hiperbola
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Geometría analiticaTRANSCRIPT
HIPERBOLA
HIPERBOLA
DEFINICION
Hiprbola es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano y solamente aquellos, tal que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos del plano, llamados focos de la hiprbola, es constante y menor que la distancia entre ellos.
HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
Ecuacin ordinaria:
( a > 0 ( b > 0 )
Centro:C ( h , k )
Focos:F 1 ( h + c , k )F 2 ( h c , k )
Vrtices:V 1 ( h + a , k )V 2 ( h a , k )
Ecuacin del eje focal:
y = k
Ecuacin del eje normal:
x = h
Ecuacin de las directrices:
Ecuacin de las asntotas:
Distancia focal
= 2 c
Longitud del eje transverso= 2 a
Longitud del eje conjugado = 2 b
Longitud del lado recto =
Excentricidad:
e = > 1
Ecuacin general:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( A > 0 ( C < 0 ( A E 2 + C D 2 4 A C F < 0 )
HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
Ecuacin ordinaria:
( a > 0 ( b > 0 )
Centro:C ( h , k )
Focos:F 1 ( h , k + c )F 2 ( h, k c )
Vrtices:V 1 ( h , k + a )V 2 ( h , k a )
Ecuacin del eje focal:
x = h
Ecuacin del eje normal:
y = k
Ecuacin de las directrices:
Ecuacin de las asntotas:
Distancia focal
= 2 c
Longitud del eje transverso= 2 a
Longitud del eje conjugado = 2 b
Longitud del lado recto =
Excentricidad:
e = > 1
Ecuacin general:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( A > 0 ( C < 0 ( A E 2 + C D 2 4 A C F > 0 )
Ejemplo 1
Ecuacin general:16 x 2 9 y 2 32 x + 54 y 209 = 0
Ecuacin ordinaria:
Centro:
C ( 1 , 3 )
Focos:
F 1 ( 6 , 3 )
F 2 ( 4 , 3 )
Vrtices:
V 1 ( 4 , 3 )
V 2 ( 2 , 3 )
Ecuacin del eje focal:
y = 3
Ecuacin del eje normal:
x = 1
Ecuaciones de las directrices:x 1 = 2,8
x 2 = 0,8
Ecuaciones de las asntotas:
4 x 3 y + 5 = 0
4 x + 3 y 13 = 0
Distancia focal
= 10
Longitud del eje transverso
= 6
Longitud del eje conjugado
= 8
Longitud del lado recto
=
Excentricidad:
e =
ECUACION DE LA TANGENTE
1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0 , y 0 ) :
a ) Dada la ecuacin ordinaria de la hiprbola de eje focal paralelo al eje X:
La ecuacin de la tangente a la hiprbola en el punto P ( x 0 , y 0 ) es:
b ) Dada la ecuacin ordinaria de la hiprbola de eje focal paralelo al eje Y:
La ecuacin de la tangente a la hiprbola en el punto P ( x 0 , y 0 ) es:
c ) Dada la ecuacin general de la hiprbola:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
La ecuacin general de la tangente a la hiprbola en el punto P ( x 0 , y 0 ) es:
2 ) Dada la pendiente m de la tangente:
a ) Dada la ecuacin ordinaria de la hiprbola de eje focal paralelo al eje X:
Las ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m son:
y = m ( x h ) + k +
| m | >
y = m ( x h ) + k
b ) Dada la ecuacin ordinaria de la hiprbola de eje focal paralelo al eje Y:
Las ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m son:
y = m ( x h ) + k +
| m | <
y = m ( x h ) + k
Ejemplo 2
Ecuacin ordinaria de la hiprbola:
Ecuacin general de la hiprbola: 4 x 2 9 y 2 8 x + 36 y 68 = 0
Ecuacin de la tangente en el punto P ( 5,5 , 2 + ) : 2 x y + 2 6 = 0
Ejemplo 3
Ecuacin ordinaria de la hiprbola:
Ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m = 2 :
y = 2 x 1
y = 2 x 9
Autor: NELSON LILLO TERAN
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