hy-215: ΕφαρµοσµέναΜαθηµατικάγιαΜηχανικούς...
TRANSCRIPT
-
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣΤµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για ΜηχανικούςΕαρινό Εξάµηνο 2016-17
∆ιδάσκοντες: Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής
Λυµένες Ασκήσεις - Συνέλιξη και Συστήµατα
Σε αυτό το PDF, η ϐηµατική συνάρτηση u(t) συµβολίζεται µε �(t)
1. ΄Εστω τα σήµατα του Σχήµατος 1. Να υπολογίσετε τη συνέλιξη y(t) = x(t) ∗ h(t).
Σχήµα 1: Σχήµα ΄Ασκησης 1
Λύση:Επιλέγουµε να παίξουµε µε το x(t), καθ΄ ότι ευκολότερο. Η ανάκλαση και η µετατόπιση του σήµατος ϕαίνεταιστο Σχήµα 2. και άρα ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις :
Σχήµα 2: Μετατόπιση και ανάκλαση για ΄Ασκηση 1.
• y(t) = 0, t < 0 (Σχήµα 3αʹ)
• y(t) =∫ t0
τ
Tdτ =
τ2
2T
∣∣∣t0=
t2
2T, για t ≥ 0 και t− T ≤ 0⇔ 0 ≤ t ≤ T (Σχήµα 3βʹ)
• y(t) =∫ tt−T
τ
Tdτ +
∫ tT
(2− τ
T
)dτ = − t
2
T+ 3t− 3T
2, για t− T < T και t ≥ T ⇔ T ≥ t < 2T (Σχήµα 4αʹ)
• y(t) =∫ 2Tt−T
(2− τ
T
)dτ =
(2τ − τ
2
2T
)∣∣∣2Tt−T
=t2
2T− 3t+ 9T
2, για t < 3T και t ≥ 2T ⇔ 2T ≤ t < 3T (Σχήµα
4βʹ)
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 2
(αʹ) 1η περίπτωση ΄Ασκησης 1 (ϐʹ) 2η περίπτωση ΄Ασκησης 1
Σχήµα 3: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 1 - Ι
(αʹ) 3η περίπτωση ΄Ασκησης 1 (ϐʹ) 4η περίπτωση ΄Ασκησης 1
Σχήµα 4: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 1 - ΙΙ
• y(t) = 0, t ≥ 3T (Σχήµα 5αʹ)
(αʹ) 5η περίπτωση ΄Ασκησης 1
Σχήµα 5: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 1 - ΙΙΙ
΄Αρα τελικά ϑα είναι :
y(t) =
0, t < 0 και t ≥ 3Tt2
2T , 0 ≤ t ≤ T− t2T + 3t−
3T2 , T ≥ t < 2T
t2
2T − 3t+9T2 , 2T ≤ t < 3T
(1)
που είναι και το Ϲητούµενο.
2. ΄Εστω τα σήµαταx(t) = Ae−|t|, h(t) = 2(�(t− 3)− �(t− 5))
που ϕαίνονται στο Σχήµα 6. Υπολογίστε τη συνέλιξη των δυο σηµάτων.
Λύση:Επιλέγουµε να παίξουµε µε το h(t), καθ΄ ότι ευκολότερο. Η ανάκλαση και η µετατόπιση του σήµατος ϕαίνεταιστο Σχήµα 7. Οπότε, ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις :
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 3
Σχήµα 6: Σχήµα ΄Ασκησης 2
Σχήµα 7: Ανάκλαση και µετατόπιση του σήµατος ΄Ασκησης 2
• y(t) =∫ t−3t−5
2Aeτdτ = 2A(et−3 − et−5), για t− 3 ≤ 0⇔ t ≤ 3 (Σχήµα 8αʹ)
• y(t) =∫ 0t−5
2Aeτdτ +
∫ t−30
2Ae−τdτ = 2A(2A− et−5 − e3−t), για t ≤ 5 και t > 3⇔ 3 < t ≤ 5 (Σχήµα 8βʹ)
• y(t) =∫ t−3t−5
2Ae−τdτ = 2A(e5−t − e3−t), για t− 5 > 0⇔ t > 5 (Σχήµα 9αʹ)
΄Αρα τελικά ϑα έχουµε
y(t) =
2A(et−3 − et−5), t ≤ 32A(2A− et−5 − e3−t), 3 < t ≤ 52A(e5−t − e3−t), t > 5
(2)
που είναι και το Ϲητούµενο.
(αʹ) 1η περίπτωση ΄Ασκησης 2 (ϐʹ) 2η περίπτωση ΄Ασκησης 2
Σχήµα 8: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 2 - Ι
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 4
(αʹ) 3η περίπτωση ΄Ασκησης 2
Σχήµα 9: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 2 - ΙΙ
3. ΄Εστω τα σήµατα
x(t) =
{0, αλλού1t , t ≥ 1
h(t) =
{t2, 0 ≤ t ≤ 10, αλλού
Υπολογίστε τη συνέλιξη των δυο σηµάτων.
Λύση:Επιλέγουµε να παίξουµε µε το h(t), καθ΄ ότι ευκολότερο στη σχεδίαση. Η ανάκλαση και η µετατόπιση τουσήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα 10. ΄Αρα ϑα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις :
Σχήµα 10: Ανακλασµένο και µετατοπισµένο σήµα ΄Ασκησης 3
• y(t) = 0, t ≤ 1
• y(t) =∫ t1
1
τ(t− τ)2dτ = t2 ln |τ |
∣∣∣t1− 2tτ
∣∣∣t1+τ2
2
∣∣∣t1= · · · , για t < 2 και t > 1⇔ 1 < t < 2
• y(t) =∫ tt−1
1
τ(t− τ)2dτ = t2 ln |τ |
∣∣∣tt−1− 2tτ
∣∣∣tt−1
+τ2
2
∣∣∣tt−1
= · · · , για t− 1 ≥ 1⇔ t ≥ 2
Επιβεβαιώστε εσείς σχηµατικά ότι τα παραπάνω είναι σωστά ! :-)
4. ΄Εστω το σήµαx(t) = 2δ(t)− 3δ(t− 4)
και το σήµα h(t) που ϕαίνεται στο Σχήµα 11. Βρείτε το αποτέλεσµα της συνέλιξης των δυο σηµάτων.
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 5
Σχήµα 11: Σχήµα ΄Ασκησης 4
Λύση:Η συνέλιξη µε συναρτήσεις ∆έλτα απλά παράγει αντίγραφα των σηµάτων µε τα οποία συνελίσσεται, µετατοπισµέναστη ϑέση της συνάρτησης ∆έλτα, πολλαπλασιασµένα µε το πλάτος της. Ούτε ολοκληρώµατα, ούτε µετατοπίσεις,ούτε αναστροφές, ούτε τίποτα ! :-) Γίνεται όµως ευρεία χρήση των ιδιοτήτων της συνάρτησης ∆έλτα, όπως η
x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)
΄Αρα ϑα είναι απλά
y(t) = h(t) ∗ (2δ(t)− 3δ(t− 4)) = 2h(t) ∗ δ(t)− 3h(t) ∗ δ(t− 4) = 2h(t)− 3h(t− 4)
Το αποτέλεσµα της συνέλιξης ϕαίνεται στο Σχήµα 12.
Σχήµα 12: Σήµα συνέλιξης h(t) ∗ x(t) ΄Ασκησης 4
5. Να υπολογιστεί η συνέλιξη των σηµάτων
x(t) = �(t)
y(t) = e−2t�(t)
Λύση:Τα δυο σήµατα είναι όπως στο Σχήµα 13. Παίζουµε µε το x(t). Το ανεστραµµένο και ανακλασµένο σήµα ϕαίνεταιστο Σχήµα 14. ∆ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις, οι οποίες ϕαίνονται στα Σχήµατα 15αʹ και 15βʹ.
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 6
Σχήµα 13: Σήµατα ΄Ασκησης 5
Σχήµα 14: Μετατοπισµένο σήµα ΄Ασκησης 5
• cxy(t) = 0, t ≤ 0
• cxy(t) =∫ ∞−∞
e−2τ �(t)�(t− τ)dτ =∫ t0e−2τdτ =
1− e−2t
2, t > 0
(αʹ) Περίπτωση 1η (ϐʹ) Περίπτωση 2η
Σχήµα 15: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 5
΄Αρα τελικά ϑα είναι
cxy(t) =
{1−e−2t
2 , t > 00, t ≤ 0
(3)
που είναι και το Ϲητούµενο.
6. Θεωρούµε το σύστηµα που ϕαίνεται στο Σχήµα 16, µε
Σχήµα 16: Σήµα ΄Ασκησης 6
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 7
x(t) = �(t+
1
2
)− �(t− 1
2
)h1(t) = δ
(t− 3
2
)h2(t) = �(t)− �(t− 3)
Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η έξοδος του συστήµατος, y(t).
Λύση:Αφού τα συστήµατα είναι σε σειρά, µπορούµε να ϐρούµε το συνολικό σύστηµα h(t), που είναι η συνέλιξη των δυοσυστηµάτων, και είναι
h(t) = h1(t) ∗ h2(t) = δ(t− 3
2
)∗(�(t)− �(t− 3)
)= �
(t− 3
2
)− �(t− 3− 3
2
)= �(t− 3
2
)− �(t− 9
2
)΄Αρα είναι σαν να περνάµε την είσοδο x(t) από το σύστηµα h(t). Παρατηρούµε ότι
x(t) = �(t+
1
2
)− �(t− 1
2
)= rect
( t1
)h(t) = �
(t− 3
2
)− �(t− 9
2
)= rect
( t− 33
)Οι περιπτώσεις ϕαίνονται στο Σχήµα 17, 18, 19. Κατά τα γνωστά λοιπόν, ϑα παίξουµε µε το h(t), και ϑα έχουµε
(αʹ) Περίπτωση 1η (ϐʹ) Περίπτωση 2η
Σχήµα 17: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 6 - 1
(αʹ) Περίπτωση 3η (ϐʹ) Περίπτωση 4η
Σχήµα 18: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 6 - 2
τις παρακάτω περιπτώσεις :
• y(t) = 0, t ≤ 1
• y(t) =∫ t−3/2−1/2
dτ = τ∣∣∣t−3/2−1/2
= t− 1, για 1 < t ≤ 2.
• y(t) =∫ 1/2−1/2
dτ = τ∣∣∣1/2−1/2
= 1, για 2 < t ≤ 4
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 8
Σχήµα 19: Περιπτώσεις ΄Ασκησης 4.6 - 3
• y(t) =∫ 1/2t−9/2
dτ = τ∣∣∣1/2t−9/2
= 5− t, για 4 < t ≤ 5
• y(t) = 0, t > 5
΄Αρα συνολικά ϑα είναι
y(t) =
0, t < 1, t > 5t− 1, 1 < t ≤ 21, 2 < t ≤ 45− t, 4 < t ≤ 5
(4)
Το αποτέλεσµα ϕαίνεται στο Σχήµα 20.
Σχήµα 20: Αποτέλεσµα ΄Ασκησης 6
Παρατήρηση: Μπορούµε να περάσουµε την είσοδο από το h1(t), να ϐρούµε την έξοδο y1(t), και έπειτα να περά-σουµε την y1(t) από το h2(t) και να ϐρούµε την τελική έξοδο y(t).
7. Θεωρούµε το σύστηµαy(t) = T{x(t)} = 2x(t+ 1)− ex(t) (5)
Εξετάστε αν είναι γραµµικό, αιτιατό, ευσταθές, στατικό, και χρονικά αµετάβλητο.
Λύση:Για τη γραµµικότητα, έχουµε
y1(t) = T{ax1(t)} = 2ax1(t+ 1)− eax1(t)
y2(t) = T{bx2(t)} = 2bx2(t+ 1)− ebx2(t)
και
y(t) = T{ax1(t) + bx2(t)} = 2(ax1(t+ 1) + bx2(t+ 1))− eax1(t)+bx2(t)
= 2ax1(t+ 1) + 2bx2(t+ 1)− eax1(t)ebx2(t) 6= y1(t) + y2(t)
-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2016-17/Λυµένες Ασκήσεις 9
άρα το σύστηµα είναι ΜΗ γραµµικό.
Για την αιτιατότητα, το σύστηµα δεν είναι αιτιατό, γιατί η έξοδος y(t) εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου.Για παράδειγµα, y(0) = 2x(1)− ex(0), χρειαζόµαστε το x(1), δηλ. µια µελλοντική τιµή, για να υπολογίσουµε τηy(0).
Για την ευστάθεια, αν |x1(t)| < Bx τότε |y(t)| = |2x(t + 1) − ex(t)| ≤ 2|x(t + 1)| + |ex(t)|, λόγω τριγωνικήςανισότητας. ΄Αρα
|y(t)| ≤ 2|x(t+ 1)|+ |ex(t)| < 2Bx + eBx = Byάρα είναι ευσταθές.
Για τη στατικότητα, το σύστηµα δεν είναι στατικό (δηλ. είναι δυναµικό), γιατί η έξοδος τη χρονική στιγµή tεξαρτάται από τη χρονική στιγµή t + 1 της εισόδου. Με άλλα λόγια, χρειαζόµαστε µνήµη για να υλοποιήσουµεαυτό το σύστηµα.
Τέλος, για την χρονική αµεταβλητότητα, έστω ότι η είσοδος του συστήµατος είναι η x(t − t0), τότε η έξοδος ϑαείναι
y(t) = T{x(t− t0)} = 2x(t− t0 + 1)− ex(t−t0)
Η καθυστέρηση κατά t0 της εξόδου δίνεται ως
y(t− t0) = 2x(t− t0 + 1)− ex(t−t0) = T{x(t− t0)}
άρα το σύστηµα είναι χρονικά αµετάβλητο.