hiperbola mecanica
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental de la Fuerzas Armada Nacional Bolivariana
Carúpano: Edo. Sucre
Cátedra: Geometría Analítica
La Hipérbola
Profesor: Bachilleres:
Carlos Peña Lozada Michelle
Ruiz Mariorkis
Rivas Gregor
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Pérez Luis
Ortega Jesús
Salazar Victor
ContenidoIntroducción...........................................................................................4
La Hipérbola..........................................................................................5
La Hipérbola como lugar geométrico:....................................................6
Elementos de la Hipérbola.....................................................................7
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados..........................................................................................9
Lado recto de una hipérbola................................................................13
Excentricidad de la hipérbola...............................................................15
Asíntotas de la hipérbola.....................................................................16
Ecuación general de la hipérbola........................................................19
Propiedades de la hipérbola................................................................21
Conclusión...........................................................................................22
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Introducción
En el presente trabajo de investigación que realizamos podemos dar a conocer sobre la ecuación de la hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio de la ecuación hiperbólica.
Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido
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La Hipérbola
La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.
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La Hipérbola como lugar geométrico:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
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Elementos de la Hipérbola
En toda Hipérbola conviene considerar:
Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radios vectores de la hipérbola.
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2c: Se le llama distancia focal.
2a: Es la resta de los radios vectores PF y PF´ de un punto.
AA´: A este segmento se le denomina eje real.
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Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados.
Consideramos la hipérbola con centro en el origen O y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos estarán, por lo tanto, sobre el eje x.
Como o es el punto medio entre los focos, las coordenadas de ellos serán: F1(-c, 0), con c una constante positiva.
Las coordenadas de los vértices serán: V 1 (−a ,0 ) y V 2(a ,0).
2a: longitud del eje transverso.
2b: longitud del eje conjugado.
2c: distancia entre los focos.
Sea P (x, y) un punto cualquiera sobre la hipérbola.
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Basándonos en la definición de hipérbola y haciendo la diferencia de las distancias de P a los focos igual 2a podemos escribir que:
d (PF2 )−d (P F1 )=±2a Dónde:
a>0 Y 2a<2c
La diferencia 2a será positiva si P está en la rama de la izquierda de la hipérbola y negativa si P está ubicado en la rama de la derecha.
Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos podemos escribir:
√¿¿
Si transponemos el radical sustraendo nos queda:
√¿¿
Debemos resolver la ecuación irracional elevando al cuadrado los dos miembros, quedándonos:
¿
Desarrollando y simplificando:
x2+2cx+c2+ y2=4 a2+4 a√¿¿
4 cx−4a2=4 a√¿¿
Tomando factor común 4 en el primer miembro se tiene que:
4 (cx−a2 )=4a√¿¿
Si dividimos ambos miembros por 4:
(cx−a2 )=a√¿¿
Elevando, nuevamente, ambos miembros al cuadrado:
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¿
Si desarrollamos la expresión anterior se tiene que:
c2 x2−2a2cx+a4=a2(x2−2cx+c2+ y2)
c2 x2−2a2cx+a4=a2 x2−2a2 cx+a2 c2+a2 y2
Al simplificar nos queda:
c2 x2+a4=a2 x2+a2 c2+a2 y2
Agrupando:
c2 x2−a2 x2−a2 y2=−a4+a2 c2
Factorizando:
x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )……(1)
Como c>a c2>a2 c2−a2>0
Si la expresión c2−a2 la representamos por b2, el cuál siempre es positivo, nos queda que b2=c2−a2
Reemplazando en la expresión (I) el valor de b2 obtenemos:
x2b2−a2 y2=a2b2
Dividiendo cada miembro entre a2b2 nos queda:
x2
a2− y2
b2=1
Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje x.
De igual forma es posible obtener la ecuación siguiente:
y2
a2− x
2
b2=1
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Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje y.
Si el eje focal es paralelo al eje x, entonces x2 y su divisor están precedidos del signo más (+).
Si el eje focal es paralelo al eje y, entonces y2 y su divisor están precedidos del signo más (+).
Ejercicio #1
Los vértices de una hipérbola son los puntos V 1(−4 ,0) y V 2(4 ,0) y sus focos vienen dados por los puntos F1(−5 ,0) Y F2 (5 ,0 ) . Escribir la ecuación de la hipérbola
Solución.
De acuerdo a las coordenadas de los vértices y de los focos nos damos cuenta que la hipérbola tiene su eje focal sobre el eje x. de
acuerdo a esto la ecuación deber ser de la forma: x2
a2− y2
b2=1
Como el vértice V 2(4 ,0) y F2 (5 ,0 ) se deduce que a=4 y c=5
Como c2=a2+b2
b2=25−16 b2=9 b=3
Y a=4 c=5
Podemos escribir la ecuación pedida de la hipérbola así:
x2
16− y2
9=1
Lado recto de una hipérbola
Hemos definido al lado recto de la hipérbola como la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal. Cuando lo medimos obtenemos el ancho focal de dicha curva.
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Determinemos la ecuación que nos permita determinar el ancho focal.
Partimos de la ecuación de la hipérbola en su forma canónica
x2
a2− y2
b2=1
En ella hagamos x=c, obteniéndose c2
a2− y2
b2=1
Si despejamos y nos queda que: − y2
b2=1− c
2
b2
Multiplicando por -1 se tiene que: y2
b2= c
2
a2−1
y2=b2( c2−a2
a2)
y=±√ b2 (c2−a2 )a2
y=±ba
√c2−a2
Si usamos la relación b2=c2−a2 nos quedará la expresión así:
y=± ba
√b2 y=± b2
a
Como el ancho focal es el doble se tendrá que él lado recto es
y=± 2b2
a Como es una magnitud escribiremos que:
y=|2b2a | Para calcular la longitud del lado recto de la hipérbola
Ejercicio #2
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Continuando con el ejercicio anterior, datos de los cuales son: V 1(−4 ,0) y V 2(4 ,0); F1(−5 ,0) Y F2 (5 ,0 ). Calcularemos la longitud del lado recto de la hipérbola.
La fórmula del lado recto es:
y=|2b2a |Sustituyendo los valores nos quedaría que:
2.95
=185
Entonces la longitud del lado recto de la hipérbola es:
y=185
Excentricidad de la hipérbola
La expresión que relaciona a los valores de c y a, es llamada excentricidad de la hipérbola.
e= ca Ésta es la relación para calcular la excentricidad.
Ejercicio #3
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Ahora calcularemos la excentricidad con los mismos datos del ejercicio #1.
Sabemos que la fórmula para calcular la excentricidad es:
e= ca
Conociendo los valores del ejercicio #1 c=5 y a=4
Sustituyendo los valores nos quedaría que la excentricidad es:
ca=54
Asíntotas de la hipérbola
Se llama asíntota de una curva a toda recta, tal que su distancia a dicha curva tiende a cero a medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.
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Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
La hipérbola definida a través de las ecuaciones estudiadas no posee asíntotas verticales ni horizontales, pero estudiaremos que tiene dos asíntotas oblicuas. Éstas no serán más que rectas con pendiente positiva y negativa.
Veamos:
Con eje focal paralelo al eje x:
Si la ecuación de la hipérbola x2
a2–y2
b2=¿ 1, donde el eje focal
coincide con el eje x, intentamos despejar y nos queda:
b2 x2−a2 y2=a2b2
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Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:
by+ax=0 y=−abx
(bx+ay )(bx−ay)=0
by−ax=0 y=abx
Con eje focal paralelo al eje y
Si en la ecuación de la hipérbola y2
a3− x
2
b2=1 , donde el eje focal
coincide con el eje y, eliminamos denominadores nos queda que:
b2 y2−a2 x2=a2b2
Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:
by+ax=0 y=−abx
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(by+ax ) (by−ax )=0
by−ax=0 y=abx
Es importante hacer notar que los vértices y las asíntotas son las únicas guías necesarias para trazar una hipérbola.
Ejercicio #4
Tomaremos nuevamente el ejercicio #3 recordando los valores ya
encontrados a=4 yb=3, para calcular las ecuaciones de las asíntotas podemos decir que:
y=bax=34x
Las ecuaciones de las asíntotas son:
y=−bax=−3
4x
Ecuación general de la hipérbola
Desarrollaremos la ecuación siguiente:
¿¿
1. Eliminando denominadores
b2¿
2. Desarrollando productos notables
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b2 (x2−2 xh+h2 )−a2( y2−2 yk+k2)=a2b2
3. Propiedad distributiva
b2 x2−2b2 xh+b2h2−a2 y2+2a2 yk−a2 k2=a2b2
4. Igualando a cero
b2 x2−2b2b2h2−a2 y2+2a2 yk−a2 k2−a2b2=0
Si hacemos:
A=b2
C=−a2
D=−2b2h
E=2a2 k
F=b2h2−a2 k2−a2b2
Puede escribirse la expresión anterior en la forma siguiente:
A x2+C y2+Dx+Ey+F=0
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Ésta es la forma general de la ecuación de la hipérbola, en la cual su eje es paralelo a los ejes coordenados.
Los signos de A y C deben ser diferentes, es decir A .C<0, característica ésta que distingue a la hipérbola de la circunferencia. La parábola y la elipse.
Ejercicio #1
Determinar la ecuación general de la Hipérbola partiendo de una forma ordinaria.
¿¿
36¿¿
4 ¿
4 (x2−4 x+4 )−9( y2+6 y+9)=36
4 x2−16 x+16−9 y2−54 y−81=36
4 x2−9 y2−16 x−54 y+16−81−36=0
4 x2−9 y2−16 x−54 y−101=0
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Propiedades de la hipérbola
La tangente a la hipérbola b2 x2+a2 y2=a2b2 en cualquier punto P1(X1 , Y 1) de la curva, tiene por ecuación:
b2 x1 x+a2 y1 y=a
2b2
Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola b2 x2+a2 y2=a2b2 de pendiente m son:
y=mx±√a2m2+b2|m|> ba
La tangente a la hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
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Conclusión
“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.” René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.
Este ensayo nos ayudó mucho a aclarar ciertas dudas que teníamos sobre dicho tema y hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de la Hipérbola, lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante
La ecuación de la hipérbola, nos permitirá saber más sobre las coordenadas en las que se encuentra, y algunas de sus características principales, así como los datos necesarios para poder ubicar una en el plano, pero solo por un momento podríamos dejar de lado tanta teoría y podríamos decir que este trabajo nos sirve para apreciar la matemática en su estado puro, es decir, en todo lo que nos rodea, dejando de lado formulas, y definiciones, para poder abrir los ojos y mirar un mundo diferente, dejando de lado tanta indiferencia a nuestro alrededor. Es nuestra esperanza que las personas que no se interesan en las matemáticas, empiecen a interesarse en ellas, por el simple hecho de que le serán útiles en la vida y que las personas que ya son amantes de las matemáticas, sientan la curiosidad por explorar aplicaciones poco conocidas o poco convencionales de esta maravillosa ciencia.