i sistemi lineari definizione e caratteristiche 1 unequazione del tipo 3x y = 6 ha come soluzioni...
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I sistemi lineari Definizione e caratteristiche
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Un’equazione del tipo 3x − y = 6 ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la verificano.
Per esempio (0,−6) è soluzione: 3 0 −(−6) = 6 ma (1, 5) non è soluzione: 3 1 − 5 ≠ 6
In generale le soluzioni di un’equazione in due o più variabili sono infinite.
Se si vogliono trovare le soluzioni comuni a due o più equazioni nelle stesse incognite si scrivono tali equazioni all’interno di una parentesi graffa aperta e si dice che formano un sistema.
ESEMPIO
02
63
yx
yx
I sistemi lineari Definizione e caratteristiche
2
L’insieme delle soluzioni di un sistema è rappresentato dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione; soluzione è la coppia (x, y) che verifica entrambe le equazioni.
ESEMPIO
02646643
infatti:
(4, 6) è soluzione del precedente sistema
Le equazioni del sistema sono verificate per gli stessi valori delle variabili.
I sistemi lineari Caratteristiche
3
Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.
ESEMPIO
04243
3
22
yxyxx
Il sistema
IL GRADO DI UN SISTEMA
è di grado 6 perché la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3.
I sistemi lineari Caratteristiche
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SISTEMI INTERI E FRAZIONARI
Un sistema può essere:
02332
yxyx intero se tutte le equazioni
sono intere
31
23
143
21 2
yx
xyyxoppure
xyxyxx
yx
1
11
2
frazionario se almeno una delle equazioni è frazionaria
01
21
33
22
1
yx
yxoppure
Con x ≠ 0 ∧ x ≠ y (C. d. E.) Con x ≠ 2 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 3 (C. d. E.)
I sistemi lineari Caratteristiche
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Analogamente a quanto fatto per le equazioni possiamo affermare che un sistema è:
determinato se ha un numero finito di soluzioni
impossibile se non ha soluzioni
indeterminato se ha infinite soluzioni.
SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI, IMPOSSIBILI
I sistemi lineari Sistemi equivalenti
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• Due sistemi equivalenti hanno le stesse soluzioni.
• Per risolvere un sistema si passa ad un altro ad esso equivalente ma di forma più semplice.
• Il passaggio da una forma ad un’altra ad essa equivalente avviene mediante l’applicazione di due principi di equivalenza.
I sistemi lineari Principi di equivalenza
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ESEMPIO
Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad un’incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
05321yx
yxIl sistema
Il secondo sistema è stato ottenuto ricavando la y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda.
05132
1xx
xyè equivalente a
I sistemi lineari
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ESEMPIO
Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse l’equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
0350132
yxyx
Il sistema
0132
035132
yx
yxyxè equivalente a
Il secondo sistema è stato ottenuto sommando membro a membro le equazioni del primo sistema e associando all’equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema (nell’esempio, la prima).
Principi di equivalenza
I sistemi lineari Risoluzione
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• Un sistema di primo grado è detto lineare.
• Forma normale:
ax by c
dx ey f
• Un sistema lineare determinato ammette una sola soluzione:
x k
y h
La coppia soluzione è (k, h)
I metodi per la risoluzione di un sistema si basano sui principi di equivalenza e sono i seguenti:
• il metodo di sostituzione, che consiste nel ricavare l’espressione di una variabile da una delle equazioni e sostituire tale espressione nelle altre
• il metodo di riduzione, che consiste nel sostituire ad una delle equazioni quella che si ottiene sommando membro a membro l’equazione stessa con un’altra (dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno fattore non nullo), in modo da eliminare una delle variabili
• il metodo del confronto, che consiste nel ricavare l’espressione della stessa variabile da due equazioni e nel confrontare le espressioni ottenute.
I sistemi lineari Risoluzione
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• Metodo di sostituzione.
ESEMPIO
024132
yxyx
24132
yxyx
Ricava x dalla seconda equazione
Principio di sostituzione Calcola
241348
yxyy
continua
24
13242
yx
yy
I sistemi lineari Risoluzione
11
2435yx
y
Calcola Principio di sostituzione
5253
x
y
53 ;
52S
2534
53
x
y
I sistemi lineari Risoluzione
12
• Metodo di riduzione.
ESEMPIO
5375
yxyx
5321153
yxyx
Moltiplica per −3 la prima equazione
Principio di riduzione
75
5213153
yx
yxyx
Calcola
continua
I sistemi lineari Risoluzione
13
751616
yxy
Calcola
751yx
y
Calcola
7151
xy
Sostituisci Calcola
21
xy 1 ; 2
S
I sistemi lineari Risoluzione
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• Metodo del confronto.
ESEMPIO
0102
yxyx
12yxyx
Ricava x nelle due equazioni
Confronta le espressioni ottenute
112
yxyy
Calcola
continua
1
32yxy
I sistemi lineari Risoluzione
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Calcola e sostituisci
2123
x
y
12323
x
y
23 ;
21S
Calcola
I sistemi lineari
ESEMPIO
Matrici e determinanti
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Una tabella di numeri della forma si chiama matrice e poiché ha due righe e due colonne
si dice che è una matrice quadrata di ordine due.
a b
c d
Ad ogni matrice di questo tipo si può associare un numero, chiamato determinante, che si calcola in questo modo:
a b
c d= ad − bc
3 6
1 4= 3 4 − 1 6 = 12 − 6 = 6Δ =
Data la matrice3 6
1 4Il suo determinante è
I sistemi lineari Risoluzione
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• Metodo di Cramer.
feydxcbyax
Dato il sistema si devono calcolare i determinanti:
a b
d e= ae − bdΔ =
c b
f e= ce − bfΔx =
a c
d f= af − cdΔy =
• Se Δ ≠ 0 il sistema è determinato con soluzione
yy
xx
• Se Δ = 0 e Δx = Δy = 0 il sistema è indeterminato.
• Se Δ = 0 e Δx ≠ 0 oppure Δy ≠ 0 il sistema è impossibile.
I sistemi lineari Risoluzione
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ESEMPIO
34463
yxyx
Dato il sistema calcoliamo i tre determinanti:
−4 6
−3 4= −4 4 − (−3) 6 = −16 + 18 = 2Δx =
3 6
1 4= 3 4 − 1 6 = 12 − 6 = 6Δ = Poché Δ ≠ 0 il sistema è determinato.
3 −4
1 −3= 3 (−3) −1 (−4) = −9 + 4 = −5Δy =
65
31
62
yy
xxIl sistema ha
soluzione
I sistemi lineari Sistemi frazionari
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Sistema frazionario: sistema in cui almeno una delle equazioni è frazionaria
Procedimento risolutivo:
1. si pongono le condizioni di esistenza delle equazioni imponendo ai denominatori di essere diversi da zero;
2. si riduce ciascuna equazione in forma intera e il sistema in forma normale;
3. si procede alla risoluzione del sistema intero equivalente con il metodo che si ritiene più opportuno;
4. si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle incompatibili.
I sistemi lineari Sistemi frazionari
20
ESEMPIO
0
12
13
125
yx
yx
1. Affinché il sistema abbia significato deve essere x ≠ 1 ∧ y ≠ −1
2. Riduciamo il sistema in forma intera:
011
1213125
yx
xyyx
132125
yxyx
continua
I sistemi lineari Sistemi frazionari
21
3. Scegliamo come metodo risolutivo quello di Cramer
5 −2
2 3= 19Δ =
1 −2
−1 3= 1Δx =
5 1
2 −1= −7Δy =
Dunque:
197
191
y
x4. La soluzione trovata non contrasta con le condizioni
iniziali, quindi:
197 ;
191S
I sistemi lineari Sistemi letterali
22
Sistema letterale: sistema in cui almeno una delle equazioni è letterale; per risolverlo è spesso conveniente applicare il metodo di Cramer.
Consideriamo per esempio il sistema:
2
232
ayax
aayxa
Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti e scomponiamo il polinomio ottenuto:
a + 2 a
a 1= 1(a + 2) − a a = a + 2 − a2 = −(a − 2)(a + 1)Δ =
I sistemi lineari Sistemi letterali
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Calcoliamo ora Δx e Δy scomponendo poi i polinomi ottenuti:
3a + 2 a
a2 1= 1(3a + 2) − a2 a = 3a + 2 − a3 = −(a + 1)2(a − 2)Δx =
a + 2 3a + 2
a a2= a2(a + 2) − a(3a + 2) = a3 + 2a2 −3a2 − 2a = a3 − a2 −2a = = a(a2 − a − 2) = a(a − 2)(a + 1)
Δy =
Se Δ ≠ 0, cioè se a ≠ 2 ∧ a ≠ −1, il sistema ha per soluzione:
yy
xx
ayax 1
Se a = 2, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è dunque indeterminato.
Se a = −1, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è anche in questo caso indeterminato.
I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni
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I sistemi possono contenere più di due equazioni. Ci occuperemo, in particolare, di sistemi di tre equazioni in tre incognite.
Consideriamo il sistema:
1452
22
zyxzyxzyx
Per risolvere questo tipo di sistemi si usa di solito un metodo misto fra quello di sostituzione e riduzione a seconda della convenienza.
I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni
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1) Sommiamo la seconda e la terza equazione:
5266
22
zyxx
zyx
2) Sostituiamo il valore di x nelle altre equazioni:
52221
1
zyzy
x
332
1
zyzy
x
x 1
I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni
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3) Sottraiamo la terza equazione dalla seconda:
363
1
zyyx
2y
4) Completiamo la risoluzione:
12
1
zyx
I sistemi lineari Problemi che si risolvono con i sistemi
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I problemi con due o più incognite possono essere risolti con i sistemi.
L’importante è trovare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
ESEMPIO
La somma di due numeri interi è 35 e si sa che la differenza tra il doppio del primo e il triplo del secondo è 20. Trova i due numeri.
x : 1° numero
y : 2° numero
La soluzione è
1025
yx
I due numeri sono quindi 25 e 10.
Il modello del problema è:
203235yx
yx
con x e y Z .
La somma dei due numeri è 35 x + y = 35
La differenza tra il doppio del 1° e il triplo del 2° è 20 2x − 3y = 20