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Identificação de um Sistema Físico sem EDO’s Através do Expoente de
Lyapunov Aplicado em Dados de Sísmica Passiva
Cleiton K. Pavan, Eder C. Molina,
Depto de Geofísica, IAG, USP
05508-090, São Paulo, SP
E-mail: [email protected]
Resumo: O projeto consiste em identificar o Sistema Físico que rege as anomalias espectrais
observadas em Sísmica Passiva, pois até o momento a Sísmica Passiva é somente um método
Geofísico de exploração de hidrocarbonetos empírico. Para encontrarmos o Sistema Físico
usamos o método expoente de Lyapunov aplicados nas séries temporais obtidas a partir de 18
estações sismográficas localizadas em uma região de petróleo ativa, localizada na cidade de
Mossoró, Rio Grande do Norte, Norte do Brasil. O expoente de Lyapunov identificou que o
Sistema Físico da Sísmica Passiva é provavelmente um Sistema Determinístico Estável.
Introdução Nos dias de hoje a grande valorização do meio ambiente gera diversas dificuldades para o
licenciamento ambiental necessário para a realização de levantamentos sísmicos convencionais,
pois os mesmos utilizam explosivos, dessa forma induzindo o avanço da Sísmica Passiva. Este
método não gera impactos ambientais, por não utilizar fontes sísmicas artificiais e sim as
vibrações sísmicas naturais da Terra. Nesta técnica, o que antes era visto como ruído sísmico,
agora é o dado a ser processado e interpretado, ou seja, o levantamento de dados da Sísmica
Passiva consiste basicamente na instalação de uma rede de estações sismográficas para medir o
“ruído” local continuamente.
A Sísmica Passiva é um método geofísico emergente. O grande desenvolvimento desta
tecnologia ocorreu após a descoberta da relação entre as anomalias na banda de 3 Hz e
reservatórios de hidrocarbonetos [1], no qual foi mostrado que em áreas sobre reservatórios de
hidrocarbonetos o espectro das vibrações sísmicas ambientais possui uma anomalia positiva nas
frequências próximas de 3 Hz (Figura 1). Esse método por enquanto é empírico e nenhum dos
modelos teóricos sugeridos obteve sucesso.
Segundo [2], a liberação de energia que produz as vibrações sísmicas ambientais
características de reservatórios de petróleo, amplamente conhecida como hydrocarbon-
microtremor, possui um comportamento dinâmico, e a energia absorvida pelo reservatório
depende de vibrações externas ao mesmo, e a frequência de liberação da energia sísmica pode ser
associada ao volume do reservatório, ou de forma mais simplista, a espessura do mesmo.
Como na maioria das vezes os hidrocarbonetos ocorrem junto com água, no mesmo
reservatório, e ambos os fluidos possuem frequências características distintas, [2] associam de
forma genérica as anomalias entre 2,0 e 3,5 Hz, a chamada janela de hidrocarbonetos, e entre 4,5
e 8 Hz, a chamada janela da água.
Os autores [8] mostraram que a anomalia relacionada à presença de reservatório de
hidrocarboneto, apresenta comportamento dinâmico.
Então como a Sísmica Passiva até o momento é empírica e aparenta ser um Sistema
Dinâmico Não-Linear, nosso principal objetivo é determinar o Sistema Físico que represente o
comportamento das séries temporais da Sísmica Passiva (sismograma), pois esta é uma etapa
fundamental para a formulação de um modelo matemático para o método e consequentemente a
utilização do método de forma eficiente. Então para alcançar esse objetivo apresentaremos a
análise dos dados de Sísmica Passiva, através do método expoente de Lyapunov, pois o método é
uma ferramenta usada em análise de Sistemas Dinâmicos e é capaz de indicar se uma série
temporal pertence a:
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Sistema Determinístico (Estável ou Periódico);
Sistema Caótico Determinístico; ou
Se nossa série se comporta como ruído/hipercaótico.
Figura 1: Ilustração simplificada sobre o método de análise de anomalia espectral das vibrações
sísmicas ambientais para se identificar reservatórios hidrocarbonetos. No canto esquerdo superior
é apresentado o espectro do sinal adquirido em uma região onde não há reservatório de petróleo, e
ao lado é apresentado o espectro adquirido sobre um reservatório de petróleo. Note que há uma
amplificação do sinal nas frequências próximas de 3 Hz. (Figura adaptada de [3]).
O método clássico para o cálculo do expoente de Lyapunov [14] necessita das EDOs do
Sistema estudado, porém, como a Sísmica Passiva ainda é empírica, não conhecemos as EDOs
que representam o comportamento das anomalias espectrais. Sendo assim, o algoritmo que
usaremos [12] fará uma estimativa local da linearização da dinâmica que rege o crescimento de
perturbações infinitesimais.
Aquisição de dados Os sismogramas foram gravados com o sismômetro Guralp CMG-6TD com velocidade de
resposta de 0.03 a 100Hz, uma sensitividade de 1600V/m/s e taxa de 100 amostras por segundo.
Os dados foram coletados por 18 estações sismográficas triaxias (eixos X, Y e Z ortogonais),
com duração entre 0,4-3,1 horas contínuas, esses pontos foram denominados MS (e.g., MS01 a
MS18). A localização dos dados trata-se de uma área de produção ativa de óleo, localizada na
cidade de Mossoró, Rio Grande do Norte, Norte do Brasil (Figura 2). Os mesmos dados foram
discutidos por [9] que utilizaram o método FFT para identificar a presença de anomalias
espectrais.
Metodologia Nosso trabalho foi dividido em duas partes, a primeira o objetivo é identificar, anomalias
espectrais na banda de 2 a 8 Hz, e a segunda apresentar uma análise do Sistema Físico das séries
temporais. A identificação será feita com o método espectrograma calculado com o método MEM
(Maximum Entropy Method), e a análise do Sistema Físico com o método expoente de Lyapunov.
Nós utilizamos o software SAC - Seismic Analysis Code (SAC, [5]) para o cálculo do
espectrograma. O expoente de Lyapunov foi calculado com algoritmo computacional escrito por
[12] no software MATLAB.
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Figura 2: Mapa ampliado da área de estudo com a localização e numeração de cada estação
sismográfica. As áreas em cinza são as regiões de reservatórios de hidrocarbonetos conhecidas.
Os triângulos são as estações sismográficas (adaptado de [9]).
O SAC é um programa interativo de análise de dados sismológicos, projetado para o estudo
de dados sequenciais, especialmente os dados de séries temporais. O mesmo tem capacidade de
incluir operações aritméticas, transformadas de Fourier, métodos de estimativas espectrais,
espectrograma, filtragem, empilhamento de sinal, interpolação, correlação e etc.
O MATLAB (MATrix LABoratory - e.g., [4]), é um software desenvolvido pela Mathworks
com o propósito de fazer cálculos com matrizes. O software apresenta alta desempenho na
análise numérica, processamento de sinais, criação de gráficos 2D e 3D, implementação de
algoritmos e interface com programas escritos em outras linguagens (C, C++, Java e Fortran).
O espectrograma nada mais é do que a apresentação do comportamento do espectro durante o
tempo. Diferentemente dos métodos de estimativas espectrais FFT (Fast Fourier Transform),
PSD (Power Spectral Densities), MLM (Maximum Likelihood Method) e MEM (Maximum
Entropy Method), os quais fazem uma estimativa espectral para o sinal inteiro, o espectrograma
faz estimativas espectrais da série temporal para curtos intervalos de tempo e com isso
percorrendo todo o sismograma, "plotando" uma estimativa espectral ao lado da outra,
permitindo dessa forma ver as flutuações do espectro e sua variação dentro do período de
registro. O cálculo e o gráfico do método são elaborados com a rotina SPECTROGRAM do
programa SAC. A rotina ainda permite calcular o espectrograma por meio dos métodos MEM,
MLM e PDS. No presente trabalho calculamos o espectrograma com a técnica MEM, pois o
mesmo apresenta uma alta resolução com uma quantidade relativamente pequena de dados [5].
Na Sísmica Passiva a aplicação do sismograma é importante, pois a anomalia associada a
reservatórios de hidrocarbonetos aparentemente não é continua no tempo [8].
A principal característica de um Sistema Caótico é a sensibilidade às condições iniciais. [10]
demonstrou que a dinâmica gerada pelo modelo de previsão do tempo exibia uma característica
singular: Dois pontos localizados a uma distância muito próxima seguiam rotas temporais
bastante divergentes.
O expoente de Lyapunov fornece a taxa média de divergência de rotas temporais, então
usamos este expoente para caracterizar a dinâmica de uma determinada série temporal, seu
conceito foi introduzido por [11] ao estudar a estabilidade das soluções não estacionárias de
equações diferenciais ordinárias (EDOs), e tem sido amplamente utilizada no estudo de Sistemas
Dinâmicos desde então.
Seja a evolução temporal de um Sistema Dinâmico a partir de duas condições iniciais muitos
próximas, xo e xo + ε0. Decorrido um intervalo de tempo t (eq. 1) tem-se:
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(eq. 1)
Em que λ é o expoente de Lyapunov.
Os expoentes de Lyapunov são os autovalores da matriz Jacobiana calculados nas equações
diferenciais do Sistema Dinâmico. Séries temporais que não se têm as EDOs, podemos obter as
matrizes Jacobianas, através de uma estimativa local da linearização da dinâmica que governa o
crescimento de perturbações infinitesimais.
O método clássico do cálculo do expoente de Lyapunov é [14], porém precisa-se das EDOs e
das matrizes Jacobianas do Sistema estudado. Como o comportamento da anomalia espectral
ainda não foi explicado, não temos essas EDOs e matrizes, então neste trabalho usaremos uma
metodologia de cálculo do expoente de Lyapunov que faz estimativas das EDOs e das matrizes
Jacobianas para a série temporal, esta técnica consiste de um algoritmo [12] que calcula o
expoente de Lyapunov através da expansão de Volterra.
O cálculo do expoente de Lyapunov através da expansão de Volterra é feito de acordo com o
procedimento descrito em [7] o qual aplica o método dos mínimos quadrados na série temporal
para encontrar a ordem e grau corretos a serem aplicados em uma série de Volterra AR não-
linear, uma vez que qualquer Sistema Não-Linear pode ser representado como uma série de
Volterra AR não-linear de ordem infinita [6]. Essa série de Volterra será a representação da
dinâmica da série temporal e com ela é feito uma estimativa da matriz Jacobiana, e para finalizar
o expoente de Lyapunov são os autovalores da matriz Jacobiana.
O expoente de Lyapunov trás a seguinte interpretação dos dados, se:
λ < 0 Sistema Determinístico (Estável), S.D.E.;
λ = 0 Sistema Determinístico (Periódico), S.D.P.;
0 < λ < ∞ Sistema Caótico Determinístico (Caos), S.C.D.; ou
λ → ∞ Sistema Probabilístico (Ruído ou hipercaótioco), S.P..
De acordo com [13], em um Sistema de três dimensões (X, Y e Z), temos três expoentes de
Lyapunov, um para cada eixo. A interpretação para o Sistema Físico que rege a série temporal é
dada pelo maior expoente Lyapunov encontrado.
Resultados
Pré-processamento e qualidade dos dados O pré-processamento dos dados foi realizado no software SAC, da seguinte forma: Os dados
foram adquiridos no formato GCF e os mesmos foram convertidos para o formato SAC. Em
seguida, as partes inicial e final foram removidas dos sismogramas para extrair a influência da
instalação e desinstalação da estação sismográfica. Os arquivos em seguida tiveram a escala
modificada de counts para deslocamento do chão em m, e posteriormente esse dado foi filtrado
com um filtro passa alta de frequência 0.03 Hz.
Após o processamento acima, todos os sismogramas tiveram a média e as tendências
retiradas. Para finalizar o pré-processamento, os arquivos finais obtidos dos procedimentos
acima, foram convertidos do formato SAC para o formato XY, que é o formato que usamos no
software MATLAB.
Identificação das anomalias espectrais e expoente de Lyapunov
A Tabela 1 proporciona o resumo simplificado da identificação da anomalia espectral, nela
devemos conferir que a anomalia é identificada em 15 estações sismográficas com a presença de
alta amplitude espectral entre 2 e 8 Hz. Ainda nesta tabela verificamos os expoentes de Lyapunov
de cada estação sismográfica e sua possível interpretação.
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Ponto Componente Z Componente N Componente E Anomalia
espectral Interpretação do λ
λ Erro λ Erro λ Erro
MS01 -0,88 0,01 -1,23 0,04 -0,97 0,01 Sim S.D.E
MS02 -0,68 0,00 -0,68 0,00 -0,36 0,00 Sim S.D.E
MS03 -2,10 0,13 -4,24 1,12 -1,78 0,05 Não S.D.E
MS04 -0,26 0,04 -0,35 0,02 -0,32 0,03 Não S.D.E
MS05 -1,84 0,00 -1,29 0,00 -1,36 0,00 Sim S.D.E
MS06 -0,61 0,01 -0,58 0,01 -0,62 0,01 Sim S.D.E
MS07 -0,95 0,00 -1,01 0,00 -0,94 0,00 Sim S.D.E
MS08 -1,00 0,01 -0,76 0,01 -0,76 0,00 Sim S.D.E
MS09 -0,22 0,19 -0,35 0,29 -0,21 0,18 Sim S.D.E
MS10 -0,05 0,01 -0,07 0,01 -0,06 0,01 Sim S.D.E
MS11 -0,07 0,04 -0,15 0,10 -0,14 0,10 Sim S.D.E
MS12 -0,11 0,06 -0,13 0,06 -0,11 0,05 Sim S.D.E
MS13 -0,01 0,01 -0,01 0,01 -0,01 0,01 Sim S.D.E., S.D.P
MS14 -0,09 0,04 -0,08 0,03 -0,07 0,04 Sim S.D.E
MS15 -0,06 0,03 -0,17 0,12 -0,14 0,11 Sim S.D.E
MS16 -0,04 0,04 -0,03 0,05 -0,01 0,02 Não S.D.E., S.D.P ou S.C.D
MS17 -1,50 0,01 -1,68 0,05 -1,12 0,00 Sim S.D.E
MS18 -0,02 0,01 -0,05 0,02 -0,03 0,01 Sim S.D.E
Tabela 1: Resumo simplificado da identificação espectral para as três componentes de cada
estação sismográfica, contendo as informações se existe anomalia espectral identificada com o
espectrograma, e também os valores dos expoentes de Lyapunov de cada componente das
estações estudadas e uma possível interpretação dos resultados obtidos, (S.C.D. - Sistema
Caótico Determinístico, S.D.E. - Sistema Determinístico Estável e S.D.P. - Sistema
Determinístico Periódico).
Todas as séries temporais apresentaram valores negativos, ou seja, nossos sismogramas
pertencem a um S.D.E., e avaliando com o erro associado ao algoritmo, o ponto MS13 exibe a
possibilidade de pertencer aos Sistemas S.D.E. ou S.D.P, e o ponto MS16 exibe a probabilidade
de pertencer aos Sistemas S.D.E., S.D.P ou S.C.D..
Considerações finais Os resultados do expoente de Lyapunov sugerem que todos os nossos sismogramas
provavelmente pertencem a Sistemas Determinísticos Estáveis, porém é importante ressaltar que
o ponto MS16 é o ponto com maior probabilidade de pertencer a um Sistema Caótico
Determinístico e o mesmo não apresentou anomalia espectral. Da mesma forma, podemos
interpretar que todos os sismogramas que apresentam anomalia espectral certamente pertencem a
um S.D.E, com exceção do ponto MS13, o qual apresenta um pequena probabilidade de
pertencer a um S.D.P.
Deste modo, espera-se que os resultados aqui obtidos contribuirão para o desenvolvimento de
um modelo matemático capaz de explicar o comportamento das anomalias espectrais observadas
na Sísmica Passiva. Com esse intuito, outros estudos estão em andamento, nos quais resultados
do expoente de Lyapunov serão concatenados com outros métodos, tais como, reconstrução do
espaço de estados, atrator, dimensão fractal, expoente de Hurst e etc.
Agradecimentos Os autores agradecem à CNPq e CAPES pelo suporte financeiro.
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