historia
TRANSCRIPT
-
1
La historia que vivieron los matemticos por Isabel Ortega
La falta de dudas lleva al hombre a una falta de
curiosidad y entonces no existe la inquietud. Luego,
no hay matemtica.
Leopoldo Varela
-
2
A mis hijas Fernanda y Ana Ins
-
3
Introduccin
La historia de los matemticos parece desarrollarse al margen de la vida de todos los
das porque no tienen que tomar partido por alguna versin de los hechos, como el
historiador, ni tienen que apreciar las tendencias de las pocas, como el literato, ni siquiera
tiene que vrselas con la realidad fsica, como el gegrafo. Tampoco necesitan aprender otras
lenguas porque una demostracin puede ser comprendida por cualquier colega mientras est
escrita con las notaciones convencionalmente admitidas y, si quiere cambiarlas, bastar que lo
aclare para que el lector acomode su forma de pensamiento y siga adelante con los nuevos
cdigos sin que ello sea un impedimento para entender de qu se trata y hasta para construir
nuevas conclusiones derivadas de ese trabajo. Como esta comunicacin se da aunque los dos
matemticos no se conozcan personalmente, aunque uno sea argentino y el otro francs y
aunque no sean contemporneos, el trabajo tiene la apariencia de estar aislado del contexto
social que lo gener.
La mayora de la gente no acierta a determinar con qu trabaja concretamente el
matemtico a menos que sea con la regla y el comps. Como no tiene laboratorio como el
fsico, ni hace excursiones como el antroplogo, al matemtico se lo asocia con los
razonamientos lgicos que hace y se lo rodea con una fantasa en la que "el demostrador de
teoremas" aparece aislado en su lugar de trabajo, pensando en cosas abstractas y difciles y,
fundamentalmente, aislado de lo que pas, de lo que pasa y de lo que pasar. Y los
matemticos refuerzan esa idea cuando afirman que crean entes arbitrarios, que establecen
definiciones convencionales y que los smbolos los eligen mediante acuerdos, con lo que todo
parece un trabajo de unos pocos elegidos, que obtienen aisladamente conclusiones que
despus se intercambian pero slo pueden ser entendidas por otros matemticos,
conclusiones que luego ser n usadas por toda la gente (aunque no las comprendan) por
aquello de que "las matemticas gobiernan al mundo".
Ms an, a veces desarrollan teoras cuyos principios contradicen abiertamente
nuestros sentidos (por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas en el plano) y
tampoco as dejan de ser vlidas. Estas particularidades dan la impresin de que las
-
4
producciones matemticas son independientes del desarrollo histrico-social y que los
matemticos, que afirman su desinters por las aplicaciones prcticas estn ms all de las
influencias del momento histrico que les toca vivir.
Esta es una visin parcial del problema que no repara en que los matemticos son
seres humanos y que sus producciones deben estar inspiradas fuertemente en la realidad para
que sean las que, en ltima instancia, resuelvan el problema del ingeniero, del mdico y hasta
del almacenero. Justamente por esa omnipotencia que tiene la matemtica en el quehacer
humano es que sus creadores necesariamente deben ser gente comprometida con las cosas de
todos los das. Apelar a la historia de la matemtica para encontrar nexos entre lo social y lo
matemtico.
-
5
Breve historia de la matemtica
Lo que sigue pretende ser una visin de la evolucin del pensamiento matemtico a travs de
los siglos con vistas a mostrar la manera en que los hechos han influido a los matemticos
que, a su vez, han respondido interpretndolos desde su manera de ver las cosas. Los
descubrimientos ( o inventos ) matemticos resultan ser un reflejo del pensamiento del
hombre en su evolucin, de modo que la historia influye a los matemticos ofrecindole
nuevos problemas o condicionando su accionar y ellos, con sus respuestas, van mostrando los
avances en el pensamiento humano, en la manera que el hombre tiene de procesar la
realidad.
La historia de la matemtica tiene perodos en los que una idea totalmente innovadora toma
cuerpo a travs de las creencias de los matemticos y modifica los cimientos mismos de la
ciencia. Su filosofa cambia no porque niegue lo anterior sino porque ampla de tal forma lo
que se considerada terminado que da comienzo a una "nueva matemtica". No se trata, como
podra pensarse, que las nuevas conclusiones demuestran algn error en lo anterior sino que
la nueva teora toma a la anterior como caso particular. Dar un ejemplo: en el juego del ta-
te-ti no hay contradicciones, se lo puede jugar porque sus principios y reglas son lgicamente
coherentes. Pero cuando, en vez de nueve casilleros, usamos veinticinco, es decir, jugamos al
ta-te-ti-to-tu, no contradecimos al viejo y querido ta-te-ti, ni siquiera estamos probando que
es contradictorio, lo que hacemos es trabajar en una dimensin ms amplia y ambos juegos
coexisten, uno como caso particular del otro. Esto es lo que pasa con la matemtica. Como
confiamos en que sus conclusiones son "exactas" ( dos ms dos son siempre cuatro ) es fcil
creer que se trata de algo terminado, quin va a sospechar que el teorema de Pitgoras no
dice todo lo que tiene que decir? Pero la evolucin de la matemtica no tiene el sentido de
aproximarse ms y ms a la realidad como lo hace la ciencia natural sino que, recrea las ideas
y las ampla con cada descubrimiento. Cuando se descubri que la Tierra gira al rededor del
Sol, hubo que abandonar la idea de que la tierra era el centro. En matemtica, en cambio, la
demostracin del teorema de Pitgoras asegura la validez total de la propiedad enunciada para
cualquier tringulo rectngulo, y un gran salto de imaginacin puede llevar a plantear un
-
6
teorema anlogo en tres, cuatro, cinco dimensiones del espacio sin que se contradiga lo ya
demostrado.
Por eso la historia de la matemtica tiene momentos especiales donde se logra un grado de
abstraccin que rompe con todos los lmites que en la mente de los hombres se tenan por
inamovibles, y tambin tiene perodos de gestacin y de consolidacin de esos momentos.
El pensamiento matemtico primitivo
El primer matemtico fue seguramente un pastor genial que obligado a saber si su rebao,
tras ir al pastoreo y volver, tena la misma cantidad de animales, ide un sistema con el que a
cada animal le haca corresponder una piedrita y as se aseguraba de tener tantas piedras
como animales. Mientras conservaba las piedras en bolsillo poda establecer una
correspondencia que le permita saber si tena todos sus animales.
Una economa agrcola, aunque rudimentaria, necesita datos numricos sobre las estaciones y
as se inici la confeccin de los calendarios. Las cuestiones de la cronologa, el paso del
tiempo, dio lugar a la astronoma. Pero la geometra no exista porque mientras las
comunidades fuesen nmades no necesitaban medir terrenos ni construir edificios. A medida
que evolucionaban estas comunidades tuvieron que hacer frente a problemas de clculo que
tenan que ver con sus rudimentarios intercambios comerciales.
Los pueblos antiguos
En Sumer los recursos necesarios para la organizacin econmica se acumularon en los
templos y fueron administrados por los sacerdotes. Estos administradores no estaban aislados
sino que constituan corporaciones permanentes. Por su parte los templos tampoco eran entes
aislados porque las deidades generalmente no eran exclusivas de una ciudad as que
posiblemente los sacerdotes, parecido a lo que sucedi con los clrigos medievales tenan una
influencia que no estaba limitada a una ciudad sino que se extenda a todo el territorio. Esta
soberana de las mismas deidades sobre todo el territorio seguramente fue el factor que
determin la correlacin teolgico-poltica de la uniformidad de la cultura material en la regin
de Sumer y que luego hered toda Babilonia.
Los templos en Sumer tenan grandes propiedades de terreno, animales y enormes
rentas que aumentaban constantemente empleando las riquezas para ayudar a los adeptos
-
7
con prstamos que, por supuesto, eran devueltos incrementados. Los sacerdotes eran los
encargados de administrar estos bienes con la consigna de protegerlos y hacerlos crecer
dando cuenta a su divino seor del enriquecimiento logrado. Nunca antes la humanidad haba
tenido entre manos riquezas semejantes concentradas bajo un poder unitario y los sacerdotes
tuvieron que enfrentar el problema de dar cuentas de ella a su dios. Obviamente ya no podan
confiar en su memoria para guardar celosamente tanto detalle, tenan que tener en cuenta
que su vida iba a terminar pero no as la de la empresa y la del dios al que servan, y que
adems cualquier otro sacerdote tena que estar al tanto de las transacciones para cuando
llegara el momento de cobrar las deudas que seguiran vigentes an despus de que el
sacerdote muriera. Para registrar los tributos del dios y sus transacciones ya no se poda
confiar en los artificios mnemotcnicos, como nudos en el pauelo, que no resolvan el
problema. El ministro de dios tena a su cargo el registro de cuntas vasijas de granos, de qu
calidad y a quin se las haba dado como anticipo. Cosas por el estilo deban estar a
disposicin de todos los sacerdotes para que estuviera garantizado el cumplimiento de los
compromisos. As las cuentas del templo dieron origen a la escritura como sistema
socialmente reconocido de registro que al principio fue solamente un sistema de anotacin
numrica.
Los documentos ms primitivos sobre matemtica son de los babilonios y de los
egipcios. No quiere decir que sean los nicos pueblos que tenan conocimientos de matemtica
pero s fueron los nicos que dejaron escritos matemticos que llegaron a nuestros das. Los
babilonios, por ejemplo, y en general todos los pueblos que se ubicaron en la Mesopotamia,
tenan el sistema de escritura sobre tablillas de barro cocido, lo que hizo que perduraran hasta
nuestros das. Los egipcios escriban sobre piedra y papiro. Tales papiros fueron utilizados
para rellenar algunas momias, ha permitido que esos documentos llegaran a nuestros das. El
papiro ms antiguo que ha llegado hasta nosotros es el llamado Papiro Rhind.
Otros pueblos, como los indes por ejemplo, escribieron sobre bamb ha hecho que
desapareciera la documentacin por lo que no se tiene constancia de sus conocimientos a
cerca de la matemtica.
El primer pueblo que habit la Mesopotamia fue el sumerio cuya civilizacin apareci
all en el quinto milenio a c y termin en el tercer milenio a c que es el momento en que ellos
introdujeron el sistema sexagesimal, sistema que ha perdurado a travs de los siglos y ha
llegado a nuestros das.
Al rededor del tercer milenio a c los acadios fueron los antecesores de la cultura
babilnica. Aproximadamente en el siglo XIV a c vivieron los asirios que luego tuvieron
importancia en matemtica, importancia que culmina con la creacin de la Biblioteca de Nnive
en el siglo VII a c. La traduccin de las tablillas, que comenz en el siglo pasado demostr que
-
8
tenan una cultura matemtica importante y en algunos casos hasta sorprendente. Se han
encontrado depsitos de tablillas, aparentemente en bibliotecas, e inclusive una de las
colecciones perteneca a una escuela en la que se dictaban distintas materias y esas tablillas
bien podran ser textos que utilizaban para la enseanza de la matemtica. En las tablillas se
nota un inters didctico en el desarrollo. En ellas se encontraron tablas de suma, de
multiplicar, de dividir, tablas de cuadrados y races cuadradas, de cubos y races cbicas y
hasta sumas de cuadrados y cubos de un mismo nmero. Esto ltimo lo hacan porque les
permita resolver algunos casos especiales de ecuaciones cbicas y sistemas de ecuaciones
lineales a veces con 5 o ms incgnitas. Esto tiene mucha importancia porque en occidente
aparecen en el 1500 y estamos hablando de varios miles de aos antes de Cristo. Comparando
con lo que saban en Europa en el 1400, los babilonios saban ms de matemtica.
Seguramente no saban ms que los griegos de la poca de oro porque Europa olvid el
trabajo de los griegos durante muchos siglos. En las tablillas aparecen tambin resoluciones
de problemas de progresiones aritmticas y geomtricas, regla de tres, inters simple y
compuesto. Por ejemplo: Cunto tiempo deber estar depositado un capital a una tasa dada
para que se duplique? Los intereses que oscilaban entre el 20% y 30% segn el prstamo se
devolviera en dinero o productos y hay intereses anuales y semestrales. En geometra
calculaban reas de rectngulos, tringulos, trapecios y posiblemente conocan el rea del
crculo.
Los egipcios hicieron de la matemtica una forma eficaz de resolver problemas
prcticos. Las inundaciones peridicas del Nilo los obligaba a dominar mtodos de determinar,
temporada a temporada, la divisin de las tierras. En el Papiro Rhind, el documento egipcio
ms antiguo que trata de matemtica, es una coleccin de unos 85 problemas sobre
fracciones, ecuaciones simples, progresiones, medicin de reas y de volmenes. Las
matemticas de los egipcios eran sobre todo primitivas y complicadas. En el papiro Rhind se
observan sus procedimiento de clculo engorrosos y tambin la tenacidad que ponan al
resolverlos, pero en ningn caso muestran una imaginacin notable ni inters alguno por las
generalizaciones. Estos hombres fundamentalmente prcticos y nada inclinados al logro
cientfico consiguieron de todos modos escribir un papiro all por el 1700 a c plantear y
resolver una coleccin de problemas que un contemporneo nuestro de cultura media tendra
dificultades para resolver.
A pesar del avance en el clculo y la resolucin de problemas, toda esta elaborada
herencia de los pueblos antiguos, no pasa de ser una coleccin de recetas sin intensin alguna
de sistematizacin cientficai.
-
9
El milagro griego
Los griegos fueron los inventores de la ciencia. Aunque no hay acuerdo entre los
historiadores sobre la importancia relativa de cada uno de los aportes que recibieron los
griegos, ninguno duda en referirse al "milagro griego" al considerar la obra sistemtica sobre
la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Los griegos eran dados a los
viajes y algunos fueron criados por magos encargados de su instruccin. El milagro griego
consisti en ese salto que dieron entre la tcnica utilitaria que recibieron y la matemtica
cientfica sistematizada, que nos entregaron. Ellos consiguieron que el pensamiento humano
obtuviera el primer grado de abstraccin matemtica.
Los pueblos antiguos calcularon reas de tringulos pero los griegos generalizaron esos
clculos para "cualquier" tringulo, aunque sea el determinado por tres estrellas, o an los que
todava no se han dibujado nunca; se ocuparon de definir los entes geomtricos con conceptos
puramente abstractos y de usar exclusivamente la lgica para obtener las conclusiones lo cual
garantiz la validez general de las demostraciones. Pero ms an, Euclides, en Los Elementos,
se ocup de encontrar la mnima cantidad de principios necesarios y suficientes para definir
toda su geometra en forma coherente.
Sera interesante estudiar a travs de las obras griegas este paso del hombre de la
experiencia a la sistematizacin lgica pero han quedado muy pocos documentos, se ha
perdido la mayora de los textos y algunos los conocemos slo por citas o referencias.
Las nociones matemticas son, para los griegos, puras abstracciones. Las figuras o los
nmeros son ideas que existen slo en el pensamiento y el dibujo es slo una imperfecta
representacin. Valoran extremadamente la simplicidad y la armona de las ideas. La recta y la
circunferencia son para ellos las lneas perfectas. Pero lo ms notable, lo que inaugura una
etapa en la concepcin matemtica es que todas las conclusiones son seguidas de una
escrupulosa demostracin lgica.
La ciencia griega debe mucho al ideal de la armona y belleza del genio griego. Sus
geniales ideas, su preferencia por la ciencia terica y sin aplicacin y su rigor pero tambin sus
maneras artificiales de exponer las cosas, su restringido campo de estudio y el prejuicio por el
infinito que desacredit a los procedimientos de Arqumedes y obstruy los de Pitgoras,
creando un lmite artificial para el desarrollo de la matemtica que slo seguir su desarrollo
despus de muchos siglos.
Los griegos valoraron el orden, la claridad, el rigor, pero se volvieron esclavos de ellos
y esto los cerr caminos que podran haber sido fecundos. As y todo el paso dado es tan
monumental que se ha dicho que slo "Los Elementos" de Euclides hubiera bastado para
-
10
asegurar la gloria de esa cultura. Los pueblos de esa poca tenan esclavos y si bien es cierto
que entre los griegos la esclavitud era ms tenue, de todos modos se reservaba a los esclavos
toda la actividad manual y artesanal. El concepto que los griegos tenan de los esclavos se
nota en Aristteles cuando analizaba las necesidades de los esclavos y deca que son las que
impiden que muera y deje de producir. Lo cierto es que todo esto influy para que la filosofa
de la matemtica tuviera un acentuado valor negativo por las aplicaciones prcticas de la
matemtica y hasta se puede decir, sin exagerar, que en la escuela platnica hay una
verdadera repugnancia por todo lo que fuera instrumental y operat ivo. A esta tradicin se
debe an en nuestros das la resistencia de algunos profesores de matemtica para vincular
esta ciencia con las aplicaciones.
Los romanos, la Edad Media Cristiana y Musulmana, el Renacimiento
Los griegos haban dado el gran paso que le dio el carcter de ciencia a la matemtica.
Con sus principios generales y sus demostraciones lgicas haban conseguido el primer pase
de abstraccin del pensamiento matemtico. Para el segundo avance hubo que esperar ms
de diez siglos, a la poca de Descartes. Pero, qu sucedi en todo ese tiempo?
La decadencia empieza con la dominacin romana y, poco a poco, se va acentuando
hasta que desaparece totalmente la matemtica en la Edad Media. Los romanos, mezcla de
abogados y militares no se ocuparon de la ciencia porque su actitud no era contemplativa sino
prctica.
La Edad Media Cristiana, con su rigidez, no tiene dudas de que el mundo fue creado
para el hombre y el hombre para Dios. Esta falta de duda provoca la falta de curiosidad, de
inquietudes, imprescindible para el desarrollo de la ciencia. As no slo se desconoci a los
griegos sino que los matemticos saban menos que el escriba Ahms, autor del Papiro Rhind
del siglo -XVII.
De la geometra lo nico que queda en los libros de textos son los cinco postulados de
Euclides y el enunciado de unos pocos teoremas. La matemtica se refugia en los conventos
en donde, por la necesidad de determinar el Da de Pascuas se exige que haya siempre un
fraile capaz de calcular el calendario. Cuando Carlo Magno busca formar cierto centro cultural
invita a su corte al sabio ms distinguido de la poca que haba escrito un libro "dedicado al
cultivo del genio de los caballeros" cuyo contenido puede compararse a un manual de ingreso
a la escuela secundaria de nuestra poca.
-
11
Pero en Oriente se produce una eclosin a travs de los hindes y de los rabes. El
pueblo hind no tena los prejuicios de los griegos as que se lanzaron a desarrollar la
aritmtica y el lgebra dejando de lado la geometra. Se preocuparon por la practicidad de las
conclusiones y no teman al infinito ii as que operaron en forma ms simple que los helenos
pues no se ocupaban tanto de la justificacin como de los resultados. Hicieron un
descubrimiento aparentemente modesto, el cero, que les dio la posibilidad de manejar un
sistema de numeracin posicional y hacer cuentas de modo diferente. iii
Esto, que parece slo un detalle hizo avanzar enormemente al clculo y la aritmtica
empez a perder la desventaja que en Grecia haba tenido con la Geometra.
Los musulmanes, que gozaban por entonces de gran poder, tuvieron el mrito de
sintetizar los descubrimientos de los sabios griegos y de los calculadores hindes. En la Alta
Edad Media tuvo lugar el pasaje de la ciencia del mundo rabe al cristiano. Los rabes crean
firmemente en lo que Mahoma predic. El Corn dice que conseguiran el paraso si moran en
el campo de batalla, pero tambin dice que es tan importante la sangre del guerrero que
muere en la guerra como la tinta con la que escribe el sabio. As, mostraron un profundo
respeto por la ciencia que les permiti trasvasar la cultura de los pueblos que conquistaban.
Dice la leyenda que un Califa despus de haber sometido a un pueblo, pidi como botn todos
los libros griegos que haba en la ciudad. A comienzos del siglo XI prcticamente no haba
matemticos en el Occidente cristiano y hasta los de la Espaa musulmana eran de escasa
importancia. Pero a comienzos del siglo XIII Occidente ya tena por lo menos un matemtico
original.
Los rabes fueron ciertamente los iniciadores del lgebra aportndole, para empezar,
su nombre. Se dedicaron a resolver problemas prcticos y quisieron obtener resultados
rpidos. A menudo descuidaron el rigor y comprendieron rpidamente que para tener xito no
es necesario tener siempre ante los ojos la significacin de los entes con los que se opera, es
decir que se manejaban cmodamente con los smbolos matemticos. Se comprende entonces
la dificultad de los griegos para recorrer el camino que llev a los rabes al desarrollo del
lgebra y el desprecio que sintieron por sus propios calculadores, como Diofanto, por
ejemplo. El lgebra de los rabes culmina su mxima perfeccin con Omar Khayyam en el
siglo XI. El hombre que inicia la matemtica occidental en el mundo cristiano es Fibonacci en
el siglo XII
Cuando el mundo cristiano, en los siglos XIV y XV, descubri esta nueva disciplina, no
tena la audacia de los rabes ni la de los hindes y no puedo desembarazarse de los
prejuicios tericos heredados de los griegos as que el perodo de maduracin continu.
El sello renacentista se advierte en la matemtica del siglo XVI: ese mundo de
transicin, de enriquecimiento a travs de la revalorizacin de los viejos saberes cientficos.
-
12
Los grandes seores mantuvieron a artistas y cientficos en sus cortes, empezaron a
popularizarse las ciencias y toda la cultura. Las lenguas romances permitieron una mayor
comunicacin. Las ciudades tomaban partido por sus matemticos que enviaban, respaldados
por sumas de dinero, carteles de desafo pblico a los matemticos de otra ciudad. La ciencia
se preparaba para una nueva etapa.
La era cartesiana
Era necesario reformar las base del lgebra para que adquiriera su independencia y la
obra de Descartes fue la que lo consigui. Plante al lgebra como un mtodo que ayuda a
razonar con cantidades abstractas e indeterminadas. Era fundamentalmente un filsofo y
aunque su libro se llama "Geometra" lo que hizo fue usar desarrollar un lgebra que us para
plantear la geometra. Es el creador de la Geometra Analtica en la que, con nmeros y
ecuaciones se obtienen las propiedades de las figuras. iv Para Descartes el objeto de la
matemtica no tiene valor porque no colabora en la explicacin del universo. Consigue que la
matemtica se haga mecnica, fcil y no requiera esfuerzo del espritu. La produccin se
vuelve automatizada, industrializada, slo es necesario combinar elementos entre s todo lo
que se quiera. Para l, el lgebra es el mtodo de la ciencia universal. Al aplicar el mtodo
algebraico a la geometra prev el importante papel del lgebra y del clculo en el desarrollo
cientfico.
Como no se interesa por la belleza y la armona de lo que estudia y se concentra slo
en un mtodo abstracto de combinaciones lgicas de elementos indeterminados. Ren
Descartes rompe claramente con el ideal griego y as abre nuevas perspectivas a las
matemticas del futuro. Queda atrs el ideal de la ciencia contemplativa para dar paso al ideal
de la ciencia constructiva. Esto no quiere decir que el cambio fue de un da para otro. An
matemticos de la talla de Fermat y Newton permanecieron fieles al espritu griego y an en
nuestros das se observan influencias griegas en la enseanza elemental.
El otro aspecto importante del cambio de mentalidad de esta poca es el nacimiento del
Clculo Infinitesimal. Aunque en pocas palabras sera imposible explicar este avance
matemtico, sealar un aspecto que evidencia lo novedoso del descubrimiento. As como
entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos, son necesarios infinitos nmeros para
ponerle un nombre a cada uno de ellos, es decir, una coordenada. Trabajar con ese "infinito
hacia adentro" de la recta requiere perder el prejuicio que los griegos tenan por los
-
13
irracionales. Como sucedi para tantos otros contenidos, cuando el pensamiento humano
estuvo listo, surgi ms de un matemtico que lo manifest. Newton y Leibniz son los
protagonistas de este avance que dio origen a la Cinemtica y a la Dinmica.
En esta etapa se da comienzo a una nueva poca en la que el lgebra sistematizada
por Descartes se efecta con combinaciones finitas y el anlisis sistematizado por Leibniz lo
hace con combinaciones infinitas, aunque ambos derivan de un mismo espritu.
En el siglo XVIII se consolidan las nuevas ramas de la matemtica y se construyen
nuevas teoras pero lentamente se haba llegado a cuestiones cada vez ms complicadas que
carecan un poco de alcance. El trabajo matemtico evidencia la necesidad de cosas nuevas.
Esta manera diferente de trabajar provoca a fines del siglo XVIII la aparicin de las
matemticas modernas.
Las matemticas modernas
No debe pensarse en un cambio brusco ni en el abandono de viejas tendencias. El
espritu griego an influye en ciertos aspectos de la matemtica y la sntesis algebraico-lgica
todava sobrevive y produce resultados. Pero el espritu bien diferente que anima a los
matemticos modernos hace que ya no traten de construir expresiones ni forjar nuevos
medios de clculo, sino que analicen conceptos considerados hasta entonces como intuitivos.
La originalidad de estos trabajos no consiste solamente en haber estudiado
crticamente algunas nociones conocidas o reformular sus demostraciones sino en haber
involucrado en la ciencia nociones diferentes que mostraron enseguida ser muy ricas. Una
cosa es calcular un resultado y otra bien distinta es demostrar, en un teorema, que ese
resultado efectivamente existe y es nico. Una cosa es usar la lgica en las demostraciones y
otra darle carcter matemtico con axiomas y demostraciones que garanticen que esa lgica
es confiable. Dibujar una curva continua como representacin de una ecuacin es una cosa, y
otra es demostrar con un teorema que para recorrerla punto a punto no hay necesidad de
levantar el lpiz. Una cosa es contar objetos y partir de los nmeros para hacer los clculos y
otra muy diferente es considerar a los conjuntos como entes matemticos y trabajar con ellos
para deducir los nmeros. El conjunto se lo pasa a considerar una nocin primitiva con una
cantidad finita o infinita de elementos y precede en el encadenamiento lgico de los temas a
todos los otros conceptos. El germen de la matemtica moderna es el crtico espritu
unificador. Es por esto que la poca moderna consigue el tercer grado de abstraccin en la
-
14
historia del pensamiento matemtico con una variada cantidad de ramas, la matemtica
muestra una gran diversificacin, pero tambin muestra los contactos entre sus temas ms
frecuentes y profundos de todos los tiempos.
Este breve anlisis de la historia de la matemtica desmiente as la idea del matemtico
aislado de su contexto social. El pastor que descubre el nmero, motivado por su necesidad de
conservar el rebao; los sacerdotes sumerios preocupados por dar cuenta fiel de las riquezas
del templo; los egipcios investigando la geometra para resolver el tema de sus tierras
inundadas peridicamente por el Nilo; los esclavos griegos asegurando a los matemticos,
ciudadanos libres y desocupados, el desinters por las cosas prcticas; el descubrimiento de
Amrica urgiendo a resolver problemas de navegacin, entre otros, son ejemplos de cmo
evoluciona la mente humana en funcin de las necesidades de su poca para crear teoras
matemticas.
Tambin es de destacar que a mediada que las tcnicas se desarrollaron y se hicieron
ms complejas, fueron quedando reservadas para los especialistas que detentaron por eso un
determinado poder. Segn la expresin del escriba Ahms, en el Papiro Rhind, los hombres
detentaron los secretos de las "cosas oscuras" as que las matemticas tomaron en ciertos
momentos un carcter esotrico convirtindose en una actividad para iniciados, y los
matemticos dispusieron de un monopolio del saber que conllevaba el poder. Hoy en da
apenas hemos comenzado a romper ese monopolio y a asegurar la democrtica difusin de la
ciencia.
Lejos est todo esto del matemtico encerrado con sus deducciones y que pontifica
sobre cosas que nadie comprende. Ms bien creo en el hombre, de genio s, pero muy
enganchado con su realidad que es capaz de expresarla con su pensamiento en forma de
frmulas y demostraciones.
Los personajes que siguen no pretenden mostrar, ni mucho menos agotar, la evolucin
de la matemtica. Fueron elegidos para representar lo tpicamente humano que tienen los
creadores de la matemtica en relacin con el tiempo que les toc vivir.
-
15
Pitgoras y los pitagricos Pitgoras es sin duda el matemtico ms famoso, y con esto no quiero decir que sea el ms
grande sino el ms conocido: casi todo el mundo recuerda su nombre aunque no sepa
matemtica.
Era natural de Samos y naci en el ao -569. La historia lo ubica en la poca del milagro
griego junto a Euclides, Apolonio, Arqumedes y tantos otros genios de la matemtica que
produjeron el primer grado de abstraccin de esta poca.
Samos es una isla griega del Mar Egeo frente a las costas de Turqua. Pitgoras recibi una
fuerte influencia oriental ya que, con el espritu viajero tan propio de los griegos, estuvo en
Egipto y estudi con sus sacerdotes las ciencias exotricas como as tambin los secretos del
esoterismo que determinaron, especialmente estos ltimos, la modalidad ms acentuada de
todo lo que hizo posteriormente. Sus actividades en Samos no eran slo cientficas sin
tambin religiosas y polticas y, por este motivo, fue perseguido y posteriormente desterrado
por el tirano Polcrates as que fue a refugiarse a Crotona, en el sur de Italia.
En el ao -529, en esta ciudad, fund una escuela en la que se observa la modalidad
esotrica de su formacin oriental. En ella se estudiaba gimnasia, matemtica y msica. Era
en realidad una secta religiosa con reglas incuestionables que, al estilo babilonio, tena una
especie de secreto de ctedra. Pitgoras fue el nico griego que transmita la matemtica bajo
juramento a sus seguidores. En ella los pitagricos iniciados tenan permitido discutir, opinar y
hasta dar clases, pero los nefitos solamente podan escuchar y observar.
Esta enigmtica sociedad pretenda, en realidad, que sus adeptos se purificaran por
medio de la ciencia matemtica y del arte de la msica. Muchas leyendas han llegado hasta
nuestros das que hablan de los pitagricos como hombres atados a supersticiones que van
desde negarse a vestir ropa de lana hasta considerar un verdadero tab el acto de levantar del
piso una miga de pan para comerla. Lo ms probable es que todas estas historias hayan sido
inspiradas por ese carcter enigmtico que tenan. Debido a ese ostracismo en que vivan
tampoco tenemos noticias ciertas sobre los autores de las obras matemticas que produjeron.
Decimos comnmente "el teorema de Pitgoras" pero la verdad es que no se sabe si fue l o
alguno de sus discpulos quien lleg a probarlo. Y a propsito del famoso teorema de los
tringulos rectngulos, se ha conjeturado que era conocido por los babilonios en tiempos
anteriores a la poca de los pitagricos y que probablemente stos ltimos hayan sido los
primeros en demostrarlo.
En lo poltico la sociedad tena como objetivo luchar contra la democracia y esto le vali
serias persecuciones. Pero lo que realmente le daba carcter a la hermandad eran las
actividades religiosas. Pitgoras se pregunt por el principio fundamental que a cada cosa le
-
16
hace ser lo que es iniciando as la filosofa idealista. Afirm que los conceptos fundamentales
slo existen en el pensamiento y que pueden obtenerse sin la ayuda de la experiencia; el
universo es imperfecto porque las cosas no son la realidad de los nmeros sino su imitacin.
Pitgoras distingui en el hombre un aspecto divino y otro terrenal: el primero, el alma,
trascendente, y el segundo, el cuerpo que lo concibi corruptible. Con su creencia en la
transmigracin de las almas, en la idea de que el muerto es un victorioso al que representa
apareciendo en un carro arrastrado por caballos alados, tiene gran influencia sobre la religin
etrusca, que es la anterior a la romana, pero eso le vale ser tomado por supersticioso. Esa
conjuncin de poltica y religin hizo crecer contra los pitagricos toda clase de sospechas y
las persecuciones determinaron que el crculo pitagrico se disgregara. Pero tan fuerte fue su
influencia que an despus de varios siglos se haca sentir la tendencia pitagrica y una
muestra de ello es que el emperador Augusto, en el ao 30 a. c., acusando de prctica de la
brujera, es decir, de invocacin a los muertos, expuls a los magos que se identificaban con el
pitagorismo.
Con este marco, la matemtica para los pitagricos no era ciertamente lo que es para
nosotros. Parece que Pitgoras no soaba con obtener frmulas para construir mquinas o
resolver problemas, ni tampoco le interesaba dominar alguna lgica sin aplicacin como podra
ser el ajedrez. No, para ellos la matemtica, la ciencias de los nmeros, era la manera de
comprender las cosas: sacar alguna conclusin sobre los nmeros tena por finalidad "probar"
especulaciones metafsicas. Segn Pitgoras los nmeros constituyen la sustancia de las
cosas, como una especie de tomos, como partculas indivisibles pero, de alguna manera, no
como algo abstracto sino con corporeidad ya que, para ellos, cada cosa guardaba una relacin
numrica que la distingue de las dems, y una ciencia exacta slo puede obtenerse por medio
de los nmeros. Pero hay ms, para los pitagricos los nmeros no eran entes abstractos sino
que les atribua un carcter antropomrfico as que les asignaba virtudes y defectos como a
los humanos. De ah que a los pares los considerara terrenales y solubles y a los impares
divinos e indisolubles. Por esta razn dijo que los pares eran femeninos y los impares
masculinos ( no olvidemos que entre los pitagricos no haba mujeres! ) v
En esta poca se origin la gematra inspirada por esta filosofa de la matemtica. Se
trata de un curioso estudio en el que a cada letra se le asigna un valor numrico y que a cada
palabra tambin le corresponde un nmero que se obtiene sacando cuentas con los valores de
las letras que la forman. La idea es que cada palabra termina por tener un poder singular que
le confiere ese valor calculado aritmticamente. Por ejemplo cada persona tiene un destino
propio que est determinado por el valor que deriva del valor de su nombre. La gematra fue
muy popular tambin en el primer siglo de la era cristiana y continu interesando a la gente
en la Edad Media y la Reforma.
-
17
Pero volvamos al tema del carcter humano con que concibieron los pitagricos a los
nmeros. Se dice que una vez le preguntaron a Pitgoras cmo entenda l la amistad y
contest: "Un amigo es un segundo yo", y puso como ejemplo dos nmeros: 284 y 220 y
explic que eran amigos entre s porque la suma de los divisores propios de cada uno de ellos,
da por resultado el otro. vi Tambin calific de "perfectos" a ciertos nmeros vii y primos a
otros viii, siempre teniendo en cuenta las propiedades aritmticas.
Para ellos el elemento que forma todas las cosas es el nmero y llegaron a esta
conclusin por diversos motivos. En primer lugar se atribuy a Pitgoras el descubrimiento de
que el sonido de las cuerdas de la lira tiene cierta relacin numrica con la longitud de las
cuerdas. Para nosotros, acostumbrados a la msica con aparatos electrnicos y hasta con las
computadoras, ese descubrimiento no puede ser tan especial, pero para los griegos de esa
poca que consideraban la belleza, la verdad y la virtud casi como sinnimos, el hecho de
poder "medir" los sonidos musicales lo interpretaron como una prueba irrefutable de que los
nmeros eran la esencia de todo; que el nmero era, por decirlo as, anterior a todo. Otro
descubrimiento vino a corroborar esta hiptesis: el descubrimiento de la seccin urea. Se
trata de una proporcin muy particular que se puede obtener al cortar un segmento, de ah el
nombre de seccin que significa corte. Esta seccin, de la cual se deduce un nmero muy
particular, no es nada sencilla de calcular para los no matemticos, como podra ser cortar por
la mitad, y curiosamente es muy frecuente en la naturaleza y muy usada, a veces
intuitivamente, por los artistas en arquitectura, pintura, escultura, msica. Es llamada la
divina proporcin y est asociada explcitamente con la belleza. Y esto de que hubiera un
nmero que expresara "lo bello" fue a confirmar la idea de los pitagricos que no dudaron en
afirmar que todo cuanto existe obedece a una ley, a una belleza, a una armona cuya forma y
medida es el nmero".
Esta escuela griega asignaba a cada cosa un nmero:ix el uno era la fuente de todos los
nmeros, era la creacin y la razn; el cinco, como era la suma del primer par: 2 y del primer
impar: 3,representaba el matrimonio como unin de lo femenino y de lo masculino. Si bien
algunas de estas cuestiones ya haban sido estudiadas por civilizaciones anteriores, Pitgoras
fue quien les confiri ese carcter filosfico y hasta mstico con el descubrimiento del teorema
de los tringulos, los pitagricos dieron con el conflicto que puso a prueba todos sus teoras. El
famoso teorema afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa. En el caso de un cuadrado, al trazar la diagonal se forman tringulos rectngulos
que tienen dos lados iguales, y en ellos el cuadrado de la hipotenusa resulta contener
exactamente dos veces al cuadrado de un lado, de lo que resulta la sorprendente conclusin
que la cantidad de veces que la hipotenusa contiene al cateto no es nmero entero ni tampoco
una fraccin y as encontraron los pitagricos un hecho que no poda medirse con ninguno de
-
18
los nmeros conocidos y, lo que es peor, si ese nmero se inventara, debera tener una
cantidad infinita de cifras decimales y no se podra predecir cules seran todas ellas. El
planteo matemtico as expuesto podra haber abierto un nuevo camino que ampliara el
concepto de nmero pero la desconfianza griega por el infinito llev a los pitagricos a
suponer que la solucin del problema los llevara a aceptar la existencia de un ente que no era
un verdadero nmero. Y como esto pona en tela de juicio la enseanza fundamental del
maestro: las cosas son nmeros, les sobrevino algo as como una angustia csmica al
constatar en hecho tan escandaloso y optaron por considerar "irracional" a este nmero loco
que no se comportaba como los que ya conocan: lo rodearon de misterio y lo tuvieron por un
saber esotrico sujeto al secreto de ctedra. Pero Hipassos, al ser expulsado de la orden por
haberse atribuido la construccin del dodecaedro que para ellos era un smbolo csmico, ya
sea por que quiso vengarse de Pitgoras o porque no crea en esta cosa esotrica de los
nmeros, public el descubrimiento en su obra Logos Mstico junto con otras cuestiones
internas de la orden que estaban reservadas a los iniciados y atribuyndose, adems, el
liderazgo de la secta de los acuticos que rivalizaban con los pitagricos en ser poseedores de
la verdadera doctrina pitagrica.
Muchas son las leyendas sobre el segmento "que se negaba a ser medido". Una de ellas
seala que tras descubrir este nmero con infinitas cifras decimales Pitgoras mand matar
una cantidad muy grande de bueyes, cosa notable ya que los pitagricos eran vegetarianos
debido a sus creencias sobre la transmigracin de las almas que obtuvieron de los hindes. En
otra historia se cuenta que Hipassos termin sus das miserablemente vctima de un naufragio.
Lo cierto es que en Crotona se desat una revuelta poltica contra Pitgoras que lo oblig a
huir a Mataponte donde muri hacia el ao -500.
-
19
Platn
"Que no entre nadie que no sepa geometra."
Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platn y muestra el valor
que este hombre asignaba a la matemtica a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de
la filosofa.
Cmo expresar la importancia de la filosofa de Platn? Ricardo Baeza ha escrito en el
prlogo de una edicin de La Repblica: "Entre los libros del mundo, solamente Platn tiene el
derecho al fantico cumplido hecho por Omar al Corn, cuando dijo: "Quemad las bibliotecas,
pues lo que hay de valor en ellas se encuentra en este libro". Verdaderamente sus pginas
contienen la cultura de las naciones.
La vida de Platn no es muy conocida. Las personas que se han dedicado a hacer su
biografa lo han hecho lejos en el tiempo y sus datos hay que tomarlos con prudencia porque
se deben a referencias de terceros, muchas veces de segunda mano y mezcladas con
leyendas. Ni siquiera se sabe con certeza si naci en Atenas o en Egina pero la fecha se da por
cierta entre los aos -428 y -427. Descenda de la ms nobles familias atenienses. La
ascendencia de Aristn, su padre, se poda remontar hasta el dios Poseidn. La de su madre,
Perictiona, se entroncaba con la familia de Soln. Parece que Perictiona se cas en segundas
nupcias con Pirilampo que fue partidario y amigo allegado de Pericles. Por este motivo se cree
que Platn pas bastante tiempo en su casa durante su niez y adolescencia. Pero adems
Critias y Carmides, que eran respectivamente primo y hermano de Perictiona, figuran entre los
dirigentes del movimiento terrorista del ao -404. Supuestamente a este ambiente familiar y
al haber nacido en la clase privilegiada, se debe su concepcin de la democracia.
-
20
Dice Aristteles que la filosofa de Platn sigui las ms de las veces a la de los
pitagricos pero que tiene tambin sus ideas propias que lo separan de la escuela itlica. Su
primer maestro fue Cratilo, un ateniense partidario de Herclito.
El acontecimiento espiritual quizs ms importante en la vida de Platn fue su
encuentro con Scrates. De todos modos queda claro que no perteneci nunca al crculo de
sus amigos ms ntimos ni se consideraba un verdadero discpulo de Scrates ya que se
refera a l como a su "amigo" y no a su "maestro".
Se cree que despus de la muerte del maestro los socrticos se reunieron en Megara y
que all Platn fue alumno de Euclides, el gemetra ms grande de la antigua Grecia, quien
influy notablemente en su pensamiento.
Por los aos -387, -386 fund una institucin para dedicarse a la investigacin de la
filosofa y de la ciencia. Presidi esa Academia hasta su muerte y a juzgar por la leyenda que
estaba a la entrada del edificio Platn daba una importancia capital al estudio de la
matemtica. En ese lugar se hicieron trabajos importantsimos de matemtica de los cuales
basta mencionar la fundacin de la Geometra del Espacio x que logr Teletetes y los primeros
estudios sobre las secciones cnicas xi. Eudoxio de Gnido, famoso gemetra y astrnomo;
Arquitas, inventor de la ciencia de la Mecnica, y muchos otros, se cuentan entre los
estudiosos de la Academia que constituy de esta forma el eslabn entre la matemtica de los
pitagricos y la de Alejandra.
En La Repblica, Platn propone, como se sabe, la formacin ideal del ciudadano, y le
asigna un valor importante a la enseanza de la matemtica, la geometra y la astronoma.
"Hay acaso, dice, a tu parecer, una ciencia ms necesaria al guerrero que la de los nmeros y
del clculo?". Problemas de administracin y de distribucin de bienes, presupuestos en
tiempo de paz o de guerra, determinacin de la formacin de las tropas y cosas por el estilo
son trabajos de los encargados del gobierno. Pero aclara que hay otro motivo por el cual hay
que ensear matemtica al futuro magistrado:
"No puedo menos que admirar cun hermosa en s es la ciencia del clculo, y cun til
al designio que nos proponemos, cuando se estudia slo por conocerla y no para degradarla
aplicndola a la granjera.
Nadie, pues, que tenga el menor conocimiento de geometra nos negar que el objeto
de esta ciencia es directamente contrario a los discursos que de ella tienen los que la
manejan.
El lenguaje de que se valen es muy ridculo, aunque ellos no pueden dejar de usarlo.
Ellos no hablan sino de cuadrar, prolongar, aadir, y as de lo dems, como si hiciesen algo y
todas sus operaciones se dirigiesen a la prctica. Siendo as que en la realidad esta ciencia se
termina en la pura especulacin.
-
21
As expone Platn su filosofa de la matemtica que caracteriza al ideal griego que
tuviera tanta influencia y al que tantas veces aludo en estas pginas.
-
22
Arqumedes
Arqumedes es considerado entre los matemticos ms importantes de todas las
pocas. El historiador de la matemtica Gino Loria dice que su genio fue el mayor de toda la
historia no pudiendo igualarse a Newton, Gauss, ni ningn otro. Quizs exagera un poco,
llevado por su marcado nacionalismo, ya que Arqumedes era siracusano, pero de cualquier
modo es indiscutible que fue un matemtico excepcional, si no el mayor de todo
evidentemente est en la primera lnea. Adopt una actitud que se sala del modelo griego ya
que no tuvo prejuicios en estudiar curvas que no fueran la recta, la circunferencia y las
engendradas por ellas. Como adems era fsico, no mostraba desprecio por el clculo y trabaj
sin prejuicios con aproximaciones con lo que su tratamiento de los nmeros irracionales xii fue
totalmente opuesto al pitagrico. Por esto, as como la postura de Pitgoras desencaden el fin
de su trabajo con esos nmeros, la de Arqumedes le abri fecundos caminos de creacin.
Arqumedes naci en el ao -287 y vivi ms de 70 aos. Era hijo de un Astrnomo y
quizs eso haya influido en sus inquietudes cientficas. Estudi en Alejandra pero
posteriormente regres a Siracusa. Era pariente y amigo del tirano Hiern y estuvo a su
servicio. Goz de una fama incomparable entre sus contemporneos hasta tal punto que es
una de los pocas personas de quien se sabe que se le hizo una biografa mientras viva.
Heracleides fue el bigrafo pero esta obra no ha llegado a nuestros das. Los detalles de su
vida de todos modos se pueden conocer por los historiadores generales. As se sabe que
estudi matemtica en Alejandra; que construy una especie de planetario en miniatura: una
esfera que simulaba el movimiento del Sol, la Luna y los planetas; que escribi un libro sobre
mecnica; que incendi los barcos romanos usando una serie de espejos y cristales; que
dedic muchos esfuerzos a la observacin astronmica; que descubri la distancia entre los
planetas; que una vez corriendo por las calles desnudo grit Eureka al descubrir un dato
importante; que no le gustaba baarse y sola escribir, usando ceniza con el dedo sobre su
cuerpo, frmulas mientras cavilaba sus descubrimientos, y otras ancdotas por el estilo. Las
leyendas sobre Arqumedes son muchas y, probablemente la mayora de ellas no sean del todo
ciertas, pero en todo caso muestran lo mucho que se ocuparon de l sus contemporneos.
-
23
Sus obras pueden ser consideradas del tipo moderno en cuanto a la ilacin. No son
textos sino ms bien memorias del tipo de las que actualmente se presentan a las academias
de ciencias: en ellas se da por supuesto que se conoce todo lo anterior publicado sobre el
tema y slo constan de aportes personales nuevos, escritos en un lenguaje sinttico, slo para
profesionales en la materia. Algunas de sus obras son sumamente oscuras por este motivo.
Hubo matemticos de los siglos XVII y XVIII que renunciaron a entenderlas y, algunos, al no
poder llegar a los resultados indicados, consideraron que haba errores, pero la geometra
analtica y el anlisis matemtico permitieron verificar los resultados. Esto aumenta la gloria
de Arqumedes que, con herramientas muy primitivas lleg a los resultados que obtuvieron
otros matemticos veinte siglos despus. Tuvo algunos disgustos con los sabios oficiales de
Alejandra. Como dije, sus trabajos eran sintticos, muy complicados y, por lo general,
Arqumedes no daba demasiadas explicaciones de cmo los haba obtenido y los alejandrinos
casi nunca contestaban a sus envos de trabajos y cuando lo hacan decan que "eso ya lo
conocan". Como en una oportunidad, posiblemente por error, les haba enviado resultados
que no eran exactos, Arqumedes se refiri a estos cientficos en el prlogo de una de sus
obras, irnicamente, como "esos sabios que son capaces de demostrar hasta lo que no tiene
demostracin".
Al igual que Apolonio, Arqumedes no se dedic a sistematizar y perfeccionar las
nociones ya conocidas sino que se ocup de descubrir y desarrollar teoras nuevas y teniendo
en cuenta sus logros, a ambos se los puede considerar los ms grandes investigadores de la
Antigedad.
Contrariamente a la tendencia griega clsica, Arqumedes era un inventor. Alternaba
los trabajos de fsica y de matemtica con los de ingeniera dedicndose a la construccin de
mquinas a las que no consideraba como producto digno de destacarse sino ms bien como un
pasatiempo derivado de su geometra. En realidad Platn haba descalificado a la mecnica
como ciencia porque, afirmaba, echaba a perder lo ms puro de la geometra que era,
justamente, esa particularidad de desenvolverse exclusivamente en el mundo de las ideas.
Pero mientras la tendencia general de los matemticos griegos era mantener a la
geometra apartada de todo lo que fuera material, y algunos como Arqumedes osaban
disfrutar con las aplicaciones prcticas, al rey Hiern lo nico que le preocupaba era lograr que
un sabio con tanta popularidad como Arqumedes dedicara un poco de su tiempo a mostrar
alguna aplicacin prctica que consiguiera ilustrar a la multitud.
As que cuando el matemtico le cont que estaba en conocimiento de una mquina
que con un pequeo peso consegua mover algo enorme, el rey le pidi una demostracin y
Arqumedes dispuso a muchos hombres para que remolcaran a tierra una nave real de tres
palos y adems la hizo llenar con la carga ordinaria y una multitud de personas. Despus
-
24
cmodamente desde tierra accion una suerte de aparatos con poleas que consigui que el
barco se deslizara cmodamente. De ah la clebre frase: Dadme un punto de apoyo y mover
al mundo. Tan impresionado qued el rey que se dedic a convencer al matemtico para que
construyera mquinas de ataque y de defensa para la guerra. Lo consigui pero los inventos
de Arqumedes estuvieron guardados mucho tiempo porque la fiesta continua no haca pensar
precisamente en las contiendas blicas. Pero cuando las tropas romanas atacaron la ciudad
desplegando todo su podero blico las esperanzas se depositaron en Arqumedes que,
poniendo en funcionamiento sus mquinas consigui efectos que debieron fascinar a sus
contemporneos. Se cuenta que por efecto de ellas algunos barcos enemigos se elevaron en el
aire cayendo hasta hundirse en las aguas provocando que los tripulantes se tiraran por la
borda; otros eran levantados por la proa consiguiendo despus hundirlos por la popa. Haba
tambin cuerdas que accionadas por un mecanismo enlazaban una embarcacin y hacindola
girar la estrellaban contra las rocas mientras que grandsimas piedras llegaban desde atrs de
la muralla de la ciudad hasta destrozar las plataformas que sostenan las armas de los
romanos. Es de imaginarse la perplejidad de Marcelo, sus soldados y tambin la de los
siracusanos al ser espectadores de semejante demostracin del poder de la geometra de
Arqumedes que consegua semejantes efectos "sobrenaturales". Pero como el jefe romano
pens que el poder de las maquinarias estaba en que consegua que las cuerdas actuaran a
distancia, calcul que la situacin se le poda volver favorable si el ataque lo haca cerca de la
muralla as que se repleg y esper. Cuando consigui acercarse secretamente atac de nuevo
pero Arqumedes tena tambin inventos que a corta distancia y sin ser vistos por el enemigo
producan disparos cortos, persistentes y efectivos.
Los siracusanos que no haban usado todava sus armas estaban pendientes slo de las
mquinas de Arqumedes y los soldados romanos terminaron por aterrorizarse de tal forma
ante cualquier seal que viniera de Siracusa que con slo ver una cuerda por encima de la
muralla pensaban que Arqumedes preparaba algn ataque contra ellos y huan despavoridos
sin intentar siquiera defenderse. As que Marcelo decidi esperar y que el tiempo definiera el
sitio de Siracusa.
En tanto Marcelo conquist Megara, una de las ms antiguas ciudades de Sicilia y en
ella mat cerca de 8000 hombres. Sigui con sus conquistas sin que nadie pudiera vencerlo
hasta que un lacedonio, Damipo, intentando salir por el mar de Siracusa pero es tomado
prisionero. Los siracusanos ofrecen un rescate por este hombre as que Marcelo tuvo con ellos
varios encuentros para discutir las condiciones y as tuvo la oportunidad de observar una torre
que eventualmente poda ser un punto vulnerable para los siracusanos porque la muralla era
de fcil acceso en ese lugar. Marcelo aprovech esta circunstancia en las entrevistas y,
pacientemente, calcul el alto de las escaleras que necesitaba para que sus soldados
-
25
ingresaran en la ciudad. La oportunidad esperada la dio una fiesta en honor de Artemisa en
que los siracusanos bebieron y se relajaron lo suficiente como para que los romanos ocuparan
la torre, entraran en la ciudad y al amanecer, en cuanto los siracusanos notaron el movimiento
Marcelo hizo sonar las trompetas desde distintos puntos dando la ilusin de que el ataque era
mayor de lo que era y as en realidad consigui despertar el terror y tomar por fin la ciudad.
Lo que sigue es historia de guerra: la toma de la ciudad. Se cuenta que Marcelo llor al
contemplar la bella ciudad que momentos despus iba a ser saqueada porque los oficiales no
negaban el pillaje a los soldados. Pero lo que hizo famoso este episodio de la Segunda Guerra
Pnica fue la muerte de Arqumedes a manos de un soldado romano a pesar de que la orden
impartida era respetar la vida del gran matemtico. La leyenda cuenta que estaba tan absorto
en la solucin de un problema matemtico que no escuch al soldado cuando le orden que le
siguiera hasta donde se encontraba Marcelo, y entonces el soldado lo lance por la espalda y
lo mat. Y desde ese momento se instituy la vida de Arqumedes como un smbolo de la
actitud del cientfico en el sentido de una persona totalmente absorta y alejada de su realidad
ms inmediata. Aunque son varias las leyendas sobre este episodio, posiblemente sean todas
falsas ya que cuesta imaginar a un cientfico de la talla de Arqumedes, y ciudadano amante
de su patria desenganchado de la realidad de esa manera tan infantil. Tampoco hay razn
para creer esas historias en las que se dice que viva absorto, que se olvidaba hasta de comer
y de baarse.
Arqumedes pidi que pusieran en su tumba un cilindro conteniendo una esfera con la
inscripcin que mostrara la proporcin entre un slido y el otro.
La misma cultura que gener la matemtica griega, fiel al ideal platnico que se
desarroll en un estricto marco terico despreciando las aplicaciones, dio lugar tambin a
Arqumedes que personifica la conveniente y razonable reaccin que reivindica la actividad
tcnica, aunque l mismo seale el carcter deleznable y vil de las aplicaciones. Con su
"mtodo de exhaucin" avanza por nuevos caminos de clculo que trascienden los lmites
alcanzados hasta ese momento. Pero la tendencia de la poca era reconocer como
matemticamente vlido todo lo que estaba acabadamente demostrado al estilo eucldeo.
Como adems esta tendencia perdur por siglos, la obra de clculo de Arqumedes, que
hubiera adelantado el Clculo Infinitesimal, no fue reconocida y hubo que esperar la poca de
Galileo para seguir avanzando.
Quizs el detalle que engloba toda su obra sea que nunca public nada que explicara
en qu consistan sus mquinas. Justamente lo que le proporcion esa fama no humana sino
divina, para l era la menos importante de sus teoras matemticas.
-
26
Hipatya
El papel que tradicionalmente se ha asignado a las mujeres en la historia de la
matemtica es bien pobre y no es ste el caso de hacer un anlisis de las razones que han
llevado a las mujeres a ser colaboradoras de las creaciones de los hombres y han pasado a la
historia, en el mejor de los casos, como excelentes alumnas o colaboradoras perfectas. Lo
cierto es que la primera matemtica que consta en la historia es una mujer griega de
Alejandra que vivi en el siglo VI de nuestra era.
Naci en esa ciudad en el ao 370 y era hija de Then de Alejandra. Se dedic
enteramente a la ciencia y fue muy famosa por su sabidura, su elocuencia y tambin por su
belleza. Fund una escuela en su ciudad natal y en ella enseaba la filosofa de Platn y
Aristteles. Esta concepcin neo-platnica de la ciencia hizo que se dedicara a la matemtica xiii, trabaj las obras de Diofanto, las secciones cnicas xiv de Apolonio de Perga y tambin hizo
algunos aportes personales.
Sus actividades de jefe de la secta que floreca en la tierra de los faraones no eran bien
vistas por la Iglesia. Era el tiempo en que el cristianismo intentaba sentar las bases de sus
dogmas y luchaba constantemente contra lo que se consideraban herejas y por esa poca
Cirilo, sucesor de Tefilo en el patriarcado de Alejandra luchaba contra las teoras de Nestorio
que tenan gran repercusin. Nestorio era un telogo sirio que sostena que haba en Cristo
dos naturalezas y dos personas, una divina y otra humana, unidas de modo psicolgico, o sea
por la voluntad, y no de manera hiposttica. Un snodo romano lo conden en 430. Por su
parte el emperador Teodosio II convoc un concilio para condenar la doctrina de Nestorio. Este
concilio se reuni en feso, ciudad situada en el oeste del Asia Menor entre Esmirna y Mileto,
durante los aos 431, 432 y 433. Finalmente el concilio depuso a Nestorio por sus doctrinas y
Teodosio II lo desterr en el ao 435, confisc sus bienes y quem sus escritos, de los cuales
se conservan fragmentos.
Tal era la atmsfera en la poca en que Hipatya trabajaba en su academia y daba
conferencias sobre la filosofa griega y el arte de razonar de las matemticas. Aunque no se
sabe con precisin la razn que llev a Cirilo, hombre que dedic su vida a luchar contra
-
27
Nestorio, a instigar a sus monjes en contra de nuestra matemtica, lo cierto es que los monjes
consiguieron exaltar a la multitud en contra de ella y terminaron arrojndola bajo un carruaje.
Y as muri trgicamente a los cuarenta y cinco aos la primera matemtica que
consigna la historia a manos de fanticos que no soportaron la libertad que Hipatya tena para
divulgar su ideologa platnica.
Adems del hecho humano que conmueve en la desaparicin trgica de esta eminente
pensadora, el acontecimiento marca el fin de la gloriosa escuela de Alejandra.
-
28
Los rabes
Despus de los griegos antiguos que hicieron matemtica de veras por primera vez en
la historia, axiomatizando la ciencia de los nmeros y las figuras, recin despus del
Renacimiento el pensamiento humano alcanza el segundo grado de abstraccin matemtica y
en el tiempo intermedio pasaron muchas cosas para que la matemtica quedara olvidada
primero y fuera rescatada y reelaborada despus. En todo ese proceso tuvieron mucho que
ver los rabes que supieron valorar el saber griego, aprovechar la influencia de los hindes y
llevar a Europa todo eso que sera la base del movimiento del siglo de Descartes.
No hay entre los rabes grandes creadores comparables con un Euclides o un Leibniz
pero el pueblo rabe tuvo ciertas caractersticas peculiares que le permitieron trasvasar la
cultura de los griegos.
Los primitivos rabes eran un pueblo nmade que viva en la pennsula que estaba
limitada por Egipto, el Golfo Prsico, el ocano Indico y el Mar Rojo. Se dedicaban al cultivo en
los campos de Yemen, al cuidado de sus rebaos en las estepas de Hedjaz y tambin al pillaje
en las fronteras, ya que la ubicacin geogrfica les daba ventajas comerciales y polticas. El
nico nexo entre las tribus era el idioma y por lo dems tenan cada una un lder diferente,
adoraban astros distintos y poco antes de aparecer Mahoma ni siquiera conocan la escritura.
Si no fuera por las costas del golfo Prsico y del Mar Rojo, los rabes estaban incomunicados
con los otros pueblos pero lo ms importante es que no tenan demasiado inters en ellos
porque sus preocupaciones, si las tenan, se limitaban a la bebida, los placeres y, en todo
caso, a pelear entre ellos.
Durante el siglo VI apareci un hombre que, con su personalidad original, consigui
despertar en los rabes un destino bien diferente que los sac de la inactividad en que vivan.
Mahoma predicaba la existencia de un dios nico: Alah y afirmaba ser su profeta. Impuso la
oracin, el ayuno en el mes de ramadn, la limosna y la peregrinacin a la Meca. Prometa un
cielo despus de la muerte, estableci leyes jurdicas y en base a todo eso sent las bases de
una nacionalidad que consigui en el siglo VI transformar al pueblo cambiando su inactividad e
-
29
indolencia por un espritu de unidad y que canaliz su belicosidad hacia la conquista
organizada que los llev a expandirse hasta lograr un imperio.
A la muerte de Mahoma sus enseanzas fueron recopiladas en el Corn que no slo era
un libro religioso sino tambin un cdigo y una verdadera constitucin. Se lanzaron as los
musulmanes a la conquista. La revolucin religiosa y poltica que se produjo se ve claramente
al observar que an no haba terminado el siglo VII y ya dominaban el reino de Kabul, las
provincias de Kaschgar y el Pendjab y llegaron al extremo occidental de las costas de Africa
para encarar la conquista de Espaa.
Inspirados en el Corn y esgrimiendo las armas los rabes avanzaron desembarcando
en Algeciras en el ao 709 con el conde visigodo Don Julin que era gobernador de Centa y
quera vengarse del rey Don Rodrigo y su hija la Cava. Dos aos despus ocuparon Gibraltar y
poco despus Crdoba, al tiempo que Don Rodrigo, traicionado por el Obispo Don Opas era
vencido en Guadalete.
A cien aos de la muerte de Mahoma, en el ao 732, el imperio musulmn ya se
extenda desde el Indo hasta los Pirineos y la expansin haba dejado a su paso la destruccin
de cosas valiossimas sobre todo en Alejandra que en sus momentos de esplendor ostentara
su famosa biblioteca fundada por los ptolomeos. Pero los rabes tuvieron una curiosa actitud
hacia la ciencia que les permiti ser lo suficientemente respetuosos del saber antiguo como
para que a su paso no todo fuera devastado. El Corn no slo dice que "la espada es la llave
del cielo" y que "las heridas de los guerreros manan almizcle", sino tambin que "quien
ensea teme a Dios; quien le apetece, le adora; quien combate por ella, traba una pelea
sagrada, y quien la reparte, da limosna a los ignorantes"; "la tinta del sabio es tan preciosa
como la sangre del mrtir"; "el Paraso espera lo mismo a quien hizo buen uso de la pluma
que a quien cay al golpe de la espada". En realidad consideraban que la base fundamental de
la humanidad estaba en "la justicia del grande, la virtud del bueno , el arrojo del valiente"
pero tambin en "la ciencia del sabio". Esta es la filosofa que les permiti jugar ese papel
decisivo en la historia de la matemtica y que los hiciera, para los aficionados a los nmeros,
el smbolo del calculista de todos los tiempos.
Pero volvamos un poco la historia atrs. A consecuencia de las conquistas de Alejandro
Magno el saber griego se extendi por Siria y Mesopotamia, y las obras cientficas de los
sabios de Alejandra fueron traducidas en la escuela de Gondesapor, fundada por el monarca
Cosroes I en el ao 350. As que a pesar de la destruccin de las bibliotecas, la ciencia de los
antiguos no se perdi y las traducciones hechas por los monjes de Siria y los manuscritos
salvados de la destruccin alcanzaron para reconstruir la civilizacin griega que fue
transplantada a las Academias de Antioqua y Edessa. All se estudiaba principalmente las
obras de Aristteles, Hipcrates y Euclides y de ellas se nutrieron los rabes desde el ao 762
-
30
justamente porque el califa abasida Almansur traslad su corte de Bagdag, despus de
restablecer la paz en Mesopotamia y Persia, y dedic sus esfuerzos claramente a proteger las
letras y las ciencias.
De esta forma Bagdab, la nueva capital del imperio islmico, con la proteccin de los
primeros prncipes abasidas que actuaron como en otros tiempos los ptolomeos, se convirti, y
gracias tambin a su posicin geogrfica, en centro del saber, procesando y recreando dos
grandes civilizaciones, la griega y la hind. Se cuenta que con motivo de una indigestin que
probablemente tuviera su causa en los excesos de la vida cortesana, y que los mdicos
beduinos no pudieron curar, se recurri a la medicina de los asirios. Este suceso llev a
Alamnsur a pedir la traduccin del siraco al rabe de los libros de Hipcrates y Galeno. Al leer
las citas que mencionaban a Aristteles y a Euclides hizo tambin traducir esas obras. Esta
ancdota muestra claramente las inquietudes y los mviles de los rabes que contrastan con
las de los antiguos griegos a los que superaron sin embargo con ese arrojo que permitiera
lograr que la ciencia de los nmeros superara las barreras con que Pitgoras haba contenido
el avance de la aritmtica.
La Alta Edad Media es el perodo ms fecundo del contacto entre rabes y cristianos. En
ese lapso se da la corriente de traduccin que influy en el saber occidental. Este contacto se
dio por varios conductos: el comercio mediterrneo, las contiendas blicas pero en especial
por la permanencia rabe en tierras cristianas. Tambin las cruzadas influyeron desde fines
del siglo XI hasta fines del siglo XIII, que pusieron en contacto grandes masas de poblacin
cristiana y rabe.
Y as como los griegos se inmortalizaron como inventores de la ciencia matemtica, los
rabes sern para siempre los calculistas por excelencia. Quedaron en la historia de la
matemtica como hombres prcticos, resolvedores de problemas y giles calculadores.
Muchos son los autores que tomaron esta imagen para sus libros de problemas matemticos
recreativos. Y esto del entretenimiento no es casual porque tiene que ver con la vida de los
musulmanes mucho ms que con la de los griegos antiguos.
Malba Tahan en "El Hombre que Calculaba", libro que ha llegado a convertirse en un
clsico de los problemas divertidos de matemtica lo explica con estas palabras:
"Los rabes han sido siempre un pueblo paciente, acostumbrado a las adversidades del
clima, la falta de agua y los inmensos p ramos que les es preciso salvar para comunicarse con
todos los pueblos de su rea. La solitud del desierto, las noches silenciosas, el calor agobiante
durante el da y el fro penetrante al caer el sol, impiden en realidad una actividad fsica pero
predisponen el nimo para la meditacin.
-
31
Los griegos tambin hicieron filosofa pero para unos pocos, pero los pueblos rabes,
en cambio, la tomaron como principal ejercicio de su actividad mental, heredera de los
principios de la India a los que desarrollaron y engrandecieron por su cuenta"
Con una enorme dosis de poesa, Beremiz Samir, el personaje de este libro, plantea y
resuelve en forma amable problemas en los que habla de camellos del desierto, jeques
islamitas, turbantes, mercaderes, palacios, hermosas mujeres, califas y sin olvidarse de
mencionar a Pitgoras o Eratstenes, llevando al lector a la atmsfera en la que los rabes
gestaron el lgebra.
Un libro ms pequeo pero no menos ingenioso es Acertijos Derviches en el que Jaime
Ponichik expone una serie de rompecabezas lgicos cuyos personajes nos remontan a los
musulmanes en el desierto y sus costumbres. Esta analoga entre el lgebra y los musulmanes
se ve aprovechada ya en el ttulo en el que se alude a la secta de musulmanes negros que
guiados por mahdi Muhammad al Taaichi, se hicieron con el dominio de Sudn entre 1881 y
1898.
-
32
Omar Khayym
La mxima expresin de la matemtica rabe es la obra de Omar Khayym,
considerada la culminacin y perfeccin de los calculistas islmicos.
Omar Khayym es un matemtico persa famoso por su obra matemtica pero, ms
an, por ser poeta de modo que en l se ve claramente esa caracterstica de los rabes de
ocuparse de la ciencia pero desde una perspectiva diferente. Muy lejos de la visin platnica
de las ideas est este hombre cuya filosofa de la vida da gran importancia al vino y a los
placeres.
Omar Ibn Ibrahim al Khayyam naci cerca de Nishapur el ao 1040 de nuestra era,
segn Sixto Reguera, y adopt el sobrenombre de Khayyam en honor al oficio su padre que
era fabricante de tiendas.
Durante la poca de sus estudios que hizo en el colegio de su ciudad natal, ciudad
famosa por cierto, recibi la influencia de dos personas que se convertiran en amigos
entraables y que gozaran de fama considerable. Uno de esos compaeros de estudios era
Hassan Sabbah, que posteriormente fuera el jefe de la misteriosa secta de los Hachisistas y
que por esto fue llamado el "Anciano de la Montaa". El otro, Nzam-ol-Molk, con el tiempo
lleg a ser gran visir del sultn selyukida Alp Arslam y fue el que le facilit las cosas para que
Khayyam pudiera estudiar matemtica y astronoma.
Sus trabajos matemticos fueron muy valiosos, siempre en el sentido del aporte rabe,
es decir, no se trata de grandes teoras nuevas ni de concepciones drsticamente originales,
sino ms bien de un estudio de la obra de los griegos antiguos con un fuerte contenido de
clculo pragmtico. Compuso varias obras que hicieron crecer su fama de cientfico hasta
convertirlo en el ms grande de su poca. Una de las inspiraciones ms profundas, quizs, fue
el estudio de la astronoma. En realidad, leyendo su obra literaria es fcil imaginar a Khayyam
extasiado observando el cielo estrellado por las noches, por razones que trascendieran la
ciencia y lo llevara por los caminos de la poesa hasta la filosofa. Construy tablas de
astronoma y tambin se dedic al clculo aritmtico ideando un mtodo para calcular races
cuadradas y cbicas.
-
33
Lleg a demostrar algunos problemas de lgebra y en materia de ecuaciones cbicas,
es decir aquellas en la que la incgnita aparece elevada a la tercera potencia, consigui el
mayor progreso de los tiempos medievales. Lleg a dar una clasificacin completa de esas
ecuaciones con coeficientes positivos analizando todos los casos y encontrando soluciones por
vas geomtricas mediante la interseccin de cnicas. Este trabajo no fue conocido en
Occidente y es una pena ya que hubiera ahorrado mucho camino a los matemticos del
Renacimiento que, al ignorar las conclusiones de Khayym trataron de resolver las ecuaciones
siguiendo el camino algebraico que era ms conocido.
Escribi un tratado sobre algunos problemas de las definiciones de Euclides. Para
comprender la diferencia entre este ltimo trabajo y los otros, recordemos que Euclides fue el
genio que en la antigua Grecia busc la definiciones mnimas indispensables sobre las que
construy todos los conceptos geomtricos existentes pero no especific en su obra por qu ni
cmo se decidi por esos conceptos. Esta especie de misterio llev a los matemticos
posteriores a dar muchas vueltas sobre el tema de si Euclides haba elegido bien o no esos
puntos de partida para su teora as que esta obra de Khayym supone su preocupacin por
esta cuestin y es bien diferente de sus tablas de clculo.
Khayyam lleg a ser el Director del Observatorio de Merv y desde esa casa se dedic a
la reforma del calendario musulmn. Muri en Nishapur cuando tena 85 aos de edad.
La obra literaria que le dio fama mundial, Rubaiyat, consta slo de 170 cuartetos y
muestra una simplicidad muy especial para transmitir un materialismo que no es para nada
grosero y su preocupacin por el destino de la vida. Cuestiona claramente las creencias
religiosas de su poca y valora enormemente los placeres como medio de encontrarle sentido
a la existencia. En la desconfianza que siente por las verdades absolutas se advierte su
espritu cientfico y el aspecto que ms lo caracteriza es sin duda la rebelda. En sus poemas
que toman como tema bsico las costumbres musulmanes muestra claramente todas esas
condiciones que lo caracterizan. Lo que sigue son dos de esas cuartetas:
II
Qu vale ms? Examinar nuestra conciencia sentados en una taberna o
prosternarnos en una mezquita con el alma ausente? No me preocupa saber si tenemos un
Dios ni el destino que me reserva.
V
Puesto que ignoras lo que te reserva el maana, esfurzate por ser feliz hoy. Toma un
cntaro de vino, sintate a la luz de la luna y bebe pensando en que maana quizs la luna te
busque intilmente.
En Khayym, el ms grande matemtico rabe, se aprecia claramente la influencia de
la Astronoma como motivacin a la investigacin matemtica. Pero tambin hay una
-
34
bsqueda de la verdad en la ciencia. Su filosofa es una muestra de la actitud rabe ante la
vida y en su poesa se advierten no slo los valores de su civilizacin sino tambin una actitud
crtica hacia las verdades dogmticas que evidencian su formacin cientfica.
-
35
Durero
Albrecht Drer, ms conocido entre nosotros por su nombre castellanizado, Durero, fue
el artista alemn cuya obra ha gozado de gran fama durante el medio milenio que transcurri
desde su creacin hasta nuestros das y es considerado el pintor ms conocido de Alemania.
Quizs su capacidad de expresar la relacin entre la vida y el arte, slo superada por la de
Leonardo, sea la causa de su gloria artstica.
Durero naci en Nuremberg el 21 de mayo de 1471 y su padre era un famoso, aunque
no rico, orfebre. Despus de dedicarse un tiempo al oficio de su padre, se hizo evidente su
pasin por la pintura as que ingres al taller del mejor pintor y dibujante de su ciudad. Ms
tarde empez a peregrinar por otros talleres tal como era la costumb re de la poca a fin de
aprender el oficio. Cuando lleg el momento de viajar al extranjero en busca de otras
corrientes artsticas que enriquecieran su estilo no fue a Holanda como era habitual entre los
alemanes sino que decidi que la pintura italiana era la ms excelsa y se estableci en
Venecia. En esa poca aprendi las leyes de las proporciones que consista en aplicar
conocimientos matemticos al dibujo ya sea trazando figuras geomtricas como calculando
proporciones para determinar las distancias. La representacin de la figura humana fue en
todo momento el tema central de las obras de Durero y al cabo de intensos estudios lleg a la
conclusin de que para lograr la belleza en el trazado de las formas humanas no bastaba con
la fantasa artstica sino que era imprescindible la ayuda de la geometra. Convencido de que
los pintores italianos haban heredado esa ciencia de los antiguos griegos consideraba que
ellos estaban en ventaja respecto de los artistas de otras nacionalidades.
As se dedic, al igual que Leonardo da Vinci, a encontrar la belleza en la
representacin de las formas humanas con regla y comps. En "Instrucciones sobre la medida"
y "Manual sobre las proporciones" explica detalladamente las conclusiones sobre la creacin
artstica a las que lleg con el auxilio de la matemtica.
Su grabado Melancola, que aparece en la tapa de este libro, es quizs el que se acerca
ms al contenido de este libro ya que muestra la influencia que tuvieron los problemas que le
plante el arte a la creacin ma temtica y tambin deja ver las pasiones humanas que forman
-
36
la vida de un demostrador de teoremas. Aparece en el grabado un cuadrado mgico de orden
cuatro, es decir, de cuatro filas y cuatro columnas.
Aunque ya cito en otro lugar el tema de los curiosos cuadrados, dar aqu algunos detalles
para destacar luego las particularidades, ingeniosas por cierto, del cuadrado de Melancola, En
estos cuadros de nmeros aparecen los nmeros del 1 al 16 dispuestos de tal forma que, al
sumar los nmeros de cada fila da siempre el mismo resultado:
16 3 2
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
16 +3 +2 +13 = 34
5 + 10 +11+8 = 34
9 + 6 +7 +12 = 34
4 + 15 + 14 + 1 = 34
Lo mismo sucede si se suman los nmeros de cada columna y de cada diagonal.
En realidad se trata de un cuadrado mgico con ms propiedades de las habituales y
una de las ms pintorescas es que en las dos casillas centrales de la fila inferior aparece la
fecha de creacin de la obra: 1514.
Ms extraordinario an es el hecho de que la suma de los cuadrados de los nmeros de
las dos filas superiores sea igual a la suma de los cuadrados de los de las dos filas inferiores.
Adems, al sumar los cuadrados de los nmeros de filas alternadas (primera y tercera,
segunda y cuarta) da el mismo resultado. Y eso tambin coincide si se toman columnas!
Otro hecho asombroso es que la suma de los cuadrados de los nmeros situados sobre
las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los nmeros no situados sobre las
diagonales y la suma de los cubos tambin es igual!
No podan faltar las secciones ureas en esta obra de arte y el lector podr constatarlo
midiendo la altura de la campana con relacin a la del reloj de arena, la posicin del sol o la
base del codo de la figura central con respecto a la altura total.
Si bien hay muchas versiones sobre lo que realmente intent representar Durero en
este grabado con tan dismiles objetos, no puede dudarse que hace aparecer a la matemtica
involucrada con los temas ms cotidianos y vitales.
-
37
-
38
Los carteles de desafo renacentistas
En el Occidente europeo en la Edad Media las obras de los matemticos griegos
llegaban a los lectores despus de haber pasado por manos de los traductores rabes y a
travs del trabajo de muchos copistas as que fueron verdaderas desfiguraciones de las obras
originales. Pero con la toma de Constantinopla en poder de los turcos los griegos cultos que
huyeron de la invasin otomana fueron los que hicieron conocer al Occidente europeo a los
grandes matemticos de la antigedad. Los originales que trajeron fueron rpidamente
multiplicados por la imprenta recientemente inventada por Gutenberg. Esto vino a modificar
mucho las cosas porque los matemticos no contaban con ejemplares suficientes y ya no
existan centros de reunin cientfica, como antiguamente en Alejandra. De modo que la
imprenta inaugura pocas nuevas no slo en lo poltico sino tambin en lo cientfico. El
Renacimiento se caracteriza as por una gran actividad en las artes y en las ciencias y, en
especial en el caso del lgebra dio origen al lgebra sincopada que era una ciencia de origen
rabe que se ocupaba del estudio de las ecuaciones. xv Estas expresiones matemticas, como
se sabe, constan de una incgnita que casi siempre simbolizamos con una x, y de las cuales
obtenemos su valor cuando resolvemos la ecuacin. Esta manera de nombrar a la incgnita es
de origen posterior; los rabes la llamaron res que significa cosa porque cuando se trataba de,
por ejemplo:
2 + x = 5
ellos decan cul es la cosa que sumada a 2 da por resultado 5?
As llamaron "regla de la cosa" al lgebra y denominaban con una R a la incgnita.
La matemtica en general y en especial el lgebra sincopada se desarrollaron
enormemente en Italia que fue la primera en tener la influencia griega y recibi un impulso
que dur hasta fines del siglo XVI en que Vite inicia el lgebra simblica. Estudiadas las
ecuaciones de primer y segundo grado xvi, los matemticos, llevados por una especie de
exagerada optimismo, confiaron en que su trabajo les llevar a encontrar las frmulas que
resuelvan cualquier ecuacin sin que influya el grado. As se lanzaron a la investigacin en
circunstancias que estuvieron determinadas por las caractersticas peculiares de la poca.
-
39
Finalmente la manera de resolver las de tercer grado se encontr en esta poca y en las
circunstancias que relatar. En cuanto a las ecuaciones que tenan grado mayor que tres
tuvieron que esperar mucho tiempo ms.xvii
Los protagonistas de este episodio son Tartaglia y Cardano. El verdadero nombre de
Tartaglia era Nicol Fontana y no se sabe la fecha de su nacimiento. El sobrenombre, que
luego lleg a ser su apellido, significa tartamudo y as era a causa de unas heridas recibidas en
la niez. Cuando Gaston de Foix tom Bresia, que era la ciudad de la infancia de Tartaglia, el
19 de febrero de 1512, los habitantes se refugiaron en la catedral pero los soldados entraron
igualmente al templo y atacaron a la gente. Tartaglia fue herido despiadadamente sufriendo
fractura de crneo, una rotura en la mandbula y tambin en la lengua. Salv milagrosamente
su vida porque su madre le brind enormes cuidados y as y todo estuvo mucho tiempo sin
poder hablar ni comer. Su padre que se llamaba Micheletto muri cuando Tartaglia y sus dos
hermanos eran pequeos.
En estas circunstancias, y llevando una vida de gran estrechez econmica, Tartaglia no
tuvo la posibilidad de recibir educacin, ni siquiera saba escribir en latn que era la lengua
culta de la poca y por esto public en italiano vulgar, que era el idioma que hablaba. De
todos modos estudi por su cuenta, aprendi a leer y escribir y despus ley lo suficiente
como para desenvolverse como profesor y tambin como investigador matemtico. Se dedic
a dar clases particulares y a escribir. Adems de toda su obra a travs de los carteles de
desafo hizo la primer versin en italiano de Los Elementos de Euclides y tambin tradujo
obras de otros griegos, Arqumedes entre ellos. Ense en varias ciudades de la Repblica de
Venecia. Entre 1521 y 1523 fue profesor en Verona; en 1526 estaba en Mantua; en 1534
ense en Venecia; en 1548 volvi a Bresia y finalmente regres a Venecia en donde muri el
13 de diciembre de 1557.
Tartaglia actu en la cosa pblica a travs de trabajos suyos inspirados en los
problemas de actualidad. Escribi una enciclopedia donde se encuentran incidentalmente
preciosos informes sobre la vida ordinaria y los usos y costumbres comerciales de la Italia del
Renacimiento. Denunci la ley de usura, explicando la manera de que se valan los
terratenientes para burlarla. Y como los magistrados de Verona le pidieron que usara sus
conocimientos de matemtica para determinar el precio del pan en funcin del valor del trigo,
l ide una escala mvil que resolva el problema.
El otro matemtico que tuvo mucho que ver con la cuestin de las ecuaciones de tercer
grado es Gernimo Cardano que fue sin duda una de los personajes ms curiosos del
Renacimiento. En su vida estrafalaria se alternan los episodios ms variados. Fue un prolfico
escritor sobre temas diversos en los que la astrologa y la ma gia le valieron ms fama e
influencias que sus obras cientficas de dudosa autora.
-
40
Naci en Pava el 24 de setiembre de 1501. Era hijo de un jurisconsulto milans as que
las circunstancias de su vida fueron muy distintas de las de Tartaglia. Pudo estudiar en su
ciudad y despus en la Universidad de Padua hizo la carrera de Medicina. Ser mdico fue su
verdadera profesin y se dedic a la matemtica slo por pasatiempo. Posiblemente su obra
ms original son unos escritos sobre juegos