BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………

ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………

KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)

Môn thi: GIẢI TÍCH

(Dành cho cao học)

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.

a. Cho dãy số thực . Chứng minh rằng nếu chuỗi

hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi .

b. Cho chuỗi hàm

Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm .

Tính tổng của chuỗi hàm .

Câu 2.

Cho là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa

a. Chứng minh rằng là một mêtric trên .

b. Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi

cũng là một không gian mêtric đầy đủ.

Câu 3.

Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và

là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy hội tụ về

thì dãy bị chặn. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục.

Câu 4.

Xét không gian Hilbert phức gồm tất cả các dãy số phức sao cho

với tích vô hướng .

Giả sử là một dãy số phức bị chặn. Cho xác định bởi

a. Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của .

b. Chứng minh rằng nếu là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp.

-----------------------------------------------------

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………

ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………

KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1)

Môn thi: GIẢI TÍCH

(Dành cho cao học)

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.

a. Chứng minh bất đẳng thức 2𝑥

𝑥 + 2< ln 𝑥 + 1 , ∀𝑥 ∈ ℝ+.

b. Cho 𝑎 > 1, tìm tất cả các số thực 𝛼 để chuỗi sau hội tụ

𝑎𝑛

− 1 𝛼

∞

𝑛=1

.

c. Cho hàm số 𝑓 xác định trên hình vuông 𝐷 = 0; 1 × 0; 1

𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 1 − 𝑦 nếu 𝑥 ≤ 𝑦

𝑦 1 − 𝑥 nếu 𝑥 > 𝑦.

Khảo sát tính khả vi của hàm 𝑓 tại các điểm trong của 𝐷.

Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên 𝑛 > 1, hệ phương trình sau có nghiệm

duy nhất trong tập 𝐷 = 0; 1 × 0; 1 :

𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 + 𝑛 = 3𝑛𝑥

𝑥2𝑛 + 𝑦2𝑛 + 𝑛 = 6𝑛𝑥.

Câu 3. Cho 𝑋 = 𝐶 0;1 với chuẩn 𝑥 = max 𝑥 𝑡 : 𝑡 ∈ 0; 1 .

Cho ánh xạ 𝐴:𝑋 ⟶ 𝑋 xác định bởi

𝐴𝑥 𝑡 = 𝑡 ∙ 𝑥 1 − 𝑡 − 1 − 𝑡 ∙ 𝑥 𝑡 , ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑡 ∈ 0; 1 .

Chứng minh 𝐴 là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm 𝐴 .

Câu 4. Cho 𝐻 là một không gian Hilbert.

a. Giả sử 𝑥𝑛 ,𝑛 ∈ ℕ∗ là hệ trực giao trong 𝐻. Chứng minh rằng, chuỗi 𝑥𝑛∞𝑛=1

hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn).

b. Cho 𝑥𝑛 là dãy hội tụ yếu về 𝑥 trong 𝐻. Giả sử dãy 𝑥𝑛 hội tụ về 𝑥

trong ℝ. Chứng minh dãy 𝑥𝑛 hội tụ mạnh về 𝑥.

-----------------------------------------------------

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010

Câu 1. (4đ)

a. Xét hàm 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 −2𝑥

𝑥+2, 𝑥 ≥ 0. Ta có 𝑓 ′ 𝑥 =

𝑥 𝑥+4

𝑥+1 𝑥+2 2 , 𝑥 > 0.

Do vậy 𝑓 𝑥 > 𝑓 0 = 0 hay ln 1 + 𝑥 >2𝑥

𝑥+2 , 𝑥 > 0. (1đ)

b. Đặt 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛

− 1 thì 𝑎𝑛 > 0 và 𝑎𝑛

= 1 + 𝑎𝑛 . Theo trên ta có

2𝑎𝑛

𝑎𝑛 + 2<

1

𝑛ln𝑎 = ln 1 + 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛 hay 𝑛𝑎𝑛

2

𝑎𝑛 + 2< ln𝑎 < 𝑛𝑎𝑛 (0,5đ)

Suy ra lim𝑛→∞ 𝑛𝑎𝑛 = ln𝑎. Nên các chuỗi 𝑎𝑛

− 1 𝛼∞

𝑛=1 và 1

𝑛𝛼∞𝑛=1 cùng

hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1 và phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1. (1đ)

c. Dễ thấy 𝑓 khả vi tại các điểm của 𝐷 mà 𝑥 < 𝑦 hay 𝑥 > 𝑦. (0,5đ)

Để xét tính khả vi của 𝑓 tại các điểm 𝑎, 𝑎 , 𝑎 < 1, ta xét hàm

𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥,𝑎 , khi đó 𝜑′ 𝑎+ = −𝑎 ≠ 𝜑′ 𝑎− = 1 − 𝑎 tại mọi 𝑎 < 1. Suy

ra 𝑓 không khả vi tại các điểm 𝑎,𝑎 , 𝑎 < 1. (1đ)

Câu 2. (2đ)

Xét không gian metric 𝑋 = ℝ2 với khoảng cách 𝑑 xác định bởi

𝑑 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2,𝑦2 = max 𝑥1 − 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2 ,∀ 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2 ,𝑦2 ∈ 𝑋

𝑋,𝑑 là không gian metric đầy đủ. (0,5đ)

Xét hàm 𝑓:𝑋 ⟶ 𝑋 xác định bởi

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 + 𝑛

3𝑛,𝑥2𝑛 + 𝑦2𝑛 + 2𝑛

6𝑛 , 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋.

∀ 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 ∈ 𝑋 ta có

𝑑 𝑓 𝑥1,𝑦1 , 𝑓 𝑥2,𝑦2 =

= max 𝑥1

𝑛 − 𝑥2𝑛 + 𝑦1

𝑛 − 𝑦2𝑛

3𝑛, 𝑥1

2𝑛 − 𝑥22𝑛 + 𝑦1

2𝑛 − 𝑦22𝑛

6𝑛 (0,5đ)

Chú ý

𝑥1𝑛 − 𝑥2

𝑛 + 𝑦1𝑛 − 𝑦2

𝑛 ≤ 𝑥1𝑛 − 𝑥2

𝑛 + 𝑦1𝑛 − 𝑦2

𝑛 ≤ 𝑛 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑦1 − 𝑦2

≤ 2𝑛 𝑑 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2 ,𝑦2 .

𝑥12𝑛 − 𝑥2

2𝑛 + 𝑦12𝑛 − 𝑦2

2𝑛 ≤ 𝑥12𝑛 − 𝑥2

2𝑛 + 𝑦12𝑛 − 𝑦2

2𝑛

≤ 2𝑛 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑦1 − 𝑦2 ≤ 4𝑛 𝑑 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2,𝑦2 . (0,5đ)

Do đó 𝑑 𝑓 𝑥1,𝑦1 , 𝑓 𝑥2,𝑦2 ≤2

3𝑑 𝑥1,𝑦1 , 𝑥2,𝑦2 . Theo nguyên lý ánh xạ

co, có duy nhất 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 sao cho 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑥,𝑦 , tức là hệ phương trình có

duy nhất nghiệm. (0,5đ)

Câu 3. (2đ)

Kiểm tra tính tuyến tính của 𝐴. (0,5đ)

∀ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑡 ∈ 0; 1 ta có 𝐴𝑥 𝑡 ≤ 𝑡 𝑥 1 − 𝑡 + 1 − 𝑡 𝑥 𝑡 ≤ 𝑥 . Nên

𝐴𝑥 ≤ 𝑥 .Vậy A liên tục và 𝐴 ≤ 1 (1đ)

Xét hàm 𝑥 𝑡 = 2𝑡 − 1, 𝑡 ∈ 0; 1 . Ta có 𝑥 = 1 còn

𝐴𝑥 = max𝑡∈ 0;1 1 − 2𝑡 =1

Vậy 𝐴 = 1. (0,5đ)

Câu 4. (2đ)

a. Đặt 𝑆𝑛 = 𝑥𝑛𝑛𝑖=1 . Giả sử lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑥0. Khi đó với mọi 𝑥 ∈ 𝐻 ta có

lim𝑛→∞

< 𝑆𝑛 − 𝑥0 , 𝑥 > ≤ lim𝑛→∞

𝑆𝑛 − 𝑥0 ∙ 𝑥 = 0. Vậy 𝑆𝑛𝑤→ 𝑥0. (0,5đ)

Ngược lại, giả sử 𝑆𝑛𝑤→ 𝑥0 khi đó với mọi 𝑥 ∈ 𝐻 ta có

lim𝑛→∞ < 𝑆𝑛 , 𝑥 > =< 𝑥0, 𝑥 >.

Do đó dãy < 𝑆𝑛 ,𝑥 > 𝑛 bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều 𝑆𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛.

Suy ra 𝑆𝑛 2 = 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 ≤ 𝑀2 ,∀𝑛. Vì vậy 𝑥𝑛

2∞𝑛=1 hội tụ nên 𝑥𝑛

∞𝑛=1

hội tụ. (0,5đ)

b. Giả sử 𝑥𝑛𝑤→ 𝑥. Ta có

𝑥𝑛 − 𝑥 2 =< 𝑥𝑛 − 𝑥, 𝑥𝑛 − 𝑥 >=< 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 > −< 𝑥, 𝑥𝑛 > −< 𝑥𝑛 , 𝑥 > +

+< 𝑥, 𝑥 > = 𝑥𝑛 2−< 𝑥, 𝑥𝑛 > −< 𝑥𝑛 , 𝑥 > + 𝑥 2 (0,5đ)

Theo giả thiết lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥 nên lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 − 𝑥 = 0. Vậy

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑥. (0,5đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009

Câu 1. (4đ)

a. Ta có

Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi

a. Ta có

nên ta chỉ cần xét chuỗi trong . Với bất kỳ

ta có

.

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi và hội tụ đều trên các khoảng

.

Do khi nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng

b. Chú ý

Do đó

Vậy

Câu 2. (2đ)

a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ)

Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm

đơn điệu tăng trên . (0,5đ)

b. (1đ)

cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ)

cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ)

Câu 3. (2đ) Giả sử không bị chặn trên mặt cầu đơn vị khi đó tồn tại

trên dãy mà . Khi đó dãy

hội tụ về 0 nhưng

Trái giả thiết.

Câu 4. (2đ)

a. Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)

ta có

Vì dãy bị chặn nên . Do đó

Vậy liên tục và

Xét dãy ta có nên

. Suy ra

b. (1đ) ta có

Vì là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực. Vậy toán tử là tự liên hợp.