identidades trigonometrica
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UNIDAD 5UNIDAD 5
IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS
Triángulo esféricoTriángulo esférico
Si tres puntos de la superficie Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así Los lados del polígono así formado se expresan por formado se expresan por conveniencia como ángulos conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. esfera y no por su longitud. Este arco medido en Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: los ángulos cumplen que:
180° < 180° < αα + + ββ + + ψψ < 540° < 540°
Identidades PitagóricasIdentidades Pitagóricas
x
θ
θ
yse
n t
cos t
1
Se cumple que:sen² θ + cos² θ = 1 (I)
Si dividimos (1) entre cos² θtan² θ + 1 = sec² θ (II)
Si dividimos (1) entre sen² θ1 + cot² θ = csc² θ (III)
Identidades RecíprocasIdentidades Recíprocas
Identidades por cocienteIdentidades por cociente
sec1cos
cos1sec
cot1tan
tan1cot
csc1sen
sen 1csc
cossentan
sencoscot
Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo para el cual el denominador no sea cero.
IV V VI
VII VIII
Razones trigonométricas de ángulos compuestosRazones trigonométricas de ángulos compuestos
xv
B(cos v, sen v)
1
u
A(cos u, sen u)
B
A
x
1
C
D
D(1, 0)C(cos , sen )
cos(u v) = cosu cosv senu senv (I)
sen(u v) = senu cosv cosu senv (II)
Problemas resueltos1. Comprueba la siguiente identidad:
Solución:
2. Simplifica la expresión:
Solución:
3. Comprueba la siguiente identidad:
Solución:
cos22 sensen
)(sen2sen
cossen2sencoscossen
l.q.q.d.
l.q.q.d.
4. Demuestra que:
Solución:
5. Si se cumple que: Cos β = 3/5 y Sen ψ = 7/25, calcula el valor de: Cos (β+ψ).
Solución:
csc2)cos1(
21 22
Sen
CosCossen
csc2cos1
cos1
sensen
csc2
)cos1()1( 22
SenCossen
csc2)cos1(
)1(2
SenCos
csc22
Sen l.q.q.d
β ψ3
54 257
24
Sabemos que:cos(β +ψ) = cosβ cos ψ - senβ sen ψ cos(β +ψ) = 3 .24 - 4 . 7
5 25 5 25
cos(β +ψ) = 44 125