i. définition ii. approche rdm iii. théorèmes énergétiques
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1
Statique des poutres LinéairesDr J. Morlier
Illustrations tirées de Mechanics of materials Texas Tech University, Lecture notes J walt Oler
http://homepages.ulb.ac.be/~rfilomen/teaching.htmlhttp://www.civil.uwaterloo.ca/brodland/teaching/movies.asp
http://www.netprof.fr/Mecanique/Tous-les-cours-en-video,36,0,0.aspx
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I. Définition
II. Approche RDM
III. Théorèmes énergétiques
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Hypothèses de la RDM
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Hypothèses sur les déplacements Hypothèses de BernouilliToute section droite avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne déformée.
les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement).L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant
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I. Définition
II. Approche RDM
III. Théorèmes énergétiques
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Pour étudier les poutres, on met en relation les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs ;les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ;le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ;et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations.
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Équations d ’équilibre global
le Principe Fondamental de la Statique donne :
ez
ey
ex
1F 2F
A B C D
1M
0F ext
0, iFAM 0211 FADFABMM A
021 FFRA
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Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs
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Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation simple.
Pour les sollicitations complexes, on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples (principe de superposition).
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I. Définition
II. Approche RDM (exemples)
III. Théorèmes énergétiques
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Exemple 1: Réactions
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Exemple 2: cisaillement
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Exemple 3: Flexion
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Exemple 4: système isostatique
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Diagramme NTM
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On part en A de M=0
Puis en C bras de levier:M=2*2kN
Puis en B: M=2kN*4 -4kn*2=0
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Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche)
Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur 4-x)Discontinuité en terme d’effort
Je lis sens +: T=-Rb=-2kNJe lis sens +: M= (4-x)*2kN Enfin N=0
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28
Zone 1: Pour x entre 0 et 2m (Coupe à droite)
!!!-!!!
Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur x)
Je lis sens -: T=-(-2kN)Je lis sens -: M= -(2kN*x) (Bras de levier en x)
Enfin N=0
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I. Définition
II. Approche RDM (Flexion)
III. Théorèmes énergétiques
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sollicitation de flexion
Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre
CP
A
B
D
P
a b a
RCRB
x
y
On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples
et soumise à un effort P à chaque extrémité
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diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant
Flexion pure sur BC
déformée en arc de cerclede courbure constante R
(sections planes et normalesà la fibre moyenne)
a
aP
A
B C
D
b a
Mz
P
-P
Ty
x
x
Entre B et C :
Ty = 0
Mz = aP = constante
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Déformation (1)
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Soit une poutre longue symétrique Imposons un moment de flexion
Et étudions « géométriquement » les déformations (allongements ou variation d’angles)
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Déformation (2)
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Regardons l’allongement de la fibre neutre par rapport aux fibres Up and Down
Dû à la flexion, certaines fibres se contractent d’autres s’allongent…
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Déformation (3)
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On a besoin de définir le centroid de la section et l’axe neutre de la poutre
On définit aussi rho le rayon de courbure
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Déformation (4)
35
Puis la distance y à l’axe neutre de la poutre et en prenant un section infime ds on peut écrire
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Déformation (5)
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Déformation = relation linéaire (y)
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Section non symétrique ?? Moment d’inertie
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I=Moment d’inertie [m4]
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Moment de flexion
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En haut y=ymax, maximum de contraintes de compression
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Moment de flexion
43
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Moment de flexion (2)
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Moment de flexion (3)
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Contraintes Vs moment
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• La relation entre moment de flexion et courbure reste valide pour des chargements transverses. EI
xM )(1
• On peut exprimer la courbure géométriquement en fonction de la dérivée seconde du déplacement y
2
2
232
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd
• Substituant et en intégrant
2100
10
2
21
CxCdxxMdxyEI
CdxxMdx
dyEIEI
xMdx
ydEIEI
xx
x
EDO qui donne le déplacement d’1poutre
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9 - 50
2100
CxCdxxMdxyEIxx
• Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites
• Cas simples (isostatique)
– Simplement suportée0,0 BA yy
– Sur appui0,0 BA yy
– Encastrée0,0 AAy
• Des chargements plus compliqués requierent plus d’intégrales et d’utiliser les conditions de continuités de déplacement et pente.
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9 - 52
• Pour une poutre sous chargement distribué,
• L’équation des poutres devient ( donne les Formules de Bresse en déplacement)
• En intégrant 4 fois
• Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites
<Résumé de la Démarche>
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degré d ’hyperstaticité
n inconnues de réaction
p équations d ’équilibre( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité
Exemples
F
Structure isostatique
F
Structure hyperstatique
q(x)
( p - n ) > 0 : hypostatique
( p - n ) = 0 : isostatique
( p - n ) < 0 : hyperstatique
A chaque discontinuité: coupe pas assez d’eq pour résoudre Voir Théorèmes énergétiques en annexe
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I. Définition
II. Approche RDM (Cisaillement)
III. Théorèmes énergétiques
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58
cisaillement
Configuration initiale Configuration déformée
contrainte tangentielle moyenne S
F
F
module de COULOMB
12
EG
est l ’angle de glissement
F
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![Page 63: I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062408/56813a32550346895da21acc/html5/thumbnails/63.jpg)
Le moment statique Q d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe
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![Page 65: I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062408/56813a32550346895da21acc/html5/thumbnails/65.jpg)
Shear stress in web-flange beams
• The variation of shear flow across the section depends only on the variation of the first moment
• For a box beam, q grows smoothly from zero at A to a maximum at C and C’ and then decreases back to zero at E.
![Page 66: I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062408/56813a32550346895da21acc/html5/thumbnails/66.jpg)
Shear stress in web-flange beams
• For a wide-flange beam, the shear flow increases symmetrically from zero at A and A‘, reaches a maximum at C and the decreases to zero at E and E’
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Une poutre en fonte subit un moment de 3 kN-m . Sachant que E = 165 GPa , déterminer les contraintes de fléxions et le rayon de courbure dela poutre
SOLUTION:
• Calculs du CdG et inertie
2dAIIA
AyY x
• Appliquer la formule de la fléxion
• Calculer la courbure
EI
M
1
Moment d’inertie de la section
y
II
Mm
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SOLUTION:
mm 383000
10114 3
A
AyY
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
49-3
2312123
121
231212
m10868 mm10868
18120040301218002090
I
dAbhdAIIx
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49
49
mm10868
m038.0mkN 3mm10868
m022.0mkN 3
IcM
IcM
BB
AA
MPa 0.76A
MPa 3.131B
• courbure
49- m10868GPa 165
mkN 3
1
EI
M
m 7.47
m1095.201 1-3
• contraintes
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