi:

Ove dvije jednaine pripadaju grupi eliptikih parcijalnih diferencijalnih jednaina.

Metoda konanih razlika je numerika procedura koja rjeava parcijalne diferencijalne jednaine (PDJ) diskretizirajui kontinualni fiziki domen u diskretnu mreu konanih razlika, aproksimirajui individualne take parcijalne izvode u PDJ algebarskim aproksimacijama konanih razlika.

Domen rjeenja je predstavljen dvodimenzionalnom mreom linija zvanom mrea konanih razlika. Take presjecita ovih linija su take mree u kojima je potrebno nai rjeenje PDJ. Za primjer neka su linije mree jednako razmaknute i okomite na x i y osu. Neka imaju uniformne razmake i , respektivno, ali da i nisu neophodno jednaki.

Nakon definisanja mree, potrebno je uvesti aproksimaciju tanih parcijalnih izvoda iz PDJ. To se vri pomou Tejlorove serije za zavisno promjenjivu u nekoliko susjednih taaka mree, koristei (i,j) taku mree kao baznu taku, a kombinovanjem tih Tajlorovih serija dobivamo eljene parcijalne derivacije. Kako eliptike PDJ sadre parcijalne izvode drugog reda, a ne postoji put propagacije informacija, koristi se centralna razlika kako bi rjeili Laplaceovu jednainu. Potrebno je napraviti razliku tanog i aproksimiranog rjeenja, pa e respektivno jedno i drugo biti obiljeeno znakovima funkcija koja je nadvuena i koja nije nadvuena.

Tajlorova serija za i uzimajui taku (i,j) kao baznu taku je:

gdje je usvojeno da je . Jednaine (1) i (2) mogu biti napisane sa ostatkom kao:

gdje je ostatak dat izrazom:

Za beskonanu Tajlorovu seriju za koju odbacujemo izvode nakon reda (n) da dobijemo aproksimaciju za i , tada je ostatak greka povezana sa odsjeenom Tajlorovom serijom. U veini sluajeva najvea briga je red greke, koja je pokazatelj konvergencije greke ka nuli kada tei nuli.Sabirajui jednaine (3) i (4) dobivamo:

Odbacujui ostatak dobivamo centralnu aproksimaciju drugog reda:

Analogno imamo i za drugu osu, y, gdje takoer dobivamo aproksimaciju prvog izvoda aproksimacijom dugog reda odbacujui ostatak kao u prethodnom:

Laplaceova jednaina se moe napisati kao: (***)

Zamjenom (5) i (6) u (***), tanih derivacija aproksimacijom centralnih razlika drugog reda za baznu taku (i,j) imamo:

Jendaina (7) se moe napisati kao:

gdje je

Rjeenjem jednaine (8) za imamo:

Ukoliko se radi o domenu koji je idjeljen na jednake dijelove i po x i po y osi, tako da imamo kvadratnu mreu, koeficijent prostora, , postaje jednak jedinici, pa za taj sluaj imamo:

Na ovaj nain dobivamo shemu konanih razlika koju nazivamo metoda 5 taaka (Slika 1).

Slika 1. Shema konanih razlika za metodu 5 taaka

JEDNAINE ZA PRORAUN

MATRINI PRIKAZ

222324...323334...810811812

-410100000220

1-41010000230

01-4001000240

....

....

....

100-410000320

0101-41000X33=0

00101-4000340

....

....

....

000000-4108100

0000001-418110

00000001-4812-38,25

TABELARNI PRIKAZ REZULTATA DOBIVENIH ANALITIKOM I NUMERIKOM METODOM

r.b.xyAnaliko rj.Numeriko rj.

1221,251,250,2773977840,290015211

2231,252,50,5980818860,624182497

3241,253,751,0120932041,053375551

4251,2551,5840358081,642934437

5261,256,252,4031580322,482612203

6271,257,53,5972791563,700236656

7281,258,755,352734875,481164604

8291,25107,9434538768,096483556

92101,2511,2511,7737028811,94423807

102111,2512,517,4411700717,60992367

112121,2513,7525,8302308925,95541811

12322,51,250,5126065260,535878347

13332,52,51,1052023341,153339228

14342,53,751,8702585681,946385269

15352,552,9271578273,035749995

16362,56,254,440823124,58727772

17372,57,56,6474531576,837169816

18382,58,759,89137978110,1279382

19392,51014,6787989614,96053155

203102,511,2521,7567597622,07054504

213112,512,532,2297369832,54003851

223122,513,7547,731978147,96174877

23423,751,250,669853660,700158949

24433,752,51,4442341051,506910797

25443,753,752,4439789242,543076303

26453,7553,8250925063,966402553

27463,756,255,8030896335,993578866

28473,757,58,6866253078,933226687

29483,758,7512,9256585813,23288684

30493,751019,1816660519,54715942

314103,7511,2528,4308614828,83737203

324113,7512,542,1165282842,51793655

334123,7513,7562,3742355362,67153846

345251,250,7252236870,757846652

355352,51,5636143321,631068709

365453,752,6459979432,752606591

3755554,1412742174,29320505

385656,256,2827723626,487408502

395757,59,4046607669,669271228

405858,7513,9940920514,32322304

415951020,7672203921,15784725

42510511,2530,7809532631,21384713

43511512,545,5978757246,02279719

44512513,7567,5300827467,84146853

45626,251,250,6702954580,700158949

46636,252,51,4451866431,506910797

47646,253,752,4455908372,543076303

48656,2553,8276153263,966402553

49666,256,255,8069170315,993578866

50676,257,58,6923545268,933226687

51686,258,7512,9341836313,23288684

52696,251019,1943172219,54715942

536106,2511,2528,4496129128,83737203

546116,2512,542,1443060242,51793655

556126,2513,7562,4153741462,67153846

56727,51,250,5134229310,535878347

57737,52,51,1069625381,153339228

58747,53,751,8732372421,946385269

59757,552,9318197753,035749995

60767,56,254,4478958134,58727772

61777,57,56,6580402466,837169816

62787,58,759,90713332110,1279382

63797,51014,702177214,96053155

647107,511,2521,7914107422,07054504

657117,512,532,2810677832,54003851

667127,513,7547,807998647,96174877

67828,751,250,2784646280,290015211

68838,752,50,600382050,624182497

69848,753,751,0159856151,053375551

70858,7551,5901278551,642934437

71868,756,252,4124003422,482612203

72878,757,53,6111139393,700236656

73888,758,755,3733209645,481164604

74898,75107,9740036228,096483556

758108,7511,2511,8189833911,94423807

768118,7512,517,508247117,60992367

778128,7513,7525,9295714325,95541811

2) Rjeenja Laplace-ove jednaine na datom polju metodom konanih elemenata u software-u Geo Seep

METODA KONANIH ELEMENATA, TEORETSKE OSNOVEMetoda konanih elemenata (engl. finite element method (FEM)) temelji se na konceptu podjele kontinuuma u male dijelove, tako da oni opisuju ponaanja pojedinih dijelova, a njihovo ponovno spajanje predstavlja ponaanje kontinuuma u cjelini. Ovaj proces dijeljenja kontinuuma je poznat kao diskretizacija ili umreavanje, a dijelovi su poznati kao konani elementi.Za dvodimenzionalne probleme obino se koriste trougaoni ili etverougaoni elementi, dok se za trodimenzionalne probleme najee koriste tetraedri i heksaedri. Diskretizacija je jedan od tri temeljna aspekta modeliranja metodom konanih elemenata. Druga dva definiraju svojstva materijala i rubni uvjeti. Diskretizacija ukljuuje definiranje geometrije, udaljenost, povrinu i volumen.Osnovna razlika metode konanih elemenata u odnosu na metodu konanih zapremina je u tome to se jednaine pomnoe sa teinskom funkcijom prije nego to se izvri integracija. Osnovna mana ove metode je ta to matrice lineariziranih rjeenja nisu dobro struktuirane, pa je teko nai efikasnu metodu za njihovo rjeavanje, dok je prednost sposobnost da rjeava problem sa vrlo kompleksnom geometrijom.

GALERKINOVA METODA

Jedan od teih ininjerskih problema je rjeavanje diferencijalnih jednadbi s rubnim uvjetima, koji se openito oznaava kao : D(U)=0, B(U)=0.Osnovni zadatak je pronai funkciju U koja zadovoljava date diferencijalne jednadbe i rubne uvjete. Ovaj problem je veoma teko, ak i nemogue rijeiti analitiki.U praktinim sluajevima se primjenjuju aproksimacije,a jedna od metoda aproksimacije je upravo metoda ruskog matematiara Borisa Grigoryevich Galerkinova koja po njemu nosi i ime - Galerkinova metoda.Ona se bazira na unutranjem proizvodu funkcija i osnovama vektorskog prostora funkcija.

Teinska rezidulana metoda Galerkina

Teinska rezidulana metoda koristi konaan broj funkcija.

Diferencijalna jednadba problema je D(U)=0 na granici B (U), npr.:

na B[U]=[a,b].

gdje je:

L - diferencijalni operatorf - odreena funkcija.

Da bi dobili U, potrebno je rijeiti diferencijalnu jednainu, a principi rjeavanja ja dat sa etiri koraka:

1. Uvede se probno rjeenje na U

da bi mjenjali U(x), gdje je j(x) konaan broj baznih funkcija, Cj nepoznatih koefcijenti.Residual je definiran kao :

2. Odabere se proizvoljna teinska funkcija w(x), neka je:

Unutranji proizvod teinske funkcije i reziduala je nula, to znai da probna funkcija djelomino zadovoljava problem. Dakle, cilj je izgraditi takvu funkciju u(x).

3. Odabere se teinska funkcija iz baznih funckija j , pa onda imamo:

To ini sistem od n-linearnih jednaina, a njihovim rjeavanjem se dobijaju svi Cj koeficijenti.

4. Probno rjeenje

predstavlja traeno priblino rjeenje.

HIDRAULIKA PROVODLJIVOST U SOFTWARE-U GEO SEEP

Zatvoreni oblik jednadbe koja opisuje hidrauliku provodljivost tla predloio je Van Genuchten 1980. godine, a ona glasi:

gdje je:

Ks- saturirana hidraulika provodljivost,a, n i m- kalibracijski parametri krivulja,

- zahtjevni usisni raspon.

Iz gornje jednadbe moe se procijeniti saturirana provodljivost, a kalibracijski parametri krivulja (a i m) su poznati.Van Genuchten je pokazao da se kalibracijski parametri krivulja mogu procijeniti na temelju grafike volumetrijske funkcije vode u tlu. Po njemu, najbolje toke za procjenu kalibracijskih parametara krivulja je pola puta izmeu rezidualne i zasiene vode u volumetrijskoj funkciji sadraja vode.

Nagib funkcije moe se izraunati kao:

gdje je: - zasiena i preostala volumetrijska voda respektivno,p - volumetrijski sadraj vode na pola puta, - matrica usisavanja na istom mjestu.

Formule za proraun koeficijenta m:

Prvo se pretpostavlja funkcija provodljivost tla:

Negativni pritisak koji se javlja iznad pretpostavljene linije procjeivanje se ubacuje u:

Tako se dobije nova vrijednost koeficijenta provodljivosti, pomou koje se ponovo rauna linija procjeivanja:

Ponovno je potrebno oitati vrijedost negativnog pritiska, u dijagram P- K, a zatim se oitati nove vrijednosti koeficijenta K. Proces se nastvlja sve dok vrijednosti negativnog pristiska u dva uzastopna koraka ne budu otprilike jednaki.

GRAFIKI PRIKAZ REZULTATA (GEO SEEP)

3) Prikaz rjeenja PRIKAZ NUMERIKIH RJEENJA U DISKRETIZACIONOJ MREI ZA

TABELARNI PRIKAZ ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA I RAZLIKE DOBIVENE NUMERIKOM APROKSIMACIJOM xyAnaliko rj.Numericko rj.RazlikaRazlika (%)

221,251,250,2773977840,2900152110,0126174,54849615

231,252,50,5980818860,6241824970,0261014,36405322

241,253,751,0120932041,0533755510,0412824,07890763

251,2551,5840358081,6429344370,0588993,71826372

261,256,252,4031580322,4826122030,0794543,30623997

271,257,53,5972791563,7002366560,1029582,8620937

281,258,755,352734875,4811646040,128432,39932926

291,25107,9434538768,0964835560,153031,92648793

2101,2511,2511,7737028811,944238070,1705351,4484414

2111,2512,517,4411700717,609923670,1687540,96755895

2121,2513,7525,8302308925,955418110,1251870,48465389

322,51,250,5126065260,5358783470,0232724,5398994

332,52,51,1052023341,1533392280,0481374,35548245

342,53,751,8702585681,9463852690,0761274,07038374

352,552,9271578273,0357499950,1085923,70981596

362,56,254,440823124,587277720,1464553,29791562

372,57,56,6474531576,8371698160,1897172,85397512

382,58,759,89137978110,12793820,2365582,39156141

392,51014,6787989614,960531550,2817331,91931636

3102,511,2521,7567597622,070545040,3137851,4422427

3112,512,532,2297369832,540038510,3103020,9627802

3122,513,7547,731978147,961748770,2297710,4813768

423,751,250,669853660,7001589490,0303054,52416568

433,752,51,4442341051,5069107970,0626774,33978754

443,753,752,4439789242,5430763030,0990974,05475588

453,7553,8250925063,9664025530,141313,69429097

463,756,255,8030896335,9935788660,1904893,28254851

473,757,58,6866253078,9332266870,2466012,83886286

483,758,7512,9256585813,232886840,3072282,37688668

493,751019,1816660519,547159420,3654931,90543076

4103,7511,2528,4308614828,837372030,4065111,42982142

4113,7512,542,1165282842,517936550,4014080,95308963

4123,7513,7562,3742355362,671538460,2973030,4766438

5251,250,7252236870,7578466520,0326234,49833142

5352,51,5636143321,6310687090,0674544,31400351

5453,752,6459979432,7526065910,1066094,02905256

55554,1412742174,293205050,1519313,66869772

5656,256,2827723626,4874085020,2046363,2570994

5757,59,4046607669,6692712280,264612,81360985

5858,7513,9940920514,323223040,3291312,35192816

5951020,7672203921,157847250,3906271,88097808

510511,2530,7809532631,213847130,4328941,40636927

511512,545,5978757246,022797190,4249210,93188874

512513,7567,5300827467,841468530,3113860,46110677

626,251,250,6702954580,7001589490,0298634,45527275

636,252,51,4451866431,5069107970,0617244,27101613

646,253,752,4455908372,5430763030,0974853,98617234

656,2553,8276153263,9664025530,1387873,62594502

666,256,255,8069170315,9935788660,1866623,21447394

676,257,58,6923545268,9332266870,2408722,77108072

686,258,7512,9341836313,232886840,2987032,30940904

696,251019,1943172219,547159420,3528421,83826386

6106,2511,2528,4496129128,837372030,3877591,362968

6116,2512,542,1443060242,517936550,3736310,88655043

6126,2513,7562,4153741462,671538460,2561640,41041863

727,51,250,5134229310,5358783470,0224554,37366832

737,52,51,1069625381,1533392280,0463774,18954462

747,53,751,8732372421,9463852690,0731483,90489925

757,552,9318197753,0357499950,103933,54490481

767,56,254,4478958134,587277720,1393823,13365945

777,57,56,6580402466,8371698160,179132,69042486

787,58,759,90713332110,12793820,2208052,22874645

797,51014,702177214,960531550,2583541,75725232

7107,511,2521,7914107422,070545040,2791341,28093727

7117,512,532,2810677832,540038510,2589710,80223717

7127,513,7547,807998647,961748770,153750,32159926

828,751,250,2784646280,2900152110,0115514,14795331

838,752,50,600382050,6241824970,02383,96421702

848,753,751,0159856151,0533755510,037393,68016387

858,7551,5901278551,6429344370,0528073,32090165

868,756,252,4124003422,4826122030,0702122,91045643

878,757,53,6111139393,7002366560,0891232,46801176

888,758,755,3733209645,4811646040,1078442,00702025

898,75107,9740036228,0964835560,122481,53599045

8108,7511,2511,8189833911,944238070,1252551,05977539

8118,7512,517,508247117,609923670,1016770,58073529

8128,7513,7525,9295714325,955418110,0258470,09968032

GRAFIKI PRIKAZ ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA

GRAFIKI PRIKAZ RAZLIKE ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA

GRAFIKI PRIKAZ RAZLIKE ANALITIKOG I NUMERIKOG RJEENJA (%)