hyperbolic geometry

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Geometria Hyperbolica Cortes Jimenez Claudio Amaury 20/Mayo/2012 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE CIENCIAS Departamento de Matematicas GEOMETRIA ANALITICA II Prof. Juan Gabriel Ochoa Petatan Proyecto Final 1

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Page 1: Hyperbolic Geometry

Geometria Hyperbolica

Cortes Jimenez Claudio Amaury

20/Mayo/2012

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DEMEXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

Departamento de Matematicas

GEOMETRIA ANALITICA II

Prof. Juan Gabriel Ochoa Petatan

Proyecto Final

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Dedicado a mis padres Claudio Edmundo Cortes Godinez y Maria TeresaJimenez Davalos, a mi familia, amigos y todas las personas que me han apoyado.

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1 INTRODUCCION

Geometria Hiperbolica, fue introducida en la primera mitad del Siglo XIX, enmedio de intentos para entender las Bases Axiomaticas de Euclides para lageometria. Es aquella, la Geometria No-Euclideana , que descarta uno de losAxiomas de Euclides . Einstein y Minkowski encontraron en la Geometriano-Euclideana, bases geometricas para el entendimiento fisico del tiempo y delespacio. En la primer parte del Siglo XX, la mayoria de todos los estudiantesMatematicos, y Fisicos, serios estudiaban Geometria No-Euclideana.Con elpaso del tiempo se ha convertido mas y mas aparente negativamente que lasgeometrias curveadas, de las cuales, la Geometria No-Euclideana Hiperbolico,es el prototipo, son las formas, genericas de la geometria, Ellas handemostrado aplicaciones al estudio de Variable Compleja, de la topologia dedos y tres timensiones, al estudio grupos infinitos(presentados como finitos),en la Fisica, y en otros campos de las Matematicas.

1.1 El Origen de la Geometria Hiperbolica

Nota:(De:Geometria No-Euclideana de Roberto Bonola, Dover Publications,1955.) Historicamente, es reconocido, que los tres fundadores de la GeometriaHiperbolica: Carl Frederick Gauss(1777-1855), NicolaiLobachevsky(1793-1856), y Johann Bolyai (1802-1860). Documentoshistoricos,(Principalmente las cartas de Gauss a otros Matematicos) parecenindicar que Gauss fue el primero en entender que hay una manera alternativaa la Geometria Euclideana. Citando a Bonola: ”Gauss fue el primero en teneruna clara vista de la Geometria indepedientemente del Quinto Postulado, peroesto permanecio por cincuenta aos concebido en la mente de este grangeometra, y fue revelado despues de los trabajos de Lobatschewsky(1829-30) yJ. Bolyai (1832) aparecieron”. Basado en varios pasajes de las cartas de Gauss,uno puede decir que empezo sus pensamientos en la Geometria No-Euclideanaen 1792. Sin embargo, Gauss, no reconocio la existencia logicamente solida dela Geometria por intuicion, o por un flash o por ser genio, si no por aos depensamiento, en el cual sobrepaso el prejuicio universal en contra alternativasal Postulado del Paralelo(de aquel entonces). Gauss desarrollo los teoremasfundamentales de la ”nueva geometria” poco tiempo despues de 1813. Sinembargo, en su correspondencia, Gauss le pedia a sus colegas que mantuvieranen silencio de sus resultados. Sin embargo ”a traves de toda su vida fallo enpublicar cualquier cosa al respecto” [Una Introduccin a la Historia de lasMatemticas, 5 edicin, por Howard Eves, Saunders College Publishing, 1983]

Nota:(De Eves) Johann Bolyai fue un oficial hungaro en el EjercitoAustraliano, hijo de Wolfgang Bolyai, un profesor de matematicas y amigo de

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Gauss. Bolyai en su edad adulta, presento un manuscrito a su padre y en1832, ese papel aparecio como un apendice al primer volumen del trabajo desu padre. El papel de titulo ”La Ciencia del Espacio Absoluto”. Bolyai nopublico nada posteriormente.

Nota:(De Eves y Bonola.)Nicolai Lobachevsky fue un ruso Profesor deMatematicas en la uiversidad de Kasan. En Febrero 12 de 1826, dio unaplatica a la Seccion Fisico-Matematica de la Universida de Kasan. El describea la geometria en cuyos dos paralelos a una linea dada, pueden ser trazados, atraves de un punto que no este en la linea. Un manuscrito de esta lectura no esconocido, pero en 1829-30 Lobachevsky publico ”De los Principios deGeometria” en el Boletin de Kasan, que contenia las ideas de la lectura yaplicaciones a posterior. Esta fue la primer publicacion de GeometriaNo-Euclideana. Sin Embargo, este trabajo recibio poca atencion en Rusia ypracticamente ninguna en alguna otra parte. Durante los 1830’s, publico otroscuatro trabajos de Geometria. Esperando ampliar su audiencia, publico”Investigaciones Geometricas de la Teoria de Paralelas” en 1840 en aleman.En 1855 publico una completa exposicion de su geometria en frances.Lobachevsky murio en 1856 y no vivio para ver su trabajo ampliamenteaceptado. De hecho, Johann Bolyai ni siquiera supo de la existencia deltrabajo de Lobachevsky, hasta 1848.Gauss y Lobachevsky estuvieron juntos en Brunswick, Alemania, por dos aos(1805 y 1806) y correspondio despues. Es razonable que Gauss tuviera unainfluencia en el pensamiento de Lobachevsky (aunque Gauss no solifico susideas hasta 1806). Lobachevsky es parcialmente reconocido por la GeometriaHiperbolica en la primera mitad del Siglo XIX .

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1.2 El Postulado de Paralelismo Hiperbolico

Los angulos de un cuadrilatero de Saccheri son agudos. Como el Postulado deParalelismo Hiperbolico es la negacion del Postulado de Paralelismo deEuclides ( se tiene por teorema [los ngulos superiores o bien deben de serangulos rectos o angulos agudos]). Asi que la negacion de cualquier cosaequivalente al Postulado de Paralelismo de Euclides, sera una propiedad de laGeometria Hiperbolica. Por ejemplo, podemos concluir:

(1) Existen lineas paralelas que no son equidistantes la una de la otra.

(2) Una linea y un punto que no estan en la linea existen tal que mas de unalinea paralela pasa a traves de ese punto.

(3) Triangulos similares son siempre congruentes.

1.3 Propiedades que funcionan y no funcionan en la Ge-ometria Euclideana

Teorema A1 En un Cuadrilatero de Saccheri, el superior es mas largo que labase y el segmento uniendo los puntos medios, es mas corto en cada brazo.

Demostracion A1 Permite a los Puntos E y F ser los puntos medios de labase del superior, respectivamente. ⇒ EF es ⊥ a la base y al superior porTeorema A1. Como ∠C y ∠D son agudos, ⇒ AD > EF en el cuadrilateroAEFD y BC > EF , en el cuadrilatero EBCF , por Teorema A1.1 [ En uncuadrilatero con una base, si los brazos relativos a la base son no iguales,⇒lomismo pasara con los angulos superiores,y, a la inversa, el mayor de losangulos superiores, siempre estando opuesto al brazo mayor]. Asi que EF esmas pequeo que cada brazo. Ahora considera el cuadrilatero AEFD yteniendo brazos AE y DF . Por teorema A1.1 que DF > AE. Analogamente,para el cuadrilatero EBCF , obtenemos FC > EB.

∴ combinando las dos desigualdades, DF + FC > AE + EB o DC > AB, y elsuperior es mas largo que la base.

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Nota: En la construccion previa, tenemos EF como un corte transversal DCy AB, con angulos iguales alternos, ⇒ por Proposicion A’.1, que DC y ABson ‖. Como AD > EF y BC > EF , vemos un ejemplo especifico de lineasparalelas que no son equidistantes (la definicion de distancia parece diferiraqui, medimos la distancia de una linea l a la linea g en el punto A en la lineal midiendo la distancia del segmento de linea AD donde AD es ⊥ a la linea l yel punto D es el punto donde AD Y g se intersectan, si es que intersectan). �

Teorema A2 Un Cuadrilatero de Lambert es un cuadrilatero, con tresangulos rectos. El cuarto angulo, de un Cuadrilatero de Lambert es agudo ycada lado adyacente a el, es mas largo que el lado opuesto.

Nota: Tenemos por Proposicion A’.1 que si dos lineas tienen un comun ⊥, ⇒son ‖. Inversamente, a pesar de que, en la Geometria Hiperbolica, las lineasparalelas a veces tienen un comun perpendicular y otras no.

Teorema A3 Si dos lineas paralelas tienen un comun perpendicular, ⇒ nopueden tener una segunda perpendicular comun.

Demostracion A3 Si dos lineas tienen dos comunes ⊥, ⇒ forman unCuadrilatero de Lambert con cuatro angulos rectos, contradiciendo el teoremaA2.

Nota: Dos lineas seran paralelas, con un comun ⊥, si hay un transversal quecorte a las lineas, de tal manera que formen angulos interiores alternos, oangulos iguales correspondientes. �

Teorema A5 La distancia entre dos paralelas con un comun ⊥, es menorcuando es medido a traves de la ⊥. La distancia de un punto en, cualquierparalela al otro incremente mietnras el punto reside de la ⊥ en cualquierdireccion. (Por ”distancia” de un punto a una linea significa, la logitud de unsegmento de linea desde la linea al punto, y ⊥ a la linea.)

Demostracion A5 Permite a g y h ser las lineas paralelas con comun ⊥ quese encuentra con ellos en los puntos E Y F , respectivamente. Permite B sercualquier punto en h otro que F y construye una perpendicular a g a traves deB(Proposicion A’.2 y permite a C ser el punto donde la perpendicular seencuentra con g.

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Como ECBF es un cuadrilatero de Lambert, ∠1 es agudo y BC > FE(Teorema A2). Asi que la distancia desde h a g es menor que cuando es medidaa traves del comun ⊥, que a traves de cualquier otra perpendicular de h a g.

Despues, escoge cualquier punto B′ en h, tal que B este entre F y B′. PermiteC ′ ser la ”proyeccion de B′ en g” (construido similar al punto C de abajo).⇒ ∠3 es agudo porque EC ′B′F es un cuadrilatero de Lambert. Tambien ∠2es obtuso porque como, ∠1 es agudo, y tambien ∠2 < ∠3 en el cuadrilateroBCC ′B′ y por Teorema A’1, B′C ′ > BC y la distancia entre g y h incrementacomo lo descrito.

Nota: Podriamos pensar en lineas paralelas con una ⊥ como ”desviandose” launa de la otra:

⇒ Un Cuadrilatero de Saccheri se ve asi:

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y un Cuadrilatero de Lambert se ve de este manera:

Podemos pensar en triangulos:

Nota: Lo siguientes es muy claro en contradiccion al resultado de lageometria Euclideana llamado Teorema de Playfair.�

Teorema A6 Dada cualquier linea y cualquier punto no, en ella, por ahipasan infinitas lineas a traves del punto que son paralelos a la linea y tienenuna comun ⊥ con ellos.

Demostracion A6 Permite a g ser la linea y F un punto no en ella. Si E esla proyeccion de F en g y la linea h es ⊥ a EF y F , ⇒ h es una linea a travesde F , que esPor Proposicion A’3, S esta entre P y Q. Asi que RS subdivide ∠ PRQ ytenemos dos ∆ PRS y QRS. Y en la parte de abajo, la suma de ∠ en estosdos ∆ es menor que

Demostracion A6 Permite a g ser la linea y a F ser un punto que no este enella. Si E es la proyeccion en F en g y linea h es ⊥ a la linea EF en F , ⇒ hes una linea a traves de F que es ‖ a g y EF es la comun ⊥.

Despues, toma un punto L1 en h a la derecha, digamos de F . Permite al puntoM1 ser la proyeccion de L1 en la linea g. ⇒ L1M1 ¿ EF por Teorema A3.Permite P1 ser el punto en L1M1 tal que M1P1 = EF . ⇒ EM1P1F es uncuadrilatero de Saccheri al igual que la linea FP1 y g son ‖ y tienen un comun

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⊥, por Teorema A’3:[La linea uniendo a los puntos medios de la base y elsuperior de un cuadrilatero de Saccheri es ⊥ a cada uno. La base y el superior∴ yacen en lineas paralelas teniendo un comun ⊥].Demostracion A’3. Permite a los puntos E y F ser los puntos medios deAB y CD, respectivamente. Los triangulos DEA y CBA son congruentes porlado-angulo-lado. Asi que DE = CE, ∠1=∠2, y ∠3=∠4. Asi que lostriangulos CEF y DEF son congruentes por lado-lado-lado. ∴ ∠5=∠6, asique ∠1 + ∠7 = ∠2 + ∠8 = 90. Asi que EF es ⊥ a AB y CD. ∴ AB y CD son‖ por Proposicion A’1, y EF es la ⊥ comun.

(La comun ⊥ esta basada en los puntos medios de FP1 y EM1).Analogamente, tomando L2 como punto de la derecha de F , y genera FP2 ‖ ag. Ahora la linea h es distinta a las FP1 y FP2 claramente. Necesitamosmostrar que FP1 y FP2, son distintos. Supongase lo contrario, que las FP1 yFP2 son las mismas. ⇒ existen tres puntos en esa linea, F , P1 Y P2, esta cadauno a la misma distancia de la linea g, contradiciendo uno de los problemas. ∴las lineas son distintas y para cualquier punto en h a la derecha o a laizquierda de F , existe una linea ‖ a g a traves de F . �

Nota: Enfocaremos ahora la atencion a los triangulos hiperbolicos. Hemosdiscutido que los angulos de un triangulo suman menos de 180, considerandonegativos de cosas logicamente equivalentes al Postulado de Euclides delParalelismo.

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Teorema A7:La Suma de los de los ∠ de cualquier ∆ es menor de 180.

Demostracion A7: Primero, considerese un ∆ recto ABC con un ∠recto C.Permite BD ser la linea a traves de B, tal que ∠1 = ∠2.

Las AC y AC son ‖ por la Proposicion A’1 y tienen un comun ⊥ por elTeorema A’2: Dos lineas seran ‖, con una comun ⊥, si existe una transversalque corte a las lineas de tal manera que forme ∠ interiores alternos iguales ∠iguales correspondientes. ⇐⇒, por este teorema, E esta en la AB, yAE = AB. Asi que, BCFG es un cuadrilatero de Lambert y ∠ CBG es agudopor el Teorema A2. =⇒ ∠1+∠3=∠2+∠3=∠ CBG < 90 ◦, o ∠1+∠3< 90 ◦.∴ en el ∆ PQR que no es un ∆ Recto. Por el Teorema A’3: Que la suma de∠ no excede a dos ∠ rectos, o 180 ◦. Tenemos por este Teorema que el ∆ PQRpuede tener a lo mas un ∠ obtuso y ∴ debe contener al menos dos ∠ agudos,digamos en P y Q. Permite a S ser la proyeccion de R en PQ. Por laProposicion A’3, que S esta entre P y Q. Asi que, RS subdivide ∠ PRQ ytenemos dos ∆ PRS y QRS. En la parte de abajo, la suma de ∠ en estos dos∆ es menor que 360 ◦. Con este razonamiento la suma de ∠ del ∆ PQR esmenor de 180 ◦. �

Nota. Para cualquier, σ ∈ (0, 180◦), ∃ un ∆ con la∑

de ∠ igual a σ.Informalmente, ∆ ”chicos” tienen una

∑de ∠ cercana a 180◦ y los ∆

”grandes” tienen una∑

de ∠ cercana a 0◦.

Teorema A7: ∃ ∆ con una∑

de ∠ arbitrariamente cercana a 180◦.

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Demostracion A7: Considerese cuaquier ∆ ABC y un punto variable Dentre A y B. Permite a D acercarse a A (aqui estamos usando asumpcionesinvolucrando continuidad y limites). =⇒ ∠ ADC se acerca a ∠ EAC, y ∠ACD se acerca a 0. ∴ mientras D se acerca a A, la

∑de ∠ ACD, ∠ ACD+∠

CDA+∠ CAD, se acerca a 0◦++ ∠ CAE++ ∠ CAD=180◦ generando a Dsuficientemente cerca de A. �

Teorema A8: La∑

de ∠ de cualquier cuadrilatero (convexo) es menor que360◦.

IDEA de la Demostracion A8: Podemos cortar el cuadrilatero en dostriangulos y aplicar el Teorema A6.�

Nota: Este resultado es ciertamente falso en la Geometria Euclideana.Podemos llamarlo angulo-angulo-angulo (A-A-A)

Teorema A9: Dos ∆ son congruentes, si los tres ∠ de uno son igualesrespectivamente a los otros tres ∠ del otro.

Demostracion A9: Considera ∆ ABC Y A′B′C ′ donde los ∠correspondientes son iguales. Supongase que AB > A′B′. Toma el punto D enAB tal que AD = A′B′. En AC, del mismo lado de A o C, toma el punto Etal que Ae = A′c′. →, por construccion, ∆ A′B′C ′ y ADE son congruentes.=⇒ ∠ ADE= ∠ B y ∠ AED= ∠ C.

Ahora, si el punto E NO esta entre los puntos A y C, tenemos un ∆ en dondeun angulo exterior, es igual al un angulo opuesto interior, contradiciendo la

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Proposicion A’3. Asi que el punto E esta entre los puntos A y C. → en elcuadrilatero BCED la

∑de ∠ es igual a 360◦, contradiciendo el Teorema A8.

Concluimos que AB = A′B′ Analogamente con AC = A′C ′ y BD = B′C ′. ∴∆ ABC y A′B′C ′ son congruentes. �

Nota: Discutiremos el Area de los ∆ en Geometria Hiperbolica. En principio,define el defecto de un triangulo, ser la cantidad por la que la

∑de ∠ es

menor que 180◦. Recordemos que el area esta pensada en terminos decuadrados, y los cuadrados no existen en la geometria hiperbolica. Asi que enlugar de pensar en cuadrados dando areas, tendremos que lidar con ∆,(recuerdese, que los ∆ son congruentes cuando sus ∠ correspondientes soniguales). Con este razonamiento de ”Area”, tenemos que el Area A de un ∆ esproporcional a su defecto D: A = kD. El parametro k, nos da una constantefundamental para la Geometria Hiperbolica, es facil distinguir cuando dostriangulos hiperbolicos tienen la misma Area.

Teorema A10: Dos ∆ tienen la misma Area ⇔ tienen la misma∑

de ∠.

Nota: Por los ultimos 100 o 150 anos, los matematicos han pensado ensistemas axiomaticos abstractos, independientes de nociones precondebidas, yespecialmente, independiente de el uso (necesario) de imagenes. La GeometriaEuclideana es un sistema independiente de los puntos, las lineas o circulos enel papal, al igual que el Plano Cartesiano y sus Coordenadas. Sin embargo,usamos el Plano Cartesiano como un modelo de Geometria Euclideana,usaremos este modelo para ayudar a la vizualizacion de las propiedades de estesistema Axiomatico. Buscamos un Modelo Similar para la GeometriaHiperbolica.

1.4 Primer modelo de Geometria Hiperbolica

Nota: (De:Fundamentos de Geometria Euclideana y No-Euclideana,Faber,Richard El primer modelo de geometria hiperbolica se debe a EugenioBeltrami(1835-1900). En 1868 el publico su Ensayo de la Interpretacion deGeometria No-Euclideana en donde describio una superficie en el EspacioEuclideano, que da una representacion pacial de el plano hiperbolico. Lasuperficie es llamada pseudoesfera y se construye de la siguiente manera:Permite a una caja colocada en el plano xz en la posicion (1,0)m con unacadena de tamano unitario pegado a ella. Empezamos con el otro lado de lacadena en el punto (0,0) y mueve ese extremo al eje z, arrastrando a la cajaconsigo. El camino puede describirse parametricamente como ((x)t, z(t))= (sin t, cos t+ ln((tan( t2 )), t ∈

(0, π2

].

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Esta curva se llama tractrix o ”curva de arrastre”. Si resolvemos la curva alrededor del eje z para generar una superficie en el Espacio TridimesionalEuclideano, obtenemos la superficie en(en terminos de parametros u y v):(x(u, v), y(u, v), z(u, v))=

(sinu cos v, sinu sin v, cosu+ ln(tan(u2 ))

).

Esta superficie es la Pseudoesfera.

Nota: En el modelo de la Pseudoesfera, ”puntos” son puntos en la superficie,”lineas”, son geodesicas en la superficie, y el ”plano” es la superficie encuestion. Un ejemplo de lineas en la superficie, son secciones de cruz, que sontractrices. La pseudo esfera tiene dos propiedades: Una Deseada y unaIndeseada. La deseada es la homogeneidad: Tiene una curvatura uniforme (lacurvatura en cualquier punto es -1). La propiedad indeseada es que tiene unborde y las lineas no pueden extenderse indefinidamente desde todos lospuntos. Analogamente, podemos pensar que tomando una pieza de la mitaddel Plano Euclideano y enrollarlo en un cilindro (Planos Euclideanos y talescilindros tiene Curvatura 0) La pseudoesfera es una pieza del plano hiperbolicoque ha sido enrollada en un cilindro hiperbolico (La curvatura del planohiperbolico y de la pseudoesfera son ambos -1.... o por lo menos ambos sonnegativamente constantes, si modificamos un poco las cosas). Asi que lapseudo esfera es solo un modelo ”local” para el Plano Hiperbolico. De hechoDavid Hilbert, en 1901, probo, que No Existe en el espacio EuclideanoTridiensional una superficie suave cuya geometria geodesica, represente todo elplano hiperbolico, pero Beltram convencio a matematicos que la GeometriaHiperbolica de Lobazhevsky era consistente como la de Euclides.

Nota: Una superficie que tiene curvatura Cero es plana. Para una superficieno plana, podemos descrivir la cuvatura en el punto P , considerando planostangentes a la superficie en el punto P . Si un plano tangente a una superficieen el punto P tiene la superficie yaciendo enteramente en un lado del pano enuna borrada vecindad de P , ⇒ la superficie tiene curvatura positiva en elpunto P . Por ejemplo una esfera tiene una curvatura constante en cada punto.Si un plano tangente a la superficie en el punto P tiene parte de la superficiede un lado del plano y la otra del otro lado, para cualquier vecindad borradade P , ⇒ la superficie tiene curvatura negativa. Por ejemplo, la Silla de Montaren el Espacio Tridimensional Euclideano con formula z = x2 − y2 tiene unacurvatura negativa en todos los puntos. Sin embargo, la curvatura no es

constante en la silla de montar. La curvatura es mas extrema en el punto de lasilla de montar (0,0,0) donde es -1, y es menos extremo (mas cercano a 0) maslejos de el punto de silla de montar (donde es mas cercano a una superficieplana) ESTO es por lo que la Silla de montar no se puede usar como modeloen la Geometria Hiperbolica!!!. No es una superficie con curvatura constante,y, si, por ejemplo, tomamos el ∆ y lo deslizamos a traves de la superficie, ⇒ su

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∑de ∠ cambiara mientras la longitud de las orillas permanece igual.

Definicion A1

El modelo de Disco de Poincare de la Geometria Hiperbolica, representa al”plano”, como un disco unitario abierto, ”puntos” del plano son puntos en eldisco.

Nota: Podemos usar el modelo para ilustrar algunos resultados de lageometria hiperbolica. La figura de abajo tiene dos lineas a traves del puntoP , ambos de los cuales son paralelos a la otra linea l, ∴ ilustra la negacion delTeorema de Playfair. Para ver que la

∑de ∠ es menor de 180◦ considera lo

siguiente:

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Nota: Los segmentos de linea son aparentemente no infinitos en su extension,(pareceria que la linea mas larga en este universo es de dos unidades). Sinembardo, modificamos la manera en que la distancia es medida. Describimosel disco como: {(x, y)|x2 + y2 < 1} en el plano Cartesiano. Tomamos entonces

la diferencial de la longitud del arco, ds, satisfayendo ds2 = dx2+dy2

1−(x2+y2) . Ahora

si consideramos el diametro D del disco desde (-1,0) a (1,0), ⇒ tenemos lalongitud.

∫Dds =

∫− 11

dx1−x2 = ∞

En genereal las ”lineas” en el Disco de Poincare son infinitos (con esta medidade arco). En terminos de Curvatura, el Disco de Poincare tiene curvatura de -4en cada punto (para obtener una curvatura -1, tomamos un disco de radio 4).

Nota:(De A Survey of Classical and Modern Geometries, de Arthur Baragar).Consideremos la negacion al Teorema de Playfair de nuevo. Permite L y P unpunto no en l. ⇒ ∃ dos lineas a travez de P , ‖ a l, y ∴ un numero infinito detales lineas. Podriamos imaginar la inclinacion de las linas a traves de P haciados ”lineas limitantes”.Si incrinamos mas las lineas limitantes, ya no seobtienen ‖ a l. Este es la ilustracion del Disco de Poincare correspondiente:

Las lineas limitantes son ‖ a l y las otras lineas se dicen ser ultraparalelas a l.Y se obtienen las siguientes propiedades:

(1) Dos lineas que son ultraparalelas tienen una ⊥ comun. (2) Dos lineas que

son paralelas (pero no ultraparalelas) no tienen una ⊥ comun.

Nota: Hemos dicho que la∑

de ∠ de un ∆ hiperbolico puede ser cualquiervalor (estrictamente) entre 0◦ y 180◦. Al hacer los ∆ ”chicos”, la

∑de ∠ se

acerca a 180◦. Al igual que podemos hacer que la∑

de ∠ cercana a 0◦, alhacer los triangulos ”grandes”. De hecho, podemos considerar ”TriangulosTriplemente Asintoticos” con una

∑de ∠ 0◦:

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Por resultados previos, sabemos; que todos los triangulos triplementeasintoticos, son congruentes, que el defecto es de 180◦, y que el Area de cadauno es maxima (debido a que el defecto es minimo).

Nota: Claramente podemos dividir el plano Euclideano con cuadrados. Noteseque en cada vertice, cuatro cuadrados se encuentran y se encuentran, yla

∑de

los cuatro ∠ rectos es 360◦. Tambien podemos dividir el Plano Euclideano conhexagonos reculares tales que tres hexagonos se encuentren en cada vertice, (el∠ interior de un hexagono es 120◦ ). Los hexagonos se pueden subdividir enseis triangulos , cada uno para dar a un triangulo equilatero la inclinacion delplano con seis triangulos encontrandose en cada vertice. Cada uno es unejemplo de un poligono regular inclinandose al plano Euclideano (llamemos la∑

interior de ∠ de el n-agono son cada uno (n−2n ) ∗ 180◦; esto combinado conel hecho de que los ∠ del n-agono deve dividir a 360◦, =⇒ que las inclinacionesde abajo, son las inclinaciones unicas del n-agono, en el Plano Euclideano).

Nota: En la Geometria Hiperbolica, se define un poligono como regular,si lalongitud de sus lados es la misma al igual que sus ∠. La longitud de los ∠, porotra parte, depende de la longitud de sus aristas. Podemos construir unn-agono regular cuyos angulos sean iguales a α para cualquier α tal que0 < α < n−2

n ∗ 180◦ . Esto significa que no podemos tomar el plano hiperbolicocon 4-agonos regulares, donde cuatro se encuentran en cada vertice, peropodemos dividir el plano con 4-agonos, donde cinco,(o cualquier entero mayorque 4) de ellos se encuentra en cada vertice. Aqui esta la imagen de talinclinacion con seis 4-agonos encontrandose en cada vertice:

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Notese que la∑

de ∠ de cada 4-agono en estas figuras es de 240◦, asi que elArea es k240◦ para alguna constante k (determinada por la curvatura delplano). Porque la libertad en la longitud de ∠ de n-agonos regulares en elplano hiperbolico,inclinaciones regulares son mucho mas prevalentes que en elPlano Euclideano.He aqui hexagono inclinandose con cuatro hexagonosencontrandose en cada vertice:

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De hecho, en las dos ultimas figuras, se dan inclinaciones que son duales la unade la otra. Un dual de una inclinacion esta determinada mediante poniendo unvertice con centro de cada n-agono, y despues uniendo vertices que estan enn-agonos, que conparten esta orilla.He aqui otra figura con inclinaciones:

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He aqui un 5-agono, inclinandose con 5 n-agonos, encontrandose en cadavertice.

Muchas de estas inclinaciones son usadas en las pinturas de M.CEscher(1989-1972).

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Nota: Con este concepto nuevo de ”inclinacion”, vemos una manera deconstruir una superficie hiperbolica, que podamos sostener con nuestrasmanos. La manera mas sencilla de hacer eso es, agarrando un monton detraingolos equilateros y pegarlos juntos con 7 triangulos unidos con cadavertice. Por Supuesto, tienes que doblar el papel para que esto suceda.

Nota: Como otro ejemplo de modelo de Geometria Hiperbolica, podemosconsiderar el modelo de: El Disco de Poincare sobre un Medio plano.Tomando como el plano hiperbolico sobre medio plano Cartesiano{(x, y)|y > 0}, y las lineas hiperbolicas son semicirculos co centros en el eje x ylineas verticales (Cartesianas). Las lineas son infinitas, y el diferencial la

distancia de arco es ds2 = dx2+dy2

y2 . La curvatura de esta superficie es -1.Puede ser demostrado que todos los modelos de Geometria Hiperbolica son lomismo (”isomorficamente”). He aqui la imagen de la inclinacion de un 4-agonode el Disco de Poincare sobre Medio plano, con seis 4-agonos encontrandose encada vertice.

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2 Entendiendo el Caso Multidimensional

2.1 Poniendo las Bases

La clave para entender el Espacio Hiperbolico Hn y su metrica intrinseca, delproducto interno indefinido de Minkowski ∗ sirve para entender el caso n=1.Discutimos por analogia con el Caso Euclideano y preparamos la analogia, delcaso Familiar Euclideano del Circulo S1.Permite p : (−∞,∞) → S1 ser un camino suave, con p(0) = (1, 0). Siescribimos en coordinadas p(t) = (x(t), y(t)) donde x2 + y2 = 1, ⇒diferenciando esta ecuacion encontramos:

2x(t)x′(t) + 2y(t)y′(t) = 0, o en otras palabras p(t)p′(t) = 0. Este es, el vector

de velocidad p′(t) es Euclideanamente ⊥ a la posicion del−−→p(t). En particular

podemos escribir p′(t) = k(t)(−y(t), x(t)), como el espacio tangente a S1 enp′(t) unidimensional y (−y(t), x(t)) es Euclideanamente ⊥ a p = (x, y). Siasumimos a parte que p(t), tiene velocidad constante 1, ⇒.

1 = |p′(t)| = |k(t)|√

(−y)2 + x2 = |k(t)|, y tambien k ≡ ±1. Tomando k ≡ 1,vemos que p = (x, y) ”viaja” alrededor del circulo unitario en el PlanoEuclideano con Velocidad Constante 1.Consecuentemente podemos por definicion identificar t con longitud de arcoEuclideano, en el circulo unitario, x = x(t) con cos(t) y y = y(t) con sin(t) ypodemos ver que hemos dado una completa demostracion de Calculo Basicoque la derivada de coseno es menos el seno. y la derivada de seno.E formulas, tomando k = 1, hemos demostrado que x y y (el coseno y el seno)satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales:

x′(t) = −y(t)

y′(t) = x(t)Con condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = 0. Necesitamos entonces solo aplicaralgun metodo elemental, como el metodo de coeficientes indeterminados, paradescubrir las clasicas Series de potencias, para el seno y coseno:

cost= 1− t2

2! + t4

4! − ...,

sint= 1− t3

3! + t5

5! − ...,

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Page 22: Hyperbolic Geometry

2.2 Generalizando a Mayores Dimensiones

En dimensiones mas altas, Hn esta dentro de Rn + 1 como un hiperboloide. Sip : (−∞,∞) → Hn describe un camino suave, ⇒ por las ecuaciones definidas,seguiremos teniendo p(t) ∗ p′(t) = 0. Tomando trayectos en cualquier direccioncorriendo a traves del punto p(t), podemos ver que los vectores tangentes a Hn

en p(t) generan un complemento hiperbolico ⊥, al vector p(t) (los vectores sonhiperbolicamente ⊥ si su producto interno hiperbolico es 0.)Podemos Mostrar que * (producto interno hiperbolico) restringido al espaciotangencial, es positivo definido, en cualquier manera.El primer metodo, usa la ”Desigualdad de Cauchy Schwarz”(x · y)2 ≤ (x · x)(y · y).Supongase que p = (p̂, pn + 1) ∈ Hn y x = (x̂, xn + 1) 6= 0 esta en el EspacioTangencial de Hn en p, donde , p̂,x̂ ∈ Rn. Si xn + 1 = 0.⇒ x ∗ x = x · x . ∴ x ∗ x > 0. Si xn + 1 = 0, podemos asumir que xn + 1 6= 0.⇒ 0 = x ∗ 0 = x̂ · p̂ - xn + 1 pn + 1, ∴ la Desigualdad de Cauchy Schwarz, nosda (x̂ · x̂) (p̂ · p̂) ≥ (x̂ · p̂)2 = (xn + 1 pn + 1)2 = x2n + 1 (p̂ · p̂+ 1).

∴, (x ∗ x)(p̂ · p̂) ≥ x2n + 1. =⇒ x ∗ x > 0 Si x 6= 0.

El segundo analiza el producto * algebraicamente. Toma una basep, p1, p2, ...., pn para Rn + 1 donde p es el punto de interes en Hn y los vectoresrestantes, en el lapso, el espacio tangencial a Hn en p. Ahora aplica el metodode Gram-Schmidt de ortogonalizacion de la Base. Como p ∗ p = −1 for laecuacion definida para Hn, el vector p, siendo ya un vector unitario, no esmodificado, por el proceso , y el faltante de la pase resultante, lapsa alcomplemento ortogonal de p , que es el espacio tangente a Hn en p. Por elTeorema de Sylvestre de Inerciam el numero de +1 s, y -1 s de la diagonal esuna invariante del producto interno (el numero de +1s es la dimension delmayor sub espacio, en donde la metrica es positivamente definida). Pero con labase standard para Rn + 1, existe exactamente un -1 en la diagonal, y lasdemas son +1.∴ Lo mismo es verdad para la base. ∴ La matriz del producto interno, cuandoes restringida a nuestro espacio tangencial es la idenditad de la matriz deorden n, esto es, la restriccion de la metrica al espacio tangencial espositivamente definida. ∴ El producto interno *, restringido en Hn define unagenuina metrica Riemanniana en Hn.

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Page 23: Hyperbolic Geometry

2.3 Rudimentos de la Geometria Riemanniana

Uno, Primero define la Metrica Riemanniana , y nociones asociadasgeometricas en el Espacio Euclideano. Una metrica Riemanniana ds2 en elespacio Euclideano Rn es una funcion que asigna a cada punto p ∈ Rn, unpositivo producto interno simetrico, en el espacio tangencial a p, este productointerno, varia diferencialmente con el punto p. Dado este producto interno, esposible definir cualquier numero de nociones geometricas tal que la longitud|x| de un vector x, donde |x|2 = x · x, el angulo, el ∠ Θm entre dos vectores x

y y, donde cos θ = (x·y)(|x|·|y|) , el elemento de longitud ds =

√ds2, y el elemento

de area dA se calcula de la manera siguiente: si x1, x2, ..., xn don lascoordenadas standard en Rn, ⇒ ds2 tiene la siguiente forma

∑i, j gij dxi dxj ,

y la matriz (gij) depende diferenciablemente en x, y es ta definido positiva ysimetricamente. Permite

√|g| denotando a la raiz cudarada de un

determinante (gij). ⇒ dA =√|g| dxidx2dx3...dxn. Si f : Rk → Rn es un

mapeo diferencial, uno puede definir f ∗ (d22) con la formulaf ∗ (ds2)(u,w) = ds2(Df(v), Df(w))donde v y w son vectores tangentes al punto u de Rk y f(u) = x, ysustituyendo dxi por

∑j ( ∂fi∂uj

)duj . Uno puede calcular la longitud de este

”camino” p: [a, b]→ Rn integrando ds sobre p

La distancia Riemanniana d(p,q) entre dos puntos p y q en Rn es definidacomo el camino infimo sobre todos los caminos uniendo a p y q.FInalmente, uno generaliza todas estas nociones, requiriendo la existencia dela Metrica Riemanniana en cada grafica de coordenada con esta metrica,siendo invariante bajo las funciones de transicion conectando esas dos graficas,esto es, si ds21 es la metrica riemanniana en la grafica 1, y, si ds22 es la metricaRiemmaniana en la grafica 2, y si f es la funcion de transicion, conectandoestas dos graficas, =⇒ f ∗ (ds22) = ds21. Las formulas de cambio de variablestandard de Calculo, nos muestran que la longitud de caminos, y areas,soninvariantes ante el cambio de grafica.

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Page 24: Hyperbolic Geometry

2.4 Algunos Modelos del Espacio Hiperbolico

Se desribiran, algunos modelos analiticos, del Espacio Hiperbolico. La teoriade geometria hiperbolica, puede ser construida en una manera unificada, conun solo modelo, pero con varios modelos, se dara una idea mas clara, paracrear mejor intuicion ”natural” en el lector.

H, el Modelo de Espacio-Mitad.

I, el Modelo de Interior de disco.

J , el Modelo de Jemisferio.

K, el Modelo de Klein.

L, el Modelo de Loid.

Los cinco modelos analiticos y sus isometrias correspondientes. Los puntosh ∈ H, i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K, y l ∈ L pueden conceptualizarse como el mismopunto en el (sintetico) espacio Hiperbolico.Cada modelo esta definido en un diferente sub-conjunto de Rn + 1, llamadoDominio; para n = 1 estos conjuntos son esquematicamente indicados en lafigura superior, que pueden ser considerada como una seccion transversal de lafigura en mayores dimensiones. Aqui estan las 5 definiciones de los dominios.

H = (1, x2, ...., xn + 1)|xn + 1 > 0;

I = (x1, x2, ...., xn, 0)|x21 + ...+ x2n < 1;

J = (x1, ...., xn + 1)|x21 + ...+ xn + 12 = 1∧xn + 1 > 0;

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Page 25: Hyperbolic Geometry

K = (x1, x2, ...., xn, 1)|x21 + ...+ x2n < 1;

L = (x1, ...., xn, xn + 1)|(x21 + ...+ x2n + x2n − xn + 1 = −1∧xn + 1 > 0;

Las Metricas Riemanniana ds2 que completan la descripcion analitica de loscinco modelos son:

ds2H =dx2

2+...+dxn+12

xn+12 ;

ds2I = 4dx2

1+...+dx2n

(1−x21−...−x2

n;

ds2J =dx2

1+...+dxn+12

xn+12 ;

ds2K =dx2

1+...+dx2n

(1−x21−...−x2

n)+ (x1dx1+...+xndxn)

2

(1−x21−...−x2

n)2 ;

ds2L = dx21 + ...+ dxn + 12

Para ver que estos cinco modelos son isometricamente equivalentes,necesitamos describir las isometrias en ellos. Usamos J como el modelocentral, y describimos para cada uno mapeo que existe de o hacia J .

El mapeo α:J → H es proyeccion central del punto (−1, 0, ..., 0): α : J → H,(x1, .., xn + 1) 7→ (1, 2x2

x1+1 ), ...( 2xn+1x1+1 ) .

El mapeo β:J → I es proyeccion central del punto (0, 0, ...,−1) :β : J → I,(x1, .., xn + 1) 7→ ( x1

xn+1+1 , ...,xn

xn+1+1 , 0).

El mapeo γ: K → J es proyeccion vertical:γ : K → (x1, ..., xn,

√1− x21 − ...− x2n) .

El mapeo δ:L→ J es proyeccion central del punto(0, 0, ...,−1):(x1, ..., xn + 1) 7→ ( x1

xn+1 , ...,xn

xn+1 ,1

xn+1 ).

Cada mapeo puede ser usado de la manera standard para que funcione laMetrica Riemanniana, del ”objetivo” del dominio, a la fuente del dominio, ypara verificar que los mapeos son isometrias. De los 20 mapeos conectados deel modelo, hemos escogido cuatro, para los que son mas sencillo el calculo,notese que la metrica en el modelo de Klein K toma un significado obvio yestructura relativa a la metrica en J de donde naturalmente se deriva, via elmapeo que conecta γ: K → J ,He aqui dos de las cuatro que existen.

Aqui esta el calculo que nos muestra que α/(ds2H) = ds2J . Fija

y2 = 2x2

x1+1 , ..., yn + 1 = 2xn+1x1+1 =⇒ dyi = 2

x1+1 (dxi − xi

x1+1dx1)

Como x21 + ...+ xn + 12 = 1, x1dx1 = −(x2dx2 + xn + 1dxn + 1) yx22 + ...+ xn + 12 = 1− x21.

Estas igualdades justifican el simple calculo:α ∗ (ds2H) = 1

yn+12 (dy22 + ...+ dyn + 12)

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Page 26: Hyperbolic Geometry

Aqui esta el calculo que nos muestra que γ ∗ (ds2j ) = (ds2K). Fija

y1 = x1, ..., yn = xn, y yn + 12 = 1− y21 − ...− y2n = 1− x21 − ...− x2n ⇒dyi = dxi para i = 1, 2, ..., n y yn + 1dyn + 1 = −(x1dx1 + ...+ xndxn)

∴ γ ∗ (ds2J) = 1yn+12 (dy21 + ...+ dy2n) + 1

yn+12 dyn + 12

= 11−x2

1−...−x2n

(dx21 + ...+ dx2n) + (x1dx1+...+xndxn)2

(1−x21−...−x2

n)2

= ds2K �

2.5 Proyeccion Estereografica

En orden para entender las relaciones entre estos modelos, es de ayudaentender las propiedades geometricas de los mapeos conectados. Dos de ellosson proyecciones centrales o estereograficas de una esfera a unplano.Daremos una prueba geometrica en 3-dimensiones y una pruebaanalitica en general, ∃ un unico punto π(x) de P en la linea que contiene a Ny x.Es llamada Proyeccion Estereografica de s hacia P

Definicion B1 Permite a Sn representar a la esfera de dimension n en elespacio euclideano de dimension Rn + 1. Permite a P representar el planotangencial a la esfera Sn en el punto S que lo pensamos como el polo sur deSn. Permite N ser el punto de Sn, opuesto a S, un punto que pensamos que esel polo norte de Sn. Si x es cualquier punto de Sn-N. Notese en la figura deabajo, que π tiene exptension natural, tambien representada por π, que tomatodo Rn + 1 excepto al plano x|xn + 1 = 1 hacia P .

Teorema B1 ”Conformalidad, o preservacion de angulos”: PermiteSn ⊂ Rn + 1, P, S,N y π (extendido) ser como en la definicion. ⇒ π preservalos angulos entre las curvas en Sn −N y, Ademas, si x ∈ Sn −N,S y, siT = xy es una segmento de linea tangente a Sn en xm ⇒ el angulo π(x)xy yxπ()xπ(y) o son iguales o complementarios mientras π(y) es definido.

Demostracion B1: Primero damos la prueba analitica en dimensiones

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Page 27: Hyperbolic Geometry

arbitrarias que π preserva angulos entre curvas en Sn N . Podemos normalizartodo tal que Sn es de hecho la esfera unitaria en Rn + 1, S es el putno concoordinadas (0, 0, ..., 0,−1), N es el punto con coordinadas (0, 0, ..., 0, 1), P esel plano xn + 1 = −1, y, π : Sn → P esta dado por la formulaπ(x) = (y1, y2, ..., yn,−1), donde yi = −2

xn+1−1xi. Tomamos la Metrica

Euclideana ds2 = dy21 + dy22 + ...+ dy2n en P y lo regresamos de nuevo a lametrica π ∗ (ds2) en Sn. La formula para regresarlo es la siguiente:

Porque x ∈ Sn, tenemos las dos ecuaciones:

x21 + ...+ x2n + xn + 12 = 1; y x1dx1 + ...+ xndxn + xn + 1 + dxn + 1 = 0.

π(ds2) = 4(xn+1−1)2 (dx21+...+dx2n+dxn+12); Concluimos que en cada punto,

la funcion que regresa a la Metrica Euclideana en P , es un positivo multiple dela Metrica Euclideana en Sn. Como multiplicar las distancias em el espaciotangencial por una contante positiva no cambia los ∠, el mapeo π : Sn N → Ppreserva los angulos.

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Para la segunda afirmacion del teorema, damos una prueba geometrica, que,en el caso especial de dimension n+1 = 3 tambien da una demostracion geomet-rica alternativa de el hecho que hemos acabado de demostrar analiticamente.

Consideramos dos planos P y P ′ de dimension n en el espacio Rn + 1, quese intersectan en el plano Q de dimension n− 1, elegimos ⇒ puntos p ∈ P, q ∈Q, yp′ ∈ P ′ tal que los segmentos de linea pq y p′1 son de misma longitud yestan en ∠ rectos a Q.

Si r ∈ Q, los ∠ pqr y 1p′r son iguales, Analogamente, los ∠ pp′r y p′pr soniguales. Para Probar la segunda afirmacion de el terorema, primero notamos queen el caso en que M conteniendo a x y y no toca a P , se rige por la continuidadde el caso donde M se encuentra con P . Asi que supone que M se encuentra conP . Nota que π mapea los puntos de M para los cuales π esta definido como lalinea conteniendo a π(x) y π(y). Esto implica, que podemos asumir que y ∈ P .Ahora para el plano P de la afirmacion obvia, tomamos el plano P tangente ala esfera Sn en el polo sur S.

Para el plano P ′ de la afirmacion obvia tomamos el plano tangencial a Sn

en x. Para los puntos p′ ∈ P ′ yp ∈ P tomamos, respectivamente, los puntosp = π(x) ∈ P y p′ = x ∈ P ′. Para el plano Q tomamos la interesccion de P yP ′. Para el punto r tomamos y. Ahora la afirmacion de que los ∠ p′pr y pp′rson iguales demuestra la segunda afirmacion del teorema.

En tres dimensiones, el obvio hecho de que los ∠ qpr y qp′r son igualesdemuestra que π preserva el ∠ entre cualquier curva dada, con ciertas referenciasde direccion tangencial, llamadas pq y p′q. Como el espacio tangencial es ”soloen esta dimension”, bidimensional, preservando el ∠ con la referencia de lasdirecciones tangenciales, es suficiente para asegurar la preservacion de el anguloen general. �

Teorema B2 ”Preservacion de Esferas”: Asume el primer teorema. SiC es una esfera (C de circulo) en Sn que pasa a traves del polo norte N de Sn

y tiene dimension c, ⇒ la imagen de π(C) es una esfera en P de dimension c.

Demostracion B2: Si N ∈ C ⇒ la Demostracion es sencilla; de hecho Cesta contenida en un unico plano P ′ de dimension c+ 1, y la imagen π(C) es lainterseccion de P y P ′, un plano c-dimensional. Si por el otro lado C no se en-

cuentra con N , el argumento es el que sigue: asumimos todas las normalizadas,como en la prueba de que Sn es la esfera unitaria. Podemos tener el caso dondeC es la union de Circulos de Circunferencia maxima, por continuidad, si pode-mos probar el teorema en todos los otros casos. Consecuentemente, podemosasumir que el subespacio vectorial de Rn + 1 abarcado por los vectores en Ctiene dimension c+2. No perdemos generalidad al asumir que es de todo Rn+1(esto es, c = n− 1.

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Page 29: Hyperbolic Geometry

Los espacios tangenciales a Sn en los puntos de C define un sobre conico,con punto conico y; una manera facil de encontrar y es considerando el PlanoBideimensional conteniendo a N y dos puntos antipodales r, r′ de C, u paraconsiderar dos lineas tangentes t(r) a C

⋂R en r y t(r′) a C

⋂R en r′; ⇒ y es

el punto en donde t(r) y t′(r) se encuentran. Por continuidad, asumimos queπ(y) esta definido.

Afirmamos que π(y) es equidistante a los puntos de π(C), de donde se puedededucir que π(y) es equidistante a los puntos de π(C) − S. Aqui esta el argu-mento que prueba esa afirmacion:

Permite x ∈ C S, y considera el plano Bidimensional conteniendo a N, xy y tal que el segmento de linea yx′ es ‖ al segmento π(y)π(x); esto es, los ∠Nπ(x)π(y) y Nx′y son iguales. Por la ultima afirmacion del Teorema B1, los∠ π(y)π(x)x y yxπ(x) son o iguales o complementarios. ∴ el triangulo xyx′ esisosceles tal que los lados xy y x′y son iguales. ∴ considerando proporciones entriangulos similares Nx′y y Nπ(x)π(y), tenemos las ecuaciones:

d(π(x), π(y)) = d(N,π(y))d(N,y) d(x′, y) = d(N,π(y))

d(N,y) d(x, y)

La fraccion es una constante ya que N, y y π(y) no dependen de x ; y ladistancia d(x, y) es tambien una constante como x ∈ C, C es una esfera, y y esel centro del cono tangente de C. ∴ la distancia d(π(x), π(y))

Definicion Permite Sn denotar a la esfera de dimension n en Rn + 1 conpolo norte N y polo sur S. Permite a P denotar un plano a traves del centrode Sn y ⊥ a la linea a traves de N y S. Si x es cualquier punto de Sn n ⇒ ∃un unico punto π′(x) de P en la linea que contiene a N y a x. Esto define elmapeo π′: N → P , la proyeccion estereografica de Sn N hacia P .

Teorema B3: El mapeo π′ preserva ∠ entre curvas Sn N y π′ mapea esferasa planos o a esferas.

Demostracion B3: Normalizamos tal que Sn es la esfera unitaria en Rn+1,

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N = (0, 0, ...., 0, 1) Y S = (0, 0, ..., 0,−1). De la demostracion de el TeoremaB1, tenemos que para cada x ∈ Sn N tal que π(x) = (y1, y2, ...., yn,−1) donde:yi = −2

xn+1−1xi.

De las misma manera π′(x) = (y′1, y′2, ..., y

′n,−1) donde:y′i = −1

xn+1−1xi = yi2 .

∴ π′ es la composicion de π con una translacion y una dilatacion. Como πpreserva ∠ y mapea esferas a planos o esferas, tambien lo hace π′ �

3 Geodesicas

Habiendo establecido formulas para la metrica hyperbolica en nuestros cincomodelos analiticos, y habiendo desarrollado las propiedades fundamentales delas proyecciones estereograficas, es posible encontrar las lineas rectas o geodesicasen nuestros cinco modelos. A pesar de que las geodesicas, pueden ser halladasresolviendo ecuaciones diferenciales, no lo haremos por ese metodo. En vez deeso, establecemos la existencia de una geodesica en el modelo de Espacio-Mitad,en terminos de lo que llamamos el principio de refraccion.

Teorema C1:(Existencia de una Geodesica Fundamental en el Es-pacio Hiperbolico) En el modelo de Espacio mitad de espacio Hiperbolico,todas las verticales son lineas geodesicas Tal linea es el camino unico mas corto,entre cualquier par de puntos en el.

Demostracion C1: Permite C:(0,∞)→ H donde C(t) = (1, x2, x3, ..., xn, t) ∈H y, donde los numeros x2, x3, ..., xn son constantes fijas; esto es C es una lineavertical arbitraria en H.

Definimos r : H → Imagen(C) por la formula: r(1, x′1, ..., x′n, t) = (1, x1, ..., xn, t).

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Page 31: Hyperbolic Geometry

La metrica original era ds2 =(dx2

2+dx23+dx

2n+1+)

x2n+1 la metrica de regreso es

dx2n+1

x2n+1 .∴ por principio de refraccion, la imagen de C contiene un camino mas

corto entre cada par de sus puntos. SOlo queda mostrar que existe un unicocamino entre cualquier par de puntos de la imagen de C. Si uno fuera a empezarcon un camino arbitrario entre dos puntos de la imagen de C que no se quedeen la imagen de C, ⇒ esto es en algun punto donde el camino no sea vertical; ∴la metrica de regreso es de hecho mas chica que la metrica original en ese punto,como la metrica de regreso involucra algun dx2i con i 6= n + 1. ∴ la retracciones de hecho estrictamente menor que la del camino original. Es claro que existesolo un camino mas corto entre un par de puntos de la imagen, que se quedenen la imagen. �

Teorema B4:(Clasificacion de las Geodesicas en H) Las geodesicas enel modelo de Espacio Mitad H, de un espacio hiperbolico, son precisamente laslineas vertivcales en H y los semicirculos de Metrica Euclideana, cuyos puntosyacen en e intersectan el limite (1, x2, x3, ..., xn, 0) del espacio hiperbolico Hortogonalmente.

Demostracion B4:(Clasificacion de las Geodesicas en H) Necesitamoshacer las siguientes observaciones:

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(1)Isometrias Euclideanas de H, que toman el limite (1, x2, ..., xn, 0) de Ha si mismo son isometrias hiperbolicas de H. Analogamente, las transforma-ciones de H que toman (1, x1, x2, ..., xn, t) a (1, rx1, rx2, .., rxn, rt) con r > 0son isometrias hiperbolicas.

(2) Isometrias Euclideanas de J son isometrias hiperbolicas de J.

(3) Si p y q son puntos arbitrarios de H, y si p y q no yacen en una lineavertical, ⇒ existe un unico limite ortogonal semicircular que contiene a p y aq. De hecho, para hallar el centro del semicirculo, toma el segmento euclideanouniendo a p y a qm y extiende su ⊥ Euclidena bisectando en el plano verticalconteniendo a p y a q hasta que toque el limite de H.

(4)Si C y C ′ son dos circulos de limites ortogonales cualesquiera en H, ⇒existe una isometria hiperbolica tomando de C a C ′.

Ahora completaremos la demostracion. Por el teorema previo, y (1), todaslas lineas verticales en H son geodesicas e hiperbolicamente equivalentes, y cadauna contiene el unico camino mas corto entre cada par de sus puntos. Ahoramapea la linea vertical en H con punto final infinito (1, 0, 0, ..., 0) en J viala proyeccion estereografica que las conecte. ⇒ la imagen es un semicirculo

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de circunferencia maxima. Rota J , una isometria hiperbolica por (2), tal queel centro de la proyeccion estereografica no sea un punto final infinito de laimagen. Regresa el semicirculo rotado, a H via proyeccion estereografica. Comoes la imagen debajo la composicion de isometrias de una geodesica, este limiteortogonal del semicirculo es una geodesica. ∴ cada una es geodesica. Comoexiste una unica geodesica uniendo a dos puntos de una linea vertical, podemosencontrar que , existe una unica geodesica uniendo a dos puntos de H. �.

Por Teoremas B1 y B2, los semicirculos de limite ortogonal en J correspon-den precisamente a los semicirculos de limite ortogonal y lineas verticales enH.∴ las geodesicas en J son los circulos de limite ortogonal en J .

Por Teorema B3, los semicirculos de limite ortogonal en J corresponden alos diametros y segmentos de semicirculares de limite ortogonal en I. ∴ losdiametros y los segmentos circulares de limite ortogonal en I son las geodesicasen I.

Los semicirculos de limite ortogonal en J claramente corresponden ante laproyeccion vertical a segmentos de linea rectos en K.

Los segmentos rectos de linea en K claramente corresponden ante la proyec-cion central desde el origen a las intersecciones con L de Subespacios vectorialesBidimensionales de Rn + 1 con L; ∴ lo ultimo son las geodesicas en L.

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4 Isometrias y Distancias del Modelo del Hiper-boloide

Comenzaremos el estudio de las isometrias del espacio hiperbolico con el modelodel hiperboloide L donde todas las isometrias, como podremos ver, son restric-ciones de mapeos lineares de Rn + 1.

Definicion: Una isometria lineal f : L→ L de L es la restriccion de L de unmapeo lineal F : Rn + 1→ Rn + 1 que preserva el producto interno hiperbolico* (esto es: para cada par v y w de vectores de Rn + 1, Fv ∗Fw = v ∗w) y tomala hoja superior del hiperboloide L hacia si mismo.

Definicion: Una isometria Riemanniana f : L → L de L es un diffeomor-fismo de L que preserva la metrica Riemanniana (esto es f ∗ (ds2) = ds2).

Definicion: Una isometria topologica f : L→ L de L es un homeomorfismode L que preserva la distancia Riemanniana entre cada par de puntos de L (esto

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es , si d es la funcion de Distancia Riemanniana, y si x y y son puntos de L⇒ d(f(x), f(y)) = d(x, y)).

Teorema C1 Una matriz cuadrada M con columnas m1,m2, ...,mn,mn+1induce a la Isometria Lineal de L⇐⇒ las siguientes propiedades son satisfechas:

1.- Para cada par de indices i, y j, tenemos que mi ∗ mj = ei ∗ ej dondee1, ..., en, en+1 es la base standard de Rn+1. (Esto ocurre⇐⇒M es invertiblecon M−1 = JM tJ donde j es la matriz diagonal con entradas diagonales J11 =... = Jnn = −J(n+ 1, n+ 1) = 1).

2.- La ultima entrada de la columna mn + 1 es positiva.Demostracion C1: Permite J denotar la matriz diagonal con entradas

diagonales J11 = ... = Jnn = −J(n+ 1, n+ 1) = 1. ⇒ para cada x, y ∈ Rn + 1, x ∗ y = xtJy. ∴ Mx ∗My = xtM tJMy. Por consecuencia, M preserva *⇔ la condicion 1 del teorema es satisfecha. Como J es invertible, condicion 1,implica que M tambien es invertible y que toma un hiperboloide de dos hojasdel cual L es la hoja Superior, homeomorficamente hacia si mismo. COnsicion2 es entonces solo el argumento que la imagen de en + 1 yace en L, esto es,que M toma la hoja superior de L hacia si mismo.M−1 = JM tJ es claramenteequivalente a la igualdad M tJM = J como J−1 = J . �

Teorema C2 Un mapeo f : L → L que satisfaga cualquier de las tresdefiniciones de isometrias, satisface a las otras dos tambien.

Demostracion C2 Primero provamos las dos implicaciones sencillas, lineal⇒ Riemanniana ⇒ topologica, ⇒ conecta el producto hiperbolico interno x ∗y con distancia Riemanniana d(x, y) para probar una implicacion mas dificil,topologica ⇒ lineal.

Isometria Lineal⇒ Isometria Riemanniana: Permite F : Rn+1→ Rn+1 serun mapeo lineal que preserve el producto interno hiperbolico * y que tome la hojasuperior L del hiperboloide de dos hojas hacia si mismo, y por lo tanto induceuna isometria lineal f : L→ L. La metrica Riemanniana ds2 es en cada puntox de L simplemente una funcion de dos variables que toma como entrada dosvectores tangentes v y w en x y tiene como salida el producto interno hiperbolicov ∗ w. Calculamos la metrica de regreso f ∗ (ds2) de la siguiente manera: f ∗(ds2)(u,w) = ds2(Df(v), Df(w)) = ds2(DF (v), DF (w)) = ds2(F (v), F (w)) =F (v) ∗ F (w) = v ∗ w = ds2(v, w)

Concluimos que f ∗ (ds2) = ds2, tal que f es la Isometria Riemanniana.

Isometria Riemanniana ⇒ Isometria topologica: La distancia Riemmani-ana se calcula por metodo de integracion de metrica Riemanniana. Como una

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Isometria Riemanniana preserva el integrando, preserva la integral tambien.

Lemma Si a, b ∈ L ⇒ a ∗ b = − cosh(d(a, b)).

Demostracion Permite a t denotar la Distancia Riemanniana d(a, b) en-tre a y b. Uno obtiene la distancia por medio de Integracion con metricaRiemanniana, al unico camino geodesicom uniendo a y a b, o como esta in-tegral es invariante ante la isometria lineal, uno puede traducir a y b, a laposicion standard en L como sigue, y luego se puede integrar. Permite m1

ser el vector unitario tangente a a en la direccion de la geodesica de a ab. Permite mn + 1 = a. Por proceso de ortonormalizacion de vectores deGram-Schmidt, podemos extender el grupo ortonormal m1,mn + 1 ser una baseortonormal m1, ..,mn+1 para Rn+1, por Teorema C2, la matriz M con colum-nas m1, ..,mn,mn + 1 nos da una isometria lineal de L asi como su inversaM−1. La inversa toma a hacia en + 1 y toma el subespacio vectorial bidi-mensional acotado por a y por b, al espacio P acotado por e1 y en + 1. Lainteseccion de P con L es una rama de una hiperbola standard, que pasa atraves de M−1(a) = (0, 0, ..., 0, 1) y como t = d(a, b) = d(M−1(a),M−1(b)),podemos asumir que M−1(b) = (sinh(t), 0, ..., 0, cosh(t)) ∴ podemos calcular:a ∗ b = M−1(a) ∗M−1(b) = (0, 0, ..., 1) ∗ (sinh(t), .., 0, cosh(t)) = − cosh(t) =− cosh(d(a, b))

Isometria topologica ⇒ Isometria lineal: Permite f : L → L denoten laisometria topolgica. Permite v1, .., vn + 1 denote la base de Rn + 1 tal que paracada vi este en L. Permite F denotar el mapeo lineal que toma a vi a f(vi) paracada i. Decimos que F preserva *; para ver esto escribimos ei =

∑j(aij)(vj) y

escribimos:

F , concuerda con f en L. Para probar esto , basta reemplazar f por F−1 ·ftal que podamos asumir f(vi) = vi, entonces debemos probar que f = id, quepodemos demostrar por medio de f(x)∗ ei = x∗ ei para cada x ∈ L y para cadaindice i Aqui esta el calculo:

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5 Bibliografia:

[Cannon 1991] J. W. Cannon, The theory of negatively curved spaces andgroups, pp. 315369 in Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces,edited by T. Bedford et al., Oxford U. Press, Oxford, 1991.

[Cannon 1994] J. W. Cannon, The combinatorial Riemann mapping theorem,Acta Math. 173 (1994), 155234.

[Cannon et al. 1994] J. W. Cannon, W. J. Floyd, and W. R. Parry, Squaringrectangles: the finite Riemann mapping theorem, pp. 133212 in The math-ematical legacy of Wilhelm Magnus: groups, geometry and special functions(Brooklyn, NY, 1992), edited by W. Abikoff et al., Contemporary Mathematics169, Amer. Math. Soc., Providence, 1994.

[Cannon and Swenson 1998] J. W. Cannon and E. L. Swenson, Recognizingconstant curvature groups in dimension 3. Preprint.

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