Hubungan Non Linier

Pemahaman fungsi non linier dalam mempelajari ilmu pertanian juga penting meskipun banyak hubungan antara variabel dapat dijelaskan dengan model linier.

Di Bidang pertanian model non linier yang sering dijumpai ada 4 macam yaitu fungsi : kuadrat parabolik, kubik, eksponensial dan logaritmik.

ParabolaBentuk persamaan kuadrat yang paling penting dalam penerapan ilmu pertanian yaitu parabola

Dalam parabola hal yang perlu dicermati tentang direktriks, titik ekstrim, fokus dan sumbu simeteris, didalam gambar seperti di bawah ini:

Titik ekstrim

Direktriks

Sumbu simeteri

Fokus

x

y

0

Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yg berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks

Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Sumbu simeterinya dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu y atau sumbu x. Titik ekstrim adalah titik potong antara sumbu simeteri dan parabola yang bersangkutan.

Letak titik ekstrim ada 4 kemungkinan dan ditentukan dengan bentuk parabolanya. sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu y maka 1. letak titik ektrimnya akan di atas jika parabolanya terbuka ke bawah 2. Letak ektrimnya berada di bawah jika parabolanya terbuka ke atas.sumbu simterinya sejajar dengan sumbu x maka1.Letak titik ekstrimnya disebelah kiri jika parabolanya membuka ke kanan 2.Letak titik eksterimnya sebelah kanan jika parabolanya membuka ke kiri.

y = ax2 + bx + c sumbu simetri sejajar dengan sumbu vertikal

x = ay2 + by + c sumbu simetri sejajar dengan sumbu horizontal

Catatan a ≠ 0

Untuk parabola dengan sumbu simeteri sejajar dengan sumbu vertikal akan terbuka ke bawah jika a < 0 dan terbuka ke atas jika a> 0. Sedangkan untuk parabola dengan sumbu simeteri sejajar dengan sumbu x parabolanya akan terbuka ke kanan jika a <0 dan terbuka ke kiri jika a> 0

Titik ekstrim parabola (i = x, dan j = y) adalah

Dimana –b/2a adalah jarak titik ekstrim dari sumbu vertikal (y) sedangkan (b2 – 4ac)/-4a adalah jarak titik ekstrim dari sumbu horizontal ( x ). Untuk sumbu simetris sejajar dgn sumbu y akan tetapi titik ekstrim menjadi ( i = y dan j = x

Latihan 1.Tentukan titik ekstrim, sumbu simetri dan gambarkan kurva parabola jika fungsinya y = -x2 + 6x -2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. Jawab (-6/-2, 36-8/4) = (3,7) dan perpotongan dengan sumbu y dimana x = 0 jadi y = -2 dan perpotongan dengan sumbu x dimana y = 0 x1= 5,65 dan x2 = 0,352. Tentukan titik ekstrim dan gambarkan kurva parabola jika fungsinya y = x2 - 6x +2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. 3. Tentukan titik ekstrim, sumbu simeteris dan gambarkan kurva parabola jika fungsinya x = -y2+ 6y -2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. 4. Tentukan titik ekstrim dan gambarkan kurva parabola jika fungsinya x = y2 – 6y +2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat.

5. Tentukan titik ektrim parabola y = 2x2 – 8x + 5 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat serta gambarkan Indentifikasi dari persamaan bahwa parabolanya terbuka ke atas sebab a = 2> 0, titik ektrimnya terletak di bawah, berupa titik nadir. Koordinat titik ektrimnya :

= = (2,3)Untuk x = 0, y= 5 (perpotongan dengan sumbu vertical)Untuk y = 0, 2x2 – 8x + 5 = 0 →x1 = 3,225 dan x2= 0,775

6. Tentukan titik ektrim parabola x = y2 - 6y + 5 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat serta gambarkan

7. Tentukan titik ektrim parabola x = -y2 + 6y -2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat serta gambarkan

Alat membantu mengingat :a ≠ 1ax2 + bx +c = 1/a (ax + p) (ax +q)Dimana : p x q = ac P + q = ba= 1ax2 + bx +c = (x + p) (x +q)Dimana : p x q = c P + q = b

Fungsi kubik

Titik belokTitik belok Titik belok

Titik belokTitik belok

Maksimum

Minimum

Maksimum

Minimum

Titik ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik serta titik belok dapat dicari melalui derivat pertama dan derivat kedua dari fungsi.

Derivat pertama berguna untuk menentukan letak titik ektrim sedangkan derivat kedua untuk menentukan jenis titik ekstrim/titik maksimim/titik minimum dan menentukan letak titik belok

Penerapan dalam persamaan dan kurva

Diketahui:Y = 1/3x3 – 3 x2 + 8x – 3 suatu fungsi kubikY’ = X2 -6x + 8 fungsi kuadrat parabolicY”= 2x – 6 fungsi linerDari persamaan kubik Jika diturunkan maka menjadi Y’ = 0, X2 -6x + 8 = 0 dari sini maka (x-2)(x-4) = 0 →x1 = 2 dan x2 = 4

untuk x = x1 = 2

→ y = 1/3 (2)3 – 3(2)2 + 8(2) – 3 = 3,67 (fungsi kubik y = f(x) berada di titik ekstrim maksimum)→Y”= 2(2) – 6 = -2 < 0 (derivate kedua negatif)Untuk x = x2 =4

→ y = 1/3(4)3 – 3(4)2 + 8(4) -3 = 2,33 (fungsi kubik y = f(x) berada di titik ekstrim minimum)→Y”= 2(4) – 6 =2 > 0 (derivate kedua fositif)Jika diturunkan kedua maka Y” = 0, 2x -6 = 0 →x= 3→ y = 1/3(3)3 – 3(3)2 + 8(3) -3 = 3 (fungsi kubik y = f(x) berada dititik belok)→ y’= 32 – 6(3) + 8 = -1 (derivate pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum)Jadi, fungsi kubik y = 1/3x3 – 3x2 + 8x -3 berada di, titik maksimum pada koordinat (2;3,67) titik belok pada koordinat (3;3) dan titik minimum pada koordinat (4; 2,33).

Gambar kasus di atas

0

-2

-6

y

8

4

2 4 6

(3;-1)

x

(3;3)

(2;3,67)

(4;2,33)

y’ = x2 -6x + 8 y”= 2x – 6

y = 1/3x3 – 3 x2 + 8x – 3

Perhatikan gambar di atas. Fungsi kubik y =f(x) mencapai titik ektrim maksimum ketika derivatif pertamanya y’=f(x) = 0 dan derivatif keduanya y” = f(x) <0,

Mencapai titik ektrim minimum ketika y’ =f’(x) = 0 dan y” =f”(x) >0, serta berada di titik belok ketika y” = f”(x) =0. Secara umum meskipun tidak semua fungsi kubik mempunyai titik ekstrim, dapat disimpulkan bahwa:

Fungsi kubik y =f(x) mencapai titik ektrim pada y’ =0Jika y” < 0 pada y’ =0, maka titik ektrimnya adalah titik maksimumJika y”> 0 pada y’ = 0 maka titik ektrimnya adalah titik minimumFungsi kubik y= f(x) berada di titik belok pada y” =0

Contoh soal

Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi kubikY = - x3 +15 x2 +48x Y’ = -3X2 +30x + 48 turunan pertamaY”= -6x +30 turunan kedua Syarat y ektrim: y’ = 0 → -3X2 +30x + 48=0→ x1 = 2 dan x2 = 8

Saat x = 2 → y = -8 + 60 +48 = -44Y” =-12+30=18 > 0Minimum (2;-44)

Saat x = 8 →y = -512 + 960 – 384 = 64y” = -48 + 30 = -18 < 0maksimum (8;64)

Syarat titik belok : y” = 0 → x =5X=5 → y = -125 + 375 – 240 = 10Titik belok (5,10)