HOAN VIPermutation

HOAN VI LA GI?

Một hoán vị là một dãy có thứ tự chứa mỗi

phần tử của một tập hợp một và đúng một

lần. Điểm khác nhau cơ bản giữa một hoán

vị và một tập hợp là: những phần tử của một

hoán vị được sắp xếp theo một thứ tự xác

định.

(Trich Wikipedia)

• Trong toán học, một hoán vị là

một song ánh từ một tập hợp hữu

hạn X vào chính nó.

• Trong lý thuyết tổ hợp, hoán vị là mô

tả một bộ có thứ tự không lặp, và

không nhất thiết phải chứa đầy đủ số

phần tử.

LICH SƯ NGHIÊN CƯUCác quy tắc để xác định số

lượng các hoán vị của n đối

tượng được biết đến trong văn

hóa Hindu khoảng năm 1150, tưmôt đoan dich trong luân anLilavati cua nhà toán học Ấn

Độ Bhaskara II.Bhaskara II(1114–1185)

Vào khoảng năm 1770, Joseph Louis

Lagrange, quan sát thấy rằng các hoán

vị của rễ của một phương trình có liên quan

đến khả năng giải quyết nó. Sau đo, nghiêncưu của Évariste Galois cung cấp một mô tả

đầy đủ những gì có thể và không thể đối với

việc giải phương trình đa thức (môt ân) bởi

các gốc.

Cach ki hiêu hoan vi• Viết thư tự cua các phần tử trên môt dòng, và

thư tự mới trên môt dòng khác:

1 2 3 4 5

2 5 4 3 1

• Viết dưới dang chu trinh:

(1 2 3 4), (2 3 4 1), (3 4 1 2),…

- Sư thay đôi vi tri cac phần tư theo 1 chu trinhnhât đinh.

- Co thê viết dưới dang tâp hơp cac chu trinh, thư tư cac chu trinh không quan trong.

(1 2)(3 4), (2 1)(4 3),…

1 2 3 4 12 3 4

-Phep hoan vi chi gôm 1 chu trinh đươc goingay la chu trinh.

-Số phần tử trong môt chu trinh đươc goi la đô dai. Vi dụ, đô dai cua (1 2 5) là ba.

-Những chu trinh co đô dai hai đươc goi la những chuyển vi, hai phần tử thay đôi vi tri cho nhau. Vi dụ: (1 2), (2 3),…

BA

Công thưc tinh hoan vi

Với tâp hơp gôm n phần tư khac nhau, tathanh lâp môt hoan vi cua r phần tư tư tâphơp nay:

Chon phần tư đầu tiên, co n cach;

Chon phần tư thư hai, co n-1 cach;

…

Chon phần tư thư r, co r-1 cach.

n n-1 n-2 … n-r

Với r=n, ta co công thưc tính số các hoán vikhac nhau cua n phần tử là:

P(n) = n!

Vi du: co bao nhiêu cach xêp 5 ngươi thanh 1 hang?

Giai:

Ta co:

P(5)=5!=120 cach.

Với r<n, ta co công thưc tinh sô cac hoan vi khac nhau cua r phần tư chon tư n đối tương

P(n,r) = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x (n-r)

Hay:

Trong trương hơp nay, P(n,r) đươc goi la môtchinh hơp châp r cua n phần tư.

Vi du: co bao nhiêu cach chon ra ban can sưgôm 1 lơp trương, 1 lơp pho va 1 bi thư trong40 sv?

Giai:

Đay la môt hoan vi 3 phần tư lây tư tâphơp 40 phần tư. Ta co:

P(40,3)= cach chon.

Vi du: Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên co 5 chữ số khac nhau trong đo nhất thiêt phải co mặt chữ số 5.

Giai

Chon 1 sô gôm 5 chư sô

Co S1=P(6,5)-P(6,4) cach.

Chon 1 sô gôm 5 chư sô không chưa chư sô 5

Co S2=P(5,5)-P(5,4) cach.

Vây co S=S1-S2 cach chon sô cần tim.

Chu y

Với r=0, ta co: P(n,0)=1

Do đo , công thưc:

Đung với moi 0≤r≤n

MÔT SÔ LOAI HOAN VI

HOAN VI VONG Cyclic permutation

• Cac phần tư tao thanhđung 1 vong.

• Sô phần tư k>1 (k nguyên)

Xet vi dụ: Co bao nhiêu cach săp xếp 5 sv vao 1 vong tron?

Giai:Đăt 1 sv lam mốc, bai toan

trơ vê tinh sô hoan vi cua

4 phần tư co 4!=24 cach.

Ta co công thưc tinh số các hoán vị vòngquanh của n phần tử là:

Q(n) = (n − 1)!

1

5

4

2

3

HOAN VI ĐÔNG NHÂT

Hoan vi đông nhât la hoan vi "đôi chỗ" phần tử thư nhât với phần tử thư nhât, phần tử thư hai với phần tử thư hai,..., nghĩa la trên thực tế khong đôi chỗ cac phần tử.

Vi dụ: (1)(2)(3)(4) la môt hoan vi đông nhât

HOAN VI NGHICH ĐAO

- Nếu co môt hoan vi P, chung ta co thể mo ta môt hoan vi P−1, lam mât tac dụng cua việc ap dụng phep P. Nghĩa la, ap dụng phep P rôi đến P−1 cho kết qua giống như ap dụng phep hoan vi đông nhât. Hoan vi như vây đươc goi la hoan vi nghich đao.

- Chung ta luon co môt hoan vi như vây vi môt hoan vi la môt phep song ánh.

HOAN VI CHĂN VA LE

• Môt hoán vị chẵn la môt hoan vi co thể biểu diễn dưới dang tich cua môt số chẵn cac phep chuyển vi.

Ta co hoan vi đông nhât la môt hoan vi chẵn.

Vi dụ: (1 2)(2 1) phần tư sau hoan vi trơ lai la chinh no.

• Một hoán vị lẻ la một hoan vi co thể biểu diễn dươi dạng tich của một số lẻ các phép chuyển vi.

• Co thể chưng tỏ rằng mỗi hoan vi hoặc la chẵn, hoặc la lẻ va không thể co cả hai tinh chất nay.

ƯNG DUNG CUA HOAN VI• Săp xêp cac đối tượng trong lập trinh.

Vi dụ:

ơ đay, ta co a thanh c, c thanh f, f thanh a va chuyển vi (b d), e giư nguyên. Co thê viết la:

(a c f)(b d) (*)

Dựa theo (*), ta gan:

ia, ac, cf, fi;

ib, bd, di

• Phản ưng hoan vi trong hoa hoc.

Trong các phan ưng hoán vi, các liên kết đoigiữa các nguyên tử cacbon bi phá vỡ và đươctao ra bằng cách làm cho các nhóm nguyêntử đôi chỗ cho nhau. Đây là những phươngpháp hiệu qua, dễ sử dụng và thân thiện vớimôi trương.

• Dung trong khoa ma va dich ma.

WAINANATE

123123123231

No…I hate you TT

BAI TÂP

• 1. Có 6 con tem khác nhau và 6 bi thư khac nhau. Hỏi co bao nhiêu cach dan 6 con tem lên 6 bi thư đa cho, biết 1 bi thư chi dan đung 1 tem ?

• 2. Cần săp xếp 5 hoc sinh A, B, C, D, E thanh môt day hang ngang.

a) Hỏi co bao nhiêu cach săp xếp.

b) Hỏi co bao nhiêu cach săp xếp sao cho hai hoc sinh A va B luon đưng ơ hai đầu hang ?

• 3. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 co thể lâp đươc:

a) Bao nhiêu số tự nhiên gôm 5 chữ số khac nhau?

Trong đo co:

b) Bao nhiêu số lẻ ?

c) Bao nhiêu số khong chia hết cho 5 ?

5

1 42

3

• 4. Cần săp xếp 3 hoc sinh nữ va 5 hoc sinh nam thanh môt hang doc.

a) Hỏi co bao nhiêu cach săp xếp nếu 3 hoc sinh nữ luon đưng liền nhau ?

b) Hỏi co bao nhiêu cach săp xếp nếu hoc sinh đưng đầu hang la hoc sinh nữ va hoc sinh cuối hang la hoc sinh nam ?

ĐAP AN

• 1. 6!

• 2. a) 5! b) 2x3!

• 3. a) 5! b) 3x4! c) 4!

• 4. a) 3!x6x5! b) 3x5x6!

TOM TĂT

Công thưc tinh sô hoan vi:

(Vơi 0≤r≤n)

Công thưc tinh số các hoán vi vòngquanh:

Q(n) = (n − 1)!