i. részelmfiz.elte.hu/~bantay/maxwell_pres2.pdf · maxwell-egyenletek di erenciális alakjának...

0-0

I. rész

Elektromágneses alapjelenségek

Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk® ('élektron') azapróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja.

Dörzsölés hatására a testek elektromos töltésre tehetnek szert (dörzsölésielektromosság, pl. van der Graaf generátor).

Elektromosan töltött testek vonzzák vagy taszítják egymást (befolyásol-ják egymás mozgását) ⇒ kétféle (pozitív és negatív) töltés.

Következmény: töltések kiegyenlít®désére irányuló folyamatok.

Kiegyenlítetlen töltések létének mikroszkopikus magyarázata: elemi ré-szek - elektron, proton, stb. - saját elektromos töltéssel rendelkeznek(elemitöltés).

Próbatöltés: pontszer¶nek tekinthet® kicsiny töltés, melynek hatása atöbbi töltésre elhanyagolható, nem befolyásolja azok mozgásállapotát.

0-1

Töltéss¶r¶ség : egységnyi térfogatban (felületen) található töltésmennyi-ség: Q =

´ρ d3~r .

Wilcke és Aepinus, 1760 körül: eredetileg semleges fémdarabot küls® töl-tések közelében két részre osztva elektromosan töltött részeket kapunk(elektromos megosztás); részek töltése azonos, de ellentétes el®jel¶ (vonz-zák egymást).

Mikroszkopikus magyarázat: a fémes kristályban az elektronok egy részeszabadon elmozdulhat a küls® er® hatására (vezetési elektronok), míg amagok helyzete rögzített, így küls® elektromos mez®ben a töltéseloszlásmár nem kiegyenlített.

Elektromos töltések áramlása jellemezhet® az árams¶r¶ség-vektorral, mely-nek iránya megegyezik az áramlás irányával, míg nagysága az áramlásirányára mer®leges egységnyi felületen egységnyi id® alatt átáramló töl-tésmennyiséget adja.

Konduktív (mikroszkopikus) és konvektív (makroszkopikus) áramok; ve-zet®k és szigetel®k.

Thalész (i.e. 600 körül): bizonyos vasércek (magnetit, akkori f® lel®he-

1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZ�K 0-2

lye a kisázsiai Magnesia városa) apró vasdarabokat képesek magukhozvonzani és megtartani.

Kínaiak (i.sz. 200 körül): mágnesezett vas darabkák bizonyos id® utánközelít®leg az észeki irányba mutatnak (irányt¶. Európában a 12-ik szá-zad során jelenik meg)⇒ mágneses testekre forgatónyomaték hat a Földfelszínén.

Oersted (1820): elektromos áram közelében az irányt¶ elfordul ⇒ elekt-romos áram mágneses mez®t gerjeszt⇒ Ampère (1822): mikroszkopikusmolekuláris köráramok felel®sek a mágneses viselkedésért.

1. Elektromos térjellemz®k

Töltésekre hathatnak er®k más töltések hiányában is; a töltésrendszerhatását valamely kiválasztott próbatöltésre az elektromágneses térrel,a próbatöltésre kifejtett er®k segítségével írhatjuk le. Fizikai realitás(energiával, impulzussal bír, stb.), nemcsak matematikai segédeszköz.


Tapasztalat: két különböz® próbatöltésre egyazon helyen azonos irá-nyú, de különböz® nagyságú er®k hatnak; az er®k nagyságának há-nyadosa független a térbeli elhelyezkedést®l, csak a próbatöltéseketjellemzi, azaz

~F1(~r) = α~F2(~r) ,

ahol α független a helyt®l.

Következmény: adott próbatöltésre ható er® felbontható

~F = q~E

alakban, ahol q a próbatöltés nagyságát jellemzi, míg ~E az elekt-romos teret.

~E(~r) vektormez® elnevezése: elektromos térer®sség, míg a q skalár a pró-batest (elektromos) töltése.

Kiterjedt, ρ(~r) térfogati töltéss¶r¶séggel jellemezhet® töltésrendszerreható er®

~F =

ˆρ(~r) ~E(~r) d3~r


ahol az integrálás a test egész térfogatára értend®.

Dipólusnak nevezzük a két azonos nagyságú, de ellentétes el®jel¶, egy-máshoz közeli töltésb®l álló rendszert (töltéssemleges, küls® er®k stabili-zálják). Pontszer¶ határesetben jellemezhet® a

~p = q~a

dipólmomentum-vektorral, ahol q a töltések nagysága, míg ~a az ®ketösszeköt® vektor. Amennyiben ~r jelöli a két töltést összeköt® szakaszfelez®pontjának helyvektorát, míg ~r±=~r±1/2~a az egyes töltésekét, akkora dipólusra ható er®

~F = q~E(~r+)− q~E(~r−) .

A pontszer¶ határesetben |~a| � |~r|, ezért els® rendben sorba fejtve

Fx = q

(Ex(~r) +

~a

2· gradEx − Ex(~r)−

(−~a)2

· gradEx)

= ~p·gradEx,

és hasonló kifejezés adódik az er® többi Descartes-komponensére is.


A fentiek alapján homogén elektromos mez®ben nem hat er® a dipó-lusra, ellenben hat rá forgatónyomaték, melynek kifejezése (a dipólusközéppontjára vonatkoztatva)

~M = (~r+ −~r)× q~E(~r+) + (~r− −~r)× (−q) ~E(~r−)

=q~a

2× ~E(~r) +

(−q) (−~a)2

× ~E(~r) = ~p× ~E(~r) ,

a sorfejtés legalacsonyabb el nem t¶n® rendjében. Ennek alapján azelektromos mez® mindaddig forgatja a dipólust, míg annak dipólmomen-tuma párhuzamos nem lesz a térer®sség adott pontbeli irányával.

Tapasztalat: elektromos megosztás során keletkez® töltések nagyságaarányos az elválasztó felület nagyságával, és függ annak irányától.

Következmény: megosztás során keletkez® töltés

Q = ~D · d~f

alakú, ha az elválasztó felület elég kicsiny; itt ~D az elektromosmez® megosztási képességét jellemz® eltolási vektor.

2. MÁGNESES TÉRJELLEMZ�K 0-6

~E és ~D együtt teljes mértékben jellemzik az elektromos teret.

2. Mágneses térjellemz®k

Alapvet® tapasztalat: mágnest¶ elfordul mágneses térben, illetve mozgótöltések (elektromos áram) eltérülnek.

Tapasztalat: különböz® mágnest¶kre ható forgatónyomatékok a tér egy-azon pontjában azonos irányúak, de különböz® nagyságúak; nagy-ságuk aránya a helyt®l független, de függ a mágnest¶ irányától(bizonyos irányokban zérus, bizonyosakban pedig maximális).

Következmény: adott mágnest¶re ható forgatónyomaték felírható

~m× ~H

alakban, ahol ~m csak a mágnest¶ jellemz®je (mágneses momen-

tum), míg ~H a mágneses mez®t jellemz® mágneses térer®sség vek-

tora.


Tapasztalat: mágneses mez®ben mozgó elektromos töltésre er® hat,amelynek nagysága arányos a töltés nagyságával és sebességével,míg iránya mer®leges ez utóbbira, de egyébként csak a térbeli hely-zett®l függ.

Következmény: mozgó elektromos töltésre ható er®

~F =q

c~v × ~B

alakú, ahol q és ~v a próbatöltés nagysága és sebessége, c ≈ 3 ·1010m/s a fénysebesség, míg ~B a mágneses mez®t jellemz® mágne-

ses indukció vektora.

Faraday, 1831: id®ben változó mágneses tér elektromos teret kelt (elekt-romágneses indukció).

~H és ~B együtt teljes mértékben jellemzik a mágneses mez®t.

Gyakran~B = µ~H


lineáris kapcsolat, ahol µ a közeget jellemz® mennyiség (mágneses per-

meabilitás); vákuumban µ = 1, azaz ~B = ~H.

Általában ~B = ~H+4π ~M, ahol ~M a küls® mágneses tér által a közegbenindukált mágneses dipólusok s¶r¶sége.

3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-9

3. A Maxwell-egyenletek

Elektromágneses térjellemz®k közötti alapvet® összefüggések, amelyekminden körülmények között teljesülnek. Szokásos megfogalmazásban (el-s®rend¶, lineáris) parciális di�erenciálegyenlet-rendszert alkotnak.

Konkrét meg�gyeléseken alapulnak, ezért eredend®en véges kiterjedés¶tartományokra vonatkoznak (integrális alak).

Térjellemz®k lassú, folytonos változása makroszkopikus tartományokban(közelhatás) ⇒ lehetséges lokális, pontonkénti leírás.

Maxwell-egyenletek di�erenciális alakjának származtatása integráltéte-lek alkalmazásával.

Jelölések: F egy felület, ∂F annak határoló görbéje, c a fénysebesség,míg V a ∂V zárt felület által határolt térrész.


A Gauss-törvény

ˆ∂V

~D · d~f = 4πQ

ahol Q jelöli a ∂V zárt felület által határolt V térrészben foglalt teljestöltés mennyiségét.

A töltések a ~D eltolási vektort gerjesztik, amely ezek szerint nem függ aközeg milyenségét®l.

Mivel Q =´V ρ d

3~r, ahol ρ a térfogati töltéss¶r¶ség, és a Gauss-tételszerint ˆ

∂V~D · d~f =

ˆVdiv ~D d3~r

ezért a di�erenciális alak

div ~D = 4πρ


A mágneses Gauss-törvény

A tapasztalat szerint nincsenek önálló mágneses töltések (monopólusok),ezért a mágneses indukciónak nincs forrása, azaz egy adott térrész hatá-rára vett integrálja elt¶nik (vesd össze a Gauss-törvénnyel):

ˆ∂V

~B · d~f = 0

bármely V térrészre (integrális alak).

A Gauss-tétel miatt ˆ∂V

~B · d~f =ˆVdiv ~B d3~r

ezért

div ~B = 0


Az Ampère-törvény

Oersted (1820): mozgó töltések mágneses mez®t keltenek.ˆ∂F

~H(~r) · d~r =4π

c

ˆF~(~r) · d~f + 1

c

d

dt

(ˆF~D(~r) · d~f

)Stokes�tétel:

´∂F

~H(~r) · d~r =´F rot ~H · d~f

F id®ben állandó ⇒ ddt

(´F~D(~r) · d~f

)=´F∂ ~D

∂t· d~f

ˆF

(rot ~H− 4π

c~− 1

c

∂ ~D

∂t

)· d~f = 0

Az F felületet egy pontra összehúzva:

rot ~H =4π

c~+

1

c

∂ ~D

∂t

Jobb oldal második tagja (Maxwell): eltolási áram!


A Faraday-törvény

Id®ben változó mágneses mez® örvényes elektromos mez®t gerjeszt (mág-neses �uxus változási sebessége arányos a gerjesztett elektromos mez®cirkulációjával).

ˆ∂F

~E · d~r = −1

c

d

dt

(ˆF~B · d~f

)Id®ben nem változó felület esetén, a Stokes�tételt felhasználva

ˆF

(rot ~E+

1

c

∂~B

∂t

)· d~f = 0

Az F felületet egy pontra zsugorítva kapjuk, hogy

rot ~E = −1

c

∂~B

∂t

4. KONTINUITÁSI EGYENLET 0-14

4. A kontinuitási egyenlet és a töltésmegma-

radás

Maxwell-egyenletekben az ~E, ~H, ~D és ~B elektromágneses térjellemz®k azismeretlenek, míg ρ és ~ az (elvileg) ismert forrásai az elektromágnesesmez®nek, melyek a peremfeltételekkel közösen meghatározzák azt.

Maxwell-egyenletek alapján

∂ρ

∂t=

1

4π

∂

∂tdiv ~D = div

(1

4π

∂ ~D

∂t

)= div

( c

4πrot ~H−~

)= −div~

Valós �zikai szituációban ρ és ~ nem független, ki kell hogy elégítsék a

∂ρ

∂t+ div~ = 0

kontinuitási egyenletet.

4. KONTINUITÁSI EGYENLET 0-15

V egy id®ben nem változó térrész, Q=´V ρ(~r) d

3~r a térrészben találhatóteljes töltés mennyisége.

Kontinuitási egyenlet + Gauss-tétel

dQ

dt=

d

dt

(ˆVρ(~r) d3~r

)=

ˆV

∂ρ

∂td3~r

=

ˆV(−div~) d3~r = −

ˆ∂V~(~r) · d~f

Itt´∂V ~(~r) · d~f a V térrész határán id®egység alatt kiáramló töltés

mennyisége.

Adott térfogatban található töltés megváltozása egyenl® a térrészt hatá-roló felületen átfolyó töltés mennyiségével: lokális töltésmegmaradás.

5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-16

5. Anyagi összefüggések

A Maxwell-egyenletek rendszere

skaláris vektoriális

div ~D = 4πρ rot ~E = −1

c

∂~B

∂t

div ~B = 0 rot ~H =4π

c~+

1

c

∂ ~D

∂t

8 egyenlet 12 ismeretlen függvényre⇒ közegre jellemz® anyagi összefüg-

gések ismerete szükséges a megoldásukhoz.

Vákuumban ~D = ~E és ~B = ~H.

Általában ~D = ~E+ 4π~P és ~B = ~H+ 4π ~M.

~P a közeg polarizációs vektora, míg ~M a közeg mágnesezettsége.


Mikroszkopikus eredet

Küls® elektromos mez® hiányában a közeget alkotó mikroszkopikus töl-tések (atommagok és elektronok) általában semlegesítik egymást mak-roszkopikus méretekben (kivéve ionizált közegek).

Küls® mez® hatására új er®egyensúly alakul ki, töltések relatív helyzetemegváltozik, a közeg polarizálódik.

~P polarizációs vektorral jellemzett dipólmomentum-s¶r¶ség indukálódika közegben.

Mivel vákuumban nincs polarizálható közeg, ezért ott ~P=~0.

Küls® tér hiányában általában nem lép fel polarizáció (kivételt képeznekaz elektrétek), azaz ~P=~0 ha ~E=~0, ezért nem túl er®s mez®k esetén jóközelítéssel

~P=χ~E

lineáris kapcsolat (kivéve lézerek, stb.), ahol χ a közeg (elektromos)szuszceptibilitása.


Fentiek alapján~D = ε~E

ahol ε= 1+4πχ a közeget jellemz® mennyiség, a permittivitás vagy di-

elektromos állandó (vákuumban ε=1).

Hasonló meggondolásból ~M = χm ~H és

~B = µ~H

ahol χm a közeg mágneses szuszceptibilitása, míg µ=1+4πχm a perme-abilitása (kivétel: permanens mágnesek).

Izotrop közegben az anyagi állandók skalárok, míg anizotrop közegben(kristályok) tenzorok.

Fentiek �gyelembe vételével 8 egyenletet kapunk 6 ismeretlenre (túlha-tározott rendszer).

De: két skalár egyenlet mindig teljesül, ha egy adott kezdeti id®pontbanteljesülnek � kezdeti feltételek szerepét játsszák.

6. VEZET�K ÉS SZIGETEL�K 0-19

6. Vezet®k és szigetel®k

Szigetel® közegben (dielektrikum) nincsenek szabad mikroszkopikus töl-téshordozók, ezért nem folynak bennük konduktív áramok (legfeljebbnagyon rövid ideig)

~kond = ~0

Ha nincs makroszkopikus töltésáramlás (konvektív áram), akkor a kon-tinuitási egyenlet alapján ∂ρ

∂t = 0, azaz ρ id®ben állandó.

Vezet®ben a mikroszkopikus töltések szabadon áramolhatnak küls® elekt-romos tér hatására, így kialakulhatnak konduktív áramok.

Nem túl nagy térer®sség esetén lineáris közelítés (Ohm-törvény)

~kond = σ~E ,

ahol σ a vezet®t jellemz® skalár- (kristályokban tenzor-)mennyiség, aközeg vezet®képessége; szigetel®k � köztük a vákuum � vezet®képességezérus.

6. VEZET�K ÉS SZIGETEL�K 0-20

~D = ε~E lineáris anyagi összefüggés + Ohm-törvény + kontinuitási egyen-let ⇒ homogén, izotrop vezet® belsejében

∂ρ

∂t= −div~ = −div

(σ~E)= −σ

εdiv ~D = −4πσ

ερ

amib®l

ρ(~r, t) = ρ(~r, 0) exp

(− t

tr

)tr =

ε4πσ a relaxációs id® (értéke réz esetén kb. 10−19s)

Vezet®k belsejében exponenciális gyorsasággal csökken a töltéss¶r¶ség.

A töltések a vezet® belsejéb®l gyakorlatilag azonnal kiszorulnak a vezet®felületére, és úgy oszlanak ott el, hogy a vezet® belsejében leárnyékoljáka teret, ott ~E = ~0 legyen (Faraday-ketrec elve).

7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-21

7. Illesztési feltételek közegek határán

Adott közeg belsejében a térjellemz®k folytonosan változnak, de két kü-lönböz® közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek.

Ha minden térjellemz® folytonosan változna, akkor mindkét közegbenugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének.

Érintkezési felületen töltések halmozódhatnak fel, illetve áramolhatnakannak mentén (felületi töltések és áramok kialakulása).

Határfelület egy adott pontjában a térjellemz®k értéke attól függ, hogya felület melyik oldalán (melyik közegben) vizsgáljuk.

Térjellemz®k ugrásának jellemzése a Maxwell-egyenletek integrális alak-jából származtatott illesztési feltételek segítségével.

~X1 illetve ~X2 az ~X térjellemz® értéke a határfelület egy pontjában attólfügg®en, hogy melyik térrészb®l közelítjük meg a határfelületet.

~X vektormennyiség normális és tangenciális komponensei: Xn= ~X·~n és~Xt= ~X−Xn~n, ahol ~n a felület normális egységvektora.


Az eltolási vektor és a mágneses indukció vektorának

illesztési feltétele

Tekintsük a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet mer®-legesen metsz®, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengerestestet

F1 és F2 a hengerfelület alap és fed®lapja, míg P a palástja.

Q jelöli a V térrészben található összes töltést.

Gauss-törvény szerint

4πQ =

ˆ∂V

~D · d~f =ˆP~D · d~f +

ˆF1

~D · d~f +ˆF2

~D · d~f

A hengert a felületre lapítva (h→0 határeset) a P palástra vett integrálnullához tart (mert felülettel arányos),

ˆP~D · d~f → 0


mígˆF1

~D · d~f → −ˆF~D1 · d~f

ˆF2

~D · d~f →ˆF~D2 · d~f

mert a d~f felületelem a ∂V küls® normálisának irányába mutat.

4πQ =

ˆF

(~D2 − ~D1

)· d~f

Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezked® töl-tések a határfelületre koncentrálódnak

Q=

ˆFη(~r) ~n(~r) · d~f

ahol η(~r) a felületi töltéss¶r¶ség, míg ~n(~r) a határfelület ~r pontbeli nor-málisa.


Fentiek szerint a határfelület bármely F darabjára

ˆF

(~D2 − ~D1 − 4πη~n

)· d~f=0

Az F felületet egy pontra összehúzva (mivel d~f párhuzamos az ~n normálisegységvektorral)

~n · ~D2 − ~n · ~D1=4πη

Eltolási vektor normális komponensének ugrása a felületi töltéss¶r¶ségetadja (4π szorzó erejéig).

Mivel nincsenek mágneses töltések, ezért hasonló gondolatmenettel amágneses Gauss-törvényb®l

~n · ~B2=~n · ~B1

A mágneses indukció vektor normális komponense folytonos.


A mágneses és az elektromos térer®sségek illesztési

feltétele

F egy h magasságú, a határfelületet mer®legesen metsz® téglalap, mely-nek alsó oldala L1, fels® oldala L2, és metszete a határfelülettel L.Az Ampère-törvény szerint

ˆ∂F

~H · d~r =4π

cIF +

1

c

ˆF

∂ ~D

∂t· d~f ,

ahol IF az F téglalapon átfolyó áram.

A téglalapot összenyomva a felületre (h→0)ˆF

∂ ~D

∂t· d~f → 0

mivel az integrál a téglalap területével arányos, és mivel az érintett ol-dalak hossza szintúgy elt¶nik, ezértˆ

∂F−L1−L2

~H · d~r→ 0


Innenˆ∂F

~H·d~r=ˆL2

~H·d~r+ˆL1

~H·d~r+ˆ∂F−L1−L2

~H·d~r→ˆL

(~H2 − ~H1

)·d~r

�gyelembe véve az irányítást ∂F körbejárásánál.

L mentén d~r érint® irányú (tangenciális), így amennyiben az L görbétegy ~r pontra húzzuk össze, a limesbenˆ

∂F~H · d~r→

(~H2(~r)− ~H1(~r)

)·~t

ahol ~t jelöli az L érint®vektorát az ~r pontban, míg |L| az L hossza.

Fenti gondolatmenet tetsz®leges, a határfelület belsejében haladó L gör-bére alkalmazható ⇒ fenti összefüggés igaz bármely ~t érint® irányú (~nnormálisra mer®leges) vektorra .

Végül h→0 esetén IF a határfelület belsejében, az L-re mer®leges irány-ban id®egység alatt átáramló töltés mennyisége (felületi áramer®sség),azaz

IF=

ˆL(if (~r)× ~n(~r)) · d~r


ahol if a felületi árams¶r¶ség (a felület mentén, az áramlás irányáramer®leges egységnyi hosszú szakaszon id®egység alatt átáramló töltés),és ~n a felület normális egységvektora.

Következésképpen(~H2(~r)− ~H1(~r)−

4π

cif (~r)× ~n(~r)

)·~t = 0

minden ~n-re mer®leges ~t vektor esetén. Innen(~H2(~r)− ~H1(~r)

)t=

4π

cif (~r)× ~n(~r)

Mivel nincsenek mágneses áramok, ezért hasonló gondolatmenet alapján

~E2(~r)t =~E1(~r)t

Az elektromos térer®sség tangenciális és a mágneses indukció normáliskomponense folytonosan változik két közeg határán.

8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-28

8. Az elektromágneses mez® energiája és a

Poynting�vektor

ρ(~r) töltéss¶r¶séggel jellemzett töltött test(ek) mozgása elektromágnesesmez® hatására vákuumban, más er®forrásoktól távol.

EM mez® hiányában szabad mozgás: impulzus, energia (kinetikus), im-pulzusmomentum megmarad.

EM mez® er®t gyakorol a testre ⇒ sebessége megváltozik ⇒ impulzusa,kinetikus energiája, stb. megváltozik.

Lokális energiamegmaradás: adott térrészben fellelhet® összes energia-fajta összege csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon.

Közeg hiányában csak EM mez® energiája kompenzálhatja kinetikusenergia változását (hasonlóan impulzusra és impulzusmomentumra) ⇒

EM mez® az anyag egyik megjelenési formája: bár nem áthatolhatatlan,de rendelkezik az alapvet® attribútumokkal (energia, impulzus, impulzus-momentum), közegt®l függetlenül.


EM mez® folytonos változása⇒ energia (impulzus, impulzusmomentum)folytonos eloszlása ⇒ térfogati energias¶r¶ség.

~r középpontú egységnyi térfogatra ható er® ρ(~r)(~E(~r) + 1

c~v(~r)× ~B(~r)

)Egységnyi id® alatt végzett munka = ρ~E·~vKinetikus energia megváltozása = testen végzett munka

dK

dt=

ˆVρ(~r) ~E(~r) · ~v(~r) d3~r

V: a töltéseloszlást és az EM mez®t végig magában foglaló térrész.

Energiamegmaradás (izolált rendszer):

dEemdt

= −dK

dt

Eem nem függhet a vizsgált test tulajdonságaitól, csak a térjellemz®kt®l!

Vákuumban nincsenek konduktív áramok (~=~konv=ρ~v)

dK

dt=

ˆV~E ·~ d3~r


Ampère- és Faraday-törvények szerint

1

4π~E · ∂

~D

∂t− c

4π~E · rot ~H = −~E ·~

1

4π~H · ∂

~B

∂t+

c

4π~H · rot ~E = 0

ezért

− ~E ·~ = 1

4π

(~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t

)+

c

4π

(~H·rot ~E−~E·rot ~H

)=

1

4π

(~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t

)+

c

4πdiv

(~E× ~H

)kihasználva, hogy ~H · rot ~E− ~E · rot ~H = div

(~E× ~H

).

Mivel vákuumban ~D= ~E és ~B= ~H, végül

−~E ·~ = ∂w

∂t+ div ~S energiamérleg


ahol

w =1

8π

(~D · ~E+ ~B · ~H

)és

~S =c

4π~E× ~H

~S elnevezése: Poynting-vektor.

V-re integrálva, és felhasználva, hogyˆVdiv ~S d3~r =

ˆ∂V~S · d~f = 0

mivel V határán ~E és ~H (és így ~S is) elt¶nik:

d

dt

(ˆVw(~r) d3~r

)=

ˆV

(∂w

∂t+div ~S

)d3~r=−

ˆV~E·~ d3~r=−dK

dt

w(~r) az EM mez® energias¶r¶sége, és Eem =´V w(~r) d

3~r a V térrészbentalálható EM energia.


Ha a V térrészen kívül is van EM mez® (de nincsenek töltések), akkorbels® és küls® mez® kölcsönhatása miatt energiaáram:

d(K+Eem)dt

= −ˆ∂V~S · d~f

~S az energiaáram-s¶r¶ség vektora (iránya párhuzamos az energiaáramirányával, nagysága az egységnyi id® alatt az irányára mer®leges egység-nyi felületen átáramló energia mennyisége).

Anyagi közegben

d(K+Eem)dt

= −ˆ∂V~S · d~f −

ˆV~E ·~kond d3~r

Joule-h®: −~E ·~kond disszipatív tag (em energia termikus energia).

Csak az összenergia (mechanikai + elektromágneses + termikus) maradmeg, az egyes energiafajták átalakulhatnak egymásba.

Impulzuss¶r¶ség = 1c2~S (fénynyomás).

i. részelmfiz.elte.hu/~bantay/maxwell_pres2.pdf · maxwell-egyenletek di erenciális alakjának...

Documents