Equações

*Conceito

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a ideia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.

*A primeira referencia a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 anos.

*Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.

*Como surgiu o “ X”

*Os gregos resolviam equações através de Geometria.

*Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.

*As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”.

*Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.

*A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.

*Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.

*E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.

*Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.

Resolução de uma equação

*   Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 83a - b - c = 0

* Não são equações:4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3   (Não é igualdade)5 ≠ - 2  (não é sentença aberta, nem igualdade)

* Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

    A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

*    Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2ºmembro.

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Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma

Equação

*  Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

*     Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

*     Observe este outro exemplo:

   Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

            O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

        Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

  Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

  Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.    Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

* Substituir a incógnita por esse número.

* Determinar o valor de cada membro da equação.

* Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.     Exemplos:                Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação   x - 2  = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

*                                         Para x = 0 na equação x - 2  = 0 temos: 0 - 2 = 0  => -2 = 0. (F)

*                                         Para x = 1 na equação x - 2  = 0 temos: 1 - 2 = 0  => -1 = 0. (F)

*                                         Para x = 2 na equação x - 2  = 0 temos: 2 - 2 = 0  => 0 = 0. (V)

*                                         Para x = 3 na equação x - 2  = 0 temos: 3 - 2 = 0  => 1 = 0. (F)

    Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.                                       

*                                         Para x = -1 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1  => -7 = 1. (F)

*                                         Para x = 0 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1  => -5 = 1. (F)

*                                         Para x = 1 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1  => -3 = 1. (F)

*                                         Para x = 2 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1  => -1 = 1. (F)

*      A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V =  Ø.