UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNOLOKI FAKULTET

NOVAKOVI MIODRAG, URI MIRJANA

PRENOS TOPLOTE

Novi Sad, 1998

2

KORIENE OZNAKE

A Povrina (m2 ) a Koeficijent temperaturne provodljivosti (m2/s) B Konstanta Bi Biotov kriterijum (1) C Toplotni kapacitet (J/K), Konstanta c Specifian toplotni kapacitet (J/kg K), Brzina svetlosti u vakuumu (2,9979 108 m/s) d Dijametar (m) E Energija (J), Elektrini potencijal (V) e Specifina energija (J/kg), Emisivna snaga (W/m2) F Sila (N) Fo Fourierov kriterijum (1) Gr Grashofov kriterijum (1) Gz Graetzov kriterijum (1) g Gravitacija (m/s2) H Generisana energija (J/m3) h Specifina entalpija (J/kg) I Jaina struje (A) i Intenzitet zraenja (W/m2) j Colburnov faktor k Konstanta Boltzmannova konstanta (1.38 10-23 J/K) L Duina (m), Karakteristina duina (m) m Masa (kg) Nu Nusseltov kriterijum (1) n Normala P Pritisak (Pa) Pe Pecletov kriterijum (1) Pr Prandtlov kriterijum (1) Q Toplota (J) q Gustina toplotnog fluksa (W/m2) R Termiki otpor ravnog zida (m2K/W), cilindra (mK/W), sfere (K/W) Re Reynoldsov kriterijum (1) r Toplota isparavanja (J/kg), Radius (m) Sc Schmidtov kriterijum (1) Sh Sherwoodov kriterijum (1) St Stantonov kriterijum (1) T Temperatura (K) t Temperatura (relativna) (oC) U Unutranja energija (J) u Specifina unutranja energija (J/kg) V Zapremina (m3) w Brzina (m/s) x Duina (m) Z Ukupna visina (m) Ugao (rad), Koeficijent prelaza toplote (W/m2K), Absorptivnost (1) Ugao (rad) Debljina zida (m) Emisivnost (1) Ugao (rad), Bezdimenziona temperatura (1)

3

Talasna duina (m), Koeficijent toplotne provodljivosti (W/m K) Viskozitet (Pa s) Gustina (kg/m3), Reflektivnost (1) Stefan Boltzmannova konstanta (5.67 10-8 W/ m2 K4) Vreme (s) Fluks toplote (W) Ugao (rad) Konstanta slinosti (1)

INDEKS EKSPONENT

A Povrinski Izvod po duini, ac Akumuliran Izvod po vremenu b Mehur, Crn Vektor cond Konduktivni Srednji conv Konvektivni D Po dijametru e Elektrini f Fluid g Gas gen Generisan L Longitudinalan, l Tean n U pravcu normale v Parni w Brzinski x U pravcu x-ose y U pravcu y-ose z U pravcu z-ose U masi fluida Apsorbovan Spektralni Reflektovan Proputen

4

S A D R A J

1 UVOD U PRENOS TOPLOTE 1.1. Uvod 1.2. Definisanje osnovnih pojmova 1.3. Naini prenosa toplote 1.4. Stacionarno provoenje i opta jednaina prenosa toplote 2 PROVOENJE TOPLOTE 2.1. Uvod 2.2. Stacionarno provoenje toplote- analitiko reavanje 2.3. Stacionarno provoenje toplote- numeriko reavanje 2.4. Grafiki prikaz temperaturnog polja 2.5. Analogne metode 2.6. Merenje koeficijenta toplotne provodljivosti 2.7. Grejanje (hlaenje) tela sa zanemarljivim termikim otporom 2.8. Nestacionarno provoenje toplote- analitiko reavanje 2.9. Nestacionarno provoenje toplote- numeriko reavanje 2.10. Nestacionarno provoenje toplote- grafiko reavanje (Schmidtov grafiki metod) 3 KONVEKCIJA 3.1. Uvod 3.2. Pojam graninog sloja 3.3. Formulisanje osnovnih jednaina temperaturnog i strujnog polja 3.4. Teorija slinosti 3.5. Kratak pregled kriterijalnih jednaina za sluaj slobodne konvekcije 3.6. Kratak pregled kriterijalnih jednaina za sluaj prinudne konvekcije 3.7. Analogija izmee prenosa mase i toplote 3.8. Prenos toplote kljuanjem 3.9. Prenos toplote kondenzacijom 4 ZRAEN JE 4.1. Uvod 4.2. Definisanje osnovnih pojmova 4.3. Zakoni zraenja 4.4. Razmena toplote zraenjem

5

1 UVOD U PRENOS TOPLOTE

1.1. UVOD

Termodinamika nas je upoznala sa injenicom da je toplota jedan od naina prenosa energije sa jednog na drugo telo (sistem). Ona je, takoe, definisala zakone kao pravila u skladu sa kojima se deavaju sve pojave u realnom svetu pa i razmena toplote meu telima; prvi, koji definie toplotu kao vid energije u tesnoj vezi sa ostalima, u tom smislu to se moe dobiti iz drugih oblika energije i/ili u njih pretvoriti, i drugi, koji utvruje uslove pod kojima se deava razmena toplote i koji se svodi na iskaz: toplota se uvek prenosi sa toplijeg sistema na hladniji. Meutim, termodinamika se bavi procesima prelaska sistema iz poetnog u krajnje (ravnoteno) stanje, uz razmenu toplote, pri emu brzina dostizanja ravnotee nije vana. Za razliku od termodinamike, prenos toplote je nauka koja reava probleme vezane ne samo za razmenu toplote izmeu tela ije se temperature razlikuju ve, naroito, za brzinu kojom se razmena deava pod datim uslovima. Znanja iz ove oblasti neophodno su potrebna inenjerima svih profila, pa i tehnolozima, za bolje razumevanje toplotnih operacija i procesa koje se deavaju u brojnim ureajima (razmenjivaima toplote svih vrsta, generatorima pare, kulama za hlaenje, destilacionim i rektifikacionim kolonama, industrijskim peima, hemijskim reaktorima razliitih tipova i mnogim drugim). Oblast prenosa toplote najjednostavnije se izuava kada se podeli, prema osnovnim fenomenima, na kondukciju, konvekciju i zraenje. Takav, klasian pristup usvojen je i u ovom udbeniku. Nakon definisanja osnovnih pojmova i pobrojavanja naina prenosa toplote, izvedena je opta jednaina prenosa toplote koja e biti koriena u nastavku kao osnova za reavanje konkretnih problema. Sledi razmatranje problema stacionarnog provoenja toplote, kroz ravan, cilindrian i sferian zid, koji se reavaju analitiki. Stacionarno provoenje reava se i numeriki kako za jedno tako i za dvo- i tro- dimenzione sluajeve. U nastavku poglavlja o kondukciji toplote, prikazane su odabrane metode merenja koeficijenta kondukcije a, zatim, je data Newtonska jednaina grejanja (hlaenja). Nestacionarno provoenje toplote reavano je analitiki i grafiki za jedno- dimenzioni sluaj, a numeriki za sluajeve sa sve tri dimenzije. U poglavlju: Konvekcija, nakon analize graninog sloja, formulisan je matematiki model temperaturnog i strujnog polja, izloena je teorija slinosti i dat kratak pregled kriterijalnih jednaina. Pomenuta je injenica o analogiji izmeu prenosa mase i toplote a, zatim je analiziran prenos toplote u fluidu koji kljua i koji se kondenzuje. Poglavlje: Zraenje u uvodnom delu sadri definicije svih osnovnih pojmova a naroito intenziteta zraenja i emisivne snage. Zakonima zraenja posveen je nastavak, a poglavlje se zavrava razmatranjem razmene toplote zraenjem u dva specijalna sluaja - izmeu dve bliske, paralelne povrine i izmeu dve povrine od kojih je jedna potpuno obuhvaena drugom. 1.2. DEFINISANJE OSNOVNIH POJMOVA

Pre nego to se pree na sutinu, neophodno je definisati pojmove koji e biti korieni u delu knjige posveenom prenosu toplote. Slede definicije temperature, temperaturnog polja, izotermske povrine, temperaturnog gradijenta, toplotnog fluksa i gustine toplotnog fluksa. Temperatura u nekoj taki sistema je skalarna veliina koja zavisi od srednje (kinetike) energije atoma u okolini posmatranog mesta. Temperaturno polje je prostor unutar koga postoji odreena distribucija temperatura, u svakom trenutku vremena. Ono se moe opisati izrazima:

( )= ,z,y,xft 1 u pravouglim koordinatama, ( )= ,z,,rft 2 u cilindrinim koordinatama i 1.1 ( )= ,,,rft 3 u sfernim koordinatama.

6

Sa grafika na slici 1.2, moe se videti ta je oznaeno sa x, y, z, r, ,z, r, i , dok je oznaka za vreme. Dakle, jednainama 1.1, svakoj taki sa koordinatama (x, y, z) ili (r, , z) ili (r, , ) dodeljuje se po jedna vrednost temperature u jednom trenutku vremena.

Slika 1.2 Alternativni koordinatni sistemi

Stacionarno temperaturno polje karakterie stalnost (konstantnost) temperature u toku vremena:

( )z,y,xft 1s= , ( )z,,rft 2s = , ( )= ,,rft 3s ili

0t =

Nestacionarno polje je funkcija vremena, definisana optim izrazom 1.1. I stacionarna i nestacionarna temperaturna polja mogu biti trodimenziona (1.1.), ali i dvodimenziona- ravanska (1.3.) i jednodimenziona (1.4.), u sluaju kada temperatura zavisi od dve ili samo jedne koordinate:

( )= ,y,xft 2 ; 0zt =

1.3

( )= ,xft 3 ; 0zt

yt =

=

1.4

Izotermsku povrinu () jednog temperaturnog polja ine sve take sa istom temperaturom. Kada se sve izotermske povrine jednog polja preseku jednom istom ravni ( ), kao to je to prikazano na slici 1.6 dobijaju se izotermske linije - izoterme. Temperaturni gradijent, u nekoj taki polja, je najvea promena temperature po jedinici duine (tj., u pravcu normale na izotermsku ravan). Izraava se kolinikom:

onnttgrad r

= 1.5

gde ja sa onr

oznaen jedinini vektor u pravcu normale, a sa n duina kolinearna sa normalom na izotermsku ravan. Povezivanjem meusobno jednakih gradijenata, dobijaju se linije konstantnih gradijenata (oznaene tankom linijom na slici 1.5), odnosno, u prostoru nastaju izo-gradijentne ravni, koje formiraju polje temperaturnih gradijenata.

7

Slika 1.6. Izotermske ravni, izoterme i linije konstantnih temperaturnih gradijenata

Toplotni fluks je toplota koja se nekim od mehanizama (ili njihovom kombinacijom), transportuje u jedinici vremena, sa jednog mesta na drugo. Gustina toplotnog fluksa predstavlja fluks toplote obraunat po jedinici povrine kroz koju se razmenjuje toplota. 1.3. NAINI PRENOSA TOPLOTE

Prenos toplote obuhvata sve pojave vezane za prenoenje toplotne energije sa jednog sistema na drugi i odvija se u skladu sa zakonima termodinamike. On predstavlja jedan od najuniverzalnijih i najvanijih fenomena u realnom svetu. Deava se na raznim mestima, u svakom trenutku. Opti zakon prenosa toplote ima sledei oblik:

( ) ( )= TfAfCQ 21 1.7 gde je C konstanta proporcionalnosti, a f1 i f2 odgovarajue funkcije - prva, funkcija geometrijskih parametara sistema, tj. , konstanta jednaka ili srazmerna povrini, a druga, funkcija temperature. Prenos toplote se moe ostvariti na tri naina:

provoenjem (kondukcijom), prelazom (konvekcijom) i zraenjem (radijacijom),

koji se mogu jasno razlikovati. Najee, realan proces prenosa toplote obuhvata bar dva ili i sva tri pojedinana naina prenosa toplote.

Provoenje toplote (kondukcija) je mehanizam razmene toplote izmeu vrstih sistema u neposrednom kontaktu ili delova jednog istog, vrstog sistema. Kondukcijom se toplota provodi i kroz tanke filmove fluida. Energija se prenosi oscilovanjem molekula vrstih tela, odnosno elastinim udarima pokretljivih estica fluida. Opti zakon prenosa toplote 1.7 primenjen na kondukciju formulisao je Biot, 1804 godine, u obliku:

= TLAQ

U njemu figuriu sledee veliine: - koeficijent toplotne provodljivosti, L- rastojanje, na ijim krajevima postoji temperaturna razlika T, a koje je normalno na povrinu A, i - vreme trajanja prenosa toplote. Prenos toplote prelazom (konvekcijom ili strujanjem), tipian je za fluide. Ostvaruje se promenom mesta velikog broja estica, usled kretanja. Ovim mehanizmom, razmenjuje se toplota izmeu povrina objekata (aparata i ureaja, zidova graevinskih objekata i sl.) i fluida u kontaktu s njima. Naime, toplota se sa toplijeg zida provodi kroz tanak, granini sloj fluida a, zatim, konvekcijom odnosi u struju hladnog fluida. Ili obratno.

8

Specijalan sluaj prelaza toplote predstavlja konvekcija praena promenom faznog sastava fluida, tj. kljuanjem tene faze ili kondenzacijom pare. Opti zakon prenosa toplote 1.7 prilagoen konvekciji definisao je Newton, 1701. godine:

= TAQ Koeficijent proporcionalnosti u Newtonovom zakonu je - koeficijent prelaza toplote. Sa A je oznaena povrina sa koje toplota prelazi na fluid (ili obratno) a T predstavlja razliku temperatura zida i fluida. Zraenjem (radijacijom) toplota se prostire kroz termiki transparentne medijume i vakuum, putem elektromagnetnih talasa, koje emituje svaki sistem, srazmerno etvrtom stepenu svoje temperature T. Zakon je definisao Josef Stefan, 1879 godine, na sledei nain:

= 4ATQ 1.8 Koeficijent proporcionalnosti u jednaini 1.8 je tzv., Stefan- Boltzmannova konstanta (=5,67 10-8 W/m2K4). Sva tri zakona treba prihvatiti sa izvesnom rezervom, jer samo formalistiki opisuju procese koji se u realnim uslovima odvijaju.

1.4. STACIONARNO PROVOENJE I OPTA JEDNAINA PRENOSA TOPLOTE

Fluks toplote, koja se stacionarno provede od elementa dA na izotermskoj ravni temperature t+dt do ravni sa temperaturom dt (videti sliku 1.9), definie Fourierova jednaina, u obliku:

tgradAdntAdd

rrr == 1.9

U jednaini 1.10, vaan parametar je toplotna provodljivost (konduktivnost) materijala kroz koji se toplota prenosi. Znak minus naglaava da se toplota provodi u smeru smanjivanja temperature.

Slika 1.10 Ilustracija veliina koje figuriu u Fourierovom zakonu

Imajui u vidu izraz 1.9, dolazi se i do jednaine za gustinu fluksa, kao to sledi:

tgradSd

dq == rr

r 1.11

Kada se Fourierova jednaina (1.9) primeni na element prostora: dV=dx xy dz (prikazan na slici 1.13), kroz koji protie fluid a toplota se u njemu generie, moe se postaviti energetski bilans u sledeem obliku:

dWdddd acconvcondgen +=++ 1.12 gde su:

dgen - toplota generisana u jedinici vremena, dcond - toplota uneta kondukcijom, u jedinici vremena, dconv - toplota uneta konvekcijom (sa strujom fluida), u jedinici vremena,

t+dt t

9

dac - toplota akumulirana u zapremini dV, u jedinici vremena i dW - rad kojim zapremina dV deluje na okolinu.

Slika 1.13 Element zapremine sistema za koji se izvodi energetski bilans

Svi lanovi na levoj strani jednaine 1.12 predstavljaju komponente toplote unete razliitim mehanizmima u elementarnu zapreminu, dok dac oznaava promenu unutranje energije materije u zapremini dV usled toplotnih ulaza a dW rad izvren od strane sistema.

Analizirajmo detaljnije pojedine lanove izraza 1.12.

Generisana toplota je posledica prisutnih hemijskih, elektrinih (Jouleova toplota) ili nuklearnih izvora i proporcionalna je specifinoj generaciji H:

HdVd gen = 1.14 pri emu se H definie kao generisana energija po jedinici zapremine sistema. Konduktivna toplota unosi se provoenjem kroz svaku od tri para paralelnih stranica elementarne zapremine, i jednaka je razlici unete toplote (u pravcu sve tri koordinatne ose):

xtdydzd x

= , ytdxdzd y

= , ztdxdyd z

=

i toplote iznete iz zapremine dV u pravcu x- ose:

dxx

tdydzxtdydzdx

xxtdydz

xtdydzd 2

2

dxx

=

+= +

dyy

tdxdzytdxdzd 2

2

dyy

= +

dzz

tdxdyztdxdyd 2

2

dzz

= + odnosno,

( ) ( ) =++++ +++ dzzdyydxxzyx dddddd dxdydzz ty tx t 22

2

2

2

2

+

+ 1.15

U skraenom obliku napisana jednaina 1.15 glasi:

10

dVtd 2cond = 1.16 Konvekciona toplota prenosi se kretanjem fluida. Toplota uneta u pravcu koordinatnih osa moe da se definie izrazima:

tcwdydz pxx = tcwdxdz pyy =

tcdxdyw pzz = dok je izneta toplota:

( )dttcwdydz pxdxx += + ( )dttcwdxdz pydyy += + ( )dttcwdxdy pzdzz += +

Razlika unete i iznete toplote u pravcima pojedinih koordinatnih osa iznosi:

dxxtcwdydzd pxxdxxx

== +

dyytcwdxdzd pyydyyy

== +

dzztcdxdywd pzzdzzz

== + Akumulacija toplote usled konvekcije u elementarnoj zapremini dx dy dz jednaka je zbiru doprinosa u pravcu tri koordinatne ose:

dVztw

ytw

xtwcd zyxpconv

+

+= 1.17

Akumulirana toplota, apsorbovana od strane sistema u jedinici zapremine i u jedinici vremena, zapravo, predstavlja promenu unutranje energije sistema:

=

= UdVtcd vac 1.18 Konano, rad kojim sistem deluje na svoju okolinu usled promene zapremine jednak je:

( )

= pdVdW Kako je, meutim, promena zapremine vrstih i tenih supstanci, tokom vremena u kome se deava prenos toplote, zanemarljivo mala, mogue je rad dW apstrahovati, ili ga ugraditi u izraz 1.14, zamenom specifinog toplotnog kapaciteta cv sa cp, kada dac postaje:

=

= HdmdVtcd pac 1.19 Zamenom pojedinih sabiraka 1.14, 1.16, 1.17 i 1.19 u opti izraz za energetski bilans 1.13, moe se doi do jednaine koja definie raspodelu temperatura u pokretnom medijumu, u kome postoji generacija toplote:

+

+++

+

+=

ztw

ytw

xtwcH

zt

yt

xttc zyxp2

2

2

2

2

2

p

11

odnosno, u skraenom obliku i nakon deljenja sa cp :

+

+++=

ztw

ytw

xtw

cHTat zyx

p

2 1.20

gde je: a=/cp - termika difuznost. U cilindrinim koordinatama, opta jednaina nestacionarnog prenosa toplote, u pravcu poluprenika i duine cilindra, ima oblik:

+

++

+

+=

ztw

rtw

cH

zt

rt

r1

rtat zr

p2

2

2

2

1.21

pri emu su na slici 1.1 obeleene oznake koriene u jednaini 1.21. Za sferne koordinate, opta jednaina prenosa toplote, samo u pravcu poluprenika, glasi:

rtw

cH

rtr

rr1at r

p

22

++

=

1.22

Opti izrazi za prenos toplote 1.20, 1.21 i 1.22 transformiu se u izraze za pojedine, specijalne sluajeve, nakon zanemarivanja pojedinih lanova. Tako nastaju energetski bilansi za sledee sluajeve:

Nestacionaran prenos toplote u vrstom, nepokretnom medijumu:

p

2

cHtat +=

Nestacionaran prenos toplote u vrstom, nepokretnom medijumu u kome ne postoje izvori energije (Fourierova jednaina) :

tat 2=

Stacionaran prenos toplote u vrstom, nepokretnom medijumu (Poissonova jednaina):

0cHta

p

2 =+

Stacionaran prenos toplote u vrstom, nepokretnom medijumu u kome ne postoje izvori energije (Laplaceova jednaina):

0ta 2 =

12

2 PROVOENJE TOPLOTE

2.1. U V O D

Ve je ranije bilo reeno, kondukcijom se toplota provodi unutar medijuma (vrstog, tenog pa i gasovitog) ili izmeu razliitih medijuma u neposrednom kontaktu. Iako je kondukcija mogua u svim faznim stanjima, ona je tipina za vrst sistem jer je, ujedno, i jedini nain prenosa toplote kroz vrsta tela. Fenomen provoenja potpuno je odreen kada su poznati: termofiziki parametri sistema - , , cp , funkcija generacije toplote H, i granini uslovi. Metode reavanja parcijalne diferencijalne jednaine (1.20.), i njenih pojednostavljenih alternativa, su: analitike, numerike, grafike i analogne.

2.2. STACIONARNO PROVOENJE TOPLOTE - ANALITIKO REAVANJE

Analitiko reenje opte jednaine prenosa toplote moe se dobiti u ogranienom broju sluajeva, za sisteme jednostavne geometrije i za jednostavne granine uslove. Pri reavanju jednaine provoenja, svesno se zanemaruju zavisnosti , i cp od temperature. Time se ini izvesna greka, ali se reavanje problema pojednostavljuje. Ovde e, saeto, biti analizirana zavisnost koeficijenta toplotne provodljivosti od temperature. U optem sluaju ona se moe izraziti u obliku polinoma:

( ) .....ctbtatt o ++++= 32 gde je sa o oznaena referentna vrednost koeficijenta toplotne provodljivosti , dok su a, b, c ... koeficijenti polinoma. Na slikama 2.1 i 2.2 grafiki su prikazane zavisnosti (t) za razliite gasove, tenosti i vrste materijale. Analiza dijagrama pokazuje da se, u zavisnosti od irine posmatranog temperaturnog intervala, funkcija (t) moe aproksimirati linearnom, kvadratnom, kubnom i sl. zavisnou. Primena raunara omoguava primenu sloenih relacija, ali to u sluaju mnogih materijala (npr. termoizolatora, nekih gasova i dr.) nije ni potrebno.

Slika 2.1 Toplotna provodljivost odabranih gasova i tenosti

13

Slika 2.2 Toplotna provodljivost odabranih metala, gradjevinskih i ostalih materijala

Ovde e biti analitiki reavani nejjednostvniji sluajevi provoenja toplote, tj., sluajevi jednodimenzione kondukcije kroz zidove pravilnog geometrijskog oblika. Kada se toplota provodi samo u pravcu jedne koordinatne ose (na primer, po debljini zida), dok se prenos u pravcu ostalih osa moe zamenariti, kaemo da se radi o problemu jednodimenzione kondukcije. Ranije je reeno da stacionarno provoenje toplote bez generacije energije definie Laplaceova jednaina, koja u pravouglim koordinatama ima sledei opti oblik:

02 = t U nastavku teksta, ova jednaina bie reavana za nekoliko jednodimenzionih sistema, pravilne geometrije i pod pretpostavkom da se koeficijent toplotne provodljivosti ne menja znaajno sa promenom temperature.

Ravan zid (beskrajna ploa) Na ravan zid podseaju svi sistemi (ravni, cilindrini, sferini i dr. zidovi) ija je debljina mnogo manja u odnosu na ostale dimenzije, te se na njih sa uspehom mogu primeniti relacije koje e u ovom delu biti izvedene. Provoenje toplote kroz beskrajnu plou (na slici 2.3) je pravi primer jednodimenzionog fenomena jer je prenos toplote u pravcu y i z ose zanemarljiv:

022

2

2=

=

zt

yt

14

Slika 2.3 Jednoslojan ravan zid

Preostaje:

022

2

2==

dx

tdx

t 2.4

Iz relacije 2.4 sledi:

constCdxdt == 1 ili dxCdt 1=

odnosno,

21 CxCt += to predstavlja opti integral izraza 2.4. Primenom odgovarajuih graninih uslova:

11 xxzatt == LL 22 xxzatt == LL

mogu se odrediti integracione konstante C1 i C2, reavanjem sledeeg sistema linearnih jednaina:

2111 CxCt += 2212 CxCt +=

Tako se dobija:

21

211 xx

ttC = i

21

21122 xx

xtxtC = 2.5

Prema relaciji 1.11, gustina toplotnog fluksa kroz beskrajnu plou moe se definisati izrazom:

constCdxdtq === 1 2.6

gde je C1 konstanta definisana izrazom 2.5. Dakle, moe se zakljuiti da je toplotni fluks po celoj povrini konstantan. Nakon zamene konstante C1 , date relacijom 2.5, u izraz za gustinu fluksa 2.6 i posle sreivanja dobija se:

=

= 2112

21 ttxxttq 2.7

15

Imenilac razlomka 2.7 predstavlja termiki otpor koji jednoslojan, ravan zid prua stacionarnom provoenju toplote. On je, dakle, jednak:

tqR =

= Poznata je injenica da izmeu kondukcije toplote i kondukcije struje postoji analogija. Iz toga sledi da se toplotni, kao i elektrini otpori, mogu kombinovati u redne i paralelne sprege, kada vai:

za redne otpore nR....RRR +++= 21 za paralelne otpore

nR....

RRR1111

21+++=

Imajui prehodno u vidu, moe se napisati sledei izraz za termiki otpor vieslojnog, ravnog zida, takoe, i izraz za fluks toplote:

=

=n

i i

iR1

;

=

+

= ni i

i

nttq

1

11

uplji cilindar (beskrajna cev) Za ovu geometriju (na slici 2.8.) pogodnija je primena cilindrinih koordinata. Odgovarajua Laplaceova jednaina ima sledei oblik:

01 22

2 =+

=

zt

rtr

rrt

Slika 2.8 Jednoslojan cilindrian zid

Kako se radi o beskrajnom cilindru, mogue je zanemariti prenos toplote u pravcu z- ose i posmatrati provoenje iskljuivo u pravcu radijusa:

=

rtr

rrt 12 =

drdtr

drd

r1

Integracijom ove jednaine dobija se:

..constCdrdtr == 1 , odnosno r

drCdt 1= 2.9

16

Ponovnom integracijom, dolazi se do opteg reenja za sluaj cilindrinih koordinata:

21 CrlnCt += 2.10 Primenom odgovarajuih graninih uslova:

11 rrzatt == LL 22 rrzatt == LL

na izraz za raspodelu temperatura u cilindrinom zidu 2.8, formira se sistem jednaina linearnih po konstantama:

2111 CrlnCt += 2212 CrlnCt +=

ijim se reavanjem utvruju integracione konstante:

21

211 rlnrln

ttC = i

21

21122 rlnrln

rlntrlntC = 2.11

to se tie izraza za gustinu fluksa kroz beskrajni cilindar, on se dobija iz Fourierove jednaine 1.11, primenjene na cilindrine koordinate, kao i jednaine 2.11:

rC

drdtq 1== 2.12

Oigledno je da vrednost gustine fluksa opada sa poveanjem poluprenika. Zamenom konstante C1 u izrazu 2.12 kolinikom 2.11 i uzimanjem u obzir da je povrina cilindrine cevi, duine jedan metar: A=2r, dobija se:

1

2

211

212

rrln

ttrr

CqA

=== 2.13

Izraz 2.13 definie fluks toplote provedene kroz cev dugu jedan metar. Imenilac u izrazu 2.13 predstavlja termiki otpor koji stacionarnom provoenju toplote prua jednoslojan zid, cilindrinog oblika. Primenjujui analogiju sa redno vezanim elektrinim otporima, za vieslojan, cilindrian zid dobie se termiki otpor u obliku:

=

+=

n

i i

i

i rrlnR

1

12

1

pa e fluks toplote kroz cev sastavljanu od vie slojeva biti:

i

i

i

n

i

n

rrln

tt

1

1

11

21 +

=

+

=

uplja sfera

Laplaceova jednaina u sfernim koordinatama, za sluaj kada se toplota provodi samo po debljini zida, tj. u pravcu radijusa, glasi:

=

=

rtr

rrt 22

2 1 01 22 =

drdtr

drd

r

Dvostrukom integracijom dobija se:

17

2112

rdrCdtC

drdtr == 2.14

odnosno,

21 C

rCt += 2.15

Zamenom graninih uslova:

11 rrzatt == LL 22 rrzatt == LL

u zakon raspodele temperatura u sfernom zidu 2.15 dolazi se do sistema jednaina:

21

11 Cr

Ct += i 22

12 Cr

Ct +=

pomou kojih se odreuju se vrednosti konstanti C1 i C2:

( ) ( )2121

1 11 r/r/ttC

= i ( ) ( )( ) ( )212112

2 1111

r/r/r/tr/tC

=

Konano, jednaina za gustinu fluksa kroz sferian zid, u stacionarnim uslovima, bez generacije toplote, a na osnovu izraza 1.11 i 2.14 postaje:

21

rC

drdtq == 2.16

odnosno, gustina fluksa opada sa kvadratom radijusa.

Fluks toplote kroz sferian zid dobija se zamenom izraza za povrinu: A=4r2 i konstante C1 u jednainu za gustinu fluksa:

( ) ( ) ( )[ ]21212

21

11414

r/r//ttr

rCqS

=== 2.17

Na osnovu izraza 2.17 moe se zakljuiti da termiki otpor, koji stacionarnom provoenju toplote prua jednosnojan sferian zid, definie imenilac:

= 21

114

1rr

R

odnosno, po analogiji sa redno vezanim elektrinim otporima za vieslojan sferian sistem vai:

= += 11

114

1iii

n

i rrR

Konano, jednaina za fluks toplote kroz vieslojan sferian zid glasi:

= +

+

= ni iii

n

rr

tt

1 1

11

114

1

Iako se sferna geometrija sree ree od ravne i cilindrine, ipak se neki reaktori, rezervoari za gas, ureaji za merenje toplotne provodljivosti prakastih materijala i dr. izrauju u obliku sfere ili se, pak, mogu aproksimirati sfernim sistemom.

18

Generalizacija reenja Iz navedena tri primera, oigledno je da se sluajevi stacionarnog provoenja u raznim geometrijama (ravnim, cilindrinim i sfernim) svode na reavanje Laplaceove jednaine:

za ravan zid: 0=

dxdt

dxd

za cilindar: 01 =

=

r/dr

dtr/dr

ddrdtr

drd

r 2.18

za sferu: 01 2222 =

=

r/dr

dtr/dr

ddrdtr

drd

r

Oigledno je da se jednaine 2.18 mogu prikazati optim izrazom:

0=

dXdt

dXd

2.19

u kome je sa X oznaena generalizovana koordinata:

za ravan zid: xX = dxdX = za cilindar: rlnX = r/drdX = za sferu: r/X 1= 2r/drdX =

Opte reenje jednaine 2.19 za granine uslove:

11 XXzatt == LL 22 XXzatt == LL

je:

21

2112

21

21XX

XtXtXXXttt

+=

Temperaturni profil u generalizovanim koordinatama uvek predstavlja pravu liniju. Opti oblik izraza za gustinu toplotnog fluksa glasi:

LCq 1=

gde je sa L oznaena karakteristina dimenzija:

za ravan zid: 1=L za cilindar: ( )12

12r/rln

rrrL ==

za sferu: 212 rrrL == Fluks se moe izraziti u obliku:

( )( )12211 XXS/LttA

LCqA

=== 2.20

Iz izraza 2.20, oigledno je da opti oblik termikog otpora stacionarnom provoenju toplote glasi:

19

( )12 XXSLR = 2.21

2.3. STACIONARNO PROVOENJE TOPLOTE - NUMERIKO REAVANJE Numeriko reavanje jednaine prenosa toplote u stacionarnim uslovima mogue je i tada kada je analitiko reavanje izuzetno sloeno ili, ak, nemogue. Prethodno je potrebno podeliti sistem na segmente, tj. izvriti diskretizaciju. Na tako diskretizovan sistem, treba primeniti neku od numerikih metoda za reavanje diferencijalnih jednaina. Ovde se predlae jedna od najjednostavnijih, tzv. metoda konanih razlika.

Jednodimenziona kondukcija Zamislimo da je ravan zid, kroz koji se toplota stacionarno provodi, podeljen na nekoliko slojeva, jednake debljine, kao to je ilustrativno prikazano na Slici 2.22. Diferencijalna jednaina stacionarne kondukcije toplote kroz ovaj zid (1.20), sadri drugi izvod temperature po debljini sloja kao nezavisno promenljivoj veliini. Za reavanje diferencijalne jednaine 1.20 neophodno je numeriki izraziti drugi izvod. Imajui u vidu da je on jednak izvodu prvog izvoda, potrebno je znati numeriki izraz za prvi izvod.

Slika 2.22. Diskretizacija ravnog zida za potrebe numerikog reavanja

Postoje tri alternative prvog izvoda izraenog pomou konanih razlika relevantnih veliina (temperatura i duina). Ako je t=f(x) funkcija kao to je prikazano na slici 2.23, tada se prvi izvod u taki oznaenoj sa 2 moe izraziti kao:

Izvod unapred: xtt

xt

dxdt

=

23

Izvod unatrag: xtt

xt

dxdt

=

12

Centralni izvod: xtt

xt

dxdt

=

2

13

Slika 2.23. Grafiki prikaz zavisnosti temperature od pozicije u zidu

20

Izvodi unapred i unatrag manje su tani od centralnog, jer se odnose na taku na pola koraka desno i levo od take 2. Budui da je drugi izvod promena prvog izvoda sa promenom nezavisnopromenljive za konani, mali korak, moe se napisati:

( ) ( )( )12322122232

221 ttt

xxtt

xtt

dx

dx/dtdx/dt

dxtd +=

=

=

S druge strane, za jednodimenziono, stacionarno provoenje toplote vai:

022

=dx

td

Kada se drugi izvod izrazi numeriki, dobie se:

02 123 =+ ttt to predstavlja energetski bilans za stacionarno provoenje u taki (tj., sloju 2 ), izraen na specifian nain. U optem obliku, za i-ti sloj, bilans glasi:

02 11 =+ + iii ttt gde je: i=2,n-1 2.24 Pod pretpostavkom da su poznate temperature na graninim povrinama (t1 i tn) i primenom jednaine 2.24 na svaki segment sloja kroz koji se toplota provodi, moe se definisati temperaturno polje. Za konkretan primer na slici 2.25, sistem jednaina, koje u potpunosti odreuju temperaturno polje, glasi:

02 123 =+ ttt za taku u sloju 2 02 234 =+ ttt za taku u sloju 3 02 345 =+ ttt za taku u sloju 4 02 456 =+ ttt za taku u sloju 5 02 567 =+ ttt za taku u sloju 6 02 678 =+ ttt za taku u sloju 7

Slika 2.25. Numeriki odreeno temperaturno polje po debljini ravnog zida

Njegovim reavanjem, uz zadat granini uslov (poznate temperature t1 i t8 ), mogu se odrediti sve nepoznate meutemperature, ime je polje potpuno definisano. Do njegove izmene moe doi samo promenom graninih uslova.

Dvodimenziona kondukcija Za sluaj prikazan na slici 2.26, jednaina stacionarnog provoenja toplote glasi:

21

022

2

2==

dytd

dxtd

Slika 2.26. Numeriki odreeno temperaturno polje u ravni

Numerikim izraavanjem drugih izvoda, dobija se sledei izraz u optem obliku:

022

211

211 =

+++ ++

y

ttt

x

ttt j,ij,ij,ij,ij,ij,i 2.27

Pod pretpostavkom da je diskretizacija sistema izvrena tako da je: x=y, jednaina 2.27 se pojednostavljuje i glasi:

041111 =+++ ++ j,ij,ij,ij,ij,i ttttt Kada se primeni na konkretan primer na slici 2.28, omoguava formiranje sistema jednaina:

04 2212322123 =+++ ,,,,, ttttt za taku 2.2 04 3222423133 =+++ ,,,,, ttttt za taku 2.3

. . . . . . . . 041111 =+++ ++ j,ij,ij,ij,ij,i ttttt za taku i.j

. . . . . . . . 04 5444645355 =+++ ,,,,, ttttt za taku 4.5

U sluaju simetrije sistema dovoljno je poznavati poloaj ravni simetrije i u njima izvriti presecanje adijabatskim ravnima. Tako se broj taaka, za koje se odreuje temperatura, smanjuje jer su brojne vrednosti meusobno jednake i mogu se dobiti jednostavnim preslikavanjem. Ovo preslikavanje je ilustrativno prikazano na slici 2.28. na primeru raspodele temperatura u zidu pei kvadratnog preseka.

Slika 2.28. Numeriki odreeno temperaturno polje u zidu pei kvadratnog preseka

22

Trodimenziona kondukcija

U sluaju kada se toplota stacionarno provodi u pravcu sve tri koordinatne ose potrebno je reiti Laplaceovu jednainu u potpunom obliku:

022

2

2

2

2===

dztd

dytd

dxtd

Izraena u formi konanih razlika ona glasi:

0222

211

211

211 =

++++

+ +++z

ttt

y

ttt

x

ttt k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

Ako se podela izvri na takav nain da je: x=y=z energetski bilans za i, j, k taku postaje jednostavniji:

06111111 =+++++ +++ k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i ttttttt

Po ugledu na ovu jednainu, napisanu u optem obliku, mogue je formirati sistem jednaina za reavanje nepoznatih temperatura u svim pojedinanim segmentima, ali je preporuljivo koristiti raunar, jer problem postaje sloeniji od prethodnih.

2.4. GRAFIKI PRIKAZ TEMPERATURNOG POLJA

Grafiko prikazivanje temperaturnog polja svodi se na konstruisanje mree sastavaljene od izotermi i linija konstantnog fluksa, koje su meusobno normalne, kao to to slika 2.29 ilustrativno prikazuje za sluaj beskrajnog, ravnog zida. Razume se, grafiki prikaz ima vizuelne kvalitete ali se ne preporuuje kao metod za reavanje problema raspodele temperatura. On samo doprinosi plastinijem prikazivanju temperaturnog polja, kao to je to na jo jednom primeru na slici 2.30 pokazano. Naime, prikazano je stacionarno temperaturno polje u zidu pei pravougaonog poprenog preseka. Temperature na unutranjoj i spoljanjoj povrini pei iznosile su 1000 K i 400 K. Budui da je pe simetrina, analizirana je jedna njena etvrtina, tj., primenjeno je presecanje adijabatskim ravnima.

Slika 2.29 Gfariki prikaz temperaturnog polja u beskrajnom ravnom zidu

23

Slika 2.30 Grafiki prikaz temperaturnog polja u zidu pravougaone pei

2.5. ANALOGNE METODE

Izmeu pojedinih fizikih fenomena postoji analogija tada kada se mogu opisati istim jednainama i ako je obezbeena jednakost graninih uslova. U tom sluaju se eksperimentalne vrednosti dobijene za jedan sistem jednostavno preslikavaju na njemu analogan. Postoje mnoge analogne metode pomou kojih se moe reiti prenos toplote; preko prenosa mase, primenom membrana, preko prenosa elektriciteta u elektrinom polju i sl. Ovde e, vrlo informativno, biti pomenut metod snimanja stacionarnog, dvodimenzionog temperaturnog polja, pomou elektrinog sistema ematski prikazanog na slici 2.31.

Slika 2.31. Snimanje dvodimenzionog polja merenjem elektrinih veliina

Pre svega, analogija izmeu prenosa toplote i prenosa elektriciteta postoji, jer ih definiu iste diferencijalne jednaine. Za dvodimenzioni sluaj one glase:

022

2

2==

dytd

dxtd

za temperaturno polje

022

2

2==

dyEd

dxEd

za elektrino polje

24

Njihovim meusobnim poreenjem zakljuuje se da su temperatura (tj. toplotni potencijal) i napon (tj., elektrini potencijal) meusobno analogne veliine. Jednakost graninih uslova postie se potovanjem geometrijske slinosti izmeu sistema koji se analiziraju. Npr., ako se primenom elektrine analogije snima polje grafiki prikazano na slici 2.30. tada se provodni medijum (npr. teledeltos hartija), koji simulira zid pei, oblikuje tako da u potpunosti preslikava formu zida. Odgovarajui granini uslovi obezbeuju se nanoenjem nekog provodnog materijala (npr., srebrne boje) po odreenim ivicama sistema (videti alternative a i b na slici 2.31). Uspostavljanjem potencijalske razlike izmeu provodnih ivica formira se elektrino polje, ije ekvipotencijalne linije odgovaraju izotermama a strujnice linijama konstantnog toplotnog fluksa. Registrovanje ekvipotencijalnih linija postie se spajanjem taaka na istom naponu koji se meri korienjem odgovarajueg mernog instrumenta. Strujnice se odreuju na isti nain, korienjem inverznih graninih uslova (videti sliku 2.31 b). Konano, brojani odnosi izmeu napona i temperature uspostavljaju se na bazi poznate, proizvoljno odabrane potencijalske razlike (E2-E1) i razlike temperatura na suprotnim povrinama zida (1000-400). 2.6. MERENJE KOEFICIJENTA TOPLOTNE PROVODLJIVOSTI

Toplotna provodljivost uniformnog materijala () je koliina toplote koja proe, u jedinici vremena, kroz jedininu povrinu sloja, beskonane duine i irine a jedinine debljine, pri jedininoj razlici temperatura na njegovim suprotnim stranama. Provodljivost toplote je, za svaki materijal, karakteristina veliina- funkcija njegove temperature, gustine, poroznosti, vrste gasa koji ispunjava pore, vlanosti i sl. Metode merenja , koje e ovde biti izloene, zasnivaju se na stacionarnom provoenju toplote kroz uzorak ispitivanog materijala, te su u skladu s tim koncipirani merni ureaji. U svim sluajevim, zagrevanje uzoraka obezbeuje se elektrinim putem, transformacijom elektrine energije u Jouleovu toplotu:

EI= gde je sa I oznaena jaina struje, a sa E potencijalna razlika na krajevima otpornika grejaa. Na bazi precizno izmerenih elektrinih veliina, mogue je pouzdano utvrditi toplotni fluks koji prolazi kroz uzorak ispitivanog materijala. Vrlo tano merenje temperatura, na suprotnim stranama uzorka izloenog fluksu Jouleove toplote, postie se primenom termoparova. Dimenzije uzoraka potrebno je, takoe, precizno izmeriti. Izbor metode, koja e biti primenjena, zavisi od vrste materijala ije se odreuje (dobri ili loi provodnici toplote, kompaktni ili rastresiti materijali i sl.). U nastavku teksta bie izloene neke metode za merenje koeficijenta toplotne provodljivosti loih provodnika toplote i toplotnih izolatora (graevinskih materijala i cevnih izolacionih materijala), dobrih provodnika toplote (metala), prakastih materijala i t.d.

Metoda tople ploe Ovom metodom odreuje se koeficijent toplotne provodljivosti graevinskih, izolacionih i drugih materijala, koji su loi provodnici toplote. Ureaj za merenje ematski je prikazan na slici 2.32.

Slika 2.32. ema ureaja za merenje metodom tople ploe

25

U centru ureaja nalazi se elektrini greja- ploa, kvadratnog ili krunog oblika i standardnih dimenzija (videti :JUS U.A2.020, DIN 52612, ASTM C 177). Oko grejne ploe nalazi se zatitni prsten koji ima sopstveni elektrini greja. Kada se temperatura grejaa u zatitnom prstenu podesi tako da postane jednaka sa temperaturom glavne ploe, eliminie se deformacija (krivljenje) toplotnog fluksa na krajevima tople ploe. Neposredno iznad i ispod grejaa smeteni su uzorci oblikovani u ploe istih dimenzija. Za merenje koeficijenta toplotne provodljivosti koriste se i ureaji sa jednim uzorkom, kod kojih je umesto drugog postavljena topla ploa snage jednake snazi glavnog grejaa. Nain pripremanja uzoraka propisan je standarima, a od posebnog je znaaja precizno odreivanje njihove debljine i povrine. Kako se uzorci sa jedne strane stacionarno greju a sa druge hlade, potrebno je ,takoe, obezbediti odravanje konstantne temperature rashladnog sistema. Najjednostavniji nain je primena termostata. Konano, sve se oblae termoizolacionim materijalom i titi od uticaja okoline. Permanentno odravana konstantna razlika temperatura na suprotnim stranama uzoraka obezbeuje stacionarno provoenje toplote u skladu sa relacijama:

( ) 22

=

=ht

ht ttAA)tt( za dve ploe

i

( ) =

=ht

ht ttSS)tt( za jednu plou

Dakle, za poznatu debljinu uzorka , njegovu povrinu A i fluks toplote , preciznim merenjem temperatura na suprotnim povrinama uzorka (toploj i hladnoj) dolazi se do vrednosti , koja se oitava direktno sa mernog instrumenta. Temperature grejane i hlaene strane uzorka mere se termoparovima (sa tanou

K.10 ) iji broj na svakoj strani mora da bude vei od S10 , prema ASTM C 177. Opisana metoda je jedna od najee korienih za materijale koji imaju toplotnu provodljivost manju od 0.15 W/mK pri temperaturama tople i hladne strane uzorka od 100 0C i 00C.

Metoda merenja cevnih izolatora Merenje koeficijenata toplotne provodljivosti cevnih izolacionih materijala izvodi se u ureaju ematski prikazanom na slici 2.33.

Slika 2.33. ema ureaja za merenje izolatora za cevovode

On se sastoji od cilindra, odreene duine, oko koga se namotava uzorak. Cilindar je podeljen na centralni i zatitni deo a u njegovu osu postavljen je greja. Eksperiment poinje ukljuivanjem grejaa. Nakon uspostavljanja stalnih temperatura na unutranjoj i spoljanjoj povrini izolacije (tt i th), pri konstantnom fluksu toplote , za poznatu debljinu materijala (odnosno, rt i rh), postignuto je stacionarno stanje i termika provodljivost izolatora moe se izraunati iz relacije za fluks kroz cilindar (povrine A=2rL):

L

= 0 = 0

UZORAK ELEKTRINI GREJAth

tt

26

( ) th

ht

t

h

htrrln

ttLrrln

L

tt

=

=2

21

1

Merenje je mogue izvoditi za temperaturni opseg za tt od 40 0C do 800 0C, a u sluaju kada je potrebno da temperatura spoljanje povrine izolacije ima definisanu vrednost ureaj se smeta u specijalnu komoru, ija temperatura moe da se podeava u intervalu od -160 0C do 800 0C.

Metoda fluksmetra Toplotna provodljivost polimernih materijala, ukljuujui i kauuk, zaptivnih materijala, elektrinih izolatora, hartije, stakla i drugih materijala ije se kree u intervalu od 0.07 do 1.4 W/mK, moe se vrlo tano odrediti pomou ureaja sa fluksmetrom, na slici 2.34.

Slika 2.34. ema ureaja za merenje pomou fluksmetra

Uzorak, odreenih dimenzija, stavlja se zajedno sa fluksmetrom u sendvi izmeu dve, precizno kontrolisane tople ploe. Donji greja nalazi se na vioj temperaturi od gornjeg, to obezbeuje strujanje toplote kroz uzorak. Tano merenje razlike temperatura postie se primenom termoparova. Opseg merenja iznosi 25 0C do 200 0C. Na digitalnom instrumentu se oitava vrednost , izraunata primenom odgovarajue jednaine za stacionarno provoenje toplote kroz uzorak.

Metoda merenja prakastih materijala Odreivanje prakastih materijala izvodi se u jednostavnom aparatu sfernog oblika na slici 2.35. U centralnom delu ureaja nalazi se greja poznate snage, koji obezbeuje stacionarno provoenje toplote kroz sferni prostor ispunjen prakastim uzorkom.

Slika 2.35 ema uredjaja za merenje metodom tople ploe

Prakasti uzorak

27

Precizni termoparovi obezbeuju tano merenje temperature tople i hladne povrine, a primenom relacije za stacionarnu kondukciju kroz sferian zid odreuje se nepoznata vrednost koeficijenta toplotne provodljivosti:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )ht hththt ttr/r/

r/r//tt

=

=4

111141

Metoda merenja provodnika toplote Jedna od metoda koja se preporuuje za merenje toplotne provodljivosti metala i njihovih legura, zasniva se na aksijalnoj kondukciji toplote kroz punu ipku. Ureaj za merenje prikazan je na slici 2.36.

Slika 2.36 ematski prikaz ureaja za merenje dobrih provodnika toplote

Nakon oblikovanja uzoraka u formu punog cilindra, odreenih dimenzija, jedan njegov kraj dovodi se u kontakt sa glavnim grejaem a suprotni uranja u podlogu. Usled fluksa toplote kroz uzorak uspostavlja se temperaturni gradijent ija veliina zavisi od termike provodnosti materijala. Uzorak je okruen koncentrinom zatitom u kojoj je uspostavljen isti aksijalni temperaturni gradijent. Prostor izmeu ipke i zatitnog omotaa ispunjen je termoizolacionim materijalom. U trenutku uspostavljanja termike ravnotee, preciznim termoparovima mere se temperature na mestma koja se nalaze na propisanim meusobnim rastojanjima, tzv., kalibracionim intervalima. Koeficijent toplotne provodljivosti odreuje se primenom jednaine:

dx/dtA/=

u kojoj S oznaava povrinu poprenog preseka uzorka a dt/dx temperaturni gradijent, odreen na osnovu niza merenja temperature u osi cilindra. Opseg vrednosti koje se mogu utvrditi opisanim ureajem iznosi 10 W/mK, a temperaturni interval iznosi: -180 0C do 10000C.

2.7. NEWTONSKO GREJANJE (HLAENJE)

Newtonski prenos toplote tipian je za vrste sisteme sa malim (unutranjim) termikim otporom. Ova vrsta razmene toplote spada u nestacionarno provoenje jer je karakterie varijacija temperature posmatranog sistema u vremenu, ali je otpor kondukciji kroz telo dovoljno mali da bi temperatura u svim njegovim takama, u jednom trenutku vremena, bila jednaka. Tipino nestacionaran prenos toplote podrazumeva

28

promenu temperature u vremenu, ali i u prostoru, unutar posmatranog sistema, i bie predmet analize u narednom poglavlju.

Newtonski prenos toplote predstavlja znaajno pojednostvljanje problema, jer realno ne postoji supstanca koja ne prua otpor kondukciji toplote, ali je prihvatljiv u svakom onom sluaju za koji je termiki otpor izmeu povrine tela i okoline vrlo velik i predstavlja ograniavajui faktor celokupnog procesa. O veliini unutranjeg otpora (L/S) u odnosu na spoljanji ( )/1 informaciju daje bezdimenzioni Biotov broj:

A

LBi = 2.37

u kome je sa oznaen srednji koeficijent prelaza toplote sa okoline na sistem (u sluaju grejanja), odnosno sa sistema na okolinu (u sluaju hlaenja). Tipian primer Newtonske razmene toplote je hlaenje manjih komada metala okolnim vazduhom, kao to prikazuje slika 2.38.

Slika 2.38 Newtonsko hlaenje metala Ako se pretpostavi da je poetna temperatura metala (u vremenu 0=0 ) jednaka t0 , da je aktuelna temperatura (u vremenu ) jednaka t, a da je temperatura fluida, na dovoljnom rastojanju od metala da bi bila konstantna, jednaka t , moe se formulisati sledei energetski bilans:

( )= ttAddtVc p 2.39

odnosno, iznos za koji je smanjena unutranja energija metala usled hlaenja mora biti jednak toploti koja sa sistema prelazi na okolni vazduh u svakom vremenskom intervalu d. Diferencijalna jednaina (2.39 reava se razdvajanjem promenljivih:

=

=

VcA

ttttlnd

VcA

ttdt

p

t

t p 000

ili nakon anti logaritmovanja:

==

VcA

petttt

0 2.40

Bezdimenziona temperatura , definisana kolinikom na desnoj strani jednaine 2.40, zavisi eksponencijalno od vremena i vremenske konstante ( Vc/A p ). Pogodan nain izraavanja relacije 2.40 je:

BiFoe= 2.41 pri emu su korieni ranije definisan Biotov kriterijum i Fourierov kriterijum koji predstavlja sledei odnos:

22 La

LcFo

p

A ==

29

Kada se zavisnost (Bi Fo) prikae grafiki, u semilogaritamskim koordinatama (videti sliku 2.42), dobija se jednostavan dijagram koji moe da poslui za brzu procenu vremena trajanja procesa, krajnje temperature i sl. za poznate ostale veliine.

Slika 2.42. Bezdimenziona temperatura kao funkcija Bi- i Fo- kriterijuma

2.8. NESTACIONARNO PROVOENJE TOPLOTE- ANALITIKO REAVANJE

Kao to je ranije bilo navedeno, nestacionarno provoenje toplote, bez generacije, definie Fourierova jednaina:

+

+= 2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ddt

2.43

Za poznate poetne i granine uslove, ona se moe reiti razliitim metodama. Ovde e biti prikazano njeno analitiko, numeriko i grafiko reavanje, za odabrane, jednostavne sluajeve.

Za sluaj jednodimenzione nestacionarne kondukcije, sloena, parcijalna diferencijalna jednaina 2.43 pojednostvljuje se i glasi:

= 2

2

xta

ddt

2.44

Oigledno, sistem koji se analizira je ravna ploa, ematski prikazana na slici 2.45.

Slika 2.45. Beskrajna ploa kroz koju se toplota provodi nestacionarno

30

Budui da je pojava koja se simulira nestacionarna, potrebno je definisati tzv. poetni uslov (u poetnom trenutku vremena), kao i granine uslove (na graninim povrinama sistema), ukoliko se odreuje reenje za sasvim konkretan sistem. Opti oblik poetnog i graninih uslova je:

poetni uslov: za )x(ttLx 000 = 220 ftxx

Prvi korak u analitikom reavanju jednaine 2.44 sastoji se u usvajanju oblika (funkcije) koji e imati reenje. U cilju pojednostavljenja daljeg postupka, odabrae se reenje u obliku proizvoda dve funkcije, od kojih jedna zavisi samo od prostorne, a druga samo od vremenske koordinate:

( ) ( ) ( )= YxX,xt 2.46 Sada e, oigledno, prvi izvod funkcije 2.46 u vremenu i drugi izvod u prostoru biti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

YxXYxX,xt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

xXYxxXY

x,xt

2

2

2

2

Zamenom izvoda u jednainu 2.46 dobija se diferencijalna jednaina:

( ) ( ) ( ) ( )= xXaYYxX 2.47 u kojoj je mogue razdvojiti funkcije iste vrste:

( )( )

( )( )xXxX

YY

a

=

1 2.48

tako da leva strana jednaine 2.48 zavisi samo od vremenske a desna od prostorne koordinate. Budui da su one meusobno potpuno nezavisne, promena vrednosti nee uticati na promenu funkcije X(x) i njenog izvoda, kao to ni promena rastojanja x nee izmeniti vrednost funkcije Y() i njenog izvoda. Jednakost 2.48, dakle, moe da postoji samo pod uslovom da su njena i leva i desna strana jednake jednoj istoj konstanti (obeleimo je sa -b2 ). Usvajanjem ovog zakljuka, parcijalna diferencijalna jednaina 2.47 transformie se u sistem dve obine diferencijalne jednaine:

( ) ( ) 02 =+ YbaY ( ) ( ) 02 =+ xXbxX

ija su reenja, za jednu vrednost konstante b :

( ) = 21 abeCY ( ) bxcosCbxsinCxX 32 +=

Konano, zamenom vremenske i prostorne funkcije u jednainu 2.46 dobie se opti integral parcijalne diferencijalne jednaine za nestacionarnu kondukciju kroz ravan zid:

( ) ( ) ( ) [ ]bxcosCbxsinCeCYxX,xt ab 321 2 +== Ono zadovoljava jednainu 2.44 za bilo koju vrednost konstante b. Meutim, tek kada se konstante b, C1 i C2 odrede, primenom odgovarajuih graninih uslova, dobija se singularno reenje, za konkretan sluaj.

31

2.9. NESTACIONARNO PROVOENJE TOPLOTE- NUMERIKO REAVANJE

Ovde e biti pokazano da je numerikim metodama mogue reiti i one sluajeve nestacionarnog provoenja toplote za koje je analitika reenja teko ili nemogue dobiti. Jednodimenziona kondukcija Za numeriko reavanje jednodimenzionog provoenja toplote potrebno je parcijalnu diferencijalnu jednainu 2.44 izraziti u obliku konanih razlika. Imajui u vidu ono to je ranije reeno u vezi sa numerikim izraavanjem izvoda, jednaina 2.44, formulisana za taku (sloj) 2, postaje:

( )123222 21 tttxatt +=

2.49

gde je sa t oznaena budua temperatura u sloju za koji se izraava bilans, dok su sa t oznaene sadanje temperature u tom i susednim slojevima. Na osnovu ovog komentara, oigledno je da je prvi izvod temperature u vremenu numeriki izraen kao izvod unapred. To prua mogunost eksplicitnog izraavanja jednaine 2.49 po nepoznatoj, buduoj temperaturi, koja e se dostii u segmentu 2 nakon sekundi, u sluaju da su sve temperature u sadanjem trenutku poznate, u skladu sa definisanim poetnim uslovom. U optem obliku prikazana jednaina (eksplicitna po temperaturi) glasi:

( ) iiii txatt

xat

++

= + 211221 2.50

Dakle, za svaki od slojeva ravnog zida na slici 2.9, debljine x, moe se napisati energetski bilans tipa 2.50. Kada se ovako formiran sistem, za poznate granine uslove (npr., poznate temperature u graninim slojevima), rei dobija se raspodela temperatura u ravnom zidu, koja e se uspostaviti nakon sekundi. Ako se upravo dobijena raspodela usvoji kao nov poetni uslov i ponovo rei sistem 2.50 za poznate temperature na granicama, dolazi se do raspodele nakon 2 sekundi, poev od nultog trenutka. Ponavljanjem postupka postie se koraanje kroz vreme i prostor i numeriki simulira fenomen nestacionarne jednodimenzione kondukcije. Da bi se obezbedila stabilnost prorauna, izbor vremenskih i prostornih koraka ne moe biti potpuno proizvoljan. Naime za sluaj jednodimenzionog provoenja toplote mora biti ispunjen sledei uslov:

2a

x 2

Dvodimenziona kondukcija

Kada se toplota provodi u pravcu dve koordinatne ose, za odreivanje nepoznatih temperatura potrebno je retiti diferencijanu jednainu:

+

=

2

2

2

2

yt

xtat

Nakon izraavanja izvoda u obliku konanih razlika, ona postaje:

( ) ( )

++

+= ++

211

211 22

y

ttt

x

ttta

tt j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i 2.51

gde su sa i i j oznaene prostorne koordinate a sa prim vremenska koordinata.

Reavanjem jednaine 2.51 po buduoj temperaturi dobija se:

( ) ( ) j,ij,ij,ij,ij,ij,i tyaxattyattxat

++++

= ++ 22112112221 2.52

32

ili, u sluaju da je x=y :

( ) j,ij,ij,ij,ij,ij,i txattttxat ++++ = ++ 211112 41 Za poznate granine uslove i poetni uslov (poznatu temperturnu raspodelu u prethodnom trenutku) jednaina 2.52 daje reenje u vidu matrice (dvodimenzionog niza) temperatura za sve segmente zida, nakon sekundi. Ako se ove temperature usvoje kao poetni uslov i proraun ponovi, dobie se raspodela temperatura nakon 2 sekundi, i tako sve do kraja specificiranog vremenskog perioda. to se tie izbora vremenskih i prostornih koraka, u sluaju dvodimenzione kondukcije mora biti zadovoljen uslov:

4a

x 2

Trodimenziona kondukcija Konano, najsloeniji oblik nestacionarnog provoenja toplote podrazumeva razmenu u pravcu sve tri koordinatne ose. U tom sluaju Fourierova jednaina glasi:

+

+=

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xtat

a izraena pomou konanih razlika, postaje: ( ) ( )( )

211

211

211

2

22

z

ttta

y

ttta

x

ttta

tt

k,j,ik,j,ik,j,i

k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

++

+++

+=

+

++

odnosno, reena po temperaturi u svakom segmentu zapremine V : ( ) ( )

( ) k,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i

tz

ay

ax

attz

a

tty

attx

at

++

++++

=

+

++

222112

112112

2221

Ako je diskretizacija sistema izvrena na takav nain da je: x=y=z, izraz za nepoznatu temperaturu se pojednostavljuje:

( ) j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,ik,j,i txattttttxat ++++++ = +++ 21111112 61 Primenom formulisane jednaine,uz poznate potrebne uslove (poetni i granini), dolazi se do trodimenzionog niza temperatura, tj., trodimenzionog temperaturnog polja u ravnom zidu, u trenutku sekundi od poetka posmatranja procesa. Ako se dobijena raspodela usvoji kao poetni uslov i proraun ponovi, dolazi se do nove temperaturne raspodele nakon 2 sekundi, i tako sve do zavretka numerike simulacije provoenja toplote. to se tie izbora koraka, mora se potovati uslov koji obezbeuje numeriku stabilnost reavanog sistema. Za trodimenzioni sluaj uslov glasi:

6a

x 2

33

2.10. NESTACIONARNO PROVOENJE TOPLOTE- GRAFIKO REAVANJE (Schmidtov grafiki metod)

Grafiko odreivanje nestacionarnog temperaturnog polja mogue je samo u sluaju jednodimenzionih sistema. Taj fenomen opisuje jednaina (5.32.) koja e, zbog znaaja za dalje izlaganje, biti ponovljena:

( ) iiii txatt

xat

++

= + 211221 2.53

Naime, ako se na nju primeni tzv. Schmidtov uslov:

12 2 =

xa

2.54

ona se pojednostavljuje do oblika:

( )2

11 + += iii ttt Dakle, budua temperatura u centru sloja i jednaka je aritmetikoj srednjoj vrednosti sadanjih temperatura u slojevima susednim i-tom, tj., sloju iza (i+1-vom) i sloju ispred. Ova injenica prua mogunost grafikog prikazivanja temperaturne raspodele na relativno jednostavan nain, kao to e na primeru biti pokazano. Prvi korak u reavanju problema je podela zida, kroz koji se provodi toplota, na slojeve jednake, proizvoljne irine x, kao to je to na slici 2.56 prikazano. Nakon toga se, iz Schmidtovog uslova (2.54) odreuje vremenski korak:

ax

2

2= 2.55 za poznate termofizike karakteristike datog materijala, imajui u vidu da je a=/cp. Oigledno je, dakle, da se samo jedan od koraka moe odabrati proizvoljno; drugi se mora odrediti tako da Schmidtov uslov bude zadovoljen.

Kada je ovo uinjeno, ucrtava se poetna raspodela temperatura, tj. zadaje se poetni uslov. Za primer na slici 2.56 take koje se odnose na poetne temperature oznaene su sa 2 ....5. Takoe, da bi grafiko reavanje problema bilo mogue potrebno je uneti i uslove na graninoj povrini. Najjednostavnije je kada su poznate temperature u prvom i poslednjem sloju, odnosno sa obe strane zida, za sluaj da je problem nesimetrian (tj., kada zid razdvaja dve sredine na razliitim temperaturama). Izuzetno, ako je problem koji se reava simetrian, dovoljno je posmatrati jednu njegovu polovinu. Tada se koristi uslov na samo jednoj granici, a u osu simetrije postavlja se adijabatska ravan i temperature preslikavaju. Na grafiku na slici 2.56 granini uslovi su oznaeni takama: 1, 1 i 1, na levoj, i takama: 7, 7 i 7, na desnoj, granici. Podrazumeva se, vrednosti temperatura na granicama date su u vremenskim intervalima definisanim izrazom 2.55.

Spajanjem taaka 1 i 3 dobija se temperatura u sloju dva, prikazana takom 2, u skladu sa relacijom: t2=(t3+t1)/2. Na isti nain, spajanjem taaka 2 i 4 dobija se 3, spajanjem 3 i 5 taka 4 i, konano, spajanjem 4 i 6 taka 5. Uzimanjem u obzir graninog uslova, definisanog takama 1 i 6, upotpunjava se raspodela temperatura koja se grafiki moe prikazati spajanjem svih taaka sa oznakom prim, to je prikazano na slici 2.55 a). Tako je nainjen jedan korak u vremenu, od poetnog, nultog vremena do sekundi, tj., od poetne raspodele (izlomljene linije sastavljene od dui 12, 23, 34, 45 i 56) do nove raspodele (linije sastavljene od dui 12, 23, 34, 45 i 56). Sada se raspodela prikazana prim takama usvaja kao poetni uslov a spajanjem 1 i 3 dobija 2, spajanjem 2 i 4 dobija 3 i tako sve do 5. Konano, uzimaju se u obzir i vrednosti temperatura na granicama (u takama 1 i 6), te spajanjem sekund taaka, kao to to prikazuje slika 2.56 b), grafiki predstavlja nova raspodela, nakon 2 sekundi od poetka razmene toplote. Postupak se ponavlja potreban broj puta, sve dok se ne obuhvati eljeni vremenski period.

34

Slika 2.56. Odreivanje nestacionarnog temperaturnog polja Schmidtovom grafikom metodom

35

3 KONVEKCIJA

3.1. UVOD Prenos toplote izmeu fluida i povrine vrstog tela naziva se prelaz toplote ili konvekcija. Karakterie ga kondukcija toplote kombinovana sa prenosom mase. Naime, kondukcijom se toplota prenosi sa povrine esticama fluida u neposrednom kontaktu s njom, a, zatim, kretanjem fluida odnosi dalje u masu. Tako je, dakle, konvekcija u tesnoj vezi sa strujanjem fluida i od njega se ne moe odvojiti. Ako fluid uz povrinu struji laminarno (slojevito), toplota se prenosi iskljuivo kondukcijom, kako izmeu fluida i zida tako i izmeu pojedinanih slojeva fluida. Ukoliko je, meutim, strujanje turbulentno (neureeno, vrtlono) kondukcija je dopunjena bezbrojnim vrtlozima koji omoguavaju prenos energije putem meanja estica fluida na razliitim temperaturama, to doprinosi intenzifikaciji procesa. Kretanje fluida moe biti izazvano razlikom u gustinama pojedinih njegovih slojeva (usled razlike u temperaturama ). Konvekcija u takvim uslovima naziva se prirodna ili slobodna. Ako je kretanje posledica dejstva nekog ureaja (pumpe, kompresora, ventilatora i sl.), u takvim uslovima odvija se prinudna konvekcija. to se tie faznog stanja fluida, ono, tokom razmene toplote, moe ostati nepromenjeno a moe se i menjati. Do toga dolazi kada se tenost, razmenjujui toplotu sa vrelom povrinom, zagreje to temperature kljuanja ili se para, u kontaktu sa hladnim zidom, kondenzuje. U sluaju prelaza toplote uz promenu faznog stanja fluida razmenjeni fluksevi su, generalno govorei, vei nego u sluaju kada fluid zadrava stanje u kome se nalazi. 3.2. POJAM GRANINOG SLOJA Bez obzira na to da li je konvekcija laminarna ili turbulentna, prirodna ili prinudna, uz promenu faznog stanja ili bez nje, neposredno uz povrinu vrstog tela formira se granini sloj, to je prvi put zapaeno od strane Prandtla 1904. godine. Naime, neposredno uz povrinu vrstog tela, usled dejstva viskoznih sila, postoji sloj fluida ija je brzina jednaka nuli i koji usporava kretanje svih slojeva u okolini. Ali, ve na malom rastojanju od povrine, brzina fluida moe dostii vrednost brzine kretanja neporemeenih slojeva (w ), to zavisi od tzv. debljine graninog sloja. Ona predstavlja rastojanje od povrine do onog sloja fluida koji se kree brzinom od 99% w. Karakteristike graninog sloja su: relativno mala debljina, veliki gradijent brzine, veliki temperaturni gradijent i snano dejstvo viskoznih sila. Oblik brzinskog profila u graninom sloju zavisi od prirode strujanja. Najjednostavnije je analizirati ga na konkretnom sluaju, na primer, u sluaju strujanja fluida preko horizontalne, ravne ploe, kao to je prikazano na slici 3.1. Na poetku ploe (x=0 ) granini sloj je iskljuivo laminarnog karaktera i minimalne debljine, to znai da samo mali broj estica zaostaje na povrini, dok ostale neometano nastavljaju kretanje. Uticaj zaostajanja izvesnog broja estica na poetku ploe je takav da usporava strujanje fluida i u slojevima udaljenim od povrine. Usled toga se debljina graninog sloja poveava, kao i brzine strujanja fluida u njemu, odnosno ulazimo u prelaznim reim strujanja. Ubrzo zatim, vrtloenje fluida nadvladava viskozne sile do te mere da granini sloj postaje nestabilan i prelazi u turbulentan deo. Kvazilaminarno strujanje zadrava se samo u vrlo tankom laminarnom podsloju.

to se tie profila brzina, on je blago strm u odnosu na normalu na povrinu ploe u laminarnom delu, a veoma zaobljen u turbulentnom. Naime, u laminarnom delu graninog sloja brzine se ravnomerno poveavaju sa udaljavanjem od povrine da bi najveu vrednost dostigle u najudaljenijoj taki. U turbulentnom delu koji zadrava tanak laminarni podsloj, profil brzina u podsloju moe se predstaviti pravom linijom veoma nagnutom od normale na povrinu, to ukazuje na injenicu da se slojevi blie ploi kreu sporo, ali da ih blizina vrtloga naglo ubrzava. U delu turbulencije profil je gotovo paralelan sa normalom, to znai da su brzine kretanja slojeva meusobno jednake i, istovremeno, jednake maksimalnoj brzini.

36

Slika 3.1. Izgled graninog sloja

Rastojanje izmeu poetka graninog sloja i mesta naruavanja laminarnog kretanja naziva se kritina duina koja je na slici 3.1 oznaena sa xc. ak i u sluajevima kada je kontura povrine, iznad koje struji fluid, zakrivljena struktura graninog sloja ostaje nepromenjena. Ovde se, medutim, pojavljuje problem odvajanja graninog sloja od povrine, to nee biti detaljnije razmatrano. Istovremeno sa hidraulikim formira se i toplotni granini sloj, koji moe biti tanji ili deblji od prvog, ve prema tome da li je odnos difuzivnosti koliine kretanja (reprezentovane kinematskim viskozitetom ) i toplotne difuzivnosti (sadrane u veliini a) vei ili manji od jedinice. Docnije e se videti da kolinik /a (=Pr) predstavlja bezdimenzioni Prandtlov kriterijum, vrlo znaajan za sve vrste konvektivnog prenosa toplote. Iz analize prethodnih postavki jasno je da oblasti malih brzina karakteriu veliki temperaturni gradijenti te se prenos toplote odvija prevashodno kondukcijom. Obratno, na mestima gde se fluid brzo kree toplota se prenosi, pre svega vrtloenjem, a temperaturni gradijenti su manji. Imajui sve ovo u vidu, mogue je nacrtati temperaturni profil (na slici 3.2). U neposrednoj blizini tople ploe toplota se razmenjuje samo kondukcijom a pad temperature je izrazit. Na izvesnom rastojanju od zida intenzivnije kretanje fluida doprinosi transportu energije a temperaturni gradijent opada, da bi u samoj masi sasvim isezao.

Slika 3.2. Temperaturni gradijent u graninom sloju

Zbog toga, moe se napisati:

( )= = ttxt

Ax 0 3.3

Mnoenjem obe strane jednaine 3.3 karakteristinom dimenzijom L, koja zavisi od geometrije sistema, i preureivanjem dobie se u bezdimenzionoj formi:

37

( ) NuL

ttxt

LA

x =

=

=0

Na ovaj nain nastao je Nusseltov broj koji se moe smatrati kolinikom temperaturnog gradijenta u fluidu neposredno naslonjenom na zid i ukupnog, srednjeg temperaturnog gradijenta (tA - t)/L). Za konvektivni prenos toplote on je veoma znaajna veliina jer omoguava odredivanje koeficijenta konvekcije , kao to e u nastavku biti pokazano. Nusseltov broj se moe definisati i na sledei nain. Ako se granini sloj debljine zameni fiktivnim slojem , koji je potpuno uniforman te ga karakterie linearni pad temperature (slika 3.2) a ima isti termiki otpor kao i sloj , tada se jednaina 3.3 moe napisati u obliku:

( ) = tttt A'A

ili, nakon mnoenja sa L i skraivanja:

NuLL ' ==

3.4

Na osnovu izraza za Nusseltov kriterijum moe se zakljuiti da je prenos toplote konvekcijom utoliko intenzivniji ukoliko je debljina fiktivnog uniformnog sloja fluida manja, to se postie poveanjem brzine fluida, odnosno turbulencijom. Obrnut zadatak imaju izolatori. Oni treba da ouvaju to veu debljinu sloja fluida na svojoj povrini.

3.3.FORMULISANJE OSNOVNIH JEDNAINA TEMPERATURNOG I STRUJNOG POLJA U nastavku e biti prikazan matematiki model koji definie temperaturno i strujno polje u nestiljivom fluidu. Za stiljiv fluid model je sloeniji i zainteresovani ga mogu pronai u literaturi koja je ue specijalizovana od ove. Ve je vie puta naglaeno da se prenos toplote konvekcijom, odnosno odgovarajue temperaturno polje, ne moe posmatrati nezavisno od strujnog (i brzinskog) polja u fluidu. Zbog toga, u osnovne jednaine koje sainjavaju matematiki model konvekcije spadaju i jednaine kretanja Navier- Stokesa koje, u optem obliku, za nestiljiv fluid glase:

wPgradgd

wD rrr 21 += U matematiki model potrebno je uvrstiti, takoe, i zakon o odranju mase koji se u optem obliku moe izraziti pomou sledee parcijalne diferencijalne jednaine:

0=+

+

zw

yw

xw zyx

rrr

Konano, osim zakona o odranju mase potrebno je u model ukljuiti i zakon o odranju energije. Za sistem (fluid) koji ne vri nikakav rad, nego samo razmenjuje toplotu, energetski bilans glasi:

tadDt 2=

itaocu je verovatno poznato da operatori nabla i D/d (supstancijalni izvod) imaju sledee znaenje:

+

+

= 2

2

2

2

2

22

zyx

38

odnosno,

ztw

ytw

xtwt

dDt

zyx +

++

=rrr

Budui da postoje tri jednaine strujanja (za svaku komponentu brzine: wx, wy i wz posebno) one zajedno sa masenim i energetskim bilansom formiraju sistem od pet parcijalnih diferencijalnih jednaina. Poto je za definisanje temperaturnog i strujnog polja neophodno odrediti est nepoznatih veliina u svakoj taki sistema: tri komponente brzine wx, wy i wz , temperaturu t, pritisak P i gustinu (specifinu zapreminu), model je potrebno dopuniti jo jednom jednainom. To je najee jednaina stanja pogodno odabrana za fluid koji se analizira. Iz svega izloenog moe se jasno videti da je analitiko reavanje formiranog sistema izuzetno sloeno. Za neke jednostavnije geometrije i strujne reime (na primer, laminarno strujanje u cevima ili iznad ravne ploe) dobijena su analitiki reenja. Ipak, u inenjerskoj praksi ovakav nain reavanja problema se izbegava, a ee se koriste razliite empirijske relacije i jednaine koje koreliu eksperimentalno dobijene podatke, za ta je vrlo korisno uvoenje pojma srednjeg koeficijenta koji sa lokalnim koeficijentima stoji u sledeoj vezi:

=L

xdxL 0

1

Kada je prosena vrednost koeficijenta prelaza toplote poznata, primenom jednostavne Newtonove relacije, dolazi se do konvektivno razmenjene toplote: ( )= ttq A gde se indeks A odnosi na povrinu a na fluid. I pored toga to je ovaj izraz, a posebno koeficijent konvekcije, znatno udaljen od fizike sutine pojave i odavno prevazien on osvaja svojom jednostavnou i u praksi se iroko primenjuje. Pri tome se problem odreivanja najee reava primenom kriterijalnih jcdnaina, to omoguava tzv., teorija slinosti.

3.4. TEORIJA SLINOSTI

Ova teorija prua mogunost da se korelacije i izrazi dobijeni obradom eksperimentalnih rezultata primene na odreen, konkretan inenjerski problem, ukoliko izmedu pojava u oba sistema (eksperimentalnom i realnom) postoji slinost. Ukratko reeno, slinost se obezbeduje jednakou bezdimenzionih izraza t. zv. kriterijuma slinosti, do kojih se dolazi pomou konstanti slinosti, dok je baza matematiki model, odnosno pojedine njegove jednaine. U daljem tekstu bie objanjena sutina pojma slinosti pojava, primenom jednaine energetskog bilansa. Iako je teorija slinosti poznata od ranije tek je Nusseltu 1910. godine polo za rukom da je primeni na konvektivni prenos toplote. Pojam slinosti prvi put se sree u geometriji, gde se za dve geometrijske figure kae da su sline ukoliko vai:

lconstcc

bb

aa ==

==

tj., ukoliko je kolinik odgovarajuih stranica jedne i druge figure konstantan. Ovako dobijen bezdimenzioni odnos naziva se konstanta slinosti i obeleava sa, na primer, l a slui za registrovanje geometrijske slinosti dva sistema. Ako se ovaj nain primeni na ostale fizike veliine, dolazi se do niza razliitih konstanti. Na primer:

39

www =

- konstanta kinematske slinosti

ttt =

- konstanta termike slinosti

pPP =

- konstanta mehanike slinosti

i mnoge druge dobijene na istom principu. Budui da su neke od ovih veliina vektori, potrebno je da u prostoru budu jednako orijentisani pored toga to imaju konstantan odnos. Pokuajmo sada da, korienjem konstanti slinosti, uspostavimo slinost izmeu dva temperaturna polja. Najvaniji uslov koji mora biti ispunjen da bi temperaturna polja bila slina je da ih definiu jednake diferencijalne jednaine. U ovom sluaju to je energetski bilans:

Eksperiment

+

+=

++

+

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt zyx

rrr

Realan sistem

+

+=

++

+

2

2

2

2

2

2

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt zyx

rrr

Oigledno je da su parametri modela oznaeni oznakom prim a sistema oznakom sekund. Drugi uslov potreban za uspostavljanje slinosti izmedu fenomena je da u odgovarajuim takama sistema koji se uporeuju postoje konstantni odnosi relevantnih fizikih veliina, od kojih e ovde biti navedeni samo neki:

tttt

tt ==

= =

==

xwxwx

x www

w

Ako se izrazi formulisani za realan sistem uvrste u njegov energetski bilans dobie se:

+

+

=

+

+

+

2

2

2

2

2

2

2 zt

yt

xta

ztw

ytw

xtwt

l

tazyx

l

twt rrr

Da bi diferencijalne jednaine za eksperimentalni ureaj (model) i realan sistem (objekat) bile jednake, zakljuuje se da mora biti:

1= t 1=

l

tw 12 =l

ta

Ovo prua mogunost da se, imajui u vidu fiziku prirodu pojava, izvri grupisanje konstanti na sledei nain:

11 22 ==

=

l

a

l

tat

40

112 ==

=

a

lw

l

ta

l

tw

Ako se sada izvri zamena konstanti konkretnim fizikim veliinama dobijaju se: Fo

la

la =

=

22 Fourierov kriterijum

i

Pea

lwa

lw ==

Pecletov kriterijum

Za slinost temperaturnih polja potrebno je da bezdimenzioni kriteriumi slinosti Fo i Pe za model i sistem budu jednaki. Kako ovo nije dovoljno da bi konvektivna polja bila slina analizu bi trebalo nastaviti primenom ostalih relevantnih jednaina modela. Na taj nain dolazi se do ostalih kriterijuma bitnih za prenos toplote (videti pregled u tabeli 3.5).

Tabela 3.5 Kriterijumi slinosti znaajni za prenos toplote

NAZIV KRITERIJUMA IZRAZ

REYNOLDSOV =

wLRe

Definie odnos inercionih i frikcionih sila. Obezbeuje hidrodinamiku slinost. Posebno znaajan za prinudnu konvekciju.

PRANDTLOV

ac

Pr p ==

Korelie raspodelu temperatura sa distribucijom brzina. Karakterie fluid. Vaan i za prirodnu i za prinudnu konvekciju.

NUSSELTOV

= LNu Definie odnos temperaturnog gradijenta neposredno uz povrinu i totalnog gradijenta. Slui za odreivanje koeficijenta konvekcije u svim vrstama konvektivnih prenosa toplote.

GRASHOFFOV 2

23

= LgtGr

r

Uspostavlja zavisnost slobodne konvekcije od temperaturne razlike: fluid-povrina. Obezbeduje dinamiku slinost.

FOURIEROV

2L

aFo = Izraava odnos uslova u okolini i unutar sistema.

BIOTOV

A

LBi =

Predstavlja kolinik unutranjeg i spoljanjeg termikog otpora tela koje se nestacionarno (Newtonski) greje ili hladi.

PECLETOV STANTONOV GRAETZOV

Pe=RePr St=NuRe/Pr Gz=RePrD/L

Kriterijumi koji su dobijeni kombinovanjem drugih kriterijuma i bezdimenzionih grupa.

Napomena: sa L je obeleena karakteristina dimenzija koja zavisi od geometrije analiziranog sistema

41

Na kraju preostaje poslednji korak. Korelisanjem eksperimentalnih podataka formiraju se kriterijalne jednaine u optem obliku:

( ),...Gr,Pr,RefCNu cba= 3.6 u kojima se konstante C, a, b, c ... odreuju za svaki konkretan sluaj, a bezdimenzioni kriterijumi pojavljuju u zavisnosti od tipa konvektivne razmene. Kriterijum koji figurie u svim kriterijalnim jednainama, a sadri fizike parametre sredine je Prandtlov. Za gasove praktino ne zavisi od temperature i pritiska, ve od broja atoma u molekulu. Kree se u velikom rasponu vrednosti (videti Tabelu 3.). Kod tenosti opada sa porastom temperature. Na slici 3.7 grafiki je prikazana zavisnost Pr(t) za vodu na liniji zasienja.

Tabela 3.7 Vrednosti Pr- kriterijuma za neke sisteme

SISTEM VREDNOST PRANDTLOVOG BROJA

Teni metali 10-3 - 10-2 Jednoatomni gasovi 0,67 Dvoatomni gasovi 0,72 Troatomni gasovi 0,8 Vieatomni gasovi 1

Vrlo viskozne tenosti 1000

Kriterijalne jednaine, opteg oblika 3.6 primenjuju se na slian, realan sistem i tako, posredno, dolazi do vrednosti koeficijenta konvekcije, lokalnog ili prosenog. U daljem tekstu bie dat kratak pregled kriterijalnih jednaina koje se preporuuju za pojedine konkretne situacije, iako je neophodno imati na umu da na taj nain odredeno nije sasvim tano. Ovo, izmeu ostalog, i zbog nedovoljne pouzdanosti eksperimentalno odredenih parametara, te, dakle, i greaka u jednainama koje zadovoljavaju ovako nekorektne podatke. Tako se globalno moe rei da se u sluaju laminarnog i turbulentnog strujanja greke kreu u intervalu od 30 % dok u tranzitnoj (prelaznoj) oblasti mogu biti i vee.

Slika 3.8 Zavisnost Pr - broja od temperature za kljualu vodu 3.5. KRATAK PREGLED KRITERIJALNIH JEDNAINA ZA SLUAJ SLOBODNE KONVEKCIJE Ovaj nain prenosa toplote deava se u svakom onom sluaju kada se sistem nalazi u fluidu koji je na razliitoj temperaturi od njegove temperature. Razlika u temperaturama izaziva razmenu toplote izmeu sistema i okoline i promenu gustine pojedinih slojeva fluida u blizini povrine sistema. Tako i bez prisustva nekog ureaja zapoinje kretanje (hladniji - tei slojevi kreu se nanie, a topliji laki navie). Oigledno, vea razlika temperatura praena je intenzivnijim kretanjem fluida, te, dakle, i intenzivnijom razmenom toplote, mada je uopte uzev slobodna konvekcija u odnosu na prinudnu, manje efikasan nain prenosa toplote. U praksi, slobodna konvekcija dominira u razmeni toplote izmedu radijatora, elektrinih i ostalih

42

grejnih tela (pei) i okolnog vazduha, a uzrok je i toplotnih gubitaka sa zidova zgrada, toplovoda (parovoda) i sl. Takoe, sree se kod hladenja elektrinih provodnika i transformatora. Analizom diferencijalnih jednaina koje se odnose na prirodnu konvekciju, na bazi elementarnih fizikih principa, dolazi se do zakljuka da se eksperimentalni rezultati mogu korelisati primenom relacija opteg oblika:

( )bc Pr,GrfCNu = 3.9

pri emu Gr - broj obezbeduje uspostavljanje dinamike, a Pr - broj termike slinosti. Za neke konkretne sluajeve relacije tipa 3.9 bie date u nastavku teksta.

Za vertikalne ravne ploe i cilindre u vazduhu (ili fluidu iji je Pr 0.74) kriterijalna jednaina glasi: 4/1

HH Gr480,0Nu = 3.10 gde je sa H oznaena visina ploe, kao karakteristina dimenzija. Koeficijent konvekcije izraunat pomou izraza (3.4.) slae se sa eksperimentalnim u granicamn od 10%. U sluaju isto turbulentne slobodne konvekcije Eckert predlae izraz:

5/2

H3/2

17,1

H GrPr494,01Pr024,0Nu

+=

Za isti mehanizam i Gr > 109 McAdams preporuuje primenu relacije: ( ) 93/1HH 10GrzaPrGr13,0Nu >= Za turbulentnu slobodnu konvekciju sa vertikalne izotermske ploe Siegel je razvio izraz: ( ) 523215752 4440102930 ////HH Pr,PrGr,Nu += koji se za vazduh (Pr=0,72) pojednostavljuje i glasi:

( ) 520250 /HH PrGr,Nu = Fishenden i Saunders preporuuju sledeu relaciju za gasove:

( ) 31120 /HH PrGr,Nu = Za horizontalne ploe jednaine se neto malo razlikuju od prethodnih. Tako, na primer, u sluaju kvadratne ploe toplije od okoline okrenute nagore ili hladnije ploe okrenute nadole, a za turbulentan grenini sloj, McAdams preporuuje upotrebu izraza:

( ) 10731 103102140

43

Za horizontalne cilindre i sfere predloen je niz kriterijalnih jednaina koje su veoma znaajne za inenjersku prsksu. Ako je u pitanju pojedinana horizontalna cev, po McAdamsu, odgovarajua jednaina glasi:

( ) 9341 101050530

44

3.6. KRATAK PREGLED KRITERIJALNIH JEDNAINA ZA SLUAJ PRINUDNE KONVEKCIJE Zagrevanje ili hladenje fluida u cevima, kanalima i zatvorenim prostorijama prinudnom konvekcijom od izuzetnog je znaaja za inenjerstvo. Pri projektovanju kotlova, ekonomajzera, pregrejaa i sl., kao i pri kondicioniranju vazduha i izradi rashladnih postrojenja neophodno je poznavati toplotu rezmenjenu konvekcijom, proporcionalnu koeficijentu konvekcije. On se, kao i kod slobodne konvekcije, najee odreuje primenom kriterijalnih jednaina koje uspeno koreliu eksperimentalne podatke i imaju opti oblik:

( )ba Pr,RefCNu = 3.11 Karakteristina duina u Nu- i Re- kriterijumu najee je dijametar krune cevi ili hidrauliki dijametar cevi nepravilnog preseka:

OBIMPRESEKxDh

4=

Pored toga, za tanost rezultata od izuzetnog je znaaja pravilan izbor referentne temperature fluida. Za razliku od strujanja toplote izmeu ravne ploe i fluida, ija je temperatura na izvesnom rastojanju od zida uglavnom konstantna, kod strujanja u cevima i kanalima temperatura fluida je promenljiva kako po preseku, tako i po duini sistema. Najviu, odnosno najniu temperaturu fluid ima u centru cevi (prema tome da li se hladi ili greje) te se ona preporuuje za referntnu. Uticaj strujnog reiama na Nu- kriterijum, te dakle i , ukljuen je u kriterijalnu jednainu preko Re - broja, koji ima vrednost manju od 2100 za laminaran tok, izmedu 2100-10000 iznosi u sluaju tranzitne oblasti i konano preko gornje granice strujanje postaje turbnlentno. Termofizike karakteristike fluida ukljuene su u izraz (3.11) preko Pr - broja. Na osnovu izraza (3.11) oigledno je da (za isti Re - broj) fluidi sa veim Pr - brojem imaju vei koeficijent konvekcije. Pored pobrojanih, od presudnog znaaja su i geometrijski faktori (naroito u sluaju kratkih cevi za koje je: L/ Dh < 50) kao i varijacija fizikih osobina flnida sa temperaturom. U nastavku izlaganja bie date neke od vanijih kriterijalnih jednaina koje se mogu primeniti na reavanje praktinih inenjerskih problema.

Za laminarno strujanje u cevima i kanalima mogue je analitiki odrediti razmenjenu toplotu, simultanim reavanjem jednaina kretanja i energetskog bilansa. Ipak, za praktine potrebe ee se koriste aproksimativne kriterijalne jednaine. Vrlo je poznata Pohehausenova relacija:

ceviRe,DL

kanaliRe,DL

,,

DD

D

iPrza

GzPr,ln

GzNu00480

00480501670

15165421

14