hÌnh trỤ - giải bài tập, tài liệu, đề thi

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

HÌNH TRỤ I – LY THUYÊT

1/ Măt tru tron xoay

Trong ( )mp P cho hai đương thăng va

l song song nhau, cach nhau môt khoang

r . Khi quay ( )mp P quanh truc cô đinh

thi đương thăng l sinh ra môt măt

tron xoay đươc goi la măt tru tron xoay

hay goi tăt la măt tru.

Đương thăng đươc goi la truc.

Đương thăng l đươc goi la đương

sinh.

Khoang cach r đươc goi la ban kinh

cua măt tru.

2/ Hinh tru tron xoay

Khi quay hinh chư nhât ABCD xung quanh đương thăng chưa môt canh, chăng han canh AB

thi đương gâp khuc ABCD tao thanh môt hinh, hinh đo đươc goi la hinh tru tron xoay hay

goi tăt la hinh tru.

Đương thăng AB đươc goi la truc.

Đoan thăngCD đươc goi la đô dai đương sinh.

Đô dai đoan thăng AB CD h= = đươc goi la chiêu cao cua hinh tru.

Hinh tron tâm A , ban kinh r AD= va hinh tron tâm B , ban kinh r BC= đươc goi la 2

đay cua hinh tru.

Khôi tru tron xoay, goi tăt la khôi tru, la phân không gian giơi han bơi hinh tru tron xoay

kê ca hinh tru.

3/ Công thưc tinh diên tich va thê tich cua hinh tru

Cho hinh tru co chiêu cao la h va ban kinh đay băng r , khi đo:

Diên tich xung quanh cua hinh tru: 2xqS rh=

Diên tich toan phân cua hinh tru: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh r = + = +

Thê tich khôi tru: 2.V B h r h= =

4/ Tinh chât:

Nêu căt măt tru tron xoay (co ban kinh la r ) bơi môt ( )mp vuông goc vơi truc thi ta

đươc đương tron co tâm trên va co ban kinh băng r vơi r cung chinh la ban kinh cua

măt tru đo.

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



Nêu căt măt tru tron xoay (co ban kinh la r ) bơi môt ( )mp không vuông goc vơi truc

nhưng căt tât ca cac đương sinh, ta đươc giao tuyên la môt đương elip co tru nho băng 2r

va truc lơn băng 2

sin

r

, trong đo la goc giưa truc va ( )mp vơi 0 00 90 .

Cho ( )mp song song vơi truc cua măt tru tron xoay va cach môt khoang d .

+ Nêu d r thi ( )mp căt măt tru theo hai đương sinh thiêt diên la hinh chư nhât.

+ Nêu d r= thi ( )mp tiêp xuc vơi măt tru theo môt đương sinh.

+ Nêu d r thi ( )mp không căt măt tru.

II – DANG TOAN

DANG 1: Cho các dữ kiên như ,r h đê tinh ,S V hoăc ngược lại.

Phương pháp giải: Xác định các yếu tố đề bài đã cho của hình trụ, khối trụ kết hợp với

các công thức đã biết từ đó tìm các yếu tố chưa biết và giải quyết bài toán.

Cho hinh tru co chiêu cao la h va ban kinh đay băng r ( đương cao băng đương sinh: h l= )

khi đo:

Diên tich xung quanh cua hinh tru: 2xqS rh=

Diên tich toan phân cua hinh tru: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh r = + = +

Thê tich khôi tru: 2.V B h r h= =

I. Vi du điên hinh:

Vi du 1: Môt hinh tru co ban kinh đay ( )5 cmr = , chiêu cao ( )7 cmh = . Diên tich

xung quanh cua hinh tru nay la:

A. ( )235 cm . B. ( )270 cm . C. ( )270cm

3 . D.

( )235cm

3

Lơi giải:

Chon B

Ta có: ( )22 2 .5.7 70 cmxqS rh = = = .

Vi du 2: Cho hình vuông ABCD canh ( )8 cm . Goi ,M N lân lươt la trung điêm cua

AB và CD . Quay hình vuông ABCD xung quanh MN . Diên tich xung quanh cua hinh tru

tao thanh la:

A. ( )264 cm . B. ( )232 cm . C. ( )296 cm . D.

( )2126 cm

Lơi giải:

Chon A




Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta đươc hinh tru như hinh vẽ.

Khi đo ( )24; 8 . 2 64 cm2

xq d

ABr h AD S C h rh = = = = = = =

Vi du 3: Cho hinh chư nhât ABCD có AB a= và góc 030BDC = . Quay hinh chư nhât

nay xung quanh canh AD . Diên tich xung quanh cua hinh tru đươc tao thanh la:

A. 23 a . B.

22 3 a . C. 22

3a . D.

2a

Lơi giải:

Chon C

Khi quay hinh chư nhât nay xung quanh canh AD ta đươc hinh tru như hinh vẽ. Ta co:

0; tan 30r AB a h BC CD= = = = . Suy ra 22

23 3

xq

a ah S rh

= = = .

Vi du 4: Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 va co chiêu cao băng đương

kinh đay. Thê tich khôi tru tương ưng băng:

A. 2 . B. . C. 3 . D. 4

Lơi giải:

Chon A

chiêu cao băng đương kinh đay nên 2h R=




Ta có: 2 22

4 2 21

xq

hS Rh h V R h

R

== − = = =

=.

II. Bai tâp vân dung chia theo mưc độ:

NHẬN BIÊT.

Câu 1. Cho hinh tru ( )T co chiêu cao h , đô dai đương sinh l , ban kinh đay r . Ký hiêu xqS

la diên tich xung quanh cua ( )T . Công thưc nao sau đây la đung?

A. xqS rh= . B. 2xqS rl= . C. 22xqS r h= . D.

xqS rl= .

Câu 2. Cho hinh tru ( )T co chiêu cao h , đô dai đương sinh l , ban kinh đay r . Ký hiêu tpS

la diên tich toan phân cua ( )T . Công thưc nao sau đây la đung?

A. tpS rl= . B. 2tpS rl r = + . C. 2

tpS rl r = + . D.

22 2tpS rl r = + .

Câu 3. Cho hinh tru ( )T co chiêu cao h , đô dai đương sinh l , ban kinh đay r . Ký hiêu ( )T

V

la thê tich khôi tru ( )T . Công thưc nao sau đây la đung?

A. ( )

1

3T

V rh= . B. ( )2

TV r h= . C. ( )

2

NV rl= . D.

( )22

NV r h=

THÔNG HIÊU.

Câu 4. Môt hinh tru co ban kinh đay r a= , đồ dai đương sinh 2l a= . Diên tich toan phân

cua hinh tru nay la:

A. 26 a . B.

22 a . C. 24 a . D.

25 a .

Câu 5. Hinh chư nhât ABCD có ( )3 cmAB = , ( )5 cmAD = . Thê tich khôi tru hinh thanh

đươc khi quay hinh chư nhât ABCD quanh đoan AB băng:

A. ( )325 cmπ . B. ( )375 cmπ . C. ( )350 cmπ . D.

( )345 cmπ .

Câu 6. Thiêt diên qua truc cua môt hinh tru la hinh vuông canh 2a . Goi 1S và 2S lân lươt

la diên tich xung quanh, diên tich toan phân cua hinh tru. Chon kêt luân đúng trong cac kêt

luân sau.

A. 1 24 3S S= . B. 1 23 2S S= . C. 1 22S S= . D.

1 22 3S S= .




Câu 7. Môt hinh tru ( )T co diên tich toan phân la ( )2120 cm va co ban kinh đay băng

( )6 cm . Chiêu cao cua ( )T là:

A. ( )6 cm . B. ( )5 cm . C. ( )4 cm . D. ( )3 cm .

Câu 8. Môt khôi tru ( )T co thê tich băng ( )381 cm va co đương sinh gâp ba lân ban kinh

đay. Đô dai đương sinh cua ( )T là:

A. ( )12 cm . B. ( )3 cm . C. ( )6 cm . D. ( )9 cm .

Câu 9. Khôi tru co chiêu cao ( )3 cmh = va ban kinh đay ( )2 cmr = thi co thê tich băng:

A. ( )312 cm . B. ( )34 cm . C. ( )36 cm . D.

( )312 cm .

Câu 10. Môt hinh tru co diên tich đay băng ( )24 m . Khoang cach giưa truc va đương sinh

cua măt xung quanh hinh tru đo băng:

A. ( )4 m . B. ( )3 m . C. ( )2 m . D. ( )1 m

VẬN DỤNG.

Câu 11. Môt tâm nhôm hinh chư nhât co hai kich thươc la a và 2a ( a la đô dai co sẵn).

Ngươi ta cuôn tâm nhôm đo thanh môt hinh tru. Nêu hinh tru đươc tao thanh co chu vi đay

băng 2a thi thê tich cua no băng:

A. 3a

. B.

3a . C. 3

2

a

. D.

32 a .

Câu 12. Môt hinh tư diên đêu ABCD canh a . Xét hinh tru co 1 đay la đương tron nôi tiêp

tam giac ABC va co chiêu cao băng chiêu cao hinh tư diên. Diên tich xung quanh cua hinh tru

đo băng:

A. 2 3

3

a. B.

2 2

2

a. C.

2 2

3

a. D.

2 3

2

a

.

Câu 13. Môt hôp sưa hinh tru co thê tich V (không đổi) đươc lam từ môt tâm tôn co diên

tich đu lơn. Nêu hôp sưa chỉ kin môt đay thi đê tôn it vât liêu nhât, hê thưc giưa ban kinh đay

R va đương cao h băng:

A. h R= . B. 2h R= . C. 3h R= . D. 2h R= .

VẬN DỤNG CAO.

Câu 14. Từ môt tâm tôn hinh chư nhât kich thươc ( ) ( )50 cm 240 cm , ngươi ta lam cac thùng

đựng nươc hinh tru co chiêu cao băng 50cm , theo hai cach sau (xem hinh minh hoa sau đây):




● Cách 1: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng.

● Cách 2. Căt tâm tôn ban đâu thanh hai tâm tôn băng nhau, rồi go mỗi tâm đo thanh măt

xung quanh cua môt thùng. Ki hiêu 1V la thê tich cua thùng go đươc theo cach 1 va 2V la thê

tich cua thùng go đươc theo cach 2. Khi đo tỉ sô 1

2

V

V băng:.

A. 1

2. B. 1 . C. 2 . D. 4 .

Câu 15. Khi san xuât vo lon sưa bo hinh tru, cac nha thiêt kê luôn đăt muc tiêu sao cho chi

phi nguyên liêu lam vo lon la it nhât, tưc la diên tich toan phân cua hinh tru la nho nhât. Muôn

thê tich khôi tru đo băng ( )31 dm va diên tich toan phân cua hinh tru nho nhât thi ban kinh đay

cua hinh tru phai băng bao nhiêu?

A. ( )3

1dm

. B. ( )

3

1dm

2. C. ( )

1dm

2. D.

( )1

dm

BẢNG ĐAP AN

1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.C

11.A 12.C 13.A 14.C 15.B

Hương dân giải chi tiêt các câu khó:.

Câu 11. Môt tâm nhôm hinh chư nhât co hai kich thươc la a và 2a ( a la đô dai co sẵn).

Ngươi ta cuôn tâm nhôm đo thanh môt hinh tru. Nêu hinh tru đươc tao thanh co chu vi đay

băng 2a thi thê tich cua no băng:

A. 3a

. B.

3a . C. 3

2

a

. D.

32 a .

Lơi giải

Chon A

Goi ban kinh đay la R . Hinh tru co chu vi đay băng 2a nên ta có 2 2a

R a R

= = .




Suy ra hinh tru nay co đương cao .h a= Vây thê tich khôi tru

2 32 a a

V R h a

= = =

(đvtt).

Câu 12. Môt hinh tư diên đêu ABCD canh a . Xét hinh tru co 1 đay la đương tron nôi tiêp

tam giac ABC va co chiêu cao băng chiêu cao hinh tư diên. Diên tich xung quanh cua hinh tru

đo băng:

A. 2 3

3

a. B.

2 2

2

a. C.

2 2

3

a. D.

2 3

2

a.

Lơi giải

Chon C

Goi O la tâm cua tam giac ABC và M la trung điêm BC .

Chiêu cao tư diên 2 2 6

3

ah DO DA AO= = − =

Ban kinh đương tron nôi tiêp đay ABC : 3

3 6

AM aR = =

2 22

3xq

aS Rh

= = .

Câu 13. Môt hôp sưa hinh tru co thê tich V (không đổi) đươc lam từ môt tâm tôn co diên

tich đu lơn. Nêu hôp sưa chỉ kin môt đay thi đê tôn it vât liêu nhât, hê thưc giưa ban kinh đay

R va đương cao h băng:

A. h R= . B. 2h R= . C. 3h R= . D. 2h R= .

Lơi giải

Chon A

Công thưc tinh thê tich 2V R h= , suy ra

2.

Vh

R=

Hôp sưa chỉ kin môt đay nên diên tich tôn cân dùng la:




2 2

day

22 .tp xq

VS S S Rh R R

R = + = + = +

Xét hàm ( ) 22Vf R R

R= + trên ( )0;+ , ta đươc

( )( )

0;min f R

+ đat tai .R h=


đựng nươc hinh tru co chiêu cao băng 50cm , theo hai cach sau (xem hinh minh hoa sau đây):

● Cách 1: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng.

● Cách 2. Căt tâm tôn ban đâu thanh hai tâm tôn băng nhau, rồi go mỗi tâm đo thanh măt

xung quanh cua môt thùng. Ki hiêu 1V la thê tich cua thùng go đươc theo cach 1 và 2V la thê

tich cua thùng go đươc theo cach 2. Khi đo tỉ sô 1

2

V

V băng:.

A. 1

2. B. 1 . C. 2 . D. 4 .

Lơi giải

Chon C

Công thưc thê tich khôi tru 2V R h= .

● Ở cach 1, suy ra ( )50 cmh = và 1 1

1202 240 .R R

= = Do đo

2

1

120. .50V

=

(đvtt).

● Ở cach 2, suy ra mỗi thùng co ( )50 cmh = và 2 2

602 120 .R R

= =

Do đo

2

2

602 . .50V

=

(đvtt). Suy ra 1

2

2.V

V=

Câu 15. Khi san xuât vo lon sưa bo hinh tru, cac nha thiêt kê luôn đăt muc tiêu sao cho chi

phi nguyên liêu lam vo lon la it nhât, tưc la diên tich toan phân cua hinh tru la nho nhât. Muôn

thê tich khôi tru đo băng ( )31 dm va diên tich toan phân cua hinh tru nho nhât thi ban kinh đay

cua hinh tru phai băng bao nhiêu?




A. ( )3

1dm

. B. ( )

3

1dm

2. C. ( )

1dm

2. D.

( )1

dm

Lơi giải

Chon B

+ Đăt ban kinh đay, chiêu cao cua lon sưa bo hinh tru lân lươt la ,r h (đơn vi dm)

+ Theo đê ra ta co: 2

2

11h r h

r

= = (dm)

+ Diên tich toan phân cua hinh tru nho nhât khi: 22 2S r rh = + nho nhât.

+ Ta có: 2 2 2 33

2

2 1 1 12 2 2 2 . 3 2S r r r

r r r r = + = + + = .

Dâu "=" xay ra khi: 2

3

1 12

2r r

r

= = (dm)




DANG 2: Tương giao giữa hinh tru va măt phẳng, đương thẳng

Phương pháp giải

- Thiêt diên qua truc la Hinh chư nhât hoăc Hinh vuông co 1 canh băng chiêu cao cua hinh

tru va 1 canh băng 2 lân ban kinh cua đay tru.

- Cach xac đinh goc giưa đương thăng va truc cua hinh tru.

I. Vi du điên hinh

Vi du 1: Khôi tru co thiêt diên qua truc la hinh vuông canh ( )2 cma = co thê tich la:

A. 3cm . B.

32 cm . C. 33 cm . D.

34 cm .

Lơi giải

Chon B

Thiêt diên qua truc cua khôi tru la hinh vuông ABCD

như hinh vẽ. Hinh vuông canh ( )2 cma = nên

( )2 2 1 cmAB r r= = =

( ) ( )2 32 cm 2 cmAD h V r h = = = =




Vi du 2: Cho hinh tru co truc 'OO , thiêt diên qua truc la môt hinh vuông canh

2a . Măt phăng ( )P song song vơi truc va cach truc môt khoang 2

a. Tinh diên tich

thiêt diên cua tru căt bơi ( )P .

A. 2 3a . B.

2a . C. 22 3a . D.

2a .

Lơi giải

Chon A

Măt phăng ( )P song song vơi truc nên căt hinh tru theo thiêt diên la hinh chư nhât co môt

kich thươc la 2a . Kich thươc con lai la

2

2 2 22 2 32

− = − =

ar d a a , trong đo =r a

ban kinh đay va 2

=a

d la khoang cach từ truc đên măt phăng ( )P .

Diên tich thiêt diên la 22 3a .

Vi du 3: Cho hinh tru co cac đương tron đay la ( )O và ( )O , ban kinh đay băng chiêu

cao va băng a . Cac điêm , A B lân lươt thuôc cac đương tron đay ( )O và ( )O sao cho

3AB a= . Thê tich cua khôi tư diên ABOO là :

A. 3

2

a. B.

3

3

a. C.

3

6

a. D.

3a .

Lơi giải

Chon C




Tam giác AA B vuông tai A suy ra 2 2' 2.A B AB AA a = − =

Suy ra tam giác O A B vuông tai O . Suy ra BO vuông goc vơi O A

Suy ra BO vuông goc vơi ( )AOO . 3

21 1 1. . . .

3 3 2 6AOA O OBO

aBO S aV a

= == .

Vi du 4: Cho hinh tru co hai đay la hinh tron ( )O và ( )O . Trên hai đương tron lây hai

điêm A , B sao cho goc giưa AB va măt phăng chưa đương tron đay băng o45 va khoang

cach đên truc 'OO băng 2

2

a. Biêt ban kinh đay băng a , tinh thê tich cua khôi tru theo a .

A. 3 2

6

aV

= . B. 3 2V a= . C.

3 2

2

aV

= . D.

3 2

3

aV

= .

Lơi giải

Chon B




Đăt OO h = . Goi , ,I E D lân lươt la trung điêm cua , ,BC BA OO . Ta có:

( )2

; '2

ad AB OO ED IO = = =

Tam giác ABC vuông tai C có 45B = vuông cân BC AC h = =

Ta có:

22

2 2 2 2 2' ' 2

2 2

h aCO CI IO a h a

= + = + =

Thê tich khôi tru la: 2 3. 2 2V a a a = =

Vi du 5: Cho hinh tru tron xoay co hai đay la hai hinh tron ( );O R và ( );O R .

Tồn tai dây cung AB thuôc đương tron ( )O sao cho O AB la tam giac đêu va

măt phăng ( )O AB hơp vơi măt phăng chưa đương tron ( )O môt goc o60 . Khi đo,

diên tich xung quanh xqS hinh tru va thê tich V cua khôi tru tương ưng la:

A. 2 34 2 7

;7 7

xq

R RS V

= = . B.

2 36 7 3 7;

7 7xq

R RS V

= = .

C. 2 33 2 7

;77

xq

R RS V

= = . D.

2 33 7 7;

7 7xq

R RS V

= = .

Lơi giải

Chon B




Ta co: ( )OO OAB ⊥ . Goi H la trung điêm cua AB thi , OH AB O H AB⊥ ⊥

060OHO = .

Gia sư OH x= . Khi đo: 0 x R va 0tan 60 3OO x x = = .

Xét OAH , ta co: 2 2 2AH R x= − .

Vi O AB đêu nên: ( )2 22 2 1O A AB AH R x = = = − .

Măt khac, AOO vuông tai O nên:

( )2 2 2 2 23 2AO OO R x R = + = + .

Từ ( ) ( )1 , 2 ( )2

2 2 2 2 2 34 3

7

RR x x R x − = + = .

3 73

7

Rh OO x = = = .

Vây nêu ki hiêu S la diên tich xung quanh va V la thê tich cua hinh tru thi, ta co: 2 3

26 7 3 72 ;

7 7

R RS Rh V R h

= = = = .

II. Bai tâp vân dung co chia mưc độ

NHẬN BIÊT.

Câu 1. Tinh thê tich V cua khôi tru co thiêt diên qua truc la hinh vuông canh

( )4 cma =

A. ( )38 cmV = . B. ( )34 cmV = . C. ( )316 cmV = . D.

( )32 cmV = .




Câu 2. Môt hinh tru co ban kinh đay a , co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông.

Tinh diên tich xung quanh cua hinh tru.

A. 2a . B. 22 a . C. 23 a . D. 24 a .

Câu 3. Môt hinh tru ( )T co ban kinh đay R va co thiêt diên qua truc la hinh vuông. Tinh

diên tich xung quanh xqS khôi tru.

A. 2

xq 4S R= . B. 2

xqS R= . C. 2

xq 2S R= . D.

2

xq

4

3S

R= .

Câu 4. Môt hinh tru co ban kinh đay băng R va thiêt diên qua truc la môt hinh vuông. Tinh

diên tich toan phân tpS cua hinh tru theo ban kinh đay .R

A. 2

tp 2S R= . B. 2

tp 4S R= . C. 2

tp 6S R= . D.

2

tp 3S R= .

Câu 5. Thiêt diên qua truc cua môt hinh tru la hinh vuông co chu vi la 8a . Tính

diên tich xung quanh cua hinh tru đo

A. 22a . B.

24a . C. 28 a . D.

24a .

Câu 6. Môt hinh tru co ban kinh đay la ( )4 cm va co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông.

Tinh thê tich V cua khôi tru đo.

A. ( )332 cmV π= . B. ( )364 cmV π= . C. ( )3128 cmV π= . D.

( )3256 cmV π= .

Câu 7. Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 va co thiêt diên qua truc la hinh vuông.

Thê tich khôi tru tương ưng băng:

A. 2 . B. . C. 3 . D. 4 .

Câu 8. Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 va co thiêt diên qua truc là hình vuông.

Diên tich toan phân cua hinh tru băng:

A. 12 . B. 10 . C. 8 . D. 6 .

Câu 9. Ban kinh đay hinh tru băng 4cm, chiêu cao băng ( )6 cm Đô dai đương chéo cua

thiêt diên qua truc băng bao nhiêu?

A. ( )5 cm . B. ( )8 cm . C. ( )6 cm . D. ( )10 cm

.

Câu 10. Măt phăng đi qua truc cua môt hinh tru, căt hinh tru theo thiêt diên la hinh vuông

canh 4R . Diên tich toan phân cua hinh tru la

A. 224 R . B.

220 R . C. 216 R . D.

24 R .




THÔNG HIÊU.

Câu 11. Cho hinh tru co ban kinh đay băng a , chu vi cua thiêt diên qua truc băng 12a . Thê

tich cua khôi tru đã cho băng

A. 34 a . B.

36 a . C. 35 a . D.

3a .

Câu 12. Căt hinh tru ( )T băng môt măt phăng đi qua truc đươc thiêt diên la môt hinh chư

nhât co diên tich băng ( )230 cm va chu vi băng ( )26 cm . Biêt chiêu dai cua hinh chư nhât lơn

hơn đương kinh măt đay cua hinh tru (T). Diên tich toan phân cua ( )T là:

A. ( )269cm

2

. B. ( )269 cm . C. ( )223 cm . D.

( )223cm

2

.

Câu 13. Tinh thê tich cua khôi tru biêt chu vi đay cua hinh tru đo băng

( )6 cm va thiêt diên đi qua truc la môt hinh chư nhât co đô dai đương chéo băng

( )10 cm .

A. ( )348 cm . B. ( )324 cm . C. ( )372 cm . D.

( )318 3472 cm .

Câu 14. Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 va co thiêt diên qua

truc la môt hinh vuông. Khi đo thê tich khôi tru tương ưng băng:

A. 2 . B. 4 . C. 2

. D. .

Câu 15. Cho hinh tru co chiêu cao 2,h = ban kinh đay 3.r = Môt măt phăng ( )P không vuông

goc vơi đay cua hinh tru, lan lươt căt hai đay theo đoan giao tuyên AB vàCD sao cho ABCD là

hinh vuông. Tinh diên tich S cua hinh vuông ABCD .

A. 12S = . B. 12S = . C. 20S = . D.

20S = .

Câu 16. Căt môt khôi tru bơi môt măt phăng qua truc ta đươc thiêt diên la

hinh chư nhât ABCD co canh AB va canh CD năm trên hai đay cua khôi tru. Biêt

2=AC a , 30= oDCA . Tính theo a thê tich khôi tru

A. 33 2

48a . B. 33 2

32a . C. 33 2

16a . D.

33 6

16a .




Câu 17. Cho môt khôi tru co chiêu cao băng ( )8 cm , ban kinh đương tron đay băng ( )6 cm .

Căt khôi tru bơi môt măt phăng song song vơi truc va cach truc ( )4 cm . Diên tich cua thiêt

diên đươc tao thanh la

A. ( )232 3 cm . B. ( )216 3 cm . C. ( )232 5 cm . D.

( )216 3 cm .

Câu 18. Hinh tru co ban kinh đay băng a , chu vi cua thiêt diên qua truc băng 10a . Thê tich

cua khôi tru đã cho băng

A. 34 a . B.

33 a . C. 3a . D.

35 a .

Câu 19. Thiêt diên qua truc cua hình tru tròn xoay là hình vuông canh băng 2a. Tính thê tích

V cua khôi non tron xoay co đương tron đay la đay cua hình tru va đỉnh là tâm cua đương tròn

đay con lai cua hình tru.

A. 31

3V a= . B.

32

3V a= . C. 3V a= . D.

34

3V a= .

Câu 20. Căt môt khôi tru băng môt măt phăng đi qua truc cua no, ta đươc môt hinh vuông

co diên tich băng 9. Khăng đinh nao sau đây sai?

A. Khôi tru co diên tich xung quanh 9xqS = .

B. Khôi tru co diên tich toan phân 27

2tpS

= .

C. Khôi tru co đô dai đương sinh la 3l = .

A. Khôi tru co thê tich 9

.4

V

= .

Câu 21. Môt hinh tru co ban kinh ( )5 cm va chiêu cao ( )7 cm . Căt hinh tru băng măt phăng

( )P song song vơi truc va cach truc ( )3 cm . Diên tich thiêt diên tao bơi hinh tru va măt phăng

( )P băng:

A. ( )2112 cm . B. ( )228 cm . C. ( )254 cm . D.

( )256 cm

VẬN DỤNG.

Câu 22. Cho hinh tru ( )T co ban kinh băng ( )4 cm , măt phăng ( )P căt hai đay cua hinh tru

theo hai dây AB và CD , ( )5 cmAB CD= = . Tư giac ABCD la hinh chư nhât AD và BC

không la đương sinh, goc giưa mp ( )P va măt phăng đay chưa đay cua hinh tru băng o60 . Thê

tich cua khôi tru la:




A. 60 3 . B. ( )324 13 cm . C. ( )316 13 cm . D.

( )348 13 cm .

Câu 23. Cho môt hinh tru tron xoay va hinh vuông ABCDcanh a co hai đỉnh

liên tiêp ,A B năm trên đương tron đay thư nhât cua hinh tru, hai đỉnh con lai năm

trên đương tron đay thư hai cua hinh tru. Măt phăng ( )ABCD tao vơi đay hinh

tru goc o45 . Diên tich xung quanh xqS hinh tru va thê tich V cua khôi tru là:

A. 2 33 3 2

;3 8

xq

a aS V

= = . B.

2 32 3 2;

3 32xq

a aS V

= = .

C. 2 33 3 3

;4 16

xq

a aS V

= = . D.

2 33 3 2;

2 16xq

a aS V

= = .

Câu 24. Căt môt khôi tru bơi môt măt phăng ta đươc môt khôi ( )H như hinh

vẽ bên. Biêt răng thiêt diên la môt hinh elip co đô dai truc lơn băng 10 , khoang

cach từ môt điêm thuôc thiêt diên gân măt đay nhât va điêm thuôc thiêt diên xa

măt đay nhât tơi măt đay lân lươt la 8 và 14 . (xem hinh vẽ). Tinh thê tich cua

hình ( )H .

A. ( ) 176H

V = . B. ( ) 275H

V = . C. ( ) 192H

V = . D.

( ) 740H

V = .

Câu 25. Môt hinh tru co 2 đay la 2 hinh tron tâm O và O và có bán kính 5r = . Khoang

cach giưa 2 đay la 8OO = . Goi ( ) la măt phăng qua trung điêm cua đoan OO va tao vơi




đương thăng OO môt goc 45o Tinh diên tich S cua thiêt diên tao bơi măt phăng ( ) và

hinh tru.

A. 24 2S = . B. 48 2S = . C. 36 2S = . D. 36S = .

Câu 26. Cho hinh tru co thiêt diên qua truc cua hinh tru la môt hinh chư nhât co chu vi la

( )12 cm . Gia tri lơn nhât cua thê tich hinh tru đo la:

A. ( )3cm . B. ( )3cm . C. ( )3cm . D.

( )3cm.

VẬN DỤNG CAO.

Câu 27. Cho hình tru co hai đay la hai hinh tron ( )O và ( )O ban kinh đay băng R , chiêu

cao co đô dài băng 2R . Môt măt phăng đi qua trung điêm 'OO và tao vơi 'OO môt góc o30

thì căt đương tron đay theo môt dây cung co đô dài m . Tính m theo R .

A. 4 3

9

Rm = . B.

2

3

Rm = . C.

2 6

3

Rm = . D. m R= .

Câu 28. Môt khôi gỗ hinh tru co chiêu cao ( )m2 ngươi ta xẻ bơt phân vo cua khôi gỗ đo

theo bôn măt phăng song song vơi truc đê tao thanh môt khôi gỗ hinh hôp chư nhât co thê tich

lơn nhât băng ( )3m1 . Tinh đương kinh cua khôi gỗ hinh tru đã cho.

A. ( )cm100 . B. ( )cm60 . C. ( )cm120 . D.

( )cm50 .

Câu 29. Từ môt khuc gỗ hinh tru co đương kinh ( )cm30 , ngươi ta căt khuc gỗ theo môt măt

phăng đi qua đương kinh đay va nghiêng vơi đay môt goc o45 đê lây môt hinh nêm (xem hinh

minh hoa dươi đây). Ki hiêu V la thê tich cua hinh nêm (Hinh 2). Tinh V .




A. ( )32250 cmV = . B. ( )3225cm

4V

= . C. ( )31250 cmV = . D.

( )31350 cmV = .

Câu 30. Cho hai măt tru co cùng ban kinh băng 4 đươc đăt lồng vao nhau như hinh vẽ. Tinh

thê tich phân chung cua chung biêt hai măt tru vuông goc va căt nhau

A. 512 . B. 256 . C. 512 . D. 1024

2.

BẢNG ĐAP AN

1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.D 10.A

11.A 12.A 13.C 14.A 15.C 16.C 17.C 18.A 19.B 20.D

21.D 22.D 23.D 24.A 25.B 26.B 27.C 28.A 29.A 30.D

Hương dân giải chi tiêt các câu kho.

Câu 15. Cho hinh tru co chiêu cao 2,h = ban kinh đay 3.r = Môt măt phăng ( )P không vuông

goc vơi đay cua hinh tru, lan lươt căt hai đay theo đoan giao tuyên AB vàCD sao cho ABCD là

hinh vuông. Tinh diên tich S cua hinh vuông ABCD .

A. 12S = . B. 12S = . C. 20S = . D.

20S = .

Lơi giải

Chon C

Kẻ đương sinh BB cua hinh tru. Đăt đô dai canh cua hinh vuông ABCD là x , 0x .




Do '

CD BCCD B C B CD

CD BB

⊥ ⊥

⊥vuông tai C . Khi đo, B D la đương kinh cua đương

Tròn ( )O . Xét B CD vuông tai C

( )2 2 2 2 2 24 1B D CD CB r x CB = + = +

Xét tam giác 'CBB vuông tai B

( )2 2 2 2 2 2' 2BC BB CB x h CB = + = +

Từ ( )1 và ( )2 2 2

2 420

2

r hx

+ = = .

Suy ra diên tich hinh vuông ABCD là 20S = .

Câu 22. Cho hinh tru ( )T co ban kinh băng ( )4 cm , măt phăng ( )P căt hai đay cua hinh tru

theo hai dây AB và CD , ( )5 cmAB CD= = . Tư giac ABCD la hinh chư nhât AD và BC

không la đương sinh, goc giưa mp ( )P va măt phăng đay chưa đay cua hinh tru băng o60 . Thê

tich cua khôi tru la:

A. 60 3 . B. ( )324 13 cm . C. ( )316 13 cm . D.

( )348 13 cm .

Lơi giải

Chon D

Goi H la chân đương cao từ A xuông măt đay con lai, như vây co ngay o60ADH =

Do ( )DC AD

DC ADH DC DHDC AH

⊥ ⊥ ⊥

⊥

Áp dung đinh lý Pytago ta co: ( )20 2. tan 60 2.4 5 . 3 3 13h AH DH= = = − =

2 48 13V r h = = .

Câu 23. Cho môt hinh tru tron xoay va hinh vuông ABCD canh a co hai đỉnh

liên tiêp ,A B năm trên đương tron đay thư nhât cua hinh tru, hai đỉnh con lai năm

trên đương tron đay thư hai cua hinh tru. Măt phăng ( )ABCD tao vơi đay hinh

tru goc o45 . Diên tich xung quanh xqS hinh tru va thê tich V cua khôi tru là:

A. 2 33 3 2

;3 8

xq

a aS V

= = . B.

2 32 3 2;

3 32xq

a aS V

= = .

C. 2 33 3 3

;4 16

xq

a aS V

= = . D.

2 33 3 2;

2 16xq

a aS V

= = .




Lơi giải

Chon D

* Goi ,M N theo thư tự la trung điêm cua AB vaCD . Khi đo: OM AB⊥ va

O N DC ⊥ .

Gia sư I la giao điêm cua MN vaOO . Đăt , R OA h OO= = .

* Trong IOM vuông cân tai I nên: 2

2OM OI IM= =

2 2.

2 2 2 2

h ah a = = .

* Ta co: 2 2 2 2R OA AM MO= + +

22 2 2 22 3

2 4 4 8 8

a a a a a = + = + =

.

2 2 323 2 3 3 2 3 2

2 2 . ; .2 2 8 2 162 2

xq

a a a a a aS Rh V R h

= = = = = = .

Câu 24. Căt môt khôi tru bơi môt măt phăng ta đươc môt khôi ( )H như hinh

vẽ bên. Biêt răng thiêt diên la môt hinh elip co đô dai truc lơn băng 10, khoang

cach từ môt điêm thuôc thiêt diên gân măt đay nhât va điêm thuôc thiêt diên xa

măt đay nhât tơi măt đay lân lươt la 8 va 14. (xem hinh vẽ). Tinh thê tich cua

hình ( )H .




A. ( ) 176H

V = . B. ( ) 275H

V = . C. ( ) 192H

V = . D.

( ) 740H

V = .

Lơi giải

Chon A

Thê tich khôi ( )H băng thê tich hinh tru co ban kinh đay băng ban kinh đay hinh tru ban

đâu, chiêu cao băng trung binh công cua 8 va 14.

Khôi ( )H co thê tich băng thê tich hinh tru chiêu cao 11 va ban kinh đay 2 21

10 6 42

− =

nên ( )2.4 .11 176

HV = = .

Câu 25. Môt hinh tru co 2 đay la 2 hinh tron tâm O và O và có bán kính 5r = . Khoang

cach giưa 2 đay la 8OO = . Goi ( ) là măt phăng qua trung điêm cua đoan OO va tao vơi

đương thăng OO môt goc 45o Tinh diên tich S cua thiêt diên tao bơi măt phăng ( ) và

hinh tru.

A. 24 2S = . B. 48 2S = . C. 36 2S = . D. 36S = .

Lơi giải

Chon B




Goi H la trung điêm cua CD khi đo ( )( );OO OIH =

Khi đo o 2 2 2 2tan 45 4 5 4 3OH OI CH OC OH= = = − = − =

Suy ra 2 6CD CH= = . Măt khac o

4 2 8 2cos 45

OHIH HK= = =

Do đo diên tich thiêt diên la . 48 2S HK CD= = .



A. ( )3cm . B. ( )3cm . C. ( )3cm . D.

( )3cm.

Lơi giải

Chon B

( ) ( )6 2 . 6 2 8V R R R R R = − = −

Câu 27. Cho hình tru co hai đay la hai hinh tron ( )O và ( )O ban kinh đay băng R , chiêu

cao co đô dài băng 2R . Môt măt phăng đi qua trung điêm 'OO và tao vơi 'OO môt góc o30

thì căt đương tron đay theo môt dây cung co đô dài m . Tính m theo R .

A. 4 3

9

Rm = . B.

2

3

Rm = . C.

2 6

3

Rm = . D. m R= .

Lơi giải

Chon C

Goi ,I J lân lươt la trung điêm cua 'OO và AB

Ta có: o30JIO = và

22

4

mIO R

IO R

= −

=

2

2 2 6tan30

4 33

o JO R m RR m

IO

= = − =




Câu 28. Môt khôi gỗ hinh tru co chiêu cao ( )m2 ngươi ta xẻ bơt phân vo cua khôi gỗ đo

theo bôn măt phăng song song vơi truc đê tao thanh môt khôi gỗ hinh hôp chư nhât co thê tich

lơn nhât băng ( )3m1 . Tinh đương kinh cua khôi gỗ hinh tru đã cho.

A. ( )cm100 . B. ( )cm60 . C. ( )cm120 . D.

( )cm50 .

Lơi giải

Chon A

Goi R la ban kinh đương tron đay cua khôi tru hinh gỗ.

Va khôi gỗ hinh hôp chư nhât co đay la hinh chư nhât nôi tiêp đương tron.

Goi ,x y la đô dai hai canh cua hinh chư nhât 2 2 24 .x y R + =

Thê tich cua hinh hôp chư nhât la 2 2. 2.S 2 1.hcn

V S h xy x y= = = + =

Dâu " "= xay ra khi va chỉ khi ( ) ( )m cm= = = = =21 14 1 50 .

22x y R R R

Suy ra đương kinh la ( )cm=2 100R .

Câu 29. Từ môt khuc gỗ hinh tru co đương kính ( )cm30 , ngươi ta căt khuc gỗ theo môt măt

phăng đi qua đương kinh đay va nghiêng vơi đay môt goc o45 đê lây môt hinh nêm (xem hinh

minh hoa dươi đây). Ki hiêu V la thê tich cua hình nêm (Hình 2). Tính V .




A. ( )32250 cmV = . B. ( )3225cm

4V

= . C. ( )31250 cmV = . D.

( )31350 cmV = .

Lơi giải

Chon A

Chon hê truc toa đô như hinh vẽ. Khi đo hinh nêm co đay la nưa hinh tron co phương trinh:

2225 , 15;15y x x= − −

Măt phăng vuông góc vơi hê truc Ox (căt truc Ox tai điêm co hoanh đô x ) căt hình nêm theo

thiêt diên có diên tích ( )S x . Khi đo, ta co o 2, tan 45 225NP y MN NP y x= = = = −

Khi đo ( ) ( )21 1. 225

2 2S x MN NP x= = −

Thê tích hình nêm là: ( ) ( ) ( )15 15

2 3

15 15

1225 2250 cm

2V s x dx x dx

− −

= = − = .

Câu 30. Cho hai măt tru co cùng ban kinh băng 4 đươc đăt lồng vao nhau như hinh vẽ. Tinh

thê tich phân chung cua chung biêt hai măt tru vuông goc va căt nhau

A. 512 . B. 256 . C. 512 . D. 1024

2.

Lơi giải

Chon D




Chon hê truc như hinh vẽ

Căt phân chung bơi môt măt phăng vuông goc vơi truc Ox tai điêm co hoanh đô x

( )4 4x− (chu ý khoang cach giưa 2 truc băng ta đươc thiêt diên la môt hinh

vuông co canh la 2 22 R x− suy ra thiêt diên co diên tich ( ) ( )2

22 16S x x= − .

Do đo ( ) ( )4 4 2

2

4 4

1024d 2 16 d

3V S x x x x

− −

= = − = .

OA R )=




DANG 3: Sự tạo thanh măt tru, hinh tru.

Phương pháp giải: Hoc sinh nắm chắc sự tạo thanh măt tru, hinh tru, khối tru ( sgk

/35).

I. Vi du điên hinh:

Vi du 1: Cho hinh chư nhât ABCD canh 6=AB , 4=AD quay quanh AB ta đươc hinh tru

co diên tich xung quanh băng:

A. 8xqS = . B. 48xqS = . C. 50xqS = . D.

32xqS = .

Lơi giải

Chon D

6 , 4 2. .4.6 48xqSAB h AD R = = = = → = =

Vi du 2: Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD có 1AB = và 2AD = . Goi M , N

lân lươt la trung điêm cua AD và BC . Quay hinh chư nhât đo xung quanh truc MN , ta đươc

môt hinh tru. Tinh diên tich toan phân tpS cua hinh tru đo

A. 4tqS = . B. 2tpS = . C. 6tpS = . D.

10tpS = .

Lơi giải

Chon A

21 , 1 2 .1.1 2 .1 42

tp

ADAB h R S = = = = → = + =

Vi du 3: Môt hinh thang vuông ABCD co đương cao AD = , đay nho AB = , đay lơn

2CD = . Cho hình thang quay quanh CD , ta đươc khôi tron xoay co thê tich băng

A. 42V = . B.

44

3V = . C.

34

3V = . D.

24

3V = .

Lơi giải

Chon B




Khi quay hình thang quanh CD ta đươc khôi tron xoay gồm 2 phân, 1V la khôi tru co ban

kinh đay AD = va chiêu cao AB = nên 2 4

1 . .V = = va khôi tru 2V la khôi non co

đay BE = va đương cao EC = nên 2 4

2

1 1. . .

3 3V = = . Vây

44

3V =

II. Bai tâp vân dung co chia mưc độ

NHẬN BIÊT.

Câu 1. Cho măt phăng ( )P va môt điêm cô đinh trên măt phăng ( )P . Goi d la đương thăng

vuông goc vơi măt phăng ( )P và cách I môt khăng k không đổi. Tâp hơp cac đương thăng

d là:

A. môt măt phăng. B. môt măt câu. C. môt măt tru. D. môt măt

nón.

Câu 2. Mênh đê nao sau đây la mênh đê sai?

A. Hinh tru luôn chưa môt đương tron. B. Hinh non luôn chưa môt đương

tròn.

C. Hinh tru luôn chưa môt đương thăng. D. Măt tru luôn chưa môt đương

thăng.

THÔNG HIÊU

Câu 3. Cho hai điêm A , B cô đinh. Tâp hơp cac điêm M trong không gian sao cho diên

tích tam giác MAB không đổi la:

A. măt non tron xoay. B. măt tru tron xoay.

C. măt câu. D. hai đương thăng song song

Xét cac mênh đê:

( )I Tâp hơp cac đương thăng d thay đổi nhưng luôn luôn song song va cach đương thăng

cô đinh môt khoang không đổi la môt măt tru.

( )II Hai điêm A , B cô đinh. Tâp hơp cac điêm M trong không gian ma diên tich tam giac

MAB không đổi la môt măt tru.

Trong cac mênh đê trên, mênh đê nao đung?

A. Chỉ ( )I . B. Chỉ ( )II .

C. Ca ( )I và ( )II . D. Không co mênh đê đung.

Câu 4. Hinh tru ( )T đươc sinh ra khi quay hinh chư nhât ABCDquanh canh AB .

Biêt 2 2=AC a và 045=ACB . Diên tich toan phân tpS cua hinh tru ( )T là :

A. 216=tpS a . B.

210=tpS a . C. 212=tpS a . D.

28=tpS a .

Câu 5. Trong không gian cho hình vuông ABCD co canh băng a . Goi ,H K lân lươt la

trung điêm cua DC và .AB Khi quay hinh vuông đo xung quanh truc HK ta đươc môt hinh




tru tron xoay ( ).H Goi ,xqS V lân lươt la diên tich xung quanh cua hinh tru tron xoay ( )H

va khôi tru tron xoay đươc giơi han bơi hinh tru ( ).H Tỉ sô xq

V

S băng:

A. 4

a. B.

2

a. C.

3

a. D.

2

3

a.

Câu 6. Cho hinh chư nhât ABCD có 3, 4AB BC= = . Goi 1 2,V V lân lươt la thê tich

cua cac khôi tru sinh ra khi quay hinh chư nhât quanh truc AB và BC . Khi đo tỉ

sô 1

2

V

V băng:

A. 4

3. B.

3

4. C.

9

16. D.

16

9.

Câu 7. Hinh chư nhât ABCD có 6, 4= =AB AD . Goi , , ,M N P Q lân lươt la trung

điêm bôn canh , , ,AB BC CD DA . Cho hinh chư nhât ABCD quay quanh QN , tư giac

MNPQ tao thanh vât tron xoay co thê tich băng:

A. 8=V . B. 6=V . C. 4=V . D. 2=V

.

Câu 8. Cho hinh chư nhât ABCD có =AB nAD . Khi quay hinh chư nhât ABCD

môt vong quanh canh CD ta đươc khôi tru co diên tich toan phân la 1S , khi quay

hinh chư nhât ABCD môt vong quanh canh AD ta đươc khôi tru co diên tich toan

phân la 2S . Khăng đinh nao sau đây la đung?

A. 1 2=nS S . B. 1 2=S nS . C. ( )1 21= +S n S . D.

( )2 11 .= +S n S .

Câu 9. Cho hinh chư nhât ABCD vơi 1=AB ; 3=BC . Đương thăng d năm trong

măt phăng ABCD , song song AD và cách AD môt khoang 2 , đương thăng không

co điêm chung vơi hinh chư nhât .ABCD Tinh thê tich khôi tron xoay tao đươc

khi quay hinh chư nhât ABCD quanh d .

A. 15 . B. 27 . C. 12 . D. 10 . .

Câu 10. Trong không gian cho hinh chư nhât ABCD có 4=AB và 2=BC .

Goi ,P Q lân lươt la cac điêm trên canh AB và CD sao cho: 1, 3 .= =BP QD QC

Quay hinh chư nhât APQD xung quanh truc PQ ta đươc môt hinh tru. Tinh diên

tich xung quanh cua hinh tru đo.

A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 6 .




Câu 11. Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD có 1AB = và 2AD = .

Quay hinh chư nhât đo xung quanh truc AB ta đươc môt hinh tru. Tinh diên tich

toan phân tpS cua hinh tru đo.

A. 12=tpS . B. 6=tpS . C. 4=tpS . D.

8=tpS .

Câu 12. Cho hình vuông ABCD co canh băng a . Goi ,M N lân lươt la trung

điêm cua AB và CD . Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thanh môt hình

tru. Goi ( )S la măt câu co diên tich băng diên tich toan phân cua hinh tru, ta co

ban kinh cua măt câu ( )S là:

A. 6

3

a. B.

6

2

a. C.

6

4

a. D. 6a .

VẬN DỤNG

Câu 13. Môt miêng bia hinh chư nhât co cac kinh thươc 2a và 4a . Uôn cong

tâm bia theo bê rông

(hinh vẽ) đê đươc hinh tru không đay. Ký hiêu V la thê tich cua khôi tru tao ra.

Khăng đinh nao sau đây đung?

A. 34=V a . B.

316=V a . C. 34

=a

V

.

D.

3

16=

aV

.

Câu 14. Từ môt tâm tôn hinh chư nhât kich thươc ( ) ( )80 cm 360 cm , ngươi ta

lam cac thùng đựng nươc hinh tru co chiêu cao băng 80 cm, theo hai cách sau

(xem hinh minh hoa dươi đây):

* Cách 1: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng.

* Cách 2 : Căt tâm tôn ban đâu thanh hai tâm băng nhau, rồi go mỗi tâm đo thanh măt xung

quanh cua môt thùng.

Ki hiêu 1V la thê tich cua thùng go đươc theo cach 1 và 3

5 10C = la tổng thê tich cua hai thùng

go đươc theo cach 2 . Tinh tỉ sô 2

1

.V

V




A. 2

1

1

2=

V

V. B. 2

1

1=V

V. C. 2

1

2=V

V. D. 2

1

4.V

V=

.

Câu 15. Hai ban An va Binh co hai miêng bia hinh chư nhât co chiêu dai a ,

chiêu rông b . Ban An cuôn tâm bia theo chiêu dai cho hai mép sat nhau rồi dùng

băng dinh dan lai đươc môt hinh tru không co đay co thê tich 1V (khi đo chiêu

rông cua tâm bia la chiêu cao cua hinh tru). Ban Binh cuôn tâm bia theo chiêu

rông theo cach tương tự trên đươc hinh tru co thê tich 2V . Tinh tỉ sô 1

2

V

V.

A. 1

2

=V a

V b. B. 1

2

=V b

V a. C. 1

2

=V

abV

. D.

1

2

1=

V

V ab.

VẬN DỤNG CAO

Câu 16. Ban A muôn lam môt chiêc thùng hinh tru không đay từ nguyên liêu

la manh tôn hinh tam giac đêu ABC co canh băng 90 (cm). Ban muôn căt manh

tôn hinh chư nhât MNPQ từ manh tôn nguyên liêu ( vơi ,M N thuôc canh BC ; P

và Q tương ưng thuôc canh AC và AB đê tao thanh hinh tru co chiêu cao băng

MQ . Thê tich lơn nhât cua chiêc thùng ma ban A co thê lam đươc la:

A. ( )391125cm

4. B. ( )391125

cm2

. C. ( )3108000 3 cm

. D.

( )313500. 3 cm

Câu 17. Cho hinh vẽ:




Tam giác SOA vuông tai O có MN SO vơi ,M N lân lươt năm trên canh SA , .OA Đăt

SO h= không đổi. Khi quay hinh vẽ quanh SO thi tao thanh môt hinh tru nôi tiêp hinh non

đỉnh S co đay la hinh tron tâm O bán kính .R OA= Tìm đô dai cua MN đê thê tich khôi

tru la lơn nhât.

A. 2

=h

MN . B. 3

=h

MN . C. 4

=h

MN . D.

.6

hMN =




BẢNG ĐAP AN

1.C 2.C 3.B.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.a 10.b

11. 12.C 13.C 14.A 15.A 16.D 17B

Hương dân giải

Câu 6. Cho hinh chư nhât ABCD có 3, 4AB BC= = . Goi 1 2,V V lân lươt la thê tich

cua cac khôi tru sinh ra khi quay hinh chư nhât quanh truc AB và BC . Khi đo tỉ

sô 1

2

V

V băng:

A. 4

3. B.

3

4. C.

9

16. D.

16.

9

Lơi giải

Chon A

2 2 1

1 2

2

4. ; .

3

V BCV BC AB V AB BC

V AB = = = = .

Câu 7. Hình chư nhât ABCD có 6, 4= =AB AD . Goi , , ,M N P Q lân lươt la trung

điêm bôn canh , , ,AB BC CD DA . Cho hinh chư nhât ABCD quay quanh QN , tư giac

MNPQ tao thanh vât tron xoay co thê tich băng:

A. 8=V . B. 6=V . C. 4=V . D. 2=V

.

Câu 8. Cho hình chư nhât ABCD có AB nAD= . Khi quay hình chư nhât ABCD môt vòng

quanh canh CD ta đươc khôi tru có diên tích toàn phân là 1S , khi quay hình chư nhât ABCD

môt vòng quanh canh AD ta đươc khôi tru có diên tích toàn phân là 2S . Khăng đinh nào sau

đây la đung?

A. 1 2=nS S . B. 1 2=S nS . C. ( )1 21= +S n S . D.

( )2 11 .S n S= +

Lơi giải

Chon A

Ta có: 22 2tpS rh r = +

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD ta được

khối trụ có bán kính 1 1;r AD h AB= =

Khi đó ( )2 2 2

1 2 . 2 . 2S AD AB AD nAD AD = + = +

Tương tự khi quay hình chư nhât ABCD môt vòng quanh canh AD ta có: 2 2;r AB h AD= =

Khi đo ( )2 2 2

2 2S nAD n AD= +

Do đó 1

2

2

1 1S n

S nn n

+= =

+.




Câu 9. Cho hinh chư nhât ABCD vơi 1=AB ; 3=BC . Đương thăng d năm trong

măt phăng ABCD , song song AD và cách AD môt khoang 2 ; đồ thi không co

điêm chung vơi hinh chư nhât .ABCD Tinh thê tich khôi tron xoay tao đươc khi

quay hinh chư nhât ABCD quanh d . A. 15 . B. 27 . C. 12 . D. 10 .

Lơi giải

Chon A

BC cach đương d môt khoang ' 2 3= + =d AB

Do đo khôi tron xoay la tâp hơp cac điêm năm ơ giưa hai hinh tru co ban kinh lân lươt la 2

va 3, chiêu cao cua hai hinh tru đêu la 3.

Thê tich khôi tron xoay băng hiêu thê tich cua hai khôi tru nêu trên 2 23 .3. 2 .3. 15 .V = − =

Câu 10. Trong không gian cho hinh chư nhât ABCD có 4=AB và 2=BC .

Goi ,P Q lân lươt la cac điêm trên canh AB và CD sao cho: 1, 3 .= =BP QD QC

Quay hinh chư nhât APQD xung quanh truc PQ ta đươc môt hinh tru. Tinh diên

tich xung quanh cua hinh tru đo. A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 6

Lơi giải

Chon B

Quay hinh chư nhât APQD xung quanh truc PQ ta đươc môt hinh tru co 2h PQ= = ,

3r AP= = nên co diên tich xung quanh la 2. . . 2. .3.2 12 .xqS r h = = = .

Câu 11. Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD có 1AB = và 2AD = .

Quay hình chư nhât đo xung quanh truc AB ta đươc môt hinh tru. Tinh diên tich

toan phân tpS cua hinh tru đo.

A. 12=tpS . B. 6=tpS . C. 4=tpS . D.

8 .tpS =

Lơi giải

Chon A




Hinh tru co ban kinh đay 2r = , chiêu cao 1h = nên có 22 2 12 .tpS r rh = + = .

Câu 12. Cho hình vuông ABCD co canh băng a . Goi ,M N lân lươt la trung

điêm cua AB và CD . Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thanh môt hinh

tru. Goi ( )S la măt câu co diên tich băng diên tich toan phân cua hinh tru, ta co

ban kinh cua măt câu ( )S là:

A. 6

3

a. B.

6

2

a. C.

6

4

a. D. 6.a

Lơi giải

Chon C

Măt tru tao bơi hinh vuông ABCD khi quay quanh MN co đương sinh l a= và bán kính

đay 2

ar = nên co diên tich toan phân ( )

232 2 .

2 2 2tp

a a aS r r h a

= + = + =




Măt câu ( )S co diên tich băng tpS cua măt tru thi co ban kinh R vơi

22 3 6

4 .2 4

a aR

=

Câu 13. Môt miêng bia hinh chư nhât co cac kinh thươc 2a và 4a . Uôn cong

tâm bia theo bê rông

(hinh vẽ) đê đươc hinh tru không đay. Ký hiêu V la thê tich cua khôi tru tao ra.

Khăng đinh nao sau đây đung?

A. 34 .=V a B. 316 .=V a C. 34

.=a

V

D. 3

.16

=a

V

Lơi giải

Chon C

Chu vi cua đay băng 2 2a R= . Ta tinh đươca

R

= .

Chiêu cao 4h a= , từ đo ta tinh đươc 34

=

aV .

Câu 14. Từ môt tâm tôn hinh chư nhât kich thươc ( ) ( )80 cm 360 cm , ngươi ta

lam cac thùng đựng nươc hinh tru co chiêu cao băng 80 cm, theo hai cách sau

(xem hinh minh hoa dươi đây): * Cách 1: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng.

* Cách 2 : Căt tâm tôn ban đâu thanh hai tâm băng nhau, rồi go mỗi tâm đo thanh măt xung

quanh cua môt thùng.

Ki hiêu 1V la thê tich cua thùng go đươc theo cach 1 và 3

5 10C = là tổng thê tich cua hai thùng

go đươc theo cach 2 . Tinh tỉ sô 2

1

.V

V




A. 2

1

1

2=

V

V. B. 2

1

1=V

V. C. 2

1

2=V

V. D. 2

1

4.V

V=

Lơi giải

Chon A

Do chiêu cao cua cac thùng la như nhau, nên tỉ sô 1

2

.V

V băng tỉ sô tổng diên tich đay thùng.

Ta co chu vi đương tron la 2C R= va diên tich hinh tron la 2S R= , từ đo ta co môi liên

hê 22 2

2 1 1 2 2

2 2

2 1 12

2 14 .

4 24

S C V SC CS R

S V SC

= = = = = = =

.

Câu 15. Hai ban An va Binh co hai miêng bia hinh chư nhât co chiêu dai a ,

chiêu rông b . Ban An cuôn tâm bia theo chiêu dai cho hai mép sat nhau rồi dùng

băng dinh dan lai đươc môt hinh tru không co đay co thê tich 1V (khi đo chiêu

rông cua tâm bia la chiêu cao cua hinh tru). Ban Binh cuôn tâm bia theo chiêu

rông theo cach tương tự trên đươc hinh tru co thê tich 2V . Tinh tỉ sô 1

2

V

V.

A. 1

2

=V a

V b. B. 1

2

=V b

V a. C. 1

2

=V

abV

. D.

1

2

1.

V

V ab=

Lơi giải

Chon A

Hinh tru cua ban An co chu vi đay băng a , chiêu cao băng b nên nó co thê tich băng

V1=

2 2

2 4

a a bb

=

Hinh tru cua ban Binh co chu vi đay băng b , chiêu cao băng a nên no co thê tich băng

V2=

2 2

2 4

b aba

=

. Do đo 1

2

.V a

V b=

.

Câu 16. Ban A muôn lam môt chiêc thùng hinh tru không đay từ nguyên liêu

la manh tôn hinh tam giac đêu ABC co canh băng 90 (cm). Ban muôn căt manh

tôn hinh chư nhât MNPQ từ manh tôn nguyên liêu ( vơi ,M N thuôc canh BC ; P




và Q tương ưng thuôc canh AC và AB đê tao thanh hinh tru co chiêu cao băng

MQ . Thê tich lơn nhât cua chiêc thùng ma ban A co thê lam đươc la:

A. ( )391125cm

4. B. ( )391125

cm2

. C. ( )3108000 3 cm

. D.

( )313500. 3 cm

Lơi giải

Chon D

Goi I la trung điêm .BC Suy ra I la trung điêm MN

Đăt ( )0 90MN x x=

( )3

902

= = −MQ BM

MQ xAI BI

Goi R la ban kinh cua tru 2

xR

= ( ) ( )

2

3 23 390 90

2 2 8

= − = − +

T

xV x x x

Xét ( ) ( )3 2390

8= − +f x x x

vơi 0 90x . Khi đo: ( )

( )0;90

13500. 3max

=x

f x

khi 60.x =

Câu 17. Cho hinh vẽ:

Tam giác SOA vuông tai O có MN SO vơi ,M N lân lươt năm trên canh SA , .OA Đăt

SO h= không đổi. Khi quay hinh vẽ quanh SO thi tao thanh môt hinh tru nôi tiêp hinh non




đỉnh S co đay la hinh tron tâm O bán kính .R OA= Tim đô dai cua MN đê thê tich khôi

tru la lơn nhât.

A. 2

=h

MN . B. 3

=h

MN . C. 4

=h

MN . D.

.6

hMN =

Lơi giải

Chon B

Phân tích: Ta thây khi quay quanh truc SO sẽ tao nên môt khôi tru năm trong khôi chop.

Khi đo thiêt diên qua truc cua hinh tru la hinh chư nhât MNPQ . Ta có hình sau:

Ta có SO h= ; OA r= . Khi đo đăt OI MN x= =

Theo đinh li Thales ta co

( ).. −= = =

R h xIM SI OA SIIM

OA SO SO h.

Thê tich khôi tru ( )2

22

2. .= = −

RV IM IH x h x

h

Áp dung bât đăng thưc Cauchy ta co: ( )( )

3

2 2 22

3

+ − −

x h xx h x

Vây 24

27

R hV

. Dâu " "= xay ra khi

3

hx = hay .

3

hMN =

.




DANG 4: Hinh tru nội tiêp, ngoại tiêp hinh lâp phương, hinh lăng tru, hinh hộp, măt

cầu, hinh nón.

Phương pháp giải: Dùng đinh nghĩa hinh tru nôi tiêp, ngoai tiêp cua môt hinh

I. Các vi du điên hinh

Vi du 1: Môt hinh tru co hai đay la hai hinh tron nôi tiêp hai măt cua môt hinh lâp phương

canh a . Thê tich cua khôi tru băng:

A. 3a . B.

3

2

a. C.

3

3

a. D.

3

4

a.

Giai theo tư luân:

Ta có: h a=

Đay la hinh tron nôi tiêp hinh lâp phương canh a nên có 2

ar =

Khi đo

2 32

2 4

a aV r h a

= = =

Vi du 2: Cho môt hinh lăng tru tam giac đêu .ABC A B C có AB a= . Biêt măt phăng

( )AB C hơp vơi măt đay ( )A B C môt goc băng o45 . Cho môt hinh tru ngoai tiêp hinh lăng

tru .ABC A B C (hinh tru co cac đương tron đay ngoai tiêp cac măt cua hinh lăng tru). Tinh

diên tich xung quanh cua hinh tru va thê tich khôi tru.

A. 3

2 3,

6

aS a V

= = . B.

2 3 3,

2 6

a aS V

= = .

C. 3

2 3,

18

aS a V

= = . D.

2 3 3,

2 18

a aS V

= = .





Goi I la trung điêm B C . Vì .ABC A B C la lăng tru đêu nên ' 'AI B C⊥ và ' ' 'A I B C⊥ .

Do đo goc giưa ( )AB C và ( )A B C là o' 45AIA = . Suy ra 'AA I vuông cân tai A nên

3' '

2

aAA A I= = .

Suy ra: 2 3

'3 3

ar A I= =

Do đo diên tich xung quanh: 23 32 2 .

3 2

a aS rh a = = =

Thê tich khôi tru la:

23

2 3 3 3.

3 2 6

a a aV r h

= = =

Vi du 3: Cho môt hinh non đỉnh S , măt đay la hinh tron tâm O , bán kính ( )6 cmR = và có

thiêt diên qua truc la tam giac đêu. Cho môt hinh tru co hai đương tron đay la ( );O r và

( );I r , co thiêt diên qua truc la hinh vuông, biêt đương tron ( );O r năm trên măt đay cua

hinh non, đương tron ( );I r năm trên măt xung quanh cua hinh non ( I thuôc đoan SO ).

Tinh thê tich khôi tru.

A. ( )( )3432 26 3 45 cm − . B. ( )( )31296 26 3 45 cm − .

C. ( )( )31296 7 4 3 cm − . D. ( )( )3432 7 4 3 cm − .





Hình nón có bán kinh đương tron đay ( )6 cmR = va co thiêt diên qua truc la tam giac đêu

nên có

2 12

36 3 .

2

SM R cm

SMSO cm

= =

= =

Đăt SI x= , vì / /BI AO nên ta có: .6 6 3 3

BI SI r x xr

OM SO= = =

Chiêu cao cua hinh tru la: 6 3h OI SO SI x= = − = −

Do đo, thiêt diên qua truc cua hinh tru la hinh vuông khi va chỉ khi:

( )2 182 6 3 18 2 3

3 2 3

xh r x x= − = = = −

+

Khi đo:

( ) ( )6 3 12 2 3 3 , 6 2 3 32

hh x r= − = − = = −

( ) ( ) ( )( )2

2 3. 6 2 3 3 .12 2 3 3 1296 26 3 45 cmV r h = = − − = −

Vi du 4: Cho hinh tru nôi tiêp măt câu tâm O , biêt thiêt diên qua truc la hinh vuông va diên

tich măt câu băng ( )272 cm . Tinh diên tich xung quanh cua hinh tru.

A. ( )212 cm . B. ( )216 cm . C. ( )218 cm . D.

( )236 cm





Ta co diên tich cua măt câu la: ( ) ( )2 24 72 cm 3 2 cmmcS R R = = =

Thiêt diên qua truc cua hinh tru la hinh vuông nên 2h r= .

Nên: ( )2 3 2 3 cmR r r= = =

Do đo diên tich xung quanh hinh tru la: ( )22 36 cmS rh = =

II. Bai tâp vân dung co chia mưc độ:

NHẬN BIÊT.

Câu 1. Khôi tru ngoai tiêp khôi lâp phương canh a co thê tich la:

A. 3a . B.

3a

4

. C.

3a

3

. D.

3a

2

.

Câu 2. Môt hinh tru co hai đay la hai hinh tron nôi tiêp trong hai hinh vuông ABCD và

A B C D cua hinh lâp phương canh băng 2a . Thê tich cua khôi tru đo la:

A. 32

3a . B.

34a . C. 34

3a . D.

32a .

Câu 3. Cho hinh tru co hai đay la hinh tron nội tiếp hai đay cua hinh lâp phương canh a .

Diên tich xung quanh cua hinh tru đo băng:

A. 2

2

a. B.

2a . C. 22 a . D.

3a .

THÔNG HIÊU

Câu 4. Hinh tru co thiêt diên qua truc la hinh vuông canh 2R . Tỷ sô thê tich hinh câu nôi

tiêp va ngoai tiêp hinh tru la:

A. 2

4. B.

2

2. C.

2

8. D.

1

2.

Câu 5. Cho hinh lăng tru đêu .ABC A B C co đay ABC la tam giac đêu canh 2a . Khôi tru

( )T có hai đay la hai đương tron ngoai tiêp cac tam giac đay ABC và A B C , biêt tỷ sô giưa

ban kinh đay cua hinh tru va chiêu cao cua hinh tru la 1

3 .

Tính theo a thê tich khôi tru ( )T .




A. 38 3

3

a. B.

38 3

9

a.

C. 3 3a . D.

38 3

27

a.

Câu 6. Môt hinh tư diên đêu ABCD canh a . Xét hinh tru co môt đay la đương

tron nôi tiêp tam giac ABC va chiêu cao băng chiêu cao hinh tư diên. Diên tich

xung quanh cua hinh tru đo băng:

A.

2 3

3

a. B.

2 2

3

a.

C.

22 2

3

a. D.

22 3

3

a.

Câu 7. Ngươi ta bo ba qua bong ban cùng kich thươc vào trong môt chiêc hôp hình tru có

đay băng hình tròn lơn cua qua bóng bàn và chiêu cao băng ba lân đương kính bóng bàn. Goi

1S là tổng diên tích cua ba qua bóng bàn, 2S là diên tích xung quanh cua hình tru. Tỉ sô 1

2

S

S

băng:

A. 1. B. 2. C. 3

2. D.

5

2.

Câu 8. Cho hinh tru co ban kinh đay băng r . Goi O , O la tâm cua hai đay vơi 2OO r = .

Môt măt câu ( )S tiêp xuc vơi hai đay cua hinh tru tai O và O . Trong cac mênh đê dươi đây,

mênh đê nao sai?

A. Diên tich măt câu băng diên tich xung quanh cua hinh tru.

B. Diên tich măt câu băng 2

3diên tich toan phân cua hinh tru.

C. Thê tich khôi câu băng 3

4 thê tich khôi tru.

D. Thê tich khôi câu băng 2

3 thê tich khôi tru.

Câu 9. Môt hinh tru co đương kinh đay băng chiêu cao nôi tiêp trong măt câu

bán kính R . Diên tich xung quanh cua hinh tru băng:

A. 22 2R . B.

2 2R . C. 22 R . D. 2R .

Câu 10. Môt hinh lăng tru tư giac đêu co canh đay băng 2a va canh bên băng 2a nôi tiêp

trong môt hinh tru. Tinh diên tich toan phân (Ki hiêu tpS ) cua hinh tru.

A. 26tpS a= . B.

23tpS a= .




C. ( )2 1 2 2tpS a= + . D. ( )2 1 2 2

2tp

aS

+= .

Câu 11. Cho lăng tru luc giac đêu ABCDEF co canh đay băng a . Cac măt bên la hinh chư

nhât co diên tich băng 22a . Thê tich cua hinh tru ngoai tiêp khôi lăng tru la:

A. 32 a . B.

34 a . C. 36 a . D.

38 a .

Câu 12. Cho hình tru co hai đương tron đay lân lươt là ( )O , ( )O . Môt khôi non co đỉnh là

O va đay la hinh tron ( )O có thê tích băng 3a . Tính thê tích V cua khôi tru đã cho.

A. =V32a . B. =V

33a . C. =V34a . D. =V

36a .

Câu 13. Môt hinh tư diên đêu ABCD canh a . Xét hinh tru co đay la đương tron nôi tiêp tam

giác ABC va co chiêu cao băng chiêu cao hinh tư diên. Tinh diên tich xung quanh cua hinh

tru đo.

A. 2 3

3

a. B.

2 2

3

a. C.

2 2

6

a. D.

2 3

3

a

.

VẬN DỤNG THẤP

Câu 14. Ngươi ta xêp 7 viên bi hinh tron co cùng ban kinh r vao môt cai lo hinh tru sao tât

ca cac viên bi đêu tiêp xuc vơi đay, viên bi năm chinh giưa tiêp xuc vơi 6 viên bi xung quanh

va mỗi viên bi xung quanh đêu tiêp xuc vơi cac đương sinh cua lo hinh tru. Tinh diên tich đay

cua lo hinh tru.

A. 29 r . B.

216 r . C. 236 r . D.

218 r .

Câu 15. Cho môt hinh non co goc ơ đỉnh băng o90 và ban kinh đay băng 4. Khôi tru ( )H có

môt đay thuôc đay cua hinh non va đương tron đay cua măt đay con lai thuôc măt xung quanh

cua hinh non. Biêt chiêu cao cua ( )H băng 1. Tinh thê tich cua ( )H .

A. ( )18

HV = . B. ( )

6H

V = . C. ( )9

HV = . D.

( )3

HV = .

Câu 16. Cho lăng tru đưng .ABC A B C có canh bên 2AA a = . Tam giác ABC vuông tai A

có 2 3BC a= . Thê tich cua hinh tru ngoai tiêp khôi lăng tru nay la:

A. 36 a . B.

34 a . C. 32 a . D.

38 a .

Câu 17. Môt hinh tru co chiêu cao băng 6 nôi tiêp trong hinh câu co ban kinh băng 5 như

hinh vẽ. Thê tich cua khôi tru nay băng:




A. 36 . B. 96 . C. 192 . D. 48 .

Câu 18. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hinh hôp chư nhât .ABCD A B C D có 8AD = ,

6CD = , 12AC = . Tinh diên tich toan phân tpS cua hinh tru co hai đương tron đay la hai

đương tron ngoai tiêp hai hinh chư nhât ABCD và A B C D .

A. 576tpS = . B. ( )10 2 11 5tpS = + .

C. 26tpS = . D. ( )5 4 11 5tpS = + .

Câu 19. Đê tinh thê tich khuc gỗ danh hinh tru, ngươi ta đo chu vi hai đâu khuc gỗ, lây trung

binh công lam chu vi đay cua hinh tru va đo chiêu dai cua khuc gỗ lam chiêu cao cua hinh tru

thi ta sẽ tinh đươc. Goi c la chu vi đay, h la chiêu dai cua khuc gỗ. Tinh thê tich V cua khuc

gỗ.

A. 2

2

c hV

= . B.

2

4

c hV

= . C.

2V c h= . D. V ch= .

Câu 20. Cho hinh lăng tru tam giac đêu .ABC A B C co canh đay băng a, khoang cach từ

đỉnh A đên măt phăng ( )A BC băng 3

13

a. Tinh thê tich khôi tru co hai đay la hai đương tron

ngoai tiêp tam giac ABC và A B C .

A. 3a . B.

33 a . C. 36 a . D.

39 a .

Câu 21. Cho khôi lăng tru đưng . ABC A B C co đay ABC la tam giac vuông cân tai A , có

=AB a ; đương chéo BC cua măt bên BB C C tao vơi măt bên AA C C môt goc 30 . Tính

thê tich V cua khôi tru ngoai tiêp lăng tru . ABC A B C .

A. 3. 2

2

a. B.

3. 2a . C. 3. 2

4

a. D.

3. 2

6

a.

Câu 22. Cho hinh tru nôi tiêp trong hinh lâp phương co canh băng x . Goi 21 V,V lân lươt la

thê tich cua khôi tru va khôi lâp phương trên. Tinh tỉ sô 2

1

V

V.

A. 4

. B.

2

. C.

12

. D.

2

3.




Câu 23. Môt khôi tru co ban kinh đay băng r co thiêt diên qua truc la hinh vuông. Goi 21 ,VV

lân lươt la thê tich hinh lăng tru tư giac đêu nôi tiêp trong hinh tru va thê tich cua khôi tru.

Tinh tỉ sô 2

1

V

V.

A.

2

2

1 =V

V. B.

22

1 =

V

V. C. 2

2

1 =V

V. D.

2

1

2

1 =V

V

.

Câu 24. Cho hình lâp phương .ABCD A B C D . Goi ( )H là hình tru tròn xoay ngoai tiêp lâp

phương đo. Khi đo tỉ sô cua thê tích khôi tru vơi thê tích khôi lâp phương la:

A. 3

2

. B.

2

3

. C.

3

. D.

2

.

Câu 25. Môt hình tru co hai đay la hai đương tròn ( ),O R và ( ),O R , ' 3OO R= . Môt hình

non đỉnh là O va đay la hinh tron ( )O . Hãy tính thê tích phân khôi tru không thuôc khôi nón.

A. 32 3

4

R. B.

32 3

3

R. C.

33 2

4

R. D.

33 2

2

R.

Câu 26. Cho hinh tru co ban kinh đay băng r, tâm cua hai đương tron đay lân lươt lân O , O

, rOO 2'= . Môt hinh non co đỉnh la O va co đay la hinh tron ),( rO . Măt xung quanh cua

hình nón chia khôi tru thanh hai phân. Goi 21 ,VV lân lươt la thê tich phân chưa toan bô hinh

non va phân con lai. Tinh tỉ sô 2

1

V

V.

A. 2

1

2

1 =V

V. B.

3

1

2

1 =V

V. C. 2

2

1 =V

V. D. 3

2

1 =V

V.

Câu 27. Hinh bên cho ta hinh anh cua môt đồng hồ cat vơi cac kich thươc

kèm theo OA OB= . Goi nV , tV lân lươt la thê tich cua hai khôi non va khôi tru.

Tinh tỉ sô n

t

V

V.




A. 1

4. B.

2

5. C.

1

2. D.

1

3.

VẬN DỤNG CAO

Câu 28. Khi san xuât hôp mi tôm, cac nha san xuât luôn đê môt khoang trông ơ dươi đay hôp

đê nươc chay xuông dươi va ngâm vao văt mi, giup mi chin. Hinh vẽ dươi mô ta câu truc cua

môt hôp minh tôm (hinh vẽ chỉ mang tinh chât minh hoa). Văt mi tôm co hinh môt khôi tru,

hôp mi tôm co dang hinh non cut đươc căt ra bơi hinh non co chiêu cao ( )9 cm và bán kính

đay ( )6 cm . Nha san xuât đang tim cach đê sao cho văt mi tôm co thê tich lơn nhât trong hôp

vơi muc đich thu hut khach hang. Tim thê tich lơn nhât đo?

A. 36V = . B. 54V = . C. 48V = . D.

81

2V =

Câu 29. Môt khôi gỗ hinh tru co ban kinh đay ( )10 cmr = , chiêu cao băng ( )20 cm . Ngươi

ta khoét rỗng khôi gỗ bơi hai nưa hinh câu ma đương tron đay cua khôi gỗ la đương tron lơn

cua mỗi nưa hinh câu. Tinh tỉ sô thê tich phân con lai cua khôi gỗ va ca khôi gỗ.

A. 1

3.

B. 3 .

C. 1

2. D.

2

3.

Câu 30. (SỞ GD HÀ NỘI) Cho măt câu bán kính . Môt hinh tru co chiêu cao và

ban kinh đay thay đổi nôi tiêp măt câu. Tinh chiêu cao theo bán kính sao cho diên

tich xung quanh hinh tru lơn nhât

A. . B. . C. . D.

.

( )S R h

r h R

2h R= h R=2

Rh =

2

2

Rh =




BẢNG ĐAP AN

1.D 2.D 3 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A

11.B 12.B 13.B 14.A 15.C 16.A 17.B 18.B 19.B 20.A

21.A 22.A 23.A 24.D 25.B 26.A 27.D 28.C 29.A 30.A

Hương dân giải các câu khó

Câu 28. Khi san xuât hôp mi tôm, cac nha san xuât luôn đê môt khoang trông ơ dươi đay hôp

đê nươc chay xuông dươi va ngâm vao văt mi, giup mi chin. Hinh vẽ dươi mô ta câu truc cua

môt hôp minh tôm (hinh vẽ chỉ mang tinh chât minh hoa). Văt mi tôm co hinh môt khôi tru,

hôp mi tôm co dang hinh non cut đươc căt ra bơi hinh non co chiêu cao ( )9 cm và bán kính

đay ( )6 cm . Nha san xuât đang tim cach đê sao cho văt mi tôm co thê tich lơn nhât trong hôp

vơi muc đich thu hut khach hang. Tim thê tich lơn nhât đo?

A. 36V = . B. 54V = . C. 48V = . D.

81

2V =

Lơi giải

Chon C

Đây thực chât la bai toan khôi tru nôi tiêp khôi non, ta co ki hiêu cac kich thươc như sau:

Ta co thê tich văt mi tôm đươc tinh băng 2. .V B h r h= =

Đây la ưng dung cua bai toan tim GTLN, GTNN trên môt khoang (đoan) xac đinh:

Ta sẽ đưa thê tich vê ham sô môt biên theo h hoăc r. Trươc tiên ta cân đi tim môi liên hê giưa

h và r. Nhin vao hinh vẽ ta thây cac môi quan hê vuông goc va song song, dùng đinh li Thales

ta sẽ co: 6 18 3

9 6 2

h r rh

− −= =




Khi đo ( )3

2 218 3 3. 9

2 2

r rV f r r r

−= = = − + vơi 0 6r

( ) 209

' 18 042

rf r r r

r

== − + =

=

Khi đo lâp BBT ta suy ra đươc vơi 4r = thi V đat GTLN, khi đo 48V = .

Câu 29. Môt khôi gỗ hinh tru co ban kinh đay ( )10 cmr = , chiêu cao băng ( )20 cm . Ngươi

ta khoét rỗng khôi gỗ bơi hai nưa hinh câu ma đương tron đay cua khôi gỗ la đương tron lơn

cua mỗi nưa hinh câu. Tinh tỉ sô thê tich phân con lai cua khôi gỗ va ca khôi gỗ.

A. 1

3.

B. 3 .

C. 1

2. D.

2

3.

Lơi giải

Chon A

Thê tich ban đâu cua khôi gỗ: 2 2000V r h = =

Thê tich cua phân gỗ bi khoét đi la:

3

1

1 4 40002. .

2 3 3V r

= =

Thê tich con lai cua khôi gỗ sau khi khoét la: 2 1

2000

3V V V = − =

Tỉ sô thê tich phân con lai cua khôi gỗ va ca khôi gỗ: 2 1

3

V

V=

Câu 30. (SỞ GD HÀ NỘI) Cho măt câu bán kính . Môt hinh tru co chiêu cao và

ban kinh đay thay đổi nôi tiêp măt câu. Tinh chiêu cao theo bán kính sao cho diên

tich xung quanh hinh tru lơn nhât

A. . B. . C. . D.

.

Lơi giải

Chon A

Ta có .

Diên tich xung quanh cua hinh tru

,

(dùng BĐT ).

Vây .

( )S R h

r h R

2h R= h R=2

Rh =

2

2

Rh =

22 2; ,

4

hOO h IA R AO r r R = = = = −

2 2 22 2 4

2 42

h R hS rh h R h

+ −= = −

2 2

2

a bab

+

2 2 2 2

max 2 4 2S R h R h h R= = − =




III – ĐÊ KIÊM TRA 25 CÂU 45 PHUT CUÔI BÀI

Thơi gian: 45 phút – 25 Câu TN.

Mạch kiên thưc Nhân biêt Thông hiêu Vân dung

thâp

Vân

dung cao

Tổng số

câu

Tổng số

điêm

Dang 1 2 2 4 0 8 3.2

Dang 2 2 3 1 2 8 3.2

Dang 3 1 2 1 0 4 1.6

Dang 4 0 1 2 2 5 2

Tổng sô câu 5 8 8 4 25

Tổng điêm theo mưc

đô 2 3.2 3.2 1.6 10

Câu 1. Tinh thê tich V cua khôi tru co ban kinh đay 4r = va chiêu cao 4 2h =

A. 128V = . B. 64 2V = . C. 32V = . D.

32 2V = .

Câu 2. Diên tich xung quanh cua hinh tru băng:

A. môt nưa cua chu vi đay vơi đô dai đương cao cua no.

B. hai lân tich cua chu vi đay vơi đô dai đương cao cua no.

C. môt nưa tich cua chu vi đay vơi đô dai đương cao cua no.

D. tich cua chu vi đay vơi đô dai đương sinh cua no.

Câu 3. Cho môt hinh tru co ban kinh đay băng R va co chiêu cao băng 3.R Diên tich

xung quanh va diên tich toan phân cua hinh lân lươt co gia tri la:

A. ( ) 22 3 1 R+ và 22 3 R . B.

22 3 R và ( ) 22 3 1 R+ .

C. 22 3 R và

22 R . D. 22 3 R và

2 22 3 R R + .

Câu 4. Cho hinh chư nhât ABCD có AB a= , 2AC a= . Tinh diên tich xung quanh S cua

hinh tru nhân đươc khi quay hinh chư nhât ABCD quanh truc AB .

A. 22 3

3

aS = . B.

23S a= . C. 22 3S a= . D.

22 3 a .

Câu 5. Môt tâm kim loai đươc khoan thung bôn lỗ như hinh vẽ (lỗ khoan dang hinh tru),

tâm kim loai day ( )2 cm , đay cua no la hinh vuông co canh ( )5 cm . đương kinh cua khoan la

( )8 mm . Thê tich phân con lai cua tâm kim loai la:




A. ( )350000 1280 mm− . B. ( )35000 1280 mm− .

C. ( )350000 320 mm− . D. ( )35000 1280 mm− .

Câu 6. Cho hinh tru co chiêu cao 12 va diên tich xung quanh la 224 . Môt con kiên bo

xung quanh hinh tru đo 4 vong cach đêu nhau từ vi tri điêm A đên vi tri điêm B (như hinh vẽ

). Hoi răng con kiên đã bo quãng đương AB co đô dai la bao nhiêu?

A. 2 37 . B. 8 37 . C. 4 13 . D. 13

.

Câu 7. Môt hinh thang vuông ABCD co đương cao AD a= , đay nho AB a= , đay lơn

2CD a= . Cho hinh thang đo quay quanh CD , ta đươc khôi tron xoay co thê tich băng:

A. 34

3V a= . B.

32V a= . C. 31

3V a= . D.

33V a= .

Câu 8. Môt hinh tru co đay la đương tron tâm O bán kính R , ABCD là hình vuông nôi

tiêp trong đương tron ( ),O R . Dựng cac đương sinh AA và BB . Goc cua ( )mp A B CD vơi

đay hinh tru la o60 . Tinh diên tich toan phân cua hinh tru:

A. 2 ( 6 1)tpS R= + . B.

22 ( 3 1)tpS R= + .

C. 22 ( 2 1)tpS R= + . D.

22 ( 6 1)tpS R= + .

Câu 9. Môt hinh tru co ban kinh đay la ( )4 cm va co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông.

Tính thê tich V cua khôi tru đo.

A. ( )364 cmV = . B. ( )3128 cmV = . C. ( )332 cmV = . D.

( )3256 cmV = .




Câu 10. Xét hinh tru ( )T co thiêt diên qua truc cua hinh tru la hinh vuông canh a . Tinh diên

tich toan phân S cua hinh tru.

A. 23

2

aS

= . B.

2

2

aS

= . C.

24S a= . D.

23S a= .

Câu 11. Cho hinh tru co ban kinh đay băng a , chu vi cua thiêt diên qua truc băng 12a . Thê

tich cua khôi tru đã cho băng:

A. 34 a . B.

36 a . C. 35 a . D.

3a .

Câu 12. Cho khôi tru ( )T co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông co diên tich băng 4. Tinh

diên tich xung quanh xqS cua khôi tru ( )T .

A. 4xqS = . B. 2xqS = . C. 8xqS = . D.

4 2xqS = .



A. ( )332 cm . B. ( )38 cm . C. ( )316 cm . D.

( )364 cm .

Câu 14. Cho hinh tru co hai đay la hai hinh tron ( )O và ( )O , ban kinh đay băng R , chiêu

cao co đô dai băng 2R . Môt măt phăng đi qua trung điêm OO va tao vơi OO môt goc o30

thì căt đương tron đay theo môt dây cung co đô dai m . Tính m theo R.

A. 4 3

9

Rm = . B.

2

3

Rm = . C.

2 6

3

Rm = . D. m R= .

Câu 15. Thiêt diên qua truc cua hinh tru tron xoay la hinh vuông canh băng 2a . Tinh thê tich

V cua khôi non tron xoay co đương tron đay la đay cua hinh tru va đỉnh la tâm cua đương tron

đay con lai cua hinh tru.

A. 31

3V a= . B.

32

3V a= . C.

3V a= . D.

34

3V a= .

Câu 16. Ban co môt côc thuy tinh hinh tru, đương kinh trong long đay côc la 6 cm chiêu cao

trong long côc la ( )10 cm đang đựng môt lương nươc. Ban A nghiêng côc nươc, vừa luc khi

nươc cham miêng côc thi ơ đay mực nươc trùng vơi đương kinh đay. Tinh thê tich lương nươc

trong côc.




A. ( )315 cm . B. ( )360 cm . C. ( )360 cm . D.

( )370 cm .

Câu 17. Môt hinh tru ngoai tiêp hinh lăng tru tam giac đêu vơi tât ca cac canh băng a co diên

tich xung quanh băng bao nhiêu?

A. 22 3

3

a. B.

2 3

3

a. C.

24 3

3

a. D.

2 3a .

Câu 18. Môt hinh lâp phương co canh băng 1. Môt hinh tru co 2 đương tron đay nôi tiêp 2

măt đôi diên cua hinh lâp phương. Hiêu sô thê tich khôi lâp phương va khôi tru la:

A. 3

4. B. 1

4−

. C.

2

14

−

. D. 12

−

.

Câu 19. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hinh hôp chư nhât .ABCD A B C D có 8AD = ,

6CD = , 12AC = . Tinh diên tich toan phân tpS cua hinh tru co hai đương tron đay la hai

đương tron ngoai tiêp hai hinh chư nhât ABCD và A B C D .

A. 576tpS = . B. ( )10 2 11 5tpS = + .

C. 26tpS = . D. ( )5 4 11 5tpS = + .

Câu 20. Cho hinh câu tâm O , đương kinh 2R va hinh tru tron xoay nôi tiêp trong hinh câu.

Hãy tim kich thươc cua hinh tru khi no co thê tich đat gia tri lơn nhât.

A. 6

3

Rr = . B.

2

3

Rr = . C.

2

3

Rr = . D.

2

3

Rr = .

Câu 21. Môt binh đựng nươc dang hinh non (không co đay), đựng đây nươc. Biêt răng chiêu

cao cua binh gâp 3 lân ban kinh đay cua no. Ngươi ta tha vao đo môt khôi tru va đo đươc thê

tich nươc tran ra ngoai la ( )316dm

9

. Biêt răng môt măt cua khôi tru năm trên măt đay cua

non (như hinh dươi) va khôi tru co chiêu cao băng đương kinh đay cua hinh non.




Tinh diên tich xung quanh cua binh nươc.

A. ( )39 10dm

2xqS

= .

B. ( )34 10 dmxqS = .

C. ( )34 dmxqS = .

D. ( )34dm

2xqS

= .

Câu 22. Trong cac khăng đinh sau: Hinh tru đươc tao thanh khi

( )I Quay môt hinh vuông xung quanh môt canh cua no.

( )II Quay môt hinh chư nhât xung quanh môt canh cua no.

( )III Quay môt tam giac xung quanh môt canh goc vuông.

( )IV Quay môt hinh chư nhât xung quanh môt đương chéo cua no.

Sô khăng đinh đung la:

A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Câu 23. Cho hinh chư nhât ABCD có 4; 2AB BC= = quay xung quanh canh AB . Bán kính

đay cua hinh tru đươc tao thanh la:

A. 2r = . B. 3r = . C. 4r = . D. 8r = .

Câu 24. Cho hình vuông ABCD co đương chéo 4 2AC = quay xung quanh môt canh cua

no. Đương cao cua hinh tru đươc tao thanh la:

A. 2h = . B. 3h = . C. 4h = . D.

2 2h = .

Câu 25. Cho hinh chư nhât ABCD có AB a= và góc 030BDC = . Quay hình chư nhât nay

xung quanh canh AD . Diên tich xung quanh cua hinh tru đươc tao thanh la:

A. 23 a . B.

22 3 a . C. 22

3a . D.

2a

BẢNG ĐAP AN

1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A

11.A 12.A 13.B 14.C 15.B 16.B 17.A 18.B 19.B 20.A

21.B 22.C 23.A 24.C 25.C

Câu 6. Cho hinh tru co chiêu cao 12 va diên tich xung quanh la 224 . Môt con kiên bo

xung quanh hinh tru đo 4 vong cach đêu nhau từ vi tri điêm A đên vi tri điêm B (như hinh vẽ

). Hoi răng con kiên đã bo quãng đương AB co đô dai la bao nhiêu?

A. 2 37 . B. 8 37 . C. 4 13 . D. 13




Lơi giải

Chon C

Con kiên bo môt vong la đương chéo cua hinh chư nhât co môt canh la đương sinh, môt canh

la chu vi cua đay: Ta co:

( ) ( )2 2

4 3 2 4 13AB = + = .

Câu 16. Ban co môt côc thuy tinh hinh tru, đương kinh trong long đay côc la 6 cm chiêu cao

trong long côc la ( )10 cm đang đựng môt lương nươc. Ban A nghiêng côc nươc, vừa luc khi

nươc cham miêng côc thi ơ đay mực nươc trùng vơi đương kinh đay. Tinh thê tich lương nươc

trong côc.

A. ( )315 cm . B. ( )360 cm . C. ( )360 cm . D.

( )370 cm .

Lơi giải

Chon B

Dựng hê truc toa đô Oxy. Goi S(x) la diên tich thiêt diên do măt phăng co phương vuông goc

vơi truc Ox vơi khôi nươc, măt phăng nay căt truc Ox tai điêm co hoanh đô 0h x . Ta co:

( )h x Rr h xr

R h h

−−= = , vi thiêt diên nay la nưa đương tron ban kinh

( )( )

2 22

22 2

h x Rrr S x

h

− = =

Thê tich lương nươc chưa trong binh la ( ) ( )10

2

0 0

910

200

h

V S x dx x dx

= = −

( )10 3

2 2

0

109 9100 20 200 10

0200 200 3

xx x dx x x

= + − = + −

( )360 cm= .

Câu 20. Cho hinh câu tâm O , đương kinh 2R va hinh tru tron xoay nôi tiêp trong hinh câu.

Hãy tim kich thươc cua hinh tru khi no co thê tich đat gia tri lơn nhât.

A. 6

3

Rr = . B.

2

3

Rr = . C.

2

3

Rr = . D.

2

3

Rr = .




Lơi giải

Chon A

Goi h va r la chiêu cao va ban kinh đay cua hinh tru. Bai toan quy vê viêc tinh h va r phu thuôc

theo R khi hinh chư nhât ABCD nôi tiêp trong hinh tron (O, R) thay đổi vê 2V r h= đat gia

tri lơn nhât

Ta có: 2 2 2 2 2 24 4AC AB BC R r h= + = +

( )2 2 3 2

2 2

1 10 2

4 4

3 2'

4 3

V R h h h R h h R

RV h R h

= − = − +

= − + =

Vây 3

max

4 23

9 3

RV V R h= = =

Luc đo 2 2

2 2 1 4 2 6.

4 3 3 3

R R Rr R r= − = = .

Câu 21. Môt binh đựng nươc dang hinh non (không co đay), đựng đây nươc. Biêt răng chiêu

cao cua binh gâp 3 lân ban kinh đay cua no. Ngươi ta tha vao đo môt khôi tru va đo đươc thê

tich nươc tran ra ngoai la ( )316dm

9

. Biêt răng môt măt cua khôi tru năm trên măt đay cua

non (như hinh dươi) va khôi tru co chiêu cao băng đương kinh đay cua hinh non.

Tinh diên tich xung quanh cua binh nươc.

A. ( )39 10dm

2xqS

= .

B. ( )34 10 dmxqS = .

C. ( )34 dmxqS = .

D. ( )34dm

2xqS

= .

Lơi giải

Chon B




- Goi ban kinh đay hinh non là R , chiêu cao la h .

Ta có 3h R=

- Chiêu cao cua khôi tru la 1 2h R= , ban kinh đay la 1R

.

- Trong tam giác OHA có / /H A HA

11

1

3 3

R H A OH RR

R HA OH

= = = =

- Thê tich khôi tru la 3

2

1 1

2 162

9 9

RV R h R

= = = =

- Đương sinh cua hinh non la

2 2 2 29 2 10l OA OH HA R R= = + = + =

- Diên tich xung quanh cua binh nươc

4 10xqS Rl = =

H'

A

O

H

A'




IV – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Câu 1. Môt hinh tru co ban kinh r a= ; chiêu cao 2h a= . Tinh diên tich xung quanh va

diên tich toan phân cua hinh tru?

A. 2 24 ; 6xq tpS a S a = = . B.

2 22 ; 4xq tpS a S a = = .

C. 2 24 ; 5xq tpS a S a = = . D.

2 22 ; 3xq tpS a S a = = .

Câu 2. Cho hinh chư nhât ABCD có 2AB = , 2CD = . Quay hinh chư nhât lân lươt quanh

AD và AB đươc hai hinh tru tron xoay co thê tich la 1 2,V V . Hê thưc nao sau đây đung:

A. 1 2V V .

B.

1 22V V .

C. 1 23V V .

D.

1 22V V .

Câu 3. Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD vơi 2; 6AB AD= = . Goi M và N lân

lươt la trung điêm cua AB và CD . Quay hinh chư nhât đo xung quanh truc MN ta thu đươc

môt hinh tru. Tinh thê tich cua hinh tru đo.

A. 6 . B. 12 . C. 26 . D. 212 .

Câu 4. Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD , có 2; 3AB AD= = . Goi M và N là

trung điêm cua AD và BC . Quay hinh chư nhât đo quanh truc MN ta đươc môt hinh tru,

tinh diên tich xung quanh cua hinh tru đo.

A. 10 . B. 6 . C. 2 . D. 2 .

Câu 5. Môt hinh tru co ban kinh đay ( )6 cm , chiêu cao ( )10 cm . Thê tich cua khôi tru nay

là:

A. ( )3300 cm . B. ( )3340 cm . C. ( )3360 cm . D.

( )3320 cm .

Câu 6. Môt hinh tru co chu vi cua đương tron đay la c , chiêu cao cua hinh tru gâp 4 lân chu

vi đay. Thê tich cua khôi tru nay la:

A.

3c

. B. 34 c . C.

32c

. D.

2

2

2c

.


đựng nươc hinh tru theo 2 cach sau:

Cách 1: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng sao cho thùng co chiêu cao

( )50 cm va chỗ môi ghép mât ( )2 cm .

Cách 2: Go tâm tôn ban đâu thanh măt xung quanh cua thùng sao cho thùng co chiêu cao

( )100 cm va chỗ môi ghép mât ( )2 cm .

Goi 1V , 2V lân lươt la thê tich cua thùng go đươc theo cach 1 va cach 2. Tinh tỉ sô 2

1

V

V.




A. 2

1

1152

2401

V

V= . B. 2

1

1152

2403

V

V= . C. 2

1

1151

2401

V

V= . D.

2

1

1153

2401

V

V= .

Câu 8. Môt miêng tôn hinh chư nhât co chiêu dai 10, 2dm , chiêu rông 2 dm đươc uôn lai

thanh măt xung quang cua môt chiêc thùng đựng nươc co chiêu cao 2 dm . Biêt răng chỗ

ghép mât ( )2 cm . Hoi thùng đựng đươc bao nhiêu lit nươc:

A. 20 lít. B. 30 lít. C. 50 lít. D. 100 lít.

Câu 9. Trong không gian cho hinh chư nhât ABCD có 4; 2AB BC= = . Goi ,P Q lân lươt

la cac điêm trên canh AB va CD sao cho: 1BP = , 3QD QC= . Quay hinh chư nhât ABCD

xung quanh truc PQ ta đươc môt hinh tru. Tinh diên tich xung quanh cua hinh tru đo.

A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 6 .

Câu 10. Căt môt hinh tru băng măt phăng ( ) vuông goc măt đay, ta đươc thiêt diên la môt

hinh vuông co diên tich băng 16. Biêt khoang cach từ tâm đay hinh tru đên măt phăng ( )

băng 3. Tinh thê tich khôi tru.

A. 52

3

. B. 52 . C. 13 . D. 2 3 .

Câu 11. Cho hinh tru co ban kinh đay băng a . Căt hinh tru bơi môt măt phăng song song vơi

truc cua hinh tru va cach truc cua hinh tru môt khoang băng 2

a ta đươc thiêt diên la môt hinh

vuông. Tinh thê tich khôi tru.

A. 3 3a . B.

3a . C. 3 3

4

a. D.

33 a .

Câu 12. Thiêt diên qua truc cua môt hinh tru la hinh vuông co chu vi la 8a . Diên tich xung

quanh cua hinh tru đo la:

A. 22xqS a= . B.

24xqS a= . C. 28xqS a= . D.

24xqS a= .

Câu 13. Xét khôi tru đươc tao thanh bơi hinh tru tron xoay co ban kinh đay ( )3 cmr = ,

khoang cach giưa hai đay băng ( )6 cm . Căt khôi tru đo bơi măt phăng song song vơi truc va

cach truc ( )1 cm . Diên tich cua thiêt diên đươc tao nên la:




A. ( )212 2 cm . B. ( )220 2 cm . C. ( )248 2 cm . D.

( )224 2 cm .

Câu 14. Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 va co thiêt diên qua truc la hình

vuông. Thê tich khôi tru tương ưng băng

A. . B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Câu 15. Cho khôi tru ( )T co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông co diên

tich băng 4. Tinh diên tich xung quanh xqS cua khôi tru ( )T .

A. 4xqS = . B. 2xqS = . C. 8xqS = . D.

4 2xqS = .

Câu 16. Môt hinh tru co ban kinh ( )5 cm va chiêu cao ( )7 cm . Căt hinh tru

băng măt phăng ( )P song song vơi truc va cach truc ( )3 cm . Diên tich thiêt diên

tao bơi hinh tru va măt phăng ( )P băng:

A. ( )2112 cm . B. ( )228 cm . C. ( )254 cm . D.

( )256 cm .

Câu 17. Cho hinh tru co ban kinh đay băng a , chu vi cua thiêt diên qua truc

băng 12a . Thê tich cua khôi tru đã cho băng:

A. 34 a . B.

36 a . C. 35 a . D.

3a .

Câu 18. Thiêt diên qua truc cua hình tru tròn xoay là hình vuông canh băng

2a . Tính thê tích V cua khôi non tron xoay co đương tron đay la đay cua hình tru

va đỉnh là tâm cua đương tron đay con lai cua hình tru.

A. 31

3V a= . B.

32

3V a= . C.

3V a= . D.

34

3V a= .

Câu 19. Môt hinh tru co chiêu cao gâp 3 lân ban kinh đay, biêt răng thê tich

cua khôi tru đo băng 3 đơn vi thê tich. Tinh diên tich cua thiêt diên qua truc

cua hinh tru.

A. 3 đơn vi diên tich. B. 36 9 đơn vi diên tich.

C. 6 đơn vi diên tich. D. 33 9 đơn vi diên tich.

Câu 20. Môt hinh tru co diên tich xung quanh băng 4 và có thiêt diên qua

truc la hinh vuông. Thê tich khôi tru tương ưng băng




A. . B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Câu 21. Môt hinh tru co hai đay la hai hinh tron ( );O r và ( );O r . Khoang

cach giưa hai đay la 3OO r = . Môt hinh non co đỉnh la O va co đay la đương

tròn ( );O r . Goi 1S la diên tich xung quanh hinh tru, 2S la diên tich xung quanh

hinh non. Khi đo tỉ sô 1

2

S

S băng:

A. . B. . C. 2. D. .

Câu 22. Từ môt khôi gỗ hinh tru co đương kinh ( )6 dm , bac nông dân dùng cưa đê căt theo

măt căt đi qua môt điêm trên đương sinh cach đay ( )1 dm va đi qua đương kinh cua đay (như

hinh vẽ) đê đươc môt "khôi nêm". Giup bac nông dân tinh thê tich cua "khôi nêm" đo?

A. ( )30,06 m . B. ( )30,006 m . C. ( )30,018 m . D.

( )30,006 m .

Câu 23. Nghiêng môt côc nươc hinh tru co đựng nươc, ngươi ta thây bê măt nươc la hinh

Elip co đô dai truc lơn la ( )10 cm , khoang cach từ hai đỉnh trên truc lơn cua Elip đên đay côc

lân lươt la ( )5 cm và ( )11 cm . Tinh thê tich nươc trong côc.

A. ( )3128 cm . B. ( )3100 cm . C. ( )3172 cm . D.

( )396 cm .

33

3

1

2




Câu 24. Cho đương thăng 2d cô đinh, đương thăng 1d song song và cách 2d môt khoang

cach không đổi. Khi 1d quay quanh 2d ta đươc.

A. Hình tru. B. Măt tru. C. Khôi tru. D. Hình

tròn.

Câu 25. Trong không gian cho đương thăng d .Tim tâp hơp tât ca cac điêm trong không gian

cách d môt khoang không đổi R

A. Hình nón có truc la đương thăng d va ban kinh đay R .

B. Măt tru co truc la đương thăng d va ban kinh đay R .

C. Khôi tru co truc la đương thăng d va ban kinh đay R .

D. Hinh tru co truc la đương thăng d va ban kinh đay R .

Câu 26. Hinh chư nhât ABCD có =AD a , 3=AB a . Tinh thê tich V cua khôi tru tao thanh

khi quay hinh chư nhât môt vong quanh canh AD

A. 39

4

=

aV . B.

3

4

=

aV . C.

33=V a . D.

39=V a .

Câu 27. Trong không gian cho hinh chư nhât ABCD có =AB a , 5=AC a . Tinh diên tich

xung quanhxqS cua hinh tru khi quay đương gâp khuc BCDA quanh truc AB

A. 22=xqS a . B.

24=xqS a . C. 22=xqS a . D.

24=xqS a .

Câu 28. Cho hinh chư nhât ABCD có 2 2= =AB AD . Quay hinh chư nhât ABCD lân lươt

quanh AD và AB ta đươc 2 khôi tru co thê tich 1V và 2V . Hê thưc nao sau đây đung?

A. 1 2=V V . B. 1 22 =V V . C. 1 22=V V . D.

1 22 3=V V .

Câu 29. Trong không gian, cho hinh chư nhât ABCD có 1AB = và 2AD = . Goi M , N lân

lươt la trung điêm cua AD và BC . Quay hinh chư nhât đo xung quanh truc MN , ta đươc môt

hinh tru. Tinh diên tich toan phân tpS cua hinh tru đo.

A. 4=tqS . B. 2=tpS . C. 6=tpS . D.

10=tpS .

Câu 30. Môt hinh thang cân ABCD co đay nho 1=AB , đay lơn 3=CD , canh bên

2= =BC AD . Cho hình thang quay quanh AB , ta đươc khôi tron xoay co thê tich băng:

A. 7V = . B. 3=V . C. 5V = . D. 4V =.

Câu 31. Môt công ty dự kiên lam môt đương ông thoat nươc thai hinh tru dai

( )1 km , đương kinh trong cua ông (không kê lơp bê tông) băng ( )1 m ; đô day cua

lơp bê tông băng ( )10 cm . Biêt răng cư môt khôi bê tông phai dùng 10 bao xi

măng. Sô bao xi măng công ty phai dùng đê xây dựng đương ông thoat nươc gân

đung vơi sô nao nhât?




A. 3456 bao. B. 3450 bao. C. 4000 bao. D. 3000

bao.

Câu 32. Môt nhà máy san xuât cân thiêt kê môt thùng sơn dang hình tru có

năp đây vơi dung tích ( )31000 cm . Bán kính cua năp đây đê nhà san xuât tiêt kiêm

nguyên vât liêu nhât băng

A. ( )3500

cm

. B. ( )35

10. cm

. C. ( )500

cm

. D.

( )5

10. cm

.

Câu 33. Môt hinh tru co 2 đay la 2 hinh tron tâm O và O , cùng có bán kính

5r = . Khoang cach giưa 2 đay la 8OO = . Goi ( ) la măt phăng qua trung điêm

cua đoan OOva tao vơi đương thăng OO môt goc o45 . Tinh diên tich S cua

thiêt diên tao bơi măt phăng ( ) và hình tru.

A. 24 2S = . B. 48 2S = . C. 36 2S = . D. 36S = .

Câu 34. Từ môt khúc gỗ tròn hình tru, đương kính băng 8 2 cân xẻ thành môt chiêc xà có

tiêt diên ngang là hình vuông và 4 miêng phu kich thươc ,x y như hinh vẽ. Hãy xac đinh x

đê diên tích sư dung theo tiêt diên ngang là lơn nhât?

A. 17 3x = − . B. 41 3x = − . C. x = 1. D.

41 3x = − .

Câu 35. Môt công ty thiêt kê cac bồn chưa nươc hinh tru băng nhựa co thê

tích V không đổi, chiêu cao h va ban kinh đay R . Tinh tỉ sô =h

kR

đê nguyên

liêu lam bồn nươc la it tôn kém nhât.

A. 2

3k = . B.

1

2k = . C. 2k = . D.

1

2k = .




Câu 36. Trong không gian cho hinh chư nhât ABCD , goi M , N lân lươt la

trung điêm cua cac canh BC và CD . Cho đa giac ABMND quay quanh truc AD

ta đươc môt khôi tron xoay ( ).X Tinh thê tich V cua khôi tron xoay ( )X biêt

( )2 cmAB = , ( )6 cmBC =

A. ( )316V cm= . B. ( )319V cm= . C. ( )333V cm= . D.

( )324V cm= .

Câu 37. Môt nha san suât cân thiêt kê môt thùng đựng dâu nhơt hinh tru co

năp đây vơi dung tich la ( )32000 dm . Đê tiêt kiêm nguyên liêu nhât thi ban kinh

cua năp đây phai băng bao nhiêu?

A. ( )3

10dm

. B. ( )

2

20dm

. C. ( )

3

10dm

2. D.

( )3

20dm

2.

Câu 38. Cho hinh lâp phương co canh băng a va môt hinh tru co hai đay la hai hinh tron nôi

tiêp hai măt đôi diên cua hinh lâp phương. Goi 1S la diên tich 6 măt cua hinh lâp phương, 2S

la diên tich xung quanh cua hinh tru. Hãy tinh tỉ sô 1

2

S

S.

A. 6

. B.

2

. C.

1

2. D. .

Câu 39. Cho hinh lăng tru đưng .ABC A B C có tam giác ABC vuông cân tai B , 2AB a=

va canh bên 6AA a = . Khi đo, diên tich xung quanh cua hinh tru ngoai tiêp hinh lăng tru đã

cho băng bao nhiêu?

A. 24 6a . B. 24 a . C.

22 6a . D. 2 6a .

Câu 40. Cho tư diên đêu ABCD canh băng a . Thê tich cua hinh tru co đay la đương tron

ngoai tiêp tam giac BCD va co chiêu cao băng chiêu cao cua tư diên ABCD là:

A. 3 2

3

a. B.

3 6

3

a. C.

3 6

4

a. D.

2 3a .

Câu 41. Môt cai bồn chưa xăng gồm hai nưa hinh câu va môt hinh tru (như hinh vẽ). Cac

kich thươc đươc ghi cùng đơn vi. Hãy tinh thê tich cua bồn chưa.




A. 2 5.4 .3 . B.

5 2.4 .3 . C. 2

5

4.3

. D. 5

2

4.3

.

Câu 42. Cho lăng tru tam giac đêu .ABC A B C co canh đay băng a , măt bên la cac hinh

vuông. Diên tich toan phân cua hinh tru ngoai tiêp khôi lăng tru la:

A. ( )22

3 13

a+ . B.

24 a . C. 22 a . D.

23

2

a.

Câu 43. Cho hinh lăng tru tam giac đêu co canh đay băng a va chiêu cao băng h . Khi đo thê

tich cua khôi tru nôi tiêp lăng tru sẽ băng:

A. 2

12

ha. B.

2

3

ha. C.

22

9

ha. D.

24

3

ha.

Câu 44. Khôi tru ( )T co ban kinh đay la R va thiêt diên qua truc la môt hinh vuông. Thê

tich cua khôi lăng tru tư giac đêu nôi tiêp khôi tru ( )T trên tính theo R băng:

A. 34R . B. 33R . C. 32R . D.

35R .

Câu 45. Cho hinh tru co hai đay la hinh tron nội tiếp hai măt đôi diên cua hinh lâp phương

canh a. Diên tich xung quanh cua hinh tru đo băng:

A. 2

2

a. B.

2a . C. 22 a . D.

3a .

Câu 46. Môt hinh tru co chiêu cao băng 6 nôi tiêp trong hinh câu co ban kinh băng 5. Thê

tich cua khôi tru nay băng:

A. 96 . B. 36 . C. 192 . D. 48 .

Câu 47. Môt hinh tru ngoai tiêp môt hinh câu ( ),O RS . Thê tich cua khôi tru băng:

A. 32 R . B.

22 R . C. 3R . D.

3

3

R.

Câu 48. Giam đôc môt công ty sưa yêu câu bô phân thiêt kê lam môt mẫu hôp đựng sưa co

dang hinh tru thê tich băng 3450 cm . Nêu la nhân viên cua bô phân thiêt kê, thi anh/chi sẽ

thiêt kê hôp đựng sưa co ban kinh đay gân vơi gia tri nao nhât sau đây đê chi phi cho nguyên

liêu la thâp nhât?

A. ( )5,2 cm . B. ( )4,25 cm . C. ( )3,6 cm . D.

( )4,2 cm .




Câu 49: Môt qua bóng bàn và môt chiêc chén hình tru có cùng chiêu cao. Ngươi ta đăt qua

bóng lên chiêc chén thây phân ơ ngoài cua qua bóng có chiêu cao băng 3

4chiêu cao cua nó.

Goi 1V , 2V lân lươt là thê tích cua qua bóng và chiêc chén, khi đo:

A. 1 29 8V V= . B. 1 23 2V V= . C. 1 216 9V V= . D.

1 227 8V V=

Câu 50. Môt dung cu đựng chât long đươc tao bơi môt hinh tru va hinh non đươc lăp đăt như

hinh bên. Biêt ban kinh đay hinh non băng ban kinh đay hinh tru. Chiêu cao hinh tru băng

chiêu cao hinh non va băng h . Chât long đựng trong binh co chiêu cao băng 1

24 chiêu cao

hinh tru. Khi lât ngươc dung cu theo phương vuông goc vơi măt đât thi đô cao phân chât long

trong hinh non tinh theo h băng:

A. h

2. B.

h

4. C.

h

8. D.

3h

8

BẢNG ĐAP AN

1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.A 8.C 9.B 10.B

11.A 12.B 13.D 14.D 15.A 16.D 17.A 18.B 19.C 20.D

21.A 22.D 23.B 24.B 25.B 26.D 27.B 28.C 29.A 30.A

31.A 32 33.B 34.A 35.C 36.B 37.A 38.A 39.C 40.C

41.A 42.A 43.A 44.A 45.B 46.A 47 48.D 49.A 50.A

Hương dân bai tâp tự luyên.

Câu 22. Từ môt khôi gỗ hinh tru co đương kinh ( )6 dm , bac nông dân dùng cưa đê căt theo

măt căt đi qua môt điêm trên đương sinh cach đay ( )1 dm va đi qua đương kinh cua đay (như

hinh vẽ) đê đươc môt "khôi nêm". Giup bac nông dân tinh thê tich cua "khôi nêm" đo?




A. ( )30,06 m . B. ( )30,006 m . C. ( )30,018 m . D.

( )30,006 m .

Lơi giải

Chon D

Chon hê truc toa đô như hinh vẽ. Khi đo khuc gỗ bé co đay la nưa hinh tron co phương trinh:

( )29 3;3y x x= − −

Môt măt phăng căt vuông góc vơi truc Ox tai điêm co hoanh đô , 3;3x x − căt khúc gỗ bé

theo thiêt diên có diên tích ( )S x (xem hình).

Dễ thây NP y= và 2tan 9 tanMN NP x = = −

( ) ( )21 1. 9 tan

2 2S x MN PN x = = − trong đo

1tan

3 = khi đo thê tích cua khúc gỗ bé là

( ) ( )3 3

2 3 3

3 3

19 tan 6 0,006

2V S x x dx dm m

− −

= = − = = .

Công thưc tổng quát: ( )3 2 3

2 2 31 1 2 2 2 tan2

2 2 3 3 3

R

R

h h R R h RV R x dx R

R R

−

= − = − = =

(vơi

; tanh

h MNR

= = ).

Câu 23. Nghiêng môt côc nươc hinh tru co đựng nươc, ngươi ta thây bê măt nươc la hinh

Elip co đô dai truc lơn la ( )10 cm , khoang cach từ hai đỉnh trên truc lơn cua Elip đên đay côc

lân lươt la ( )5 cm và ( )11 cm . Tinh thê tich nươc trong côc.




A. ( )3128 cm . B. ( )3100 cm . C. ( )3172 cm . D.

( )396 cm .

Lơi giải

Chon A

Công thưc tinh nhanh khôi tron xoay → khôi tru cut co ban kinh R .

Diên tich xung quanh cua khôi tru cut la ( )1 2= +xqS R h h

Thê tich cua khôi tru cut la 2

2 1

2

+=

h hV R

Vơi bai toan trên, đô dai truc lơn cua Elip la 10cm nên ban kinh đương tron đay cua khôi tru

là ( )

( )22 2 210 11 5 10 6 64

4 cm2 2 2

R− − −

= = = =

Thê tich khôi nươc la ( )2 2 31 2 11 5.4 . 128 cm

2 2g

h hV R

+ + = = =

Câu 31. Môt công ty dự kiên lam môt đương ông thoat nươc thai hinh tru dai

( )1 km , đương kinh trong cua ông (không kê lơp bê tông) băng ( )1 m ; đô day cua

lơp bê tông băng ( )10 cm . Biêt răng cư môt khôi bê tông phai dùng 10 bao xi

măng. Sô bao xi măng công ty phai dùng đê xây dựng đương ông thoat nươc gân

đung vơi sô nao nhât?

A. 3456 bao. B. 3450 bao. C. 4000 bao. D. 3000

bao.




Lơi giải

Chon A

Ban kinh cua đương tron đay hinh tru không chưa bê tông bên trong đương ông la

( ) ( )100 10.2 : 2 40 cm− =

Thê tich cua đương ông thoat nươc la ( )2

2 31. .1000 250 m

2V r h

= = =

Thê tich cua khôi tru không chưa bê tông (rỗng ) la:

( )2

2 3

1

2. .1000 160 m

5V r l

= = =

Vây sô bao xi măng công ty cân phai dùng đê xây dựng đương ông la 3456 bao.

Câu 34.

Đáp án A

Ta có: ( )0 x 4 2 1 ; 0 y 8. −

Theo Pitago ta có: ( )2 2 2 22x 8 y 128 y 64 4x 32x.+ + = = − −

Diên tich sư dung theo tiêt diên ngang lơn nhât khi diên tich miêng phu la ( )S x lơn nhât.

Ta có: ( ) ( )2 4 3 2S x 4x 32x 64x f x .= − − + = Ham sô ( )y f x= co bang biên thiên:




Suy ra ( )S x lơn nhât khi x 17 3.= − .

Câu 41.

Chon A

Thê tich cua bồn là: . . . . .V π π π π3 2 2 549 9 36 3888 4 3

3

Câu 48

Chon D

V hinh tru 2 3

2

450.r .h 450 cm h

r= = =

Đê tiêt kiêm nhât thi diên tich toan phân cua hinh tru sẽ nho nhât

Stoan phân = 2. Sđay + Sxung quanh 22 .r 2 .rh= +

Thay 2

450h

r=

ta có: Stoan phân 2 450 450

2 .rr r

= + +

Theo bât đăng thưc Cô – si: S toan phân min khi 2 4502 .r r 4, 2

r = .

Câu 49.

Đáp án A

Goi chiêu cao cua chiêc chén hình tru là 2h va ban kinh đương tron đay cua hình tru là r .

Ban chât cua bài toán chính là bài toán măt phăng căt măt câu theo môt thiêt diên toa đô

yzOx .




Goi O là tâm cua qua bong ban, khi đo khoang cách từ O đên măt phăng thiêt diên băng h

.2

Ban kinh đương tron đay hinh tru là 2 2 h 3AI OA OI .

2= − =

Thê tích cua qua bóng bàn là 3

3 3

1

4 4 4 hV R h

3 3 3

= = =

Thê tích cua chiêc chén là

23

2

2 c

h 3 3 hV r h .2h

2 2

= = =

Vây tỉ sô 3 3

1 2 1 2

4 h 3 h 4 2 8V : V : . 9V 8V

3 2 3 3 9

= = = = .

Câu 50.

Đáp án A

Ta co thê tich khôi chât long trong hinh tru: 2hV R

24=

Goi x la chiêu cao cua chât long trong hinh non ta co: . .

2 21 x h h

V x R x3 h 24 2

= = =

.


hÌnh trỤ - giải bài tập, tài liệu, đề thi

Documents