i b i d gnáthleibhéal i l téacs & trialacha 2 a 10 an ...caibidil 10 an chéimseata 1:...

188

Téacs & Trialacha 2 Gnáthleibhéal

Mír 10.1 Súil siar ar línte agus ar uillinneacha Cuirfidh na léaráidí thíos i gcuimhne duit roinnt de na fíricí agus na téarmaí a chonaic tú go dtí seo sa chéimseata.

1. Línte

A B

Gabhann an líne AB trí na pointí A agus B.

A B

An mhírlíne [AB], tosaíonn sí ag A agus críochnaíonn sí ag B.

A B

An gathán [AB, tosaíonn sé ag A agus leanann sé ar aghaidh trí B.

A B C

Pointí atá ar an líne chéanna, deirtear go bhfuil siad comhlíneach.

Pl m

Trasnaíonn na línte l agus m a chéile ag an bpointe P.

p

q

Línte nach gcasann ar a chéile riamh, deirtear gur línte comhthreomhara iad.

An Chéimseata 1: Triantáin agus Ceathairshleasáin

Caibi

dil

10

• géaruillinneacha, maoluillinneacha agus uillinneacha athfhillteacha a aithint,

• rinnuillinneacha urchomhaireacha, uillinneacha comhfhreagracha, uillinneacha ailtéarnacha agus

uillinneacha inmheánacha a shainaithint,

• an difríocht idir líne, mírlíne agus gathán a aithint,

• na huillinneacha inmheánacha agus seachtracha i dtriantán a shainaithint.

Beidh a fhios agat ón gCéad Bhliain conas:

• uillinneacha atá ar lár a aimsiú ar línte díreacha, i dtriantáin agus i gcruthanna cumaisc,

• na hairíonna atá ag ceathairshleasán a shainaithint,

• teoirim Phíotágaráis a thuiscint agus a úsáid,

• tuairimí a thabhairt faoi chruthanna agus tátal a bhaint astu tar éis duit iad a fhiosrú,

• tuiscint a bheith agat ar théarmaí a bhaineann go sainiúil leis an gCéimseata, e.g. “teoirim” agus “coinbhéarta”.

Sa chaibidil seo, foghlaimeoidh tú conas:

189

Caibidil 10 An Chéimseata 1: Triantáin agus Ceathairshleasáin

2. Uillinneacha

Is mar seo a scríobhtar an uillinn thuas: AOB.

Dronuillinn a thugtar ar an uillinn thuas.Dronuillinn 5 90°.

Uillinn dhíreach a thugtar ar leathchasadh.Uillinn dhíreach 5 180°.

A

O B90° 180°

Géaruillinn a thugtar ar uillinn atá níos lú ná 90°.

Maoluillinn a thugtar ar uillinn atá idir 90° agus 180°.

Uillinn athfhillteach a thugtar ar uillinn atá idir 180° agus 360°.

Gnáthuillinn a thugtar ar an uillinn scáthaithe thuas, mar go bhfuil sí níos lú ná 180°.

Bíonn rinnuillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid lena chéile.

Is é 360° suim na n-uillinneacha a thagann le chéile ag pointe amháin.

A

O Bb a

d

cA

B CD

E

3. Uillinneacha agus línte comhthreomhara

Nuair a thrasnaíonn líne dhíreach péire línte comhthreomhara, bíonn na hairíonna seo a leanas ag na huillinneacha a chruthaítear:

Bíonn uillinneacha comhfhreagracha ar cóimhéid lena chéile. Mar sin, tá a = b. Cuardaigh F-chruth.

Bíonn uillinneacha ailtéarnacha ar cóimhéid lena chéile. Mar sin, tá a = b. Cuardaigh Z-chruth.

Is é 180° suim na n-uillinneacha inmheánacha x agus y. Mar sin, tá x + y = 180°.

a

b

a

b

x

y

Nóta: Tá cruthúnais ar Theoirimí le fáil i gCaibidil 25, “An Chéimseata 3”.

190


Cleachtadh 10.1 1. Déan cur síos i bhfocail ar na léaráidí seo a leanas:

(i) (ii) (iii)

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir ag freagairt di sna léaráidí seo a leanas:

63°

150°70° 70°

80°140°

67° 28°45°

84° 145°108°

A

DE

B C

F

63°

150°70° 70°

80°140°

67° 28°45°

84° 145°108°

A

DE

B C

F

3. Sna léaráidí seo thíos, aimsigh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di:

70°

118°

52°33°

30°150°

B

GH J

LP

RQ

K

I

CE

FD

A140°

4. Tá uillinn scáthaithe amháin sna léaráidí seo uile. Freagraíonn ceann amháin de na huillinneacha eile don uillinn sin i ngach cás (i.e. is uillinneacha comhfhreagracha iad). Cé acu uillinn atá i gceist?

(i) (ii) (iii)

A B A B A B

12

5 46 7

31 2

34 4 5

673

12

7 65

191


5. Scríobh síos uimhir na huillinne atá ailtéarnach leis an uillinn scáthaithe i ngach ceann de na fíoracha thíos:

(i) (ii) (iii)

6. Scríobh síos méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh i ngach ceann de na léaráidí seo a leanas, áit a seasann saigheada do línte comhthreomhara.

46°

110°d

c

b120°

ef

a

7. I ngach ceann díobh seo a leanas, aimsigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh. Seasann na saigheada do línte comhthreomhara.

48°160° 49°a b f

e x

zy

g

cd

48°160° 49°a b f

e x

zy

g

cd

48°160° 49°a b f

e x

zy

g

cd

8. Faigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil na litreacha a, b, c, d, e agus f ag freagairt dóibh agus tabhair cúis i ngach cás.

50°b

a

110°

c

d

e

f

115°

4

4

45

5

5

6

6

6

1

1

12

2

2

33

3

77

7

192


9. Aimsigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil a, b, c, d, e, f agus g ag freagairt dóibh sa léaráid seo ar dheis, áit a seasann na saigheada do na línte comhthreomhara.

10. Aimsigh tomhais na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh sa léaráid ar dheis, áit a seasann na saigheada do na línte comhthreomhara.

Mír 10.2 Uillinneacha i dtriantáin Cuirfidh na léaráidí thíos i gcuimhne duit roinnt de na hairíonna tábhachtacha a bhaineann leis na huillinneacha i dtriantáin.

B C

AB

A C

Is é 180° suim na n-uillinneacha i dtriantán ar bith.|∠A| 1 |∠B| 1 |∠C| 5 180°

Tá uillinn sheachtrach triantán ar bith cothrom le suim an dá uillinn inmheánacha urchomhaireacha.

|∠C| 5 |∠A| 1 |∠B|

60º 60º

60º

I dtriantán comhshleasach tána 3 shlios ar comhfhad;na 3 uillinn ar cóimhéid;gach uillinn 5 60°.

I dtriantán comhchosach tá2 shlios ar comhfhad;an dá bhonnuillinn ar cóimhéid.

c

ab

I dtriantán dronuilleach táceann de na huillinneacha 5 90°.

a2 5 b2 1 c2

40°112° b

a ce

d

gf 96°

80°

75°

p

r

sq

193


I dtriantán comhchosach bíonn dhá shlios ar comhfhad lena chéile. Sa bhosca thuas léirítear go mbíonn na huillinneacha atá os comhair an dá shlios sin ar cóimhéid lena chéile freisin.

Os a choinne sin, is féidir an méid seo a léiriú: má bhíonn dhá uillinn i dtriantán ar cóimhéid lena chéile, is triantán comhchosach atá ann.

Fiosrú: C

BA D

∠c

∠a ∠e ∠d

Fiosraigh an léaráid thuas agus ansin cóipeáil agus comhlánaigh na trí líne seo a leanas a bhaineann leis an gcéimseata.1. a + c + e = ( )°… mar .2. d + e = ( )°… mar .3. ( ) + ( ) = ( )

Sa léaráid seo, uillinn a thugtar ar d.Sa léaráid seo, uillinneacha a thugtar ar a, c, e.I bhfocail, tá tú tar éis a thaispeáint gurb ionann an uillinn agus suim an dá uillinn .

Sampla 1

Faigh tomhas na huillinne a bhfuil x ag freagairt di sa triantán ar dheis.

110°

x

180° - 110° = 70° atá san uillinn a bhfuil y

110°

x

y

ag freagairt di. Ach tá uillinn x = uillinn y ... triantán comhchosach

|x| 5 70°

194


Cleachtadh 10.2 1. I gcás gach ceann de na triantáin thíos, ainmnigh:

(i) an uillinn sheachtrach (ii) an dá uillinn inmheánacha atá urchomhaireach leis an uillinn sheachtrach.

(a) b

adc

(b) q p

r

t

(c) x y

z

w

2. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh sna fíoracha seo a leanas:

86°

18°

74°100°

70° 25°

a

b

cd

90°

51°

110°

48°

26°

40°

e f g

3. Sna triantáin a leanas, tá na sleasa ar comhfhad marcáilte. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh:

75°

70°70°

38°

d

c

b

a

195


4. Aimsigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt dóibh i ngach ceann de na triantáin chomhchosacha seo:

a b

40°

d

c

36°

f

e

62°

5. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt doibh sna fíoracha seo a leanas:

50°70°

a

b 105°

c

60° e

d

6. Ríomh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di:

74°p

r

q

25°

ef

d31°

y x v

w

7. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil a agus b ag freagairt dóibh sa triantán ar dheis, áit a bhfuil na sleasa ar comhfhad marcáilte.

34°

a b

8. I ngach ceann de na triantáin seo a leanas, seasann na saigheada do na línte comhthreomhara. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir ag freagairt doibh.

54°50°

60°x

y

z

196


9. Faigh luach x agus luach y i ngach ceann díobh seo a leanas, áit a seasann na saigheada do na línte comhthreomhara.

(i) 65°

x y

(ii)

110°

yx

(iii)

50°

x

y

Mír 10.3 Ceathairshleasáin Ceathairshleasán a thugtar ar fhíor a bhfuil ceithre shlios uirthi.Sa cheathairshleasán seo trasna, tá na sleasa uile ar fhaid éagsúla agus tá na huillinneacha uile ar mhéideanna éagsúla.

Tá airíonna speisialta ag ceathairshleasáin áirithe, áfach, agus is fiú go mór a bheith ábalta iad sin a aithint. Léirítear roinnt de na ceathairshleasáin sin thíos.

ComhthreomharánI gcomhthreomharán, > bíonn na sleasa urchomhaireacha comhthreomhar lena chéile> bíonn na sleasa urchomhaireacha ar comhfhad lena chéile> bíonn na huillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid

lena chéile.

DronuilleogI ndronuilleog,> bíonn na sleasa urchomhaireacha comhthreomhar

lena chéile agus ar comhfhad lena chéile> dronuillinn a bhíonn i ngach ceann de na ceithre uillinn.

RombasI rombas,> bíonn na ceithre shlios ar comhfhad lena chéile> bíonn na sleasa urchomhaireacha comhthreomhar lena chéile> bíonn na huillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid lena chéile.

197


Cearnóg

I gcearnóg,

> bíonn na ceithre shlios ar comhfhad lena chéile> bíonn na sleasa urchomhaireacha comhthreomhar lena chéile> dronuillinn a bhíonn i ngach ceann de na ceithre uillinn.

Sa chomhthreomharán ar dheis, tugtar uillinneacha inmheánacha ar A agus B mar go suimíonn siad go 180°.

E B

A

C

DCruthúnas: E 5 A ... uillinneacha ailtéarnacha

E + B 5 180ª ... uillinn dhíreach

A + B 5 180ª

Ar an gcaoi chéanna, B + C – 180º, A + D 5 180ª and C + D 5 180ª.

Tabhair faoi deara : ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180° + 180° = 360°

Uillinneacha i gceathairshleasáin Tá an ceathairshleasán ar dheis roinnte ina dhá thriantán.Is é 180° suim na n-uillinneacha i ngach ceann den dá thriantán sin.

∠a 1 ∠c 1 ∠b 5 180°.∠d 1 ∠e 1 ∠f 5 180°. ∠a 1 ∠b 1 ∠c 1 ∠d 1 ∠e 1 ∠f 5 360°

Mar sin, is é 360° suim na n-uillinneacha i gceathairshleasán.

∠f∠b

∠a

∠c∠d ∠e

Is é 360° suim na n-uillinneacha inmheánacha i gceathairshleasán.

198


Trasnáin Sna ceathairshleasáin thíos, déroinneann na trasnáin a chéile.

Bíonn na trasnáin ar comhfhad lena chéile. Is ar dronuillinn a dhéroinneann siad a chéile.

Bíonn na trasnáin ar comhfhad lena chéile. Déroinneann siad a chéile.

Déroinneann na trasnáin a chéile.

Is ar dronuillinn a dhéroinneann na trasnáin a chéile.

Cearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán Rombas

Teoirim Na trasnáin i gcomhthreomharán, déroinneann siad a chéile.

Sampla 1Sa chomhthreomharán ABCD ar dheis,tá |BAD| 5 115° agus |BDC| 5 28°.Faigh (i) |BCD| (ii) |ABD| (iii) |ADC| (iv) |DBC|

Tabhair cúis le gach freagra.

(i) |BCD| 5 115°… bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid lena chéile

(ii) |ABD| 5 28°… uillinneacha ailtéarnacha

(iii) |ADC| 5 180° 2 115°… is é 180° suim na n-uillinneacha inmheánacha

5 65° (iv) |DBC| 5 180° 2 115° 2 28°… tá |BCD| 5 115° ó (i) thuas

5 37°

Cleachtadh 10.3 1. Is iad A, B, C agus D na ceithre uillinn sa

chomhthreomharán ar dheis. (i) Ainmnigh dhá phéire d’uillinneacha cothroma. (ii) Cad é suim na n-uillinneacha A + B ina gcéimeanna?

B

A D

C

A B

28°

115°

D C

199


2. Faigh tomhas gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na comhthreomharáin seo a leanas:

DB

C

A

E80° 115°

75°

3. Faigh tomhas gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

B A D C G

EF120° 80°

55°

75°50°

4. Ríomh luach x agus luach y sa chomhthreomharán ar dheis.

5. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

A

B

C DF

G

E

30° 35°80°

60°

28° 40°

70°

6. Faigh tomhas gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

(i) x

112°

(ii)

80°

x

50°

(iii) x

42°38°

7. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

y

x

66°

42°

200


C

D G

E F

46° 65° 31°37°

63°

BA

41°39°

8. Is comhthreomharán é ABCD. Trasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.Scríobh síos fad (i) [OB] (ii) [AB] (iii) [AC] (iv) [BC]

9. Is comhthreomharán é ABCD. Trasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.

BA

D C

O

64

9

6

Scríobh síos fad (i) [DO] (ii) [OC] (iii) [DC] (iv) [BC].Ainmnigh uillinn a bhfuil a tomhas ar cóimhéid le (v) ∠AOD (vi) ∠DAB (vii) ∠BDC (viii) ∠CAB

10. Sa chomhthreomharán ar dheis, tá na sleasa uile ar comhfhad lena chéile. Ríomh luachanna x, y, z agus r.

11. Déan cóip den léaráid seo agus marcáil isteach na huillinneacha:

A

D

X

C

B

|∠BDC| 5 23°, |∠DAX| 5 75°, |∠DCB| 5 118°.

Faigh |∠AXD|.

12. Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na fíoracha seo.

95°

110° 76° 76° 51°

104°

34°

105°a

b c

d

A B

D 11

87

5

O

C

70°rz

x y

201


13. Sa chomhthreomharán ABCD ar dheis, tarraingítear línte comhthreomhara, mar a léirítear.Faigh luach na n-uillinneacha x, y agus z.

14. Tá cearnóg, dronuilleog, comhthreomharán agus rombas thíos. Tá na huimhreacha 1, 2, 3 agus 4 orthu.

Cearnóg

1

Dronuilleog

2

Comhthreomharán

3

Rombas

4

Cé acu de na ceithre chruth thuas a mbeidh na hairí seo ag baint leis i gcónaí? (Tá an tríú ceann déanta duit.) (i) Tá na huillinneacha uile ar cóimhéid. (ii) Tá uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid. (iii) Tá na sleasa uile ar comhfhad. (iv) Tá sleasa urchomhaireacha ar comhfhad. (v) Tá sleasa urchomhaireacha comhthreomhar. (vi) Tá an dá thrasnán ar comhfhad. (vii) Déroinneann na trasnáin a cheile. (viii) Trasnaíonn na trasnáin a chéile ag dronuillinneacha.

15. Faigh luach x i ngach ceann de na léaráidí thíos:

(i) 124°

76°

x

x

(ii) 82°

x 2x

47°

(iii) 3x

80° 60°

x

55°

55°

x z

y

D C

A B

202


Fiosrú: Faigh an uillinn anaithnid i ngach ceann de na triantáin seo.Chun an tomhas seo a réiteach, déan cóip den bhosca thíos agus meaitseáil litir na huillinne leis an uillinn cheart as na huillinneacha tugtha.Cad a chuirtear go minic ar arán tósta?

G

AI

M

H

UB

S

100°

50°

12°

10°

61°61°

120°

18°60°

52°

30° 28° 60° 45° 158° 58° 58° 158° 40° 42°

Mír 10.4 Teoirim Phíotágaráis Ar dheis, tá triantán dronuilleach a bhfuil sleasa 3, 4 agus 5 cm air.

Tarraingíodh cearnóga ar gach ceann de na trí shlios sin.

Má chomhaireann tú líon na cm2 i ngach ceann de na cearnóga sin, gheobhaidh tú amach gurb é 25 cm2

achar na cearnóige ar an taobhagán agus gurb iad 16 cm2 agus 9 cm2 achair an dá chearnóg eile.

Léiríonn sin gurb ionann an chearnóg ar an taobhagán agus suim na gcearnóg ar an dá shlios eile.

Teoirim Phíotágaráis a thugtar ar an teoirim thábhachtach sin.

54

3

203


B’fhealsamh agus matamaiticeoir Gréagach é Píotágarás, a fuair bás thart ar 500 R.C. Meastar gurbh eisean an chéad duine a chruthaigh an teoirim go foirmiúil, cé go bhfuil fianaise ann go raibh an teoirim ar eolas ag na Sínigh agus ag na hÉigiptigh na céadta bliain roimhe sin. Bhí a fhios ag suirbhéirí na hÉigipte go bhféadfaí triantán dronuilleach a dhéanamh as rópa a raibh 12 shnaidhm air ag eatraimh chothroma. D'úsáid siad an t-eolas sin chun goirt a mharcáil agus chun foirgnimh a chearnú.

Teoirim PhíotágaráisI dtriantán dronuilleach, tá achar na cearnóige ar an taobhagán cothrom le suim achair na gcearnóg ar an dá shlios eile.

Is féidir an t-ailgéabar a úsáid chun Teoirim Phíotágaráis a scríobh go soiléir, mar a léirítear thall.

Tá coinbhéarta Theoirim Phíotágaráis fíor freisin agus tá sin le feiceáil thíos.

Deir sé:

Coinbhéarta Theoirim PhíotágaráisMás ionann achar na cearnóige ar shlios amháin ar thriantán agus suim achair na gcearnóg ar an dá shlios eile, dronuillinn atá san uillinn os comhair an chéad sleasa.

Is triantán dronuilleach é an triantán ar dheis mar

102 5 82 1 62,i.e. 100 5 100

Teoirim Phíotágaráis

b

c

a a2 � b2 � c2

Coinbhéarta Theoirim Phíotágaráis

6 cm

8 cm

10 cm

204


Sampla 1Faigh fad na sleasa a bhfuil x ag freagairt dóibh sna triantáin dhronuilleacha seo a leanas:

(i)

3

2

x

(ii)

12

15x

De réir Theoirim Phíotágaráis:

(i) x2 5 32 1 22 (ii) 152 5 122 1 x2

x2 5 9 1 4 225 5 144 1 x2

x2 5 13 225 2 144 5 144 1 x2 2 144 x 5 √

___ 13 x2 5 81

x 5 3.6 x 5 √___

81 x 5 9

Cleachtadh 10.4

1. Ríomh fad an taobhagáin i gcás gach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

2. Úsáid Teoirim Phíotágaráis chun teacht ar achar na cearnóige a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na fíoracha seo:

P

16 cm2

28 cm2

Q

23 cm2

23 cm2

R

70 cm2

20 cm2

5

4

38

10

67 8.6

5

205


3. I gcás gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo, faigh fad an tsleasa a bhfuil litir ag freagairt di:

3x y

z

4 12 8

65

4. I gcás gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo, faigh fad an tsleasa a bhfuil litir air.(Is féidir leat do fhreagra a fhágáil i bhfoirm √

__ ?? .)

4a b

d e

f

8

c5 6

6

38

8

5

7 11

5

5. Faigh fad an taobhagáin i ngach ceann de na cearnóga seo.(Is féidir leat do fhreagra a fhágáil i bhfoirm √

__ ?? .)

4

4 5

7

6. Ríomh fad thrasnán na dronuilleoige ar dheis.

16 cm

12 cm

206


7. Tá leac fuinneoige i bhfoirgneamh oifigí 12 m os cionn na talún. Tá barr dréimire, atá 13 m ar fad, ina luí ar leac na fuinneoige. Cén fad slí amach ó bhalla an fhoirgnimh atá bun an dréimire?

8. Baineann píosa nua bóthair ceann de na cora dronuilleacha dainséaracha de lána tuaithe. Go dtí an 10 méadar is gaire, cé mhéad níos gaire atá an píosa nua bóthair?

9. Ar fhad an trasnáin a thomhaistear méid an scáileáin ar theilifíseán dronuilleogach. 54 ceintiméadar méid an scáileáin ar an teilifíseán seo. Más é 26 cm airde an scáileáin, cad é a leithead? Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

10. Chuir Éanna ciumhais adhmaid thart ar an ngairdín triantánach seo. D'úsáid sé fad 10 m d'adhmad don slios is faide agus fad 6 m d’adhmad don slios is giorra. Cad é fad iomlán an adhmaid a d'úsáid Éanna?

11. D'eitil héileacaptar 24 km siar agus ansin 15 km ó thuaidh. Cá fhad slí a bhí an héileacaptar ansin óna phointe tosaigh? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ciliméadar is gaire.

12 m13 m

200 m

100 mbóthar nua

54 cm

207


12. Úsáid Teoirim Phíotágaráis chun luach a agus luach b a fháil sa triantán dronuilleach ar dheis.

13. Theastaigh ó Ailín leithead Loch Como a ríomh.

Z

X

780 m

450 m

Y

Chuir sé cuaille ag Z sa chaoi go mbeadh |YXZ | 5 90°. Fuair sé amach go raibh | XZ | 450 m ar fad agus |YZ | 780 m ar fad. Cad é an fad slí idir x agus Y? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an méadar is gaire.

14. Oibrigh amach an bhfuil cearnóg na huimhreach is mó cothrom le suim chearnóga an dá uimhir eile agus abair an bhfuil teoirim Phíotágaráis i gceist. (i) 6, 8, 10 (ii) 7, 11, 12 (iii) 5, 12, 13 (iv) 4, 6, 8

15. Tá Mia ag iarraidh abhainn atá 50 m ar leithead a thrasnú. Iomraíonn sí a bád díreach trasna na habhann ach téann an bád le sruth agus tagann sí i dtír ar an taobh eile, 120 m níos faide síos an abhainn ná mar a bhí i gceist aici.

Bain úsáid as Teoirim Phíotágaráis lena fháil amach cén t-achar a thaistil sí.

Fiosrú: An coinbhéarta a thugtar ar an toradh nuair a chuirtear ráiteas coinníollach droim ar ais.Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla thíos chun coinbhéarta gach ceann de na ráitis seo a leanas a fhiosrú. Abair cé acu Fíor nó Bréagach atá gach coinbhéarta.

Ráiteas Fíor nó Bréagach1. I dtriantán comhshleasach, bíonn na trí shlios ar

comhfhad.

Coinbhéarta: Má tá na trí shlios ar thriantán ar comhfhad, ansin…

2. I dtriantán dronuilleach, bíonn a 2 = b 2 + c 2 .

Coinbhéarta: I dtriantán, má tá a 2 = b 2 + c 2 , ansin …

3. Má tá sé ag cur báistí taobh amuigh, caithfidh go bhfuil an féar fliuch

Coinbhéarta: Má tá an féar taobh amuigh fliuch, ansin…

13

5 7

a b

50 m

120 m

Cuir triail ort féin 10 1. Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di sna fíoracha thíos. Seasann

saigheada do línte comhthreomhara.

70°40°

55°

a ce

d

b

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na triantáin seo:

80°

50° 70° 140°

44°

A

B

C

208


Bíonn Teoirim Phíotágaráis an-úsáideach nuair a bhímid ag iarraidh a sheiceáil an bhfuil fráma dorais dronuilleach nó an bhfuil na ballaí i seomra ingearach lena chéile.Ós rud é go bhfuil a 2 = b 2 + c 2 i ngach triantán dronuilleach, áit arb iad b agus c na sleasa a dhéanann an dronuillinn agus arb é a an slios is faide (an taobhagán)...

b a

c

...is é a choinbhéarta sin ná:Má tá a 2 = b 2 + c 2 , ansin caithfidh go bhfuil b agus c ar dronuillinn lena chéile.Fiosraigh fráma dorais ar bith. Tomhais a, b agus c go cruinn. Seiceáil an bhfuil a 2 = b 2 + c 2 . Déan an rud céanna le frámaí dorais i seomraí eile. Cóipeáil agus comhlánaigh an chairt seo a leanas.Tabhair faoi deara; tabhair gach freagra ar (i) a 2 (ii) b 2 + c 2 ceart go dtí 2 fhigiúr bhunúsacha. Cuir do chuid torthaí i gcomparáid le torthaí grúpaí eile.

Fráma a b c b 2 + c 2 a 2

3. Faigh luachanna a, b agus c sna fíoracha seo a leanas:

140° 130°84°

150°a b

c

c

4. Faigh tomhas na n-uillinneacha a agus b sna triantáin thíos, áit a bhfuil na sleasa atá ar comhfhad marcáilte.

126°

90° 30°a

b

5. Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di sna comhthreomharáin seo a leanas:

67°

35°

A

B 40°75°

C D 62°

33° 40°

F

G

E

6. San fhíor ar dheis, tá na sleasa ar comhfhad lena chéile. Faigh méid na n-uillinneacha a agus b.

7. Faigh fad an tríú slios i ngach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo:

xy

15

8

6

24

7

z

17

65°70°

a

b


209

8. Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir ag freagairt di i ngach ceann de na fíoracha seo. Seasann na saigheada do línte comhthreomhara.

74° 53°74°

142°

a

b

c

ef

d

9. Faigh luach x sa triantán ar dheis. Cad is féidir a rá faoin triantán, mar sin?

10. Faigh luach a agus luach b i ngach ceann de na triantáin seo:(i)

50°

ab

(ii) 56°b

a

(iii)

114°

b

a

11. Sa léaráid ar dheis, seasann na saigheada do línte comhthreomhara. Ríomh tomhas na n-uillinneacha A agus B. 136°A

B55°

12. Sa triantán ar dheis, tá, |PQ| 5 |PR| 5 |RS|. Q

R

x40°

SP

Má tá |QPR| 5 40°, faigh luach x.

56°x°

(x � 12)°


210

211


Tasc: Tarraingíodh gach duine i do ghrúpa triantán éagsúil ar a gcuirtear fad le gach slios le go mbeidh 3 uillinn sheachtracha ann.Déanaigí tomhas ar gach ceann de na huillinneacha a, b, c.Faighigí suim a + b + c.Cuirigí bhur gcuid torthaí i gcomparáid lena chéile.Cén tátal is féidir libh a bhaint astu?Tátal:

Anois leanaigí na céimeanna céanna chun ceathairshleasán ar bith a tharraingt.Déanaigí tomhas ar gach ceann de na huillinneacha a, b, c, d.Faighigí suim a + b + c + d.Cuirigí bhur gcuid torthaí i gcomparáid lena chéile.Cén tátal is féidir libh a bhaint astu?Tátal:

Bunaithe ar bhur gcuid torthaí, cén luach – dar libh – a bheidh ar shuim na n-uillinneacha seachtracha i bpolagán ar bith.Tarraingígí heicseagán mór agus déanaigí tomhas ar na huillinneacha seachtracha. Ansin, ríomhaigí a suim le bhur dtátal a thriail. Scríobhaigí tuairisc ar bhur gcuid fiosruithe.

b°

a°

c°

b°

a°

c°

b°

a°

d°

c°

i b i d gnáthleibhéal i l téacs & trialacha 2 a 10 an ...caibidil 10 an chéimseata 1:...

Documents