i kinematika tacke12
Post on 29-Jan-2016
15 views
TRANSCRIPT
Tehnička mehanika II
• Nastavnik: dr Marina Mijalković, vanredni profesor• Asistenti: mr Marina Trajković,
mr Marija Spasojević-Šurdilović• Saradnik: Predrag Petronijević• Kabineti 120 i VI sprat• www.gaf.ni.ac.rs/mehanika
OBAVEZE STUDENATA I VREDNOVANJE AKTIVNOSTI
• Obaveze studenata u toku nastave:• prisustvo na predavanjima, vežbama i aktivnost na
času 10 poena,• 2 testa po 15 poena 30 poena.
• Studenti su obavezni da pohađaju nastavu, rade vežbe i polažu oba testa.
• Testovi se organizuju u terminima nastave. Po obavljenoj nastavi se organizuje jedan popravni test.
• Minimalne obaveze studenta u toku semestra su:
• 50% od a) 5 poena,• 50% od b) (5 poena po testu) 15 poena.
• Ukoliko student ne ostvari 20 (5+15) poena nema pravo na potpis i mora da sluša predmet opet sledeće godine.
• Ispit se sastoji od pismenog dela i usmenog dela, koji je posle pismenog. Ispit traje četiri sata. Svaki od delova ispita se boduje sa po 30 poena. Minimalni broj poena da bi se položio pismeni deo i usmeni deoje 50% od 30, dakle 15+15 poena.
• Poeni ostvareni u toku semestra se sabiraju sa poenima ostvarenim na ispitu i njihov maksimalni broj je 100, (10+30+30+30). Prelazna ocena se dobija kada se sakupi najmanje 55 poena.
• Ocenjivanje se vrši na sledeći način:• ostvarenih 55-65 poena je ocena 6 (šest);• ostvarenih 66-75 poena je ocena 7 (sedam);• ostvarenih 76-85 poena je ocena 8 (osam);• ostvarenih 86-95 poena je ocena 9 (devet);• ostvarenih 96-100 poena je ocena 10 (deset).
LiteraturaUdžbenici:• M. Mijalković Autorizovana predavanja iz Tehničke mehanike II, GAF
Niš.• Bogunović – Mehanika II, skripta, Niš.• M. Kojić, M.Mićunović,– Kinematika, Kragijevac.• S.M.Targ – Teorijska mehanika – kratak kurs, Beograd.• M. Kojić – Dinamika, Kragujevac.• D. Rašković – Mehanika, II deo, za prvi stepen studija na mašinskim
fakultetima, Beograd.
Zbirke zadataka:• M. Mijalković, M. Trajković – Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Tehničke
mehanike II , Niš. • D. Stanković, N. Sokolović – Mehanika II – zbirka zadataka, Niš.• Lj. Stojanović, D. Grbić, B. Šuvakov – Zbirka zadataka iz Mehanike I i II,
Beograd.• D. Milosavljević – Kinematika – metodička zbirka rešenih primera sa
izvodima iz teorije, Kragujevac.• D. Stokić, R. Pavlović, zbirka rešenih zadataka iz mehanike II, sa izvodima
iz teorije, Niš.
KINEMATIKA TAČKE• POLOŽAJ POKRETNE TAČKE U PROSTORU• KOORDINATNI SISTEMI
• Dekartov pravougli sistem• Polarno cilindrični koordinatni sistem• Sferni koordinatni sistem• Prirodni koordinatni sistem
• BRZINA TAČKE• UBRZANJE TAČKE• NEKI POSEBNI SLUČAJEVI KRETANJA
TAČKE
• Mehanika je nauka u kojoj se izučava stanje mirovanja i kretanja tela koja su izložena dejstvu sila.
• Statika je deo mehanike u kome se proučava ravnoteža tela, odnosno određuju sile, koje deluju bilo kao spoljašnje na telo, bilo unutar njega, neophodne da bi telo zadržalo svoje stanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja.
• Kinematika je deo mehanike u kome se proučavaju opšta geometrijska svojstva kretanja tela.
• Dinamika je deo mehanike u kome se proučavaju zakoni kretanja tela pod dejstvom sila.
Pojam mehaničkog kretanja i mirovanja
Sva tela u prirodi se kreću:
Ljudi se kreću u odnosu na Zemlju, Zemlja se kreće u odnosu na Sunce, Sunčev sistem se kreće kroz prostor …
U prirodi ne postoji apsolutnomirovanje i apsolutnokretanje.
U okviru ovog kursa smatramo da je Zemljanepomična i da su sva tela koja su čvrsto vezanaza površinu Zemlje nepomična.
Kinematika je deo mehanike u kome se proučavaju geometrijska svojstva kretanja tela ne uzimajući u obzir njihovu inerciju (masu) i sile koje deluju na tela.
Promena položaja tela u prostoru može se uočiti samo u odnosu na drugo telo.
Za definisanje kretanja potrebno je referentno telo.
Referentno telo je telo u odnosu na koga se izučava kretanje ili mirovanje drugih tela.
Za referentno telo se vezujekoordinatni sistem u komevršimo proračun.
Referentno telo
Kretanje
Pod kretanjem u mehanici se podrazumeva promena položaja jednog tela, koja se vrši u toku vremena, u odnosu na drugo telo u prostoru.
Koordinatni sistem referencije
• Opisivanje kretanja tela ili tačke u prostoru vrši se pomoću koordinatnog sistema referencije koji je vezan za referentno telo.
• Ukoliko je referentno telo nepokretno opisuje se apsolutno kretanje, a ukoliko je pokretno opisuje se relativno kretanje u odnosu na njega.
U Njutnovoj mehanici prostor je homogen u svim delovima i izotropan. Homogenost prostora, u odnosu na neke osobine, znači da su te osobine prostora u svakoj tački jednake, a izotropnost da su te osobine prostora u svim pravcima jednake. Prostor koji je homogen i izotropan naziva se euklidskim prostorom.
Prostor
Dužina
Dužina je potrebna da bi se locirala pozicija tačke u prostoru.
Za jedinicu dužine pri merenju rastojanja usvanja se jedan metar (m), (manje jedinice santimetar, odnosno milimetar, a veća kilometar).
Vreme
Vreme se u mehanici smatra univerzalnim, to jest da teče (prolazi) na isti način u svim koordinatni sistemima referencije. Za jedinicu vremena uzima se jedna sekunda (s). Vreme je skalarna veličina koja se neprekidno menja. U kinematici je vreme t nezavisno promenljiva veličina (argument). Sve ostale promenljive veličine su u kinematici u funkciji vremena, to jest i one se menjaju tokom vremena. Vreme se meri (računa) od nekog početnog trenutka (t=0). Svaki određeni trenutak vremena t definiše se brojem sekundi, koje su protekle od početnog trenutka vremena. Razlika između bilo koja dva uzastupna trenutka vremena pri nekom kretanju se naziva vremenski interval.
TačkaTačka u kinematičkom smislu je geometrijska tačka (bez dimenzija), koja menja položaj u prostoru u toku vremena u odnosu na referentno telo (u odnosu na koje se kretanje posmatra).Tačka ima zanemarljive dimenzije. Na primer, veličina zemlje je beznačajna u poređenju sa veličinom orbite, pa tako ona može biti modelirana kao tačka u proučavanju kretanja u orbiti.
TeloPod telom se podrazumeva geometrijski objekat koji se kreće.
Kruto teloKruto telo predstavlja skup velikog broja tačaka u kome sve tačke ostaju na nepromenjivim rastojanjima jedne od drugih pre i posle nanošenja opterećenja.
U većini slučajeva deformacije koje se javljaju pri kretanju su relativno male pa je pretpostavka o krutom telu opravdana.
Znajući zakon kretanja datog tela ili tačke, odrediti sve kinematičke veličine, koje karakterišu kako kretanje tela kao celine, tako i kretanje svake njegove tačke posebno (putanje, brzine, ubrzanja).
Osnovni zadatak kinematike
Kinematika tačke
Da bi se definisalo kretanje tačke potrebno je odrediti njen položaj prema odabranom koordinatnom sistemu referencije u svakom trenutku vremena. Za to je moguće primeniti jednu od sledeće tri metode:– vektorska;– analitička (koordinatna);– prirodna.
Položaj pokretne tačke u prostoru
Položaj tačke M potpuno je određen vektorom čiji je početak u koordinatnom početku O, a vrh u tački koja se kreće. Taj vektor se zove vektor položaja tačke.Pri kretanju tačke M menja se vektor položaja i po pravcu i po intenzitetu. Prema tome, r je promenljivi vektor (vektor funkcija) koji zavisi od vremena t:
r r(t)=r r
Putanja - trajektorija
je zakon kretanja tačke u vektorskom obliku.Geometrijsko mesto krajeva vektora r određuje putanju pokretne tačke ili tarajektoriju.
r r(t)=r r
Putanja (trajektorija) je neprekidna linija koju opisuje tačka pri kretanju u odnosu na koordinatni sistem referencije. Ako je putanja prava – kretanje je pravolinijsko, a ako je kriva linija, onda se zove krivolinijsko.
KOORDINATNI SISTEMI
• Dekartov pravougli sistem• Polarno - cilindrični koordinatni sistem• Sferni koordinatni sistem• Prirodni koordinatni sistem
Dekartov pravougli koordinatni sistem
1
2
f (x, y) 0,f (y, z) 0.
==
r x i y j z k,= + +r r rr
r r(t) x(t) i y(t) j z(t) k,= = + +r r rr r
x x(t),y y(t),z z(t).
===
Ove tri skalarne funkcije su
zakoni kretanja u Dekartovom
koordinatnom sistemu.
1 2F (x, y, z) 0, F (x, y, z) 0.= =
Određivanje jednačine putanje:
Polarno – cilindrični pravougli koordinatni sistem
Koordinate tačke M: ρ, ϕ, z
constconstzconst === ρϕ ,,se zovu koordinatne površi – dve ravni i jedna cilindrična površ. U preseku koordinatnih površi se dobijaju koordinatne linije – dve prave linije i krug, a u preseku koordinatnih linija je tačka M.U pravcu tangenti na koordinatne linije su jedinični vektorikoji definišu radijalni, cirkularni i aksijalni pravac.
kcrrr i, 00ρ
( ) ( ) ( ) ( )0r t t t z t k.= ρ ρ +rr r
( )( )( )
t ,
t ,
z z t .
ρ = ρ
ϕ = ϕ
=
Vektor položaja i zakoni (jednačine kretanja) tačke u polarno-cilindričnom sistemu.
x cos ,y sin ,z z.
= ρ ϕ= ρ ϕ=
Zavisnost između koordinata x, y, z i ρ, ϕ , z jedne iste tačke M u dva koordinatna sistema – Dekartovom i polarno cilindričnom je očigledna sa slike:
Eliminacijom parametra t se mogu dobiti jednačine oblika:
( ) ( )1 2f , 0, f , z 0.ρ ϕ = ϕ =
koje predstavljaju površi, u čijem preseku je linija putanje tačke.
( ) ( )r r t , t .= ϕ = ϕ
Jednačina linije putanje je:
( )r r .= ϕ
pri čemu je rρ =
Ako se tačka kreće u ravni, z =0, polarno – cilindrični koordinatni sistem se svodina polarni koordinatni sistem, zakoni kretanja su:
Polarni koordinatni sistem
Sferni koordinatni sistem
Koordinate tačke M:r, ϕ (od 0 do 2π)ψ (od -π/2 do π/2),jedinični vektori
000 ,, νrrr cr
Vektor položaja tačke glasi:
( ) ( )0r r t r t=r r ( )
( )( )
r r t ,
t ,
t .
=
ϕ = ϕ
ψ = ψJednačine ili zakoni kretanja su:
Koordinatna transformacija između sfernog i Dekartovog koordinatnog sistema:
x r cos cos ,y r cos sin ,z r sin .
= ψ ϕ= ψ ϕ= ψ
Eliminacijom parametra t iz zakona kretanja se dobijajednačina putanje tačke.
Da bismo poznavali položaj tačke M u svakom trenutku na putanji potrebno je da znamo zavisnost:
( )s s t=
zakon kretanja (zakon puta) tačke M po putanji. Da bi se odredilo kretanje tačke prirodnim putem, potrebno je poznavati:• putanju tačke• početak koordinatnog sistema sa utvrđenim pozitivnim i negativnim smerom• zakon kretanja (zakon puta) gde rastojanje s određuje krivolinijsku koordinatu tačke.
Prirodni koordinatni sistem
Ravni:• Oskulatorna,• Normalna• Rektifikaciona.
Ortovi obrazuju takozvani prirodni trijedar.U opštem slučaju prostorne krive linije, pravci osa prirodnog trijedra menjaju se od tačke do tačke krive.
drT, T , T dTds
= +rr r r r
Ortovi:
T, N, B.r r r
Brzina tačke
def
srt 0 t 0
r drv lim v lim r.t dt∆ → ∆ →
∆= = = =
∆
r r rr r &
( ) ( )r r t t r t ,∆ = + ∆ −r r r
srrv .t
∆=
∆
rr
drv r.dt
= =r rr &
Brzina tačke jednaka je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu.
[ ] 1dr dsv . ds dr v L T . (m / s, cm / s, km / s, km / h).dt dt
−= = = =r rr
Vektor brzine tačke se poklapa sa pravcem tangente na putanju, u smeru kretanja.
Brzina tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu
x y z
dr d dx dy dzv r x(t) i y(t) j z(t) k i j kdt dt dt dt dt
v x i y j z k.v x, v y, v z.
= = = + + = + +
= + += = =
r r r r r r rrr &
r r rr & & && & &
)25(,,, zvyvxv zyx &&& ===
y2 2 2 2 x zv v v
vv vx y zv v v x y z , cos , cos , cos .v v v v v v
= ⋅ = + + α = = β = = γ = =& & &r r & & &
x y zv v(t) v i v j v k,= = + +r r rr r
r r(t) x(t) i y(t) j z(t) k.= = + +r r rr r
komponente brzine
PrimerNeka su zakoni kretanja tačke dati jednačinama
x bsin( t), y b cos(2 t), z bcos(2 t)= ω = − ω = ω
gde su b i pozitivne konstante.ω
Primenom jednačina slede komponente vektora brzine:
x y zv x, v y, v z= = =& & &
x
y
z
v x b cos( t),v 2b sin(2 t),
v 2b sin(2 t),
= = ω ω= ω ω
= − ω ω
&
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2
v x y z b cos t 8sin t ,
v b cos t 1 32sin t 0
= + + = ω ω + ω
= ω ω + ω ≥
& & &
Intenzitet brzine je: