historia series de fourier

7/26/2019 Historia Series de Fourier

1/23

LAS SERIES DE FOURIER

Y

EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX

Fernando Bombal

Universidad Complutense de Madrid


2/23

Las Series de Fourier. Fernando Bombal

Las series trigonometricas surgieron en la Matematica en el siglo XVIII, en relacion

con el estudio de las pequenas oscilaciones de medios elasticos, pero como veremos, su

influencia fue decisiva en el desarrollo del Analisis a lo largo del siglo XIX. Es realmentesorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede

rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos mas importantes

acaecidos en este siglo, desde la evolucion de la nocion misma de funcion hasta el comienzo

de la topologa o los numeros transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones

de integracion. De ello trataremos en esta charla.

1.- El Problema de la Cuerda Vibrante.

A partir del desarrollo del Calculo en el siglo XVII, este se haba convertido en la

principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea basica era repre-

sentar la evolucion de un fenomeno natural por medio de una ecuacion diferencial que

relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenomeno. Esta ecuacion se obtena

a partir de un analisis del fenomeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido numero

de leyes naturalesque se haban ido descubriendo. Los fenomenos que podan describirse

en terminos de una sola variable venan as regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias,

que relacionaban la funcion incognita con sus derivadas. Por ejemplo, la posicion y(t)

(en funcion del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de

una recta atrado por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al

centro, satisface la ecuacion diferencial

md2y

dt2 =ky (k constante >0),

cuya solucion generales

y(t) =C1sen t+C2cos t, =

k

m.

A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se haban desarrollado consi-

derablemente los metodos de resolucion de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando

en el fenomeno estudiado dependa de dos o mas variables significativas, su modelizacion

vena dada por una ecuacion en derivadas parciales, mucho mas difcil de tratar. Uno de

1


3/23


los primeros fenomenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con

los extremos fijos en los puntos x= 0 y x = del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la

cuerda de su posicion de equilibrio y la soltamos, oscilara un plano. Se trata de encontrar

la posicion u = u(x, t) que ocupara el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de

un solo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilacion de

una masa atrada por un centro atractivo.

Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero

la oscilacion de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la

k-esima masa, Bernouilli haba obtenido la ecuacion en diferencias finitas

d2yk

dt2

=a2(yk+1 2yk+ yk1),

donde a depende de la tension de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las

masas puntuales. Bernouilli resolvio esta ecuacion y considero el caso de la cuerda continua

haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante

t, la cuerda toma una forma sinusoidal, solucion de la ecuacion d2ydx2

=ky (con k funcion

del tiempo). Este resultado ya haba sido obtenido en 1715 por J. Taylor.

En 1747, Jean le Rond DAlembert, el famoso enciclopedista, se intereso por el

problema. A traves de un analisis infinitesimal y las leyes fsicas pertinentes, DAlambert

obtuvo la ecuacion diferencial que rige el fenomeno, a saber:

2u

t2 =a2

2u

x2, (1.1)

dondeaes una constante que depende de las caractersticas fsicas de la cuerda y que, por

simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuacion, tras unas ingeniosas

manipulaciones formales, consiguio obtener la integral general de la ecuacion (1.1) en la

forma

u(x, t) = (t+x) (t x)

siendo una funcion arbitraria. En un artculo inmediatamente posterior (ambos

aparecieron en 1749), DAlembert obtiene la solucion del problema de la cuerda vibrante

en terminos de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda y su velocidad inicial

ut

(x, 0) :=g(x). A continuacion DAlembert establece que las funciones f y g no pueden

2


4/23


ser arbitrarias, sino que deben satisfacer ciertas condiciones. Esencialmente, DAlembert

sostiene que, debido al metodo de resolucion, las funciones admisibles como valores ini-

ciales deberan ser, por un lado, periodicas de periodo 2, y por otro, suficientemente

lisas, debiendo verificar la ley de continuidady una condicion geometrica que equivale,

en terminos modernos, a ser dos veces diferenciables (sin picos).

Un ano despues, en 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15

trabajos que dedico a este problema, iniciando as un debate que duro cerca de 50 anos

y en el que intervinieron la mayora de los grandes matematicos de la epoca. La solucion

de Euler no difiere tecnicamente de la de DAlembert, aunque s el metodo de deduccion.

Partiendo de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda, obtiene geometricamente la

solucion en la forma

u(x, t) :=1

2f(t+x) +

1

2f(t x).

Para Euler, esta ecuacion funcional describe totalmente el fenomeno fsico y, por tanto, no

supone restriccion alguna para f. Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente

la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal),

f puede ser totalmente arbitraria, e.d. regular y contenida en una cierta ecuacion, o

irregular y mecanica.

El problema subyacente en esta polemica estriba, en primer lugar, en la nocion mismadefuncion, que Euler y DAlembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados

distintos. En general, la idea de funcion no haba sido definida con claridad. Para los

matematicos del XVIII la nocion mas aceptada es la adoptada por el propio Euler en el

Captulo I de su famoso Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748:

Una funcion de una cantidad variable es cualquier expresion analtica for-

mada con la cantidad variable y con numeros o cantidades constantes.

Una funcion esta sujeta a laley de continuidadsi puede expresarse en todo su dominio

por una sola expresion analtica, siendo en otro casodiscontinua. De modo que, para Euler,

funciones como

|x|:=

x, si x 0x, si x


5/23


cualquier funcion admisible en matematicas poda expresarse como una serie de potencias

con exponentes naturales, salvo en un numero finito de puntos a lo mas. A lo largo de

la obra, Euler fundamenta esta conviccion obteniendo los desarrollos en serie de una gran

cantidad de funciones.

La culminacion y sistematizacion de esta nocion de funcion se encuentra sin duda en

la monografa Theorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange

como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos anos antes

para formar a las nuevas generaciones de tecnicos y cientficos que debieran llevar a Francia

a la cabeza del desarrollo cientfico e industrial despues de la Revolucion. En este libro que,

como orgullosamente declara su autor, presenta la teora de funciones y el calculo diferencial

liberados de toda consideracion acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, lmites

o fluxiones..., Lagrangedefinede hecho una funcion por su desarrollo en serie de potencias

(aunque intenta dar una demostracion de la posibilidad de tal desarrollo), y las derivadas

sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la funcion.

Es esta nocion de funcion la que adopta y defiende DAlembert en el debate sobre

la cuerda vibrante, junto con la postura mas ortodoxa sobre la utilizacion rigurosa de las

leyes del calculo.

Euler, por su parte, motivado por la naturaleza fsica del problema, defenda que lasolucion obtenida era valida para cualquier funcion arbitraria (mecanicaen su notacion,

para indicar una funcion cuya grafica esta trazada al azar). Este problema, junto con

otros de naturaleza geometrica, hicieron a Euler considerar su primera definicion de funcion

como demasiado restrictivo. As, en su Institutiones Calculi Differentialisda una nueva

definicion que, en sentido literal, no estara demasiado lejos de la concepcion moderna de

funcion:

Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las ultimas cambian, lohacen tambien las primeras, se dice que las primeras cantidades sonfunciones

de las ultimas.

No obstante, la idea actual de funcion como correspondencia arbitraria era sencilla-

mente extrana a Euler (y, en general, al pensamiento de la epoca). Simplemente, Euler

quera senalar que podan ser objeto de estudio en Matematicas funciones mas generales

4


6/23


que las obtenidas por medio de una expresion analtica concreta. Realmente, las funciones

admitidas por Euler como posicion inicial de la cuerda seran lo que en lenguaje moderno

llamaramos funciones continuas, de clase C1 a trozos. De hecho, las confrontaciones mas

intensas entre Euler y DAlembert se referan a la posibilidad de considerar como funciones

validas a las que tuvieran picos (como las poligonales a trozos), e.d., con derivada dis-

continua en algunos puntos. Euler admita las objeciones de DAlembert desde el punto de

vista del rigor, pero defenda la necesidad de encontrar nuevos instrumentos matematicos

para extender las leyes del calculo conocido a situaciones mas generales, justificados en todo

caso por la evidencia fsica del problema. Es de destacar la postura pionera de Euler en el

problema de las soluciones generalizadas de una ecuacion diferencial. Se trata, como en

el caso de la cuerda vibrante, de conciliar la evidencia emprica de que muchos problemas

que se modelizan a traves de ecuaciones diferenciales, tienen soluciones realesno regulares

desde el punto de vista matematico. Ya hemos senalado una de las posibilidades, adop-

tada por Euler: modificar el modelo matematico por otro que no exija restricciones tan

severas a las soluciones. Tambien Euler dio los primeros pasos en el metodo de las solu-

ciones debiles: Se trata de aproximar una funcion mecanica arbitraria fpor funciones

regulares, obtener la solucion clasica (a lo DAlembert) de (1.1) para estas funciones y

representar la solucion original como lmite (en algun sentido) de estas soluciones clasicas.

Uno de los intervinientes en el largo debate sobre la cuerda vibrante fue Daniel

Bernouilli, amigo de Euler y perteneciente a la conocida familia de matematicos de origen

suizo. Daniel Bernouilli era esencialmente lo que hoy llamaramos un fsico matematico.

Por ello, los razonamientos fsicos primaban para el sobre los argumentos matematicos.

En consecuencia, retomando los argumentos de su padre Johann, propuso en 1753 que

la posicion general de la cuerda debiera obtenerse por superposicion (e.d., combinacion

lineal, eventualmente infinita) de las vibraciones elementales sinusoidales que su padre

haba encontrado como solucion. Mas precisamente, propuso como solucion

u(x, t) =(t) sen x

+(t) sen

2x

+(t) sen

3x

+ (1.2)

En particular, la posicion inicial u(x, 0) := f(x) debiera poder expresarse como una serie

trigonometrica. Por supuesto, Bernouilli no dio ninguna indicacion sobre como calcular

los coeficientes , , , . . ..

5


7/23


La solucion de Bernouilli fue rechazada por Euler por no ser lo suficientemente general.

Aunque reconocio la importancia de las observaciones de Bernouilli en el aspecto fsico

del problema, consideraba matematicamente inaceptable que cualquier funcion arbitraria

pudiera representarse por medio de una suma trigonometrica. Para Euler,

todas las curvas contenidas en esta ecuacion[se refiere a (1.2)]incluso cuando

aumentamos el numero de terminos hacia infinito, tienen ciertas carac-

tersticas que las distinguen de otras curvas.

Entre esas caractersticas, Euler hace hincapie en la periodicidad. Un error tan evi-

dente (es obvio que lo relevante para el problema es lo que sucede en el intervalo [0, ]),

pone claramente de manifiesto la dificultad en asimilar la idea moderna de dominio de

una funcion, incluso por un hombre como Euler, protagonista de la transicion entre laantigua teora de funciones y la nueva. Para Euler, como para todos sus contemporaneos,

una funcion se asocia siempre con la totalidad del dominio en el que existe. Otra de

las objeciones de Euler haca referencia a la determinacion de los coeficientes , , , etc.,

tarea que le pareca sin duda muy difcil, por no decir imposible..

DAlembert, por una vez, coincidio con Euler para rechazar la solucion de Bernouilli.

Incluso fue mas lejos, afirmando que ni siquiera cualquier funcion periodica podra repre-

sentarse por una serie trigonometrica.

En el fondo, como senaloH. Lebesgueen 1906, las objeciones de Euler y DAlembert

tenan un significado muy profundo. En efecto, si consideramos la posicion inicial de la

cuerda como una poligonal, resulta que una serie trigonometrica (que es una expresion

analtica) representara una funcion lineal en un subintervalo de [0, ] y otra funcion li-

neal distintaen otro subintervalo; e.d., dos expresiones analticas deberan ser iguales en

un intervalo y desiguales en otro, lo que pareca imposible. (Notese que para series de

potencias, esto es claramente imposible!).

2.- La teora de la transmision del calor y la resolucion de E.D.P.

La invencion de la maquina de vapor, base de la Revolucion Industrial, desperto el

interes por el desarrollo de una teora matematica de la conductividad del calor, mas tarde

concretada en la termodinamica. Varios matematicos y fsicos, comoLaplace, Lavoisier,

6


8/23


Biot, et. realizaron investigaciones en este campo. En el ano 1811 el Institut de France

convoco un concurso cuyo objeto eral proporcionar una teora matematica de las leyes de

propagacion del calor y comparar esta teora con experimentos. El ganador del premio

fue el academico Jean B.Fourier. De familia modesta (era hijo de un sastre de Auxerre),

Fourier estudio en la Escuela militar de su ciudad natal, de donde lleg o a ser Profesor. Se

adhirio a las ideas de la Revolucion y participo activamente en la poltica. Tras participar

como estudiante en la creacion de laEcole Normaleen 1794, paso a ser Profesor de la misma

y posteriormente de laEcole Polytechnique. En 1798 participo, junto conMongey muchos

otros cientficos, en la expedicion de Napoleon a Egipto, y se convirtio en un admirador y

experto de la cultura egipcia. Regreso a Francia en 1801 y al ano siguiente fue designado

Prefecto del Departamento de Isere. En 1815, se traslado a Paris, dedicandose desde

entonces casi exclusivamente a su actividad cientfica. En 1817 fue designado miembro de

la recien refundada Academia de Ciencias, de la que se convirtio en Secretario Perpetuo

en 1822.

Fourier, hombre comprometido con los problemas de su epoca, conceba las

matematicas, y especialmente el analisis infinitesimal, como el instrumento fundamen-

tal para comprender la Naturaleza, domenarla y adaptarla a las necesidades del Hombre.

como dice claramente en el Discours Preliminaire,

Las causas primeras las desconocemos, pero estan sujetas a leyes simples y

constantes que pueden ser descubiertas por medio de la observacion. Este el

es objeto de la Filosofa Natural...

Pero, una vez realizadas una serie de observaciones empricas, es necesario obtener

un modelo del fenomeno en terminos matematicos, y mas precisamente, por medio de

ecuaciones diferenciales. Este es el camino que hay que seguir para avanzar nuestro

conocimiento sobre la Naturaleza. Vemos, pues, que Fourier es el paradigma de lo que hoy

llamaramos un matematico aplicado (como lo eran la mayora de sus contemporaneos).

La motivacion para desarrollar teoras matematicas abstractas (a las que, como veremos,

Fourier contribuyo en gran medida) debe ser siempre la obtencion de nuevas herramien-

tas que permitan resolver los problemas planteados por la observacion de la Naturaleza.

Tambien hay que destacar en Fourier su concepcion de la Ciencia como elemento esencial

del progreso de la Sociedad civil. En contrapartida, el rigor en el razonamiento no es lo

7


9/23


mas importante.

Con estas premisas, no es de extranar que Fourier se interesara por la teora de la

transmision del calor. De hecho, haba presentado una extensa Memoria al Instituto en

1807 que no fue publicada. En el informe del Jurado sobre la concesi on del premio convo-cado por el Instituto, se lee

Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan

la transmision del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su su-

perficie, y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la

concesion del premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus

ecuaciones ... y el analisis de su solucion deja algo que desear tanto en lo

concerniente a la generalidad [de la solucion] como al rigor.

Probablemente estas objeciones fueron la razon por la que el trabajo ganador no fuera

publicado inmediatamente (como era costumbre), y tuviera que esperar hasta 1824 para

su aparicion, cuando ya Fourier era Secretario Perpetuo de la Academia.

Las ecuaciones obtenidas por Fourier son:

k2u

x2 =

u

t

; k2u

x2+

2u

y2 = u

t

; k2u

x2+

2u

y2 +

2u

z2 = u

t

,

segun se trate de una barra, un recinto plano o un cuerpo solido, donde u = u(x, t) es

la temperatura en el instante t del cuerpo, en el punto de coordenadas x. Por supuesto,

las soluciones buscadas deben verificar ciertas condiciones de contorno. A la resolucion

de distintos casos particulares (barras, cilindros, esferas, etc.) dedico Fourier una serie de

artculos que culminaron en su renombrada Theorie analytique de la chaleur, publicada en

1822. En esta obra, Fourier, a traves de un gran numero de ejemplos, desarrolla una serie

de ideas y de tecnicas que iban a ser el modelo a seguir en las investigaciones posteriores

sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Probablemente, nada mejor que reproducir

uno de los ejemplos de Fourier para acercarnos al espritu de la obra: Consideremos el

problema de la determinacion de la temperatura estacionaria en el interior de una placa

infinita de forma rectangular, cuyos bordes se mantienen a temperatura prefijada (p.e., 0

grados en los lados (infinitos) superiores y a distancia infinita, y 1 grado en el borde finito).

8


10/23


En este caso, ut

= 0 y se trata de encontrar la solucion de la ecuacion diferencial

2u

x2+

2u

y2 := u= 0 (2.1)

en el dominio x > 0, 2 < y < 2 , que sea igual a 1 para x = 0 y se anule para

y= 2 , y= 2 , y para x tendiendo a.

Para resolver este problema, Fourier utiliza su metodo favorito deseparacion de varia-

bles(ya empleado por DAlembert y Bernouilli con anterioridad): Tratemos de encontrar

soluciones de la forma u(x, y) = v(x)w(y). Sustituyendo en la ecuacion (2.1), resulta que

ha de cumplirse

v(x)

v(x) =

w(y)

w(y) .

Como el primer miembro depende solo de x y el segundo de y, solo pueden ser iguales si

ambos son una constante . Obtenemos as dos ecuaciones diferenciales ordinarias, faciles

de resolver. Pero Fourier es mas directo y, simplemente, dice ... vemos que podemos

tomarv(x) =emx yw(y) = cos ny. Sustituyendo en (2.1), se obtiene m2 =n2(=). De

la condicion (iii), resulta m < 0, y de la (ii) que n = (2k1) (k N) y m = n. As

pues, las funciones

uk(x, y) =e

(2k

1)x cos(2k 1)y (k N),

satisfacen todas las condiciones, salvo la (i). Retomando el principio de superposicion,

Fourier trata entonces de buscar una solucion como superposicion de las anteriores, es

decir, de la forma

u(x, y) =n=0

anun(x, y),

para unos coeficientes (an) adecuados. Para determinar estos coeficientes, Fourier utiliza

la condicion (i), obteniendo

1 =n=1

ancos(2n 1)y, para

2 < y 1), e.d., es de potencia p-esima integrable Lebesgue, entonces su

serie de Fourier converge (af) en casi todo punto. Este sorprendente resultado reivindica

finalmente la afirmacion original de Fourier, pues sus funciones arbitrarias (funciones

continuas a trozos) pertenecen obviamente a L2.

En otro orden de cosas, el estudio de las series trigonometricas motivo tambien la

posibilidad de interpretar la palabra representar de manera diferente a la convergencia

puntual, abriendo as el camino a la teora de espacios funcionales y otras nociones de

proximidad. Una primera aproximacion en esa direccion fue la aparicion de nuevas

nociones de convergencia de sucesiones. Una de las primeras fue la convergencia Cesaro,

introducida en 1890: Una sucesion (an) se dice que converge a en el sentido de Cesaro

si la sucesion de medias aritmeticas(a1+a2+ann

) converge a en sentido ordinario. Por

supuesto, toda sucesion convergente es tambien convergente en sentido de Cesaro (y con

el mismo lmite). Pero existen sucesiones no convergentes, como la ((1)n), que tienen

20


22/23


lmite en el sentido de Cesaro (0 en este caso). Pues bien, el matematico hungaroLeopold

Fejer demostro que la serie de Fourier de una funcion integrable Riemannconverge en el

sentido de Cesaroa f(x) en todo punto de continuidad x de fy, si fes continua, lo hace

uniformemente en todo el intervalo [, ]. Por supuesto, Lebesgue extendio el resultado

de Fejer para funciones integrables Lebesgue. Se obtuvieron resultados analogos para otras

nociones generalizadas de convergencia (convergencia Abel, etc.)

Abandonando el marco de la convergencia puntual, la aparici on de la teora de la

integral de Lebesgue permitio extender y completar una serie de resultados que se haban

ido obteniendo a lo largo del ultimo tercio del siglo XIX, expresandolos en terminos de

convergencia en distintos espacios funcionales. As, F. Riesz y E. Fischer, independien-

temente, y como consecuencia de sus trabajos sobre el espacioL2de funciones de cuadrado

integrable, consiguen probar que si fL2([, ]), la serie de Fourier de f converge a f

en la topologa del espacio L2, es decir

limn

Snf f2 := limn

|Snf(x) f(x)|2 dx

12

= 0.

(convergencia en media cuadratica, segun la notacion clasica). A partir de aqu, los resul-

tados se fueron encadenando, probandose la convergencia en Lp (p > 1), la convergencia

distribucional, etc.

A la largo de este rapido recorrido historico sobre la teora de series trigonometricas,

hemos puesto de manifiesto las conexiones e interrelaciones con muchos otros temas impor-

tantes del analisis, la topologa o la teora de conjuntos, as como su papel en la aparicion

y desarrollo de nuevas ideas y teoras que despues han crecido pujantemente por s mis-

mas. Este era nuestro objetivo, declarado al comienzo de la charla, que esperamos haber

cumplido.

21


23/23


BIBLIOGRAFIA SUCINTA

[1.] -U. Bottazzini.-The higher Calculus: A history of Real and Complex Analysis from

Euler to Weierstrasss. Springer, 1986.

[2.] -C. B. Boyer.-Historia de la Matematica. Alianza Universidad Textos,94. Alianza

Ed. Madrid, 1986

[3.] - C. H. Edwards.- The Historical Development of the Calculus. Springer, 1979.

[4.] - I. Grattan-Guinnes.- Del calculo a la teora de conjuntos, 1630-1910. Alianza

Universidad,387. Madrid, 1984.

[5.] - I. Grattan-Guinnes.- The Fontana history of the Mathematical Sciences. Fontana-

Press, London, 1997.

[6.] - T. Hawkins.- Lebesgues Theory of Integration: its origins and development.

Chelsea, 1979.

[7.] - M. Kline.- Mathematical Thought from ancient to modern times. Oxford, 1972.

22

historia series de fourier

Documents