h¨ohere mathematik 2 pr¨asenz...

P. Engel, T. Pfrommer

S. Poppitz, Dr. I. Rybak

1. Gruppenubung zur Vorlesung

Hohere Mathematik 2Prof. Dr. M. Stroppel

Prof. Dr. N. Knarr

Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 1. Konvergenzkriterien fur Reihen

Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren

(a)∞

∑

n=0

n

n + 1

(b)

∞∑

k=0

1

k2 + k + 1

(c)∞

∑

n=0

n3

4n

(d)∞

∑

k=1

(

−9k − 10

10k

)k

Aufgabe P 2. Stetigkeit

(a) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und skizzieren Sie die zu-gehorigen Funktionsgraphen.

(i) f : R → [0, 1] : x 7→

{

0 fur |x| > 11 − |x| fur |x| ≦ 1

(ii) g : R+ → R : x 7→ n falls x ∈ [(n − 1), n) fur n ∈ N .

(b) Unter welchen Bedingungen an die Parameter α, ω ∈ R ist die folgende Funktion stetigin dem Punkt x0 = 0?

h : R+ ∪ {0} → R : x 7→

{

xα cos 1

xfur x > 0

ω fur x = 0

Aufgabe P 3. Grenzwerte von Reihen

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(a)

∞∑

k=0

(−1)k

2k

(b)∞

∑

k=1

1

k(k + 1)

(c)

∞∑

k=1

3

4k

(d)∞

∑

k=0

(−3)k

4k

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-09/

1. Gruppenubung Hohere Mathematik 2

Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):

Aufgabe H 1.

Fur a ∈ R r {0} ist die Reihe∞

∑

j=1

(−1)j+1j! + πaj

aj · j!

gegeben.

(a) Untersuchen Sie die Reihe in Abhangigkeit von dem Parameter a auf Konvergenz undDivergenz.

(b) Berechnen Sie im Fall, dass die Reihe konvergiert, auch den Wert der Reihe.

Aufgabe H 2. Konvergenzkriterien

Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.

(a)

∞∑

j=1

(−1)j

(

1

j

)1

3

(b)

∞∑

n=1

(

(−1)n

n + 1+

(

2

3

)n)

(c)∞

∑

j=3

j + 2

j2 − 4

(d)∞

∑

n=1

3n

n!

Aufgabe H 3. Grenzwerte von Reihen

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(a)

∞∑

k=2

4

3k−1

(b)∞

∑

k=2

ln(

k+1

k

)

ln(k + 1) ln(k)

(c)

∞∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)

(d)∞

∑

k=0

2 + (−1)k

(k + 1)!

Hinweis:

•1

k(k + 1)(k + 2)=

1

2k−

1

k + 1+

1

2(k + 2)

•∞

∑

k=0

αk

k!= eα fur α ∈ R






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Sommersemester 2009

Aufgabe P 4. Fehlerrechnung und Stetigkeit

Gegeben sei die Funktion f : R → R : x 7→ x2 und ein x0 ∈ R+ .

(a) Berechnen Sie fur 0 < δ < x0 die maximale Abweichung ε des Ergebnisses von f , fallsein beliebiger Wert x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] anstatt x0 eingesetzt wird. Daher berechnenSie

ε(δ) := supx∈[x0−δ,x0+δ]

|f(x) − f(x0)|.

(b) Berechnen Sie den Funktionsgrenzwert limδ→0

ε(δ) .

(c) Wiederholen Sie (a) und (b) mit x0 = 1 fur die Funktion

g : R → R : x 7→

{

0 fur x < 1,1 fur x ≧ 1.

(d) Was hat das Ganze mit Stetigkeit zu tun?

Aufgabe P 5.

Gegeben ist die Menge

L :={

k ·π

2

∣

∣

∣k ∈ Z

}

und die folgenden Abbildungen:

f : R r L → R : x 7→x

sin(2x)

g : R r L → R : x 7→sin(2x)

|sin(2x)|cos(x)

h : R r L → R : x 7→

(

sin(2x)

|sin(2x)|+ 1

)

cos(x)

sin(x)

l : L → R : x 7→ sin(2x)

(a) Skizzieren Sie die Graphen der gegebenen Funktionen.

(b) Untersuchen Sie anhand der Skizzen die Funktionen auf Stetigkeit.

(c) Bestimmen Sie fur f , g und h an Stellen x0 ∈ L die rechtsseitigen und linksseitigenGrenzwerte.

(d) An welchen Stellen x0 ∈ L lassen sich f , g und h linksseitig stetig erganzen, worechtsseitig? An welchen Stellen kann man sie stetig erganzen?

Aufgabe P 6.

(a) Gegeben sei das Polynom f : R → R : x 7→ x4 + x3 − 6x2 − 5x + 5 . Bestimmen Siedie Anzahl der Nullstellen. Begrunden Sie Ihr Ergebnis.

(b) Wieviele Losungen besitzt die Gleichung

2x = 4x ?




Aufgabe H 4.

Es sind f : M → R und g : M → R stetige Funktionen. Zeigen Sie:

(a) f + g : M → R : x 7→ f(x) + g(x) ist stetig.

(b) f · g : M → R : x 7→ f(x) · g(x) ist stetig.

Zusatz: Zusatzlich gelte g(M) j M . Zeigen Sie mit Hilfe konvergenter Folgen: Die Kom-position f ◦ g : M → R : x 7→ f(g(x)) ist stetig.

Aufgabe H 5. Umkehrabbildung

Gegeben seien die folgenden Funktionen

f : R r {−1, 0, 1} → R : x 7→x

x2 − 1, g : R r {0} → R : x 7→

1

2x+

√

1

4x2+ 1.

(a) Berechnen Sie f(g(x)) .

(b) Ist g auf Grund von (a) die Inverse zu f ? Begrunden Sie Ihre Antwort.

(c) Untersuchen Sie unter welchen Einschrankungen g die Inverse zu f ist.

Aufgabe H 6.

(a) Laut Vorlesung gilt sin(x) ≦ x fur x ∈ [0, π2] . Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R ,

fur welche gilt: | sin(x)| ≦ |x| .

(b) Sei x ∈ C . Verwenden Sie die Identitaten sin(x) = eix−e−ix

2iund cos(x) = eix+e−ix

2

um zu zeigen, dass

sin(x) ± sin(y) = 2 sin

(

x ± y

2

)

cos

(

x ∓ y

2

)

.

Obige Identitaten mussen nicht bewiesen werden.

(c) Zeigen mit Hilfe der ε–δ -Bedingung die Stetigkeit von sin , wobei x ∈ R .

(d) Zeigen Sie die Stetigkeit von cos .

Hinweis: Es gilt cos(x) = sin(x + π2) .

(e) Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche D j R der Funktionen tan und cot .Beweisen Sie die Stetigkeit dieser Funktionen in ihren jeweiligen Definitionsbereichen.

Hinweis: Fur die Bearbeitung einer Teilaufgabe ist es oftmals hilfreich, die Ergebnisse anderer

Teilaufgaben zu berucksichtigen.






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Sommersemester 2009

Aufgabe P 7.

(a) Gegeben ist die Potenzreihe

L(x) :=∞∑

n=1

(−1)n+1

nxn .

Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

(b) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen:∞∑

n=1

(−1)n

n2n

∞∑

k=1

ik

2k+1k!πk

∞∑

n=0

(

1/2

n

)

(√

3 − 2 + i)n

2n

Hinweis: Es gilt L(x) = ln(1 + x) .

Aufgabe P 8.

Bestimmen Sie die Konvergenzradien und Entwicklungspunkte der folgenden Potenzreihen.Geben Sie an, fur welche z ∈ R die Reihen konvergieren:

(a)∞∑

n=0

2nz2n (b)∞∑

n=0

(

n4 − 4n3)

(z − 3i)n

Aufgabe P 9.

(a) Zeigen Sie

limx→0

ex − 1

x= 1.

(b) Beweisen mit Hilfe des Differenzenquotients:

d

d xex = ex .

Aufgabe P 10.

Es sind die folgenden Funktionen gegeben:

f : R r {−13} → R : x 7→ 3x + 1

|3x + 1|(6x2 − 23x + 20)

g : R → R : x 7→ 18x3 − 9x2 − 5x + 2

Bestimmen Sie mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode, falls moglich, jeweils eine Null-stelle im Intervall [0, 2] und im Intervall [−1, 3] . Geben Sie die Nullstellen xn bis auf eineGenauigkeit von 0,3 an, das heißt: Es gibt ein x ∈ U0,3(xn) so, dass f(x) = 0 respektiveg(x) = 0 .Zusatz: Bestimmen Sie alle Nullstellen von f und g bis auf eine Genauigkeit von 0,3 .Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen und bestimmen Sie deren Wertebereiche.Eine Kurvendiskussion, bei der insbesondere Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden, kanndabei helfen.




Aufgabe H 7. Potenzreihen

Bestimmen Sie die Konvergenzradien und Entwicklungspunkte der folgenden Potenzreihen.Geben Sie an, fur welche z ∈ R die Reihen konvergieren:

(a)∞∑

n=1

zn

n2

(b)∞∑

n=0

n! · zn

(c)

∞∑

n=0

z2n

n!

(d)∞∑

n=0

5n

2 zn

(e)∞∑

n=1

n!(z + 2 −√

2i)n

(f)

∞∑

n=0

(

1

4(z2 − 2z + 1)

)n

Aufgabe H 8.

Formen Sie die folgenden Reihen so um, dass die Terme aus sin , cos und exp Funktionenbestehen. Benutzen Sie die Rechenregeln fur Potenzreihen aus 1.14.11.

(a)∞∑

n=0

anxn mit an :=

(−1)n

2

n!fur n gerade

(−1)n−1

2

n!fur n ungerade

(b)

∞∑

n=0

(

n∑

k=0

(−1)k xn+k+1

(n − k)! (2k + 1)!

)

(c) 2∞∑

k=1

(

x4k−2

(4k − 2)!+

x4k−1

(4k − 1)!

)

Aufgabe H 9.

Gegeben sind folgende Identitaten:

• limx→+∞

loga x

xk= 0 ,

• limx→0

sin(x)

x= 1 ,

• limx→0+0

xk loga x = 0 fur a > 0 und k > 0 sowie

• eln x = x fur x > 0 .

Diese mussen nicht gezeigt werden. Bestimmen Sie hiermit:

(a) limx→+∞

x1/x

(b) limx→0+0

xsin(x)






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 11.

(a) Bilden Sie von den im Folgenden gegebenen Funktionen jeweils die erste und zweiteAbleitung:

f : R → R : x 7→ 2x − 4x g : R → R : x 7→ ecos(x)+sin(x)

(b) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

limx→0

ex − 1

sin xlimx→0

x2

sin2 xlimx→0

cos x − 1

ln(1 + x)lim

x→∞

x3e−x2

Aufgabe P 12.

Gegeben ist die Funktion

tanh: R → R : x 7→ sinh(x)

cosh(x)

(a) Zeigen Sie: (cosh(x))2 − (sinh(x))2 = 1

(b) Bestimmen Sie die Ableitung von tanh . Verwenden Sie dazu die Ableitungen von sinhund cosh sowie die bekannten Differentiationsregeln.

(c) Untersuchen Sie tanh auf Nullstellen und Extremalstellen. Bestimmen Sie limx→+∞

tanh

und limx→−∞

tanh . Nutzen Sie die so gewonnenen Erkenntnisse, um den Graphen von

tanh zu skizzieren und den Wertebereich zu bestimmen.

(d) Berechnen Sie die Ableitung von artanh ; diese Funktion ist definiert als die Um-kehrfunktion von tanh . Skizzieren Sie den Graphen von artanh und geben Sie denDefinitionsbereich und Wertebereich an.

Aufgabe P 13.

Seien f und g jeweils n-mal differenzierbar. Zeigen Sie durch vollstandige Induktion folgendeFormel fur die n-te Ableitung von fg :

(f(x)g(x))(n) =n

∑

k=0

(

n

k

)

f (k)(x)g(n−k)(x).

Aufgabe P 14.

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgenden Funktionen differenzierbar sind:

(a) gα : R → R : x 7→{

0 fur x ≦ 0

xα fur x > 0wobei α ∈ R .

(b) f : R → R : x 7→{

0 fur x ∈ Q

x2 fur x ∈ R r Q




Aufgabe H 10.

(a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D j R und berechnen Sie dieersten beiden Ableitungen der durch die folgenden Ausdrucke definierten Funktionen:

f(x) =1√

9 − x2g(x) = ln (1 − x4)

h(x) = arccos

(

1

x

)

k(x) = x (sin(ln x) − cos(ln x))

(b) Berechnen die folgende Grenzwerte:

limx→0

x tan x

1 − cos xlimx→

π

2

tan(3x)

tan(5x)

limx→∞

cosh x

exlimx→0

ln2(1 + 3x) − 2 sin2 x

1 − e−x2

Hinweis:d

d xarccos x = − 1√

1 − x2.

Aufgabe H 11.

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke, indem sie jeweils explizit eine Formel fur die n-teAbleitung bestimmen. Beweisen Sie Ihre Resultate mit vollstandiger Induktion sowie denbekannten Differentiationsregeln.

(a)(

dd x

)n

ln(x) , wobei x > 0

(b)(

dd x

)n

ax , wobei a, x > 0

(c)(

dd x

)n 1a+bx

, wobei x 6= −a

b

Hinweis: Die Identitat exp(ln x) = x fur x > 0 konnte sich als nutzlich erweisen.

Aufgabe H 12.

In der folgenden Aufgabe beschranken wir uns auf die reellen Zahlen.

(a) Geben Sie an, wo cosh streng monoton wachst und wo cosh streng monoton fallt.Bestimmen Sie Maxima und Minima von cosh . Untersuchen Sie lim

x→+∞

cosh(x) und

limx→−∞

cosh(x) . Skizzieren Sie den Graphen von cosh .

(b) Finden Sie (moglichst sinnvolle) Gebiete D , wo es moglich ist, eine UmkehrfunktionarcoshD zum darauf eingeschrankten cosh |D anzugeben. Geben Sie jeweils Definitions-und Wertebereiche dieser Umkehrfunktionen an und skizzieren Sie die Graphen derUmkehrfunktionen. Bestimmen Sie auch jeweils die Ableitungen d

d xarcoshD(x) .

(c) Sei nun arcosh =(

cosh |R

+

0

)

−1

. Beweisen Sie die folgenden Identitaten:

arsinh(x) = ln(

x +√

x2 + 1)

arcosh(x) = ln(

x +√

x2 − 1)

fur x ≧ 1

Hinweis: Satz 2.4.6 aus der Vorlesung kann dabei helfen.






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 15. Kurvendiskussion

Die Funktion f sei gegeben durch die folgende Zuordnungsvorschrift:

f(x) = x2 − 2|x| + 1 .

(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f in R und untersuchen Sie dieso gewonnene Funktion auf Stetigkeit.

(b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie.

(c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f .

(d) Bestimmen Sie die Extremalstellen von f , sowie jeweils deren Typ und die zugehorigenFunktionswerte.

(e) Bestimmen Sie die Wendepunkte von f .

(f) Skizzieren Sie den Graphen von f .

Aufgabe P 16.”Approximation des Sinus“

(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T3(sin, x, 0) und das zugehorige Restglied nachLagrange R3(sin, x, 0) .

(b) Skizzieren Sie die Graphen der Taylorpolynome T0(sin, x, 0) , T1(sin, x, 0) , T2(sin, x, 0)und T3(sin, x, 0) . Vergleichen Sie diese mit dem Graphen von sin . Was fallt Ihnen auf?

(c) In Anwendungen wird oft die folgende Approximation verwendet:”Fur kleine Winkel

ist sin(x) ≈ x“. Wie ist dies zu rechtfertigen? Schatzen Sie den Fehler dieser Appro-ximation fur x ∈ {π

6, π

4, π

3} ab. Diskutieren Sie die Frage, was ist

”ein kleiner Winkel“.

Aufgabe P 17.

Es sei α ∈ R . Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen f : R → R , die die Differen-tialgleichung

f ′ = αf ,

erfullen. Das heißt, es soll gelten

f ′(x) = αf(x) fur alle x ∈ R .

Sei nun f eine solche Funktion.

(a) Bestimmen Sie fur beliebiges n ∈ N die n-te Ableitung f (n) und schließen Sie dabeiinduktiv, dass f beliebig oft stetig differenzierbar ist.

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe von (a) die Taylorreihe T (f, x, 0) .

(c) Machen Sie eine Probe, indem Sie sich vergewissern, dass T (f, x, 0) die Differential-gleichung erfullt, das heißt d

d xT (f, x, 0) = α · T (f, x, 0) .

Zusatz:

(d) Zeigen Sie, fur beliebige x ∈ R konvergiert die Taylorreihe T (f, x, 0) gegen f(x) (unddamit ist f explizit bekannt).




Aufgabe H 13. Kurvendiskussion

Die Funktion f sei gegeben durch die Zuordnungsvorschrift f(x) = ln(3x2 + 2x + 1) .

(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f in R und untersuchen Sie dieFunktion auf Stetigkeit.

(b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie.

(c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f .

(d) Bestimmen Sie die Extremalstellen von f , sowie jeweils deren Typ und die zugehorigenFunktionswerte.

(e) Bestimmen Sie die Wendepunkte von f .

(f) Skizzieren Sie den Graphen von f .

Aufgabe H 14.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes f(x) =∞∑

n=0

anxn eine Losung der Diffe-

rentialgleichungf ′′ = f

mit den Anfangswerten f(0) = 0 und f ′(0) = 1. Benutzen Sie dazu das folgende Vorgehen:

(a) Bestimmen Sie die Potenzreihe von f ′ und f ′′ durch”gliedweises differenzieren“ (vgl.

Bemerkung 2.2.6 und Satz 3.8.4).

(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a0 und a1 indem Sie die Anfangswerte in die Potenz-reihe einsetzen.

(c) Setzen Sie die Potenzreihe in die Differentialgleichung ein. Mit Hilfe des Eindeutig-keitssatzes fur Potenzreihen 2.6.9 erhalten Sie aus der so gewonnenen Gleichung Be-dingungen an die Koeffizienten an der Potenzreihe. Berechnen Sie an fur kleine n ∈ N

und versuchen Sie damit die Potenzreihe von f und somit f zu identifizieren.

Hinweis: Sie konnen versuchen, eine allgemeine Formel fur an zu raten und diese dannmit vollstandiger Induktion zu beweisen. Vergleichen Sie diese mit den Koeffizientender Exponentialreihe. Wie sieht andererseits die Potenzreihe von sinh aus?

Aufgabe H 15.”Approximation der Wurzel“

Es sei f : R+ → R : x 7→ √

x .

(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T2(f, x, 1) .

(b) Skizzieren Sie die Graphen von f sowie der Taylorpolynome T0(f, x, 1) , T1(f, x, 1)und T2(f, x, 1) .

(c) Geben Sie ein geeignetes Taylorpolynom an, um die Approximation”

√x ≈ 1

2+ 1

2x“,

wenn”x ≈ 1“, das heißt fur x ∈ [1 − δ, 1 + δ] und 0 < δ < 1 , zu rechtfertigen.

Schatzen Sie fur δ = 18

mit Hilfe eines geeigneten Restgliedes den Betrag des Fehlerdieser Approximation ab.

Hinweis: Es hilft, den Fehler fur x ∈ [1, 1+δ] und x ∈ [1−δ, 1] getrennt abzuschatzen.






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Sommersemester 2009

Aufgabe P 18.

Bestimmen Sie:

(a)

∫

(2x + 1)2 d x (b)

∫

x2 cos(x) d x

(c)

∫

(cos(x))2 d x (d)

∫

ln(x) d x

Machen Sie in allen Fallen eine Probe.

Aufgabe P 19.

Berechnen Sie die Werte der folgenden Integrale:

(a)

∫

1

0

x2ex d x (b)

∫

5

4

1

x2 − 5x + 6d x

(c)

∫ π

0

(sin(x))2 d x (d)

∫ π

0

sin(x) · cos(x) d x

Machen Sie in allen Fallen eine Probe.

Aufgabe P 20.

(a) Zeigen Sie, dass fur x ∈ R r {(2k + 1)π | k ∈ Z} bei Verwendung der”Universalsub-

stitution“ u : x 7→ tan(

x2

)

gilt:

u′(x) =1 +

(

u(x))2

2, sin(x) =

2u(x)

1 +(

u(x))2

, cos(x) =1 −

(

u(x))2

1 +(

u(x))2

.

Hinweis: sin(x) = 2sin(

x2

)

· cos(

x2

)

und cos(x) =(

cos(

x2

))2−

(

sin(

x2

))2.

(b) Fuhren Sie damit folgende Integrale auf rationale Integranden zuruck:∫

1

sin(x)d x ,

∫

1

1 − cos(x)d x ,

∫

1 + sin(x)

sin(x)(1 + cos(x))d x .

Aufgabe P 21.

Es sei c ∈ R . Gegeben sind die Funktionen

F : R r {0} → R : x 7→ ln(|x|)

und

G : R r {0} → R : x 7→

{

ln(−x) + c fur x < 0ln(x) fur x > 0

.

(a) Skizzieren Sie die Graphen von F und G .

(b) Zeigen Sie:F ′(x) = G′(x)

fur alle x ∈ R r {0} .




Aufgabe H 16.

Bestimmen Sie die Mengen von Stammfunktionen:

(a)

∫

(sin(x))2 + (tan(x))2 + (cos(x))2 d x

(b)

∫

(sin(x) − cos(x))2 d x

(c)

∫

18x5 + 9

2x6 + 6x + 19d x

(d)

∫

√

1 − sin(x) d x

(e) Machen Sie in allen Fallen eine Probe durch Ableiten.

Aufgabe H 17.

In Abhangigkeit von a, b ∈ R+ ist

fa,b : (0, π

2) → R : x 7→

1

a + b tan(x)

gegeben. Bestimmen Sie in Abhangigkeit von a, b die Menge der Stammfunktionen

∫

fa,b d x .

Hinweis: Sie konnen hierfur die Substitution t = tan(x) verwenden und anschließend einePartialbruchzerlegung durchfuhren.

Aufgabe H 18.

(a) Zeigen Sie per vollstandiger Induktion, dass gilt:

∫

xnex d x =

[

n∑

k=0

(−1)n−k n!

k!xkex

]

(b) Zeigen Sie, dass fur beliebige m,n ∈ N gilt:

∫

2π

0

sin(mx) · cos(nx) d x = 0 .






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 22.

Finden Sie eine Partialbruchzerlegung fur die folgenden Bruche:

(a)x + 1

x2 − 4(b)

x + 1

x2 + 4(c)

1

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1

Aufgabe P 23.

Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen und berechnen Sie, falls moglich, jeweilsdie Flache zwischen dem Graphen und der x-Achse.

(a) f : [0,∞) → R : x 7→ xe−x2

(b) g : [0,∞) → R : x 7→ x3e−x2

(c) h : [−2, 2] r {−1, +1} → R : x 7→ 1

|1 − x2|

Aufgabe P 24.

(a) Sei a ∈ R und f : [−a, a] → R eine gerade Funktion, das heißt fur alle x ∈ [−a, a]gilt f(−x) = f(x) . Zeigen Sie:

∫ a

−a

f(x) d x = 2

∫ a

0

f(x) d x .

(b) Sei b ∈ R und g : [−b, b] → R eine ungerade Funktion, das heißt fur alle x ∈ [−b, b]gilt g(−x) = −g(x) . Zeigen Sie:

∫ b

−b

g(x) d x = 0 .

Aufgabe P 25.

(a) Geben Sie den Definitionsbereich von tan an.

(b) Skizzieren Sie den Graphen von tan .

(c) Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:∫

0

−π

2

tan(x) d x

∫ π

2

0

tan(x) d x

∫ π

2

−π

2

tan(x) d x

(d) Bestimmen Sie

limβ→π

2

∫ β

−β

tan(x) d x .

(e) Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse (auch im Hinblick auf P 24(b)).




Aufgabe H 19.

Bestimmen Sie, falls moglich, die folgenden uneigentlichen Integrale:

(a)

∫

+∞

1

∣

∣

∣

∣

eix

1 + x2

∣

∣

∣

∣

d x (b)

∫

+∞

0

xe−x d x

(c)

∫

3

0

x + 1

x2 − 1d x (d)

∫

0

−2

1√

|x + 1|d x

Aufgabe H 20.

Es sei

Γ(x) :=

∫

+∞

0

tx−1e−t d t .

Verwenden Sie im Folgenden ohne Beweis, dass

∫

+∞

−∞

e−x2

2 d x =√

2π

gilt. Bestimmen Sie (fur a ∈ R und σ ∈ R r {0}):

(a)

∫

+∞

−∞

exp

(

−(x − a)2

2σ2

)

d x (b)

∫

+∞

0

e−x2

2 d x

(c) Γ (1) (d) Γ(

1

2

)

Beweisen Sie außerdem

(e) Γ(x + 1) = xΓ(x) .

Hinweis: Versuchen Sie, die Integrale durch geschicktes Umformen auf eine Form mit be-kannten oder berechenbaren Termen zu bringen. Insbesondere wird sich die oben angegebeneIdentitat als nutzlich erweisen.

Aufgabe H 21.

Berechnen Sie die folgenden Integrale. Nutzen Sie dabei die Symmetrien der Funktionen.

(a)

∫

1

−1

x2ex2

sin(x3) d x

(b)

∫

1

−1

|x|1 + |x| d x

(c)

∫ π

0

(

x − π

2

)

cos(2x) sin(3x) d x






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Sommersemester 2009

Aufgabe P 26. Funktionen in mehreren Veranderlichen

Es sind f : R2 → R : (x, y) 7→ x2 − y2 und g : R

2 → R : (x, y) 7→ sin(x2 + y2) gegeben.

(a) Skizzieren Sie jeweils die Niveaulinien der Funktionen zu den Niveaus −1, 0, 1 und 2 .Skizzieren Sie mit Hilfe der Niveaulinien und achsenparalleler Schnitte die Graphen.

(b) Weiter sind die Folgen (an)n∈N

und (bn)n∈N

gegeben mit an :=(

1

nsin(n), 1

ncos(n)

)

und bn :=(

2

n, 3

n

)

. Bestimmen Sie

limn→+∞

f(an) , limn→+∞

f(bn) , limn→+∞

g(an) , limn→+∞

g(bn) .

Aufgabe P 27. Integration und Differentiation von Potenzreihen

(a) Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 3.8.4 aus der Vorlesung, das fur x ∈ (−1, 1) gilt:∞

∑

n=1

(−1)n+1

nxn = ln(1 + x) .

(b) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen

P (x) =∞

∑

n=1

nxn−1 und Q(x) =∞

∑

n=2

(−1)n

n2 − nxn .

Finden Sie jeweils eine”geschlossene Form“ der Potenzreihe innerhalb ihres Konver-

genzkreises, das heißt, stellen Sie dort P beziehungsweise Q dar als Produkt, Summeoder Komposition

”bekannter“ Funktionen – als bekannt sind dabei die Funktionen aus

2.2.5 beziehungsweise 3.1.7 des Skripts anzunehmen.

Aufgabe P 28. Integral-Kriterium

(a) Existiert das uneigentliche Integral

∫

+∞

2

1

x (ln x)2d x ?

(b) Zeigen Sie f : [1, +∞) → R : x 7→ x (ln x)2 ist streng monoton wachsend.

(c) Konvergiert die Reihe∞

∑

n=2

1

n (ln n)2?

Aufgabe P 29. Grenzwertkriterium

Es sei α ∈ (1, +∞) ein fest gewahlter Parameter.

(a) Bestimmen Sie die Grenzwerte limx→+∞

x sin(

1

x

)

und limx→+∞

x ln(

1 + 1

x

)

.

(b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral∫

+∞

1

1

xα

dx .

(c) Was lasst sich daraus fur die Konvergenz der folgenden uneigentlichen Integrale her-leiten?

∫

+∞

1

(

sin

(

1

x

))

α

dx

∫

+∞

1

(

ln

(

1 +1

x

))

α

dx




Aufgabe H 22. Konvergenzverhalten uneigentlicher Integrale

Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz (ohne sie zu berechnen):

(a)

∫

+∞

0

x

x4 + 2x2 + 1d x (b)

∫

2

−2

1

1 + xd x

(c)

∫

+∞

0

x − 1

x3 + 1d x (d)

∫

+∞

0

x + 1√x4 + 1

d x

Aufgabe H 23. Geschlossene Form

Bestimmen Sie fur die folgenden Reihen den Konvergenzradius und eine geschlossene Formim Inneren des Konvergenzkreises. Der Begriff

”geschlossene Form“ ist zu verstehen, wie in

Aufgabe P 27(b).

(a)∞

∑

n=2

xn

n(n − 1)

(b)∞

∑

n=3

n2 − 2

n(n − 1)(n − 2)xn

Aufgabe H 24. Niveaulinien & achsenparallele Schnitte

Skizzieren Sie die Niveaulinen fur die Werte c der folgenden Funktionen. Verwenden Siezur Unterscheidung verschiedene Farben. Skizzieren Sie weiter achsenparallele Schnitte furx0 = a und y0 = b .

(a) f : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y2 − 2 |y|

mit c ∈ {−1,−1

2, 0, 1} und a ∈ {1, 2} , b ∈ {1, 2} .

(b) g : R2 → R : (x, y) 7→ x sin(y)

mit c ∈ {0, 1} und a ∈ {0, 1} , b ∈ {π

2, π} .






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 30. Partielle Ableitungen

Berechnen Sie alle ersten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) f : R2

r {(0, 0)} → R : (x, y) 7→ xy

x2 + y2

(b) g : R3 → R : (x, y, z) 7→ exp

(

sin(x) cos

(

z

1 + y2

))

Aufgabe P 31. Konvergenz mehrdimensionaler Folgen

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz:

(a)(

1

n, 1

n

)

n∈N

(b)(

1

n, n

)

n∈N

(c)(

1

nsin(n), 1

ncos(n)

)

n∈N

(d)(

sin(nπ

2+ 1

n), 1

n

)

n∈N

Aufgabe P 32. Stetigkeit

Untersuchen Sie die folgenden beiden Funktionen f1, f2 : R2 → R mit

f1 : (x, y) 7→{

xy

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

und

f2 : (x, y) 7→{

x3+y

3

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

auf Stetigkeit.

Aufgabe P 33.

Gegeben ist folgende Funktion f : R2 → R mit

f : (x, y) 7→{

xy x2−y

2

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Berechnen Sie fx(x, y) und leiten Sie fx(0, y) nach y ab. Bestimmen Sie nun fy(x, y) undleiten fy(x, 0) nach x ab. Was stellen Sie fest?




Aufgabe H 25. Partielles Ableiten

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der durch die folgenden Zuordnungsvor-schriften zu definierenden Funktionen.

f : (x, y, z) 7→ ex+yxz

g : (x, y, z) 7→ x3y2z

h : (x, y) 7→ arctan

(

x

y

)

.

Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

Aufgabe H 26. Ableitung langs eines Vektors

Gegeben sind die Punkte a =(

0,−1, 1)

, b =(

−π

2, π, 3

)

, c =(√

π,√

π,√

π)

, die

Vektoren v =(

1, 2,−3)

und w =(

7, 5, 3)

, sowie die Funktionen

f : R3 → R : (x, y, z) 7→ x2 + y2 − z2 ,

g : R3 → R : (x, y, z) 7→ sin(x) cos(y)z2 ,

h : R3 → R : (x, y, z) 7→ sin(x + y2 + z3) .

Berechnen Sie ∂vf(a) , ∂wf(a) , ∂vg(b) ,∂wg(b) , ∂vh(c) und ∂wh(c) .

Aufgabe H 27. Stetigkeit

Es soll gezeigt werden, dass

f : R2 → R : (x, y) 7→

{

(x2 + y2) sin(

1

|x|+|y|

)

fur (x, y) 6= (0, 0)

0 fur (x, y) = (0, 0)

stetig ist. Verwenden Sie dazu das folgende Vorgehen:

(a) Begrunden Sie mit Hilfe von Satz 4.2.8, dass f in Stellen (x0, y0) ∈ R2

r {(0, 0)}stetig ist.

(b) Schließen Sie mit Hilfe von Definition 4.2.6 (ε–δ -Kriterium) auf die Stetigkeit von f

in (0, 0) .






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 34. Taylorpolynom

Es seig : R2 → R : (x, y) 7→ 3x2y − y3 .

Bestimmen Sie das Taylorpolynom T2

(

g, (x0, y0), (1, 1))

im Punkt (x0, y0) der Stufe 2 umden Entwicklungspunkt (1, 1) .Zusatz: Bestimmen Sie das Taylorpolynom T3

(

g, (x0, y0), (0, 0))

im Punkt (x0, y0) derStufe 3 um den Entwicklungspunkt (0, 0) .Bestimmen Sie das Taylorpolynom T3

(

g, (x0, y0), (1, 1))

im Punkt (x0, y0) der Stufe 3 umden Entwicklungspunkt (1, 1) .

Aufgabe P 35. Extrema


f : R2 → R : (x, y) 7→ x2y2 − x2 − y2 + 1 .

(a) Skizzieren Sie jeweils die Mengen der Punkte (x, y) ∈ R2 , fur die f(x, y) = 0 ,f(x, y) > 0 beziehungsweise f(x, y) < 0 gilt.

(b) Berechnen Sie grad f und Hf .

(c) Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von f im Punkt (0, 0) .

(d) Geben Sie alle kritischen Punkte von f an (d.h. Punkte mit grad f = 0).

(e) Bestimmen Sie alle Extrema von f .

Zusatz:

(f) Schranken Sie f auf den Einheitskreis {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 = 1} bzw. die Gerade{(x, y) ∈ R2 |x = y} ein und untersuchen Sie unter diesen Nebenbedingungen f

erneut auf Extrema.

Aufgabe P 36. Mengen in R2 – Inneres, Abschluss, Rand, Beschranktheit, Konvexitat

Gegeben sind die Mengen

M1 ={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x > 0, x ≦ 1 − y2}

,

M2 ={

(x, y) ∈ R2 | |x| < π, |y| ≦ | sin(x)|}

,

M3 ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ Q}

,

M4 =

{

(x, y) ∈ R2

∣

∣

∣

∣

∣

∃α, β ∈ R : (x, y) = limn→+∞

(

n∑

k=0

αk,

n∑

k=0

(−1)k

(2k)!β2k

)}

.

(a) Skizzieren Sie M1 , M2 , M3 , M4 .

(b) Bestimmen Sie fur i ∈ {1, 2, 3, 4} jeweils das Innere M◦

i , den Rand ∂Mi und denAbschluss Mi .

(c) Welche der Mengen Mi ist beschrankt, welche konvex?




Aufgabe H 28. partielle Ableitungen und Taylorpolynome

Sei f : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y2 − 2|x| .

(a) Untersuchen Sie an welchen Stellen die Funktion f differenzierbar bzw. zweimal diffe-renzierbar ist. Berechnen Sie dort alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen.

(b) Berechnen Sie, falls moglich, die Taylorpolynome zweiter Stufe in den Punkten (1, 0) ,(0, 0) und (−1, 0) .

Aufgabe H 29. Extrema


f : R2 → R : (x, y) 7→ e2x+3y(8x2 − 6xy + 3y2) .

(a) Geben Sie den Wertebereich von f an.

(b) Berechnen Sie grad f und Hf .

(c) Geben Sie alle kritischen Punkte von f an (d.h. Punkte mit grad f = 0).

(d) Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von f in den kritischenPunkten.

(e) Bestimmen Sie alle Extrema von f .

Aufgabe H 30. Extrema auf eingeschranktem Gebiet

Untersuchen Sie die Funktion

u : R2 → R : (x, y) 7→ sin(x) + sin(y) − sin(x + y)

im Inneren des von der x-Achse, der y -Achse und der Geraden x + y = 2π begrenztenGebietes auf Extremwerte. Gehen Sie dabei ausfuhrlich auf die Anzahl der kritischen Punkteinnerhalb dieses Gebiets ein.

Zusatz zum Knobeln:

Untersuchen Sie die Funktion

f : R3 → R : (x, y, z) 7→ sin(x) + sin(y) + sin(z) − sin(x + y + z)

im Inneren jenes Gebietes auf Extremwerte, welches von der x–y -Ebene, der y–z -Ebene, derx–z -Ebene und der durch die Gleichung x + y + z = 2π gegebenen Ebene begrenzt wird.Gehen Sie dabei ausfuhrlich auf die Anzahl der kritischen Punkte innerhalb dieses Gebietsein.






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Sommersemester 2009

Prasenzubungen

Aufgabe P 37. Extremalproblem mit Nebenbedingung

Bestimmen Sie und klassifizieren Sie die lokalen Extrema von

f : R2 → R : (x, y)

⊺

7→ x2 − 2(y + 1)2

mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren-Methode auf der Menge

M = {(x, y)⊺

∈ R2 | x2 + 4y2 = 1} .

Aufgabe P 38. Extremwerte

Sei D = {(x, y)⊺

∈ R2 | x2 + y2 ≦ 1 und y ≧ 0} und

f : D → R : (x, y)⊺

7→ (2 − x2)(1 + y)

gegeben.

(a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich D von f .

(b) Uberlegen Sie sich, dass jede stetige Funktion D → R Extrema annimmt.

(c) Berechnen Sie das globale Minimum und das globale Maximum von f in D .

Aufgabe P 39. Ableiten in Polarkoordinaten

Es sei eine Funktion

f : R2

r

{(

00

)}

→ R :

(

x

y

)

7→ f

(

x

y

)

gegeben. Weiter wird eine Funktion

f : R+ × [0, 2π) → R :

(

r

ϕ

)

7→ f

(

r cos(ϕ)r sin(ϕ)

)

definiert.

(a) Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt:(

fr

fϕ

)

=

(

cos(ϕ) sin(ϕ)−r sin(ϕ) r cos(ϕ)

)

·

(

fx

fy

)

(b) Folgern Sie mit (a), dass folgendes gilt:

∇f :=

(

fx

fy

)

=

(

cos(ϕ) −1

rsin(ϕ)

sin(ϕ) 1

rcos(ϕ)

)

·

(

fr

fϕ

)

Hinweis: Achten Sie darauf, dass Sie zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren unterscheiden.




Aufgabe H 31. Extrema unter Nebenbedingungen

Berechnen Sie alle kritischen Stellen der Funktion

f : R3 → R : (x, y, z)

⊺

7→ x2 + y(z − 1)

unter der Nebenbedingung

{(x, y, z)⊺

∈ R3 | x2 + y2 = 1 und z = 2x − y + 1} .

Bestimmen Sie weiter, ob es sich dabei um lokale Maxima oder lokale Minima handelt.

Aufgabe H 32. Differentiationsregeln

Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen der durch folgende Zuordnungsvorschriften gegebenenFunktionen direkt und unter Verwendung der Kettenregel. Untersuchen Sie Definitions- undWertebereich aller dabei auftretenden Funktionen.

(a) f(x, y) = f2(f1(x, y))mit f1(x, y) = x2 + y2 und f2(t) = sin(t) ,

(b) g(t) = g2(g1(t))mit g1(t) = (sin(t), cos(t))

⊺

und g2(x, y) = (xy, x3, y2)⊺

,

(c) h(x, y, z) = h1(h2(x, y, z))mit h1(u, v) = (uv, u + v, sin(u + v))

⊺

und h2(x, y, z) = (x + y, y + z)⊺

,

(d) k(x, y) = k1(k2(x, y))mit k1(u, v, t) = (u + v + t, uv − t)

⊺

, k2(x, y) = (2xy, x + y, x2)⊺

.

Aufgabe H 33. Extrema ohne und mit Nebenbedingung


f : R3 → R :

x

y

z

7→ (x2 + y2 + z2 − 1)2 .

(a) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von f . Entscheiden welchen Typ die kritischenPunkte besitzen, d.h. ob es lokale, absolute Maxima beziehungsweise Minima sind,oder ob Sattelpunkte vorliegen.

(b) Bestimmen Sie die Extrema von f unter der Nebenbedingung

{(x, y, z)⊺

∈ R3 | (x − 1)2 + y2 + z2 = 1}

und entscheiden Sie, ob es sich um lokale oder absolute Minima oder Maxima handelt.

Hinweis: Kritische Punkte mussen nicht isoliert liegen. Es kann also durchaus vorkommen,dass man die kritischen Punkte nur mit Hilfe einer oder mehrerer Gleichungen beschreibenkann. In solchen Fallen sollen die Gleichungen derart vereinfach werden, dass man unmittelbardie Gestalt der Menge der kritischen Punkte ablesen kann.






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Sommersemester 2009

Aufgabe P 40. Potential und Kurvenintegrale


v : R2 → R

2 : (x, y)⊺

7→(

x2, xy)⊺

und die Parametrisierung der Kurve K durch

C : [0, 2π] → R2 : α 7→ (cos(α), sin(α))

⊺

.

(a) Entscheiden Sie, ob v ein Potential besitzt.

(b) Berechnen Sie

∫

K

v • d x .

Aufgabe P 41. Parametrisierung von Kurven

Gegeben sind die Mengen

K1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1 und z = x} und K2 = {(t2, t3) | t ∈ [−1, 1]} .

(a) Skizzieren Sie die Mengen K1 und K2 .

(b) Finden Sie jeweils eine Parametrisierung fur K1 und K2 .

(c) Zeichnen Sie Anfangs- und Endpunkte sowie die Orientierung der von Ihnen gewahltenParametrisierung in die Skizze ein.

(d) Entscheiden Sie, ob es sich bei den Kurven K1 und K2 um geschlossene Kurvenhandelt.

Aufgabe P 42. Gefahrenpotential wackeliger Eselsbrucken

Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ∈ R3 ist bekanntlich definiert als a • (b × c) . Aus

der Beziehung a • (b × c) = det(a, b, c) ergibt sich:

a • (b × c) = c • (a × b) = −b • (a × c) .

Es seien die beiden stetig differenzierbaren Vektorfelder f, g : R3 → R

3 gegeben.Unreflektiertes naives Einsetzen und unbedachte Verwendung der durch die

”Nabla-Schreib-

weise“ gegebenen Eselsbrucken konnte nun zu der irrigen Annahme fuhren div(f × g) ,g • rot f und −f • rot g stimmten uberein, da ja scheinbar

”∇ • (f × g)“,

”g • (∇ × f)“

und”−f • (∇× g)“ ubereinstimmen.

Zeigen Sie, dass gilt:

div(f × g) = (g • rot f) − (f • rot g) .

Insbesondere bedeutet dies im Allgemeinen:

g • rot f 6= div(f × g) 6= −f • rot g .

Geben Sie hierzu ein konkretes Gegenbeispiel an und widerlegen Sie somit den aus der”Nabla-

Schreibweise“ gewonnenen Trugschluss.Diskutieren Sie die Frage, warum die Merkregeln mit der

”Nabla-Schreibweise“ nicht zum

Rechnen geeignet sind.



Hausubungen

Aufgabe H 34. Quer durch’s Vektorfeld

In Abhangigkeit von b ∈ R ist das folgende Vektorfeld gegeben:

vb : R3 → R

3 : (x, y, z)⊺

7→(

2x, 3z2 + z, 1 + 6yz + by)⊺

.

Ferner sei abhangig von γ ∈ (0,∞) eine Kurve Kγ gegeben:

C : [0, γ] → R3 : t 7→ (2 sin(t), cos(2t), cos(t))

⊺

.

(a) Wahlen Sie b so, dass vb ein Potential besitzt und berechnen Sie ein solches.

(b) Finden Sie das kleinstmogliche γ so, dass die Kurve Kγ geschlossen ist.

(c) Berechnen Sie

∫

Kπ

vb • d x fur b = 0 und b = 1 .

Hinweis: Die Verwendung von Symmetrien sowie das Additionstheoremsin(α + β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) konnen hierbei viel Arbeit ersparen.

Aufgabe H 35. Potential und Kurvenintegrale

Gegeben ist ein Vektorfeld

v : R3 → R

3 : (x, y, z)⊺

7→ exp(−x2 − y2 − z2)(x, y, z)⊺

und in Abhangigkeit von β ∈ [0, 2π] eine Kurve Kβ , parametrisiert durch

Cβ : [0, β] → R3 : α 7→ (cos(α) cos(2α), sin(α) cos(2α), sin(2α))

⊺

.

(a) Berechnen Sie ein Potential zu dem Vektorfeld v .

(b) Berechnen Sie fur β ∈ [0, 2π] das Integral

∫

Kβ

v • d x .

Aufgabe H 36. Kurvenintegrale reellwertiger Funktionen

(a) Gegeben ist die Funktion f : R2 → R : (x, y)

⊺

7→ x . Berechnen Sie das Kurvenintegral

von f langs der Ellipse beschrieben durch die Gleichung x2 +y2

4= 1 .

(b) Durch C : [0, π/2] → R2 : t 7→

(

(cos(t))3, (sin(t))3)⊺

sei ein Draht parametrisiert. Erbesitze die Massendichte (C(t)) = sin(t) . Erlautern Sie, warum die Gesamtmasse des

Drahtes durch

∫

C

(x) d x angemessen beschrieben wird, und berechnen Sie diese.

Aufgabe H 37. Zirkulation und Ausfluss

Gegeben ist die Ellipse K = {(x, y)⊺

∈ R2 | 1

4x2 + 4y2 = 1} und die Vektorfelder:

f : R2 → R

2 : (x, y)⊺

7→ (−y, x + 2)⊺

g : R2 → R

2 : (x, y)⊺

7→ (xy,−yx)⊺

(a) Geben Sie eine geschlossene doppelpunktfreie Parametrisierung C : [0, 2π] → R2 der

Ellipse K an.

(b) Bestimmen Sie jeweils Zirkulation langs K und Ausfluss durch K fur f und g .


h¨ohere mathematik 2 pr¨asenz...

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