idő-frekvencia transzformációk...

Idő-frekvencia transzformációk –

waveletek

Pokol Gergő

BME NTI

Üzemi mérések és diagnosztika

2013. áprils 17.

2

Vázlat

• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon

• Rövid idejű Fourier-transzformáció –

spektrogram

• Folytonos wavelet transzformáció – skálagram

• Spektrogram, skálagram alkalmazások

• Folytonos vagy diszkrét?

• Többfelbontású analízis

• Ortogonális wavelet transzformáció alapú

eljárások

Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek

Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.

3

Alapfogalmak:

Idő-frekvencia sík

Idő-frekvencia atom

• Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások

• Idő-frekvencia atom:

Olyan függvény, aminek

energiája időben és

frekvenciában is lokalizált.



dff

dttfutf

dff

dttftf

u

t

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

)(2

1

)(1

)(2

1

)(1

4

Határozatlansági reláció

• Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére

• Egyenlőség Gábor-atomra (Gábor Dénes, 1946):



2

1 t

2)()( utbti eaetf

5

Heisenberg-doboz

• Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon



6

Rövid idejű Fourier-transzformáció 1.

• STFT: short-time Fourier-transform

• folytonos ablakozott Fourier-transzformáció

• Az idő-frekvencia atom:



, ( )i t

ug e g t u

1|||| g

7

Rövid idejű Fourier-transzformáció 2.

• A transzformáció:

• Invertálható, a jel teljes energiája megmarad.

• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon

(spektrogram):

• Egyenletes lefedés:



2|),(|),( uSfufPS

,( , ) , ( ) ( ) i t

uSf u f g f t g u t e dt

8

Példa spektrogram alkalmazására



Frekvencia (kHz)

0

2

4

6

8

Idő (s) 10 20 40 50

9

Wavelet definíció

• Wavelet: időben jól lokalizált, nullközepű függvény.

• Komplex, analitikus wavelet: frekvenciában is jól

lokalizált!



10

Folytonos wavelet transzformáció 1.

• CWT: continuous wavelet transform

• Komplex, analitikus wavelet

• Az idő-frekvencia atom:



s

ut

ssu

1, 1||||

11

Folytonos wavelet transzformáció 2.

• A transzformáció:

• Invertálható, a jel teljes energiája megmarad.

• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon

(skálagram):

• Lefedés változó

alakú atomokkal:



2|),(|),( suWfsufPW

dt

s

ut

stffsuWf su

1)(,),( ,

12

Példa skálagram alkalmazására



Frekvencia (Hz)

7400

5300

4100

1800

830

180

Idő (s) 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2

13




Frekvencia (Hz)

7400 5300 4100

1800

830

180

Idő (s) 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2

14




Frekvencia (Hz)

7500

1300 - 2550 830 - 1260

140

50

15 - 35

1

Idő (s) 0,0 0,5 1,0 2,0 2,5 8,2 3,0

15

A két módszer összehasonlítása



16

Idő-frekvencia atomok kiválasztása



• Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan)

• Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó

(Gauss-ablak, Morlet-wavelet)

• Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg:

– STFT esetén az ablakhosszt

– CWT esetén a wavelet rendjét (~hullámok számát)

• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg

(lásd: lebegés)

17

Lebegés



f1=300 Hz

f2=303 Hz

ttAtAtA

2cos

2cos2coscos 1212

21

R=600

R=60 R=200 R=300

300 Hz 303 Hz

300 Hz 303 Hz

301,5 Hz

0,66 s 1,5 Hz

t

t

t

t

18

Lebegés példa



Fre

kven

cia

(kH

z)

1

10

Idő (s) 4 6 8 10 12 14

19

Vibrafon



20

Vibrafon



21

Folytonos vagy diszkrét

Alapvető tulajdonságok



• A folytonos transzformáció:

– idő-eltolás invariáns

– frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns)

– a transzformált értékek összefüggnek

– redundáns ábrázolás

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):

– nem idő-eltolás invariáns

– nem frekvencia-eltolás invariáns

– a transzformált értékek függetlenek

– nem redundáns ábrázolás

22

Folytonos vagy diszkrét

Melyiket használjuk?



• A folytonos transzformáció:

– tranziens jeleknél fontos az invariancia

– vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép

– az atomok szabadon választhatók

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):

– sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia,

további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség

– ha a további használat előtt inverz transzformáljuk (szűrés,

tömötítés)

– speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)

• Kevert tulajdonságú transzformációk

– pl. csúszóablakos FFT

23

Ortogonális wavelet transzformáció



• FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet

transzformáció

• Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre

• Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory)

– Morlet-wavelet nem jó.

• Diadikus skálázás, mintavétel:

24

Ortogonális wavelet Példa



• Egy lépésben waveletekte és azokra ortogonális

skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909)

25



MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis

26

MRA



• MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis:

felbontás különböző skálaparaméterű közelítésekre és azt

kiegészítő jelrészletekre

Emlékeztető

27

Szűrő csoportok



• Minden diszkrét waveletnek megfelel egy digitális szűrő.

• Wavelet felüláteresztő szűrő

• Skálafüggvény aluláteresztő szűrő

• Analízis (dekompozíció):

FWT: szűrők és lemintavételezések ciklikus alkalmazása

Lemintavételezés: minden második pontot kihagyjuk

28

Gyors wavelet transzformáció



• Szintézis (rekonstrukció):

Az analízis inverze

felmintavételezéssel, duális (tükrözött) szűrőkkel

(Felmintavételezés: minden pont közé beszúrunk egy 0-t)

29

Gyors wavelet transzformáció



30

Különböző wavelet családok



– Haar (legegyszerűbb)

– Daubechies (legtöbb eltűnő momentum adott hosszra, N/2)

– Symlet (hasonló a Daubechies-hez, csak szimmetrikusabb)

– …

db4 db8

31

FWT alapú zajszűrés



• FWT szűrés Inverz FWT

• Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció

függetlenül megváltoztatható komponensek

• Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk

• Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest

• Küszöb számolható különböző zajtípusokra

• A wavelet kiválasztása kritikus

• Hasonló elven működnek a tömörítő eljárások

32

FWT alapú tömörítés



• 2D waveletek (pl. JPEG2000)

• Mozgóképekben is alkalmazzák (pl. ZRLE)

Piecewise-Linear Haar (PLHaar) wavelet

33

Egyéb,

avagy

Mit szokás még wavelet módszerként

emlegetni?

• Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik:

– Speciális waveletek korlátos jelekre

– Biortogonális waveletek

– Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást

– Skálainvariáns bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítő

megoldásokat

– Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket

– Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat

– Mintázatfelismerő eljárásokat

– ...



34

Irodalom

• Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing

(Academic Press)

• http://cas.ensmp.fr/~chaplais/wavetour_presentation/

• Alfred Mertins: Signal analysis

(John Willey & Sons Ltd.)

• ...



Előadás: www.reak.bme.hu/pokol

http://cas.ensmp.fr/~chaplais/wavetour_presentation/

35

Wigner-Ville eloszlás 1.



• Definíció:

• Interferencia:

deufufufP i

V

2

*

2),(

36

Wigner-Ville eloszlás 2.



• Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia

energiasűrűség-eloszlás

• Paraméterezést nem igényel

• Összetett jelre negatív értéket is felvehet

Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként

• Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az

interferenciában

37

Cohen-osztály



• Interferencia csökkentése simítással:

• Simító kernelt megfelelően kell megválasztani

• Csökken az idő-frekvencia felbontás

• Paraméterezést igényel

• Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT),

mikor az interferencia teljesen eltűnik.

• Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával

duduuufPufP V ),,,(),(),(

idő-frekvencia transzformációk...

Documents