http://. 1. comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. calcular, en caso de...
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http://www.licimep.org/calculo.htm
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1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto.
2. Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
3. Comprender la noción de límites laterales (de una función en un punto) y su relación con el concepto de límite (de una función).
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4. Determinar la existencia o la no existencia del límite de una función, vía la existencia y la comparación de los límites laterales.
5. Comprender la noción de límites infinitos de una función.
6. Determinar los limites infinitos de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
7. Comprender la noción de asíntota vertical de una función.
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8. Calcular las asíntotas verticales de una función.
9. Comprender la noción de límites en infinito de una función.
10. Determinar los límites en infinito de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
11. Comprender la noción de asíntota horizontal de una función.
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12. Calcular las asíntotas horizontales de una función.
13. Bosquejar la gráfica de una función considerando su comportamiento asintótico.
14. Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.
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3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
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Explicar el concepto de límite
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1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, ....
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,...
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1, 4, 9, 16,
25, 36, 49, 64,
81, 100, ....
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1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529,
576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681,
1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401,
2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249,
3364, 3481, 3600,....
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1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, 1/6, 1/7, 1/8,
1/9, 1/10, .......
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1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,
1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,
1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,
1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,
1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,
1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,
1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,
1/59, 1/60, ...
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Los números primos
Los cubos de los números naturales
Los dígitos del número irracional
Los números de Fibonaci
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1 2 3
Una sucesión es un conjunto de números
reales , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo con
una regla espe
iu u u u
cífica y bien definida.
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Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradominio son los reales.
:s
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1 2 3Una sucesión es un conjunto de números , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien
iu u u u
definida.
* Cada uno de los números de la sucesión se
llama término
* El número es llamado el término esimo
* La sucesión puede ser finita o infinita
* Por brevedad, muchas veces se le designa
n
n
u n
u
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1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
......
123 123
......
n n
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1 1
2 4
3 9
4 16
......
50 2,500
......
625 390,625
......
2n n
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1 1
2 1 / 2
3 1 / 3
4 1 / 4
......
60 1 / 60 0.0167
......
1,625 1 / 1,625 0.0006
......
1n
n
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2nn
1 2.00
2 1.41
3 1.26
4 1.19
........
15 1.047
........
67 1.010
........
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2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,
1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,
1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,
1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01
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2
Normalmente hay una regla de asociación:
1
2n
n n
n n
nn
n
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1 2 3
Una sucesión es un conjunto de números
reales , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo con
una regla espe
iu u u u
cífica y bien definida.
![Page 29: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/29.jpg)
Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradiminio son los reales.
:s
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n n2,345 2,345
.......
897,562 897,562
.......
2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870
........
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limn
n
2,345 2,345
.......
897,562 897,562
.......
2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870
........
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2n n327 106,929
.......
31,978 1,022,592,484
.......
3,213,894 10,329,114,643,236
........
![Page 34: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/34.jpg)
2lim n 327 106,929
.......
31,978 1,022,592,484
.......
3,213,894 10,329,114,643,236
........
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La sucesión se va a infinito
si después de un cierto término,
los siguientes términos se hacen
arbitrariamente grandes.
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Por ejemplo, en la sucesión ,
si ustedes me dicen un número
muy grande, digamos 10 millones,
tomando el término 10 millones
más 1 les ganó.
n n
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Si me dicen mil millones,
tomo el término mil millones
más 1 y de nuevo les ganó.
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Y así sucesivamente....
¿Pero cómo podemos precisar
matemáticamente esto que
estamos diciendo?
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Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
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0
n n
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n n
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n n
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n n
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2n n
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2n n
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2n n
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Veamos ahora otras sucesiones …….
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3n n
-1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, -512, -729, -1000, -1331, -1728, -2197, -2744, -3375, -4096, -4913, -5832, -6859, -8000
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3limn
n
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Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
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3n n
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3n n
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1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, 1/6, 1/7, 1/8,
1/9, 1/10, .......
![Page 55: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/55.jpg)
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,
1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,
1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,
1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,
1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,
1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,
1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,
1/59, 1/60, ...
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1n
n
1457 0.002,188
457.......
31,978 0.000,031,27
.......
337,657,324,987 0.000,000,000,002,962
........
![Page 57: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/57.jpg)
1lim 0n n
1457 0.002,188
457.......
31,978 0.000,031,27
.......
337,657,324,987 0.000,000,000,002,962
........
![Page 58: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/58.jpg)
2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,
1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,
1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,
1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01
![Page 59: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/59.jpg)
2nn
1 2.00
2 1.41
3 1.26
4 1.19
........
15 1.047
........
67 1.010
........
![Page 60: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/60.jpg)
2nn
3,257 1.000,212,840
.......
76,431 1.000,009,069
.......
337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509
........
![Page 61: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/61.jpg)
lim 2 1n
n
3,257 1.000,212,840
.......
76,431 1.000,009,069
.......
337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509
........
![Page 62: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/62.jpg)
En estos otros casos que acabamos de ver,
es claro que la sucesión se acerca cada vez
más a un número real.
En este caso decimos que dicho número real
es el límite de la sucesión cuando tiende
a infinito
n
.
![Page 63: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/63.jpg)
La idea es que nos podemos acercar
al límite tanto como queramos, con
tal de tomar términos suficientemente
"lejos" (valores muy grandes de ) en
la sucesión.
n
![Page 64: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/64.jpg)
Debemos precisar esta idea.
Aúnque es aceptable,
matemáticamente no es precisa.
Hay que enunciarla de una
manera correcta matemáticamente.
![Page 65: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/65.jpg)
Un número es llamado el límite de
una sucesión infinita, si para cualquier
número positivo podemos encontrar
un entero positivo , dependiente de ,
tal que
para todos los enteros .n
l
N
u l
n N
![Page 66: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/66.jpg)
Se escribe lim nn
u l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
para todos los enteros .n
l
N
l u
n N
![Page 67: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/67.jpg)
1n
n
![Page 68: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/68.jpg)
1n
n
![Page 69: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/69.jpg)
1n
n
![Page 70: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/70.jpg)
1n
n
![Page 71: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/71.jpg)
1n
n
![Page 72: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/72.jpg)
1lim 0n n
Se puede uno acercar tanto
como quiera
J
a
A
l
MÁ
cero,
pero sin llegarS a él.
![Page 73: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/73.jpg)
2nn
![Page 74: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/74.jpg)
2nn
![Page 75: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/75.jpg)
2nn
![Page 76: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/76.jpg)
2nn
![Page 77: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/77.jpg)
Si alguien pide que 2 esté más
cerca de 1 que una milésima 0.001 ,
debemos encontrar el que haga
que todos los términos posteriores
estén más cerca de 1 que una
milésima.
n
n
![Page 78: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/78.jpg)
2nn
![Page 79: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/79.jpg)
1/
¿Cómo lo calculamos?
2 1.001
ln 2 ln 1.001
ln 2ln 1.001
ln 2693.493
ln 1.001
n
n
n
n
2nn
![Page 80: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/80.jpg)
Ojo, hay sucesiones más latosas,
que sin irse a infinito, no tienen
límite.
![Page 81: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/81.jpg)
Sea la sucesión 1
1, 1,1, 1,1, 1,1,...
Es claro que esta sucesión no tiene
un límite
n
![Page 82: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/82.jpg)
1n
![Page 83: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/83.jpg)
1Sea la sucesión 3
1lim 3 3n
n
n
![Page 84: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/84.jpg)
1lim 3 3n n
![Page 85: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/85.jpg)
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a
* Si el límite no existe
se dice que diverge o que no converge
l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
-
para todos los enteros .
n
l
N
l u
n N
![Page 86: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/87.jpg)
Un número es llamado el límite de una
sucesión infinita, si para cualquier número
positivo podemos encontrar un entero
positivo , dependiente de , tal que
para todos los enteros .n
l
N
u l
n N
![Page 88: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/88.jpg)
Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
![Page 89: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/89.jpg)
Nota. El infinito + no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen.
Se escribe lim cuando dado , 0,
existe tal que , siempre que .
nn
n
a M R M
N a M n N
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Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N M a M
n N M
R
![Page 91: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/91.jpg)
Nota. El infinito no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
Se escribe lim cuando dado , 0,
existe tal que siempre que .
nn
n
a M R M
N a M n N
![Page 92: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/92.jpg)
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a
* Si el límite no existe
se dice que diverge o que no converge
l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
-
para todos los enteros .
n
l
N
l u
n N
![Page 93: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/93.jpg)
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Voy de Puebla a México,
son 103.6 Km y hago una hora,
¿A qué velocidad voy?
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103.6 Km
1 hora
103.6 Km/hora
dv
t
v
v
![Page 97: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/97.jpg)
Distancia recorrida
Tiempo en el que se recorre esa distanciav
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(min)tiempo
(Km)distancia
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(Km)distancia
(min)tiempo
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(Km)distancia
(min)tiempo
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(Km)distancia
(min)tiempo
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(min)tiempo
(Km)distancia
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(min)tiempo
(Km)distancia
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2 1
2 1
tan 182.4x x
vt t
2 1x x
2 1t t
(Km)distancia
(min)tiempo
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2 1
2 1
tan 180x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 106: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/106.jpg)
2 1
2 1
tan 176x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 107: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/107.jpg)
2 1
2 1
tan 168x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 108: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/108.jpg)
2 1
2 1
tan 144x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 109: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/109.jpg)
2 1
2 1
tan 120x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 110: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/110.jpg)
2 1
2 1
tan 108x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 111: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/111.jpg)
2 1
2 1
tan 98.4x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 112: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/112.jpg)
2 1
2 1
tan 96.24x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 113: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/113.jpg)
2 1
2 1
tan 96.024x x
vt t
2 1x x
2 1t t
![Page 114: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/114.jpg)
La función
; : [0, )
nos da la posición del coche
como función del tiempo.
x t x R
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Esta nueva función nos
da idea de la "velocidad"
del coche:
(42)
42
x x tv
t
![Page 116: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/116.jpg)
(42)
42
x x tv
t
(Km)distancia
(min)tiempo
![Page 117: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/117.jpg)
Esta nueva función nos
da idea de la "velocidad"
del coche:
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
![Page 118: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/118.jpg)
... pero ya vimos que para que funcione
bien debemos hacer igual a 42 y
todo pierde sentido porque no se puede
dividir por c
¿Qué hace
ero.
mos?
t
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
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... pero ya vimos que para que funcione
bien debemos hacer igual a 42 y
todo pierde sentido porque no se puede
dividir por
El
ce
co
ro.
¿
ncep
Qué hace
to de lí
mos?
mite
t
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
![Page 120: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/120.jpg)
(42)
42
x x tv
t
(Km)distancia
(min)tiempo
![Page 121: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/121.jpg)
Estamos tratando con
funciones
de los reales en los reales:
: ff D R R
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: ff D R R
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0
0
0
Supongamos que , y que tenemos
una función tal que su dominio contiene
al intervalo , con excepción posiblemente
de .
El que la función esté o no definida
en es irrelevante.
f
x a b
f
a b
x
f x
x
D
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0
0
Decimos que el límite de la función ,
cuando tiende a , es el número real
si para números , ,
suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están
tan próximas a como queram
y f x
x x
x a b
x
f x
os.
![Page 125: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/125.jpg)
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
0
Si esto sucede, se dice que el
límite de en existe
y es igual a .
f x x
![Page 126: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/126.jpg)
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
![Page 127: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/127.jpg)
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
![Page 128: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/128.jpg)
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
![Page 129: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/129.jpg)
0
0
Se denota: lim
y se lee: .
También se usa:
cuando
x x
0
f x
el límite de f x cuando x tiende a x es
f x x x
![Page 130: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/130.jpg)
En caso de existir,
el límite es único
![Page 131: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/131.jpg)
![Page 132: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/132.jpg)
3
4Determinar lim .
Tenemos la función
2
xf x
f x x x
![Page 133: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/133.jpg)
3 2 ; ff x x x D R
x f(x) x f(x)-4.750 -113.922 0.000 -2.000-4.500 -97.625 0.250 -1.734-4.250 -83.016 0.500 -1.375-4.000 -70.000 0.750 -0.828-3.750 -58.484 1.000 0.000-3.500 -48.375 1.250 1.203-3.250 -39.578 1.500 2.875-3.000 -32.000 1.750 5.109-2.750 -25.547 2.000 8.000-2.500 -20.125 2.250 11.641-2.250 -15.641 2.500 16.125-2.000 -12.000 2.750 21.547-1.750 -9.109 3.000 28.000-1.500 -6.875 3.250 35.578-1.250 -5.203 3.500 44.375-1.000 -4.000 3.750 54.484-0.750 -3.172 4.000 66.000-0.500 -2.625 4.250 79.016-0.250 -2.266 4.500 93.6250.000 -2.000 4.750 109.922
![Page 134: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/134.jpg)
3 2 ; ff x x x D R
![Page 135: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/135.jpg)
3 2 ; ff x x x D R
x f(x) x f(x)3.980 65.025 4.001 66.0493.981 65.073 4.002 66.0983.982 65.122 4.003 66.1473.983 65.170 4.004 66.1963.984 65.219 4.005 66.2453.985 65.268 4.006 66.2943.986 65.316 4.007 66.3443.987 65.365 4.008 66.3933.988 65.414 4.009 66.4423.989 65.462 4.010 66.4913.990 65.511 4.011 66.5403.991 65.560 4.012 66.5903.992 65.609 4.013 66.6393.993 65.658 4.014 66.6883.994 65.706 4.015 66.7383.995 65.755 4.016 66.7873.996 65.804 4.017 66.8363.997 65.853 4.018 66.8863.998 65.902 4.019 66.9353.999 65.951 4.020 66.985
![Page 136: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/136.jpg)
3 2 ; ff x x x D R
![Page 137: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/137.jpg)
3 2 ; ff x x x D R
![Page 138: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/138.jpg)
4
3
Tenemos la función
2 ;
lim 66.
x
f
f x
f x x x
D R
![Page 139: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/139.jpg)
3
4 2 ; lim 66 f x
ff x x xx
D R
4
Note que el valor del límite es igual al
valor de la función en el punto; es decir,
lim 66 4x
f x f
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![Page 141: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/141.jpg)
1
2
Determinar
Tenemos la función
5 8 3.
l
1
im .
x
x xg x
x
g x
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25 8 3 ;
1
1g
x xg x
x
D= R
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x f(x) x f(x)0.500 -0.500 1.025 2.1250.525 -0.375 1.050 2.2500.550 -0.250 1.075 2.3750.575 -0.125 1.100 2.5000.600 0.000 1.125 2.6250.625 0.125 1.150 2.7500.650 0.250 1.175 2.8750.675 0.375 1.200 3.0000.700 0.500 1.225 3.1250.725 0.625 1.250 3.2500.750 0.750 1.275 3.3750.775 0.875 1.300 3.5000.800 1.000 1.325 3.6250.825 1.125 1.350 3.7500.850 1.250 1.375 3.8750.875 1.375 1.400 4.0000.900 1.500 1.425 4.1250.925 1.625 1.450 4.2500.950 1.750 1.475 4.3750.975 1.875 1.500 4.500
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
![Page 144: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/144.jpg)
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
![Page 145: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/145.jpg)
x f(x) x f(x)0.800 1.000 1.010 2.0500.810 1.050 1.020 2.1000.820 1.100 1.030 2.1500.830 1.150 1.040 2.2000.840 1.200 1.050 2.2500.850 1.250 1.060 2.3000.860 1.300 1.070 2.3500.870 1.350 1.080 2.4000.880 1.400 1.090 2.4500.890 1.450 1.100 2.5000.900 1.500 1.110 2.5500.910 1.550 1.120 2.6000.920 1.600 1.130 2.6500.930 1.650 1.140 2.7000.940 1.700 1.150 2.7500.950 1.750 1.160 2.8000.960 1.800 1.170 2.8500.970 1.850 1.180 2.9000.980 1.900 1.190 2.9500.990 1.950 1.200 3.000
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
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x f(x) x f(x)0.900 1.500 1.005 2.0250.905 1.525 1.010 2.0500.910 1.550 1.015 2.0750.915 1.575 1.020 2.1000.920 1.600 1.025 2.1250.925 1.625 1.030 2.1500.930 1.650 1.035 2.1750.935 1.675 1.040 2.2000.940 1.700 1.045 2.2250.945 1.725 1.050 2.2500.950 1.750 1.055 2.2750.955 1.775 1.060 2.3000.960 1.800 1.065 2.3250.965 1.825 1.070 2.3500.970 1.850 1.075 2.3750.975 1.875 1.080 2.4000.980 1.900 1.085 2.4250.985 1.925 1.090 2.4500.990 1.950 1.095 2.4750.995 1.975 1.100 2.500
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
![Page 147: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/147.jpg)
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
![Page 148: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/148.jpg)
1
2
Tenemos la función
5 8 3 .
1
lim 2x
x x
g x
g xx
![Page 149: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/149.jpg)
2
1
5 8 3 ; l i 2
1m
xg
xg x
xx
x
Note que la función
en 1, pero el límite existe.
definidano estág
x
![Page 150: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/150.jpg)
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3
Determinar li
Tenemos la f
m
unc
1
3
.
ión
x
h xx
h x
![Page 152: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/152.jpg)
1
3
3h
h xx
D R
![Page 153: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/153.jpg)
1 ; 3
3 hh xx
D R
x f(x) x f(x)-3.020 -50.000 -2.999 1000.000-3.019 -52.632 -2.974 38.462-3.018 -55.556 -2.949 19.608-3.017 -58.824 -2.924 13.158-3.016 -62.500 -2.899 9.901-3.015 -66.667 -2.874 7.937-3.014 -71.429 -2.849 6.623-3.013 -76.923 -2.824 5.682-3.012 -83.333 -2.799 4.975-3.011 -90.909 -2.774 4.425-3.010 -100.000 -2.749 3.984-3.009 -111.111 -2.724 3.623-3.008 -125.000 -2.699 3.322-3.007 -142.857 -2.674 3.067-3.006 -166.667 -2.649 2.849-3.005 -200.000 -2.624 2.660-3.004 -250.000 -2.599 2.494-3.003 -333.333 -2.574 2.347-3.002 -500.000 -2.549 2.217-3.001 -1000.000 -2.524 2.101
![Page 154: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/154.jpg)
1 ; 3
3 hh xx
D R
![Page 155: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/155.jpg)
3
lim NO
Tenemos l
EX
a función
1
STE
33
I
h
xh
h x
x
x
; D R
![Page 156: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/156.jpg)
![Page 157: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/157.jpg)
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
![Page 158: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/158.jpg)
![Page 159: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/159.jpg)
0 0 0
lim lim lim
El límite de una suma
es la suma de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
![Page 160: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/160.jpg)
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
![Page 161: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/161.jpg)
0 0 0
lim lim lim
El límite de una diferencia
es la diferencia de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
![Page 162: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/162.jpg)
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
![Page 163: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/163.jpg)
0 0 0
lim lim lim
El límite de un producto
es el producto de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
![Page 164: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/164.jpg)
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
![Page 165: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/165.jpg)
0
0 0
0
limlim si lim 0
lim
El límite de un cociente
es el cociente de los límites,
excepto cuando el denominador es cero,
en cuyo caso el límite no existe.
x x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
![Page 166: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/166.jpg)
En el caso del cociente,
tiene que ser diferente de 0.
Si =0, la afirmación no tiene sentido.
0
0 0
0
limlim si lim 0
limx x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
![Page 167: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/167.jpg)
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a / como
queramos con tal de que esté suficiente
f x g x
x x
fx
g
x
0
mente
próximo a .x
0
0 0
0
limlim si lim 0
limx x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
![Page 168: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/168.jpg)
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim si lim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx g x
g g x
0
![Page 169: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/169.jpg)
![Page 170: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/170.jpg)
2 7 5
3 5
x xf x
x
R
5
lim 18x
f x
![Page 171: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/171.jpg)
2 13g x x
5
lim 3x
g x
![Page 172: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/172.jpg)
5
5 5
lim
lim lim
18 3
21
x
x x
f x g x
f x g x
5 5
lim 18 lim 3x x
f x g x
![Page 173: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/173.jpg)
2
2
7 2 13 5
3 2 5 13 5
2 6 5
6 5
f x g x
x x x
x
x x x
x
R
R
2 7 5
3 5
x xf x
x
R 2 13g x x
![Page 174: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/174.jpg)
2 2 6 5
6 5
x x xf x g x
x
R
5
lim 21x
f x g x
![Page 175: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/175.jpg)
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
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![Page 177: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/177.jpg)
0
0Si lim y 0, entonces "cerca" de
las imágenes tienen el mismo signo que .
x xg x L L x
g x L
![Page 178: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/178.jpg)
0 0
0
0
El límite de una función constante
en cualquier es la constante;
es decir,
lim lim para toda x x x x
f x
x
f x x
R
R
![Page 179: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/179.jpg)
00Si es una constante, lim para toda
x xx
R
0.5 , f x x R
![Page 180: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/180.jpg)
00Si es una constante, lim para toda
x xx
R
0.5 , f x x R
0
0lim 0.5 , x x
f x x
R
![Page 181: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/181.jpg)
0 0
0 0
De las afirmaciones anteriores se concluye que:
lim lim
En particular, para 1 tenemos
lim lim
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x
![Page 182: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/182.jpg)
0 0
0 0
En el caso de la función identidad,
se tiene:
lim lim para cualquier x x x x
f x x
f x x x x
R
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0
0
0
Si ,
entonces
lim
para cualquier .
x x
g x mx n
g x mx n
x
R
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0 0
0
0
Si ,
entonces
lim lim ,
para cualquier .
nn n
x x x x
n
x x x
x
N
R
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0
0
Si lim ,
entonces
lim ,
para cualquier .
x x
n n
x x
f x
f x
n
N
![Page 186: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/186.jpg)
0
10 1 1
0
0
Si es un polinomio de grado ,
...
y además ,
entonces
lim .
n nn n
x x
f x n
f x a x a x a x a
x
f x f x
R
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0
10 1
10 1
0 0 0
0
Si es una función racional,
con
...
y
...
polinomios 0 y 0 , y además ,
entonces lim .
m mm
n nn
f
x x
f x
P xf x
Q x
P x a x a x a
Q x b x b x b
a b x
f x f x
D
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4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
![Page 190: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/190.jpg)
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
![Page 191: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/191.jpg)
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1 1
4 3 2
1 1 1 1 1
4 3 2
1 1 1 1
4 3 2
1 1 1
4 3 2
lim lim 2 3 4 7 9
lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9
2 1 3 1 4 1
z z
z z z z z
z z z z
z z z
x z z z z
z z z z
z z z z
z z z
1
7 9
2 3 4 7 9
l
25
im 25z
x
![Page 192: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/192.jpg)
4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
1
lim 25z
x
![Page 193: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/193.jpg)
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
![Page 194: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/194.jpg)
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1 1
4 3 2
1 1 1 1 1
4 3 2
1 1 1 1
4 3 2
1 1 1
4 3 2
lim lim 2 3 4 7 9
lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9
2 1 3 1 4 1 7 9
z z
z z z z z
z z z z
z z z
x z z z z
z z z z
z z z z
z z
1
2 3 4 7 9
lim 5z
x
![Page 195: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/195.jpg)
4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
1
lim 5z
x
![Page 196: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/196.jpg)
0
0
0
Si lim 0
y si lim existe,
entonces
lim 0
x x
x x
x x
g x
f x
g x
f x
![Page 197: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/197.jpg)
0
0
0
Si lim 0
y si lim 0,
entonces
lim
no existe.
x x
x x
x x
g x
f x
f x
g x
![Page 198: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/198.jpg)
0
0 0
Próximamente diremos algo más del
lim ,
cuando lim 0 y lim 0
al ver los límites infinitos.
x x
x x x x
f x
g x
g x f x
![Page 199: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/199.jpg)
4
3
5
27
¿Cuál es el límite de en 3?
![Page 200: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/200.jpg)
4
3
5
27¿Cuál es el límite de en 3?
444 4
3 3 3
333 3
3 3
3
3 3
a) lim 5 5 lim 5 lim 5 3 405 0
b) lim 27 lim lim 27 lim 27
Por lo tanto, lim NO EXIST
27
E
3 0
![Page 201: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/201.jpg)
4
3
5
27
![Page 202: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/202.jpg)
0 0
0
Si lim 0 y si lim 0,
entonces
lim ,
puede o no existir.
A este resultado se le llama
0indeterminación cero sobre cero:
0
x x x x
x x
g x f x
f x
g x
![Page 203: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/203.jpg)
2
3 2
25
5 5
¿Cuál es el límite de en 5?
sw s
s s s
w s
![Page 204: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/204.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
22 2 2
5 5 5 5
3 2 3 2
5 5 5 5 5
3 223
5 5
a) lim 25 lim lim 25 lim 25 5 25 0
b) lim 5 5 lim lim 5 lim lim 5
lim 5 lim 5 5 5 5 5
¿Y entonces?
5 5 0
s s s s
s s s s s
s s
s s s
s s s s s s
s s
![Page 205: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/205.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
![Page 206: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/206.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
![Page 207: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/207.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
3 2
3 22
2
3 2
Como es claro, por simple inspección, que 1
es una raiz del polinomio 5 5 tenemos
5 54 5
1y
4 5 5 1
En resumen,
- 5 - 5 5 1 1
s
s s s
s s ss s
s
s s s s
s s s s s s
![Page 208: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/208.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
5
2
3 2
5
Entonces
5 525
5 5 1 1 1 1
Por tan
5
t
5 5lim
1 1 1
o,
5 10 5lim
1 1 24 12
2
5
s
s
s
s s
s ss
s s s s ss s s
s
s s
s
![Page 209: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/209.jpg)
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
55,
12
50.4167
12
![Page 210: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/210.jpg)
00
Sea un número entero,
entonces
lim n n
x x
n
x x
0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x
![Page 211: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/211.jpg)
00
Si es racional ,
entonces
limm m
n n
x x
m m
n n
x x
Q
0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x
![Page 212: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/212.jpg)
0
0
0
Si es un entero ,
entonces
lim li
Si es par se requiere que lim 0
m
x x
n nx x x x
n n
f x f x
n f x
N
![Page 213: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/213.jpg)
0 0
0
0
Si para en un
intervalo abierto que contiene a y
lim lim
entonces
lim
x x x x
x x
f x h x g x x
x
f x g x
h x
![Page 214: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/214.jpg)
![Page 215: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/215.jpg)
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
![Page 216: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/216.jpg)
![Page 217: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/217.jpg)
0
Supongamos que
una función
está definida en
en un cierto intervalo ,
f x
a x
![Page 218: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/218.jpg)
0
0
1
1
Si para números del dominio de ,
suficientemente próximos a ,
y menores que , los valores
correspondientes de están tan
próximos a como queramos,
decimos que es el límite por la
izquierda de
x f
x
x
f x
0 , cuando tiende a .f x x x
0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x a x
![Page 219: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/219.jpg)
0
1
0 0
Se denota mediante
lim
se lee: tiende a por la izquierda
x xf x
x x x x
0
0
0
1
Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .
Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,
y menores que , los valores correspondientes de están tan
próximos a
f x a x
x f x
x f x
1
0
como queramos, decimos que es el límite por la
izquierda de , cuando tiende a .f x x x
![Page 220: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/220.jpg)
![Page 221: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/221.jpg)
0
Supongamos que
la función
está definida en un
cierto intervalo , .
f x
x b
![Page 222: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/222.jpg)
0
0
2
2
Si para números del dominio de ,
suficientemente próximos a ,
y mayores que ,
los valores correspondientes de
están tan próximos a como queramos,
decimos que es el límite por la
derecha de
x f
x
x
f x
0, cuando tiende a .f x x x
0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x x b
![Page 223: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/223.jpg)
0
2
0 0
Se denota mediante
lim
se lee: tiende a por la derecha
x xf x
x x x x
0
0
0
2
Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .
Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,
y mayores que , los valores correspondientes de están tan
próximos a
f x x b
x f x
x f x
2
0
como queramos, decimos que es el límite por la
derecha de , cuando tiende a .f x x x
![Page 224: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/224.jpg)
![Page 225: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/225.jpg)
0 0
1 2A los límites lim y lim
se les conoce como límites laterales.
x x x xf x f x
![Page 226: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/226.jpg)
El límite existe
sí y sólo sí
existen los dos límites laterales
y son iguales.
![Page 227: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/227.jpg)
0
0 0
El límite existe
sí y sólo sí
existen los dos límites laterales
y son iguales.
Es decir,
lim
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
![Page 228: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/228.jpg)
Este resultado se usa frecuentemente
para probar que un límite no existe.
Si no existe alguno de los límites laterales,
el límite no existe.
Si los límites laterales existen pero son
diferentes,
el límite no existe.
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0 0
0
Observación: Para los límites laterales
lim y lim
hallamos resultados análogos a los
que hemos enlistado anteriormente
para el límite lim
x x x x
x x
f x f x
f x
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0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx
g g x
0
si lim 0x x
g x
![Page 231: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/231.jpg)
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx
g g x
0
si lim 0x x
g x
![Page 232: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/232.jpg)
![Page 233: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/233.jpg)
4
0
100
Calcular el límite por la derecha
y el límite por la izquierda en
.
x xf x x
x
x
![Page 234: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/234.jpg)
4
0
100
x xf x x
x
![Page 235: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/235.jpg)
4
0
/ 100
x xf x
x x
x f(x) x f(x)3.00 1.73 3.15 0.983.01 1.73 3.16 1.003.02 1.74 3.17 1.013.03 1.74 3.18 1.023.04 1.74 3.19 1.043.05 1.75 3.20 1.053.06 1.75 3.21 1.063.07 1.75 3.22 1.083.08 1.75 3.23 1.093.09 1.76 3.24 1.103.10 1.76 3.25 1.123.11 1.76 3.26 1.133.12 1.77 3.27 1.143.13 1.77 3.28 1.163.14 1.77 3.29 1.17
![Page 236: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/236.jpg)
4
4 4
lim lim lim 1.7725
limlim lim 0.97410
100 100 100
x x x
x
x x
f x x x
xxf x
4
0
100
x xf x x
x
![Page 237: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/237.jpg)
lim 1.7725
lim 0.97410x
x
f x
f x
4
0
100
x xf x x
x
![Page 238: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/238.jpg)
lim 1.7725
lim 0.97410x
x
f x
f x
4
0
100
x xf x x
x
![Page 239: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/239.jpg)
lim 1.7725
lim .97410x
x
f x
f x
Como
lim lim
se conc
l
l
im
uye
NO EX
que
ISTE.
x x
x
f x f
f x
x
4
0
100
x xf x x
x
![Page 240: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/240.jpg)
![Page 241: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/241.jpg)
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
![Page 242: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/242.jpg)
![Page 243: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/243.jpg)
0
0
Si dado cualquier número 0,
con tal de tomar a suficientemente cerca de ,
diremos que diverge a +
(se lee "más infinito")
y lo denotaremos así:
limx x
M
f x M
x x
f x
f x
![Page 244: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/244.jpg)
00
Si dado 0, , con tal de tomar
a suficientemente cerca de , limx x
M f x M
x x f x
![Page 245: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/245.jpg)
0
0
0
Gráficamente lim quiere decir que dada
cualquier recta con 0, la gráfica de
en cierto intervalo con centro en está arriba de tal
recta, exceptuando lo que ocurre en .
x xf x
y M M f x
x
x
![Page 246: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/246.jpg)
0
0
Si dado cualquier número 0,
con tal de tomar a suficientemente cerca de ,
diremos que diverge a
(se lee "menos infinito")
y lo denotaremos así:
limx x
N
f x N
x x
f x
f x
![Page 247: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/247.jpg)
00
Si dado 0, , con tal de tomar a
suficientemente cerca de , limx x
N f x N
x x f x
![Page 248: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/248.jpg)
0
0
0
Gráficamente lim quiere decir que dada
cualquier recta con 0, la gráfica de
en cierto intervalo con centro en está abajo de tal
recta, exceptuando lo que ocurre en .
x xf x
y N N f x
x
x
![Page 249: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/249.jpg)
0
0
Las definiciones de
lim
y de
lim
son análogas
x x
x x
f x
f x
![Page 250: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/250.jpg)
0
0 0
Se tiene entonces,
lim
si y sólo si
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
![Page 251: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/251.jpg)
0
0 0
Se tiene entonces,
lim
si y sólo si
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
![Page 252: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/252.jpg)
![Page 253: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/253.jpg)
4
2
3
Determinar el límite en 3
f xx
x
![Page 254: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/254.jpg)
4
2
3
El dominio de esta función es:
3f
f xx
D
![Page 255: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/255.jpg)
4
2
3
3f
f xx
D
![Page 256: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/256.jpg)
4
2 ; 3
3ff x
x
D
x f(x) x f(x) x f(x)
2.955 -344,877.564 2.970 -1,745,942.670 2.985 -27,935,082.714
2.956 -377,315.192 2.971 -1,999,507.356 2.986 -36,813,139.379
2.957 -413,657.760 2.972 -2,300,821.211 2.987 -49,515,547.858
2.958 -454,483.202 2.973 -2,661,092.318 2.988 -68,200,885.531
2.959 -500,471.753 2.974 -3,094,721.741 2.989 -96,592,689.186
2.960 -552,427.173 2.975 -3,620,386.720 2.990 -141,421,356.237
2.961 -611,303.060 2.976 -4,262,555.346 2.991 -215,548,477.728
2.962 -678,235.646 2.977 -5,053,632.464 2.992 -345,266,983.001
2.963 -754,584.885 2.978 -6,037,043.074 2.993 -589,010,230.058
2.964 -841,986.241 2.979 -7,271,731.235 2.994 -1,091,214,168.495
2.965 -942,416.368 2.980 -8,838,834.765 2.995 -2,262,741,699.789
2.966 -1,058,276.932 2.981 -10,851,770.339 2.996 -5,524,271,727.995
2.967 -1,192,502.336 2.982 -13,471,779.858 2.997 -17,459,426,695.858
2.968 -1,348,699.152 2.983 -16,932,430.914 2.998 -88,388,347,647.494
2.969 -1,531,327.996 2.984 -21,579,186.438 2.999 -1,414,213,562,346.080
![Page 257: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/257.jpg)
4
2 ; 3
3ff x
x
D
x f(x) x f(x) x f(x)
3.001 -1,414,213,562,373.720 3.016 -21,579,186.438 3.031 -1,531,327.996
3.002 -88,388,347,648.357 3.017 -16,932,430.914 3.032 -1,348,699.152
3.003 -17,459,426,695.972 3.018 -13,471,779.858 3.033 -1,192,502.336
3.004 -5,524,271,728.022 3.019 -10,851,770.339 3.034 -1,058,276.932
3.005 -2,262,741,699.798 3.020 -8,838,834.765 3.035 -942,416.368
3.006 -1,091,214,168.498 3.021 -7,271,731.235 3.036 -841,986.241
3.007 -589,010,230.060 3.022 -6,037,043.074 3.037 -754,584.885
3.008 -345,266,983.001 3.023 -5,053,632.464 3.038 -678,235.646
3.009 -215,548,477.728 3.024 -4,262,555.346 3.039 -611,303.060
3.010 -141,421,356.237 3.025 -3,620,386.720 3.040 -552,427.173
3.011 -96,592,689.186 3.026 -3,094,721.741 3.041 -500,471.753
3.012 -68,200,885.531 3.027 -2,661,092.318 3.042 -454,483.202
3.013 -49,515,547.858 3.028 -2,300,821.211 3.043 -413,657.760
3.014 -36,813,139.379 3.029 -1,999,507.356 3.044 -377,315.192
3.015 -27,935,082.714 3.030 -1,745,942.670 3.045 -344,877.564
![Page 258: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/258.jpg)
4
2
3
3f
f xx
D
![Page 259: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/259.jpg)
4
2 ; Determinar el límite en 3
3f x x
x
43
Es claro que
2lim
3x x
![Page 260: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/260.jpg)
![Page 261: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/261.jpg)
1
2
Determinar el límite en 2
f xx
x
![Page 262: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/262.jpg)
1
22
f xx
x
![Page 263: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/263.jpg)
x f(x) x f(x) x f(x)-2.15 -6.67 -2.015 -66.67 -2.0015 -666.67-2.14 -7.14 -2.014 -71.43 -2.0014 -714.29-2.13 -7.69 -2.013 -76.92 -2.0013 -769.23-2.12 -8.33 -2.012 -83.33 -2.0012 -833.33-2.11 -9.09 -2.011 -90.91 -2.0011 -909.09-2.10 -10.00 -2.010 -100.00 -2.0010 -1,000.00-2.09 -11.11 -2.009 -111.11 -2.0009 -1,111.11-2.08 -12.50 -2.008 -125.00 -2.0008 -1,250.00-2.07 -14.29 -2.007 -142.86 -2.0007 -1,428.57-2.06 -16.67 -2.006 -166.67 -2.0006 -1,666.67-2.05 -20.00 -2.005 -200.00 -2.0005 -2,000.00-2.04 -25.00 -2.004 -250.00 -2.0004 -2,500.00-2.03 -33.33 -2.003 -333.33 -2.0003 -3,333.33-2.02 -50.00 -2.002 -500.00 -2.0002 -5,000.00-2.01 -100.00 -2.001 -1,000.00 -2.0001 -10,000.00
1 ; 2
2f x x
x
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1, 2 ; Determinar el límite en 2
2f x x x
x
2
2
2
1lim
21
lim2
1Es claro que lim NO EXISTE
2
x
x
x
x
x
x
![Page 265: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/265.jpg)
2
2
1lim
21
lim2
x
x
x
x
1
22
f xx
x
![Page 266: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/266.jpg)
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
![Page 267: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/267.jpg)
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
![Page 268: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/268.jpg)
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
![Page 269: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/269.jpg)
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
![Page 270: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/270.jpg)
0 0
0 0
0 0
0
0
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si
x x x x
x x x x
x x x x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
0 00
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x
cg x g x x c
g x
![Page 271: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/271.jpg)
![Page 272: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/272.jpg)
22 2
Sea la función
3
2Calcular
lim , lim y limxx x
f xx
f x f x f x
![Page 273: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/273.jpg)
Sea la función
3
2Claramente, el dominio de la función
son todos los números reales menos
el 2. Es decir,
2f
f xx
D R
![Page 274: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/274.jpg)
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
Como nos acercamos por la izquierda,
2 y 2 0.
Así que, claramente
3lim
2x
x x
x
![Page 275: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/275.jpg)
2
3. lim
2 xf x f x
x
![Page 276: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/276.jpg)
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
Como nos acercamos por la derecha,
2 y 2 0.
Así que, claramente
3lim
2x
x x
x
![Page 277: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/277.jpg)
2
3. lim
2 xf x f x
x
![Page 278: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/278.jpg)
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
2
2
Tenemos
3lim
2y
3lim
23
así que el lim NO EXISTE2
x
x
x
x
x
x
![Page 279: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/279.jpg)
3
2f x
x
![Page 280: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/280.jpg)
0 0
0 0
0 0
0
0
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si
x x x x
x x x x
x x x x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
0 00
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x
cg x g x x c
g x
![Page 281: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/281.jpg)
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
![Page 282: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/282.jpg)
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
![Page 283: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/283.jpg)
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
![Page 284: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/284.jpg)
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
![Page 285: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/285.jpg)
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
f x g x
R
![Page 286: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/286.jpg)
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
g x f x
R
![Page 287: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/287.jpg)
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
![Page 288: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/288.jpg)
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
![Page 289: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/289.jpg)
0 0
0 0
0
0
lim 0 quiere decir que lim 0
y que 0 cerca de .
lim 0 quiere decir que lim 0
y que 0 cerca de .
x x x x
x x x x
h x h x
h x x
h x h x
h x x
![Page 290: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/290.jpg)
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
![Page 291: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/291.jpg)
0
0 0 0
Resultados análogos se obtienen
cuando lim y todos
siguen siendo válidos si en lugar
de ponemos o bien .
x xf x
x x x
![Page 292: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/292.jpg)
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
g x f x
R
![Page 293: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/293.jpg)
2
1 4 ;
3
3f
xf x
x
D R
![Page 294: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/294.jpg)
2
1 4
3
xf x
x
![Page 295: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/295.jpg)
23 3
1 4lim lim
3x x
xf x
x
2
1 4 ;
3
3f
xf x
x
D R
![Page 296: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/296.jpg)
53 1
g
g x x
D R
![Page 297: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/297.jpg)
53 1g x x
![Page 298: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/298.jpg)
5
55
3 3
3 1
lim lim 3 1 3 3 1 728
g
x x
g x x
g x x
D R
![Page 299: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/299.jpg)
52
52
1 4 ; 3 1
3
1 43 1
3
f g f g
xf x g x x
x
xf g x x
x
D D D
![Page 300: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/300.jpg)
52
1 43 1 ; 3
3f g f g
xf g x x
x
D D D R
![Page 301: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/301.jpg)
52
52
1 4 ; 3 1
3
1 43 1
3
f g f g
xf x g x x
x
xf g x x
x
D D D
![Page 302: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/302.jpg)
52
1 43 1 ; 3
3f g f g
xf g x x
x
D D D R
![Page 303: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/303.jpg)
La recta es una asíntota vertical de la función o bien de la
curva si ocurre al menos una de las condiciones siguientes:
lim
lim
lim
li
x a
x a
x a
x a f
y f x
f x
f x
f x
mx a
f x
Nota. Determinar las asíntotas verticales de una función resulta de
mucha utilidad para realizar el bosquejo de la gráfica de una función.
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![Page 305: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/305.jpg)
3
1) limx
f x
![Page 306: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/306.jpg)
3
3
1) lim
2) limx
x
f x
f x
![Page 307: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/307.jpg)
3
3
1) lim
2) limx
x
f x
f x
2
Por lo tanto, la recta 3
es una asíntota vertical
de la función
1
3
x
f xx
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3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
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Sea una función.
Supongamos que
, .f
f x
a D
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Diremos que el límite de , cuando
tiende (o diverge) a + , es
si los valores de
están tan próximos a como queramos,
con tal de tomar
suficientemente grande.
f x
x
f x
x a
Sea una función. Supongamos que , .ff x a D
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Se denota lim
y se lee:
.
xf x
es el límite de f
cuando x tiende a más infinito
Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +
es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar suficientemen
ff x a
f x x
f x
x a
D
te grande.
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Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +
es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar suficientemen
ff x a
f x x
f x
x a
D
te grande.
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Sea una función.
Supongamos que
, .f
f x
b D
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Diremos que el límite de cuando
tiende (o diverge) a es
si los valores de están tan próximos a
como queramos con tal de tomar
negativo de suficiente
gran valor absoluto.
f x
x
f x
x b
Sea una función. Supongamos que , .ff x b D
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Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)
a es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar negativo de s
ff x b
f x x
f x
x b
D
uficiente gran valor absoluto.
Se denota lim
y se lee:
.
xf x
es el límite de f
cuando x tiende a menos infinito
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Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)
a es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar negativo de s
ff x b
f x x
f x
x b
D
uficiente gran valor absoluto.
![Page 320: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/320.jpg)
Cuando
lim
a la recta
se le llama asíntota horizontal.
xf x
y
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Se dice que la recta es una
asíntota horizontal de la función ,
o bien de la curva , si
ocurre alguno de los hechos siguientes:
lim o bien limx x
y
f
y f x
f x f x
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Si es un número natural,
,
entonces
lim n
x
n
n
x
N
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Si lim n
xn x
N 5lim
xx
x f(x) x f(x) x f(x)1.000 1.000 16.000 1,048,576.000 31.000 28,629,151.0002.000 32.000 17.000 1,419,857.000 32.000 33,554,432.0003.000 243.000 18.000 1,889,568.000 33.000 39,135,393.0004.000 1,024.000 19.000 2,476,099.000 34.000 45,435,424.0005.000 3,125.000 20.000 3,200,000.000 35.000 52,521,875.0006.000 7,776.000 21.000 4,084,101.000 36.000 60,466,176.0007.000 16,807.000 22.000 5,153,632.000 37.000 69,343,957.0008.000 32,768.000 23.000 6,436,343.000 38.000 79,235,168.0009.000 59,049.000 24.000 7,962,624.000 39.000 90,224,199.000
10.000 100,000.000 25.000 9,765,625.000 40.000 102,400,000.00011.000 161,051.000 26.000 11,881,376.000 41.000 115,856,201.00012.000 248,832.000 27.000 14,348,907.000 42.000 130,691,232.00013.000 371,293.000 28.000 17,210,368.000 43.000 147,008,443.00014.000 537,824.000 29.000 20,511,149.000 44.000 164,916,224.00015.000 759,375.000 30.000 24,300,000.000 45.000 184,528,125.000
![Page 324: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/324.jpg)
Si lim n
xn x
N
5limx
x
![Page 325: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/325.jpg)
Si es un número natural par,
entonces
lim n
x
n
x
![Page 326: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/326.jpg)
2limx
x
x f(x) x f(x) x f(x)-1.0 1.0 -151.0 22,801.0 -301.0 90,601.0
-11.0 121.0 -161.0 25,921.0 -311.0 96,721.0-21.0 441.0 -171.0 29,241.0 -321.0 103,041.0-31.0 961.0 -181.0 32,761.0 -331.0 109,561.0-41.0 1,681.0 -191.0 36,481.0 -341.0 116,281.0-51.0 2,601.0 -201.0 40,401.0 -351.0 123,201.0-61.0 3,721.0 -211.0 44,521.0 -361.0 130,321.0-71.0 5,041.0 -221.0 48,841.0 -371.0 137,641.0-81.0 6,561.0 -231.0 53,361.0 -381.0 145,161.0-91.0 8,281.0 -241.0 58,081.0 -391.0 152,881.0
-101.0 10,201.0 -251.0 63,001.0 -401.0 160,801.0-111.0 12,321.0 -261.0 68,121.0 -411.0 168,921.0-121.0 14,641.0 -271.0 73,441.0 -421.0 177,241.0-131.0 17,161.0 -281.0 78,961.0 -431.0 185,761.0-141.0 19,881.0 -291.0 84,681.0 -441.0 194,481.0
![Page 327: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/327.jpg)
2limx
x
![Page 328: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/328.jpg)
Si es un número natural impar,
entonces
lim n
x
n
x
![Page 329: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/329.jpg)
Si es una constante y
entonces
lim 0mxn
mc
n
c
x
Q
![Page 330: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/330.jpg)
Si es una constante y entonces lim 0mxn
m cc
nx
Q
En particular,
lim 0
Como regla nmetoécnica podemos poner 0
nx
c
x
c
![Page 331: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/331.jpg)
10 1 1
0
1 10 1
Si tenemos un polinomio de grado ,
...
(se supone que 0)
lo podemos escribir como
...
n nn n
n n nn n
n
f x a x a x a x a
a
a a af x x a
x x x
![Page 332: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/332.jpg)
0
0
1. lim si 0.
2. lim si 0.
x
x
f x a
f x a
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
![Page 333: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/333.jpg)
0
0
3. lim si 0 y es par.
4. lim si 0 y es impar.
x
x
f x a n
f x a n
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
![Page 334: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/334.jpg)
0
0
5. lim si 0 y es par.
6. lim si 0 y es impar.
x
x
f x a n
f x a n
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
![Page 335: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/335.jpg)
10 1
10 1
0 0
0
0
Si es una función racional con
... y
...
polinomios 0 y 0 , entonces:
0 si
lim si
ó si
m mm
n nn
x
P xf x
Q x
P x a x a x a
Q x b x b x b
a b
m n
af x m n
b
m n
![Page 336: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/336.jpg)
1 10 1
1 10 1
1 10 1
1 10 1
Este resultado es claro si ponemos
...
...
...
...
m m mm m
n n nn n
m n m mm m
n nn n
a a ax a
P x x x xf x
b b bQ x x bx x x
a a ax a
x x xb b b
bx x x
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
![Page 337: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/337.jpg)
0
0
Una función racional tiene asíntotas horizontales
0 si y
Además, puede o no tener as
si
íntotas vertical s
.
.
e
ay m n y m n
b
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
![Page 338: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/338.jpg)
5
3
Calcular
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
![Page 339: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/339.jpg)
5 25 4 5 4 5
33
2 3 2 3
2 1 2 13 3
3 2 16 7 6 75 6 7 5 5
x xx x x x x xx x x
x x x x
![Page 340: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/340.jpg)
5 25 4 5 4 5
33
2 3 2 3
2 1 2 13 3
3 2 16 7 6 75 6 7 5 5
x xx x x x x xx x x
x x x x
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
![Page 341: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/341.jpg)
24 5
2 3
2 13
6 75
xx x
x x
5
3
Calcular
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
5
3
Por lo tanto
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
![Page 342: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/342.jpg)
5
3
3 2 1
5 6 7
x x
x x
![Page 343: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/343.jpg)
Calcular
2 3lim
4x
x
x
![Page 344: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/344.jpg)
3 32 22 3
4 4 4
xx x x
x x
![Page 345: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/345.jpg)
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
3 32 22 3
4 4 4
xx x x
x x
![Page 346: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/346.jpg)
32
4x
Calcular
2 3lim
4x
x
x
Por lo tanto
2 3 2 1lim
4 4 2x
x
x
![Page 347: Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062410/5665b4601a28abb57c90fd1e/html5/thumbnails/347.jpg)
2 3
4
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