2010/7/5 1

制御工学I 第12回周波数特性ボード線図

ナイキスト線図

平成22年7月5日

2010/7/5 2

ボード線図一次のシステム1

• 一次のシステム

– 振幅

– 位相

Tjω+11

dBTTj

221log201

1log20 ωω

+−=+

Tωφ 1tan−−=

( )( ) ( )211

111

11

TTj

TjTjTj

Tj ωω

ωωω

ω +−

=−+

−=

+

( )

( )

T

T

TTj

ω

ω

ωω

φ −=

+

+−

=

2

2

11

1tan

sT+11

2010/7/5 3

-40

-30

-20

-10

0

10

0.01 0.1 1 10 100

ω

dB-90

-45

0

0.01 0.1 1 10 100ω

Φ[deg]

ボード線図一次のシステム2

• 一次のシステム

– 振幅

– 位相

Tjω+11 LPF特性

2010/7/5 4

ボード線図一次のシステム3

• 一次のシステム

– 振幅の性質

• 高周波(ω>>1/T→1<<ωT)

– -20dB/decade(周波数が一桁上がると振幅が20dB小さくなる)

» 0dB for ω=1/T» -20dB for ω=10/T

Tjω+11

dBTTj

221log201

1log20 ωω

+−=+

TdBT ωω log201log20 22 −≅+−

近似

TT ωω ≅+ 221

2010/7/5 5

ボード線図一次のシステム4

• 一次のシステム

– 振幅の性質

• 低周波(ω<<1/T)→

– 振幅の近似線• 二つの直線で近似できる

– 低周波領域0<ω<1/T→0dB– 高周波領域1/T<ω<∞→-20dB/decade

• 折点周波数ω=1/Tで交わる

Tjω+11

dBTTj

221log201

1log20 ωω

+−=+

dBT 01log201log20 22 =−≅+− ω

11 22 ≅+ Tω ほぼ一定

2010/7/5 6

-40

-30

-20

-10

0

10

0.01 0.1 1 10 100

ω

dB

ボード線図一次のシステム5

• 一次のシステム

– 振幅の近似線Tjω+1

1

0dB

-20dB/decade

2010/7/5 7

ボード線図一次のシステム6

• 一次のシステム

– 位相の性質• 折点周波数を中心に奇対称(atan)

• 直流0°• 折点周波数-45°• ∞→-90°

Tjω+11

Tωφ 1tan−−=

o451tantan 11 −=−=−= −−

TT

ωωφ

2010/7/5 8

ボード線図一次のシステム7

• 一次のシステム

– 振幅の近似線の誤差• 最大値→折点周波数(ωT=1)

• 1オクターブ下

• 1オクターブ上

dB03.302log2201log2011log20 −=+−=++−

dB97.025log201log2014

1log20 −=−=++−

dB97.025log202log2014log20 −=−=++−

Tjω+11

この外では誤差1dB以下

1Decade離れると誤差は-0.04dB以下

2010/7/5 9

ボード線図一次のシステム8

• 一次のシステムの扱い

– 振幅→符号反転

– 位相→符号反転

Tjω+1

TjTj

ωω

+−=+

11log201log20

TjTTj

ωωω

+−∠==+∠ −

11tan1 1

ボード線図は上下反転

sT+1

2010/7/5 10

ボード線図一次のシステム9

• 一次のシステムの扱い Tjω+1

-10

0

10

20

30

40

0.01 0.1 1 10 100

ω

dB0

4590

0.01 0.1 1 10 100

ω

Φ[deg]

ボード線図は上下反転

HPF特性

位相84.3° ω=10/T位相63.4° ω=2/T位相45° ω=1/T位相26.6° ω=1/2T位相5.7° ω=1/10T

2010/7/5 11

-40

-30

-20

-10

0

10

0.01 0.1 1 10 100

ω

dB

-270-180-90

0

0.01 0.1 1 10 100ω

Φ[deg]

ボード線図一次のシステム10

• 一次のシステムn段– n倍

n

Tj ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ω1

1

・・・Tjω+11

Tjω+11

一次のシステムのn乗は，

加算で表される

2010/7/5 12

ボード線図二次のシステム1

• 二次のシステム

– 減衰比ζ

– 共振周波数ω=ωn

– 判別式(減衰比ζ)• ζ>1:実根を持つ一次システム×2• 0<ζ<1:共役複素根を持つ

( ) 2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

22

1121

1

ssnn ωω

ζ ++

( )12142 22

2

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ

ωωωζ

nnn

2010/7/5 13

ボード線図二次のシステム2

• 二次のシステム

– 振幅

( ) 2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

dB21log20

21log20

21

1log20

22

2

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nn

nn

nn

jj

jj

ωωζ

ωω

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

2010/7/5 14

ボード線図二次のシステム3

• 二次のシステムの位相

( )

222

2

22

2

22

21

21

2121

21

21

1

21

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

nn

nnnn

nn

nnnn

j

jj

j

jjj

jG

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωω

ωωζ

ω

2010/7/5 15

ボード線図二次のシステム4

• 二次のシステムの位相

21

222

2

1

2tan

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∠=

−

n

n

nn

nn

j

ωω

ωωζ

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

φ

2010/7/5 16

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0.1 1 10

ωdB ζ=1

ζ=0.5

ζ=0.2

ζ=0.1

ボード線図二次のシステム5

• 二次のシステム

– ボード線図

• ζが小さいとピークを持つ

-180

-90

0

0.1 1 10ω

Φ[deg]

2010/7/5 17

ボード線図二次のシステム6

• 振幅の近似線– 減衰比ζを無視

• 高周波領域ω>>ωn(1>>ω/ωn)

• 高周波領域近似線– 傾き-40dB/decade

dBlog40log20

log2021log20

2

2

2

2

222

2

2

nn

nnn

ωω

ωω

ωω

ωωζ

ωω

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−

nn ωω

ωω log10log4010log40

2010/7/5 18

ボード線図二次のシステム7

• 振幅の近似曲線– 減衰比ζを無視

• 低周波領域ω<<ωn(1>>ω/ωn)– 0dBの水平線

• 交点(折点周波数)– ω/ωn=1→共振点ω=ωn

• 減衰比ζで共振点でのピーク値が変わる– 近似値0dB– 減衰比ζが小さいと，ピークが大きくなり，近似からの乖離大

dB01log2021log2022

2

2

=−≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

nn ωωζ

ωω

2010/7/5 19

ボード線図二次のシステム8

• 位相の特性

– 周波数ωと減衰比ζに依存• 直流ω=0

– 位相0°

• 折点周波数ω=ωn

• 高周波ω=∞

o900

2tan

1

2tan 1

21 −=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= −− ζ

ωω

ωωζ

φ

n

n

o1801tan

1

2tan 1

21 −=

∞−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= −−

n

n

ωω

ωωζ

φ

2010/7/5 20

ボード線図二次のシステム9

• 二次のシステムの共振周波数とピーク値

– 二次のシステム

• 振幅

( ) 2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

( )22

2

2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

nn

jG

ωωζ

ωω

ω

2010/7/5 21

ボード線図二次のシステム10

( )

( )2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2121

421

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nn

nnn

nn

g

ωω

ωωζ

ωωζ

ωω

ωω

ωωζ

ωωω

• 振幅の極大値

– 分子→定数

– 分母→振幅極少値→二乗の極小値

2010/7/5 22

ボード線図二次のシステム11

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 2

2

22222

2

2

2242

2

2

2

2

222222

2114

214411

21221211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+−−=

n

n

n

nn

g

ωωζωζζ

ωωζζζ

ωω

ωωζζζω

• 振幅の極大値（二次関数）

2010/7/5 23

ボード線図二次のシステム12

– 極値をとる共振周波数ωr

– 分母の極値

221 ζωω −= nr

( ) 021 222 =−− ζωω nr

ただし 021 2 ≥− ζ 707.02

10 ≅≤≤ ζ

( ) 0212

2

222

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

n

nr

ωζωω

( ) ( )22 14 ζζω −=rg

2010/7/5 24

ボード線図二次のシステム13

– 減衰比ζが零に近づくと，共振周波数はωnに近づく

– 減衰比ζ>0.707では共振ピークを持たない

» 周波数が高くなるに従い振幅減少(単調減少)» 振幅Mは1(0dB)以下

• 減衰比 でのピーク振幅Mr

210 ≤≤ ζ

( ) ( ) ( ) 222max 121

141

ζζζζωω

−=

−=== rr jGjGM

2010/7/5 25

ボード線図二次のシステム14

– 共振周波数での位相

( )

( ) ( )2

21

22

21

22

2

12

1

211212

tan211

212tan

211

212tan

1

2tan

ζζζ

ζ

ζζ

ωζω

ωζωζ

ωω

ωωζ

ω

−−−

−=−−

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∠

−−

−−

n

n

n

n

n

r

n

r

rjG

つづく→

2010/7/5 26

ボード線図二次のシステム15

– 共振周波数での位相

( )

2

21

2

21

1arcsin90

21tan

2212

tan

ζζ

ζζ

ζζζ

ω

−+−=

−−=

−−=∠ −−

o

rjG

2010/7/5 27

ボード線図二次のシステム16

• 二次のシステム

– 符号を反転• 振幅(対数)• 位相

2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nn

jjωω

ωωζ

2

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nn

jjωω

ωωζ

22

1121 ssnn ωω

ζ ++