Hipótesis del continuo

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo es unenunciado relativo a la cardinalidad del conjunto de losnúmeros reales, formulado como una hipótesis por GeorgCantor en 1878. Su enunciado afirma que no existenconjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente com-prendido entre el del conjunto de los números naturalesy el del conjunto de los reales. El nombre continuo hacereferencia al conjunto de los reales.La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemasde Hilbert propuestos en 1900. Las contribuciones deKurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es de hechoindependiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, elconjunto de axiomas estándar en teoría de conjuntos.

1 Introducción

En teoría de conjuntos, el concepto de número cardinalse introduce para clasificar y estudiar los distintos tiposde infinitos. El cardinal del conjunto de los números na-turales N se denota por ℵ0. Los conjuntos de los númerosenteros Z y de los números racionales Q tienen el mismocardinal, y se dicen numerables. El conjunto de los nú-meros reales R tienen un cardinal más grande denotadopor c (por continuo), cuyo valor preciso es 2ℵ0 cuando seexpresa en la aritmética de cardinales infinitos.Esta expresión puede entenderse al escribir un númeroreal, puesto que en general es necesario incluir en su partefraccionaria una sucesión infinita de cifras:

π = 3.14159...

La cantidad de números reales que pueden escribirse esigual al número de combinaciones posibles. Por ejemplo,un número de 3 cifras tiene 103 = 1000 valores posibles.En el caso de un número real arbitrario el número de ci-fras es infinito o, de otro modo, el número de cifras esℵ0, por lo que existen 10ℵ0 valores posibles. Puesto que labase de esta expresión es finita mientras que su exponentees infinito, el valor concreto de la base no afecta al valorfinal de la expresión, y puede escribirse también como2ℵ0 .Un subconjunto de R tiene necesariamente un cardinal obien menor que 2ℵ0 (por ejemplo, los números naturalesN, con cardinal ℵ0), o bien igual a 2ℵ0 (como por ejemploel intervalo [0, 1] de los números entre 0 y 1). La hipó-tesis del continuo afirma precisamente que no es posible

encontrar un subconjunto de R con cardinal comprendi-do entre ℵ0 y 2ℵ0 .

2 Enunciado

La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntoscon cardinalidades intermedias entre los naturales y losreales:Si se asume el axioma de elección, la estructura de loscardinales infinitos es más clara: todos los cardinales in-finitos son álefs y están bien ordenados, por lo que existesólo un cardinal inmediatamente superior a ℵ0, denotadopor ℵ1. La hipótesis es equivalente entonces a:

3 Historia. Independencia

Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuoera cierto e intentó probarlo infructuosamente. El proble-ma llegó a ser tan célebre que David Hilbert lo incluyócomo el primero de su lista de los 23 problemas matemá-ticos del siglo. Sin embargo, la hipótesis del continuo esindependiente o indecidible: partiendo de los axiomas dela teoría de conjuntos no puede probarse ni refutarse. Lademostración de su consistencia (es decir, que no puederefutarse) fue dada por Kurt Gödel en 1940, y se basa enla clase de los conjuntos constructibles L. En 1963, PaulCohen demostró la independencia (que no puede probar-se), mediante el método de forcing.

4 Hipótesis del continuo generali-zada

El conjunto de los números reales es equipotente alconjunto potencia de los números naturales, es decir, elconjunto de todos los subconjuntos posibles de númerosnaturales. Por lo tanto, otra formulación de la hipótesisdel continuo es: no existen cardinales comprendidos en-tre el del conjunto de los naturales y el de su conjunto po-tencia (los reales). La hipótesis del continuo generalizadaes la versión general de este enunciado sin particularizaral caso de los números naturales:Al igual que en el caso de los números naturales, el cardi-nal 2|A| es el cardinal de P(A), el conjunto potencia de A.La hipótesis del continuo generalizada también tiene un

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2 6 REFERENCIAS

enunciado más simple si se asume el axioma de elección,ya que entonces cada cardinal infinito es un álef, y paracada álef existe un álef inmediatamente mayor:La hipótesis del continuo generalizada también es inde-pendiente de los axiomas de la teoría de conjuntos. Ade-más de eso es tan potente como para implicar el axiomade elección:

5 Véase también• Teorema de Cantor

6 Referencias• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millenniumedition (revised and expanded) (en inglés). Springer.ISBN 3-540-44085-2.

• Koellner, Peter. «Continuum Hypothesis». StanfordEncyclopedia of Philosophy (Summer 2013 edition)(en inglés). Consultado el 29 de julio de 2013.

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7 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias

7.1 Texto• Hipótesis del continuo Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuo?oldid=82731060 Colaboradores: Sabbut,Vivero, Cassilia~eswiki, Renabot, Rembiapo pohyiete (bot), Aliman5040, RobotQuistnix, Chobot, Yrbot, YurikBot, GermanX, Jocay-pa, Davius, Thijs!bot, HiTe, Aibot, VolkovBot, Pruxo, SieBot, Loveless, Farisori, Alecs.bot, Juan Mayordomo, Luckas-bot, Luis FelipeSchenone, ArthurBot, Xqbot, Kismalac, RedBot, Xiidarkevil, KLBot2, MetroBot, Federicotg, Acratta, Ricmart, BenjaBot y Anónimos: 13

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