KELOMPOK 2

KELAS B /

PENDIDIDKAN

FISIKA

HUKUM GAUSS danPOTENSIAL SKALAR

Claudia Waloni

I Ketut Putra Yasa

HUKUM GAUSS

DerivasiHukumGauss

penerapanhokum Gauss

PotensialSkalar

DefenisiPotensial

Skalar

PotensialMuatan Titik

tunggal

Potensialscalar dan

tenagapotensial

Potensialdistribusi

muatan bola seragam

DIRIVASI HUKUM GAUSS

Akan menunjukkan bahwa (Hukum Gauss) :

dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalamruang (volume) yang dilingkupi oleh suatu permukaan tertutup S sembarang.

Mengingat persamaan (3-2) bahwa

Maka

Ada dua kasus yang akan ditinjau.

Kasus 1 : 𝑞𝑖 berada didalam S (gambar 4.1).

letak elemen luas 𝑑𝑎 (dengan vekctor d 𝑎)relative terhadap muatan𝑞𝑖 ditunjukkan oleh 𝑅𝑖 ; berlaku bahwa

Dengan 𝑑Ω =elemen sudut ruang yang berpangkal di 𝑞𝑖menyebar keluasda. Untuk mengevaluasi intergral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah bola 𝑆0 yang berjejari 𝑅0 dengan 𝑞𝑖sebagai pusatnya.

Sudut ruang 𝑑Ω yang sama akan memotong luasan d 𝑎 pada bola ini; sepertitampak pada gambar 4-1, d 𝑎0 sejajar dengan 𝑅𝑖 Sedemikian sehingga jika kitamenggunakan persamaan (4-3) pada kasus ini, maka 𝑑Ω sama dengan d𝑎0/𝑅2

0. Dengan demikian, integral persamaan (4-2) setara ditulis sebagai

Karena 𝑅0 tetap untuk semua titik dipermukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada didalamnya adalah 4𝜋 dapat ditulis

Kasus II : 𝑞𝑖di luar S (Gambar 4.2)

Ditinjau dua elemen luasan d 𝑎1 dan d 𝑎2 dari permukaan S yang terpotong olehsudut ruang 𝑑Ω yang sama tetapi disisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari 𝑞𝑖 berturut-turut ditulis sebagai 𝑅𝑖1 𝑑𝑎𝑛 𝑅𝑖2. Seperti sebelumnya, kita akan punya.

dan karena 𝜃2 > 𝜋/2,sehingga 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 maka

Jadi

Sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol. Karena semua elemen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan dengancara seperti ini, maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dandengan demikian

Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2),(4-5), dan (4-7) diperoleh

Dan kita telah membuktikan hokum gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan

Sekarang muatan-muatan didalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat

muatan 𝜌, maka mautan totalnya adalah

Dengan V adalah Volume total ruang yang dilingkupi oleh S.

Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitua

maka persamaan (4-8) dapat ditulis sebagai

Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untu volume

infinitesimal, dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik

𝐸:

Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell

BEBERAPA PENERAPAN HUKUM GAUSS

Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untukmenentuka medan listrik dari distribusi muatan memiliki simetri. Perlumemilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses integrasi(disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan dimana :

o𝐸 memiliki nilai yang tetap

o𝐸 memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaantersebut.

Muatan garis seragam panjang tak hingga

Asumsi :

⋋= 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛

Muatan garis berimpit dengan sumbu z

Mengguanakan system koordinat silinder

Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaan di mana kita berada

sepanjang garis tersebut

Tidak ada yang membedakan nilai 𝜑 yang satu dengan nilainya yang lain karena

distribusi muatan tampak sama di mana pun kita melihat dari arah tegak lurus terhadap

sumbu z

𝐸 hanya bergantung pada jarak 𝜌 dari garis

Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang

Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya 𝜑 dan berkurangnya 𝜑

Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa 𝐸 hanya dapat memiliki arah radial : 𝐸 =𝐸𝜌(𝜌) 𝜌

Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai 𝐸 yang tetap

Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4.3

Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss)

Vektor-veektor satuan normal

Meskipun 𝐸𝜌 memiliki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada 𝜌 padaluasan-luasan lingkaran ini, tetapi 𝐸 tegak lurus terhadap vector-vector luasnya, sehingga sumbangannya kepada fluks akan lenyap

Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagai jumlahan dariintegral permukaan selimut dan tutup-tutup atas dan bawah (yang ditandai

oleh indeks s,a, dan b). Kita juga ingat bahwa juga ingat bahwa 𝐸𝜌(𝜌) tetap

pada permukaan selubung karena 𝜌 tetap. Denagn demikian, dalam kasusini persamaan (4-1) menjadi :

Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk 𝐸𝜌, panjang L sembarang

menjadi lenyap dan kita memperoleh 𝐸𝜌 𝜌 =𝜆

2𝜋𝜌𝜀0

Sehingga 𝐸 =𝜆

2𝜋𝜀0

𝜌

𝜌

yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasilangsung

Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga

Asumsi :

𝜎 = tetapan

Plat terletak pada bidang xy ; gambar memperlihatkan pandangandari sisi tepi plat.

Pemilihan titik asal system koordinat dan arah-arah sumbu x dansumbu y sembarang. Maka haruslah 𝐸 tidak bergantung pada x dan y

Tidak ada perbedaan antara kana dan kiri, atau menuju ataumenjauhi kertas,sehingga 𝐸 tidak memiliki komponen-komponenyang sejajar plat

Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehinggaarah 𝐸 harus selalu menjauhi plat ataau selalu menuju plat bergantung pada 𝜎

Jadi, permukaan tertutup pengitegrasian berupa sebuah silinder setinggi D keatas dan ke bawah plat serta tutup-tutup silinder seluas Δa sejajar plat.

Vektor medan listrik 𝐸 memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutuptersebut

Tampak juga bahwa𝑄𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 adalah muatan pada plat yang terpotong olehpenampang silinder, dan dengan demikian sama dengan σΔa

Jadi dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi :

Tampak bahwa 𝐸 𝐷 = 𝜎/2𝜀0 yang tidak jelas tidak bergantung pada D; jadi medan lsitrik plat tipis ini diberikan oleh

Yang tepat sama seperti dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh denganintegrasi langsung

Bola Pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola

Asumsi

Muatan terkandung dalam bola berjari-jari a

Rapat muatan fungsi radial 𝜌 = 𝜌 𝑟 → 𝑆𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑙𝑎

Jadi 𝐸 memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dandapat ditulis dalam bentuk 𝐸 = 𝐸𝑟(𝑟) 𝑟

Besar 𝐸 konstan di permukaan bola berjari-jari r.

Jadi, persamaan (4-1) menjadi

Sehingga diperoleh

Dengan

Dan V(r) adalah volume bola berjejari r

Bola Pejal bermuatan terdistribusi seragam

Kasus ini seperti pada contoh sebelumnya tetapi dengan rapatmuatan 𝜌 = 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛, yaitu kita punya bola bermuatan seragamdengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi

Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai

sehingga

Yang menujukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.

Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak daripusat bola menurut persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikannilai yang sama, yaitu 𝑄/4𝜋𝜀0𝑎

2, di permukaan bola, yaitu r=a; jadi, medanlistrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola bermuatan

Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh gambar 4.5 di atas

Defenisi Potensial Skalar

Pada ungkapan medan listrik 𝐸 =1

4𝜋𝜀0 𝑖=1

𝑁 𝑞𝑖 𝑅𝑖

𝑅𝑖2 (3.2), kita dapat

mengganti 𝑅𝑖

𝑅𝑖2 dengan −𝛻

1

𝑅𝑖sehingga diperoleh

𝐸 𝑟 = − 𝑖𝑞𝑖

4𝜋𝜀0𝛻

1

𝑅𝑖= − 𝛻 𝑖

𝑞𝑖

4𝜋𝜀0𝑅𝑖 ′(5-1)

Dengan 𝑅𝑖 = | 𝑟 − 𝑟𝑖|

Didifenisikan medan scalar yang disebut sebagai potensial scalar ataupotensial eletrostatis :

Dengan kita dapat menulis 𝐸 𝑟 = −𝛻∅ 𝑟 (5 − 3)

Medan listrik merupakan negative gradient ptensial scalar ; dan berlaku bahwa 𝛻 ×𝐸 = 0 (5 − 4)

Satuan potensial scalar volt (v) ; dari persamaan (5-4), medan listrik dapat dinyatakandalam voltmeter yang kenyataannya sering digunakan

1 volt = 1 joule/coulomb

Mengingat teorema Stokes : ∮𝑐𝐸. 𝑑 𝑠 = 0 (5 − 5)dengan C adalah lisntasan tutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medanelektrostatik 𝐸 merupakan medan konservatif

Potensial scalar persmaan (5-2) diungkapkan dalam

Potensial listrik dari distribusi muatan kontinyu :

Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)

Jika potensial scalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang :

Integral garis medan𝐸 antara titik awal 𝑃1 𝑑𝑖 𝑟1 dan titik akhir 𝑃2 𝑑𝑖 𝑟2 serupadengan gambar 1.16

Jadi kita dapat menulis

Potensial Muatan titik tunggal

Ditinjau dari sebuah muatan titik Q yang terletak di 𝑟′. Potensialnya, menurut persamaan (5-2)

Dengan 𝑅 = | 𝑟 − 𝑟′|. Dengan demikian medan listrik

Permukaan-permukaan ekipotensial diperoleh dengan memecahkanpersamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertetu untuk 𝜙; hasilnya adalah

Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu 𝐸 = −𝛻∅ , denganpersamaan (4-10), yaitu 𝛻 × 𝐸 = 𝜌/𝜀0, maka diperoleh bahwa

𝛻2𝜙 = −𝜌

𝜀05 − 15

Dengan kata lain, potensial scalar memenuhi persamaan diferensial iniyag dikenal sebagai “persamaan poisson”. Di dalam daerah dimana

𝜌 = 0, persamaan (5-15) berubah menajdi “persamaan Laplace”𝛻2∅ = 0 (5 − 16)

Potensial Distribusi muatan bola seragam

Ditinjau : bola berjejari a , bermuatan total Q, rapat muatan tetap

𝜌 =𝑄

𝑉=

3𝑄

4𝜋𝑎3 akan dihitung potensial scalar titik sejauh 𝑟 dari pusat bola (Gambar

5.5)

Jadi diperoleh

Integrasian ke 𝑑𝜙′ dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2𝜋. Jika kitamenggunakan 𝜇 = 𝑐𝑜𝑠𝜃′, maka persamaan (5-17) menjadi

Integrasian ke 𝜇 dapat diperoleh dengan menggunakan table integral, hasilnya

Potensial scalar dan tenaga potensial

Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah

gaya elektrostatik 𝐹𝑞 dan sebuah gaya mekanik 𝐹𝑞,𝑚. 𝐹𝑞 + 𝐹𝑞,𝑚 = 𝑞𝐸 + 𝐹𝑞,𝑚 = 0

Atau 𝐹𝑞,𝑚 = −𝑞𝐸 (5 − 24)

Jika kita tulis

𝑊1→2 = 12 𝐹𝑞,𝑚. 𝑑 𝑠 = −𝑞 1

2𝐸. 𝑑 𝑠 = 𝑞[∅( 𝑟2) − ∅( 𝑟1)] = 𝑞∆∅ (5 − 25)

Kerja yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial ∆𝑈𝑒 muatansehingga persamaan (5.25) menjadi

∆𝑈𝑠 = 𝑞[∅( 𝑟2) − ∅( 𝑟2)]=q∆∅ (5 − 26)

Tenaga potensial sebuah muatan q di 𝑟, yaitu sebagai 𝑈𝑒( 𝑟), sebagai𝑈𝑒 𝑟 = q∅( 𝑟)

KESIMPULAN

Derivasi Hukum Gauss akan menunjukkan bahwa (hokum gauss) :

∮𝑠𝐸. 𝑑 𝑎 =1

𝜀0

𝑑𝑖𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚

𝑞𝑖 =𝑄𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚

𝜀0

Beberapa penerapan Hukum Gauss

- Muatan garis seragam panjang tak hingga

- Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga

- Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam

Potensial scalar

- Definisi potensial scalar

- Potensial muatan titik tunggal

- Potensial distribusi muatan bola seragam

- Potensial scalar dan tenaga potensial