hàm số và đồ thị- tr xuân bang - gv toán thpt chuyên quảng ... · pp. cho hàm số y...

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

1

Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ.

1. Hàm số dạng y = ( )( )

f xg x

. (1)

TXĐ: D = g g gx D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0

2. Hàm số dạng y = ( )f x . (2)

TXĐ: D = fx D f(x) 0 3. Hàm số có dạng y = lnf(x). TXĐ: D = fx D f(x) > 0 Do vậy ta chuyển các bài toán tìm tập xác định của hàm số vào chủ đề phương trình và hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. II. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ. 1. Tìm tập giá trị bằng định nghĩa. ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. y là một giá trị thuộc tập giá trị của f(x) khi và chỉ khi phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D. PP. Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm. Phương pháp này thường dùng cho các hàm số có tập xác định R.

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 11

xx

.

Giải: TXĐ. R \ 1 .

Phương trình y = 2 11

xx

2 1

1yx y xx

( 2) 1

1y x y

x

y 2

Vậy tập giá trị của hàm số là R \ 2 .

Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số y = 22 12 1

x xx

.

Giải: TXĐ. R \ 12

.

Phương trình y = 22 12 1

x xx

22yx + y = 2x - x - 11x2

22 (2 1) 1 012

x y x y

x

4y2 + 4y + 1 + 8y + 8 0 4y2 + 12y + 9 0: Bất phương trình này thoả với mọi y. Vậy tập giá trị của hàm số là R.

Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2

1x

x .

Giải: TXĐ. R \ 1 .



2

y = 2

1x

x

2yx - y = xx 1

2 01

x yx yx

y2 - 4y 0 y 0 hoặc y 4.

Vậy tập giá trị của hàm số là ( ;0) (4; ) Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm Giải: Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1) Do sinx + cosx 2 nên sinx + cosx - 2 < 0. Suy ra sinx + cosx - 2 0

(1) sinsin cos 2

xx x

= m (2)

Đặt y = sinsin cos 2

xx x

TXĐ: R Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số.

Khi đó phương trình y = sinsin cos 2

xx x

có nghiệm.

y = sinsin cos 2

xx x

(y - 1)sinx + ycosx - 2y = 0

Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi (y - 1)2 + y2 (- 2y)2 2y2 + 2y - 1 0

- 1 - 3 - 1 + 3 y 2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi - 1 - 3 - 1 + 3 m 2 2

BTII.1. 1) Tìm tập giá trị của hàm số

a) 2

2

11

xyx

b) 2

21

xyx

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm :

sinx - 2cosx + 1 = 1 - 2msinx + 2

HD. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x).

3) Chứng minh - 1 2

2

cos 2 cos 12 cos 1

x xx x

, với (0; )

HD. Tìm tập giá trị của hàm số 2

2

cos 2 cos2 cos 1

x xyx x



3

4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số 2

1xyx a

chứa đoạn [0; 1]

5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 34

2

12 ( )36

x x ayx

HD. Tìm tập giá trị của hàm số 34

2

12 ( )36

x x ayx

.

2. Tìm tập giá trị bằng phương pháp bất đẳng thức. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Nếu m f(x) M, x D thì tập xác định của f(x) là [m; M] Nếu m f(x), x D thì tập xác định của f(x) là [m; + ) Nếu f(x) M thì tập xác định của f(x) là ( - ; M] Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn. Ví dụ: f(x) > m, x D thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; + ) mà phải có thêm điều kiện

0

limx x

f(x) = m.


21

xx

.

Giải: Ta có 2

21 11

xx

, x R , y = 2

21

xx

liên tục trên R. Vậy tập giá trị của hàm số y =

2

21

xx

là [-1; 1].

Ví dụ 2. y = 2 21 1x x x x

Giải: Ta có: y = 2 2

21 1

xx x x x

= 2 2

21 3 1 3( ) ( )2 4 2 4

x

x x

2 2

21 1( ) ( )2 2

x

x x =

21 12 2

x

x x

21 12 2

x

x x =

22

xx

= 1

Dấu bằng không xảy ra vì hệ sau vô nghiệm:

01 10 ( )( ) 02) 2

0

x

x x x

x

Mặt khác ta có 2 2lim ( 2 1 2 1)x

x x x x

= 2 2

2lim1 1x

xx x x x

= - 1

2 2lim ( 2 1 2 1)x

x x x x

= 2 2

2lim1 1x

xx x x x

= 1

Hàm số đã cho liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1)



4

BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 22 3 2 3x x x x

2) y = 24 x 3) y = ( 2)(3 2 )x x

4) y = 3 6x x 3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy ngay tập giá trị của hàm số.


21

xx

.

Giải: TXĐ: R

Ta có y' = 2 2

2 2

2(1 ) 4(1 )

x xx

= 2

2 2

2(1 )(1 )

xx

Bảng biến thiên: Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1] Ví dụ 2. y = 2 21 1x x x x Giải: TXĐ: R

Ta có: y' = 2

2 12 1

xx x

-

2

2 12 1

xx x

* Nếu 12

x 12

thì y' 0

* Nếu x 12

thì y' 0 (x2 - x + 1)(2x + 1)2 (x2 + x + 1)(2x - 1)2

-2x2 + 2x + x2 - x + 1 2x2 + 2x - x2 - x - 1 x2 1 - 1 1x

hay 12

1x thì y' 0

* Nếu x < - 12

thì y' 0

(x2 - x + 1)(2x + 1)2 (x2 + x + 1)(2x - 1)2 -2x2 + 2x + x2 - x + 1 2x2 + 2x - x2 - x - 1 x2 1 x 1 hoặc x 1.

hay với x < - 12

thì y' 0

Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 22 3 2 3x x x x

x - - 1 1 + y' - 0 + 0 - y

0 1 -1 0

x - + y' + y

1 - 1



5

2) y = x + 24 x

3) y = x + 24 x 4) y = 4 4x x III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ. 1. Điểm cố định. ĐN. Điểm M(x0; y0) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, nếu M(x0; y0) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x0; y0) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), m . hay phương trình y0 = f(m, x0), thoả m . Vậy M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y0 = f(m, x0), thoả m . Từ đây suy ra x0, y0. Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1 Giải: M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình y0 = m( x0 - 1) + m - 1, thoả m . mx0 - 1 - y0 = 0 thoả m x0 = 0, y0 = 1. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Giải: 1) M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi chỉ khi phương trình : y0 = x 3

0 - 3(m + 1)x 20 + 2(m2 + 4m + 1)x0 - 4m(m +1 ) thoả m .

(2x0 - 4)m2 - (3 x 20 - 8 x0 + 4)m + x 3

0 - 3 x 20 + 2 x0 - y0 = 0 thoả m .

0

20 0

3 20 0 0 0

2 4 0

3 8 4 0

3 2 0

xx x

x x x y

x0 = 2, y0 = 0.

2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình: x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2 Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0 Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1.

Ta phải có:

2 21 2

2 12 1

1 1

mm

m mm

m

m > 12 m 1

Bài tập III.1.1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + (m2 - 3m)x - m2 + 2m - 1 (1) 1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m.



6

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây 1) y = x4 + mx2 - m - 5

2) y = 2

2x x n

x n

3) y = 22 (1 ) 1x m x m

x m

4) y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m( 2m - 1) 2. Điểm không có đồ thị nào đi qua. ĐN. Điểm M(x0; y0) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, đi qua nếu M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), không thoả m hay phương trình y0 = f(m, x0), vô nghiệm m. Từ đây suy ra x0, y0. Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m2 - 1 đi qua Giải: Gọi M(x0; y0) là điểm như thế y0 = m(x0 - 2) + m2 - 1, vô nghiệm m m2 + (x0 - 2)m - 1 - y0 = 0, vô nghiệm m (x0 - 2)2 - 4(1 + y0) < 0

y0 > 14

( 20 04x x )

Đó là phần trong của parabol y = 14

( 2 4x x )

(phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1) Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y =

2 2m x + 1x

đi qua.

Giải: Gọi M(x0; 1) là điểm như thế 1 = 2 2

0

0

m x + 1x

, vô nghiệm m

Phương trình 2 20 0

0

x m = x - 1x 0

(1)

Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x0 = 0 hoặc x0 < 1. Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1. Bài tập III.2.1. 1) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua:

2x + mx - 8y = x - m

.

2) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2(m - 2)x - (m - 2m + 4)y =

x - m.

3. Điểm chỉ có một số đồ thị đi qua.

f(x)=(x 2̂-4x)/4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)



7

ĐN. Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x0; y0) thuộc vào đúng k đồ thị của họ. PP. Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình y0 = f(m, x0) có đúng k nghiệm m. Ví dụ. Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị

của họ đồ thị hàm số 2 2(m + 1)x - my =

x - m đi qua.

Giải: Gọi A(x0; y0) , trong đó x0 > 0. Xét phương trình 2 2

00

0

(m + 1)x - my =

x - m (1)

(1)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2 2

2 2 4 2

2 2 4 2 3

yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + xy = 0(1)

x - m 0 x - m 0

Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = = y + 2(x - 2x)y + x + 4xδ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x

< 0, x > 0.Δ > 0, x > 0, y.

Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài tập III.3.1. 1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị

của họ đồ thị hàm số 2 2x - mx - my =

x + m đi qua.

2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhiêu đồ thị của họ đồ thị hàm số sau đi qua: y = x4 - 2mx2 + m2 + 1 đi qua.

3) Cho hàm số 2 2- x + mx - my =

x - m, (Cm)

a) Khảo sát hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (Cm) đi qua. IV. VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG. 1. Trục đối xứng. Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x0 khi và chỉ khi qua phép biến

đổi 0x = x + Xy = Y

hàm số đã cho trở thành Y = f(x0 + X) là một hàm số chẵn.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải: Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Khi đó qua phép biến đổi: 0x x Xy Y

hàm số đã cho trở thành:

Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - 1



8

= 4 3 2 2 3 40 04 6 4o ox x X x X x X X -

- 3 2 2 30 0 04 12 12 4x x X x X X -

- 2 20 02 4 2x x X X +

012 121

x X

Y là hàm số chẵn của X 0

3 20 0 0

4 4 0

4 12 4 12 0

xx x x

Suy ra: x0 = 1. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. *Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Theo trên, khi x0 = 1 thì Y = X4 - 8X2 + 6 Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình: y = 0 Y = 0 X4 - 8X2 + 6 = 0 X2 = 4 10

X = 4 10 , X = 4 10

Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10 , x = 1 4 10

Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1 4 10 , x = 1 4 10 ***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng. Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 = 0 Đặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3. Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Khi đó qua phép biến đổi: 0x x Xy Y

hàm số đã cho trở thành:

Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 4

0 04 6 4o ox x X x X x X X - 3 2 2 3

0 0 08 24 24 8x x X x X X 2 2

0 012 24 12x x X X

016 163

x X

Y là hàm số chẵn, suy ra: x0 = - 2 Y = X4 - 12X2 + 35 Y = 0 X2 = 5, X2 = 7 X = 5 , X = 7 Suy ra bốn nghiệm X = - 2 5 , X = - 2 7 Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.



9

ĐSố: x = 2 12

, x = 2 2 .

BT2. Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - 1 = 0

ĐSố: x = - 1 23

, x = - 1 32

.

BT3. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. BT4. Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax4 + 4x3 - 2ax2 + 1 2. Tâm đối xứng. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng là M0(x0, y0) khi và chỉ khi qua phép biến đổi

0

0

x = x + Xy = y + Y

hàm số đã cho trở thành Y = f(x0 + X) - y0 là một hàm số lẻ.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x3 - 2x2 + 12x - 1 có một tâm đối xứng. Giải:

Với M0(x0, y0) : Qua phép biến đổi 0

0

x = x + Xy = y + Y

hàm số đã cho trở thành

3 20 0 0Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + 1 - y0 =

= 4 3 2 2 30 012 12 4ox x X x X X -

2 20 02 4 2x x X X +

+ 1 - y0

Y là một hàm số lẻ 03 20 0 0

12x - 2 = 0

4x - 2x + 1 - y = 0

0

0

1x = 697y = 98

Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là 01 97M ;6 98

**Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta đều đi tìm tâm đối xứng. Đối với hàm số bậc ba, bạn có thể chỉ ra tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị, nhưng như thế không chứng minh được " có đúng một tâm đối xứng".

Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2x - 2xy = x - 1

.

Giải:



10

Giả sử M0(x0, y0) là tâm đối xứng. Qua phép biến đổi 0

0

x = x + Xy = y + Y


2 2 20 0 0 0 0

00 0

2 20 0 0 0 0 0 0

0

( ) 2( ) 2( 1) 2( ) 1 1

(2 2) 21

x X x X X x X x xy Yx X x X

X x y X x x x y yYx X

Y phải là một hàm số lẻ, trong khi mẫu thức chỉ có thể là một hàm số lẻ, do đó tử thức phải là

một hàm số chẵn. Suy ra: 0 0

0 0 0

1 0 12 2 0 0x x

x y y

Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M0(1, 0). **Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M0(1, 0), rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M0(1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép

biến đổi x = 1 + Xy = 0 + Y

hàm số đã cho trở thành 2 2(1 ) 2(1 ) 1X X XY

X X

là một hàm số lẻ

thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ?

Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2xy =

x + 1.

Giải:

Qua phép biến đổi x = -1 + Xy = 2 + Y


2 2 2( 1 ) 2 1 12( 1 ) 1

X X X XY YX X X

Y là một hàm số lẻ. Suy ra đpcm. Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị các hàm số sau đều có một tâm đối xứng:

1) y = 2 - 3x2x - 3

2) y = 22x + x - 1x - 1

3) y = 2x3 - 3x2 + 1 BT2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số:

1) y = 2 + 3x2x - 3

2) y = 22x - x - 1x + 2

3) y = x3 - x2 + x - 1 **Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua

i) M0(x0; y0) là 0

0

x + x' = 2xy + y' = 2y

Đặc biệt qua O(0; 0) là x + x' = 0y + y' = 0

ii) Đường thẳng y = m là x = x' y + y' = 2m

Đặc biệt qua trục hoành là x = x' y = - y'



11

3i) Đường thẳng x = m là x + x' = 2m y = y'

Đặc biệt qua trục tung là x = - x' y = y'

4i) Phân giác y = x là x' = y y' = x

, phân giác y = - x là x' = - y y' = - x

5i) Đường thẳng Ax + By + C = 0 : Xem Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Ví dụ1 : Tìm tất cả các cặp điểm M,N trên đồ thị hàm số 2 2

1x xy

x

đối xứng qua I (0; 5/2)

Giải: Gọi M(x1. y1), N(x2. y2). Ta có 21 1

11

21

x xyx

, 22 2

22

21

x xyx

, x1 + x2 = 0, y1 + y2 = 5

Suy ra: x1 = - x2 , y1 = 5 - y2 , 21 1

11

21

x xyx

, 5 -21 1

11

21

x xyx

Suy ra: 5 21 1

1

21

x xx

+21 1

1

21

x xx

Ví dụ2 : Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong 2 2

2x xy

x

qua đường

thẳng y = 2.

Giải: Gọi đồ thị hàm số 2 2

2x xy

x

là (C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = 2 là ( D)

M'(x'; y') ( D) M(x; y) đối xứng M'(x'; y') và M(x; y) (C)

2 21

'4 '

x xyx

x xy y

Suy ra 2 2 2' ' 2 ' ' 2 ' 3 ' 24 ' ' 4

' 1 ' 1 ' 1x x x x x xy y

x x x

hay 2 3 2

2x xy

x

là hàm số

có đồ thị ( D). Bài tập tương tự: BT1. Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số y = x3 - (m + 3)x2 + mx + m + 5 có cặp điểm đối xứng nhau qua O. Tìm cặp điểm đó khi m = 1. BT2. Cho hàm số y = x3 + 2x2 - 4x - 3. Chứng tỏ đồ thị cắt trục hoành tại A(-3; 0). Tìm B đối xứng A qua tâm đối xứng của đồ thị. BT2. Viết phương trình đường cong đối xứng đường cong y = x3 + 3x2 - 4 qua đường thẳng x = 1 V. VẤN ĐỀ TIẾP XÚC. 1. Tiếp tuyến của đồ thị . 1.1. Tiếp tuyến tại M0(x0; y0). Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0) (C) là: y = f '(x0)( x - x0) + f(x0)



12

1.2. Tiếp tuyến đi qua M0(x0; y0).

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Gọi d đường thẳng đi qua M0(x0; y0). Khi đó phương trình của d là y = k( x - x0) + y0. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

0 0( ) ( ) ( )'( )

f x k x x f xf x k

(nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm).

VD1. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

1xy

x

, (C) :

1) Tại M(3; 9/2). 2) Đi qua N(2; 0)

Giải: Ta có y ' = 2

2

2( 1)x xx

.

1) y'(3) = 3/2. Suy ra phương trình tiếp tuyến là 3 9( 3)2 4

y x hay 3 92 4

y x

2) Gọi d đường thẳng đi qua N(2; 0). Khi đó phương trình d là y = k(x - 2). d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2

2

( 2) (1)1

2 (2)( 1)

x k xxx x kx

Thay k ở (2) vào (1) ta có: 2 2

2 2

002 ( 2) 41 ( 1) ( 1) ( 2)3

xxx x x xx x xx x x

i) x = 0 suy ra k = 0. Ta có tiếp tuyến y = 0.

ii) x = 43

suy ra k = 89

. Ta có tiếp tuyến y = 89

(x - 2).

VD2. Tìm trên đường thẳng y = 4 những điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 2

1xy

x

và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Giải. Vì y' = 2

2

2( 1)x xx

nên x = 2 là một điểm cực trị và dô đó M(2; 4) là một điểm cực trị của

đồ thị hàm số. Suy ra đường thẳng y = 4 là một tiếp tuyến của đồ thị. Gọi A(a; 4) là điểm thuộc đường thẳng y = 4. đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng y = 4 góc 450 nghĩa là tạo với trục hoành góc 450 thì có hệ số góc bằng 1 hoặc -1. i) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1: y = x - a + 4

Xét hệ phương trình

2

2

2

4 1

2 1 ( 1)

x x axx xx

vô nghiệm.



13

Suy ra không có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 tạo với đường thẳng y = 4 góc 450. ii) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng - 1: y = - x + a + 4

Xét hệ phương trình

2

2

2

4 (1)1

2 1 (2)( 1)

x x axx xx

Từ (2) suy ra 2x2 - 4x + 1 = 0 x = 1 12

Từ (1) suy ra 2 2 22 5 4 (2 4 1) 341 1 1

x x x x x xa xx x x

Do đó:

i) Khi x = 1 + 12

. Suy ra a = 2 2 1 . Ta có A( 2 2 1 ; 4).

ii) Khi x = 1 - 12

. Suy ra a = 2 2 1 . Ta có A( 2 2 1 ; 4).

VD3. Cho y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 1) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành. 2) Chứng minh rằng trên parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị (1) dù m lấy bất kỳ giá trị nào Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi chỉ khi hệ sau có nghiệm

3 2

2

2 3( 3) 18 8 0 (1)( 3) 3 0 (2)

x m x mxx m x m

Từ (2) suy ra x = 3, x = m. Thay vào (1):

i) x = 3: 54 - 27(m +3) + 54m - 8 = 0 27m = 35 m = 3527

ii) x = m: 2m3 - 3(m + 3)m2 + 18m2 - 8 = 0 m3 - 9m2 + 8 = 0 m = 1, m = 8. 2. Hai đồ thị tiếp xúc. ĐN. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D). (C) và (D) được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm chung M0(x0; y0) nếu các tiếp tuyến của (C) và (D) tại M0(x0; y0) trùng nhau.

Đlý: Cần và đủ để (C) và (D) tiếp xúc là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )'( ) '( )

f x g xf x g x

(nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm)

VD1. Cho hàm số 2 1

1x xy

x

(C)

1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2) Tìm tất cả các giá trị a để (C) tiếp xúc parabol y = x2 + a. Giải: 1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a



14

d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2

2

1 (1)1

2 (2)( 1)

x x kx ax

x x kx

Thay k ở (2) vào (1): 2 2

2 2 22

1 2 ( 1)( 1) ( 2 ) ( 1)1 ( 1)

x x x x x a x x x x x x a xx x

ax2 - 2(a + 1)x + a - 1 = 0. i) a = 0: Phương trình có nghiệm

ii) a 0: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 3a + 1 0 a - 13

.

2) (C) tiếp xúc parabol khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

22

2

2

1 (1)1

2 2 (2)( 1)

x x x ax

x x xx

Từ (2) suy ra x = 0 hoặc 2

2 2 ( 1)

xx

x = 0 hoặc 2x2 - 5x + 4 = 0 x = 0.

Thay vào (1) ta có a = - 1. VD2. Cho hàm số y = (x -1)2(x + 1)2, (C) 1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2) Tìm tất cả các giá trị b để (C) tiếp xúc parabol y = 2x2 + b. Giải: 1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a

d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 4 2

3

2 1 (1)4 4 (2)x x kx a

x x k

Thay a ở (2) vàp (1): 3x4 - 2x2 = 1 - a (3) Đặt f(x) = 3x4 - 2x2 , Suy ra f '(x) = 12x3 - 4x

Hàm số đạt cực tiwr tại x = 13

. Suy ra minf(x) = - 13

Hệ phương rình có nghiệm khi chỉ khi phương trình (3) có nghiệm 1 - a - 13

a 43

.

2) (C) tiếp xúc parabol y = 2x2 + b hệ phương trình sau có nghiệm

4 2 2

3

2 1 2 + b (1)4 4 4 (2)x x x

x x x

Từ (2) suy ra x = 0 , x = 2 i) x = 0: b = 1 ii) x = 2 : b = - 3 Bài tập tương tự: BT1. Cho hàm số y = x4 + mx2 - (m + 1) có đồ thị (Cm) 1) Tìm điểm cố định của đồ thị.



15

2) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm). Tìm m để tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với đường thẳng y = 2x.

BT2. Cho hàm số y = 13

x3 - mx2 + (2m - 1)x - m + 2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi m = 2. 2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đó. 3) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) nghịch biến trên (- 2; 0)

BT3. Cho các hàm số y = mx2 - mx - 2 và 21

mxyx

1) Chứng minh rằng hai đồ thị của hai hàm số trên có cùng một điểm cố định. 2) Tìm m để điểm cố định trên trở thành tiếp điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại

tiếp điểm. BT4. Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 18mx - 8 (1) 1) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành. 2) Chứng minh rằng trên parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số (1) dù m lấy bất kỳ giá trị nào. HD. 1) Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

3 2

2

2 3( 3) 18 8 0 (1)( 3) 3 0 (2)

x m x mxx m x m

Để ý rằng (2) có 2 nghiệm x = 3, x = m. 2) Gọi điểm như thế là M0(x0; y0) hệ phương trình sau vô nghiệm m:

3 2

0 0 0 02

0 0

2 3( 3) 18 8 (1)

(2)

y x m x mxy x

Suy ra phương trình 2 3 20 0 0 0 2 3( 3) 18 8x x m x mx vô nghiệm m

3 20 0 02 (3 10) 18 8 0x m x mx vô nghiệm m

2 3 20 0 0 0(18 3 ) 2 10 8 0x x m x x vô nghiệm m

BT5. Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 có đồ thị (Cm) 1) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. 2) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại A và B vuông góc với nhau. BT6. Tìm m để hai đường cong y = x3 - 1 và y = - mx2 tiếp xúc với nhau. Từ đó suy ra m > 0 để phương trình x3 + mx2 - 1 = 0 có nghiệm duy nhất. BT7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường cong sau: 1) y = x2 - 2x + 3 và y = x2 - 4x + 5 2) y = x2 - 5x + 6 và y = - x2 - x - 14 ***Chú ý: Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của parabol y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi phương trình ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép, tức là = (b - p)2 - 4a(c - q) = 0 VD. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và tiếp xúc parabol y = 2x2 + x + 1. Giải: Đường thẳng d đi qua A: y = k(x - 1) + 2 d là tiếp tuyến của parabol khi chỉ khi phương trình 2x2 + x + 1 = k(x - 1) + 2 có nghiệm kép. 2x2 + (1 - k)x + k - 1 = 0 có nghiệm kép (1 - k)2 - 2(k - 1) = 0 k = 1, k = 3. Hai tiếp tuyến : y = x + 1, y = 3x - 1.



16

3. Họ đường thẳng tiếp xúc một đường cong cố định.

Bài toán. Chứng minh rằng họ đường thẳng (dm) luôn luôn tiếp xúc một đường cong cố định.

Phương pháp. Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ đường thẳng (dm) không đi qua với mọi m. Biên của tập hợp cần tìm là đường cong cố định cần tìm.

VD1. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y = 2 2( 1)m x m

x m

luôn luôn tiếp xúc một parabol

cố định. Giải: Họ tiệm cận xiên (dm) : y = (m + 1)x + m2 + m M(x: y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng của (dm) đi qua khi và chỉ khi phương trình y = (m + 1)x + m2 + m vô nghiệm m m2 + (x + 1)m + x - y = 0 vô nghiệm m

= (x + 1)2 - 4(x - y) < 0 y < - 14

(x - 1)2.

Ta chứng minh (dm) tiếp xúc với parabol y = - 14

(x - 1)2.

Thật vậy, xét phương trình: (m + 1)x + m2 + m = - 14

(x - 1)2

4(m + 1)x + 4m2 + 4 m = - (x - 1)2 x2 + 2(2m + 1)x 4m2 + 4 m + 1 = 0 Phương trình này có nghiệm kép với mọi m. Suy ra điều phải chứng minh. VD2. Chứng minh rằng họ đường thẳng phụ thuộc thâm số : ( 1) cos ( 1)sin 4 0x y (d) luôn luôn tiếp xúc một đường tròn cố định. Giải: M(x; y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng nào của họ đi qua phương trình ( 1) cos ( 1)sin 4 0x y vô nghiệm . (x - 1)2 + (y - 1)2 < 16 Xét đường tròn: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 có tâm I(1; 1), R = 4.

Ta có d(I, d) = 2 2

44

cos sin

= R. Suy ra họ đường thẳng d tiếp xúc đường tròn cố định:

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 Bài tập tương tự: BT1. Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m2 = 0 luôn luôn tiếp xúc một parabol cố định.

BT2. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y = 2mx x mx m

luôn luôn tiếp xúc một parabol cố

định. BT3. Chứng minh họ đường thẳng cos sin cos sin 2 0x y luôn luôn tiếp xúc một đường tròn cố định. VI. VẤN ĐỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ. ĐLý. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D).

Xét hệ phương trình ( )( )

y f xy g x

(hệ cho biết toạ độ điểm chung (nếu có) của (C) và (D) (nếu có))



17

Từ hệ phương trình suy ra phương trình: f(x) = g(x) ( phương trình cho biết hoành độ điểm chung (nếu có) của (C) và (D)).

(C) và (D) có bao nhiêu điểm chung khi và chỉ khi hệ ( )( )

y f xy g x

hay phương trình f(x) = g(x)

có bấy nhiêu nghiệm. Từ đây có hai bài toán:

i) Biện luận số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) dựa vào hệ phương trình ( )( )

y f xy g x

hay phương trình f(x) = g(x).

ii) Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay hệ phương trình ( )( )

y f xy g x

dựa

vào số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) . VD1. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx +1, (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.

2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) luôn luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.

3) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc với nhau. Giải. 2) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 + 7 x2 + mx - 6 = 0 (*) Thấy ngay phương trình này luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra đpcm. Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các điểm chung. Khi đó x1, x2 là nghiệm của (*) x1 + x2 = - m, x1x2 = - 6 và: 3 2

1 1 12 7y x x , 3 22 2 22 7y x x

Gọi I(x; y) là trung điểm của AB thì : x = 1 21 ( )2 2

mx x m = - 2x, x1 + x2 = 2x

3 3 2 21 21 2 1 2

12 2

y yy x x x x + 7 = 3 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 3 ( ) 2 72

x x x x x x x x x x

= 231 8 3( 6)(2 ) 2 2( 6) 72

x x x = 4x3 + 4x2 + 18x + 19.

Suy ra quỷ tích y = 4x3 + 4x2 + 18x + 19. 3) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = 1 x3 + 3x2 + mx = 0

2

0 (1)3 0 (2)

xx x m

Với (1), ta có C(0; 1) (2) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi 9 - 4m > 0 m < 4/9 Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các điểm chung khác C. Khi đó x1, x2 là nghiệm của (2) x1 + x2 = - 3 x1x2 = - m và: 2

1 1 1' 3 6y x x m , 22 2 2' 3 6y x x m

Theo giả thiết : ' ' 2 21 2 1 1 2 21 3 6 3 6y y x x m x x m . Khai triển dạng tổng và tích của x1,

x2. Áp dụng Viet. Ta có các giá trị cần tìm của m. VD2. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.



18

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + 1 - m = 0 Giải: 1) Bạn hãy tự giải. 2) pt x3 - 3x2 + 2 - 1 - m = 0 x3 - 3x2 + 2 = 1 + m Đặt y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C) y = 1 + m là họ đường thẳng vuông góc trục tung và cắt trục tung tại 1+m. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) 1 + m < - 2 hoặc 1 + m > 2 m < - 3 hoặc m > 1: 1 nghiệm.

ii) 1 + m = - 2 hoặc 1 + m = 2 m = - 3 hoặc m = 1: 2 nghiệm. 3i) - 2 < 1 + m < 2 - 3 < m < 1: 3 nghiệm.

VD3. Cho hàm số 2

1xy

x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: 2

1x x a

x

Giải: 1) Bạn hãy tự giải.

2) Đặt 2

1xy

x

có đồ thị (C)

y = - x + a là họ đường thẳng có hệ số góc bằng - 1 không đổi, cắt trục trung tại a. Chú ý hai vị trí tiếp tuyến: Đường thẳng y = - x + a là tiếp tuyến khi chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:

2

2

2

12 1

( 1)

x x axx xx

3 2 2 3 2 2

Suy ra: 2x2 - 4x + 1 = 0

112

x

Suy ra 2 2 22 (2 4 1) 3 11 1 1

x x x x x xa xx x x

112

x a = 2 2 3

112

x a = 3 2 2

Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) a < 3 2 2 hoặc a > 3 2 2 : Hai nghiệm phân biệt. ii) 3 2 2 < a < 3 2 2 : Vô nghiệm.

f(x)=x^3-3x^2+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

y =1+m 1+m

f(x)=(x^2)/(x-1)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

3 2 2

2 2 3



19

3i) a = 3 2 2 : 112

x ; a = 2 2 3 : 112

x .

VD4. Cho hàm số y = 313

x , (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương trình x3 - 3mx - 3m = 0 Giải: 1) Bạn hãy tự giải.

2) Phương trình 313

x = mx + m

Đặt y = 313

x có đồ thị (C).

y = mx + m là họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định và có hệ số góc m. Để ý rằng khi đường thẳng y = mx + m là tiếp tuyến thì hệ số góc m = 9/4. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) m < 9/4 : 1 nghiệm ii) m = 9/4 : x = - 3/2 3i) m > 9/4: 3 nghiệm phân biệt Bài tập tương tự:

BT1. Cho hàm số 2 4 3

2x xy

x

1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tất cả các giá tri k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. 3) Tìm quỷ tích trung điểm I của đoạn AB.

BT2. Cho hàm số 3 41

xyx

1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tất cả các giá tri a để đường thẳng y = ax + 3 không có điểm chung nào với (C). 3) Từ một điểm A thuộc trục tung có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).

BT3. Cho hàm số 2

( 0)x x ay ax a

(1)

1) Xác định a để tiệm cận xiên đi qua (2; 0). Khi đó hãy khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tất cả các giá tri a để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x - 1 tại hai điểm phân biệt. Gọi y1, y2 là tung độ các giao điểm , tìm hệ thức liên hệ y1, y2 không phụ thuộc a. BT4. Cho hàm số y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 1) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi. 2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. HD. 2) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến cố định khi chỉ khi : Phương trình x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 = ax + b có nghiệm kép với mọi m. Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2 - 1 - b = 0 có nghiệm kép với mọi m.

f(x)=x^3/3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

m=9/4



20

= (2m - a + 1)2 - 4(m2 - 1 - b) = 0 , mọi m. 4(1 - a)m + (1 - a)2 + 4(1 + b) = 0 , mọi m. a = 1, b = - 1. BT5. Cho hàm số y = x4 + 2x2 - 3. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: cos4t + 2cos2t + a - 1 = 0 3) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm t > 0 của phương trình: e4t + 2e2t + 2a - 3 = 0 BT6. Cho hàm số y = 2x x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x x = mx


1x xy

x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thi (D) của hàm số 2 2

1x x

yx

3) Dựa vào (C), biện luận theo a số nghiệm phương trình 2 2

1x x

x

= ax - a + 1.

VII. VẤN ĐỀ QUỶ TÍCH ĐẠI SỐ.

Bài toán: Tìm quỷ tich những điểm M(x; y) : ( )( )

x my m

, m tham số.

Phương pháp giải: Khử m trong hệ trên để được liên hệ y = f(x). Chú ý:

1) Quỷ tich những điểm M(x; y) : 0

( )x xy m

, m tham số, là đường thẳng x = x0.

2) Quỷ tich những điểm M(x; y) : 0

( )x my y

, m tham số, là đường thẳng y = y0.

3) Nếu tham số m có điều kiện thì phải suy ra điều kiện của x hoặc y để hạn chế quỷ tích. VD1. Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = x2 - (m - 1)x - m2 - 4

Giải: Đỉnh parabol I(x; y): 2 2

1 ( 1)2

( 1) 4

x m

y x m x m

Suy ra: y = x2 - (2x+1 - 1)x - (2x + 1)2 - 4 = - 5x2 - 4x - 4. Quỷ tích là y = - 5x2 - 4x - 4.

VD2. Cho hàm số 22 ( 2)

1x m xy

x

1) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu. 2) Tìm quỷ tích các điểm cực đại và các điểm cực tiểu. Giải:



21

1) 2

2

2 4 2y'=( 1)

x x mx

. Hàm số có cực trị 22 4 2 01 0

x x mx

có hai nghiệm phân

biệt = 2m > 0 m > 0. 2) Với m > 0. Các điểm cực trị x1, x2 là nghiệm phương trình: 2x2 - 4x + 2 - m = 0 (1) i) Quỷ tích cực đại. Gọi M(x; y) là điểm cực đại của đồ thị. Ta có:

2 2

2

212

( 2 ) (2 2 )2 2 2 2 2 2 2 2(2 2 ) 22 2

mx

m xy m m m x x

Ta có y = 2x2 và x < 1. ii) Quỷ tích cực tiểu. Gọi N(x; y) là điểm cực đại của đồ thị. Ta có:

2 2

2

212

( 2 ) (2 2)2 2 2 2 2 2 2 2(2 2) 22 2

mx

m xy m m m x x

Ta có y = 2x2 và x > 1. Bài tập tương tự: BT1. Tìm quỷ tích đỉnh các parabol y = 2x2 - 2(m + 1)x + (m - 1)2.


2 1x mxy

x

.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số.


2x x my

x

. Chứng minh rằng, với mọi m làm cho hàm số có cực trị thì

các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định.


my xx

.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số.


2x mx my

x

, (1)

1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

2) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m. VIII. VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số: 1) y = - f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị (C). 2) y = f(- x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung đồ thị (C).



22

3) y = ( )f x bằng cách: Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trên trục hoành (cả những điểm thuộc trục hoành) Lấy đối xứng qua trục hoành phần của (C) nằm phía dưới trục hoành. 4) y = f( x ) bằng cách: Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía bên phải trục tung (cả những điểm thuộc trục tung) Lấy đối xứng qua trục tung phần của (C) vừa giữ nguyên đó. 5) y = f(x) Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trên trục hoành (cả những điểm thuộc trục hoành) Lấy đối xứng qua trục hoành phần của (C) vừa giữ nguyên đó.

VD. Từ đồ thị (C) của hàm số 2

1xy

x

, hãy suy ra đồ thị các hàm số dưới đây:

1) 2

1xy

x

, 2)

2

1xy

x

, 3)

2

1xy

x

, 4)

2

1xy

x

, 5)

2

1xy

x

Giải: Đặt 2

( )1

xf xx

. Khi đó:

1) 2

1xy

x

= - f(x) 3)

2

1xy

x

= ( )f x

2) 2

1xy

x

= f(- x) 4)

2

1xy

x

= f( x )

5) y = f(x) Ta có các đồ thị. IX. CÁC CÂU HỎI KHÁC. 1. Về cặp điểm thuộc hai nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất.

VD1. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 2 11

xyx

cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.

Giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x1; y1), N(x2; y2). Gọi I(1; 2) là giao điểm hai tiệm cận.

Qua phép chuyển hệ trục theo OI

: 12

x Xy Y

hàm số đã cho trở thành 1 22 XY

X

1 2 12XY

X X

1YX

.

Trong hệ trục mới IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2), trong đó 1 21 2

1 1,Y YX X

. Ta có thể xem

X1 < 0 và X2 > 0. Khi đó:

22 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2

1 2 1 221 2 1 2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1( )

1 14 1 4 4 2( )

MN X X Y Y X X X XX X X X

X X X XX X X X



23

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 21 2 1 2

2 41 2 21 2

1 2

111

X X X X X XX X XX XX X

Suy ra X2 =1, X1 = - 1, Y2 = 1, Y1 = - 1. Do đó x2 = 2, x1 = 0, y2 = 3, y1 = 1. Như thế M( 0; 1), N(2; 3)

VD2. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 11

y xx


Giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x1; y1), N(x2; y2). Gọi I(1; 1) là giao điểm hai tiệm cận.

Qua phép chuyển hệ trục theo OI

: 11

x Xy Y

hàm số đã cho trở thành 11 1Y X

X

1Y XX

.

Trong hệ trục mới IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2), trong đó 1 1 2 21 2

1 1,Y X Y XX X

. Ta

có thể xem X1 < 0 và X2 > 0. Khi đó:

2 22 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 1MN X X Y Y X X X X X XX X X X

2 2

21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1( ) 2 4 2X X X XX X X X X X X X

1 21 2

14 2 2X XX X

4 2 2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2 1 2 1 2

2 41 2 1 2 2

1 2

1 1 122 2

X X X X X X

X X X X XX X

1 2

2 4

12

X X

X

4 42 1 2 24 4 4 4

1 1 1 1, , 2, 22 2 2 2

X X Y Y

4 42 1 2 14 4 4 4

1 1 1 11 , 1 , 1 2, 1 22 2 2 2

x x y y

4 44 4 4 4

1 1 1 11 ;1 2 , 1 ;1 22 2 2 2

M N

Bài tập tương tự:

BT1. Tìm trên hai nhánh đồ thị 1 22 4

xyx


BT2. Tìm trên hai nhánh đồ thị 2 2

1x xy

x




24

2. Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị.

2.1. Cho hàm số 2ax + bx + cy = mx + n

(am 0, tử không chia hết mẫu) có cực trị

Khi đó đường thẳng 1y = (2ax + b)m

đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của

hàm số đã cho. Thật vậy: Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x0. Hiển nhiên là y'(x0) = 0.

2

2

20 0 0 0

0 20

20 0 0 0

(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c)y' = (mx + n)

(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) 0 '( )(mx + n)

(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) = 0

y x

20 0

00

0 0

ax + bx + c 1 (2ax + b)mx + n m

1 y(x ) (2ax + b)m

Đẳng thức cuối cho ta suy ra đpcm.

2.2. Cho hàm đa thức y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0) có cực trị. Nếu bằng phép chia đa thức: ax3 + bx2 + cx + d cho đạo hàm của nó là 3ax2 + 2bx + c được dư mx + n thì đường thẳng y = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số đã cho. Thật vậy, giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x0. Hiển nhiên là y'(x0) = 0. Khi đó từ : ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)Q(x) + mx + n suy ra:

3 20 0 0 0 0 0 0 0y(x ) = ax + bx + cx + d = y'(x )Q(x ) + mx + n = mx + n

2.3 Tổng quát: Cho hàm đa thức y = P(x) có cực trị.

Nếu bằng phép chia đa thức P(x) = P'(x).Q(x) + r(x) thì đồ thị hàm số y = r(x) đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = P(x) đã cho.

VD1. Cho hàm số 2x - 2x + m + 2y =

x + m - 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 1. 2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(6; 4). 3) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Giải: 3) 2 2

2 2

(2x-2)(x+m-1)- (x -2x+m+2) 2( 1) 3'(x + m-1) (x + m-1)

x m x my



25

2 2( 1) 3 0 (1)

' 0x + m - 1 0 (2)x m x m

y

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả (2)

2

22

' ( 1) 3 0 1 0

(1- m) +2(m-1)(1-m) - 3m 0 m m

m m

: Thoả mọi m.

Giả sử M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

0 = 2

2

(2x -2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2)'(x + m - 1)

y

2

2

(2x - 2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) = 0x - 2x + m + 2 2x - 2 y = 2x - 2

x + m - 1

Suy ra, đường thẳng y = 2x -2 là đường thẳng đi qua các điểm cực trị. VD2. Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). (ĐH&CĐ - A2002) Giải: 3) Cách 1. y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = -3(x - m)2 + 3 y' = 0 x = m - 1, x = m + 1. Hai điểm cực trị là M(m - 1; - m2 + 3m - 2), N(m + 1; - m2 + 3m +2) Đường thẳng MN có phương trình y = 2x - m2 + m Cách 2. Giả sử M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. suy ra 0 = y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) Ta có y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 = (x/3 - m/3)(- 3x2 + 6mx + 3 - 3m2) + 2x - m2 + m = 2x - m2 + m Suy ra, đường thẳng y = 2x - m2 + m là đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Bài tập tương tự: BT1. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx + 5. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

BT2. Cho hàm số 2x - x + m + 1y =

x - m (1)

1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số (1). 3) Tìm qỷ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). BT3. Trong các bài tập mục VII từ BT2 đến BT5 hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3. Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó.

VD1. Cho hàm số 2x - mx + my =

x - m , (m 0) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = - 1.



26

2) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời các cực trị trái dấu nhau.

HD. 2) y' = 2 2

2

x - 2mx + m - m(x - m)

Hàm số có cực trị khi chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt m > 0. Gọi x1, x2 là các điểm cực trị. Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 - 2mx + m2 + m = 0. Các cực trị tương ứng y1 = 2x1 - m, y2 = 2x2 - m. Ta phải có y1 y2 = (2x1 - m)(2x2 - m) < 0

VD2. Cho hàm số 2 2 2x - m x + 2m 5m + 3y =

x , (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0). 2) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2m). VD3. Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m + m4. 1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

2) Viết phương trình parabol các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. 3) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số là đỉnh của một tam giác đều. HD. 1) y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m). Thấy ngay hàm số có cực đại và cực tiểu khi chỉ khi m > 0.

2) x4 - 2mx2 + 2m + m4 = (4x3 - 4mx)4x - mx2 + 2m + m4

Suy ra parabol đi qua các điểm cực trị là y = - mx2 + 2m + m4. 3) Ba điểm cực trị của hàm số là - m , 0, m . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị: B(- m ; m4 - m2 + 2m), A(0; m4 + 2m) , C( m ; m4 - m2 + 2m). Do tính chất đối xứng của đồ thị nên thấy ngay tam giác ABC cân đỉnh A. Cần và đủ để tam giác ABC đều là ABC = 600 hệ số góc của (AB) bằng 3

3B A

B A

y yx x

2

3mm

3 3m

VD4. Cho hàm số y = 2x3 + ax2 -12x - 13.

f(x)=x^4-4x^2+5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

C B

A



27

1) Tìm tất cả các giá trị a để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều trục tung. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi a =3. Giải: 1) y' = 6x2 + 2ax - 12. (1) Thấy ngay phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt với mọi a. Suy ra hàm số luôn luôn có hai cực trị. Gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số. Khi đó x1, x2 là nghiệm của (1). Các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều trục tung x1 + x2 = 0 a = 0. Bạn tự viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

VD5. Cho hàm số 2x + mx - m + 8y =

x- 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 1. 2) Viết phương trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp xúc đường thẳng 2x - y - 10 = 0. 3) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định m để cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ở về hai phía của đường thẳng 9x - 7y - 1 = 0. Giải: 2) Hai điểm cực trị của (C) là M(4; 7) và N(-2; - 5) Giả sử parabol là y = ax2 + bx + c (a 0), (P)

M(4; 7) và N(-2; - 5) thuộc (P) 16 4 74 2 5

a b ca b c

4 4 5 (1)2 2 (2)

a b ca b

Đường thẳng 2x - y - 10 = 0 tiếp xúc parabol hệ sau có nghiệm 2 2 10 (3)

2 2 (4)ax bx c x

ax b

Từ (2) và (4) suy ra x = 1 thay vào (3) ta có a + b + c = - 8 Từ đó suy ra a = 1, b = 0, c = - 9. Cách 2. Hai điểm cực trị của (C) là M(4; 7) và N(-2; - 5) Giả sử parabol là y = ax2 + bx + c (a 0), (P)

M(4; 7) và N(-2; - 5) thuộc (P) 16 4 74 2 5

a b ca b c

4 4 5 (1)2 2 (2)

a b ca b

Đường thẳng 2x - y - 10 = 0 tiếp xúc parabol pt sau có nghiệm kép: 2 2 10 (3)ax bx c x (b - 2)2 - 4a(c + 10) = 0 Cách 3. Hai điểm cực trị của (C) là M(4; 7) và N(-2; - 5) Parabol đi qua M, N có pt dạng : y = a(x - 4)(x + 2) + bx + c (a 0), (P)

3) 2x + mx - m + 8y =

x- 1

2 2

2 2

(2x + m)(x - 1) - (x + mx - m + 8) x 2 8y' = (x - 1) (x - 1)

x

y' = 0 x2 - 2x - 8 = 0 Gọi x1, x2 là các điểm cực trị. Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 - 2x - 8 = 0 Các cực trị tương ứng y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2 + m. Ta phải có (9x1 - 7y1 - 1)(9x2 - 7y2 - 1) < 0 (- 5x1 - 7m - 1)(- 5x2 - 7m - 1) < 0 25x1x2 + 5(7m + 1)(x1 + x2 ) + (7m + 1)2 < 0 25(- 8) + 10(7m + 1) + (7m + 1)2 < 0 49m2 + 84m - 189 < 0 7m2 + 12m - 27 < 0 - 3 < m < 9/7

VD6. Cho hàm số 2mx + 2mx + m + 1y =

x - 1 , (C)

1) Tìm m để (C) có cả tiệm cận đứng lẫn tiệm cận xiên.



28

2) Tìm m để (C) có cực đại và cực tiểu nằm ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy. 3) Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt. Tìm hệ số góc của các tiếp tuyến tại các điểm đó.

Giải: 1) Ta có y = mx + 3m + 4 11

mx

Để có tiệm cận đứng thì 4m + 1 0. Để có tiệm cận xiên thì 4m + 1 0 và m 0. Suy ra m - 1/4 và m 0.

2) y' = 2

2

2 3 1( 1)

mx mx mx

2 2 3 1 0 (1)

' 0x - 1 0 (2)mx mx m

y

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả (2)

2

01' 4 3 0 04

4 1 0

mm m m m

m

Gọi x1, x2 là các điểm cực trị. Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình: mx2 - 2mx - 3m - 1 = 0 Các cực trị tương ứng y1 = 2mx1 + 2m, y2 = 2mx2 + 2m. Để ý rằng hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng x = 1. Điểm cực tiểu M của đồ thị nằm phía trên điểm cực đại N của đồ thị. i) Với m < - 1/4 : N nằm bên phải đường thẳng x = 1 nên không thể thuộc góc phần tư thứ ba. Nhưng khi M thuộc vào góc phần tư thứ ba thì N không thể thuộc góc phần tư thứ nhất. Vậy m < - 1/4 không thoả. ii) m > 0: M nằm bên phải đường thẳng x = 1 thể thuộc góc phần tư thứ ba. Suy ra M thuộc góc phần thư thứ nhất, N thuộc góc phần tư thứ ba. (Để ý rằng khi đó với x1 < 1 < x2 thì M(x2; y2), N(x1; y1))

2

1

1

0 (3)0 (4)0 (5)

yxy

với 2

141 m mx

m

(3) là hiển nhiên khio m > 0 (4) là hiển nhiên vì (1) có hai nghiệm trái dấu khi m > 0

(5) 2

21

42 1 2 4 2 4m my m m m m mm

< 0 hiển nhiên khi m > 0

Tóm lại: m > 0 thoả điều kiện bài toán.

VD7. Cho hàm số 2 2mx + (2 - m )x - 2m - 1y =

x - m , (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số

2- x - x + 1y =

- x + 1



29

2) Tìm m để (1) có cực trị. Chứng minh rằng với m vừa tìm được, trên đồ thị hàm số (1) luôn luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc nhau.

HD. 2) Hàm số y = mx + 2 - 1x m

, y' = m + 2

1( )x m

m < 0 thì hàm số có cực trị. Trên đồ thị hàm số (1) luôn luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc nhau khi và chỉ hai phương trình sau đồng thời có nghiệm:

2

2

1 (1)( )

1 1 (2)( )

m kx m

mx m k

(1) 2

1 = k - m(x - m)

. Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi k > m

(2) 2

1 1 = - - m(x - m) k

. Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi:

1 1 + km 1 - - m > 0 < 0 k < 0 k > - k k m

Để ý rằng với m < 0, hệ k > m

1k < 0 k > - m

luôn luôn có nghiệm k.

Vậy, hai phương trình (1) và (2) đồng thời có nghiệm.

hàm số và đồ thị- tr xuân bang - gv toán thpt chuyên quảng ... · pp. cho hàm số y...

Documents