hydraulik i ideale fluide kontinuität impulssatz energiesatz w. kinzelbach
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Hydraulik I
Ideale Fluide
Kontinuität Impulssatz Energiesatz
W. Kinzelbach
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Hydrodynamik idealer Fluide
Instationär v(x,t), p(x,t) ungleichförmigStationär v(x), p(x) gleichförmig
Stromlinie: In jedem Punkt tangential zu Geschwindigkeitsfeld Stromröhre: Mantel besteht aus StromlinienBahnlinie: Trajektorie eines FüssigkeitsteilchenStreichlinie: Verbindungslinie aller Teilchen, die einen festen
Punkt passiert haben
Differentielle Betrachtung
Betrachtung amKontrollvolumen
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Hydrodynamik idealer Fluide
Bei stationärer Strömung sind Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch.
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Stromlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
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Bahnlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
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Streichlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
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Stromlinien, laminare Strömung
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Laminar-turbulent
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Ablösung
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Hydrodynamik idealer Fluide
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Bahnlinien inWellen
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Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(1)
( )gespeicherte Masse Massenfluss Massenflussraus rein 0
0)()()(
z
v
y
v
x
v
tzyx
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Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(2)
0z
v
y
v
x
v zyx
= constant
0 v Inkompressibilitäts-
bedingung
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Kontinuitätsgleichungan Kontrollvolumen
Stationäre Verhältnisse: ausauseinein vAvAQ
Kontrollvolumen (geschickte Wahl: Stromlinien senkrecht oder parallel zum Rand)
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Impulssatz (Differentiell)(1)
Dv
Dta fi
Lagrange‘sche Betrachtung (im mitbewegten Koordinatensystem)
Dt
vDv
z
vv
y
vv
x
v
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
vtxta
eunigungBahnbeschltxta
indigkeitBahngeschwtxtv
Bahnkurvetztytxtx
zyx
))(,(
))(,(
))(,(
))(),(),(()(
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Impulssatz (Differentiell)(2)
Lokale Beschleunigung
Advektive Beschleunigung zyx vz
vv
y
vv
x
v
t
v
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Impulssatz (Differentiell)(3)
ifaDt
vD
fi Kraft pro Volumeneinheit
Bei idealem Fluid nur Druck- und Gewichtskraft
Druckkraft/Volumen
Schwerkraft/Volumen
pfDruck
gf tSchwerkraf
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Impulssatz (Differentiell)(4)
gp
vvt
v
)(
Eulersche Bewegungsgleichung
zgg ),0,0(mit
Phgzg
pgvv
t
v
)()(
Zusammen mit Kontinuitätsbedingung 4 Gleichungen für 4unbekannte Funktionen p (bzw. hp) und vx,vy,vz
+ A.B.+ R.B.
Unterschiede in hp
treiben die Strömung an
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Anwendung
Niveaufläche des Drucks:
0
sdpdzz
pdy
y
pdx
x
pdp
Mit Eulergleichung:
0)( sdzgasdp
Beispiel 1:
a
gaa
dx
dzgeneigt henNiveaufläc)0,0,(
Beispiel 2:
konstantza henNiveaufläc0
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Anwendung
Beispiel 3:
Niveaufläche: Rotationsparaboloid
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Impulssatz (am Kontrollvolumen)
F
dI
dti 0Newton:
Impulsfluss im Eintrittsquerschnitt
= Impulsfluss im Aus- trittsquerschnitt
Q = Durchfluss = v A
Äussere Kräfte:
pA = Druckkräfte K = Mantelkräfte G = Gewicht
1I
2I
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Bernoulligleichung (verlustfrei)
Energiehöhe = Energie pro Gewichtseinheit des Fluids
Gesamtenergie eines Fluidvolumens =Lageenergie + Druckenergie + kinetische Energie
)2
(2
g
v
g
pzMgE
g
vh
g
v
g
pzH P 22
22
Satz von Bernoulli: H1 = H2
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Bernoulligleichung (verlustfrei)
Herleitung aus Eulergleichung
)(2
)(2
vvv
vv
)(2
02
vvg
vz
g
pg
mit
und Stationarität der Strömung
Bernoulli gilt in rotationsfreier Strömung zwischenzwei beliebigen Punkten sonst zwischen zwei Punkten auf einer Stromlinie
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Bernoulli am Kontrollvolumen
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Behälterauslauf
H1 = H2
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Strahl gegen Wand
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Strahlumlenkung
Doppelte Kraftübertragung
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Querschnittserweiterung
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Borda-Öffnung
Gesucht: Kontraktionskoeffizient cc=A2/A1
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Horizontaler Krümmer
Gesucht: Reaktionskraft W