identidades trigonometricas´ giuliano boava
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Funcoes trigonometricas, parte 4
Identidades trigonometricas
Giuliano Boava
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Preliminares
Identidades matematicas
(x − 1)2 = x2 − 2x + 1
x2 − 4x − 2
= x + 2
x2 + 1 = (x + 1)2
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Preliminares
Identidades matematicas
(x − 1)2 = x2 − 2x + 1
x2 − 4x − 2
= x + 2
x2 + 1 = (x + 1)2
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Preliminares
Identidades matematicas
(x − 1)2 = x2 − 2x + 1
x2 − 4x − 2
= x + 2
x2 + 1 = (x + 1)2
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Preliminares
Identidades matematicas
(x − 1)2 = x2 − 2x + 1
x2 − 4x − 2
= x + 2
x2 + 1 = (x + 1)2
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Identidades trigonometricas basicas
Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao
cos2 x + sen2 x = 1.
tg x =sen xcos x
; cotg x =cos xsen x
; sec x =1
cos x; cossec x =
1sen x
sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x
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Identidades trigonometricas basicas
Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao
cos2 x + sen2 x = 1.
tg x =sen xcos x
; cotg x =cos xsen x
; sec x =1
cos x; cossec x =
1sen x
sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x
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Identidades trigonometricas basicas
Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao
cos2 x + sen2 x = 1.
tg x =sen xcos x
; cotg x =cos xsen x
; sec x =1
cos x; cossec x =
1sen x
sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x
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Identidades trigonometricas basicas
Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao
cos2 x + sen2 x = 1.
tg x =sen xcos x
; cotg x =cos xsen x
; sec x =1
cos x; cossec x =
1sen x
sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x
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Identidades trigonometricas basicas
ExemploSabendo que cos x = 1/5 e que x pertence ao 4o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .
Solucao
sen x = −2√
65
tg x = −2√
6
cotg x = − 12√
6sec x = 5cossec x = − 5
2√
6
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Identidades trigonometricas basicas
ExemploSabendo que cos x = 1/5 e que x pertence ao 4o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .
Solucao
sen x = −2√
65
tg x = −2√
6
cotg x = − 12√
6sec x = 5cossec x = − 5
2√
6
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Identidades trigonometricas basicas
ExercıcioSabendo que tg x = −5/12 e que x pertence ao 2o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .
Solucaosec x = −13
12
cos x = −1213
sen x =513
cossec x =135
cotg x = −125
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Identidades trigonometricas basicas
ExercıcioSabendo que tg x = −5/12 e que x pertence ao 2o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .
Solucaosec x = −13
12
cos x = −1213
sen x =513
cossec x =135
cotg x = −125
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Outras identidades trigonometricas
Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.
ExemploMostre que
(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .
Solucao
(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .
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Outras identidades trigonometricas
Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.
ExemploMostre que
(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .
Solucao
(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .
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Outras identidades trigonometricas
Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.
ExemploMostre que
(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .
Solucao
(cos x + sen x)2 =
cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .
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Outras identidades trigonometricas
Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.
ExemploMostre que
(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .
Solucao
(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x =
1 + 2 cos x sen x .
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Outras identidades trigonometricas
Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.
ExemploMostre que
(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .
Solucao
(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x = cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=1
cos x= sec x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x =
cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=1
cos x= sec x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x = cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=1
cos x= sec x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x = cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=
1cos x
= sec x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x = cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=1
cos x=
sec x .
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Outras identidades trigonometricas
ExercıcioMostre que
cos x + tg x sen x = sec x
Solucao
cos x + tg x sen x = cos x +(sen x
cos x
)sen x =
cos2 x + sen2 xcos x
=1
cos x= sec x .
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Outras identidades trigonometricas
O que fazer quando queremos mostrar que uma certa igualdade nao e umaidentidade?
ExemploVerifique se
cos3 x + sen3 x = 1
e uma identidade trigonometrica.
SolucaoNao, pois a igualdade nao e verdadeira, por exemplo, para x = π.
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Outras identidades trigonometricas
O que fazer quando queremos mostrar que uma certa igualdade nao e umaidentidade?
ExemploVerifique se
cos3 x + sen3 x = 1
e uma identidade trigonometrica.
SolucaoNao, pois a igualdade nao e verdadeira, por exemplo, para x = π.
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FIM