i limiti di funzioni reali di una variabile reale limiti di funzioni reali di variabile... · reale...
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I limiti di funzioni reali di una variabile reale
Prof. Giovanni Ianne
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Limite finito
per x che tende
a un valore finito
Limite finito
per x che tende
a un valore infinito
Limite infinito
per x che tende
a un valore finito
Limite infinito
per x che tende
a un valore infinito
Definizione di limite di una funzione
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Definizione di limite finito per x che tende a un valore finito x0
Quando il limite è finito si
dice che f(x) converge a
lxfxxIxxI
xxlxf
)(:)( )( 0
)(lim
000
0
l
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Il significato della definizione
L’esistenza del limite assicura che:
se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a .l
Se riduciamo , troviamo un intorno di x0 più piccolo.
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La verifica
Esempio
Verifichiamo che
Dobbiamo far vedere che, fissato > 0, piccolo a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno completo del punto 2 tale che
ossia:
2
713lim
x
x
:2)2( Ix 7)13( x
6363 xx
32
32
3
63
6
6363
x
x
x
x
xx
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2 x
L’ insieme delle soluzioni è quindi:
.
Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la
condizione iniziale, quindi il limite è verificato.
32
32
32;
32
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Osserviamo che
In generale, l’ esistenza del limite di una funzione in un punto
è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso.
Sono possibili i seguenti casi:
Esiste e ;
Esiste e ;
Esiste e non esiste .
2)2()(lim
xfxf
0x
0
)(limxx
lxf
)( 0xf
0
)(limxx
lxf
)( 0xfl
0
)(limxx
lxf
)( 0xfl
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Definizione di limite infinito per x che tende a un valore finito x0
MxfxxIxxIM
xxxf
)(:)( )( 0
)(lim
000
0
MxfxxIxxIM
xxxf
)(:)( )( 0
)(lim
000
0
Se il limite della funzione è , si dice che la funzione diverge positivamente.Se il limite della funzione è , si dice che la funzione diverge negativamente.
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x
y
O x0
Scelto un
numero
positivo M
grande
quanto si
vuole…
…è possibile
determinare
un intorno I
di x0 …
…tale che,
per ogni x
preso
nell’intorno
I, si ha che
f(x) è
maggiore di
M
M
I
x
f(x)
)(lim0
xfxx
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La verifica
Esempio
Verifichiamo che
Dobbiamo far vedere che, fissato M > 0, grande a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno completo del punto 0 tale che
ossia:
L’ equazione associata è:
0
1lim
2
xx
:0)0( Ix Mx
2
1
011 22 M
xM
x
Mx
Mx
10
12
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La disequazione è verificata per valori interni:
Tenendo conto del dominio, otteniamo come insieme
delle soluzioni della disequazione l’ intorno di 0 dato
da privato del punto 0.
Quindi, poiché la soluzione è un intorno di 0, il limite dato è verificato.
Mx
M
11
MM
1;
1
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Definizione di limite finito per x che tende a un valore infinito
lxfIxI
xlxf
)(:)( )( 0
)(lim
lxfIxI
xlxf
)(:)( )( 0
)(lim
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La verifica
Esempio
Verifichiamo che
Dobbiamo far vedere che, fissato piccolo a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di tale che
ossia:
x
x 05lim
0
:)( Ix x5
x5
Rxx
Rx
x
x
x
555loglog5log
55
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Poiché la soluzione è un intorno di , il
limite è verificato.
5logx
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Definizione di limite infinito per x che tende a un valore infinito
MxfIxIM
xxf
)(:)( )( 0
)(lim
MxfIxIM
xxf
)(:)( )( 0
)(lim
MxfIxIM
xxf
)(:)( )( 0
)(lim
MxfIxIM
xxf
)(:)( )( 0
)(lim
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18/26Prof Giovanni Ianne
19/26Prof Giovanni Ianne
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TEOREMI FONDAMENTALI SUI LIMITI
• Teorema dell’ unicità del limite
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto o dei due carabinieri
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Teorema dell’ unicità del limite
Se una funzione f(x) per ammette un limite, questo è unico.
In simboli:
0xx
0 )(lim 2.
unico è :Tesi 1. :
xxlxf
lRlIpotesi
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Teorema della permanenza del segno
Se una funzione f(x) per tende ad un limite finito diverso da zero, esiste un intorno del punto
per tutti i punti del quale, escluso al più ,
la funzione f(x) assume valori dello stesso segno del suo limite.
0xx l
0x 0x
0 2.
di intornoun in 0f(x) :Tesi )(lim 1. :
0
0
lxx
xlxfIpotesi
0 2.
di intornoun in 0f(x) :Tesi )(lim 1. :
0
0
lxx
xlxfIpotesi
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Teorema del confronto o dei due carabinieri
Il teorema viene detto dei due carabinieri perché la funzionef viene “costretta”, da h e da g, a tendere a .l
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