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Hydrodynamik (A) Dynamik ist der Teil der Mechanik, der insbesondere die Ände-rung des Bewegungszustandes von Körpern - infolge der Einwir-kung von Kräften - behandelt.In der Fluiddynamik (Mechanik der Flüssigkeiten und Gase) wird angenommen, dass Fluide zwar aus Teilchen bestehen. Sie kön-nen aber als sogenanntes Kontinuum behandelt werden, - also den Raum zusammenhängend ausfüllende Materie. Dabei stellt die Formänderung den Regelfall dar.Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung wird die Dynamik nur bezo-gen auf Flüssigkeiten (insbesondere Wasser) behandelt.Bewegungen sind generell durch die Existenz von Geschwindig-keiten v und Beschleunigungen a gekennzeichnet. Wird mit s die Weglänge und mit t die Zeit bezeichnet, ist die
dtdsv = und die Beschleunigung:
2
2
dtsd
dtdva ==Geschwin-
digkeit:
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Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der beiden Veränder-lichen s und t.Dann lautet das totale Differential (Zuwuchs der Funktion v(s,t) um ds in s-Richtung und dt in t-Richtung):
dttvds
svdv ⋅+⋅=
δδ
δδ
Die substantielle Beschleunigung ist demnach:
dtdt
tv
dtds
sv
dtdva ⋅+⋅==
δδ
δδ
tvv
sva
δδ
δδ
+⋅=
vsv
⋅δδ
tv
δδ
= konvektive Beschleunigung und
Man nennt
= lokale Beschleunigung.
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Instationäre Strömungen:Im allgemeinen in Systemen mit beiden Beschleunigungsarten (Substantielle Beschleunigungen). Insbesondere ändert sich anbestimmten Orten die Geschwindigkeit über der Zeit.
Beispiele: Füll- und Entleerungsvorgänge bei Behältern (Schleu-senkammern, Talsperren), Wasserwellenbewegung. ( Hydromechanik II)
Geschwindigkeit v
Zeit t∂∂
≠vt
0Instationäre Strömung:
v konst≠ .
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Stationäre Strömungen:Es liegen ausschließlich konvektive Beschleunigungen vor. Das instationäre Glied ist gleich Null:
An einem bestimmten Ort ändert sich die Geschwindigkeit v nichtüber der Zeit t. Die Geschwindigkeit kann sich aber von Ort zu Ort ändern.Stationäre Strömungen werden in der Hydromechanik I aus-schließlich behandelt.
Geschwindigkeit v
Zeit t
∂∂
=vt
0
Stationäre Strömung
v konst= .
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Kontinuitätsgleichung:
Der füssigeInhalt einer “Stromröhre”wird “Stromfaden”genannt.
Bei stationärer Strömung ei-ner inkompressiblen Flüssigkeit dringt in der Zeiteinheit dt in ein Kontrollvolumen (zwischenA1 und A2) das gleiche ele-mentare Volumen dV ein, dasin der gleichen Zeiteinheit auch wieder austritt:
dtvAdtvAdV ⋅⋅=⋅⋅= 2211
2211 vAvA ⋅=⋅
Der Durchfluss Q (in Volumen pro Zeiteinheit, z.B. in m3/s) ist konstant:
.konstvAQ =⋅=
v1A1
A2
v2
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Anwendung auf kompressible Medien:
Bei kompressibler Flüssigkeit (Gas) tritt an die Stelle desVolumens die ein- und austretende Masse.
Der Massenstrom QM (z.B. in t/s) bleibt konstant:
222111 vAvA ⋅⋅=⋅⋅ ρρ
.konstvAQM =⋅⋅= ρ
Dies ist der Satz von der Erhaltung der Masse. Demnach ist die Kontinuitätsgleichung der Hydromechanik einebesondere Form dieses Satzes für inkompressible Flüssigkeiten, die dadurch gekennzeichnet sind, dass
.konst=== ρρρ 21
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Zweidimensionale Strömung:
Die Formulierung der Kontinuitätsbedingung für eine ebene (zwei-dimensionale) Strömung greift auf die Darstellung eines Strö-mungsfeldes mit Hilfe von Stromlinien zurück. Unter den oben dargestellten Strömungsbedingungen herrschtauf den Seiten AB und BC des infinitesimalen Rechteckes ABCDEinstrom und auf den Seiten CD und DA Ausstrom.
x
y
dy
dx
BeliebigesStrömungsfeld
A
B C
D
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Die Strömungsgeschwindigkeit ändert sich sowohl in x- als auch in y-Richtung mit dem Ort: ( konvektive Beschleunigung)
ydxdy
yv
v yy ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+
δδ
dydxxvv x
x ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
δδ
v dyx ⋅
v dxy ⋅
Ausstrom
Einstrom
xEinstrom = Ausstrom
v dy v dx v dxvy
dy dx v dy vx
dx dyx y yy
xx⋅ + ⋅ = ⋅ +
∂∂
⋅ ⋅ + ⋅ +∂∂
⋅ ⋅
0 1=∂∂
⋅ ⋅ +∂∂
⋅ ⋅ ⋅⋅
vy
dy dx vx
dx dydx dy
y x
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Kontinuitätsgleichung für zweidimensionale Strömungen:
0=+yv
xv yx
δδ
δδ
In Worten:Die Summe der Änderungen der Geschwindigkeitskomponenten bezüglich der Kordinatenrich-tungen (partiellen Ableitungen) ist gleich Null.
Kontinuitätsgleichung für dreidimensionale Strömungen:
0=++zv
yv
xv zyx
δδ
δδ
δδ
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Allgemeine Aussage der Kontinuitätsgleichung:
.konstvAQ =⋅=
Die Strömungsgeschwindigkeit wird umso höher, je kleiner der Durchströmquerschnitt A ist:
AQv =
Beispiel: Q = 1m3/s = konst.
A1 = 1m2; v1 = Q/A1 = 1m/s
A2 = 0,1m2; v2 = Q/A2 = 10m/s
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Beispiel: Kontinuitätsgleichung
gegeben:
smv /,500 =
mD 501 ,=smv /31 =
mL 012 ,=
mBmL
0,10,1
2
2
=
=
mB 013 ,=smv /,403 =
gesucht:D0 , Q, v2, h3
.konstvAQ =⋅=
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003
2
11 58904
503 AvsmAvQ ⋅==⋅
⋅=⋅= /,,π
mDAvQ 22515045890
000 ,,
,=
⋅⋅
=→⋅=π
smAQv /,, 5890
115890
22 =
⋅==
mhhBA
Qv 47314001
589058903
3333 ,
,,,,
=⋅
=→⋅
==
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Energiesatz: Satz von der Erhaltung der Energie.Ableitung des Energiesatzes (synthetisch)Der Energiesatz folgt als ein sog. intermediäres Integral (= Zwischenform) aus der NEWTONschenGrundgleichung. amF ⋅=Für reibungsfreie, stationäre und zweidimensionale Strömung:
Isaac Newton (1643-1727)
mg.sinα
mg
A
α
p
p+dp
dsy
xα
Aαdx
dyds
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mg.sinα
mg
Es wird aus einem beliebig gefom-ten Stromfaden in der x-y-Ebeneein infinitesimales Element derLänge ds herausgeschnitten unddie Kräfte in Bewegungsrichtungbetrachtet.Die resultierende Kraft ergibtsich zu
AA
dpAgmF ⋅−⋅⋅= αsinSchwerkraft-
anteilDruck-anteil
A ist dabei der (beliebige) Durchflussquerschnitt des Stromfadens.Der (unbekannte) Druck ändere sich auf dem Wege ds um dp.Der Druckanteil ist bei der Drucksteigerung dp negativ, weil einpositiver Druckanstieg der Bewegung entgegenwirkt.
α
p
p+dp
ds
(Reibungskräfte etwa an den Begrenzungen entlang ds bleibenunberücksichtigt !)
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dpAgmF ⋅−⋅⋅= αsinEs wird zunächst die rechte Seite der Gleichung betrachtet:Die Masse des herausgeschnittenen Elementes ist
dsAdVm ⋅⋅=⋅= ρρDa eine Betrachtung in der sich mit dem Wege s ändernden Be-wegungsrichtung im x-y-Koordinatensystem ungünstig ist, wird ds ausgedrückt durch
αcosdxds =
Es wird dpAgdxAamF ⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅= αα
ρ sincos
und weiter
dpAgdxAamF ⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅= αρ tanBei der gewählten Geometrie ist die Steigung der Bahnlinie nega-tiv (stumpfer Komplimentärwinkel zu α), d.h.,
dxdyy −=′−=αtandamit ist
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dpAdxdygdxAamF ⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅⋅⋅=⋅= ρ
dpAdygAamF ⋅−⋅⋅⋅−=⋅= ρLinke Seite der Gleichung:Mit a = dv/dt wird
dtdvdsAamF ⋅⋅⋅=⋅= ρ
Darin ist ds/dt = v und es wird dvvAamF ⋅⋅⋅=⋅= ρ
Linke Seite = rechte Seite:
gAdpAdygAdvvAF
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅=
ρρρ 1
gdpdy
gdvv
⋅−−=
⋅ρ
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gdpdy
gdvv
⋅−−=
⋅ρ
Umgestellt und Integration:
∫∫∫ =⋅+⋅
+ 011 dvvg
dpg
dyρ
ergibt bei unbestimmter Integration:
02
2
=+⋅
+⋅
+ Cg
vg
pyρ
Energiesatz:
Cg
vg
py =⋅
+⋅
+2
2
ρ
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Die Integrationskonstante C ist frei wählbar und wird hier durch die Wahl eines “Bezugshorizontes” y = 0 (als Randbedingung) be-stimmt. C = hE ist dann die Höhe des Energiehorizontes über demBezugshorizont. Sie wird als Gesamthöhe hE bezeichnet und istfür das Gesamtsystem konstant.Bei bestimmter Integration bezüglich zweier Stellen 1 und 2 des Stromfadens wird:
011 2
1
2
1
2
1
=⋅+⋅
+ ∫∫∫ dvvg
dpg
dyρ
( ) ( ) 022
11 21
22
1212 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−⋅
⋅+−
vvg
ppg
yyρ
gv
gpy
gv
gpy
⋅+
⋅+=
⋅+
⋅+
22
211
1
222
2 ρρ
Nach Umstellung lautet die Höhenform des Energiesatzes:
Orts-höhe
Druck-höhe
Geschwin-digkeitshöhe
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Die Ortshöhe y[m]repräsentiert die Potentielle Energie (Energie der Lage). Sie ist die mit einem Vorzeichen behaftete Entfernung des betreffenden Schwerpunktes des Durchströmquerschnittes vom Bezugshori-zont y = 0. Sie bezeichnet die Lage der zentralen Stromlinie.Die Druckhöhe p/γ = p/ρg [m]repräsentiert die Druckenergie. Sie erstreckt sich vom Schwer-punkt des Durchströmquerschnittes aus positiv (nach oben) für Druckspannungen p > pB (= barometrischer Luftdruck) und negativ für Druckspannungen p < pB , d.h., für Unterdrücke.Sie bezeichnet die Lage der Drucklinie.Die Geschwindigkeitshöhe v2/2g [m]repräsentiert die Kinetische Energie. Sie ist positiv und erstreckt sich zwischen der Drucklinie und der Energielinie. Die Gesamthöhe hE [m]repräsentiert die Summe aller Energieanteile. Sie erstreckt sich zwischen Bezugshorizont und Energielinie.
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Beispiel: Reibungsfreie Strömung in einem geneigten Rohr; Bezugshorizont y = 0 im Schwerpunkt von Querschnitt A1
Wird der frei wählbare Bezugshorizont in den Schwerpunkt einesRohrquerschnittes gelegt, wird hier die Ortshöhe gleich Null.
gv
gpy
gv
gpyhE ⋅
+⋅
+=⋅
+⋅
+=22
222
2
211
1 ρρ
Bezugshorizont
Energiehorizont
1 2
Energielinie
Druckliniev
g22
2 ⋅
pg
2
ρ ⋅vhE
Druckspannung
y = 0
Druckrohrleitung
y2
vg
12
2 ⋅
pg1
ρ ⋅hE
Da D1 = D2, ist auchv2/2g = konst.
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Beispiel: Horizontale Rohrströmung mit Durchmesser D rei-bungsfrei; Bezugshorizont y = 0 in Höhe der Rohrachse.
Wird der frei wählbare Bezugshorizont in die horizontale Rohr-achse gelegt, sind beide Ortshöhen gleich Null.
gv
gpy
gv
gpyhE ⋅
+⋅
+=⋅
+⋅
+=22
222
2
211
1 ρρ
Bezugshorizont
EnergiehorizontEnergielinie
Druckliniev
g
2
2 ⋅
pgρ ⋅
hE
v
1 2
hE
Druckspannung
y = 0
Druckrohrleitung
Da D1 = D2, ist auchv2/2g = konst.
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Beispiel: Horizontale Freispiegelströmung reibungsfrei; Bezugshorizont y = 0 in Höhe der Sohle
Für alle Stromlinien ist v(y) = konst. und die hydrostatische Druck-spannung p = γ.(h - y). Es wird dann
gvyhy
gvpy
⋅+−+=
⋅++
2)(
2
22
γDer Energiesatz für Freispiegel-gerinne vereinfacht sich: .konsth
gvh E ==⋅
+2
2
Randstromlinie Soh-le = Bezugshorizont
Energiehorizont
1 2
Druckliniev
g
2
2 ⋅vhE
hEy =0
p = γ .h
Freispiegelgerinne
h
Energielinie
yp(y) = γ.(h - y)
Stromlinie
Randstromlinie= Wasserspiegel