Правительство Российской Федерации

Санкт-Петербургский филиал

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский

университет "Высшая школа экономики"

Факультет экономики

Кафедра финансовых рынков и финансового менеджмента.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему:

«Экономическая эффективность методов несовершенного хеджирования финансовых опционов»

Студент группы № 141

Коротыч Михаил Васильевич

Руководитель ВКР

Доцент, к.э.н., Назарова Варвара Вадимовна

Санкт-Петербург

2013

2

Лист верификации авторства

Подтверждаю, что данная работа выполнена мною

совершенно самостоятельно.

Студент группы №141 Коротыч Михаил Васильевич

Работа проверена через систему antiplagiat.ru. Выявленный

процент заимствований - 20% текста.

Проверил ___________________________

(должность, звание, Ф.И.О.)

Дата

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................4

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ

ОПЦИОНОВ........................................................................................................7

1.1. Рынок производных инструментов..........................................7

1.1.1. Структура и динамика мирового срочного рынка...........10

1.1.2. Российский срочный рынок...............................................12

1.1.3. Становление российского срочного рынка и проблемы

текущего этапа...........................................................................................16

1.2. История исследования хеджирования финансовых

опционов….....................................................................................................18

1.3.Опцион и опционные модели.......................................................19

1.4. Модель Блэка-Шоулса.................................................................23

1.5. Методы несовершенного хеджирования финансовых

опционов.........................................................................................................27

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО

ХЕДЖИРОВАНИЯ...........................................................................................32

1.1. Алгоритм успешного хеджирования......................................32

2.2. Множества успешного хеджирования...................................33

2.1.1. Численный пример..............................................................35

2.1.2. Выводы по параграфу.........................................................40

ГЛАВА 3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО

ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЦИОНОВ НА РОССИЙСКОМ

СРОЧНОМ РЫНКЕ...........................................................................................41

4

3.1. Эмпирическая проверка методов несовершенного

хеджирования................................................................................................46

3.1.1. Совершенное дельта хеджирование....................................48

3.1.2. Квантильное хеджирование.................................................51

3.1.3. Хеджирование ожидаемых потерь......................................55

3.1.4. Сравнение полученных результатов...................................58

3.2. Выводы по главе...........................................................................60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................61

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................64

5

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важнейших результатов проведенных в экономике нашей

страны структурных преобразований явился значительный рост интереса к

фондовому рынку и к срочному рынку в частности. После такого события,

потрясшего экономику всего мира, как всемирный экономический кризис,

еще большую важность получила защита от финансового риска. Одним из

инструментов управления рисками является хеджирование. Производные

инструменты, такие как опционы и фьючерсы, стали все чаще

использоваться как средства управления рисками хозяйствующих

субъектов для защиты от возможных финансовых потерь. Конкуренция,

образовавшаяся среди организаторов срочной торговли, способствовала

возникновению технически эффективного механизма торгов и

расширению выбора предоставляемых финансовых инструментов.

В отличие от рынка фьючерсов, рынок финансовых опционов,

которые предоставляют больше возможностей для управления

финансовыми рисками, начал свое формирование в нашей стране

относительно недавно. Необходимость расширения выбора инструментов

риск-менеджмента и внедрения на рынок новейших методов, в основе

которых лежит строгая формализация решений инвестора и определяет

актуальность темы выпускной квалификационной работы.

В настоящее время в качестве основного метода управления

финансовыми рисками с помощью финансовых опционов служат

совершенные методы хеджирования (perfect hedge). Их важнейшая

отличительная черта заключается в том, что стоимость опциона

определяется без учета предпочтений хеджера.

6

Новый подход к риск-менеджменту предлагают методы

несовершенного хеджирования финансовых опционов (imperfect hedge).

Их важнейшей особенностью является конструирование хеджирующей

стратегии, осознанно допуская возможность возникновения убытков.

Благодаря этому на контролируемом уровне риска высвобождается

капитал, что дает возможность для новых финансовых операций.

Несмотря на явные положительные стороны методов

несовершенного хеджирования, такие методы не часто находят

применения на мировом Российском срочном рынке. Во многом этот факт

связан с тем, что исследование методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов началось только в последнее десятилетие прошлого

века.

На современном этапе методы несовершенного хеджирования еще не

достаточно изучены и требуют активного внимания. Необходимость

исследования методов несовершенного хеджирования финансовых

опционов, а также возможности применения таких методов на Российском

срочном рынке и обусловили выбор темы данного исследования, а также

его цели, задач, структуры и содержания.

Целью нашей работы является изучение новейших методик

ценообразования и хеджирования финансовых опционов, сравнение новых

методов с традиционно используемые в финансовой индустрии, а также

анализ возможностей применения методов несовершенного хеджирования

на Российском срочном рынке.

Для достижения вышеуказанной цели были сформулированы

следующие задачи:

1. Изучить особенности в теории и практике методов

несовершенного хеджирования финансовых опционов;

7

2. Установить экономические преимущества и недостатки

различных показателей оптимальности хеджирующей стратегии;

3. Определить оптимальные условия для использования методов

несовершенного хеджирования финансовых опционов.

4. Разработать пошаговый алгоритм реализации этих методов на

практике для опционов различного типа.

5. Провести эмпирическое исследование возможности применения

методов несовершенного хеджирования финансовых опционов на

Российском срочном рынке.

6. Составить таблицу в табличном процессоре Microsoft Excel для

выбора нужного метода хеджирования путем ввода данных о

динамике курса актива и ожиданий хеджера.

Объектом исследования является Российский срочный рынок, а

предметом – ценовые риски держателя срочной позиции.

Информационной базой нашего исследования являются данные

срочного рынка FORTS московской фондовой биржи РТС и Центрального

Банка России.

В качестве методологической основы нашего исследования были

выбраны системный анализ, методы обобщения и сравнения, а также

методы математического и статистического анализа, теории вероятности.

Практическая значимость нашей работы состоит в том, что ее

результаты могут использоваться хозяйствующими субъектами для

управления финансовыми рисками.

8

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ

ОПЦИОНОВ.

1.1. Рынок производных инструментов.

На протяжении более полувека экономическая наука активно

исследует предпосылки зарождения и этапы развития рынка производных

инструментов, его роль и функции, характерные черты операций,

осуществляемых на этом рынке. Тем не менее до сих пор не сложилось

единства взглядов на определение понятия рынка производных

инструментов.

В специализированной литературе термин «рынок производных

инструментов» употребляется в одном ряду с такими терминами, как

«рынок деривативов», «срочный рынок», «рынок производных

финансовых инструментов», при этом нередко все они трактуются как

синонимы. Одни авторы обозначают этими терминами рынок срочных

сделок с поставкой актива в будущем по цене заключения сделки, а другие

– рынок, на котором заключаются сделки со сроком исполнения,

превышающим два рабочих дня.

Ряд ученых видят в понятиях «срочный рынок» и «рынок

производных инструментов» сущностные отличия. Так, В.А. Галанов

считает, что срочный рынок – это рынок, на котором заключаются срочные

контракты. А рынок производных инструментов, по его мнению, – это

рынок, на котором его участники обмениваются своими обязательствами,

возникающими при заключении контрактов на временной основе, или

досрочно их погашают. С этим мнением согласна Л. Г. Кузнецова, которая

замечает, что «срочные рынки не имеют механизма, освобождающего от

принятых обязательств, поэтому и возникли другие рынки – рынки

производных инструментов, которые ориентированы на иные договорные

9

отношения и которые, кроме того, смогли предоставить в распоряжение

участников рынка институциональную структуру, способную устранить

риск неисполнения срочных обязательств»1.

Отмечая различия в указанных вариантах определения понятия

рынка производных инструментов, укажем, однако, на использование

единого подхода к формированию определений. Внутреннее содержание

данных понятий направлено на описание сделок, совершаемых на этом

рынке.

В специальной литературе нет единой точки зрения на функции

рынка производных инструментов. Авторы высказывают различные

мнения о количестве, иерархии и составе функций. При этом мнения

расходятся и по уровню обобщения функций и по их формулировкам.

Однако можно констатировать, что исследователи единодушны в

предписании рынку производных инструментов функции по

предупреждению финансового риска и уменьшению возможных потерь,

вызванных его реализацией.

Ведению хозяйства в рамках рыночной экономической системы

всегда сопутствует финансовый риск как вероятность получения

нежелательного финансового результата, зависимая от фактически

неограниченного круга событий, возможных в общественной жизни и

природе. В трудах по экономике господствует мнение, согласно которому

само появление рынка производных инструментов обусловлено

общественными потребностями в ликвидации негативных последствий

возросшей неопределенности экономической конъюнктуры. Рынок

производных инструментов позволяет субъектам хозяйствования

эффективно регулировать финансовый риск, создавать желаемый профиль

риска, проводить операции по диверсификации и страхованию 1 Кузнецова Л.Г. Деривативы в экономическом пространстве

России: вопросы терминологии // Рынок ценных бумаг. 2006. № 7. С. 38.

10

портфельных рисков и тем самым обеспечивать стабильность своего

финансового положения и достижение запланированных финансовых

результатов.

Функция рынка производных инструментов по предупреждению

финансового риска и уменьшению возможных потерь, вызванных его

реализацией, выражается в возможности хеджирования (от англ. «hedging»

– ограждение, страхование от возможных потерь) – особой форме

страхования цены, процентной ставки, валютного курса и проч. с помощью

производных инструментов.

Американский исследователь Дж. Р. Хикс, впервые подчеркивая

объективную обусловленность возникновения данного рынка, писал:

«...обычный бизнесмен заключает контракт на срок только в том случае,

когда это означает возможность «хеджирования», когда, иначе говоря,

срочная сделка позволяет ему уменьшить риск, который несет ему его

нынешнее положение. Это случится лишь в тех случаях, когда он так или

иначе связал себя обязательствами совершить такую продажу или покупку

и когда он уже предпринял некие действия, которые затруднят выполнение

его плана. Таким образом, в сфере производства всегда можно обнаружить

достаточно жесткие условия для того, чтобы некоторые предприниматели

обязательно пожелали «хеджировать» сбыт своей продукции»2.

Механизм хеджирования состоит в том, что хеджер, то есть тот, кто

хеджируется, является, например, покупателем (продавцом) актива А на

кассовом рынка и одновременно продавцом (покупателем) этого же актива

А на рынке производных инструментов. Как правило, движение цен на

обоих рынках согласовано по направленности и предсказуемо, а потому то,

что хеджер проиграл (выиграл) на кассовом рынке, компенсируется

выигрышем (проигрышем) на рынке производных инструментов.2 Хикс Дж.Р. Стоимость и капитал. М.: Прогресс, 1988.

С. 245.

11

Возможность такого финансового страхования основывается на

том, что рынок производных инструментов обеспечивает полную

сбалансированность денежных потоков независимо от масштабов и

количества участников рынка, поскольку ту сумму денежных средств,

которую потеряло некое число участников рынка, такую же сумму

выиграли и те, кто правильно оценил динамику рынка.

Кроме того, исследуемая функция рынка производных

инструментов заключается в его способности отображать общее

представление о будущем состоянии экономики.

По виду торгуемых инструментов рынок подразделяют на

форвардный, фьючерсный, опционный рынки и рынок свопов.

В зависимости от форм организации совершения производных

инструментов данный рынок подразделяют на биржевой и внебиржевой.

Механизм использования или торговли производными инструментами

требует, как правило, наличия организатора рынка данных инструментов.

При биржевой форме торговли таким организатором, естественно,

является сама биржа. При внебиржевых формах организационной торговли

ее организаторами являются крупные дилеры в лице банков-свопов

дилеров или финансовые компании мирового значения.

1.1.1. Структура и динамика мирового срочного рынка.

Биржевой и внебиржевой сегменты мирового рынка производных

инструментов начали активное непрерывное развитие с введения в начале

1970 гг. производных на финансовые активы. Рост продолжался высокими

темпами до 2009 г., в течение которого рынку удалось лишь сохранить

достигнутые объемы торгов. Тем не менее в 2010 г. мировой рынок

12

биржевых деривативов вернулся к докризисным темпам роста,

продемонстрировав годовой прирост оборота в 26%, что лишь на 2%

уступает приросту за 2007 год. Объем мировой торговли стандартными

контрактами увеличился почти в 10 раз с 2,4 млрд контрактов в 1999 г. до

22,3 млрд контрактов в 2010 г. Изменилась также и географическая

структура рынка деривативов. Если к началу 2000-х гг. безусловными

лидерами срочной торговли являлись США и страны Западной Европы, то

сегодня лидером на протяжении нескольких лет является Корейская

биржа. С небольшим отрывом за лидером следуют объединившиеся в

начале столетия срочные биржи США. Почти 1 млрд контрактов уступают

лидеру американо-европейские альянсы срочных бирж EUREX и NYSE

Euronext. В первую десятку ведущих бирж мира, торгующих фьючерсами

и опционами, сегодня входят биржи Индии, Бразилии и Китая. Фондовая

биржа РТС показывает постоянно высокие темпы прироста объемов торгов

и на конец 2010 г. занимает 11 место в списке крупнейших срочных бирж

мира, уступая Корейской бирже в объеме торгов в 6,4 раза.

Основными составляющими постоянного высокого роста оборотов

мирового рынка фьючерсов и опционов являются:

• Интенсивный прирост объемов торгов на рынках срочных

контрактов в Азиатско-Тихоокеанском регионе и Латинской Америке

(42,8% и 49,6% в 2010г. по сравнению с 2009 г.), в т. ч. биржи Чжень-чжоу

и Шанхая (Китай) показали максимальный рост по торгам сырьевыми

фьючерсами. На двух крупнейших торговых площадках Индии почти

утроился оборот валютных фьючерсов. В целом самый высокий прирост

объемов торгов производными показали биржи Индии — 142% в 2010 г. по

сравнению с предыдущим периодом;

• Постепенное восстановление объемов сегмента процентных

деривативов, который на протяжении многих лет занимал лидирующие

13

позиции по объемам торгов среди рынков производных инструментов

(информация о распределении объемов торгов представлена в таблице 1) и

потерял 23% в 2009 г. по сравнению с 2008 г., когда рынок базисного

актива находился в глубоком кризисе;

• Сохранение высоких темпов роста торгов сырьевыми фьючерсами,

среди которых основной интерес у игроков развивающихся рынков

вызывают сельскохозяйственные товары и цветные металлы.

Таблица 1.

Динамика структуры мирового рынка фьючерсов и опционов.

Категория

инструментов

1999г. 2009г. 2012г.

млрд.

контрактов% к итогу

млрд.

контрактов% к итогу

млрд.

контрактов% к итогу

Фондовые

индексы0,51 21,25 6,38 35,96 7,74 34,71

Индивидуальные

акции0,7 29,12 5,59 31,51 6,29 28,21

Процентные

ставки0,79 32,92 2,47 13,92 3,21 14,39

Валюта 0,05 2,13 0,99 5,59 2,4 10,76

Сырьевые товары 0,35 14,58 2,31 13,02 2,66 11,93

Всего 2,4 100 17,74 100 22,3 100

1.1.2. Российский срочный рынок.

Что касается российского срочного рынка, то за последние 10 лет

этот сегмент отечественной экономики не уступал в темпах развития по

количественным и качественным показателям мировым рынкам, и более

того, фондовая биржа РТС вошла в число 20 крупнейших срочных бирж,

предложив участникам рынка срочные контракты, отвечающие

14

современным потребностям экономических субъектов. В таблице 2

представлена структура и динамика российского срочного рынка.

Таблица 2.

Структура и динамика срочного рынка фондовой биржи РТС

(FORTS)

Показатель

2007 2008 2009 2010

фьючер

сы

опцион

ы

фьюче

рсы

опцио

ны

фьючер

сы

опцион

ы

фьючер

сы

опцион

ы

Объем торгов,

млрд.руб.6207,3 1305,9 9394,9 1762,7 13660 509,1 27986 1364,3

Объем торгов,

млн. контрактов119,7 25,2 193,6 46,2 454,5 20,0 593,7 23,8

Число сделок, млн. 11,4 0,3 28,0 0,7 73,4 0,9 114,9 2,0

Объем открытых

позиций на конец

года, млрд. руб.

73,04 68,7 28,08 10,0 67,1 17,4 100,8 40,8

Объем открытых

позиций на

конец года, млн

контрактов

1,7 1,5 1,3 0,5 2,2 0,9 3,2 0,9

Срочный рынок фондовой биржи РТС, который является, по сути,

единственным развитым сегментом рынка производных инструментов в

нашей стране, имеет как сходства, так и отличия в своем развитии с

мировым рынком деривативов. По-прежнему рынок опционов развивается

значительно медленнее рынка фьючерсов, а кризис 2008-2009 гг. стал

дополнительным сдерживающим фактором, сократив объем торгов

опционами почти в 3 раза. К концу 2010 г. рынок опционов смог достичь

уровня развития 2007 г. по объемам торгов. Помимо кризисных явлений,

влияние на снижение объемов торгов опционами оказала замена

привычных для инвесторов опционов на фьючерсы маржируемыми

фьючерсными опционами.

15

На FORTS представлены инструменты по всем основным группам

базисных активов. Основная доля торгов так же, как и на мировом рынке,

приходится на контракты, выписанные на фондовые индексы и акции.

Вместе с тем самым слабым сегментом отечественного срочного рынка

является рынок процентных деривативов (в отличие от мирового), на

котором полностью отсутствуют опционы на процентные ставки, а также

на протяжении 2007-2010 гг. не было представлено контрактов на

облигации.

Наше исследование посвящено финансовым опционам, поэтому

необходимо представить набор предоставляемых опционных контрактов

на российском срочном рынке FORTS на бирже РТС. Ниже представлен

набор предоставляемых срочным рынком FORTS опционных контрактов.

1. Индексы

MX Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на Индекс ММВБ

MX Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на Индекс ММВБ

RI Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на Индекс РТСRI Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на Индекс РТС

2. Акции

GM Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО ГМК "Норильский Никель"

GM Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО ГМК "Норильский Никель"

GZ Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Газпром"

GZ Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Газпром"

16

LK Маржируемый колл опцион на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "НК "ЛУКойл"

LK Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "НК "ЛУКойл"

RN Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "НК "Роснефть"

RN Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "НК "Роснефть"

SN Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Сургутнефтегаз"

SN Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Сургутнефтегаз"

SR Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Сбербанк России"

SR Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО "Сбербанк России"

TN Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на привилегированные акции ОАО "Транснефть"

TN Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на привилегированные акции ОАО "Транснефть"

VB Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО Банк ВТБ

VB Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО Банк ВТБ

3. Валюта

ED Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на курс евро-доллар США

ED Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на курс евро-доллар США

Eu Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на курс евро – российский рубль

Eu Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на курс евро –

17

российский рубль

Si Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на курс доллар США - российский рубль

Si Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на курс доллар США - российский рубль

4. Товарные контракты

BR Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на сырую нефть сорта Brent

BR Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на сырую нефть сорта Brent

GD Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на аффинированное золото в слитках

GD Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на аффинированное золото в слитках

PT Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на аффинированную платину в слитках

PT Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на аффинированную платину в слитках

SV Маржируемый Опцион колл на фьючерсный контракт на аффинированное серебро в слитках

SV Маржируемый Опцион пут на фьючерсный контракт на аффинированное серебро в слитках

1.1.3. Становление российского срочного рынка и проблемы

текущего этапа.

Учитывая все сказанное выше, а также общее состояние российской

экономики и рынков базисных активов, можно с уверенностью заявлять,

что отечественный рынок производных инструментов является одним из

самых быстро развивающихся сегментов финансового рынка в России.

18

Отечественный рынок производных инструментов проходит сложный путь

своего формирования, который можно разбить на ряд этапов.

Первый этап развития рынка производных интсрументов приходится

на период с 1992г. по 1994 г. Этот этап отличается преобладанием

валютных контрактов. Датой рождения рынка производных инструментов

в нашей стране считается 21 октября 1992 г. В этот день на Московской

товарной бирже (МТБ) прошли первые торги фьючерсом на 10 долларов

США с поставкой по истечению 2 месяцев. 8 декабря 1992 г. на Тюменско-

Московской бирже «Гермес» (позднее переименована в Биржу опционов и

фьючерсов) был введен первый опцион на курс американского доллара к

российскому рублю. Стремительное падение курса российского рубля в

«черный вторник» 11 октября 1994 г. и события, произошедшие после

этого, повлекли за собой снижение волатильности курсов валют, и рынок

производных инструментов утратил былую инвестиционную

привлекательность.

Второй этап происходил с конца 1995г. и до первой половины 1997 г.

В этот период формирование рынка производных инструментов

отличается преобладанием контрактов на гос. облигации. 9 ноября 1995г.

на Бирже опционов и фьючерсов появился фьючерсный опцион на ОГСЗ.

С 10 апреля 1996 г. СПФБ запускает торговлю опционом на фьючерс на

базе индекса доходности купона ОФЗ, а уже в мае 1996 г. на этих биржах

предлагаются опционы на фьючерсы по ГКО. С начала 1997 г. на МЦФБ

предлагаются фьючерсы на первичные аукционы и вторичные торги, а

также опционы на эти фьючерсы.

Третий этап происходил со второй половины 1996 года и до начала

1998 года и отличается постепенной заменой расчетных контрактов на

ГКО поставочными контрактами на корпоративные ценные бумаги,

которым теперь принадлежала монополия на срочном рынке. Первые

19

торги срочными контрактами на акции НК «Лукойл» и АО «Мосэнерго»

прошли в сентябре 1996 г. на Российской бирже (РБ). Темпы роста этого

сегмента российского срочного рынка были колоссальными. Так, в

феврале 1997 г. объем фьючерсных торгов на акции АО «Мосэнерго» на

РБ превысил 1500% к уровню января. Этот этап характеризуется тем, что

постоянно меняется спектр инструментов, предлагаемых разными

торговыми площадками. В этот период предпринимались попытки

введения контрактов на индексы рынка, которые заканчивались неудачно

из-за отсутствия интереса участников рынка к торговле контрактами на

агрегированные показатели рын-ка. В конце 1997 — начале 1999 гг.

произошло банкротство ряда бирж (МЦФБ, МТБ, РБ). Одной из причин

этого явилось нецелевое использование денежных средств расчетной

палаты должностными лицами биржи.

Четвертый этап (вторая половина 1998 г. — первая половина 2000 г.)

— период анализа, осознания ошибок и начала зарождения эффективного

рынка производных ценных бумаг. После кризиса 17 августа 1998 г. резко

сократился объем сделок с ценными бумагами, и, как следствие,

практически исчез срочный рынок. В это же время закрывается ряд

фондовых и срочных бирж. Единственной торговой площадкой, не

прерывавшей торгов производными инструментами, становится биржа

«Санкт-Петербург». Хозяйствующие субъекты постепенно осознают, что

финансовая система может прожить без хеджа лишь какое-то время. Кроме

того, крупные финансовые компании оценили преимущества

использования опционов.

Можно считать, что со второй половины 2000 г. начался пятый этап

формирования срочного рынка. Рынок в это время переживает не только

количественное, но и качественное возрождение. Лидером на рынке

срочных контрактов изначально становится НП «Фондовая биржа «Санкт-

Петербург». В конце 2001 г. срочный рынок биржи «Санкт-Петербург»

20

был переведен в секцию срочных торгов РТС (FORTS). Кроме того, в

апреле 2002 г. возобновились торги в срочной секции ММВБ.

2011 г. можно считать началом шестого этапа развития российского

срочного рынка, который связан с уже начавшимся объединением

торговых площадок групп РТС и ММВБ. Первым совместным проектом

двух бирж стал расчетный фьючерсный контракт на индекс ММВБ,

спецификация которого была утверждена в конце августа на обеих биржах.

1.2. История исследования хеджирования финансовых опционов.

Традиционное решение проблемы хеджирования финансовых

опционов описывается в теории совершенного хеджирования. Основы

этой теории были заложены широко известными работами Блэка и Шоулза,

Мёртона, Кокcа, Роcса и Рубинштeйна. Теория совершенного

хеджирования применима к созданию некоторого портфеля рыночных

активов, который генерирует платежи, соответствующие выплатам

дериватива.

Несовершенные методы хеджирования – новейший способ риск-

менеджмента. Начало их теоретическому осмыслению было положено

лишь в 1990х годах в исследованиях Дaффи и Ричaрдсона (1991 год),

Мeльникова и Нeчаева (1998 год), и Феллмера и Лейкерта (1999 год,

2000 год). Кроме того, эти работы были направлены на выявление

математического решения проблемы построения стратегии

несовершенного хеджирования, а такие вопросы как обоснование

экономической эффективности и целесообразности применения этих

методов в исседованиях не решались.

Важнейшую роль в создании теории несовершенного

хеджирования сыграли исследования Ф. Блэкa, М. Шоулза, Р.

Мёртона, А.Н. Ширяeва, А.В.Мeльникова, Д.О. Крaмкова, Н.И.

21

Бeрзона, В.А. Гaланова, Я.М. Миркинa, М. Харрисонa, Д. Крeпса, С.

Плискa, Г. Фeллмера, С.Н. Волковa.

1.3.Опцион и опционные модели.

Опцион — это контракт, по условиям которого покупатель или

продавец некоторого рискового актива, такого как, например, товар или

ценная бумага, получает право, но не обязанность как в случае с

фьючерсами, осуществить покупку или продажу этого рискового актива по

цене, оговоренной заранее в некоторый момент в будущем, оговоренный

заранее и называемый сроком погашения или во время всего,

определенного заранее, период действия контракта. При заключении

опционного контракта, продавец опциона имеет обязательство

осуществить ответную продажу или покупку рискового актива по

условиям проданного опциона.

Опцион — это один из производных финансовых инструментов или

деривативов. Выделяются два вида опционов: на продажу (опцион пут - put

option) и на покупку (опцион колл - call option). Опционы и фьючерсы,

являясь инструментами срочного рынка, имеют схожие черты, но во

многом принципиально отличаются.

Исходя из вышесказанного, возможны четыре вида сделок с

опционами:

покупка Опцион колл

продажа Опцион колл

покупка Опцион пут

продажа Опцион пут

Английское право всецело признаёт опционы на покупку и на

продажу. Они зачастую используются для создания совместных компаний,

в сделках о слиянии и поглощении, в качестве обеспечения выхода из

22

некоторого проекта, для защиты прав держателей акций при нарушении

акционерных соглашений. Законы нашей страны этих опционов не

признают. Часто вместо них формально пользуются «договором купли-

продажи под условием», по которому обе стороны обязаны соблюдать

условия договора при некоторых обстоятельствах.

Чаще всего используются опционы двух типов — американский и

европейский, они имеют некоторые существенные отличия.

Опцион американского типа может быть погашен в любой

заранее оговоренного срока опциона. Это означает, что при

заключении такого сделки, для опциона оговаривается срок

погашения, во время которого стороны могут исполнить этот

опцион.

Опцион европейского типа отличается тем, что он может быть

погашен только в дату погашения опциона (заранее

оговоренную сторонами).

В нашем исследовании мы будем придерживаться европейского

стиля опциона.

Премия опциона — это деньги, которые уплачиваются покупателем

опциона продавцу при заключении срочного контракта. Экономический

смысл премии опциона состоит в том, что в таком случае покупатель

опциона уплачивает деньги за возможность заключения сделки в будущем.

Зачастую под ценой опциона понимают именно премию по опциону.

Премия биржевого опциона является его котировкой. Величина премии,

обычно, устанавливается в соответствии с закона спроса и предложения

путем уравнивания спроса и предложения. Кроме того, существуют

некоторые математические модели, которые позволяют вычислить премию

на основе текущей стоимости базового актива и его стохастических

23

параметров, таких как волатильность, доходность, и т. п. Рассчитываемая

подобным образом премия опциона именуется теоретической ценой

опциона. Обычно она рассчитывается организатором торгов

или брокером и предоставляется наряду с котировочной информацией во

время хода торгов.

Идея эффективного рынка является основой всех математических

моделей расчета премии опциона. Имеется предположение, что

«справедливая» премия опциона равна стоимости, при которой ни

покупатель, ни продавец, в среднем не получат прибыли.

Для того, чтобы вычислить премию опциона, используются

свойства стохастического процесса, который моделирует изменение

цены рискового актива, находящегося в базе опциона. Одним из самых

важных статистических параметров, которые влияют на размер премии

является волатильность цены актива, лежащего в основе опциона. Чем она

выше, тем соответственно выше риск неправильного предсказания цены

актива в будущих периодах, а, следовательно, размер премии

увеличивается и продавец опциона получает больше денег. Второй

важнейший параметр — это время до истечения опциона. Чем дальше до

этой даты, тем выше премия (при одинаковой цене поставки актива,

оговоренной заранее опционным контрактом). Параметры такой модели

ценообразования опциона рассчитываются на основании данных

исторической динамики.

История исследования опционов:

1900г. — Луи Башелье первым предпринял попытку найти

математический подход к оценке опционов;

1970г. — Майрон Шоулз и Фишер Блэк разработали метод,

позволяющий рассчитать «справедливую» премию за

европейский опцион кол на акции;

24

1976г. , 1979г.  — Кoкс, Рoсс и Рубенштeйн создали свою

модель ценообразования финансовых опционов. Их модель

применима для американского типа опционов, дающих

возможность досрочного исполнения;

1982г. — Гaрман и Колхaген немного изменили модель

Блэка — Шоулcа. Их модель учитывает тот факт, что на цену

влияют не одна, а две банковские процентные ставки, и,

соответственно, модель лучше подходила для использования

для валютных опционов;

1994г. — Дeрман и Кaни представили модель, в основе

которой лежало биноминальное дерево.

Наиболее известные и широко-используемые опционные модели: 

Модель Блэка — Шоулза (Blаck-Scholеs);

Биномиaльная модель;

Модeль Хeстона;

Модeль Монтe-Карло;

Модeль Бьерксундa-Стенслэнда (Bjerksund-Stensland);

Модeль Коксa-Рубинштeйна (Cox-Rubenstein model);

Модель Ятсa (Yates model).

В нашем исследовании будет использоваться классическая модель

Блэка-Шоулса для иллюстрации методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов.

1.4. Модель Блэка-Шоулса.

Широко используемая модель Блэкa–Шоулсa (Blаck–Scholеs Option

Pricing Model, OPM) определяет теоретическую цену европейского

опциона, подразумевая неявное рыночное установление цены опциона,

если актив, лежащий в основе опциона торгуется на рынке. Эта модель

25

широко распространена на практике и, кроме того, может быть

использована для оценки всех деривативов, таких как варранты,

конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала

финансово зависимых компаний.

Согласно этой модели, главным элементом для определения цены

опциона является волатильность  актива, лежащего в основе срочного

инструмента. В зависимости величины волатильности, цена на актив

снижается или растет, а это прямопропорционально влияет на цену

опциона. Таким образом, при известной стоимости опциона возможно

определить величину волатильности рынка.  

Модель оценки опционов была впервые представлена  Блэком и 

Шоулзом в 1973 г. в их статье «Оценка опционов и коммерческих

облигаций» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Их работа

основывалась на предыдущих исследованиях Трейнора,  Самуэльсона,

Бонесса, Касуфа и Торпа и получала свое развитие во время

стремительного роста опционной торговли.

Для вывода своей модели ценообразования опционов, Блэк и Шоулс

представили следующие предположения:

По активу, лежащему в основе опциона, дивиденды не

платятся на протяжение всего срока действия срочного

контракта.

Отсутствуют транзакционные издержки, связанные с покупкой

или продажей актива или опциона.

Краткосрочная безрисковая банковская процентная

ставка известна заранее и не меняется на протяжении всего

срока действия срочного контракта.

Покупатель некоторого актива имеет возможность получать

банковский кредит по краткосрочной и постоянной

26

безрисковой ставке для финансирования затрат на покупку

опциона.

Короткая продажа возможна без ограничений, и продавец

получает незамедлительно всю сумму за проданный без

покрытия актив по текущей цене.

Торговля активом, лежащим в основе опциона, ведется

беспрерывно, и динамика цены актива подчиняется

геометрическому броуновскому движению с некоторыми

известными параметрами.

Создание модели Блэка-Шоулса базируется на модели

безрискового хеджирования. То есть при покупке актива и одновременной

продаже опционов call на этот актив, инвестор может создавать

безрисковую позицию, где прибыль по активу будет покрывать убытки по

опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по

ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае

существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и

инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности,

приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который

определяется моделью.

Цена европейского опциона call определяется по формуле:

где

Цена (европейского) опциона put определяется по формуле:

27

Обозначения:

 - текущая стоимость опциона call в момент t до истечения

срока опциона;

 - текущая цена базисной акции;

 - вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях

стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают

область значений для функции стандартного нормального распределения)

(Для определения   можно использовать таблицы для стандартной

нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACП(x). Она

возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое

имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице);

 - цена исполнения опциона;

 - безрисковая процентная ставка;

 - время до истечения срока опциона (период опциона);

 - волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной

акции.

Для характеристики чувствительности цены (премии) опциона к

изменению тех или иных величин, применяют различные коэффициенты,

называемые «греками». Название происходит от греческого алфавита,

буквами которого обозначаются эти коэффициенты (за исключением

«веги»). «Греки» в рамках модели Блэка-Шоулса вычисляются явным

образом. Таблица таких коэффициентов и методов их расчета представлена

ниже:

28

Таблица 3.

Коэффициенты «Греки» в модели Блэка-Шоулса.

«Грек» Что Опционы call Опционы put

дельта

гамма

вега

тета

ро

В эмпирическом исследовании в третьей главе нашей работы

используется совершенное дельта хеджирование в рамках модели Блэка-

Шоулса.

1.5. Методы несовершенного хеджирования финансовых

опционов.

Методы несовершенного хеджирования дают возможность

снизить стоимость защиты от риска с помощью принятия некоторого

29

контролируемого риска возникновения убытков. Традиционная модель

принятия решений предполагает, что, при прочих равных,

рациональный хозяйствующий субъект всегда предпочтет большую

прибыль меньшей. Рациональный участник рынка также избегает

излишней рискованности и готов к ней только в случае предложения

компенсации, а именно большей доходности. Именно поэтому управление

риском опционного контракта состоит в максимизации ожидаемой

доходности при контролируемом уровне риска или, эквивалентно этому,

к минимизации риска при желаемом уровне доходности.

Вышесказанное и является основной мыслью и главной отличительной

чертой методов несовершенного хеджирования финансовых опционов.

В качестве источника риска выступает структура открытой

опционной позиции. Видоизменяя эту структуру, риск-менеджер

получает возможность контролировать уровень неопределенности. При

использовании допущения о том, что иногда выплаты опциона не

будут произведены или будут произведены не полностью, то

расходы на реализацию стратегии репликации за счет риска

возникновения убытков в таких случаях снижаются. Важнейшей

задачей в таких случаях является определение таких состояний, в

которых отказ от репликации приведет к наименьшему увеличению

риска и к наибольшему росту желаемой доходности.

Методы несовершенного хеджирования финансовых опционов

разделяются на три группы в зависимости от способа контрля риска –

метод хеджирования в среднеквадратическом, метод квантильного

хеджирования и метод хеджирования ожидаемых потерь.

Метод хеджирование в среднеквадратическом является одним из

наиболее подробно изученных методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов. Этот метод отличается тем, что "измерение

30

качества" хеджирующей стратегии проводится с помощью квадрата

разности терминального капитала и платежного обязательства. Этот

метод был предложен и описан в исследованиях Дaффи и Ричaрдсона в

1991 году, дальнейшее развитие метода получено в исследованиях

Мeльникова и Нечаeва в 1998 году и в работе Швейцера в 1999 году.

Более подробный список исследований, направленных на развитие

метода хеджирования в среднеквадратичном, приведен в книге

Мeльникова, Вoлкова и Нeчаева (1998 год).

Хеджирование в среднеквадратичном дает возможность

контролируемо понижать издержки на хеджирование опциона, но не

смотря на это, этот метод имеет недостатки, присущие всем

квадратичным мерам риска, а именно тем, что риск стратегии

увеличивается после как положительных, так и отрицательных

отклонений выплат. Так как данный метод достаточно подробно

изложен в различных исследованиях и широко известен, в нашем

исследовании его рассмотрение не проводится и основной упор делается

на рассмотрение других методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов.

Следующей группой методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов является квантильное хеджирование (quantile

hedging). Стоимость опциона в случае квантильного хеджирования

рассчитывается как результат взаимодействия совокупности факторов,

непредвиденная динамика изменения которых обуславливает риск

хеджера. Такой риск хеджера состоит в непредсказуемости рыночной

динамики или неконтролируемых изменениях экономической

конъюнктуры и относится к группе рыночных рисков.

Зачастую в качестве меры рыночного риска используется

концепция Value-at- Risk. Суть этой концепции состоит в определении

31

размера убытков на заданном доверительном интервале. Более

формально, метод заключается в нахождении квантиля распределения

прибылей и убытков, предполагаемого на некотором промежутке

времени в будущем. При обозначении доверительного интервала через ,

Value-at-Risk соответствует нижнему квантилю порядка 1-. Данный

метод дает подробное представление о риске срочной позиции,

позволяет измерить экономическую стоимость срочной позиции и

проводит допущение о сопоставлении с родственными мерами риска.

При использовании концепции Value-at-Risk как меры риска,

задача нахождения оптимального распределения риск-доходность

сводится в область общей теории доверительного статистического

оценивания. Основным понятием этой теории является квантиль или

границы области оценки с заранее заданным интервалом. Именно

поэтому данный метод несовершенного хеджирования финансовых

опционов, в котором квантиль распределения прибыли или убытка

хеджирующей стратегии используется в качестве критерия успеха,

называется квантильным.

В нашем исследовании описывается стратегия метода

квантильного хеджирования, которая максимизирует естественную

вероятность успешного хеджирования с ограничениями на стоимость

реализации этой стратегии. Идея квантильного хеджирования является

довольно новой и еще не описана в соответсвующей литературе

достаточно полно и систематически. Эта концепция была впервые

изложена Г. Феллмером в марте 1995 года в рамках традиционной

модели Блэка-Шоулза, а главнейшие особенности этого метода

изложены в исследовании Феллмера и Лейкерта в 1999 году. В этом

исследовании проблема метода квантильного хеджирования

рассматривается с математической стороны. Проблема решается с

помощью обобщения метода Куллдорфа (1993) для максимизации

32

вероятности достижения определенного уровня броуновского движения

к заданному моменту времени. Применяя такой обобщенный

абстрактный метод, исследователям удалось достаточно кратко

изложить решение проблемы. Однако экономическое содержание модели

осталось за пределами доказательства, изложенного в их теории.

Немного более подробно экономические особенности

концепции квантильного хеджирования приводятся в труде

Мельникова А.В., Волкова С.Н. и Нечаева М.Л. в 2001 году. За

кратким описанием математического алгоритма определения

хеджирующих состояний исследователи уделяют достаточное внимание

анализу структуры этих состояний, и, на примере стандартного

европейского опциона колл описывают основные особенности множеств

хеджируемых состояний.

Необходимо отметить, что метод квантильного хеджирования,

учитывая только вероятность возникновения потерь, но не учитывает их

размер. Состояния с крайне высокой и с очень низкой величиной

потерь предполагаются одинаково рисковыми. С практической точки

зрения, такой подход несовершенен и вызывает серьезную критику.

Третью группу методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов составляет хеджирование ожидаемых потерь

(expected shortfall hedging). Эта концепция учитывает величину

ожидаемых потерь в отличие от предыдущего метода, где все

ограничевается контролем за вероятностью возникновения убытков. Этот

метод определяет риск как математическое ожидание потерь при

физической мере вероятности и минимизирует этот риск при

ограничении на стоимость хеджирования. Главная идея метода

хеджирования ожидаемых потерь описывается в исследовании

Фoллмера и Лейкeрта в 2000 году. В основном, в своем исследовании,

33

авторы сосредоточились на математической формулировке данной

проблемы.

Вышеописанные методы несовершенного хеджирования

(квантильное хеджирование и хеджирование ожидаемых потерь) зачастую

описываются в различных источниках как достаточно близкие модели

несовершенного хеджирования. Сопоставление этих методов в нашем

исследовании показывает, что хеджирующая стратегия может быть

оптимальна по обоим критериям только при соблюдении определенных

условий. В общем случае, структура множества хеджируемых

состояний зависит от применяемого метода. Именно поэтому

хеджирующий портфель, который является оптимальным по одному из

критериев, часто не является оптимальным по другому критерию.

34

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО

ХЕДЖИРОВАНИЯ.

Существенным практическим отличием методов несовершенного

хеджирования финансовых опционов в рамках модели Блэка-Шоулса является

использование комбинации из некоторого количества опционов различного

типа и различной ценой исполнения. При этом комбинация зависит от таких

параметров модели как волатильность, средний темп роста и банковская

процентная ставка. При применении несовершенного хеджирования в рамках

Модели Блэка-Шоулса используются две цены исполнения опциона:

K – цена исполнения, равная цене базового актива в начальный

период хеджирования

h – граница, рассчитываемая по формуле:

h=eσ ∙ b+ ln ¿ ¿, где

b = √T ∙Ф−1 (1−ε )+ μ−rσ

∙ T,

μ – средний темп роста базового актива,

r – банковская процентная ставка,

σ – волатильность,

Т – срок исполнения,

S – цена актива,

ε – вероятность возникновения потерь.

1.1. Алгоритм успешного хеджирования.

В зависимости от параметров модели множество успешного

хеджирования будет отличаться, а граница h будет использоваться по-

разному, что будет описано ниже. Поэтому для правильного выбора стратегии

хеджирования необходимо придерживаться следующего алгоритма:

35

Шаг 1. Нахождение структуры множества успешного хеджирования

исходя из типа опциона и таких параметров как волатильность, средний

темп роста и банковская процентная ставка.

Шаг 2. Определение выплат хеджирующей стратегии на множестве

хеджирующих стратегий.

Шаг 3. Выбор метода репликации выплат хеджирующей стратегии

(например в третьей главе нашего исследования был выбран метод дельта

хеджирования в рамках модели Блэка-Шоулса).

2.2. Множества успешного хеджирования.

В нашем исследовании мы рассматриваем два метода несовершенного

хеджирования финансовых опционов – метод квантильного хеджирования и

метод хеджирования ожидаемых потерь. Оба этих метода снижают стоимость

хеджирования путем допущения риска возникновения убытков.

Главное отличие методов заключается в различных способах

определения риска. При квантильном хеджировании риск определяется как

вероятность получения убытка. В модели хеджирования ожидаемых потерь

риск определяется как ожидаемый убыток.

Было описано, что методы несовершенного хеджирования предполагают

использование комбинации из нескольких опционов. Структура такой

комбинации определяется в зависимости от метода хеджирования и

параметров модели. На определение структуры влияют такие показатели как

волатильность σ, темп роста μ и процентная ставка r. На рисунке 1

иллюстрируются различные комбинации этих параметров, которые

определяют вид множества успешного хеджирования.

36

Рис. 1. Множества успешного хеджирования.

Рисунок показывает, что возможны три варианта форм множества

успешного хеджирования. Рассмотрим эти случаи на примере опциона колл.

При квантильном хеджировании форма множества изменяется в зависимости

от выражения (μ-r)/σ2 , превышает ли 1 это выражение или нет. В первом

варианте множество состоит из двух областей. Первая область состоит из

состояний с невысокой котировкой актива, приближенной к цене исполнения

опциона. Граница h1 ограничивает эту область сверху. Во вторую область

включаются состояния, в которых курс базового актива выше, чем граница h1.

Если же выражение (μ-r)/σ2<1, то в множество включаются состояния с

курсом ниже границы h3.

При методе хеджирования ожидаемых потерь форму множества

определяет разница между μ и r. При μ>r производятся выплаты в состояниях

справа от h4, в ином случае действует ограничение сверху границей h5.

В таблице 4 представлены все возможные структуры множества

успешного хеджирования в зависимости от различных параметров модели на

примере опциона колл.

Таблица 4.

37

Множества успешного хеджирования опциона колл в зависимости

от параметров модели.

Область ЗависимостьКвантильное

хеджирование

Хеджирование

ожидаемых потерь

I (μ-r)/σ2 >1 (0;h1]∩[h2;∞) [h4;∞)

II (μ-r)/σ2≤1∩μ > r (0;h3] [h4;∞)

III μ≤r (0;h3] (0;h5]

Исходя из выбора метода хеджирования, структура множества

представляется различным образом в первой и второй области. В этих

областях средний темп роста выше, чем банковская процентная ставка. В

таком случае хеджирующая стратегия будет оптимальна только по одному из

параметров риска – квантиля или ожидаемого убытка. Но если темп роста не

выше, чем процентная ставка банка, то множества хеджирующих стратегий

совпадают. В таком случае при оптимальности стратегии по одному

критерию, стратегия становится оптимальна и по другому критерию риска.

Обычно на рынке наблюдается ситуация, когда процентная ставка ниже темпа

роста базового актива.

2.1.1. Численный пример.

Рассмотрим вышеописанные взаимосвязи с помощью примера. Для

примера возьмем опцион колл, цена исполнения которого равна 100, а срок

исполнения – 0,1. Пусть волатильность равна 0,2, а процесс хеджирования

начинается с уровня, равного 100. Банковская процентная ставка равна 6%

годовых (0,06), а средний темп роста цены базового актива положим равным

0,15. При таких параметрах выполняется условие (μ-r)/σ2 >1, а значит

соответствует первой области рисунка 100500. При использовании метода

квантильного хеджирования зависимость вероятности успеха и ожидаемого

38

успеха от стоимости хеджирующего портфеля описывается графиком,

представленном на рисунке 2.

Рис. 2. Вероятность успеха и ожидаемый успех при квантильном хеджировании и выполнении условия 1.

График вероятности успеха является выпуклым, а график ожидаемого

успеха – вогнутым. Поэтому хеджирующая стратегия будет оптимальна по

критерию вероятности успеха, но эта стратегия не может минимизировать

ожидаемые потери при заданном ограничении на капитал.

При применении метода хеджирования ожидаемых потерь зависимость

ожидаемого успеха от стоимости хеджирования является выпуклой функцией.

Также вероятность успеха растет медленнее, чем увеличивается стоимость

хеджирования. Поэтому данная стратегия будет оптимальной по критерию

ожидаемого успеха, но не будет оптимальной по критерию квантиля. На

рисунке 3 представлен успех хеджирования в таком случае.

39

Рис. 3. Вероятность успеха и ожидаемый успех при хеджировании ожидаемых потерь и выполнении условия 1.

При понижении среднего темпа роста до отметки в 0,07 переходим ко

второй области. При применении квантильного хеджирования стратегия будет

оптимальна по критерию вероятности успеха, но наблюдается некоторое

несовершенство стратегии по критерию минимизации ожидаемых убытков

(график немного вогнут). Вероятность успеха и ожидаемый успех

представлены на рисунке 4.

40

Рис. 4. Вероятность успеха и ожидаемый успех при квантильном хеджировании и выполнении условия 2.

При использовании метода ожидаемых потерь функция зависимости

ожидаемого успеха от стоимости хеджирования является выпуклой. При этом

вероятность успеха возрастает при увеличении начального капитала. В таком

случае данная стратегия является оптимальной только по отдельному

критерию риска, который был положен в основу метода хеджирования. На

рисунке 5 представлена такая зависимость.

Рис. 5. Вероятность успеха и ожидаемый успех при хеджировании ожидаемых потерь и выполнении условия 2.

В случае, когда банковская процентная ставка выше, чем средний темп

роста цены базового актива множества успешного хеджирования совпадают.

Поэтому они являются оптимальными по обоим критериям. На рисунке 6

41

видно, что функция вероятности успеха и функция ожидаемого успеха

являются выпуклыми. Так как множества совпадают, то будем использовать

один график для обоих методов хеджирования.

Рис. 6. Вероятность успеха и ожидаемый успех при квантильном хеджировании и хеджировании ожидаемых потерь и выполнении условия

3.

Тип и особенности опциона играют немаловажную роль в

формировании зависимости между успехом и стоимостью хеджирования.

Таблица множеств успешного хеджирования меняется, если мы используем не

опцион колл, а опцион пут. Такая структура множества успешного

хеджирования представлена в таблице 5.

Таблица 5.

42

Множества успешного хеджирования опциона колл в зависимости

от параметров модели на примере опциона пут.

Область ЗависимостьКвантильное

хеджирование

Хеджирование

ожидаемых потерь

I (μ-r)/σ2 >1 [h1;∞) [h4;∞)

II (μ-r)/σ2≤1∩μ > r [h1;∞) [h4;∞)

III μ≤r (0;h2]∩[h3;∞) (0;h5]

Множества успешного хеджирования совпадают в методах

квантильного хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь. Поэтому

хеджирующий портфель будет оптимален не только по критерию вероятности

успеха, но и по критерию минимизации убытков. При этом если выполняется

условие 3, то хеджирование будет оптимальным только с точки зрения одного

из критериев.

2.1.2. Выводы по параграфу.

Примеры хеджирования финансовых опционов типа колл и пут

показывают, что стратегия хеджирования будет оптимальна с позиции таких

критериев как максимизация вероятности успеха и минимизация ожидаемых

потерь при выполнении некоторых условий отношения между такими

параметрами модели как волатильность, средний темп роста и процентная

ставка. Точная форма таких отношений меняется в зависимости от типа

опциона и его параметров.

43

ГЛАВА 3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДОВ НЕСОВЕРШЕННОГО

ХЕДЖИРОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЦИОНОВ НА РОССИЙСКОМ

СРОЧНОМ РЫНКЕ.

Проведем эмпирическое исследование вышеописанных концепций

хеджирования. Исследование проведем на основе одного из общепринятых

методов хеджирования – дельта хеджирования. Этот метод достаточно прост,

чем и объясняется его широкая распространенность. Суть данного метода

состоит в следующем: С помощью некоторого портфеля из базового

рискового актива и банковского счета (кредита) динамически воспроизводится

платежная функция срочного контракта. При этом, доля акций или другого

рискового актива в вышеописанном портфеле соответствует такому

показателю как дельта опциона (один из показателей «Греки» в модели Блэка-

Шоулса).

Дельта опциона является отношением изменения цены опциона, которое

вызывается изменением цены базового рискового актива, к изменению цены

рискового актива. Математически показатель дельта опциона можно

представить как первую производную от стоимости опциона по активу,

лежащему в основе опциона. Как и любая первая производная, данный

показатель отражает скорость изменения стоимости опциона относительно

динамики цены базового актива.

Для начала подробнее рассмотрим алгоритм дельта хеджирования.

Понимание простой совершенной модели необходимо для дальнейшего

исследование несовершенных методов хеджирования. Механизм дельта

хеджирования будем рассматривать с помощью опциона колл в модели Блэка-

Шоулса. Помимо данной модели существуют и другие, более совершенные

методы динамического хеджирования, которые действуют в дискретном

44

времени, но в рамках нашего исследования будем использовать именно

модель Блэка-Шоулса, так как она в достаточной степени иллюстрирует

механизмы методов несовершенного хеджирования, оставаясь при этом

достаточно простой.

В данной модели показатель дельта представляет собой значение

функции стандартного нормального распределения от коэффициента d1,

формула нахождения которого представлена ниже вместе с формулой

нахождения коэффициента дельта опциона колл:

∆ i=1

σ √2 πe

−(d1−μ )2

2 σ 2 , где

d1 = ln ( S i

x )+(r+ 12

σ2)Tσ √T

, где

Si – текущая цена актива, Т – срок исполнения в годах, r – процентная ставка, σ

– волатильность, μ – средний темп роста, x – цена исполнения опциона.

Алгоритм дельта хеджирования достаточно прост и может быть описан

следующими этапами его реализации:

1. При выпуске опцион колл имеет цену, найти которую можно с помощью

формулы Блэка-Шоулса, представленной ниже:

C0(x)=S0*Ф(d1(x)) – x*e-rT*Ф(d2(x), где

Ф(d1)= 1σ √2π

e−(d1−μ )2

2 σ 2

,

Ф(d2)= 1σ √2 π

e−(d2−μ )2

2 σ 2 ,

d1(x) = ln( S i

x )+(r+ 12

σ2)Tσ √T

,

45

d2(x) = d1(x)-σ*√T

2. В целях хеджирования в портфель покупается рисковый актив в

количестве, которое соответствует показателю дельта опциона колл.

3. Финансирование покупки актива в портфель производится с помощью

двух источников: премии, полученной за опцион и банковского кредита

под процентную ставку r, выражаемую в процентах годовых.

4. К концу первого дня хеджирования в портфеле находится дельта штук

акций (или другого рискового актива) и кредит B, размер которого

определяется как разность между стоимостью купленных акций и

полученной премии за опцион. Формула расчета размера банковского

кредита представлена ниже:

B0 = Δ0*S0-C0BS, где

C0BS –цена опциона колл, рассчитанная по формуле из предыдущего

пункта.

5. При этом стоимость всего хеджирующего портфеля является суммой

стоимости акций и размера банковского кредита. Формула 153!!

Логично заметить, что в первый день хеджирования стоимость опциона

равна стоимости хеджирующего портфеля, что нетрудно понять,

подставив формулу из четвертого пункта в формулу из пятого пункта.

Со второго дня хеджирования действия происходят немного отличным

способом: предположим, что курс рискового актива изменился. Также на один

день сократился срок действия срочного контракта. Оба этих показателя

приводят к изменению показателя дельта опциона колл, а соответственно

необходимо корректировать хеджирующий портфель. Коррекция

хеджирующего портфеля происходит следующим образом:

1. При положительном изменении цены базового актива дельта опциона

колл также увеличивается, поэтому в портфель следует докупить акций

46

в размере, равном приращению показателя дельта опциона колл.

Стоимость покупки в таком случае является произведением приращения

дельты опциона колл на текущую цену базового актива. Эта покупка

также финансируется за счет дополнительного кредита. А значит размер

кредита увеличивается. Также хеджеру необходимо выплатить проценту

банку за использование кредитных средств в первый день

хеджирования. Размер процентов рассчитывается по формуле:

r * B0 * dt.Следовательно, размер банковского кредита увеличивается до суммы,

рассчитываемой по следующей формуле:

B1 = B0 + r * B0 * dt + (Δ1 – Δ0) * S1

2. При отрицательной динамике курса базового актива коррекция

хеджирующего портфеля производится аналогичным образом, отличие

состоит лишь в том, что в результате отрицательного изменения

коэффициента дельта опциона колл необходимо продать некоторое

количество акций из хеджирующего портфеля, в результате чего размер

банковского кредита уменьшается.

В результате таких коррекций стоимость хеджирующего портфеля

составит сумму, рассчитываемую по формуле:

π1 = Δ1 * S1 + B1

Стоимость хеджирующего портфеля может не равняться теоретической

стоимости опциона колл по формуле Блэка-Шоулса из-за такого явления как

ошибка хеджирования. Ошибка хеджирования может возникнуть в результате

того, что зависимость цены опциона от изменения цены рискового актива,

лежащего в основе производного инструмента, не является линейной

функцией, тогда как дельта хеджирование страхует только линейную

составляющую изменения цены опциона. Такое расхождение между теорией и

47

практикой управления финансовыми рисками также происходит из-за того,

что в теории параметры портфеля находятся в непрерывной модели, тогда как

на практике хеджирование происходит в дискретные моменты времени.

Выше представлены формулы и алгоритм коррекции хеджирующего

портфеля для второго дня хеджирования. Так как из-за изменения цены

базового актива и изменения срока погашения опциона в каждый из

последующих дней необходимо корректировать портфель и пересматривать

вес всех составляющих хеджирующего портфеля, то для последующих дней

размер банковского кредита и общая стоимость хеджирующего портфеля

можно представить в виде следующих формул:

Bt = Bt-dt + r * Bt-dt * dt + (Δt – Δt-dt) * St

πt = Δt * St + Bt

Позиция по рисковому активу ликвидируется, когда подходит момент

исполнения срочного контракта. Вырученные от продажи актива средства

идут на погашение долга по банковскому кредиту.

Проиллюстрируем механизм дельта хеджирования с помощью схемы,

представленной на рисунке 7.

Рис. 7. Схема дельта хеджирования.

Хеджирующий портфель

Базовый актив Банковский кредит

(Δt – Δt-dt)>0 Докупаем Увеличивается

(Δt – Δt-dt)<0 Продаем Уменьшается

(Δt – Δt-dt)=0 - -

48

3.1. Эмпирическая проверка методов несовершенного

хеджирования.

Эмпирическая проверка различных методов хеджирования проводится

на основе котировок акций и других рисковых активов, участвующих в

системе FORTS (срочный рынок) на Московской бирже РТС.

Для начала необходимо найти такие показатели рынка как

волатильность и средний темп роста цены актива, необходимые для расчета

цены опциона колл.

Волатильность акций – это статистический финансовый показатель,

который характеризует среднегодовое изменение (колебание) цены актива или

изменчивость цены. Волатильность является важнейшим показателем в

области управления рисками так как показывает меру риска использования

некоторых финансовых инструментов в заданный промежуток времени.

Волатильность является среднеквадратическим (стандартным) отклонением

цены акции деленным на квадратный корень временного периода,

выраженного в годах. Формула расчета среднегодовой волатильности

представлена ниже:

σ = √ 1n∑i=1

n

(Si−S)2

√P , где

S=∑i=1

n

Si

n,

n – количество рассматриваемых торговых дней в выборке, S –

котировка акций в период i, P – временной период в годах.

49

Для расчета этих показателей необходимы данные о динамике цены

актива. В нашем исследовании использовались данные московской биржи

РТС.

Ниже представлены графики динамики изменения цены

рассматриваемых активов (акции ОАО Сбербанк и валютной пары USD RUR)

за период с января 2013 года по май 2013 года для иллюстрации различных

методов совершенного и несовершенного хеджирования.

.

Рис. 8. Динамика курса акций Сбербанка

Рис. 9. Динамика курса доллара по отношению к рублю.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Динамика курса акций Сбербанка

29

29.5

30

30.5

31

31.5

32

Динамика курса доллара

50

За постоянную банковскую процентную ставку принята ставка

рефинансирования Центрального Банка России, действующая с 14 сентября

2012 года по настоящее время (май 2013 года) и равная 8,25% годовых. В

реальности процентная ставка несколько отличается от ставки

рефинансирования в большую сторону, но для иллюстрации примеров примем

ставку рефинансирования в качестве постоянной банковской ставки.

3.1.1. Совершенное дельта хеджирование.

В таблицах 5 и 6 отражен процесс хеджирования опциона колл в рамках

классической модели Блэка-Шоулса для различных активов (акций Сбербанка

и валютной пары USD RUR). Расчет происходит по 22 торговым дням. Для

каждого периода (каждой даты торгов) представлены следующие показатели,

отражающие порядок срочной сделки и структуру хеджирующего портфеля:

1. Дата – торговый день.

2. Котировка – текущая стоимость актива на момент закрытия торгов в

каждый из торговых дней. В формулах данный показатель

отображается переменной Si , где i – номер дня хеджирования.

3. № - номер дня хеджирования.

4. Т – срок исполнения опциона, выраженный в годах. Так как

рассматриваемый период составляет 22 дня, то в начальный день

хеджирования параметр Т равен 0,0880 года с последующим

приращением в -0,004 года в каждый день хеджирования.

5. ΔС(К) – дельта опциона колл, цена исполнения которого равна К.

Коэффициент К в данном случае равен котировке актива на начало

хеджирования.

6. Покупка – количество акций или другого актива, покупаемых или

продаваемых в момент коррекции хеджирующего портфеля.

7. Стоимость покупки – стоимость покупки или продажи актива для

коррекции хеджирующего портфеля.

51

8. Кредит – сумма задолженности по кредиту, взятому на покупку

актива в хеджирующий портфель на каждый день хеджирования.

9. Стоимость актива в портфеле – стоимость рискового актива,

составляющего основу срочного инструмента в хеджирующем

портфеле.

10.Стоимость портфеля – стоимость хеджирующего портфеля, равная

стоимости акций за вычетом суммы задолженности по банковскому

кредиту.

Таблица 5.

Совершенное дельта хеджирование на примере акций ОАО Сбербанк

Котировка № T ∆С(К) Покупка Стоимость покупки

Сумма кредита

Стоимость актива в портфеле

Стоимость портфеля

92,62 0 0,088 0,5034 0,5034 46,6218 45,0742 46,6218 1,547692,69 1 0,084 0,5035 0,0001 0,0138 45,1042 46,6708 1,566692,73 2 0,08 0,5035 0,0000 0,0018 45,1222 46,6927 1,570592,51 3 0,076 0,5024 -0,0011 -0,1018 45,0366 46,4801 1,443593,01 4 0,072 0,5044 0,0020 0,1858 45,2386 46,9171 1,678593,87 5 0,068 0,5079 0,0035 0,3303 45,5851 47,6812 2,096092,85 6 0,064 0,5034 -0,0045 -0,4189 45,1827 46,7442 1,561593,18 7 0,06 0,5047 0,0013 0,1176 45,3166 47,0279 1,711493,58 8 0,056 0,5063 0,0016 0,1456 45,4785 47,3754 1,896992,98 9 0,052 0,5035 -0,0027 -0,2528 45,2420 46,8188 1,576892,82 10 0,048 0,5027 -0,0008 -0,0780 45,1803 46,6603 1,480092,05 11 0,044 0,4992 -0,0035 -0,3200 44,8766 45,9532 1,076691,52 12 0,04 0,4968 -0,0025 -0,2248 44,6679 45,4638 0,795993,57 13 0,036 0,5054 0,0087 0,8126 45,4966 47,2948 1,798292,55 14 0,032 0,5009 -0,0045 -0,4188 45,0941 46,3604 1,266293,04 15 0,028 0,5029 0,0020 0,1818 45,2921 46,7876 1,495492,91 16 0,024 0,5022 -0,0007 -0,0660 45,2424 46,6562 1,413892,81 17 0,02 0,5016 -0,0006 -0,0541 45,2046 46,5519 1,347394,48 18 0,016 0,5085 0,0070 0,6577 45,8786 48,0472 2,168694,54 19 0,012 0,5086 0,0001 0,0095 45,9046 48,0872 2,182694,63 20 0,008 0,5089 0,0002 0,0214 45,9425 48,1544 2,211994,57 21 0,004 0,5085 -0,0004 -0,0384 45,9207 48,0855 2,164894,64 22 0,000 0,5086 0,0001 0,0135 45,9507 48,1345 2,1839

52

Таблица 6.

Совершенное дельта хеджирование на примере пары USD RUR (доллар США

– Российский рубль).

Котировка № T ∆С(К) Покупка Стоимость покупки

Сумма кредита

Стоимость актива в портфеле

Стоимость портфеля

30,1139 0 0,088 0,5032 0,5032 15,1521 14,9975 15,1521 0,1547

30,0773 1 0,084 0,5025 -0,0006 -0,0189 14,9839 15,1148 0,1309

30,0692 2 0,08 0,5023 -0,0003 -0,0076 14,9818 15,1032 0,1214

30,1713 3 0,076 0,5035 0,0012 0,0365 15,0236 15,1909 0,1673

30,159 4 0,072 0,5032 -0,0003 -0,0092 15,0198 15,1755 0,1557

30,1575 5 0,068 0,5030 -0,0002 -0,0049 15,0203 15,1698 0,1495

30,0496 6 0,064 0,5014 -0,0016 -0,0473 14,9784 15,0683 0,0899

29,9598 7 0,06 0,5001 -0,0013 -0,0401 14,9437 14,9832 0,0394

30,1231 8 0,056 0,5021 0,0020 0,0610 15,0101 15,1258 0,1157

29,9251 9 0,052 0,4994 -0,0028 -0,0830 14,9325 14,9434 0,0109

29,9966 10 0,048 0,5002 0,0008 0,0242 14,9621 15,0033 0,0412

30,0161 11 0,044 0,5003 0,0001 0,0035 14,9710 15,0165 0,0456

30,0277 12 0,04 0,5003 0,0000 0,0003 14,9767 15,0227 0,0460

30,1513 13 0,036 0,5018 0,0015 0,0451 15,0271 15,1296 0,1024

30,0782 14 0,032 0,5007 -0,0011 -0,0334 14,9991 15,0594 0,0604

30,0451 15 0,028 0,5001 -0,0006 -0,0175 14,9870 15,0254 0,0384

30,1648 16 0,024 0,5015 0,0014 0,0435 15,0359 15,1287 0,0929

30,2292 17 0,02 0,5022 0,0007 0,0214 15,0627 15,1824 0,1197

30,195 18 0,016 0,5016 -0,0006 -0,0180 15,0501 15,1473 0,0971

30,297 19 0,012 0,5028 0,0012 0,0364 15,0919 15,2348 0,1429

30,2065 20 0,008 0,5015 -0,0013 -0,0404 15,0570 15,1489 0,0919

30,3431 21 0,004 0,5032 0,0017 0,0503 15,1127 15,2677 0,1550

30,3399 22 0,000 0,5030 -0,0002 -0,0056 15,1125 15,2604 0,1480

53

3.1.2. Квантильное хеджирование.

В таблицах 7 и 8 представлена процедура квантильного хеджирования,

одного из рассматриваемых методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов.

Техническое отличие процедуры квантильного хеджирования в рамках

модели Блэка-Шоулса от метода совершенного дельта хеджирования состоит

в следующем:

1. Так как отношение (μ-r)/σ2 (μ – средний рост стоимости актива, r –

процентная ставка, σ - волатильность) меньше единицы в обоих

случаях (акции ОАО Сбербанк и валютная пара USD RUR), то

структура хеджирующего портфеля в рамках модели квантильного

хеджирования будет представлять собой комбинацию из трех

опционов: двух стандартных опционов колл СТ(К) и СТ(h) с ценами

исполнения соответственно К и h (верхняя граница h рассчитывается

по формуле, описанной во второй главе нашего исследования) и

бинарного опциона CoNT(h) с ценой исполнения h.

2. В таблицах расчеты производятся с верхней границей h,

соответствующей вероятности успеха в 95%. Для такой вероятности

верхняя граница h равна 98,8745 в случае с акциями ОАО Сбербанк и

30,4991 в случае с валютной парой USD RUR.

3. Структура выплат хеджирующего портфеля в таком случае будет

описана следующей формулой:

VT = [ST – K] * I(S¿¿T ≥ K )¿ - [ST – h] * I(S¿¿T ≥ h)¿

- [h– K] * I(S¿¿T ≥ h)¿ , где

[ST – K] * I(S¿¿T ≥ K )¿ - [ST – h] = СT(K),

[ST – h] * I(S¿¿T ≥ h)¿ = СT(h),

I(S¿¿T ≥ h)¿ = CoNT(h)

54

4. Коэффициент дельта такого хеджирующего портфеля рассчитывается

с помощью формулы:

ΔVt = ΔСt(K) - ΔСt(h) – [h – K]* ΔCoNt(h)

5. Соответственно коррекция хеджирующего портфеля в рамках модели

квантильного хеджирования соответствует не коэффициенту ΔС(К)

как в случае с классической совершенной моделью, а коэффициенту

ΔV.

Исходя из вышесказанного, в таблицы 7 и 8 добавлены столбцы дельта

коэффициентов составляющих портфеля.

55

Таблица 7.

Процедура квантильного хеджирования на примере акций ОАО Сбербанк.

Котировка № T ∆С(К) ∆С(h) ΔCoN(h) ΔV Покупка Стоимость покупки

Сумма кредита

Стоимость актива в

портфеле

Стоимость портфеля

92,62 0 0,088 0,6034 0,0385 0,0359 0,1944 0,1944 18,0098 16,4622 18,0098 1,547692,69 1 0,084 0,6103 0,0361 0,0337 0,2078 0,0133 1,2345 17,7026 19,2579 1,555392,73 2 0,08 0,6136 0,0328 0,0306 0,2223 0,0146 1,3498 19,0588 20,6160 1,557292,51 3 0,076 0,5808 0,0238 0,0222 0,2390 0,0167 1,5427 20,6083 22,1098 1,501593,01 4 0,072 0,6486 0,0312 0,0292 0,2483 0,0093 0,8637 21,4794 23,0930 1,613593,87 5 0,068 0,7594 0,0542 0,0512 0,2201 -0,0282 -2,6488 18,8384 20,6577 1,819392,85 6 0,064 0,6232 0,0194 0,0181 0,2803 0,0602 5,5909 24,4361 26,0241 1,588193,18 7 0,06 0,6712 0,0219 0,0206 0,2975 0,0172 1,6038 26,0487 27,7204 1,671893,58 8 0,056 0,7293 0,0265 0,0250 0,3122 0,0147 1,3800 27,4380 29,2194 1,781492,98 9 0,052 0,6399 0,0112 0,0105 0,3217 0,0095 0,8797 28,3276 29,9118 1,584292,82 10 0,048 0,6119 0,0069 0,0064 0,3228 0,0011 0,1043 28,4421 29,9646 1,522592,05 11 0,044 0,4658 0,0016 0,0014 0,2601 -0,0627 -5,7717 22,6806 23,9443 1,263791,52 12 0,04 0,3543 0,0004 0,0003 0,2011 -0,0591 -5,4054 17,2833 18,4010 1,117793,57 13 0,036 0,7465 0,0060 0,0057 0,4028 0,2017 18,8773 36,1669 37,6905 1,523692,55 14 0,032 0,5474 0,0006 0,0005 0,3105 -0,0923 -8,5397 27,6402 28,7400 1,099793,04 15 0,028 0,6543 0,0007 0,0006 0,3712 0,0607 5,6475 33,2977 34,5396 1,241992,91 16 0,024 0,6266 0,0002 0,0002 0,3573 -0,0139 -1,2900 32,0197 33,2014 1,181792,81 17 0,02 0,6020 0,0000 0,0000 0,3439 -0,0135 -1,2503 30,7808 31,9153 1,134494,48 18 0,016 0,9407 0,0007 0,0007 0,5348 0,1909 18,0390 48,8309 50,5285 1,697694,54 19 0,012 0,9659 0,0001 0,0001 0,5514 0,0166 1,5728 50,4213 52,1335 1,712194,63 20 0,008 0,9890 0,0000 0,0000 0,5651 0,0137 1,2962 51,7357 53,4793 1,743694,57 21 0,004 0,9990 0,0000 0,0000 0,5709 0,0057 0,5409 52,2952 53,9863 1,691194,64 22 0,000 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0006 0,0537 52,3678 54,0800 1,7122

56

Таблица 8.

Процедура квантильного хеджирования на примере валютной пары USD RUR.

Котировка № T ∆С(К) ∆С(h) ΔCoN(h) ΔV Покупка Стоимость

покупкиСумма

кредита

Стоимость актива в

портфеле

Стоимость портфеля

30,1139 0 0,088 0,9964 0,0524 0,0521 0,5280 0,5280 15,8989 15,7442 15,8989 0,154730,0773 1 0,084 0,9862 0,0137 0,0136 0,5527 0,0248 0,7456 16,4955 16,6252 0,129730,0692 2 0,08 0,9790 0,0065 0,0064 0,5543 0,0016 0,0468 16,5482 16,6675 0,119330,1713 3 0,076 0,9993 0,0742 0,0738 0,5124 -0,0420 -1,2658 15,2884 15,4583 0,169930,159 4 0,072 0,9986 0,0382 0,0379 0,5405 0,0281 0,8481 16,1420 16,3001 0,1581

30,1575 5 0,068 0,9982 0,0237 0,0236 0,5517 0,0112 0,3374 16,4852 16,6367 0,151530,0496 6 0,064 0,9252 0,0002 0,0002 0,5286 -0,0231 -0,6936 15,7975 15,8836 0,086029,9598 7 0,06 0,5445 0,0000 0,0000 0,3112 -0,2174 -6,5135 9,2897 9,3226 0,032930,1231 8 0,056 0,9885 0,0009 0,0009 0,5641 0,2530 7,6204 16,9135 16,9939 0,080429,9251 9 0,052 0,2393 0,0000 0,0000 0,1368 -0,4274 -12,7898 4,1298 4,0924 -0,037429,9966 10 0,048 0,5763 0,0000 0,0000 0,3293 0,1926 5,7770 9,9083 9,8792 -0,029130,0161 11 0,044 0,6331 0,0000 0,0000 0,3618 0,0324 0,9728 10,8847 10,8584 -0,026330,0277 12 0,04 0,6442 0,0000 0,0000 0,3681 0,0064 0,1913 11,0799 11,0538 -0,026030,1513 13 0,036 0,9912 0,0000 0,0000 0,5664 0,1983 5,9790 17,0628 17,0783 0,015530,0782 14 0,032 0,8297 0,0000 0,0000 0,4741 -0,0923 -2,7763 14,2926 14,2606 -0,032030,0451 15 0,028 0,5559 0,0000 0,0000 0,3177 -0,1564 -4,7002 9,5976 9,5447 -0,052930,1648 16 0,024 0,9938 0,0000 0,0000 0,5679 0,2502 7,5469 17,1480 17,1297 -0,018330,2292 17 0,02 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0035 0,1070 17,2612 17,2733 0,012130,195 18 0,016 0,9995 0,0000 0,0000 0,5711 -0,0003 -0,0083 17,2591 17,2454 -0,013730,297 19 0,012 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0003 0,0089 17,2742 17,3126 0,0384

30,2065 20 0,008 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0000 -0,0002 17,2802 17,2607 -0,019630,3431 21 0,004 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0000 0,0002 17,2866 17,3389 0,052330,3399 22 0,000 1,0000 0,0000 0,0000 0,5714 0,0000 0,0000 17,2929 17,3371 0,0442

57

3.1.3. Хеджирование ожидаемых потерь.

Алгоритм метода хеджирования ожидаемых потерь практически ничем

не отличается от алгоритма квантильного хеджирования, так как методы

достаточно родственны. Однако теоретически отличаются структуры выплаты

хеджирующего портфеля, но для данного случая они равны, так как средний

темп роста ниже, чем банковская процентная ставка. Также имеется отличие в

расчете верхней границы h, так как используется не вероятность успеха, а

ожидаемые потери. Для уровня ожидаемых потерь в 5% верхняя граница h

равна 95,2841 в случае с акциями ОАО Сбербанк и 30,6901 в случае с

валютной парой USD RUR.

Стоимость хеджирующего портфеля в случае использования метода

ожидаемых потерь вычисляется по следующей формуле:

Vi(x) = Si * Ф(d1(K)) – K * e-rT * Si * Ф(d2(K)) - Si * Ф(d1(h)) – -

K * e-rT * Si * Ф(d2(h)) – (h – K) * e-rT

* Si * Ф(d2(h), где

Ф(d1)= 1σ √2π

e−(d1−μ )2

2 σ 2

,

Ф(d2)= 1σ √2 π

e−(d2−μ )2

2 σ 2 ,

В таблицах 9 и 10 приведена процедура хеджирования ожидаемых

потерь. Соответственно таблица 5 показывает метод дельта хеджирования

ожидаемых потерь для базового актива – акций ОАО Сбербанк, а таблица 6 –

для валютной пары USD RUR.

58

Таблица 9.

Процедура хеджирования ожидаемых потерь на примере акций ОАО Сбербанк.

Котировка № T ∆С(К) ∆С(h) ΔCoN(h) ΔV Покупка Стоимость

покупкиСумма

кредита

Стоимость актива в

портфеле

Стоимость портфеля

92,62 0 0,088 0,6034 0,0193 0,0180 0,2097 0,2097 19,4232 17,8755 19,4232 1,547692,69 1 0,084 0,6103 0,0180 0,0168 0,2164 0,0067 0,6226 18,5046 20,0605 1,555992,73 2 0,08 0,6136 0,0164 0,0153 0,2228 0,0064 0,5919 19,1031 20,6610 1,557892,51 3 0,076 0,5808 0,0119 0,0111 0,2220 -0,0008 -0,0741 19,0359 20,5379 1,502093,01 4 0,072 0,6486 0,0156 0,0146 0,2407 0,0187 1,7369 20,7797 22,3858 1,606193,87 5 0,068 0,7594 0,0271 0,0256 0,2543 0,0136 1,2811 22,0683 23,8739 1,805692,85 6 0,064 0,6232 0,0097 0,0091 0,2475 -0,0068 -0,6350 21,4412 22,9794 1,538293,18 7 0,06 0,6712 0,0110 0,0103 0,2649 0,0174 1,6178 23,0667 24,6789 1,612293,58 8 0,056 0,7293 0,0133 0,0125 0,2835 0,0186 1,7448 24,8198 26,5296 1,709892,98 9 0,052 0,6399 0,0056 0,0053 0,2673 -0,0162 -1,5044 23,3243 24,8551 1,530892,82 10 0,048 0,6119 0,0034 0,0032 0,2615 -0,0058 -0,5373 22,7954 24,2750 1,479692,05 11 0,044 0,4658 0,0008 0,0007 0,2047 -0,0569 -5,2340 17,5696 18,8396 1,270191,52 12 0,04 0,3543 0,0002 0,0002 0,1569 -0,0478 -4,3702 13,2057 14,3609 1,155393,57 13 0,036 0,7465 0,0030 0,0028 0,3225 0,1656 15,4961 28,7065 30,1787 1,472292,55 14 0,032 0,5474 0,0003 0,0003 0,2424 -0,0801 -7,4146 21,3023 22,4352 1,132993,04 15 0,028 0,6543 0,0003 0,0003 0,2898 0,0474 4,4071 25,7171 26,9610 1,244092,91 16 0,024 0,6266 0,0001 0,0001 0,2782 -0,0116 -1,0743 24,6520 25,8491 1,197092,81 17 0,02 0,6020 0,0000 0,0000 0,2675 -0,0107 -0,9938 23,6671 24,8275 1,160494,48 18 0,016 0,9407 0,0003 0,0003 0,4170 0,1495 14,1260 37,8016 39,4002 1,598694,54 19 0,012 0,9659 0,0001 0,0001 0,4291 0,0121 1,1405 38,9557 40,5657 1,610094,63 20 0,008 0,9890 0,0000 0,0000 0,4396 0,0105 0,9914 39,9611 41,5957 1,634694,57 21 0,004 0,9990 0,0000 0,0000 0,4440 0,0044 0,4200 40,3955 41,9893 1,593894,64 22 0,000 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0004 0,0418 40,4519 42,0622 1,6104

59

Таблица 10.

Процедура хеджирования ожидаемых потерь на примере валютной пары USD RUR.

Котировка № T ∆С(К) ∆С(h) ΔCoN(h) ΔV Покупка Стоимость покупки

Сумма кредита

Стоимость актива в

портфеле

Стоимость портфеля

30,1139 0 0,088 0,9964 0,0262 0,0260 0,4267 0,4267 12,8507 12,6960 12,8507 0,154730,0773 1 0,084 0,9862 0,0068 0,0068 0,4341 0,0074 0,2217 12,9223 13,0568 0,134530,0692 2 0,08 0,9790 0,0032 0,0032 0,4331 -0,0010 -0,0300 12,8970 13,0233 0,126330,1713 3 0,076 0,9993 0,0371 0,0369 0,4213 -0,0118 -0,3560 12,5456 12,7115 0,165930,159 4 0,072 0,9986 0,0191 0,0190 0,4321 0,0108 0,3252 12,8754 13,0316 0,1562

30,1575 5 0,068 0,9982 0,0119 0,0118 0,4364 0,0043 0,1288 13,0088 13,1597 0,150930,0496 6 0,064 0,9252 0,0001 0,0001 0,4112 -0,0252 -0,7573 12,2561 12,3553 0,099229,9598 7 0,06 0,5445 0,0000 0,0000 0,2420 -0,1691 -5,0675 7,1931 7,2509 0,057830,1231 8 0,056 0,9885 0,0004 0,0004 0,4391 0,1970 5,9351 13,1308 13,2256 0,094829,9251 9 0,052 0,2393 0,0000 0,0000 0,1064 -0,3327 -9,9557 3,1799 3,1830 0,003129,9966 10 0,048 0,5763 0,0000 0,0000 0,2562 0,1498 4,4932 7,6742 7,6838 0,009630,0161 11 0,044 0,6331 0,0000 0,0000 0,2814 0,0252 0,7566 8,4336 8,4454 0,011830,0277 12 0,04 0,6442 0,0000 0,0000 0,2863 0,0050 0,1488 8,5854 8,5974 0,012030,1513 13 0,036 0,9912 0,0000 0,0000 0,4406 0,1542 4,6504 13,2389 13,2832 0,044330,0782 14 0,032 0,8297 0,0000 0,0000 0,3688 -0,0718 -2,1594 11,0842 11,0916 0,007430,0451 15 0,028 0,5559 0,0000 0,0000 0,2471 -0,1217 -3,6557 7,4325 7,4237 -0,008830,1648 16 0,024 0,9938 0,0000 0,0000 0,4417 0,1946 5,8698 13,3050 13,3231 0,018130,2292 17 0,02 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0028 0,0832 13,3931 13,4348 0,041730,195 18 0,016 0,9995 0,0000 0,0000 0,4442 -0,0002 -0,0065 13,3914 13,4131 0,021730,297 19 0,012 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0002 0,0069 13,4032 13,4653 0,0622

30,2065 20 0,008 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0000 -0,0001 13,4078 13,4250 0,017130,3431 21 0,004 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0000 0,0001 13,4128 13,4858 0,073030,3399 22 0,000 1,0000 0,0000 0,0000 0,4444 0,0000 0,0000 13,4176 13,4844 0,0668

60

3.1.4. Сравнение полученных результатов.

Итак, вышеприведенные таблицы процедур различных методов

хеджирования позволяют сделать вывод, что несовершенные методы

хеджирования такие как квантильное хеджирование и хеджирование ожидаемых

потерь позволяют снизить стоимость хеджирующего портфеля на Росиийском

срочном рынке, используя контролируемый риск.

Рисунок 10 иллюстрирует динамику стоимости хеджирования в трех

методах хеджирования, таких как совершенное дельта хеджирование,

квантильное хеджирование и хеджирование ожидаемых потерь на примере

акций ОАО Сбербанк. Ось абсцисс на данном графике показывает день

хеджирования, а ось ординат – стоимость хеджирующего портфеля.

Рис. 10. Динамика стоимости хеджирования при различных методах

хеджирования на примере акций Сбербанка.

Таким образом, наиболее дешевым методом хеджирования в данном

случае оказался метод ожидаемых потерь с уровнем ожидаемых потерь равном

5%. Немного дороже оказался метод квантильного хеджирования с

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 230.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

Совершенное хеджированиеКвантильное хеджированиеХеджирование ожидаемых потерь

61

вероятностью успеха в 95%. Совершенное хеджирование в данном случае

оказалось прилично дороже, что и подтверждает теорию о снижении стоимости

хеджирования с помощью методов несовершенного хеджирования.

Рисунок 11 иллюстрирует динамику стоимости хеджирования в трех

методах хеджирования, таких как совершенное дельта хеджирование,

квантильное хеджирование и хеджирование ожидаемых потерь на примере

валютной пары USD RUR.

Рис. 11. Динамика стоимости хеджирования при различных методах

хеджирования на примере акций Сбербанка.

В случае с валютной парой USD RUR методы несовершенного

хеджирования оказались также дешевле. Самым дешевым методом

хеджирования в данном случае оказался метод квантильного хеджирования.

Различия в стоимости обуславливается параметрами каждой из моделей, но

теоретически любой из представленных методов несовершенного хеджирования

дешевле, чем совершенное хеджирование, но при этом более рисковые.

-0.1000

-0.0500

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

Совершенное хеджированиеКвантильное хеджированиеХеджирование ожидаемых потерь

62

3.2. Выводы по главе.

Представленное выше эмпирическое исследование дает понимание того,

что методы несовершенного хеджирования финансовых, такие как метод

квантильного хеджирования и метод хеджирования ожидаемых потерь, могут

быть интегрированы в концепции динамического хеджирования в дискретном

времени. Даже выбор такой простой модели как дельта хеджирование в модели

Блэка-Шоулса наглядно показывает возможности представленных выше

концепций несовершенного хеджирования, позволяющих снизить стоимость

хеджирующего портфеля при контролируемом уровне риска. С достаточной

степенью вероятности можно предположить, что при использовании

усовершенствованных моделей динамического хеджирования, точность

результатов будет повышена.

63

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В нашем исследовании была поставлена цель изучения новейших

подходов к ценообразованию и хеджированию финансовых опционов, а также

сравнения этих методов с общепринятыми методами в финансовой индустрии и

анализ возможности применения таких методов на Российском срочном рынке.

В ходе исследования цель была достигнута.

Выводы по результатам исследования в нашей выпускной

квалификационной работе представлены ниже:

1. Анализ методов теории хеджирования финансовых опционов позволил

составить рабочую классификацию основных направлений зарубежных

исследований в области методов несовершенного хеджирования

финансовых опционов. В ходе исследования было выявлено, что

методы несовершенного хеджирования финансовых опционов

являются совершенно новым подходом к управлению финансовыми

рисками позиции из таких производных инструментов как опционы.

Такой подход позволяет учитывать ожидания держателя срочной

позиции а также его отношение к риску. Также учитываются

особенности стратегии хеджера при построении защиты от риска.

2. а) В нашем исследовании было показано, что методы несовершенного

хеджирования финансовых опционов снижают стоимость

хеджирующего портфеля за счет возможных потерь.

б) Множества успешного хеджирования зависит от типа срочной

позиции, выбранной меры риска, а также от таких параметров как

волатильность, средний темп роста и банковская процентная ставка.

При этом хеджирующая стратегия может быть оптимальна либо по

одному из критериев (квантиль или ожидаемый убыток) либо по обоим

критериям сразу при определенных условиях.

64

в) Метод квантильного хеджирования имеет некоторые негативные

стороны. Наибольшую критику вызывает тот факт, что при его

использовании учитывается только вероятность возникновения потерь,

а не их размер. В этом плане для практического применения методов

несовершенного хеджирования для защиты от финансового риска

лучше использовать метод ожидаемых потерь, так как этот метод

учитывает как вероятность, так и величину возможных убытков.

г) Было выявлено, что стоимость хеджирования срочной позиции как

правило не равняется сумме стоимостей его составляющих, так как на

численных примерах было установлено, что у методов несовершенного

хеджирования финансовых опционов, таких как квантильное

хеджирование и хеджирование ожидаемы потерь, отсутствует свойство

аддитивности.

3. В ходе исследования была создана таблица в табличном процессоре

Microsoft Excel, подставив в которую данные о динамики курса базового актива

за некоторый период можно получить алгоритм хеджирования по различным

методам совершенного и несовершенного хеджирования и сделать выводы о

необходимости использования того или иного метода хеджирования

финансовых опционов.

4. В ходе исследования был составлен алгоритм реализации хеджирующей

стратегии по методам несовершенного хеджирования финансовых опционов:

Шаг 1. Нахождение структуры множества успешного хеджирования

исходя из типа опциона и таких параметров как волатильность, средний

темп роста и банковская процентная ставка.

Шаг 2. Определение выплат хеджирующей стратегии на множестве

хеджирующих стратегий.

Шаг 3. Выбор метода репликации выплат хеджирующей стратегии

(например, в третьей главе нашего исследования был выбран метод дельта

хеджирования).

65

5 . При построении защиты от риска с помощью методов квантильного

хеджирования и хеджирования ожидаемых потерь хеджер может

корректировать хеджирующий портфель и хеджирующую стратегию на

основании своих ожиданий.

6. Текущее развитие срочного рынка в России позволяет эффективное

использования новых методов несовершенного хеджирования, что было

доказано в третьей главе нашего исследования на примере акций ОАО

Сбербанк и валютной пары USD RUR. Проведено эмпирическое

исследование, доказавшее возможность снижения стоимости защиты от

риска с помощью принятии некоторой вероятности возникновения

потерь.

Дальнейшее исследование в области несовершенных методов

хеджирования финансовых опционов необходимо направить на возможности

комбинировать различные методы, а также необходимо подвергнуть их анализу

в более совершенных моделях.

3.

66

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Бaлабушкин А.Н. Опциoны и фьючeрсы. – М.: Вeга, 1996. – 176 c.

2. Берзoн Н.И., Аршaвский А.Ю., Буянoва Е.А. Фoндовый рынoк:

Учeбное посoбие для высших учебных зав. экономического профиля /

Государственный университет – Высшaя школa экономики. Высшaя

школa менеджментa. Под ред. Н.И. Берзонa. – 3-е изд., – М.: Витa-

пресс, 2002. – 560 c.

3. Бeрзон Н.И. Финaнсовый менеджмeнт. – М.: Акадeмия, 2003. – 335 с.

4. Биржeвое дело: Учeбник / Пoд рeд. В.А. Гaланова, А.И. Бaсова. –

М.: Финaнсы и стaтистика, 2003. – 304 с.

5. Бурeнин А. Н. Рынoк цeнных бумaг и произвoдных финaнсовых

инструментoв: Учeбное пособиe. - М.: 1 Фeдeральная книгoторгoвая

компaния, 1998. - С. 16, 165

6. Гaлaнов В.А. Прoизводныe инструмeнты срoчнoго рынкa:

фьючeрсы, oпционы, свoпы: Учeбник. – М: Финaнсы и стaтистика, 2002. –

464 с.

7. Хикс Дж. Р. Стoимость и кaпитал. - М.: Прoгресс, 1988. - С. 245.

8. Мeльников А.В. Финaнсовые иннoвации и прoблемы управления риском

9. Управление риском. – 1997. – т. 4. – с. 34-41.

10. Мельников А.В., Нечаев М.Л. К вопросу о хеджировании платежных

обязательств в среднеквадратическом // Теория вероятностей и ее

применения. – 1998. – т. 43. – с. 672-691.

11. Развитие рынка ценных бумаг в Российской Федерации (материалы

к дискуссии). – М.: ФКЦБ России, Издательсткий дом "РЦБ", 2000. – 80 с.

12. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях

финансовой математики // Теория вероятностей и ее применения. - 1994.

– т. 39. – с. 5-22.

13. Allayannis G., Weston J.P. The Use of Foreign Currency Derivatives and

Firm Market Value. – University of Virginia: Working paper, 1998. – 36 p.

67

14. Bachelier L. Theory of Speculation, in Cootner (ed.). The Random Character

of Stock Prices. – Cambridge: MIT, 1964. – pp. 17-78.

15. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //

Journal of Political Economy. – 1973. – Vol. 81. – pp. 637-659.

16. Bouchaud J.-Ph., Potters M. Theory of Financial Risk and Derivative

Pricing: From Statistical Physics to Risk Management, 2nd Edition. –

Cambridge: Cambridge University Press, 2003. – 400 p.

17.Cox J., Ross R., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach //

Journal of Financial Economics. – 1979. – Vol. 3. – pp. 229-263.

18.Cox J., Rubinstein M. Option markets. – New Jersey: Prentice-Hall, Inc.,

1985. – 498 p.

19.Duan J.-C. The GARCH option pricing model. // Mathematical Finance.

– 1995. – Vol. 5. – pp. 13-22.

20.Foellmer H., Leukert P. Quantile Hedging // Finance and Stochastics. – 1999.

– Vol. 3. – pp. 251-273.

21. Foellmer H., Leukert P. Efficient Hedging: Cost versus shortfall risk //

Finance and Stochastics. – 2000. – Vol. 4. – pp. 117-146.

22. Hull J. Fundamentals of Futures and Options Markets, 4th Edition. –

New Jersey: Prentice Hall, 2001. – 512 p.

23. Hull J. Options, Futures and Other Derivatives, 5th Edition. – New

Jersey: Prentice-Hall, Inc., 2002. – 744 p.

24. Hull J.: Risk Management and Financial Engineering. – New Jersey: Prentice

Hall, 2003. – 520 p.

25. Jackson M., Staunton M. Advanced modelling in finance using Excel

and VBA. – Chichester: John Wiley & Sons, 2001. – 276 p.

26. Karatzas I., Schreve S.E. Methods of Mathematical Finance. – New

York: Springer-Verlag, 1998. – 422 p.

27. Kariya T. Quantitative Methods for Portfolio Analysis. – Dordrecht: Kluwer

Acad. Publ., 1993. – 308 p.

28. Korn R. Contingent claim valuation in a market with different interest rates //

Zeitschrift für Operation Research. – 1995. – Vol. 42. – pp. 274-292.

68

29. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Economics Manag.

Sci. – 1973. – Vol. 4, No1. – pp. 141-183.

30. Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are

Discontinuous // Journal of Financial Economics. – 1976. – Vol. 3. – pp. 125-

144.

31. Merton R.C. Continuous-Time Finance. – Oxford: Basil-Blackwell, 1992.

334 p.

32. Mixon S. Factors explaining movements in the implied volatility surface //

Journal of Futures Markets. – 2002. – Vol. 10. – pp. 915-937.

33. Mun J. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic

Investments and Decisions. – Chichester: John Wiley & Sons, 2002. – 386 p.

34. Neftci S.N. Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives,

2nd Edition. – New York: Academic Press, 2000. – 527 p.

35. Neil A.C. Black-Scholes and Beyond: Option Pricing Models. – New York:

McGraw-Hill, 1997. – 496 p.

36. Reiner E., Rubenstein M.: Breaking down the barriers // Risk. – 1991. – Vol.

4. – pp. 28-35.

37. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management

Review. – 1965. – Vol. 6. – pp. 13-31.

38. Schweizer M. A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches. –

1999. – Working paper, Technische Universität Berlin.

39. Sprenkle C.M.: Warrant prices as indicators of expectations and preferences,

in The random character of stock market prices, ed. Paul H. Cootner,

Cambridge: MIT Press. 1964. P. 412-474.

40. Taleb N. Dynamic Hedging: Managing Vanilla and Exotic Options

– Chichester: J.Wiley & Sons, 1996. – 528 p.

41. Trigeorgis, L.: A Log-Transformed Binomial Numerical Analysis Method for

Valuing Complex Multi-option Investments // Journal of Financial and

Quantitative Analysis. – 1991. – Vol. 26. – pp. 309-326.

69