A fatoração de Leibniz e o Problema 25 - Capítulo 19 - História da Matemática – BOYER Carl B.

Antecedendo a resolução do problema 25 do capítulo 19 do livro História da Matemática, far-se-á a verificação da fatoração de Leibniz para 4 4x a+ expressa no texto:

→ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 24 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x a x a i x a i x a i x a i x a i x a i + = − = − = − + = − − − ⇒

⇒ ( ) ( )( ) ( )4 4x a x a i x a i x a i x a i+ = − + − − + − , na qual 1i = − .

Problema 25 - Capítulo 19

Verifique a afirmação de Leibniz de que 6 1 3 1 3= + − + − − .

Resolução:

A afirmação de Leibniz para a decomposição imaginária de um número real positivo pode ser escrita,

entretanto, como 6 1 3 1 3i i= + + − , assumindo que 1i = − . Seja, então, o desenvolvimento da expressão, na qual a e b são considerados reais:

→ ( )2

a ib a ib a ib+ + − = + 2 a ib a ib a ib+ ⋅ + ⋅ − + − ⇒

⇒ ( ) ( )( ) ( )2 222 2 2 2a ib a ib a a ib a ib a a ib+ + − = + + − = + − ⇒

⇒ ( ) ( )22 22a ib a ib a a b+ + − = + +

Para comprovar a afirmação de Leibniz, deve-se ter

→ ( )2 22 6a a b+ + = ⇒ 2 2 3a a b+ + = ⇒ 2 2 3a b a+ = − ⇒ ( ) ( )2

22 2 3a b a+ = − ⇒

⇒ 2a 2 29 6b a a+ = − + ⇒ 2 9 6b a= −

A partir da relação acima, admitindo-se que a deve ser inteiro positivo, tem-se

- para 1a = :

→ 2 9 6 1b = − ⋅ ⇒ 2 3b = ⇒ 3b =

- para 2a = :

→ 2 9 6 2b = − ⋅ ⇒ 2 3b = − ⇒ 3b = − ⇒ 3b i=

Nota-se que, para valores de a maiores que 1, o valor de b é imaginário, o que não condiz com a hipótese

assumida inicialmente. Daí, tem-se, para 1a = e 3b = ,

→ ( ) ( )2 2

21 3 1 3 2 1 1 3i i

+ + − = + +

⇒ ( ) ( )2

1 3 1 3 2 1 1 3i i+ + − = + + ⇒

⇒ ( ) ( )2

1 3 1 3 2 1 2i i+ + − = + ⇒ ( )2

1 3 1 3 6i i+ + − = ⇒

⇒ 1 3 1 3 6i i+ + − =

Em tempo:

Nota-se que, se a for inteiro negativo, várias expressões podem ser encontradas para 6 :

- para 1a = − :

→ ( )2 9 6 1b = − ⋅ − ⇒ 2 15b = ⇒ 15b =

a partir do que se escreve:

→ ( ) ( )22 22a ib a ib a a b+ + − = + + ⇒ ( ) ( ) ( )

2 221 15 1 15 2 1 1 15i i

− + + − − = − + − +

⇒

⇒ ( ) ( ) ( )2

1 15 1 15 2 1 1 15 2 1 4i i− + + − − = ⋅ − + + = ⋅ − + ⇒

⇒ ( )2

1 15 1 15 6i i− + + − − = ⇒ 1 15 1 15 6i i− + + − − = ;

- para 2a = − :

→ ( )2 9 6 2b = − ⋅ − ⇒ 2 21b = ⇒ 21b =

a partir do que se escreve:

→ ( ) ( )22 22a ib a ib a a b+ + − = + + ⇒ ( ) ( ) ( )

2 222 21 2 21 2 2 2 21i i

− + + − − = − + − +

⇒

⇒ ( ) ( ) ( )2

2 21 2 21 2 2 4 21 2 2 5i i− + + − − = ⋅ − + + = ⋅ − + ⇒ ( )2

2 21 2 21 6i i− + + − − = ⇒

⇒ 2 21 2 21 6i i− + + − − = ;

e assim sucessivamente. Ou seja, a partir do momento em que foi assumida a igualdade

( )2 22 6a a b+ + = , que implica na relação 2 9 6b a= − , pôde-se escrever várias expressões semelhantes

àquela de Leibniz.

Outra forma de verificar a afirmação de Leibniz, mais direta:

→ ( )2

1 3 1 3 1 3i i i+ + − = + 2 1 3 1 3 1 3i i i+ ⋅ + ⋅ − + − ⇒

⇒ ( ) ( ) ( )2

2 21 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 2 1 4i i i i i+ + − = + ⋅ + − = + ⋅ − = + ⋅ + ⇒

⇒ ( )2

1 3 1 3 2 2 2 6i i+ + − = + ⋅ = ⇒ 1 3 1 3 6i i+ + − = .

Para as outras expressões acima:

→ ( )2

1 15 1 15 1 15i i i− + + − − = − + 2 1 15 1 15 1 15i i i+ ⋅ − + ⋅ − − − − ⇒

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2

2 21 3 1 3 2 2 1 15 1 15 2 2 1 15 2 2 1 15i i i i i+ + − = − + ⋅ − + − − = − + ⋅ − − = − + ⋅ + ⇒

⇒ ( )2

1 15 1 15 2 2 4 6i i− + + − − = − + ⋅ = ⇒ 1 15 1 15 6i i− + + − − = .

→ ( )2

2 21 2 21 2 21i i i− + + − − = − + 2 2 21 2 21 2 21i i i+ ⋅ − + ⋅ − − − − ⇒

⇒ ( ) ( )( )2

2 21 2 21 4 2 2 21 2 21 4 2 2 21 2 21i i i i i i− + + − − = − + ⋅ − + ⋅ − − = − + ⋅ − + − − ⇒

⇒ ( ) ( )2

2 22 21 2 21 4 2 2 21 4 2 4 21i i i− + + − − = − + ⋅ − − = − + ⋅ + ⇒

⇒ ( )2

2 21 2 21 4 2 5 6i i− + + − − = − + ⋅ = ⇒ 2 21 2 21 6i i− + + − − = .

Comentário:

Obviamente, partindo-se da expressão conhecida fornecida por Leibniz, fica relativamente fácil escrever

as expressões anteriores. Contudo, o caminho que o matemático seguiu, se foi partindo de 6 , é bastante mais complicado se não houver a noção da resposta, lembrando ainda que tudo foi feito no século 17. Ou

seja, provar que 6 é igual a 1 3 1 3i i+ + − é mais difícil que o inverso.