historia de la fisica parte 1: de la prehistoria al...
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Historia de la Física Parte I
De la Prehistoria al
Renacimiento
Carlos Domingo Universidad de los Andes
Mérida, Venezuela
1
ediciones del domo
© Carlos Domingo
2012
Edicionesdeldomo.altervista.org
Barcelona 2017
2
Contenido
Figuras, 5
Capítulo 1, 8
La herencia pre-científica: explicación actual, 8
1.1 Prehistoria, 9
1.2 Presión: piedras, cuñas, hachas, cuchillos, clavos, lanzas, 10
1.3 Manejo de las fuerzas. Hilos y cuerdas, 19
1.4 Palancas y poleas, 22
1.5 Planos inclinados y rozamiento, 26
1.6 Impulsión: piedras, lanzas, jabalinas, impulsores, garrotes, hachas,
hondas, arcos y flechas, cerbatanas, 30
1.6.1 Proyectiles, 32
1.6.2 Impulsor, 35
1.6.3 Garrote, 36
1.6.4 Maza o mandarria, 36
1.6.5 Hacha, 36
1.6.6 Arcos y flechas, 36
1.6.7 Honda, 39
1.6.9 Cerbatana 42
1.7 Rodillos. Rueda. Discusión del rozamiento: deslizamiento y rodadura, 42
1.7.1 Rodillos, 42
1.7.2 Rueda y ejes, 43
1.7.3 Rozamiento, 44
1.8 Redes, cestería, tejido y telares. Coloración, 48
1.9 Construcciones, 50
1.9.1 Piedra. Construcciones de piedra, 51
1.9.2 Materiales de unión, 53
1.10 Roscas, Tornillos, Prensas, 54
3
1.11 Flotación. Navegación. Orientación. Remo y vela. Manejo del agua.
Regadío: su importancia social y económica, 57
1.12 Fuego: manejo, producción, calefacción, cocimiento, conservación,
incendio, limpieza de campos y fertilización, abrigo, cerámica, torno de
alfarero, ladrillos, metalurgia, destilación, 61
1.12.1 Combustión, 62
1.12.2 Producción del fuego, 65
1.12.3 Cerámica, 67
1.12.4 Tornos, 69
1.12.5 Vidrio, 70
1.12.6 Metalurgia oro, plata, cobre, bronce, latón, hierro, 72
1.13 Música: cuerdas, tubos, arcos, membranas, 79
1.13.1 Cuerdas, 80
1.13.2 Tubos. Ondas longitudinales, 85
1.13.3 Interferencias, 89
1.13.4 Ondas en un tubo, 92
1.14 Aritmética y Geometría. Babilonios Egipcios Griegos e Hindúes, 98
1.15 Producción de nuevas substancias, 102
1.15.1 Bebidas alcohólicas: 102
1.15.2 Aceites, 103
1.15.3 Jabón, 104
1.15.4 Productos lácteos, 105
1.15.5 Conservación de alimentos, 107
1.16 Limitaciones de la física no científica, 107
Capítulo 2, 109
La ciencia griega: Explicación de los fenómenos mediante modelos mentales,
109
2.1 Animismo y movimiento, 110
2.2 Filosofía del movimiento, 112
4
2.3 Pitagóricos. Modelo matemático del Universo, 117
2.4 Constitución básica del Universo, 119
2.4.1 La sustancia original, 120
2.4.2 Átomos y vacío, 124
2.4.3 Movimientos de los astros, 128
2.4.4 Aristóteles. El orden del Cosmos, 145
2.4.5 Arquímedes, 149
2.4.6 La ciencia en Alejandría, 171
2.4.7 Limitaciones de la ciencia griega, 175
2.4.8 Alquimia, 176
Capítulo 3, 181
Astronomía y Mecánica medieval. Aristotélicos y empiristas. El ímpetu.
Nicolás de Oresme. Nicolás de Cusa, 181
3.1 Aristotélicos Árabes y Escolásticos, 182
3.2 Nicolás de Oresme, 185
3.3 Nicolás de Cusa. La destrucción del Cosmos finito, 188
Capítulo 4. 191
Renacimiento. La revolución de Copérnico. Leonardo da Vinci, Kepler y
Galileo, 191
4.1 Copérnico y el sistema heliocéntrico, 192
4.2 Tycho Brahe. La acumulación de datos, 204
4.3 Kepler y la Nueva Astronomía, 208
4.4 Galileo. El movimiento de caída. Movimiento Local. La corporeidad de
los astros, 217
4.5 Stevin. Equilibrio de fuerzas. Deducción por imposibilidad de movimiento
continuo. Idea de vector, 237
4.6 Torricelli y Pascal: el vacío y la presión atmosférica, 239
4.7 Descartes. La visión mecánica del Universo, 247
4.8 La máquina de hacer vacío de Otto von Guericke, 251
5
4.9 Los Gases, 255
Bibliografía Parte I, 272
APENDICE 1, 275
Datación por Radiocarbono, 275
Termo-luminiscencia, 278
Figuras
Figura 1-1. S y s superficies p y P presiones ............................................ 13
Figura 1-2. Representación, composición y descomposición de fuerzas .. 17
Figura 1-3. Fuerzas de separación producidas por un cuchillo ( o cuña) .. 17
Figura 1-4. Uso de cuerdas para sumar trasladar y cambiar de dirección las
fuerzas ....................................................................................................... 19
Figura 1-5. Tipos de palancas de genero 1,2 y 3 y aplicaciones ............... 24
Figura 1-6. Fuerzas y roce en plano horizontal e inclinado ...................... 28
Figura 1-7. Impulsor alarga el trayecto en que se aplica la fuerza ............ 35
Figura 1-8. Equilibrio de fuerzas en el arco al tensarlo para disparar la
flecha. Arco ............................................................................................... 38
Figura 1-9. Movimiento circular uniforme ............................................... 41
Figura 1-10. Rozamiento. Rodillos. Vehículo arrastrado .......................... 48
Figura 1-11. Trabado de los hilos en telar manual horizontal ................... 50
Figura 1-12. Elevador de agua .................................................................. 56
Figura 1-13. Efecto de la combustión ....................................................... 63
Figura 1-14. Oscilación de cuerdas ........................................................... 81
Figura 1-15. Oscilaciones de relajación .................................................... 83
Figura 1-16. Propagación de una onda longitudinal ................................. 86
Figura 1-17. Teléfono de hilo tenso .......................................................... 88
Figura 1-18. Interferencia de dos trenes de ondas en sentido contrario .... 90
Figura 2-1. Aquiles y la tortuga .............................................................. 115
6
Figura 2-2. Movimiento aparente de las estrellas ................................... 130
Figura 2-3. La Tierra y la esfera celeste .................................................. 131
Figura 2-4. Movimiento aparente de Saturno y Venus ........................... 135
Figura 2-5. Sistema de esferas homocéntricas de Eudoxo ...................... 139
Figura 2-6. Los movimientos básicos de los planetas según Hiparco y
Ptolomeo ................................................................................................. 143
Figura 2-7. Ley de La Palanca ................................................................ 154
Figura 2-8. Centro de gravedad de cuerpo con dos partes diferentes ...... 158
Figura 2-9. Centro de gravedad de paralelogramo está en recta que une
puntos de medios de lados ...................................................................... 158
Figura 2-10. Centro de gravedad de un paralelogramo ........................... 160
Figura 2-11. Centro de gravedad del triángulo ....................................... 161
Figura 2-12. Equilibrio de cuerpos apoyados. Determinación empírica del
centro de gravedad .................................................................................. 164
Figura 2-13. Equilibrio de cuerpos flotantes ........................................... 170
Figura 2-14. Clepsidra. Turbina de vapor. Bomba de incendios ............. 174
Figura 3-1. Representación de un movimiento uniforme uno acelerado y
otro con saltos ......................................................................................... 186
Figura 4-1. Movimientos circulares reales y aparentes ........................... 195
Figura 4-2. Órbitas de Venus y Mercurio según Ptolomeo y según
Copérnico ................................................................................................ 199
Figura 4-3. Construcción de las órbitas planetarias ................................ 203
Figura 4-4. Eje para determinar la órbita terrestre .................................. 212
Figura 4-5. Ley de las áreas. Órbitas elípticas ........................................ 216
Figura 4-6. Caída de los cuerpos. Experimentos ideales ......................... 219
Figura 4-7. Experimento de Galileo en el movimiento acelerado ........... 223
Figura 4-8. Del péndulo al principio de inercia ...................................... 224
Figura 4-9. Lanzamiento horizontal con velocidad v = 19.6 m/s ............ 225
7
Figura 4-10. Objeción al movimiento de la Tierra. Respuesta de
Galileo..................................................................................................... 230
Figura 4-11. Stevin. Equilibrio de fuerzas en el plano inclinado ............ 238
Figura 4-12. La presión atmosférica ....................................................... 240
Figura 4-13. Ley de Boyle ...................................................................... 258
Figura 4-14. Variación de la presión con la altura .................................. 260
8
Capítulo 1
La herencia pre-científica: explicación actual
Desde tiempos prehistóricos todas las culturas y
civilizaciones desarrollaron una serie de
herramientas que suponen un conocimiento
intuitivo muy extenso de las relaciones físicas.
Describiremos algunas dando las explicaciones en
términos de la Física actual.
La utilidad de este capítulo es apreciar la
importancia del conocimiento intuitivo de la
humanidad, ver su relación con el conocimiento
científico actual y despertar la consciencia de los
principios físicos de las herramientas y procesos
que usamos a diario.
Por supuesto la explicación nuestra no es igual a la
que tenían los pueblos primitivos, la cual es un
interesante y a veces revelador tema de la
Antropología. Sin profundizar el tema puede
suponerse que los descubridores prehistóricos o de
la historia más antigua se basaban en observaciones
9
y en una identificación de ellos mismos con el
mundo que les rodeaba, en una forma de conocer
diferente a la nuestra que separa lo objetivo de lo
subjetivo construyendo modelos ideales basados en
los datos de la experiencia destinados a la
manipulación del mundo objetivo. Aquella
identificación, próxima a nuestras formas de pensar
místico y artístico, la llamamos “intuición”. Ver
Bergson (1903) para una distinción entre estas dos
formas de conocer.
1.1 Prehistoria
La Prehistoria de los seres humanos del tipo actual
(el homo sapiens sapiens parlante) abarca desde
hace unos 150.000 años hasta hace unos 6.000
(4.000 a.C.) cuando aparecen los primeros
documentos escritos y fechas y comienza la
Historia. La Prehistoria puede reconstruirse por
restos que pueden subsistir largo tiempo. La
datación de tales objetos (huesos, herramientas,
útiles domésticos, instrumentos, muebles, pinturas,
10
joyas, monumentos, ruinas) se ha hecho estudiando
sedimentos, depósitos de polen, círculos anuales de
troncos, magnetización de rocas, radioactividad de
las rocas y, desde 1946, mediante el carbono 14
radioactivo. Damos en el Apéndice 1 una breve
explicación de tal método.
La prehistoria suele dividirse en el Paleolítico
(instrumentos de piedra tallada) y Neolítico
(instrumentos de piedra pulida) cuando aparece
además la agricultura, cría de animales, los
primeros centros poblados y algo de metalurgia. Lo
que se ha llamado la revolución neolítica. Pero el
tránsito a este último período ocurre en muy
diferentes tiempos en diferentes regiones. Quedan
aún algunas culturas cuya forma de producción es
como la del Paleolítico.
1.2 Presión: piedras, cuñas, hachas,
cuchillos, clavos, lanzas
Antes de la ciencia existió una intuición muy clara
de los efectos de las fuerzas.
11
En particular la idea de presión está en el diseño de
muchas herramientas y armas para multiplicar el
efecto de la fuerza humana. Si hago fuerza con la
mano sobre un objeto y no consigo deformarlo o
romperlo puedo ensayar hacer fuerza a través de
una piedra o barra redondeada y de gran superficie
del lado en que mi mano ejerce la fuerza y estrecha
(puntiaguda o filosa) del lado en que hace contacto
con el objeto a romper. Si suponemos que la fuerza
que ejerce mi mano sobre la piedra o barra es igual
a la que ejerce esta sobre el objeto que quiero
modificar (lo cual parece plausible si la barra es
rígida o elástica) vemos que la acción aumenta al
disminuir la superficie en contacto con el cuerpo.
En los términos de la Física actual vemos que el
poder de penetración o rotura es mayor cuando
mayor es la relación:
contactodeSuperficie
ejercidaFuerza
S
F
Siendo F la fuerza sobre el cuerpo que se desea
romper o deformar y S la superficie de contacto de
12
la piedra y el cuerpo. Es decir, ese poder de
penetración crece al aumentar F y crece al disminuir
S.
Esa relación es lo que llamamos presión. Ver más
adelante los trabajos de Arquímedes, Torricelli, y
Pascal.
Más adelante discutiremos como se definieron las
unidades. La fuerza se mide en Newtons. Por ahora
diremos que 1 Newton es una fuerza igual
aproximadamente al peso de 15 monedas de Bs 100.
100 Newton son aproximadamente el peso de una
masa de 1 Kilogramo de materia (más exactamente
de 1,02 Kgr), y 1Kgr es aproximadamente el peso
de 1 litro de agua). Así que una persona de 70 Kg
pesa algo menos de 700 N). El Newton se abrevia
N. La superficie se mide en metros cuadrados.
Ejemplo 1.1 Empujamos por un extremo una barra
de 2cm2 =0,0002m2 de sección. En el otro extremo
tiene una punta de medio milímetro cuadrado de
sección o sea de 0,0000005 m2. Calcular la presión
que se hace empujando en el extremo ancho y la
13
presión que se ejerce en el extremo agudo. Expresar
la presión en Pascal. 1 Pascal es la presión de una
fuerza de 1Newton repartida en 1 m2. Se abrevia Pa
o bien N/m2.
Figura 1-1. S y s superficies p y P presiones
Nótese que 1 Pascal es una presión muy pequeña (1
N repartido en 1 metro cuadrado), por lo tanto, las
presiones calculadas dan números muy grandes. Por
ejemplo, la presión atmosférica es 101325 Pa o sea
cerca de la fuerza de 1kgr por cm2. Se suele usar
también el bar=100000 Pa o el milibar=100 Pa. La
presión atmosférica normal es de 1,01325
bar=1013,25 mbar que equivale a la presión en la
base de un tubo vertical lleno de mercurio hasta 760
mm
14
Ejemplo 1.2 Compare un pisotón hecho con el taco
de un señor que pesa 800 N con un taco de 50 cm2
con el de una dama de 450 N y un taco de 5 cm2
Ejemplo 1.3 Un automóvil tiene 4 ruedas cuyos
neumáticos de apoyan en el suelo en una superficie
de aplastamiento aproximadamente rectangular de
20cm por 15cm. La presión del neumático es 30
libras/pulgada2. ¿Cuánto pesa el automóvil?
Recordamos como la unidad de presión inglesa
libras/pulgada2 se transforma en Pascal:
1 libra=4.444 N ; 1 pulgada=2,54 cm=0,0254 m
1 libra/pulgada2=4,444 N/(0.0254 m)2=7110,4
N/m2= 7110,4 Pa
Con esto se calcula: peso del vehículo 25597,44 N
~2.61 Ton
El neumático como forma de sostener un vehículo
mediante aire comprimido en los neumáticos lo
inventó R. Thompson en 1845.
15
Ejemplo 1.4 Discutir las fuerzas que intervienen en
la suspensión neumática de un vehículo.
Por supuesto que los humanos prehistóricos no
conocían estas formas de definición y cálculo, pero
tenían una intuición clara de la diferencia entre
fuerza y presión. Por eso dieron en hacer las lanzas
y puñales puntiagudos y las hachas y cuchillos
filosos. En general usaban piedras como el sílex que
al romperse forman bordes filosos.
El cuchillo tiene otro efecto además de la presión
destructora. Una vez se ha hundido su filo ejerce
una gran fuerza de separación de las partes en que
se intenta dividir el objeto.
Para verlo hay que recordar las ideas de
representación y descomposición de fuerzas.
Adelantamos (ver Cap. 3 y 4: Leonardo Da Vinci,
Stevin, Newton y Varignon) que una fuerza se
representa por una línea con punta de flecha. El
largo de la línea representa la magnitud de la
fuerza, la orientación de la línea es la dirección o
línea a lo largo de la cual se ejerce la fuerza, el
16
origen de la línea es el punto donde se aplica la
fuerza y la flecha indica el sentido en que se ejerce
(de los dos posibles en una dirección dada). Si dos
fuerzas F1 y F2 de diferentes direcciones se aplican
en un punto se pueden reemplazar por una fuerza F
que sea la “suma” de las dos y se demuestra que esta
suma está representada por una flecha que es la
diagonal del paralelogramo que tiene por lados las
flechas de las dos fuerzas.
Veremos, recíprocamente, que una fuerza F se
puede siempre sustituir por dos fuerzas del mismo
origen o punto de aplicación, que tengan dos
direcciones cualesquiera prefijadas y que
produzcan los mismos efectos que la original. Para
hacerlo trazamos por el origen O las direcciones OP
y OQ prefijadas y trazando paralelas a dichas
direcciones por los extremos de la flecha hallamos
las dos representaciones de las fuerzas A y B
llamadas componentes que equivalen a la F
original y producen los mismos efectos. Otras
17
direcciones nos darían fuerzas equivalentes
distintas.
Figura 1-2. Representación, composición y descomposición de fuerzas
Si en un objeto hundimos un cuchillo o una cuña
que penetra cierta distancia en un objeto, cuando
ejercemos una fuerza F, la podemos sustituir por
dos fuerzas A y B perpendiculares a las caras del
cuchillo que se ejercen sobre las dos partes del
objeto. Estas fuerzas tienden a separar las dos partes
del objeto y pueden ser mucho mayores que F.
Figura 1-3. Fuerzas de separación producidas por un cuchillo ( o
cuña)
18
Ejemplo 1.5 Supongamos que la fuerza que tiende
a hundir el cuchillo es de 100 N y que el ángulo
entre las caras del cuchillo es de 5º. Hallar las
fuerzas de separación.
1. Resolver el problema gráficamente
representando la fuerza por una línea vertical igual
a 10 cm.
2. Resolverlo usando Trigonometría. Recordar que
en un triángulo de lados A, B, C con los respectivos
ángulos opuestos a, b, c es: csen
C
bsen
B
asen
A
Repetir el cálculo para un ángulo de 1º entre las
caras. ¿Qué conclusión saca?
Es evidente que los pueblos prehistóricos no
conocían estas fórmulas ni la regla del
paralelogramo para sumar fuerzas, pero sabían que
dos fuerzas aplicadas en un cuerpo equivalían a una
sola formando un ángulo menor con la mayor. Por
experiencia entendían el “efecto cuña” que
multiplicaba perpendicularmente a las caras la
19
fuerza ejercida en el borde. Estas relaciones
aproximadas les permitieron mover piedras
grandes, troncos, canoas y otros cuerpos pesados
optimizando el uso de la fuerza.
1.3 Manejo de las fuerzas. Hilos y cuerdas
Hay evidencias de hilos trenzados de hace 20.000 a
30.000 años. Se usaron para hacer ataduras y lazos
corredizos. No multiplican la fuerza, pero permiten
cambiar su punto de aplicación y dirección.
Permiten con ello aplicar varias fuerzas a un punto.
Figura 1-4. Uso de cuerdas para sumar trasladar y cambiar de
dirección las fuerzas
Las cuerdas fueron construidas de tiras finas de
cuero o de fibras vegetales (juncos, lino, yute,
cáñamo, maguey, cactus) que se separaban de los
20
tallos y hojas de ciertos vegetales (lino, algodón,
yute) o lana de animales (ovejas, llamas, alpacas).
La separación se hacía mecánicamente o por
fermentación en agua que destruía el material de
unión entre las fibras. Se obtenían así manojos de
fibras.
Los manojos de fibras tienen que ser lavados y
peinados (cardado) para poner las fibras paralelas
y se pueden dividir en haces de tamaño adecuado.
El retorcimiento de las fibras y el enrollado de los
hilos formados se hacía primero manualmente en la
rueca manual. El manojo, enrollado sin mucha
presión en una vara sostenida por una mano era
tomado por un extremo y con la otra mano se iba
desenrollando y se retorcía con dos dedos formando
el hilo. Este se dejaba enrollar en el huso, una vara
con un abultamiento en su parte media que hacía de
volante para mantener la rotación y se mantenía e
impulsaba con los otros dedos. Una pesa de arcilla
mantenía la tensión del hilo. Esta combinación de
movimientos requería mucha habilidad. Se
21
desarrolló a finales del Neolítico en Asia, Europa y
América.
La rueca, inventada tal vez en la India en tiempos
históricos, hacía esto mecánicamente con energía
manual o de un pedal con la cual se hacía girar una
rueda que, mediante una polea, hacía girar una
varilla (huso) en que enrollaba el haz proveniente
del manojo. Cada vez que se llenaba el huso se
retiraba el hilo extrayéndolo desde su origen, con lo
cual salía retorcido. En Europa se agregó una
bobina (movida también por la rueda) que extraía
continuamente el hilo que al salir quedaba
retorcido. El proceso continuo aumentó la
producción.
En el siglo XVIII se desarrollaron, basadas en esos
principios, las máquinas de cardar e hilar
(Arkwright y otros, 1850) movidas por molinos de
agua, y luego por máquinas de vapor, que fueron
clave para el desarrollo textil y la revolución
industrial.
22
Los hilos se trenzaban a su vez produciendo cuerdas
para arrastrar masas, sostener toldos y para usos en
navegación.
El uso de las cuerdas abrió paso descubrimiento de
los nudos, lazos y redes que tuvo gran importancia
en el manejo y la captura de animales, en la pesca y
la navegación. Por último, permitió la elaboración
de tejidos y lienzos como veremos más adelante.
1.4 Palancas y poleas
La palanca ha sido utilizada desde la prehistoria.
Consiste en una barra rígida de madera, piedra y
más tarde de metal tal que al hacerse una fuerza
perpendicular a la barra (potencia) y apoyándose en
un punto permite ejercer una fuerza (resistencia)
diferente perpendicular a la barra en otro punto de
la barra. Estos 3 elementos, potencia o acción que
se ejerce sobre la palanca, resistencia o acción del
cuerpo sobre el que se quiere hacer fuerza y punto
de apoyo, pueden estar en distinto orden sobre la
23
barra dando lugar a 3 tipos de palanca
(Arquímedes).
Las distancias de los puntos de aplicación de P y R
al punto de apoyo A se llaman brazos de palanca
de P y R. La palanca está en equilibrio cuando cada
fuerza por su brazo de palanca son iguales en valor
pero tienden a girar la palanca en sentidos de
rotación contrarios alrededor del apoyo A. Es decir,
en la Figura 1-5 es: P×p =R×r
Esta ley fue demostrada por Arquímedes (287 a.C.
al 212 a.C.). Ver 2.
Ver los tres tipos de palanca en la figura. Notar que
al aumentar la fuerza obtenida R el desplazamiento
logrado se hace menor que el desplazamiento de la
fuerza aplicada P. La palanca de tipo 3 no aumenta
la fuerza sino el trayecto a lo largo del cual se ejerce
R. Más adelante discutimos esta relación entre
fuerzas y trayectos.
24
Figura 1-5. Tipos de palancas de genero 1,2 y 3 y aplicaciones
Las fuerzas indicadas son las que actúan sobre las
palancas. La pinza y el agarrador combina dos palancas
con un mismo punto de apoyo. Polea fija y móvil.
Nótese que la acción de la fuerza para rotar la
palanca alrededor de su apoyo es tanto más efectiva
cuanto más lejos está del apoyo su punto de
aplicación. Tal efectividad se mide por el producto
F×d de la intensidad de la fuerza por la distancia al
punto de aplicación medida perpendicularmente a la
fuerza. Tal producto se llama momento de la
fuerza respecto al punto de apoyo o centro de giro
25
de la rotación producida por la fuerza. Se lo suele
llamar también torca aplicada al cuerpo en el cual
actúan las fuerzas.
Ejemplo 1.6 Se tiene una barra rígida de 3m de
largo. Se desea levantar un peso R de 5000 N
haciendo una fuerza P de 100N a lo más. Calcular
la distancia desde R al punto de apoyo situado entre
P y R. Comparar usando una palanca de tipo 2.
R×x =P×(3–x)
Ejemplo 1.7 Discutir los principios físicos en el
funcionamiento de la tijera.
Ejemplo 1.8 Ver en un texto de Anatomía el tipo de
palanca de la fuerza del bíceps sobre los huesos del
antebrazo (radio). ¿Multiplica la fuerza o el
trayecto?
Las poleas son diversos tipos de palancas y
combinaciones con la rueda. En algunos casos el
punto de apoyo es móvil. Eran conocidas en el
mundo antiguo y se dice que Arquímedes construyó
poleas compuestas para acercar barcos al puerto de
Siracusa.
26
Ejemplo 1.9 En la polea fija de la Figura 1-5 los
radios de las poleas mayor y menor (que están
soldadas) son R=0,3 m y r=0.1 m respectivamente.
El peso a levantar es: R = 600 N. ¿Qué fuerza P debe
realizarse?
Ejemplo 1.10 En la polea móvil se está realizando
una fuerza P de 40 N. ¿Qué peso se levanta?
1.5 Planos inclinados y rozamiento
Fueron también empleados en la antigüedad para
arrastrar cargas pesadas como en las grandes
construcciones egipcias.
Las conclusiones prácticas eran:
El plano inclinado se puede utilizar para alzar
objetos pesados. La fuerza que hay que ejercer
hacia arriba paralela al plano es menor que el peso
del cuerpo.
Cuánto menos inclinación tiene el plano menos
fuerza se necesita para subir un cuerpo halándolo o
empujándolo a lo largo del plano, pero el trayecto
a lo largo del cual hay que ejercer la fuerza para
27
lograr cierta elevación aumenta cuando es menor
la inclinación del plano. Se comienza a ver el
compromiso entre fuerza y trayecto.
El roce debe disminuirse en lo posible pues siempre
se opone a la fuerza aplicada. Se logra reducirlo
alisando las superficies, lubricando o poniendo
rodillos entre el cuerpo y el plano. También
disminuye cuando la fuerza tiene una dirección que
tiende a levantar el objeto. Ver más adelante la
discusión del roce.
Las fuerzas actuantes en el caso de arrastrar un
cuerpo en un plano horizontal y en un plano
inclinado se ven en la Figura 1-6. P es el peso y es
la fuerza que ejerce el cuerpo sobre el plano. Más
adelante discutimos el rozamiento. Por ahora
observamos que el rozamiento siempre se opone a
la fuerza que mueve o intenta mover el cuerpo y que
tiene un valor máximo posible r=c N. siendo N la
fuerza perpendicular a las superficies de contacto
que ejerce el plano sobre el cuerpo y c un
coeficiente que depende del tipo de superficies.
28
Figura 1-6. Fuerzas y roce en plano horizontal e inclinado
Actúan sobre el cuerpo:
P: peso
N: reacción del plano.
1 Sin roce entre el cuerpo y plano. Cualquier fuerza
F acelera al cuerpo el cual adquiere una velocidad
creciente (aceleración).
2 Hay roce con valor máximo r. Toda fuerza menor
o igual que r origina una fuerza de roce igual, pero
de dirección contraria a F ejercida por el plano sobre
el cuerpo. La hemos trasladado al centro del cuerpo
para ver que se resta. El cuerpo no se mueve. r vale,
a lo más, c×N, siendo c el coeficiente de rozamiento
que depende de la naturaleza de las superficies
(Leonardo da Vinci, Coulomb).
29
3 Si se aplica una fuerza F´ mayor que el máximo
valor de r, o sea que c×N. La fuerza que acelera al
cuerpo es F´−r.
4 En el plano inclinado P y N no se equilibran, sino
que tienen una resultante F. Si no hay roce y se
aplica una fuerza F´ mayor que F, el cuerpo se
acelera hacia arriba. Si F´ es menor que F se acelera
hacia abajo; si F´=f hay equilibrio.
5 Si hay roce y r es el valor máximo de la fuerza de
roce, es decir r = c×N, y si no se aplica fuerza
externa se genera una fuerza contraria a F. Si F llega
a ser mayor que el r máximo, el cuerpo se mueve
hacia abajo bajo la acción de una fuerza F´−r
6 Si se aplica una fuerza F´ hacia arriba el cuerpo es
acelerado por una fuerza F´−F−r
Ejemplo 1.11 Se desea arrastrar un bulto de 500 N
a lo largo de una rampa de 15º de inclinación. El
coeficiente de roce entre el bulto y la rampa es c.
1.. Hallar la fuerza que hay que aplicar
despreciando el roce. R. 129.41 N
30
2.. Hallar la fuerza si el coeficiente de roce es c=0.4
R. 317.35 N
3.. Hallar la fuerza si, mediante rodillos, se reduce
c al valor 0.03. R. 143.50 N
Ejemplo 1.12 Se pone un cuerpo sobre una tabla
inclinada y se aumenta la inclinación hasta que
comience a deslizarse. Mostrar que la tangente del
ángulo al comenzar el deslizamiento es igual al
coeficiente c de rozamiento.
Ejemplo 1.13 Hallar la inclinación del plano que
hace mínima la fuerza paralela al plano para subir
una carga con cierto coeficiente de roce.
1.6 Impulsión: piedras, lanzas, jabalinas, impulsores, garrotes, hachas, hondas, arcos y flechas, cerbatanas
Hasta ahora hemos discutido artefactos en que se
transforman fuerzas una en otras, sin importar el
movimiento, por lo general muy lento, de los
cuerpos que componen dichos artefactos. Pues las
fuerzas están casi en equilibrio. Vimos las
31
condiciones para las cuales las fuerzas que actúan
estén en equilibrio. Se estudian en la rama de la
Física que se llama Estática.
Pero ya desde hace millones de años los humanos
sabían que las fuerzas pueden poner en movimiento
cuerpos y que estos objetos, dotados de velocidad
son capaces de producir cambios en otros objetos al
chocar con ellos. Estos cambios son mayores,
cuánto más masa y más velocidad tienen los
objetos. Pero también es cierto que para mover
objetos más grandes a grandes velocidades se
requieren fuerzas mayores actuando en trayectos
más largos o durante más tiempo. El “truco” que
descubrieron los primeros constructores de armas
arrojadizas es un efecto acumulativo de la acción
de la fuerza. Una fuerza, aunque sea débil aplicada
durante suficiente tiempo o a lo largo de suficiente
trayecto imprime al cuerpo que se arroja un
“ímpetu” que aumenta su capacidad de modificar el
cuerpo hacia el cual es arrojado. Al interactuar con
este lo hace, por lo general, durante un tiempo
32
mucho más corto o a lo largo de una trayectoria más
corta, pero la fuerza que ejerce es mucho mayor.
Volveremos sobre esta relación.
1.6.1 Proyectiles
Quizá los primeros usos del movimiento de objetos
consistieron en arrojar piedras, frutos duros, ramas
o huesos. Estas operaciones se han observado
realizadas por simios, (O. Wilson 1976) de manera
que debían ser conocidas por los primeros
homínidos. La impulsión se hace aplicando la
máxima fuerza sobre el objeto arrojadizo en una
trayectoria dada por el movimiento del brazo. El
objeto es soltado hacia el objetivo y si choca con él
puede romperlo o dañarlo con una penetración más
corta o más breve que las de la impulsión, pero la
fuerza es proporcionalmente mayor. Este simple
proceso puede haber sido importantísimo para los
primeros humanos por el efecto sobre un animal que
puede ser agredido a gran distancia, permitiendo a
los humanos ahuyentar y aún matar animales que
33
serían mucho más poderosos que los humanos en
una lucha cuerpo a cuerpo, la única que conocen las
fieras. El lanzamiento de una vara dotada de una
punta aguda (lanza o jabalina) combina el efecto
penetrante de la gran presión con el de la masa
móvil. Potencialmente estas armas han sido usadas
en conflictos entre humanos y como instrumentos
de dominio.
La experiencia muestra que el efecto que produce
un cuerpo móvil al chocar depende de su velocidad,
pero también de su peso, o más exactamente de su
masa, que mide la dificultad de ponerlo en
movimiento cuando está libre de roces y vínculos.
Sin discutir por ahora como se mide la masa (ver
Newton, Mach) digamos que se expresa en
Kilogramos (se abrevia K). Un litro de agua tiene la
masa de 1 K. La velocidad se mide en metros por
segundo. Un cuerpo tiene una unidad de velocidad
cuando recorre un metro en un segundo. Un
automóvil a la velocidad permitida en una autopista
34
(80 Km/hora) tiene una velocidad de 80 Km/hora
=80×1000m/3600s = 22.2 m/s.
En la Física actual hay dos maneras de medir el
poder modificador de un cuerpo en movimiento de
masa m y velocidad v:
1) La llamada energía cinética: cE ½ 2mv
2) La llamada cantidad de movimiento: mvI
Como veremos más adelante estos dos modos
resultan de considerar el origen de ese poder de
modificación de un cuerpo en movimiento:
1) La fuerza F actuando a lo largo de un
recorrido d, medida por el producto Fd
2) La fuerza F actuando durante un tiempo t,
medida por el producto Ft
Esto corresponde a la idea intuitiva, nacida de la
observación, de que el efecto de una fuerza para
impulsar un cuerpo se acumula si la fuerza actúa
sobre el cuerpo a lo largo de cierto recorrido o bien
si actúa durante un cierto tiempo.
35
Tal idea intuitiva era clara para los constructores
prehistóricos de armas y herramientas. El problema
era lograr grandes velocidades en masas
considerables contando con el corto alcance y
fuerza del ser humano.
1.6.2 Impulsor
Es una vara que tiene en su extremo una hendidura
en la cual se puede apoyar una jabalina. La vara se
toma del otro extremo y se pone vertical algo hacia
atrás y se apoya en su hendidura parte de la cola de
la jabalina. Luego se mueve la vara rápidamente
hacia delante, impulsando la jabalina a lo largo de
un trayecto más largo que lo que se conseguiría con
el brazo.
Figura 1-7. Impulsor alarga el trayecto en que se aplica la fuerza
36
1.6.3 Garrote
Es una simple vara gruesa que se impulsa
tomándola por un extremo con un movimiento
circular del brazo. Se comprobó que convenía
agregar más masa en el otro extremo ya que allí está
el recorrido más largo que es movido.
1.6.4 Maza o mandarria
En ella se modifica el garrote poniendo una gran
masa de piedra o metal y una vara para impulsarla.
Se alarga el recorrido de esta masa.
1.6.5 Hacha
Combina el efecto de movimiento de la maza con la
presión y poder penetrante del filo. Se usó para
cortar madera huesos y como arma.
1.6.6 Arcos y flechas
Aparecen en África hace unos 30.000 años (J.
Reader. (1999) p.145). Requieren el conocimiento
de la elasticidad de una vara de madera y el uso de
37
cuerdas que la mantengan curvada. Además,
requiere el uso de jabalinas o flechas con puntas
aguzadas como arma arrojadiza que es algo
descubierto mucho antes (hay restos de hace 44.000
años). Esta combinación no es nada trivial. El arco
tensado almacena tensión en forma de deformación
elástica. Esto se debe a que, en un cuerpo elástico
como la madera, las fuerzas moleculares tienden a
mantener las moléculas a distancias fijas. Si las
separamos estirando el cuerpo aparecen fuerzas de
atracción para restituir las distancias. Si las
acercamos comprimiendo el cuerpo aparecen
fuerzas de rechazo entre las moléculas. Por eso el
cuerpo es elástico (se recobra de las
deformaciones). Al tensar el arco en la parte que se
pone convexa se estira más y aparecen fuerzas de
atracción entre las moléculas y en la cóncava la
compresión produce fuerzas de repulsión que se
equilibran con las tensiones de la cuerda sobre el
arco (Figura 1.8). Al soltar la cuerda y la flecha, las
fuerzas moleculares vuelven el arco rápidamente a
38
su forma normal impulsando la flecha. Esta
adquiere velocidad en el sentido en que apuntaba la
flecha y puede llegar muy lejos y clavarse en el
objetivo. El efecto puede ser mucho mayor y más
preciso (pues permite “apuntar”) que el obtenido
arrojando la flecha a mano o con impulsores.
Figura 1-8. Equilibrio de fuerzas en el arco al tensarlo para disparar
la flecha. Arco
En 1 el arco está en su estado inicial con fuerzas que
lo curvan (no indicadas)
En 2 el arquero aplica la fuerza F que tensa el arco
y la M que lo mantiene en su lugar.
Aparecen en los extremos las fuerzas de tensión
interna que tienden a eliminar la curvatura: son los
pares A B y C D que se compensan.
Las tensiones de la cuerda E F equilibran T y G H
equilibran M. En 3, al soltar la flecha van
39
desapareciendo T, M, E, F, G, H mientras los pares
de fuerzas A, B y C, D eliminan la curvatura
producida por la tensión y la cuerda empuja la
flecha 3.
En 4 se ve una forma de aumentar el recorrido a lo
largo del cual se aplica la fuerza; es el arco reverso,
cuya convexidad se dirige hacia el arquero y al ser
tendido se curva hacia el otro lado. Es mucho más
efectivo. Fue llevado a Europa por los hunos de
Atila.
1.6.7 Honda
Consiste en una cuerda que en su punto medio tiene
un pedazo de cuero o tela para que apoye en él una
piedra. El hondero la toma juntando ambos
extremos con una mano y la hace girar rotando su
mano en una pequeña circunferencia de modo que
la piedra sujeta por el cuero describa una
circunferencia amplia a gran velocidad. Cuando
suelta uno de los extremos de la cuerda la piedra
sale velozmente por la tangente. La habilidad del
40
hondero está en soltarla en el momento preciso para
que salga en la dirección apropiada y dé en el
objetivo. La astucia del mecanismo es alcanzar una
gran velocidad del proyectil (más que la del brazo o
el impulsor) en una distancia que está al alcance de
la mano.
Para entender su funcionamiento es necesario
adelantar las definiciones sobre el movimiento
circular. En un cuerpo que sigue una trayectoria
circular, como la piedra de la honda, lo que importa
no es el camino recorrido por unidad de tiempo
(velocidad) pues el camino se repite muchas veces
con iguales características, sino el ángulo girado por
unidad de tiempo. Se llama velocidad angular
dt
daw . Su expresión fue descubierta por Huyghens
y Newton.
41
Figura 1-9. Movimiento circular uniforme
Masa=m, velocidad angular=w, tangencial=v, fuerza
centrípeta=F, energía cinética=Ec. Honda.
Ejemplo 1.14 Un hondero llega a hacer girar una
honda de 1m a la velocidad de 10 vueltas por
segundo, (una vuelta es un ángulo de 2 ).
Calcular a qué velocidad sale la piedra.
Suponiendo la masa de la piedra igual a 0,3 K,
calcular la energía cinética. Comparar con la de una
flecha de 0,2 Kg a 30 m/seg y de una bala de 0,05
Kg disparada a 600 m/seg. La energía se mide en K
m2 /seg2 unidad llamada Joule (energía de una masa
de 1K que se mueve a 1m/seg).
42
1.6.9 Cerbatana
Sirve para disparar con buena puntería a animales
pequeños cercanos consiste en una pequeña flecha
fija a un tapón flojo que se introduce en una caña.
Se sopla con violencia en el otro extremo
disparando la flecha. Es útil en la selva donde es
posible acercarse mucho al blanco. En algunos
pueblos se usaban puntas envenenadas. Aún se usa
el curare que paraliza a la víctima.
1.7 Rodillos. Rueda. Discusión del rozamiento: deslizamiento y rodadura El invento de la rueda siguió varias etapas desde los
simples rodillos a los vehículos con tracción
interna.
1.7.1 Rodillos
Es posible que pedazos de troncos de árbol se hayan
usado ya en el Neolítico y más seguramente en
Mesopotamia y Egipto como rodillos para
transportar grandes piedras o monumentos.
43
1.7.2 Rueda y ejes
Un paso decisivo fue el de unir el disco al objeto
transportado por un saliente o eje fijo que se
insertaba en un agujero del disco. Una carreta de
cuatro ruedas utilizada para la guerra puede verse
en un relieve sumerio del 2600 a.C. aunque se ha
encontrado un dibujo de carreta de cuatro ruedas en
un vaso de la Edad del Bronce, del 4000 a.C. en
Polonia.
Este paso no se dio en América en el uso de
transporte, aunque se han encontrado juguetes de
niños con ruedas entre los Mayas. Esto muestra que
a veces el descubrimiento se hace, pero no se
generalizan sus aplicaciones.
La ventaja de usar la rueda es que se disminuye
mucho el rozamiento permitiendo mayor velocidad
con igual fuerza. La explicación de la resistencia al
deslizamiento y la rodadura no es simple.
44
1.7.3 Rozamiento
El roce entre superficies planas es un fenómeno
muy complejo.
La primera causa es la rugosidad de las superficies
que “engranan” una con otra y requieren de una
fuerza para saltar las irregularidades. La fuerza
requerida es mayor cuanto mayor es la presión que
profundiza la interpenetración. Como las
superficies en contacto no son rígidas se producen
deformaciones elásticas en las irregularidades las
cuales se oponen a la fuerza aplicada, también las
hay inelásticas que producen calentamiento
vibraciones y sonido. Si la superficie se hace más
extensa aumenta proporcionalmente el número de
irregularidades que engranan pero como disminuye
proporcionalmente la presión que ocasiona la
trabazón la fuerza del roce queda aproximadamente
igual. Es decir, no depende de la extensión de las
superficies en contacto sino de la fuerza en
dirección perpendicular a las superficies en
contacto. Otra causa del roce es que en los puntos
45
de contacto las moléculas se pegan por fuerzas
moleculares de naturaleza eléctrica y hay que
ejercer una fuerza para despegarlas. La presión hace
que más moléculas se acerquen y lleguen a pegarse
y al aumentar la superficie hay más moléculas que
se pegan, pero baja la presión, así que esta causa es
también independiente de la extensión de las
superficies en contacto.
1.Cuando efectuamos una fuerza F horizontal sobre
un cuerpo en un plano horizontal, el cuerpo no se
mueve porque la fuerza del roce se opone a la
aplicada y crece con esta hasta llegar a un máximo
r=c×F. Si la fuerza aplicada crece más, el cuerpo se
mueve como si se le aplicara la fuerza F–r.
La fuerza de roce cuando el cuerpo se mueve es algo
menor que la máxima cuando está en reposo, pues
las superficies van saltando sobre las
irregularidades sin llegar todas a producir
trabamiento o pegamiento molecular.
En el roce por rodadura el fenómeno, como lo
observó Leibniz, es muy diferente. No hay
46
deslizamiento entre las superficies así que no hay
fuerza para vencer el entrabamiento de las
irregularidades. Si se obliga a la rueda a avanzar
mediante una fuerza horizontal sobre el vehículo
que empuja la rueda, esta, antes de deslizarse, gira,
para lo cual requiere una fuerza para el despegue en
la parte de atrás de la superficie de aplastamiento,
cuya atracción no se equilibra totalmente con la
débil atracción de las partes delanteras. Pero la
fuerza de avance para vencer las fuerzas
moleculares que se oponen a la rotación, es menor
que en el arrastre por deslizamiento.
A este roce por rodadura hay que agregar el roce de
deslizamiento entre la rueda que gira y sus soportes
que la unen al carruaje, sea por salientes que se
insertan en un agujero en el centro de la rueda, sea
en los apoyos fijos al carruaje de ejes rotatorios
fijados al centro de la rueda.
En los primeros usos la rueda giraba al arrastrar el
carro mediante tracción animal o humana. La idea
de impulsar el carro haciendo girar la rueda, es una
47
inversión nada trivial que se descubrió
posteriormente. En el caso en que se hace girar la
rueda para mover el vehículo, el fenómeno es
diferente del de la rodadura por arrastre. La rotación
de la rueda impulsora hace que la rueda en la
superficie de contacto produzca el engranamiento
de sus irregularidades y pegamientos con las del
piso, pero no hay resbalamiento si el vehículo puede
avanzar. Si frenamos al mismo tiempo el vehículo,
halándolo con una cuerda hacia atrás (como cuando
trata de arrastrar una carga) solamente habrá
resbalamiento cuando la fuerza de roce generada
por los engranamientos y pegamentos sea superada.
Es decir, la rueda que trata de mover el vehículo
interacciona con el piso como un resbalamiento o
deslizamiento, no como una rodadura. Esto explica
por qué una locomotora puede arrastrar sin resbalar
a un conjunto de vagones que pesan mucho más que
ella. Para la fuerza que puede ejercer la locomotora
sin resbalar hay que considerar el roce por
deslizamiento. Para la fuerza para arrastrar los
48
vagones hay que considerar el roce por rodadura
que es mucho menor.
Figura 1-10. Rozamiento. Rodillos. Vehículo arrastrado
F=fuerza para arrastrar. Vehículo movido por las
ruedas: F en las ruedas produce el avance
La rueda se hizo más liviana al sustituir parte de su
masa por rayos radiales.
La tabla giratoria usada en alfarería es otro
antecedente de la rueda.
1.8 Redes, cestería, tejido y telares.
Coloración
El desarrollo de fibras, hilos, cuerdas y sogas
mencionado antes produjo, en algún momento la
idea de cruzar y anudar trabar hilos paralelos dando
lugar a cestos, redes, bolsas y tejidos.
Hay evidencias de cestos en Fayum, Egipto de hace
unos 12.000 años donde se realiza la idea de trabar
49
tiras vegetales formando estructuras usables para
agrupar y transportar objetos y materiales.
Restos de telas de hace 7000 a 8000 años se han
hallado en Asia Menor. En tumbas egipcias hay un
modelo del telar horizontal, donde los hilos se
disponen paralelamente en un plano y se fijan,
alternativamente, a pivotes fijos o a una barra
móvil, formando dos planos de hilos paralelos. Esto
permite cruzarlos moviendo la barra de manera que
pasan los móviles entre los fijos. Antes de cada
movimiento se pasa un nuevo hilo entre los planos
y al cruzarse esto planos de hilos queda el nuevo
hilo trabado con los de los planos. Se introduce
entonces una vara para empujar el nuevo hilo
cruzado y acercarlo a los ya trabados. Ver Figura 1-
11.
50
Figura 1-11. Trabado de los hilos en telar manual horizontal
Vista de arriba Vista de costado
Las telas para diversos usos tuvieron gran difusión
con el desarrollo de telares cada vez más
productivos y precisos. Los artesanos neolíticos
fueron descubriendo tintes provenientes de
vegetales, animales o minerales para dar notables
colores a sus tejidos.
1.9 Construcciones
La construcción de viviendas y edificios colectivos
se viene desarrollando desde el paleolítico. Se
hicieron cuevas, chozas de madera y hojas, barro,
telas.
51
1.9.1 Piedra. Construcciones de piedra
El uso de bloques de piedra en megalitos y
construcción de muros y casas data de hace unos
8000 años por lo menos. Se encuentra en Egipto,
Jericó, Sumeria y Mohenjo-Daro en India, así como
en Perú y México. Son notables las del imperio
Incaico en Cuzco (Perú) por el ajuste estricto sin
pegar entre los grandes bloques (algunos de más de
10 toneladas.) lo cual le da características
antisísmicas. No se conoce el método por el cual
cortaban y ajustaban los bloques.
En la construcción de la pirámide de Kheops (2650
a.C.) las piedras, de 1 metro cúbico,
aproximadamente (2.5 Ton.) se cortaban de las
canteras. El método al parecer consistía en hacer
perforaciones en el plano de la roca por el que se
quería cortar, tal vez usando piedras más duras o
hierros y agregando agua y arena para aumentar el
roce. Luego se introducían a presión varillas de
madera en los agujeros y se mojaban. La dilatación
de las varillas rompía la piedra en el plano deseado.
52
Las piedras, pulidas por fricción con otras piedras y
arena, se transportaban en barcos a la zona de la
construcción, aprovechando las inundaciones
periódicas del Nilo. Luego se transportaban con
rampas y rodillos a su disposición final. Según
Herodoto (425 a.C.) se empleaban campesinos
desocupados en los meses de inundación en que casi
no había trabajo agrícola. Se emplearon unos
100.000 trabajadores durante 20 años.
Las construcciones requieren, además de la técnica
de tallar piedras, conocimientos intuitivos de
estabilidad. Aunque la idea de centro de gravedad
de una masa es enunciada y calculada por
Arquímedes en el 200 a.C., apoyándose en su teoría
de la palanca, es claro que los constructores
egipcios y babilonios (estos últimos usando más
bien ladrillos en vez de rocas) tenían ideas,
derivadas de la experiencia, de la estabilidad de las
formas y la manera de disponer los bloques.
53
1.9.2 Materiales de unión
La unión de rocas o ladrillos se hacía con mortero
de arena y arcilla a la cual más tarde se agregó cal,
producida por calcinación a 900º de piedra caliza.
En nuestra notación química:
CO3 Ca +calor → Ca O + CO2
carbonato de calcio + calor → óxido de cal + gas
dióxido de carbono
Al mezclarla con agua se desprende calor y se
hidrata el óxido desprendiendo calor:
Ca O + H2 O → Ca (OH)2 + calor (apagado de la
cal)
Los micro-cristales de hidróxido de cal hidratado
formados se traban formando una masa sólida. Con
el tiempo se va perdiendo el exceso de agua y el
óxido de cal, expuesto al dióxido de carbono del
aire se va transformando lentamente en carbonato
de cal muy duro (fraguado).
Ca (OH)2 + CO2 → CO3Ca + H2 O
Otro mineral importante es el yeso o sulfato de
calcio hidratado: SO4 Ca. 2 H2 O que es una piedra
54
de poca dureza. Al ser calentado pierde el agua y se
transforma en un polvo. Si este se mezcla con agua
forma una pasta moldeable. Pero en poco tiempo
sus moléculas retoman otra vez el agua y forman
micro-cristales que se traban entre ellos y recuperan
su solidez. Se ha usado para hacer molduras y
esculturas que no requieran demasiada resistencia.
Por su blandura pueden retocarse con instrumentos
cortantes.
1.10 Roscas, Tornillos, Prensas
La forma espiral, conocida por los Egipcios y los
Griegos se empleó en tornillos para prensar olivas y
papiros para hacer papel. Una superficie helicoidal
dentro de un tubo se utilizaba en Egipto para elevar
agua. Los Pitagóricos atribuían la invención del
tornillo al gran matemático Archytas (400 a.C.).
Hay evidencia de tornillos en Grecia en el siglo II
a.C. La espiral para elevar agua se atribuye a
Arquímedes (287 al 212 a.C.) aunque se sabe que
los egipcios la conocían de mucho antes. En su
55
forma más simple es un tubo enrollado en espiral en
un cilindro. Se pone inclinado de modo que su parte
inferior quede sumergida en el agua. Al hacerla
girar el agua se queda en la parte inferior de las
volutas, es subida por el tubo y se vuelca en un
recipiente o canal en la parte superior.
La estática del tornillo se explica por la ya vista del
plano inclinado. El filete de un tornillo con su eje
vertical es como un plano inclinado enrollado en un
cilindro vertical. En general la inclinación del plano
es muy pequeña. La tuerca correspondiente es un
filete enrollado en el interior del hueco de la tuerca
formando un filete espiral. Si se hace girar la tuerca
correspondiente esta asciende, por medio de sus
filetes internos salientes o desciende a lo largo del
cilindro como si ascendiera o descendiera por el
plano inclinado. Para producir tal movimiento hay
que hacer girar la tuerca aplicando una fuerza o un
par de fuerzas en el exterior de la tuerca. Es como
subir o bajar un cuerpo por un plano inclinado muy
poco inclinado aplicando una fuerza horizontal Si
56
se quiere impedir este movimiento aplicando sobre
el filete de la tuerca una fuerza en la dirección del
eje del cilindro esta debe ser mucho mayor que la
aplicada sobre la tuerca. Ver Figura 1-12. Por eso
con una pequeña fuerza sobre los bordes de la tuerca
(en general aumentada por una palanca constituida
por una llave o, si se hace girar el tornillo, por un
destornillador de mango grueso) se puede ejercer
una enorme fuerza de presión para unir por ejemplo
dos placas A y B.
Figura 1-12. Elevador de agua
57
Fuerzas en la rosca: La componente de la fuerza F que
tiende a bajar el filete de la tuerca es compensada por la
componente de T, aplicada a la tuerca en la dirección del
filete.
Nótese que la fuerza se reparte en toda la longitud
del filete. Cuando después de apretar el tornillo se
deja de ejercer la fuerza horizontal el simple roce
impide que la fuerza vertical haga desenrollar la
tuerca.
El tornillo fue también usado en prensas para
exprimir olivas o fabricar papel prensando tiras
cruzadas del tallo del de papiro egipcio. En las
prensas la tuerca es fija y el tornillo es el que se
mueve para prensar o ejercer una fuerza sobre un
objeto a comprimir.
1.11 Flotación. Navegación. Orientación. Remo y vela. Manejo del agua. Regadío: su importancia social y económica La flotación de troncos se conoció desde antes del
Neolítico y se cree que en la salida de los grupos
humanos desde África hace 70.000 años gran parte
de la expansión hacia Australia y América se hizo
58
navegando junto a las costas donde se conseguía
alimento y se avanzaba rápido. Debido a su
construcción de madera quedan pocos restos de
remos y canoas. Se ha encontrado junto al Sena en
Francia restos de una canoa de 8000 años a.C. La
navegación en alta mar supone la orientación por las
estrellas. Los emigrantes de África entraron a
Alaska hace unos 30.000 años y llegaron a Tierra
del Fuego hace unos 15.000. Entre los años 3000 y
1000 a.C. los pueblos navegantes protomalayos se
extendieron desde Malasia a Madagascar y a las
Islas de Pascua (J. Villiers 1970). El diseño de
canoas y embarcaciones pequeñas se guio por la
experiencia. Las más simples se hacían ahuecando
el tronco de un árbol grueso. El remo es una palanca
de tercer tipo para aumentar el recorrido de la parte
que se sumerge e impulsar el barco por la reacción
ejercida por el agua sobre el remo.
Arquímedes trató el problema de la estabilidad de
los cuerpos flotantes. Ver Cap.2, trabajo
completado por Galileo 17 siglos después. El remo
59
también se conoció de épocas prehistóricas y
también la vela que ya era bien manejada por los
fenicios, babilonios, egipcios y griegos. En el siglo
X d.C. los vikingos sabían navegar a vela contra el
viento avanzando en zigzag.
El regadío supone, además de la agricultura,
muchos conocimientos hidráulicos
Todas las grandes civilizaciones: Sumeria,
Babilonia, Egipto, India, China, México, Perú y
otras derivadas de éstas se basaron en los trabajos
colectivos de regadío que multiplicaron el
rendimiento de las cosechas y alimentaron una gran
población originando un excedente de producción.
Esto hizo posible mantener una burocracia estatal y
un gran desarrollo del poder militar y policial, la
tecnología, el arte y el pensamiento religioso y
filosófico. En todas ellas se construyeron, represas,
canales, acueductos, pozos, lagunas artificiales y
sistemas de elevación y transporte de agua. Las
minorías creativas que tomaron la iniciativa y la
dirección de estas obras ganaron un enorme
60
prestigio y poder, lo que les dio el control y la
posesión de gran parte de la tierra ganada para el
cultivo y de la riqueza generada por la organización
del trabajo colectivo. Los conocimientos técnicos
constructivos, hidráulicos, meteorológicos,
astronómicos y organizativos adquiridos fueron
monopolizados por esa minoría y, junto con el
clero, nacido de la brujería y el shamanismo
primitivo, monopolizador de presuntos poderes
sobrenaturales, llevó a considerar esos
conocimientos empírico-intuitivos como
sobrenaturales y al endiosamiento de jefes
sacerdotes y reyes. Se crearon gobiernos fuertes,
estados e imperios. La guerra de conquista y el
conflicto social se volvieron crónicos, sobre todo
cuando las minorías dirigentes fueron incapaces
de resolver los nuevos problemas económicos y
sociales producidos, por ejemplo, por aumento de
población, luchas por el poder, problemas
ambientales, disconformidad de los explotados, y
trataron de mantener sus privilegios por la fuerza
61
transformándose en minorías dominantes. Ver
Wittfogel (1957), Langtman (1938 ), Toynbee
(1935-48).
1.12 Fuego: manejo, producción, calefacción, cocimiento, conservación, incendio, limpieza de campos y fertilización, abrigo, cerámica, torno de alfarero, ladrillos, metalurgia, destilación
Hay evidencias del uso del fuego desde hace
900.000 años. Como no se reconocen métodos
seguros de producir fuego sino hasta hace unos
4500 años hay que concluir que los seres humanos
usaron el fuego obtenido naturalmente. Incendios
provocados por rayos, afloramientos de carbón y
petróleo que arden espontáneamente, calentamiento
de vegetales secos y erupciones volcánicas pueden
haber sido fuentes de fuego. Una vez conseguido
era necesario conservarlo y la tradición de los
pueblos está llena de prescripciones, instituciones y
creencias relacionadas con tales tareas. Algunas
62
pasaron a épocas históricas como la institución de
las vírgenes vestales romanas conservadoras del
fuego sagrado.
1.12.1 Combustión
Lo primero que se determinó es la identificación de
sustancias combustibles, capaces de arder. Sólo a
fines del siglo XVIII con los trabajos de Lavoisier
se aclaró que la combustión es una reacción química
de las sustancias, por ejemplo, la celulosa de los
vegetales (madera, fibras) con el oxígeno. La
reacción necesita de cierto grado de calor para
iniciarse, pero una vez comienza produce calor, con
lo cual la reacción se propaga a todo el combustible
hasta transformarlo en cenizas (componentes no
combustibles de los vegetales) y los gases:
anhídrido carbónico CO2 y vapor de agua H2O
producidos en la combustión.
63
Figura 1-13. Efecto de la combustión
Apagado por CO2 y falta de O2. Contrafuego.
La relación química que expresa la combustión es
(sin considerar las cenizas) :
C6 H10 O5 +6 O2 → 6 C O2 +5 H2 O +q
es decir:
celulosa + oxígeno → anhídrido carbónico + agua
+calor
En la combustión incompleta, por escasez de
oxígeno, queda un resto de carbono
C6 H10 O5 +4 O2 → 4 C O2 +5 H2 O +2 C + q
Por este proceso de oxidación incompleta se
formaron los actuales depósitos de carbón mineral.
Transformaciones posteriores de oxidaciones
incompletas de restos vegetales y animales
formaron el petróleo y el gas. Lo acumulado desde
64
hace 350 millones de años se está quemando
rápidamente por la acción humana en los últimos
300 años.
Conviene recordar aquí que la celulosa, como otros
productos vegetales, se forma en las plantas
mediante el proceso de fotosíntesis extrayendo
energía de la luz solar. El proceso llamado
fotosíntesis, bastante complicado, puede resumirse
como el inverso del anterior:
6 C O2 +5 H2 O +sol → C6 H10 O5 +6 O2 es
decir:
anhídrido carbónico + agua + energía de radiación
solar → celulosa + oxígeno
Puede decirse que el calor tomado del sol se
devuelve al quemar la celulosa. Este proceso crea el
combustible que permite la vida animal y vegetal.
El fuego permitió soportar el frío en las grandes
migraciones desde África al resto del planeta,
ahuyentar las fieras, cocinar alimentos
ablandándolos, haciéndolos más digestibles al
alterar las proteínas y esterilizándolos retardando
65
así su descomposición. Hizo posible la cerámica, la
metalurgia, y la obtención de nuevos productos
como la cal, el yeso anhidro, los alcoholes (por
destilación de productos fermentados). Se ha usado
también para quemar maleza y utilizar en
agricultura las tierras fertilizadas por las cenizas.
1.12.2 Producción del fuego
La obtención fácil del fuego fue un hecho de los
tiempos históricos. La frotación de maderas, en
especial una varilla fina vertical rodeada de la
cuerda de un arco que al moverse hace girar
rápidamente la varilla la cual se apoya en un taco de
madera, genera calor, pero es difícil que produzca
llamas. Golpes entre piedras silíceas desprenden
chispas que pueden encender la yesca (fibras
vegetales secas, trapos carbonizados, madera
porosa, anime). En los siglos XII a XIX se raspaba
una piedra contra un borde de acero y las chispas
generadas encendían la yesca. El fósforo se inventó
durante el siglo XIX. John Walter (1827) que usó
66
una mezcla de Estbinita (Sb2 S3), clorato de potasio
(Cl O4 K) goma y almidón que explotaba al rasparla
y encendía una astilla. Eran peligrosos y olían mal.
El francés Charles Sauria (1830) puso fósforo
blanco que encendía más suave. Un estudiante
húngaro, Irinyi lo perfeccionó añadiendo goma
laca. Se difundieron mucho, pero se fueron
prohibiendo por las intoxicaciones en la fabricación
y el uso.
El sueco Gustav Pash usó el fósforo rojo, variedad
menos tóxica del elemento. Más tarde el fósforo con
mezclado con polvo de vidrio y un aglutinante se
extendió sobre un cartón de la caja mientras que los
extremos de los palillos no contenían fósforo sino
una mezcla de clorato de potasio, azufre y almidón.
Al rasparlos contra el cartón se calienta y el fósforo
reacciona con el clorato de potasio encendiendo la
cabeza y el palillo. Los fósforos actuales son casi
todos de este tipo. En algunos países se pone el
fósforo en las cabezas y se pueden encender en
67
cualquier superficie rugosa, pero son más
peligrosos pues la caja puede arder.
1.12.3 Cerámica
Uno de los grandes descubrimientos del Neolítico
fue el endurecimiento mediante el fuego de la
arcilla moldeada con agua formando cerámica. Hay
restos de hace unos 12.000 años en África y Japón,
lo cual revela su amplia difusión. Hay evidencias de
que cestos de fibras vegetales se cubrían de barro y
se sometían a la cocción a alta temperatura, unos
500º. También se puede haber observado el
endurecimiento de las hornallas de cocimiento
hechas de barro o en hoyos en la tierra.
El proceso de la formación de cerámica es bastante
complejo. Indicamos un breve resumen de los
conocimientos actuales. La mezcla plástica de
arcilla, que consiste en alúmina, sílice y agua:
Al2 O3 . 2 Si O2 . 2H2 O, pierde el agua por
secado y el posterior calentamiento en el horno. A
los 500º se ha ido toda el agua molecular y las
68
moléculas de alúmina y sílice fluyen y comienzan a
llenar parte de los poros dejados por el agua. Es un
proceso incipiente de vitrificación que crea una red
de moléculas de sílice y alúmina que le dan solidez
al material. Una vez enfriado en esta fase, ya no se
combina otra vez con el agua. En la cerámica
africana se detiene aquí el proceso dando una arcilla
sólida pero todavía porosa que es muy útil para
mantener el agua fresca por evaporación del agua
que exuda la vasija.
Otros tipos de cerámica (occidental, china y
japonesa) se obtienen avanzando el calentamiento y
el proceso de vitrificación. Con mayor temperatura
se funden ciertas impurezas, como el óxido de
hierro y otros óxidos que forman materiales
vidriosos que continúan llenando los poros dando
más rigidez e impermeabilidad al producto final.
Luego, de la alúmina, se forma un nuevo silicato, la
mullita. Esta es un silicato de aluminio 2SiO2
3Al2O3 de alto punto de fusión (1810º C aunque
variantes con menos alúmina funden algo más bajo)
69
que al enfriarse produce cristales en forma de aguja
que se entretejen con la red existente y le dan la
rigidez, compacidad y dureza que presentan las
lozas y porcelanas.
Agregando pequeñas cantidades de óxidos
metálicos y otros compuestos o pintando con ciertos
minerales las superficies antes de hornear se ha
creado la cerámica artística coloreada.
La cerámica y el ladrillo cocido fueron muy
importantes en las culturas neolíticas y en las
primeras civilizaciones.
1.12.4 Tornos
Las formas de los recipientes adquirieron precisión,
simetría y elegancia con el invento del torno de
alfarería, un disco horizontal que se hacía girar en
torno a un eje vertical, primero manualmente y
luego mediante otra rueda en el mismo eje de la
anterior pero puesta más abajo que se movía con el
pie. La arcilla a modelar se colocaba sobre el disco
giratorio y con las manos se modelaban formas
70
perfectamente circulares. El torno es uno de los
primeros ejemplos de cómo se obtienen resultados
de más precisión que los elementos del aparato
que se utiliza.
Estos tornos son los precursores de los tornos de
madera donde el cuerpo de madera que gira es
moldeado por una punta metálica cortante. En el
torno actual para metal la punta o herramienta
cortante es de acero muy duro o widia (cobalto con
carburo de tungsteno) lo cual permite tornear
formas de bronce, hierro y otros metales.
1.12.5 Vidrio
Aparte de la leyenda de Plinio (23-79 d.C.) sobre
los comerciantes fenicios que descubrieron el vidrio
accidentalmente al calentar su comida sobre
bloques de nitrato sobre la arena, se han hallado
objetos de vidrio en Egipto y Mesopotamia de 3500
a.C.
El sílice puede fundirse dando un vidrio
transparente, pero a temperaturas muy altas. Varios
71
agregados lo hacen más fusible, blando al calentarse
para ser moldeado y otras propiedades útiles. Se
fabrica fundiendo juntos con la arena (sílice)
carbonato de sodio, sulfato de sodio (que se halla
en las cenizas de combustión de maderas y en
algunos lagos) y carbonato de calcio que se halla
en la caliza y los huesos. Sus propiedades dependen
de estos y otros agregados y también de la
velocidad de enfriamiento, muy rápida lo hace
quebradizo, muy lenta sus componentes cristalizan
por separado y se pone opaco. Por eso se recalienta
en hornos que se enfrían lentamente por horas o
días. En el proceso el vidrio fundido, que tiene la
estructura de un líquido (no cristalina), se va
poniendo viscoso hasta que sus moléculas se
inmovilizan.
El uso del vidrio en vasos, envases, ventanas,
construcciones, lámparas, bombillos, espejos,
objetos artísticos, lentes y aparatos científicos ha
sido importante desde su descubrimiento.
72
1.12.6 Metalurgia oro, plata, cobre, bronce,
latón, hierro
Los metales que se encuentran puros en la
naturaleza son el cobre y, en poca cantidad, el oro y
el hierro (este mayormente procedente de aerolitos).
El oro, que se encuentra en pequeñas pepitas en el
material de acarreo de ciertos ríos, fue tal vez el
primero en utilizarse. Fue objeto de adorno y medio
de pago en las economías de las primeras
civilizaciones históricas. Es notable por su color,
brillo y resistencia a la oxidación. En el 4.000 a.C.
había joyas de oro en Egipto y la Mesopotamia. Son
notables las acumulaciones de objetos artísticos de
oro en las civilizaciones de México, Incaicas y
Chibchas de Colombia, saqueadas y fundidas por
los conquistadores en su mayor parte. La
explotación durante el Imperio Romano fue muy
grande, sólo en España 40.000 esclavos trabajaban
en las minas de oro.
Actualmente se obtiene de rocas auríferas
pulverizándolas y disolviendo el oro en amalgama
73
de cobre de la cual se elimina el mercurio por
destilación. De los desechos se extrae oro con
cianuro de sodio.
El oro, muy maleable, se trabajó primeramente por
martillado. Como funde a 1083ºC puede trabajarse
con moldes. Fue muy difundida la técnica de “cera
perdida”: se hace la pieza a fabricar en cera de
panal. Se rodea totalmente en un bloque de arcilla.
Por un hueco superior se vierte el oro derretido que
quema y volatiliza la arcilla. Esta se quita con agua
dejando la pieza de oro. Los Chibchas de la meseta
de Bogotá, usaban esta técnica.
La plata se encuentra en estado nativo y es también
conocida desde la antigüedad. También se
encuentra como sulfuro de plata mezclado en
pequeñas cantidades, con sulfuro de plomo
(galena). Esa mezcla se funde separándose el azufre
como gas sulfuroso. Se obtiene una aleación de
mucho plomo y poca plata. Se funde y al enfriarse
parte de la plata cristaliza y se quita (el plomo
funde a 327,4ºC mientras la plata lo hace a
74
960,8ºC). Como queda plata con plomo en la parte
fundida se repite el proceso varias veces. Al llegar
a cierta proporción de plata en la mezcla fundida se
insufla aire. El plomo se oxida y se separa de la plata
fundida. Así se explotaban, con un duro trabajo de
esclavos en galerías de hasta 100 m de profundidad,
las minas atenienses del monte Laurión a las que
debía Atenas buena parte de su riqueza y bienestar.
El cobre fue un componente esencial de las
civilizaciones antiguas. Se halla en estado nativo y
primeramente fue trabajado por martillado. Son
famosas las minas ce la isla de Chipre frente al
Líbano. Se obtuvo calentando sulfuro de cobre
(calcopirita) o carbonato de cobre (malaquita).
Funde a 1063 ºC pero se descubrió que mezclado
con 5 a 30% de estaño (aleación llamada bronce)
su punto de fusión bajaba y aumentaba su dureza
sirviendo para armas e instrumentos cortantes. Se
usó para hacer estatuas (el famoso Coloso de
Rodas), campanas y monedas. El estaño se obtenía
de su óxido la casiterita (Sn O2) que era muy escaso.
75
En Grecia y Roma se lo importaba principalmente
de Gran Bretaña.
Otra aleación importante es el latón formado por
cobre y zinc. Este funde a 419,5ºC y se obtiene del
sulfuro de zinc (blenda). El latón con menos de 40%
de zinc es trabajable en frío y se usa en tornillos y
alfileres. El de 40% a 45% de zinc se usa para llaves
de agua, marcos de ventana y en muchos aparatos
de precisión. El de más de 45% sólo se usa como
soldadura.
Actualmente el cobre es esencial en la tecnología
eléctrica por su gran conductividad.
El hierro de los aerolitos se explotó ocasionalmente
desde la prehistoria y se trabajó por golpes, pero por
supuesto no originó tecnología. Funde a 1535ªC,
temperatura difícil de alcanzar con leña. Se
descubrió que, calentando óxidos de hierro,
limonita o hematita (minerales muy abundantes)
con carbón de leña en un pozo que hacía de crisol e
insuflando aire con un fuelle, no se llegaba al hierro
líquido, pero se formaban nódulos de hierro que
76
eran separados de la escoria (material no fundido).
Estos nódulos eran tratados calentándolos y
dándoles forma a golpes (forjado). La reacción
química en términos actuales para la hematita es:
2 Fe2 O3 + O2 + 4 C → 2 Fe + 4 C O2
El hierro así obtenido era trabajable, casi puro y
duro, pero no daba filos. Se trabajaba calentándolo
al rojo en fraguas y modelándolo a golpes. Los
Chalibes, tribu vasalla de los hititas descubrieron
hacia 1400 a.C. la cementación. Calentando el
hierro forjado en contacto directo con carbón la
masa del objeto de hierro se endurecía su superficie.
Se había formado una capa de acero (aleación de
hierro y carbón al 1%). Unos dos siglos más tarde
se descubrió el temple: calentando el objeto de
hierro y enfriándolo bruscamente con agua adquiría
mucha más dureza. Un posterior calentamiento
(revenido) permitía hacerlo menos quebradizo. Su
uso se expandió desde Asia Menor cuando cayó el
imperio Hitita y sus herreros se dispersaron por
77
Medio Oriente y Egipto y de allí por Asia y África.
Los conquistadores Asirios del 1200 a.C. se
apoderaron de esa técnica para fabricar sables y
lanzas muy superiores a las de bronce, con lo cual
formaron su reino militar de conquistas. Los
Romanos que aprendieron las técnicas de los
etruscos (posiblemente venidos de Asia Menor) y
también lo usaron en los siglos IV a II a.C. para
construir su imperio contra sus oponentes que
usaban armas de bronce.
Se fueron desarrollado herramientas de hierro,
cuchillos, palas, azadas, hachas, arados, tenazas,
clavos, cadenas. Los chinos lograron el hierro
fundido en el 500 a.C. (1600 años antes que los
europeos)
Los herreros se propagaron a Egipto y a toda África
donde formaron una casta aparte que vivía en
simbiosis con reinos y capitanías de agricultores y
ganaderos, ya que las herramientas de hierro fueron
importantes en los duros suelos de África. Eran
respetados y temidos por su extraña práctica de
78
apariencia mágica: manejo de fuego, chispas,
transformación de minerales en metales.
Entre los siglos XIII y XVI se fue extendiendo en
Europa el logro de temperaturas más altas mediante
carbón y potentes fuelles que inyectaban aire. Se
llegó a obtener hierro fundido y se desarrolló el
alto horno, torre cilíndrica en la cual el mineral
mezclado con carbón vegetal o mineral en capas
alternadas se introducía por la parte superior y era
fundido con una corriente de aire producida por
fuelles movidos por norias de animales o molinos
hidráulicos. El hierro fundido se recogía en un crisol
en la parte inferior. Esto permitió el uso de moldes
y por lo tanto una gran variedad de formas de hierro
a bajo costo. El hierro fundido contiene alrededor
de 3% de carbono y es muy duro, quebradizo y poco
maleable. Calentándolo mientras está fundido y con
una corriente de aire se puede bajar el contenido de
carbono a cerca de 1% y da un producto maleable y
de gran resistencia, el acero que se usa en
construcción y para producir herramientas.
79
Modernamente se han desarrollado muchos tipos de
acero, en particular la aleación de hierro con 30%
de cromo y cantidades variables de otros metales
como el níquel, que constituyen los aceros
inoxidables.
.
1.13 Música: cuerdas, tubos, arcos,
membranas
La música en forma de canto y producida por
instrumentos ha existido desde comienzos de la
humanidad. Se han hallado en el Paleolítico huesos
con perforaciones que sugieren su uso como flautas
y en el 4000 a.C hay instrumentos musicales de
Sumeria y el valle del Indo. Todos los pueblos
actuales tienen música canto y danza.
Producir y reproducir música forma, hasta la fecha
una de las más importantes y asombrosas
actividades de los seres humanos. No es fácil
entender los principios físicos del funcionamiento
de los instrumentos musicales y su
80
perfeccionamiento fue una labor empírica de siglos.
La teoría física correspondiente es, sin embargo,
relativamente reciente (ver por ejemplo J. Roederer
1975). Menos aún se explican sus efectos psíquicos
sobre las emociones.
1.13.1 Cuerdas
Puede haber llamado la atención y resultado
agradable el sonido producido por la oscilación de
una cuerda tensa como la de un arco de flechas. A
mayor tensión de la cuerda o a menor largo el
sonido se hace más agudo. Se puede disponer de
instrumentos de varias cuerdas con diferentes
tensiones y diferentes largos o que permiten,
mediante presión en ciertos puntos de la cuerda,
hacer vibrar partes más largas o más cortas de una
misma cuerda. Se pueden así, por manipulación
apropiada, producir sucesiones de diferentes
sonidos. Este es el principio de las guitarras,
cuatros, mandolinas, arpas, cítaras, laúdes, pianos,
clavecines, etc.
81
La cuerda vibrante cuya teoría comenzaron los
Pitagóricos (Ver Cap. 2) y desarrollaron Euler, J.
Bernoulli, D´Alembert será discutida más adelante
(ver Cap. 5). Basta recordar aquí que una cuerda fija
en los dos extremos puede vibrar en forma estable
cuando oscila de un lado al otro con el máximo en
el centro (vibración fundamental). Otros modos de
vibraciones llamadas armónicos tienen puntos fijos
(nodos) equidistantes sobre la cuerda y, entre dos
sucesivos, la cuerda vibra a uno y otro lado de la
posición de equilibrio. La cuerda puede vibrar con
una superposición de estos armónicos. Ver Figura
1-14
Figura 1-14. Oscilación de cuerdas
82
Propagación de onda en una cuerda. Reflexión en un
extremo fijo y en uno libre de una onda generada en una
cuerda por un golpe.
En una cuerda larga tensa perturbada por un golpe
en un extremo la perturbación se propaga a lo largo
de la cuerda como una onda. Los puntos
desplazados tienden a volver a su posición por las
fuerzas elásticas que ejercen los otros. Un punto que
ha sido desplazado ejerce fuerza sobre el siguiente,
lo desplaza en el mismo sentido, pero tiende a
frenarse al comunicarle su energía. Así avanza la
propagación, aunque los puntos de la cuerda sólo
tienen pequeños desplazamientos perpendiculares a
la misma.
Si la onda encuentra un extremo fijo que no puede
sufrir desplazamiento los puntos próximos
desplazados vuelven a su posición normal sin
frenarse y por inercia van más allá de esta posición
de equilibrio. Esto origina una onda de regreso que
está respecto a la que llega desplazada una longitud
83
de la semi-onda llegada. La onda vuelve “al revés”
de la de ida.
Si la onda llega a un extremo libre este se desplaza
y al volver a su posición original forma una onda en
fase (del mismo lado) que la que llega.
Otra forma de producir oscilación de una cuerda es
frotándola con otra, en general tensada por un arco.
Es el método usado en el violín, viola, contrabajo,
etc.
Figura 1-15. Oscilaciones de relajación
Cuerda de arco que se desliza sobre otra cuerda
La cuerda del arco se apoya sobre la cuerda fija
vertical. El arco se mueve continuamente hacia la
izquierda.
84
La cuerda del arco se pega a la vertical debido a la
aspereza de las cuerdas y el arco. La cuerda es
arrastrada al mover el arco y se deforma al avanzar
el arco. La fuerza de la cuerda vertical sobre la del
arco va creciendo al crecer la deformación. Llega a
un valor en que se produce el despegue y la cuerda
vuelve a su posición vertical. Durante el
movimiento de restauración el roce es menor pues
el movimiento es muy rápido, pero al detenerse se
pega otra vez y el proceso se repite. El resultado es
que al desplazarse el arco la cuerda se deforma y se
restaura repetidamente o sea que entra en vibración.
La frecuencia de esta no es la propia de la cuerda,
es una vibración forzada y la frecuencia depende de
la velocidad del arco y la tensión y largo de la
cuerda. Como esta puede variar con continuidad
este método puede producir gran variedad de
frecuencias de sonido en vez de los sonidos fijos de
los instrumentos de cuerda vibrante.
85
Ejemplo 1-15 Si se desplaza una silla sobre un piso
con roce se produce un sonido agudo. Explicar este
hecho como una vibración de relajación.
1.13.2 Tubos. Ondas longitudinales
Para entender la vibración en un tubo hay que
recordar la naturaleza del sonido. Un objeto que
vibra como las cuerdas descritas o nuestras cuerdas
vocales comprime y enrarece el medio físico en sus
inmediaciones (líquido, sólido o gaseoso). Las
moléculas de ese medio tienden a rechazarse si se
las acerca por una fuerza externa y a atraerse si se
las aleja. Consideremos el caso ideal simple de un
conjunto de moléculas como en el primer conjunto
de la Figura 1-16. Si la primera línea es empujada
por una fuerza externa durante un instante, esa línea
1 se acerca a la 2 y la rechaza, volviendo luego a la
posición anterior. La 2 que se ha acercado a la 3 la
rechaza y vuelve a su posición. La 3 hace lo mismo
con la 4 y así se propaga el movimiento a más y más
86
distancia, aunque cada molécula hace sólo una
pequeña oscilación en la dirección del movimiento.
Figura 1-16. Propagación de una onda longitudinal
En la realidad de un medio sólido, la molécula no
está exactamente en su posición de equilibrio, sino
que oscila algo alrededor de ella. Al ser desplazada
más allá de lo normal, antes de volver a la oscilación
normal oscila algo más, de manera que a la onda
principal siguen otras de menor amplitud. Si el
medio es un gas las moléculas no están en una red
sino en una distribución irregular y moviéndose a
gran velocidad de modo que no tenemos
acercamientos y distanciamientos tan regulares sino
más bien zonas de compresiones y dilataciones del
87
gas. Pero el resultado es esencialmente el mismo,
pues las partículas del gas, aunque se mueven
tendiendo hacia los lugares de menor presión y
compensarían las diferencias, no pueden hacerlo
porque, aunque su velocidad es muy grande (cientos
de metro por segundo) su avance en una dirección
dada debida a la onda es muy pequeña (debido a los
continuos choques) comparados con las distancias
de muchos centímetros o metros entre zonas
contiguas de presión y depresión de los sonidos
reales.
La máxima velocidad de los desplazamientos que
forman las ondas se corresponde a máxima de
separación de las partículas y por tanto mínima
presión. En la parte que las partículas empujan a las
que siguen su velocidad baja y es la zona de alta
presión.
Estas ondas en que cada molécula oscila en la
misma dirección en que se propaga la onda se
llaman ondas longitudinales. Así son las del
sonido en el aire. En las ondas sobre el agua o en las
88
cuerdas el movimiento de cada molécula es
perpendicular a la dirección de propagación se
llaman ondas transversales que discutiremos más
adelante.
Estas presiones y dilataciones son las que hacen
vibrar la membrana del tímpano del oído.
Si la fuerza perturbadora es oscilante, es decir
aumenta, disminuye, se anula, se revierte, cambia
de sentido, aumenta en sentido contrario,
disminuye, etc. Esto forma en el medio una
sucesión de ondas.
Una aplicación de lo anterior es el teléfono de
juguete hecho con dos latas sin tapa y un cable
estirado que une los centros de sus fondos. Al hablar
en uno de ellos el fondo vibra, las ondas
longitudinales se transmiten por el cable y hacen
vibrar de la misma manera el fondo de la otra lata
reproduciendo el sonido hablado.
Figura 1-17. Teléfono de hilo tenso
89
Si la perturbación externa proviene de una región
pequeña y se propaga en todas direcciones del
espacio las líneas de moléculas deben sustituirse
por superficies esféricas donde cada molécula debe
mover a más de una molécula de la superficie
esférica siguiente y la amplitud del movimiento se
va debilitando.
En los sólidos hay oscilaciones longitudinales y
transversales. Las primeras son más rápidas y
transmiten más energía. En los sismos llegan
primero las longitudinales.
1.13.3 Interferencias
Si dos sucesiones de ondas se encuentran en la
misma región del medio, los movimientos de las
moléculas se suman o restan haciendo movimientos
más complicados.
Consideremos, en particular dos trenes de ondas
que vienen en dirección contraria de dos extremos
de un tubo. Para mayor claridad vamos a
90
representar en cada punto del eje central del tubo el
desplazamiento de las partículas en un eje vertical.
Esto tiene además la ventaja de su analogía con las
oscilaciones transversales que son más fáciles de
imaginar.
Figura 1-18. Interferencia de dos trenes de ondas en sentido contrario
Los desplazamientos horizontales se han
representado verticalmente en el punto en que
ocurren a lo largo del centro del tubo.
Un tren de ondas continuado A, entra por el extremo
A del tubo; el tren B entra por el extremo B. En un
instante como el representado en el punto x los
desplazamientos de ambas ondas son el máximo en
el mismo sentido y dan el total 2d indicado en el
91
dibujo inferior. Al irse desplazando cada tren de
ondas en su sentido, las contribuciones de los
desplazamientos de ambos trenes en el punto x
disminuyen. Cuando mA llega a x, al mismo tiempo
mB llega a x; entonces el desplazamiento de las
partículas en x es cero. Cuando nA y nB llegan a x,
el desplazamiento en x es máximo negativo. Se ve
pues que se forma en el tubo una onda estacionaria
que pasa de una forma como la indicada en línea
llena en la figura inferior, disminuye en amplitud,
paso por cero y llega al máximo opuesto indicado
en líneas de puntos. Los lugares como el x en que
se alcanzan los máximos desplazamientos se llaman
vientres o antinodos, los lugares en que el
desplazamiento es nulo se llaman nodos. Según lo
dicho antes en un gas los nodos corresponden a
lugares de alta presión y los vientres a los de baja.
La longitud entre dos puntos sucesivos de igual
desplazamiento y velocidad de desplazamiento se
llama longitud de onda y se designa por λ. En un
punto del tubo el tiempo entre dos instantes
92
sucesivos en que el desplazamiento es igual en valor
y dirección se llama tiempo de oscilación T, y el
número de oscilaciones por unidad de tiempo se
llama frecuencia f = 1/T. La velocidad con que
avanzan las ondas se designa por c. Se tiene c= λf.
La distancia entre dos nodos sucesivos es λ/2.
Ejemplo 1.16 El sonido do4 del piano tiene 517,3
oscilaciones por segundo. La velocidad del sonido
en el aire es 331,5 m/s. Hallar la longitud de onda.
1.13.4 Ondas en un tubo.
Cuando entran ondas de sonido en un tubo con una
extremidad cerrada las partículas que se mueven
longitudinalmente rebotan en ese punto con
velocidad igual a la que chocan. Se origina allí una
onda reflejada que interfiere con el tren de ondas
incidente. Sólo se forma una onda estacionaria
estable si el cierre del tubo, donde las partículas
están detenidas, se corresponde con un nodo de la
onda estacionaria o sea un máximo de presión. Esto
93
quiere decir que las frecuencias posibles de las
ondas en el tubo cerrado serán tales que hay un
número entero n de ondas estacionarias.
Es decir, si el largo del tubo es L debe ser: L= n
λ/2=n c/f ; f=nc/L
que muestra que a menor longitud corresponden
frecuencias más altas.
Para tubos abiertos en el orificio de salida no hay
nada que restrinja el desplazamiento, de modo que
hay un vientre y esta oscilación libre se propaga
dentro del tubo, interfiriendo con la incidente. Es
semejante a los casos de reflexión de ondas
transversales visto en la figura 16.
Soplando en el extremo de un tubo. Al soplar en
el extremo de un tubo en dirección perpendicular al
mismo las ondas de muchas frecuencias generadas
por la turbulencia en el borde soplado se propagan
en el tubo y se reflejan en la otra punta interfiriendo
con las incidentes. Sólo se refuerzan las que tienen
una longitud de onda que es un submúltiplo exacto
de la longitud del tubo.
94
Llenado de un tubo. Cuando se va llenando de
agua un tubo, el agua que cae al fondo origina ondas
de varias frecuencias que se reflejan en la parte
superior abierta e interfieren con las que suben. Las
que se refuerzan son las que tienen un múltiplo
entero de longitudes de onda a lo largo de la parte
vacía del tubo. Como esta parte se va haciendo cada
vez más pequeña van predominando las ondas más
cortas y el ruido del llenado se hace más agudo.
Instrumentos de viento. El instrumento de viento
más simple es el silbato de tubo. Si soplamos
horizontalmente en el borde superior de un tubo
vertical ese borde vibra con una superposición de
muchas frecuencias diferentes si relación alguna
produciendo un chasquido no musical (ruido).
La causa son los remolinos turbulentos que produce
el aire los cuales avanzan y retroceden desde el
borde variando la presión sobre las paredes. Es lo
mismo que sucede si soplamos en el borde de un
cuchillo. Pero en el tubo sucede algo diferente. Las
95
vibraciones se propagan dentro del tubo. Se reflejan
en la salida. Si esta está cerrada vuelven con un
retraso de media longitud de onda. Si está abierta
vuelven en fase. Estas interfieren con las ondas
incidentes del modo explicado antes. Pero solo se
refuerzan aquellas ondas cuya longitud de media
onda repetida un número entero de veces es la
longitud del tubo. Por lo tanto, el sonido que se
escucha es una superposición de armónicos que se
percibe como una nota musical. El fundamental es
el más fuerte y depende de la longitud del tubo.
Se puede hacer un instrumento musical poniendo
cerca tubos de diferente largo y soplando en ellos
alternativamente o en varios a la vez. Se llama
zampoña. El órgano con sus tubos de diferente largo
se basa en el mismo principio. Un sistema de
compresión de aire proporciona el soplido que,
controlado por un teclado que abre o cierra válvulas,
llega a los diferentes tubos.
Se puede también poner en un tubo varios agujeros
que equivalen a aperturas. Algunos agujeros se
96
tapan con los dedos. El largo del tubo resonante es
desde la boca al primer agujero destapado, pero
pueden obtenerse variantes de los sonidos dejando
abiertos agujeros alternados. Es la flauta.
Instrumentos más complicados como el clarinete,
tienen teclas que permiten tapar o destapar
diferentes combinaciones de agujeros. En casi todos
los instrumentos de viento se sopla en la boca sobre
un filo de metal o madera que produce las múltiples
vibraciones que el tubo discrimina. La intensidad
del soplido que por la turbulencia del aire genera
ondas de todo tipo o que hace vibrar el borde del
tubo o una lengüeta especial, pueden generar una
mezcla desordenada de ondas de todas las
frecuencias que se propagan al interior del tubo y se
reflejan en un extremo cerrado o libre, vuelven y se
reflejan con las ondas incidentes. El tubo, por el
fenómeno antes escrito selecciona y refuerza ciertas
frecuencias produciendo un tono armónico musical.
El carácter agradable resulta cuando hay una
vibración y sus armónicos superiores o cuando las
97
longitudes de onda están en ciertas relaciones
numéricas simples.
Ejemplo 1.17 Soplar horizontalmente en el
extremo superior de un tubo que se mantiene
vertical y cuya parte inferior se sumerge en un
recipiente con agua. Al introducirlo más o menos en
el agua varía la longitud de la columna de aire
produciendo diversas notas.
Las membranas vibrantes (tambores, timbales) y las
placas vibrantes (platillos) producen armónicos más
complicados que las cuerdas y tubos.
En el oído los movimientos del tímpano se
transmiten, aumentados por unos huesecillos, a la
membrana que cierra un tubo (enrollado en caracol)
cerrado en el otro extremo y lleno de líquido. Las
ondas se propagan a lo largo del tubo, se reflejan en
el otro extremo e interfieren formando nodos y
antinodos. El interior del tubo tiene unos vellos con
terminaciones nerviosas en su base, las cuales se
excitan con los movimientos del vello
98
principalmente en las zonas de los antinodos. Las
neuronas están conectadas en una forma que reúne
las señales de los vellos más agitados por una
frecuencia dada y la intensidad de la misma se envía
como señal a un lugar de la corteza del cerebro. Si
la vibración tiene otra frecuencia son otros los
vellos agitados y la señal va a otro lugar de la
corteza. Así el cerebro discrimina las frecuencias y
las combinaciones de frecuencias de diferentes
sonidos. Un sonido complejo con diferentes
armónicos envía un conjunto de señales
simultáneas. El cerebro recibe las intensidades de
cada uno de los armónicos que contiene el sonido y
esto produce en la mente la sensación que nos
permite distinguirlo de otros sonidos.
1.14 Aritmética y Geometría. Babilonios
Egipcios Griegos e Hindúes
Para entender el desarrollo de la Física hay que
decir unas palabras sobre el desarrollo paralelo de
las Matemáticas. Desde la prehistoria se desarrollan
99
las ideas de número y operaciones con ellos
(Aritmética) y de las formas regulares (Geometría).
El desarrollo de las Matemáticas en los primeros
imperios es notable. Los Egipcios se hacen expertos
midiendo terrenos que se debían reasignar después
de las inundaciones periódicas del Nilo. Para ello se
valen de señales y relaciones geométricas utilizando
cuerdas. Conocían propiedades de los círculos y
triángulos. Resolvieron también problemas difíciles
como el volumen de pirámides truncadas y
conocían el teorema que luego se llamó de
Pitágoras. No se encuentran en ellos fórmulas
generales sino recetas prácticas para problemas
concretos. En Aritmética desarrollaron notables
técnicas de multiplicación, división y raíz cuadrada.
Los Babilonios desarrollaron un sistema de
numeración posicional (es decir los símbolos de los
números tienen valor según la posición que ocupan
en la expresión del número) pero su base no era 10
sino 60. Los Mayas hicieron uno semejante de base
20 con un símbolo para el cero. Los babilonios
100
resolvían ecuaciones de primer grado y algunos
casos particulares de segundo y tercero utilizando
tablas de cuadrados y cubos. Estas soluciones se
expresan mediante ejemplos, sin dar reglas de
carácter general ni demostraciones.
Los Griegos desarrollaron una poderosa
matemática resolviendo muchos problemas
algebraicos por medio de construcciones
geométricas. Enunciaron el carácter general de los
principios usados y dieron demostraciones de los
resultados. La escuela Pitagórica realizó la primera
síntesis de la Aritmética y la Geometría. La síntesis
entró en crisis al descubrirse magnitudes
inconmensurables. Eudoxo logró definir relaciones
entre estas, superando la crisis.
Sus ideas y las de otros matemáticos fueron
expresadas en un sistema axiomático, donde
partiendo de unos pocos axiomas, reglas de
deducción y definiciones demostraron una gran
cantidad de teoremas y métodos para construcción
geométricas. El libro de Euclides (año 300 a.C.) que
101
contiene tal síntesis todavía se usaba como texto en
el siglo XIX y sigue siendo de lectura altamente
recomendable para los profesores de Matemáticas.
Por otra parte es notable la ausencia de una notación
numérica posicional, del cero y los números
negativos. Arquímedes desarrolló la fórmula para la
superficie y el volumen de esferas y cilindros
usando la idea de límite desarrollada por Eudoxo
(408 al 355 a.C.).
Aristóteles desarrolló la lógica de los silogismos y
los estoicos la lógica de las proposiciones, aunque
la obra de estos últimos se ha perdido en gran parte.
Los Hindúes desarrollaron una notación algebraica
decimal muy compacta de la cual deriva la
moderna, usaron el cero y el infinito como números
e introdujeron los números negativos y cómo operar
con ellos. Los Árabes asimilaron estos
conocimientos, los desarrollaron y conocieron la
matemática griega. Sus conocimientos pasaron a
Europa al comienzo del Renacimiento dando origen
a las Matemáticas de la Civilización Occidental.
102
Todos estos conocimientos fueron indispensables
para el desarrollo de la Física desde Galileo en
adelante. Ver J. Rey Pastor y J. Babini (1986), C.
Domingo (2003), M. Kline (1972).
1.15 Producción de nuevas substancias
Desde los tiempos prehistóricos los seres humanos
aprendieron a obtener elementos químicos,
compuestos y mezclas que no existían en la
naturaleza, práctica que dio origen a la Química
actual. Hemos citado las cerámicas, morteros,
metales, aleaciones. Citemos otros ejemplos
importantes para la subsistencia y el desarrollo del
conocimiento.
1.15.1 Bebidas alcohólicas:
Casi todos los pueblos desde la Prehistoria
desarrollaron bebidas alcohólicas. Los
carbohidratos como azúcares de muchas frutas u
hojas suculentas, los almidones de cereales o papas,
y otros productos vegetales, son transformados por
103
ciertas bacterias que, para su metabolismo, tienen
proteínas especiales (enzimas) que transforman, por
un efecto catalítico, los carbohidratos en alcohol
etílico. De esta forma se obtiene una gran diversidad
de bebidas alcohólicas. El contenido alcohólico se
eleva de un 10% a 40% o más por medio de la
destilación que es conocida desde la antigüedad. La
ingestión de alcoholes altera el funcionamiento del
cerebro y puede reducir las presiones psicológicas
de las normas culturales, lo cual ha sido usado en
alterar el comportamiento social en actos festivos,
religiosos o agresivos.
1.15.2 Aceites
Se obtuvieron a partir de grasas animales y de frutos
de vegetales como los frutos del olivo y la palma.
Se los extrae por calentamiento o presión. Están
constituidos por combinaciones de ácidos
orgánicos, cadenas tipo hidrocarburo con grupos
COOH como la glicerina, un alcohol con tres
grupos OH. Se han usado como combustible, para
104
iluminación, para fritar alimentos (permiten
temperaturas mayores que la cocción con agua pues
su punto de ebullición es mayor), como alimento,
suavizante de la piel, lubricación y fabricación de
muchos productos. Para extraer el aceite de semillas
(maíz, girasol, sorgo, ajonjolí) se las muele y se
mezcla con un disolvente del aceite (puede ser
hexano, un hidrocarburo más liviano que los de la
gasolina). El aceite se extrae de la solución
evaporando el disolvente por ebullición de la
mezcla. El solvente puede recuperarse condensando
el gas desprendido.
1.15.3 Jabón
Según la tradición de Plinio el Viejo, fue obtenido
por los Fenicios alrededor de 600 a.C. mezclando
sebo, obtenido de hervir grasas animales o
vegetales (separando por presión o decantación)
con cenizas de vegetales. Dijimos que los sebos y
aceites son mezclas de ácidos grasos. Al
combinarse con el carbonato de sodio de las cenizas
105
forman ésteres, sales orgánicas solubles en agua que
constituyen los jabones diversos según los tipos de
sebos y cenizas. Las moléculas de los jabones son
largas cadenas con un extremo con afinidad con el
agua y el otro con afinidad con las grasas. Si
revolvemos el jabón con agua en presencia de
grasas, estas se dividen por el agite en pequeñas
partículas que luego volverían a juntarse. Pero los
extremos de las moléculas del jabón afines con las
grasas se pegan a las partículas de grasa y las rodean
impidiendo que tales partículas vuelvan a
fusionarse, pues las cubiertas de las partículas se
rechazan por sus extremos afines con el agua.
Quedan las partículas de grasa recubiertas flotando
en el agua y son arrastradas por el enjuague.
1.15.4 Productos lácteos
La leche animal no humana (de cabras, ovejas y
vacas) se usó como alimento tal vez desde hace
9.000 años en los pueblos neolíticos del Indo (actual
Pakistán e India) y con seguridad hace 6.000 años
106
en Mesopotamia y Egipto. El acostumbramiento de
una parte de los humanos adultos a la leche ha sido
una adaptación por mutación tal vez posterior a la
migración desde África. Aún hoy poca población
adulta de África tolera bien la leche. La leche es una
emulsión de grasas y proteínas en agua, con azúcar,
minerales, y vitaminas.
Aparte de su consumo directo se extraen de ella
muchos alimentos. En general se han desarrollado
técnicas para obtener derivados más adecuados para
ser almacenados. Las grasas se separan por
agitación dando mantequilla. La coagulación,
separación del cuajo o requesón del suero se
produce por acidificación. El requesón es la base
para la producción de quesos de diversos tipos los
cuales se obtienen por diferentes formas de
fermentación producidas por diferentes hongos o
bacterias.
107
1.15.5 Conservación de alimentos
La conservación de carnes y pescados se ha hecho
por técnicas de cocción, fritado con aceite, salazón,
ahumado y, últimamente por conservación
frigorífica. En el Imperio Incaico se usaba el
congelamiento y descongelamiento para producir
una harina de papa de larga duración.
1.16 Limitaciones de la física no científica
La Física pre-científica tiene asombrosos logros
prácticos, pero tiene varias desventajas respecto a la
actual.
La primera es la falta de la formación de
conceptos generales bien definidos, como los
vistos de ondas, impulso, fuerzas, temperatura, etc.
y sus relaciones, que son aplicables a una multitud
de procesos y fenómenos.
La segunda es la falta de una comparación
sistemática de los procesos observados viendo las
condiciones necesarias para su ocurrencia. Muchas
actividades para lograr un fin van acompañadas de
108
condiciones que podrían omitirse, basadas en casos
accidentales vistos y analogías, pero no se omiten
por tradición y por temor al fracaso.
La tercera es la falta de experimentación, es decir
el establecimiento de condiciones artificiales para
producir un fenómeno y con ello determinar las
condiciones necesaria para su producción. Estos
“fenómenos simples” sirven para entender el
proceso y sacar principios sencillos que luego se
aplican a casos más complejos
Por último, la falta de determinar
cuantitativamente los factores de un proceso y ver
las relaciones entre las medidas de los factores y las
medidas de los resultados estableciendo leyes
matemáticas.
Por otra parte, hay en ella una unidad del mundo
objetivo y objetivo y una identificación de la
actividad práctica y el pensamiento que se pierde al
establecerse la ciencia griega, donde la dicotomía
de realidad y pensamiento crea problemas en los
cuales se debate aún nuestra Física.
109
Capítulo 2
La ciencia griega: Explicación de los
fenómenos mediante modelos mentales
En Grecia desde el siglo VI a.C. se registra una
forma especial de enfocar los problemas. Al
observar los fenómenos del mundo objetivo en
todas las grandes civilizaciones (Egipto, China,
India, Mesopotamia, México, Perú) se observan
regularidades formando un cuerpo de
conocimientos que se transmiten y se utilizan para
la tecnología. Se ha empezado a ver que muchos
aspectos de esta forma de pensar la tomaron los
griegos de sus relaciones con Mesopotamia y
Egipto pero nuestra cultura occidental la tomó
principalmente de Grecia. Allí se comenzó, desde
el siglo VI a.C. a poner el énfasis en crear, a partir
de la observación, modelos mentales simples de
los cuales se pueden deducir los hechos. Es un
110
enfoque que se ha mantenido hasta la ciencia actual.
Veamos algunos casos correspondientes a la Física.
2.1 Animismo y movimiento
El movimiento de los objetos es uno de los
fenómenos físicos conocidos desde el origen de la
humanidad. Muchos objetos cambian de posición
unos con respecto a otros. Nosotros mismos somos
capaces de movernos a voluntad, mover otros
objetos y tenemos una sensación interna del
movimiento y sus causas. No existe una teoría clara
de la relación entre el fenómeno psíquico de la
voluntad de moverse y el movimiento físico
resultante. Suponemos que muchos seres vivos
tienen, como nosotros, esta misma capacidad de
movimiento a voluntad, movimiento que podemos
transmitir a otros cuerpos. Por otra parte, hay
cuerpos que consideramos inanimados que se
mueven sin nuestra acción: el viento, el agua de los
ríos y mares, cuerpos que caen, piedras lanzadas por
volcanes, y más modernamente en la historia,
111
aparatos construidos por los seres humanos: trenes,
automóviles, aviones, astronaves. Además, el Sol,
la Luna y las estrellas tienen movimientos que, a
primera vista, asombran por su regularidad, tanto
que no fueron considerados cuerpos físicos por los
antiguos.
La mayoría de las culturas primitivas, en una
primera racionalización de estas apariencias
comunes, identificaron, en una analogía con la
experiencia interna, el movimiento como la
manifestación y consecuencia de una voluntad y
un propósito. Los seres movientes o
potencialmente cambiantes se suponían, como
nosotros, capaces de sentimientos, proyectos y
voluntad que dirigía sus movimientos. El mundo
subjetivo de la consciencia no se sentía separado del
objetivo o material, lo cual llevaba a un modo de
pensar diferente al nuestro. Tal como uno podía
estar en cuerpo aquí y mentalmente o en sueños en
otra parte, ambas presencias eran reales y
simultáneas y todos los entes podían tenerlas (ver
112
Levi Bruhl 1963). Cuando en esas culturas se
comenzó a distinguir, reflexionando sobre la
muerte, entre cuerpo y alma (un ente diferente del
cuerpo que proporcionaría a éste vida y
movimiento) se atribuyó a todos los seres que se
movían o cambiaban, alguna forma de alma. Es lo
que los antropólogos llamaron animismo (ver, por
ejemplo, Frazer 1943, James 1973). Al evolucionar
el animismo en religión se llegó a la separación de
un mundo físico (sin alma) y uno espiritual, lo cual
abrió las polémicas sobre sus relaciones en la
Teología y la Filosofía.
En lo que sigue discutiremos el desarrollo de las
ideas sobre el movimiento material objetivo desde
la antigua Grecia a nuestros días, con todas las
limitaciones por la brevedad que supone un texto
como este.
2.2 Filosofía del movimiento
La filosofía griega es una explosión cultural que se
inicia unos seiscientos años antes de Cristo. Es
113
notable que es simultánea con movimientos
semejantes en otras culturas, en los que, además, las
tesis sustentadas se atribuyen a seres humanos
(algunos endiosados más tarde). Confucio y Lao-
Tse en China, Zaratustra en Irán, Buda y Mahavira
en la India, Pitágoras y los filósofos jonios en
Grecia inician nuevas maneras de reflexionar sobre
el ser humano, la sociedad, el cosmos y la divinidad.
Es el movimiento que K. Jaspers (1883 al 1969)
llama “tiempo eje”. En Grecia se discute como
central el problema cosmológico, mientras China se
orienta a los problemas sociales e Irán e India a los
religiosos.
Para el problema que nos interesa son importantes
las reflexiones de Parménides (515 a 540 a.C.) que
afirma la exclusividad del Ser. El no-ser no es. La
nada no existe. De la eliminación del no-ser saca
conclusiones sorprendentes. El ser es infinito, pues
donde terminara comenzaría el no-ser, el cual es
imposible. Es único, si hubiera muchos cada uno
“no sería” el otro. Es inmutable: si cambiara dejaría
114
de ser lo que es. Como el mundo se nos revela como
finito, múltiple y cambiante la conclusión de
Parménides es que tal percepción es una ilusión. Se
debe creer a la Razón y no a los engañosos sentidos.
Su discípulo Zenón (490 a 430 a.C.) desarrolla
ingeniosos argumentos para demostrar que el
concepto de movimiento es contradictorio.
Enunciemos los más famosos:
1 La flecha disparada, en un instante dado está en
un lugar, no en dos. Pero lo que está en un lugar está
en reposo. Luego el movimiento está compuesto por
una infinidad de reposos, lo cual es absurdo.
Ejemplo 1.18 Decir cómo se define actualmente la
velocidad instantánea. ¿Resuelve esto la paradoja?
2 Para recorrer una distancia dada hay que recorrer
primero la mitad de ella, lo cual lleva cierto tiempo.
Luego la mitad de lo que resta, lo cual también lleva
tiempo. Y siempre queda algo. Para recorrerla toda
se requiere que pasen infinitos intervalos de tiempo,
lo cual es absurdo pues siempre quedan infinitos por
transcurrir. Se cuenta que cuando el filósofo
115
Diógenes el Cínico intentó refutarlo caminando una
cierta distancia. Zenón le contesto: “Yo pienso con
la cabeza, tú con los pies”. Es decir, Zenón se atenía
a la razón no a lo que percibía.
3 En una carrera entre Aquiles (el héroe de “los pies
veloces” de la Ilíada) y una tortuga, aquel le da a
esta un espacio de ventaja. Cuando Aquiles llega a
la posición inicial de la tortuga, ésta ya no está allí,
sino en una posición más adelante. Cuando Aquiles
llega a esa posición, tampoco la halla allí, pues ha
avanzado algo. Y esto se repite indefinidamente.
Luego jamás la alcanza.
Figura 2-1. Aquiles y la tortuga
116
En los dos últimos argumentos Zenón plantea el
problema de sumar infinitas cantidades que van
decreciendo.
También las paradojas de “estar en un lugar”. Todo
lo que existe está en algún lugar en el espacio. Si el
espacio existe debe estar en algún lugar.
Ejemplo 1.19. Expresar, para estos argumentos,
como se aclararían con nuestra idea de límite y
sumas infinitas.
El mismo problema se planteó a los matemáticos
griegos al tratar de definir el área de una figura
curva por suma de infinitos triángulos que van
decreciendo. Eudoxo dio una solución con su
principio de exhausción: si a una cantidad se le quita
su mitad o más, a lo que resta se le quita su mitad o
más y así se sigue, entonces en un número finito de
quites, lo que resta se hace menor que cualquier
cantidad prefijada. Eudoxo demostró el principio
(equivale a nuestra idea de límite) y lo aplicó para
resolver muchos problemas. Para contestarle a
117
Zenón se podría argumentar: entre las hipótesis de
que parte Zenón se admite que se puede recorrer un
cierto trayecto menor, sea S, en un tiempo finito t,
y con más razón uno menor que S. Como al trayecto
total a recorrer se le extraen mitades sucesivas de lo
que resta, entonces en un número finito de veces lo
que queda por recorrer se hace menor que S, y basta
el tiempo t para recorrerlo.
2.3 Pitagóricos. Modelo matemático del
Universo
Otra escuela importante para nuestro problema es la
Pitagórica que sostiene que el Universo tiene
estructura matemática y que la esencia de las cosas
está en relaciones numéricas y geométricas. Esta
idea se incorporó a la filosofía de Platón que tuvo
gran influencia en los físicos del Renacimiento
(Copérnico, Galileo, Kepler, Descartes y Newton).
Se formó con esto la base de la ciencia moderna.
Pitágoras (570 al 497 a.C.) encontró relaciones muy
notables entre la longitud de las cuerdas y las notas
118
musicales. Si con nuestra notación musical
consideramos longitudes de cuerdas y las notas de
la escala se encuentran las siguientes relaciones en
la primera cuerda de un cuatro. Los números
corresponden a las distancias de los trastes:
Nota
do re mi fa sol la si do
Longitud de la cuerda en un cuatro
50.8 45.2 40.7 38.0 33.8 30.5 27.1 25.4
Longitud tomando el total igual a 2
2 16/9 8/5 3/2 4/3 6/5 16/15 1
Vieron además que notas que suenan bien en
armonía tienen relaciones numéricas entre sí que
contienen los números 1,2,3,4. Estos números
suman 10 y combinándolos por suma dan todos los
números de 1 a 10. Por ejemplo, mi-la
8/5:6/5=8/6=4/3. Los pitagóricos constituyeron una
secta religiosa (creían en la inmortalidad y
trasmigración de las almas) y desarrollaron un
simbolismo del mundo formados por números. La
geometría se reducía líneas que eran sucesiones
numéricas de puntos, las superficies sucesiones de
119
líneas y los volúmenes de superficies. El universo
era para ellos de naturaleza numérica y su idea
básica la expresa el pitagórico Filolao: “todas las
cosas conocidas tienen su número, sin el nada puede
conocerse ni comprenderse” (ver R. Mondolfo
1969). Las relaciones entre magnitudes eran
relaciones numéricas y las proporciones armoniosas
(como la llamada proporción áurea) y tendrían que
gobernar lo moral y corporal resultando en justicia,
rectitud y salud. Nuestra tendencia a la
matematización en todas las ciencias y técnicas
debe mucho a esta concepción del mundo.
2.4 Constitución básica del Universo
La Filosofía Griega se concentra en entender la
estructura del Universo. Los primeros filósofos
especulan sobre la existencia de una sustancia
simple que, en sus diferentes modalidades aparece
como la diversidad del mundo. Esta tendencia se
transmite a la Filosofía y Ciencia Occidental hasta
la fecha.
120
2.4.1 La sustancia original
Para Thales de Mileto (624 al 545 a.C.) tal sustancia
es el agua. Tal vez el conocimiento de la
transformación del estado del agua en vapor, hielo
y nieve, la aparición de sedimentos en los ríos como
el Nilo y el Meandro, que Thales había visto y el
papel fundamental del agua en la vida vegetal y
animal contribuyeron a esta idea.
Dos observaciones se le atribuyen: que el ámbar
frotado con una piel es capaz de atraer pequeños
objetos y que existe una piedra (la magnetita, un
óxido de hierro) que atrae objetos de hierro. Estos
pequeños y olvidados efectos, que Thales atribuye
a una especie de fuerza anímica de los cuerpos, son
leves indicios de lo que es hoy uno de los pilares de
nuestra tecnología e imagen del mundo físico.
También se atribuyen a Thales las primeras
demostraciones matemáticas. Hubo varios
continuadores de esta tradición unitaria.
Anaximandro (610 al 547 a.C.) que ve el origen de
todo en un elemento indeterminado (apeiron)
121
sugerido por el caos, supuesto por la religión griega.
Torbellinos alteran la quietud original. Esto genera
mundos, conflictos hasta que el principio de justicia
se impone y vuelve la calma original. Anaximandro
supone que las especies de los seres vivos derivan
unas de otras.
Anaxímenes (582 al 524 a.C.) ve en el aire que por
rarefacción y condensación es el origen del frío y el
calor que transforman el aire en otros elementos.
Creía al revés de lo que sabemos ahora que la
compresión produce frío y la rarefacción calor. Para
comprobarlo soplaba una mano con aire
comprimido con los labios fruncidos y luego
exhalaba sobre la mano exhalando aire con la boca
abierta.
Anaxágoras (500 al 428 a.C.) supone una infinidad
de elementos correspondientes a entes
cualitativamente distintos como frutas, madera,
huesos, piedra, carne. En los objetos que vemos
domina algún elemento, pero todos están en él. Por
eso se pueden producir transformaciones. Así de los
122
alimentos se producen huesos y carne pues en ellos
hay cierta cantidad de estos elementos. Supone que
el principio ordenador de las transformaciones es un
principio mental (nous).
Heráclito (540 al 480 a.C.) puso el énfasis en el
devenir universal y una lógica del cambio, según la
cual las cosas “son y no son” puesto que todo
deviene y todo encierra contradicciones que lo
llevan a transformarse. Propone el fuego,
transformador universal en la combustión
metalurgia y cerámica, como el elemento básico y
admite un principio racional (logos) que gobierna
las transformaciones.
Empédocles (490 al 430 a.C.) elabora una teoría de
cuatro elementos básicos: agua, aire, tierra y fuego,
movidas por dos fuerzas: amor (atracción) y
discordia (repulsión).
La teoría de los cuatro elementos fue adoptada por
Aristóteles y a través de su influencia persistió en
Europa hasta el Renacimiento. Por otra parte la
123
Cosmología actual supone que la diversidad de la
materia tiene un origen simple.
El movimiento de los sofistas del siglo V a.C. es
importante como una crítica a todo conocimiento
conceptual. Revela que al enunciarse conceptos y
principios se llega a contradicciones. Es decir, el
nuevo modo de pensar tiene dificultades. A este
movimiento se opone Sócrates que trata de ver que
el logro del conocimiento es una continua
superación de esas contradicciones (dialéctica) y
aunque la superación que propone es puramente
especulativa es el origen de las grandes síntesis
filosóficas de Platón y Aristóteles. Esta idea de
superación de las contradicciones en verdades más
inclusivas, unida al empirismo que permite
construir y derribar los modelos conceptuales al
contrastarlos con la observación y el experimento es
la base del pensamiento científico del
Renacimiento. Las ideas actuales de rupturas y
caos ponen en discusión este tipo de
pensamiento.
124
2.4.2 Átomos y vacío
Aparte de Anaximandro, los primeros en explicar la
formación de los cuerpos por combinaciones de sus
componentes básicos no identificados con
materiales específicos fueron los atomistas.
Leucipo (siglo V a.C.) y Demócrito (460 a 370 a.C.)
supusieron que todos los objetos del universo
(incluidos las almas y los dioses) estaban formados
por partículas muy pequeñas e indivisibles
(átomos) que se movían en el vacío y se unían entre
ellos para formar los diferentes objetos. El vacío
existe pues si no los objetos no podrían moverse.
Átomos y vacío son una concretización del Ser de
Parménides y el No-Ser de Herácito. Todos los
objetos (excepto los dioses, que aunque hechos de
átomos, eran eternos) se podían deshacer al
separarse sus átomos, pero los átomos eran
indestructibles. Los átomos tienen un “movimiento
natural” de caída en la cual los más pesados
alcanzan a los más livianos, lo cual origina
movimientos laterales y torbellinos en los cuales los
125
átomos se unen (por ganchos e irregularidades que
tienen) formando los diversos objetos. Demócrito
suponía un determinismo estricto en los
movimientos de los átomos y por lo tanto en los
objetos por ellos formados, en particular, los seres
humanos. Nuestra libertad de actuar y pensar es sólo
una ilusión. En un atomista posterior, Epicuro (342
a 270 a.C.) hay la notable idea de que los
movimientos de los átomos tienen ciertas
desviaciones “al azar” y esta es la causa de los
choques. Un romano de la escuela epicúrea,
Lucrecio (97 a 54 a.C.), expresó en un gran poema
(De la Naturaleza de las Cosas; existe una notable
traducción de Lisandro Alvarado) las doctrinas de
Epicuro. En este poema se describe el origen, la
estructura y el funcionamiento de la tierra, los seres
vivos y su evolución, la sociedad y los fenómenos
naturales, desde los rayos a las crecidas del Nilo, a
partir de la teoría atómica. El énfasis es explicar
todo sin la intervención divina. En particular se
refuta la idea de Demócrito sobre el origen de los
126
cuerpos por la diferencia de velocidad en la caída
pues “en el vacío, no resistente, todas las cosas,
aunque sean movidas por diferente peso se deben
mover con igual velocidad” (II-238). La verdadera
explicación de los choques que originan los objetos
está, según Epicuro, en las desviaciones al azar de
las trayectorias de los átomos. Y este fenómeno
atómico es el fundamento de la libertad humana.
“Finalmente -dice Lucrecio- si todos los
movimientos están conectados y el nuevo
movimiento surge de una manera fija del anterior y
los átomos no tienen una desviación y causan cierta
acción que quiebre las cadenas del hado y evite que
una causa siga a otra causa en un tiempo infinito
entonces: ¿de dónde viene entonces este poder de la
libre voluntad de las criaturas vivas sobre la tierra?”
(II 252-60). El argumento es sorprendente. Hace
pensar que esta anticipación a Galileo, es
introducida para refutar el determinismo de
Demócrito y asegurar la libre voluntad. Esta idea
pretendía liberar a los humanos no sólo de los
127
caprichos de los dioses (que para Lucrecio existen,
pero para nada intervienen en el mundo ya que todo
lo explica por causas físicas) sino también de la
tiranía del destino que eran (dioses y hado) las
principales preocupaciones trascendentes de los
greco-romanos. No es, desde el punto de vista
psicológico, muy reconfortante pensar que nuestro
destino es indeterminado en vez de estrictamente
determinado, pero al griego o el romano tantas
veces agobiado por augurios y oráculos trágicos le
resulta un alivio rechazarlos pensando que el
destino no está hecho, ya que depende de
movimientos imprevisibles de los átomos.
La especulación de Bohr de que la no-
determinación estricta de los procesos mentales
puede deberse a que en ellos los procesos
energéticos están en la zona cuántica y tales
procesos son aleatorios, no es muy lejana a la
epicúrea.
El poema de Lucrecio, siempre excomulgado por su
materialismo, era sin embargo bien conocido por
128
Galileo, Gassendi, Newton y muchos otros
pensadores científicos de la cultura europea que se
inspiraron en él para elaborar muchas teorías en
Mecánica y en la moderna Teoría Atómica.
2.4.3 Movimientos de los astros
La otra gran teoría sobre el movimiento es la de
Aristóteles (-384 a -322). En sus obras Física,
Metafísica, De la Generación y Corrupción y Del
Cielo, trata los diferentes tipos de movimiento.
Distingue entre el movimiento forzado, en el cual
un objeto es movido por acción de otro que se
mueve y el movimiento natural, que es el que tiene
el cuerpo por su propia naturaleza. Para entender
este es necesario explicar su teoría de la estructura
del universo que se basa en el modelo cósmico dado
por Eudoxo (408 a 355 a.C.).
Los babilonios habían hecho observaciones muy
precisas sobre los movimientos de los astros y éstas
fueron conocidas por los griegos que intentaron
hacer con ellas un modelo geométrico del universo.
129
Si observamos el cielo desde un punto cercano al
ecuador, vemos que las estrellas parecen estar fijas
en una gran esfera: el cielo o esfera celeste, que gira
alrededor de un eje ideal que va en la dirección
Norte Sur. Las estrellas completan su vuelta en un
día, rotando en el mismo sentido que el movimiento
diario del Sol, es decir, de Este a Oeste. Pero su
vuelta no se ve completa pues durante unas 12 horas
(esto varía con las estaciones) está presente el Sol.
Esto impide ver las estrellas que están cerca del Sol.
Sin embargo, con el tiempo pueden verse las que
oculta el Sol, pues éste se mueve respecto a las
estrellas avanzando por día un grado
aproximadamente un en dirección Oeste a Este.
Esto hace que al salir el Sol se dejen de ver, por
acercarse al Sol, estrellas que se veían en el oeste y
al ponerse se vean nuevas en el este. (Ver Figura 2-
2). En un año (365 días y 6 horas) llega el sol a la
misma posición respecto de las estrellas.
130
Figura 2-2. Movimiento aparente de las estrellas
Si observamos el cielo desde una latitud más al
norte del ecuador vemos que el eje de giro de los
astros no es una recta del norte al sur sobre el
horizonte sino que está inclinada e intersecta a la
esfera celeste en un punto más elevado y que esta
elevación sobre el horizonte es fija en el cielo. En
ella se encuentra en el norte una estrella (la estrella
polar) que no se mueve, pero alrededor de la cual
parecen girar las otras estrellas en su movimiento
diario. Este punto se ve más alto a medida que lo
miramos desde más y más al norte. En el polo norte
se vería la estrella polar en el cenit.
131
Figura 2-3. La Tierry la esfera celeste
Se supone el tamaño de la esfera celeste mucho mayor
que el de la Tierra. Por eso el plano del horizonte se
puede dibujar desde el centro O de la Tierra o desde los
ojos del observador.
Al avanzar hacia el norte el plano del horizonte
cambia, la estrella polar se ve más alta sobre el
horizonte y se ven estrellas que antes no se veían.
Esto permitía a los navegantes saber la latitud
observando el ángulo de la polar sobre el horizonte.
Por otra parte al desplazarnos al este se ven en el
mismo día del año, a la misma hora, estrellas que no
se veían antes de desplazarnos y dejan de verse las
que se veían al oeste.
132
Esto fue explicado por los astrónomos griegos
suponiendo que la tierra era esférica y que las
estrellas estaban sobre una esfera centrada en el
centro de la tierra, esfera que realizaba una vuelta
diaria. Ver Ptolomeo (100-170 d.C.) para los
argumentos de la esfericidad de la Tierra basados en
la visibilidad de las estrellas.
Los antiguos describieron el movimiento del Sol
respecto a las estrellas dividiendo la zona del
movimiento del Sol, llamada zodíaco, en 12 partes
iguales de 30º cada una que se denominan según las
constelaciones (signos zodiacales) que hay en cada
una (Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo,
Libra Escorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario,
Piscis). Esta banda del zodiaco está inclinada unos
23º respecto al ecuador celeste, plano imaginario
perpendicular al eje que divide la esfera celeste en
dos hemisferios. El Sol pasa de una a la siguiente en
un mes en ese orden. Es lo que se llama movimiento
directo. La luna tiene un movimiento directo muy
rápido, pasa de una de ellas a la siguiente en unos
133
dos días y medio con lo cual vuelve a su posición
inicial respecto a las estrellas en cerca de un mes.
Pero lo que llamó más la atención es el movimiento
de los planetas que a primera vista se ven como las
estrellas y tienen la misma rotación diaria. Pero
estos se mueven de una manera muy extraña
respecto a las estrellas (la palabra planeta viene de
: vagabundo). Tomemos el caso más
simple de Saturno. Supongamos que se lo empieza
a observar desde un punto en que se lo ve avanzar
respecto a las estrellas de este a oeste, es decir, con
movimiento directo. Pero después de unas semanas
se detiene, retrocede (movimiento retrógrado) y
luego vuelve a avanzar. Después de un año de la
primera observación se ve que en total ha avanzado
unos 12º (menos de medio signo zodiacal) en
sentido directo. Requiere casi 30 años en volver
aproximadamente a la posición original respecto a
las estrellas. Júpiter requiere unos 12 años para
hacer lo mismo, y Marte cerca de 2 años, pero los
tres presentan ese movimiento de avance y
134
retroceso. El Sol y la Luna no presentan
movimiento retrógrado. Venus y Mercurio tienen
un movimiento algo diferente. Si vemos a Venus (el
astro más brillante del cielo) en su máximo
alejamiento del Sol en la mañana (45º del Sol),
vemos que en los días sucesivos cada vez se acerca
más al Sol hasta que el resplandor de éste impide
verlo. Después de unos días se lo ve nuevamente
cerca del Sol, pero al atardecer. Se aleja del Sol
hasta formar con él un ángulo máximo de unos 45º
y luego se acerca y reaparece de nuevo en la
mañana. Su vuelta total tarda algo más de un año y
medio. Mercurio tiene un movimiento similar a
Venus, pero sólo se aleja 28º del Sol y completa su
vuelta al punto original en poco menos de cuatro
meses. Los babilonios registraron todos estos
movimientos de los planetas con notable exactitud
y podían predecir las futuras posiciones de los
planetas basados en tablas que indicaban los
avances y retrocesos en períodos de tiempo fijos.
135
No buscaban una ley general que permitiera hacer
el cálculo.
Figura 2-4. Movimiento aparente de Saturno y Venus
Una de las causas de este detallado estudio era la
creencia de que los movimientos de los planetas
influenciaban las acciones humanas. Un extenso
conjunto de reglas y principios formaban una
doctrina, la Astrología, que se usaba para descifrar
la manera de ser de las personas y prever el futuro
de los acontecimientos personales, sociales y
políticos. Kepler y Newton la utilizaron y mucha
gente cree actualmente en ella o por lo menos tiene
en cuenta sus predicciones. Pero parece ser que
nunca los babilonios trataron de explicar los
movimientos de los astros mediante un modelo
geométrico simple. Se atenían a lo que veían y a
descubrir regularidades que registraban en tablas
136
que con unos cálculos simples les permitían
predecir las posiciones futuras de los astros. Los
Pitagóricos hicieron los primeros intentos de
modelo y Platón (428 a 347 a.C.) planteó
explícitamente como problema hallar “cuáles son
los movimientos ordenados y uniformes que deben
suponerse para dar cuenta de los movimientos
aparentes de los planetas” (Ver Heath T.L.). Nótese
la enorme diferencia de pensamiento entre griegos
y babilonios. Estos estudian directamente la
realidad, los griegos tratan de descubrir un
mecanismo sencillo o modelo, basado en
elementos simples y racionales que se suponen la
verdadera realidad que “aparece” en los hechos.
Los elementos sencillos eran según la prescripción
de Platón movimientos “perfectos” circulares con
velocidad constante. Esta restricción se mantuvo
hasta que Kepler en 1609 mostró que había que
recurrir a otro tipo de trayectorias.
Eudoxo, discípulo de Platón y brillante matemático,
construyó un modelo que se llamó de esferas
137
homocéntricas. Supone que los astros están fijados
en esferas que se mueven alrededor de ejes con
movimiento de rotación uniforme. En primer lugar,
hay la esfera exterior de las estrellas fijas, que
completa una vuelta en 24 horas en torno a un eje
(vertical en la Figura 2.2) que es el eje del universo.
En el centro está la tierra fija y desde ella se ve este
movimiento diurno de las estrellas. Para explicar el
movimiento del Sol y la Luna que no tienen
movimiento de retroceso, Eudoxo supone que el
astro, por ejemplo, el Sol, está en una esfera interior
a la de las estrellas que gira en torno a un eje que
está apoyado en el interior del eje de las estrellas,
pero inclinado 23º respecto al eje. El Sol gira en el
ecuador de su esfera en sentido contrario al de las
estrellas y completa su vuelta en un año Ver Figura
2-3. En forma semejante se explica el movimiento
de la Luna, pero aquí el movimiento en su esfera es
más rápido pues completa su movimiento en 28
días.
138
Para el movimiento de cada planeta se requieren 3
esferas adicionales. La primera apoya su eje como
la del sol, formando unos 23º con el eje del
universo. Gira a una velocidad que depende del
planeta (cerca de 30 años para Saturno, 12 para
Júpiter, etc.) lo cual explica su movimiento directo.
Para explicar el lazo de retroceso y nuevo avance,
Eudoxo introduce otras dos esferas dentro de la
última, ver Figura 2.5. La más externa apoya en la
del movimiento directo y su eje es casi
perpendicular a dicha esfera. La más interna tiene
un eje que forma un pequeño ángulo con el eje de la
anterior. En el ecuador de esta esfera más interior
está fijo el planeta. Las dos últimas esferas giran en
sentidos opuestos realizando una rotación en un
tiempo igual al tiempo entre los comienzos de dos
retrocesos sucesivos del planeta. Estas dos esferas,
por sí solas producen un movimiento en forma de
un ocho acostado, ver Figura 2.5. Este lazo
combinado con el movimiento de rotación del
planeta produce el movimiento de avance y
139
retroceso del planeta. Es muy difícil darse cuenta de
este último movimiento. Puede hacerse un modelo
con dos aros de cartón, uno con un eje vertical que
se puede hacer girar a mano y otro con un eje
apoyado dentro del anterior. El eje de éste forma un
ángulo pequeño con el eje del anterior. Se los hace
girar alternativamente unos pocos grados en
sentidos opuestos y se ve que un punto del ecuador
del interno describe un 8 acostado alargado.
Figura 2-5. Sistema de esferas homocéntricas de Eudoxo
Cuando se quiere hacer, con estas ideas, un modelo
de todo el sistema, la idea es que la esfera exterior
de las tres del planeta debe apoyarse en la última
140
esfera del planeta anterior mientras que en la
explicación de su movimiento se supone que se
apoyan en el de las estrellas fijas. Es necesario
introducir por cada planeta nuevas esferas que con
su movimiento anulen el del planeta más exterior en
que se apoyan de modo que las del siguiente están
como si se apoyaran sobre la de las estrellas fijas.
Los planetas Venus y Mercurio necesitan 5 esferas
para su movimiento y otras tantas para
compensarlo. Estos refinamientos fueron
introducidos por Callipo y adoptados por
Aristóteles para su sistema cosmológico. Las
esferas deberían ser de cristal o algo semejante para
permitir pasar la luz a través de ellas.
Este sistema astronómico, llamado sistema de las
esferas homocéntricas, fue sustituido por el de los
epiciclos de Hiparco (siglo II a.C.) y Ptolomeo
(siglo II a.C.). En él se explican los movimientos
retrógrados suponiendo que los planetas recorren
trayectorias circulares (epiciclos) cuyos centros se
141
mueven en una órbita (deferente) alrededor de la
tierra (ver Figura 2-6). En esta forma simple es
posible ajustar los datos observados al modelo.
Hiparco, aparte de sus observaciones, disponía de
los datos de los babilonios traídos después de la
conquista del Medio Oriente por Alejandro cerca
del 325 a.C. Para ello introdujo ciertas
complicaciones en el movimiento. El plano del
epiciclo podía estar inclinado respecto al del
deferente. Un epiciclo podía ser deferente y tener
sus propios epiciclos, podían admitirse
excentricidades, es decir, la tierra podría estar
desplazada del centro de la órbita del planeta o el
punto del epiciclo que se movía sobre el deferente
podría no ser el centro del epiciclo, además el
movimiento sobre una órbita o epiciclo podría ser
uniforme no respecto a su centro sino a un punto
(ecuante) próximo al centro.
El centro de la órbita es C y la tierra, fija en el centro
del Universo es E. El planeta P gira en torno a C
pero su velocidad no es uniforme, pues los ángulos
142
(30 grados en la figura) que se recorren en tiempos
iguales se centran en E (punto ecuante). Se ve que
el planeta va más rápido cuando está más cerca de
la tierra. Los epiciclos podrían no estar en el mismo
plano del deferente, lo cual permitía representar la
inclinación de los planos de rotación de los
diferentes planetas. Con todos estos recursos era
posible (aunque no fácil) ajustar los movimientos
observados al modelo. Ajustar significa determinar
todas las rotaciones, sus posiciones relativas (radios
de los epiciclos, excentricidades y ecuantes) y sus
velocidades para que, dada una posición actual de
los astros, se pudieran calcular sus posiciones
futuras. Un apoyo a esa teoría era la variación del
brillo de los planetas, que cuando estaban en
retroceso presentaban mayor brillo por estar más
cercanos.
El lector ya se imaginará que los epiciclos no son
sino el efecto de nuestra propia rotación alrededor
del Sol. La inclinación del epiciclo respecto al
deferente significa que el plano de nuestra órbita y
143
el del planeta son distintos y las excentricidades y
ecuantes muestran que las órbitas son elípticas.
Figura 2-6. Los movimientos básicos de los planetas según Hiparco y
Ptolomeo
Este sistema perfeccionado por Ptolomeo en su
monumental texto Almagesto, fue conocido en la
Edad Media, al principio en su traducción del árabe
y dominó la Astronomía hasta Copérnico. Este
sistema no trataba de explicar las fuerzas que
causaban el movimiento, pero era más simple y más
fácil de ajustar a los hechos observados.
Por último, hay que mencionar que Aristarco de
Samos (310 al 230 a.C.) propuso un sistema en que
los planetas, incluida la Tierra, giraban alrededor
del sol y además la tierra giraba sobre sí misma en
un día, es decir igual al sistema de Copérnico. La
144
objeción de que la Tierra en su órbita se acercaría y
alejaría de la esfera de las estrellas produciendo
deformaciones en las constelaciones era contestada
por Aristarco suponiendo que la distancia a las
estrellas era enorme comparada con el tamaño de la
órbita terrestre. El sistema tuvo poco éxito y se
conoce por citas de Arquímedes y Plutarco.
Ptolomeo hace una dura crítica a los que sostienen
que la tierra se mueve. Si la tierra diera una vuelta
en 24 horas, dado su tamaño, su velocidad de oeste
a este, sería enorme, de unos 460 m/seg en el
ecuador. Cualquier objeto separado de ella caería a
enorme distancia de la vertical. La trayectoria de
caída que en realidad se observa es la vertical.
(Ptolomeo: Almagesto I-7). La contradicción la
aclaró Galileo con su ley de la inercia. Ver Cap. 4.
Nótese que los modelos anteriores son puramente
descripciones; no se trata de describir las causas de
los movimientos en términos de fuerzas o
interacciones. No hacía falta introducir fuerzas pues
los cuerpos celestes no se consideraban materiales.
145
La primera explicación en términos de causas la da
Aristóteles con su tesis del alejamiento de la
influencia divina, pero las causas no son fuerzas
sino procesos metafísicos.
2.4.4 Aristóteles. El orden del Cosmos
Los aristotélicos siguieron con el modelo de
Eudoxo-Callipo que armonizaba con la cosmología
de Aristóteles en un sistema sólidamente
argumentado.
El sistema de Aristóteles se apoya en argumentos
filosóficos y teológicos. La perfección es el
reposo, lo que no cambia, tal como sostenía
Parménides.
El movimiento más perfecto es el circular uniforme,
lo más parecido al reposo. Puede ser eterno y se
mantiene limitado en el espacio. Los movimientos
rectilíneos son los menos perfectos y tienen
principio y fin y su recorrido es variable. En
relación con la esfera de las estrellas está Dios, el
primer motor, que es inmóvil. El cielo de las
146
estrellas, el más cercano a Dios, se mueve con el
movimiento más regular: una vuelta a velocidad fija
en 24 horas. En este se apoya el cielo de Saturno
que tiene el lazo de retroceso menor, siguen los de
Júpiter y Marte con irregularidad mayor y luego el
del Sol, Venus, Mercurio y por fin la Luna que es el
de avance más rápido y más irregular en su aspecto.
Las estrellas y planetas no son entes físicos como
los terrestres, sino que están formados por una
sustancia especial, el éter, y su movimiento local es
producto de un espíritu inteligente.
En el mundo sublunar la ley del movimiento es otra.
Los cuerpos buscan su lugar propio según su
naturaleza. Los cuerpos físicos están formados por
una sustancia a la que se agregan atributos
(sequedad y calor y sus privaciones humedad y frío)
que forma los cuatro elementos: fuego (seco y
caliente) que tiende a moverse hacia arriba, tierra
(seco y frío) que tiende a moverse hacia el centro
del universo, y dos intermedios: el agua (húmedo
y frío) por sobre la tierra y el aire (húmedo y
147
caliente) entre el agua y el fuego. Estos
movimientos verticales tienen principio y fin.
Además de estos están los movimientos de los seres
animados. La fuerza es necesaria para mantener el
movimiento, es su causa. La de los astros proviene
de Dios en un doble sentido: como motor y por el
impulso o deseo de las cosas de acercarse a su
perfección. Tales movimientos son circulares,
eternos. La fuerza de los cuerpos inanimados viene
del impulso a buscar su lugar propio, la de los
animados a buscar sus propios fines. Estos
movimientos se agotan cuando el fin es alcanzado o
se detienen al encontrar obstáculos. Nótese que
estas ideas coinciden con las del sentido común,
aunque Aristóteles las discute y fundamenta con
una lógica rigurosa. Los cuerpos pueden ser
también objeto de movimientos forzados cuando su
movimiento natural es alterado por acción de otros
cuerpos, como cuando lanzamos una piedra hacia
arriba. La observación común muestra que un
cuerpo sigue moviéndose por un tiempo, aunque no
148
haya fuerza que lo mueva. Aristóteles no ignora este
fenómeno. Dice en la Física (VII, 1, 266) : ”Si, en
efecto todo lo que se mueve se mueve por alguna
cosa ¿cómo es posible que entre las cosas que no se
mueven ellas mismas algunas siguen moviéndose
sin ser tocadas por el motor? Un ejemplo son los
proyectiles.” La explicación (VII,1027) es que el
cuerpo siempre se mueve en un medio (el vacío no
existe según Aristóteles) y comunica movimiento a
este medio por contacto directo. “Hay una serie de
motores mutuamente contiguos, es por eso que tal
movimiento tiene lugar en el aire y en el agua,
algunos lo llaman retorno a contragolpe
()”. Es decir, el aire que el cuerpo pone
en movimiento retorna tras él y lo empuja cuando
cesa la fuerza que lo movía. Este fue uno de los
puntos más criticados por los sucesores de
Aristóteles.
Una crítica fue hecha por el teólogo Philoponus de
Alejandría en el siglo VI. Observa que parece
imposible que el aire empujado hacia adelante se
149
vuelva hacia atrás y luego nuevamente hacia
adelante para empujar al cuerpo. Philoponus opina
que “quien arroja un proyectil le infunde cierta
acción, cierta potencia de movimiento que es
incorpórea”.
2.4.5 Arquímedes
Es importante mencionar los resultados del mayor
físico griego: Arquímedes ( 287-212 a.C.), que
encontró las leyes de la palanca, de las cuales pudo
deducir el cálculo de los centros de gravedad,
encontró el principio del empuje sobre los cuerpos
sumergidos y obtuvo notables resultados en óptica.
Pero, por lo que sabemos, no desarrolló ideas en el
problema del movimiento.
Arquímedes es una mente única donde se juntan el
rigor matemático de filósofo y la solución de
problemas prácticos del ingeniero. Trabaja apoyado
en los descubrimientos matemáticos de Eudoxo, la
lógica de Aristóteles y la gran síntesis matemática
de Euclides de Alejandría.
150
La ley de la palanca la discute en su texto “sobre el
equilibrio de los planos” donde dos figuras, cuyo
peso supone proporcional al área, están colgadas de
una barra rígida horizontal sin peso a ambos lados
de un punto de apoyo. De los resultados obtenidos
calcula para figuras planas el centro de gravedad,
es decir, dónde está el punto tal que, si se suspende
la figura de tal punto, la figura queda en equilibrio
indiferente, es decir si se la gira en torno a ese
punto queda quieta en cualquier posición que la
dejemos. En particular en una palanca en equilibrio
el centro de gravedad está en el apoyo.
Arquímedes parte de los siguientes Axiomas,
evidentemente tomados de la experiencia:
A1 Pesos iguales a) puestos a distancias iguales (del
apoyo) están en equilibrio. b) Si las distancias son
desiguales la barra se inclina hacia el que está a
mayor distancia.
A2 Si ciertos pesos están en equilibrio a ciertas
distancias del apoyo y se agrega un peso extra a uno
151
de ellos la barra se inclina hacia donde se hizo el
agregado.
A3 Si en la situación anterior se quita un peso en
uno de los lados, la barra se inclina hacia el otro
lado.
A4 Si dos figuras coinciden, sus centros de
gravedad coinciden.
(Arquímedes no define centro de gravedad, pero
es claro que entiende que es un punto en el cual, si
la figura se suspende queda en equilibrio en
cualquier posición. Supone que todo el peso se
puede concentrar en el centro de gravedad)
A5 Figuras semejantes tienen sus centros de
gravedad situados similarmente. Un punto de una
figura es el similar de uno de la otra si en ambas al
trazar líneas de esos puntos a vértices similares, los
ángulos correspondientes son iguales.
A6 Si magnitudes a ciertas distancias están en
equilibrio otras magnitudes iguales a aquellas
estarán en equilibrio a las mismas distancias.
152
A7 En una figura de perímetro cóncavo en la misma
dirección el centro de gravedad está dentro de la
figura.
De allí deduce las siguientes proposiciones P:
P1 Los pesos que se balancean a distancias iguales
son iguales.
Si fueran los pesos desiguales descontemos del
mayor la diferencia entre ambos. Por 3 se
desbalancea hacia donde quitamos peso. Pero al
descontar la diferencia los pesos han quedado
iguales y se han desbalanceado estando a distancias
iguales. Esto contradice el 1. Luego no pude ser que
originalmente fueran desiguales.
P2 Pesos desiguales a distancias iguales no se
balancean.
Si se balancearan restamos la diferencia al mayor y
se desbalancearían por 3 siendo iguales, contra 1.
P3 Pesos A y B que se balancean a distancias
desiguales del apoyo C es mayor el que está a menor
distancia.
153
Sea A el mayor. Restemos A-B de A. con lo cual
quedan pesos iguales y se desbalancea hacia
B por 3, pero entonces:
Si AC=CB debería haber equilibrio por A1 a, lo
cual no es
Si AC > CB se debería inclinar hacia A por A1 b, lo
que no ocurre
Luego es AC<CB
Inversamente si B es el mayor resulta BC<CA
P4 Si dos pesos (figuras con peso) iguales no tienen
el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad
de ambos está en el punto medio que une ambos
centros de gravedad. Se demuestra por P3.
P5 Si tres magnitudes iguales tienen sus centros de
gravedad alineados y a iguales distancias, entonces
el centro de gravedad del sistema coincide con la
magnitud del medio. Se ve por P4
Se deducen dos corolarios:
C5-1 Lo mismo es válido para un número impar de
magnitudes.
154
C5-2 Si hay un número par de magnitudes a
distancias iguales y las equidistantes a cada lado del
punto medio de las dos centrales son iguales el
centro de gravedad del sistema es ese punto medio.
P6, 7 Dos magnitudes (figuras con peso) se
balancean a distancias en relación inversa a sus
magnitudes.
Sean Figura 2-7 A y B conmensurables (hay una
magnitud que divide exactamente a cada una de
ellas) y sean E y D sobre la recta apoyada en C, y
sea
A:B=DC:CE.
(1)
Figura 2-7. Ley de La Palanca
155
Tenemos que probar que si el centro de gravedad de
A se apoya en E y el de B en D, entonces C es el
centro de gravedad del conjunto A y B puestos a
esas distancias.
Por la igualdad anterior resultan DC y CE
conmensurables. Sea N una medida común de ellos
Es decir, DC=mN y CE=nN
Tomemos DH=DK=CE y E tal que EL=CD,
Resulta: EH=CD
Se ve que E es el punto medio de LH y D lo es de
HK.
LH y HK contienen a N un número par de veces
(pues EH=CD=mN y DH=CE=nN)
Tomemos una magnitud O tal que A:O=LH:N
(2)
Esto es posible puesto que siempre podemos dividir
A por 2m y obtenemos ese O. Y de (1):
B:A = CE : D = HK : LH
(3)
156
por lo tanto B:O = HK:N (equivale a multiplicar la
(3) por la (2))
es decir, O está contenido en B tantas veces como
N en HK.
Dividamos LH y HK en partes iguales a N y a A y
B en partes iguales a O, poniendo cada una en los
puntos de división de A y B. Y como LD=CD y
EC=DK resulta C el centro de gravedad del sistema
de pesos de L a K. Así que A aplicada a C y B
aplicada a D de balancean en el apoyo en C.
P7 Si las magnitudes A+a y B son
inconmensurables dividimos DE en dos partes
inconmensurables DC y CE de modo que sea
(A+a):B=DC:CE (1)
Si ponemos B en D y A+a en E supongamos que no
hay balance y se levanta B. Es decir, A+a es
excesiva para balancear. Podemos tomar a tan
pequeño que al quitarlo siga el mismo desbalance
con A hacia abajo, pero que A y B sean
conmensurables.
157
Será entonces A:B < DC:CE con A y B
conmensurables por lo cual se aplica el 6 y resulta
que según esa desigualdad se inclina hacia el lado
de B. Contra lo supuesto. Es decir, si se cumple (1)
con a suficientemente pequeño, A+a no levanta a B.
Igualmente se prueba que B no levanta a A. Por
tanto, A+a y B se equilibran con apoyo en C.
Aparentemente Arquímedes da una demostración
de la ley de la palanca. Mach (1883) hace la
importante observación de que no hay razón para
suponer que al sustituir los pesos de las partes de A
distribuidos por A aplicado a su centro de gravedad
el equilibrio permanece. De modo que se debería
admitir el resultado como un axioma basado en la
experiencia.
Con este conocimiento Arquímedes encuentra el
centro de gravedad de muchas figuras:
paralelogramos, triángulos, trapecios, secciones de
parábolas.
158
P8 Un cuerpo con dos partes desiguales tiene su
centro de gravedad en un segmento que une ambos
centros y en un punto cuyas distancias a los centros
de gravedad están en relación inversa a las áreas de
las partes. Es Consecuencia de P6, P7.
Figura 2-8. Centro de gravedad de cuerpo con dos partes diferentes
P9 El centro de gravedad K de un paralelogramo
ABCD está en la recta EF que une los puntos
medios de lados opuestos AD y BC.
Figura 2-9. Centro de gravedad de paralelogramo está en recta que
une puntos de medios de lados
159
Sea K ese punto medio. Si suponemos que está en
otro punto H, unimos K con H . Dividiendo LD en
2, luego en 4, luego en 8, etc. Y trazando paralelas
a DC en los puntos de división y sus simétricos
respecto a E, se llega a una división que separa H de
K. Las paralelas a DC definen un número igual de
figuras semejantes (iguales) a ambos lados de EF.
Pero entonces por C5-2 el centro de gravedad está
en la unión de los centros de gravedad de los dos
centrales y no puede ser H a cierta distancia
horizontal de K. Sólo puede estar en EF.
P10 El centro de gravedad de un paralelogramo está
en el punto de intersección de las diagonales.
Sea ABCD el paralelogramo y G el punto medio de
BD.
Los dos triángulos en los que lo divide la diagonal
son iguales y semejantes. Sean F el centro de
gravedad de ADC. Prolonguemos FG hasta H
haciendo GH=FG. Si superponemos los triángulos
F coincidirá con H. Por A4 al superponer F caerá
en el centro de gravedad de CDB. Pero vimos que
160
cae en H. Luego H es el centro de gravedad del
BCD. Pero entonces el centro de gravedad de todo
el paralelogramo está en G punto medio de FH. Y
por lo conocido en Geometría G es el punto de
intersección de las diagonales.
Figura 2-10. Centro de gravedad de un paralelogramo
P11 y P12 se refieren al centro de gravedad de
triángulos semejantes.
P13 En un triángulo el centro de gravedad está sobre
una recta que va de un vértice al punto medio del
lado opuesto.
Sea el triángulo ABC y D el punto medio de BC.
Supongamos que el centro de gravedad está en H,
fuera de AD. Trazamos HI paralela a BC hasta AD.
Como en el P9 dividimos DC en mitades esas
161
mitades en mitades (en la figura hay 4 divisiones) y
así seguimos hasta lograr que DE sea menor que HI.
Dividamos DC y BD en partes iguales a DE.
Tracemos desde los puntos de división paralelas a
AD hasta encontrar los lados en NPQ y KLM.
Tracemos MN, LP, KQ. Se han formado los
paralelogramos FQ, TP, SN (sombreados en la
figura). AD divide los lados opuestos de cada uno.
Por P9 los centros de gravedad de cada
paralelogramo caen en AD. Y el centro de gravedad
de la figura (sombreada) formado por ellos cae
también en AD como resulta del P8. Sea O dicho
centro de gravedad. Prolonguemos OH hacia X y
tracemos la perpendicular CV a esa recta.
Figura 2-11. Centro de gravedad del triángulo
162
Si n es el número de partes en que se dividió AC
(son iguales por lo sabido en Geometría) entonces
por la semejanza de las superficies (proporcionales
a los cuadrados de los lados:
ADC: (Suma de los triángulos de lados AM,
ML,…)=AC2:(AN2+NP2+….)= 1::2 nnn AC:AN
Análogamente:
ABD:(Suma de los triángulos de lados
AN,NP,…)=AC2:(AN2+NP2+….)=AB:AM; de
donde:
AC:AN=AB:AM
ABC:(Suma de todos los triángulos
pequeños)=CA:AN=VO:OJ>VO:OH
Prolongando VO a VX de modo que
ABC:(Suma de los triángulos pequeños) =XO:OH
restando 1 a ambos miembros:
163
(Suma de los paralelogramos) : (suma de los
triángulos pequeños)=XH:OH
Pero el centro de gravedad de los paralelogramos
está en O y supusimos que el centro de gravedad del
triángulo ABC está en H. según P8 y esta última
igualdad el centro de la parte de los triángulos
pequeños, debe estar en X. Lo cual es imposible
pues todos los triángulos pequeños quedan en un
mismo lado de una paralela a AD por X.
S decir el centro de gravedad no puede estar fuera
de AD.
De aquí resulta inmediatamente:
P14 El centro de gravedad de un triángulo está en la
intersección de las líneas que unen cada vértice con
el punto medio de su lado opuesto (mediana).
En Geometría se demuestra que las tres medianas se
cortan en un punto.
A veces se “demuestra” P3 intuitivamente
descomponiendo el triángulo en líneas paralelas a la
base y viendo que el centro de gravedad de cada
línea está en su punto medio. Arquímedes después
164
de todas las críticas de Zenón no podía usar
semejantes argumentos.
En un trabajo más complicado Arquímedes halla el
centro de gravedad de segmentos de parábolas.
Otras propiedades de los centros de gravedad,
seguramente conocidas por Arquímedes son las
referentes al equilibrio de los cuerpos apoyados.
Un cuerpo apoyado en un plano (ya se apoyado por
su base plana o por la figura de puntos de apoyo)
está en equilibrio estable si la vertical desde el
dentro de gravedad G al plano de apoyo cae en G´
dentro de la base. Si no es así el cuerpo se moverá.
Figura 2-12. Equilibrio de cuerpos apoyados. Determinación empírica
del centro de gravedad
Si colgamos una figura, la recta vertical que pasa
por el hilo del que está colgada pasa por el centro
de gravedad. Si así no fuera el cuerpo se movería.
Colgándolo de dos puntos diferentes en la
165
intersección de esas rectas de halla el centro de
gravedad,
Empuje, flotación equilibrio de los cuerpos
flotantes.
Arquímedes desarrolló también la teoría de la
flotación. Es conocida la historia de que se le dio el
problema de descubrir si una corona aparentemente
de oro estaba falsificada con otros metales en su
interior.
Estando sumergido en una bañera donde se sentía
más liviano llegó quizá a la idea de que su cuerpo
estaba desalojando un cierto volumen de agua. Ese
volumen, antes de ser desalojado por su cuerpo
estaría en equilibrio con el resto del agua, sin subir
ni hundirse a pesar de que pesaba. Por lo tanto, ese
volumen debía ser empujado hacia arriba por el
resto del agua que ejercería una fuerza hacia arriba
igual al peso de tal volumen. Al ser sustituido ese
volumen de agua por su cuerpo este recibiría el
mismo empuje hacia arriba, y eso era lo que lo hacía
sentir más liviano. Era como si perdiera peso. Pero
166
ese peso perdido debía ser igual al peso del agua
desalojada por su cuerpo, es decir sería el peso de
un volumen de agua igual a su volumen. Este es el
empuje que ejerce el agua sobre el cuerpo. Y no
depende de su forma ni de su peso sino de su
volumen. Si el peso del cuerpo es igual al empuje el
cuerpo queda en cualquier zona de la bañera. Si es
mayor que el empuje el cuerpo se hunde y si es
menor el cuerpo flota, sobresale del agua hasta que
la parte sumergida recibe un empuje igual al peso
de todo el cuerpo. También podría medirse el
empuje llenando totalmente la bañera,
sumergiéndose totalmente en ella y recogiendo y
pesando el agua que rebalsaba. Si dos cuerpos están
hechos del mismo material, pero son de diferente
volumen, por ejemplo, uno es tres veces mayor, al
sumergirlos reciben empujes proporcionales a su
volumen, el mayor tres veces más que el menor,
pero entonces la relación entre el peso y el empuje
es igual en los dos. Si repetimos el experimento con
cuerpos iguales en volumen, pero de un material
167
más pesado la relación será mayor que las de los
cuerpos anteriores, pues los pesos son mayores,
pero los empujes son iguales por serlo los
volúmenes. Es decir, esta relación de peso a empuje
es una medida de la pesantez del material de que
está hecho el cuerpo respecto al agua. Un cuerpo de
oro, que es muy pesado, tiene una relación mayor
que uno de plomo o hierro. Así puede saberse la
relación en un pedazo de oro y ver si en la corona
hay la misma relación, en cuyo caso se puede inferir
que es todo de oro, o si es menor y es muestra que
está rellena con otro material. En los tiempos de
Arquímedes el oro era el material más pesado que
se conocía. Se dice que al darse cuenta de cómo se
solucionaba el problema Arquímedes se emocionó
tanto que saltó de la bañera y salió corriendo
desnudo por las calles de Siracusa gritando ¡eureka!
o sea ¡lo encontré! Es cierto que en la Grecia
antigua la desnudez no se consideraba tan
escandalosa como ahora.
168
La relación de peso a empuje del agua, o de peso a
volumen (pues se toma como unidad de peso el de
una unidad de volumen de agua) se llama peso
específico y es generalmente distinto para
diferentes sustancias. Para medirlo basta pesar el
cuerpo y luego atándolo de un hilo y sumergiéndolo
en el agua ver su peso aparente (peso menos el
empuje). El peso dividido por el empuje es
numéricamente igual a lo que ahora llamamos peso
específico.
Ejemplo 1.20. Si se tiene una balanza de resortes se
puede poner en ella un recipiente con agua. Al
sumergir el cuerpo colgado de un hilo en el
recipiente, sin depositarlo en el fondo el aumento de
peso detectado por la balanza es igual al empuje.
Justificar esta conclusión. Hallar el peso específico
de una piedra por ese método.
Arquímedes estudió el equilibrio de cuerpos
flotantes de sección constante. La superficie del
agua, lo considera Arquímedes, es esférica pero su
curvatura es muy pequeña.
169
Como en todas sus obras Arquímedes pone axiomas
y deduce rigurosamente los resultados.
Los centros de empuje se calculan con los mismos
teoremas básicos que los de gravedad, pero ahora
las fuerzas no son verticales sino normales a la
superficie de la parte sumergida. Sin embargo, sólo
importan las componentes verticales pues las
horizontales se equilibran ya que el cuerpo no se
desplaza horizontalmente. El cuerpo flotante pesa y
todo su peso puede considerarse una fuerza hacia
abajo aplicada en su centro de gravedad. Si el centro
de empuje está encima del centro de gravedad el
equilibrio es estable, es decir si apartamos un poco
al cuerpo de su posición de equilibrio inclinándolo
y lo soltamos vuelve a su posición original. Si el
centro de empuje está por debajo del de gravedad al
inclinarlo las dos fuerzas, el peso y el empuje
tenderían a voltearlo, pero puede ser que la forma
del cuerpo sea tal que al inclinarlo cambie la forma
de la parte sumergida y por tanto el centro de
empuje y las dos fuerzas tiendan a restaurar la
170
estabilidad. Estas relaciones interesan en el diseño
de los barcos.
Figura 2-13. Equilibrio de cuerpos flotantes
Estable, inestable irrecuperable, de estabilidad
recuperable al moverse el centro de empuje.
Arquímedes calcula la estabilidad de cuerpos
complicados como los de sección parabólica.
Entre las obras matemáticas de Arquímedes se
destacan su tratado sobre las espirales, el cálculo de
la superficie de la esfera, una obra maestra de rigor
matemático, la superficie de un sector de parábola y
el Contador de Arena donde se plantea escribir un
número mayor que el de granos de arena que
llenarían el Universo. Lo hace para demostrar la
potencia de las Matemáticas contra el dicho del rey
Gelón que opinaba que el número de granos de
arena era infinito, es decir más allá de todo número.
171
Toma, para considerar la hipótesis máxima, el
cálculo de Aristarco de la distancia al Sol.
Supuesto el sistema heliocéntrico de este autor se
estima la distancia a las estrellas fijas (que se
suponían en una esfera) para que no se detecte la
paralaje (desplazamiento aparente al verlas desde
puntos extremos de la órbita terrestre). Estima
primero el radio del universo considerado hasta el
Sol de 1,6 x 109 Km. Toma un grano de arena la
diezmilésima parte de una semilla de amapola. Con
esto llega a un número de granos de arena menor
que 1051. Considerando los datos de Aristarco le da
1063. Expresa un número como m8 donde m es su
base de 108 y considera el mm mucho mayor.
2.4.6 La ciencia en Alejandría
Después de la muerte de Alejandro Magno (323
a.C.) la zona de Egipto con su nueva ciudad de
Alejandría quedó en poder de su general Ptolomeo
que fundó una larga dinastía. Este rey siguiendo
ideas y ensayos previos de Teofrasto, discípulo de
172
Aristóteles, fundó el Museo, una unión de culto a
las musas, centro de investigación en artes y
ciencias y Filosofía, colección y copia de las obras
importantes de la cultura griega, centro de
enseñanza y producción artística y tecnológica.
Reunió eminencias de todo el mundo antiguo. Se
destacan en el área científica Euclides con su
monumental texto axiomático de Geometría y
Aritmética, y sus tratados de óptica donde trata de
la visión, fundamentos de la perspectiva espejos
planos y cóncavos. La Biblioteca que sobrevivió a
un incendio en la ciudad durante la conquista de
Julio César en el 47 a.C. En el 272 d.C. fue
destruida en una guerra civil en tiempo del
emperador romano Aureliano.
En el activo ambiente de Alejandría se destacan
Ctesibius (alrededor del 270 a.C.) que diseñó
catapultas neumáticas y una notable clepsidra (reloj
de agua) en que incorpora un dispositivo de auto-
regulación del flujo de agua, el primer aparato
cibernético registrado.
173
Ctesibius construyó también una bomba de agua
para combatir incendios donde se introducen
válvulas de apertura y cierre automático. Construyó
también una bomba de incendios donde usa
válvulas. Cuando la palanca se mueve a la izquierda
el impulso del agua cierra las válvulas A y D y abre
las B y C con lo cual el cilindro izquierdo impulsa
agua a la manga de incendio y el de la derecha
absorbe agua del pozo. Al moverla hacia la derecha
se intercambia el proceso.
Herón (alrededor del 72 a.C.) es conocido por sus
trabajos de Topografía (es conocida su fórmula de
la superficie del triángulo en función de los lados),
una máquina operada por monedas, y, sobre todo,
por su turbina de vapor. Consistía en un recipiente
esférico con un eje y un recipiente o caldera (un
paralelepípedo en el dibujo) en que se calentaba
agua; el vapor a presión formado en el recipiente
inferior entraba a la esfera por tubos, los
horizontales hacían de eje de giro de la esfera. El
174
vapor a presión salía por dos tubos curvos haciendo
girar la esfera.
Figura 2-14. Clepsidra. Turbina de vapor. Bomba de incendios
Herón describió las máquinas simples (palanca,
polea, plano inclinado, tornillo) mostrando que en
ellas lo ganado en fuerza se pierde en trayecto
recorrido por las cargas. Un primer caso de la
conservación de la energía mecánica.
175
2.4.7 Limitaciones de la ciencia griega
La ciencia griega de la naturaleza se basa, en
general, en especulaciones inspiradas en la
observación, pero no se usa la experimentación.
Esta última supone la preparación de un ambiente
artificial que es un modelo simplificado del
ambiente natural que se desea estudiar. Se supone
que es más fácil, en este proceso simple, sacar
conclusiones sobre las leyes naturales. En los
experimentos muchos factores que pueden influir
en los resultados del proceso, se mantienen fijos o
su acción se elimina para ver sólo los resultados de
uno o unos pocos. Este proceder experimental no es
en general tenido en cuenta por los antiguos griegos.
Es decir, se escucha y observa a la naturaleza, pero
no se la interroga. Esto hace que en las
observaciones de los procesos haya mucha
indeterminación pues no se separan los efectos de la
multitud de factores que influyen en los resultados.
A esto se agrega la falta de interés en las mediciones
y la falta de aplicación de las Matemáticas a los
176
conceptos originados en el mundo físico. Los
pitagóricos en su teoría de la música y la obra de
Arquímedes son una excepción. Pero la síntesis
científica más grande, el sistema de Aristóteles
reserva las descripciones matemáticas sólo para los
movimientos de los astros que se suponen
inmateriales.
Estos enfoques (experimentación, medición y uso
de las Matemáticas aparecen en Europa en el siglo
XIII y se desarrollan desde el siglo XVI). De todos
modos, los antiguos griegos observan los hechos y
hacen hipótesis de tipo general que pueden explicar
muchos de ellos. Por otra parte, hay que recordar
que la experimentación es una pregunta a la
Naturaleza y la respuesta depende de la
pregunta y las preguntas pueden estar
determinadas por razones no científicas.
2.4.8 Alquimia
En las civilizaciones del cercano Oriente se desarrolló
un estudio sistemático de nuevos productos. En Egipto
177
se habían desarrollado conocimientos químicos en la
momificación, esto y la monopolización de los
conocimientos astronómicos y la astrología por la
casta sacerdotal de adoradores de Thot, dios de la
sabiduría, unió los conocimientos al secreto y la
brujería (ver Asimov 1965). Durante el dominio de los
Ptolomeos, sucesores de la conquista griega,
paralelamente a la ciencia cultivada en el Museo y la
Biblioteca de Alejandría, se desarrollaron
conocimientos que combinaban el saber de los
religiosos egipcios con la tradición química práctica y
la idea griega de los elementos. Thot se identificó con
Hermes griego y con un personaje mítico al cual se le
atribuyen tratados de magia. A los tradicionales cuatro
elementos se agregaron otros que se hicieron
corresponder con los planetas: oro (Sol) plata (Luna)
cobre (Venus) mercurio (Mercurio) hierro (Marte),
estaño (Júpiter), plomo (Saturno), correspondencias
basadas en analogías, a veces caprichosas, que
permitían cadenas de deducciones analógicas, pero
como los alquimistas experimentaban continuamente
178
hicieron notables descubrimientos concretos que no
pudieron explotar por lo extravagante de las teorías
que los guiaban. El secreto en que se guardaban
muchos resultados dificultó también el avance cultural
de los conocimientos científicos. No es posible
resumir aquí la evolución y las variantes de las
diversas corrientes de la alquimia, diferentes en
Egipto, Persia, India, el mundo árabe y Europa. Para
lo que nos interesa que es su influencia sobre la
ciencia europea basta decir que en la Europa medieval
la principal corriente fue la Arábica.
Se sabía que había sustancias ácidas al gusto como
el vinagre, el jugo de limón o la leche cortada que
atacaban el mármol y se les llamó ácidos. Otras
como las cenizas de vegetales (usadas para fabricar
jabón) se disolvían en agua con propiedades
disolventes y neutralizaban esos ácidos, se las llamó
álcalis (de al-qily cenizas) Mencionamos a Jabir-
ibn-Hayyan (Geber) que describió el cloruro de
amonio, carbonato de plomo (albayalde) y destiló
vinagre obteniendo ácido acético. Lo usó para
179
producir varias reacciones químicas y preparó un
ácido nítrico débil. La motivación de los estudios
era obtener oro. Geber pensó que con una adecuada
mezcla de azufre y mercurio se lograría. Se propagó
luego la idea de que había una sustancia, la piedra
filosofal, capaz de transmutar ciertas substancias en
oro, aparte de prolongar la vida y curar cualquier
enfermedad. Los persas Al-Razi (850-925) y Ibn
Sina (Avicena) (979-1037) se interesaron más por
la medicina. Este último poseía una gran cultura
clásica y escribió varios textos de medicina que se
tradujeron al latín y tuvieron gran influencia. En
Europa se destacó Alberto Magno (1200- 1280), el
maestro de Santo Tomás. Describió las propiedades
del arsénico. Roger Bacon (1214 a 1292) es más
conocido por su defensa del método experimental y
la preparación de la pólvora, ya conocida en China.
Raimundo Lulio de Mallorca es conocido por su
aparato de discos giratorios para combinar ideas (en
el fondo matrices de múltiples subíndices) que
puede considerarse la primera máquina de pensar.
180
A pesar de que el Papa Juan XXII condenó la
alquimia, por temor al desastre económico que
ocasionaría a la riqueza eclesiástica la producción
barata de oro, se siguió practicando, con
descubrimientos de nuevos elementos y
compuestos. Científicos como Newton y Boyle le
dedicaron buena parte de sus investigaciones.
Agrícola (1494-1555) con su tratado de metalurgia,
Paracelso (1493-1591) con sus textos de medicina,
Lavabius (1540-1616) con sus trabajos sobre el
ácido clorhídrico y el nítrico y Glauber con su
preparación del sulfato de sodio, marcan la
transición a la Química moderna.
181
Capítulo 3
Astronomía y Mecánica medieval.
Aristotélicos y empiristas. El ímpetu. Nicolás
de Oresme. Nicolás de Cusa
Durante la Edad Media de los siglos IV al X la
tradición científica casi desaparece en occidente,
debido a la destrucción del Imperio Romano y al
desinterés cuando no la hostilidad de la Iglesia
Cristiana. Lactancio, el docto preceptor cristiano
del hijo del Emperador Constantino, ridiculizaba,
en el siglo IV la idea de la redondez de la tierra, que
todo griego culto aceptaba seis siglos antes. Comas
el astrónomo bizantino más famoso sostenía que el
universo era un paralelepípedo semejante al
Tabernáculo del Testimonio
182
3.1 Aristotélicos Árabes y Escolásticos
La tradición griega se mantiene algo más en
Bizancio, pero fosilizada y sin ninguna creatividad,
aunque tiene un renacimiento a partir del siglo VIII
en el mundo musulmán. Los pensadores del Islam
traducen las obras griegas, las comentan y hacen
importantes contribuciones pero no crean un
sistema original propio en la Física y la Astronomía.
A partir del siglo XII y XIII hay un florecimiento
humanístico y filosófico en Europa. La Iglesia,
consolidada y sin rivales, puede tolerarlo. Se
difunden las obras de los griegos, en muchos casos
traducidas de las versiones árabes. Groseteste
(1175-1253) y Roger Bacon (1214-1294) definen el
método de la ciencia con un espíritu muy semejante
al del Renacimiento, pero sin mucho progreso en la
obtención de resultados (Koyré, 1968).
La actitud de los grandes pensadores de esa época
es reconciliar el conocimiento griego, en especial el
sistema aristotélico, con las ideas religiosas.
183
Averroes (1126-1198) en el Islam, Maimónides
(1135-1204) en el judaísmo y Santo Tomás (1225-
1274) en el cristianismo emprenden esta tarea que
les permite estudiar y desarrollar el conocimiento
clásico sin chocar con la ideología y el aparato
burocrático religioso.
En el siglo XIV aparecen dos ideas importantes
acerca del movimiento, la teoría del ímpetu de
Buridan (1310-1358) y la representación gráfica del
movimiento de Nicolás de Oresme (1313-1382).
Buridan desarrolla una crítica demoledora a la tesis
de la ”antiperistasis”. Cuando uno corre no siente
que el aire lo empuja, sino que más bien hace
resistencia a su avance; un marinero que va en un
barco con carga y se coloca detrás de ella debería
sentirse aplastado por una masa de aire que es capaz
de empujar el barco; una lanza con cola puntiaguda
debería moverse más lenta pues dividiría la
supuesta masa de aire que la empujara, y esto no se
ha observado. Buridan supone que el motor
imprime al proyectil una fuerza motriz o ímpetu en
184
la dirección en que lo mueve. Este ímpetu es mayor
cuanto más grande es la velocidad y la cantidad de
materia del proyectil. Además, ese ímpetu
permanece aun cuando el proyectil pierde el
contacto con su motor y sólo es “corrompido” por
la resistencia del medio. Aquí están en germen las
ideas de cantidad de movimiento e inercia que se
desarrollarán cien años más tarde. Buridan trata
también el movimiento de caída de un cuerpo y nota
que la velocidad crece. Pero la explicación que da
es confusa. Supone que el peso, que es invariable,
genera un ímpetu fijo y por ello una velocidad
constante, pero ese movimiento produce nuevo
ímpetu y esto hace crecer la velocidad.
En el siglo XIII muchos pensadores reaccionan
contra el Aristotelismo Escolástico y recordaban
que, después de todo Aristóteles había obtenido
muchos de sus conocimientos de la observación y
habría que continuar su obra en vez de aceptarla
como última verdad. El clérigo inglés Rogerio
Bacon defendió con vigor la necesidad no sólo de
185
observar sino de investigar realizando
experimentos. Sus ideas le llevaron a la prisión y a
toda una serie de acusaciones del clero.
3.2 Nicolás de Oresme
Discutiendo las ideas de Aristóteles sobre el cambio
sostiene que es importante lograr una
representación gráfica que lo describa. Lo hace
como lo haría Galileo unos 200 años más tarde.
Representa el tiempo sobre el eje horizontal y la
magnitud a cambiar en un eje vertical. Una recta o
curva representa como cambia la magnitud en
función del tiempo. Es tal como lo hacemos ahora.
Con ello obtiene interesantes resultados (Ver
figuras 3-1). Si el elemento que puede cambiar es la
velocidad obtiene, para el caso del movimiento
uniforme una recta horizontal y, observa, que el
área del rectángulo es el espacio recorrido. Si la
velocidad es creciente uniformemente entre 0v y fv
obtiene un trapecio y observa que un elemento de
área es semejante al caso anterior, por lo cual
186
concluye que aquí también el área del trapecio será
el espacio recorrido.
Figura 3-1. Representación de un movimiento uniforme uno acelerado
y otro con saltos
De la figura obtiene tvv
sfi
2
y si el incremento
de velocidad por cada unidad de tiempo es a esto
puede escribirse 2
2
1
2attvt
atvs i
i
. El proceso
representa una integración de la función atvv i
semejante a la que hará Galileo para hallar la
fórmula del espacio recorrido por un cuerpo que
cae. El tercer ejemplo es un móvil ideal que en el
primer segundo tiene velocidad 1, en el medio
segundo que sigue, velocidad 2, en el cuarto
segundo que sigue, velocidad 3,… en el n-simo
período de duración 1/2n-1 tiene velocidad n. Para
187
hallar el espacio recorrido en 2 segundos hay que
sumar la serie:
S =12
...16
5
8
4
4
3
2
21
n
n+…
La serie parece difícil de sumar. Sin embargo,
viendo el gráfico y suponiéndolo completado al
infinito para t=2, Oresme halló el valor s=3.
Ejemplo 1.21 Deducir del gráfico el resultado
obtenido por Oresme.
Oresme vio también la importancia del crecimiento
y decrecimiento en las representaciones gráficas.
Observa que, si una magnitud que varía con
continuidad tiene un máximo en el tiempo entonces,
en los momentos anteriores va creciendo cada vez
menos y después decrece cada vez más.
Oresme hace también una crítica al comentario de
Ptolomeo contra el movimiento de la Tierra,
haciendo notar que en un barco que se mueve
suavemente los objetos que caen lo hacen con un
movimiento local vertical respecto al barco. Pero no
saca mayores consecuencias de esto.
188
Desgraciadamente la representación geométrica del
movimiento que desarrolló Oresme cayó en el
olvido y hubo de ser re-descubierta por Galileo y
Descartes.
Como se ve empieza un nuevo espíritu. Oresme no
se detiene ante sumas infinitas ni le molesta que una
función con valores que superan a cualquier número
encierre un área finita ni que sea discontinua. Se ve
el preludio de un infinito dinámico algo difícil de
imaginar para el finitismo griego y del infinitismo
estático hindú. O. Spengler (1916) ha desarrollado
estas ideas en su estudio comparativo de las
culturas.
3.3 Nicolás de Cusa. La destrucción del
Cosmos finito
La ruptura con el universo cerrado (ver A. Koyré
1973) se inició paradójicamente dentro del clero y
no fue muy notada. El cardenal Nicolás de Cusa
(1401 al 1464), en total ruptura con el aristotelismo
supone que el Universo, obra de Dios es infinito e
189
incognoscible. Esta limitación del conocimiento
humano se expresa en La Docta Ignorancia (Nicolás
de Cusa. Ed.1957) que es en esencia, el
reconocimiento de la relatividad de los
conocimientos humanos. Pero en vez de llevar a un
estancamiento esto lleva a un progreso infinito del
conocimiento hacia su objeto sea este el Creador o
el Universo. La metáfora matemática es la de los
polígonos inscritos en un círculo que se aproximan
indefinidamente a él, sin alcanzarlo nunca. La
infinitud del Universo hace que este no tenga centro
o, lo que es lo mismo, el centro está en todas partes.
La línea, el círculo, el triángulo coinciden al hacerse
infinitos, como en el mundo todas las oposiciones y
diversidades, son sólo aparentes para el limitado
entendimiento humano, pero coinciden en Dios.
Pero tales diversidades y oposiciones son la
explicación de Dios a la que se llega a través de la
Docta Ignorancia.
Hay en Nicolás de Cusa una justificación de la
investigación científica como tarea no contraria a
190
Dios, sino como una forma de perfeccionar nuestro
conocimiento de la divinidad.
Todas. estas ideas pueden haber tenido una
profunda influencia sobre Copérnico y Kepler.
191
Capítulo 4
Renacimiento. La revolución de Copérnico.
Leonardo da Vinci, Kepler y Galileo
Los siglos XII, XIII y XIV están marcados por el
humanismo, el rescate de las ideas y el arte greco-
romano, y en especial el estudio, pero también la
crítica del sistema de Aristóteles que se va
identificando con la ortodoxia religiosa. Se
comienzan a difundir, en competencia con aquel
sistema, basado en la observación y el sentido
común, las ideas platónicas y neoplatónicas con su
énfasis en los modelos ideales relacionados con la
divinidad y la belleza, y expresables en medidas y
relaciones matemáticas. También se lee el Rerum
Natura de Lucrecio a pesar de estar prohibido por la
Iglesia. Hacia el fin del siglo XIV los viajes de los
portugueses y españoles y las relaciones
comerciales con el Islam, expanden el mundo de los
192
europeos, contribuyen a confirmar las ideas de los
griegos sobre el planeta y también a señalar sus
errores y limitaciones. Además, la navegación y la
cartografía exigen cada vez más cálculos
astronómicos exactos.
4.1 Copérnico y el sistema heliocéntrico
Copérnico nace en 1473. Estudia Teología, se hace
clérigo y estudia además las obras de Aristóteles y
Ptolomeo y conoce las ideas de Aristarco y
Heráclides de Ponto sobre el movimiento de la
tierra. Adquiere fama como astrónomo y es
consultado en los proyectos papales de reforma del
calendario. Encuentra insatisfactorias y
complicadas las ideas de las esferas homocéntricas
de Aristóteles así como la de los epiciclos de
Ptolomeo. Comienza a elaborar sus ideas sobre el
nuevo sistema planetario, que discute privadamente
con sus amigos. Es perfectamente consciente de la
oposición que sus ideas pueden suscitar en los
religiosos católicos o protestantes. En 1543, pocos
193
meses antes de su muerte, se publica su obra La
Revolución de los Cuerpos Celestes (De
Revolutionibus Orbis) que Copérnico dedica a su
amigo el Papa Paulo II. Usamos la traducción
inglesa de esta obra.
La obra, como observa Kuhn (1957), no tiene
ninguna apariencia revolucionaria, por lo cual, en
un principio no despierta ataques serios de la Iglesia
ni de los astrónomos. Copérnico la presenta como
una manera más práctica que la de Ptolomeo para
calcular las posiciones de los astros. Se insiste poco
o nada en que el sistema propuesto hace mover, a
velocidades exorbitantes, lo que parece fijo al
sentido común, reduce la tierra a un planeta, los
otros podrían ser habitados, planteando problemas
a la creación divina, el pecado original, y la
universalidad de Cristo, choca con las sagradas
escrituras y mina las milenarias concepciones del
mundo de Aristóteles y Ptolomeo, que los doctos
habían integrado al dogma religioso. Por supuesto
el clérigo Copérnico comprendía todo esto, por eso
194
tal vez demora su publicación, e insiste en que es
una obra para los astrónomos y los que saben
Matemáticas. Su libro es una bomba de tiempo de
aspecto inofensivo, su carácter revolucionario, dice
Kuhn, no está tanto en lo que dice sino en lo que
hizo decir a otros. Comienza atacando el
monstruoso sistema de Ptolomeo lleno de
complicaciones y casualidades. Todos los epiciclos,
según Copérnico son sólo el reflejo de nuestro
propio movimiento alrededor del sol.
Expliquemos esto más claro, aunque Copérnico no
cree necesario dar este ejemplo. Estoy frente a un
público de personas en sus asientos. Doy una vuelta
a esta silla A mirando siempre hacia la audiencia,
en particular a las sillas B, C, D, esta última muy
lejana. Ver figura 4-1. La silla a la que doy la vuelta
está detrás de mí que estoy en 1. Luego a mi derecha
cuando estoy en 2, luego delante de mí en 3, luego
a mi izquierda en 4 y finalmente otra vez, detrás de
mí en 1 de nuevo. Pero insisto en que no me he
movido. Es la silla, digo, que ha pasado de estar
195
detrás mío a ponerse a mi derecha, luego delante de
mí, luego a mi izquierda y luego otra vez detrás de
mí. Lo que resulta sospechoso de esta descripción
es que todas las demás personas (y además todos los
objetos y el salón mismo) han descrito un círculo
como el de la silla, pero de radio cada vez menor al
aumentar la distancia. Cada uno de los presentes
frente a mí se ha alejado de mí girando hacia su
derecha,
Figura 4-1. Movimientos circulares reales y aparentes
luego ha avanzado hacia mi girando en el mismo
sentido, y por fin ha vuelto a su posición primitiva.
La hipótesis más sencilla es suponer que yo me he
movido. Es claro que el caso de los planetas es más
complicado porque ellos también giran alrededor
196
del Sol, (en el ejemplo sería como si todo girara
alrededor de la silla A) así que ese movimiento real
se combina con el aparente producido por nuestro
propio movimiento produciendo los misteriosos
retrocesos. Si alguno de ustedes, en vez de estar
quieto caminara lentamente ante mí desde mi
izquierda a mi derecha lo vería avanzar, luego
retroceder y de nuevo avanzar.
Supongamos que ahora en vez de caminar alrededor
de la silla bailo girando alrededor de ella y dando
vueltas sobre mí mismo. Y además si la demás sillas
giran alrededor de A a distintas velocidades,
entonces, si insisto en que sigo en reposo tendré que
agregar a todas las sillas y al salón mismo un rápido
movimiento circular a mi alrededor y las rotaciones
de las sillas alrededor de A parecerían afectadas de
movimientos de retroceso.
En principio todo adquiere una simplicidad
completa suponiendo el movimiento propio y uno
se pregunta porque no fue aceptado
197
inmediatamente. Después de todo ya Aristarco lo
había propuesto.
Tal vez las objeciones mecánicas de Ptolomeo a la
teoría del movimiento terrestre constituyeron la
mayor dificultad y no fueron aclaradas hasta que
Galileo presentó sus ideas del movimiento relativo
y el principio de inercia.
Con el modelo de Copérnico se ve claro porqué el
Sol no tiene movimiento retrógrado sino un avance
diario respecto a las estrellas fijas que completa el
ciclo en un año y porqué la luna, al ser satélite de la
tierra tiene un avance diario que completa un ciclo
en un mes.
Otra rareza del sistema de Ptolomeo que ahora se
aclara es el caso de los planetas interiores (Venus y
Mercurio). En estos la rotación del centro del
epiciclo dura un año, y ese punto está siempre en la
recta que va de la tierra al sol de modo que Venus
siempre queda dentro de una región cuyo centro es
el sol. Lo mismo pasa con Mercurio. En el sistema
de Ptolomeo esto es una coincidencia inexplicada.
198
En el de Copérnico se ve que no puede ser de otra
manera (ver figura 4-2) pues Venus al tener su
órbita dentro de la de la tierra no puede, vista desde
la Tierra, alejarse del sol en más de cierto ángulo
máximo (unos 45º). Análogamente ocurre con
Mercurio, con 28º. Otro problema es que en el
sistema de Ptolomeo no es posible definir
claramente las distancias a los planetas. Podemos
duplicar la órbita (deferente) y el epiciclo del
planeta en torno a la tierra y duplicando sus
velocidades la apariencia desde la tierra se hace
igual. Las distancias se juzgaban por el tiempo
promedio en recorrer la eclíptica (más tiempo más
alejado de la tierra) como ocurre en Marte, Júpiter
y Saturno, pero para Venus y Mercurio y el Sol esto
no define el orden pues es para todos un año en
promedio. Todas estas coincidencias y
particularidades no explicadas en el sistema
geocéntrico se explican con el nuevo sistema.
199
Figura 4-2. Órbitas de Venus y Mercurio según Ptolomeo y según
Copérnico
Copérnico conserva muchas ideas de los clásicos.
Para él el universo está limitado por la esfera de las
estrellas fijas. Observa que la traslación de la tierra
debería producir una paralaje de las estrellas, pues
desde dos puntos opuestos de la órbita terrestre una
estrella se debe ver de diferentes ángulos. Como tal
paralaje no se ha detectado, Copérnico supone
(como ya lo había hecho Aristarco) que las estrellas
están muy lejos, de manera que la paralaje es
200
inferior al error con que se determinan los ángulos.
Sólo en 1828 se pudo medir la paralaje de una
estrella. Para la más cercana (Alfa de la
constelación, del Centauro) resultó una distancia
63000 veces mayor que el diámetro de la órbita
terrestre. Copérnico, suponiendo que el error era de
6 minutos (0.1 grado), da para la distancia a las
estrellas fijas un valor mínimo de 1146 diámetros
de la órbita terrestre. Copérnico sigue con la idea de
que todos los movimientos son circulares con su
velocidad uniforme (I-4). Esto le obliga, al tratar de
ajustar el modelo a los datos disponibles, a
introducir epiciclos, y excentricidades, no logrando
un ajuste mucho mejor que el basado en el modelo
de Ptolomeo. En I-8 refuta las objeciones dinámicas
de Ptolomeo, observando que los movimientos
naturales no producen desastres y que los elementos
contenidos en un medio que se mueve realizan sus
movimientos naturales respecto al continente. Es
una idea burda del principio de relatividad del
movimiento. Pero al no conocer el principio de
201
inercia no da una razón mecánica de esa relatividad.
La idea de que las esferas de los astros son rígidas
y transparentes le lleva a decir, como a los clásicos,
que los cometas son cuerpos sublunares. Poco
después, medidas de la paralaje terrestre de los
cometas demostró que estos “traspasaban” las
supuestas esferas.
Copérnico cometió varios errores que complicaron
su sistema. Para la órbita de la tierra, podría haber
invertido el modelo de Ptolomeo para el Sol (ver
figura 4-3) obteniendo una figura con un ecuante
que se hubiera ajustado bien a los datos (como lo
demostró luego Kepler). Pero Copérnico no creía
aceptable que el radio CP del centro de la órbita al
planeta se moviera de manera no uniforme. En lugar
de ello, supuso que giraba con centro C y, para
explicar la diferencia de velocidad introdujo un
epiciclo rotando como el deferente con velocidad de
rotación mitad, de modo que su velocidad se
sumaba en A y se restaba en B respondiendo a la
observación de mayor velocidad de los planetas en
202
la cercanía al Sol. Como después de todo la figura
equivale a la geocéntrica, Copérnico podría haber
ajustado así todos los planetas (incluida la Tierra),
ya que las diferencias en las trayectorias reales
elípticas que ahora conocemos y las excéntricas
(ecuantes o epiciclos) son de orden inferior a la
precisión de las observaciones de aquella época.
Para ello habría que haber calculado un C diferente
para cada planeta con el mismo S para todos. Sin
embargo Copérnico supuso que el centro de giro de
los planetas era el C de la tierra y además, para el
caso de la tierra, eliminó el epiciclo, suponiendo
que la diferencia de velocidad angular en la
vecindad del sol respecto al sol se explicaba
suficientemente por la excentricidad (que, de hecho,
es muy pequeña para la Tierra). La causa de esto
puede ser el deseo de no complicar más los
movimientos de la tierra, ya que había introducido
otros dos para explicar la precesión
(desplazamiento aparente de los puntos en que la
eclíptica corta al ecuador celeste, descubierto por
203
Hiparco, y que se completa en 26000 años). Esto se
explicó más tarde por el giro del eje de la tierra por
un movimiento de precesión semejante al de un
trompo como veremos al describir el giróscopo. Ver
F. Hoyle (1967) para una explicación más detallada
de los cálculos de Copérnico y Kepler. Estos errores
introdujeron necesidades de ajustes en las órbitas de
los demás planetas, entre ellos la suposición de
cambios en la distancia CS. Con todas estas
correcciones Copérnico obtuvo una precisión de
ajuste algo mejor que la de Ptolomeo. Sus cálculos
de distancias de los planetas al Sol (no absolutos
sino relativos a la distancia Tierra-Sol) son notables
por su exactitud.
Figura 4-3. Construcción de las órbitas planetarias
204
Aunque el sistema de Copérnico parece más fácil
para hacer un modelo de las fuerzas que producen
los movimientos, Copérnico, como Ptolomeo, se
limita a un modelo simplemente cinemático. Se
trata de ver que movimientos simples hay que
suponer para que de ellos resulten los movimientos
observados de los planetas, sin discutir las causas
de los mismos. El circular se considera un
movimiento “natural” no hay que ver su causa.
El primer intento de introducir las causas de
movimiento se debe a Kepler. Pero antes debemos
ver el trabajo de obtener datos confiables de los
movimientos aparentes, que dio un gran avance con
el trabajo del danés Tycho Brahe.
4.2 Tycho Brahe. La acumulación de datos
Tycho Brahe quedó ganado para la Astronomía al
contemplar un eclipse de Sol que fue predicho con
antelación. En 1572 contempló una nueva estrella
(una supernova que brillaba más que Venus) que
205
produjo mucha impresión en Europa. Se dijo
primero que era un cometa que en el sistema
aristotélico se tenía por un imperfecto fenómeno
“sublunar”. Tycho demostró, con más seguridad
que otros que el objeto, a diferencia de los cometas,
no se movía respecto a las estrellas fijas. El cielo
perfecto de éstas parecía ahora alterado por la
“generación y corrupción” (la estrella desapareció a
los dieciocho meses) propia del mundo sublunar
aristotélico. Tycho escribió un libro con
comentarios y observaciones sobre la estrella.
Desde un principio su pasión fue la exactitud de las
observaciones. Viajó y conoció a los principales
astrónomos de su época. En 1576 recibió del rey
Federico II de Dinamarca un feudo consistente en
una pequeña isla y una subvención para que se
dedicara a la Astronomía. Aparte del
reconocimiento del talento del joven Tycho, el rey
recordaba que el padrastro de éste lo había salvado
de ahogarse en un canal, y había muerto de
pulmonía por su heroico acto.
206
Tycho hizo construir un palacio observatorio donde
se dedicó a observar los astros, comprando o
construyendo (con recursos provenientes de una
despiadada explotación de sus súbditos) los más
precisos aparatos de su época. Acumuló por años
observaciones sistemáticas y de una precisión no
alcanzada hasta ese entonces. Por medidas de
paralaje (diferencia de ángulos de los cuales se ve
un astro desde dos posiciones diferentes del
observador) demostró que un cometa estaba por lo
menos seis veces más alejado de la tierra que la
Luna, nuevo golpe al sistema de Aristóteles que
suponía los cometas fenómenos meteorológicos
sub-lunares. Además, estos viajes de los cometas
que atravesaban las órbitas de los planetas no se
conciliaban con las esferas de cristal del cosmos
aristotélico.
Tycho no estaba conforme con el sistema de
Ptolomeo, pero veía dos dificultades en el de
Copérnico. El movimiento de la tierra planteaba las
objeciones mecánicas de siempre y los problemas
207
con las Sagradas Escrituras. Además, era imposible,
con los métodos más exactos conocidos, hallar
algún paralaje de las estrellas desde puntos
opuestos de su supuesta órbita. Aún con los
métodos más precisos de Tycho para que no se
detectara paralaje había que suponer un tamaño del
universo exorbitante para la esfera de las estrellas
fijas. Creyó entonces llegar a una solución
suponiendo la tierra fija en el centro del Universo.
A su alrededor giraban la Luna y el Sol. Los demás
planetas giraban alrededor del Sol y más lejos
giraba la esfera de las estrellas fijas. El problema de
ajustar las distancias y velocidades de los
componentes de modo que estuvieran de acuerdo
con la enormidad de datos más exactos que había
acumulado planteaba un reto formidable que Tycho
nunca pudo resolver. En 1599, por divergencias
con el nuevo rey Cristian IV, Tycho decidió
abandonar Dinamarca y aceptar el puesto de
matemático principal (astrólogo) que le ofreció el
emperador Rodolfo II. Se trasladó a un castillo
208
cerca de Praga con toda su familia, ayudantes, datos
y aparatos y llamó a Kepler, cuya habilidad
matemática era reconocida, para que colaborara con
él.
4.3 Kepler y la Nueva Astronomía
No es fácil hacerse una idea de este personaje:
matemático, teólogo, astrónomo, astrólogo, poeta,
con amplio conocimiento de los clásicos tanto
filosóficos como humanísticos. A los veintitrés
años, cuando dejó sus estudios de teología en
Tubingen (con cierto alivio de las autoridades
católicas que veían en él tendencias luteranas y
copernicanas) para enseñar Matemáticas en Gratz
había escrito en las métricas más difíciles, poemas
sobre la Atlántida, acertijos, paradojas, horóscopos.
De esa época, con el tiempo que le dejaban sus
clases, casi siempre vacías, datan sus primeras
especulaciones cosmológicas. Buscando una
relación matemática armoniosa entre los tamaños
de las órbitas, buscó las relaciones entre los
209
polígonos regulares. Por último, especuló sobre los
cinco sólidos regulares posibles: tetraedro, cubo,
octaedro, dodecaedro e icosaedro. Y había
maravillosamente cinco intervalos entre los
planetas, claro está en el sistema de Copérnico.
Creyó encontrar que entre las esferas de los planetas
encajaban perfectamente los cinco sólidos. El libro
en que expone el sistema, el Mysterium
Cosmographicum, lleno de especulaciones
pitagóricas y teológicas tuvo un gran éxito. Kepler
nunca se convenció de que el modelo era falso. Pero
para él y muchos otros fue un argumento más a
favor del sistema de Copérnico.
Siguieron a esta obra trabajos de Óptica y
Matemáticas entre ellos el método de hallar
volúmenes de barriles para cerveza que parece el
moderno método de cálculo por elementos finitos.
Nunca atacó problemas fáciles.
Cuando en enero del 1600 llegó a Praga, Tycho se
excusó de no recibirlo personalmente alegando una
oposición desfavorable entre Marte y Júpiter
210
seguida de un eclipse lunar. Los dieciocho meses de
su relación con Tycho fueron de peleas,
reconciliaciones, desconfianzas y malos
entendidos, complicados además, con la astrología
que les llevaba a evitar reuniones astrológicamente
mal aspectadas. De todos modos, como Kepler
estaba ansioso de conocer sus valiosos datos y
Tycho de que los ajustara a su sistema no podían
separarse y además se admiraban mutuamente.
Tycho le asignó el problema que había encontrado
más difícil, ajustar a los datos los parámetros de la
órbita de Marte. Kepler alardeó de que la resolvería
en ocho días. Le llevó más de seis años. Tycho en
su lecho de muerte, ante su familia y Kepler repitió
muchas veces “que no parezca que he vivido en
vano”. Kepler entendió que quería decirle que
ajustara su sistema a los datos que le dejaba, pero
Kepler creía que tal sistema era equivalente al de
Copérnico, que era el de su preferencia por ser más
simple, cambiando la órbita del Sol por la de la
Tierra, y se dedicó a comenzar con la órbita de ésta.
211
Se apoderó clandestinamente de todos los datos de
Tycho pero no de sus valiosos instrumentos que se
los quedó un oficial amante de la hija de Tycho,
pretendido astrónomo, que nada supo hacer con
ellos.
Vale la pena ver con cierto detalle el trabajo de
Kepler que, caso raro entre los científicos, nos lo
relata con sus esperanzas, errores, desengaños y
éxtasis en su libro diario.
La distancia a los planetas y estrellas se determina
midiendo el ángulo bajo el cual se ve el astro desde
dos puntos diferentes en la tierra. La diferencia es
la paralaje, que permite calcular esa distancia. La
paralaje horizontal de Marte, era inferior a 4
minutos, el error de los aparatos de Tycho Brahe,
así que no tenía datos exactos de su distancia y por
ello del tamaño absoluto de la órbita. Tuvo que
limitarse a calcular su forma.
Comenzó por determinar la órbita de la tierra. Su
primera hipótesis fue, que para cualquier planeta,
cuando su radio hacia el sol retoma una posición
212
igual a una anterior su distancia al sol es igual. En
la figura 2-7 las flechas F marcan la dirección fija,
M Marte, T la Tierra y S el Sol. Los ángulos SMT1
y MST1resultan de las mediciones y se calcula la
distancia ST en función de SM.
Figura 4-4. Eje para determinar la órbita terrestre
Para otras coincidencias del eje SM con la dirección
fija la Tierra ocupará diferentes posiciones,
T1,T2,T3, .. Y así se tiene la órbita es decir las
distancias STi y las velocidades en cada punto. Al
tratar de reducirla a movimientos circulares hizo el
primer descubrimiento notable. El método que
había usado Copérnico no ajustaba., pero la variante
heliocéntrica de la construcción de Ptolomeo
213
(primera de la Figura 2-6) con excentricidad y
ecuante se ajustaba perfectamente. Por otra parte
Kepler siempre pensó que el Sol era la fuente del
movimiento de los planetas así que rechazó la idea
de Copérnico de suponer que rotan alrededor del
centro de giro C de la Tierra. Todo lo que había que
hacer era aplicar el mismo método a los demás
planetas y su promesa a Tycho estaba cumplida.
Pero las cosas no fueron tan simples. Ajustó con
cuatro puntos la órbita de Marte. Los demás puntos
se resistían a entrar en la órbita calculada. Algunas
de las posiciones calculadas diferían en 8 minutos
de las medidas de Tycho que trabajaba con una
precisión de 4. Para muchos astrónomos de la
época, con menos fe en Tycho o menos amor a la
exactitud, la aproximación era más que buena. Para
Kepler la divergencia era intolerable. La órbita
parecía ser una especie de óvalo con el Sol en una
posición excéntrica. En el punto más alejado la
velocidad era mínima, en el más cercano era
máxima. Tratando de hallar una ley para la
214
velocidad hizo la suposición (falsa) de que la
velocidad era inversamente proporcional a la
distancia al Sol y de una falsa idea de integración de
los radios, supuso, también erróneamente, de que
los arcos elementales eran el radio multiplicado por
el radio (lo cual es cierto en el círculo y muy
aproximado en los puntos más cercano y más lejano
a S. De estos dos errores resulta (figura 4.5) que el
área barrida por el radio es:
2/rrA 2/rtr siendo la
velocidad angular;
y por ser rkv / 2/ rk resulta: tCA donde
en C se reúnen todas las constantes.
Es decir, las áreas barridas por el radio que une al
planeta con el Sol son iguales para tiempos iguales.
Es la famosa ley de las áreas cuya exactitud
comprobó Kepler en los planetas. Su deducción
rigurosa la hará Newton. Una vez comprobada su
exactitud empírica y vista su belleza Kepler se
olvidó de su origen doblemente erróneo.
215
Pero quedaba el problema de la forma de la órbita.
Kepler pasó meses revisando los cálculos y
siguiendo pistas falsas. Llegó a ajustar la órbita a
cuatro puntos con gran exactitud usando una
excentricidad y un ecuante, pero cuando verificó
con otros puntos no ajustaba. Cientos de páginas de
cálculos se amontonaban. Por fin en 1609 encontró
que el radio que unía Marte al Sol se podía expresar
como:
Eaear cos
donde a es la distancia media, E el ángulo, con
vértice en el planeta y lados que pasan por el centro
de la órbita y el punto más próximo al Sol, y e lo
que hoy llamamos excentricidad. La curva es una
elipse. Ver figura 4.5. Kepler había terminado con
la idea platónica de los círculos. La nueva
Astronomía había comenzado.
216
Figura 4-5. Ley de las áreas. Órbitas elípticas
El último libro de Kepler, la Armonía de los
Mundos es un canto a la belleza de la creación
divina. Mientras lo realizaba murió su hija
Katherine, tuvo que luchar desesperadamente para
impedir la muerte de su madre acusada de brujería
y estalló la guerra religiosa en Praga, trayendo
muerte y hambre. Ver Koestler 1985. Después de
un largo y trabajoso análisis de los datos de Tycho
encontró la llamada tercera ley: los cuadrados de los
períodos de rotación de los astros están en la misma
relación que los cubos de los radios medios de las
distancias al Sol, es decir: 3
2
3
1
2
2
2
1
R
R
T
T
.
217
Está ley fue clave para la Astronomía y tamaño del
universo. Fue la que inspiró la ley de gravitación
universal de Newton.
4.4 Galileo. El movimiento de caída. Movimiento Local. La corporeidad de los astros Galileo (1564-1642) hizo sus primeras
observaciones como alumno en Pisa, registrando el
isocronismo de los péndulos. Observó que el
período de oscilación no dependía de la amplitud (lo
cual es cierto para oscilaciones pequeñas) ni del
peso sino del largo del péndulo. Señalo que esto
serviría para medir el tiempo y más adelante sacó
notables conclusiones de este hecho.
Protegido y subvencionado por Fernando de
Medicis, duque de Toscana, pudo dedicarse a la
investigación en la Universidad de Padua donde
permaneció por dieciocho años. Uno de sus trabajos
más notables fue el estudio de la caída de los
cuerpos. En su libro De Motu Gravitum describe
experimentos reales e ideales que lo llevan a refutar
218
las ideas de Aristóteles. Para éste, la causa del
movimiento era el peso, que expresaba la intensidad
de la tendencia del cuerpo a “ubicarse en su lugar”
de modo que el cuerpo más pesado caería más
rápido. Galileo observa que cuerpos esféricos de
igual tamaño, pero de muy diferente peso caen a
casi la misma velocidad, y atribuye la diferencia a
la resistencia del aire. Pero a esto agrega ingeniosos
experimentos ideales siendo tal vez el primero en
usar sistemáticamente este tipo de razonamiento.
Observa que, según la idea aristotélica, dos cuerpos
de diferente peso deberían caer a velocidades
diferentes, el más pesado proporcionalmente más
rápido. Pero si los unimos por una pequeña cuerda,
el más liviano, al retrasarse, frenaría al más rápido
resultando que el nuevo cuerpo de mayor tamaño,
caería más lento que cada uno de los dos cuerpos
originales.
Al discutir la resistencia del medio, comparando la
caída en el aire y el agua observa que la diferencia
del tiempo de caída disminuye al disminuir la
219
densidad del medio, concluyendo que en el vacío
(que no se podía lograr en esa época) todos los
cuerpos caerían a igual velocidad. Recurre además
al experimento de dejar caer una moneda en
posición horizontal y un papel de menor tamaño que
la moneda. La moneda cae más rápido. Pero si
repetimos poniendo el papel encima de la moneda,
de modo que no experimente la resistencia del aire,
caen juntas.
Figura 4-6. Caída de los cuerpos. Experimentos ideales
De estas ideas Galileo se acostumbró a pensar no en
el proceso que veía, sino en cómo sería sin roces
ni resistencia del aire. Esto lo llevó a descubrir las
leyes simples de la mecánica.
220
Una observación importante es que la resistencia
aumenta con la velocidad, pero es mayor para los
cuerpos más livianos, de modo que al pasar el
tiempo, el movimiento, acelerado al comienzo, se
hace uniforme cuando la resistencia iguala al peso,
pero esta velocidad terminal es mayor en los
cuerpos más pesados, explicando esto porque la
diferencia en los recorridos de cuerpos de diferente
peso crece con el tiempo.
Galileo estudia la ley de caída. Su espíritu platónico
le hace pensar en una ley sencilla, de
proporcionalidad. Refuta la idea (que él creyó por
un tiempo) de que la velocidad es proporcional al
camino recorrido. Su razonamiento (que Mach
critica erróneamente) considera dos cuerpos: uno
que haya caído la distancia 1 y otro la distancia 2.
Según esta idea la velocidad del segundo debería ser
doble. Pero esta situación de doble velocidad
valdría también para los recorridos parciales
respectivos de ½ y de 1, y en general para todas las
velocidades en los recorridos intermedios. Pero
221
entonces el segundo cuerpo, con todas sus
velocidades dobles debería recorrer la distancia de
2 en el mismo tiempo que el primero la distancia de
1. Lo cual es absurdo. En nuestra notación el
cuerpo, partiendo del reposo, caería con la ley
kydtdy / , cuya solución es: kteyy 0 que no es
cero cuando 0t , es decir no se pueden satisfacer
las condiciones iniciales reales.
Confirmó la ley de proporcionalidad de la velocidad
con el tiempo en esferas rodando en planos
inclinados donde la aceleración era menor y
permitía mediciones más precisas. Observó también
que la velocidad final en el plano es igual a la del
móvil que cae libremente de una altura igual a la
altura del plano, lo cual fue importante para
descubrir los conceptos de energía cinética y
potencial.
La hipótesis que ensaya Galileo es que la velocidad
es proporcional al tiempo de caída lo cual lo lleva a
la conclusión de que la velocidad final cuando un
cuerpo cae durante un tiempo t es gt y el espacio
222
recorrido es s ½2gt , donde g es una constante que
representa el incremento de velocidad en cada
unidad de tiempo. No repetimos aquí su deducción
pues es la misma que había hecho Oresme muchos
años antes. Pero Galileo, como se expresa en los
Discursos y Demostraciones Matemáticas no se
limita a deducir la fórmula, sino que describe
detalladamente un experimento para verificarla.
Una esfera de bronce rueda por un canal hecho en
madera de unos 10m de largo. Mide los tiempos en
que tarda la esfera en recorrer el canal, comenzando
desde diversos puntos y con diferentes
inclinaciones. Los tiempos los mide por la cantidad
de agua salida por un tubo muy fino desde un gran
recipiente de agua y pesando el agua salida mientras
dura el recorrido de la esfera.
223
Figura 4-7. Experimento de Galileo en el movimiento acelerado
De sus observaciones sobre el péndulo estableció
otra idea revolucionaria: el principio de inercia.
Comprobó que, trabando el péndulo que sube, salvo
la pequeña pérdida por roce, siempre se recupera la
altura máxima de la cual desciende,
independientemente de la trayectoria. El péndulo es
equivalente a un tobogán que baja seguido de uno
que sube (Figura 4-8) y en esta subida alcanza su
altura cualquiera sea el largo. Por lo tanto, si una
bajada tiende a la horizontal el cuerpo se mueve
indefinidamente. Esta sencilla conclusión cambia
radicalmente la idea de movimiento y reposo.
224
Aristóteles y sus seguidores escolásticos veían en la
fuerza (externa o interna) la causa del movimiento
al alterar el estado natural de reposo. Galileo ve el
movimiento rectilíneo y uniforme como el “natural”
y la fuerza como lo que altera tal estado.
Figura 4-8. Del péndulo al principio de inercia
Otra contribución interesante es la del movimiento
de un proyectil lanzado horizontalmente. Los
predecesores en este problema trataban de asimilar
el movimiento a una parte recta producida por el
ímpetu del disparo y luego un arco de círculo en la
caída. Galileo da la solución correcta componiendo
el movimiento uniforme horizontal y el acelerado
vertical (figura 4-9) que compuestos dan una
225
parábola como se puede comprobar observando un
chorro de agua lanzado horizontalmente.
Posiblemente esta figura inspiró el genial ejemplo
del proyectil satélite de Newton que se discute más
adelante.
Figura 4-9. Lanzamiento horizontal con velocidad v = 19.6 m/s
La ecuación de la trayectoria se halla eliminando el
tiempo de las ecuaciones del movimiento
;vtx vxt / ; 2)/(2/1 vxgy ;
2xky (siendo
)2/( 2vgk ) : que es la ecuación de una parábola.
Galileo no ignora, como se ve en sus diálogos que
el movimiento horizontal no es uniforme debido al
226
roce del aire y el vertical no es paralelo en todos los
puntos, sino que se dirige al centro de la Tierra. Pero
hace ver que su resultado es válido con mucha
aproximación. Sin embargo, Galileo siempre pensó
que la acción de la gravedad era constante (no
variaba con la altura y el lugar) por lo cual su ley de
caída es simple. Desde Newton sabemos que la
fuerza de atracción decrece con el cuadrado de la
distancia entre los centros de dos esferas que se
atraen lo cual da una ley de caída muy complicada.
La dirección de la fuerza hacia el centro hace que la
curva sea en realidad una elipse con un foco en el
centro de la tierra como lo demostró Newton para el
caso general.
Como se ve Galileo conoce la composición de
velocidades que deduce de la composición de
desplazamientos (ver más adelante). En sus
ejemplos se ve que aplica la composición de fuerzas
por la regla del paralelogramo, lo cual aparece
claramente enunciado por Pedro Varignon en 1687
que estableció claramente los principios de la
227
Estática. Desde allí quedó clara la idea de la fuerza
como magnitud vectorial con tamaño, dirección y
sentido, y su regla de sumar, aunque la palabra
vector se introdujo sólo a mediados del siglo XIX.
En su discusión sobre el sistema de Copérnico
(Diálogo Sobre los dos Grandes Sistemas del
Mundo) Galileo trata las objeciones dinámicas que
ya hemos discutido y establece la idea del
movimiento local. Es interesante discutir la
objeción del cañón disparado en la dirección del
movimiento de la tierra y en sentido contrario
(figura 4-10). Vamos a exponerlo con las medidas
actuales de las magnitudes.
Del lugar A se dispara un proyectil que va a 600m/s
y en un tiempo de 5s llega a B, distante 3Km hacia
el Este. Luego se dispara hacia el Oeste de B hacia
A con la misma velocidad y se comprueba que llega
a A. En el sistema geocéntrico esto es fácilmente
explicable pues la tierra está en reposo y el
movimiento del proyectil es absoluto.
228
Pero en el sistema de Copérnico la Tierra se mueve
de Oeste a Este con una velocidad, por ejemplo, de
400m/s (el valor en el ecuador es de unos 463m/s
disminuyendo con la latitud).
¿Qué dicen los partidarios de la tierra fija que
pasaría si se moviera?
Durante los 5s que el proyectil está en el aire
moviéndose desde A hacia el Oeste, la Tierra se
mueve 5400=2000m, es decir 2Km hacia el Este,
A pasa a A´ y B a B´ de modo que va a llegar no a
B sino a C´ situada 2Km al Este de B. Para el
observador en la Tierra el proyectil va de A’ a C’,
recorriendo 5Km.
Si el disparo se hace de B hacia A, durante los 5s de
vuelo la Tierra se mueve en la misma dirección del
proyectil y se traslada 2Km al Oeste, de B a B’, de
modo que el proyectil cae en D’, sólo 1Km al Este
de B’ que está a 2Km al oeste de A´. Estas
diferencias de recorrido no se observan en la
realidad. El alcance del proyectil es igual cualquiera
229
sea el sentido en que se dispare. Esto es una
objeción al sistema de Copérnico.
Para Galileo hay que distinguir entre movimiento
global y local. Un cuerpo que está en contacto con
otro mucho mayor que se mueve ha tomado la
velocidad de éste y la conserva por inercia, aunque
se separe de él. Una persona en un barco lanza un
objeto hacia arriba y le vuelve a caer en su mano,
independientemente del movimiento del barco. Para
quien observa desde el barco el movimiento es
vertical, para alguien que está en la orilla es una
parábola.
En el caso del disparo de A a B la velocidad que se
imprime al proyectil es 600m/s hacia el Este,
relativa a la tierra. Pero como conserva una
velocidad hacia el Este de 400m/s su velocidad
respecto a alguien que estuviera en reposo y viera
moverse la tierra en dirección contraria a 400m/s
hacia el Este la velocidad del proyectil es 600-
400=200m/s hacia el Oeste . En los 5s de vuelo
avanzará 5 200=1000 o sea 1Km hacia el Oeste.
230
Pero como la tierra va hacia el Este y en esos 5s
avanza 2km el proyectil cae a 1+2=3Km del punto
de partida en B’. En forma análoga se explica el
lanzamiento de B a A.
Figura 4-10. Objeción al movimiento de la Tierra. Respuesta de
Galileo
El observador que está en la Tierra no se da cuenta
de su movimiento observando los fenómenos
mecánicos que ocurren en ella. Galileo se dio cuenta
que esto se debe a que el movimiento de la tierra en
un punto durante un corto tiempo es
aproximadamente rectilíneo y uniforme. Como en
231
realidad es circular podría haber experimentos que
revelaran el movimiento. Por ejemplo un cuerpo
que cae en un pozo vertical tiene y conserva la
velocidad de la superficie terrestre al caer llega a
profundidades donde la velocidad de la Tierra (y
por tanto de las paredes del pozo) es menor, de
modo que chocaría con las paredes. Pero un cálculo
simple muestra que esta desviación es muy pequeña
y difícil de detectar. En los trabajos de Leonardo da
Vinci (1452-1519) se describe un experimento de
caída desde una torre y se ve que los trozos de
plomo que arroja no caen exactamente en una
vertical, sino que hay una desviación hacia el Este,
lo cual Leonardo lo atribuye a la rotación de la
Tierra, de la cual se hablaba en su época. Pero los
trabajos de Leonardo se encontraron y publicaron
en el siglo XIX.
Los trabajos de Coriolis y Foucault en el siglo XIX
detectaron por experimentos el movimiento no
uniforme de la Tierra. Si la Tierra se moviera con
movimiento rectilíneo y uniforme, de acuerdo con
232
lo visto por Galileo, sería imposible detectar su
movimiento mediante experimentos mecánicos. La
dificultad de entender esto para los contemporáneos
de Galileo era que el movimiento rectilíneo y
uniforme, que parece algo bien objetivo y absoluto,
y que en la concepción aristotélica requiere de
fuerzas o tendencias naturales para ser mantenido,
aparece ahora como algo relativo, y que,
dependiendo del observador puede tener un valor
cualquiera.
Volveremos sobre esto al ver las reflexiones de
Newton y Einstein al respecto.
Aparte de estos trabajos teóricos Galileo estudió y
perfeccionó muchas máquinas. Verificó que en
ellas lo que se gana en fuerza se pierde en
desplazamiento, confirmando observaciones
anteriores de Arquímedes y Herón. Comentó y
completó los estudios de Arquímedes sobre los
cuerpos flotantes. Sugirió a su discípulo Torricelli
los experimentos que llevaron al descubrimiento de
la presión atmosférica. Basado en el descubrimiento
233
de Arquímedes inventó una balanza hidrostática
que permitía comparar el peso normal de un cuerpo
con su peso aparente cuando está sumergido en
agua, con lo cual podía estimar la cantidad de plata
en una aleación de oro y plata. Ideó un compás que
llamó “sector” que permitía graduar la inclinación
de los cañones en artillería. Ideó un termómetro de
aire consistente en un recipiente con un tubo
doblado en su tapa en el cual se deslizaba una
pequeña cantidad de mercurio o agua coloreada que
se desplazaba la cambiar la temperatura en el aire
del recipiente. Ideó un método que intentaba medir
la velocidad de la luz: dos observadores a cierta
distancia tenían linternas que cada uno podía cubrir
o descubrir a observación del otro. Uno de ellos
descubría la linterna y el otro la descubría cuando le
llegaba la luz. El primero medía el tiempo
transcurrido desde el instante en que él descubría su
linterna y el instante en que percibía la luz que le
llegaba del segundo. El doble de la distancia entre
ambos observadores dividido por ese tiempo daría
234
la velocidad de la luz. Por supuesto no se pudo
detectar una diferencia que no pudiera ser atribuida
a la velocidad de reacción de los observadores. El
método se parece al usado por Fizeau dos siglos más
tarde.
Aparte de esto, a causa de las discusiones sobre los
indivisibles de su discípulo Cavalieri, encontró las
paradojas del infinito, punto clave en la moderna
teoría de los transfinitos de Cantor. Estudiando los
juegos de los dados determinó, por primera vez el
espacio muestral de un fenómeno aleatorio con el
ejemplo de tres dados para explicar algunas
paradojas de los juegos de azar.
En 1610 Galileo publica El Mensajero de las
Estrellas (trascripto en el texto de Stillman Drake,
1957) donde relata sus descubrimientos
astronómicos. Habiendo oído una referencia de que
con dos lentes, uno cóncavo y otro convexo se podía
construir un telescopio, construye varios de gran
aumento y con ellos hace notable observaciones:
235
hace mapas detallados de la Luna, señalando sus
montañas y cráteres, registra nuevas estrellas,
encuentra cuatro satélites de Júpiter y describe sus
movimientos. En otro trabajo describe las manchas
solares y por ellas descubre la rotación del Sol.
Descubre además las fases de Venus, demostrando
que su luz es una reflexión de la luz solar. Estos
descubrimientos producen profunda impresión y
cambian por completo el concepto que se tenía de
los astros mostrando que no son diferentes de la
Tierra. La distinción de mundo celeste y sublunar se
cae definitivamente. Esto abre paso a las ideas de
Descartes y Newton sobre leyes universales válidas
para la Tierra y el cielo.
En 1633, a pesar de su fama y su reconocido genio, al
cual se unía un carácter despectivo y burlón que le
causaba enemigos, es acusado de defender con
demasiado celo y convicción las teorías de Copérnico
que, en 1616, en medio de la reacción de la
contrarreforma, habían sido declaradas por la Iglesia
como contrarias a las Sagradas Escrituras. Se le obligó
236
a retractarse y se le puso en prisión domiciliaria hasta
su muerte en 1642. La Iglesia católica rectificó su
posición en 1998. Durante sus últimos años a pesar de
su arresto y su ceguera continuó, ayudado por sus
discípulos, su labor científica publicándose en 1638
sus Diálogos acerca de dos Nuevas Ciencias (ver
Galileo Edición 1954) en los que expone
ordenadamente sus descubrimientos sobre la
resistencia de los sólidos y el movimiento.
Para resaltar el nuevo espíritu que, junto con Kepler,
ayudó a imponer en las ciencias citamos un pasaje del
libro Il Saggiatore: “La filosofía está escrita en este
gran libro, el universo, que está continuamente abierto
a nuestra mirada. Pero el libro no puede ser entendido
a menos que uno lea y comprenda el lenguaje y lea las
letras en las cuales está compuesto. Está escrito en el
lenguaje de las Matemáticas y sus caracteres son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las
cuales es humanamente imposible entender ni una
palabra de él; sin esto uno vagaría en un negro
laberinto”. Defiende la experimentación y sobre la
237
objeción de que los sentidos son engañosos dice que
razonando sobre lo observado se pueden rectificar los
errores de las sensaciones.
4.5 Stevin. Equilibrio de fuerzas. Deducción por imposibilidad de movimiento continuo. Idea de vector Stevin (1548 al 1620) era un comerciante holandés
interesado por la Mecánica y las Matemáticas. En
una publicación de 1986: Mecánica e Hidrostática
deduce la relación de fuerzas en el plano inclinado
de una manera muy original. Supone un plano
inclinado formado por un bloque de sección
triangular sobre el cual se pone una cadena. Como
Stevin supone que el movimiento perpetuo es
imposible la fuerza hacia abajo en 3 debe equilibrar
la fuerza en 5 a pesar de los pesos diferentes en
ambos planos. Las partes colgantes de la cadena
pueden ignorarse pues se equilibran. De allí se
deduce que las fuerzas que actúan sobre la cadena
son el peso de 5, el peso de 3, y la fuerza normal al
238
plano de 4. Se ve que levantamos un peso de 5 con
una fuerza vertical de 3.
Stevin demuestra que tres fuerzas en equilibrio
forman un triángulo, lo que introduce la idea de
vector, y lo hace aplicando un principio muy
general que es en el fondo el de la conservación de
la energía.
Figura 4-11. Stevin. Equilibrio de fuerzas en el plano inclinado
Otra contribución importante de Stevin es su
comprobación de que la fuerza de un líquido sobre
el fondo depende sólo del tamaño del fondo y la
239
profundidad, no de la forma del recipiente. Es
famosa también su publicación sobre el sistema
decimal donde introduce, basado en os textos
árabes, la notación hoy usada.
4.6 Torricelli y Pascal: el vacío y la presión
atmosférica
Galileo solía atender y considerar las observaciones
de los expertos, técnicos y trabajadores manuales.
Una de ellas fue las de los constructores de bombas
que notaron que pese a todos los esfuerzos no se
podía levantar agua por aspiración a más de unos 9
metros. Al aspirar por un tubo un líquido, este sube
por el tubo. La explicación corriente, que persiste
aún en la gente no informada, es que el líquido sube
para llenar el espacio que deja libre el aire extraído.
Esta explicación común fue expresada por los
científicos anteriores por el principio de “horror al
vacío” que decía que la naturaleza no admite el
vacío y que todo espacio debe tener materia. Vimos
que los atomistas griegos admitían la existencia del
240
vacío pero Aristóteles con su gran autoridad que
dominó en la Edad Media Europea la niega
categóricamente. De la misma opinión es Descartes
en sus Principios de la Filosofía y el propio Galileo.
Muchas observaciones parecían confirmar este
principio. Por ejemplo, si llenamos una botella con
agua y tapándola con el dedo la invertimos y
sumergimos su extremo libre en un recipiente con
agua soltando entonces el dedo que la tapa, el agua
no se cae y se vacía, sino que sigue llena evitando
el vacío.
Figura 4-12. La presión atmosférica
241
Extracción de agua. Experimento de Torricelli.
Variación de la presión con la altura
Torricelli (1608-1647), un brillante discípulo de
Galileo, decidió usar mercurio en vez de agua y vio
que era mucho más difícil de levantar por succión.
Sospechó que lo que sostenía la columna de agua a
esa altura y no más, era el peso del aire cuyo efecto
se transmite al mercurio. Esto lo había sugerido el
filósofo genovés Gian-Batista Galiani en una visita
a Galileo en su exilio. A pesar de que Galileo había
pesado un globo vacío y luego lleno de aire
comprobando que esta pesa, no acepto las ideas de
Galiani aferrándose a la hipótesis de una “fuerza del
vacío” limitada. Pero Torricelli, que acompañaba a
Galileo en su exilio, tomó nota de la idea. Hizo
entonces con un tubo lleno de mercurio el
experimento descrito antes para la botella: lo puso
invertido sobre un recipiente con mercurio. La
columna de mercurio en vez de quedar llena, bajó
hasta unos 76 cm, dejando sobre ella un espacio
vacío. La columna de agua equivalente es 10,33 m.
242
La relación entre ambas es inversamente
proporcional a los respectivos pesos específicos: 1
para el agua y 13.6 para el mercurio.
Inclinando el tubo el mercurio entra más en el tubo
hasta llegar al mismo nivel de 76 cm por encima del
mercurio en el plato. Ya se sabía que la presión de
un líquido depende de la profundidad vertical, sin
importar la forma del recipiente. Así que la presión
en la base de la columna era constante. Además se
sabía que todo líquido transmite la presión a todos
sus puntos. Supuso pues que esa era la presión del
aire sobre el mercurio del plato
Torricelli observó que hay pequeñas variaciones en
el tiempo en la altura de la columna. El
descubrimiento de que estamos sometidos a una
presión enorme en todo nuestro cuerpo (una fuerza
de más de 1 kilogramo en cada centímetro de
nuestra piel, más de 100 kgr sobre la palma de
nuestra mano) causó enorme impresión. Algo que
teníamos tan junto a nosotros no había sido
percibido por la humanidad. Es cierto que no se ven
243
sus efectos porque la presión se ejerce en todas las
direcciones y se compensan las fuerzas sobre un
lado de un cuerpo por fuerzas iguales de los otros
lados. Sobre la palma de mi mano horizontal actúa
una fuerza vertical hacia abajo de unos 160 Kg. pero
no la hace bajar porqué desde abajo actúa una fuerza
igual hacia arriba.
Torricelli no publicó el resultado en Italia donde el
clero se oponía a la idea del vacío que era negado
por los escolásticos siguiendo a Aristóteles, y
Torricelli tenía a su lado a su maestro confinado en
Arcetri, cerca de Florencia. Decidió comunicar sus
resultados a su amigo Ricci en Roma y en una carta
a Mersene. Este era un clérigo y matemático
residente en París, de espíritu amplio, entusiasta de
la ciencia y estimulador de las comunicaciones
entre los científicos con muchos de los cuales
mantenía un activo correo, tarea muy importante
pues no se habían desarrollado revistas científicas.
Después de una visita a Torricelli en Florencia, que
244
no le dio muchas explicaciones, visitó a Ricci en
Roma que le repitió el experimento de Torricelli. Al
volver a Francia dio la noticia a su red de
corresponsales de modo que la noticia se difundió
rápidamente en Europa.
La estática de los fluidos, iniciada como hemos
visto por Arquímedes con la noción de empuje se
desarrolló con las ideas de Blaise Pascal (1623-
1662). Merssene, en viaje a Rouen para encargar
tubos de cristal para repetir el experimento de
Torricelli se hospedó en la casa de su amigo Etiene
Pascal, un respetado juez aficionado a las
Matemáticas, donde habló del experimento visto en
Italia con Etiene y su hijo Blaise, un prodigio de 23
años que había construido una máquina de sumar.
El joven repitió el experimento con agua y entró
rápidamente en polémica con los que lo negaban
alegando que el vacío era en realidad vapor de agua.
Preguntó a estos que quedaría más alta, una
columna de agua o de vino. Como el vino tiene
alcohol que se evapora más fácil supusieron que la
245
de vino quedaría más baja. Pascal hizo el
experimento comprobando que la de vino, menos
denso que el agua, precisamente por el alcohol,
quedó más alta. No dependía tanto del vapor sino
más bien de la densidad.
Siguiendo un consejo de Descartes con el cual se
escribía decidió medir la altura de la columna
mercurial a diferentes alturas. Al haber a más altura
menos aire encima que ejerciera presión, la presión
del aire debería bajar con la altura. Como su débil
salud le impedía a Pascal subir montañas, pidió a su
cuñado Perier que hiciera el experimento en Puy de
Dome. Este subió 973 m obteniendo en la base una
altura de la columna de mercurio de 781.06 mm y
en la cumbre de 666.49 mm.
Transmisión de la presión en los líquidos
Ya Stevin había observado que la presión de un
líquido sobre el fondo de un recipiente depende de
la profundidad del fondo por debajo del nivel del
líquido y no de la forma del recipiente ni la cantidad
de líquido. Era conocido de hacía tiempo que un
246
líquido en un tubo curvado con los extremos hacia
arriba alcanza la misma altura en ambos extremos.
Esto se usaba y se sigue usando en la construcción
para colocar a igual nivel objetos separados. No
importa que un extremo sea más grueso que el otro.
Si se ponen dos líquidos diferentes en ambos lados
las alturas son inversamente proporcionales a los
pesos específicos. Esto lo registró Leonardo da
Vinci en sus escritos. Que la presión se transmite
por todo el líquido ya está implícito en la
explicación del experimento de Torricelli. La
transmisión de la presión en cualquier parte de la
masa líquida en todas direcciones se ve en el
llamado ludión: un tubo invertido parcial mente
lleno de agua que apenas flota en una botella llena.
Al ejercer presión sobre el corcho de la botella esta
presión se transmite a todo en líquido, entra más
agua al tubo éste baja. Variando la presión se lo
mueve a voluntad. En esta idea se basó el submarino
del siglo XIX.
247
En los bordes internos de un recipiente la presión es
normal a la superficie como se ve haciendo un
pequeño agujero en cualquier lado.
4.7 Descartes. La visión mecánica del
Universo
Renato Descartes (1596-1650) expone su concepto
del mundo en su libro Los Principios de la
Filosofía, editado en 1644. (Ed. Losada, Buenos
Aires 1951). En su primera parte: Del conocimiento
humano, hace un resumen de su teoría del
conocimiento. Parte de la duda de todo lo que cree
saber inclusive de lo que nos muestran los sentidos.
Pero no se puede dudar de la duda misma, la cual es
pensamiento, y este pensamiento nos da la certeza
de nuestra existencia. De allí concluye que se debe
aceptar lo que se vea con igual claridad que esto.
Como tenemos la idea de un ser perfecto y nos
percibimos imperfectos deduce que no podemos ser
la causa de tal idea, sino que debe haber un ser con
la misma perfección del imaginado por lo menos.
248
De allí concluye la existencia de Dios y de la
imposibilidad de que nos engañe cuando
percibimos o entendemos con claridad.
Distinguimos entre nuestro pensamiento y nuestro
cuerpo y la relación entre ambos. De las
propiedades de Dios deduce que debe saber todo y
nos debe dejar libertad. Hay dos mundos el mental,
sin extensión, y el material. En el cerebro humano,
a través de la glándula pineal se realiza la conexión
entre ambos. El mundo no mental tiene extensión y
se basa en la materia que Dios ha creado y a la cual
ha impreso movimiento que se conserva según el
principio de inercia. Con esto entra a describir una
hipótesis de cómo se podría haber desarrollado el
mundo por sí mismo después de que Dios ha creado
la materia y la ha puesto en movimiento. Descartes,
vista la experiencia de Galileo, no sostiene que el
actual mundo se ha desarrollado realmente así.
Los cuerpos ocupan lugar, tienen extensión, y se
mueven, el tiempo se define del movimiento y es
percibido gracias a nuestra memoria. El lugar es
249
inseparable de la materia que lo ocupa, por eso no
puede existir el vacío y eso explica el llamado
“horror al vacío” que hace subir un líquido cuando
se lo absorbe por un tubo. Si se intentara quitar todo
el aire de un recipiente este se aplastaría.
El movimiento, una vez impreso es indestructible.
Aquí Descartes acude al principio de inercia como
ley fundamental de la materia: “cada cosa, en lo que
de ella depende, persevera siempre en su estado; y
así, lo que es movido una vez continúa moviéndose
siempre” a menos que se lo impidan obstáculos, en
especial choques con otros cuerpos. Consecuente
con esto, el espacio es infinito. El universo cerrado,
en el que aún creían Copérnico, Kepler y Galileo es
eliminado en nombre del principio de inercia que
permite un movimiento indefinido. El movimiento
circular que era símbolo de la perfección pasa a
considerarse forzado. El cuerpo que gira, si se lo
deja libre, escapa en movimiento rectilíneo por la
tangente.
250
La cantidad de movimiento, definida por el
producto de la masa y la velocidad, puede pasar de
un cuerpo a otro, pero siempre se conserva.
Descartes, indudablemente basado en Galileo,
expone las leyes de composición de movimientos.
Con ellas y el principio de conservación de la
cantidad de movimiento estudia el choque de los
cuerpos.
Los movimientos de las partículas y sus choques
forman torbellinos y de estos resulta la
concentración de la materia en estrellas y planetas
esféricos con movimientos de rotación. Entre los
sistemas del mundo rechaza al de Ptolomeo y el de
Tycho por complicados. El de Copérnico es el más
simple con el inconveniente de que pone una Tierra
móvil. Descartes pretende quedar bien con
Copérnico y las Escrituras diciendo que la tierra
está fija en “su cielo en el que esta como un
tripulante en un barco” al igual que los planetas.
Pero estos barcos se mueven como en el sistema de
Copérnico.
251
Las ideas de Descartes fueron muy difundidas en
toda Europa. Pero no forman un conjunto claro de
principios de los cuales se puedan deducir
matemáticamente los movimientos de los cuerpos
terrestres y celestes. Sin embargo abrió
definitivamente la puerta a la construcción de
conceptos del mundo unificados basados en las
leyes físicas básicas. En este sentido son
precursoras de la primera gran cosmología: el
sistema de Newton.
4.8 La máquina de hacer vacío de Otto von
Guericke
Otto von Guericke (1602-1686) nació en
Magdeburgo, Alemania y estudió Derecho,
Matemáticas e Ingeniería en Leiden donde tuvo a
Snell como profesor. Cuando regresó a su ciudad
natal entró en actividad política. En 1631 durante la
terrible Guerra de Treinta Años (1618 a 1648)
Magdeburgo, ciudad protestante, fue saqueada y
destruida por las tropas del emperador católico que
252
mataron a 20.000 de sus 30.000 habitantes. La
familia de Guericke pudo huir y Otto entró al
servicio del ejército del rey protestante de Suecia
Gustavo II que había entrado en la guerra. Hacia el
fin de la guerra trabajó como ingeniero en la
reconstrucción de su ciudad y en 1646 fue
nombrado alcalde, puesto que conservó por 35
años. Se interesó en la Física y leyó las obras de
Descartes. No se convenció de la imposibilidad del
vacío y construyó una bomba, inspirada en las de
extraer agua. Probó hacer el vacío en un barril que
se aplastó y lo mismo ocurrió con un recipiente
metálico, tal como había dicho Descartes. Pero
Guericke era tenaz. Construyó un recipiente más
fuerte que resistió un vacío como nunca se había
alcanzado con bombas. Comprobó que en el vacío
se extinguía el fuego y morían los ratones. En 1654
en una reunión de autoridades ante el emperador
Fernando III hizo un experimento espectacular.
Había construido dos hemisferios metálicos que se
unían perfectamente por sus bordes formando una
253
esfera. Había un gancho en el extremo de cada
hemisferio, lo cual permitía manipularlos y había un
tubo provisto de una llave de paso. Se hacía el vacío
conectando el tubo a la bomba de vacío y luego se
cerraba la llave. Se invitaba a los presentes a separar
los hemisferios. Todos los intentos fracasaban, aun
atando a los ganchos varios caballos que halaban en
direcciones opuestas. Entonces Guericke abría la
llave, entraba el aire y separaba los hemisferios sin
ningún esfuerzo. El experimento que se llamó de los
“Hemisferios de Magdeburgo” se hizo famoso y fue
repetido en otros países. Por esta época Guericke se
informó de los experimentos de Torricelli y
comprendió que la tremenda fuerza que había
descubierto se debía a la presión atmosférica, es
decir al peso del aire.
Con los trabajos de Boyle y, en especial de Halley
que discutimos más adelante, se aclaró que el
llamado “peso del aire”, por ejemplo el aire
encerrado en un recipiente tapado no es la pesantez
de cada partícula del gas ejercida directamente
254
sobre el fondo del recipiente (pues las que vuelan
en el volumen del recipiente no ejercen ninguna
acción) sino la presión hacia abajo causada sobre el
fondo por las moléculas que chocan en él, a la cual
hay que restar la presión hacia arriba de las que
chocan debajo de la tapa, la cual es menor pues la
presión disminuye con la altura.
Ejemplo 1.22 Suponga la esfera formada por los
hemisferios sea de 60 cm. de diámetro Calcular la
fuerza para separarlos. Para no tener que hacer la
integral de las presiones considere un solo
hemisferio cerrado por un plano y vea como es la
presión en este plano comparada con la resultante
de todas las presiones en la parte curva. La presión
atmosférica es 101325 Pa (newton por metro
cuadrado) o sea cerca de 1Kgr por centímetro
cuadrado. ¿Cuántos caballos halando con una
fuerza de media tonelada (unos 5000 N) son
necesarios para separar los hemisferios?
255
Ejemplo 1.23 ¿Cuál es la diferencia de la fuerza
hacia arriba el techo y la ejercida hacia abajo en el
piso de su habitación? Suponga el peso del aire a la
presión normal (760 mm de Hg) igual
aproximadamente a 10 N (aproximadamente un
kilogramo) por metro cúbico.
Guericke se interesó por la electricidad y construyó
la primera máquina de producir electricidad estática
consistente en una esfera de azufre que se hacía
girar con una manivela y se frotaba con la mano o
con una piel arrancando chispas. Descubrió que los
cuerpos como vellones de lana que eran atraídos por
la esfera eran luego rechazados por esta cuando
esta. Pero si entonces se los tocaba eran de nuevo
atraídos. No explicó claramente los hechos
observados. ¿Puede usted hacerlo?
4.9 Los Gases
El estudio de los gases fue fundamental para el
desarrollo de la nueva teoría de los átomos. Hasta
1550 el único cuerpo gaseoso que se tenía en cuenta
256
era el aire, que se tenía por un elemento. Los
alquimistas habían obtenido gases y vapores en sus
experimentos, pero eran despreciados como un
sobrante alejado del oro y de los remedios que eran
sus objetivos centrales. Van Helmont (1577-1644)
un alquimista holandés ya imbuido de las ideas
galileanas de la medida, fue tal vez el primero que
estudió esos cuerpos, parecidos al aire, sin forma y
que tendían a ocupar todo el espacio disponible. Los
llamó χάος, “caos”, término que se convirtió en
“gas” para sus lectores. Estudió el producido al
quemar madera, al que llamó “gas silvestre”.
Evidentemente, era gas carbónico. Lo vio semejante
al que se desprendía en la fermentación del vino o
la cerveza. Siguiendo el crecimiento de una planta
cultivada en un pote observó que aumentaba en 164
libras mientras que la reducción de peso de la tierra
en que crecía se reducía en unas pocas onzas.
Evidentemente, la planta crecía a costa del agua y el
aire.
257
Leyes de los gases
Después de los descubrimientos de Torricelli y
Pascal sobre el vacío y la presión del aire y los gases
el inglés Robert Boyle (1627-1691) investigó como
se contrae un gas sometido a presión. Antes de él,
Henry Power había supuesto que el volumen
decrece proporcionalmente al aumentar la presión
(Boyle lo cita) pero no detalla experimentos.
Boyle hizo sus experimentos con un aparato preciso
y simple, al parecer sugerido por su discípulo
Robert Townley: un tubo curvado en U cerrado en
un extremo donde se encerraba un volumen de gas
y por el otro, extendido hacia arriba y abierto
echaba mercurio. Ver Figura 4-13. La presión se
podía aumentar añadiendo mercurio y se medía por
la diferencia de altura entre las columnas de
mercurio.
258
Figura 4-13. Ley de Boyle
Boyle insistió en que debe ser una norma de las
publicaciones científicas hacer una descripción
exacta de los dispositivos experimentales, de
modo que cualquiera pudiera repetir los
experimentos.
La ley encontrada (1661) fue de que en una misma
masa de gas (usó aire) el volumen es inversamente
proporcional a la presión. Es decir:
pkv / o sea kpv
Donde k es una constante que depende de la
cantidad de gas.
Boyle no intentó desarrollar una teoría de la cual se
dedujera su ley. Pero como suponía una
constitución corpuscular de los gases observó que
caben dos hipótesis. Una teoría estática afirma que
259
las partículas de gas se repelen entre sí con fuerzas
que disminuyen con la distancia y repelen a las
paredes del recipiente y otra dinámica que supone
que las partículas se mueven, interactúan por
choque entre ellas y con las paredes. Ambas
explican la presión sobre las paredes del recipiente
y su tendencia a ocupar todo el espacio posible.
En 1680 Edme Mariotte redescubrió la ley y
observó que es válida sólo si todas las mediciones
se hacen a la misma temperatura, lo cual está
implícito en los trabajos de Boyle, pero no investigó
otros gases ni como dependía el volumen y la
presión de la temperatura. Por otra parte, discutió la
variación de la densidad del aire de la atmósfera con
la temperatura, pero con sus recursos matemáticos
no pudo hallar la ley de variación.
Esta ley fue hallada por el astrónomo Halley. Su
razonamiento es en esencia el siguiente.
Se considera una columna de atmósfera de sección
S y una pequeña región de la columna limitada por
dos planos horizontales paralelos a distancias h y
260
h+dh del nivel base del suelo. El volumen de tal
región es dv=Sdh y su peso dg= dhS donde es el
peso específico del gas, o sea el peso de una unidad
de volumen. La variación de la presión entre los dos
planos es igual a este peso dividido por la sección S
es decir dp= − dh . El signo negativo se debe a
que si dh es positivo (aumenta la altura) la presión
baja, o recíprocamente al disminuir h (dh negativo)
cada vez hay más peso del aire arriba y la presión
aumenta. Por lo tanto, la variación de la presión con
la altura viene dada por la derivada: dh
dp
=
Figura 4-14. Variación de la presión con la altura
261
Para ver cómo cambia la densidad con la altura
consideramos un volumen cualquiera 0v que está en
el suelo a la presión 0p y luego esa misma masa de
gas al subirla a la altura h donde la presión baja a p
y el volumen se expande a v. Por la ley de Boyle ya
que la masa (y el peso g, si la altura no es muy
grande) del gas es la misma, así que es: pv= 00vp .Y
poniendo el volumen como peso sobre peso
específico 0
0
gp
gp
de donde: 0
0
p
p
Sustituyendo en la anterior:
0
0
pp
dh
dp = kp donde llamamos k a la constante:
0
0
p
La ecuación diferencial kpdh
dp muestra que la
rapidez de descenso de la presión es proporcional a
la presión, es decir baja a medida que baja la
presión. Esta ecuación tiene por solución la
siguiente función de h:
262
hk
oepp donde k= 0
0
p
y 0p la presión en el
nivel de referencia desde donde se mide h. La
solución puede verificarse derivando.
Es decir la presión disminuye exponencialmente
con la altura.
Ejemplo 1.24. La presión al nivel del mar es 0p
=101325 N/m2 y el peso específico del aire a tal
nivel es 0 =11.62 N/m3 a 25ªC y a la presión
indicada. Hallar la presión a una altura de 5000m
p=2/101325
50003/62.11
2/101325 mN
mmN
emN
=57107.23N/m2
que equivale a la presión en la base de un tubo
vertical lleno de mercurio hasta:
101325
76023.57107
428.3 mm. La presión media al
nivel del mar es de 760mm Hg.
Ejemplo 1.25. Con los datos del experimento de
Pascal y Perier encontrar un valor de k para la ley
de Halley. Aplicar logaritmos y considerar los dos
niveles.
263
Variación del volumen y la presión con la
temperatura.
Mariotte observó que los gases se expanden al
aumentar su temperatura, pero no realizó
mediciones.
El comportamiento de los gases al variar la
temperatura fue estudiado por el francés G.
Amontons (1663-1705) quién encontró en 1703 la
proporcionalidad entre la variación de presión con
la temperatura a volumen constante. Si la
temperatura cambia de t0 a t la presión pasa de p0 a
p y se tiene )(1( 00 ttpp
Donde es una constante igual a todos los gases.
Observó que si estas leyes se consideran exactas
debe haber una temperatura en que la presión
desaparece. Es decir, si
10 tt
, sustituyendo en la
anterior obtenemos p=0
264
Para t0=0 resulta
1T
para esta temperatura en
grados centígrados la presión del gas desaparece.
Amontons llegó así a la idea de cero absoluto,
aunque su estimación no fue muy exacta (su valor
fue −239ºC). La actual es −273,16 ºC.
Si se calienta el gas manteniendo constante la
presión, por ejemplo, en un cilindro cerrado por un
émbolo que se puede deslizar permitiendo el
aumento de volumen se ve que al subir la
temperatura el volumen crece y el aumento de
volumen es proporcional al aumento de
temperatura.
También expresó correctamente las causas del
aumento de presión suponiendo que el
calentamiento consistía en un aumento de la
velocidad de las partículas del gas y al chocar con
más fuerza y más veces sobre las paredes producen
el aumento de presión. Pero es sólo más adelante,
después de desarrolladas las ideas de energía
265
cinética, basadas en la mecánica newtoniana son
desarrolladas por Leibniz y Bernoulli que
identifican la temperatura con la energía cinética
media de las moléculas.
Gay Lusac (1778-1850) hizo estudios completos de
estas leyes que se pueden resumir en que para una
masa determinada de gas es:
nRTpv
donde T es la temperatura absoluta, n el número de
moles (un mol es una cantidad con un número de
gramos igual al peso molecular) y R una constante
igual para todos los gases. En un trabajo que llamó
poco la atención el italiano Avogadro observó que esta
igualdad implica que tomando iguales volúmenes de
diferentes gases a la misma temperatura deben
contener igual número de partículas.
Las leyes anteriores sólo son exactas para gases
ideales en los cuales las partículas no se atraen y su
volumen total es despreciable respecto al volumen
del gas. Funcionan bien en gases reales a baja
presión y temperatura no muy bajas. Las
266
divergencias con estas leyes aparecen a altas
presiones en el caso de gases reales. La
aproximación en estos casos se hace por la ecuación
de Wan der Waals (1837-1923) en 1873. Su
expresión es:
RTbVV
ap m
m
))((2
Donde mV es el volumen en moles y a y b son
constantes que dependen del gas. a depende de la
atracción entre moléculas y b es el volumen de las
moléculas. La explicación de las fuerzas entre
moléculas llamadas fuerzas de Wan der Waals no
se logró hasta fines del siglo XIX (teoría clásica) y
el XX (teoría cuántica)
Definición de elemento por Boyle
Boyle, hombre caritativo, protestante y religioso en
extremo, vio la actividad científica como un
reverente estudio de la obra del Creador. Fue un
defensor consecuente del método experimental y
con la competente ayuda de Hooke hizo sus
investigaciones sobre los gases. Atacó la idea
267
tradicional de los cuatro elementos en su texto El
químico escéptico (1661) donde propone una
definición pragmática de elemento. Un cuerpo
debe considerarse provisoriamente como
elemento si no se ha podido descomponer en
substancias más simples ni puede obtenerse por
composición de otras substancias. Como se ve, el
carácter de elemento es provisorio. La concepción
actual del átomo ha superado esta definición que fue
extraordinariamente útil en su tiempo.
Siguió también las ideas de los atomistas griegos.
Entre sus trabajos de química se destaca la
observación de que ciertos colorantes vegetales se
vuelven rojos con los ácidos y azules con los álcalis.
Se usaron luego muchos tipos de sustancias
vegetales (líquenes entre ellos) que dieron colores
diversos. Esto permitió más adelante fabricar
papeles saturados de esos colorantes que permitían
una estimación rápida de la acidez y alcalinidad de
una solución. Se los llamó indicadores.
268
Propiedades de los sólidos. Elasticidad. Robert
Hooke.
Desde la antigüedad los constructores tenían una
idea bastante correcta de la resistencia de los
materiales de construcción, como lo atestiguan los
edificios construidos por todas las grandes
civilizaciones.
Los principios físicos de la resistencia de materiales
comienzan en el Renacimiento con los resultados
expuestos por Galileo en sus Discorsi, casi todos
conocidos por Leonardo da Vinci, sin influencia en
Física pues no difundió sus hallazgos, pero muestra
cuanto se podría haber descubierto en su época con
imaginación y audacia de pensamiento. Galileo
establece que la resistencia a la rotura por flexión
de una barra prismática crece con el cubo del
espesor y es inversamente proporcional a la
longitud. Se da cuenta que en la flexión la parte del
sólido que se hace convexa se estira y la que se hace
cóncava se comprime. De acuerdo con esto registra
la mayor resistencia de los tubos a la flexión
269
comparada con los cilindros macizos de igual
sección y ve su efectividad en los seres vivientes
(huesos, troncos cañas).
Robert Hooke (1635-1703) encargado de los
experimentos de la Royal Society, define
claramente la elasticidad como resistencia a la
fuerza de deformación y capacidad de
recuperación de la forma y tamaño al retirar la
fuerza. Descubre la ley fundamental de
proporcionalidad entre la presión deformadora
y la deformación. Si un cuerpo prismático de largo
l y sección s es sometido a una fuerza f en la
dirección del largo sufre una deformación
(incremento o disminución del largo según se estire
o comprima) igual a:
sflal /
Siempre que el esfuerzo o presión: f / s se mantenga
dentro de los límites de elasticidad, es decir que al
retirar la fuerza se restaure el tamaño original.
a es un coeficiente dependiente del material.
Actualmente se lo expresa por su inversa E=1/a y E
270
se llama módulo de Young. La fórmula se suele
poner: E
p
l
l
donde s
fp
Ejemplo 1.26. Un peso de 500 N se cuelga de un
alambre de hierro de 4 m de largo y 3 mm2 = 3x10-
6m2 de sección. Es para el hierro E=2.2x10-5 N/m2.
Calcular la dilatación.
En los sólidos elásticos Hooke estudia en particular
los resortes, con aplicación a las balanzas. Estudia
las oscilaciones de un peso colgado de un resorte.
Aún no estaba desarrollado el concepto de energía,
pero en Hooke está implícito el de energía elástica:
el cuerpo deformado por una fuerza a lo largo de un
trayecto puede restituir la fuerza a lo largo de un
trayecto al recuperar su tamaño. Los relojes de
elástico fueron una aplicación de estos principios.
Hábil mecánico y experimentador, Hooke es
también famoso por sus observaciones con
microscopios compuestos que él construye
(descubre la estructura celular en los vegetales) y
271
telescopios de reflexión con los cuales descubrió las
estrellas dobles. Dio también las primeras pero
imperfectas versiones de la teoría ondulatoria de la
luz (repitió los hallazgos de Grimaldi) y de la
atracción del Sol a los planetas que disminuye con
el cuadrado de la distancia, pero no supo sacar las
consecuencias de esto. Cuando Hooke comunicó
esto a Halley y este le contó luego la idea a Newton
este dijo que ya lo sabía. Al decirle Halley que
habría que calcular las órbitas de los planetas
basadas en esa ley, Newton le reveló los cálculos
que ya había hecho: eran elipses.
Son famosas las polémicas de prioridad de Hooke
con otros científicos y particularmente con Newton,
el cual era emocionalmente incapaz de soportarlas.
Newton suspendió las publicaciones sobre la luz
hasta la muerte de Hooke. La primera edición de la
Óptica de Newton es de 1704.
272
Bibliografía Parte I
Asimov, Isaac. (1965) Breve historia de la Química.
Bergson, Henri. (1903) An Introduction to
Metaphysics. Hackett Publishing Company 1999
Domingo, Carlos. (2003) Historia de las Ideas
Matemáticas Ed. Facultad de Ciencias. Universidad
de los Andes
Frazer, J.G. (1890) The Golden Bough Ed Mac Millan
1922. Hay traducción castellana.
Heath T.L. (1932) Greek Astronomy
Hoyle, Fred (1967). Astronomía. Ediciones Destino.
James, E. O. (1973) Introducción a la Historia
Comparada de las Religiones. Ediciones Cristiandad
Kline M. (1972) Mathematical Thought from Ancient
to Modern Times. Ed. Oxford University Press.
Koestler, A. (1985) Kepler.
Koyré, A. (1968) Metaphysics & Measurement:
Essays in Scientific Revolution, Harvard University
Press (1978 -1)
------------ (1973) The Astronomical Revolution,
Londres, Methuen.
273
Kuhn, Thomas. (1957) La revolución copernicana
Langtman G. (1938) The Origin of the Inequality of
the Social Classes. Ed. Kegan, Trench, Trubner & Co.
Levi-Bruhl, L. (1963) L´ame primitive. Ed.
Gallimard.
Mach, Ernst. (1883) The Science of Mechanics.
Traducción en inglés Ed. Open Court 1989.
Mondolfo, R. (1969) El Pensamiento Antiguo.
Ed.Losada.
Newton, I. (1686): Principia. Ed. University of
California Press, Berkeley 1962.
Rey Pastor, J., J. Babini (1986) Historia de la
Matemática Ed. Gedisa
Reader, J. (1999) Africa Ed. Vintage Books.
Roederer, J. (1975) Introduction to Physics and
Psicophysics of Music. Ed. Heidelberg Science
Library.
Spengler, O. (1916) La decadencia de Occidente.
Traducción castellana: Ed. Revista de Occidente
Toynbee, A. Estudio de la Historia Vol. I-XII
274
Villiers, J. (1970) Asia Sudoriental. Historia
Universal Siglo XXI Vol. 18 Ed. Siglo XXI.
Wilson, O. (1976) Sociobiology, the new synthesis
Wittfogel, K.A. Oriental Despotism (1957).
275
APENDICE 1
Datación por Radiocarbono
En el carbono C del CO2 del aire predomina el C12 de peso
atómico 12, pero hay una pequeña proporción del isótopo
C14 (con dos neutrones más en el núcleo atómico) que es
radioactivo y se desintegra continuamente produciendo
nitrógeno N14 y electrones. Sin embargo el C14 del aire no
desaparece porque es continuamente renovado por la
acción de los neutrones que existen naturalmente en la
atmósfera. Estos son producidos continuamente por los
rayos cósmicos de alta energía. Los neutrones n actúan
sobre el nitrógeno N según la reacción nuclear que
produce además un protón p+ y un electrón e- :
N14 + n → C14 + p+ + e-
Esta producción es continua y la desintegración,
proporcional a la cantidad presente, por lo cual se
mantiene una proporción constante de carbono C14
radioactivo en el aire, que se alcanza cuando la velocidad
de desintegración del C14 es igual a la de su formación. Las
plantas absorben, por la fotosíntesis el carbono CO2 del
aire formando los carbohidratos (azúcares y celulosa) que
forman su cuerpo, las cuales tendrán muy
276
aproximadamente, la misma proporción de C14 radioactivo
respecto al C12 normal ya que sus propiedades químicas,
que son las que importan para la fotosíntesis, son iguales .
Si se corta la planta ya no habrá fotosíntesis y la madera
no recibe más C del aire y por lo tanto su proporción de
C14 comienza a bajar por su desintegración espontánea
emitiendo un electrón por cada átomo que se desintegra
según la reacción:
C14 → N14 + e-
en una forma cuya ley de decaimiento se conoce (cada
período de 5730 años se reduciría a la mitad del C14 que
había al comienzo del período) de modo que el número de
electrones emitidos por segundo baja en la misma
proporción. La ley de decaimiento radioactivo es
0NN t te 00012097.0 donde 0N es el número de átomos
radioactivos original en un cierto volumen y tN el número
t años después en un volumen igual.
Esto permite, detectando los electrones emitidos por
unidad de tiempo, calcular la proporción de C14
radioactivo que queda y con ello cuantos años hace que se
cortó la planta. En igual forma se puede calcular, por el
carbono de los huesos, cuanto tiempo hace que murió un
animal, ya que, en definitiva, su carbono proviene de las
plantas. Se pueden datar maderas, telas, papel, semillas,
277
restos y productos de origen vegetal o animal. El método
funciona para datar objetos entre 500 y 50000 años, más
allá de esto el C14 se ha reducido hasta volverse
indetectable y si es menos de 500 su decaimiento es
despreciable. El método ha sido verificado datando hechos
de antigüedad de fecha conocida (por ejemplo eclipses
pasadas registradas en Egipto y China) y ha tenido una
enorme importancia en datar correctamente objetos de la
Prehistoria y la Historia. Más adelante explicamos el
método de la termo-luminiscencia que abarca tiempos más
amplios.
EJEMPLO
Supongamos que en un contador de partículas en un
recipiente con CO2 del aire normal se detectan 160 cuentas
por minuto debido a los electrones del C14 en el aire
normal actual (que se supone era igual en la antigüedad) si
el CO2 es ahora reemplazado por el que resulta de quemar
una pieza de madera de una época pasada es ahora 95
(debido a que desde que se separó del árbol hasta ahora se
ha desintegrado parte del carbono radioactivo). Como el
número de cuentas es proporcional a la concentración del
C14 en el recipiente se tiene te 00012097.016095 de donde:
430900012097.0
)95/160ln(t
278
es decir la madera de la pieza fue cortada hace 4309 años.
Termo-luminiscencia
La datación de los objetos de arcilla puede hacerse por la
termo-luminiscencia. Se basa en que, en metales o
minerales cristalinos (presentes, por ejemplo en
cerámicas, ladrillos cocidos, porcelanas, hornos, lugares
de cocina) ciertos electrones interiores del cristal son
desplazados de su posición de mínima energía por la
radiación cósmica. El calentamiento fuerte (cerca de 500
ºC ) los vuelve a su posición de equilibrio emitiendo la
energía acumulada en forma de radiación luminosa
(termo-luminiscencia). La energía total de esta radiación
se puede medir y es proporcional al tiempo durante el cual
el objeto estuvo cargándose de energía al recibir la
radiación cósmica desde la última vez en que el cuerpo se
formó o se descargó de energía por calentamiento. El
método tiene menos exactitud pero más rango de datación
que el radiocarbono antes explicado.