Homework 10 (총 8문제, 제출: 5월 22일 금요일 18시)

[2020년 수학연습 1]

* 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.

0. 과제물로 제출한 pdf 파일의 상태를 성실도 점수에 0.5점으로 반영합니다. 기말고사를 갑작스럽게 온라인으로 시행하게 될 가능성은 남아 있으며, 온라인 기말고사 답안지는 Office Lens를 통하여 pdf로 변환하여제출해야 합니다. 미리 익숙해지기 위하여 이번 과제물부터는 손글씨로종이에 작성한 후 사진을 종이 경계에 맞추어 깔끔하게 자른 pdf로 변환하여 제출하기 바랍니다. 다른 학생들과 비교하여 pdf 변환 “성의”가많이부족하거나가독성이낮으면감점하겠습니다.이과제물문항의필수조건은 아닙니다만, 되도록 eTL에 공지된 권고 방식대로 Office Lens와 코스모스 앱을 통하여 핸드폰 내에서 모든 작업을 마치는 방식으로

제출하기 바랍니다.

과제물 제출 후 다시 내려받아 확인하는 간단한 작업만으로도 오류 제

출을 거의 확실히 방지할 수 있습니다. 자동 테두리 맞추기 과정에서답안 일부가 잘려나갔거나, 답안 마지막 페이지만 pdf로 변환했거나, 엉뚱한 파일을 올리는 등의 실수는 (시험 및 과제물 동일하게) 모두 본인책임입니다.

1. n차 가역행렬 A에 대하여

(A−1)−1 = A, (A−1)k = (Ak)−1 (k = 1, 2, 3, . . . )

임을 보이라. 또 전치행렬 At도 가역임을 보이고 이때

(At)−1 = (A−1)t

임을 밝히라. 또 B가 n차 가역행렬이면,

(AB)−1 = B−1A−1

임을 보이라.

2. 행렬

1 1 12 2 03 0 0

의 역행렬을 구하라.

1

3. n × n 정사각행렬 A = (aij)1≤i,j≤n에 대하여, i > j일 때 aij = 0라면 A를 위삼각행렬(upper triangular matrix)이라고 부른다.

위삼각행렬

λ1 a12 · · · a1n0 λ2 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · λn

이 역행렬을 가질 필요충분조건은λ1λ2 · · ·λn 6= 0임을 보여라. 그리고 3× 3 위삼각행렬

A =

λ a b0 µ c0 0 ν

의 역행렬을 구하라. (단, λµν 6= 0.)

4. 다음 행렬의 행렬식을 구하라.

(1)

1 2 31 3 51 7 11

(2)

1 3 290 7 280 0 5

(3)

1 2 31 4 91 16 27

5. 좌표평면의 0이 아닌 두 벡터 x,y가 서로 평행하지 않다고 가정하자.그리고 다음과 같은 도형을 정의하자.

S = {sx + ty : s+ t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0}

S가 어떤 도형인지 서술하고, S의 넓이는 | det(x,y)|/2임을 보이라.(Hint. 제5장 3절 연습문제 5번)

6. 좌표평면에서 원판 x2 + y2 ≤ 1 이 “선형변환”

(1/2 00 3

)에 의하여

변환된 상의 넓이를 구하라. 이 결과를 일반화하여, 좌표평면 안에서

(x/a)2 + (y/b)2 = 1로 정의된 타원으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (단, a > 0, b > 0.)

2

7. 다음을 보이라.

det

1 1 1x y zx2 y2 z2

= (x− y)(y − z)(z − x)

det

t x yx t yx y t

= (t− x)(t− y)(t+ x+ y)

det

t x y−x t z−y −z t

= t(t2 + x2 + y2 + z2)

3