i~es - old.kpfu.ruold.kpfu.ru/infres/sherstnev/manual.pdf · ni^eskim pri^inam risunki wyn eseny w...
TRANSCRIPT
a. n. {erstnew
konspekt lekcijpo
matemati~eskomu analizu
rEKOMENDOWANO mINISTERSTWOM OB]EGO I
PROFESSIONALXNOGO OBRAZOWANIQ rOSSIJSKOJ fEDERACII
W KA^ESTWE U^EBNOGO POSOBIQ DLQ STUDENTOW
MATEMATI^ESKIH NAPRAWLENIJ I SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW
c {ERSTNEW a. n., 2003
predislowie
pREDMETOM MATEMATI^ESKOGO ANALIZA QWLQETSQ IZU^ENIE FUNKCIJ S
POMO]X@ PROCESSOW PREDELXNOGO PEREHODA. sMYSL \TOJ FRAZY STUDENTAM
PRIHODITSQ POSTIGATX W TE^ENIE WSEGO PERIODA IZU^ENIQ KURSA.
w DANNOM U^EBNOM POSOBII REALIZOWANA IDEQ IZLOVENIQ KURSA MATE-
MATI^ESKOGO ANALIZA (WKL@^AQ KURS FUNKCIONALXNOGO ANALIZA) W WIDE
KOMPAKTNOGO POSOBIQ-KONSPEKTA, SODERVA]EGO, TEM NE MENEE, WESX IZLAGA-
EMYJ NA LEKCIQH MATERIAL. uROWENX PODROBNOSTI DOKAZATELXSTW RASS^I-
TAN NA STUDENTA, AKTIWNO RABOTA@]EGO NAD LEKCIQMI. oPU]ENA ^ASTX
ILL@STRATIWNOGO MATERIALA (OPREDELQEMAQ WKUSOM LEKTORA).
tAKIM OBRAZOM, POSOBIE, NE ZAMENQQ SOBOJ OBSTOQTELXNYH U^EBNIKOW,
MOVET BYTX POLEZNYM DLQ TEKU]IJ RABOTY NAD KURSOM I PRI PODGOTOWKE
K \KZAMENAM. u^EBNOE POSOBIE NAPISANO NA OSNOWE LEKCIJ, NEODNOKRATNO
^ITANNYH AWTOROM DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MEHANIKO-MATEMATI^ES-
KOGO FAKULXTETA kAZANSKOGO UNIWERSITETA. oNO MOVET BYTX REKOMENDO-
WANO STUDENTAM FIZIKO-MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW.
nESKOLXKO ZAME^ANIJ O STRUKTURE POSOBIQ. oSNOWNOJ TEKST RAZBIT
NA RAZDELY (BEZ NUMERACII) I PARAGRAFY SO SKWOZNOJ NUMERACIEJ. kAV-
DYJ PARAGRAF RAZBIT NA PUNKTY. cIFRY 16.2 OZNA^A@T SSYLKU NA x16,PUNKT 2. oSNOWNOMU TEKSTU PREDPOSLANA pROGRAMMA, KOTORAQ MOVET IS-
POLXZOWATXSQ W KA^ESTWE PROGRAMMY \KZAMENA PO KURSU, ONA VE QWLQETSQ
PODROBNYM OGLAWLENIEM kONSPEKTA. pOSLE OSNOWNOGO TEKSTA POME]ENY
4 PRILOVENIQ: 2-E NOSIT SPRAWO^NYJ HARAKTER, A OSTALXNYE MOGUT BYTX
ISPOLXZOWANY DLQ FAKULXTATIWNOJ RABOTY.
dANNOE, ^ETW�ERTOE, IZDANIE NEZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ OT PREDYDU-
]EGO: NESKOLXKO RAS[IRENO PRILOVENIE 1, WNESENY IZMENENIQ W TRI PA-
RAGRAFA, ISPRAWLENY OPE^ATKI.
pRIWED�EM PERE^ENX OB]IH DLQ WSEJ KNIGI SOGLA[ENIJ I OBOZNA^ENIJ.
~EREZ N;Z;Q;R; C OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO MNOVESTWA NATURALXNYH,
CELYH RACIONALXNYH, RACIONALXNYH, DEJSTWITELXNYH, KOMPLEKSNYH ^I-
SEL. w ZAPISI WYSKAZYWANIJ ISPOLXZU@TSQ LOGI^ESKIE SIMWOLY:
3
9 | SU]ESTWUET,
8 | DLQ L@BOGO,
) | WLE^�ET.
pRIMENQ@TSQ TAKVE OBY^NYE TEORETIKO-MNOVESTWENNYE OBOZNA^ENIQ:
2;�;\;[; n. aBBREWIATURA \TTOGDA" OZNA^AET \TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA" (LOGI^ESKIJ SIMWOL ,). zNAKI � I > OZNA^A@T SOOTWETSTWEN-
NO NA^ALO I KONEC DOKAZATELXSTWA; ZNAK (!!) ZAMENQET FRAZU \UBEDITESX
W \TOM (PROWERXTE \TO) SAMOSTOQTELXNO". w TEKSTE INOGDA WSTRE^A@TSQ
OBRA]ENIQ K RISUNKAM. pO TEXNI^ESKIM PRI^INAM RISUNKI WYNESENY W
OTDELXNOE PRILOVENIE. nAPRIMER, W FAJLE Fig8 11.ps NAHODQTSQ RISUNKI
8{11.
literatura
zORI^ w. a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. w 2 ^. { m.: nAUKA, 1981 { 1984.
{ ~. I. { 543 c.; ~. II. { 640 S.
nIKOLXSKIJ s. m. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. w 2 T. { m.: nAUKA, 1973 {
1975. { t. 1. { 432 c.; t. 2. { 408 S.
kOLMOGOROW a. n., fOMIN s. w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIO-
NALXNOGO ANALIZA. { m: nAUKA, 1976. { 543 S.
4
programma
ponqtie funkcii
oPREDELENIE FUNKCII. ~ISLOWYE FUNKCII I SPOSOBY IH ZADANIQ (x1,3). gRA-
FIK FUNKCII (x3).oBRATNAQ FUNKCIQ. dOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ OB-
RATNOJ FUNKCII (x4).oPERACII NAD FUNKCIQMI: ARIFMETI^ESKIE OPERACII, SU-
PERPOZICIQ (x5). bIEKCIQ. rAWNOMO]NYE MNOVESTWA, S^�ETNYE MNOVESTWA (x1).
dejstwitelxnye ~isla
aKSIOMATI^ESKOE OPREDELENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL. aKSIOMA NEPRERYWNOSTI
(x6). gRANI OGRANI^ENNOGO ^ISLOWOGO MNOVESTWA. hARAKTERISTI^ESKOE SWOJST-
WO WERHNEJ GRANI (x6). tOPOLOGIQ ^ISLOWOJ PRQMOJ (OKRESTNOSTI, OTKRYTYE I
ZAMKNUTYE MNOVESTWA, IZOLIROWANNYE I PREDELXNYE TO^KI MNOVESTWA). tEO-
REMA wEJER[TRASSA (x7). rAS[IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ (x8).
predel ~islowoj posledowatelxnosti
pOSLEDOWATELXNOSTX. pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (x2,9).pODPOSLEDO-
WATELXNOSTX ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (x9). |LEMENTARNYE SWOJSTWA PRE-
DELA (EDINSTWENNOSTX PREDELA, OGRANI^ENNOSTX SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOS-
TI, ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA, SWOJSTWO ZAVATOJ POSLEDOWATELXNOSTI) (x10).
oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI (SU]ESTWOWANIE SHODQ]EJSQ
PODPOSLEDOWATELXNOSTI U OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, SHODIMOSTX MONO-
TONNOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, LEMMA O WLOVENNYH OTREZKAH).fUN-
DAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI. kRITERIJ kO[I SU]ESTWOWANIQ PREDELA
POSLEDOWATELXNOSTI (x11). pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ. wERHNIJ
I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI I IH SWOJSTWA (x12).
~islowye rqdy
~ISLOWOJ RQD I EGO SUMMA.kRITERIJ SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNOGO RQDA.kRI-
TERIJ kO[I SHODIMOSTI RQDA (x13). pRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNYH
RQDOW (PRIZNAKI SRAWNENIQ, dALAMBERA, kO[I) (x14). aBSOL@TNO SHODQ]IE-
SQ RQDY I IH OSNOWNOE SWOJSTWO (x15). rQD lEJBNICA (x13). dWOJNYE RQDY.
pEREMNOVENIE ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW (x16). pOWTORNYE RQDY (x17).
predel i neprerywnostx funkcij
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE (x18). oDNOSTORONNIE PREDELY, PREDE-
LY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ (x20). sWOJSTWA PREDELA FUNKCII W TO^KE.
kRITERIJ kO[I SU]ESTWOWANIQ PREDELA (x19).~ISLO \e" (x11,20).aSIMPTOTI-
KA. |KWIWALENTNYE FUNKCII I IH SWOJSTWA. zAME^ATELXNYE \KWIWALENTNOSTI
(x21). nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE. oSNOWNYE SWOJSTWA FUNKCII, NEPRE-
RYWNOJ W TO^KE (OGRANI^ENNOSTX W OKRESTNOSTI, SOHRANENIE ZNAKA, ARIFME-
TI^ESKIE SWOJSTWA, NEPRERYWNOSTX SUPERPOZICII) (x22). tO^KI RAZRYWA (x23).
5
sWOJSTWA FUNKCIJ NEPRERYWNYH NA OTREZKE (OGRANI^ENNOSTX, DOSTIVENIE GRA-
NEJ, USLOWIE OBRA]ENIQ W NULX W PROMEVUTO^NOJ TO^KE OTREZKA, RAWNOMERNAQ
NEPRERYWNOSTX) (x24). tEOREMA O PRODOLVENII PO NEPRERYWNOSTI (x25).nEPRE-
RYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII (x26). wAVNEJ[IE \LEMENTARNYE FUNKCII (POKA-
ZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ, STEPENNAQ, GIPERBOLI^ESKIE) (x27).
differencirowanie
kASATELXNAQ K KRIWOJ. mGNOWENNAQ SKOROSTX (x28). pROIZWODNAQ FUNKCII
W TO^KE. kASATELXNOE OTOBRAVENIE I DIFFERENCIAL FUNKCII. oDNOSTORON-
NIE PROIZWODNYE (x29). tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ (ARIFMETI^ESKIE SWOJST-
WA, DIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII, DIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII,
TABLICA PROIZWODNYH) (x30). pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQD-
KOW. fORMULA lEJBNICA (x31). oSNOWNYE TEOREMY DIFFERENCIALXNOGO IS^IS-
LENIQ (TEOREMY rOLLQ, kO[I, FORMULA lAGRANVA) (x32).
priloveniq ponqtiq proizwodnoj.
pRAWILO lOPITALQ (x33). fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W FORME lAGRAN-
VA (x34). lOKALXNAQ FORMULA tEJLORA. eDINSTWENNOSTX RAZLOVENIQ FUNK-
CII S OSTATKOM W FORME pEANO (x35). rQD tEJLORA. rQDY tEJLORA OSNOWNYH
\LEMENTARNYH FUNKCIJ (x36). aNALITI^ESKIE FUNKCII (x37). wOZRASTANIE I
UBYWANIE FUNKCIJ NA OTREZKE (x38). lOKALXNYJ \KSTREMUM (x39). wYPUKLYE
FUNKCII. wYPUKLOSTX FUNKCII W TO^KE. tO^KI PEREGIBA (x40). nERAWENSTWA
g�ELXDERA, mINKOWSKOGO, kO[I-bUNQKOWSKOGO,{WARCA (x41).
perwoobraznaq i neopredel�ennyj integral
pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDEL�ENNYJ INTEGRAL OT NEPRERYWNOJ FUNKCII (x42).
sWOJSTWA NEOPREDEL�ENNOGO INTEGRALA (INTEGRIROWANIE PO ^ASTQM, ZAMENA PERE-
MENNOJ). tABLICA PERWOOBRAZNYH OT NEKOTORYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ (x43).
pREDSTAWLENIE RACIONALXNOJ FUNKCII W WIDE SUMMY \LEMENTARNYH RACIO-
NALXNYH DROBEJ (x44). iNTEGRIROWANIE RACIONALXNYH FUNKCIJ (x43,44).
integral rimana
oPREDELENIQ INTEGRALA rIMANA.nEOBHODIMOE USLOWIE INTEGRIRUEMOSTI (x46).
mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I IH SWOJSTWA (x47). tE-
OREMA lEBEGA (FORMULIROWKA). iNTEGRIRUEMOSTX MONOTONNOJ FUNKCII (x48).
sWOJSTWA INTEGRALA rIMANA (LINEJNOSTX, INTEGRIRUEMOSTX PROIZWEDENIQ IN-
TEGRIRUEMYH FUNKCIJ, INTEGRIRUEMOSTX MODULQ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII, AD-
DITIWNOSTX INTEGRALA KAK FUNKCII OTREZKA) (x49). sWOJSTWA INTEGRALA, SWQ-
ZANNYE S NERAWENSTWAMI. tEOREMA O SREDNEM (x50).iNTEGRAL KAK FUNKCIQ SWOE-
GO WERHNEGO PREDELA (x51). tEOREMA O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ DLQ NEPRE-
RYWNOJ FUNKCII (x51). fORMULA nX@TONA-lEJBNICA (x52). oBOB]�ENNAQ FOR-
MULA nX@TONA-lEJBNICA (x53). fORMULY INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM I ZAMENY
6
PEREMENNOJ W INTEGRALE rIMANA (x54). wERHNIJ I NIVNIJ INTEGRALY dARBU
(x55). kRITERIJ dARBU INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII. iNTEGRIRUEMOSTX NEPRE-
RYWNOJ FUNKCII (x56). o PRIBLIV�ENNOM WY^ISLENII INTEGRALOW (FORMULY
PRQMOUGOLXNIKOW, TRAPECIJ, sIMPSONA) (x57).
nekotorye priloveniq integrala rimana
fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W INTEGRALXNOJ FORME (x58). iNTEGRALXNYJ
PRIZNAK SHODIMOSTI ^ISLOWOGO RQDA (x59). lOGARIFMI^ESKAQ I POKAZATELX-
NAQ FUNKCII (x61). gEOMETRI^ESKIE PRILOVENIQ: PLO]ADX PLOSKOJ FIGURY
(x45,60), DLINA KRIWOJ (x60,83), PLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ (x60).
otobraveniq w ewklidowyh prostranstwah
pONQTIE WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO (x62). tOPOLOGIQ
EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. rAS[IRENNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO (x63). kOM-
PAKTNYE MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. nEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE
USLOWIE KOMPAKTNOSTI MNOVESTWA. tEOREMA wEJER[TRASSA (x64). tIPY OTOBRA-
VENIJ W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH. pREDEL WEKTORNOJ POSLEDOWATELXNOSTI I
EGO SWOJSTWA (x65). pREDEL FUNKCII W TO^KE (x66). sWOJSTWA PREDELA (ARIFME-
TI^ESKIE SWOJSTWA, ANALOG SWOJSTWA SOHRANENIQ ZNAKA, KRITERIJ kO[I) (x67).
pREDEL PO NAPRAWLENI@ (x68).nEPRERYWNYE FUNKCII I IH LOKALXNYE SWOJSTWA
(x69). sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH MNOVESTWAH (x70).
linejnye otobraveniq
lINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW. wEKTORNOE PROSTRANSTWO WSEH
LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ ODNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA W DRUGOE (x71).
mATRI^NOE PREDSTAWLENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ EWKLIDOWYH PROSTRANSTW
(x72). oBRATIMYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ (x73). oPERATORNAQ I EWKLIDOWA NOR-
MY LINEJNOGO OTOBRAVENIQ (x74).
differencirowanie otobravenij
kASATELXNOE OTOBRAVENIE W TO^KE. dIFFERENCIAL FUNKCII W TO^KE. sWOJST-
WA KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ. dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII OTOBRAVE-
NIJ (x75). ~ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH I IH GEO-
METRI^ESKIJ SMYSL (x76). mATRICA qKOBI KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ. fOR-
MULA POLNOJ PROIZWODNOJ. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PROIZWODNOJ DLQ FUNK-
CIJ NESKOLXKIH PEREMENNYH (x77). uSLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI OTOBRAVE-
NIJ (x78). kASATELXNAQ PLOSKOSTX (x79). nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE OTO-
BRAVENIQ. pROIZWODNAQ FUNKCII W OBLASTI (x80). iNTEGRAL OT NEPRERYWNOJ
WEKTOR-FUNKCII (x81).oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA (x82).nEOBHODIMOE USLO-
WIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA (x84). tEOREMA O DIFFERENCIROWANII OBRATNOJ
FUNKCII (x85). ~ASTNYE PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. nEZAWISIMOSTX OT
7
PORQDKA DIFFERENCIROWANIQ (x86). fORMULA tEJLORA DLQ FUNKCIJ NESKOLX-
KIH PEREMENNYH S OSTATKAMI W FORMAH lAGRANVA I pEANO (x87). lOKALXNYJ
\KSTREMUM FUNKCII (x88). tEOREMA O SU]ESTWOWANII NEQWNOJ FUNKCII (x89).
lOKALXNYJ OTNOSITELXNYJ \KSTREMUM FUNKCII (x90).mETOD lAGRANVA ISSLE-
DOWANIQ FUNKCII NA OTNOSITELXNYJ LOKALXNYJ \KSTREMUM (x91).
|lementy ob}ej topologii
oTNO[ENIQ W MNOVESTWE. oTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI, PORQDKA, NAPRAWLEN-
NOSTI (PRIL. I, x101). pRINCIP WYBORA. aKSIOMA cERMELO. pRINCIP TRANSFI-
NITNOJ INDUKCII. iNDUKTIWNYE MNOVESTWA. tEOREMA cORNA (PRIL. III). oT-
KRYTYE MNOVESTWA W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH I IH SWOJSTWA (x92). tOPOLO-
GI^ESKOE PROSTRANSTWO (x93). oKRESTNOSTX TO^KI W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRAN-
STWE. oPREDELENIE TOPOLOGII POSREDSTWOM SEMEJSTW OKRESTNOSTEJ. sRAWNENIE
TOPOLOGIJ (x94). rABO^IE PONQTIQ (ZAMKNUTYE MNOVESTWA, WNUTRENNIE TO^KI
I WNUTRENNOSTX MNOVESTWA, PREDELXNYE I GRANI^NYE TO^KI MNOVESTWA) (x95).
nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ (x96). gOMEOMORFNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANST-
WA. tOPOLOGI^ESKIE SWOJSTWA. lOKALXNYJ GOMEOMORFIZM (x97). pERESE^ENIE
TOPOLOGIJ. tOPOLOGIQ, POROVDENNAQ SEMEJSTWOM MNOVESTW. sISTEMA OBRAZU-
@]IH I BAZA TOPOLOGII (x98). pROOBRAZ TOPOLOGII OTNOSITELXNO SEMEJSTWA
OTOBRAVENIJ. iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. pROIZWEDENIE TOPOLOGI^ESKIH PRO-
STRANSTW (x99). fINALXNAQ TOPOLOGIQ. fAKTOR-TOPOLOGIQ (x100). sHODIMOSTX
SETEJ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA S 1-J
AKSIOMOJ S^�ETNOSTI (x101). oTDELIMYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA (x102).
pREDEL OTOBRAVENIQ W TO^KE (x103). rEGULQRNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANST-
WA. pRODOLVENIE OTOBRAVENIQ PO NEPRERYWNOSTI (x104). kOMPAKTNYE TOPOLO-
GI^ESKIE PROSTRANSTWA (x105). nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ KOMPAKTNYH PRO-
STRANSTW (x106). tEOREMA tIHONOWA O PROIZWEDENII KOMPAKTNYH PROSTRANSTW
(x107). lOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA. pOGRUVENIE LOKALXNO KOMPAKT-
NOGO PROSTRANSTWA W KOMPAKTNOE (x108). sWQZNYE I LINEJNO SWQZNYE TOPOLO-
GI^ESKIE PROSTRANSTWA (x109, 110).
mera vordana
|LEMENTARNYE MNOVESTWA (x111). mERA NA KLASSE \LEMENTARNYH MNOVESTW
(x112). sWOJSTWO S^�ETNOJ ADDITIWNOSTI MERY (x113). iZMERIMYE PO vORDANU
MNOVESTWA. mNOVESTWA VORDANOWOJ MERY NULX I MNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY
NULX (x114). kRITERIJ IZMERIMOSTI MNOVESTWA PO vORDANU (x115). sWOJSTWA
IZMERIMYH PO vORDANU MNOVESTW (x116).
kratnye integraly rimana
oPREDELENIE KRATNOGO INTEGRALA (x117).sWQZX MEVDU INTEGRIRUEMOSTX@ FUNK-
CII I E�E OGRANI^ENNOSTX@ (x118). kRITERIJ INTEGRIRUEMOSTI dARBU. iNTEG-
8
RIRUEMOSTX NEPRERYWNOJ FUNKCII (x119). kOLEBANIE FUNKCII W TO^KE (x120).
tEOREMA lEBEGA (x121). sWOJSTWA KRATNOGO INTEGRALA (INTEGRIROWANIE PO ZA-
MYKANI@ OBLASTI, ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA, ADDITIWNOSTX INTEGRALA KAK
FUNKCII OBLASTI, TEOREMA O SREDNEM) (x122). sWQZX KRATNOGO INTEGRALA S PO-
WTORNYM (x123). zAMENA PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE (x124). pLO]ADX
POWERHNOSTI (x125,186).
nesobstwennye integraly
iNTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W ODNOM IZ KONCOW (x126). nESOBSTWENNYJ INTEGRAL
(OB]IJ SLU^AJ). iNTEGRAL W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ (x131). sWOJSTWA INTEG-
RALA S OSOBENNOSTX@. fORMULA nX@TONA-lEJBNICA DLQ NESOBSTWENNYH INTEG-
RALOW (x127). pRIZNAKI SHODIMOSTI (KRITERIJ kO[I, SHODIMOSTX INTEGRALOW
OT NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ) (x127,128). sWQZX NESOBSTWENNYH INTEGRALOW S
RQDAMI (x129). aBSOL@TNO SHODQ]IESQ NESOBSTWENNYE INTEGRALY (x130). pRI-
ZNAKI SHODIMOSTI dIRIHLE I aBELQ (x130).kRATNYE NESOBSTWENNYE INTEGRALY
(x132).
integraly, zawisq}ie ot parametra
sOBSTWENNYE INTEGRALY, ZAWISQ]IE OT PARAMETRA. sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI
INTEGRALA PO PARAMETRU (x133). iNTEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE SOBST-
WENNYH INTEGRALOW PO PARAMETRU (x133, 134). rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX NESOB-
STWENNYH INTEGRALOW, ZAWISQ]IH OT PARAMETRA. pRIZNAKI RAWNOMERNOJ SHO-
DIMOSTI (x135). nEPRERYWNOSTX NESOBSTWENNOGO INTEGRALA PO PARAMETRU. iN-
TEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE NESOBSTWENNYH INTEGRALOW PO PARAMETRU
(x136). b\TA-FUNKCIQ |JLERA. gAMMA-FUNKCIQ |JLERA (x137).
posledowatelxnosti i rqdy funkcij
rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ (x138). pREDEL RAWNO-
MERNO SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI NEPRERYWNYH FUNKCIJ (x139). rAWNO-
MERNAQ SHODIMOSTX RQDOW FUNKCIJ. kRITERIJ kO[I RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI
RQDA (x140). pRIZNAKI RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDOW (wEJER[TRASSA, dIRIH-
LE, aBELQ) (x140,141). pO^LENNOE INTEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE RAW-
NOMERNO SHODQ]IHSQ RQDOW. dZETA-FUNKCIQ rIMANA (x142). sTEPENNYE RQDY
W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI. 1-Q TEOREMA aBELQ. rADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO
RQDA (x143). fORMULA kO[I-aDAMARA (x144). dIFFERENCIROWANIE STEPENNOGO
RQDA (x145). aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ. |KSPONENTA (x146). wE]ESTWENNYE STE-
PENNYE RQDY. 2-Q TEOREMA aBELQ. iNTEGRIROWANIE WE]ESTWENNYH STEPENNYH
RQDOW (x147).
9
wektornye prostranstwa funkcij. rqdy i
integraly furxe
nORMIROWANNYE I BANAHOWY PROSTRANSTWA (x148). bANAHOWO PROSTRANSTWO WSEH
OGRANI^ENNYH ^ISLOWYH FUNKCIJ. bANAHOWY PROSTRANSTWA NEPRERYWNYH FUNK-
CIJ (x149). fAKTORIZACIQ. pROSTRANSTWO R1() (x150). uNITARNYE PROSTRAN-
STWA. nERAWENSTWA kO[I-bUNQKOWSKOGO I {WARCA (x152). pROSTRANSTWO R2()
(x153).tEOREMY O PLOTNOSTI (x151,153).gILXBERTOWO PROSTRANSTWO. pROSTRAN-
STWO `2 (x154). pOLNYE I ZAMKNUTYE ORTONORMIROWANNYE SISTEMY WEKTOROW W
UNITARNOM PROSTRANSTWE. rQD fURXE PO ORTONORMIROWANNOJ SISTEME. nERAWEN-
STWO pARSEWALQ. (x155). 2�-PERIODI^ESKIE FUNKCII. pROSTRANSTWA ~C; ~R1; ~R2
(x156). tRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE (x157). oSCILLQCIONNAQ LEMMA (x158).
oCENKA OSTATKA RQDA fURXE (x159). kLASS FUNKCIJ Lip�. uSLOWIE RAWNOMER-
NOJ SHODIMOSTI TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE (x160).pOLNOTA TRIGONOMET-
RI^ESKOJ SISTEMY FUNKCIJ (x161). pOLINOMY ~EBY[EWA. pOLNOTA SISTEMY
POLINOMOW (x162). kOMPLEKSNAQ FORMA RQDA fURXE (x163). pO^LENNOE DIFFE-
RENCIROWANIE I INTEGRIROWANIE RQDA fURXE (x164). pROSTOJ INTEGRAL fURXE
(x166). tEOREMA O SHODIMOSTI INTEGRALA fURXE (x167). pREOBRAZOWANIE fURXE
I EGO SWOJSTWA. pROIZWODNAQ I PREOBRAZOWANIE fURXE (x168).
|lementy teorii obob}�ennyh funkcij
pROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ D I S (x170). nEPRERYWNYE LINEJNYE OTO-
BRAVENIQ W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH FUNKCIJ (DIFFERENCIROWANIE, UMNOVE-
NIE NA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@, PREOBRAZOWANIE fURXE W PRO-
STRANSTWE S) (x171). pROSTRANSTWA D0 I S0 OBOB]�ENNYH FUNKCIJ. pRIMERYOBOB]�ENNYH FUNKCIJ, �-FUNKCIQ (x172). sHODIMOSTX OBOB]�ENNYH FUNKCIJ
(x173). dEJSTWIQ NAD OBOB]�ENNYMI FUNKCIQMI (x174, 175). pREOBRAZOWANIE
fURXE OBOB]�ENNYHFUNKCIJ IZ S0 (x176).pROSTEJ[IE DIFFERENCIALXNYE URAW-NENIQ W KLASSE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ (x177).
|lementy integrirowaniq po mnogoobraziqm
gLADKIE KRIWYE. pARAMETRIZACIQ GLADKOJ KRIWOJ. nATURALXNAQ PARAMETRI-
ZACIQ (x178). kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA (x179). rABOTA WEKTORNOGO
POLQ. oRIENTACIQ GLADKOJ KRIWOJ. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA (x180).
gRADIENT. pOTENCIALXNOE WEKTORNOE POLE. uSLOWIE POTENCIALXNOSTI POLQ W
TERMINAH KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA (x181). rOTOR. uSLOWIE POTENCIALXNOSTI
POLQ W TERMINAH ROTORA (x182). oRIENTACIQ PLOSKOJ OBLASTI (x183). fORMU-
LA gRINA (x184). gLADKIE POWERHNOSTI W R3 (x185). pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL
1-GO RODA (x186). pOTOK WEKTORA ^EREZ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTX (x187).
pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA (x188). fORMULA gAUSSA-oSTROGRADSKOGO.
dIWERGENCIQ I E�E FIZI^ESKIJ SMYSL (x189). fORMULA sTOKSA (x190).
10
mera lebega
pOLUKOLXCA MNOVESTW I IH SWOJSTWA (x191).mERA NA POLUKOLXCE (x192). kOLX-
CA I ALGEBRY MNOVESTW. kOLXCO, POROVD�ENNOE SEMEJSTWOM MNOVESTW. bORE-
LEWSKIE ALGEBRY (x193). pRODOLVENIE MERY S POLUKOLXCA NA POROVD�ENNOE IM
KOLXCO. kRITERIJ �-ADDITIWNOSTI KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY NA POLUKOLXCE
(x194). wNE[NQQ MERA I E�E SWOJSTWA (x195). kLASS L(S; m) IZMERIMYH PO lE-
BEGU MNOVESTW (SLU^AJ POLUKOLXCA S 1). tEOREMA O PRODOLVENII MERY S PO-
LUKOLXCA c 1 NA KLASS IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW. mERA lEBEGA (x196).
kONSTRUKCIQ L(S; m) DLQ POLUKOLXCA BEZ 1 (x197). sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI
�-KONE^NOJ MERY PO OTNO[ENI@ K MONOTONNYM POSLEDOWATELXNOSTQM MNOVESTW.
mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX I IH SWOJSTWA. sWOJSTWO POLNOTY MERY lE-
BEGA (x197). mERA lEBEGA-sTILTXESA. oPISANIE KONE^NYH MER NA BORELEWSKOJ
ALGEBRE B(R) (x198). rAZLOVENIE MERY lEBEGA-sTILTXESA NA DISKRETNU@ I NE-
PRERYWNU@ KOMPONENTY (x199).aBSOL@TNO NEPRERYWNYE I SINGULQRNYE MERY.
kRITERIJ ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI MERY (x200).
izmerimye funkcii
pROOBRAZ KOLXCA OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ (x201).iZMERIMYE FUNKCII I IH
SWOJSTWA. w-IZMERIMYE FUNKCII (x202,203).iZMERIMYE FUNKCII NA PROSTRAN-
STWE S MEROJ (x204). sHODIMOSTX PO^TI WS@DU. tEOREMA eGOROWA (x205). sHO-
DIMOSTX PO MERE. wZAIMOSWQZI MEVDU RAZLI^NYMI TIPAMI SHODIMOSTI (x206).
integral lebega
oPREDELENIE INTEGRALA lEBEGA. sWOJSTWA INTEGRALA (x207). pREDELXNYJ PE-
REHOD POD ZNAKOM INTEGRALA (TEOREMY lEBEGA, lEWI, fATU) (x208). zAMENA PE-
REMENNOJ W INTEGRALE lEBEGA (x209). sRAWNENIE INTEGRALA rIMANA I INTEGRA-
LA lEBEGA (x210). nEOPREDELENNYJ INTEGRAL lEBEGA. zARQDY. sWOJSTWO OGRA-
NI^ENNOSTI ZARQDA. tEOREMA hANA (x211). aBSOL@TNO NEPRERYWNYE FUNKCII
MNOVESTWA. tEOREMA rADONA-nIKODIMA. aBSOL@TNO NEPRERYWNAQ I SINGULQR-
NAQ KOMPONENTY MERY (x212). pROIZWEDENIE POLUKOLEC MNOVESTW. mERY W PRO-
IZWEDENIQH MNOVESTW (x213). tEOREMA fUBINI (x214). iNTEGRAL PO �-KONE^NOJ
MERE (x215).
polnye metri~eskie prostranstwa
pOPOLNENIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. tEOREMA O SU]ESTWOWANII I EDIN-
STWENNOSTI POPOLNENIQ (x216). tEOREMA O WLOVENNYH [ARAH. tEOREMA b\RA
(x217). pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. oBOB]�ENNYJ PRINCIP SVIMA@-
]IH OTOBRAVENIJ. pRIMENENIQ K INTEGRALXNYM URAWNENIQM (x218). wPOLNE
OGRANI^ENNYE MNOVESTWA W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE. kRITERIJ KOMPAKT-
NOSTI METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. kRITERIJ PREDKOMPAKTNOSTI MNOVESTWA W
PROSTRANSTWE NEPRERYWNYH FUNKCIJ (x219).
11
osnownye principy linejnogo analiza
kONE^NOMERNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA (\KWIWALENTNOSTX NORM, POL-
NOTA). sU]ESTWOWANIE \LEMENTA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO KO-
NE^NOMERNOGO PODPROSTRANSTWA (x220). {KALA BANAHOWYH PROSTRANSTW Lp(�)
(1 � p � 1) (x221). oPERACII NAD BANAHOWYMI PROSTRANSTWAMI (PRQMAQ SUM-
MA, FAKTOR-PROSTRANSTWO) (x222). nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO WSEH OGRANI-
^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW IZ ODNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA W DRU-
GOE. iZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM NORMIROWANNYH PROSTRANSTW (x223). pOPOL-
NENIE NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA. pROSTEJ[AQ TEOREMA WLOVENIQ (x224).
sOPRQV�ENNOE PROSTRANSTWO (x225). pROSTRANSTWA Lp(�)� (1 � p < 1) (x226).
pRODOLVENIE OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ PO NEPRERYWNOSTI (x227).
tEOREMA hANA-bANAHA I E�E SLEDSTWIQ (x228). wTOROE SOPRQV�ENNOE PROSTRANST-
WO (x229).pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI (TEOREMA bANAHA-{TEJNGAUZA)
I E�E SLEDSTWIQ (x230). tEOREMA OB OTKRYTOM OTOBRAVENII I E�E SLEDSTWIQ (TEO-
REMY OB OBRATNOM OPERATORE, OB \KWIWALENTNOSTI NORM, O ZAMKNUTOM GRAFIKE)
(x231).
ograni~ennye linejnye operatory w
gilxbertowom prostranstwe
sU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX \LEMENTA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNO-
SITELXNO PODPROSTRANSTWA. tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII (x232). oR-
TOGONALXNYE SUMMY GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x233). rAZMERNOSTX GILXBER-
TOWA PROSTRANSTWA (x234). pROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA. sEPARABELXNYE
GILXBERTOWY PROSTRANSTWA (x235). iZOMORFNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA.
uSLOWIQ IZOMORFIZMA GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x236). tEOREMA rISSA. sO-
PRQV�ENNOE PROSTRANSTWO K PROSTRANSTWU gILXBERTA. pRINCIP RAWNOMERNOJ
OGRANI^ENNOSTI DLQ GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x237). bILINEJNYE FORMY W
GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE I IH SWQZX S OPERATORAMI (x238). sOPRQV�ENNYJ
OPERATOR K OGRANI^ENNOMU LINEJNOMU OPERATORU. sWOJSTWA SOPRQV�ENNOGO OPE-
RATORA (x239). aLGEBRA B(H) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW W GILX-
BERTOWOM PROSTRANSTWE (x240). oRTOPROEKTORY (x241). uNITARNYE OPERATORY.
oPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ (x242). kONE^NOMERNYE OPERATORY I IH PRED-
STAWLENIE (x243). kOMPAKTNYE OPERATORY. nEKOMPAKTNOSTX TOVDESTWENNOGO
OPERATORA W BESKONE^NOMERNOM PROSTRANSTWE (x244).sWOJSTWA KOMPAKTNYH OPE-
RATOROW W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE (OPERATOR, SOPRQV�ENNYJ K KOMPAKTNO-
MU; ZAMKNUTOSTX KLASSA KOMPAKTNYH OPERATOROW OTNOSITELXNO PREDELXNOGO PE-
REHODA PO NORME; POLNOTA PROSTRANSTWA KOMPAKTNYH OPERATOROW; APPROKSIMA-
CIQ KOMPAKTNYH OPERATOROW KONE^NOMERNYMI OPERATORAMI; ZAMKNUTOSTX LINE-
ALA R(1�A) DLQ KOMPAKTNOGO OPERATORA A) (x245). iNTEGRALXNYE KOMPAKTNYE
OPERATORY (x246).
12
|lementy teorii neograni~ennyh linejnyh
operatorow
pLOTNO ZADANNYE (NEOGRANI^ENNYE) OPERATORY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
I OPERACII NAD NIMI. gRAFIK LINEJNOGO OPERATORA, RAS[IRENIE LINEJNO-
GO OPERATORA. zAMKNUTYE I ZAMYKAEMYE OPERATORY I IH SWOJSTWA. zAMYKA-
NIE OPERATORA (x247). sOPRQV�ENNYJ OPERATOR K PLOTNO ZADANNOMU LINEJNOMU
OPERATORU I EGO SWOJSTWA (x248). |RMITOWY I SAMOSOPRQV�ENNYE OPERATORY.
uSLOWIE SAMOSOPRQV�ENNOSTI OPERATORA. oPERATORY UMNOVENIQ NA NEZAWISI-
MU@ PEREMENNU@ I DIFFERENCIROWANIQ W L2(R) (x249).aNALITI^ESKIE WEKTOR-
FUNKCII I IH SWOJSTWA (x250). rEZOLXWENTNOE MNOVESTWO I SPEKTR ZAMKNUTO-
GO OPERATORA. sWOJSTWA REZOLXWENTNOGO MNOVESTWA I REZOLXWENTA ZAMKNUTOGO
OPERATORA. sPEKTR SAMOSOPRQV�ENNOGO OGRANI^ENNOGO OPERATORA. sPEKTR UNI-
TARNOGO OPERATORA (x251).
urawneniq s kompaktnymi operatorami
tEOREMA fREDGOLXMA (x251). tEOREMA rISSA-{AUDERA. tEOREMA gILXBERTA-
{MIDTA (SPEKTRALXNAQ TEOREMA DLQ SAMOSOPRQV�ENNOGO KOMPAKTNOGO OPERATO-
RA). kANONI^ESKAQ FORMA KOMPAKTNOGO OPERATORA (x253).uRAWNENIQ fREDGOLX-
MA 1-GO I 2-GO RODOW (INTEGRALXNAQ I OPERATORNAQ FORMY). tEOREMY fREDGOLX-
MA (x254). sLU^AJ SIMMETRI^NYH I WYROVDENNYH QDER (x255).
|lementy nelinejnogo analiza w normirowannyh
prostranstwah
pROIZWODNAQ fRE[E OTOBRAVENIQ I E�E SWOJSTWA (x256). lOKALXNYJ \KSTREMUM
FUNKCIONALA. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA (x257). oCENO^NAQ
FORMULA lAGRANVA (x258).iNTEGRAL OT WEKTOR-FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W BANA-
HOWOM PROSTRANSTWE (x259).pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. fORMULA tEJLORA.
dOSTATO^NOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCIONALA (x260).
13
ponqtie funkcii
x1. fUNKCIQ
1. pUSTX E I F | DWA MNOVESTWA I ZADANO PRAWILO f , KOTOROE KAV-
DOMU \LEMENTU x 2 E SOPOSTAWLQET NEKOTORYJ \LEMENT f(x) 2 F . w
\TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE E OPREDELENA FUNKCIQ f , PRI-
NIMA@]AQ ZNA^ENIQ W MNOVESTWE F ; GOWORQT TAKVE, ^TO f | OTOBRA-
VENIE MNOVESTWA E W MNOVESTWO F I PI[UT f : E ! F ILI Ef�! F .
mNOVESTWO E NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f . dWE FUNK-
CII f1 : E1 ! F; f2 : E2 ! F NAZYWA@TSQ RAWNYMI (f1 = f2), ESLI
E1 = E2; f1(x) = f2(x) (x 2 E1). eSLI A � E I f : E ! F | NEKOTORAQ
FUNKCIQ, TO ^EREZ f jA OBOZNA^A@T FUNKCI@ Af jA�! F , DEJSTWU@]U@ PO
PRAWILU (f jA)(x) = f(x) (x 2 A). fUNKCIQ f jA NAZYWAETSQ OGRANI^E-
NIEM FUNKCII f NA MNOVESTWO A.
pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE MNOVESTWA E W MNOVESTWO F ,
A � E; B � F . mNOVESTWO f(A) � ff(x) j x 2 Ag NAZYWAETSQ OB-
RAZOM MNOVESTWA A PRI OTOBRAVENII f | \TO ^ASTX MNOVESTWA F .
mNOVESTWO
f�1(B) � fx 2 E j f(x) 2 BgNAZYWAETSQ POLNYM PROOBRAZOM MNOVESTWA B PRI OTOBRAVENII f |
\TO ^ASTX MNOVESTWA E.
2. p R I M E R. pUSTX A � E; OTOBRAVENIE iA : A! E, DEJSTWU@]EE
PO FORMULE iA(x) = x (x 2 A), NAZYWAETSQ TOVDESTWENNYM WLOVENIEM A
W E. dLQ X � E i�1A (X) = X \A.3. oTOBRAVENIE f : E ! F NAZYWAETSQ IN_EKCIEJ, ESLI x 6= y (x; y 2
E) ) f(x) 6= f(y); ONO NAZYWAETSQ S@R_EKCIEJ , ESLI f(E) = F . eSLI
OTOBRAVENIE QWLQETSQ IN_EKCIEJ I S@R_EKCIEJ ODNOWREMENNO, TO ONO NA-
ZYWAETSQ BIEKCIEJ . mNOVESTWA E I F NAZYWA@TSQ RAWNOMO]NYMI, ESLI
SU]ESTWUET BIEKCIQ f : E ! F .mNOVESTWO E NAZYWAETSQ S^�ETNYM, ESLI
SU]ESTWUET BIEKCIQ f : N! E.
4. p R I M E R. mNOVESTWO Q WSEH RACIONALXNYH ^ISEL S^�ETNO. dEJ-
STWITELXNO, EGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE TABLICY
14
0 1=1 1=2 1=3 : : :
�1=1 �1=2 �1=3 : : :
2=1 2/2 : : :
�2=1 �2/2 : : :
3=1 : : :
�3=1 : : :
: : :
iSKOMAQ BIEKCIQ MOVET BYTX OPREDELENA SLEDU@]IM OBRAZOM: f(1) =
0; f(2) = 1=1; f(3) = �1=1; : : : ; f(10) = 3=1; : : : (WSTRE^AW[IESQ RANEE
^ISLA W DALXNEJ[EJ NUMERACII NE U^ASTWU@T).
5. mY BUDEM PERWOE WREMQ IMETX DELO W OSNOWNOM S ^ISLOWYMI FUNK-
CIQMI: E � R; F = R. w SWQZI S \TIM GOWORQT O DWUH ^ISLOWYH PEREMEN-
NYH: NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x, \PROBEGA@]EJ" MNOVESTWO E; ZAWISIMOJ
PEREMENNOJ y = f(x) | FUNKCII PEREMENNOJ x. oTS@DA TRADICIONNYE
OBOZNA^ENIQ DLQ FUNKCII: y = f(x) (x 2 E) ILI f(x) (x 2 E).e]�E ODIN TIP FUNKCIJ, S KOTORYMI MY SKORO WSTRETIMSQ, | ^I-
SLOWYE FUNKCII, ZADANNYE NA ^ISLOWOJ PLOSKOSTI, ILI FUNKCII DWUH
PEREMENNYH f : E ! R (E � R2). w \TOM SLU^AE KAVDOJ TO^KE MNOVES-
TWA E, TO ESTX KAVDOJ UPORQDO^ENNOJ PARE ^ISEL (x; y) 2 E, STAWITSQ W
SOOTWETSTWIE ^ISLO f(x; y).
p R I M E R Y. 6. y =j x j (x 2 R).7. y =
p1� x2 (�1 � x � 1).
8. y = sgn x �8<:
1; ESLI x > 0,
�1; ESLI x < 0,
0; ESLI x = 0
(signum { ZNAK).
9. y = [x] (x 2 R) (GOWORQT: ANTX�E x), | NAIBOLX[EE CELOE ^ISLO, NE
PREWOSHODQ]EE x.
10. pUSTX E | MNOVESTWO I A � E. fUNKCIQ �A: E ! R, OPRE-
DEL�ENNAQ RAWENSTWOM
�A(x) =
�1; ESLI x 2 A,0; ESLI x =2 A,
NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ MNOVESTWA A.
15
11. z A M E ^ A N I E. wPERWYE SOWREMENNOE OPREDELENIE FUNKCIONALX-
NOJ ZAWISIMOSTI DANO WYDA@]IMSQ KAZANSKIM GEOMETROM n. i. lOBA^EW-
SKIM: \mEVDU TEM OB[IRNYJ WZGLQD TEORII DOPUSKAET SU]ESTWOWANIE
ZAWISIMOSTI TOLXKO W TOM SMYSLE, ^TOBY ^ISLA, ODNI S DRUGIMI W SWQZI,
PRINIMATX KAK BY DANNYMI WMESTE" (u^. ZAP. iMPERATORSK. kAZANSKOGO
UN-TA, 1834, S. 183).
x2. pOSLEDOWATELXNOSTX1. pOSLEDOWATELXNOSTX@ W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ FUNKCIQ
x : N! E. tRADICIONNYE OBOZNA^ENIQ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI:
x1; x2; : : : ; (xn)n2N; (xn):
|LEMENTY xn NAZYWA@TSQ ^LENAMI POSLEDOWATELXNOSTI. pOSLEDOWATELX-
NOSTX W MNOVESTWE R NAZYWAETSQ ^ISLOWOJ . ~ISLOWYE POSLEDOWATELXNOS-
TI ^ASTO ZADA@TSQ FORMULAMI OB]EGO ^LENA ILI REKURRENTNYMI FORMU-
LAMI.
p R I M E R Y. 2. xn = (�1)n (n 2 N).3. xn+1 = xn�1 + xn; x1 = x2 = 1.
4. pOSLEDOWATELXNOSTX 3; 1; 4; 1; 5; : : : CIFR W DESQTI^NOJ ZAPISI ^ISLA
� (NI ANALITI^ESKOJ, NI REKURRENTNOJ FORMUL NET).
x3. gRAFIK ^ISLOWOJ FUNKCII1. gRAFIKOM FUNKCII f : E ! R NAZYWAETSQ MNOVESTWO
� = f(x; f(x)) 2 R2 j x 2 Eg � R2:
pOD KRIWOJ NA PLOSKOSTI BUDEM PONIMATX NEPUSTOE MNOVESTWO
� R2. wOPROS: KAKIE IZ UKAZANNYH KRIWYH NA rIS. 1 QWLQ@TSQ GRA-
FIKAMI FUNKCIJ?
pRIWED�EM PROSTOE NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE TOGO, ^TO KRI-
WAQ QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII.
2. kRIWAQ NA PLOSKOSTI QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII
f : E ! R (E � R) TTOGDA KAVDAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OY, PERE-
SEKAET NE BOLEE ^EM W ODNOJ TO^KE. w \TOM SLU^AE E =
fx 2 R j 9y 2 R ((x; y) 2 )g.
16
z A M E ^ A N I Q. 3. pUSTX � | GRAFIK FUNKCII y = f(x)(x 2 E) I
(x; a) 2 �. tOGDA a = f(x).
4. sOOTWETSTWIE TIPA y = Arcsin x NAZYWAETSQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCI-
EJ. |TO NE FUNKCIQ W SMYSLE NA[EGO OPREDELENIQ (SM. 1.1). w TAKOGO SORTA
SOOTWETSTWIQH OBY^NO WYDELQ@T WETWI, GDE SOOTWETSTWIE ODNOZNA^NO (SM.
rIS. 2).
5. nAM PRID�ETSQ TAKVE IMETX DELO S FUNKCIQMI, ZADANNYMI NEQWNO.
pUSTX F : ! R ( � R2) | FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH. rAWENSTWO
(�) F (x; y) = 0
WYDELQET ^ASTX MNOVESTWA : � = f(x; y) 2 j F (x; y) = 0g. pUSTX� NE PUSTO. s POMO]X@ KRITERIQ P. 2 MOVNO PROWERITX, OPREDELQET LI
KRIWAQ � FUNKCI@ y = f(x). eSLI DA, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f(x)
OPREDELENA NEQWNO RAWENSTWOM (�). ~TOBY NAJTI ZAWISIMOSTX y = f(x),
NUVNO RAZRE[ITX URAWNENIE (�) OTNOSITELXNO y.6. dLQ ZADANIQ KRIWYH NA PLOSKOSTI ^ASTO POLEZNA POLQRNAQ SISTEMA
KOORDINAT. w \TOJ SISTEME KAVDAQ TO^KA A PLOSKOSTI HARAKTERIZUETSQ
PAROJ (r; '), GDE r | RASSTOQNIE A DO OTME^ENNOJ TO^KI O, A ' | UGOL,
POD KOTORYM OTREZOK OA NAKLON�EN K OTME^ENNOMU LU^U, WYHODQ]EMU
IZ TO^KI O (LU^ ' = 0). pRI \TOM UGOL OTS^ITYWAETSQ PROTIW ^ASOWOJ
STRELKI (rIS. 3). sOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI PLOSKOSTI I PARAMI (r; ')
UVE NE QWLQETSQ BIEKTIWNYM: NAPRIMER, O = (0; ') PRI L@BOM '; (r; ') =
(r; '+ 2�) PRI L@BYH r I '.
x4. oBRATNAQ FUNKCIQ1. pUSTX � | GRAFIK ^ISLOWOJ FUNKCII y = f(x) (x 2 E � R),
PRI^�EM KAVDAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OX, PERESEKAET � NE BOLEE
^EM W ODNOJ TO^KE. tOGDA KAVDOJ TO^KE y 2 f(E) SOOTWETSTWUET EDIN-
STWENNAQ TO^KA g(y) 2 E TAKAQ, ^TO f(g(y)) = y. iTAK, NA MNOVESTWE
F = f(E) OPREDELENA FUNKCIQ x = g(y) (y 2 F ); ONA NAZYWAETSQ OBRAT-
NOJ K FUNKCII y = f(x) (x 2 E); E�E UDOBNO ZAPISYWATX, POMENQW MESTAMIx I y : y = g(x) (x 2 F ). w \TOM SLU^AE GRAFIK �0 OBRATNOJ FUNKCII NAPLOSKOSTI XOY POLU^AETSQ ZERKALXNYM OTRAVENIEM GRAFIKA � OTNOSI-
TELXNO BISSEKTRISY 1-GO I 3-GO KOORDINATNYH UGLOW (rIS. 4). oTMETIM
DOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ OBRATNOJ FUNKCII.
17
2. pUSTX f : E ! R STROGO WOZRASTAET (TO ESTX x < x0 (x; x0 2E) ) f(x) < f(x0)) ILI STROGO UBYWAET (TO ESTX x < x0 ) f(x) >
f(x0)). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R SU]ESTWUET I STROGO WOZ-
RASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET).
� pUSTX, NAPRIMER, f : E ! R STROGO WOZRASTAET, I � | E�E GRAFIK. dO-
PUSTIM, ^TO NEKOTORAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OX, PERESEKAET � BOLEE
^EM W ODNOJ TO^KE: (x1; y); (x2; y) 2 �; x1 < x2. tOGDA y = f(x1) = f(x2),
^TO PROTIWORE^IT STROGOMU WOZRASTANI@ f . iTAK, OBRATNAQ FUNKCIQ SU-
]ESTWUET; ONA STROGO WOZRASTAET (!!).>
p R I M E R Y. 3. pUSTX F (x; y) = x2+ y2� 1 ((x; y) 2 R2);� = f(x; y) jF (x; y) = 0g. kRIWAQ � NE QWLQETSQ GRAFIKOM NIKAKOJ FUNKCII (rIS. 5).
4. F (x; y) = x2 + y2 � 1 (y � 0). sOOTWETSTWU@]AQ KRIWAQ OPREDE-
LQET FUNKCI@ y =p1� x2 (�1 � x � 1). oDNAKO OBRATNAQ FUNKCIQ NE
SU]ESTWUET.
5. F (x; y) = x2 + y2 � 1 (x; y � 0). w \TOM SLU^AE OPREDELENA FUNKCIQ
y =p1� x2 (0 � x � 1), PRI^�EM OBRATNAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET I SOWPA-
DAET S ISHODNOJ (� SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO BISSEKTRISY 1-GO I 3-GO
KOORDINATNYH UGLOW (rIS. 6)).
6. y = tg x (x 6= �(2k + 1)2 ; k 2 Z). oBRATNAQ FUNKCIQ NE SU]ESTWUET
(GOWORQT O MNOGOZNA^NOJ FUNKCII y = Arctgx).
7. y = tg x (��2 < x < �2 ). oBRATNAQ FUNKCIQ y = arctg x (x 2 R).
8. pONQTIE OBRATNOJ FUNKCII MOVET BYTX OPREDELENO DLQ ABSTRAKT-
NYH FUNKCIJ. pUSTX E;G | MNOVESTWA I FUNKCIQ f : E ! G TAKOWA,
^TO 8x; y (x 6= y ) f(x) 6= f(y)). pUSTX F = f(E). fUNKCIQ g : F ! E,
OPREDEL�ENNAQ RAWENSTWOM g(f(x)) = x (x 2 E), NAZYWAETSQ OBRATNOJ K
FUNKCII f . pRI \TOM FUNKCIQ f W SWO@ O^EREDX QWLQETSQ OBRATNOJ K g,
I GOWORQT, ^TO f I g WZAIMNO OBRATNY. iTAK, WZAIMNO OBRATNYE FUNKCII
f : E ! G; g : F ! E (GDE F = f(E)) HARAKTERIZU@TSQ RAWENSTWAMI
g(f(x)) = x (x 2 E); f(g(x)) = x (x 2 F ):
x5. oPERACII NAD FUNKCIQMI1. aRIFMETI^ESKIE OPERACII. pUSTX FUNKCII f : E ! R; g : E ! R
ZADANY NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E. oPREDELIM NOWYE FUNKCII:
18
SUMMA (RAZNOSTX): (f � g)(x) � f(x)� g(x) (x 2 E);PROIZWEDENIE: (f � g)(x) � f(x)g(x) (x 2 E);^ASTNOE: (f=g)(x) � f(x)=g(x) (x 2 E0 = fx 2 E j g(x) 6= 0g.2. sUPERPOZICIQ FUNKCIJ. pUSTX E; F; G| MNOVESTWA I OPREDELENY
FUNKCII f : E ! F; g : F ! G. tOGDA RAWENSTWOM h(x) � g(f(x)) (x 2 E)OPREDELQETSQ NOWAQ FUNKCIQ h : E ! G, KOTORAQ NAZYWAETSQ SUPERPOZI-
CIEJ FUNKCIJ f I g I OBOZNA^AETSQ g � f .mOVNO OPREDELITX SUPERPOZICI@ TR�EH I BOLEE FUNKCIJ. pUSTX, NA-
PRIMER, ZADANY FUNKCII f : E ! F; g : F ! G;h : G! H; SUPERPOZICIQ
h�g�f : E ! H OPREDELQETSQ RAWENSTWOM (h�g�f)(x) � h(g(f(x))) (x 2 E)fOBOZNA^ENIE KORREKTNO W SILU NEPOSREDSTWENNO PROWERQEMOGO RAWENSTWAh � (g � f) = (h � g) � fg.
3. p R I M E R. pUSTX f(x) = x2 (x 2 R); g(x) = 1 � x (x 2 R). tOGDA(g � f)(x) = 1� x2 (x 2 R); (f � g)(x) = (1� x)2(x 2 R).
19
dejstwitelxnye ~isla
x6. aKSIOMATI^ESKOE OPREDELENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL
1. mNOVESTWO R NAZYWAETSQ MNOVESTWOM DEJSTWITELXNYH (WE]EST-
WENNYH) ^ISEL, ESLI WYPOLNENY AKSIOMY (I) | (V):
(I) aKSIOMY PORQDKA. w R ZADANO OTNO[ENIE < (TO ESTX DLQ KAVDOJ
PARY \LEMENTOW �; � 2 R USTANOWLENO, WYPOLNQETSQ LI � < � ILI NET).
pRI \TOM WYPOLNENY USLOWIQ:
(I1) DLQ L@BYH �; � 2 R IMEET MESTO ODNO IZ TR�EH: � = � ILI � < � ILI
� < �);
(I2) \� < �; � < " ) � < ;
(I3) � < � ) 9 (� < < �).
pO OPREDELENI@ ZAPISX � > � \KWIWALENTNA ZAPISI � < �.
(II) R| POLE (TO ESTX KOLXCO, NENULEWYE \LEMENTY KOTOROGO OBRAZU@T
KOMMUTATIWNU@ GRUPPU PO UMNOVENI@).
nULX KOLXCA OBOZNA^AETSQ ^EREZ 0, EDINICA MULXTIPLIKATIWNOJ GRUP-
PY OBOZNA^AETSQ ^EREZ 1. tAKIM OBRAZOM, WOZNIKAET NATURALXNYJ RQD
N = f1; 2; 3; : : :g, GDE 2 � 1 + 1; 3 � 2 + 1; I T.D. oTMETIM W KA^ESTWE
TEOREMY UTWERVDENIE: 2 � 2 = 4:
(III) sOGLASOWANNOSTX (I) I (II):
(III1) � < � ) 8 (�+ < � + ),
(III2) � < � ) 8 > 0 (� < � ).
(IV) aKSIOMA aRHIMEDA. 8� > 0 9n 2 N (� < n).
~TOBY SFORMULIROWATX POSLEDN@@ AKSIOMU, WWED�EM RQD PONQTIJ.mNO-
VESTWO E(� R) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI SU]ESTWUET � 2 RTAKOE, ^TO � � � DLQ L@BOGO � 2 E (� � � OZNA^AET, ^TO � = � ILI
� < �). ~ISLO � W \TOM SLU^AE NAZYWAETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E.
aNALOGI^NO OPREDELQETSQ MINORANTA OGRANI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA.
20
eSLI, W ^ASTNOSTI, E OGRANI^ENO SWERHU I SNIZU, TO GOWORQT, ^TO E OGRA-
NI^ENO. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM
�0(2 E), ESLI 8� 2 E (�0 � �).
(V) aKSIOMA NEPRERYWNOSTI. eSLI E(� R) NE PUSTO I OGRANI^ENO
SWERHU, TO SREDI MAVORANT MNOVESTWA E SU]ESTWUET NAIMENX[AQ.
nAIMENX[AQ MAVORANTA OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA E NAZY-
WAETSQ WERHNEJ GRANX@ I OBOZNA^AETSQ ODNIM IZ SLEDU@]IH SIMWOLOW
sup E; sup�2E
� (supremum| NAIWYS[EE). aNALOGI^NO, NIVNQQ GRANX OGRA-
NI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA E ESTX NAIBOLX[AQ MINORANTA; OBOZNA^ENIQ:
inf E; inf�2E
� (in�mum | NAINIZ[EE).
z A M E ^ A N I Q. 2. gRANI sup E; inf E NE OBQZANY PRINADLEVATX
MNOVESTWU E. nAPRIMER, DLQ E = f� j � > 0g : inf E = 0 62 E (!!).
3. mNOVESTWO Q S OBY^NYM OTNO[ENIEM < MEVDU RACIONALXNYMI
^ISLAMI UDOWLETWORQET TREBOWANIQM (I)|(IV), NO NE UDOWLETWORQET TRE-
BOWANI@ (V) (NAPRIMER, SREDI MAVORANT MNOVESTWA fr 2 Q j r2 < 2g NETNAIMENX[EJ (W Q) (!!)).
uSTANOWIM POLEZNOE HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO WERHNEJ GRANI ^I-
SLOWOGO MNOVESTWA.
4. pUSTX �0 | MAVORANTA MNOVESTWA E(6= ;). sLEDU@]IE USLOWIQ\KWIWALENTNY:
(A) �0 = sup E;
(B) 8" > 0 9� 2 E (�0 � " < �).
� (A) ) (B). pUSTX �0 = supE, NO USLOWIE (B) NARU[AETSQ. tOGDA PRI
NEKOTOROM " > 0 ^ISLO �0�" QWLQETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E, MENX[EJ^EM �0, ^TO NEWOZMOVNO.
(B) ) (A). pUSTX WYPOLNENO (B) I � | MAVORANTA E TAKAQ, ^TO � <
�0. tOGDA PRI " = �0 � � USLOWIE (B) NARU[AETSQ, ^TO PROTIWORE^IT
PREDPOLOVENI@. >
5. iZ NAGLQDNO-GEOMETRI^ESKIH SOOBRAVENIJ MNOVESTWO R DEJSTWI-
TELXNYH ^ISEL NAZYWA@T TAKVE ^ISLOWOJ PRQMOJ. oTMETIM, ^TO NEOB-
HODIMO E]�E DOKAZATX NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEMY (I)|(V). dLQ \TOGO
21
DOSTATO^NO POSTROITX MODELX R, W KOTOROJ WYPOLNQLISX BY WSE \TI AK-
SIOMY. w pRILOVENII I DANO IS^ERPYWA@]EE IZLOVENIE ODNOJ TAKOJ
MODELI, PRIWED�EN \SKIZ INTERESNOJ MODELI a. n. kOLMOGOROWA, A TAKVE
DOKAZANA \KWIWALENTNOSTX RAZLI^NYH MODELEJ.|TO pRILOVENIE REKOMEN-
DUETSQ ^ITATX POSLE IZU^ENIQ RAZDELA \pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELX-
NOSTI".
u P R A V N E N I Q. 6. wYWEDITE IZ AKSIOM (I) | (III), ^TO DLQ L@BOGO
n 2 N: n > 0.
7. wYWEDITE AKSIOMU (I3) IZ OSTALXNYH AKSIOM (I) | (III).
8. pOKAVITE, ^TO � < � (�; � 2 R) ) 9 2 Q (� < < �) (USILENIE
(I3)).
9. wYWEDITE AKSIOMU aRHIMEDA IZ OSTALXNYH AKSIOM DEJSTWITELXNYH
^ISEL.
x7. tOPOLOGIQ ^ISLOWOJ PRQMOJ
1. sREDI MNOVESTW NA ^ISLOWOJ PRQMOJ RMY ^ASTO BUDEM IMETX DELO
S PROMEVUTKAMI:
(�; �) � fx 2 R j � < x < �g | INTERWAL;
[�; �] � fx 2 R j � � x � �g | OTREZOK;
[�; �) � fx 2 R j � � x < �g;(�; �] � fx 2 R j � < x � �g;(�1; �] � fx 2 R j x � �g;(�;+1) � fx 2 R j � < xg.2. oKRESTNOSTX@ TO^KI a 2 R NAZYWAETSQ WSQKIJ INTERWAL (c; d),
SODERVA]IJ TO^KU a. oKRESTNOSTX TO^KI BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ U(a).
w ^ASTNOSTI, "-OKRESTNOSTX@ TO^KI a NAZYWAETSQ INTERWAL (a� "; a+ ").
pROKOLOTOJ OKRESTNOSTX@ (�-OKRESTNOSTX@) TO^KI a 2 R NAZYWA-
ETSQ MNOVESTWO �U (a) � U(a)nfag, GDE U(a) | NEKOTORAQ OKRESTNOSTX a.
tAKIM OBRAZOM, �-OKRESTNOSTI TO^KI a SUTX MNOVESTWA WIDA (c; a)[(a; d).pUSTX E � R. oKRESTNOSTX@ (SOOTWETSTWENNO �-OKRESTNOSTX@) W E
TO^KI a NAZYWAETSQ MNOVESTWO WIDA U(a)\E (SOOTWETSTWENNO �U (a)\E).3. z A M E ^ A N I E. wSQKIE DWE RAZLI^NYE TO^KI a; b 2 R OBLADA@T
NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI.
22
4. mNOVESTWO E(� R) NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI ONO WMESTE S KAV-
DOJ TO^KOJ SODERVIT I NEKOTORU@ OKRESTNOSTX \TOJ TO^KI, TO ESTX 8x 2E 9U(x) (U(x) � E). nAPRIMER, R; (a; b); ;| OTKRYTYE MNOVESTWA.mNO-
VESTWO F � R NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI RnF OTKRYTO.
tO^KA a 2 E NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ MNOVESTWA E, ESLI
SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(a) TAKAQ, ^TO �U(a) \ E = ;. tO^KA a 2 R
NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA E, ESLI 8U(a) ( �U(a)\E 6= ;).pREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA SAMA MOVET EMU I NE PRINADLEVATX.
u P R A V N E N I Q. 5. pUSTX E = f1; 1=2; 1=3; : : :g. nAJTI WSE IZOLI-ROWANNYE TO^KI MNOVESTWA E, WSE EGO PREDELXNYE TO^KI. oTKRYTO ILI
ZAMKNUTO E?
6. tO^KA a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E TTOGDA WSQKAQ OKREST-
NOSTX U(a) SODERVIT BESKONE^NOE MNOVESTWO TO^EK IZ E.
7. pUSTX E0 | MNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E. tOGDA
(E0)0 � E0.
8. eSLI E OTKRYTO I ZAMKNUTO ODNOWREMENNO, TO E = ; LIBO E = R.
sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ DLQ MATEMATI^ESKOGO
ANALIZA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ.
9. t E O R E M A [k. wEJER[TRASS]. bESKONE^NOE OGRANI^ENNOE MNOVES-
TWO E(� R) OBLADAET PO KRAJNEJ MERE ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.
� tAK KAK E OGRANI^ENO, TO SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO E �[�M;M ]. pUSTX F = fx 2 R j MNOVESTWO E \ (�1; x) KONE^NOg. tOG-DA F 6= ; (NAPRIMER, f�Mg 2 F ) I OGRANI^ENO SWERHU (NAPRIMER, M |
MAVORANTA F ). pO AKSIOME NEPRERYWNOSTI SU]ESTWUET � = sup F . pO-
KAVEM, ^TO � | ISKOMAQ PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E. pUSTX U(�) =
(c; d) | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI �. nADO LI[X UBEDITXSQ, ^TO�U(�) \ E 6= ;. pUSTX, NAPROTIW,
(�) �U (�) \ E = [(c; �) [ (�; d)] \ E = ;
I � 2 (c; �). tAK KAK � < � = sup F , MNOVESTWO E \ (�1; �) KONE^NO. nO
TOGDA IZ (�) SLEDUET, ^TO E \ (�1; d) KONE^NO, TO ESTX d � �, I ZNA^IT,
� 62 (c; d) | PROTIWORE^IE.>
23
x8. rAS[IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ
1. ~ASTO BYWAET UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ RTAK NAZY-
WAEMYE NESOBSTWENNYE ^ISLA �1. mNOVESTWO R[ f�1g NAZOW�EM RAS[I-
RENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ PRI SLEDU@]IH SOGLA[ENIQH:
�1 < a < +1 (a 2 R), a�1 � �1 (a 2 R),a � (�1) � �1 (0 < a 2 R), a � (�1) � �1 (0 > a 2 R);
�-OKRESTNOSTX@ TO^KI f+1g (SOOTWETSTWENNO f�1g) NAZOW�EM WSQKOE MNO-VESTWO WIDA (M;+1) (SOOTWETSTWENNO (�1;M));M 2 R.
2. iNOGDA UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ ODNU NESOBSTWEN-
NU@ TO^KU f1g (BESKONE^NOSTX BEZ ZNAKA); �-OKRESTNOSTX@ TO^KI f1gNAZOW�EM WSQKOE MNOVESTWO WIDA (�1; N) [ (M;+1). COGLA[ENIJ O PO-
RQDKOWYH I ARIFMETI^ESKIH SWOJSTWAH TO^KI f1g NE DELAETSQ.3. z A M E ^ A N I E. kAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO RAS[IRENNOJ
^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f�1g OBLADAET WERHNEJ I NIVNEJ GRANQMI (\TI
GRANI OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO 6.1).
24
predel ~islowoj posledowatelxnosti
x9. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI
1. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xn),
ESLI DLQ L@BOGO " > 0 NAJD�ETSQ NATURALXNOE ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSQ-
KOGO n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn � aj < ". w \TOM SLU^AE PI[UT
lim xn = a ILI xn ! a I GOWORQT, ^TO (xn) SHODITSQ (ILI STREMITSQ) K a.
z A M E ^ A N I Q. 2. xn ! a OZNA^AET, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX U(a)
TO^KI a QWLQETSQ \LOWU[KOJ" POSLEDOWATELXNOSTI (xn), TO ESTX W U(a)
POPADA@T WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA.
pRIWED�EM ZAPISI RAWENSTWA lim xn = a W KWANTORAH:
8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxn � aj < ");
8U(a) 9N 2 N 8n > N (xn 2 U(a)):w ^ASTNOSTI, xn ! 0 OZNA^AET, ^TO 8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj < "), TO
ESTX xn ! 0 TTOGDA jxnj ! 0:
3. xn ! a TTOGDA xn � a! 0:
4. iZMENENIE KONE^NOGO ^ISLA ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI NE WLIQET
NA E�E SHODIMOSTX.
5. pUSTX (xn) | POSLEDOWATELXNOSTX I n1 < n2 < : : : (nk 2 N). pO-
SLEDOWATELXNOSTX yk � xnk (k 2 N) NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@POSLEDOWATELXNOSTI (xn).
6. eSLI (xn) SHODITSQ, TO L@BAQ E�E PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODIT-
SQ K TOMU VE PREDELU.
� pUSTX xn ! a I yk = xnk | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI
(xn); n1 < n2 < : : :. o^EWIDNO, nk � k. pUSTX DALEE N 2 N TAKOWO, ^TO
jxn� aj < " (n > N). tOGDA k > N ) nk > N I, SLEDOWATELXNO, jyk � aj =jxnk � aj < " (k > N), TO ESTX yk ! a: >
p R I M E R Y. 7. xn = 1n ! 0 fDLQ L@BOGO " > 0 WYBEREM N > 1="
(TAKOE N SU]ESTWUET PO AKSIOME aRHIMEDA (SM. 6.1)). tOGDA jxnj < " PRI
n > Ng.
25
8. lim(pn+ 1 �pn� 1) = 0.
9. pOSLEDOWATELXNOSTX 0; 1; 0; 1; : : : NE SHODITSQ.
u P R A V N E N I Q. 10. ~TO ZNA^IT, ^TO (xn) NE SHODITSQ? zAPI[ITE
W KWANTORAH.
11. oHARAKTERIZOWATX SHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI, U KOTORYH N
W OPREDELENII PREDELA NE ZAWISIT OT ".
12. eSLI xn ! a I xn �M (n 2 N), TO a �M .
13. eSLI xn ! a I f : N! N | BIEKCIQ, TO xf(n) ! a.
14. eSLI xn ! 0 I xn > 0; TOpxn ! 0:
15. eSLI xn ! a I yn =1n(x1 + : : :+ xn) (n 2 N), TO yn ! a.
x10. |LEMENTARNYE SWOJSTWA PREDELA
1. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN.
sWOJSTWO \ZAVATOJ" POSLEDOWATELXNOSTI:
2. eSLI xn ! a; yn ! a; xn � zn � yn (n 2 N), TO zn ! a.
3. eSLI xn ! a, TO jxnj ! jaj.� dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO UTWERVDENIQ DOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO DLQ
POSLEDOWATELXNOSTI (xn): xn ! a; xn ! b; a 6= b. pUSTX U(a); U(b) |
NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK a I b (SM. 7.3). sOGLASNO P. 2 OBE
ONI OBQZANY BYTX LOWU[KAMI POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ^TO NEWOZMOVNO.
dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 WYBEREM PROIZWOLXNOE " > 0. tOGDA PRI DO-
STATO^NO BOLX[OM N
a� " < xn < a+ "; a� " < yn < a+ " (n > N):
sLEDOWATELXNO a� " <xn � zn � yn< a+ " (n > N) , ^TO I TREBOWA-
LOSX (SM. POD^�ERKNUTYJ TEKST). tRETXE UTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI
jjxnj � jajj � jxn � aj: >4. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ,
ESLI 9M > 0 8n 2 N (jxnj �M).
5. eSLI xn ! 0, A POSLEDOWATELXNOSTX (yn) OGRANI^ENA, TO xnyn ! 0:
� sLEDUET IZ OCENKI 0 � jxnynj �M jxnj I SWOJSTW 2, 3.>6. sHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA.
26
� pUSTX xn ! a. pOLOVIM " = 1 W OPREDELENII PREDELA, I PUSTX N
TAKOWO, ^TO jxn � aj < 1 (n > N). tOGDA
jxnj � maxfjaj+ 1; jx1j; : : : ; jxN jg (n 2 N): >
sOGLASNO 5.1 NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE
OPERACII. nAPRIMER, POSLEDOWATELXNOSTX (xnyn) QWLQETSQ PROIZWEDENIEM
POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn) I (yn).
7. eSLI xn ! a; yn ! b, TO
(A) xn � yn ! a� b,
(B) xnyn ! ab,
(W) xnyn
! ab(yn 6= 0; b 6= 0).
� sWOJSTWO (B) SLEDUET IZ OCENKI (S U^�ETOM P. 6)
jxnyn � abj � jxnyn � aynj+ jayn � abj = jynj jxn � aj+ jaj jyn � bj:
pUSTX b 6= 0 I N TAKOWO, ^TO jynj > jbj=2 (n > N). tOGDA
j 1yn� 1
bj = 1
jynjjbjjyn � bj < 2
jbj2 jyn � bj (n > N):
oTS@DA S U^�ETOM (B) SLEDUET (W).>
p R I M E R Y. 8. lim(n)1=n = 1: fzn � (n)1=n � 1 (> 0))n = (1 + zn)
n = 1 + nzn +n(n� 1)
2 z2n + : : : >n(n� 1)
2 z2n )0 � zn �
�2
n� 1
�1=2 ) zn ! 0:g9. lim a1=n = 1 (a > 0). wYWODITSQ IZ P. 8.
10. lim qn = 0 PRI jqj < 1.
x11. oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA
1. kAVDAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET SHODQ]EJSQ
PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
27
� pUSTX E = fx1; x2; : : :g | MNOVESTWO ZNA^ENIJ1 POSLEDOWATELXNOSTI
(xn). eSLI E KONE^NO, TO UTWERVDENIE O^EWIDNO. pUSTX E BESKONE^NO.
pO TEOREME wEJER[TRASSA 7.9 MNOVESTWO E OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ
a 2 R. pOLOVIM n1 = minfp 2 Njxp 2 (a�1; a+1)g. eSLI n1; : : : ; nk�1 UVEWYBRANY, POLOVIM nk = minfp 2 N j p > nk�1; xp 2 (a� 1
k; a+ 1
k)g. tOGDA
yk � xnk (k 2 N) | ISKOMAQ, SHODQ]AQSQ (K a), PODPOSLEDOWATELXNOSTX
POSLEDOWATELXNOSTI (xn): >
2. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ NEUBYWA@]EJ (SOOTWETSTWEN-
NO NEWOZRASTA@]EJ ), ESLI xn � xn+1 (n 2 N) (SOOTWETSTWENNO xn � xn+1).
pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI ONA NEWOZRASTA@]AQ
ILI NEUBYWA@]AQ.
3. wSQKAQ OGRANI^ENNAQ MONOTONNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ.
� pUSTX, NAPRIMER, (xn) NE UBYWAET I OGRANI^ENA. tOGDA SU]ESTWUET
M = supnxn.pOKAVEM, ^TO xn !M . pUSTX U(M) = (a; b) | PROIZWOLXNAQ
OKRESTNOSTX TO^KIM , TO ESTX a < M < b. pO OPREDELENI@ WERHNEJ GRANI
NAJD�ETSQ N TAKOE, ^TO a < xN � M . nO TOGDA xn 2 U(M) (n > N) I
OSTA�ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ ZAME^ANIEM 9.2.>
4. l E M M A [O WLOVENNYH OTREZKAH]. pUSTX In = [an; bn](n = 1; 2; : : :),
PRI^�EM I1 � I2 � : : : I bn � an ! 0. tOGDA SU]ESTWUET I EDINSTWENNA
TO^KA a 2 1Tn=1
In.
� pOSLEDOWATELXNOSTX (an) LEWYH KONCOW NA[IH OTREZKOW NE UBYWAET
I OGRANI^ENA SWERHU (NAPRIMER, ^ISLOM b1 ). w SILU P. 3 SU]ESTWUET
a = lim an. aNALOGI^NO, POSLEDOWATELXNOSTX (bn) PRAWYH KONCOW NE WOZ-
RASTAET I SU]ESTWUET
(�): lim bn = lim[(bn � an) + an] = a
sLEDOWATELXNO an � a � bn DLQ L@BOGO n, TO ESTX a 21Tn=1
In. eSLI TEPERX
c | E]�E ODNA TO^KA TAKAQ, ^TO an � c � bn (n 2 N), TO IZ (�) SLEDUET SU^�ETOM 10.2, ^TO c = a: >
1zDESX ^ISLA, STOQ]IE W FIGURNYH SKOBKAH, NE OBQZATELXNO POPARNO RAZLI^NY. wO-OB]E NE SLEDUET PUTATX POSLEDOWATELXNOSTX S MNOVESTWOM E�E ZNA^ENIJ: ^ISLO ^LENOWPOSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NO, HOTQ MNOVESTWO E�E ZNA^ENIJ MOVET BYTX KONE^NYM.
28
5. ~ISLOM e NAZYWAETSQ PREDEL lim�1 + 1
n
�n= 2; 7182 : : :.
� dOKAVEM SU]ESTWOWANIE \TOGO PREDELA. pOSLEDOWATELXNOSTX yn �(1 + 1
n)n+1 NE WOZRASTAET:
yn�1yn
=
�n2
n2 � 1
�nn
n + 1 =
�1 + 1
n2 � 1
�nn
n+ 1
>
�1 + n
n2 � 1
�n
n + 1 > 1;
I PO SWOJSTWU P. 3 SU]ESTWUET lim yn. sLEDOWATELXNO,
lim
�1 +
1
n
�n= lim yn
�1 +
1
n
��1= lim yn: >
6. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ (ILI POSLEDO-
WATELXNOSTX@ kO[I), ESLI
8" > 0 9N 8n;m > N (jxn � xmj < ")
ILI, \KWIWALENTNO, 8" > 0 9N 8n > N 8p (jxn+p � xnj < ").
7. k R I T E R I J [o. kO[I]. ~TOBY POSLEDOWATELXNOSTX (xn) SHO-
DILASX, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA FUNDAMENTALXNOJ.
� nEOBHODIMOSTX. pUSTX xn ! a; " > 0 | PROIZWOLXNO I N 2 N
TAKOWO, ^TO jxn � aj < "=2 (n > N). tOGDA DLQ L@BYH n;m > N IMEEM
jxn � xmj = jxn � a� (xm � a)j � jxn � aj+ jxm � aj < ";
TO ESTX (xn) FUNDAMENTALXNA.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX (xn) FUNDAMENTALXNA. tOGDA (xn) OGRANI-
^ENA. dEJSTWITELXNO, ESLI N TAKOWO, ^TO jxn � xmj < 1 (n;m > N), TO
jxnj � maxfjx1j; : : : ; jxN j; jxN+1j+ 1g (n 2 N):pO SWOJSTWU P. 1 SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk) :
xnk ! a.pOKAVEM, ^TO xn ! a.pUSTX " > 0: tOGDA SU]ESTWU@TN;N 0 2 NTAKIE, ^TO jxn � xmj < "=2 (n;m > N); jxnk � aj < "=2 (nk > N 0). dLQn > N 00 = max(N;N 0) IMEEM
jxn � aj � fWYBIRAEM KAKOE-LIBO nk > N 00g� jxn � xnk j+ jxnk � aj < ": >
29
8. u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO lim xn
n!= 0 (x 2 R).
x12. pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ
1. bUDEM GOWORITX, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX (xn) STREMITSQ
K +1 W R[ f�1g (OBOZNA^ENIE: xn ! +1), ESLI WSQKAQ �-OKRESTNOSTX
TO^KI +1 | LOWU[KA DLQ (xn), TO ESTX
8M 2 R 9N 2 N 8n > N (xn > M);
aNALOGI^NO OPREDELQETSQ SIMWOL xn ! �1.
2. pODOBNYM VE OBRAZOM OPREDELQETSQ SHODIMOSTX ^ISLOWOJ POSLEDO-
WATELXNOSTI (xn) K TO^KE 1 W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f1g :xn ! 1, ESLI WSQKAQ �-OKRESTNOSTX TO^KI 1 QWLQETSQ LOWU[KOJ DLQ
POSLEDOWATELXNOSTI (xn), TO ESTX
8M > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj > M):
3. w RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f�1g TO^KU � NAZOW�EM ^ASTI^-
NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ESLI SU]ESTWUET PODPOSLEDOWA-
TELXNOSTX xnk ! �. pUSTX L(xn) | MNOVESTWO WSEH ^ASTI^NYH PREDELOW
POSLEDOWATELXNOSTI (xn).
4. mNOVESTWO L(xn) NE PUSTO I OBLADAET NAIBOLX[IM I NAIMENX-
[IM \LEMENTAMI.
� eSLI (xn) OGRANI^ENA, TO L(xn) NE PUSTO W SILU 11.1. eSLI (xn) NE
OGRANI^ENA SWERHU (SOOTWETSTWENNO SNIZU), TO MNOVESTWU L(xn) PRINAD-
LEVIT TO^KA +1 (SOOTWETSTWENNO f�1g).pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO L(xn)OBLADAET NAIBOLX[IM \LEMENTOM. w SILU 8.3 SU]ESTWUET �0 = supL(xn).
pOKAVEM, ^TO �0 2 L(xn). uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI �0 = +1 (!!).
pUSTX �0 2 R. w SILU 6.4 DLQ L@BOGO N 2 N WYBEREM �N 2 L(xn) TAK,
^TOBY �0 � 1N< �N . pUSTX xn1 TAKOWO, ^TO
�0 � 1 < xn1
(n1 SU]ESTWUET, TAK KAK SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWA-
TELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K NEKOTOROMU �1 > �0�1). eSLI xn1; : : : ; xnN�1UVE WYBRANY, NAJD�EM INDEKS nN IZ USLOWIQ:
nN > nN�1; �0 � 1
N< xnN
30
(SNOWA nN SU]ESTWUET, T. K. SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDO-
WATELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K �N > �0 � 1N). pO POSTROENI@
� 2 L(xnN )) � � �0. oSTA�ETSQ ZAMETITX, ^TO L(xnN ) � L(xn): >
5. wERHNIM (SOOTWETSTWENNO NIVNIM) PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI
(xn) NAZYWAETSQ NAIBOLX[IJ (SOOTWETSTWENNO NAIMENX[IJ) \LEMENT MNO-
VESTWA L(xn); ON OBOZNA^AETSQ lim xn (SOOTWETSTWENNO lim xn).
6. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY SU]ESTWU@T I lim xn � lim xn. pRI
\TOM lim xn = lim xn TTOGDA SU]ESTWUET lim xn (I TOGDA lim xn =
lim xn = lim xn).
� 1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 4. eSLI lim xn SU]ESTWUET, TO L(xn)
ODNO\LEMENTNO, A ZNA^IT, lim xn = lim xn. oBRATNO, PUSTX L(xn) ODNO\LE-
MENTNO: L(xn) = f�g. pOKAVEM, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX TO^KI � QWLQETSQLOWU[KOJ DLQ (xn). eSLI, NAPRIMER, � = +1 I � 2 R PROIZWOLXNO, TO
WNE INTERWALA (�;+1) LEVIT LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWA-
TELXNOSTI (xn) (W PROTIWNOM SLU^AE NA[LASX BY PODPOSLEDOWATELXNOSTX
xnk ! � � �, ^TO PROTIWORE^IT ODNO\LEMENTNOSTI L(xn)). pUSTX TEPERX
� 2 R I a < � < b. sNOWA W PROMEVUTKAH (�1; a] I [b;+1) MOVET LE-
VATX LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI (xn), T. E. (a; b) |
LOWU[KA DLQ (xn): >
7. p R I M E R. dLQ POSLEDOWATELXNOSTI xn =1n [2 + (�1)n]n : lim xn =
0; lim xn = +1.
u P R A V N E N I Q. 8. pOKAVITE, ^TO lim xn = limksupn�k
xn; limxn =
limk
infn�k
xn.
9. eSLI ODIN IZ PREDELOW lim xn; lim yn KONE^EN ILI lim xn = lim yn, TO
lim (xn + yn) � lim xn + lim yn. w ANALOGI^NYH PREDPOLOVENIQH lim (xn +
yn) � lim xn + lim yn.
10. eSLI xn ! a > 0, TO lim xn = a � lim yn; lim xnyn = a � lim yn.
11.pUSTX xn > 0 (n 2 N). dOKAZATX, ^TO limxn+1xn� lim n
pxn; lim n
pxn �
limxn+1xn
.
31
~islowye rqdy
x13. |LEMENTARNYE SWOJSTWA ^ISLOWYH RQDOW1. pUSTX (xn) | ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX. fORMALXNAQ SUMMA
(�) x1 + x2 + : : : (ILI KORO^E:1Xn=1
xn;Xn
xn;X
xn)
NAZYWAETSQ ^ISLOWYM RQDOM; ^ISLA xn NAZYWA@TSQ ^LENAMI RQDA. ~ISLA
sn = x1+ : : :+ xn (n = 1; 2; : : :) NAZYWA@TSQ ^ASTNYMI SUMMAMI RQDA (�).rQD (�) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX (sn)
EGO ^ASTNYH SUMM. ~ISLO s = lim sn NAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE SUMMOJ
RQDA (�); SUMMA RQDA OBOZNA^AETSQ TAK VE, KAK I SAM RQD: s =Pxn.
2. z A M E ^ A N I E. oTBRASYWANIE ILI DOBAWLENIE KONE^NOGO ^ISLA
^LENOW RQDA NE WLIQET NA EGO SHODIMOSTX.
3. eSLI RQDYPxn;
Pyn SHODQTSQ, TO SHODQTSQ RQDY
P�xn (� 2
R);P(xn � yn), PRI^�EMX
�xn = �X
xn;X
(xn � yn) =X
xn �X
yn:
� nAPRIMER, P(xn + yn) = limk
kPn=1
(xn + yn) = limk
kPn=1
xn + limk
kPn=1
yn =Pxn +
Pyn: >
4. z A M E ^ A N I E. iZ SHODIMOSTI RQDAP(xn+yn), KONE^NO, NE SLEDUET
SHODIMOSTX RQDOWPxn;
Pyn.
oTMETIM DWA WAVNYH KRITERIQ SHODIMOSTI ^ISLOWYH RQDOW.
5. k R I T E R I J [o. kO[I]. rQD (�) SHODITSQ TTOGDA8" > 0 9N 8n > N 8p (jxn+1 + : : :+ xn+pj < "):
6. rQD (�) S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI SHODITSQ TTOGDA POSLEDO-WATELXNOSTX EGO ^ASTNYH SUMM OGRANI^ENA.
� rQD (�) SHODITSQ TTOGDA SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX (sn) EGO ^ASTNYHSUMM. w SILU 11.7 \TO \KWIWALENTNO USLOWI@
8" > 0 9N 8n > N 8p (jsn+p � snj = jxn+1 + : : :+ xn+pj < "):
32
uTWERVDENIE 6 SLEDUET IZ 11.3, PRIMEN�ENNOGO K POSLEDOWATELXNOSTI
^ASTNYH SUMM RQDA (�).>pOLAGAQ W KRITERII kO[I p = 1, POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE SHO-
DIMOSTI RQDA:
7. eSLI RQDPxn SHODITSQ, TO xn ! 0.
8. rQDOM lEJBNICA NAZYWAETSQ RQD WIDA x1�x2+x3� : : :, GDE xn > 0,
PRI^�EM x1 � x2 � : : : ; xn ! 0: rQD lEJBNICA WSEGDA SHODITSQ I EGO
SUMMA � x1.
� iZ PREDSTAWLENIJs2n = x1 � (x2 � x3)� : : :� (x2n�2 � x2n�1)� x2n � x1;
s2n = (x1 � x2) + : : :+ (x2n�1 � x2n)
SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (s2n) OGRANI^ENA SWERHU I NE UBYWAET,
TAK ^TO SU]ESTWUET s = lim s2n � x1. kROME TOGO, lim s2n+1 = lim(s2n +
x2n+1) = s, OTKUDA lim sn=s.>
p R I M E R Y. 9. rQD 1� 1 + 1 � 1 + : : : RASHODITSQ.
10. rQD1Pn=0
xn = 1+ x+ x2+ : : : RASHODITSQ PRI jxj � 1, TAK KAK xn NE
STREMITSQ K 0 (SM. P. 7). pRI jxj < 1 RQD SHODITSQ: sn = 1+x+: : :+xn�1 =1� xn
1� x ! (1� x)�1.
11. rQD 1 + 12 + 1
3 + : : : NAZYWAETSQ GARMONI^ESKIM. oN RASHODITSQ,
TAK KAK DLQ NEGO NARU[AETSQ KRITERIJ P. 5:
js2n � snj = 1
n+ 1+ : : :+
1
2n>
1
2:
12. rQD 1� 12 + 1
3 � : : : SHODITSQ (\TO RQD lEJBNICA).
x14. pRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNYH RQDOW1. pUSTX
Pxn;
Pyn RQDY S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI.
(A) eSLI xn � yn (n 2 N), TO IZ SHODIMOSTI P yn SLEDUET SHODIMOSTXPxn, A IZ RASHODIMOSTI
Pxn | RASHODIMOSTX
Pyn.
(B) eSLI lim xnyn
= A > 0, TO OBA RQDAPxn;
Pyn SHODQTSQ ILI RAS-
HODQTSQ ODNOWREMENNO.
33
� (A) SLEDUET IZ 13.6, POSKOLXKU tk =kP
n=1yn �
kPn=1
xn = sk; k 2 N. pUSTX
" > 0 TAKOWO, ^TO 0 < " < A I j xnyn �Aj < " (n > N), TO ESTX
0 < (A� ")yn < xn < (A+ ")yn (n > N):
tEPERX (B) SLEDUET IZ (A). nAPRIMER, ESLIPxn SHODITSQ, TO SHODITSQ RQDP xn
A� "(SM. 13.3) I, TAK KAK yn <
xnA� "
(n > N), SHODITSQ RQDPyn: >
2. [pRIZNAK dALAMBERA]. pUSTX xn > 0 (n 2 N).(A) eSLI lim
xn+1xn
< 1 , TO RQDPxn SHODITSQ.
(B) eSLI limxn+1xn
> 1, TO RQDPxn RASHODITSQ.
3. [pRIZNAK kO[I]. pUSTX xn � 0 (n 2 N).(A) eSLI lim n
pxn < 1, TO RQD
Pxn SHODITSQ.
(B) eSLI lim npxn > 1, TO RQD
Pxn RASHODITSQ.
4. z A M E ^ A N I E. uSLOWIE (A) PRIZNAKA dALAMBERA (SOOTWETSTWENNO
PRIZNAKA kO[I) \KWIWALENTNO USLOWI@:
9n0 8n � n0
�xn+1
xn� q < 1 (SOOTWETSTWENNO n
pxn � q < 1)
�:
� 2(A). w SILU P. 4xn+1xn
� q < 1 PRI n � n0. bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI
MOVNO S^ITATX, ^TOxn+1xn
� q DLQ WSEH n 2 N. tOGDA xn+1 = x1 � x2x1 �x3x2� : : : xn+1xn
� x1qn, NO PRI q < 1 RQD x1q + x1q
2 + x1q3 + : : : SHODITSQ, I
UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 1(A).
3(B). pUSTX r TAKOWO, ^TO lim npxn > r > 1. tOGDA SU]ESTWUET POD-
POSLEDOWATELXNOSTX (xnk ) POSLEDOWATELXNOSTI (xn) TAKAQ, ^TO xnk > 1
(k 2 N). w SILU 13.7 RQDPxn RASHODITSQ. aNALOGI^NO USTANAWLIWA@TSQ
2(B) I 3(A).>
5.u P R A V N E N I E.iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX:1Pn=0
xn
n!;1Pn=1
�n
n+ 1
�n2.
6. z A M E ^ A N I E. pOLEZNO IMETX W WIDU, ^TO RQD1Pn=1
1np
SHODITSQ
PRI p > 1 I RASHODITSQ PRI p � 1. pOSLEDNEE SLEDUET IZ RASHODIMOSTI
GARMONI^ESKOGO RQDA, PERWOE BUDET USTANOWLENO POZDNEE (SM. 59.2).
34
x15. aBSOL@TNO SHODQ]IESQ RQDY1. oSOBO WAVNOE ZNA^ENIE DLQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA I EGO PRI-
LOVENIJ IME@T ^ISLOWYE RQDY, NASLEDU@]IE IZWESTNOE DLQ KONE^NYH
SUMM PRAWILO \OT PERESTANOWKI SLAGAEMYH SUMMA NE MENQETSQ". w \TOM
PARAGRAFE MY RASSMOTRIM TAKIE RQDY. rQD
(�) Xxn
NAZYWAETSQ ABSOL@TNO SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ RQDP jxnj.
2. eSLI RQD SHODITSQ ABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.
� wOSPOLXZUEMSQ 13.5. pUSTX RQDP jxnj SHODITSQ I " > 0 PROIZWOLXNO.
tOGDA 9N 8n > N 8p (jxn+1j+: : :+jxn+pj < "). sLEDOWATELXNO, DLQ L@BOGO
n > N I L@BOGO p IMEEM jxn+1 + : : :+ xn+pj < jxn+1j+ : : :+ jxn+pj < ", TO
ESTX DLQ (�) WYPOLNEN KRITERIJ 13.5. >
3. z A M E ^ A N I E. kAK POKAZYWA@T PRIMERY 13.11 I 13.12, RQD MOVET
SHODITXSQ, NO NE ABSOL@TNO.
4. t E O R E M A. eSLI RQD (�) SHODITSQ ABSOL@TNO, TO SHODITSQ RQDPx0n, POLU^ENNYJ IZ (�)KAKOJ-LIBO PERESTANOWKOJ EGO ^LENOW, PRI^�EMPx0n =
Pxn.
oBRATNO, ESLI DLQ SHODQ]EGOSQ RQDA (�) SHODITSQ WSQKIJ RQD Px0n,POLU^ENNYJ IZ (�) KAKOJ-LIBO PERESTANOWKOJ EGO ^LENOW, TO RQD (�) SHO-DITSQ ABSOL@TNO.
� pUSTX (�) SHODITSQ ABSOL@TNO I xn � 0 (n 2 N). pUSTX s =Pxn I
s0k =kP
n=1x0n. tOGDA s
0k � s (k 2 N) I
Px0n SHODITSQ W SILU 13.6, PRI^�EMP
x0n � s. aNALOGI^NOPxn � P
x0n.w OB]EM SLU^AE (RQD (�) ZNAKOPEREMENNYJ) POLOVIM
x+n =
�xn; ESLI xn � 0,
0; ESLI xn < 0,x�n =
��xn; ESLI xn � 0,
0; ESLI xn > 0,
TAK ^TO xn = x+n � x�n . rQDYPx+n ;
Px�n (S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI)
SHODQTSQ, TAK KAK x�n � jxnj (n 2 N). iSPOLXZUQ DOKAZANNU@ WY[E WOZMOV-
NOSTX PERESTAWLQTX ^LENY ZNAKOPOSTOQNNOGO SHODQ]EGOSQ RQDA, IMEEM
Pxn =
P(x+n � x�n ) =
Px+n �
Px�n =
Px0+n �P
x0�n=
P(x0+n � x0�n ) =
Px0n:
35
pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU OBRATNOGO UTWERVDENIQ TEOREMY. pUSTX,
NAPROTIW, RQD (�) SHODITSQ NE ABSOL@TNO. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TOPRI PODHODQ]EJ PERESTANOWKE EGO ^LENOW POLU^ENNYJ RQD
Px0n BUDET RAS-
HODITXSQ. dLQ RQDA (�) RASSMOTRIM DWA WSPOMOGATELXNYH RQDA:
y1+ y2+ : : : ; z1+ z2+ : : : ~LENAMI 1-GO (SOOTWETSTWENNO 2-GO) RQDA QWLQ-
@TSQ POLOVITELXNYE (SOOTWETSTWENNO NEPOLOVITELXNYE) ^LENY RQDA (�),ZANUMEROWANNYE W PORQDKE WOZRASTANIQ INDEKSOW. oDIN IZ \TIH ZNAKOPO-
STOQNNYH RQDOW RASHODITSQ fNA SAMOM DELE ONI, KAK NETRUDNO WIDETX,
RASHODQTSQ OBAg. dEJSTWITELXNO, ESLI ONI OBA SHODQTSQ, TO \TO OZNA^A-ET, ^TO ABSOL@TNO SHODITSQ RQD (�). tEPERX NETRUDNO WYPISATX ISKOMYJRASHODQ]IJSQ RQD
Px0n. w KA^ESTWE NEGO MOVNO, NAPRIMER, WZQTX RQD
WIDA
y1 + : : :+ yn1 + z1 + yn1+1 + : : :+ yn2 + z2 + yn2+1 + : : :+ yn3 + z3 + : : : ;
GDE POSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW n1 < n2 < : : : WYBRANA IZ USLOWIJ
y1 + : : :+ yn1 > 1,
y1 + : : :+ yn2 > 2 � z1,
. . . . . . . . . . . . . .
y1 + : : :+ ynk > k � (z1 + : : :+ zk�1),. . . . . . . . . . . . . .
w \TOM SLU^AE PODPOSLEDOWATELXNOSTX fs0nk+k�1g POSLEDOWATELXNOSTI fs0ng^ASTNYH SUMM RQDA
Px0n OBLADAET SWOJSTWOM s0nk+k�1 > k (k 2 N), TAK
^TO RQDPx0n RASHODITSQ. >
x16. dWOJNYE RQDY1. rASSMOTRIM BESKONE^NU@ TABLICU ^ISEL0
BBBBB@
u11 u12 : : : u1n : : :
u21 u22 : : : u2n : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
um1 um2 : : : umn : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
1CCCCCA
dWOJNYM RQDOM NAZYWAETSQ FORMALXNAQ SUMMA
(�)1X
i;k=1
uik (ILI KORO^EXi;k
uik):
36
~ISLA smn =mPi=1
nPk=1
uik NAZYWA@TSQ ^ASTNYMI SUMMAMI RQDA (�). ~ISLO� NAZYWAETSQ SUMMOJ RQDA (�) (PI[UT � =
Pi;kuik), ESLI
8" > 0 9N 8n;m > N (jsmn � �j < "):
w \TOM SLU^AE RQD (�) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ.2. p R I M E R. pUSTX ZADANA TABLICA0
BBB@0 1 1 : : :
�1 0 1 : : :
�1 �1 0 : : :
: : : : : : : : : : : :
1CCCA
hOTQ snn = 0 (n 2 N), RQD Pi;kuik RASHODITSQ.
3. u P R A V N E N I E. eSLI uik � 0 (i; k 2 N) I � = supm;n
smn, TOPi;kuik = �.
4. z A M E ^ A N I E. nAD DWOJNYMI RQDAMI MOVNO PROIZWODITX TE VE
ARIFMETI^ESKIE OPERACII, ^TO I NAD OBY^NYMI (SM. 13.3).
5. rQD (�) NAZYWAETSQ ABSOL@TNO SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ RQDPi;kjuikj.
6. eSLI RQD (�) SHODITSQ ABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.� pROWERQETSQ, KAK I DLQ OBY^NYH RQDOW, S POMO]X@ DOLVNYM OBRAZOM
SFORMULIROWANNOGO KRITERIQ kO[I DLQ DWOJNYH RQDOW (P. 9).>
7. eSLI RQD (�) SHODITSQ ABSOL@TNO, I EGO ^LENY PERENUMEROWANY
(L@BYM SPOSOBOM) ODNIM INDEKSOM v1; v2; : : :, TOPjvj =
Pi;kuik.
� iZ NERAWENSTWA nPj=1
jvjj � Pi;kjuikj (n 2 N) SLEDUET, ^TO RQD P vj SHODITSQ
ABSOL@TNO. pERESTAWIM ^LENY RQDAPvj TAK, ^TOBY POLU^ILSQ RQDX
v0j = u11 + (u12 + u21 + u22) + (u13 + u23 + u33 + u32 + u31) + : : : :
oBOZNA^IW ^EREZ s0n ^ASTNU@ SUMMU RQDAPv0j, IMEEM
Xvj =
Xv0j = lim s0n = lim s0n2 = lim
n
nXi;k=1
uik =Xi;k
uik
37
(POSLEDNEE RAWENSTWO W CEPO^KE WERNO, TAK KAK (�) SHODITSQ).>w KA^ESTWE PRILOVENIQ PONQTIQ DWOJNOGO RQDA POLU^IM TEOREMU O
PEREMNOVENII ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW.
8. eSLI RQDYPui;
Pvk SHODQTSQ ABSOL@TNO, TO
(X
ui)(X
vk) =Xi;k
uivk;
PRI^�EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.
� pOSLEDNEE UTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKImXi=1
nXk=1
juivkj = (mXi=1
juij)(nXk=1
jvkj) � (X juij)(
X jvkj):
tEPERX 1-E UTWERVDENIE QWLQETSQ SLEDSTWIEM CEPO^KI RAWENSTW:
(Pui)(
Pvk) = (lim
n
nPi=1
ui)(limn
nPk=1
vk) = limn(nPi=1
ui)(nPk=1
vk)
= limn
nPi;k=1
uivk:
9. u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO DWOJNOJ RQD (�) SHODITSQ TTOGDA8" > 0 9N 8n;m; p; q > N (jsmn � spqj < ").
x17. pOWTORNYE RQDY1. pOWTORNYMI RQDAMI NAZYWA@TSQ FORMALXNYE SUMMY WIDA
1Xi=1
1Xk=1
uik
!;
1Xk=1
1Xi=1
uik
!:
pOWTORNYJ RQD1Pi=1
� 1Pk=1
uik
�NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI PRI KAVDOM
i SHODITSQ RQD1Pk=1
uik, PRI^�EM SHODITSQ RQD1Pi=1
vi, GDE vi �1Pk=1
uik; SUMMA
1Pi=1
vi NAZYWAETSQ SUMMOJ DANNOGO POWTORNOGO RQDA.
2. eSLI DWOJNOJ RQDPi;kuik SHODITSQ ABSOL@TNO, TO
Xi;k
uik =1Xi=1
1Xk=1
uik
!=
1Xk=1
1Xi=1
uik
!:
38
� 1-J SLU^AJ: uik � 0. pUSTX � =Pi;kuik. tOGDA
nPk=1
uik � �. oTS@DA1Pk=1
uik
SHODITSQ PRI L@BOM i. zAFIKSIRUEM m. tOGDA
mXi=1
1Xk=1
uik
!=
1Xk=1
mXi=1
uik
!= lim
n
nXk=1
mXi=1
uik
!� �:
tAK KAK m PROIZWOLXNO, � � 1Pi=1
� 1Pk=1
uik
�� �. s DRUGOJ STORONY, smn =
mPi=1
nPk=1
uik �mPi=1
� 1Pk=1
uik
�� �, TO ESTX � = sup
m;nsmn � �.
2-J SLU^AJ (OB]IJ). pUSTX
u+ik =
�uik; ESLI uik � 0,
0; ESLI uik < 0,u�ik =
��uik; ESLI uik � 0,
0; ESLI uik > 0.
tOGDA uik = u+ik � u�ik; juikj = u+ik + u�ik I RQDYPi;ku�ik SHODQTSQ, TAK KAK
SHODITSQ RQDPi;k
juikj. sLEDOWATELXNO,
Xi;k
uik =Xi;k
u+ik �Xi;k
u�ik =1Xi=1
1Xk=1
u+ik
!�
1Xi=1
1Xk=1
u�ik
!=
1Xi=1
1Xk=1
uik
!:
3. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE, OBRATNOE DOKAZANNOMU, NEWERNO
(POSTROJTE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER).
39
predel i neprerywnostx funkcij
x18. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE
w \TOM RAZDELE NA^INAETSQ IZU^ENIE LOKALXNOGO POWEDENIQ ^ISLOWYH
FUNKCIJ. sLEDU@]EE CENTRALXNOE OPREDELENIE PRIDA�ET TO^NYJ MATEMA-
TI^ESKIJ SMYSL TIPI^NOJ SITUACII, KOGDA PRI PRIBLIVENII TO^KI x K
TO^KE a ZNA^ENIE FUNKCII f(x) PRIBLIVAETSQ K ^ISLU �.
1. pUSTX f : E ! R (E � R) I a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E.
~ISLO � NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a, ESLI xn ! a (a 6=xn 2 E) WLE^�ET f(xn)! �. w \TOM SLU^AE PI[UT � = lim
x!af(x). oTMETIM,
^TO f MOVET BYTX I NE OPREDELENA W TO^KE a.
2. pUSTX f : E ! R I a | PREDELXNAQ TO^KA E. sLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY:
(A) � = limx!a
f(x),
(B) 8" > 0 9� > 0 8x 2 E (0 < jx� aj < �) jf(x)� �j < "),
(W) 8U(�) 9V (a) (f( �V (a) \ E) � U(�)).
� qSNO, ^TO (B), (W). pOKAVEM, ^TO (A)) (B). eSLI (B) NE WYPOLNQETSQ,
TO
9" > 0 8� > 0 9x 2 E (0 < jx� aj < �; jf(x)� �j � "):
w ^ASTNOSTI, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI �n =1n (n 2 N) SU]ESTWUET POSLE-
DOWATELXNOSTX (xn) (xn 2 E) TAKAQ, ^TO
0 < jxn � aj < 1
n; jf(xn)� �j � ";
TAK ^TO xn ! a (a 6= xn 2 E), NO f(xn) 6! �.
(B) ) (A). pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E); " > 0 | PROIZWOLXNO I � > 0
TAKOWO, ^TO 8x 2 E (0 < jx � aj < � ) jf(x) � �j < "). eSLI N TAKOWO,
^TO jxn� aj < � (n > N), TO jf(xn)��j < "(n > N), TO ESTX f(xn)! �: >
40
p R I M E R Y. 3. limx!a
cos x = cos a. fs U^�ETOM NERAWENSTWA j sin xj �jxj (x 2 R) IMEEM
j cos x� cos aj = 2j sin x� a
2� sin x+ a
2j � 2jx� a
2j = jx� aj:
oSTA�ETSQ PRIMENITX 2(B).g4. lim
x!0sin 1
x NE SU]ESTWUET: xn =2
�(2n+ 1)! 0, NO sin 1
xn= (�1)n NE
SHODITSQ.
x19. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII
1. pREDEL FUNKCII EDINSTWEN.
� eSLI, NAPROTIW, � I � | DWA RAZLI^NYH ^ISLA, QWLQ@]IHSQ PREDELOM
FUNKCII f W TO^KE a, WYBEREM NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI U(�) I
U(�) \TIH ^ISEL (\TO MOVNO SDELATX W SILU 7.3). mY PRIHODIM TOGDA K
PROTIWORE^I@ S USLOWIEM 18.2(W).>
2. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ NA MNOVESTWE
A � E, ESLI f(A) | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO. sLEDU@]EE SWOJSTWO GLA-
SIT, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE SLEDUET E�E OGRANI-
^ENNOSTX W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI:
eSLI � = limx!a
f(x), TO SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(a) TO^KI a TA-
KAQ, ^TO f OGRANI^ENA NA MNOVESTWE U(a) \ E.� pUSTX U(a) TAKOWA, ^TO jf(x) � �j < 1 (x 2 �U(a) \ E). tOGDA jf(x)j �j�j+ 1 (x 2 �U (a) \ E): >
3. pUSTX � = limx!a
f(x); � = limx!a
g(x). tOGDA
limx!a
[f(x)� g(x)] = � � �,
limx!a
f(x)g(x) = ��,
limx!a
f(x)g(x)
= ��(� 6= 0).
4. [kRITERIJ kO[I]. pUSTX f : E ! R I a | PREDELXNAQ TO^KA
MNOVESTWA E; limx!a
f(x) SU]ESTWUET TTOGDA
(�) 8" > 0 9U(a) 8x0; x00 2 �U(a) \ E (jf(x0)� f(x00)j < "):
41
5. pUSTX f; g; h ZADANY NA MNOVESTWE E � R, PRI^�EM SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX U(a) TAKAQ, ^TO f(x) � g(x) � h(x) (x 2 �U(a) \ E) Ilimx!a
f(x) = limx!a
h(x) = �. tOGDA limx!a
g(x) = �.
� sWOJSTWA P. 3 POLU^A@TSQ IZ PODHODQ]IH SWOJSTW DLQ PREDELOW POSLE-DOWATELXNOSTEJ (!!). dOKAVEM E]�E DWA UTWERVDENIQ.
4 (DOSTATO^NOSTX). pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E); " > 0 | PpOIZ-
WOLXNO I N TAKOWO, ^TO xn 2 U(a) PRI n > N , TAK ^TO W SILU (�)8n;m > N (jf(xn)�f(xm)j < ").iTAK, POSLEDOWATELXNOSTX (f(xn)) FUNDA-
MENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, OBLADAET PREDELOM. oSTA�ETSQ ZAMETITX, ^TO
\TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI (xn) fDOPUSTIW,^TO DLQ (x0n) POSLEDOWATELXNOSTX (f(x0n)) SHODITSQ K DRUGOMU PREDELU,
PRIHODIM K PROTIWORE^I@ SO SWOJSTWOM EDINSTWENNOSTI PREDELA, ESLI
WOZXM�EM NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX x1; x01; x2; x
02; : : :g: >
5. pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E). tOGDA 9n0 8n > n0(xn 2 U(a)) I,
SLEDOWATELXNO, f(xn) � g(xn) � h(xn) (n > n0). tEPERX PO SWOJSTWU 10.2
limx!a
g(x) = �: >
p R I M E R Y. 6. limx!0
sin xx = 1. fpLO]ADX SEKTORAOAM< PLO].�OMN
(SM. rIS. 7), TO ESTX 12 jxj < 12MN ILI jxj < j tg xj.pO\TOMU cos x < sin x
x <
1 (x 2 �U (0)). oSTA�ETSQ U^ESTX 18.3 I P. 5.g7. lim
x!0
tg xx = 1.
8. z A M E ^ A N I E. tRIGONOMETRI^ESKIE, STEPENNAQ, POKAZATELXNAQ
I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII OBLADA@T SWOJSTWOM limx!a
f(x) = f(a). dLQ
TRIGONOMETRI^ESKIH | \TO SLEDSTWIE 18.3 I P. 3. dLQ OSTALXNYH TIPOW
FUNKCIJ \TO SWOJSTWO BUDET USTANOWLENO POZDNEE. sLEDUET OGOWORITXSQ,
^TO UPOMINAW[IESQ WY[E \LEMENTARNYE FUNKCII NAMI STROGO NE OPRE-
DELENY. pOZDNEE (x27) \TOT PROBEL BUDET ^ASTI^NO WOSPOLNEN | BUDUT
AKKURATNO WWEDENY POKAZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ I STEPENNAQ FUNK-
CII.
u P R A V N E N I Q. 9. eSLI limx!a
f(x) = � 6= 0; TO DLQ NEKOTOROJ
OKRESTNOSTI U(a) FUNKCIQ f NA MNOVESTWE �U(a) SOHRANQET ZNAK ^ISLA �.
10. eSLI f : [a; b) ! R MONOTONNA I OGRANI^ENA, TO limx!b
f(x) SU]EST-
WUET.
42
x20. wIDOIZMENENIQ PONQTIQ PREDELA FUNKCII1. pUSTX f : E ! R (E � R) I a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA
E \ (a;+1). ~ISLO � NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a SPRAWA
(PI[UT � = limx!a+
f(x)), ESLI xn ! a (a < xn; xn 2 E) ) f(xn) ! �.
aNALOGI^NO OPREDELQETSQ limx!a� f(x) | PREDEL FUNKCII f W TO^KE a SLEWA.
2. pUSTX f : E ! R; E NE OGRANI^ENO. ~ISLO � NAZYWAETSQ PREDELOM
FUNKCII f W 1 (PI[UT � = limx!1 f(x)), ESLI xn ! 1 (xn 2 E) WLE^�ET
f(xn)! �. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ PREDELY limx!�1 f(x).
3. nAKONEC, MOVNO S^ITATX, ^TO �| NESOBSTWENNAQ TO^KA. nAPRIMER,
limx!a
f(x) = 1 PRI a 2 R OZNA^AET, ^TO DLQ FUNKCII f : E ! R TO^KA a
PREDELXNAQ DLQ E I xn ! a (a 6= xn 2 E)) f(xn)!1.
z A M E ^ A N I Q. 4. s OPREDELENIEM P. 2 SOGLASUETSQ OPREDELENIE PRE-
DELA POSLEDOWATELXNOSTI (x9) (WSPOMNIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX ESTX
FUNKCIQ, ZADANNAQ NA N).
5. dLQ WWED�ENNYH WIDOIZMENENIJ PONQTIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE
OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI (ZA O^EWIDNYMI ISKL@^ENIQMI) SWOJSTWA PRE-
DELA, RASSMOTRENNYE W x19.p R I M E R Y. 6. lim
x!0+sgn x = 1; lim
x!0�sgn x = �1; lim
x!0sgn x NE SU]EST-
WUET.
7. limx!0+
j sin xjx = 1; lim
x!0�j sin xjx = �1.
8. limx!1
�1 + 1
x
�x= e. dOSTATO^NO DOKAZATX RAWENSTWO DLQ SLU^AEW
x ! +1; x ! �1. w SLU^AE x ! +1 RAWENSTWO QWLQETSQ SLEDSTWI-
EM NERAWENSTW
1 +
1
[x] + 1
![x]<
�1 +
1
x
�x<
1 +
1
[x]
![x]+1
S U^�ETOM SWOJSTW 19.5 I 11.5.
w SLU^AE x! �1:
limx!�1
�1 + 1
x
�x= lim
y!+1
�1� 1
y
��y= lim
y!+1
�y
y � 1
�y
= limy!+1
�1 + 1
y � 1
�y�1 �1 + 1
y � 1
�= e:
43
9. limx!0
(1 + x)1=x = e (SLEDSTWIE PRIMERA 8).
10. iMEETSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA. iZ-
WESTEN KO\FFICIENT RASPADA k | OTNO[ENIE KOLI^ESTWA ATOMOW, RASPA-
DA@]IHSQ W EDINICU WREMENI, K OB]EMU KOLI^ESTWU ATOMOW WE]ESTWA.
sOGLASNO ZAKONAM QDERNOJ FIZIKI k ZAWISIT LI[X OT WE]ESTWA. tREBU-
ETSQ UZNATX KOLI^ESTWO t WE]ESTWA, KOTOROE OSTANETSQ PO PRO[ESTWII
WREMENI t. w KA^ESTWE PRIBLIV�ENNOGO ZNA^ENIQ MOVNO WZQTX WELI^INU
� kt, TO ESTX t � (1 � kt). oDNAKO \TO ZNA^ENIE NE TO^NO, TAK KAK
ZA WREMQ t KOLI^ESTWO WE]ESTWA NE OSTA�ETSQ POSTOQNNYM, A UMENX[AETSQ.
rAZDELIM PROMEVUTOK t NA n ^ASTEJ. tOGDA
t=n ��1� k tn
�; 2t=n �
�1� k tn
�t=n �
�1 � k tn
�2; : : : ;
t ��1� k tn
�n:
w PREDELE PRI n!1 MY POLU^IM ISKOMU@ WELI^INU
t = limn
�1� k
t
n
�n = lim
n
2640@1 + 1
(� nkt)
1A� nkt375�kt
= e�kt:
11. u P R A V N E N I E. wYPI[ITE PRIWED�ENNYE WY[E OPREDELENIQ
PP. 1,2,4 W TERMINAH \" � �" I �-OKRESTNOSTEJ.
x21. aSIMPTOTIKA1. ~ASTO FUNKCIQ OPREDELENA W OKRESTNOSTI NEKOTOROJ TO^KI a, NO,
WOZMOVNO, NE OPREDELENA W SAMOJ TO^KE a. wOZNIKAET WOPROS, KAK WED�ET
SEBQ \TA FUNKCIQ WBLIZI TO^KI a? dLQ SLOVNYH FUNKCIJ VELATELXNO
IMETX HORO[U@ APPROKSIMACI@ S POMO]X@ PROSTYH FUNKCIJ. wWED�EM
NESKOLXKO TEHNI^ESKIH PONQTIJ, POLEZNYH PRI RE[ENII UKAZANNYH ZADA^.
pUSTX FUNKCII f I g OPREDELENY W NEKOTOROJ �-OKRESTNOSTI TO^KI a.
tOGDA
f(x) = o(g(x)) (x! a) OZNA^AET: limx!a
f(x)g(x)
= 0;
f(x) = O(g(x)) (x! a) OZNA^AET:
9U(a) 9C > 0 8x 2 �U (a) (jf(x)j � Cjg(x)j);f(x) �= g(x) (x! a) OZNA^AET: lim
x!a
f(x)g(x)
= 1:
44
oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA ASIMPTOTI^ESKIH RAWENSTW.
2. f(x) �= g(x) (x! a) TTOGDA f(x) = g(x) + o(g(x)) (x! a).
� f(x) �= g(x) (x ! a) OZNA^AET, ^TO f(x) = g(x) + r(x), GDE r(x) =
[f(x)g(x)
� 1]g(x), PRI^�EM limx!a
r(x)g(x)
= limx!a
[f(x)g(x)
� 1] = 0. oBRATNO, f(x) =
g(x) + o(g(x)) (x! a) WLE^�ET
limx!a
f(x)
g(x)= lim
x!a[1 +
o(g(x))
g(x)] = 1: >
3. eSLI f(x) �= g(x) (x! a) I SU]ESTWUET limx!a
g(x) (x), TO SU]EST-
WUET limx!a
f(x) (x) I limx!a
f(x) (x) = limx!a
g(x) (x).
� dEJSTWITELXNO,
limx!a
f(x) (x) = limx!a
f(x)
g(x)g(x) (x) = lim
x!ag(x) (x): >
4. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE RAWENSTWA, SOOTWET-
STWU@]IE WIDOIZMENENIQM PONQTIQM PREDELA FUNKCII (x20). dLQ NIH
TAKVE SPRAWEDLIWY SWOJSTWA 2, 3.
p R I M E R Y [ZAME^ATELXNYH \KWIWALENTNOSTEJ].
5. sin x �= x (x! 0),
6. 1 � cosx �= 12x
2 (x! 0),
7. ln(1 + x) �= x (x! 0),
8. ax � 1 �= ln a � x (x! 0),
9. ex � 1 �= x (x! 0),
10. kp1 + x� 1 �= x
k(x! 0).
� 5. |TO PRIMER 19.6.
6. iSPOLXZUQ P. 5, IMEEM
limx!0
1 � cos x
1
2x2
= limx!0
2 sin2x
21
2x2
= limx!0
2(1
2x)2
1
2x2
= 1:
7. limx!0
ln(1 + x)x = lim
x!0ln(1 + x)1=x = 1 (SM. 20.9, 19.8).
45
9. dLQ '(x) = ex�1 W SILU 19.8 IMEEM limx!0
'(x) = 0: pO\TOMU S U^�ETOM
P. 7
limx!0
ex � 1
x= lim
x!0
'(x)
ln(1 + '(x))= 1:
10. uKAZANIE: POLOVITX '(x) = kp1 + x � 1 I ISPOLXZOWATX FORMULU
BINOMA nX@TONA.>
u P R A V N E N I Q. 11. eSLI f(x) = o('(x)) (x ! a); g(x) =
o('(x)) (x! a), TO f(x)� g(x) = o('(x)) (x! a).
12. pUSTX f(x) = o('(x)) (x ! a); '(x) = o( (x)) (x ! a). tOGDA
f(x) = o( (x)) (x! a).
x22. nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE
1. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE a 2 E, ESLI
8" > 0 9� > 0 8x 2 E (jx� aj < � ) jf(x)� f(a)j < ");
ILI ESLI 8U(f(a)) 9V (a) (f(V (a) \ E) � U(f(a))).
w ^ASTNOSTI, ESLI a | IZOLIROWANNAQ TO^KA E, TO KAVDAQ FUNKCIQ
f : E ! R NEPRERYWNA W a. eSLI a | NE IZOLIROWANNAQ TO^KA E, TO
NEPRERYWNOSTX f W TO^KE a \KWIWALENTNA RAWENSTWU limx!a
f(x) = f(a).
s U^�ETOM 18.1 MOVNO SFORMULIROWATX USLOWIE NEPRERYWNOSTI FUNK-
CII W TO^KE NA QZYKE POSLEDOWATELXNOSTEJ: FUNKCIQ f : E ! R NEPRE-
RYWNA W TO^KE a 2 E TTOGDA IZ xn ! a (xn 2 E) SLEDUET f(xn)! f(a).
2. z A M E ^ A N I E. eSLI a | NE IZOLIROWANNAQ TO^KA MNOVESTWA E,
TO f : E ! R NEPRERYWNA W a TTOGDA f(a+ h)� f(a) = o(1) (h! 0).
rASSMOTRIM SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE.
3. eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA W TO^KE, TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTO-
ROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI.
4. eSLI f NEPRERYWNA W a I f(a) 6= 0, TO f SOHRANQET ZNAK ^ISLA f(a)
W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.
5. pUSTX f; g NEPRERYWNY W TO^KE a. tOGDA W \TOJ TO^KE NEPRERYWNY
TAKVE FUNKCII f � g; f � g; f=g (ESLI g(a) 6= 0).
46
6. [nEPRERYWNOSTX SUPERPOZICII]. pUSTX f : E ! R; g : F ! R;
f(E) � F . pUSTX DALEE f NEPRERYWNA W TO^KE a I g NEPRERYWNA W TO^KE
f(a). tOGDA g � f NEPRERYWNA W a.� p.3 SLEDUET IZ 19.2, P. 4 | IZ 19.9, P. 5 | IZ 19.3. dOKAVEM P. 6. pUSTX
a 2 E I xn ! a (xn 2 E). tOGDA f(xn) ! f(a), TAK KAK f NEPRERYWNA W
a. sLEDOWATELXNO, g � f(xn) = g(f(xn))! g(f(a)), TAK KAK g NEPRERYWNA
W f(a): >
7. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA
W KAVDOJ TO^KE x 2 E.8. pRIMERY NEPRERYWNYH FUNKCIJ.
(A) pOSTOQNNAQ FUNKCIQ f(x) = � (x 2 R).(B) lINEJNAQ FUNKCIQ f(x) = �x (x 2 R).(W) pOLINOM p(x) = �0 + �1x+ : : :+ �nx
n (x 2 R).(G) rACIONALXNAQ FUNKCIQ r(x) =
p(x)q(x)
(q(x) 6= 0), GDE p; q | POLINO-
MY.
(D) tRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII sin x; cos x; tgx; ctg x (IH NEPRE-
RYWNOSTX SLEDUET IZ 18.3).
x23. tO^KI RAZRYWA1. tO^KA a 2 E NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA DLQ FUNKCII f : E ! R,
ESLI f NE NEPRERYWNA W a. pOLEZNA SLEDU@]AQ PROSTAQ KLASSIFIKACIQ
TO^EK RAZRYWA: a 2 E NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA DLQ FUNKCII
f : E ! R, ESLI SU]ESTWU@T PREDELY limx!a� f(x); lim
x!a+f(x) I HOTQ BY ODIN
IZ NIH OTLI^EN OT f(a); TO^KA RAZRYWA NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA 2-GO
RODA, ESLI ONA NE QWLQETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA.
p R I M E R Y. 2. tO^KA 0 QWLQETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA DLQ
FUNKCII
f(x) =
( j sin xjx ; ESLI x 6= 0,
0 ; ESLI x = 0.
3. tO^KA 0 | TO^KA RAZRYWA 2-GO RODA DLQ FUNKCII
f(x) =
(sin 1
x; ESLI x 6= 0,
0; ESLI x = 0.
47
u P R A V N E N I Q. 4. u MONOTONNOJ FUNKCII TO^KI RAZRYWA MOGUT
BYTX TOLXKO 1-GO RODA.
5. fUNKCIQ rIMANA R(x) OPREDELENA SOGLA[ENIQMI: R(0) = 0, R(x) =
0 PRI IRRACIONALXNOM x, R(p=q) = 1=q, ESLI p 2 Znf0g; q 2 N I p=q |
NESOKRATIMAQ DROBX. pOKAZATX, ^TO R(x) NEPRERYWNA W IRRACIONALXNYH
TO^KAH I TOLXKO W NIH. kAKOGO RODA TO^KI RAZRYWA \TOJ FUNKCII?
x24. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE
1. wY[E MY IZU^ILI LOKALXNYE SWOJSTWA (TO ESTX SWOJSTWA, SWQZAN-
NYE S POWEDENIEM FUNKCII W MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI IZ OBLASTI OPRE-
DELENIQ) NEPRERYWNOJ FUNKCII. oTMETIM, ^TO I SAMO PONQTIE NEPRERYW-
NOSTI FUNKCII W TO^KE QWLQETSQ LOKALXNYM SWOJSTWOM. tEM BOLEE PRIME-
^ATELXNO, ^TO DLQ OPREDEL�ENNOGO KLASSA ^ISLOWYH MNOVESTW MOVNO GOWO-
RITX O GLOBALXNYH SWOJSTWAH NEPRERYWNYH FUNKCIJ (TO ESTX SWOJSTWAH,
SWQZANNYH S POWEDENIEM FUNKCII NA WSEJ OBLASTI E�E OPREDELENIQ). pOKA
MY OGRANI^IMSQ IZU^ENIEM GLOBALXNYH SWOJSTW NEPRERYWNYH FUNKCIJ,
ZADANNYH NA OTREZKE.
2. pUSTX f : [a; b]! R NEPRERYWNA. tOGDA
(A) FUNKCIQ f OGRANI^ENA,
(B) FUNKCIQ f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ (TO ESTX SU]ESTWU@T c; d 2[a; b] TAKIE, ^TO f(c) = sup
x2[a;b]f(x); f(d) = inf
x2[a;b]f(x)),
(W) ESLI ^ISLA f(a) 6= 0; f(b) 6= 0 IME@T RAZNYE ZNAKI, TO SU]ESTWUET
c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f(c) = 0,
(G) ESLI f(a) < < f(b), TO NAJD�ETSQ c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f(c) = .
� (A). pUSTX, NAPROTIW, 8n 9xn 2 [a; b] (jf(xn)j > n). pOSLEDOWATELX-
NOSTX (xn) SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk); xnk ! c
(SM. 11.1). sLEDOWATELXNO f(xnk )! f(c), NO \TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO
jf(xnk)j > nk (k 2 N).(B). pO SWOJSTWU (A) SU]ESTWUET � = sup
x2[a;b]f(x). pUSTX xn 2 [a; b] TA-
KOWY, ^TO � � 1n < f(xn) � � (n 2 N) I (xnk) | SHODQ]AQSQ PODPOSLEDO-
48
WATELXNOSTX: xnk ! c. tOGDA
�� 1
nk< f(xnk) � � (k 2 N); f(xnk)! f(c) (k !1):
oTS@DA PO SWOJSTWU 10.2 � = f(c).
(W). pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI f(a) > 0; f(b) < 0 I F = fx 2 [a; b] jf(y) > 0; y 2 [a; x]g. mNOVESTWO F 6= ; (NAPRIMER, a 2 F ) I OGRANI^ENO.
pO\TOMU (SM. x6) SU]ESTWUET c = sup F . tO^KA c ISKOMAQ: NERAWENSTWO
f(c) > 0 PROTIWORE^IT (W SILU 22.4) TOMU, ^TO c | MAVORANTA F , A
f(c) < 0 NEWOZMOVNO, TAK KAK c | NAIMENX[AQ MAVORANTA F .
(G). pOLOVIM g(x) = f(x)� I PRIM�ENIM K g SWOJSTWO (W).>
p R I M E R Y. 3. fUNKCIQ f(x) = 1x (0 < x < 1) NEPRERYWNA, NO NE
OGRANI^ENA; ONA OGRANI^ENA SNIZU, NO NE DOSTIGAET SWOEJ NIVNEJ GRANI.
4. uRAWNENIE x = cosx OBLADAET KORNEM NA OTREZKE [0; 1] fPRIMENIM2(W) K FUNKCII f(x) = x� cosxg.
5.u P R A V N E N I E.pUSTX E| ODIN IZ PROMEVUTKOW (a; b); [a; b]; (a; b]
[a; b) (WKL@^AQ NESOBSTWENNYE) I f : E ! R NEPRERYWNA I STROGO WOZRAS-
TAET. tOGDA f(E) QWLQETSQ PROMEVUTKOM TOGO VE TIPA.
6. fUNKCIQ f : E ! R (E � R) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ
NA E, ESLI
8" > 0 9� > 0 8x; y 2 E (jx� yj < �) jf(x)� f(y)j < "):
rAWNOMERNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, O^EWIDNO, NEPRERYWNA. oBRATNOE, WO-
OB]E GOWORQ, NEWERNO. nAPRIMER, FUNKCIQ f(x) = 1x (0 < x < 1) NEPRE-
RYWNA, NO NE RAWNOMERNO (DLQ x = �; y = �2 : jx� yj < �; j1x � 1
y j > 1�> 1
DLQ WSEH � 2 (0; 1)).
7. eSLI f : [a; b]! R NEPRERYWNA, TO ONA I RAWNOMERNO NEPRERYWNA.
� pUSTX NAPROTIW, 9" > 0 8� > 0 9x; y 2 E (jx�yj < �; jf(x)�f(y)j � ").
tOGDA DLQ �k =1k(k 2 N) NAJDUTSQ xk; yk 2 [a; b] TAKIE, ^TO
(�) jxk � ykj < 1
k; jf(xk)� f(yk)j � " (k 2 N):
49
pOSLEDOWATELXNOSTX (xk), BUDU^I OGRANI^ENNOJ, OBLADAET SHODQ]EJSQ POD-
POSLEDOWATELXNOSTX@ (xkj) : xkj ! c 2 [a; b].tOGDA ykj = (ykj�xkj)+xkj !c. tAK KAK f NEPRERYWNA W c, TO f(xkj ) � f(ykj ) ! f(c) � f(c) = 0, ^TO
PROTIWORE^IT (�).>x25. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTIpUSTX f : E ! R RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA E, I E0 | MNOVESTWO
WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E. tOGDA f DOPUSKAET RAWNOMERNO
NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA E [ E0.
� tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET ~f : F ! R, RAWNOMERNO NEPRERYW-
NAQ NA F � E [ E0 I TAKAQ, ^TO ~f jE = f . dLQ KAVDOJ TO^KI a 2 E0 POKRITERI@ kO[I 19.4 SU]ESTWUET lim
x!af(x). pOLOVIM
~f(a) =
(f(a); ESLI a 2 E,limx!a
f(x); ESLI a 2 E0nE.
uBEDIMSQ, ^TO ~f : F ! R RAWNOMERNO NEPRERYWNA. pO USLOWI@
8" > 09� > 0 8x0; x00 2 E (jx0 � x00j < 3� ) jf(x0) � f(x00)j < "=3). pUSTX
y; z 2 F TAKOWY, ^TO jy � zj < �. tOGDA NAJDUTSQ �0; �00 (0 < �0; �00 < �)
TAKIE, ^TO
jx0 � yj < �0 ) jf(x0)� ~f (y)j < "=3 (x0 2 E);jx00 � zj < �00 ) jf(x00)� ~f(z)j < "=3 (x00 2 E):
tEPERX, WYBRAW x0 2 (y� �0; y+ �0)\E; x00 2 (z00� �00; z+ �00)\E, POLU^IMj ~f(y)� ~f (z)j � j ~f(y)� f(x0)j+ jf(x0)� f(x00)j+ jf(x00)� ~f (z)j< "
(MY U^ITYWAEM, ^TO jx0�x00j � jx0�yj+jy�zj+jz�x00j < 3�). uTWERVDENIE
DOKAZANO (SM. POD^�ERKNUTYJ TEKST). >
x26. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII1. pUSTX E | PROMEVUTOK W R (SM. 7:1) I f : E ! R STROGO WOZ-
RASTAET (UBYWAET) I NEPRERYWNA. tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R
STROGO WOZRASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET) I NEPRERYWNA.
� w SILU 4.2 NUVNO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX g W KAVDOJ TO^KE 2 F .pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI E = [a; b]. pUSTX c 2 [a; b] TAKOWO, ^TO f(c) =
50
(SM. 24.2(G)). pUSTX n | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ, ^TO
n ! ( n 2 F ) I cn 2 E TAKOWY, ^TO f(cn) = n. pOKAVEM, ^TO cn ! c.
eSLI cn NE SHODITSQ K c, TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (cnk),
^TO cnk ! c0 6= c; f(c0) 6= f(c) (IZ STROGOJ MONOTONNOSTI f). s DRUGOJ
STORONY, f(cnk ) = nk ! = f(c); f(cnk ) ! f(c0), ^TO NEWOZMOVNO.
pO\TOMU g( n)= g(f(cn)) = cn !c = g(f(c)) =g( ). uTWERVDENIE DOKAZA-
NO (SM. POD^�ERKNUTYJ TEKST).>
p R I M E R Y. 2. fUNKCIQ f(x) = arcsin x (jxj � 1) NEPRERYWNA.
nEPRERYWNY I DRUGIE OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.
3. fUNKCIQ f(x) = xn (x � 0) DLQ n 2 N NEPRERYWNA I STROGO
WOZRASTAET. pO\TOMU OBRATNAQ FUNKCIQ g : [0;+1) ! R NEPRERYWNA I
STROGO WOZRASTAET. iTAK, DLQ KAVDOGO a � 0 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE
^ISLO b � 0 TAKOE, ^TO bn = a. |TO ^ISLO OBOZNA^AETSQ a1=n ILI npa
I NAZYWAETSQ ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-OJ STEPENI IZ ^ISLA a. tAKIM
OBRAZOM, DOKAZANY SU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX STEPENNOJ FUNKCII
g(x) = x1=n (x � 0) DLQ n 2 N.u P R A V N E N I Q. 4. dOKAZATX TEOREMU P. 1 DLQ SLU^AEW E =
(a; b); [a; b).
5. eSLI E | NE PROMEVUTOK, TO TEOREMA P. 1 NEWERNA. pOSTROJTE
SOOTWETSTWU@]IE PRIMERY.
x27. wAVNEJ[IE \LEMENTARNYE FUNKCII1. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ. pUSTX a > 0: pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ
y = ax (x 2 R); a0 � 1, HARAKTERIZUETSQ SWOJSTWAMI:
(A) ax+y = ax � ay,(B) ONA STROGO WOZRASTAET (UBYWAET) PRI a > 1 (PRI a < 1),
(W) ONA NEPRERYWNA,
(G) ap=q = (a1=q)p, GDE p 2 Z; q 2 N I a1=q OPREDELENO W 26.3.dLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII S OSNOWANIEM e MY BUDEM INOGDA POLXZO-
WATXSQ OBOZNA^ENIEM ex � expfxg.� dOKAVEM SU]ESTWOWANIE POKAZATELXNOJ FUNKCII. w SILU 26.3 OPREDE-
LENA FUNKCIQ f(p) = ap (p 2 Q). fUNKCIQ f OBLADAET SWOJSTWAMI (A)
51
I (B) (!!). pOKAVEM, ^TO f RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA KAVDOM OTREZKE
[�N;N ] \ Q. pUSTX NAPRIMER, a > 1: eSLI p < q (p; q 2 [�N;N ] \ Q), TO0 < aq � ap = ap(aq�p � 1) < aN(aq�p � 1). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I
n0 2 N TAKOWO, ^TO n > n0 ) ja1=n � 1j < "a�N (SM. 10.9). tOGDA
8p; q 2 [�N;N ] \ Q (jp� qj < 1
n0) jap � aqj < ");
^TO I TREBOWALOSX. nO KAVDAQ TO^KA x 2 R QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ Q, IW SILU x25 OPREDELENA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ ax � lim
p!x;p2Qap(x 2 R). |TA
FUNKCIQ TAKVE OBLADAET SWOJSTWAMI (A) I (B) (!!). >
2. lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ. fUNKCIQ, OBRATNAQ K POKAZATELXNOJ
y = ax (x 2 R); a 6= 1, NAZYWAETSQ LOGARIFMI^ESKOJ I OBOZNA^AETSQ
y = loga x (x > 0) ; PRI a = e PI[UT y = ln x. iME@T MESTO BEZ TRU-
DA PROWERQEMYE TOVDESTWA:
aloga x = x (x > 0); loga ax = x (x 2 R);
loga(xy) = loga x+ loga y (x; y > 0); loga(xy) = y loga x (x > 0):
3. sTEPENNAQ FUNKCIQ. |TO FUNKCIQ y = xb (x > 0), GDE PO OPRE-
DELENI@ S^ITAETSQ, ^TO xb � eb lnx (x > 0). tAKIM OBRAZOM, STEPENNAQ
FUNKCIQ NEPRERYWNA I OBLADAET SWOJSTWAMI:
(x � y)b = xbyb; limx!0+
xb = 0 (b > 0); limx!1+
xb = +1 (b > 0):
4. gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII. |TO FUNKCII, OPREDEL�ENNYE RAWENST-
WAMI:
sh x = 12(e
x � e�x) (x 2 R) | SINUS GIPERBOLI^ESKIJ,
chx = 12(e
x + e�x) (x 2 R) | KOSINUS GIPERBOLI^ESKIJ,
thx = sh xchx
(x 2 R) | TANGENS GIPERBOLI^ESKIJ,
cthx = chxsh x
(x 6= 0) | KOTANGENS GIPERBOLI^ESKIJ.
5. s POMO]X@ WWED�ENNYH WY[E FUNKCIJ MOVET BYTX OPREDEL�EN KLASS
\LEMENTARNYH FUNKCIJ, SOSTOQ]IJ IZ POKAZATELXNOJ, LOGARIFMI^ESKOJ,
TRIGONOMETRI^ESKIH I OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ, A TAKVE
FUNKCIJ, POLU^A@]IHSQ IZ PERE^ISLENNYH WY[E S POMO]X@ ARIFMETI-
^ESKIH OPERACIJ I OPERACII SUPERPOZICII, PRIMEN�ENNYH KONE^NOE ^ISLO
RAZ. iZ 22.5, 22.6 SLEDUET, ^TO L@BAQ \LEMENTARNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA
NA SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.
52
differencirowanie
x28. zADA^I, PRIWODQ]IE K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ
1. zADA^A OPREDELENIQ KASATELXNOJ K KRIWOJ. rASSMOTRIM GRAFIK
FUNKCII y = f(x) (x 2 E). zAFIKSIRUEM TO^KU x0 I BUDEM PROWODITX
^EREZ TO^KU S KOORDINATAMI (x0; f(x0)) PRQMYE S RAZLI^NYMI UGLOWYMI
KO\FFICIENTAMI k = tg�. mOVNO S^ITATX, ^TO W TO^KAH, BLIZKIH K x0,
\TI PRQMYE APPROKSIMIRU@T NA[U KRIWU@. sOOTWETSTWU@]AQ POGRE[-
NOSTX APPROKSIMACII W TO^KE x0 + h RAWNA (rIS. 8)
r(h) = f(x0 + h)� [f(x0) + kh]:
eSLI f NEPRERYWNA W x0, TO r(h) = o(1) (h ! 0), TO ESTX POGRE[NOSTX
STREMITSQ K NUL@ WMESTE S h . eSLI SREDI PRQMYH ESTX TAKAQ, DLQ KOTOROJ
POGRE[NOSTX APPROKSIMACII IMEET WYS[IJ, PO SRAWNENI@ S h, PORQDOK
MALOSTI, TO ESTX r(h) = o(h) (h! 0), TO TAKAQ PRQMAQ EDINSTWENNA. oNA
NAZYWAETSQ KASATELXNOJ K KRIWOJ y = f(x) W TO^KE x0.
� uSLOWIE SU]ESTWOWANIQ KASATELXNOJ W TO^KE x0 IMEET WID f(x0 + h)�[f(x0) + k0h] = o(h) (h ! 0); OTS@DA UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ
k0 = limh!0
1h[f(x0+h)�f(x0)]. iZ EDINSTWENNOSTI PREDELA (SM. 19.1) TEPERX
SLEDUET EDINSTWENNOSTX KASATELXNOJ, ESLI ONA SU]ESTWUET. >
iTAK, ISKOMOE URAWNENIE KASATELXNOJ
y � f(x0) = k0(x� x0); k0 = limh!0
1
h[f(x0 + h)� f(x0)]:
2. mGNOWENNAQ SKOROSTX. pUSTX s(t) | PUTX, PROJDENNYJ MATERIALX-
NOJ TO^KOJ ZA WREMQ t. sREDNQQ SKOROSTX NA U^ASTKE WREMENI
[t0; t0 + h] ([t0 + h; t0], ESLI h < 0) ESTX vcp. =1h[s(t0 + h) � s(t0)]. mGNO-
WENNOJ SKOROSTX@ (W MOMENT WREMENI t0) NAZYWAETSQ WELI^INA v(t0) =
limh!0
1h[s(t0+ h) � s(t0)].
x29. oPREDELENIE PROIZWODNOJ1.fUNKCIQ f : E ! R (E � R) NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE
x 2 E, ESLI W E SODERVITSQ NEKOTORAQ OKRESTNOSTX TO^KI x I
(�) f(x+ h)� f(x) = Ah+ o(h) (h! 0):
53
~ISLO A, KOTOROE OBOZNA^AETSQ TAKVE f 0(x), ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RA-WENSTWOM (�) I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x. tAKIM
OBRAZOM,
f 0(x) = limh!0
1
h[f(x+ h)� f(x)]:
2. z A M E ^ A N I E. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO ONA
NEPRERYWNA W x. |TO SLEDUET IZ (�) S U^�ETOM 22.2.
3. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO OPREDELENO OTOBRAVENIE
Lx : R! R; Lx(h) = f 0(x)h (h 2 R), SWQZANNOE S TO^KOJ x I ZADANNOE NASME]ENIQH h. |TO OTOBRAVENIE (ONO LINEJNO PO h) NAZYWAETSQ PROIZWOD-
NYM (KASATELXNYM) OTOBRAVENIEM K f W TO^KE x. zNA^ENIE PROIZWODNO-
GO OTOBRAVENIQ NA SME]ENII h NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM FUNKCII f W
TO^KE x : Lx(h) = f 0(x)h. sME]ENIE h TRADICIONNO OBOZNA^A@T SIMWOLOMdx (NUVNO POMNITX, ^TO dx NE ZAWISIT OT x), A DIFFERENCIAL FUNKCII
f W TO^KE x OBOZNA^A@T df(x). iTAK, df(x) = f 0(x)dx.
4. eSLI f : E ! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E
(\TO ZNA^IT, W ^ASTNOSTI, ^TO E | OTKRYTOE MNOVESTWO), TO OPREDELENA
FUNKCIQ x! f 0(x) (x 2 E), KOTORAQ NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f
I OBOZNA^AETSQ f 0 ILI dfdx
.
5. eSLI FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, TO URAWNENIE KASA-
TELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 ZADA�ETSQ URAWNENIEM
(SM. 28.1)
y � f(x0) = f 0(x0)(x� x0):
nA rIS. 9 WIDEN GEOMETRI^ESKIJ SMYSL DIFFERENCIALA FUNKCII f :
df(x0) = f 0(x0)dx = AC, f(x0 + dx)� f(x0) = df(x0) + o(dx) = AB.
p R I M E R Y. 6. f(x) = C (x 2 R); f 0(x) = 0 (x 2 R).7. (sin x)0 = cos x (x 2 R).
� limh!0
1h[sin(x+ h) � sin x] = lim
h!0
1h� 2 sin h2 � cos 2x+ h
2 = cos x: >
8. (cos x)0 = � sin x (x 2 R).9. (ax)0 = ax ln a (x 2 R). w ^ASTNOSTI, (ex)0 = ex (x 2 R).
� ax+h � ax = ax(ah � 1) �= ax ln a � h (h! 0) (SM. 21.8).>
54
10. pONQTIE DIFFERENCIALA ^ASTO ISPOLXZUETSQ W PRIBLIV�ENNYH WY-
^ISLENIQH. \pO WSEMU ZEMNOMU [ARU WYPALO 1 MM OSADKOW. oCENITX WY-
PAW[EE KOLI^ESTWO WODY." oB_�EM [ARA RADIUSA x RAWEN v(x) = 43�x
3,
PRIRA]ENIE OB_�EMA
v(x+ dx)� v(x) � dv(x) = v0(x)dx = 4�x2dx =(2�x)2
�dx
(MY ISPOLXZOWALI FORMULU DLQ PROIZWODNOJ OT STEPENNOJ FUNKCII (SM.
NIVE 30.5)). w NA[EM SLU^AE dx = 10�6 KM., 2�x � 4 � 104 KM. pO\TOMUv(x+ dx)� v(x) � 16
� � 102 KM3 � 510 KM3.
11. ~ASTO PRIHODITSQ RASSMATRIWATX WIDOIZMENENIQ PONQTIQ PROIZ-
WODNOJ. rASSMOTRIM ASIMPTOTI^ESKIE RAWENSTWA:
f(x+ h)� f(x) = A1h+ o(h) (h! 0+);
f(x+ h)� f(x) = A2h+ o(h) (h! 0�):eSLI IMEET MESTO 1-E (SOOTWETSTWENNO 2-E) RAWENSTWO, TO GOWORQT, ^TO
FUNKCIQ f OBLADAET PRAWOJ (SOOTWETSTWENNO LEWOJ) PROIZWODNOJ W TO^KE
x. oBOZNA^ENIQ: A1 = f 0(x+); A2 = f 0(x�).12. z A M E ^ A N I E. fUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x TTOGDA
f 0(x+) = f 0(x�).13. u P R A V N E N I E. pUSTX f(x) = jxj (x 2 R). nAJTI f 0(x) PRI
x 6= 0; NAJTI f 0(0+); f 0(0�).
x30. tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ
1. pUSTX f; g DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x. tOGDA W x DIFFERENCIRU-
EMY f � g; f � g; f=g (ESLI g(x) 6= 0), PRI^�EM
(A) (f � g)0(x) = f 0(x)� g0(x); d(f � g)(x) = df(x)� dg(x),
(B) (f � g)0(x) = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x),
d(f � g)(x) = g(x)df(x) + f(x)dg(x),
(W) (f=g)0(x) = 1g2(x)
[f 0(x)g(x)� g0(x)f(x)],
d(f=g)(x) = 1g2(x)
[g(x)df(x)� f(x)dg(x)].
55
� fORMULY DLQ DIFFERENCIALOW QWLQ@TSQ O^EWIDNYM SLEDSTWIEM SOOT-
WETSTWU@]IH FORMUL DLQ PROIZWODNYH. fORMULY DLQ PROIZWODNYH SLE-
DU@T IZ WY^ISLENIJ:
(f + g)(x+ h) � (f + g)(x) = [f(x+ h)� f(x)] + [g(x+ h)� g(x)]
= f 0(x)h+ o(h) + g0(x)h+ o(h)
= [f 0(x) + g0(x)]h+ o(h) (h! 0);
(f � g)0(x) = limh!0
1h[f(x+ h)g(x+ h)� f(x)g(x)]
= limh!0
�f(x+ h)� f(x)
hg(x) + f(x+ h) � g(x+ h)� g(x)
h
�
= f 0(x)g(x) + f(x)g0(x);
(1=g)0(x) = limh!0
1h
�1
g(x+ h)� 1g(x)
�
= limh!0
��1h[g(x+ h)� g(x)] � 1
g(x)g(x+ h)
�= � g
0(x)g2(x)
: >
2. [sLEDSTWIE]. (cf)0(x) = cf 0(x); c = const.
3. [dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII FUNKCIJ]. pUSTX f : E ! R;
g : F ! R; f(E) � F; f DIFFERENCIRUEMA W x 2 E, A g DIFFERENCIRUEMAW f(x). tOGDA g � f DIFFERENCIRUEMA W x, PRI^�EM
(g � f)0(x) = g0(f(x))f 0(x); d(g � f)(x) = g0(f(x))df(x):
� dEJSTWITELXNO,g(f(x+ h))� g(f(x)) = g(f(x) + [f(x+ h)� f(x)])� g(f(x))
= g0(f(x))[f(x+ h)� f(x)] + o(f(x+ h) � f(x)):
tAK KAK o(f(x+ h)� f(x)) = o(h) (h! 0), IMEEM OTS@DA
g(f(x+ h))� g(f(x)) = g0(f(x))f 0(x)h+ o(h) (h! 0): >
4. [dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII]. pUSTX f I g | WZAIMNO
OBRATNYE FUNKCII. pUSTX g NEPRERYWNA W TO^KE x, A f DIFFERENCIRUE-
MA W TO^KE g(x), PRI^�EM f 0(g(x)) 6= 0. tOGDA g DIFFERENCIRUEMA W TO^KE
x I
g0(x) =1
f 0(g(x)):
56
� tAK KAK g NEPRERYWNA W x, WELI^INA g(x + h) � g(x) MALA, ESLI MALO
SME]ENIE h. pO\TOMU SPRAWEDLIWA WYKLADKA
h = x+ h� x = f(g(x+ h))� f(g(x))
= f(g(x) + g(x+ h)� g(x))� f(g(x))
= f 0(g(x))(g(x+ h)� g(x)) + o(g(x + h)� g(x))
= (g(x+ h)� g(x))(f 0(g(x)) + o(1)) (h! 0);
sLEDOWATELXNO,
limh!0
1
h[g(x+ h)� g(x)] = lim
h!0[f 0(g(x)) + o(1)]�1 =
1
f 0(g(x)): >
5. [tABLICA PROIZWODNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ].~ASTX PRIWED�ENNYH
NIVE FORMUL POLU^ENA RANEE. oSTALXNYE POLU^A@TSQ S POMO]X@ DOKA-
ZANNYH WY[E UTWERVDENIJ (PP. 1 { 4). dADIM NESKOLXKO ILL@STRACIJ.
pOLOVIM f(x) = ax (x 2 R); g(x) = loga x (x > 0). sOGLASNO P. 4
(loga x)0 = (aloga x � ln a)�1 = 1
x ln a(x > 0):
w SILU P. 3 I 29.13 (ln jxj)0 = 1jxj � sgn x = 1=x (x 6= 0).
pOLOVIM f(x) = sin x (jxj < �
2); g(x) = arcsin x (jxj < 1). tOGDA (P. 4)
(arcsin x)0 =1
cos(arcsin x)=
1p1 � x2
(jxj < 1):
fORMULA (xb)0 = bxb�1 (x 2 R) LEGKO POLU^AETSQ PO INDUKCII DLQ
b = 0; 1; 2; : : : . eSLI b = �1;�2; : : :, TO(xb)0 = (1=x�b)0 = �(x�b)0=x�2b = bxb�1 (x 6= 0):
eSLI, NAKONEC, b PROIZWOLXNO, TO FORMULA (xb)0 = bxb�1 (x > 0) ESTX
SLEDSTWIE PREDSTAWLENIQ xb = eb lnx.
6. z A M E ^ A N I E. dLQ WY^ISLENIQ PROIZWODNYH FUNKCIJ WI-
DA f(x) = u(x)v(x) (u(x) > 0) SLEDUET WOSPOLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM
f(x) = ev(x) lnu(x).
57
(sin x)0 = cos x (x 2 R) (ax)0 = ax ln a (x 2 R)(cos x)0 = � sin x (x 2 R) (ex)0 = ex (x 2 R)(tg x)0 = 1
cos2 x(cos x 6= 0) (ln jxj)0 = 1=x (x 6= 0)
(ctg x)0 = � 1sin2 x
(sin x 6= 0) (loga jxj)0 = 1x ln a
(arcsin x)0 = 1q1� x2
(jxj < 1) (x 6= 0; 0 < a 6= 1)
(arccos x)0 = � 1p1� x2
(jxj < 1) (sh x)0 = chx (x 2 R)(arctg x)0 = 1
1 + x2(x 2 R) (chx)0 = sh x (x 2 R)
(arcctg x)0 = � 11 + x2
(x 2 R) (th x)0 =1
ch2 x(x 2 R)
(xb)0 = bxb�1 (x > 0) (cthx)0 = � 1
sh2 x(x 6= 0)
u P R A V N E N I Q. nAJTI PROIZWODNYE FUNKCIJ:
7. ln(x+pa2 + x2),
8. arcsin xa (OTWET: (a2 � x2)�1=2 � sgn a),9. arcsin 1
x (OTWET: �[x(x2� 1)�1=2] � sgn x (jxj > 1)),
10. xx ,
11. ln j tg xj,12. f(x) =
�expf�1=x2g; ESLI x 6= 0,
0; ESLI x = 0.
x31. pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW
1. pUSTX f : E ! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE E, TO ESTX
OPREDELENA FUNKCIQ f 0 : E ! R . eSLI f 0 DIFFERENCIRUEMA W TO^-
KE x0, TO ^ISLO (f 0)0(x0) NAZYWAETSQ 2-J PROIZWODNOJ f W TO^KE x0 I
OBOZNA^AETSQ f 00(x0) ILId2f(x0)
dx2. pUSTX, W ^ASTNOSTI, f 0 DIFFERENCI-
RUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E. tOGDA NA E OPREDELENA FUNKCIQ
f 00(x) � (f 0)0(x) (x 2 E), KOTORAQ NAZYWAETSQ 2-J PROIZWODNOJ FUNKCII f
58
I OBOZNA^AETSQ f 00 ILI d2fdx2
. pO INDUKCII OPREDELQETSQ PROIZWODNAQ n-OGO
PORQDKA W TO^KE x0; OBOZNA^ENIE f(n)(x0). eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA
W TO^KE x, TO RAWENSTWOM dnf(x) � f (n)(x)dxn OPREDELQETSQ DIFFERENCIAL
n-OGO PORQDKA FUNKCII f W TO^KE x.
2. [fORMULA lEJBNICA]. pUSTX u; v | FUNKCII, n RAZ DIFFERENCIRU-
EMYE W TO^KE x. tOGDA (S^ITAQ u(0) � u) IMEEM
(uv)(n)(x) =nXk=0
n
k
!u(k)(x)v(n�k)(x):
zDESX�n
k
�� n!k!(n� k)!
| BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY, 0! � 1.
� dOKAZATELXSTWO PO INDUKCII. pRI n = 1 | \TO FORMULA 30.1(B). eSLI
FORMULA WERNA DLQ WSEH NATURALXNYH ^ISEL � n, TO
(uv)(n+1)(x) = ((uv)(n))0(x) = (nPk=0
�n
k
�u(k)v(n�k))0(x)
=nPk=0
�n
k
�[u(k+1)(x)v(n�k)(x) + u(k)(x)v(n�k+1)(x)]
= u(0)(x)v(n+1)(x) +nPk=1
[�n
k
�+�
n
k�1�]u(k)(x)v(n�k+1)(x)
+u(n+1)(x)v(0)(x)
=n+1Pk=0
�n+1k
�u(k)(x)v(n+1�k)(x): >
p R I M E R Y. 3. (cos x)(n) = cos�x+ �n
2
�.
4. (x � cosx)(100) = x(cosx)(100)+ 100(cos x)(99) = x � cos x+ 100 sin x.
x32. oSNOWNYE TEOREMY
1. t E O R E M A [m. rOLLX]. pUSTX f : [a; b]! R NEPRERYWNA I NA (a; b)
DIFFERENCIRUEMA, PRI^�EM f(a) = f(b). tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b)
TAKOE, ^TO f 0(c) = 0:
� tEOREMA O^EWIDNA, ESLI f POSTOQNNA NA [a; b]. pUSTX f 6= const I SU-
]ESTWUET x 2 (a; b) TAKOE, ^TO, NAPRIMER, f(x) > f(a). tOGDA (SM. 24.2(B))
59
NAJD�ETSQ c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f(c) = supx2[a;b]
f(x). pRI \TOM
f 0(c+) = limh!0+
f(c+ h)� f(c)h
� 0;
f 0(c�) = limh!0�
f(c+ h)� f(c)h
� 0:
sLEDOWATELXNO, f 0(c) = f 0(c+) = f 0(c�) = 0 (SM. 29.12). >
2. t E O R E M A [o. kO[I]. pUSTX f; g : [a; b] ! R NEPRERYWNY I NA
(a; b) DIFFERENCIRUEMY, PRI^�EM f 0(x); g0(x) NE RAWNY NUL@ ODNOWREMENNO
I g(b) 6= g(a). tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b) TAKOE, ^TO
f(b)� f(a)
g(b)� g(a)=f 0(c)g0(c)
:
� fUNKCIQ h(x) = g(x)[f(b) � f(a)] � f(x)[g(b) � g(a)] UDOWLETWORQET
USLOWIQM TEOREMY rOLLQ. pO\TOMU SU]ESTWUET c 2 (a; b) TAKOE, ^TO
h0(c) = g0(c)[f(b)� f(a)]� f 0(c)[g(b)� g(a)] = 0:
zAMETIM, ^TO g0(c) 6= 0, IBO INA^E f 0(c) = 0; ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLO-
VENI@ TEOREMY. oTS@DA SLEDUET ISKOMOE RAWENSTWO. >
3. [fORMULA lAGRANVA (KONE^NYH PRIRA]ENIJ)]. pUSTX f : [a; b]! R
NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b)
TAKOE, ^TO f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a).
� pOLOVIM W TEOREME kO[I g(x) = x (a � x � b): >
4. s L E D S T W I E. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b)
DIFFERENCIRUEMA, PRI^�EM f 0(x) = 0 (a < x < b). tOGDA f =const.
� dLQ L@BOGO x 2 (a; b] : f(x)� f(a) = f 0(c)(x� a) = 0: >
z A M E ^ A N I Q. 5. w USLOWIQH FORMULY lAGRANVA DLQ L@BOGO
x 2 (a; b)
(�) f(x + h)� f(x) = f 0(x+ �h)h (0 < � < 1; � = �(h)):
|TO SOOTNO[ENIE POLEZNO SOPOSTAWITX S RAWENSTWOM
f(x+ h)� f(x) = f 0(x)h+ o(h) (h! 0):
60
eSLI f 0 NEPRERYWNA NA (a; b), TO IZ 1-GO RAWENSTWA SLEDUET WTOROE, TAK
KAK f 0(x+ �h) = f 0(x) + o(1) (h! 0). oDNAKO DLQ SPRAWEDLIWOSTI (�) NENEOBHODIMO, ^TOBY f 0 BYLA NEPRERYWNOJ NA (a; b).
6. gEOMETRI^ESKIJ SMYSL FORMULY lAGRANVA: SU]ESTWUET WNUTREN-
NQQ TO^KA OTREZKA, KASATELXNAQ W KOTOROJ PARALLELXNA STQGIWA@]EJ HOR-
DE (SM. rIS. 10).
u P R A V N E N I Q. 7. sPRAWEDLIWA LI FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ
lAGRANVA DLQ FUNKCII
f(x) =
(x sin 1
x; ESLI x 2h� 1�;
1�
inf0g,
0; ESLI x = 0?
8. pUSTX f : [a; b] ! R OBLADAET SWOJSTWOM: DLQ L@BYH x1; x2 2[a; b] (x1 < x2) SU]ESTWUET y 2 (x1; x2) TAKOE, ^TO f(x2)�f(x1) = f 0(y)(x2�x1). sLEDUET LI OTS@DA, ^TO f DIFFERENCIRUEMA NA (a; b)?
9. pUSTX f DIFFERENCIRUEMA DLQ WSEH x 2 RI f(x+h)�f(x) = f 0(x)hPRI WSEH x; h 2 R. pOKAVITE, ^TO TOGDA f(x) = ax+ b (x 2 R).
10. pUSTX f NEPRERYWNA NA PROMEVUTKE [a; b), DIFFERENCIRUEMA NA
(a; b), PRI^�EM SU]ESTWUET limx!a+
f 0(x). pOKAVITE, ^TO W TO^KE a OPREDELENA
PRAWAQ PROIZWODNAQ I f 0(a+) = limx!a+
f 0(x).
61
priloveniq ponqtiq proizwodnoj
x33. pRAWILO lOPITALQ
1. pUSTX a 2 R I f; g OPREDELENY I DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ
�-OKRESTNOSTI U TO^KI a, PRI^�EM g(x); g0(x) 6= 0 I WYPOLNENO ODNO IZ
USLOWIJ
(0=0) limx!a
f(x) = limx!a
g(x) = 0;
(1=1) limx!a
f(x) = limx!a
g(x) =1:
tOGDA limx!a
f(x)g(x)
= limx!a
f 0(x)g0(x)
, KOLX SKORO SU]ESTWUET PREDEL (BYTX MO-
VET, NESOBSTWENNYJ) W PRAWOJ ^ASTI. pRAWILO WERNO TAKVE DLQ SLU-
^AEW a =1; �1; x! a�.� rAZBER�EM NESKOLXKO TIPI^NYH SLU^AEW.
10: (0=0); U = (a; �); x ! a+. oPREDELIM FUNKCII f I g W TO^KE
a : f(a) = g(a) = 0. tOGDA f I g NEPRERYWNY W a I PRIMENIMA TEOREMA
kO[I 32.2 K OTREZKU [a; x] (x < �). sLEDOWATELXNO,
f(x)
g(x)=f(x)� f(a)
g(x)� g(a)=f 0(c)g0(c)
(a < c < x; c = c(x));
TO ESTX limx!a+
f(x)g(x)
= limx!a+
f 0(c)g0(c)
= limc!a+
f 0(c)g0(c)
.
20: (0=0); U = (�; a); x ! a�. rAZBIRAETSQ ANALOGI^NO. tEPERX IZ10 I 20 UTWERVDENIE SLEDUET DLQ SLU^AQ
30: (0=0); U = (b; a) [ (a; c); x! a.
40: (0=0); a = 1. pOLOVIM y = 1x . fUNKCII F (y) � f(1y ); G(y) �
g(1y ) DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ �-OKRESTNOSTI NULQ, PRI^<M G(y);
62
G0(y) 6= 0. tEPERX
limy!0
F (y) = limx!1 f(x) = 0; lim
y!0G(y) = lim
x!1 g(x) = 0;
limx!1
f 0(x)g0(x)
= limy!0
f 0(1
y)(� 1
y2)
g0(1
y)(� 1
y2)= lim
y!0
F 0(y)G0(y)
= limy!0
F (y)G(y)
= limx!1
f(x)g(x)
(W PREDPOSLEDNEM RAWENSTWE MY WOSPOLXZOWALISX UVE RAZOBRANNYM SLU-
^AEM (0=0) DLQ SOBSTWENNOJ TO^KI a = 0).
50: (1=1); U = (a; �); x ! a+. pUSTX limx!a+
f 0(x)g0(x)
= �. dLQ x,
DOSTATO^NO BLIZKIH K a, IMEEM (S U^�ETOM TEOREMY kO[I DLQ OTREZKA
[x; �] � (a; �))
f(x)
g(x)=f(x)[g(�)� g(x)]
g(x)[f(�)� f(x)]� f(�)� f(x)
g(�)� g(x)= h(�; x)
f 0(c)g0(c)
GDE x < c < � I h(�; x) = [1 � f(�)f(x)
]�1(1 � g(�)
g(x)). pARAMETROM � W PRAWOJ
^ASTI RAWENSTWA MY MOVEM RASPORQVATXSQ. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO
(" < 1) I � TAKOWO, ^TO jf0(y)g0(y)
� f 0(x)g0(x)
j � "=3 DLQ WSEH x; y 2 (a; �). w SILU
USLOWIQ (1=1) SU]ESTWUET N > 0 TAKOE, ^TO
jh(�; x)f0(x)g0(x)
� �j < "=3; jh(�; x)� 1j < "=3 (jxj > N):
tOGDA DLQ jxj > N
jf(x)g(x)
� �j = j(h(�; x)� 1)(f 0(c)g0(c)
� f 0(x)g0(x)
) + (f 0(c)g0(c)
� f 0(x)g0(x)
)
+ h(�; x)f 0(x)g0(x)
� �j < ";
TO ESTX limx!a+
f 0(x)g0(x)
= �: >
63
z A M E ^ A N I Q. 2. oBRATNOE UTWERVDENIE W PRAWILE lOPITALQ
UVE NEWERNO. nAPRIMER, limx!0
x2 sin1
xsin x = 0, NO OTNO[ENIE
(x2 sin1
x)0
(sin x)0=
2x sin1
xcos x �
cos1
xcos x NIKUDA NE SHODITSQ PRI x! 0:
3. tIPY NEOPREDEL�ENNOSTEJ1�1; 0�1; 00; 10; 11 PRIWODQTSQ K TI-
PAM (0=0); (1=1). nAPRIMER, DLQ1�1 : f(x)�g(x) = 1=g(x) � 1=f(x)1=f(x)g(x)
.
dLQ RASKRYTIQ NEOPREDEL�ENNOSTEJ POSLEDNIH TR�EH TIPOW POLEZNO ISPOLX-
ZOWATX PREDSTAWLENIE f(x)g(x) = expfg(x) � ln f(x)g.p R I M E R Y. 4. lim
x!0x ln jxj = lim
x!0
ln jxj1=x
= limx!0
1=x
�1=x2 = 0:
5. limx!+1 x
ne�x = limx!+1
xn
ex= lim
x!+1nxn�1ex
= : : : = limx!+1
n!ex
= 0 (n 2 N).
6. limx!0
(1 + x)b � 1x = lim
x!0b(1 + x)b�1 = b (b 6= 0).
x34. fORMULA tEJLORA1. uRAWNENIE KASATELXNOJ (SM. 29.5) DOSTAWLQET LOKALXNU@ APPROK-
SIMACI@ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII LINEJNOJ FUNKCIEJ. nA FORMULU
lAGRANVA 32.5(�) MOVNO SMOTRETX KAK NA GLOBALXNU@ APPROKSIMACI@
DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII LINEJNOJ FUNKCIEJ. eSTESTWENNO ZADUMATX-
SQ NAD TEM, NELXZQ LI ULU^[ITX APPROKSIMACI@, RASSMOTREW WMESTO LI-
NEJNYH POLINOMIALXNYE FUNKCII. zDESX MY POLU^IM PODHODQ]EE OBOB-
]ENIE FORMULY lAGRANVA KONE^NYH PRIRA]ENIJ. w x35 BUDET POLU^ENOOBOB]ENIE NA POLINOMIALXNYJ SLU^AJ FORMULY PROIZWODNOJ 29.1(�).
2. [fORMULA tEJLORA]. pUSTX f : U ! R (U OTKRYTO) n � 1 RAZ
NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA OTREZKE [a; x] � U 2) I n RAZ DIFFE-
RENCIRUEMA NA (a; x). tOGDA SU]ESTWUET c 2 (a; x) TAKOE, ^TO IMEET
MESTO RAWENSTWO
(1) f(x) = f(a) + f 0(a)(x� a) + : : :+f (n�1)(a)(n� 1)!
(x� a)n�1
+f (n)(c)n!
(x� a)n:
2TO ESTX f (n�1) OPREDELENA I NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE OTREZKA [a; x].
64
wELI^INA rn(x) � 1n!f (n)(c)(x � a)n NAZYWAETSQ OSTATO^NYM ^LENOM W
FORME lAGRANVA.
� pOLOVIM DLQ a � z � x
(2) g(z) = f(x)� [f(z) +n�1Xk=1
1
k!f (k)(z)(x� z)k + �(x� z)n]
I WYBEREM � TAK, ^TOBY g(a) = 0. k FUNKCII g PRIMENIMA TEOREMA rOL-
LQ 32.1 (g(x) = 0 PO POSTROENI@, TAK ^TO g(a) = g(x)). sLEDOWATELXNO,
SU]ESTWUET c 2 (a; x) TAKOE, ^TO g0(c) = 0: pRQMOJ PODS^�ET DA�ET
g0(c) = � 1
(n� 1)!f (n)(c)(x� c)n�1 + n�(x � c)n�1;
OTKUDA � = 1n!f (n)(c). tAK KAK g(a) = 0; IZ (2) POLU^AEM (1).>
3. dLQ POLINOMA p(x) = a0 + a1x + : : : + anxn IMEEM rn+1(x) = 0, TAK
^TO p(x) = p(a)+ p0(a)(x� a)+ : : :+ 1n!p(n)(a)(x� a)n. |TA FORMULA DA�ET,
W ^ASTNOSTI, RECEPT PREDSTAWLENIQ DANNOGO POLINOMA PO STEPENQM x� a.p R I M E R Y (ISPOLXZUETSQ FORMULA (1) PRI a = 0).
4. ex = 1 + x+ x2
2!+ : : :+ xn�1
(n� 1)!+ xn
n!e�x (x 2 R; � = �(x) 2 (0; 1)).
5. sin x = x� x3
3!+ x5
5!� : : :+ (�1)n�1 x2n�1
(2n� 1)!
+x2n+1
(2n + 1)!sin(�x+ 2n+ 1
2 �) (x 2 R; � = �(x) 2 (0; 1)).
6. cos x = 1� x2
2!+ x4
4!� : : :+ (�1)n�1 x2n�2
(2n� 2)!
+ x2n
(2n)!cos(�x+ n�) (x 2 R; � = �(x) 2 (0; 1)).
7. ln(1 + x) = x� x2
2 + : : :+ (�1)n xn�1n� 1 +(�1)n+1xnn(1 + �x)n
(x > �1; � = �(x) 2 (0; 1)).
8. (1 + x)b = 1 + bx+ : : :+ 1(n� 1)!
b(b� 1) : : : (b� n+ 2)xn�1
+ 1n!b(b� 1) : : : (b� n+ 1)xn(1 + �x)b�n
(x > �1; � = �(x) 2 (0; 1)).
65
x35. lOKALXNAQ FORMULA tEJLORA
1. eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO
f(x) = f(a) + f 0(a)(x� a) + : : :+1
n!f (n)(a)(x� a)n + o((x� a)n) (x! a):
|TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO.
� dOSTATO^NO DOKAZATX UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ, KOGDA(�) f(a) = f 0(a) = : : : = f (n)(a) = 0:
(eSLI (�) NE IMEET MESTA, TO POLAGAQ
h(x) = f(x)�nXk=0
1
k!f (k)(a)(x� a)k;
IMEEM h(a) = h0(a) = : : : = h(n)(a) = 0.) iTAK, PUSTX WYPOLNENO (�). pRIn = 1 : f(x) = f(a) + f 0(a)(x� a) + o(x � a) = o(x � a) (x! a), TO ESTX
UTWERVDENIE WERNO. pUSTX ONO WERNO DLQ WSEH k � n�1: pOLOVIM g(x) =
f 0(x). tOGDA g(a) = g0(a) = : : : = g(n�1)(a) = 0, I PO PREDPOLOVENI@
INDUKCII g(x) = o((x � a)n�1) (x ! a). iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ
33.1, IMEEM
limx!a
f(x)
(x� a)n= lim
x!a
f 0(x)
n(x� a)n�1= lim
x!a
g(x)
n(x� a)n�1= 0: >
2. rAZLOVENIE S OSTATKOM W FORME pEANO EDINSTWENNO.
� pUSTX IMEET MESTO E]�E ODNO PREDSTAWLENIEf(x) = a0 + a1(x� a) + : : :+ an(x� a)n + o((x� a)n) (x! a):
wY^ITAQ OTS@DA RAWENSTWO, DOKAZANNOE W P. 1, IMEEM
0 = c0 + c1(x� a) + : : :+ cn(x� a)n + o((x� a)n) (x! a);
GDE ck = ak � 1k!f (k)(a); 0 � k � n. pEREHODQ ZDESX K PREDELU PRI x! a,
POLU^AEM c0 = 0: tAKIM OBRAZOM,
0 = c1(x� a) + : : :+ cn(x� a)n + o((x� a)n) (x! a):
66
rAZDELIW OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x � a I PEREJDQ K PREDELU PRI
x! a, POLU^IM c1 = 0. aNALOGI^NO POLU^IM POSLEDOWATELXNO c2 = : : : =
cn = 0: >
x36. rQD tEJLORA
1. eSLI f(x) (x 2 U(a)) n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO PRI
PODHODQ]EM WYBORE rn(x)
f(x) = f(a) + f 0(a)(x� a) + : : :+1
(n� 1)!f (n�1)(a)(x� a)n�1 + rn(x):
dOPUSTIM TEPERX, ^TO f IMEET W TO^KE a PROIZWODNYE SKOLX UGODNO WY-
SOKIH PORQDKOW. tOGDA RQD
1Xn=0
1
n!f (n)(a)(x� a)n = f(a) + f 0(a)(x� a) +
1
2!f 00(a)(x� a)2 + : : :
ESTESTWENNO NAZWATX RQDOM tEJLORA FUNKCII f PO STEPENQM x�a. wAVENSLU^AJ, KOGDA RQD tEJLORA SHODITSQ K f(x).
2. f(x) =1Pn=0
1n!f (n)(a)(x� a)n TTOGDA rn(x)! 0 (n!1).
� pUSTX sn(x) =n�1Pk=0
1k!f (k)(a)(x � a)k | ^ASTNYE SUMMY RQDA tEJLORA,
TAK ^TO f(x) = sn(x) + rn(x). eSLI rn(x) ! 0 (n ! 1), TO limnsn(x) =
limn[f(x)� rn(x)] = f(x). oBRATNO, ESLI RQD tEJLORA SHODITSQ K f(x), TO
sn(x)! f(x) (n!1), TAK ^TO rn(x) = f(x)� sn(x)! 0 (n!1): >
p R I M E R Y. 3: ex =1Pn=0
1n!xn (x 2 R).
4. sin x =1Pn=0
(�1)n x2n+1
(2n + 1)!(x 2 R).
5. cos x =1Pn=0
(�1)n x2n
(2n)!(x 2 R).
6. ln(1 + x) =1Pn=1
(�1)n�1xnn (�1 < x � 1).
7. (1 + x)b = 1 + bx+ : : :+ 1n!b(b� 1) : : : (b� n + 1)xn + : : :
(�1 < x < 1).
67
� p.3. iZ 34.4 I 11.8 SLEDUET, ^TO rn(x) =xn
n!e�x ! 0 (n!1).
p.4. s U^�ETOM 34.5 jr2n+1(x)j � j x2n+1
(2n+ 1)!j ! 0 (n!1).
p.6,7. pOKA MY NE SMOVEM DOKAZATX \TI RAWENSTWA W UKAZANNYH OB-
LASTQH, TAK KAK FORMA OSTATKA lAGRANVA NEDOSTATO^NO \FFEKTIWNA DLQ
\TOGO. nAPRIMER, DLQ P. 6 (SM. 34.7)
jrn(x)j = 1
n
jxjn(1 + �x)n
� 1
n! 0
��1
2� x � 1
�;
I NELXZQ POLU^ITX PODOBNOGO REZULXTATA DLQ �1 < x < �12 (!!). pOZDNEE
MY POLU^IM E]�E ODNU POLEZNU@ FORMU OSTATKA, S POMO]X@ KOTOROJ I
USTRANIM OSTAW[IESQ PROBELY. >
x37. aNALITI^ESKIE FUNKCII
1. pUSTX E(� R) OTKRYTO, FUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ ANALITI-
^ESKOJ W E, ESLI KAVDAQ TO^KA a 2 E OBLADAET OKRESTNOSTX@ U(a) � E
TAKOJ, ^TO RQD tEJLORA f PO STEPENQM x� a SHODITSQ DLQ WSEH x 2 U(a).p R I M E R Y. 2. fUNKCII ex (x 2 R); sin x (x 2 R); cosx (x 2 R)
QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W R (SM. 36.3{36.5).
3. fUNKCIQ ln x (x > 0) ANALITI^ESKAQ. dEJSTWITELXNO, DLQ KAVDOGO
a > 0 FORMULA tEJLORA PO STEPENQM x� a DA�ET
ln x = ln a+n�1Xk=1
(�1)k�1kak
(x� a)k + rn(x); rn(x) =(�1)n(x� a)n
n[a+ �(x� a)]n:
dLQ x 2 U(a) =
�a
2;3a
2
�MY IMEEM ja+ �(x � a)j > a
2 , TO ESTX jrn(x)j <1n ! 0. pO\TOMU
ln x = ln a+x� a
1 � a � (x� a)2
2 � a2 +(x� a)3
3 � a3 � : : : (jx� aj < a
2):
4.fUNKCIQ f(x), OPREDEL�ENNAQ W 30.12 OBLADAET PROIZWODNYMI L@BOGO
PORQDKA W R, PRI^�EM f (n)(0) = 0; TAK ^TO RQD tEJLORA \TOJ FUNKCII PO
STEPENQM x SHODITSQ K 0, A NE K f(x).iTAK, \TA FUNKCIQ NE ANALITI^ESKAQ.
68
u P R A V N E N I E. 5. dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ (1 + x)b(x > �1)ANALITI^ESKAQ.
x38. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCIJ NA OTREZKE
1. pUSTX f : [a; b]! RNEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA.tOGDA
IMEET MESTO TABLICA
f 0 f NA OTREZKE [a; b] f 0
> 0 )1 STROGO WOZRASTAET )6 � 0
� 0 )2 NE UBYWAET )7 � 0
� 0 )3 KONSTANTA )8 � 0
� 0 )4 NE WOZRASTAET )9 � 0
< 0 )5 STROGO UBYWAET )10 � 0
� iMPLIKACII ()1 ) { ()5 ) QWLQ@TSQ SLEDSTWIEM FORMULY lAGRANVA
(�) f(y)� f(x) = f 0(z)(y � x) (a � x < z < y � b):
oTMETIM, ^TO IMPLIKACIQ ()3) UVE DOKAZANA RANEE (SM 32.4). iMPLI-
KACII ()6 ) { ()10) SLEDU@T IZ OPREDELENIQ PROIZWODNOJ. w ^ASTNOSTI,
()7 ) SLEDUET IZ NERAWENSTWA
f 0(x) = f 0(x+) = limh!0+
1
h[f(x+ h)� f(x)] � 0;
()6 ) SLEDUET IZ ()7 ). >
2. z A M E ^ A N I E. iZ STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f NA [a; b] NE
SLEDUET, ^TO f 0(x) > 0 DLQ WSEH x 2 (a; b). nAPRIMER, f(x) = x3 (x 2 R)
STROGO WOZRASTAET, NO f 0(0) = 0.
x39. lOKALXNYJ \KSTREMUM
1. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : E ! R (E � R) OBLADAET LOKALXNYM MAK-
SIMUMOM (SOOTWETSTWENNO MINIMUMOM) W TO^KE a 2 E, ESLI SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX NULQ U(0) TAKAQ, ^TO f(a + h) � f(a) � 0 (SOOTWETSTWENNO
f(a + h) � f(a) � 0) DLQ WSEH h 2 U(0) \ fhj a + h 2 Eg. gOWORQT, ^TOf OBLADAET W TO^KE a LOKALXNYM \KSTREMUMOM, ESLI f OBLADAET W \TOJ
TO^KE LOKALXNYM MAKSIMUMOM ILI MINIMUMOM.
69
2. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a I OBLADAET W \TOJ TO^KE
LOKALXNYM \KSTREMUMOM, TO f 0(a) = 0. bOLEE TOGO, ESLI f 0(a) = 0
I f 00(a) > 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA; ESLI f 0(a) = 0 I
f 00(a) < 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MAKSIMUMA.
� 1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ NERAWENSTW (SLU^AJ LOKALXNOGO MAKSIMUMA)f 0(a+) = lim
h!0+
1h[f(a+ h) � f(a)] � 0;
f 0(a�) = limh!0�
1h[f(a+ h) � f(a)] � 0:
pUSTX f 0(a) = 0; f 00(a) > 0. tOGDA SU]ESTWUET U(0) TAKAQ, ^TO1h[f 0(a+h)�f 0(a)] = 1
hf 0(a+h) > 0 (h 2 �U (0)), TO ESTX ZNAK f 0(a+h) SOWPA-
DAET SO ZNAKOM h (h 2 �U(0)) I f(a+h)�f(a) = f 0(a+ �h)h � 0 (h 2 �U (0))
(TAK KAK 0 < � < 1). iTAK, a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA. >
3. z A M E ^ A N I E. nEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA W TO^KE a 2 (c; d):
NESU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE a ILI OBRA]ENIE E�E W 0.
4. pRI ISSLEDOWANII NA \KSTREMUM POLEZNA TABLI^KA (SM. rIS. 11;
PREDPOLAGAETSQ, ^TO f NEPRERYWNA NA (c; d); c < a < d).
5. p R I M E R. pRINCIP fERMA GLASIT, ^TO TRAEKTORIQ SWETA W FI-
ZI^ESKOJ SREDE REALIZUET MINIMUM WREMENI, KOTOROE NEOBHODIMO LU^U,
^TOBY PROJTI RASSTOQNIE MEVDU ZADANNYMI TO^KAMI (W ODNORODNOJ SRE-
DE SWET RASPROSTRANQETSQ PRQMOLINEJNO). pUSTX IME@TSQ DWE ODNOROD-
NYE SREDY I ci | SKOROSTX SWETA W SREDE (i); i = 1; 2. tREBUETSQ NAJTI
TRAEKTORI@ SWETA MEVDU TO^KAMI A1 I A2 (SM. rIS. 12). wREMQ, KOTOROE
POTREBOWALOSX BY LU^U, ^TOBY PROJTI PUTX, MINUQ TO^KU x,
t(x) =1
c1
�h21 + x2
�1=2+
1
c2
�h22 + (a� x)2
�1=2:
nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA t0(x) = 0 DA�ET: c1c2= sin �1
sin �2.
oSTA�ETSQ ZAMETITX, ^TO SOOTWETSTWU@]AQ TO^KA DEJSTWITELXNO REALIZU-
ET MINIMUM FUNKCII t(x).
x40. wYPUKLYE FUNKCII1. fUNKCIQ f : (a; b)! RNAZYWAETSQ WYPUKLOJ (ILI WYPUKLOJ WNIZ),
ESLI DLQ L@BYH x; y 2 (a; b) I L@BOGO � 2 [0; 1] SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
(�) f(�x + (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y):
70
eSLI VE IMEET MESTO OBRATNOE NERAWENSTWO f(�x + (1 � �)y) � �f(x) +
(1� �)f(y), GOWORQT, ^TO FUNKCIQ WOGNUTA (WYPUKLA WWERH).
2. gEOMETRI^ESKI USLOWIE (�) OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO
E = f(x; y) 2 R2 jx 2 (a; b); f(x) � yg
QWLQETSQ WYPUKLYM, TO ESTX WMESTE S KAVDYMI SWOIMI DWUMQ TO^KAMI
ONO SODERVIT I OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI.
3. dIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f(x) (a < x < b) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ
(SOOTWETSTWENNO WOGNUTOJ) W TO^KE c 2 (a; b), ESLI W NEKOTOROJ OKREST-
NOSTI TO^KI c GRAFIK \TOJ FUNKCII NAHODITSQ NAD (SOOTWETSTWENNO POD)
KASATELXNOJ W TO^KE c. gOWORQT, ^TO c | TO^KA PEREGIBA, ESLI DLQ NEKO-
TOROGO � > 0 W INTERWALAH (c��; c); (c; c+�) GRAFIK NAHODITSQ PO RAZNYESTORONY OT KASATELXNOJ W TO^KE c. pRIWED�EM PRAKTI^ESKI \FFEKTIWNYE
USLOWIQ WYPUKLOSTI FUNKCII.
4. dIFFERENCIRUEMAQ NA (a; b) FUNKCIQ f WYPUKLA TTOGDA f 0 NE UBY-WAET NA (a; b). w ^ASTNOSTI, ESLI f DWAVDY DIFFERENCIRUEMA NA (a; b),
TO ONA WYPUKLA TTOGDA f 00(x) � 0 (a < x < b).
� pUSTX WYPUKLAQ FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA NA (a; b); a < x < y < b
I h > 0 TAKOWO, ^TO x + h < y. pOLAGAQ � = 1 � hy � x , IMEEM x + h =
�x+ (1 � �)y I, SLEDOWATELXNO,
1h[f(x+ h)� f(x)] � 1
h[�f(x) + (1 � �)f(y)� f(x)]
= 1 � �h
[f(y)� f(x)] =f(y)� f(x)
y � x :
oTS@DA f 0(x) = limh!0+
1h[f(x+ h)� f(x)] � f(y)� f(x)
y � x . aNALOGI^NYE WY-
^ISLENIQ DLQ � > 0 TAKOGO, ^TO x < y��, POKAZYWA@T, ^TO f(y � �)� f(y)�� �
f(y)� f(x)y � x , TAK ^TO
f 0(y) = lim�!0+
f(y � �)� f(y)
�� � f(y)� f(x)
y � x� f 0(x):
nEOBHODIMOSTX PERWOGO UTWERVDENIQ DOKAZANA.
71
pUSTX TEPERX f 0 NE UBYWAET NA (a; b); a < x < y < b I z = �x +
(1� �)y; � 2 [0; 1]. pRIMENQQ FORMULU lAGRANVA, POLU^AEM
f(x)� f(z) = f 0(�)(x� z); f(y)� f(z) = f 0(�)(y � z);
GDE � 2 (x; z); � 2 (z; y), TAK ^TO f 0(�) � f 0(�). sLEDOWATELXNO,
�f(x) + (1 � �)f(y) � f(�x + (1� �)y)
= �(f(x) � f(z)) + (1� �)(f(y)� f(z))
= �f 0(�)(x� z) + (1� �)f 0(�)(y � z)
� f 0(�)[�(x� z) + (1 � �)(y � z)] = 0:
dOSTATO^NOSTX USTANOWLENA.~ASTNOE UTWERVDENIE SLEDUET TEPERX IZ TAB-
LICY 38.1. >
5. pUSTX f 00 OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U(c) I NEPRERYWNAW TO^KE c. tOGDA
(A) f 00(c) > 0 WLE^�ET, ^TO f WYPUKLA W TO^KE c,
(B) f 00(c) < 0 WLE^�ET, ^TO f WOGNUTA W TO^KE c,
(W) ESLI f 00(c) = 0 I f (3) OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U(c),
NEPRERYWNA W TO^KE c I f (3)(c) 6= 0; TO c | TO^KA PEREGIBA.
� uTWERVDENIQ (A) I (B) SLEDU@T IZ PREDSTAWLENIQ
f(x) = f(c) + f 0(c)(x� c) + r2(x);
GDE r2(x) =12(x� c)2f 00(c+ �(x� c)) HARAKTERIZUET PREWY[ENIE GRAFIKA
NAD KASATELXNOJ y = f(c)+f 0(c)(x�c) W TO^KE c. eSLI, NAPRIMER, f 00(c) >0, TO W SILU NEPRERYWNOSTI f 00 W TO^KE c FUNKCIQ f 00 SOHRANQET ZNAK W
NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI c, I ZNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI GRAFIK
NAHODITSQ NAD KASATELXNOJ, TO ESTX f WYPUKLA W TO^KE c.
w SLU^AE (W)
f(x) = f(c) + f 0(c)(x� c) +1
3!(x� c)3f (3)(c+ �(x� c));
I SNOWA ZAMETIM, ^TO f (3) SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI
c, A SOMNOVITELX (x� c)3 MENQET ZNAK PRI PEREHODE ^EREZ TO^KU c: >
6. p R I M E R. fUNKCIQ f(x) = xb (x > 0) WYPUKLA PRI b � 1, TAK KAK
f 00(x) = b(b� 1)xb�2 � 0 (x > 0) I OSTA�ETSQ U^ESTX P. 4.
72
x41. nESKOLXKO WAVNYH NERAWENSTWw SLEDU@]IH NIVE UTWERVDENIQH xi; yi 2 C PROIZWOLXNY.1. j nP
i=1xiyij �
�nPi=1jxijp
�1=p � nPi=1jyijq
�1=q(1p +
1q = 1; p; q > 1).
2.
�nPi=1jxi + yijp
�1=p��nPi=1jxijp
�1=p+
�nPi=1jyijp
�1=p(p � 1).
3. eSLI RQDY1Pi=1jxijp;
1Pi=1jyijq SHODQTSQ (1p +
1q = 1; p; q > 1), TO RQD
1Pi=1
xiyi SHODITSQ ABSOL@TNO, PRI^�EM
j1Xi=1
xiyij �" 1Xi=1
jxijp#1=p " 1X
i=1
jyijq#1=q
:
4. eSLI RQDY1Pi=1jxijp;
1Pi=1jyijp SHODQTSQ (p � 1), TO SHODITSQ RQD
1Pi=1jxi + yijp, PRI^�EM
" 1Xi=1
jxi + yijp#1=p
�" 1Xi=1
jxijp#1=p
+
" 1Xi=1
jyijp#1=p
:
nERAWENSTWO P. 3 NAZYWAETSQ NERAWENSTWOM g�ELXDERA, P. 4 | mINKOWSKO-
GO. eSLI, p = q = 2, TO NERAWENSTWA PP. 3,4 NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO
NERAWENSTWAMI kO[I-bUNQKOWSKOGO I {WARCA.
� pP. 3, 4 O^EWIDNYM OBRAZOM SLEDU@T IZ P. 1 I 2 SOOTWETSTWENNO. w
SWO@ O^EREDX, P. 2 QWLQETSQ SLEDSTWIEM P. 1:
nPi=1jxi + yijp � nP
i=1jxijjxi + yijp�1 +
nPi=1jyijjxi + yijp�1
��nPi=1jxijp
�1=p � nPi=1jxi + yijp
�1=q
+
�nPi=1jyijp
�1=p � nPi=1jxi + yijp
�1=q
(TAK KAK (p � 1)q = p), I OSTA�ETSQ RAZDELITX OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NE-
RAWENSTWA NA
�nPi=1jxi + yijp
�1=q.
73
p. 1, KAK NETRUDNO WIDETX, SLEDUET IZ NERAWENSTWA
(1)nXi=1
xiyi �"nXi=1
xpi
#1=p " nXi=1
yqi
#1=q(xi; yi > 0;
1
p+1
q= 1; p; q > 1):
oSTALOSX DOKAZATX (1). wWED�EM FUNKCI@
f(x) = x� � �x+ � � 1 (x > 0) PRI 0 < � < 1:
iMEEM
f 0(x) = �(x��1 � 1)
�> 0 PRI 0 < x < 1,
< 0 PRI x > 1.
sLEDOWATELXNO,
(2) x� � �x+ �� 1 � 0 PRI x > 0;
PRI^�EM LEWAQ ^ASTX OBRA]AETSQ W NULX W EDINSTWENNOJ TO^KE x = 1 (ZDESX
IMEET MESTO MAKSIMUM).pOLAGAQ W (2) � = 1p (TAK ^TO 1�� = 1
q ), x = a=b,
GDE a = xpi
nPj=1
xpj
!�1; b = y
qi
nPj=1
yqj
!�1, IMEEM a1=pb1=q � 1
pa+1q b, TO ESTX
xiyi24 nXj=1
xpj
351=p 24 nXj=1
yqj
351=q
� 1
p� xpi
nXj=1
xpj
+1
q� yqi
nXj=1
yqj
:
sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA PO i, POLU^AEM (1). >
74
perwoobraznaq i neopredel�ennyj
integral
x42. pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDEL�ENNYJ INTEGRAL
zNAQ \LEMENTARNU@ FUNKCI@, MY UMEEM NAJTI E�E PROIZWODNU@. oB-
RATNAQ ZADA^A | OTYSKANIE FUNKCII PO E�E PROIZWODNOJ. k E�E RE[ENI@
MY PEREHODIM.
1. pUSTX E(� R) OTKRYTO. fUNKCIQ F : E ! R NAZYWAETSQ PERWO-
OBRAZNOJ DLQ FUNKCII f : E ! R, ESLI F DIFFERENCIRUEMA I F 0(x) =f(x) (x 2 E). eSTESTWENNO SPROSITX, DLQ KAVDOJ LI FUNKCII f SU]ESTWU-ET PERWOOBRAZNAQ? oKAZYWAETSQ, NET, NE DLQ WSQKOJ. oDNAKO NIVE BUDET
POKAZANO, ^TO \TO WERNO DLQ KAVDOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII. w \TOM RAZ-
DELE WSE FUNKCII PREDPOLAGA@TSQ NEPRERYWNYMI BEZ OSOBYH NA TO OGO-
WOROK. s^ITAETSQ TAKVE, ^TO OBLASTX@ OPREDELENIQ WSEH WSTRE^A@]IHSQ
FUNKCIJ QWLQETSQ NEKOTORYJ INTERWAL (a; b).
2. eSLI F | PERWOOBRAZNAQ DLQ f , TO L@BAQ DRUGAQ PERWOOBRAZNAQ G
DLQ f WYRAVAETSQ FORMULOJ G = F +C, GDE C | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.
|TO SLEDUET IZ 32.4. zDESX SU]ESTWENNO, ^TO f ZADANA NA INTERWALE!
3. nEOPREDEL�ENNYM INTEGRALOM OT NEPRERYWNOJ FUNKCII f NAZYWA-
ETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH E�E PERWOOBRAZNYH. oBOZNA^ENIE:Zf(x)dx. tA-
KIM OBRAZOM, ESLI F | NEKOTORAQ PERWOOBRAZNAQ DLQ f , TO
Zf(x)dx =
fF (x) + CjC 2 Rg. bUDEM DALEE ISPOLXZOWATX BOLEE KOROTKU@ ZAPISX:Zf(x)dx = F (x) + C. pONQTIE NEOPREDEL�ENNOGO INTEGRALA UDOBNO DLQ
OWLADENIQ TEHNIKOJ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH OT [IROKOGO KLASSA \LE-
MENTARNYH FUNKCIJ.
x43. sWOJSTWA NEOPREDEL�ENNOGO INTEGRALA
pRIWED�EM NESKOLXKO SWOJSTW NEOPREDEL�ENNOGO INTEGRALA, POLEZNYH
DLQ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH.
1.
Z(f(x) + g(x))dx =
Zf(x)dx +
Zg(x)dx,
75
Z�f(x)dx = �
Zf(x)dx (0 6= � 2 R).
2. [fORMULA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM]:Zf(x)g0(x) dx = f(x)g(x)�
Zf 0(x)g(x) dx:
oTMETIM, ^TO PRIWED�ENNU@ FORMULU UDOBNO ISPOLXZOWATX W SLEDU@]EJ
FORME:
Zf(x)dg(x) = f(x)g(x)�
Zg(x)df(x).
3. [fORMULA ZAMENY PEREMENNOJ]:Zf(t)dt =
Zf('(x))'0(x)dx; t = '(x)
(ZDESX SPRAWA I SLEWA STOQT FUNKCII OT x).
� pP. 1,2 PROWERQ@TSQ DIFFERENCIROWANIEM. fORMULA P. 3 SLEDUET IZRAWENSTW
d
dx
Zf(t) dt =
d
dt
�Zf(t)dt
�dt
dx= f('(x))'0(x) =
d
dx
Zf('(x))'0(x)dx;
GDE ddx
Zf(t)dt | SEMEJSTWO PROIZWODNYH FUNKCIJ KLASSA
Zf(t)dt (ONO
SWODITSQ K ODNOJ FUNKCII f('(x))'0(x)). >
dLQ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH NA PRAKTIKE POLEZNA TABLICA, PROWER-
KA KOTOROJ PROIZWODITSQ DIFFERENCIROWANIEM (SM. NIVE).
p R I M E R Y. 4.Ztg xdx =
Zsin xcos xdx = �
Zd cos xcos x = � ln j cos xj+C.
5.
Zln xdx = x ln x�
Zxd ln x = x ln x�
Zdx = x(lnx� 1) + C.
6. J =
Zex cos xdx = ex sin x �
Zex sin xdx = ex sin x +
Zexd cos x =
ex sin x+ ex cos x� J + C. rE[AQ POLU^ENNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO J ,
NAHODIM J = 12e
x(sin x+ cos x) + C.
7. Jm =
Zdx
(a2 + x2)m(m 2 N). pRI m = 1 | \TO TABLI^NYJ INTEGRAL.
pRI m > 1 ISPOLXZUEM REKURRENTNU@ FORMULU
Jm = 1a2
"Jm�1 �
Zx2dx
(a2 + x2)m
#= 1a2Jm�1 � 1
2a2
Zxd(a2 + x2)
(a2 + x2)m
= 1a2Jm�1 + x
2a2(m� 1)(a2 + x2)m�1� 12a2(m� 1)
Jm�1:
76
Z(x� a)ndx =
(x� a)n+1
n + 1 + C (n 6= �1);Zcosxdx = sin x+ C;
Zdxx� a = ln jx� aj+ C;
Zsin xdx = � cos x+ C;
Zaxdx = 1
ln aax + C;
Zdx
cos2 x= tg x+ C;
Zexdx = ex + C;
Zdx
sin2 x= � ctg x+ C;
Zdxpa2 � x2
= arcsin xa + C (a > 0);
Zdxsin x = ln j tg x2 j+ C;
Zdxpa2 + x2
= ln�x+
pa2 + x2
�+ C;
Zshxdx = chx+ C;
Zdx
a2 + x2= 1a arctg
xa + C (a 6= 0);
Zchxdx = shx+ C.
8.
Zdx
(x2 + px + q)m(� = p2�4q < 0; m 2 N). pODSTANOWKOJ t = x+p=2
\TOT INTEGRAL SWODITSQ K P. 7.
9. J =Z
dxx2 + px + q
(� = p2 � 4q > 0). iMEEM x2 + px + q =
(x� �1)(x� �2); �1 6= �2, I
J =1
�1 � �2
Z �1
x� �1� 1
x� �2
�dx =
1
�1 � �2ln jx� �1
x� �2j+ C:
10.
Z(�x+ �)dx
x2 + px+ q= �
2
Z(2x+ p)dx
x2 + px+ q+ �
2
�2�� � p
��Z
dxx2 + px+ q
= �2 ln jx2 + px+ qj+
�� � �p
2
��Z
dxx2 + px+ q
(� 6= 0).
11.
Z(�x + �)dx
(x2 + px+ q)m(m > 1; � < 0). pRI�EMOM P. 10 SWODITSQ K P. 7.
77
12. z A M E ^ A N I E. sU]ESTWU@T \LEMENTARNYE FUNKCII (NAPRIMER,
e�x2
; sin xx ), PERWOOBRAZNYE DLQ KOTORYH ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII
UVE NE WYRAVA@TSQ. dOKAZATELXSTWO \TOGO, ODNAKO, WESXMA NEPROSTO.
x44. oTYSKANIE PERWOOBRAZNYH DLQ RACIONALXNYH FUNKCIJ
1. pOZWOLIM SEBE WOLXNOSTX: FUNKCIIP (x)Q(x)
IP (x)R(x)Q(x)R(x)
, GDE P (x),
Q(x), R(x) | NEKOTORYE POLINOMY, BUDEM S^ITATX RAWNYMI, HOTQ U NIH,
WOOB]E GOWORQ, RAZNYE OBLASTI OPREDELENIQ.pUSTX OTNO[ENIEP (x)Q(x)
DWUH
POLINOMOW QWLQETSQ PRAWILXNOJ NESOKRATIMOJ DROBX@, PRI^�EM KO\FFI-
CIENT PRI STAR[EJ STEPENI U POLINOMA Q(x) RAWEN 1, TAK ^TO
(1) Q(x) = (x� a)� : : : (x� b)�(x2 + px + q) : : : (x2 + rx + s)�
(p2 � 4q < 0; : : : ; r2 � 4s < 0).
2. pRI SDELANNYH PREDPOLOVENIQH IMEET MESTO ODNOZNA^NO OPRE-
DEL�ENNOE PREDSTAWLENIE
P (x)Q(x)
= A1
(x� a)�+ A2
(x� a)��1+ : : :+ A�
x� a + : : :
+ B1
(x� b)�+ B2
(x� b)��1+ : : :+
B�
x� b
+ C1x+D1
(x2 + px + q) + C2x+D2
(x2 + px+ q) �1+ : : :+
C x+D
x2 + px+ q
+ : : :+ E1x+ F1
(x2 + rx+ s)�+ : : :+ E�x+ F�
x2 + rx+ s:
pREDWARITELXNO USTANOWIM LEMMU:
3. pUSTX W OBOZNA^ENIQH (1) u(x) I v(x) | POLINOMY, ODNOZNA^NO
OPREDEL�ENNYE RAWENSTWAMI
Q(x) = (x� a)�u(x) = (x2 + px+ q) v(x):
tOGDAP (x)Q(x)
= A1
(x� a)�+ S1(x) = C1x+D1
(x2 + px+ q) + S2(x), GDE S1(x) =
R(x)
(x� a)��1u(x); S2(x) =
T (x)
(x2 + px+ q) �1v(x)| PRAWILXNYE DROBI.
� dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO RAWENSTWA POLOVIM
A1 =P (a)
u(a); R(x) =
1
x� a(P (x)�A1u(x));
78
GDE R(x) | NA SAMOM DELE POLINOM (TAK KAK a | KORENX POLINOMA
P (x) � A1u(x)), PRI^�EM S1(x) =P (x)Q(x)
� A1
(x� a)�| PRAWILXNAQ DROBX.
dLQ DOKAZATELXSTWA 2-GO RAWENSTWA WOZXM�EM W KA^ESTWE C1 I D1 RE[ENIQ
SISTEMY URAWNENIJ
(2)
8>>><>>>:C1�+D1 =
P (�)v(�)
;
C1��+D1 =
P (��)
v(��);
GDE � I ��| KOMPLEKSNO SOPRQV�ENNYE KORNI TR�EH^LENA x2+px+q.|TA SIS-
TEMA ODNOZNA^NO RAZRE[IMA, TAK KAK E�E DETERMINANT
����� 1�� 1
���� = 2iIm� 6= 0.
pRI \TOM C1 I D1 WE]ESTWENNY (!!). pOLOVIM
T (x) =1
x2 + px+ q� [P (x)� (C1x+D1)v(x)]:
mOVNO UBEDITXSQ, ^TO T (x) | POLINOM I ^TO DROBX S2(x) PRAWILXNAQ
(RASSUVDENIQ PRI \TOM ANALOGI^NY PRIWED�ENNYM WY[E). >
4. [dOKAZATELXSTWO P. 2]. sU]ESTWOWANIE RAZLOVENIQ SLEDUET IZ DO-
KAZANNOJ LEMMY, POZWOLQ@]EJ POSLEDOWATELXNYM PONIVENIEM STEPENI
POLINOMA Q(x) POLU^ITX ISKOMOE RAWENSTWO. eDINSTWENNOSTX SLEDUET IZ
TOGO, ^TO KONSTANTY A1; : : : ; F� OPREDELQ@TSQ ODNOZNA^NO:
A1 = limx!a
(x� a)� � P (x)Q(x)
; A2 = limx!a
(x� a)��1(P (x)
Q(x)� A1
(x� a)�)
I T. D. tAKVE POSLEDOWATELXNO OPREDELQ@TSQ WELI^INY C1; : : : ; F�. dEJST-
WITELXNO, C1;D1 NEOBHODIMO UDOWLETWORQ@T SISTEME URAWNENIJ (2), KO-
TORAQ, KAK OTME^ALOSX, RAZRE[IMA ODNOZNA^NO I T. D.
5. iTAK, ZADA^A OTYSKANIQ PERWOOBRAZNOJ DLQ RACIONALXNOJ FUNKCIIP (x)Q(x)
SWODITSQ K OTYSKANI@ KORNEJ POLINOMA Q(x). kOLX SKORO KORNI
NAJDENY, TO, ZAPISAW PREDSTAWLENIE P. 2, MOVNO POLU^ITX WYRAVENIE DLQ
ISKOMOJ PERWOOBRAZNOJ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII (SM. PP. 43.8{12).
6. z A M E ^ A N I E. eSLIP (x)Q(x)
| NEPRAWILXNAQ DROBX, TO, POLXZUQSX,
NAPRIMER, ALGORITMOM eWKLIDA, SLEDUET PREDWARITELXNO PREOBRAZOWATX
79
E�E K WIDUP (x)Q(x)
= S(x)+R(x)Q(x)
, GDE S(x) | POLINOM, AR(x)Q(x)
| PRAWILXNAQ
DROBX. pOSLE \TOGO OSTA�ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVENIEM P. 2 DLQ DROBIR(x)Q(x)
.
7. p R I M E R. wY^ISLIM J =
Zx5 + 3x2 + 2x4 + x3 + x+ 1
dx. dROBX, STOQ]AQ
POD ZNAKOM INTEGRALA, NEPRAWILXNAQ. pREOBRAZUEM PODYNTEGRALXNOE WY-
RAVENIE SOGLASNO PP. 2,6:
x5 + 3x2 + 2
x4 + x3 + x+ 1= x+ 2 +
A
(x+ 1)2+
B
x+ 1+
Cx+D
x2 � x+ 1:
dLQ NAHOVDENIQ NEIZWESTNYH KO\FFICIENTOW NA PRAKTIKE PRIWODQT DRO-
BI K OB]EMU ZNAMENATEL@ I PRIRAWNIWA@T KO\FFICIENTY POLINOMOW W
^ISLITELQH PRI ODINAKOWYH STEPENQH x. pOSTUPAQ TAK, POLU^IM SISTEMU
LINEJNYH URAWNENIJ. rE[AQ E�E, NAHODIM B = C = �1; D = �1=3; A =
4=3. tAKIM OBRAZOM,
J =
Z(x+ 2 + 4
3(x+ 1)2� 1x+ 1 � 3x + 1
3(x2 � x+ 1))dx
= x2
2 + 2x� 43(x+ 1)
� ln jx+ 1j � 13
Z3x+ 1
x2 � x+ 1dx:
pOSLEDNIJ INTEGRAL S^ITAETSQ SPOSOBOM PRIMERA 43.11.
80
integral rimana
x45. zADA^I, PRIWODQ]IE K PONQTI@ INTEGRALA rIMANA
1. wY^ISLENIE PLO]ADI KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. oSTAWLQQ NA BU-
DU]EE TO^NOE OPREDELENIE PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY, BUDEM ORIENTIRO-
WATXSQ POKA NA INTUITIWNYJ SMYSL \TOGO PONQTIQ. pRIBLIV�ENNOE ZNA^E-
NIE PLO]ADI FIGURY, OGRANI^ENNOJ SNIZU OSX@ Ox, SWERHU| GRAFIKOM
FUNKCII y = f(x), A S BOKOW | WERTIKALXNYMI PRQMYMI x = a; x = b
(rIS. 13),pAWNO
nXj=1
f(�j)(xj � xj�1); �j 2 [xj�1; xj]:
eSTESTWENNO OPREDELITX TO^NOE ZNA^ENIE PLO]ADI \TOJ FIGURY KAK PRE-
DEL (ESLI ON SU]ESTWUET)
S = limn
nXj=1
f(�j)(xj � xj�1); GDE max1�j�n
(xj � xj�1)! 0 (n!1):
nUVNO POTREBOWATX E]�E, ^TOBY \TOT PREDEL NE ZAWISEL NI OT WYBORA
PROMEVUTO^NYH TO^EK �j, NI OT SPOSOBA DROBLENIQ OTREZKA [a; b].
2. oPREDELENIE PUTI DWIVU]EJSQ MATERIALXNOJ TO^KI. pUSTX MATE-
RIALXNAQ TO^KA SOWER[AET PRQMOLINEJNOE DWIVENIE S PEREMENNOJ MGNO-
WENNOJ SKOROSTX@ v(t). tREBUETSQ NAJTI PUTX, PROJDENNYJ TO^KOJ ZA
WREMQ a � t � b. pUSTX FUNKCIQ v(t) NEPRERYWNA. dLQ RE[ENIQ ZA-
DA^I RAZLOVIM PROMEVUTOK IZMENENIQ WREMENI NA MALYE PROMEVUTKI
[t0; t1]; : : : ; [tn�1; tn](a = t0 < t1 < : : : < tn = b). wYBRAW W j-M PROME-
VUTKE TO^KU �j , MOVNO S^ITATX (W SILU NEPRERYWNOSTI v(t)), ^TO SKO-
ROSTX MATERIALXNOJ TO^KI NA U^ASTKE WREMENI tj�1 � t � tj PRIBLIV�ENNO
POSTOQNNA I RAWNA v(�j), TAK ^TO PUTX, PROJDENNYJ ZA \TO WREMQ, PRI-
BLIV�ENNO RAWEN v(�j)(tj � tj�1). sLEDOWATELXNO, SUMMARNYJ PUTX ZA WRE-
MQ a � t � b RAWENnPj=1
v(�j)(tj � tj�1). |TO PRIBLIV�ENNOE ZNA^ENIE TEM
TO^NEE, ^EM MENX[E POGRE[NOSTX PRI ZAMENE PEREMENNOJ SKOROSTI NA PO-
STOQNNU@ NA KAVDOM IZ U^ASTKOW [tj�1; tj] . eSTESTWENNO OVIDATX, ^TO
81
TO^NOE ZNA^ENIE PUTI POLU^ITSQ KAK PREDEL limn
nPj=1
v(�j)(tj � tj�1), KOGDA
max1�j�n
(tj � tj�1)! 0 (n!1).
x46. oPREDELENIE INTEGRALA rIMANA1. pUSTX a = x0 < x1 < : : : < xn = b; W \TOM SLU^AE MY GOWORIM,
^TO SISTEMA OTREZKOW � = f[x0; x1]; [x1; x2]; : : : ; [xn�1; xn]g OBRAZUET RAZ-
LOVENIE OTREZKA [a; b]. rADI KRATKOSTI BUDEM PISATX � = �(a = x0 <
x1 < : : : < xn = b). wELI^INU d(�) � max1�j�n
(xj � xj�1) NAZOW�EM DIAMETROM
RAZLOVENIQ �.
2. iNTEGRALXNOJ SUMMOJ rIMANA FUNKCII f(x) OTNOSITELXNO RAZLO-
VENIQ � NAZYWAETSQ SUMMA
S� =nXj=1
f(�j)(xj � xj�1); �j 2 [xj�1; xj]:
zNA^ENIE \TOJ SUMMY ZAWISIT OT WYBORA PROMEVUTO^NYH TO^EK �j.
3. fUNKCIQ f(x) (a � x � b) NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ PO rIMANU,
ESLI DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI RAZLOVENIJ �k(a = x(k)0 < x
(k)1 <
: : : < x(k)nk = b) TAKIH, ^TO d(�k)! 0 I PRI L@BOM WYBORE �(k)j 2 [x
(k)j�1; x
(k)j ]
SU]ESTWUET PREDEL
� = limk
nkXj=1
f(�(k)j )(x
(k)j � x
(k)j�1):
~ISLO � NAZYWAETSQ INTEGRALOM rIMANA FUNKCII f PO OTREZKU [a; b] I
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
Z b
af(x) dx.
4. z A M E ^ A N I E. ~ISLO � W OPREDELENII P. 3 NE ZAWISIT NI OT
WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI RAZLOVENIJ OTREZKA [a; b], NI OT WYBORA PRO-
MEVUTO^NYH TO^EK �(k)j .
� pUSTX f INTEGRIRUEMA I f�kg; f�0kg| DWE POSLEDOWATELXNOSTI RAZLO-
VENIJ TAKIE, ^TO d(�k); d(�0k)! 0: pO PREDPOLOVENI@ DOLVEN SU]EST-
WOWATX PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI
(�) S�1 ; S�01 ; S�2 ; S�02 ; : : : :
82
nO POSLEDOWATELXNOSTI (S�k); (S�0
k) QWLQ@TSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTQMI
SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI (�). sLEDOWATELXNO (SM. 9.6), limkS�k
=
limkS�0
k: >
dADIM OPREDELENIE INTEGRIRUEMOJ FUNKCII NA QZYKE "� �:
5. fUNKCIQ f(x) (a � x � b) NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ I � =Z b
af(x)dx, ESLI
8" > 0 9� > 0 8� (d(�) < � ) jS� � �j < "):
6. oPREDELENIQ PP. 3 I 5 \KWIWALENTNY.
� iZ SPRAWEDLIWOSTI P. 5 SLEDUET SPRAWEDLIWOSTX P. 3. oBRATNO, ESLI
OPREDELENIE P. 5 DLQ FUNKCII f NE WYPOLNQETSQ, TO
8� 9" > 0 8� > 0 9� (d(�) < �; jS� � �j � "):
wYBRAW POSLEDOWATELXNOSTX �n ! 0 (�n > 0), NAJDEM POSLEDOWATELXNOSTX
RAZLOVENIJ �n TAKIH, ^TO d(�n) < �n, PRI^�EM jS�n � �j � ". tOGDA
POSLEDOWATELXNOSTX (S�n) NE SHODITSQ. pO\TOMU OPREDELENIE P. 3 TAKVE
NE WYPOLNQETSQ DLQ f: >
p R I M E R Y. 7. pOSTOQNNAQ FUNKCIQ f(x) � � INTEGRIRUEMA IZ b
a�dx = �(b � a). fdLQ WSQKOGO RAZLOVENIQ �(a = x0 < x1 < : : : < xn =
b) : S� =nPj=1
�(xj � xj�1) = �(b� a).g8. pUSTX NA [a; b] FIKSIROWANY TO^KI c1; : : : ; cm. fUNKCIQ
f(x) =
��j ; ESLI x = cj ,
0; ESLI x 62 fc1; : : : ; cmg
INTEGRIRUEMA I
Z b
af(x) dx = 0. fpOLOVIM K = max
jj�jj, I PUSTX " > 0
PROIZWOLXNO. eSLI d(�) < "2mK
, TO jS�j = j nPj=1
f(�j)(xj � xj�1)j < ", TAK
KAK SUMMA SODERVIT NE BOLEE 2m ^LENOW, OTLI^NYH OT NULQ g.|FFEKTIWNOE OPISANIE KLASSA INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ| ZADA^A NE-
PROSTAQ I TREBUET OPREDEL�ENNOJ PODGOTOWKI. nIVE BUDET USTANOWLENO,
83
^TO W \TOT KLASS WHODQT WSE NEPRERYWNYE FUNKCII. pOKA PRIWED�EM NEOB-
HODIMOE USLOWIE INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII.
9. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE [a; b], TO ONA OGRANI^E-
NA.
� pUSTX, NAPROTIW, f NE OGRANI^ENA. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO RAZLOVE-NIQ � = �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) FUNKCIQ f NE OGRANI^ENA NA
NEKOTOROM OTREZKE [xj0�1; xj0]. pUSTX N > 0 SKOLX UGODNO WELIKO. wYBE-
REM �j 2 [xj�1; xj] PROIZWOLXNYMI DLQ j 6= j0, A ZATEM WYBEREM �j0 TAK,
^TOBY
jf(�j0)j >N
xj0 � xj0�1+ jX
j 6=j0f(�j)(xj � xj�1)j � 1
xj0 � xj0�1:
tOGDA
jS�j = jf(�j0 )(xj0 � xj0�1) +Pj 6=j0
f(�j)(xj � xj�1)j� jf(�j0 )(xj0 � xj0�1)j � j
Pj 6=j0
f(�j)(xj � xj�1)j > N: >
x47. mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX
1. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E(� R) IMEET LEBEGOWU MERU NULX (BU-
DEM PISATX �E = 0), ESLI \TO MNOVESTWO MOVNO POKRYTX NE BOLEE ^EM
S^�ETNYM SEMEJSTWOM INTERWALOW, SUMMARNAQ DLINA KOTORYH MENX[E NA-
PER�ED ZADANNOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA. bOLEE TO^NO, �E = 0, ESLI DLQ
L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KONE^NOE ILI S^�ETNOE SEMEJSTWO INTERWALOW
(ai; bi) TAKIH, ^TO E � Si(ai; bi);
Pi(bi � ai) < ".
pRO NEKOTOROE SWOJSTWO TO^EK ^ISLOWOGO MNOVESTWA BUDEM GOWORITX,
^TO ONO WYPOLNQETSQ PO^TI WS@DU (P.W.), ESLI MNOVESTWO TO^EK, DLQ KOTO-
RYH \TO SWOJSTWO NE WERNO, IMEET LEBEGOWU MERU NULX. nAPRIMER, FRAZA
\FUNKCIQ f : [a; b] ! R NEPRERYWNA P.W." OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO TO-
^EK RAZRYWA FUNKCII f IMEET LEBEGOWU MERU NULX. oTMETIM POLEZNYE
SWOJSTWA WWED�ENNOGO PONQTIQ.
2. eSLI F � E I �E = 0, TO �F = 0.
3. eSLI �E1 = 0; �E2 = 0; : : : , TO �
�SkEk
�= 0.
84
� p. 2 SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ. pUSTX DALEE " > 0 PRO-
IZWOLXNO. tOGDA DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO k SU]ESTWUET SEMEJSTWO IN-
TERWALOW f(a(k)i ; b(k)i )gi=1;2;::: TAKOE, ^TO
Ek �[i
(a(k)i ; b
(k)i );
Xi
(b(k)i � a
(k)i ) < "=2k:
sEMEJSTWO INTERWALOW f(a(k)i ; b(k)i )gi;k NE BOLEE ^EM S^�ETNO I OBRAZUET PO-
KRYTIE MNOVESTWASkEk, PRI^�EM SUMMARNAQ DLINA WSEH INTERWALOW
Xi;k
(b(k)i � a
(k)i ) = sup
m;n
mXk=1
nXi=1
(b(k)i � a
(k)i ) < ": >
p R I M E R Y. 4. wSQKAQ TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ IMEET LEBEGOWU
MERU NULX.
5. dLQ WSQKOGO S^�ETNOGO MNOVESTWA E � R : �E = 0.
6. z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA NETRIWIALXNOSTX OBSUVDA-
EMOGO ZDESX PONQTIQ. mY ZNAEM, ^TO R QWLQETSQ MNOVESTWOM PREDELXNYH
TO^EK S^�ETNOGO MNOVESTWA Q, TO ESTX WO WSQKOJ OKRESTNOSTI (a; b) PRO-
IZWOLXNOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA � OBQZATELXNO PRISUTSTWU@T RACIO-
NALXNYE ^ISLA. mOVET POKAZATXSQ NA PERWYJ WZGLQD, ^TO ESLI KAVDOE
RACIONALXNOE ^ISLO q 2 [0; 1] POGRUZITX W KAKU@-LIBO OKRESTNOSTX \TOGO
^ISLA, TO W REZULXTATE POLU^ITSQ POKRYTIE WSEGO OTREZKA [0; 1]. nA SAMOM
DELE \TO NE TAK: POSKOLXKU �(Q\ [0; 1]) = 0, TO MOVNO TAK ORGANIZOWATX
POGRUVENIE RACIONALXNYH ^ISEL IZ OTREZKA [0,1] W OKRESTNOSTI, ^TO SUM-
MARNAQ DLINA \TIH OKRESTNOSTEJ BUDET MENX[E NAPER�ED ZADANNOGO ^ISLA
" > 0, TOGDA KAK DLINA OTREZKA [0; 1] RAWNA 1.
7. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO OTREZOK [0; 1] NE QWLQETSQ
MNOVESTWOM LEBEGOWOJ MERY NULX.
x48. tEOREMA lEBEGA
1. t E O R E M A [a. lEBEG]. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA
[a; b] TTOGDA ONA OGRANI^ENA I P.W. NEPRERYWNA.
pOZDNEE (x120) BUDET PRIWEDENO DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY W SU-
]ESTWENNO BOLEE OB]EJ SITUACII. nA DANNOM \TAPE IZU^ENIQ KURSA NA[EJ
85
CELX@ BUDET NAU^ITXSQ ISPOLXZOWATX E�E DLQ POLU^ENIQ OSNOWNYH SWOJSTW
INTEGRALA PO OTREZKU.
2. s L E D S T W I E. wSQKAQ MONOTONNAQ FUNKCIQ f NA OTREZKE [a; b]
INTEGRIRUEMA.
� dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO MNOVESTWO (f) WSEH TO^EK RAZRYWA FUNKCIIf NE BOLEE ^EM S^�ETNO. sOGLASNO 23.4 KAVDAQ TO^KA IZ (f) QWLQETSQ
TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA, I OSTA�ETSQ ZAMETITX, ^TO (f) =Snn, GDE
n =
�x 2 [a; b] : j lim
y!x+f(y)� lim
y!x� f(y)j � 1=n
�;
PRI^�EM MNOVESTWA n KONE^NY (W SILU MONOTONNOSTI f , W MNOVESTWE nNE BOLEE njf(b) � f(a)j TO^EK): >
p R I M E R Y. 3. wSQKAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, IME@]AQ NA OTREZKE
[a; b] KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA, INTEGRIRUEMA.
4. fUNKCIQ dIRIHLE f(x) =
�1; ESLI x RACIONALXNO,
0; ESLI x IRRACIONALXNO,NE INTEG-
RIRUEMA PO rIMANU NA OTREZKE [0; 1].
x49. sWOJSTWA INTEGRALA rIMANA1. pUSTX f; g INTEGRIRUEMY NA [a; b]. tOGDA NA [a; b] INTEGRIRUEMY
FUNKCII f � g; f � g; �f (� 2 R); jf j, PRI^�EMZ b
a[f(x)� g(x)]dx =
Z b
af(x)dx�
Z b
ag(x) dx;
Z b
a�f(x)dx = �
Z b
af(x)dx:
2. sPRAWEDLIWO RAWENSTWOZ b
af(x)dx =
Z c
af(x)dx +
Z b
cf(x)dx (a < c < b)
W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ, TO OPREDELENA
I DRUGAQ, I ONI RAWNY.
� oBOZNA^AQ ^EREZ (f) MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA FUNKCII f , IMEEM W
SILU 22.5{6
(f � g) � (f) [ (g); (jf j) � (f); (f � g) � (f) [ (g):
86
eSLI f I g INTEGRIRUEMY, TO �(f) = �(g) = 0: sLEDOWATELXNO (SM.
47.2{3),
�(f � g) = �(f � g) = �(jf j) = 0:
pO TEOREME lEBEGA OTS@DA SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX UKAZANNYH W SWOJ-
STWE P. 1 FUNKCIJ. rAWENSTWA P. 1 TEPERX SLEDU@T IZ OPREDELENIQ 46.3.
pUSTX (�k) | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX RAZLOVENIJ OTREZKA [a; b]
TAKAQ, ^TO d(�k)! 0. tOGDA, NAPRIMER,
Z b
a[f(x) + g(x)]dx = lim
k
nkPj=1
[f(�(k)j ) + g(�
(k)j )](x
(k)j � x
(k)j�1)
= limk
nkPj=1
f(�(k)j )(x
(k)j � x
(k)j�1) + lim
k
nkPj=1
g(�(k)j )(x
(k)j � x
(k)j�1)
=
Z b
af(x)dx+
Z b
ag(x)dx:
pUSTX TEPERX OPREDELENA LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA W SWOJSTWE P. 2, TO ESTX
f INTEGRIRUEMA NA [a; b]. tOGDA f OGRANI^ENA I �(f) = 0. tEM BOLEE
LEBEGOWU MERU NULX IME@T MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA OGRANI^ENIJ f NA
OTREZKI [a; c]; [c; b], TAK ^TO OPREDELENA PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA. aNALO-
GI^NO, ESLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKAH [a; c]; [c; b], TO ONA INTEGRIRUEMA
NA [a; b].
rASSMOTRIM DALEE (�0k); (�
00k) | RAZLOVENIQ SOOTWETSTWENNO OTREZKOW
[a; c]; [c; b] TAKIE, ^TO d(�0k); d(�
00k)! 0. zAME^AQ, ^TO SUMMY WIDA S�0
k+
S�00kQWLQ@TSQ INTEGRALXNYMI SUMMAMI FUNKCII f , SOOTWETSTWU@]IMI
OTREZKU [a; b], POLU^AEM
Z b
af(x)dx = lim
k
�S�0
k+ S�00
k
�= lim
kS�0
k+ lim
kS�00
k
=Z c
af(x)dx+
Z b
cf(x)dx: >
z A M E ^ A N I Q. 3.iZ INTEGRIRUEMOSTI jf j E]�E NE SLEDUET INTEGRIRUE-MOSTX f . pOSTROJTE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER. fuKAZANIE: WIDOIZMENITEPRIMER 48.4.g
4. pOLEZNO RAS[IRITX OPREDELENIE INTEGRALA PO OTREZKU, S^ITAQZ b
af(x)dx � �
Z a
bf(x)dx DLQ a > b. kROME TOGO, POLOVIM
Z a
af(x)dx � 0.
dOKAZANNYE WY[E SWOJSTWA INTEGRALA WERNY I DLQ \TOGO RAS[IRENNOGO
OPREDELENIQ.
87
x50. sWOJSTWA INTEGRALA, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI1. eSLI f; g INTEGRIRUEMY NA OTREZKE [a; b] I f(x) � g(x)(a � x � b),
TO
Z b
af(x)dx �
Z b
ag(x)dx.
2. eSLI f INTEGRIRUEMA NA [a; b], TO�����Z b
af(x)dx
����� �Z b
ajf(x)jdx � K(b� a); GDE K = sup
x2[a;b]jf(x)j:
3. pUSTX f(x) � 0 (a � x � b); f INTEGRIRUEMA NA [a; b] I NEPRERYWNA
W TO^KE c 2 [a; b]; f(c) > 0. tOGDAZ b
af(x)dx > 0.
� p.1 SLEDUET IZ SRAWNENIQ SOOTWETSTWU@]IH INTEGRALXNYH SUMM rI-
MANA. dALEE IZ NERAWENSTW �jf(x)j � f(x) � jf(x)j S U^�ETOM P. 1 IMEEM
�Z b
ajf j =
Z b
a(�jf j) �
Z b
af �
Z b
ajf j �
Z b
aK = K(b� a);
I P. 2 DOKAZAN. pEREJD�EM K P. 3. pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI a < c < b.
w SILU 22.4 SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(c) = (d; e) (a � d < c < e � b)
TAKAQ, ^TO 0 < � � f(x)(x 2 U(c)). tOGDAZ b
a=
Z d
a+
Z e
d+
Z b
e�Z e
d� �(e� d) > 0: >
4. t E O R E M A [O SREDNEM ZNA^ENII]. pUSTX f; ' INTEGRIRUEMY NA
[a; b]; '(x) � 0 (a � x � b). tOGDAZ b
af(x)'(x)dx = �
Z b
a'(x)dx;
GDE m � � � M (m = infx2[a;b]
f(x); M = supx2[a;b]
f(x)). eSLI, KROME TOGO, f
NEPRERYWNA, TO SU]ESTWUET � 2 [a; b] TAKOE, ^TOZ b
af(x)'(x)dx = f(�)
Z b
a'(x)dx:
� '(x) � 0 WLE^�ET m'(x) � f(x)'(x) � M'(x) (a � x � b); INTEGRIRUQ
\TI NERAWENSTWA, IMEEM
m
Z b
a'(x)dx �
Z b
af(x)'(x)dx �M
Z b
a'(x)dx:
88
eSLI
Z b
a'(x)dx = 0, TO W KA^ESTWE � PODHODIT L@BOE ^ISLO IZ OTREZKA
[m;M ]. eSLI
Z b
a'(x)dx > 0, TO SLEDUET WZQTX
� =
Z b
a'(x)dx
!�1�Z b
af(x)'(x)dx:
dLQ NEPRERYWNOJ FUNKCII 2-E UTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ 24.2(G).>
x51. iNTEGRAL KAK FUNKCIQ SWOEGO WERHNEGO PREDELA
1. pUSTX f INTEGRIRUEMA NA [a; b]. tOGDA OPREDELENA I NEPRERYWNA
NA [a; b] FUNKCIQ F (x) =Z x
af(t)dt (a � x � b).
� pUSTX K = supx2[a;b]
jf(x)j. tOGDA F NEPRERYWNA NA [a; b] W SILU OCENKI
(1) jF (x)� F (y)j =����Z x
yf(t)dt
���� � Kjx� yj (a � x; y � b): >
pRIWED�EM ZAME^ATELXNOE UTO^NENIE DOKAZANNOJ TEOREMY.
2. eSLI f(x) INTEGRIRUEMA NA [a; b] I NEPRERYWNA W TO^KE x0 2 (a; b),
TO FUNKCIQ F (x) =Z x
af(t) dt (a � x � b) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0
I F 0(x0) = f(x0). w ^ASTNOSTI, ESLI f NEPRERYWNA NA (a; b), TO F (x)
(a < x < b) | PERWOOBRAZNAQ DLQ f(x) (a < x < b).
� pUSTX SNA^ALA f NEPRERYWNA NA (a; b) I x 2 (a; b). tOGDA
(2) F (x+ h)� F (x) =
Z x+h
xf(t)dt = f(x)h+ r(h);
GDE r(h) =
Z x+h
x[f(t) � f(x)] dt. pO TEOREME O SREDNEM ZNA^ENII r(h) =
[f(x + �h) � f(x)]h (0 � � � 1), TAK ^TO r(h) = o(h) (h ! 0). sLEDOWA-
TELXNO, F 0(x) = f(x). iTAK, WSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA INTERWALE
OBLADAET PERWOOBRAZNOJ (OTWET NA WOPROS W 42.1).
pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU 1-J ^ASTI TEOREMY. pUSTX f NEPRERYWNA
W TO^KE x0 2 (a; b). tOGDA PRI x = x0 SPRAWEDLIWY RAWENSTWA (2). pRIME-
NIM K r(h) 1-@ ^ASTX TEOREMY 50.4; IMEEM r(h) = �hh, GDE m(h) � �h �
89
M(h), A m(h) (SOOTWETSTWENNO M(h)) | NIVNQQ (SOOTWETSTWENNO WERH-
NQQ) GRANX FUNKCII f(t)�f(x0) NA OTREZKE S KONCAMI W x0 I x0+h. oSTA-LOSX POKAZATX, ^TO �h = o(1) (h ! 0), TO ESTX lim
h!0M(h) = lim
h!0m(h) = 0.
dEJSTWITELXNO, IZ NEPRERYWNOSTI f W x0 IMEEM
8" > 0 9� > 0 8t�jt� x0j < �) jf(t)� f(x0)j < "
2
�;
TAK ^TO jhj < � ) M(h) < ", TO ESTX limh!0
M(h) = 0. aNALOGI^NO,
limh!0
m(h) = 0: >
3. z A M E ^ A N I E. iZ P. 2 I TEOREMY lEBEGA SLEDUET, ^TO DLQ WSQKOJ
INTEGRIRUEMOJ NA [a; b] FUNKCII f FUNKCIQ F (x) =
Z x
af(t) dt (a � x � b)
DIFFERENCIRUEMA NA [a; b] P.W.
x52. fORMULA nX@TONA-lEJBNICA1. eSLI f NEPRERYWNA NA [a; b] I � | PROIZWOLXNAQ E�E PERWOOBRAZNAQ,
TO
Z b
af(t) dt = �(b)� �(a).
fw SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM PERWOOBRAZNOJ W \TOM I DRUGIH ANA-
LOGI^NYH UTWERVDENIQH NIVE SLEDUET S^ITATX, ^TO f ZADANA I NEPRE-
RYWNA NA NEKOTOROM INTERWALE (c; d) � [a; b].g� pUSTX � | PROIZWOLXNAQ PERWOOBRAZNAQ DLQ f . tOGDA (SM. 42.3, 51.2)
�(x) = F (x) + C, GDE F (x) =Z x
af(t) dt. sLEDOWATELXNO,
Z b
af(t) dt = F (b)� F (a) = [F (b) + C]� [F (a) + C] = �(b)� �(a): >
rAZNOSTX �(b)� �(a) OBOZNA^AETSQ ^ASTO SIMWOLOM �(t)jba.2. u P R A V N E N I E.pUSTX f INTEGRIRUEMA NA [a; b] I OBLADAET PERWO-
OBRAZNOJ. pOKAVITE, ^TO DLQ f SPRAWEDLIWA FORMULA nX@TONA-lEJBNICA.
x53. oBOB]�ENNAQ FORMULA nX@TONA-lEJBNICA
pREVDE ^EM SFORMULIROWATX OBOB]ENIE FORMULY 52.1 WWED�EM NESKOLX-
KO OPREDELENIJ, KOTORYE NEODNOKRATNO E]�E BUDUT ISPOLXZOWATXSQ W NA-
[EM KURSE.
90
1. fUNKCIQ f(x) (a � x � b) NAZYWAETSQ GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA
NA [a; b], I FUNKCIQ f 0(x) (a < x < b) NEPRERYWNA, PRI^�EM SU]ESTWU@T I
KONE^NY PREDELY limx!a+
f 0(x); limx!b�
f 0(x).
2. nEPRERYWNAQ FUNKCIQ f(x) (a � x � b) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ
KUSO^NO-GLADKOJ, ESLI SU]ESTWUET RAZLOVENIE a = x0 < x1 < : : : < xn = b
TAKOE, ^TO f GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [xj�1; xj].
3. u P R A V N E N I E. eSLI f(x) (a � x � b) GLADKAQ, TO limx!a+
f 0(x) =
f 0(a+); limx!b�
f 0(x) = f 0(b�) (SM. 29.11), TAK ^TO f 0(x)(a < x < b) DOPUSKAET
NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA [a; b].
p R I M E R Y. 4. f(x) = jxj (�1 � x � 1) | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-
GLADKAQ FUNKCIQ.
5. f(x) = arcsin x (�1 � x � 1) | NE NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ
(HOTQ I NEPRERYWNAQ) FUNKCIQ.
6. u P R A V N E N I E. eSLI f; g GLADKIE (NEPRERYWNYE KUSO^NO-
GLADKIE) NA [a; b], TO f � g; f � g GLADKIE (SOOTWETSTWENNO NEPRERYWNYEKUSO^NO-GLADKIE) NA [a; b].
7. [oBOB]�ENNAQ FORMULA nX@TONA-lEJBNICA]. eSLI F (x)(a � x � b)
NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ, TO
(�)Z b
aF 0(x) dx = F (b)� F (a):
� oBRATIM WNIMANIE NA TO, ^TO LEWAQ ^ASTX "PLOHO" OPREDELENA: ESLI
a = x0 < x1 < : : : < xn = b | RAZLOVENIE, FIGURIRU@]EE W P. 2 (DLQ
FUNKCII F ), TO F 0 MOVET BYTX NE OPREDELENA W TO^KAH xj. oDNAKO, ESLIKAK-NIBUDX (WS�E RAWNO KAK!) DOOPREDELITX F 0 W \TIH TO^KAH, TO LEWAQ
^ASTX (�) UVE STANOWITSQ KORREKTNO OPREDEL�ENNOJ. w SILU PRIMERA 46.8
LEWAQ ^ASTX (�) NE ZAWISIT OT PROIZWOLA W OPREDELENII F 0 W KONE^NOM^ISLE TO^EK. pO FORMULE nX@TONA-lEJBNICA 52.1
Z b
aF 0(x) dx =
nXj=1
Z xj
xj�1
F 0(x) dx =nXj=1
[F (xj)� F (xj�1)] = F (b)� F (a): >
91
x54. oB]IE PRI�EMY WY^ISLENIQ INTEGRALA
1. [fORMULA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM]. pUSTX f; g | NEPRERYWNYE
KUSO^NO-GLADKIE NA [a; b]. tOGDA
Z b
af(x)g0(x) dx = f(x)g(x)
�����b
a
�Z b
af 0(x)g(x) dx:
2. [fORMULA ZAMENY PEREMENNOJ]. pUSTX f(x) (a � x � b) NEPRERYWNA,
I '(t) (c � t � d) NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ, PRI^�EM '(c) = a; '(d) =
b I OPREDELENA SUPERPOZICIQ f � '. tOGDAZ b
af(x) dx =
Z d
cf('(t))'0(t) dt:
� w SILU 53.7 S U^�ETOM 53.6 IMEEM
Z b
af(x)g0(x) dx+
Z b
af 0(x)g(x) dx =
Z b
a(f(x)g(x))0 dx=f(x)g(x)
�����b
a
:
sWOJSTWO 1 DOKAZANO. dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 OBOZNA^IM ^EREZ F PERWO-
OBRAZNU@ DLQ FUNKCII f . pUSTX RAZLOVENIE c = t0 < t1 < : : : < tn = d
TAKOWO, ^TO ' GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [tj�1; tj]. tOGDA ddtF ('(t)) =
f('(t))'0(t) (t 6= tj), I PO\TOMU PO OBOB]�ENNOJ FORMULEnX@TONA-lEJBNICAZ d
cf('(t))'0(t) dt = F ('(d))� F ('(c)) = F (b)� F (a) =
Z b
af(x) dx: >
3. p R I M E R. wY^ISLIM J =Z 1
0arcsin x dx. iSPOLXZUQ 43.2, NAHODIM
PERWOOBRAZNU@ F (x) DLQ arcsin x (0 � x � 1) : F (x) = x � arcsin x +p1 � x2 (0 � x � 1). s U^�ETOM 52.1 IMEEM J = F (1)� F (0) = �
2 � 1:
4. z A M E ^ A N I E. zAMETIM, ^TO WYKLADKAZ 1
0arcsin x dx = x � arcsin x
���10�Z 1
0
x dxp1� x2
=�
2�p1� x2
���10=�
2� 1;
DA@]AQ TOT VE OTWET, NA DANNOM UROWNE NA[IH ZNANIJ NEPRAWOMERNA,
TAK KAK FUNKCIQ arcsin x (0 � x � 1) NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-
GLADKOJ, I ISPOLXZOWANIE FORMULY P. 1 NEZAKONNO. dEJSTWITELXNO, INTEG-
RAL
Z 1
0
x dxp1� x2
ZAWEDOMO NE SU]ESTWUET KAK INTEGRAL rIMANA. pOZDNEE
(x129) MY PRIDADIM SMYSL PODOBNYM WYKLADKAM.
92
5. u P R A V N E N I E. nAJTI limn
Z 1
0
xn
1 + x dx.
x55. wERHNIJ I NIVNIJ INTEGRALY dARBU
1. zNA^ENIE INTEGRALXNOJ SUMMY rIMANA FUNKCII f (SM. 46.2) ZAWI-
SIT NE TOLXKO OT RAZLOVENIQ �, NO I OT WYBORA PROMEVUTO^NYH TO^EK �j.
eSTESTWENNO POPYTATXSQ UMENX[ITX \TOT PROIZWOL. sOOTWETSTWU@]AQ
KONSTRUKCIQ, K IZLOVENI@ KOTOROJ MY PEREHODIM, OKAZYWAETSQ POLEZNOJ
DLQ TEORII I PRILOVENIJ INTEGRALA rIMANA.
2. pUSTX f(x) (a � x � b) | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ I �(a = x0 <
x1 < : : : < xn = b) | RAZLOVENIE OTREZKA [a; b]. wERHNEJ (NIVNEJ) SUM-
MOJ dARBU FUNKCII f , OTWE^A@]EJ RAZLOVENI@ �, NAZYWAETSQ SUMMA
S�(�) =nPj=1
Mj(xj�xj�1) (SOOTWETSTWENNO S�(�) =nPj=1
mj(xj�xj�1)), GDEMj = sup
[xj�1;xj]
f(x);mj = inf[xj�1;xj]
f(x). oTMETIM OSNOWNOE SWOJSTWO SUMM
dARBU.
3. pUSTX �; �0 | PROIZWOLXNYE RAZLOVENIQ OTREZKA [a; b]. tOGDA
S�(�) � S�(�0).
� pUSTX �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) I e� | RAZLOVENIE, POLU^ENNOE
IZ � DOBAWLENIEM ODNOGO UZLA y. pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI x0 < y < x1.
tOGDA
S�( e�) = [ inf[x0;y]
f(x)](y � x0) + [ inf[y;x1]
f(x)](x1 � y)
+nPj=2
mj(xj � xj�1) � [ inf[x0;x1]
f(x)](x1 � x0)
+nPj=2
mj(xj � xj�1) = S�(�):
tAKIM OBRAZOM, PRI DOBAWLENII K RAZLOVENI@ � NESKOLXKIH NOWYH UZLOW
NIVNQQ SUMMA dARBU RAZWE LI[X WOZRASTAET. aNALOGI^NO WERHNQQ SUMMA
dARBU OT TAKOGO DOBAWLENIQ MOVET TOLXKO UMENX[ITXSQ. pUSTX TEPERX �
I �0 | PROIZWOLXNYE RAZLOVENIQ [a; b], A �00 | RAZLOVENIE, POLU^ENNOE
OB_EDINENIEM UZLOW RAZLOVENIJ � I �0. tOGDA W SILU SDELANNYH WY[EZAME^ANIJ S�(�) � S�(�00) � S�(�00) � S�(�0): >
4. iZ P. 3 SLEDUET, ^TO MNOVESTWO fS�(�)g (SOOTWETSTWENNO fS�(�)g)WSEH WERHNIH (SOOTWETSTWENNO NIVNIH) SUMM dARBU OGRANI^ENNOJ FUNK-
CII f OGRANI^ENO SNIZU (SOOTWETSTWENNO SWERHU). pO\TOMU OPREDELENY
93
WELI^INY D�(f) = inf�S�(�);D�(f) = sup
�S�(�). oNI NAZYWA@TSQ SOOT-
WETSTWENNO WERHNIM I NIVNIM INTEGRALAMI dARBU FUNKCII f . pRI \TOM
(P. 3) D�(f) � D�(f).
x56. kRITERIJ dARBU INTEGRIRUEMOSTI PO rIMANU1. oGRANI^ENNAQ FUNKCIQ f(x) (a � x � b) INTEGRIRUEMA PO rIMANU
(I � =Z b
af(x) dx) TTOGDA D�(f) = D�(f)(= �).
�nEOBHODIMOSTX. pUSTX f INTEGRIRUEMA. w SILU 46.5
8" > 09�(a = x0 < x1 < : : : < xs = b)8�j 2 [xj�1; xj] (j = 1; s)
(j sPj=1
f(�j)(xj � xj�1)� �j < ").
sLEDOWATELXNO, DLQ L@BYH �j 2 [xj�1; xj] (j = 1; s)
� � " <sXj=1
f(�j)(xj � xj�1) < �+ ":
wZQW sup (SOOTWETSTWENNO inf ) PO �j W KAVDOM IZ OTREZKOW, POLU^IM
� � " � S�(�) � S�(�) � � + ". oTS@DA S�(�) � S�(�) � 2", I ZNA^IT,
D�(f) � D�(f) � 2". iZ PROIZWOLXNOSTI " : D�(f) � D�(f) I OSTA�ETSQ
U^ESTX NERAWENSTWO W 55.4.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX D�(f) = D�(f) = �. dLQ PROIZWOLXNOGO
" > 0 (W SILU OPREDELENIQ 55.4 I SWOJSTWA 55.3) NAJD�ETSQ RAZLOVENIE~�(a = x0 < x1 < : : : < xs = b) TAKOE, ^TO
S�( e�)� S�( e�) =sXj=1
(Mj �mj)(xj � xj�1) <"
2:
sLEDUET LI[X UBEDITXSQ, ^TO DLQ L@BOGO RAZLOVENIQ �(a = y0 < y1 <
: : : < yN = b) DOSTATO^NO MALOGO DIAMETRA, MY BUDEM IMETX jS���j < ",
GDE S� | INTEGRALXNAQ SUMMA rIMANA FUNKCII f .pUSTXM = supx2[a;b]
jf(x)jI d(�) < "
4Ms. mY IMEEM
S� � � =NPi=1
f(�i)(yi � yi�1)� �
=Pi
0f(�i)(yi � yi�1) +
Pi
00f(�i)(yi � yi�1)� �;
94
GDE SUMMAP0 PO TEM i, DLQ KOTORYH OTREZKI [yi�1; yi] SODERVAT UZLY xj
RAZLOVENIQ e�, AP00 | SUMMA PO OSTALXNYM i. nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI,
BUDEM S^ITATX, ^TO f(x) � 0 (a � x � b). tOGDA (TAK KAK KAVDYJ UZEL xjMOVET PRINADLEVATX NE BOLEE ^EM DWUM OTREZKAM [yi�1; yi])
Pi
0f(�i)(yi � yi�1) � M
Pi
0(yi � yi�1) �M max
1�i�N(yi � yi�1) �P
i
01
� 2Msd(�) < "2 :
dLQ INDEKSOW i W SUMMEPi
00 OTREZKI [yi�1; yi] CELIKOM LEVAT W PODHODQ]IH
OTREZKAH RAZLOVENIQ e�; OBOZNA^AQ �j = fi : [yi�1; yi] � [xj�1; xj]g, IMEEMPi
00f(�i)(yi � yi�1) =
sPj=1
Pi2�j
f(�i)(yi � yi�1)
� sPj=1
Mj
Pi2�j
(yi � yi�1) �sPj=1
Mj(xj � xj�1)
= S�( e�):iTAK,
S� � � =P0 +
P00 � � � "
2+ S�( e�)� � � "
2+ S�( e�)� S�( e�) < ":
aNALOGI^NO, PRI DOSTATO^NO MALYH DIAMETRAH RAZLOVENIQ S��� > �"I UTWERVDENIE DOKAZANO. >
2. s L E D S T W I E. wSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f NA OTREZKE [a; b]
INTEGRIRUEMA PO rIMANU.
� pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. tAK KAK f RAWNOMERNO NEPRERYWNA (SM. 24.7),
SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO jx � yj < � WLE^�ET jf(x) � f(y)j < "b� a
.
pUSTX �(a = x0 < x1 < : : : < xs = b) | RAZLOVENIE [a; b] TAKOE, ^TO
d(�) < ". w SILU 24.2(B) NAJDUTSQ �j ; �j 2 [xj�1; xj] TAKIE, ^TO f(�j) =Mj = sup
[xj�1;xj]
f(x); f(�j) = mj = inf[xj�1;xj]
f(x). pO\TOMU
S�(�)� S�(�) =sXj=1
[f(�j)� f(�j)](xj � xj�1) <"
b� a
sXj=1
(xj � xj�1);
I ZNA^IT, D�(f)�D�(f) < ". iZ PROIZWOLXNOSTI " SLEDUET, ^TO D�(f) �D�(f) I ZNA^IT, D�(f) = D�(f). oSTA�ETSQ PRIMENITX DOKAZANNYJ WY[EKRITERIJ.>
95
3. u P R A V N E N I E. pRIWEDITE PODROBNOE DOKAZATELXSTWO ZAKL@-
^ITELXNOJ FRAZY P. 1 \PRI DOSTATO^NO MALYH DIAMETRAH RAZLOVENIQ
S� � � > �"".x57. o PRIBLIV�ENNOM WY^ISLENII INTEGRALOW
1. ~ISLENNOE ZNA^ENIE INTEGRALA rIMANA DALEKO NE WSEGDA MOVET
BYTX NAJDENO S POMO]X@ FORMULY nX@TONA-lEJBNICA (SM. 43.13). w SWQ-
ZI S \TIM BOLX[OE ZNA^ENIE IME@T PRIBLIV�ENNYE METODY NAHOVDENIQ
^ISLENNYH ZNA^ENIJ INTEGRALOW. k \TIM METODAM ESTESTWENNO PRED_QW-
LQETSQ RQD TREBOWANIJ. oTMETIM NEKOTORYE IZ NIH:
(A) SHODIMOSTX PRIBLIV�ENNYH ZNA^ENIJ K ISTINNOMU ZNA^ENI@ INTEG-
RALA,
(B) WOZMOVNOSTX \FFEKTIWNO OCENIWATX POGRE[NOSTX,
(W) WY^ISLITELXNAQ PROSTOTA.
dETALXNO \TI WOPROSY IZU^A@TSQ W KURSE \mETODY WY^ISLENIJ". mY
OGRANI^IMSQ NESKOLXKIMI PROSTYMI FORMULAMI. oTMETIM, ^TO ODNIM
IZ TIPI^NYH METODOW PRIBLIV�ENNOGO WY^ISLENIQ INTEGRALA rIMANA QW-
LQETSQ ZAMENA INTEGRIRUEMOJ FUNKCII BOLEE PROSTOJ (NAPRIMER, POLINO-
MOM) TAK, ^TOBY POGRE[NOSTX W ZNA^ENII INTEGRALA BYLA BY NEBOLX[OJ.
2. [fORMULA PRQMOUGOLXNIKOW]. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA
(1) J =Z b
af(x) dx
WOZXM�EM RAZLOVENIE � = �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) S RAWNOOTSTO-
Q]IMI UZLAMI: xj = a + b� an j (0 � j � n) I WYBEREM PROMEVUTO^NYE
TO^KI W SEREDINAH POLU^ENNYH OTREZKOW: �j =12(xj�1 + xj); 1 � j � n.
tOGDA
(2) Sn =b� a
n�nXj=1
f(1
2(xj�1 + xj))
| INTEGRALXNAQ SUMMA rIMANA FUNKCII f (TAK KAK Sn =nPj=1
f(�j)(xj �xj�1)), I PO\TOMU Sn ! J (n!1). |TA FORMULA NOSIT NAZWANIE FORMU-
LY PRQMOUGOLXNIKOW (PLO]ADX POD KRIWOJ y = f(x) NA U^ASTKE [xj�1; xj]
96
ZAMENQETSQ NA PLO]ADX PRQMOUGOLXNIKA S OSNOWANIEM xj � xj�1 I WYSO-TOJ f(�j)). oTMETIM, ^TO FORMULA TO^NA DLQ AFFINNYH FUNKCIJ WIDA
f(x) = �x+ �.
3. [fORMULA TRAPECIJ]. wOZXM�EM RAZLOVENIE � KAK W P. 2 I ZAMENIM
PLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRAPECII NA U^ASTKE [xj�1; xj] PLO]ADX@ NASTO-
Q]EJ TRAPECII S WER[INAMI (xj�1; 0); (xj; 0); (xj�1; f(xj�1)); (xj; f(xj)).sUMMIRUQ \TI PLO]ADI, POLU^IM
(3) Tn =b� a
n�nXj=1
1
2(f(xj�1) + f(xj)):
tAK KAK SUMMY b� an
nPj=1
f(xj�1); b� an
nPj=1
f(xj) QWLQ@TSQ INTEGRALXNYMI
SUMMAMI rIMANA DLQ f , MY IMEEM Tn ! J (n!1). fORMULA (3) TAKVE
TO^NA DLQ AFFINNYH FUNKCIJ.
4. [fORMULA sIMPSONA]. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ [a; b] = [�1; 1].pODBER�EM �; �; TAK, ^TOBY RAWENSTWO
(4)
1Z�1f(x) dx = �f(�1) + �f(0) + f(1)
IMELO MESTO DLQ FUNKCIJ f(x) = 1; f(x) = x; f(x) = x2. iZ SISTEMY8><>:
� + � + = 2
�� + = 0
� + = 2=3
NAHODIM � = = 13 ; � = 4
3 : s \TIMI ZNA^ENIQMI PARAMETROW FORMULA
(4) AWTOMATI^ESKI WERNA DLQ f(x) = x3, TAK KAK 0 =1R�1x3 dx = �� + .
tAKIM OBRAZOM, FORMULA
(5)
1Z�1f(x) dx =
1
3[f(�1) + 4f(0) + f(1)]
WERNA DLQ WSEH POLINOMOW WIDA f(x) = a0+ a1x+ a2x2+ a3x
3. dLQ PROIZ-
WOLXNOGO OTREZKA FORMULA (5) PREOBRAZUETSQ K WIDUZ b
af(x) dx =
b� a
6[f(a) + 4f(
b+ a
2) + f(b)]
97
(ZDESX f | POLINOM 3-J STEPENI). dLQ POLU^ENIQ PRIBLIV�ENNOJ FORMULY
WY^ISLENIQ INTEGRALA (1) PODELIM OTREZOK [a; b] NA 2n RAWNYH PODOTREZ-
KOW S KONCAMI xj = a + b� a2n j I NA KAVDOM OTREZKE [x2j�2; x2j] INTEGRALZ x2j
x2j�2
f(x) dx ZAMENIM SUMMOJ b� a6n [f(x2j�2)+ 4f(x2j�1)+ f(x2j)]. sUMMI-
RUQ PO j, POLU^IM
�n =nXj=1
b� a
6n[f(x2j�2) + 4f(x2j�1) + f(x2j)]:
sNOWA, KAK I WY[E, �n ! J (n!1) (!!).
5. wYWOD OCENKI POGRE[NOSTI PRIBLIV�ENNOJ FORMULY PROILL@STRI-
RUEM NA FORMULE PRQMOUGOLXNIKOW. pUSTX f DWAVDY NEPRERYWNO DIFFE-
RENCIRUEMA NA [a; b] I M = maxx2[a;b]
jf 00(x)j. pUSTX SNA^ALA n = 1, TAK ^TO
�1 =b+ a2 . pO FORMULE tEJLORA 34.2 IMEEM f(x) = f(�1)+f
0(�1)(x� �1)+12f
00(c)(x� �1)2 (ZDESX c PRINADLEVIT PROMEVUTKU S KONCAMI W TO^KAH �1
I x). oCENIM POGRE[NOSTX R1 = jJ �S1j DLQ FORMULY PRQMOUGOLXNIKOW.
tAK KAK \TA FORMULA TO^NA DLQ AFFINNYH FUNKCIJ, IMEEM
(6) R1 =
�����Z b
af(x) dx � (b� a)f(�1)
����� = 12
�����Z b
af 00(c)(x� �1)
2 dx
������ M
2
Z b
a(x� �1)
2 dx = M3
�b� a2
�3:
w SLU^AE PROIZWOLXNOGO n ZAMETIM, ^TO
Rn = jZ b
af(x) dx � b� a
n
nPj=1
f(�j)j = j nPj=1
Z xj
xj�1
f(x) dx� b� an
nPj=1
f(�j)j� nP
j=1jZ xj
xj�1
f(x) dx � b� an f(�j)j
(ZDESX �j =12(xj�1 + xj); xj = a+ b� a
n j). wOSPOLXZOWAW[ISX OCENKOJ (6)
DLQ KAVDOGO OTREZKA [xj�1; xj], IMEEM
Rn � M
3� n b� a
2n
!3
=M
24� (b� a)3
n2:
98
nekotorye priloveniq integrala
rimana
x58. fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W INTEGRALXNOJ FORME
1. pUSTX f OPREDELENA NA INTERWALE (�; �), PRI^�EM NA OTREZKE [a; x] �(�; �) (ILI [x; a] � (�; �)) ONA OBLADAET NEPRERYWNOJ n-J PROIZWODNOJ.
tOGDA
f(x) =n�1Xk=0
1
k!f (k)(a)(x� a)k +
1
(n � 1)!
Z x
af (n)(t)(x� t)n�1 dt:
wELI^INA rn(x) = 1(n � 1)
Z x
af (n)(t)(x � t)n�1 dt NAZYWAETSQ OSTATKOM W
INTEGRALXNOJ FORME.
�iMEEM f(x)�f(a) =Z x
af 0(t) dt, TO ESTX DLQ n = 1 FORMULA SPRAWEDLIWA.
pUSTX ONA SPRAWEDLIWA DLQ WSEH k � n � 1: tOGDA
f(x) =n�2Xk=0
1
k!f (k)(a)(x� a)k +
1
(n� 2)!
Z x
af (n�1)(t)(x� t)n�2 dt:
iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI, IMEEMZ x
af (n�1)(t)(x� t)n�2 dt = � 1
n� 1f(n�1)(t)(x� t)n�1
���xa
+ 1n� 1
Z x
af (n)(t)(x� t)n�1 dt = 1
n� 1f(n�1)(a)(x� a)n�1
+ 1n� 1
Z x
af (n)(t)(x� t)n�1 dt;
A OTS@DA I SLEDUET ISKOMAQ FORMULA. >
2. p R I M E R. pOKAVEM, ^TO ln(1 + x) =1Pn=1
(�1)n�1xnn (jxj < 1)
(SM. 36.6). sOGLASNO 36.2 NUVNO POKAZATX, ^TO rn(x) ! 0 (jxj < 1). iZ
INTEGRALXNOJ FORMY OSTATKA DLQ FUNKCII ln(1 + x) (jxj < 1) PRI a = 0:
jrn(x)j =�����Z x
0
(x� t)n�1
(1 + t)ndt
����� ������Z x
0
����x� t
1 + t
����n�1 dt
1 + t
����� :
99
zAME^AQ, ^TO jx� t1 + t j � jxj PRI jxj < 1, POLU^AEM
jrn(x)j � jxjn�1j ln(1 + x)j ! 0 (n!1):
3. u P R A V N E N I E. dOKAVITE RAWENSTWO 36.7.
x59. iNTEGRALXNYJ PRIZNAK SHODIMOSTI ^ISLOWOGO RQDA
1. pUSTX f(x) (x � 0) NE WOZRASTAET. rQD1Pj=1
f(j) SHODITSQ TTOGDA
FUNKCIQ F (x) =
Z x
0f(t) dt (x > 0) OGRANI^ENA.
� oTMETIM SNA^ALA, ^TO F (x) OPREDELENA DLQ L@BOGO x > 0 (SM. 48.2).
pUSTX1Pj=1
f(j) SHODITSQ. tOGDA SU]ESTWUETK > 0 TAKOE, ^TOnPj=1
f(j) � K
DLQ WSEH n. tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOGO x > 0
F (x) =
Z x
0f(t) dt �
Z [x]+1
0f(t) dt =
Z 1
0+
Z 2
1+ : : :+
Z [x]+1
[x]
� f(0) +[x]Pj=1
f(j) � f(0) +K:
oBRATNO, ESLI F (x) � K (x � 0), TO
nXj=1
f(j) =nXj=1
f(j)
Z j
j�1dt �
nXj=1
Z j
j�1f(t) dt =
Z n
0f(t) dt = F (n) � K: >
2. p R I M E R. rQD1Pn=1
1np
SHODITSQ, ESLI p > 1 I RASHODITSQ PRI p � 1.
fpRIMENITE P. 1 K f(t) =(1; ESLI 0 � t � 1,1tp; ESLI t > 1.
g
x60. gEOMETRI^ESKIE PRILOVENIQ
1. pLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. aKKURATNOE OPREDELENIE PLO-
]ADI PLOSKOJ FIGURY BUDET DANO W RAZDELE \mERA vORDANA". pOKA MY
OBRA]AEMSQ K GEOMETRI^ESKOJ INTUICII.
pUSTX f(x) (a � x � b) INTEGRIRUEMA PO rIMANU. w SOOTWETSTWII S
45.1 I OPREDELENIEM INTEGRALA rIMANA PLO]ADX FIGURY, ZAKL@^�ENNOJ
100
MEVDU WERTIKALXNYMI PRQMYMI x = a; x = b, OSX@ Ox I GRAFIKOM FUNK-
CII y = f(x) (a � x � b), RAWNA S =
Z b
af(x) dx. (pRI \TOM SLEDUET
IMETX W WIDU, ^TO NA U^ASTKE, GDE f(x) � 0, SOOTWETSTWU@]AQ PLO]ADX
POLU^AETSQ SO ZNAKOM MINUS.)
2. pLO]ADX PLOSKOJ FIGURY W POLQRNOJ SISTEME KOORDINAT. wSPOM-
NIM, ^TO PLO]ADX SEKTORA KRUGA RADIUSA r, SOOTWETSTWU@]EGO UGLU �,
RAWNA 12r2�. dLQ WY^ISLENIQ PLO]ADI FIGURY, OGRANI^ENNOJ KRIWOJ r =
r(�) (� � � � �) I LU^AMI � = �; � = �, RASSMOTRIM RAZLOVENIE
�(� = �0 < �1 < : : : < �n = �). pLO]ADX Sj ^ASTI FIGURY, OTWE^A@-
]EJ OTREZKU [�j�1; �j] IZMENENIQ PEREMENNOJ � (rIS. 14), UDOWLETWORQET
NERAWENSTWAM
[ inf[�j�1;�j]
1
2r2(�)](�j � �j�1) � Sj � [ sup
[�j�1;�j ]
1
2r2(�)](�j � �j�1):
sUMMIRUQ PO j, NAHODIM, ^TO PLO]ADX S ZAKL@^ENA MEVDU NIVNEJ I
WERHNEJ SUMMAMI dARBU FUNKCII 12r2(�). sLEDOWATELXNO, W PREDPOLOVE-
NII INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII r(�),
S =1
2
�Z�
r2(�) d�:
3. dLINA PLOSKOJ KRIWOJ. dLINOJ ` KRIWOJ � NAZYWAETSQ PREDEL DLIN
LOMANYH, WPISANNYH W KRIWU@, KOGDA NAIBOLX[EE RASSTOQNIE MEVDU SO-
SEDNIMI UZLAMI LOMANOJ STREMITSQ K 0. pUSTX � | GRAFIK NEPRERYWNOJ
KUSO^NO-GLADKOJ FUNKCII y = f(x) (a � x � b). kAVDAQ WPISANNAQ LO-
MANAQ HARAKTERIZUETSQ NEKOTORYM RAZLOVENIEM �(a = x0 < x1 < : : : <
xn = b), TAK ^TO DLINA j-GO ZWENA LOMANOJ RAWNA `j = [(xj � xj�1)2 +(f(xj)� f(xj�1)2]1=2 (SM. rIS 15). pOLOVIM
(1) (x) =q1 + f 0(x)2 (a � x � b):
|TA FUNKCIQ IMEET NA OTREZKE [a; b] NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA TO^EK RAZ-
RYWA. pO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA
`j = [1 + f 0(xj�1 + �(xj � xj�1))2]1=2(xj � xj�1)= (xj�1 + �(xj � xj�1))(xj � xj�1); 0 < � < 1:
101
sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA, POLU^AEM, ^TO DLINA LOMANOJ `� QWLQET-
SQ INTEGRALXNOJ SUMMOJ rIMANA FUNKCII , KOTORAQ W SILU SDELANNYH
PREDPOLOVENIJ INTEGRIRUEMA NA [a; b]. sLEDOWATELXNO, limd(�)!0
`� SU]EST-
WUET I
` = limd(�)!0
`� =
Z b
a
q1 + f 0(x)2 dx:
4. dLINA PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ. pUSTX KRIWAQ � W R3 ZADANA SIS-
TEMOJ URAWNENIJ x = x(t); y = y(t); z = z(t) (t 2 [a; b]). pREDPOLAGAQ
FUNKCII x(t); y(t); z(t) NEPRERYWNYMI KUSO^NO-GLADKIMI, MOVNO DOKA-
ZATX, ^TO DLINA KRIWOJ � RAWNA
(2) ` =
Z b
a[x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2]1=2 dt:
wYWOD \TOJ FORMULY W NASTOQ]IJ MOMENT BYL BY HLOPOTNYM DELOM, I
MY DADIM EGO POZDNEE (x83). ~ASTNYM SLU^AEM (2) QWLQETSQ FORMULA,
DOKAZANNAQ W P. 3 (W \TOM SLU^AE z = 0 I ROLX PARAMETRA t IGRAET PERE-
MENNAQ x).
5. pLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ. pUSTX f(x) (a � x � b) | NEPRE-
RYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ (DLQ OPREDEL�ENNOSTI PUSTX f(x) � 0).
nAJD�EM PLO]ADX � POWERHNOSTI, POLU^ENNOJ WRA]ENIEM GRAFIKA � FUNK-
CII f WOKRUG OSI Ox. pUSTX �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) | RAZLO-
VENIE [a; b]. zAMENIW � NA LOMANU@ S UZLAMI W TO^KAH (xj; f(xj)), MY
APPROKSIMIRUEM ISKOMU@ PLO]ADX PLO]ADX@ POWERHNOSTI, WOZNIKA@-
]EJ PRI WRA]ENII LOMANOJ. ~ASTX POWERHNOSTI WRA]ENIQ LOMANOJ, ZA-
KL@^�ENNOJ MEVDU UZLAMI (xj�1; f(xj�1)); (xj; f(xj)), ESTX BOKOWAQ POWERH-NOSTX USE^�ENNOGO KONUSA (rIS. 16), I E�E PLO]ADX
�j = �(f(xj) + f(xj�1)) [(xj � xj�1)2 + (f(xj)� f(xj�1))2]1=2
= �(f(xj) + f(xj�1)) [1 + f 0(�j)2]1=2
(xj � xj�1); �j 2 [xj�1; xj]:
oTS@DA ISKOMAQ PLO]ADX (S U^�ETOM OBOZNA^ENIQ (1))
� = limd(�)!0
nPj=1
�j = limd(�)!0
�nPj=1
(f(xj) + f(xj�1)) (�j)(xj � xj�1),
�j 2 [xj�1; xj].
102
pREDSTAWIMnPj=1
�j W WIDEP0+
P00, GDE
P0 = 2�nPj=1
f(�j) (�j)(xj � xj�1);
P00 = �nPj=1
[(f(xj)� f(�j))� (f(�j) � f(xj�1))] (�j)(xj � xj�1):
sUMMAP0 ESTX INTEGRALXNAQ SUMMA rIMANA FUNKCII 2�f(x) (x). pO\TO-
MU limd(�)!0
P0 = 2�
Z b
af(x) [1 + f 0(x)2]1=2 dx. pUSTX DALEE " > 0 PROIZWOLX-
NO. w SILU RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI f(x) SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO
jx� yj < � ) jf(x)� f(y)j < " (x; y 2 [a; b]). tEPERX PRI d(�) < � IMEEM
jP00 j = �nPj=1
[jf(xj)� f(�j)j+ jf(�j)� f(xj�1)j] (�j)(xj � xj�1)
� 2�"KnPj=1
(xj � xj�1) � 2�"K(b� a);
GDE K = supx2[a;b]
(x). |TO OZNA^AET, ^TO limd(�)!0
P00 = 0, I
� = 2�
Z b
af(x)
q1 + f 0(x)2 dx:
6. u P R A V N E N I E. oB_�EM TELA WRA]ENIQ KRIWOLINEJNOJ TRAPECII
(WWED�ENNOJ W 45.1) WOKRUG OSI Ox RAWEN v = �
Z b
af2(x) dx.
x61. lOGARIFMI^ESKAQ I POKAZATELXNAQ FUNKCII(NOWYJ WZGLQD)
1. sEJ^AS RAZRE[AETSQ ZABYTX WS�E, ^TO WY ZNAETE O LOGARIFMI^ESKOJ
I POKAZATELXNOJ FUNKCIQH. pOLOVIM
(�) '(x) �Z x
1
dt
t(x > 0):
oTMETIM SLEDU@]IE SWOJSTWA \TOJ FUNKCII:
(A) ' NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET,
(B) '(xy) = '(x) + '(y) (x; y > 0),
103
(W) '(1) = 0; limx!+1'(x) = +1; lim
x!0+'(x) = �1.
� sOGLASNO 51.2 ' DIFFERENCIRUEMA I POTOMU NEPRERYWNA. oNA STROGO
WOZRASTAET, TAK KAK '0(x) = 1x > 0; (B) SLEDUET IZ WYKLADKI
'(xy) =Z xy
1
dtt =
Z x
1
dtt +
Z xy
x
dtt =
Z x
1
dtt +
Z y
1
dss
= '(x) + '(y):
(POSLE 2-GO RAWENSTWA SDELANA PODSTANOWKA t = xs). nAKONEC,
x > 2n ) '(x) > '(2n) = n'(2)) limx!+1'(x) = +1;
0 = '(1) = '(x � 1x) = '(x) + '( 1x)) '( 1x) = �'(x);OTKUDA lim
x!0+'(x) = �1.
2. fUNKCI@ '(x) (x > 0) (SM. (�)) NAZOW�EM LOGARIFMI^ESKOJ PO OSNO-
WANI@ e (OBOZNA^AETSQ ln x). lOGARIFMI^ESKU@ FUNKCI@ PO OSNOWANI@
a > 0 OPREDELIM RAWENSTWOM
loga x �ln x
ln a(x > 0):
pRI a > 1 FUNKCIQ loga x OBLADAET SWOJSTWAMI (A){(W); PRI a < 1 FUNKCIQ
loga x STROGO UBYWAET I
limx!+1 loga x = �1; lim
x!0+loga x = +1:
tAK KAK (loga x)00 = � 1
ln a � x2 , FUNKCIQ loga x WOGNUTA PRI a > 1 I WYPUK-
LA PRI a < 1.
3. fUNKCI@, OBRATNU@ K LOGARIFMI^ESKOJ loga x (x > 0), NAZOW�EM
POKAZATELXNOJ FUNKCIEJ (OBOZNA^AETSQ ax (x 2 R)). w SILU 26.1 POKAZA-
TELXNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA I STROGO MONOTONNA (ONA STROGO WOZRASTAET
PRI a > 1 I STROGO UBYWAET PRI a < 1). pRI \TOM ax+y = ax � ay. f |TOSLEDUET IZ WYKLADKI loga(a
x �ay) = loga ax+loga a
y = x+y = loga ax+y: >g
4. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO DLQ NATURALXNOGO n WELI-
^INA a1=n, WY^ISLENNAQ W SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM P. 3 SOWPADAET S
ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-J STEPENI ^ISLA a.
104
otobraveniq w ewklidowyhprostranstwah
x62. wEKTORNYE PROSTRANSTWA1. nAPOMNIM IZWESTNOE IZ KURSA ALGEBRY OPREDELENIE: WEKTORNYM
PROSTRANSTWOM NAD POLEM � (= C ILI R) NAZYWAETSQ ABELEWA GRUPPA X
W ADDITIWNOJ ZAPISI, DLQ KOTOROJ ZADANO OTOBRAVENIE � �X ! X, ZA-
PISYWAEMOE W MULXTIPLIKATIWNOJ FORME, PRI^�EM UDOWLETWORQ@TSQ TRE-
BOWANIQ:
�(x+ y) = �x + �y; �(�x) = (��)x,
(�+ �)x = �x+ �x, 1 � x = x (x; y 2 X;�; � 2 �).
|LEMENTY IZ X NAZYWA@TSQ WEKTORAMI. eDINICU ADDITIWNOJ GRUPPY
BUDEM OBOZNATX ^EREZ � | \TO NULX WEKTORNOGO PROSTRANSTWA.
2. rAWENSTWO �x = � WYPOLNQETSQ TTOGDA � = 0 ILI x = �.
� uTWERVDENIE QWLQETSQ SLEDSTWIEM IMPLIKACIJ:� = 0) 0 � x = (0 + 0)x = 0x+ 0x) 0x = �;
�x = � (� 6= 0)) x = 1�(�x) = 1
�� = �: >
3. wEKTORNOE PROSTRANSTWO X IMEET PO OPREDELENI@ RAZMERNOSTX n,
ESLI ONO OBLADAET BAZISOM fe1; : : : eng � X, TO ESTX KAVDYJ \LEMENT
x 2 X DOPUSKAET EDINSTWENNOE PREDSTAWLENIE WIDA x = �1e1 + : : :+ �nen(�i 2 �).
4. p R I M E R. pUSTXMn�m | MNOVESTWO n�m-MATRIC NAD POLEM �:
[aji ] =
26664a11 : : : an1a21 : : : an2: : : : : : : : :
a1m : : : anm
37775 (a
ji 2 �):
oBY^NYE OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA SKALQRY [aji ] + [b
ji ] �
[aji + bji ]; �[aji ] � [�aji ] OPREDELQ@T W Mn�m STRUKTURU WEKTORNOGO PRO-
STRANSTWA. nULEWOJ \LEMENT| \TO n�m-MATRICA, WSE \LEMENTY KOTOROJ
105
RAWNY 0. rAZMERNOSTX PROSTRANSTWA Mn�m RAWNA n �m; BAZISOM QWLQETSQ,
NAPRIMER, SISTEMA MATRIC Eij (1 � j � n; 1 � i � m): U MATRICY EijNA PERESE^ENII j-GO STOLBCA I i-J STROKI STOIT 1, A OSTALXNYE \LEMENTY
RAWNY 0.
5. rASSMOTRIM MNOVESTWO C n, \LEMENTY KOTOROGO | UPORQDO^ENNYE
NABORY n KOMPLEKSNYH ^ISEL x = (x1; : : : ; xn); xj 2 C . |TO MNOVESTWO |KONE^NOMERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO S WEKTORNYMI OPERACIQMI
x+ y � (x1 + y1; : : : ; xn + yn); �x � (�x1; : : : ; �xn); � 2 C :tAKIM OBRAZOM, C n ESTX PROSTRANSTWO Mn�1 NAD C .
nAPOMNIM IZWESTNOE IZ ALGEBRY OPREDELENIE: SKALQRNYM PROIZWEDE-
NIEM WEKTOROW u = (u1; : : : ; un); v = (v1; : : : ; vn) NAZYWAETSQ ^ISLO hu; vi �nPj=1
ujvj. wEKTORY u I v NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI hu; vi = 0: eW-
KLIDOWOJ NORMOJ WEKTORA x = (x1; : : : ; xn) 2 C n NAZYWAETSQ ^ISLO
(�) kxk = [nXj=1
jxjj2]1=2 (=qhx; xi):
nETRUDNO WIDETX, ^TO NORMA (�) OBLADAET SWOJSTWAMI:(I) kxk = 0) x = � ,
(II) k�xk = j�j kxk (� 2 C ),(III) kx+ yk � kxk+ kyk.fsWOJSTWO (III) | NE ^TO INOE, KAK NERAWENSTWO {WARCA 41.2.g
aNALOGI^NO WWODITSQ WEKTORNOE PROSTRANSTWO Rn NAD POLEM R. pOD
KOMPLEKSNYM (SOOTWETSTWENNO WE]ESTWENNYM) n-MERNYM EWKLIDOWYM
PROSTRANSTWOM W DALXNEJ[EM BUDET PONIMATXSQ PROSTRANSTWO C n (SOOT-
WETSTWENNO Rn), SNABV�ENNOE NORMOJ (�). eSLI W NEKOTOROM UTWERVDENII
POJD�ET RE^X OB EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE BEZ UKAZANIQ POLQ SKALQROW, TO
\TO ZNA^IT, ^TO UTWERVDENIE OTNOSITSQ K OBOIM SLU^AQM (C I R).
z A M E ^ A N I Q. 6. sU]ESTWU@T I DRUGIE FUNKCII, OBLADA@]IE
SWOJSTWAMI (I){(III). nAPRIMER, kxk = max1�j�n
jxjj. wSE TAKIE FUNKCII TAK-VE NAZYWA@TSQ NORMAMI.
106
7. mNOVESTWO C (KAK I MNOVESTWO R) WYSTUPAET TEPERX W DWUH IPO-
STASQH: KAK ODNOMERNOE KOMPLEKSNOE (SOOTWETSTWENNO WE]ESTWENNOE) EW-
KLIDOWO PROSTRANSTWO C 1 (SOOTWETSTWENNO R1) I KAK POLE.
8. p R I M E R. w WEKTORNOM PROSTRANSTWE Mn�m ESTESTWENNO WWODIT-
SQ STRUKTURA EWKLIDOWA PROSTRANSTWA PUT�EM ZADANIQ EWKLIDOWOJ NORMY
k [aji ] k = [Pi;jjaji j2]1=2.
9. u P R A V N E N I E. pUSTX x; y1; : : : ; ym 2 Cn; m < n. pREDSTAW-
LENIE x =mPi=1
�iyi (�i 2 C ) IMEET MESTO TTOGDA IZ RAWENSTW hz; yii = 0
(i = 1; : : : ;m) SLEDUET hz; xi = 0:
x63. tOPOLOGIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA1. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO; "-OKRESTNOSTX@ TO^KI
x0 2 E NAZYWAETSQ [AR RADIUSA " > 0 S CENTROM W x0:
B"(x0) � fx 2 E : kx� x0k < "g:mNOVESTWO � E NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI KAVDAQ TO^KA IZ
SODERVITSQ W S NEKOTOROJ SWOEJ OKRESTNOSTX@, TO ESTX
8x 2 9" > 0 (B"(x) � ):
mNOVESTWOX � E NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI EnX OTKRYTO. oTMETIM
SLEDU@]IE WAVNYE SWOJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW:
2. eSLI (i)i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW, TOSi2I
i OTKRYTO W E.
3. eSLI 1; : : : ;k OTKRYTY W E, TOkTi=1
i OTKRYTO.
4. tO^KA x0 NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA � E, ES-
LI 8" > 0 ( �B"(x0) \ 6= ;) (PO-PREVNEMU �B"(x0) � B"(x0)nfx0g |
�-OKRESTNOSTX TO^KI x0).
tO^KA x0 2 NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ MNOVESTWA , ESLI
9" > 0 (B"(x0) \ = fx0g).mNOVESTWO NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI � BN (�) PpI NEKO-
TOpOM N > 0. oTMETIM POLEZNOE USLOWIE ZAMKNUTOSTI MNOVESTWA.
107
5. mNOVESTWO (� E) ZAMKNUTO TTOGDA ONO SODERVIT WSE SWOI
PREDELXNYE TO^KI.
� pUSTX ZAMKNUTO I x0 62 . tOGDA En OTKRYTO I SU]ESTWUET
" > 0 TAKOE, ^TO B"(x0) � En, NO TOGDA x0 NE QWLQETSQ PREDELXNOJ
DLQ . oBRATNO, PUSTX SODERVIT WSE SWOI PREDELXNYE TO^KI I x0 62 .
tOGDA (TAK KAK x0 | NE PREDELXNAQ DLQ ) SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO
B"(x0) \ = ;, TO ESTX B"(x0) � En. iTAK, En OTKRYTO. >
6. iZ TEHNI^ESKIH SOOBRAVENIJ BYWAET UDOBNO K EWKLIDOWU PROSTRAN-
STWU E DOBAWLQTX NESOBSTWENNU@ TO^KU 1: �-OKRESTNOSTX@ TO^KI 1 NA-
ZOW�EM MNOVESTWO WIDA fx 2 E : kxk > Ng. zA OTSUTSTWIEM PORQDKOWYH
SWOJSTW W OBY^NOM IH PONIMANII (SM. 6.1) W PROSTRANSTWAH Rn (n > 1)
I C n (n � 1) NESOBSTWENNYE \LEMENTY TIPA �1 NE WWODQTSQ. w SLU^AE
C1 PRISOEDINENIE NESOBSTWENNOGO \LEMENTA1 DOPUSKAET GEOMETRI^ESKU@
INTERPRETACI@ (STEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ).
u P R A V N E N I Q. 7. zAMKNUTYE MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRAN-
STWE OBLADA@T SWOJSTWAMI:
(A) ESLI (Xi)i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW W E,
TOTi2IXi ZAMKNUTO W E,
(B) ESLI X1; : : : ;Xk ZAMKNUTY W E, TOkSi=1
Xi ZAMKNUTO.
8. pOKAVITE, ^TO MNOVESTWO B"[x] � fy 2 E : kx� yk � "g ZAMKNUTOW E.
x64. kOMPAKTNYE MNOVESTWA1. sEMEJSTWO (Ui)i2I ^ASTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ
POKRYTIEM MNOVESTWA X � E, ESLI X � Si2IUi. w ^ASTNOSTI, POKRYTIE
NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI WSE Ui OTKRYTY.
mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM,
ESLI IZ WSQKOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ \TOGO MNOVESTWA MOVNO WYBRATX
KONE^NOE POKRYTIE.
2. t E O R E M A. mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE KOM-
PAKTNO TTOGDA ONO OGRANI^ENO I ZAMKNUTO.
� nEOBHODIMOSTX. pUSTX K KOMPAKTNO I fB1(x)gx2K | POKRYTIE K
OTKRYTYMI [ARAMI RADIUSA 1 S CENTRAMI W TO^KAH MNOVESTWA K. pO
108
OPREDELENI@ KOMPAKTNOSTI SU]ESTWUET KONE^NOE ^ISLO [AROW B1(x1),: : :,
B1(xn) (xi 2 K) TAKIH, ^TO K � nSi=1
B1(xi).oTS@DAK � BN+1(�), GDE N =
max1�i�n
kxik, TO ESTX K OGRANI^ENO. eSLI DOPUSTITX, ^TO K NE ZAMKNUTO,
TO (SM. 63.5) NAJD�ETSQ TO^KA x 62 K PREDELXNAQ DLQ K. tOGDA fxg =1Tn=1
B1=n[x], GDE (B1=n[x])n2N| POSLEDOWATELXNOSTX ZAMKNUTYH [AROW (SM.
63.8). sLEDOWATELXNO, SEMEJSTWO (Un)n2N, GDE Un = EnB1=n[x], OBRAZUET
OTKRYTOE POKRYTIE K, PRI^�EM U1 � U2 � : : : . w SILU KOMPAKTNOSTI K
SU]ESTWUET n0 2 N TAKOE, ^TO Un0 � K, NO TOGDA B1=n0[x] \ K = ;, ^TOPROTIWORE^IT TOMU, ^TO x | PREDELXNAQ TO^KA DLQ K.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI E = Rn I
� = fx = (x1; : : : ; xn) 2 Rn j �N � xj � N (1 � j � n)g
| ZAMKNUTYJ GIPERKUB, OB_EML@]IJ K : � � K. dOPUSTIM, NAPROTIW,
^TO SU]ESTWUET OTKRYTOE POKRYTIE (Ui)i2I, NE SODERVA]EE NIKAKOGO KO-NE^NOGO POKRYTIQ DLQ K. rAZOBX�EM KUB � NA 2n KONGRU\NTNYH KUBOW
�1j (1 � j � 2n). sREDI NIH OBNARUVITSQ PO KRAJNEJ MERE ODIN, SKA-
VEM �1j1, TAKOJ, ^TO �1
j1\ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSIS-
TEMOJ IZ SISTEMY (Ui)i2I . rAZOBX�EM TEPERX �1j1NA 2n KONGRU\NTNYH KUBA
�2j (1 � j � 2n), I SNOWA SREDI NIH OBNARUVITSQ HOTQ BY ODIN, NAPRIMER
�2j2, TAKOJ, ^TO �2
j2\ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ
SISTEMY (Ui)i2I . pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX
�1j1� �2
j2� : : : WLOVENNYH KUBOW, DLINY R�EBER KOTORYH STREMQTSQ K
NUL@, PRI^�EM �sjs\K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ IZ
SISTEMY (Ui)i2I. pROEKCII \TIH KUBOW NA KOORDINATNYE OSI OPREDELQ@TNA NIH SISTEMY WLOVENNYH OTREZKOW S DLINAMI, STREMQ]IMISQ K NUL@.
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET x0 21Ts=1
�sjs. pRI \TOM x0 62 K. (eSLI, NA-
PROTIW, x0 2 K, TO SU]ESTWUET i0 2 I TAKOE, ^TO x0 2 Ui0. tAK KAK Ui0OTKRYTO, SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B"(x0) � Ui0 . s DRUGOJ STORO-
NY, DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH s : �sjs� B"(x0) I ZNA^IT, K \ �s
js� Ui0,
^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO �sjs\ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ
SISTEMOJ MNOVESTW WIDA Ui (i 2 I) | PROTIWORE^IE). iZ KONSTRUKCII
KUBOW �sjsSLEDUET ODNAKO, ^TO x0 | PREDELXNAQ TO^KA K, I x0 2 K W SILU
ZAMKNUTOSTI K | PROTIWORE^IE. >
109
w KA^ESTWE SLEDSTWIQ POLU^IM TEOREMU wEJER[TRASSA DLQ EWKLIDOWA
PROSTRANSTWA.
3. oGRANI^ENNOE BESKONE^NOE MNOVESTWO W EWKLIDOWOM PROSTRANST-
WE OBLADAET PO KRAJNEJ MERE ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.
� eSLI, NAPROTIW, MNOVESTWO X W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, NE OBLA-
DAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ, TO ONO ZAMKNUTO (SM. 63.5) I SOSTOIT
LI[X IZ IZOLIROWANNYH TO^EK. w SILU P. 2 MNOVESTWO X (OGRANI^ENNOE
I ZAMKNUTOE) KOMPAKTNO. pOKRYW X OTKRYTYMI [ARAMI TAK, ^TOBY W
KAVDOM LEVALO PO ODNOJ TO^KE IZ X, POLU^AEM, ^TO X KONE^NO. >
4. u P R A V N E N I E. pUSTX K1 � K2 � : : : | POSLEDOWATELX-
NOSTX NEPUSTYH KOMPAKTNYH MNOVESTW W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. tOG-
DA1Tn=1
Kn 6= ;.
x65. oTOBRAVENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTI
1. pREDMETOM NA[EGO WNIMANIQ BUDUT FUNKCII f : ! F , GDE |
^ASTX EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E, A F | DRUGOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO.
oTMETIM WAVNYE SPECIALXNYE SLU^AI.
(A) eSLI E | n-MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, TO f : ! R (SOOT-
WETSTWENNO f : ! C ) NAZYWAETSQ WE]ESTWENNOJ (SOOTWETSTWENNO KOMP-
LEKSNOJ) FUNKCIEJ n PEREMENNYH. e�E ZNA^ENIE NA WEKTORE x = (x1; : : : ; xn)
ZAPISYWAETSQ W WIDE f(x1; : : : ; xn).
(B) w ^ASTNOSTI, FUNKCIQ f : ! C ( � C ) NAZYWAETSQ FUNKCIEJ
KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ.
(W) oTOBRAVENIQ WIDA f : ! F , GDE � R (ILI � C ), A F |
EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, NAZYWA@TSQ WEKTOR-FUNKCIQMI.
(G) w ^ASTNOSTI, WEKTOR-FUNKCIQ x(�) : N! F NAZYWAETSQ WEKTORNOJ
POSLEDOWATELXNOSTX@ (W PROSTRANSTWE F ). oBOZNA^AETSQ (xk).
2. pUSTX (xk) | POSLEDOWATELXNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. wEK-
TOR x0 NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xk), ESLI
8" > 0 9N 2 N 8k > N (kxk � x0k < "):
tAK VE KAK I W SKALQRNOM SLU^AE USTANAWLIWAETSQ, ^TO PREDEL POSLEDO-
WATELXNOSTI EDINSTWEN, ESLI ON SU]ESTWUET (!!).
110
3. pOSLEDOWATELXNOSTX (xk) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI SU]EST-
WUET M > 0 TAKOE, ^TO kxkk � M (k 2 N). oTMETIM NEPOSREDSTWENNOE
SLEDSTWIE TEOREMY 64.3.
4. wSQKAQ OGRANI^ENNAQ WEKTORNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET
SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
dLQ WEKTORNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET MESTO KRITERIJ kO[I:
5. pOSLEDOWATELXNOSTX (xk) W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE SHODITSQ
TTOGDA ONA FUNDAMENTALXNA, TO ESTX
8" > 0 9N 8n;m > N (kxn � xmk < "):
� nEOBHODIMOSTX PO^TI O^EWIDNA (SM. DOKAZATELXSTWO NEOBHODIMOSTI W
11.7). dOSTATO^NOSTX: KAK I W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 11.7), WYWODIM,^TO
IZ FUNDAMENTALXNOSTI SLEDUET OGRANI^ENNOSTX (xk); W SILU P. 4 (xk)
OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@. sLEDOWATELXNO, (xk) SHO-
DITSQ K TOMU VE WEKTORU, ^TO I SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. >
x66. pREDEL FUNKCII W TO^KE
1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, f : ! F ( � E).
wEKTOR y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a 2 E, ESLI a |
PREDELXNAQ TO^KA I DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xk) (a 6= xk 2 ),
SHODQ]EJSQ K a, POSLEDOWATELXNOSTX f(xk) SHODITSQ K y. oBOZNA^ENIE DLQ
PREDELA TRADICIONNOE: y = limx!a
f(x). oTMETIM KWANTORNYE ZAPISI \TOGO
RAWENSTWA:
8" > 0 9� > 0 8x 2 (0 < kx� ak < �) kf(x)� yk < "),
8" > 0 9� > 0 8x 2 \ �B�(a) (f(x) 2 B"(y)).
oTMETIM WIDOIZMENENIQ DANNOGO OPREDELENIQ NA NESOBSTWENNYE SLU-
^AI:
2. limx!a
f(x) =1 OZNA^AET, ^TO a | PREDELXNAQ TO^KA I
8N > 0 9� > 0 8x 2 (0 < kx� ak < � ) kf(x)k > N):
3. limx!1 f(x) = y OZNA^AET, ^TO NE OGRANI^ENO I f(xk) ! y, KOLX
SKORO xk !1 (xk 2 ).
111
z A M E ^ A N I Q. 4. pOLEZNO OTMETITX SLU^AJ WEKTOR-FUNKCIJ. pUSTX
f(t) = (f1(t); : : : ; fn(t)) 2 Rn; t 2 � R. wEKTOR y = (y1; : : : ; yn) 2 Rn |
PREDEL WEKTOR-FUNKCII f W TO^KE t0 TTOGDA limt!t0
fk(t) = yk (k = 1; : : : ; n)
W SMYSLE OBY^NYH SKALQRNYH FUNKCIJ (!!). dLQ WEKTOR-FUNKCIJ WIDA
f : ! F ( � R) OSMYSLENO TAKVE PONQTIE ODNOSTORONNIH PREDELOW:
limt!t0+
f(t); limt!t0�
f(t).
5. bOLEE OB]IM OBRAZOM, IZU^ENIE OTOBRAVENIJ IZ ODNOGO EWKLIDO-
WA PROSTRANSTWA W DRUGOE S POZICIJ NEPRERYWNOSTI, PREDELA I T. P.
SWODITSQ K IZU^ENI@ S \TIH VE POZICIJ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH
(65.1(A)). dEJSTWITELXNO, PUSTX f : ! F ( � E) I (ej)1�j�n; (gi)1�i�m| STANDARTNYE BAZISY W PROSTRANSTWAH E I F SOOTWETSTWENNO. rAZLO-
VIM WEKTOR f(x) = f(x1; : : : ; xn) 2 F PO BAZISU (gi) : f(x1; : : : ; xn) =mPi=1
f i(x1; : : : ; xn)gi, GDE fi : ! � (1 � i � m) | NEKOTORYE FUNK-
CII n PEREMENNYH. tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENIE f ZADA�ETSQ SISTEMOJ m
FUNKCIJ f1; : : : ; fm n PEREMENNYH. pRI \TOM y = (y1; : : : ; ym) = limx!a
f(x)
TTOGDA yi = limx!a
f i(x1; : : : ; xn)(1 � i � m).
x67. sWOJSTWA PREDELA1. pUSTX f : ! F; g : ! F; � E I a | PREDELXNAQ TO^KA .
eSLI SU]ESTWU@T PREDELY limx!a
f(x); limx!a
g(x), TO SU]ESTWU@T PREDELY
limx!a
[f(x)� g(x)], PRI^�EM
limx!a
[f(x)� g(x)] = limx!a
f(x)� limx!a
g(x):
2. eSLI, limx!a
f(x) = y 6= �, TO SU]ESTWU@T "; � > 0 TAKIE, ^TO
kf(x)k > " DLQ L@BOGO y 2 �B�(a) \ .
3. [kRITERIJ kO[I]. oTOBRAVENIE f OBLADAET PREDELOM W TO^KE a
TTOGDA
(�) 8" > 0 9� > 0 8x; z 2 �B�(a) \ (kf(x)� f(z)k < ")
. � dOKAZATELXSTWA ANALOGI^NY SKALQRNOMU SLU^A@. dOKAVEM, NAPRI-
MER, DOSTATO^NOSTX W P. 3. pUSTX WYPOLNENO (�) I xk ! a (a 6= xk 2 ).
tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (f(xk)) FUNDAMENTALXNA I OBLADAET NEKOTO-
RYM PREDELOM y (SM. 65.5). aNALOGI^NO SKALQRNOMU SLU^A@ POLU^AEM,
112
^TO f(zk) ! y DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI (zk) � (zk 6= a), SHODQ-
]EJSQ K a (!!).>
4. z A M E ^ A N I E. dLQ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH P. 1 MOVNO DOPOL-
NITX DRUGIMI ARIFMETI^ESKIMI SWOJSTWAMI: ESLI OPREDELENY limx!a
f(x) I
limx!a
g(x), TO
limx!a
f(x)g(x) = limx!a
f(x) � limx!a
g(x);
limx!a
f(x)
g(x)=
limx!a
f(x)
limx!a
g(x)(limx!a
g(x) 6= 0):
x68. pREDEL PO NAPRAWLENI@1. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, a 2 E | FIKSIROWANNYJ
WEKTOR I kyk = 1; y 2 E. mNOVESTWO `(a; y) = fa + ty j t � 0g NAZOW�EMLU^OM, WYHODQ]IM IZ a W NAPRAWLENII y. pUSTX TEPERX � E; f : ! F
I a| PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA `(a; y)\.oBOZNA^IM ^EREZ f` WEKTOR-FUNKCI@, ZADANNU@ NA ` � ft � 0 j a+ty 2 g FORMULOJ f`(t) = f(a+ty).
wEKTOR z 2 F NAZOW�EM PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a PO NAPRAWLENI@ y,
ESLI z = limt!0+
f`(t). w \TOM SLU^AE PI[EM TAKVE z = limx!a(y)
f(x).
2. z A M E ^ A N I E. eSLI z = limx!a
f(x), TO z = limx!a(y)
f(x) PO L@BOMU NA-
PRAWLENI@ y, DLQ KOTOROGO ON OPREDEL�EN.oBRATNOE UTWERVDENIE NEWERNO:
MOVET SU]ESTWOWATX ODIN I TOT VE PREDEL PO L@BOMU NAPRAWLENI@, NO
PREDELA MOVET NE BYTX.
3. p R I M E R. w PLOSKOSTI (x1; x2) RASSMOTRIM SPIRALX r = '
(0 < ' � 2�) I OPREDELIM f : R2nf�g ! R W SOOTWETSTWII S rIS. 17:
f(x) =
8<:'� kxk
' ; ESLI kxk < ',
0; ESLI kxk � '.
tOGDA limx!�
f(x) NE SU]ESTWUET, NO limx!�(y)
f(x) = 1; 8y 6= �.
x69. lOKALXNYE SWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ1. fUNKCIQ f : ! F ( � E) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE
a 2 , ESLI
(�) 8" > 0 9� > 0 8x 2 (kx� ak < � ) kf(x)� f(a)k < "):
113
eSLI a 2 | PREDELXNAQ TO^KA , TO USLOWIE (�) \KWIWALENTNO USLOWI@limx!a
f(x) = f(a).
dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE, SPRAWEDLIWY ARIFMETI^ESKIE
SWOJSTWA:
2. pUSTX f; g : ! F ( � E) NEPRERYWNY W a 2 . tOGDA W a
NEPRERYWNY FUNKCII f � g.
dLQ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH f : ! C ( � E) OPREDELENY
PROIZWEDENIE I ^ASTNOE (f � g; f=g). oBE \TI FUNKCII NEPRERYWNY W TO^-
KE a 2 , KOLX SKORO W a NEPRERYWNY f I g (DLQ ^ASTNOGO NUVNO E]�E
POTREBOWATX, ^TOBY g(a) 6= 0).
3. eSLI f : ! R ( � E) NEPRERYWNA W TO^KE a 2 I f(a) 6= 0, TO
f(x) SOHRANQET ZNAK ^ISLA f(a) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.
� p. 2,3 SLEDU@T IZ SOOTWETSTWU@]IH SWOJSTW PREDELOW.>4. pUSTX f : ! F ( � E); g : D ! G (D � F ) (E; F; G |
EWKLIDOWY PROSTRANSTWA), PRI^�EM f NEPRERYWNA W a 2 ; g NEPRERYWNA
W TO^KE f(a). tOGDA g � f NEPRERYWNA W a.� bUDEM S^ITATX, ^TO a | PREDELXNAQ TO^KA, A f(a) | PREDELXNAQ TO^-
KA D (IBO L@BAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA W IZOLIROWANNOJ TO^KE E�E OBLAS-
TI OPREDELENIQ). tOGDA limx!a
f(x) = f(a) I, SLEDOWATELXNO, limx!a
g � f(x) =limx!a
g(f(x)) = g(f(a)) = g � f(a): >5. fUNKCIQ f : ! F ( � E) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ, ESLI ONA
NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE x 2 . fUNKCIQ f NAZYWAETSQ RAWNOMERNO
NEPRERYWNOJ, ESLI
8" > 0 9� > 0 8x; y 2 (kx� yk < �) kf(x)� f(y)k < "):
p R I M E R Y. 6. pUSTX WEKTOR b IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA F FIK-
SIROWAN. pOSTOQNNAQ FUNKCIQ f(x) = b (x 2 E) NEPRERYWNA.7. fUNKCIQ f(x1; : : : ; xn) = x1 ((x1; : : : ; xn) 2 C
n), RAWNOMERNO NEPRE-
RYWNA.
8. eWKLIDOWA NORMA WEKTORA KAK FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA
W R NEPRERYWNA (DAVE RAWNOMERNO NEPRERYWNA).
9. u P R A V N E N I E. wSQKAQ NORMA (NE OBQZATELXNO EWKLIDOWA) KAK
FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA W R NEPRERYWNA.
114
x70. sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYHMNOVESTWAH
1. pUSTX E; F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, K(� E) | KOMPAKTNOE
MNOVESTWO I f : K ! F NEPRERYWNA. tOGDA f OGRANI^ENA I RAWNOMERNO
NEPRERYWNA.
� pUSTX, NAPROTIW, f NE RAWNOMERNO NEPRERYWNA. tOGDA9" > 0 8m 2 N 9xm; ym 2 K (kxm � ymk < 1=m;
kf(xm)� f(ym)k � ").
w SILU 65.4 POSLEDOWATELXNOSTX (xm) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDO-
WATELXNOSTX@ xmk! a 2 K. nO TOGDA ymk
! a. tAK KAK f NEPRERYWNA W
TO^KE a; limkkf(xmk
) � f(ymk)k = 0, ^TO, ODNAKO, PROTIWORE^IT NERAWEN-
STWU kf(xmk)� f(ymk
)k � " (k 2 N).pOKAVEM OGRANI^ENNOSTX f . w SILU RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI f
SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO kx � yk < � ) kf(x) � f(y)k < 1 (x; y 2K). sISTEMA [AROW fB�(x)gx2K OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE K. pUSTX
fB�(x1); : : : ; B�(xn)g | KONE^NOE POKRYTIE K (xi 2 K). pOLAGAQ M =
1 + max1�k�n
kf(xk)k, MY POLU^AEM TREBUEMOE .>
nA FUNKCII WIDA f : K ! R (K | KOMPAKTNOE MNOVESTWO W E) OBOB-
]A@TSQ I OSTALXNYE SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE.
2. pUSTX K(� E) KOMPAKTNOE MNOVESTWO, I f : K ! R NEPRERYWNA.
tOGDA f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ.
� pUSTX, NAPRIMER, � = supx2K
f(x) I xm 2 K TAKOWY, ^TO
� � 1
m< f(xm) � � (m 2 N):
pOSLEDOWATELXNOSTX (xm) OGRANI^ENA. pUSTX (xmk) | SHODQ]AQSQ POD-
POSLEDOWATELXNOSTX: xmk! a 2 K. tAK KAK f NEPRERYWNA W a, IMEEM
f(a) = limkf(xmk
) = �: >
pEREHODIM K ANALOGU TEOREMY O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH.
3. ~ASTX EWKLIDOWA PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNOJ, ES-
LI DLQ L@BYH TO^EK x; y 2 NAJD<TSQ NEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ
' : [0; 1]! TAKAQ, ^TO '(0) = x; '(1) = y.
115
4. pUSTX f : K ! R| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA KOMPAKTNOM LINEJNO
SWQZNOM MNOVESTWE K, � = supx2K
f(x); � = infx2K
f(x) I � < < �. tOGDA
SU]ESTWUET y 2 K TAKOE, ^TO f(y) = .
� w SILU P. 2 SU]ESTWU@T x0; x1 2 K TAKIE, ^TO f(x0) = �; f(x1) = �.
pUSTX ' : [0; 1] ! K | NEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ TAKAQ, ^TO '(0) =
x0; '(1) = x1. tOGDA g � f � ' | NEPRERYWNAQ WE]ESTWENNAQ FUNKCIQ,
ZADANNAQ NA OTREZKE [0,1], PRI^�EM g(0) = �; g(1) = �. w SILU 24.2(G)
SU]ESTWUET t 2 [0; 1] TAKOE, ^TO g(t) = . tOGDA TO^KA y = '(t) ISKOMAQ.
>
116
linejnye otobraveniq
x71. oPREDELENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ
1. lINEJNYE OTOBRAVENIQ IGRA@T KL@^EWU@ ROLX PRI IZU^ENII OTO-
BRAVENIJ PROSTRANSTW RAZMERNOSTEJ > 1. dLQ FUNKCIJ ODNOGO PEREMEN-
NOGO IH ROLX TAKVE WELIKA (WSPOMNIM KASATELXNOE OTOBRAVENIE!), HOTQ
\TO OBSTOQTELXSTWO ZA PROSTOTOJ SITUACII NESKOLXKO ZAWUALIROWANO.
pUSTX X I Y | WEKTORNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM �. oTOBRAVENIE
A : X ! Y NAZYWAETSQ LINEJNYM, ESLI
A(x+ y) = Ax+Ay; A(�x) = �Ax (x; y 2 X; � 2 �):
(oBY^NO U ARGUMENTA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ SKOBKI OPUSKA@T: PI[UT
Ax WMESTO A(x)). eSLI Y = �, LINEJNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ LINEJ-
NYM FUNKCIONALOM.
2.pUSTX L(X;Y ) | MNOVESTWO WSEH LINEJNYH OTOBRAVENIJ WEKTORNO-
GO PROSTRANSTWA X W WEKTORNOE PROSTRANSTWO Y . w L(X;Y ) ESTESTWENNO
WWODITSQ STRUKTURA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA: DLQ A;B 2 L(X;Y ); � 2 �
POLOVIM
(A+B)x � Ax+Bx; (�A)x � �Ax (x 2 X):
aKSIOMY WEKTORNOGO PROSTRANSTWA (62.1) WYPOLNENY (!!). nULX WEKTOR-
NOGO PROSTRANSTWA L(X;Y ) | \TO OTOBRAVENIE 0 : X ! Y , DEJSTWU@]EE
PO FORMULE 0x = �, GDE � | NULEWOJ WEKTOR W Y .
pUSTX X; Y; Z | WEKTORNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM �; A 2 L(X;Y );B 2 L(Y;Z). tOGDA SUPERPOZICIQ B �A \TIH OTOBRAVENIJ (SM. 5.2) QWLQ-
ETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM IZ X W Z; ONO NAZYWAETSQ PROIZWEDENIEM
OTOBRAVENIJ I OBOZNA^AETSQ BA. tAKIM OBRAZOM, BA 2 L(X;Z) I DEJ-
STWUET PO FORMULE (BA)x = B(Ax) (x 2 X).
3. oTMETIM WAVNOE PONQTIE IZOMORFIZMA: WEKTORNYE PROSTRANSTWA
E I F (NAD POLEM �) NAZYWA@TSQ ALGEBRAI^ESKI IZOMORFNYMI, ESLI SU-
]ESTWUET BIEKCIQ A 2 L(E;F ).4. z A M E ^ A N I E. dWA KONE^NOMERNYH WEKTORNYH PROSTRANSTWA (NAD
ODNIM POLEM) IZOMORFNY TTOGDA ONI IME@T ODINAKOWU@ RAZMERNOSTX.
117
x72. pREDSTAWLENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ MATRICEJ1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA NAD POLEM �(= C ILI R)
RAZMERNOSTEJ n I m SOOTWETSTWENNO. pUSTX
(1) ej = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : 0) f1 | NA j-M MESTEg; 1 � j � n,
(2) fi = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : 0) f1 | NA i-M MESTEg; 1 � i � m,
| SOOTWETSTWU@]IE STANDARTNYE BAZISY W E I F . rASSMOTRIM LINEJNOE
OTOBRAVENIE A : E ! F . eSLI PODEJSTWOWATX OTOBRAVENIEM A NA j-J \LE-
MENT BAZISA (1), TO POLU^ENNYJ \LEMENT MOVET BYTX RAZLOVEN PO BAZISU
(2): Aej =mPi=1
ajifi. tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENI@ A OKAZYWAETSQ SOPOSTAW-
LENNOJ (n �m)-MATRICA [aji ]; ONA NAZYWAETSQ MATRICEJ OTOBRAVENIQ A.
oTOBRAVENIE A, O^EWIDNO, POLNOSTX@ OPREDELQETSQ SWOEJ MATRICEJ:
Ax = A(nXj=1
xjej) =nXj=1
xjAej =nXj=1
mXi=1
xjajifi (x 2 E):
sOOTWETSTWIE A ! [aji ] OSU]ESTWLQET ALGEBRAI^ESKIJ IZOMORFIZM PRO-
STRANSTWA L(E;F ) NA PROSTRANSTWO Mn�m (SM. 62.4).
2. z A M E ^ A N I E. w ^ASTNOSTI, LINEJNOJ WEKTOR-FUNKCII A : �! F
SOOTWETSTWUET (1�m)-MATRICA ILI WEKTOR-STOLBEC26664a1a2: : :
am
37775 ;
A LINEJNOJ FUNKCII n PEREMENNYH A : E ! � | (n � 1)-MATRICA, ILI
WEKTOR-STROKA [a1; : : : ; an].
3. u P R A V N E N I E. wSQKOE LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ EWKLIDOWA
PROSTRANSTWA E W EWKLIDOWO PROSTRANSTWO F NEPRERYWNO.
x73. oBRATIMYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ1. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. lINEJNOE OTOBRAVENIE
A : E ! E NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVE-
NIE A�1 2 L(E;E) TAKOE, ^TO AA�1 = A�1A = I, GDE I | TOVDESTWENNOE
OTOBRAVENIE E NA SEBQ: Ix = x (x 2 E).
118
2. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) A 2 L(E;E) OBRATIMO,(B) Ax = � WLE^�ET x = �,
(W) det[aji ] 6= 0, GDE [a
ji ] | MATRICA OTOBRAVENIQ A W STANDARTNOM
BAZISE.
� (A) ) (B): A OBRATIMO, Ax = �) x = A�1(Ax) = A�1� = �.
(B) ) (W). eSLI det[aji ] = 0, TO STOLBCY MATRICY [a
ji ] LINEJNO ZAWISI-
MY, TO ESTX SU]ESTWU@T ^ISLA �1; : : : �n, NE WSE RAWNYE NUL@, TAKIE, ^TOnPj=1
�jaji = 0 (i = 1; : : : ; n). rASSMOTRIM WEKTOR � = (�1; : : : �n) 6= �. tOGDA
A� = (nPj=1
aj1�
j; : : : ;nPj=1
ajn�j) = �, ^TO PROTIWORE^IT (B).
(W) ) (A). eSLI det[aji ] 6= 0, TO OPERATOR B, OPREDEL�ENNYJ MATRICEJ
[aji ]�1, OBLADAET SWOJSTWAMI BA = AB = I, TO ESTX A OBRATIMO. >
x74. o NORME LINEJNOGO OTOBRAVENIQ
1. w PROSTRANSTWE L(E;F ) (E; F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA) MOVET
BYTX WWEDENA EWKLIDOWA NORMA: W OBOZNA^ENIQH x72
(1) kAke � [mXi=1
nXj=1
jaji j2]1=2 (A 2 L(E;F )):
nARQDU S \TIM BUDET ISPOLXZOWATXSQ E]�E ODNA NORMA | OPERATORNAQ
(TREBOWANIQ (I){(III) W 62.5 DLQ NE�E WYPOLNENY (!!)):
(2) kAk � supkxk=1
kAxk (A 2 L(E;F )):
2. z A M E ^ A N I E. iZ RAWENSTWA (2) SLEDUET, W ^ASTNOSTI, ^TO
kAxk � kAk � kxk DLQ L@BOGO x 2 E.3. iME@T MESTO NERAWENSTWA: kAk � kAke � p
nkAk (A 2 L(E;F )).� pUSTX x = (x1; : : : ; xn) 2 E TAKOW, ^TO kxk = 1: s U^�ETOM NERAWENSTWA
kO[I-bUNQKOWSKOGO IMEEM
kAxk2 =mPi=1j nPj=1
xjaji j2 �mPi=1
(nPj=1
jxjj2)( nPj=1
jaji j2)=
mPi=1
nPj=1
jaji j2 = kAk2e:
119
oTS@DA kAk � kAke. oBRATNO, PUSTX j0 TAKOWO, ^TOmXi=1
���aj0i���2 = max
1�j�n
mXi=1
���aji���2 :
rASSMOTRIM WEKTOR ej0 = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) (1 NA j0-M MESTE). tOGDA
kAk2e =mPi=1
nPj=1
���aji���2 � n � mP
i=1
���aj0i���2 = nkAej0k2
� n � supkxk=1
kAxk2: >
4. w PROSTRANSTWE L(�; F ) : kAk = kAke.5. u P R A V N E N I E. pUSTX E; F; G | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA,
A 2 L(E;F ); B 2 L(F;G). tOGDA OPERATORNAQ NORMA OTOBRAVENIQ BA
UDOWLETWORQET NERAWENSTWU kBAk � kBk � kAk.
120
differencirowanie otobravenij
x75. kASATELXNOE OTOBRAVENIE I EGO SWOJSTWA
1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA NAD POLEM � I (� E)
| OTKRYTOE MNOVESTWO. oTOBRAVENIE f : ! F NAZYWAETSQ DIFFE-
RENCIRUEMYM W TO^KE x 2 , ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVENIE
Lx : E ! F TAKOE, ^TO
(1) f(x+ h)� f(x) = Lxh+ o(h) (h! �):
faSIMPTOTI^ESKOE RAWENSTWO r(h) = o(h) (h ! �) OZNA^AET, ^TO
limh!0
kr(h)kkhk = 0.g |TO LINEJNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM
ILI KASATELXNYM OTOBRAVENIEM, ILI PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE
x. oTOBRAVENIE Lx OBOZNA^AETSQ TAKVE SIMWOLAMI df(x); f0(x).
2. z A M E ^ A N I E. w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII f : ! C ( �C ), PRIHODIM K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ FUNKCII ODNOGO KOMPLEKSNOGO
PEREMENNOGO; \TA PROIZWODNAQ W TO^KE z0 2 MOVET BYTX WY^ISLENA S
POMO]X@ PRIWY^NOJ FORMULY
f 0(z0) = limh!0
1
h[f(z0 + h)� f(z0)]:
pOLEZNO POMNITX, ^TO \TO | LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ C W C , DEJSTWU@-
]EE PO FORMULE f 0(z0)(h) = f 0(z0) � h (h 2 C ).oTMETIM \LEMENTARNYE SWOJSTWA KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ, WYTEKA-
@]IE IZ EGO OPREDELENIQ.
3. eSLI OTOBRAVENIE f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO SOOTWET-
STWU@]EE KASATELXNOE OTOBRAVENIE OPREDELENO ODNOZNA^NO.
� pUSTX NARQDU S (1) IMEET MESTO RAWENSTWO
(2) f(x+ h)� f(x) = Lh + o(h) (h! �);
GDE L| E]�E ODNO LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ E W F . pOLOVIM A = L�Lx.wY^ITAQ (1) IZ (2), IMEEM Ah = o(h) (h ! �). tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO
121
y 2 E POLU^AEM Ay = limt!0
1t A(ty) = lim
t!0
o(ty)t = � (t 2 R | ^ISLOWOJ
PARAMETR). iTAK, A = 0, TO ESTX L = Lx: >
4. eSLI OTOBRAVENIE f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO ONO W \TOJ
TO^KE NEPRERYWNO.
� uTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI (SM. 74.2)
kf(x+ h)� f(x)k � kf 0(x)k khk+ ko(h)k (h! �): >
5. eSLI f : ! F POSTOQNNO, TO f 0(x) = 0 (x 2 ).
6. wSQKOE LINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! F DIFFERENCIRUEMO W
KAVDOJ TO^KE x 2 E, PRI^�EM A0(x) = A.
� w SILU LINEJNOSTI A RAWENSTWO (1) PRIOBRETAET WID A(x+ h)�Ax =
Ah (x; h 2 E): >7. eSLI f; g DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x, TO W \TOJ TO^KE DIFFE-
RENCIRUEMY OTOBRAVENIQ f � g; �f (� 2 �), PRI^�EM
(f � g)0(x) = f 0(x)� g0(x); (�f)0(x) = �f 0(x):
8. [dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII OTOBRAVENIJ]. pUSTX ZADANY
OTOBRAVENIQ f : ! F; g : �! G ( � E; � � F; f() � �), PRI^�EM f
DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x 2 , A g DIFFERENCIRUEMO W TO^KE f(x) 2�. tOGDA g � f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x I
(g � f)0(x) = g0(f(x)) � f 0(x):
� sPRAWEDLIWA WYKLADKAg(f(x+ h)) � g(f(x)) = g(f(x) + [f(x+ h) � f(x)])� g(f(x))
= g0(f(x))[f(x+ h)� f(x)] + o(f(x+ h) � f(x))
= g0(f(x))(f 0(x)h+ o(h)) + o(f 0(x)h+ o(h))
= g0(f(x)) � f 0(x)(h) + g0(f(x))(o(h)) + o(h) (h! �):
tEPERX IZ OCENKIkg0(f(x))(o(h))k
khk � kg0(f(x))k � ko(h)kkhk SLEDUET, ^TO
g � f(x+ h)� g � f(x) = g0(f(x)) � f 0(x)(h) + o(h) (h! �): >
122
u P R A V N E N I Q. 9. uBEDITESX, ^TO NIKAKAQ NORMA k�k W EWKLIDOWOMPROSTRANSTWE E NE DIFFERENCIRUEMA W �.
10. pUSTX f : E ! F OBLADAET SWOJSTWOM kf(x)k � kxk2 (x 2 E).
nAJDITE f 0(�).
x76. ~ASTNYE PROIZWODNYE
dALEE W \TOM RAZDELE MY BUDEM ZANIMATXSQ DIFFERENCIALXNYMI SWOJ-
STWAMI OTOBRAVENIJ ISKL@^ITELXNO W WE]ESTWENNYH EWKLIDOWYH PRO-
STRANSTWAH.
1. pRISTUPAQ K NAHOVDENI@ \FFEKTIWNYH SPOSOBOW WY^ISLENIQ KASA-
TELXNYH OTOBRAVENIJ, WWEDEM WAVNOE PONQTIE ^ASTNOJ PROIZWODNOJ DLQ
FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH.
pUSTX | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rn; fe1; : : : ; eng | STANDARTNYJ
BAZIS W Rn; f : ! R| FUNKCIQ; j-J ^ASTNOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f W
TO^KE x0 = (x10; : : : ; xn0) 2 (OBOZNA^AETSQ
@f@xj
(x0) ILI f0xj(x0)) NAZYWA-
ETSQ SLEDU@]IJ PREDEL, (ESLI ON SU]ESTWUET):
@f
@xj(x0) = lim
t!0
1t [f(x0 + tej)� f(x0)]
= limt!0
1t [f(x
10; : : : ; x
j0 + t; : : : ; xn0)� f(x10; : : : ; x
j0; : : : ; x
n0)];
TO ESTX@f
@xj(x0) | \TO PROIZWODNAQ FUNKCII f(x10; : : : ; x
j; : : : ; xn0) ODNOGO
PEREMENNOGO xj W TO^KE xj0 (PRI FIKSIROWANNYH OSTALXNYH PEREMENNYH).
oTS@DA SLEDUET, ^TO ^ASTNAQ PROIZWODNAQ OPREDELENA ODNOZNA^NO (KOLX
SKORO ONA SU]ESTWUET).
2. p R I M E R. pUSTX f(x; y) =
�0; ESLI x = 0 ILI y = 0,
1; W PROTIWNOM SLU^AE,
((x; y) 2 R2). tOGDA @f@x
(0; 0) =@f@y
(0; 0) = 0.
x77. mATRICA qKOBI
1. pUSTX fe1; : : : ; eng; ff1; : : : ; fmg| STANDARTNYE BAZISY W PROSTRAN-
STWAH Rn I Rm SOOTWETSTWENNO I ' : ! Rm, GDE | NEKOTOROE OTKRYTOE
123
MNOVESTWO W Rn. oTOBRAVENIE ' OPREDELENO SISTEMOJ m SWOIH KOORDI-
NATNYH FUNKCIJ 'i (1 � i � m) n PEREMENNYH (SM. 66.5):
'(x1; : : : ; xn) =mXi=1
'i(x1; : : : ; xn)fi (x = (x1; : : : ; xn) 2 ):
pUSTX ' DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x 2 : '(x+ h)�'(x) = '0(x)h+o(h) (h ! �). wY^ISLIM MATRICU [d
ji ] KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ '
0(x).dLQ \TOGO (S U^�ETOM 72.1) ZAMETIM, ^TO
'0(x)ej = limt!0
1t '
0(x)(tej) = limt!0
1t ['(x+ tej)� '(x) + o(t)]
= limt!0
1t ['(x+ tej)� '(x)] = lim
t!0
mPi=1
1t ['
i(x+ tej)� 'i(x)]fi
=mPi=1
@'i
@xj(x)fi (1 � j � n):
iTAK dji =
@'i
@xj(x). mATRICA ^ASTNYH PROIZWODNYH
�@'i
@xj(x)
�NAZYWAET-
SQ MATRICEJ qKOBI OTOBRAVENIQ '0(x). pOLU^EN \FFEKTIWNYJ SPOSOBWY^ISLENIQ KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ (ESLI ONO SU]ESTWUET). oTMETIM
WAVNYE ^ASTNYE SLU^AI.
2. [pROIZWODNAQ FUNKCII n PEREMENNYH]. pUSTX f(x) (x 2 ) | FUNK-
CIQ n PEREMENNYH.mATRICA qKOBI f 0(x) QWLQETSQ TOGDA (n�1)-MATRICEJ�@f@x1
(x); : : : ;@f@xn
(x)
�, A ZNA^ENIE DIFFERENCIALA FUNKCII f NA SME]ENII
h = (dx1; : : : ; dxn) WY^ISLQETSQ PO FORMULE df(x) =nPj=1
@f@xj
(x)dxj:
3. [pROIZWODNAQ WEKTOR-FUNKCII]. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ x(t) =
(x1(t); : : : ; xm(t)) (t 2 � R) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE t 2 . tOGDA
MATRICA qKOBI DLQ x0(t) =
264x10(t): : :
xm0(t)
375 | (1 �m)-MATRICA. dIFFERENCI-
AL \TOJ WEKTOR-FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IJ SME]ENI@ dt, RAWEN dx(t) =
(x10(t)dt; : : : ; xm0(t)dt).
4. [fORMULA POLNOJ PROIZWODNOJ]. pUSTX SKALQRNAQ FUNKCIQ g(t) =
f(x1(t); : : : ; xn(t)) (t 2 � R) | SUPERPOZICIQ FUNKCII f n PEREMEN-
NYH I WEKTOR-FUNKCII x(t) (SO ZNA^ENIQMI W Rn). w PREDPOLOVENII, ^TO
124
DIFFERENCIROWANIE WOZMOVNO:
g0(t) =d
dtf(x1(t); : : : ; xn(t)) =
nXj=1
@f
@xj(x(t))xj0(t):
� w SILU 75.8
g0(t) = f 0(x(t)) � x0(t) =�@f@x1
(x(t)); : : : ;@f@xn
(x(t))
�264x10(t): : :
xn0(t)
375
=nPj=1
@f@xj
(x(t))xj0(t): >
5. [aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PROIZWODNOJ FUNKCIJ MNOGIH PEREMEN-
NYH]. pUSTX f; g : ! R ( � Rn) DIFFERENCIRUEMY W x 2 . tOGDA W
\TOJ TO^KE DIFFERENCIRUEMY FUNKCII f �g; f=g (ESLI g(x) 6= 0), PRI^�EM
(f � g)0(x) = g(x)f 0(x) + f(x)g0(x);
(fg )
0(x) = 1g2(x)
[g(x)f 0(x)� f(x)g0(x)]:
� |TI FORMULYMOVNO POLU^ITX WYKLADKAMI, ANALOGI^NYMI SKALQRNOMUSLU^A@ (30.1). s CELX@ ILL@STRACII RAZWITOJ TEHNIKI MY PRIWEDEM DRU-
GOJ WYWOD (OGRANI^IMSQ PERWOJ FORMULOJ). oTOBRAVENIE x ! f(x)g(x)
PREDSTAWIM KAK SUPERPOZICI@ DWUH OTOBRAVENIJ: f(x)g(x) = ���(x) (x 2), GDE � : R2 ! RDEJSTWUET PO FORMULE �(u; v) = uv (u; v 2 R), A OTOBRA-VENIE � : ! R
2 | PO FORMULE �(x) = ff(x); g(x)g. pODS^ITAEM MAT-
RICY qKOBI \TIH OTOBRAVENIJ: �0(u; v) = [v; u]; �0(x) =�f 0(x)g0(x)
�(�0(x)
QWLQETSQ (n�2)-MATRICEJ, SOKRA]�ENNO ZAPISANNOJ KAK (1�2)-MATRICA).
w SILU 75.8 IMEEM
(f � g)0(x) = �0(�(x))�0(x) = [ g(x); f(x) ]
�f 0(x)g0(x)
�= g(x)f 0(x) + f(x)g0(x): >
6. p R I M E R. pUSTX ' : R2 ! R2 ZADANO KOORDINATNYMI FUNKCIQ-
MI '1(x; y) = ex cos y; '2(x; y) = ex sin y ((x; y) 2 R2), TO ESTX '(x; y) =
(ex cos y; ex sin y) ((x; y) 2 R2). mATRICA qKOBI OTOBRAVENIQ ' IMEET WID
'0(x; y) =�ex cos y �ex sin yex sin y ex cos y
�.
125
x78. uSLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI OTOBRAVENIJmY NAU^ILISX WY^ISLQTX MATRICU KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ W PRED-
POLOVENII EGO SU]ESTWOWANIQ. pOLU^IM USLOWIQ, PRI KOTORYH MATRICA
^ASTNYH PROIZWODNYH OPREDELQET KASATELXNOE OTOBRAVENIE. nA^N�EM S
FUNKCIJ n PEREMENNYH.
1. pUSTX : ! R ( � Rn), I WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE
@
@xk(1 �
k � n) OPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x 2 I NEPRERYWNY
W SAMOJ TO^KE x. tOGDA DIFFERENCIRUEMO W x.
� dLQ NAGLQDNOSTI OGRANI^IMSQ SLU^AEM n = 3: w SILU PREDPOLOVENIJ
SPRAWEDLIWA WYKLADKA
(x1 + h1; x2 + h2; x3 + h3)� (x1; x2; x3)
= (x1 + h1; x2 + h2; x3 + h3)� (x1; x2 + h2; x3 + h3)
+ (x1; x2 + h2; x3 + h3)� (x1; x2; x3 + h3)
+ (x1; x2; x3 + h3)� (x1; x2; x3)
= 0x1(x1; x2 + h2; x3 + h3)h1 + o(h1)
+ 0x2(x1; x2; x3 + h3)h2 + o(h2) + 0x3(x
1; x2; x3)h3 + o(h3)
= 0x1(x1; x2 + h2; x3 + h3)h1 + 0x2(x
1; x2; x3 + h3)h2
+ 0x3(x1; x2; x3)h3 + o(h)
=3Pi=1
0xi(x1; x2; x3)hi + r(h);
GDE
r(h) = [ 0x1(x1; x2 + h2; x3 + h3)� 0x1(x
1; x2; x3)]h1
+ [ 0x2(x1; x2; x3 + h3)� 0x2(x
1; x2; x3)]h2 + o(h)
= o(h) (h! �): >
sFORMULIRUEM TEPERX OB]EE UTWERVDENIE.
2. pUSTX '1; : : : ; 'm | KOORDINATNYE FUNKCII OTOBRAVENIQ
' : ! Rm ( � R
n). ~TOBY ' BYLO DIFFERENCIRUEMYM W TO^KE x 2
NEOBHODIMO, ^TOBY BYLA OPREDELENA MATRICA
�@'i
@xj(x)
�, I DOSTATO^NO,
^TOBY \TA MATRICA BYLA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI
x I WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE@'i
@xjBYLI W \TOJ TO^KE NEPRERYWNYMI.
�nEOBHODIMOSTX USTANOWLENA WY[E (77.1). dOKAVEM DOSTATO^NOSTX. pUSTXf1; : : : ; fm | STANDARTNYJ BAZIS W Rm I '(y) =
mPi=1
'i(y)fi (y 2 ). w SI-
126
LU P. 1 KOORDINATNYE FUNKCII 'i DIFFERENCIRUEMY W x 2 , TAK ^TO
'i(x+ h)� 'i(x) = 'i0(x)h+ o(h) (h! �). sLEDOWATELXNO,
'(x+ h)� '(x) =mPi=1
['i0(x)h+ o(h)]fi =mPi=1
('i0(x)h)fi + o(h)
= '0(x)h+ o(h) (h! �);
GDE '0(x) | LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ Rn W Rm, OPREDEL�ENNOE MATRICEJ�@'i
@xj(x)
�: >
3. z A M E ^ A N I E. w 76.2 MATRICA
�@f@x
(�);@f@y
(�)
�OPREDELENA.oDNAKO
f NE DIFFERENCIRUEMA W �, IBO ONA W � DAVE RAZRYWNA. tAKIM OBRAZOM,
SU]ESTWOWANIE MATRICY qKOBI NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM USLOWIEM DIF-
FERENCIRUEMOSTI FUNKCII.
x79. kASATELXNAQ PLOSKOSTX1. pUSTX POWERHNOSTX (S) W R3 OPISYWAETSQ URAWNENIEM
(�) z = f(x; y) ((x; y) 2 � R2):
pLOSKOSTX (�) NAZYWAETSQ KASATELXNOJ K POWERHNOSTI (S) W TO^KE
a0 2 (S), ESLI RASSTOQNIE d(a; (�)) OT PEREMENNOJ TO^KI a 2 (S) DO
PLOSKOSTI (�) UDOWLETWORQET ASIMPTOTI^ESKOMU RAWENSTWU d(a; (�)) =
o(ka� a0k) (a! a0; a 2 (S)).
2. pUSTX f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE (x0; y0). tOGDA POWERHNOSTX
(S), OPISYWAEMAQ URAWNENIEM (�), OBLADAET EDINSTWENNOJ KASATELXNOJ
PLOSKOSTX@ (�) W TO^KE a0 = (x0; y0; z0):
z � z0 = f 0x(x0; y0)(x� x0) + f 0y(x0; y0)(y � y0):
� iZ KURSA ANALITI^ESKOJ GEOMETRII IZWESTNO, ^TO
d(a; (�)) =1
Mjz � z0 � f 0x(x0; y0)(x� x0) � f 0y(x0; y0)(y � y0)j;
GDE a = (x; y; z) 2 (S); M =h1 + f 0x(x0; y0)
2 + f 0y(x0; y0)2i1=2
. tAK KAK f
DIFFERENCIRUEMA W (x0; y0), IMEEM d(a; (�)) = o([(x� x0)2 + (y � y0)
2]1=2)
(a! a0). sLEDOWATELXNO,
127
lima!a0
d(a; (�))ka� a0k = lim
a!a0
d(a; (�))
[(x� x0)2 + (y � y0)
2]1=2�
� [(x� x0)2 + (y � y0)
2]1=2
ka� a0k = 0: >
kASATELXNAQ PLOSKOSTX EDINSTWENNA (!!).
x80. nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE OTOBRAVENIQ1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, A OTOBRAVENIE
f : ! F ( � E) DIFFERENCIRUEMO W KAVDOJ TO^KE OTKRYTOGO MNOVES-
TWA . tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE f 0 : ! L(E;F ), SOPOSTAWLQ@]EE
KAVDOJ TO^KE x 2 KASATELXNOE OTOBRAVENIE f 0(x) 2 L(E;F ). oTOBRA-
VENIE f 0 ESTESTWENNO NAZWATX (PO ANALOGII S 29.4) PROIZWODNOJ FUNKCIIf W OBLASTI .
2. oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYM W ,
ESLI OTOBRAVENIE f 0 : ! L(E;F ) NEPRERYWNO:
8x 2 8" > 0 9� > 0 8y 2 (kx� yk < � ) kf 0(x)� f 0(y)k < ")
(ZDESX kf 0(x)�f 0(y)k OZNA^AET NORMU LINEJNOGO OTOBRAVENIQ f 0(x)�f 0(y)(SM. 74.1)).
3. eSLI OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO, TO OTOBRA-
VENIE x! kf 0(x)k NEPRERYWNO.� |TO SLEDUET IZ OCENKI j kf 0(x)k � kf 0(y)kj � kf 0(x)� f 0(y)k: >
4. oTOBRAVENIE f : ! Rm ( � R
n) NEPRERYWNO DIFFERENCIRU-
EMO W TTOGDA WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE@f i
@xj(f i | KOORDINATNYE
FUNKCII f) NEPRERYWNY W .
� nEOBHODIMOSTX. pUSTX f NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO W . w SILU78.2 WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE
@f i
@xjOPREDELENY W . iH NEPRERYWNOSTX
SLEDUET IZ OCENKI
�����@fi
@xj(x)� @f i
@xj(y)
����� �24Xi;j
�����@fi
@xj(x)� @f i
@xj(y)
�����2351=2
= kf 0(x)� f 0(y)ke:
dOSTATO^NOSTX. sOGLASNO 78.2 IZ NEPRERYWNOSTI W WSEH ^ASTNYH
PROIZWODNYH SLEDUET DIFFERENCIRUEMOSTX f W KAVDOJ TO^KE . pUSTX
128
x 2 I " > 0 PROIZWOLXNO. iZ NEPRERYWNOSTI@f i
@xjW TO^KE x SLEDUET,
^TO SU]ESTWUET �ij > 0 TAKOE, ^TO
����@f i@xj(x)� @f i
@xj(y)
���� < "nm (y 2 B�ij (x)).
pOLAGAQ � = mini;j
�ij, POLU^IM DLQ L@BOGO y 2 B�(x)
kf 0(x)� f 0(y)k � kf 0(x)� f 0(y)ke =24Xi;j
�����@fi
@xj(x)� @f i
@xj(y)
�����2351=2
< ": >
5. z A M E ^ A N I E. nA WEKTOR-FUNKCII ESTESTWENNO OBOB]AETSQ PO-
NQTIE GLADKOSTI (53.1{2). nEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ f : [a; b] ! Rm
NAZYWAETSQ GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA [a; b] I
SU]ESTWU@T PREDELY limt!a+
f 0(t); limt!b�
f 0(t). wEKTOR-FUNKCIQ f NAZYWAETSQ
NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA I SU]ESTWUET RAZLO-
VENIE �(a = t0 < t1 < : : : < tn = b) TAKOE, ^TO f GLADKAQ NA KAVDOM
OTREZKE [tj�1; tj].
x81. iNTEGRAL OT NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII1. pUSTX f(t) = (f1(t); : : : ; fm(t)) (a � t � b) | NEPRERYWNAQ WEKTOR-
FUNKCIQ SO ZNA^ENIQMI W Rm. wSE KOORDINATNYE FUNKCII f i QWLQ@TSQ
TOGDA OBY^NYMI NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI NA OTREZKE [a; b]. iNTEGRALX-
NOJ SUMMOJ rIMANA WEKTOR-FUNKCII f NAZYWAETSQ SUMMA
S� =nXj=1
(tj � tj�1)f(�j) (2 Rm); tj�1 � �j � tj;
GDE �(a = t0 < t1 < : : : < tn = b) | RAZLOVENIE [a; b]. nETRUDNO WI-
DETX, ^TO DLQ NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII SU]ESTWUET PREDEL limd(�)!0
S�,
KOTORYJ ESTESTWENNO NAZWATX INTEGRALOM rIMANA WEKTOR-FUNKCII f PO
OTREZKU [a; b] I OBOZNA^ITX SIMWOLOMZ b
af(t) dt. tAKIM OBRAZOM,
Z b
af(t) dt =
Z b
af1(t) dt; : : : ;
Z b
afm(t) dt
!(2 Rm):
nA WEKTORNYE INTEGRALY PERENOSQTSQ MNOGIE OBY^NYE SWOJSTWA INTEG-
RALA. oTMETIM DWA NUVNYH NAM SWOJSTWA.
129
2. dLQ NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII f(t) (a � t � b) SU]ESTWUET
PERWOOBRAZNAQ WEKTOR-FUNKCIQ F (t) (a � t � b) TAKAQ, ^TO dF (t) =
f(t)dt 3), PRI^�EM
Z b
af(t) dt = F (b)� F (a).
3. kZ b
af(t) dtk �
Z b
akf(t)k dt.
� iZ PREDPOLOVENIJ P. 2 KOORDINATNYE FUNKCII f i WEKTOR-FUNKCII fOBLADA@T PERWOOBRAZNYMI F i. wEKTOR-FUNKCIQ F (t) = (F 1(t); : : : ; Fm(t))
QWLQETSQ TOGDA ISKOMOJ PERWOOBRAZNOJ DLQ f(t). iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI
P. 3 SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO,
kZ b
af(t) dtk = k lim
d(�)!0S�k = lim
d(�)!0k nPj=1
(tj � tj�1)f(�j)k
� limd(�)!0
nPj=1
kf(�j)k(tj � tj�1) =Z b
akf(t)k dt: >
x82. oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA
1. fORMULA lAGRANVA (KONE^NYH PRIRA]ENIJ) NE IMEET TO^NOGO ANA-
LOGA W MNOGOMERNOM SLU^AE. |TOT FAKT SLEDUET IZ RASSMOTRENIQ SPIRALI
W R3 S DOSTATO^NO PLOTNYMI WITKAMI (rIS. 18), KOTORAQ NI W ODNOJ TO^KE
NE OBLADAET KASATELXNOJ, PARALLELXNOJ HORDE AB (SM. TAKVE NIVE P. 4).
oDNAKO IMEET MESTO OCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA:
2. pUSTX OTOBRAVENIE f : ! Rm ( � R
n) NEPRERYWNO DIFFEREN-
CIRUEMO W . pUSTX x 2 I h 2 Rn TAKOWY, ^TO fx+thj 0 � t � 1g � .
tOGDA SU]ESTWUET t0 2 [0; 1] TAKOE, ^TO
kf(x+ h)� f(x)k � kf 0(x+ t0h)k � khk:
� rASSMOTRIM WEKTOR-FUNKCI@ '(t) = f(x+th) (t 2 [0; 1]).iMEEM d'(t) =
f 0(x+ th)(h)dt, I W SILU 81.2
f(x+ h)� f(x) = '(1)� '(0) =
Z 1
0f 0(x+ th)(h) dt:
3zDESX LEWAQ ^ASTX OPREDELENA W 77.3, A PRAWAQ PONIMAETSQ KAK PROIZWEDENIE
SKALQRA-SME]ENIQ dt NA WEKTOR f(t), TO ESTX f(t)dt = (f1(t)dt,...,fm(t)dt).
130
s U^�ETOM 81.3 I 74.2
kf(x+ h)� f(x)k = kZ 1
0f 0(x+ th)(h) dtk �
Z 1
0kf 0(x+ th)(h)k dt
�Z 1
0kf 0(x+ th)k khk dt = khk
Z 1
0kf 0(x+ th)k dt:
sKALQRNAQ FUNKCIQ g(t) = kf 0(x+ th)k (t 2 [0; 1]) NEPRERYWNA PO t. sLE-
DOWATELXNO, PO TEOREME O SREDNEM 50.4 SU]ESTWUET t0 2 [0; 1] TAKOE, ^TOZ 1
0kf 0(x+ th)k dt = kf 0(x+ t0h)k: >dLQ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH IMEET MESTO TO^NYJ ANALOG FORMU-
LY lAGRANVA.
3. pUSTX f : ! R ( � Rn) DIFFERENCIRUEMA W I x 2 ; h 2 Rn
TAKOWY, ^TO fx + thj 0 � t � 1g � . tOGDA SU]ESTWUET t0 2 (0; 1)
TAKOE, ^TO
(�) f(x+ h)� f(x) = f 0(x+ t0h)(h):
� dOSTATO^NO PRIMENITX OBY^NU@ FORMULU lAGRANVA K SKALQRNOJ FUNK-
CII '(t) = f(x+ th) (t 2 [0; 1]): >
4. z A M E ^ A N I E. fORMULA (�) UVE NE IMEET MESTA DLQ OTO-
BRAVENIJ f : R2 ! R2. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM OTOBRAVENIE IZ
P. 77.6. pOLAGAQ W \TOM PRIMERE h = (0; 2�) 2 R2, IMEEM f 0(th)(h) =
(�2� sin 2�t; 2� cos 2�t) 6= � (t 2 [0; 1]). pO\TOMU � = f(h) � f(�) 6=f 0(th)(h); 8t 2 [0; 1].
x83. dLINA PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ
1. pRIWED�EM TEPERX WYWOD FORMULY 60.4. pUSTX : [a; b] ! R3 |
GLADKAQ WEKTOR-FUNKCIQ, (t) = (x(t); y(t); z(t))(a � t � b), I �(a = t0 <
t1 < : : : < tn = b) | RAZLOVENIE OTREZKA [a; b]. dLINA `j j-GO ZWENA
LOMANOJ, WPISANNOJ W KRIWU@, QWLQ@]U@SQ OBRAZOM WEKTOR-FUNKCII ,
RAWNA
`j = [(x(tj)� x(tj�1))2 + (y(tj)� y(tj�1))2 + (z(tj)� z(tj�1))2]1=2
= k (tj)� (tj�1)k:
131
pO OCENO^NOJ FORMULE lAGRANVA 82.2 SU]ESTWUET �j 2 [tj�1; tj] TAKOE, ^TO`j � k 0(�j)k(tj � tj�1), OTKUDA
(1) `� �nXj=1
`j �nXj=1
k 0(�j)k(tj � tj�1):
s DRUGOJ STORONY, WEKTOR-FUNKCIQ 0(t) (a � t � b), BUDU^I NEPRERYWNOJ
NA [a; b], QWLQETSQ I RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ. sLEDOWATELXNO,
8" > 0 9� > 0 (jt� sj < �) k 0(t)� 0(s)k < "):
eSLI TEPERX DIAMETR RAZLOVENIQ d(�) < ", TO k 0(t)k � k 0(tj�1)k �k 0(t)� 0(tj�1)k < " (tj�1 � t � tj). sLEDOWATELXNO,
Z tj
tj�1
k 0(t)k dt � "(tj � tj�1) � k 0(tj)k(tj � tj�1)
= kZ tj
tj�1
[ 0(t) + 0(tj�1)� 0(t)] dtk
� kZ tj
tj�1
0(t) dtk+ "(tj � tj�1)
= k (tj)� (tj�1)k+ "(tj � tj�1):
sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA PO j, POLU^AEM
(2)Z b
ak 0(t)k dt � `� + 2"(b� a):
iZ (1) I (2) IMEEM
Z b
ak 0(t)k dt� 2"(b� a) � `� �
nXj=1
k 0(�j)k � (tj � tj�1):
oTS@DA ` = limd(�)!0
`� SU]ESTWUET, PRI^�EM (SM. 74.4)
(3) ` =
Z b
ak 0(t)k dt =
Z b
a[x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2]1=2 dt:
2. z A M E ^ A N I E. fORMULA (3) WERNA I W SLU^AE, KOGDA | NEPRE-
RYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ WEKTOR-FUNKCIQ. |TA FORMULA OBOB]AETSQ NA
132
SLU^AJ Rm: ESLI : [a; b]! Rm | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ WEKTOR-
FUNKCIQ, TO DLINA SOOTWETSTWU@]EJ KRIWOJ (PONIMAEMAQ KAK PREDEL
DLIN WPISANNYH LOMANYH) DA�ETSQ FORMULOJ ` =
Z b
ak 0(t)k dt.
x84. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA1. bUDEM GOWORITX, ^TO OTOBRAVENIE f : ! R ( � R
n) OBLADAET W
TO^KE x0 2 LOKALXNYM MINIMUMOM (SOOTWETSTWENNO MAKSIMUMOM), ESLI
SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO f(x) � f(x0) (SOOTWETSTWENNO f(x) � f(x0))
DLQ WSEH x 2 B�(x0) \ .
oTLOVIW POKA BOLEE PODROBNOE OBSUVDENIE WWED�ENNOGO PONQTIQ NA NE-
KOTOROE WREMQ, OTMETIM PROSTOE NEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTRE-
MUMA.
2. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W x0 2 I OBLADAET W \TOJ TO^KE LO-
KALXNYM \KSTREMUMOM, TO f 0(x0) = 0.
� pUSTX x0 = (x10; : : : ; xn0). fUNKCIQ ODNOGO PEREMENNOGO
'j(t) � f(x10; : : : ; xj�10 ; t; xj+10 ; : : : ; xn0)
OBLADAET W TO^KE t = xj0 LOKALXNYM \KSTREMUMOM I DIFFERENCIRUEMA W
\TOJ TO^KE. pO\TOMU (SM. 39.2)@f@xj
(x0) =d'jdt
(xj0) = 0. tAK KAK \TO WERNO
DLQ L@BOGO j = 1; n, TO f 0(x0) =�@f@x1
(x0); : : : ;@f@xn
(x0)
�= 0: >
x85. dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII1. t E O R E M A. pUSTX OTOBRAVENIE f : ! R
n ( � Rn) NEPRE-
RYWNO DIFFERENCIRUEMO, PRI^�EM KASATELXNOE OTOBRAVENIE f 0(a) OBRA-TIMO (a 2 FIKSIROWANO). tOGDA SU]ESTWU@T OTKRYTYE MNOVESTWA
U (a 2 U � ) I V � Rn TAKIE, ^TO f : U ! V | BIEKCIQ, A OBRATNOE
(K f) OTOBRAVENIE g : V ! U NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO I
(1) g0(y) = [f 0(g(y))]�1 (y 2 V ):� nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, S^ITAEM, ^TO a = f(a) = �; f 0(�) = I | TOV-
DESTWENNOE OTOBRAVENIE. feSLI \TO NE TAK, TO MOVNO PEREJTI K NOWOMUOTOBRAVENI@
~f(x) = f 0(a)�1ff(x+ a)� f(a)g; x 2 ~ � fx� aj x 2 g;
133
KOTOROE NUVNYMI SWOJSTWAMI OBLADAET.g tAK KAK f NEPRERYWNO DIFFE-RENCIRUEMO, SU]ESTWUET U = BR(�) TAKOE, ^TO
(2) kf 0(x)� Ik < 1=2 (x 2 U):nERAWENSTWO (2) OBESPE^IWAET, W ^ASTNOSTI, ^TO LINEJNOE OTOBRAVENIE
f 0(x) OBRATIMO PRI L@BOM x 2 U . |TO SLEDUET IZ OCENKI kf 0(x)(h)k �khk � k(f 0(x)� I)hk � 1
2khk S U^�ETOM 73.2.
pOLOVIM V = f(U). tAKIM OBRAZOM, f : U ! V | S@R_EKCIQ PO PO-
STROENI@. iTAK, NEOBHODIMO USTANOWITX, ^TO (A) f : U ! V | IN_EKCIQ,
(B) V OTKRYTO, (W) IMEET MESTO FORMULA (1).
pROWERIM (A). pUSTX x; x+ h 2 U PROIZWOLXNY. rASSMOTRIM WEKTOR-
FUNKCI@ F (t) � f(x+ th)� th (0 � t � 1). tOGDA (TAK KAK x+ th 2 U (0 �t � 1)) IMEEM dF (t) = (f 0(x+ th)� I)(h)dt: oTS@DA S U^�ETOM (2)
kf(x+ h)� f(x)� hk = kF (1)� F (0)k = kZ 1
0(f 0(x+ th)� I)(h) dtk
�Z 1
0kf 0(x+ th)� Ikkhk dt � 1
2khk:
pO\TOMU
(3) kf(x+ h)� f(x)k � 1
2khk;
TO ESTX f : U ! V | IN_EKCIQ.
(B). pUSTX x 2 U I r > 0 TAKOWO, ^TO Br[x] � U . pOKAVEM, ^TO
B 14r(f(x)) � V (OTS@DA SLEDUET, RAZUMEETSQ, ^TO V OTKRYTO).
iTAK, PUSTX WEKTOR y 2 B 14r(f(x)) PROIZWOLEN. pOKAVEM, ^TO SU]EST-
WUET x� 2 Br(x) TAKOJ, ^TO f(x�) = y. |TO O^EWIDNO, ESLI y = f(x) (TOGDA
x� = x). pUSTX y 6= f(x). wWED�EM FUNKCI@
'(u) = ky � f(u)k2 (u 2 Br[x]):
w SILU 70.2 SU]ESTWUET TO^KA x� 2 Br[x] TAKAQ, ^TO '(x�) = infu2Br[x]
'(u).
nA SAMOM DELE x� 2 Br(x) (DEJSTWITELXNO, RAWENSTWO kx�x�k = r WLE^�ET
S U^�ETOM (3)
1
2r � kf(x�)� f(x)k � '(x�)
1=2 + '(x)1=2 < '(x�)1=2 +
1
4r;
134
TO ESTX '(x) < 116 � r2 < '(x�), ^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO ' DOSTIGAET
MINIMUMA W x� ). fUNKCIQ ' DIFFERENCIRUEMA W x�, I W SILU 84.2
'0(x�) =
��2 nP
i=1(yi � f i(x�))
@f i
@x1(x�); : : : ;�2
nPi=1
(yi � f i(x�))@f i
@xn(x�)
�
= �2�@f i
@xj(x�)
��264y1 � f1(x�)
: : :
yn � fn(x�)
375 = 0:
nO MATRICA qKOBI f 0(x�) =
�@f i
@xj(x�)
�OBRATIMA (SM. ZAME^ANIE POSLE
FORMULY (2)), TAK ^TO y � f(x�) = �, ^TO I TREBOWALOSX.
(W). pUSTX y 2 V PROIZWOLEN, y+k 2 V; x = g(y) I g(y+k)� g(y) = h.
tOGDA k = f(x + h) � f(x). w SILU (3) kkk � 12khk, TAK ^TO k ! �
WLE^�ET h! �. oTS@DA SLEDUET NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ g. dALEE k =
f 0(x)h+ o(h) (h! �). pOSKOLXKU LINEJNOE OTOBRAVENIE f 0(x) OBRATIMO,IMEEM
g(y + k)� g(y) = f 0(x)�1k + o(h) (h! �):
nAKONEC, limk!�
ko(h)kkkk = lim
k!�
ko(h)kkhk � khkkkk = 0, OTKUDA
g(y + k)� g(y) = f 0(g(y))�1k + o(k) (k ! �): >
2. p R I M E R. oTOBRAVENIE f(x; y) = (ex cos y; ex sin y)((x; y) 2 R2) NE-PRERYWNO DIFFERENCIRUEMO, PRI^�EM KASATELXNOE OTOBRAVENIE (SM. 77.6)
OBRATIMO W KAVDOJ TO^KE (x; y) 2 R2, TAK KAK det f 0(x; y) = e2x 6= 0:
nAJD�EM PROIZWODNU@ OBRATNOGO (K f) OTOBRAVENIQ
g(u; v) = (g1(u; v); g2(u; v)) ((u; v) 2 R2):mY IMEEM
f � g(u; v) = (expfg1(u; v)g cos g2(u; v); expfg1(u; v)g sin g2(u; v)) = (u; v);
OTKUDA expfg1(u; v)g cos g2(u; v) = u; expfg1(u; v)g sin g2(u; v) = v. pO\TO-
MU
g0(u; v) = f 0(g1(u; v); g2(u; v))�1
=
�expfg1(u; v)g cos g2(u; v) � expfg1(u; v)g sin g2(u; v)expfg1(u; v)g sin g2(u; v) expfg1(u; v)g cos g2(u; v)
��1
=
�u �vv u
��1= 1u2 + v2
�u v
�v u
�:
135
x86. ~ASTNYE PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW1. dO SIH POR RE^X [LA O 1-J PROIZWODNOJ OTOBRAVENIQ. pUSTX f : !
F , GDE | OTKRYTOE MNOVESTWO W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E, I F |
DRUGOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. eSLI f DIFFERENCIRUEMO W KAVDOJ TO^-
KE x 2 , TO MOVNO GOWORITX O PROIZWODNOM OTOBRAVENII
f 0 : ! L(E;F ). w SWO@ O^EREDX, ESLI \TO OTOBRAVENIE DIFFERENCI-
RUEMO W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA , TO OPREDELENO WTOROE PROIZWODNOE
OTOBRAVENIE f 00 � (f 0)0; f 00 : ! L(E;L(E;F )). aNALOGI^NO WWODQTSQ
PROIZWODNYE OTOBRAVENIQ WYS[IH PORQDKOW. mY NE BUDEM IZU^ATX WYS-
[IE PROIZWODNYE W OB]EM SLU^AE, PAMQTUQ O TOM, ^TO PEREHODOM K KOOR-
DINATNYM FUNKCIQM OTOBRAVENIQ f , MOVNO REDUCIROWATX IH IZU^ENIE K
SLU^A@ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH.
2. dLQ FUNKCII f : ! R ( � Rn) MOGUT BYTX WWEDENY POSLEDOWA-
TELXNO ^ASTNYE PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW:
@2f
@xi@xj� @
@xi
@f
@xj
!;
@3f
@xi@xj@xk� @
@xi
@2f
@xj@xk
!I T. P.
w ^ASTNOSTI,@2f@xi@xi
OBOZNA^AETSQ ^EREZ@2f
@xi2 .
3. [nEZAWISIMOSTX OT PORQDKA DIFFERENCIROWANIQ]. pUSTX
@kf@xj1 : : : @xjk
;@kf
@xi1 : : : @xikOPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI
x I NEPRERYWNY W x, A fi1; : : : ; ikg | NEKOTORAQ PERESTANOWKA INDEKSOW
j1; : : : ; jk. tOGDA
@kf
@xj1 : : : @xjk(x) =
@kf
@xi1 : : : @xik(x):
� oGRANI^IMSQ PRI DOKAZATELXSTWE SLU^AEM k = 2 DLQ FUNKCII DWUH
PEREMENNYH. iTAK, PUSTX
�1hf(u; v) = f(u + h; v)� f(u; v);
�2hf(u; v) = f(u; v + h)� f(u; v):
136
tOGDA �1h(�
2hf(u; v)) = �2
h(�1hf(u; v)). s DRUGOJ STORONY,
�1h(�
2hf(u; v)) = �1
h
�h@f@v
(u; v + �h)
�
= h
�@f@v
(u+ h; v + �h)� @f@v
(u; v + �h)
�
= h2@2f@u@v
(u+ �1h; v + �h) (0 < �; �1 < 1):
w \TOJ WYKLADKE PRIMENENA FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA
K FUNKCII w ! f(u;w) f\TO WOZMOVNO, TAK KAK@f@v
OPREDELENA I NE-
PRERYWNA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI (u; v)g, A TAKVE | K FUNKCII w !@f@v
(w; v + �h). tAK KAK@2f@u@v
NEPRERYWNA W TO^KE (u; v), IMEEM
@2f@u@v
(u; v) = limh!0
@2f@u@v
(u+ �1h; v + �h) = limh!0
�1h(�
2hf(u; v))
h2
= limh!0
�2h(�
1hf(u; v))
h2=
@2f@v@u
(u; v): >
4. dOKAZANNOE UTWERVDENIE POZWOLQET WWESTI DIFFERENCIALY WYS-
[IH PORQDKOW DLQ FUNKCIJ NESKOLXKIH PEREMENNYH. pUSTX WSE ^AST-
NYE PROIZWODNYE@2f
@xi@xjOPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x =
(x1; : : : ; xn) I NEPRERYWNY W SAMOJ TO^KE x. tOGDA
d2f(x) �nX
i;j=1
@2f
@xi@xj(x)dxidxj:
|TO KWADRATI^NAQ FORMA NEZAWISIMYH PEREMENNYH dx1; : : : ; dxn. aNALO-
GI^NO d3f(x) � nPi;j;k=1
@3f(x)
@xi@xj@xkdxidxjdxk I T. P.
x87. fORMULA tEJLORA DLQ FUNKCIJ NESKOLXKIHPEREMENNYH
1. pUSTX FUNKCIQ f : ! R ( � Rn OTKRYTO) OBLADAET NEPRE-
RYWNYMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI DO PORQDKA s WKL@^ITELXNO. pUSTX
x0 2 I � > 0 TAKOWO, ^TO B�(x0) � . tOGDA DLQ L@BOGO WEKTORA
x = (x1; : : : ; xn) 2 B�(x0)
(1) f(x) =s�1Xk=0
1
k!�
nXj1;:::;jk=1
(xj1 � xj10 ) : : : (x
jk � xjk0 ) �
@kf(x0)
@xj1 : : : @xjk+Rs(x);
137
GDE
Rs(x) =1
s!�
nXj1;:::;js=1
(xj1 � xj10 ) : : : (x
js � xjs0 )@sf(x0 + �(x� x0))
@xj1 : : : @xjs
| OSTATOK W FORME lAGRANVA (ZDESX � = �(x; s) 2 (0; 1)).
� wWED�EM SKALQRNU@ FUNKCI@ F (t) = f(x0 + t(x � x0)); t 2 [0; 1]. w
SOOTWETSTWII S 77.4 F 0(t) =nPj=1
(xj � xj0)@f@xj
(x0 + t(x � x0)). pODOBNYM
OBRAZOM
(2) F (k)(t) =nX
j1;:::;jk=1
(xj1 � xj10 ) : : : (x
jk � xjk0 ) �
@kf(x0 + t(x� x0))
@xj1 : : : @xjk:
w SILU PREDPOLOVENIJ O FUNKCII f IMEET MESTO FORMULA tEJLORA DLQ
F (SM. 34.2): F (t) =s�1Pk=0
1k!tkF (k)(0)+ ts � 1
s!F (s)(�t). oTS@DA f(x) = F (1) =
s�1Pk=0
1k!F (k)(0) + 1
s!F (s)(�). s U^�ETOM (2) POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU (1).>
2. pRI SDELANNYH WY[E PREDPOLOVENIQH O FUNKCII f IMEET MESTO
FORMULA tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO:
(3) f(x) =sP
k=0
1k!
nPj1;:::;jk=1
(xj1 � xj10 ) : : : (xjk � xjk0 ) � @kf(x0)
@xj1 : : : @xjk
+ o(kx� x0ks) (x! x0):
� iZ NEPRERYWNOSTI ^ASTNYH PROIZWODNYH s-GO PORQDKA DLQ FUNKCII fSLEDUET, ^TO "j1:::js � @sf(x0 + �(x� x0))
@xj1 : : : @xjs� @sf(x0)
@xj1 : : : @xjs! 0 (x ! x0).
iZ FORMULY (1) IMEEM�����f(x)�sP
k=0
1k!
nPj1;:::;jk=1
(xj1 � xj10 ) : : : (x
jk � xjk0 )
@kf(x0)
@xj1 : : : @xjk
�����= 1s!
�����nP
j1;:::;js=1"j1:::js(x)(x
j1 � xj10 ) : : : (x
js � xjs0 )
������ 1s!maxj1:::js
j"j1:::js(x)j"nPj=1
jxj � xj0j#s
138
� ns=2 � 1s!maxj1:::js
j"j1:::js(x)jkx� x0ks:s U^�ETOM (4) OTS@DA NEMEDLENNO SLEDUET (3).>
x88. lOKALXNYJ \KSTREMUM FUNKCII
1. pUSTX ZADANA FUNKCIQ f : ! R ( � Rn | OTKRYTO), I NADO
OTYSKATX TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA \TOJ FUNKCII. dOPUSTIM, ^TO f
OBLADAET NEPRERYWNYMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA. w SILU
84.2 TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA SLEDUET ISKATX SREDI TO^EK, W KOTORYH
WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE 1-GO PORQDKA OBRA]A@TSQ W NULX. pUSTX x0 |
ODNA IZ TAKIH TO^EK, TO ESTX
(1)@f
@xj(x0) = 0 (1 � j � n):
pOKAVEM, KAK MOVNO UZNATX, IMEET LI FUNKCIQ f W TO^KE x0 LOKALXNYJ
\KSTREMUM I KAKOW HARAKTER \TOGO \KSTREMUMA. wOSPOLXZUEMSQ DLQ \TOGO
FORMULOJ tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO. s U^�ETOM (1) IMEEM
(2) f(x) � f(x0) =1
2
nXj;k=1
ajkhjhk + o(khk2) (x! x0);
GDE ajk =@2f(x0)
@xj@xk; hj = xj � x
j0 (1 � j � n); h = (h1; : : : ; hn). iZ \TOGO
PREDSTAWLENIQ QSNO, ^TO POWEDENIE RAZNOSTI f(x) � f(x0) W OKRESTNOSTI
TO^KI x0 OPREDELQETSQ POWEDENIEM KWADRATI^NOJ FORMY
(3) a(h) =nX
j;k=1
ajkhjhk:
sFORMULIRUEM SOOTWETSTWU@]IE WYWODY.
2.fORMA (3) STROGO POLOVITELXNO OPREDELENA, TO ESTX a(h) > 0 DLQ
L@BOGO h 6= �. tOGDA f OBLADAET W TO^KE x0 LOKALXNYM MINIMUMOM.
3. fORMA (3) STROGO OTRICATELXNO OPREDELENA, TO ESTX a(h) < 0 DLQ
L@BOGO h 6= �. tOGDA f OBLADAET W TO^KE x0 LOKALXNYM MAKSIMUMOM.
4. fORMA (3) OPREDELENA NE STROGO, TO ESTX a(h) � 0 LIBO a(h) � 0
DLQ WSEH h, I SU]ESTWUET h0 6= � TAKOE, ^TO a(h0) = 0. w \TOM SLU^AE
139
WOPROS O SU]ESTWOWANII LOKALXNOGO \KSTREMUMA W TO^KE x0 OSTAETSQ
OTKRYTYM.
5. w OSTALXNYH SLU^AQH \KSTREMUMA ZAWEDOMO NET.
� p.2. fORMA (3) NA EDINI^NOJ SFERE S = fu 2 Rnj kuk = 1g NEPRERYWNAI, SLEDOWATELXNO, DOSTIGAET MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ (SM. 70.2): a(u0) =
minu2S
a(u) > 0: wYBEREM � > 0 TAK, ^TOBYjo(khk2)jkhk2 <
a(u0)4 (h 2 B�(�)),
GDE OSTATOK o(khk2) OPREDEL�EN FORMULOJ (2). w SILU RAWENSTWA
(4) f(x)� f(x0) = kx� x0k2"1
2a
x� x0
kx� x0k!+o(kx� x0k2)kx� x0k2
#
IMEEM DLQ L@BOGO x 2 B�(x0) (x 6= x0)
f(x)� f(x0) > kx� x0k2"1
2a(u0) +
o(kx� x0k2)kx� x0k2
#> kx� x0k2a(u0)
4> 0;
TO ESTX x0 | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII f . aNALOGI^NO RAS-
SMATRIWAETSQ P. 3.
p.4. pUSTX a(h0) = 0 W NEKOTOROJ TO^KE h0 6= �. tOGDA a(h) = 0 DLQ
WSEH h = �h0 (� 2 R), I W TO^KAH WIDA x = x0 + �h0 IMEEM f(x)� f(x0) =
o(khk2) (x! x0) | ZNAK OSTATKA NEIZWESTEN. w \TOM SLU^AE NEOBHODIMO
BOLEE DETALXNOE ISSLEDOWANIE S POMO]X@ PROIZWODNYH WYS[EGO PORQDKA.
p.5. w \TOM SLU^AE SU]ESTWU@T u; v 2 S TAKIE, ^TO a(u) > 0; a(v) < 0:
iZ PREDSTAWLENIQ (4) SLEDUET, ^TO W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI
x0 RAZNOSTX f(x)� f(x0) NE QWLQETSQ ZNAKOPOSTOQNNOJ, I ZNA^IT, W TO^KE
x0 LOKALXNOGO \KSTREMUMA NET. >
6. z A M E ^ A N I E. nAPOMNIM IZWESTNYJ IZ ALGEBRY KRITERIJ
sILXWESTRA, POZWOLQ@]IJ \FFEKTIWNO RE[ATX WOPROS OB OPREDEL�ENNOSTI
KWADRATI^NOJ FORMY. rASSMOTRIM SISTEMU MINOROW FORMY a(h):
�1 = a11; �2 =
���� a11 a12a21 a22
���� ; : : : ; �n =
�������a11 : : : a1n: : : : : : : : :
an1 : : : ann
������� :
(A) eSLI�1 > 0; : : : ;�n > 0; TO a(h) STROGO POLOVITELXNO OPREDELENA.
140
(B) eSLI �1 < 0;�2 > 0; : : : ; (�1)n�n > 0; TO a(h) STROGO OTRICATELX-
NO OPREDELENA.
(W) eSLI WSE GLAWNYE MINORY MATRICY [ajk] NEOTRICATELXNY ILI NE-
OTRICATELXNY WSE GLAWNYE MINORY MATRICY [�ajk] I SU]ESTWUET k TAKOE,^TO �k = 0, TO a(h) OPREDELENA NE STROGO.
(G) w OSTALXNYH SLU^AQH a(h) NE OPREDELENA.
x89. tEOREMA O SU]ESTWOWANII NEQWNOJ FUNKCII1. rASSMOTRIM SNA^ALA POSTANOWKU ZADA^I W PROSTEJ[EM (PLOSKOM)
SLU^AE. pUSTX ZADANO URAWNENIE
(1) f(x; y) = 0 ((x; y) 2 � R2; � OTKRYTO):
rAZRE[IMO LI ONO OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x?vELAQ PRIWLE^X DLQ RE-
[ENIQ \TOJ ZADA^I METODY DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ, MY DOLVNY
RASSMATRIWATX \TU ZADA^U S LOKALXNOJ TO^KI ZRENIQ. iTAK, PUSTX f NE-
PRERYWNO DIFFERENCIRUEMA W (TO ESTX OBLADAET W NEPRERYWNYMI
^ASTNYMI PROIZWODNYMI f 0x; f0y, I TO^KA (x0; y0) 2 | RE[ENIE URAWNE-
NIQ (1), TO ESTX f(x0; y0) = 0. pRI KAKIH USLOWIQH URAWNENIE (1) RAZRE-
[IMO OTNOSITELXNO x W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI (x0; y0)?
dLQ RE[ENIQ ZADA^I WOSPOLXZUEMSQ OSNOWNOJ IDEEJ DIFFERENCIALXNO-
GO IS^ISLENIQ | LOKALXNOJ LINEJNOJ APPROKSIMACIEJ FUNKCIJ. dIFFE-
RENCIRUQ (1), POLU^IM URAWNENIE KASATELXNOJ K KRIWOJ, ZADANNOJ URAW-
NENIEM (1), W TO^KE (x0; y0):
(2) f 0x(x0; y0)(x� x0) + f 0y(x0; y0)(y � y0) = 0:
|TO LINEJNOE URAWNENIE LOKALXNO APPROKSIMIRUET URAWNENIE (1). pO\TO-
MU ESLI URAWNENIE (2) RAZRE[IMO OTNOSITELXNO x, TO MOVNO NADEQTXSQ,
^TO \TO VE WERNO DLQ URAWNENIQ (1). uSLOWIE RAZRE[IMOSTI (2) OTNOSI-
TELXNO x O^ENX PROSTOE: f 0x(x0; y0) 6= 0: iTAK, MY \WRISTI^ESKI PRI[LI K
SLEDU@]EMU UTWERVDENI@:
2. pUSTX FUNKCIQ f(x; y) OPREDELENA I NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA
W OTKRYTOM MNOVESTWE � R2, PRI^�EM
1) f(x0; y0) = 0,
2)@f@x
(x0; y0) 6= 0.
141
tOGDA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U TO^KI y0 OPREDELENA FUNKCIQ
x = '(y) (y 2 U) TAKAQ, ^TO f('(y); y) = 0 (y 2 U).oB]AQ TEOREMA O SU]ESTWOWANII NEQWNOJ FUNKCII QWLQETSQ OBOB]E-
NIEM PRIWED�ENNOJ WY[E TEOREMY NA WEKTORNYJ SLU^AJ.
3. pUSTX SISTEMA URAWNENIJ
(3)
8><>:f1(x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym) = 0;
: : :
fn(x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym) = 0
OTNOSITELXNO NEIZWESTNYH x1; : : : ; xn S PARAMETRAMI y1; : : : ; ym OBLADA-
ET SWOJSTWAMI:
1) WEKTOR x0 = (x10; : : : ; xn0) 2 Rn QWLQETSQ RE[ENIEM SISTEMY (3) DLQ
WEKTORA-PARAMETRA y0 = (y10; : : : ; ym0 ),
2) det
�@f i
@xj(v)
�6= 0, GDE v = (x10; : : : ; x
n0 ; y
10; : : : ; y
m0 ) 2 Rn+m,
I WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE@f i
@xj;@f i
@ysNEPRERYWNY W NEKOTOROJ OKREST-
NOSTI WEKTORA v.
tOGDA SISTEMA (3) RAZRE[IMA OTNOSITELXNO x1; : : : ; xn PRI L@BOM
y = (y1; : : : ; ym) IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U WEKTORA y0:
x1 = '1(y1; : : : ; ym);
(4) : : :
xn = 'n(y1; : : : ; ym); y = (y1; : : : ; ym) 2 U(� Rm).
pRI \TOM OTOBRAVENIE ' : U ! Rn, OPREDELQEMOE KOORDINATNYMI
FUNKCIQMI '1; : : : 'n, NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO.
� pUSTX | OKRESTNOSTX TO^KI v, W KOTOROJ WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE@f i
@xj;@f i
@ysNEPRERYWNY. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE
F (x; y) = (f1(x; y); : : : ; fn(x; y); y)
(ZDESX I DALEE x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; ym)). oNO NEPRERYWNO DIF-
142
FERENCIRUEMO W I MATRICA qKOBI DLQ F 0(v) IMEET WID
266666666666666664
@f1
@x1(v) : : :
@f1
@xn(v) j @f1
@y1(v) : : :
@f1
@ym(v)
: : : : : : : : : j : : : : : : : : :@fn
@x1(v) : : :
@fn
@xn(v) j @fn
@y1(v) : : :
@fn
@ym(v)
�� �� �� �� �� �� �� ��j 1 0 : : : 0
j 0 1 : : : 0
0 j : : : : : : : : : : : :
j 0 0 : : : 1
377777777777777775
:
iZ USLOWIQ 2) SLEDUET, ^TO LINEJNOE OTOBRAVENIE F 0(v) OBRATIMO W Rn+m.pO TEOREME 85.1 O DIFFERENCIROWANII OBRATNOJ FUNKCII SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX V (� ) TO^KI v I OKRESTNOSTX W (� Rn+m) TO^KI
(0; : : : ; 0; y10; : : : ; ym0 ) TAKIE, ^TO F : V ! W OBLADAET NEPRERYWNO DIF-
FERENCIRUEMYM OBRATNYM OTOBRAVENIEM
G : W ! V; TO ESTX G(f1(x; y); : : : ; fn(x; y); y) = (x; y):
eSLI 1; : : : ; n+m | KOORDINATNYE FUNKCII OTOBRAVENIQ G, TO
xj = j(f1(x; y); : : : ; fn(x; y); y); 1 � j � n:
pUSTX U | TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI y0, ^TO (0; : : : ; 0; y1; : : : ; ym) 2 W ,
WSQKIJ RAZ, KOGDA y 2 U . tOGDA FUNKCII
'j(y1; : : : ; ym) � j(0; : : : ; 0; y1; : : : ; ym); 1 � j � n;
QWLQ@TSQ ISKOMYMI. dEJSTWITELXNO,
(f1( 1(�; y); : : : ; n(�; y); y); : : : ; fn( 1(�; y); : : : ; n(�; y); y); y)
= F �G(�; y) = (�; y);
OTKUDA f j('1(y); : : : ; 'n(y); y) = 0; 1 � j � n. tAKIM OBRAZOM, xj =
'j(y) (1 � j � n) UDOWLETWORQ@T SISTEME (4). >
143
x90. lOKALXNYJ OTNOSITELXNYJ \KSTREMUM1. pUSTX � R
n I ZADANY FUNKCII f : ! R; f j : ! R
(1 � j � m < n); ~ = fx 2 j f1(x) = : : : = fm(x) = 0g. tO^KAx0 2 e NAZYWAETSQ TO^KOJ OTNOSITELXNOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA FUNK-
CII f , ESLI 9� > 0 8x 2 B�(x0)\ ~ (f(x) � f(x0)). aNALOGI^NO OPREDELQ-
@TSQ TO^KI LOKALXNOGO OTNOSITELXNOGO MINIMUMA.
2. bUDEM ZANIMATXSQ ISSLEDOWANIEM FUNKCII f NA LOKALXNYJ OTNO-
SITELXNYJ \KSTREMUM PRI USLOWIQH
f1(x) = : : : = fm(x) = 0 (m < n);
GDE f; f j NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY. pUSTX Rg
�@f j
@xk(x0)
�= m (RANG
MATRICY
�@f j
@xk(x0)
�RAWEN m). pUSTX, NAPRIMER,
det
2664@f1
@x1(x0) : : :
@f1
@xm(x0)
: : : : : : : : :@fm
@x1(x0) : : :
@fm
@xm(x0)
3775 6= 0:
zAPI[EM WEKTOR x W WIDE x = (x1; : : : ; xm; xm+1; : : : ; xn) = (u; v), GDE
u = (x1; : : : ; xm); v = (xm+1; : : : ; xn). pO TEOREME 89.3 O SU]ESTWOWA-
NII NEQWNOJ FUNKCII SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI x0 = (u0; v0) I NE-
PRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII 'j(v) (1 � j � m) TAKIE, ^TO
xj = 'j(v) (1 � j � m) UDOWLETWORQ@T SISTEME URAWNENIJ8><>:f1(u; v) = 0;
: : :
fm(u; v) = 0;
TO ESTX f j('1(v); : : : ; 'm(v); v) = 0 (1 � j � m) W NEKOTOROJ OKRESTNOS-
TI TO^KI v0 = (xm+10 ; : : : ; xn0). pODSTAWIW '
j(v) WMESTO xj W FUNKCI@ f ,
POLU^IM FUNKCI@ �(v) � f('1(v); : : : ; 'm(v); v). tEPERX SFORMULIRUEM
NEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO OTNOSITELXNOGO \KSTREMUMA.
3. eSLI x0 = (u0; v0) | TO^KA OTNOSITELXNOGO \KSTREMUMA FUNK-
CII f , TO v0 = (xm+10 ; : : : ; xn0) | TO^KA ABSOL@TNOGO (W SMYSLE 84:1)
LOKALXNOGO \KSTREMUMA DLQ �.
144
� pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI x0 = (u0; v0) | TO^KA OTNOSITELXNOGO LO-
KALXNOGO MAKSIMUMA DLQ f . tOGDA DLQ TO^EK v, DOSTATO^NO BLIZKIH K
v0, WEKTOR ('1(v); : : : ; 'm(v); v) 2 e, TAK KAK f j('1(v); : : : ; 'm(v); v) = 0
(1 � j � m). pO\TOMU
�(v) = f('1(v); : : : ; 'm(v); v) � f('1(v0); : : : ; 'm(v0); v0) = �(v0): >
x91. mETOD lAGRANVA1. iZLOVENNYJ WY[E METOD WYQWLENIQ \PODOZRITELXNYH" NA LOKALX-
NYJ OTNOSITELXNYJ \KSTREMUM TO^EK NA PRAKTIKE ^ASTO MALO\FFEKTI-
WEN, TAK KAK ON SWQZAN S NAHOVDENIEM FUNKCIJ W QWNOM WIDE. bOLEE UPO-
TREBITELEN mETOD lAGRANVA, KOTORYJ SOSTOIT W SLEDU@]EM:
1) NAHODITSQ OBLASTX
e = fx 2 j f1(x) = : : : = fm(x) = 0; Rg
"@f i
@xk(x)
#= mg;
2) WWODITSQ WSPOMOGATELXNAQ FUNKCIQ F (x) = f(x)� mPj=1
�jfj(x),
3) SISTEMY URAWNENIJ
(1)@F
@xk(x) =
@f
@xk(x)�
mXj=1
�j@f j
@xk(x) = 0; 1 � k � n;
(2) f j(x) = 0; 1 � j � m;
RE[A@TSQ SOWMESTNO OTNOSITELXNO n+m NEIZWESTNYH x1; : : : ; xn; �1; : : : ; �m.
tOGDA:
2. eSLI x0 | TO^KA OTNOSITELXNOGO LOKALXNOGO \KSTREMUMA, TO
NAJDUTSQ TAKIE ~�1; : : : ~�m, ^TO DLQ TO^KI (x10; : : : ; xn0 ;~�1; : : : ~�m) UDOWLE-
TWORQ@TSQ SISTEMY (1) | (2).
� sISTEMA (2) UDOWLETWORQETSQ, TAK KAK x0 2 e. dLQ PROWERKI RAWENSTW(1) POKAVEM SNA^ALA, ^TO ESLI x0 | TO^KA LOKALXNOGO OTNOSITELXNOGO
\KSTREMUMA, TO
(3) df(x0)(h) =nXk=1
@f
@xk(x0)h
k = 0
145
DLQ L@BOGO WEKTORA h = (h1; : : : ; hn), KOORDINATY KOTOROGO UDOWLETWORQ-
@T LINEJNYM SWQZQM
(4)nXk=1
@f j
@xk(x0)h
k = 0; 1 � j � m:
w OBOZNA^ENIQH x90 v0 = (xm+10 ; : : : ; xn0) | TO^KA ABSOL@TNOGO LOKALXNOGO
\KSTREMUMA DLQ FUNKCII �(v), I W SILU 84.2
@�
@xs(v0) =
mXj=1
@f
@xj(x0)
@'j
@xs(v0) +
@f
@xs(x0) = 0; m+ 1 � s � n:
w SILU RAWENSTW xj = 'j(v) (1 � j � m) ZAWISIMYE KOORDINATY hj (1 �j � m) WEKTORA h RAWNY hj = dxj =
nPs=m+1
@'j
@xs(v0)h
s(1 � j � m), ^TO
\KWIWALENTNO (4). sLEDOWATELXNO,
df(x0)h =nPk=1
@f
@xk(x0)h
k =mPj=1
@f@xj
(x0)
nP
s=m+1
@'j
@xs(v0)h
s
!
+nP
s=m+1
@f@xs
(x0)hs =
nPs=m+1
f @f@xs
(x0) +mPj=1
@f@xj
(x0)@'j
@xs(v0)ghs
=nP
s=m+1
@�@xs
(v0)hs = 0:
rAWENSTWA (3){(4) OZNA^A@T, ^TO ESLI WEKTOR h ORTOGONALEN WSEM WEK-
TORAM kj =
�@f j
@x1(x0); : : : ;
@f j
@xn(x0)
�; 1 � j � m, TO ON ORTOGONALEN I
WEKTORU k =
�@f@x1
(x0); : : : ;@f@xn
(x0)
�. sLEDOWATELXNO (SM. 62.9), WEKTOR k
ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ WEKTOROW kj , TO ESTX SU]ESTWU@Tf�j TAKIE, ^TO
k =mPj=1
f�jkj , ILI @f
@xk(x0) =
mPj=1
~�j@f j
@xk(x0). uTWERVDENIE DOKAZANO. >
3. dALEE, \PODOZRITELXNYE" NA \KSTREMUM TO^KI NUVNO ISSLEDOWATX
S POMO]X@ IZWESTNOJ KWADRATI^NOJ FORMY DLQ WSPOMOGATELXNOJ FUNK-
CII F . w SILU (1) @F@xk
(x0) = 0 (1 � k � n). pO\TOMU, POLAGAQ bjk =
@2F@xj@xk
(x0), IMEEM
F (x)� F (x0) =1
2
nXj;k=1
bjk(xj � x
j0)(x
k � xk0) + o(kx� x0k2) (x! x0):
146
eSLI KWADRATI^NAQ FORMA b(h) =nP
j;k=1bjkh
jhk, NAPRIMER, STROGO POLOVI-
TELXNO OPREDELENA, TO x0 | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA DLQ F , A ZNA^IT,
I DLQ f !
4. z A M E ^ A N I E. iSSLEDOWANIE b(h) NA OPREDEL�ENNOSTX SLEDUET
PROWODITX S U^�ETOM (4); SME]ENIQ hj (1 � j � m) TEPERX ZAWISQT OT
SME]ENIJ hs (m + 1 � s � n): FORMA b(h) MOVET NE BYTX OPREDEL�ENNOJ,
ESLI S^ITATX WSE hj (1 � j � n) NEZAWISIMYMI, NO PRI U^�ETE SWQZEJ (4)
ONA MOVET OKAZATXSQ OPREDEL�ENNOJ.
147
|lementy ob}ej topologii
x92. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO
1. pUSTX M | MNOVESTWO. fUNKCIQ d : M � M ! R NAZYWAETSQ
METRIKOJ W M , ESLI ONA OBLADAET SWOJSTWAMI:
(I) d(x; y) � 0; d(x; y) = 0 , x = y,
(II) d(x; y) = d(y; x),
(III) d(x; y) � d(x; z) + d(z; y),
GDE x; y; z 2M PROIZWOLXNY. mNOVESTWO M S FIKSIROWANNOJ W N�EM MET-
RIKOJ d NAZYWAETSQ METRI^ESKIM PROSTRANSTWOM.
2. pUSTX (M;d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. mNOVESTWO B"(x) �fy 2 M j d(y; x) < "g NAZYWAETSQ OTKRYTYM [AROM RADIUSA " > 0 S
CENTROM W TO^KE x. mNOVESTWO X(� M) NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI
8x 2 X 9" > 0 (B"(x) � X). ~EREZ B"[x] BUDEM OBOZNA^ATX MNOVESTWO
fy 2M j d(y; x) � "g. oSNOWNYE SWOJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW:3. ;; M | OTKRYTYE MNOVESTWA.
4. eSLI X1; : : : ;Xn OTKRYTY, TOnTi=1
Xi OTKRYTO.
5. eSLI (Xi)i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW,
TOSi2IXi OTKRYTO.
6. z A M E ^ A N I E. dLQ L@BYH DWUH RAZLI^NYH TO^EK x; y W METRI-
^ESKOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B"(x) \B"(y) = ;.p R I M E R Y. 7. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. fUNKCIQ
d(x; y) = kx � yk (x; y 2 E) QWLQETSQ METRIKOJ W E. sOOTWETSTWU@]EE
PONQTIE OTKRYTOGO MNOVESTWA SOWPADAET S WWED�ENNYM W 63.1 PONQTIEM
OTKRYTOGO MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.
8. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO `2. tO^KAMI \TOGO PROSTRANSTWA QW-
LQ@TSQ KOMPLEKSNYE POSLEDOWATELXNOSTI x = (x1; x2; : : :), DLQ KOTORYH
148
1Pn=1
jxnj2 < +1. iZ NERAWENSTWA {WARCA 41.4 SLEDUET, ^TO FUNKCIQ
d(x; y) � [1Xn=1
jxn � ynj2]1=2 (x = (x1; x2; : : :); y = (y1; y2; : : :) 2 `2)
QWLQETSQ METRIKOJ W `2.
9. dISKRETNAQ METRIKA W MNOVESTWE M ZADA�ETSQ RAWENSTWOM
d(x; y) =
�1; ESLI x 6= y,
0; ESLI x = y.
w \TOM SLU^AE M NAZYWAETSQ DISKRETNYM METRI^ESKIM PROSTRANSTWOM.
w TAKOM PROSTRANSTWE
B"(x) =
�M; ESLI " > 1,
fxg; ESLI " � 1.
10. w METRI^ESKOM PROSTRANSTWE ESTESTWENNO OPREDELQETSQ PONQTIE
SHODIMOSTI. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) \LEMENTOW METRI^ESKOGO PROSTRAN-
STWA NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K \LEMENTU x (xn ! x), ESLI limnd(xn; x) = 0:
pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI
8" > 0 9N 8n;m > N (d(xn; xm) < "):
wSQKAQ SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX FUNDAMENTALXNA (!!). oDNAKO OB-
RATNOE UVE NE WSEGDA WERNO.mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO, W KOTOROM WSQKAQ
FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, NAZYWAETSQ POLNYM .
u P R A V N E N I Q. 11. oTKRYTYJ [AR B"(x) W METRI^ESKOM PRO-
STRANSTWE | OTKRYTOE MNOVESTWO.
12. pUSTX M | ^ASTX PROSTRANSTWA `2, SOSTOQ]AQ IZ WSEH POSLEDOWA-
TELXNOSTEJ x = (x1; x2; : : :), U KOTORYH xi 6= 0 LI[X DLQ KONE^NOGO ^ISLA
INDEKSOW i. pRIWEDITE PRIMER FUNDAMENTALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI W
M , KOTORAQ W M NE SHODITSQ (METRIKA W M ZAIMSTWOWANA IZ `2).
13. dISKRETNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO POLNO.
14. mOVET LI W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE [AR BOLX[EGO RADIUSA
LEVATX STROGO WNUTRI [ARA MENX[EGO RADIUSA?
149
x93. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO1. kAK MY UVE WIDELI, OSNOWNYE PONQTIQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA
(PREDEL FUNKCII, NEPRERYWNOSTX) MOGUT BYTX SFORMULIROWANY W TERMI-
NAH OKRESTNOSTEJ. oPREDELENIE OKRESTNOSTI TO^KI DO SIH POR SWQZYWA-
LOSX S PONQTIEM RASSTOQNIQ. dALXNEJ[EE RAZWITIE ANALIZA W BESKONE^-
NOMERNYH PROSTRANSTWAH ESTESTWENNO POSTAWILO NA POWESTKU DNQ SOZDA-
NIE KONCEPCII PROSTRANSTWA, W KOTOROM S KAVDOJ TO^KOJ SWQZYWALASX BY
SISTEMA OKRESTNOSTEJ, NE OBQZATELXNO SWQZANNAQ S KAKIM-LIBO RASSTOQ-
NIEM. |TO PRIWELO K PONQTI@ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA. nE IMEQ
ZDESX WOZMOVNOSTI UGLUBLQTXSQ W ISTORI@ WOPROSA, OTMETIM, ^TO WYBOR
AKSIOM TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, BYL REZULXTATOM DLITELXNYH PO-
ISKOW.
pRI OPREDELENII TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA UDOBNO ZA PERWI^NOE
BRATX PONQTIE OTKRYTOGO MNOVESTWA. oDNAKO W PRILOVENIQH ^ASTO UDOB-
NEE ZADAWATX TOPOLOGI@, ISHODQ IZ PONQTIQ OKRESTNOSTI TO^KI. nIVE MY
IZLOVIM OBA PODHODA.
2. pUSTX E | MNOVESTWO I UKAZANA SISTEMA T ^ASTEJ MNOVESTWA E,
OBLADA@]AQ SWOJSTWAMI:
(I) ;; E 2 T ,
(II) ESLI X1; : : : ;Xn 2 T , TOnTi=1
Xi 2 T ,
(III) ESLI (Xi)i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO IZ T , TO Si2IXi 2 T .
w \TOM SLU^AE SISTEMA T NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ W E, A \LEMENTY SISTE-
MY T NAZYWA@TSQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI. mNOVESTWO E S FIKSIRO-
WANNOJ W N�EM TOPOLOGIEJ T NAZYWAETSQ TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM
I OBOZNA^AETSQ (E;T ).~ITATELX, PO-WIDIMOMU, UVE OBRATIL WNIMANIE NA TO, ^TO ZA AKSI-
OMY TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA WZQTY OSNOWNYE SWOJSTWA OTKRYTYH
MNOVESTW W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE (SM. 92.2).
p R I M E R Y. 3. sISTEMA WSEH OTKRYTYH PODMNOVESTW METRI^ESKOGO
PROSTRANSTWA QWLQETSQ TOPOLOGIEJ. w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO TOPOLO-
GIQ OPREDELQETSQ METRIKOJ.
150
4. sEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW E QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E. |TA TO-
POLOGIQ NAZYWAETSQ DISKRETNOJ . oTMETIM, ^TO DISKRETNAQ TOPOLOGIQ
SOWPADAET S TOPOLOGIEJ, OPREDELQEMOJ DISKRETNOJ METRIKOJ. tOPOLOGIQ
T = f;; Eg NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ W E.
x94. sWOJSTWA OKRESTNOSTEJ
1. pUSTX T | TOPOLOGIQ W E.mNOVESTWO V (� E) NAZYWAETSQ OKREST-
NOSTX@ TO^KI x 2 E, ESLI 9U 2 T (x 2 U � V ). mNOVESTWO X(� E)
OTKRYTO TTOGDA X | OKRESTNOSTX KAVDOJ SWOEJ TO^KI (!!).
sEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE
(E; T ) OBOZNA^IM ^EREZ b(x). oNO OBLADAET SWOJSTWAMI (!!):
2. \U 2 b(x); U � V " ) V 2 b(x),
3. U; V 2 b(x) ) U \ V 2 b(x),
4. 8U 2 b(x) (x 2 U),5. 8U 2 b(x) 9V 2 b(x) 8y 2 V (U 2 b(y)).
|TI SWOJSTWA POLNOSTX@ HARAKTERIZU@T TOPOLOGI@ T :6. t E O R E M A. pUSTX KAVDOMU \LEMENTU x MNOVESTWA E POSTAW-
LENO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE SEMEJSTWO b(x) ^ASTEJ E, OBLADA@]EE
SWOJSTWAMI 2� 5. tOGDA W E SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ TOPOLOGIQ T ,DLQ KOTOROJ b(x) SLUVIT SISTEMOJ WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x (PRI
L@BOM x 2 E).� sEMEJSTWO T = fU � Ej 8x 2 U (U 2 b(x))g QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E(!!). oBOZNA^IM ^EREZ B(x) SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W \TOJ
TOPOLOGII, TO ESTX
B(x) = fV � Ej 9U 2 T (x 2 U � V )g:
pOKAVEM, ^TO b(x) = B(x). w SILU SWOJSTWA 2 B(x) � b(x). sPRAWEDLI-
WO I OBRATNOE WKL@^ENIE. pUSTX V 2 b(x) I U = fy 2 Ej V 2 b(y)g.uSTANOWIM, ^TO
(A) x 2 U; (B) U � V; (W) U 2 T :
|TO I BUDET OZNA^ATX, ^TO V 2 B(x). (A) O^EWIDNO.
(B): y 2 U ) V 2 b(y) ) y 2 V SOGLASNO SWOJSTWU 4.
151
(W): PUSTX y 2 U . tOGDA y 2 V I SOGLASNO SWOJSTWU 5 9W 2 b(y)
8z 2 W (V 2 b(z)). oTMETIM, ^TO W �V. dEJSTWITELXNO, z 2 W ) V 2b(z) ) z 2 U (SM. OPREDELENIEU); TOGDA W SILU SWOJSTWA 2 U 2 b(y). tA-
KIM OBRAZOM, (SM. POD^�ERKNUTOE) U QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ KAVDOJ SWOEJ
TO^KI W TOPOLOGII T , I POTOMU U 2 T : >7. sISTEMA F(� b(x)) NAZYWAETSQ BAZISOM OKRESTNOSTEJ TO^KI x
(ILI FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TO^KI x), ESLI
8U 2 b(x) 9V 2 F (V � U).
8. z A M E ^ A N I E. w PRILOVENIQH BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI IGRA-
ET ROLX LEGKO OBOZRIMOJ SISTEMY, PO KOTOROJ WOSSTANAWLIWAETSQ WSQ E�E
SISTEMA OKRESTNOSTEJ: ESLI F | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x, TO b(x) =
fU � Ej 9V 2 F (V � U)g.p R I M E R Y. 9. w DISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE ODNO-
TO^E^NOE MNOVESTWO fxg QWLQETSQ BAZISOM OKRESTNOSTEJ TO^KI x.
10. sISTEMA [AROW fB1=n(x)gn2N | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x W
METRI^ESKOM PROSTRANSTWE.
11. pUSTX W ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E ZADANY DWE TOPOLOGII TI T 0. gOWORQT, ^TO TOPOLOGIQ T 0 SILXNEE TOPOLOGII T , ESLI T � T 0.dRUGIMI SLOWAMI, T � T 0 TTOGDA DLQ L@BOGO x 2 E b(x) � b
0(x), GDEb(x) I b0(x) | SISTEMY WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLOGIQH T I
T 0 SOOTWETSTWENNO. w ^ASTNOSTI, DISKRETNAQ TOPOLOGIQ W MNOVESTWE |
SAMAQ SILXNAQ, A TRIWIALXNAQ TOPOLOGIQ | SAMAQ SLABAQ. gOWORQT, ^TO
TOPOLOGIQ T 0 STROGO SILXNEE TOPOLOGII T , ESLI T � T 0; T 6= T 0.
x95. rABO^IE PONQTIQ1. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I A � E. mNOVESTWO A
NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI Ac � EnA OTKRYTO. kLASS WSEH ZAMKNUTYH
MNOVESTW OBLADAET SWOJSTWAMI (!!):
(I) ;; E ZAMKNUTY,
(II) OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA ZAMKNUTYH MNOVESTW | ZAMKNUTOE
MNOVESTWO,
(III) PERESE^ENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW | ZA-
MKNUTOE MNOVESTWO.
152
2. tO^KA x NAZYWAETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ A, ESLI A 2 b(x).mNOVES-
TWO WSEH WNUTRENNIH TO^EK NAZYWAETSQ WNUTRENNOSTX@ MNOVESTWA A I
OBOZNA^AETSQ A�. wNE[NOSTX@ MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MNOVESTWO Ac�
(WNUTRENNOSTX DOPOLNENIQ A). oTMETIM NEKOTORYE POLEZNYE SWOJSTWA
WNUTRENNOSTI:
(i) A� | NAIBOLX[EE OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EESQ W A;
(ii) A OTKRYTO TTOGDA A = A�;
(iii) (A \B)� = A� \B� (A;B � E).
3. gOWORQT, ^TO x | TO^KA PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A, ESLI
8U 2 b(x) (U \ A 6= ;). mNOVESTWO WSEH TO^EK PRIKOSNOWENIQ A NAZY-
WAETSQ ZAMYKANIEM A I OBOZNA^AETSQ A�. iME@T MESTO SWOJSTWA:
(j) A� | NAIMENX[EE ZAMKNUTOE MNOVESTWO, OB_EML@]EE MNOVEST-
WO A,
(jj) A ZAMKNUTO TTOGDA A = A�,
(jjj) A�c = Ac�; A�c = Ac�,
(jv) (A [B)� = A� [B� (A;B � E):
� 1-E RAWENSTWO W (jjj) SPRAWEDLIWO W SILU \KWIWALENTNOSTEJ:x 2 A�c , x 2 EnA� , 9U 2 b(x) (U \A = ;) , Ac 2 b(x) , x 2 Ac�.(jv) SPRAWEDLIWO W SILU WYKLADKI (S U^�ETOM UKAZANNYH WY[E SWOJSTW):
(A [B)� = (A [B)�cc = (A [B)c�c = (Ac \Bc)�c = (Ac� \Bc�)c
= (A�c \B�c)c = A� [B�: >
4. tO^KA x NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA A, ESLI
8U 2 b(x) ( �U \ A 6= ;), GDE �U � Unfxg �-OKRESTNOSTX TO^KI x. tO^KA x
NAZYWAETSQ GRANI^NOJ TO^KOJ A, ESLI x QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ
MNOVESTW A I Ac ODNOWREMENNO. mNOVESTWO WSEH GRANI^NYH TO^EK NAZY-
WAETSQ GRANICEJ A I OBOZNA^AETSQ AG. tAKIM OBRAZOM, AG = A� \Ac�.
5. pUSTX A; B | PODMNOVESTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E. gO-
WORQT, ^TO A PLOTNO OTNOSITELXNO B, ESLI B � A� (TO ESTX KAVDAQ
153
TO^KA IZ B QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ DLQ A). w ^ASTNOSTI, A NA-
ZYWAETSQ PLOTNYM W E, ESLI ONO PLOTNO OTNOSITELXNO E; W \TOM SLU^AE
A� = E. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ SEPARABELXNYM, ESLI
ONO OBLADAET S^�ETNYM PLOTNYM PODMNOVESTWOM.
p R I M E R Y. 6. Q PLOTNO W R.
7. mNOVESTWO WSEH \LEMENTOW WIDA x = (x1; : : : ; xn; 0; 0; : : :), TO ESTX
\LEMENTOW, U KOTORYH LI[X KONE^NOE ^ISLO KOORDINAT OTLI^NO OT NULQ,
PLOTNO W `2.
u P R A V N E N I Q. 8. eSLI A OTKRYTO, A B PROIZWOLXNO, TO A\(B�) �(A \B)�.
9. mNOVESTWA A�; Ac�; AG POPARNO NE PERESEKA@TSQ, PRI^<M
E = A� [Ac� [AG.10. (A [B)G � AG [BG; (A \ B)G � AG [ BG; (AnB)G � AG [BG.11. A � A� [ AG.12. pROSTRANSTWO `2 SEPARABELXNO.
13. dOKAZATX, ^TO W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE Br(x)� � Br[x]. wOZ-
MOVNO LI STROGOE WKL@^ENIE?
x96. nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ
1. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. oTOBRAVENIE
f : E ! F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM W TO^KE x 2 E, ESLI
8V 2 b(f(x)) 9U 2 b(x) (f(U) � V ):
2. pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE, x 2 E I F | BAZIS OKREST-
NOSTEJ TO^KI f(x). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) f NEPRERYWNO W x,
(B) f�1(V ) 2 b(x) DLQ L@BOGO V 2 b(f(x)),
(W) f�1(W ) 2 b(x) DLQ L@BOGO W 2 F .
3. z A M E ^ A N I E. iZWESTNOE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII
f : R! R W TO^KE x 2 R NA QZYKE \" | �" SOGLASUETSQ S PRIWED�ENNYM
154
WY[E: W KA^ESTWE BAZISA OKRESTNOSTEJ TO^KI f(x) NUVNO WZQTX SISTEMU
F = f(f(x)� "; f(x) + ")g">0.4. [nEPRERYWNOSTX SLOVNOJ FUNKCII]. pUSTX f : E ! F | OTOBRA-
VENIE, NEPRERYWNOE W TO^KE x 2 E, A g : F ! G NEPRERYWNO W TO^KE
f(x). tOGDA OTOBRAVENIE g � f : E ! G NEPRERYWNO W x.
� W 2 b(g(f(x))) ) g�1(W ) 2 b(f(x)) ) (g � f)�1(W ) =
f�1(g�1(W )) 2 b(x): >
5. oTOBRAVENIE f : E ! F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM, ESLI ONO NEPRE-
RYWNO W KAVDOJ TO^KE x 2 E.6. pUSTX (E; T ); (E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I
f : E ! E0 | OTOBRAVENIE. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) f NEPRERYWNO,
(B) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ E0 OTKRYT W
E, TO ESTX f�1(T 0) � T ,(W) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA IZ E0 ZAMKNUT
W E.
� o^EWIDNO, (B), (W), (B)) (A). pOKAVEM, ^TO (A)) (B). pUSTX V 2 T 0.tOGDA x 2 f�1(V ) ) f(x) 2 V ) V 2 b(f(x)) ) f�1(V ) 2 b(x). iZ
PROIZWOLXNOSTI x f�1(V ) 2 T : >7. z A M E ^ A N I Q. oBRAZ OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PRI
NEPRERYWNOM OTOBRAVENII MOVET NE BYTX OTKRYTYM (SOOTWETSTWENNO
ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM.
8. pUSTX (E; T ); (E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I
f : E ! E0 NEPRERYWNO. eSLI TOPOLOGII eT W E I eT 0 W E0 TAKOWY,^TO eT � T ; eT 0 � T 0, TO DANNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ NEPRERYWNYM
OTOBRAVENIEM (E; eT ) W (E0; eT 0). w ^ASTNOSTI, ESLI T DISKRETNA ILI T 0
TRIWIALXNA, TO L@BOE OTOBRAVENIE f : E ! E0 NEPRERYWNO.
9. p R I M E R . pUSTX (M;d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I a 2 M
FIKSIROWANO. tOGDA OTOBRAVENIE x ! d(x; a) (x 2 M) | NEPRERYWNOE
OTOBRAVENIE M W R.
155
u P R A V N E N I Q (E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO).
10. oTOBRAVENIE f : E ! R NEPRERYWNO TTOGDA DLQ L@BOGO � 2 R
MNOVESTWO fx 2 Ej f(x) < �g OTKRYTO W E.11. eSLI OTOBRAVENIE f : E ! RNEPRERYWNO W a 2 E, TO f OGRANI^ENO
W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.
12. eSLI f; g : E ! R NEPRERYWNY W TO^KE a 2 E, TO W TO^KE a
NEPRERYWNY TAKVE OTOBRAVENIQ f � g; f � g; f=g (ESLI g(a) 6= 0).
x97. gOMEOMORFIZMY
1. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA (E; T ) I (E0; T 0) NAZYWA@TSQ GOMEO-MORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ BIEKCIQ f : E ! E0 TAKAQ,^TO OBRATNOE OTOBRAVENIE TAKVE NEPRERYWNO. uKAZANNOE OTOBRAVENIE
f NAZYWAETSQ GOMEOMORFIZMOM. sWOJSTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANST-
WA, SOHRANQ@]IESQ PRI GOMEOMORFIZMAH, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI.
|TI SWOJSTWA QWLQ@TSQ OSNOWNYM OB_EKTOM WNIMANIQ W TOPOLOGII. gO-
MEOMORFNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA QWLQ@TSQ TOPOLOGI^ESKI \K-
WIWALENTNYMI (NERAZLI^IMYMI).
p R I M E R Y. 2.sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ SFERY (W R3) S UDAL�ENNYM
SEWERNYM POL@SOM NA PLOSKOSTX R2 | GOMEOMORFIZM.
3. sEPARABELXNOSTX | TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO.
4. dISKRETNOSTX PROSTRANSTWA | TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO.
5. s^ITAETSQ (WSLEDSTWIE GEOMETRI^NOSTI NA[EGO MY[LENIQ), ^TO HO-
RO[O USTROENNYMI QWLQ@TSQ EWKLIDOWY PROSTRANSTWA Rn. pO\TOMU TOPO-
LOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, WOZNIKA@]IE W PRILOVENIQH (NE WSE, KONE^NO),
STARA@TSQ SWESTI POSREDSTWOM GOMEOMORFNYH PREOBRAZOWANIJ K EWKLIDO-
WYM. iNOGDA \TO UDA�ETSQ SDELATX LI[X LOKALXNO.
bUDEM GOWORITX, ^TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E LOKALXNO GOMEO-
MORFNO EWKLIDOWU PROSTRANSTWU Rn, ESLI KAVDAQ TO^KA x 2 E OBLADAET
OKRESTNOSTX@, GOMEOMORFNOJ Rn. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, LOKALX-
NO GOMEOMORFNYE EWKLIDOWYM PROSTRANSTWAM, QWLQ@TSQ PREDMETOM IZ-
U^ENIQ CELOGO RAZDELA TOPOLOGII | TOPOLOGII MNOGOOBRAZIJ.
6. p R I M E R. oKRUVNOSTX S(� R2) LOKALXNO GOMEOMORFNA R (!!).
oDNAKO GLOBALXNOGO GOMEOMORFIZMA MEVDU \TIMI TOPOLOGI^ESKIMI PRO-
STRANSTWAMI NET. bOLEE TOGO, S NE GOMEOMORFNA NIKAKOJ ^ASTI R (TOPOLO-
156
GII NA S I NA ^ASTQH R INDUCIROWANY SOOTWETSTWU@]IMI TOPOLOGIQMI
IZ R2 I R (SM. NIVE 99.2)):
7. nE SU]ESTWUET NEPRERYWNOGO IN_EKTIWNOGO OTOBRAVENIQ OKRUV-
NOSTI S(� R2) W R.
� pUSTX OTOBRAVENIE � : S ! S PEREWODIT TO^KI S W TO^KI, DIAMETRALX-
NO PROTIWOPOLOVNYE, A OTOBRAVENIE f : S ! R NEPRERYWNO. uTWERVDE-
NIE TEPERX SLEDUET IZ FAKTOW:
(A) OTOBRAVENIE g � f � f � � NEPRERYWNO,(B) g � � = �g,(W) ESLI f | IN_EKCIQ, TO g(s) 6= 0 (s 2 S) I, SLEDOWATELXNO, W TO^KAH
s I �(s) FUNKCIQ g PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW,
(G) TAK KAK S LINEJNO SWQZNO, IZ (A), (W) I 70.4 SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET
t 2 S TAKOE, ^TO g(t) = 0; ^TO PROTIWORE^IT (W).>
u P R A V N E N I Q. 8. oTKRYTYJ [AR B1(�) W Rn GOMEOMORFEN WSEMU
PROSTRANSTWU Rn . fiSKOMYJ GOMEOMORFIZM f : Rn ! B1(�) MOVET BYTX
ZADAN FORMULOJ f(x) = (1 + kxk)�1x (x 2 Rn): >9. sLEDU@]IE SWOJSTWA QWLQ@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI: (A) KONE^NOSTX
PROSTRANSTWA, (B) SU]ESTWOWANIE NEPODWIVNOJ TO^KI U KAVDOGO NEPRE-
RYWNOGO OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA W SEBQ.
10. pOLNOTA METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (92.10) | NE TOPOLOGI^ESKOE
SWOJSTWO (W KLASSE METRI^ESKIH PROSTRANSTW).
x98. tOPOLOGIQ, POROVD�ENNAQ SEMEJSTWOM MNOVESTW
w \TOM I NESKOLXKIH POSLEDU@]IH PARAGRAFAH MY RASSMOTRIM NEKO-
TORYE TIPI^NYE SPOSOBY ZADANIQ TOPOLOGIJ.
1. pUSTX ZADANO NEKOTOROE SEMEJSTWO � ^ASTEJ MNOVESTWA E I TREBU-
ETSQ ZADATX W E TOPOLOGI@ TAK, ^TOBY WSE MNOVESTWA IZ � BYLI OTKRYTY-
MI. pRI PODOBNOJ POSTANOWKE ZADA^I OTWET TRIWIALEN: NUVNOMU TREBO-
WANI@ UDOWLETWORQET DISKRETNAQ TOPOLOGIQ. mOVNO LI, ODNAKO, UKAZATX
NAIBOLEE \\KONOMNU@" TOPOLOGI@ SREDI TEH, W KOTORYH MNOVESTWA IZ �
OTKRYTY? sDELAEM SNA^ALA POLEZNOE ZAME^ANIE (!!):
2. pUSTX (Ti)i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGIJ W MNOVESTWE E. tOGDA
T =Ti2ITi | TOPOLOGIQ W E.
157
tOPOLOGIQ, OPREDEL�ENNAQ W \TOM UTWERVDENII, NAZYWAETSQ PERESE^E-
NIEM TOPOLOGIJ Ti (i 2 I).3. tEPERX OTWETIM NA POSTAWLENNYJ WY[E WOPROS. sEMEJSTWO TOPO-
LOGIJ T TAKIH, ^TO � � T , NE PUSTO (NAPRIMER, W \TO SEMEJSTWO WHODIT
DISKRETNAQ TOPOLOGIQ), I PERESE^ENIE T0 = T��T
T QWLQETSQ NAIMENX[EJ
TOPOLOGIEJ, W KOTOROJ MNOVESTWA IZ SISTEMY � OTKRYTY; T0 NAZYWAETSQTOPOLOGIEJ, POROVD�ENNOJ SISTEMOJ �, A � | SISTEMOJ OBRAZU@]IH
TOPOLOGII T0.4. uKAVEM BOLEE KONSTRUKTIWNYJ METOD POSTROENIQ T0 PO SISTEME
�. sNA^ALA OBRAZUETSQ SISTEMA �0 MNOVESTW, QWLQ@]IHSQ PERESE^ENIEMKONE^NYH SEMEJSTW IZ SISTEMY �. tOGDA SEMEJSTWO WSEWOZMOVNYH OB_EDI-
NENIJ MNOVESTW IZ �0 (S PRISOEDIN�ENNYMI MNOVESTWAMI E I ; ) QWLQETSQISKOMOJ TOPOLOGIEJ T0 (!!).
5. sISTEMA OTKRYTYH PODMNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANST-
WA E NAZYWAETSQ BAZOJ TOPOLOGII, ESLI WSQKOE OTKRYTOE MNOVESTWO
W E QWLQETSQ OB_EDINENIEM MNOVESTW IZ . nAPRIMER, W PRIWED�ENNOJ
WY[E KONSTRUKCII �0 QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII T0. gOWORQT, ^TO TOPOLO-GI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET 2-J AKSIOME S^�ETNOSTI, ESLI ONO
OBLADAET S^�ETNOJ BAZOJ.
p R I M E R Y. 6. sISTEMA WSEH ODNOTO^E^NYH PODMNOVESTW MNOVESTWA
E QWLQETSQ BAZOJ DISKRETNOJ TOPOLOGII W E.
7. sISTEMA WSEH OGRANI^ENNYH INTERWALOW S RACIONALXNYMI KONCAMI
QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII ^ISLOWOJ PRQMOJ. tAKIM OBRAZOM, RUDOWLETWO-
RQET 2-J AKSIOME S^�ETNOSTI.
u P R A V N E N I Q. 8. qWLQETSQ LI TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWO TOPOLOGII
OBLADATX S^�ETNOJ BAZOJ?
9. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn OBLADAET S^�ETNOJ BAZOJ.
10. tOPOLOGIQ W `2, OPREDEL�ENNAQ METRIKOJ (SM. 92.8), UDOWLETWORQET
2-J AKSIOME S^�ETNOSTI.
x99. pROOBRAZ TOPOLOGII1. pUSTX E | MNOVESTWO (BEZ TOPOLOGII) I (E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKOE
PROSTRANSTWO. tREBUETSQ ZADATX W E TOPOLOGI@ TAK, ^TOBY BYLO NEPRE-
RYWNO FIKSIROWANNOE OTOBRAVENIE f : E ! E0. rAZUMEETSQ, UKAZANNOMU
158
USLOWI@ BUDET UDOWLETWORQTX DISKRETNAQ TOPOLOGIQ W E. sODERVATELX-
NOJ QWLQETSQ ZADA^A ZADANIQ W E NAIBOLEE \\KONOMNOJ" TOPOLOGII SREDI
WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH UKAZANNOE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO. rU-
TINNAQ PROWERKA POKAZYWAET, ^TO NAIMENX[EJ (SLABEJ[EJ) IZ WSEH TOPO-
LOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO, QWLQETSQ
TOPOLOGIQ f�1(T 0) = ff�1(X 0)j X 0 2 T 0g | PROOBRAZ TOPOLOGII T 0 OTNO-SITELXNO OTOBRAVENIQ f .
2. p R I M E R. iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. pUSTX E | TOPOLOGI-
^ESKOE PROSTRANSTWO I X � E. sLABEJ[AQ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W X,
OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNO TOVDESTWENNOE WLOVENIE iX : X ! E,
NAZYWAETSQ INDUCIROWANNOJ (IZ E) TOPOLOGIEJ W X. eSLI T | TOPOLOGIQ
W E, TO INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ TX W X PREDSTAWLQET SOBOJ SEMEJST-
WO fU \ Xj U 2 T g. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X; TX) NAZYWAETSQPODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA (E; T ).
3. pUSTX (X; TX) | PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA (E; T ). wSQKOEMNOVESTWO A � X, OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) W X, OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO
ZAMKNUTO) W E TTOGDA X OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO ZAMKNUTO) W E.
4. oPISANNU@ WY[E KONSTRUKCI@ PROOBRAZA TOPOLOGII MOVNO OBOB-
]ITX NA SLU^AJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA OTOBRAVENIJ. pUSTX E | MNO-
VESTWO (BEZ TOPOLOGII) I (Ei; Ti)i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PRO-
STRANSTW. nAIBOLEE \KONOMNAQ TOPOLOGIQ W E, OTNOSITELXNO KOTOROJ NE-
PRERYWNY FIKSIROWANNYE OTOBRAVENIQ fi : E ! Ei (i 2 I), HARAKTERIZU-ETSQ SLEDU@]IM UTWERVDENIEM:
5. tOPOLOGIQ W E S SISTEMOJ OBRAZU@]IHSi2If�1i (Ti) QWLQETSQ SLA-
BEJ[EJ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNY
WSE OTOBRAVENIQ fi (i 2 I).6. p R I M E R . pROIZWEDENIE TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. pUSTX
(Ei ;Ti)i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I E =Qi2IEi. dLQ
KAVDOGO INDEKSA j 2 I RASSMOTRIM PROEKTIROWANIE pj : E ! Ej , OPRE-
DEL�ENNOE FORMULOJ pj((xi)i2I) = xj. oPREDELIM W E TOPOLOGI@ T KAK
SLABEJ[U@ IZ TOPOLOGIJ, OTNOSITELXNO KOTORYH WSE pj (j 2 I) NEPRE-
RYWNY. w \TOM SLU^AE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQPROIZWEDENIEM TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW (Ei; Ti), A TOPOLOGIQ T |
PROIZWEDENIEM TOPOLOGIJ (Ti)i2I. tOPOLOGIQ T POROVDAETSQ SISTEMOJ
159
� = fp�1j (U)gj2I;U2Tj , I W SOOTWETSTWII S 98.4{5 BAZOJ \TOJ TOPOLOGII QW-LQETSQ SISTEMA �0, W KOTORU@ WHODQT MNOVESTWA WIDA
Qi2IUi, GDE Ui 2 Ti
I Ui = Ei DLQ WSEH i, KROME KONE^NOGO IH ^ISLA. eSLI, W ^ASTNOSTI,
I = f1; : : : ; ng, TO PROIZWEDENIE TOPOLOGIJ W E = E1 � : : : � En IMEET
BAZU fU1 � : : : � Unj Ui 2 Ti (i = 1; : : : ; n)g. nAPRIMER, TOPOLOGIQ EW-
KLIDOWA PROSTRANSTWA Rn | TOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE n \KZEMPLQROW
^ISLOWYH PRQMYH R.
u P R A V N E N I Q. 7. pUSTX X; Y | ^ASTI TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA (E; T ) I X � Y . tOGDA ZAMYKANIE X W TOPOLOGII TY ESTX
X� \ Y , GDE X� | ZAMYKANIE X W TOPOLOGII T .8. w USLOWIQH P. 7 TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ W X IZ E, SOWPADAET S
TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ W X IZ Y KAK PODPROSTRANSTWA E.
9. pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOKAVITE, ^TO OTO-
BRAVENIE fx; yg ! d(x; y) PROSTRANSTWA M � M (KAK TOPOLOGI^ESKOGO
PROIZWEDENIQ PROSTRANSTWA M NA SEBQ) W R NEPRERYWNO.
10. pUSTX (E; T ); (E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. bIEKCIQ
f : E ! E0 QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM TTOGDA WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ:(A) T | SLABEJ[AQ IZ TOPOLOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH f NEPRE-
RYWNO, (B) T 0 | SILXNEJ[AQ IZ TOPOLOGIJ W E0, OTNOSITELXNO KOTORYH fNEPRERYWNO.
x100. fINALXNAQ TOPOLOGIQ1. pUSTX E | MNOVESTWO (BEZ TOPOLOGII) (Ei; Ti)i2I | SEMEJSTWO TO-
POLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I fi : Ei ! E (i 2 I) | ZADANNYE OTOBRA-
VENIQ. eSLI E NADELITX TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ, TO WSE \TI OTOBRA-
VENIQ BUDUT NEPRERYWNY. sODERVATELXNOJ QWLQETSQ ZADA^A OPREDELENIQ
SILXNEJ[EJ (ILI NAIBOLX[EJ) TOPOLOGII W E SREDI WSEH TOPOLOGIJ, OT-
NOSITELXNO KOTORYH WSE fi BYLI BY NEPRERYWNYMI. iSKOMOJ QWLQETSQ
TOPOLOGIQ T = fU � Ej f�1i (U) 2 Ti PRI WSEH i 2 Ig (!!). oNA NAZYWAETSQFINALXNOJ TOPOLOGIEJ, POROVD�ENNOJ SEMEJSTWOM (fi)i2I .
2. p R I M E R. fAKTOR-TOPOLOGIQ. pUSTX (E;T ) | TOPOLOGI^ESKOE
PROSTRANSTWO IR| OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E.fAKTOR-TOPOLOGIEJ
W E=R (OBOZNA^AETSQ T =R) NAZYWAETSQ FINALXNAQ TOPOLOGIQ, POROVD�ENNAQKANONI^ESKOJ S@R_EKCIEJ ' : E ! E=R. iTAK, T =R = fU � E=Rj '�1(U) 2T g. pARA (E=R; T =R) NAZYWAETSQ FAKTOR-PROSTRANSTWOM.
160
3. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, R | OTNO[ENIE
\KWIWALENTNOSTI W E I ' : E ! E=R | KANONI^ESKAQ S@R_EKCIQ. oTO-
BRAVENIE f : E=R ! F NEPRERYWNO TTOGDA NEPRERYWNO OTOBRAVENIE
g = f � '.� eSLI f NEPRERYWNO, TO g = f � ' NEPRERYWNO SOGLASNO 96.4. oBRATNO,
PUSTX g NEPRERYWNO I V | PROIZWOLXNOE OTKRYTOE MNOVESTWO W F . tOGDA
'�1(f�1(V )) = g�1(V ) OTKRYTO W E I PO OPREDELENI@ FAKTOR-TOPOLOGII
f�1(V ) OTKRYTO W E=R, TO ESTX f NEPRERYWNO.>
iZ DOKAZANNOGO UTWERVDENIQ NEPOSREDSTWENNO SLEDUET:
4. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, R | OTNO[ENIE
\KWIWALENTNOSTI W E. sU]ESTWUET ESTESTWENNAQ BIEKCIQ MEVDU NE-
PRERYWNYMI OTOBRAVENIQMI IZ E=R W F I NEPRERYWNYMI OTOBRAVE-
NIQMI IZ E W F , POSTOQNNYMI NA KAVDOM SMEVNOM KLASSE OTNO[ENIQ
\KWIWALENTNOSTI R.
5. p R I M E R. oTNO[ENIE \x�y 2 Z" W R QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWI-
WALENTNOSTI. sOOTWETSTWU@]EE FAKTOR-PROSTRANSTWO OBOZNA^AETSQ T I
NAZYWAETSQ ODNOMERNYM TOROM. sOGLASNO P. 4 SU]ESTWUET ESTESTWENNAQ
BIEKCIQ MEVDU NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI PERIODA 1 NA R I NEPRERYW-
NYMI FUNKCIQMI NA TORE T.
6. u P R A V N E N I E. oDNOMERNYJ TOR GOMEOMORFEN OKRUVNOSTI.
x101. sHODIMOSTX W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH
1. kAK NAM IZWESTNO, OSNOWNYE PONQTIQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA W
Rn (PREDEL OTOBRAVENIQ, NEPRERYWNOSTX, DIFFERENCIRUEMOSTX I T.D.)
MOGUT BYTX OPISANY W TERMINAH SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ WEKTO-
ROW. iNSTRUMENTOM POSLEDOWATELXNOSTEJ MOVNO S USPEHOM RABOTATX I W
METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH. oDNAKO W OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRAN-
STWAH POSLEDOWATELXNOSTEJ UVE NEDOSTATO^NO (SM. NIVE UPR. 11).
dLQ POSTROENIQ INSTRUMENTA SHODIMOSTI W OB]IH TOPOLOGI^ESKIH
PROSTRANSTWAH NAM PRID�ETSQ POZNAKOMITXSQ S OBOB]ENIEM PONQTIQ PO-
SLEDOWATELXNOSTI.
2. pUSTX � | BINARNOE OTNO[ENIE W MNOVESTWE A. bUDEM NAZYWATX �
IERARHIEJ, ESLI 8x; y 2 A 9z 2 A (�(z; x); �(z; y)). rEFLEKSIWNAQ TRAN-
ZITIWNAQ IERARHIQ � NAZYWAETSQ OTNO[ENIEM NAPRAWLENNOSTI (ILI NA-
161
PRAWLENIEM). w \TOM SLU^AE BUDEM PISATX y � x WMESTO �(x; y). nE SLE-
DUET PUTATX \TO OTNO[ENIE S OTNO[ENIEM PORQDKA!
3. pUSTX E | MNOVESTWO I�| NAPRAWLENIE W MNOVESTWE A. wSQKAQ
FUNKCIQ x : A! E NAZYWAETSQ SETX@ (ILI OBOB]�ENNOJ POSLEDOWATELX-
NOSTX@) W E. sETX (PO ANALOGII S OBY^NOJ POSLEDOWATELXNOSTX@) OBO-
ZNA^AETSQ TAKVE (x�)�2A. dLQ SETI (x�)�2A MNOVESTWO X(� E) NAZOW�EM
LOWU[KOJ, ESLI 9� 2 A 8� 2 A (�� � ) x� 2 X), I KORMU[KOJ, ESLI
8� 2 A 9� 2 A (�� �; x� 2 X).
4. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I (x�)�2A | SETX W E.
pO OPREDELENI@ \TA SETX SHODITSQ K TO^KE x 2 E (PI[UT x� ! x ILI
x = lim�2A
x�), ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX TO^KI x QWLQETSQ LOWU[KOJ \TOJ
SETI. tO^KU x NAZOW�EM PREDELXNOJ TO^KOJ SETI (x�)�2A, ESLI KAVDAQ
OKRESTNOSTX TO^KI x QWLQETSQ KORMU[KOJ \TOJ SETI.
5. p R I M E R. pUSTX F | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLO-
GI^ESKOM PROSTRANSTWE E I U � V (U; V 2 F) OZNA^AET, ^TO V � U .
tOGDA � | NAPRAWLENIE W F , I WSQKAQ FUNKCIQ WYBORA (PRIL. III.7)
U ! xU 2 U (U 2 F) | SETX W E, SHODQ]AQSQ K x.
6. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X � E.
(A) x0 | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X TTOGDA SU]ESTWUET SETX
(x�)�2A � Xnfx0g, SHODQ]AQSQ K x0.(B) x0 2 X� TTOGDA SU]ESTWUET SETX (x�)�2A � X, SHODQ]AQSQ K
x0.
� (A). pUSTX x0 | PREDELXNAQ TO^KA X. wOZXM�EM W KA^ESTWE A KAKOJ-LIBO
BAZIS F OKRESTNOSTEJ TO^KI x0. pO PREDPOLOVENI@ DLQ L@BOJ OKRESTNOS-
TI U 2 F : U \ (Xnfx0g) 6= ;. w KA^ESTWE ISKOMOJ SETI x : F ! E MOVNO
WZQTX FUNKCI@ WYBORA DLQ SEMEJSTWA fU \ (Xnfx0g)gU2F. w OBRATNU@
STORONU UTWERVDENIE O^EWIDNO; (A) ) (B) (!!) >
7. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, W KOTORYH DLQ OPISANIQ SHODIMOSTI
DOSTATO^NO POSLEDOWATELXNOSTEJ, HARAKTERIZU@TSQ TREBOWANIEM: KAVDAQ
TO^KA PROSTRANSTWA OBLADAET S^�ETNOJ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKREST-
NOSTEJ (S^�ETNYM BAZISOM OKRESTNOSTEJ). tAKIE PROSTRANSTWA NAZYWA@T-
SQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI S 1-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI.
8. w TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE S 1-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI TO^-
KA x0 | PREDELXNAQ DLQ MNOVESTWA X TTOGDA SU]ESTWUET POSLEDOWA-
162
TELXNOSTX (xn) � Xnfx0g, SHODQ]AQSQ K TO^KE x0.u P R A V N E N I Q. 9. ~ISLOWOJ RQD
1Pn=1
xn SHODITSQ ABSOL@TNO TTOGDA
SHODITSQ SETX (Pn2�
xn)�2A, GDE A| SEMEJSTWO WSEH KONE^NYH PODMNOVESTW
MNOVESTWA N, NAPRAWLENNOE PO WKL@^ENI@.
10. eSLI TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET 1-J (2-J) AKSIOMOJ
S^�ETNOSTI, TO WSQKOE EGO PODPROSTRANSTWO OBLADAET 1-J (SOOTWETSTWENNO
2-J) AKSIOMOJ S^�ETNOSTI.
11. pUSTX 2 � f0; 1g | DWUHTO^E^NOE MNOVESTWO, SNABV�ENNOE DIS-
KRETNOJ TOPOLOGIEJ, 2R| PROIZWEDENIE R \KZEMPLQROW TOPOLOGI^ESKOGO
PROSTRANSTWA 2 (SM. 99.6). tAKIM OBRAZOM, TO^KAMI 2R QWLQ@TSQ FUNK-
CII ! : R! f0; 1g. pUSTX A | MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ !, U KOTORYH
!�1(f0g) KONE^NO, A !0 OPREDELENA USLOWIEM !0(t) = 0 (t 2 R). pOKAVI-
TE, ^TO !0 2 A�, NO NE SU]ESTWUET NI ODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI !n 2 ATAKOJ, ^TO !n ! !0 W 2
R.
x102. oTDELIMYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA
1. kAK IZWESTNO, SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX WEKTOROW W EWKLIDO-
WOM PROSTRANSTWE IMEET EDINSTWENNYJ PREDEL. w OB]IH TOPOLOGI^ESKIH
PROSTRANSTWAH SETX MOVET SHODITXSQ SRAZU K NESKOLXKIM TO^KAM. nAPRI-
MER, W PROSTRANSTWE S TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ KAVDAQ SETX SHODITSQ K
L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA. ~TOBY USTRANITX NEPRIQTNOSTI TAKOGO SOR-
TA, NA TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA OBY^NO NAKLADYWA@T TREBOWANIE,
OBESPE^IWA@]EE EDINSTWENNOSTX PREDELA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO
NAZYWAETSQ OTDELIMYM, ESLI KAVDYE DWE RAZLI^NYE TO^KI PROSTRANSTWA
OBLADA@T NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI. nAPRIMER, KAVDOE METRI-
^ESKOE PROSTRANSTWO OTDELIMO (SM. 92.6).
2. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OTDELIMO TTOGDA KAVDAQ SETX W
\TOM PROSTRANSTWE SHODITSQ NE BOLEE, ^EM K ODNOMU PREDELU.
� nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA. dOSTATO^NOSTX. pUSTX E NE OTDELIMO, TO
ESTX SU]ESTWU@T TO^KI x; y 2 E (x 6= y) TAKIE, ^TO 8U 2 b(x) 8V 2b(y) (U \ V 6= ;). pOLOVIM A = b(x) � b(y) I ZADADIM W A NAPRAWLENIE,
S^ITAQ (U; V )� (U 0; V 0), ESLI U 0 � U; V 0 � V . w KA^ESTWE SETI z : A! E
WOZXM�EM KAKU@-LIBO FUNKCI@ WYBORA DLQ fU \ V j U 2 b(x); V 2 b(y)g.|TA SETX SHODITSQ K TO^KAM x I y ODNOWREMENNO. >
163
u P R A V N E N I Q. 3. pODPROSTRANSTWO OTDELIMOGO PROSTRANSTWA
OTDELIMO.
4. eSLI PROIZWEDENIEQi2IEi TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW OTDELIMO, TO
OTDELIMO KAVDOE PROSTRANSTWO Ei.
x103. pREDEL OTOBRAVENIQ W TO^KE
1. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, X � E I a | PRE-
DELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X. |LEMENT y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM OTO-
BRAVENIQ f : X ! F W TO^KE a 2 E (PI[UT: y = limx!a
f(x)), ESLI
8U 2 b(y) 9V 2 b(a) (f( �V \X) � U):
2. z A M E ^ A N I E. eSLI F OTDELIMOE PROSTRANSTWO, PREDEL OTOBRA-
VENIQ EDINSTWEN, KOLX SKORO ON SU]ESTWUET.
3. pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE, a 2 E | NE IZOLIROWANNAQ
TO^KA. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) f NEPRERYWNO W TO^KE a,
(B) f(a) = limx!a
f(x).
(W) lim�2A
x� = a ((x�)�2A | SETX W E)) lim�2A
f(x�) = f(a).
� (A) ) (B). pUSTX f NEPRERYWNO W a I U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX
TO^KI f(a). tOGDA NAJD�ETSQ V 2 b(a) TAKAQ, ^TO f(V ) � U . tEM BOLEE
f(V nfag) � U , TO ESTX limx!a
f(x) = f(a).
(B) ) (W) (!!).
(W) ) (A). pUSTX, NAPRIMER, f NE NEPRERYWNO W TO^KE a 2 E. tOGDA
9U 2 b(f(a)) 8V 2 b(a) (f(V ) 6� U). oPREDELIM SETX x : b(a) ! E,
POLOVIW xv 2 V , PRI^�EM f(xv) 62 U (V 2 b(a)). tOGDA limV 2b(a)
xv = a I W TO
VE WREMQ U NE QWLQETSQ LOWU[KOJ SETI (f(xv))v2b(a) W F , TO ESTX (W) NE
UDOWLETWORQETSQ. >
164
x104. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI1. pUSTX f; g | NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA E W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , SOWPADA@]IE NA NEKOTO-
ROJ PLOTNOJ W E ^ASTI X. tOGDA f = g.
� pUSTX a 2 E I (x�)�2A | SETX W X, SHODQ]AQSQ K a. w SILU 103.3
f(a) = lim�2A
f(x�) = lim�2A
g(x�) = g(a): >
2. pUSTX TEPERX f | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PLOTNOJ W E ^ASTI X
W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , PRI^�EM W KAVDOJ TO^KE a 2 E SU]ESTWUET
PREDEL limx!a
f(x). tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE ef : E ! F ,
ef(a) =(f(a); ESLI a 2 X,
limx!a
f(x); ESLI a 2 EnX.
bUDET LI ef NEPRERYWNO? oKAZYWAETSQ, OTWET WSEGDA POLOVITELEN, ESLI
F UDOWLETWORQET TREBOWANI@ REGULQRNOSTI.
3. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI KAVDAQ
EGO TO^KA OBLADAET FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ ZAMKNUTYH OKRESTNOSTEJ.
w ^ASTNOSTI, WSQKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO.
4. pUSTX f : X ! F NEPRERYWNO, X (� E) PLOTNO W TOPOLOGI^ESKOM
PROSTRANSTWE E, A F OTDELIMO I REGULQRNO. pRI \TOM PUSTX limx!a
f(x)
SU]ESTWUET DLQ WSQKOGO a 2 E. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNO-
ZNA^NO NEPRERYWNOE PRODOLVENIE f NA E.
� pUSTX U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI ef (a), GDE ef OPREDELE-
NO WY[E. pUSTX DALEE W | ZAMKNUTAQ OKRESTNOSTX TO^KI ef (a) TAKAQ,^TO W � U . pUSTX V | OTKRYTAQ OKRESTNOSTX TO^KI a TAKAQ, ^TO
f((V \ X)nfag) �W. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x 2 V I L@BOJ
SETI (x�)�2A � X, SHODQ]EJSQ K x: ef(x) = lim�2A
f(x�) 2 W� = W (SM.
101.6(B)). tAKIM OBRAZOM, ef(V ) � W � U: >
5. z A M E ^ A N I E. w DOKAZANNOM UTWERVDENII NELXZQ, WOOB]E GO-
WORQ, OSLABITX TREBOWANIE REGULQRNOSTI F (MY NE OSTANAWLIWAEMSQ NA
DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA).
u P R A V N E N I Q. 6. pOSTROITX PRIMER OTOBRAVENIQ f : E ! F ,
GDE F OTDELIMO, TAKOGO, ^TO limx!a
f(x) SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE a 2 E,I W TO VE WREMQ f NE NEPRERYWNO.
165
7. w MNOVESTWE, SOSTOQ]EM IZ TREH \LEMENTOW, UKAZATX NEOTDELIMU@,
NO REGULQRNU@ TOPOLOGI@.
8. pOKAZATX, ^TO TOPOLOGIQ W Q, POROVD�ENNAQ INDUCIROWANNOJ TOPO-
LOGIEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ RI MNOVESTWOM K WSEH DESQTI^NO-RACIONALXNYH
^ISEL (TO ESTX ^ISEL WIDA � = a0; a1 : : : as, GDE a0 2 Z, A ak 2 f0; 1; : : : ; 9g,k > 1) OTDELIMA, NO NE REGULQRNA.
9. eSLI E | REGULQRNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X � E, TO
INDUCIROWANNAQ W X TOPOLOGIQ REGULQRNA.
10. eSLI E = X [fag I a 2 X�, TO UTWERVDENIE P. 4 SPRAWEDLIWO BEZPREDPOLOVENIQ REGULQRNOSTI F .
x105. kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI IZ
WSQKOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ E MOVNO WYDELITX KONE^NOE POKRYTIE (SR.
64.1).
2. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E KOMPAKTNO TTOGDA KAVDAQ SETX
W E OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ. eSLI, W ^ASTNOSTI, E | PROSTRAN-
STWO SO 2-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI, TO E KOMPAKTNO TTOGDA KAVDAQ
POSLEDOWATELXNOSTX W E OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOS-
TX@.
� nEOBHODIMOSTX. pUSTX, NAPROTIW, NEKOTORAQ SETX (x�)�2A W KOM-
PAKTNOM PROSTRANSTWE E NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ:
8x 2 E 9U(x) 2 b(x) \ T 9�x 2 A 8� 2 A (�x � � ) x� 62 U(x)):sISTEMA fU(x)gx2E OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE E. pO\TOMU SU]EST-
WU@T x1; : : : ; xn 2 E TAKIE, ^TO fU(x1); : : : ; U(xn)g | POKRYTIE E. dLQ
� 2 A TAKOGO, ^TO �x1; : : : ; �xn � � : x� 62nSi=1
U(xi) = E | PROTIWORE^IE.
nEOBHODIMOSTX ^ASTNOGO UTWERVDENIQ TEPERX O^EWIDNA, ESLI ZAMETITX,
^TO POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ TTOGDA ONA SODER-
VIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX E | NE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I (U�)�2A| OTKRYTOE POKRYTIE E TAKOE, ^TO DLQ KAVDOJ KONE^NOJ ^ASTI
� � A : x� � (S�2�
U�)c 6= ;. rASSMOTRIM W KA^ESTWE SETI (x�) KAKU@-
NIBUDX FUNKCI@ WYBORA DLQ SEMEJSTWA (x�) (MY S^ITAEM �0 � �, ESLI
166
�0 � �). nO TOGDA SETX (x�) NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.
dEJSTWITELXNO, ESLI a | TAKAQ TO^KA I � 2 A TAKOWO, ^TO a 2 U�, TO
8� (f�g � �) x� 2 (S�2�
U�)c), TO ESTX x� 62 U�.
dOKAVEM TEPERX DOSTATO^NOSTX ^ASTNOGO UTWERVDENIQ. pUSTX KAV-
DAQ POSLEDOWATELXNOSTX W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E SO 2-J AKSIO-
MOJ S^�ETNOSTI OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ. pROWERKA KOMPAKTNOSTI E
PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME:
(A) IZ PROIZWOLXNOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ (U�)�2B WYDELQEM S^�ETNOE
POKRYTIE (U�)�2A (SM. NIVE P. 10);
(B) DALEE DEJSTWUEM PO SHEME OB]EGO SLU^AQ, RAZOBRANNOGO WY[E: PRED-
POLAGAQ, ^TO E NE KOMPAKTNO, NAHODIM POSLEDOWATELXNOSTX (x�) \LEMEN-
TOW E (A | S^�ETNO!), NE OBLADA@]U@ NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ. >
3. ~ASTX K TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZOW�EM KOMPAKTOM (ILI
KOMPAKTNYM MNOVESTWOM), ESLI K | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO W INDU-
CIROWANNOJ TOPOLOGII.
4. z A M E ^ A N I E.~ASTXK TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E QWLQETSQ
KOMPAKTOM TTOGDA WSQKOE OTKRYTOE (W E) POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE
POKRYTIE.
5. p R I M E R. w EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH KOMPAKTNYE MNOVESTWA
HARAKTERIZU@TSQ HORO[O IZWESTNYMI USLOWIQMI (SM. 64.2). w ^ASTNOS-
TI, EDINI^NAQ SFERA S = fx 2 Rn : kxk = 1g | KOMPAKT. oDNAKO W
BESKONE^NOMERNYH PROSTRANSTWAH TEOREMA 64.2 UVE MESTA NE IMEET. pO-
KAVEM, NAPRIMER, ^TO EDINI^NAQ SFERA S = fx 2 `2 :1Pn=1
jxnj2 = 1g W`2 NE KOMPAKTNA (W TOPOLOGII, OPREDELQEMOJ METRIKOJ, SM. 92.8). dEJST-
WITELXNO, ESLI DOPUSTITX, ^TO OTKRYTOE POKRYTIE fB1=2(x)gx2S SFERYS SODERVIT KONE^NOE POKRYTIE, TO BESKONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW WIDA
en = (0; : : : :; 0; 1; 0; : : :) (1 NA n-OM MESTE) DOLVNO POPASTX W ODIN IZ [A-
ROW WIDA B1=2(x). oDNAKO W \TOT [AR DIAMETRA 1 NE MOGUT POPASTX DAVE
DWA \LEMENTA UKAZANNOGO WIDA, TAK KAK d(en; em) =p2 > 1 (n 6= m).
6. w OTDELIMOM PROSTRANSTWE KAVDYJ KOMPAKT ZAMKNUT.
� pUSTX K | KOMPAKT W OTDELIMOM PROSTRANSTWE E I a 62 K. dLQ
KAVDOJ TO^KI x 2 K PUSTX Ux I Vx | OTKRYTYE OKRESTNOSTI TO^EK x I a
SOOTWETSTWENNO I TAKIE, ^TO Ux\Vx = ;. iZ OTKRYTOGO POKRYTIQ (Ux)x2K
167
MNOVESTWA K WYBEREM KONE^NOE: K � nSi=1
Uxi . tOGDA V � nTi=1
Vxi 2 b(a),
PRI^�EM V \K = ;, TO ESTX Kc OTKRYTO. >
7. w KOMPAKTNOM PROSTRANSTWE KAVDOE ZAMKNUTOE MNOVESTWO QW-
LQETSQ KOMPAKTOM.
� pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I K(� E) ZAMKNUTO, A (U�)�2A |
OTKRYTOE POKRYTIE K (W E). tOGDA fKc; (U�)�2Ag| OTKRYTOE POKRYTIE
E. >
8. oTDELIMOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO REGULQRNO.
� pUSTX E | OTDELIMOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, x 2 E PROIZWOLXNO I
F = fU�j U 2 b(x)g.pOKAVEM, ^TO F | FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA (ZAMK-
NUTYH) OKRESTNOSTEJ TO^KI x. pUSTX V 2 b(x) PROIZWOLXNO. rASSMOTRIM
OTKRYTOE POKRYTIE E : fV 0; (U�c)U2b(x)g (\TO DEJSTWITELXNO POKRYTIE:x 2 V 0 I W SILU OTDELIMOSTI E : 8y(6= x) 9U 2 b(x) 9W 2 b(y) (U\V = ;),TO ESTX y 62 U� I, SLEDOWATELXNO, y 2 U�c). tAK KAK E | KOMPAKTNOE PRO-
STRANSTWO, DANNOE POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE: fV 0; U�c1 ; : : : ; U�c
n g. sLE-DOWATELXNO,
�nSi=1
U�ci
�c=
nTi=1
U�i � V 0. tAKIM OBRAZOM, DLQ PROIZWOLXNOJ
OKRESTNOSTI V 2 b(x) NAJDENO F 2 F (F =nTi=1
U�i ) TAKOE, ^TO F � V: >
u P R A V N E N I Q. 9. kOMPAKTNOSTX PROSTRANSTWA | TOPOLOGI^ESKOE
SWOJSTWO.
10. eSLI TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET 2-J AKSIOMOJ S^�ET-
NOSTI, TO KAVDOE OTKRYTOE EGO POKRYTIE SODERVIT S^�ETNOE POKRYTIE.
x106. nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ KOMPAKTNYH PROSTRANSTW
1. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I f : E ! E0 | NEPRE-
RYWNOE OTOBRAVENIE. tOGDA f(E) KOMPAKT W E0.
� pUSTX (U�)�2A | OTKRYTOE POKRYTIE f(E). tOGDA (f�1(U�))�2A |
OTKRYTOE POKRYTIE E, I PO\TOMU SU]ESTWUET KONE^NAQ ^ASTX � MNOVES-
TWA A TAKAQ, ^TO E =S�2�
f�1(U�). oTS@DA (U�)�2� | KONE^NOE POKRYTIE
MNOVESTWA f(E): >
2. eSLI E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I f : E ! F | NEPRERYWNAQ
BIEKCIQ E NA OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , TO f | GOMEOMORFIZM.
168
� pOKAVEM, ^TO DLQ WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA X � E MNOVESTWO
f(X) ZAMKNUTO W F . iZ 105.7 X | KOMPAKT W E, A ZNA^IT, f(X) KOMPAKT
W F . iZ 105.6 f(X) ZAMKNUTO W F: >
sLEDU@]IE SWOJSTWA NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ OBOB]E-
NIEM HORO[O IZWESTNYH SWOJSTW NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH
MNOVESTWAH W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH (x70).3. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I OTOBRAVENIE f : E ! R
NEPRERYWNO. tOGDA
(A) OTOBRAVENIE f OGRANI^ENO,
(B) OTOBRAVENIE f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ,
� (A). sEMEJSTWO ff�1((�n; n))gn2N OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE KOM-
PAKTNOGO PROSTRANSTWA E I IZ NEGO MOVNO WYDELITX KONE^NOE POKRY-
TIE. |TO OZNA^AET, ^TO E = f�1((�n; n)) PRI NEKOTOROM n 2 N, TO ESTX
8x 2 E (jf(x)j < n), TAK ^TO f OGRANI^ENO. (B) (!!). >
w KA^ESTWE PRILOVENIQ USTANOWIM POLEZNYJ GEOMETRI^ESKIJ FAKT,
PRI DOKAZATELXSTWE KOTOROGO OPU]EN RQD DETALEJ, W REZULXTATE ^EGO PO-
LU^ILOSX POLEZNOE UPRAVNENIE.
4. wYPUKLYJ KOMPAKT P (� Rn) S NEPUSTOJ WNUTRENNOSTX@ GOMEO-
MORFEN ZAMKNUTOMU EDINI^NOMU [ARU W Rn.
� nAPOMNIM SNA^ALA, ^TO MNOVESTWO P (� Rn) NAZYWAETSQ WYPUKLYM,
ESLI 8x; y 2 P 8t 2 [0; 1] (tx+ (1 � t)y 2 P ). bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI
MOVNO S^ITATX, ^TO � 2 P �. pUSTX S = fu 2 Rn : kuk = 1g | EDINI^NAQ
SFERA. oPREDELIM OTOBRAVENIE ' : S ! R, S^ITAQ, ^TO '(u) (u 2 S) |
\TO POLOVITELXNOE ^ISLO, ODNOZNA^NO OPREDEL�ENNOE TREBOWANIQMI:
�u 2 P PRI 0 � � � '(u),
�u 62 P PRI � > '(u).
iSKOMYJ GOMEOMORFIZM f : P ! B1[�] MOVET BYTX OPREDEL�EN FORMULOJ
f(v) =
(['( v
kvk)]�1; ESLI � 6= v 2 P ,
�; ESLI v = � .
sKAZANNOE WY[E TREBUET OBOSNOWANIQ. oTMETIM, ^T�O DLQ \TOGO SLEDUET
SDELATX:
169
1) iZ OGRANI^ENNOSTI I WYPUKLOSTI P WYWESTI, ^TO ^ISLO '(u) DEJ-
STWITELXNO OPREDELENO ODNOZNA^NO.
2) qSNO, ^TO f | IN_EKCIQ, I f(P ) � B1[�]. nA SAMOM DELE, f I S@R_-
EKCIQ.
3) s U^�ETOM P. 2 OSTA�ETSQ PROWERITX, ^TO f NEPRERYWNO. dLQ \TOGO W
SWO@ O^EREDX DOSTATO^NO DOKAZATX NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ '. tOGDA
NEPRERYWNOSTX f NA MNOVESTWE Pnf�g SLEDUET NEPOSREDSTWENNO, A NEPRE-RYWNOSTX f W TO^KE � QWLQETSQ SLEDSTWIEM TOGO, ^TO '(u) > 0 (u 2 S) I
SWOJSTWA P. 3(B). >
x107. pROIZWEDENIE KOMPAKTNYH PROSTRANSTW
cELX@ \TOGO PARAGRAFA QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO FUNDAMENTALXNOJ
TEOREMY a.n. tIHONOWA.
pUSTX Ei (i 2 I) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. pROIZWEDENIE
E =Qi2IEi | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO TTOGDA KOMPAKTNO KAVDOE
Ei (i 2 I).� nEOBHODIMOSTX. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. tAK KAK Ei| OBRAZ E PRI KANONI^ESKOM PROEKTIROWANII pi, TO W SILU 106.1 Ei |
KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO (i 2 I).dOSTATO^NOSTX. pUSTX WSE Ei (i 2 I) | KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA.
dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO E NE KOMPAKTNO, TO ESTX SU]ESTWU@T OTKRYTYE
POKRYTIQ E, NE SODERVA]IE KONE^NYH POKRYTIJ. mNOVESTWO WSEH TAKIH
POKRYTIJ, UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@, QWLQETSQ INDUKTIWNYM (!!). pO
TEOREME cORNA (PRIL. III.11) SU]ESTWUET MAKSIMALXNOE OTKRYTOE POKRY-
TIE = (U�)�2A, NE SODERVA]EE KONE^NOGO POKRYTIQ. iZ MAKSIMALXNOSTI SLEDUET:
(A) ESLI � (� A) KONE^NO, TOS�2�
U� 2 ,(B) ESLI U OTKRYTO W E I 8� 2 A (U [ U� 6= E), TO U 2 .
w MNOVESTWE A ESTESTWENNO WWODITSQ NAPRAWLENIE: � � �, ESLI U� � U�.
rASSMOTRIM TEPERX SETX x = (x�)�2A W E TAKU@, ^TO x� 2 EnU� (� 2 A).|TA SETX NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ W E fESLI, NAPROTIW,a 2 E | PREDELXNAQ TO^KA DLQ x, TO a 2 U�0 PRI NEKOTOROM �0 2 A, NO U�0NE QWLQETSQ KORMU[KOJ DLQ x, IBO 8� (�0 � � ) x� 2 EnU� 2 EnU�0)g.oDNAKO, PRI KAVDOM i 2 I SETX (pi(x�))�2A W Ei OBLADAET PREDELXNOJ
170
TO^KOJ ai 2 Ei (TAK KAK Ei | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO). rASSMOTRIM
TO^KU a = (ai)i2I 2 E. |TO NE PREDELXNAQ TO^KA SETI x I, SLEDOWATELXNO,NAJD�ETSQ OTKRYTAQ OKRESTNOSTX TO^KI a
U = U1(ai1)� : : :� Us(ais)�Y
i2Infi1;:::;isgEi;
KOTORAQ NE QWLQETSQ KORMU[KOJ SETI x. pOLOVIM
U (k) = Uk(aik)�Yi6=ik
Ei; k 2 f1; : : : ; sg;
I ZAMETIM, ^TO HOTQ BY ODIN \CILINDR" U (k) PRINADLEVIT fESLI,NAPROTIW, U (k) 62 ; k 2 f1; : : : ; sg, TO DLQ KAVDOGO U (k) SOGLASNO (B)
NAJD�ETSQ � 2 A TAKOE, ^TO U (k) [ U� = E, NO TOGDA U (k) | LOWU[KA SETI
x, IBO
8� (�� � ) x� 2 EnU� � EnU� � U (k)):
sLEDOWATELXNO, LOWU[KOJ QWLQETSQ I MNOVESTWO U =sT
k=1U (k), TOGDA KAK
U NE QWLQETSQ KORMU[KOJ DLQ xg. iTAK, PUSTX, SKAVEM, U (1) 2 , TO ESTXU (1) = U�0 (�0 2 A). tOGDA, S ODNOJ STORONY, U (1) | KORMU[KA DLQ x,
TAK KAK ai1 | PREDELXNAQ TO^KA SETI pi1(x), A S DRUGOJ STORONY U (1) |
NE KORMU[KA DLQ x, TAK KAK 8� (�0 � � ) x� 2 EnU� � EnU�0), TOESTX �0 � � ) pi1(x�) 62 U1(ai1). pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET
TEOREMU. >
x108. lOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM,
ESLI KAVDAQ EGO TO^KA OBLADAET KOMPAKTNOJ OKRESTNOSTX@. lOKALXNAQ
KOMPAKTNOSTX | \TO TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO. qSNO TAKVE, ^TO WSQKOE
KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM.
p R I M E R Y. 2. Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.
3. oTKRYTYJ [AR B1(�) W Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.
4. dISKRETNOE PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO.
pEREHODIM K IZU^ENI@ SWOJSTW LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTW.
5. wSQKOE OTDELIMOE LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO REGULQR-
NO.
171
� pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, x 2 E I K | KOM-
PAKTNAQ OKRESTNOSTX TO^KI x. tAK KAK K | REGULQRNOE PODPROSTRANSTWO
E (105.8), SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA F ZAMKNUTYH OKREST-
NOSTEJ TO^KI x W K; TOGDA F | FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA ZAMKNUTYH
OKRESTNOSTEJ x W E: >
iSKL@^ITELXNO INTERESNYM FAKTOM QWLQETSQ TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO
DOBAWLENIEM ODNOJ (\BESKONE^NO UDAL�ENNOJ") TO^KI LOKALXNO KOMPAKT-
NOE PROSTRANSTWO MOVNO PREWRATITX W KOMPAKTNOE. pREDWARITELXNO RAS-
SMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW.
p R I M E R Y. 6. sLEDU@]IE TRI LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTWA
POPARNO GOMEOMORFNY: R; (0; 1); �S | OKRUVNOSTX BEZ ODNOJ TO^KI. eSLI
K �S PRISOEDINITX WYBRO[ENNU@ TO^KU, TO POLU^IM OKRUVNOSTX S, KO-
TORAQ QWLQETSQ KOMPAKTNYM PROSTRANSTWOM. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE IZ
TR�EH PROSTRANSTW MOVNO \POGRUZITX" W KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, OTLI-
^A@]EESQ OT ISHODNOGO ODNOJ TO^KOJ.
7. lOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO R2 POGRUVAETSQ W KOMPAKTNOE
PROSTRANSTWO | EDINI^NU@ SFERU S(� R3) S POMO]X@ STEREOGRAFI^ES-
KOJ PROEKCII. R2 GOMEOMORFNO PRI \TOM �S | SFERE S WYBRO[ENNOJ TO^-
KOJ. iTAK, UKAZANNAQ KOMPAKTIFIKACIQ TAKVE OSU]ESTWLQETSQ PRISOEDI-
NENIEM K R2 ODNOJ TO^KI.
8. t E O R E M A [p.s.aLEKSANDROW].dLQ KAVDOGO LOKALXNO KOMPAKTNO-
GO PROSTRANSTWA E SU]ESTWUET KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO E0 TAKOE,^TO E GOMEOMORFNO NEKOTOROMU PODPROSTRANSTWU PROSTRANSTWA E0,DOPOLNENIE KOTOROGO (W E0) SWODITSQ K ODNOJ TO^KE.
� pUSTX (E; T ) | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. pOLOVIM E0 =E [f!g, GDE f!g | ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO. oPREDELIM TOPOLOGI@ T 0 WE0 : U 2 T 0, ESLI U 2 T , LIBO U ESTX MNOVESTWO WIDA f!g[(EnK), GDE K
| NEKOTORYJ KOMPAKT W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E (PROWERXTE, ^TO
T 0 NA SAMOM DELE ESTX TOPOLOGIQ). qSNO TAKVE, ^TO (E; T ) GOMEOMORF-NO (E; T 0
E), GDE T 0E | TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ W E (KAK ^ASTI E0 )
TOPOLOGIEJ T 0. nAKONEC, (E0; T 0) | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. dEJSTWI-
TELXNO, PUSTX (U�)�2A | OTKRYTOE POKRYTIE E0. tOGDA NAJD�ETSQ �0 2 ATAKOE, ^TO ! 2 U�0 = f!g [ (EnK0), GDE K0 | NEKOTORYJ KOMPAKT W TO-
POLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE (E; T ). pRI \TOM K0 � S�2A;� 6=�0
(U�nf!g). nOU�nf!g 2 T (� 2 A), A POTOMU SU]ESTWUET KONE^NAQ ^ASTX � � Anf�0g
172
TAKAQ, ^TO K0 � S�2�
(U�nf!g). oTS@DA (U�)�2�[f�0g | KONE^NOE POKRYTIE
E0: >
9. u P R A V N E N I E. pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO,
E0 = E[f!g. oPREDELIM W E0 TOPOLOGI@ T 0 : U 2 T 0, ESLI U 2 T , LIBO UESTX MNOVESTWO WIDA f!g[V , GDE V 2 T . uBEDITESX, ^TO T 0 | TOPOLOGIQ,
NO (E0; T 0) NE QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, KOMPAKTNYM RAS[IRENIEM E.
x109. sWQZNOSTX1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI NE
SU]ESTWUET RAZBIENIQ E NA DWA NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTWA, TO ESTX
E NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE E = U [ V , GDE U; V 2 T ; U 6= ;; V 6= ; IU\V = ;.~ASTX X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ SWQZNOJ,
ESLI W INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII X | SWQZNOE PROSTRANSTWO. sWQZNOSTX
QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM (!!).
p R I M E R Y. 2. oTREZOK [a; b] � R SWQZEN f\TO SLEDUET, NAPRIMER, IZLEMMY O WLOVENNYH OTREZKAHg.
3. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn SWQZNO.
oTMETIM TEPERX OSNOWNYE SWOJSTWA SWQZNYH MNOVESTW.
4. eSLI (Xi)i2I | SEMEJSTWO SWQZNYH ^ASTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA E ITi2IXi 6= ;, TO S
i2IXi | SWQZNAQ ^ASTX E.
5. oBRAZ SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA PRI NEPRERYWNOM
OTOBRAVENII SWQZEN.
6. zAMYKANIE SWQZNOGO MNOVESTWA SWQZNO.
� p.4. dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO Y =Si2IXi NE SWQZNO. tOGDA SU]ESTWU@T
U1; U2 2 T TAKIE, ^TO
(�) Y = Y1 [ Y2 (Yi = Y \ Ui 6= ; (i = 1; 2)); Y1 \ Y2 = ;:pUSTX TO^KA x 2 T
i2IXi PROIZWOLXNA. oNA PRINADLEVIT ODNOMU IZ SLAGA-
EMYH PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (�). pUSTX, NAPRIMER, x 2 Y1. pUSTX i0 2 ITAKOWO, ^TO Xi0 \ U2 6= ; (TAKOE i0 SU]ESTWUET). nO TOGDA IMEET MESTO
RAWENSTWO, PROTIWORE^A]EE SWQZNOSTI Xi0 :
Xi0 = Z1 [ Z2; GDE Zi = Xi0 \ Ui 6= ; (i = 1; 2) I Z1 \ Z2 = ;:
173
p.5. pUSTX f : E ! E0 NEPRERYWNO I E SWQZNO. eSLI BY SU]ESTWO-
WALO RAZBIENIE f(E) NA DWA OTKRYTYH MNOVESTWA U 0; V 0, TO NEPUSTYE
OTKRYTYE MNOVESTWA f�1(U 0); f�1(V 0) RAZBIWALI BY E, ^TO NEWOZMOVNO.
p.6. pUSTX (E; T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X(� E) SWQZNO.
pUSTX W TO VE WREMQ SU]ESTWU@T U1; U2 2 T TAKIE, ^TO
X� = (X� \ U1) [ (X� \ U2); X� \ Ui 6= ; (i = 1; 2);
(X� \ U1) \ (X� \ U2) = ;:tOGDA MNOVESTWA X \ Ui (i = 1; 2) OBRAZU@T OTKRYTOE RAZBIENIE X: >
u P R A V N E N I Q. 7. eSLI E;F | SWQZNYE TOPOLOGI^ESKIE PRO-
STRANSTWA, TO E � F SWQZNO.
8. dOKAVITE,^TO \GREB�ENKA" (SM. rIS. 19) X � f(0; 1)g[I0[I1[I2[: : :,GDE I0 = f(x; 0)j 0 � x � 1g; Ik =
n( 1k; y)j 0 � y � 1
o; k = 1; 2; : : :,
QWLQETSQ SWQZNOJ ^ASTX@ ^ISLOWOJ PLOSKOSTI R2.
x110. lINEJNAQ SWQZNOSTX
1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNYM, ES-
LI L@BYE DWE EGO TO^KI x I y MOGUT BYTX SOEDINENY \PUT�EM", TO ESTX
SU]ESTWUET NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : [0; 1]! E TAKOE, ^TO x = f(0),
y = f(1). ~ASTX X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ LINEJNO
SWQZNOJ, ESLI W INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII X | LINEJNO SWQZNOE PRO-
STRANSTWO. lINEJNAQ SWQZNOSTX QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM (!!).
2. lINEJNO SWQZNOE PROSTRANSTWO SWQZNO.
� pUSTX x0 | PROIZWOLXNAQ TO^KA W LINEJNO SWQZNOM PROSTRANSTWE E
I DLQ KAVDOGO x 2 E fx : [0; 1] ! E | PUTX, SOEDINQ@]IJ TO^KU x0S TO^KOJ x. uTWERVDENIE SLEDUET IZ PREDSTAWLENIQ E =
Sx2E
fx([0; 1]) S
U^�ETOM 109.4. >
3. z A M E ^ A N I E. iZ SWQZNOSTI LINEJNAQ SWQZNOSTX NE SLEDUET.
nAPRIMER, \GREB�ENKA" (SM. 109.8) | SWQZNOE, NO NE LINEJNO SWQZNOE PRO-
STRANSTWO (!!).
u P R A V N E N I Q. 4. sWOJSTWA 109.4{5 OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI DLQ
LINEJNO SWQZNYH MNOVESTW.
174
5. wSQKOE SWQZNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA RQWLQETSQ I LINEJNO SWQZ-
NYM. oPI[ITE WSE SWQZNYE PODMNOVESTWA R.
6. iSSLEDOWATX NA SWQZNOSTX I LINEJNU@ SWQZNOSTX SLEDU@]IE MNO-
VESTWA:
(A) Q (W R ),
(B) RnQ (W R),
(W) Q2 (W R2).
(G) � = f(x; y) 2 R2jx 2 Q LIBO y 2 Qg ( W R2).(D) � = f(x; y) 2 R2j \x 2 Q; y 62 Q" LIBO \x 62 Q; y 2 Q"g,
7. wSQKOE WYPUKLOE MNOVESTWO W Rn LINEJNO SWQZNO.
175
mera vordana
oB]AQ IDEQ MEROOPREDELENIQ ZAKL@^AETSQ W PRODOLVENII MERY S \\LE-
MENTARNYH" MNOVESTW, GDE MERA UVE OPREDELENA NEKOTORYM ESTESTWEN-
NYM OBRAZOM, NA BOLEE [IROKIJ KLASS \IZMERIMYH" MNOVESTW S SOHRA-
NENIEM SWOIH OSNOWNYH SWOJSTW (NEOTRICATELXNOSTX I ADDITIWNOSTX).
nIVE BUDET IZLOVENO POSTROENIE MERY PO vORDANU W EWKLIDOWOM PRO-
STRANSTWE Rn. iZLOVENIE SNA^ALA BUDET WESTISX DLQ SLU^AQ R2 TOLXKO
DLQ BOLX[EJ NAGLQDNOSTI.
x111. |LEMENTARNYE MNOVESTWA1. pRQMOUGOLXNIKOM W R2 (SO STORONAMI, PARALLELXNYMI OSQM KOOR-
DINAT) NAZYWAETSQ MNOVESTWO WIDA
� = f(x; y) 2 R2jx 2 ha; bi; y 2 hc; dig = ha; bi � hc; di;GDE ^EREZ ha; bi OBOZNA^AETSQ ODIN IZ PROMEVUTKOW WIDA (a; b), [a; b); (a; b],[a; b] (a; b 2 R). mNOVESTWO E(� R
2) NAZYWAETSQ \LEMENTARNYM, ESLI ONO
QWLQETSQ OB_EDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ PRQ-
MOUGOLXNIKOW:
(�) E =n[i=1
�i (�i \�j = ;; i 6= j):
w DALXNEJ[EM BUDET ISPOLXZOWATXSQ ZNAKPWMESTO
S, ESLI RE^X ID�ET O
POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTWAH. tAKIM OBRAZOM, WMESTO (�) BU-DEM PISATX E = �1 + : : :+�n =
nPi=1
�i.
oBOZNA^IM ^EREZ E KLASS WSEH \LEMENTARNYH MNOVESTW W R2. oTMETIM
WAVNYE DLQ NAS SWOJSTWA \TOGO KLASSA.
pUSTX E I F | PROIZWOLXNYE MNOVESTWA IZ KLASSA E. tOGDA
2. E [ F; E \ F 2 E ,
3. ESLI E � F , TO FnE 2 E,
4. SU]ESTWU@T POPARNO NEPERESEKA@]IESQ PRQMOUGOLXNIKI �1; : : : ;�n
TAKIE, ^TO E =Pi2�
�i; F =Pi2�0
�i, GDE �; �0 � f1; : : : ; ng.
176
sNA^ALA USTANOWIM PROSTU@ GEOMETRI^ESKU@ LEMMU.
5. eSLI PRQMOUGOLXNIKI �1; : : : ;�k POPARNO NE PERESEKA@TSQ I WSE
SODERVATSQ W PRQMOUGOLXNIKE �, TO SU]ESTWU@T POPARNO NEPERESEKA-
@]IESQ PRQMOUGOLXNIKI �k+1; : : : ;�n TAKIE, ^TO � =kPi=1
�i +nP
j=k+1�j.
� dOKAZATELXSTWO PROWODITSQ INDUKCIEJ PO k. dLQ k = 1 SPRAWEDLIWOSTX
UTWERVDENIQ USTANAWLIWAETSQ PEREBOROM WOZMOVNYH SLU^AEW RASPOLOVE-
NIQ PRQMOUGOLXNIKOW. (pRIMER ODNOGO IZ WOZMOVNYH SLU^AEW PRIWED<N
NA rIS. 20.)
dOPUSTIM, ^TO UTWERVDENIE WERNO DLQ WSEH NATURALXNYH ^ISEL
� k � 1; I PUSTX SEMEJSTWO �1; : : : ;�k UDOWLETWORQET USLOWIQM P. 5. pO
PREDPOLOVENI@, IMEET MESTO PREDSTAWLENIE � =k�1Pi=1
�i +PjPj, GDE fPjg
| NEKOTORAQ KONE^NAQ SISTEMA PRQMOUGOLXNIKOW. pOLOVIM �0j = �kPj.
tOGDA �0j � Pj I, SLEDOWATELXNO, Pj = �0
j+Ps�(j)s , GDE �(j)
s | PRQMOUGOLX-
NIKI I s PROBEGAET KONE^NOE MNOVESTWO INDEKSOW. oTS@DA
� =k�1Pi=1
�i +Pj
��kPj +
Ps�(j)s
�=
k�1Pi=1
�i +Pj�kPj +
Pj;s�(j)s
=kPi=1
�i +Pj;s�(j)s : >
6.pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU PP. 2{4. uSTANOWIM SNA^ALA P. 4.pUSTX
E =nPi=1
�i; F =sP
j=1�0j. pOLOVIM �ij = �i \ �0
j; \TI PRQMOUGOLXNIKI
POPARNO NE PERESEKA@TSQ. tAK KAK �ij � �0j;�ij � �i, TO W SILU P. 5:
�0j =
nXi=1
�ij +Xm
�00jm; �i =
sXj=1
�ij +Xt
�000it :
tOGDA SEMEJSTWO f�ij; �00jm; �
000itg | ISKOMOE.
pP. 2, 3 QWLQ@TSQ SLEDSTWIQMI P. 4. dEJSTWITELXNO, W OBOZNA^ENIQH
P. 4 IMEEM
EnF =X
i2�n�0�i; E [ F =
nXi=1
�i; E \ F =X
i2�\�0�i:
177
x112. mERA NA KLASSE \LEMENTARNYH MNOVESTW1. mEROJ (PLO]ADX@) PRQMOUGOLXNIKA � = ha; bi � hc; di NAZYWAETSQ
^ISLO m(�) = (b�a)(d�c). w ^ASTNOSTI, ESLI � WYROVDEN (TO ESTX a = b
ILI c = d), TO m(�) = 0: sLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO MERY NA KLASSE
PRQMOUGOLXNIKOW NAZYWAETSQ ADDITIWNOSTX@:
2. eSLI � =nPk=1
�k, TO m(�) =nPk=1
m(�k).
� pUSTX �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b); �0(c = y0 < : : : < ys = d) |
RAZLOVENIQ OTREZKOW [a; b] I [c; d]. eSLI � =Pi;j�ij, GDE �ij = hxi�1; xii �
hyj�1; yji (i = 1; n; j = 1; s), TO PREDSTAWLENIE � =Pi;j�ij NAZOW�EM REGULQR-
NYM. nETRUDNO WIDETX, ^TO UTWERVDENIE WERNO DLQ SLU^AQ REGULQRNOGO
PREDSTAWLENIQ:
m(�) = (b� a)(d� c) = [nPi=1
(xi � xi�1)] [sPj=1
(yj � yj�1)]
=Pi;j(xi � xi�1)(yj � yj�1) =
Pi;jm(�ij):
oB]IJ SLU^AJ LEGKO SWODITSQ K REGULQRNOMU (!!).>
3. pRODOLVIM MERU NA KLASS E WSEH \LEMENTARNYH MNOVESTW: DLQ E =nPi=1
�i POLOVIM m(E) =nPi=1
m(�i).
� uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. pUSTX E =sPj=1
�0j
| E]�E ODNO PREDSTAWLENIE E W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA-
@]IHSQ PRQMOUGOLXNIKOW. tOGDAnPi=1
m(�i) =sPj=1
m(�0j). dEJSTWITELX-
NO, POLAGAQ �ij = �i \ �0j, ZAMETIM, ^TO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA E =
nPi=1
sPj=1
�ij; �i =sPj=1
�ij; �0j =
nPi=1
�ij.pO\TOMUm(�i) =sPj=1
m(�ij); m(�0j) =
nPi=1
m(�ij), OTKUDA
nXi=1
m(�i) =nXi=1
sXj=1
m(�ij) =sXj=1
nXi=1
m(�ij)
!=
sXj=1
m(�0j): >
iZ DANNOGO OPREDELENIQ SRAZU SLEDUET, ^TO MERA m NA KLASSE E PO-
PREVNEMU OBLADAET SWOJSTWOM ADDITIWNOSTI:
178
4. eSLI E; F 2 E I E \ F = ;, TO m(E + F ) = m(E) +m(F ).
oTMETIM E]�E NESKOLXKO POLEZNYH SWOJSTW MERY (!!):
5. eSLI E 2 E, TO E�; E� 2 E I m(E) = m(E�) = m(E�).
6. eSLI E � F (E;F 2 E), TO m(F ) = m(E) +m(FnE).7. eSLI E;F 2 E, TO m(E [ F ) � m(E) +m(F ).
8. eSLI � = ��, A PRQMOUGOLXNIK �1 NE WYROVDEN I � \ �1 6= ;, TOm(� \ �1) > 0.
x113. sWOJSTWO S^�ETNOJ ADDITIWNOSTImERA NA KLASSE PRQMOUGOLXNIKOW OBLADAET SWOJSTWOM SU]ESTWENNO
BOLEE SILXNYM, ^EM SWOJSTWO 112.2. oNO NAZYWAETSQ S^�ETNOJ ADDITIW-
NOSTX@ I LEVIT W OSNOWE PRINCIPIALXNO NOWOJ TEORII MERY I INTEG-
RALA, KOTORAQ IZLAGAETSQ NIVE, W RAZDELAH \mERA lEBEGA" I \iNTEGRAL
lEBEGA".
1. eSLI � =1Pk=1
�k, GDE �; �k | PRQMOUGOLXNIKI, TO
m(�) =1Xk=1
m(�k):
� zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNOE n 2 N. w SILU 111.5 NAJDUTSQ PRQMOUGOLX-
NIKI �0n+1; : : : ;�
0s TAKIE, ^TO � =
nPk=1
�k+sP
j=n+1�0j, I W SILU ADDITIWNOSTI
I NEOTRICATELXNOSTI MERY m:
nXk=1
m(�k) �nXk=1
m(�k) +sX
j=n+1
m(�0j) = m(
nXk=1
�k +sX
j=n+1
�0j) = m(�):
iZ PROIZWOLXNOSTI n TEPERX POLU^AEM1Pk=1
m(�k) � m(�). oBRATNOE NE-
RAWENSTWO SLEDUET IZ UTWERVDENIQ:
2. eSLI � � 1Sk=1
�k, TO m(�) � 1Pk=1
m(�k).
� pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I � | ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLXNIK TAKOJ,
^TO � � � I m(�) � m(�) + "=2. dLQ KAVDOGO k RASSMOTRIM OTKRYTYJ
PRQMOUGOLXNIK f�k TAKOJ, ^TO
�k � f�k; m(f�k) < m(�k) + 2�(k+1) � " (k = 1; 2; : : :):
179
qSNO, ^TO � � 1Sk=1
f�k. sEMEJSTWOf�1;
f�2; : : : OBRAZUET OTKRYTOE POKRY-
TIE KOMPAKTNOGO MNOVESTWA �. sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET KONE^NOE SE-
MEJSTWO f�1; : : :g�N , KOTOROE POKRYWAET � : � � NS
k=1
f�k. w SILU 112.7
m(�) � NPk=1
m(f�k). sLEDOWATELXNO,
m(�) � m(�) +"
2�
NXk=1
m(f�k) +"
2�
1Xk=1
m(f�k) +"
2�
1Xk=1
m(�k) + ":
iZ PROIZWOLXNOSTI " P. 2 DOKAZAN, A WMESTE S NIM I P. 1. >
x114. iZMERIMYE PO vORDANU MNOVESTWA
1. dLQ OGRANI^ENNOGO MNOVESTWA X(� Rn) OPREDELENY DWA ^ISLA:
m�(X) � supfm(E)j E � X; E 2 Eg | WNUTRENNQQ MERA vORDANA
MNOVESTWA X,
m�(X) � inffm(E)j X � E;E 2 Eg | WNE[NQQ MERA vORDANA MNO-
VESTWA X.
oTMETIM, ^TO m�(X) � m�(X) DLQ PROIZWOLXNOGO OGRANI^ENNOGO MNO-
VESTWA X. oGRANI^ENNOE MNOVESTWO X(� Rn) NAZYWAETSQ IZMERIMYM
PO vORDANU (J-IZMERIMYM) , ESLI m�(X) = m�(X). ~ISLO m(X) �m�(X) (= m�(X)) NAZYWAETSQ MEROJ vORDANA J -IZMERIMOGO MNOVEST-
WA X.
z A M E ^ A N I Q. 2. kAVDOE \LEMENTARNOE MNOVESTWO E =nPk=1
�k
J -IZMERIMO I EGO MERA vORDANA RAWNAnPk=1
m(�k). zDESX I DALEE BUKWOJ
� OBOZNA^A@TSQ (n-MERNYE) PARALLELEPIPEDY ha1; b1i � : : :� han; bni.3. iZ OPREDELENIQ P. 1 MNOVESTWO X IMEET VORDANOWU MERU NULX
(m(X) = 0) TTOGDA 8" > 0 9E 2 E (X � E; m(E) < ").
oTMETIM SWOJSTWA MNOVESTW VORDANOWOJ MERY NULX:
4. m(X) = m(Y ) = 0 ) m(X [ Y ) = 0,
5. Y � X; m(X) = 0 ) Y J-IZMERIMO I m(Y ) = 0.
180
6. pO ANALOGII SO SLU^AEM ^ISLOWOJ PRQMOJ (x47) W EWKLIDOWOM PRO-
STRANSTWE WWODQTSQ MNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX. iMENNO, MNOVESTWO
X(� Rn) IMEET LEBEGOWU MERU NULX, ESLI
8" > 0 9�1;�2; : : : (X �1[k=1
�k;1Xk=1
m(�k) < ");
GDE �1;�2; : : : | PARALLELEPIPEDY. sPRAWEDLIWY SWOJSTWA:
7. eSLI X1;X2; : : : IME@T LEBEGOWU MERU NULX, TO1Sk=1
Xk TAKVE IME-
@T LEBEGOWU MERU NULX.
8. eSLI X IMEET LEBEGOWU MERU NULX I Y � X, TO Y IMEET LEBEGOWU
MERU NULX.
p R I M E R Y. 9. mNOVESTWO X = f1; 12 ; 13 ; : : :g(� R) J -IZMERIMO I
m(X) = 0.
10.mNOVESTWO Q\[0; 1] (� R) OGRANI^ENO I IMEET LEBEGOWU MERU NULX.
oDNAKO ONO NE J -IZMERIMO.
x115. kRITERIJ IZMERIMOSTI MNOVESTWApUSTX X � R
n OGRANI^ENO. sLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY:
(1) X | J-IZMERIMO,
(2) 8" > 0 9E;F 2 E (E � X � F; m(F )�m(E) < "),
(3) XG IMEET VORDANOWU MERU NULX.
� (1) ) (2) (!!). (2) ) (3). bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX,
^TO F ZAMKNUTO, A E OTKRYTO. w \TOM SLU^AE XG = (X�)\ (Xc�) � FnEfDEJSTWITELXNO, X � F ) X� � F ;E � X ) Ec � Xc ) Ec � Xc�.pO\TOMU X� \ (Xc�) � F \ Ec = FnEg. tAKIM OBRAZOM,
m�(XG) � m�(FnE) = m(FnE) = m(F )�m(E) < ":
(3) ) (1). pUSTX m(XG) = 0 I " > 0 PROIZWOLXNO. tOGDA SU]ESTWUET
E 2 E TAKOE, ^TO XG � E;m(E) < ". tAK KAK X OGRANI^ENO, EGO MOVNO
POGRUZITX W NEKOTORYJ PARALLELEPIPED � : X � �. tOGDA �nE 2 E
I, SLEDOWATELXNO �nE =nPk=1
�k, GDE �k | NEKOTORYE PARALLELEPIPEDY.
tOGDA
F � X� \ (�nE) = Xk2�
�k;
181
GDE � = fk 2 f1; : : : ; ngj X� \ �k 6= ;g. fdEJSTWITELXNO, WKL@^ENIEF � P
k2��k O^EWIDNO. oBRATNO, ESLI
Pk2�
�k 6� F , TO W ODNOM IZ PARAL-
LELEPIPEDOW �k (k 2 �) NAJDETSQ TO^KA x 2 X� I TO^KA y 2 X�c(= Xc�).oTS@DA WYTEKAET SU]ESTWOWANIE W \TOM VE PARALLELEPIPEDE NEKOTOROJ
TO^KI z 2 XG(!!), ^TO NEWOZMOVNO.g tAK KAK F � X � F + E, IMEEM
m�(X) � m�(F + E) = m(F ) +m(E) � m�(X) + ":
w SILU PROIZWOLXNOSTI " : m�(X) � m�(X). tAK KAK WERNO I OBRATNOE
NERAWENSTWO, TO X J -IZMERIMO.>
x116. sWOJSTWA IZMERIMYH PO vORDANU MNOVESTW
1. eSLI X;Y J-IZMERIMY, TO J-IZMERIMY MNOVESTWA X [ Y; XnY;X \ Y .� sLEDUET IZ KRITERIQ x115 S U^�ETOM WKL@^ENIJ AG � XG [ Y G, GDE A| L@BOE IZ MNOVESTW X [ Y; XnY; X \ Y (SM. 95.10). >
2. eSLI X;Y J-IZMERIMY, TO m(X [ Y ) � m(X) +m(Y ). w ^AST-
NOSTI, ESLI X \ Y = ;, TO m(X + Y ) = m(X) +m(Y ).
� pUSTX SNA^ALA X \ Y = ; I E; E 0; F; F 0 2 E TAKOWY, ^TO
E � X � E0; F � Y � F 0;
m(E0)�m(E) < "; m(F 0)�m(F ) < ":
pOLOVIM G = E + F; G0 = E0 [ F 0. tOGDA G � X + Y � G0 I
m(X) +m(Y )� 2" = (m(X)� ") + (m(Y )� ") < m(E) +m(F )
= m(G)� m(X + Y ) � m(G0) � m(E0) +m(F 0)� m(X) +m(Y ) + 2":
oSTALOSX ZAMETITX, ^TO " PROIZWOLXNO. w OB]EM SLU^AE:
m(X [ Y ) = m(X + (Y nX)) = m(X) +m(Y nX) � m(X) +m(Y ): >
3. pUSTX X;Y J -IZMERIMY, PRI^�EM X \ Y � XG [ Y G (TO ESTX MNO-VESTWA X I Y PERESEKA@TSQ LI[X PO GRANICAM). w \TOM SLU^AE MY BUDEM
PISATX X \ Y �= ;.
182
4. eSLI X \ Y �= ;, TO m(X [ Y ) = m(X) +m(Y ).
� uTWERVDENIE SPRAWEDLIWO W SILU WYKLADKIm(X) +m(Y ) = m(X�) +m(Y �) = m(X� + Y �) � m(X [ Y )
� m(X) +m(Y );
GDE 1-E RAWENSTWO SLEDUET IZ WKL@^ENIQ X� � X � X� [XG: >p R I M E R Y. 5. pUSTX f(x) � 0 (a � x � b) INTEGRIRUEMA NA
[a; b]. tOGDA X � f(x; y) 2 R2j a � x � b; 0 � y � f(x)g J -IZMERIMO I
m(X) =Z b
af(x) dx.
� pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. tOGDA SU]ESTWUET RAZLOVENIE �(a = x0 <
x1 < : : : < xn = b), ^TO I � "=2 < S�(�) � S�(�) < I + "=2, GDE I =Z b
af(x) dx, S�(�) =
nPi=1
mi(xi�xi�1); S�(�) =nPi=1
Mi(xi�xi�1) (SM. x55,56).pOLOVIM
�i = f(x; y)j xi�1 � x � xi; 0 � y � mig; E =nSi=1
�i;
�0i = f(x; y)j xi�1 � x � xi; 0 � y �Mig; F =
nSi=1
�0i:
tOGDA E;F 2 E; E � X � F; m(E) =nPi=1
m(�i) =nPi=1
mi(xi � xi�1) =
S�(�); m(F ) =nPi=1
m(�0i) = S�(�). sLEDOWATELXNO, m(F ) � m(E) < ".
oSTALOSX PRIMENITX KRITERIJ x115. >6. pUSTX K � R
n�1 KOMPAKTNO, I f : K ! R| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ.
tOGDA POWERHNOSTX S W Rn, OPISYWAEMAQ URAWNENIEM
xn = f(x1; : : : ; xn�1); (x1; : : : ; xn�1) 2 K;IMEET n-MERNU@ VORDANOWU MERU NULX.
� fUNKCIQ f RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA K. sLEDOWATELXNO,
(�) 8" > 0 9� > 0 8x; x0 2 K (kx� x0k < � ) jf(x)� f(x0)j < "):
pUSTX h > 0 TAKOWO, ^TO DIAMETR KUBA W Rn�1 SO STORONOJ h MENX[E �.
rASSE^�EM Rn SETKOJ
x1 = jh; :::; xn�1 = jh; xn = j" (j = 0; �1; �2 : : :):
183
pROSTRANSTWO Rn�1 PEREMENNYH x1; : : : ; xn�1 RASSEKAETSQ PRI \TOM NA KU-
BY S REBROM h. kOMPAKTNOE MNOVESTWO K LEVIT W NEKOTOROM (n � 1)-
MERNOM KUBE �, I PUSTX m(n�1)(�) = M . sKOLXKO n-MERNYH PARALLELEPI-
PEDOW, SODERVA]IH TO^KI POWERHNOSTI S, MOGUT PROEKTIROWATXSQ NA ODIN
KUBIK IZ �? o^EWIDNO, NE BOLEE TR�EH (ESLI BY IH BYLO BOLX[E TR�EH, TO NA-
[LISX BY TO^KI x; x0 2 � TAKIE, ^TO kx�x0k < �, A jf(x)�f(x0)j � 2",^TO
PROTIWORE^IT (�)). sLEDOWATELXNO, m(n)(S) � 3"M . iZ PROIZWOLXNOSTI "
IMEEM m(n)(S) = 0: >
u P R A V N E N I Q. 7. eSLI NEPRERYWNAQ PLOSKAQ KRIWAQ � BIEKTIWNO
I ORTOGONALXNO PROEKTIRUETSQ NA OTREZOK NEKOTOROJ PRQMOJ ` � R2, TO
E< DWUMERNAQ MERA vORDANA RAWNA NUL@.
8. eSLI X J -IZMERIMO W R2, TO J -IZMERIMO MNOVESTWO Y , POLU^A@-
]EESQ IZ X POWOROTOM NA NEKOTORYJ UGOL W SISTEME KOORDINAT XOY .
9. pRIWESTI PRIMER J -IZMERIMOGO MNOVESTWA � R2, OBLADA@]EGO
ODNOWREMENNO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: (i) EGO ORTOGONALXNYE PROEKCII
NA OSI Ox; Oy NE J -IZMERIMY W R1, (ii) NAJD�ETSQ � 2 R TAKOE, ^TO NE
J -IZMERIMY W R1 MNOVESTWA
1 = fy 2 Rj (�; y) 2 g I 2 = fx 2 Rj (x; �) 2 g:
184
kratnye integraly rimana
x117. oPREDELENIE KRATNOGO INTEGRALA
1. pUSTX � Rk OGRANI^ENO I J -IZMERIMO. sISTEMU J -IZMERIMYH
MNOVESTW 1; : : : ;n NAZOW�EM RAZLOVENIEM , ESLI =nSi=1
i, PRI^�EM
i\j �= ; (i 6= j); OBOZNA^IM \TO RAZLOVENIE SIMWOLOM�(1; : : : ;n).wE-
LI^INU j�j � max1�i�n
d(i) NAZOW�EM DIAMETROM RAZLOVENIQ � (ZDESX d(i) �supfkx� yk : x; y 2 ig | DIAMETR i ).
pUSTX f : ! R I �(1; : : : ;n) | RAZLOVENIE . sUMMA S� =nPi=1
f(xi)m(i), GDE xi 2 i, A m(i) | MERA vORDANA MNOVESTWA i,
NAZYWAETSQ INTEGRALXNOJ SUMMOJ rIMANA FUNKCII f .
2. fUNKCIQ f : ! R NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ (PO rIMANU), ESLI
DLQ WSQKOJ POSLEDOWATELXNOSTI �(k)((k)1 ; : : : ;(k)
nk) RAZLOVENIJ TAKIH,
^TO j�(k)j ! 0 (k !1) SU]ESTWUET PREDEL
limk
nkXi=1
f(x(k)i )m(
(k)i ):
w \TOM SLU^AE PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI �(k) I
NAZYWAETSQ INTEGRALOM rIMANA FUNKCII f PO MNOVESTWU , OBOZNA^ENIQ:Z
f(x) dx;
Z: : :
Z
f(x1; : : : ; xn) dx1 : : : dxn.
3. pODOBNO ODNOMERNOMU SLU^A@ IMEET MESTO OPREDELENIE, \KWIWA-
LENTNOE PRIWED�ENNOMU: � =Z
f(x) dx, ESLI
8" > 0 9� > 0 8� (j�j < �) jS� � �j < "):
PRI L@BOM WYBORE TO^EK xj 2 j.
4. p R I M E R. pUSTX � 2 R I f(x) = � (x 2 ). tOGDA
Z
f(x) dx =
� �m().
185
x118. iNTEGRIRUEMOSTX I OGRANI^ENNOSTX1. w OTLI^IE OT SLU^AQ INTEGRALA PO OTREZKU, W OB]EM SLU^AE IZ
INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII E]�E NE SLEDUET E�E OGRANI^ENNOSTX. dEJSTWI-
TELXNO, ESLI m() = 0 I f : ! R PROIZWOLXNAQ (NE OBQZATELXNO OGRA-
NI^ENNAQ) FUNKCIQ, TO IZ OPREDELENIQ 117.2 SLEDUET, ^TO
Z
f(x)dx = 0:
2. nAZOW�EM J -IZMERIMOE MNOVESTWO (� Rk) NEWYROVDENNYM, ESLI
(�) 8" > 0 9�(1; : : : ;n) (j�j < "; m(i) > 0 (i = 1; : : : ; n)):
3. p R I M E R. wSQKOE OTKRYTOE J -IZMERIMOE MNOVESTWO QWLQETSQ
NEWYROVDENNYM. fkUBI^ESKAQ SETKA W Rk S KUBIKAMI �j DIAMETRA < "
RAZREZAET NA J -IZMERIMYE ^ASTI j = \ �j. sEMEJSTWO WSEH TEH MNO-VESTW j , KOTORYE NE PUSTY, OBRAZUET ISKOMOE RAZLOVENIE � S j�j < ".
dEJSTWITELXNO, ESLI x 2 j, TO SU]ESTWUET OTKRYTYJ KUBIK � DOSTATO^-
NO MALOGO DIAMETRA S CENTROM W TO^KE x 2 TAKOJ, ^TO � � I TOGDA
(SM. 112.8) m( \ �j) � m(� \ �j) > 0.gdLQ NEWYROVDENNYH OBLASTEJ IMEET MESTO NEOBHODIMOE USLOWIE IN-
TEGRIRUEMOSTI.
4. eSLI NEWYROVDENO I f : ! R INTEGRIRUEMA, TO f OGRANI^ENA.
� pUSTX, NAPROTIW, f NE OGRANI^ENA. tOGDA DLQ L@BOGO N > 0 I L@BOGO
RAZLOVENIQ �(1; : : : ;n) S USLOWIEM (�) NAJD�ETSQ TO^KA x 2 (PUSTX,
NAPRIMER, x 2 1) TAKAQ, ^TO
jf(x)j > N
m(1)+
1
m(1)
�����nXi=2
f(xi)m(i)
����� (ZDESX xi 2 i):
sLEDOWATELXNO,
jS�j=�����f(x)m(1) +
nXi=2
f(xi)m(i)
������ jf(x)jm(1)������nXi=2
f(xi)m(i)
����� >N: >
x119. kRITERIJ INTEGRIRUEMOSTI dARBU1. pUSTX (� R
k) J -IZMERIMO I f : ! R OGRANI^ENA. dLQ RAZLO-
VENIQ �(1; : : : ;n) OBLASTI OPREDELIM WELI^INY:
186
mj = infx2j f(x); Mj = supx2j f(x),
S�(�) =nPi=1
mim(i) | NIVNQQ SUMMA dARBU,
S�(�) =nPi=1
Mim(i) | WERHNQQ SUMMA dARBU.
eSLI�;�0| PROIZWOLXNYE RAZLOVENIQ , TO PODOBNO SLU^A@ OTREZKA
(55.3) WYWODITSQ NERAWENSTWO S�(�) � S�(�).
nIVNIJ (SOOTWETSTWENNO WERHNIJ) INTEGRAL dARBU DLQ FUNKCII f
OPREDELQETSQ RAWENSTWOM D�(f) = sup�S�(�) (SOOTWETSTWENNO D�(f) =
inf�S�(�)). pRI \TOM D�(f) � D�(f).
2. oGRANI^ENNAQ FUNKCIQ f : ! R ( � Rk) INTEGRIRUEMA TTOGDA
D�(f) = D�(f). pRI \TOMZ
f(x) dx = D�(f).
� dOKAZATELXSTWO NE IMEET PRINCIPIALXNYH OTLI^IJ OT SLU^AQ INTEG-RALA PO OTREZKU (SM. 56.1). >
3. s L E D S T W I E. eSLI ZAMKNUTO I J-IZMERIMO, A f : ! R
NEPRERYWNA, TO f INTEGRIRUEMA.
� mOVNO S^ITATX, ^TO m() > 0: pO USLOWI@ KOMPAKTNO I POTOMU f
RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA (SM. 70.1). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I � > 0
TAKOWO, ^TO
8x; y 2 (kx� yk < �) jf(x)� f(y)j < "
m()):
eSLI �(1; : : : ;n) TAKOWO, ^TO j�j < �, TO W OBOZNA^ENIQH P. 1
D�(f) �D�(f) � S�(�)� S�(�) � nPi=1
(Mi �mi)m(i)
� "m()
�m() = ": >
nIVE MY PRIWED�EM KRITERIJ INTEGRIRUEMOSTI a. lEBEGA. dLQ EGO
DOKAZATELXSTWA PONADOBITSQ NEKOTORAQ PODGOTOWKA.
x120. kOLEBANIE FUNKCII W TO^KE
1. pUSTX � Rk I f : ! ROGRANI^ENA. dLQ x0 2 I � > 0 POLOVIM
187
M�(x0) = supff(x)jx 2 \B�(x0)g,m�(x0) = infff(x)jx 2 \B�(x0)g.
M�(x0) (SOOTWETSTWENNO m�(x0)) KAK FUNKCIQ PEREMENNOJ � NE WOZRAS-
TAET (SOOTWETSTWENNO NE UBYWAET), OSTAWAQSX OGRANI^ENNOJ SNIZU (SOOT-
WETSTWENNO SWERHU). tAKIM OBRAZOM, OPREDELENA WELI^INA, NAZYWAEMAQ
KOLEBANIEM FUNKCII W TO^KE x0:
!(x0) � lim�!0
[M�(x0)�m�(x0)]:
2. fUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 TTOGDA !(x0) = 0 (!!).
3. pUSTX f : ! ROGRANI^ENA. tOGDA DLQ KAVDOGO � > 0 MNOVESTWO
D� � fx 2 j !(x) � �g ZAMKNUTO.� pUSTX x0 2 D�
� . tOGDA 8� > 0 9y 2 B�(x0) \ (!(y) � �). pUSTX > 0
TAKOWO, ^TO B (y) � B�(x0). tOGDA M�(x0)�m�(x0) �M (y)�m (y) � �,
TAK ^TO !(x0) � � I, SLEDOWATELXNO, x0 2 D�: >
4. mNOVESTWO D WSEH TO^EK RAZRYWA OGRANI^ENNOJ FUNKCII f PRED-
STAWIMO W WIDE D =1Sn=1
D1=n.
� uTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ P. 2. >x121. tEOREMA lEBEGApUSTX (� R
k) J-IZMERIMO I ZAMKNUTO. oGRANI^ENNAQ FUNKCIQ
f : ! R INTEGRIRUEMA TTOGDA f P.W. NEPRERYWNA.
� nEOBHODIMOSTX. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO KAVDOE MNOVESTWO
D1=n (n 2 N) IMEET LEBEGOWU MERU NULX (SM. 120.4, 114.7). pUSTX n 2 N
I " > 0 PROIZWOLXNY. w SILU 119.2 NAJD�ETSQ RAZLOVENIE �(1; : : : ;s)
TAKOE, ^TO (W OBOZNA^ENIQH 119.1)sPj=1
(Mj �mj)m(j) � "=n . pUSTX
�n = fj 2 f1; : : : ; sgj 9y 2 0j (!(y) �
1
n)g:
tOGDA
1
n
Xj2�n
m(j) �Xj2�n
(Mj �mj)m(j) �sXj=1
(Mj �mj)m(j) � "
n;
188
OTKUDAPj2�n
m(j) � ". dALEE
D1=n = fy 2 j !(y) � 1
ng � (
[j2�n
j)[(s[
j=1
Gj );
I, POSKOLXKU m(Gj ) = 0 (1 � j � s), IMEEM
m�(D1=n) � m�((S
j2�nj)
S(sSj=1
Gj )) = m((S
j2�nj)
S(sSj=1
Gj ))
� Pj2�n
m(j) +sPj=1
m(Gj ) =Pj2�n
m(j) � ":
iZ PROIZWOLXNOSTI " OTS@DA SLEDUET, ^TO m(D1=n) = 0, A ZNA^IT, D1=n
IMEET LEBEGOWU MERU NULX.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX MNOVESTWO D WSEH TO^EK RAZRYWA OGRANI-
^ENNOJ FUNKCII f IMEET LEBEGOWU MERU NULX. tREBUETSQ DOKAZATX INTEG-
RIRUEMOSTX f . bUDEM S^ITATX, ^TO m() > 0 (INA^E UTWERVDENIE O^EWID-
NO). pUSTX M > 0 TAKOWO, ^TO jf(x)j � M (x 2 ) I " > 0 PROIZWOLXNO.
tAK KAKD =SnD1=n, TOD1=n IMEET LEBEGOWU MERU NULX DLQ KAVDOGO n (SM.
114.8). pUSTX n TAKOWO, ^TO 1n <
"m()
. wYBEREM SISTEMU f�ig OTKRYTYHPARALLELEPIPEDOW TAK, ^TOBY
D1=n �[i
�i;Xi
m(�i) <"
M:
mNOVESTWO D1=n OGRANI^ENO I ZAMKNUTO (SM. 120.3), TAK ^TO ONO KOMPAKT-
NO, I ZNA^IT, SU]ESTWUET KONE^NOE ^ISLO PARALLELEPIPEDOW �1; : : : ;�q,
POKRYWA@]IH D1=n. mNOVESTWO 0 � n�
qSi=1
�i
�J -IZMERIMO I ZAMK-
NUTO (W ^ASTNOSTI, KOMPAKTNO), PRI^�EM 8y 2 0 (!(y) < 1n). sLEDO-
WATELXNO, KAVDU@ TO^KU y 2 0 MOVNO POGRUZITX W [AR B�y(y) RADI-
USA �y > 0 TAKOJ,^TO 8z 2 B�y(y) \ (jf(z) � f(x)j < 1n). iZ SISTE-
MY [AROW fB�y(y)gy20, POKRYWA@]IH 0, WYBEREM KONE^NU@ PODSISTEMU
B�y1(y1); : : : ; B�yt
(yt), POKRYWA@]U@ 0. rASSMOTRIM SLEDU@]EE RAZLOVE-NIE MNOVESTWA 0:
1 = B�y1(y1) \ 0; 2 = B�y2
(y2) \ (0n1); : : : ;
t = B�yt(yt) \ (0n t�1S
i=1i):
189
pOLAGAQ M0 = supx2n0
f(x); m0 = infx2n0
f(x), IMEEM DLQ RAZLOVENIQ
�(n0;1; : : : ;t) MNOVESTWA :
S�(�)� S�(�) = (M0 �m0)m(0n) + tPi=1
(Mi �mi)m(i)
� 2M �m�
qSi=1
�i
�+ 1n �
tPi=1
m(i) � 2"+ 1nm() < 3":
iZ PROIZWOLXNOSTI " I 119.2 SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX f: >
x122. sWOJSTWA INTEGRALA1. pUSTX J-IZMERIMO, f : !R OGRANI^ENA, ef : �!R| PROIZ-
WOLXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ TAKAQ, ^TO ef j = f . fUNKCIQ f INTEG-
RIRUEMA TTOGDA INTEGRIRUEMA ef . pRI \TOM(1)
Z�
ef (x) dx =
Z
f(x) dx:
� pUSTX f INTEGRIRUEMA, � =
Z
f(x) dx I �(1; : : : ;n) | TAKOE RAZ-
LOVENIE , ^TO S�(�)� � < ". sISTEMA MNOVESTW
(2) 1; �1 n1; : : : ; n;
�n nn
OBRAZUET RAZLOVENIE �� MNOVESTWA � (MNOVESTWO �i ni PRISUTSTWUET W
RQDU (2), TOLXKO ESLI ONO NE PUSTO). pUSTX Ni = supx2�
ini
ef(x) (�i ni 6= ;).
tOGDA (TAK KAK m(�i ni) = 0)
S�( ��; ef)� � = S�(�) +Xi
Nim(�i ni)� � = S�(�)� � < ":
(zDESX S�( ��; ef) | WERHNQQ SUMMA dARBU DLQ ef , OTWE^A@]AQ RAZLOVENI@��.) iZ PROIZWOLXNOSTI " D�( ef ) � �. aNALOGI^NO D�( ef) � �. iTAK, efINTEGRIRUEMA, I SPRAWEDLIWO (1).
pUSTX TEPERX ef INTEGRIRUEMA, I (�N ) | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELX-
NOSTX RAZLOVENIJ S USLOWIEM j�N j ! 0: eSLI �N (1; : : : ;n) | NEKO-
TOROE RAZLOVENIE IZ \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI, TO RAZLOVENIE ��N , OPRE-
DEL�ENNOE SISTEMOJ (2), IMEET TOT VE DIAMETR, ^TO I �N : j�N j = j ��N j.
190
sLEDOWATELXNO, S�( ��N ;ef)! Z
�
ef (x) dx. oTS@DA
limNS�N
(f) = limN
[S�N(f) +
Pi:�
ini 6=;
ef(�i)m(�i ni)]
= limNS( ��N ;
ef) = Z�
ef (x) dx(�i 2 �
i ni PROIZWOLXNY). tAKIM OBRAZOM, f INTEGRIRUEMA, I SPRAWED-
LIWO RAWENSTWO (1). >
2. eSLI f; g : ! R OGRANI^ENY I INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMY
f � g; f � g; �f; jf j, PRI^�EMZ
[f(x)� g(x)] dx =
Z
f(x) dx�Z
g(x) dx,
Z
�f(x) dx = �
Z
f(x) dx:
3. pUSTX f : ! R OGRANI^ENA, = 1 [ 2, GDE 1 \ 2 = ; I
i (i = 1; 2) J-IZMERIMY. tOGDA
(3)Z
f(x) dx =Z1
f(x) dx+Z2
f(x) dx
W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ ^ASTEJ RAWENSTWA (3), TO
OPREDELENA I DRUGAQ, I ONI RAWNY.
� s POMO]X@ P. 1 DOKAZATELXSTWA PP. 2, 3 SWODQTSQ K PRIMENENI@ TE-
OREMY lEBEGA (x121). pROWERIM INTEGRIRUEMOSTX PROIZWEDENIQ INTEG-
RIRUEMYH FUNKCIJ. pUSTX ef; eg : � ! R| KAKIE-LIBO OGRANI^ENNYE
PRODOLVENIQ FUNKCIJ f; g. w SILU P. 1 ef; ~g INTEGRIRUEMY I PO TEORE-
ME lEBEGA ONI NEPRERYWNY P.W. sLEDOWATELXNO, P.W. NEPRERYWNA FUNKCIQef � eg, QWLQ@]AQSQ OGRANI^ENNYM PRODOLVENIEM FUNKCII f �g. pO TEOREMElEBEGA ef � eg INTEGRIRUEMA, I W SILU P. 1, INTEGRIRUEMA f � g: >
4. z A M E ^ A N I E. dLQ NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII f IZ SU]ESTWO-
WANIQ PRAWOJ ^ASTI (3) NE SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX f PO MNOVESTWU .
dEJSTWITELXNO, POLOVIM (rIS. 21)
= 0[00; f(x) =
(0; ESLI x 2 00,1x1; ESLI x = (x1; 0) 2 0nf�g.
191
tOGDA
Z0
f(x) dx =Z00
f(x) dx = 0, NOZ
f(x) dx NE SU]ESTWUET, IBO INTEG-
RALXNAQ SUMMA S� FUNKCII f MOVET BYTX WYBRANA SKOLX UGODNO BOLX[OJ:
POLOVIM, NAPRIMER, DLQ RAZLOVENIQ NA rIS. 22 x1 =
�m(1)N
; 0
�2 1,
GDE N > 0 | NAPER�ED ZADANNOE ^ISLO. tOGDA S� � f(x1)m(1) = N: >
5. pUSTX f; g; ' : ! R OGRANI^ENY I INTEGRIRUEMY, PRI^�EM f(x) �g(x); '(x) � 0 DLQ WSEH x 2 . tOGDAZ
f(x)'(x) dx �Z
g(x)'(x) dx:
w ^ASTNOSTI,
���Z
f(x) dx��� � Z
jf(x)j dx � kfkm();
GDE kfk � supx2
jf(x)j.
6. t E O R E M A [O SREDNEM]. pUSTX f; ' : ! R OGRANI^ENY I
INTEGRIRUEMY, PRI^�EM '(x) � 0. tOGDAZ
f(x)'(x) dx = �
Z
'(x) dx;
GDE �| PODHODQ]EE ^ISLO IZ OTREZKA [ infx2
f(x); supx2
f(x)]. w ^ASTNOSTI,
ESLI ZAMKNUTO I LINEJNO SWQZNO, A f NEPRERYWNA, TO SU]ESTWUET
x0 2 TAKOE, ^TO Z
f(x)'(x) dx = f(x0)Z
'(x) dx:
� dOKAZATELXSTWO P. 5{6 PODOBNO SLU^A@ INTEGRALA PO OTREZKU. w ^ASTNOM
UTWERVDENII P. 6 U^TITE 70.4 (!!). >
x123. sWQZX KRATNOGO INTEGRALA S POWTORNYMtEPERX MY IZLOVIM PROCEDURU, ^ASTO POZWOLQ@]U@ \FFEKTIWNO WY-
^ISLQTX KRATNYJ INTEGRAL PUT�EM POWTORNOGO PRIMENENIQ FORMULYnX@TONA-
lEJBNICA.
192
1. pUSTX � = [a; b]� [c; d] | NEWYROVDENNYJ PRQMOUGOLXNIK (W R2) I
f : �! R INTEGRIRUEMA. tOGDA
Z Z�
f(x; y) dxdy =
bZa
0@ dZc
f(x; y) dy
1A dx =
dZc
0@ bZa
f(x; y) dx
1A dy:
� pRIWED�ENNOE RAWENSTWO TREBUET RAZ_QSNENIQ: IZ INTEGRIRUEMOSTI f NAMNOVESTWE� NE SLEDUET, NAPRIMER, SU]ESTWOWANIQ INTEGRALA
Z d
cf(x; y) dy
PRI L@BOM x 2 [a; b]. pOLOVIM DLQ OPREDEL�ENNOSTI
�(x) =Z d
cf(x; y) dy � D� (f(x; �)); a � x � b;
GDE D� (f(x; �)) | NIVNIJ INTEGRAL dARBU FUNKCII y ! f(x; y); y 2 [c; d].
|TA WELI^INA OPREDELENA, TAK KAK f OGRANI^ENA W SILU NEWYROVDENNOSTI
� (SM. x118). mOVNO S^ITATX, ^TO �(x) | PROIZWOLXNAQ TO^KA IZ OTREZ-
KA [D�(f(x; �));D�(f(x; �))]. iTAK, TREBUETSQ DOKAZATX, ^TOZ b
a�(x) dx =Z Z
�
f(x; y) dxdy. rAZOBX�EM KAVDYJ IZ OTREZKOW [a; b]; [c; d] NA N RAWNYH
^ASTEJ:
�x(a = x0 < x1 < : : : < xN = b); �y(c = y0 < y1 < : : : < yN = d):
pUSTX hN = b� aN
; kN = d� cN
. tOGDA
S�(�N ) = hNkN
NXi;j=1
Mij; S�(�N ) = hNkN
NXi;j=1
mij;
GDE �N | SOOTWETSTWU@]EE RAZLOVENIE � I, NAPR.,
mij = infff(x; y)j (x; y) 2 [xi�1; xi]� [yj�1; yj]g:
pUSTX �i 2 [xi�1; xi] | PROIZWOLXNYE TO^KI. tOGDA
�(�i) � D�(f(�i; �)) � kN
NXj=1
supy2[yj�1;yj ]
f(�i; y)) � kN
NXj=1
Mij :
193
aNALOGI^NO, �(�i) � kNNPj=1
mij. sLEDOWATELXNO,
S�(�N ; f) = hN
NXi=1
(kN
NXj=1
mij) � hN
NXi=1
�(�i) � S�(�N ; f):
pEREHODQ K PREDELU PRI N !1, POLU^IM
(1) limN
NPi=1
�(�i)hN =Z Z�
f(x; y) dxdy (PRI L@BOM WYBORE TO^EK �i 2
[xi�1; xi]),
(2) �(x) INTEGRIRUEMA, IBO
S�(�x;�)� S�(�x;�) = hNNPi=1
[ sup[xi�1;xi]
�(x)� inf[xi�1;xi]
�(x)]
� hNkNPi;j[Mij �mij]! 0 (N !1):
(3)
Z b
a�(x) dx =
Z Z�
f(x; y) dxdy.
2. z A M E ^ A N I E.iZ DOKAZATELXSTWA P. 1 WIDNO, ^TO y MOVNO S^ITATX
WEKTOROM, TAK ^TO ESLI f : � ! R INTEGRIRUEMA, � = f(x1; : : : ; xn)jai � xi � bi (i = 1; n)g, TOZ: : :
Z�
f(x1; : : : ; xn) dx1 : : : dxn =Z b1
a1
0@Z : : :
Z�0
f(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn
1A dx1;
GDE�0 = [a2; b2]�: : :�[an; bn].tAKIM OBRAZOM, DLQ INTEGRIRUEMOJ FUNKCIIf : �! R IMEET MESTO FORMULA
Z: : :
Z�
f(x1; : : : ; xn) dx1: : : dxn =Z b1
a1dx1
Z b2
a2dx2: : :
Z bn
anf(x1; : : : ; xn) dxn:
3. [oB]IJ SLU^AJ]. pUSTX | J-IZMERIMO W PROSTRANSTWE Rn PERE-
MENNYH x1; : : : ; xn; �1 | PROEKCIQ NA OSX Ox1 I f : ! R OGRANI^ENA
I INTEGRIRUEMA. pUSTX J-IZMERIMY MNOVESTWA (x1) � f(x2; : : : ; xn) 2Rn�1j (x1; : : : ; xn) 2 g (W Rn�1) I �1 (W R1). tOGDAZ
: : :
Z
f(x1; : : : ; xn) dx1: : : dxn =Z�1
dx1Z
(x1)
f(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn:
194
� pOMESTIM W PARALLELEPIPED � � Rn; � = [a; b] � �0, GDE �0 |
PARALLELEPIPED W PROSTRANSTWE Rn�1 PEREMENNYH x2; : : : ; xn. pOLOVIM
ef(x) =�f(x); ESLI x 2 ,
0; ESLI x 2 �n .tOGDA S U^�ETOM P. 2 (SM. WY[E) IMEEM
Z
f(x) dx =
Z�
ef(x) dx =
Z b
adx1
Z�0
ef(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn=
Z�1
dx1Z�0
ef(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn+
Z[a;b]n�1
dx1Z�0
ef(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn
=Z�1
dx1Z
(x1)
f(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn
+Z�1
dx1Z
�0n(x1)
ef(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn
=Z�1
dx1Z
(x1)
f(x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn
(TAK KAK
Z[a;b]n�1
dx1Z�0
ef (x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn ==
Z�1
dx1Z
�0n(x1)
ef (x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn = 0 ). >
4. z A M E ^ A N I E. iZMERIMOSTX PO vORDANU MNOVESTW �1 I (x1)
NE SLEDUET IZ J -IZMERIMOSTI (SM. 116.9).
5. p R I M E R. wY^ISLIM J =
Z Z Z
z dxdydz, GDE
= f(x; y; z)j z � 0; x2 + y2 + z2 � 1g:
iMEEM J =
Z 1
�1dx
Z Z(x)
z dydz, GDE (x) = f(y; z)j z � 0; y2 + z2 � 1 � x2g.
pO\TOMU
J =
Z 1
�1dx
Z p1�x2
�p1�x2
dy
Z (1�x2�y2)1=2
0zdz =
Z 1
�1dx
Z p1�x2
0(1 � x2 � y2) dy
= 43
Z 1
0(1 � x2)3=2 dx = 1
4 :
195
x124. zAMENA PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE
dANNU@ TEMU OBY^NO NE UDA�ETSQ IZLOVITX NA LEKCIQH SO WSEJ NEOB-
HODIMOJ STROGOSTX@, PO\TOMU RQD MOMENTOW W POSLEDU@]EM IZLOVENII
NOSIT \WRISTI^ESKIJ HARAKTER.
1. iZMENENIE MERY PRI PREOBRAZOWANII KOORDINAT. dLQ PROSTOTY
IZLOVENIQ OGRANI^IMSQ PLOSKIM SLU^AEM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK
(u; v) ZADANA J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ LINEJNO SWQZNAQ OBLASTX . pUSTX
ZADANO BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE � OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMEN-NYH (x; y) W DRUGOM \KZEMPLQRE R2 : �(u; v) = (x(u; v); y(u; v)); (u; v) 2 .
bUDEM S^ITATX, ^TO � | GLADKOE OTOBRAVENIE, TO ESTX � NEPRERYWNO
DIFFERENCIRUEMO I �0(u; v) DOPUSKAET NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA �.pUSTX DALEE
J(u; v) = det �0(u; v) =
������@x@u
@x@v
@y@u
@y@v
������ 6= 0; (u; v) 2 :
kAK NAJTI VORDANOWU MERU MNOVESTWA 0? rASSMOTRIM MALYJ PRQMO-
UGOLXNIK � � S WER[INAMI
P1 = (u; v); P2 = (u+ du; v); P3 = (u+ du; v + dv); P4 = (u; v + dv):
pOSLE PREOBRAZOWANIQ � WER[INY � PREOBRAZU@TSQ SOOTWETSTWENNO W
TO^KI
P 01 = (x(u; v); y(u; v)); P 0
2 = (x(u+ du; v); y(u+ du; v));
P 03 = (x(u+ du; v + dv); y(u+ du; v + dv));
P 04 = (x(u; v + dv); y(u; v+ dv)):
zAMENIM MNOVESTWO �(�) NA PARALLELOGRAMM �0 S WER[INAMI W TO^KAH
(x; y); (x+@x
@udu; y +
@y
@udu);
(x+@x
@udu+
@x
@vdv; y +
@y
@udu+
@y
@vdv); (x+
@x
@vdv; y +
@y
@vdv);
KOORDINATY KOTORYH OTLI^A@TSQ OT KOORDINAT SOOTWETSTWENNO TO^EK
P 01; P
02; P
03; P
04 NA WELI^INY WYS[EGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ SO
196
SME]ENIQMI du; dv. pLO]ADX PARALLELOGRAMMA �0
m(�0) = j������@x@udu @x
@vdv
@y@udu
@y@vdv
������ j = jJ(u; v)jdudv
(TO^KI ISHODNOGO PRQMOUGOLXNIKA MOVNO ZANUMEROWATX TAK, ^TOBY
du; dv > 0). rAZBIWAQ TEPERX ISHODNU@ OBLASTX SETKAMI MALYH PRQ-
MOUGOLXNIKOW TAK, ^TOBY j�j ! 0, IMEEM
m(0) = limj�j!0
Pim(�(�i)) = lim
j�j!0
Pim(�0
i)
= limj�j!0
PijJ(ui; vi)jm(�i) =
Z Z
jJ(u; v)j dudv:
2. t E O R E M A [O ZAMENE PEREMENNYH]. pUSTX (� Rn) | J-IZMERIMAQ
OTKRYTAQ LINEJNO SWQZNAQ OBLASTX I OTOBRAVENIE � : � ! Rn OBLA-
DAET SWOJSTWAMI:
(1) � BIEKTIWNO OTOBRAVAET NA OBLASTX 0(� Rn) (BIEKTIWNOSTX
MOVET NARU[ATXSQ NA GRANICE ).
(2) � GLADKOE OTOBRAVENIE, J(x) = det�0(x) 6= 0 (x 2 ).
pUSTX f : 0 ! R INTEGRIRUEMA. tOGDA
(�)Z0f(y) dy =
Zf(�(x))jJ(x)j dx:
(fORMULA (�) UTWERVDAET, W ^ASTNOSTI, SU]ESTWOWANIE INTEGRALA W
PRAWOJ ^ASTI (�)).� rAZOBX�EM KUBI^ESKOJ SETKOJ NA ^ASTI 1; : : : ;s (\TO LINEJNO SWQZNYE
MNOVESTWA). mNOVESTWA 0i = �(i) (i = 1; s) OBRAZU@T RAZLOVENIE �0
MNOVESTWA 0. s U^�ETOM P. 1 I 122.6 NAJDUTSQ xi 2 i, ^TO m(0i) =Z
i
jJ(x)j dx = jJ(xi)jm(i). pOLOVIM TEPERX yi = �(xi). tOGDA
Z0
f(y) dy = limj�0j!0
Pif(yi)m(0
i) = limj�j!0
Pif(�(xi))jJ(xi)jm(i)
=
Z
f(�(x))jJ(x)j dx: >
197
3. p R I M E R. pUSTX | J -IZMERIMOE OTKRYTOE LINEJNO SWQZNOE
MNOVESTWO W PLOSKOSTI R2 S POLQRNYMI KOORDINATAMI (r; ') : � f(r; ')jr > 0; 0 < ' < 2�g. pUSTX PREOBRAZOWANIE x = r cos'; y = r sin'
OPREDELQET BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE NA OBLASTX 0 W PLOSKOSTI S
DEKARTOWYMI KOORDINATAMI. tOGDA
J(r; ') =
���� cos' �r sin'sin' r cos'
���� = r > 0; (r; ') 2 :
pO\TOMU
Z Z0
f(x; y) dxdy =
Z Z
f(r cos'; r sin')r drd'. zDESX MOVNO ZAME-
NITX I 0 SOOTWETSTWENNO NA � I 0� (SM. 122.1).
x125. pLO]ADX POWERHNOSTIpUSTX POWERHNOSTX S W R3 OPISYWAETSQ URAWNENIEM
z = f(x; y); (x; y) 2 �;
GDE | J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ OBLASTX, A FUNKCIQ f | GLADKAQ NA �.pUSTX �(1; : : : ;n) | RAZLOVENIE I (xi; yi) 2 i | PROIZWOLXNYE
TO^KI. cILINDR S OSNOWANIEM i I OBRAZU@]IMI PARALLELXNYMI OSI
Oz WYREVET NA POWERHNOSTI S ^ASTX Si: PUSTX Li | ^ASTX KASATELXNOJ
PLOSKOSTI K POWERHNOSTI W TO^KE (xi; yi; f(xi; yi)), LEVA]AQ WNUTRI \TOGO
CILINDRA. pO OPREDELENI@ PLO]ADX POWERHNOSTI S RAWNA PREDELU (ESLI
ON SU]ESTWUET)
� = limj�j!0
Xi
m(Li);
GDE m(Li) | PLOSKAQ VORDANOWA MERA MNOVESTWA Li. kOSINUS OSTROGO
UGLA NORMALI ni K S W TO^KE (xi; yi; f(xi; yi)) S OSX@ Oz RAWEN (SM. x79)
cos(ni; z) =
241 +
@f
@x(xi; yi)
!2
+
@f
@y(xi; yi)
!235�1=2
:
o^EWIDNO, i ESTX ORTOGONALXNAQ PROEKCIQ Li NA PLOSKOSTX XOY, I SLE-
DOWATELXNO m(i) = m(Li) cos(ni; z). tAKIM OBRAZOM,
� = limj�j!0
Pi
"1 +
�@f@x
(xi; yi)
�2+
�@f@y
(xi; yi)
�2#1=2m(i)
=Z Z
"1 +
�@f@x
�2+
�@f@y
�2#1=2dxdy:
198
nesobstwennye integraly
x126. iNTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W ODNOM IZ KONCOW
dLQ MNOGIH PRILOVENIJ INTEGRALA rIMANA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I
W Rn VELATELXNO IMETX PROCEDURU, POZWOLQ@]U@ INTEGRIROWATX PO NE-
OGRANI^ENNYM OBLASTQM ILI PO OGRANI^ENNYM OBLASTQM INTEGRIROWATX
NEOGRANI^ENNYE FUNKCII. zA S^�ET WWEDENIQ DOPOLNITELXNOGO PREDELXNO-
GO PEREHODA MOVNO RAS[IRITX PONQTIE INTEGRALA rIMANA NA UKAZANNYE
SITUACII. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ ^ISLOWOJ PRQMOJ.
1. pUSTX a 2 R; b 2 R[ f+1g, I FUNKCIQ f : [a; b)! R INTEGRIRUEMA
PO rIMANU NA KAVDOM OTREZKE WIDA [a; x](a < x < b). fORMALXNYJ SIMWOL
(1)
Z b
af(t) dt
NAZYWAETSQ INTEGRALOM OT FUNKCII f S OSOBENNOSTX@ W PRAWOM KONCE
(TO^KE b), ESLI LIBO b = +1, LIBO b 2 RI f NE OGRANI^ENA NA PROMEVUTKE[a; b). iNTEGRAL (1) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SU]ESTWUET KONE^NYJ
PREDEL limx!b�
Z x
af(t) dt; W \TOM SLU^AE SIMWOL (1) ISPOLXZUETSQ TAKVE DLQ
OBOZNA^ENIQ PREDELA
(2):
Z b
af(t) dt = lim
x!b�
Z x
af(t) dt
eSLI UKAZANNYJ PREDEL NE SU]ESTWUET, INTEGRAL (1) NAZYWAETSQ RASHODQ-
]IMSQ. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ INTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W LEWOM KON-
CE.
z A M E ^ A N I Q. 2. iZ OPREDELENIQ P. 1 SLEDUET, ^TO INTEGRAL S OSO-
BENNOSTX@ ZAWEDOMO NE SU]ESTWUET KAK INTEGRAL rIMANA. oDNAKO, ESLI
b 2 R I f : [a; b) ! R INTEGRIRUEMA PO rIMANU, TO RAWENSTWO (2) SPRA-
WEDLIWO (!!). pO\TOMU INOGDA UDOBNO GOWORITX OB INTEGRALE (1), DOPUSKAQ,
^TO LIBO ON OPREDEL�EN KAK INTEGRAL rIMANA (EGO TOGDA NAZYWA@T SOB-
STWENNYM INTEGRALOM), LIBO ON IMEET OSOBENNOSTX W TO^KE b (TOGDA EGO
NAZYWA@T NESOBSTWENNYM).
199
3. iZ OPREDELENIQ INTEGRALA S OSOBENNOSTX@ W PRAWOM KONCE SLEDU-
ET, ^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ TTOGDA SHODITSQ INTEGRAL
Z b
cf(t) dt PRI
NEKOTOROM c (a < c < b).
4. p R I M E R. iNTEGRALZ 1
0
dxx�
(� > 0) IMEET OSOBENNOSTX W 0;
lim"!0+
Z 1
"
dx
x�= lim
"!0+
1
1� �[1� "1��] =
(1
1 � �; ESLI � < 1,
+1; ESLI � > 1.
pRI � = 1 lim"!0+
Z 1
"
dxx = � lim
"!0+ln " = +1. tAKIM OBRAZOM,
Z 1
0
dxx�
SHO-
DITSQ PRI � < 1 I RASHODITSQ PRI � � 1.
x127. sWOJSTWA INTEGRALA S OSOBENNOSTX@
sLEDU@]EE SWOJSTWO WYTEKAET NEPOSREDSTWENNO IZ 126.1:
1. eSLI INTEGRALY
Z b
af(t) dt;
Z b
ag(t) dt S OSOBENNOSTX@ W TO^KE b
SHODQTSQ, TO DLQ L@BYH �; � 2 R SHODITSQZ b
a[�f(t) + �g(t)] dt, PRI^�EM
Z b
a[�f(t) + �g(t)] dt = �
Z b
af(t) dt+ �
Z b
af(t) dt:
oTMETIM, ^TO INTEGRAL W LEWOJ ^ASTI NAPISANNOGO RAWENSTWA MOVET
OKAZATXSQ DAVE SOBSTWENNYM.
2. z A M E ^ A N I E. iZ SHODIMOSTI INTEGRALOWZ b
af(t) dt;
Z b
ag(t)dt
S OSOBENNOSTX@ W TO^KE b NE SLEDUET SHODIMOSTX INTEGRALA
Z b
af(t)g(t)dt.
fnAPRIMER, POLOVIM f(t) = g(t) = t�1=2 (0 < t � 1) I U^T�EM 126.4.g
3. [kRITERIJ kO[I]. iNTEGRALZ b
af(t) dt S OSOBENNOSTX@ W b SHODIT-
SQ TTOGDA 8" > 0 9c < b 8x; y 2 (c; b) (jZ y
xf(t)dtj < ").
� pOLOVIM F (z) =Z z
af(t) dt (a � z < b). sOGLASNO 126.1 NA[ INTEGRAL
SHODITSQ TTOGDA SU]ESTWUET limz!b�
F (z).pO KRITERI@ kO[I 19.4 limz!b�
F (z)
200
SU]ESTWUET TTOGDA 8" > 0 9c < b 8x; y 2 (c; b) (j F (x) � F (y) j< ").
oSTALOSX ZAMETITX, ^TO
j F (x)� F (y) j=jZ x
a�(Z x
a+
Z y
x) j=j
Z y
xf(t) dt j : >
4. [fORMULA nX@TONA-lEJBNICA]. pUSTX F : [a; b) ! R NEPRERYWNA,
b 2 R[ f+1g, SU]ESTWUET F (b�) = limx!b�
F (x); F 0(x) (a < x < b) NE-
PRERYWNA, PRI^�EM OPREDELENO F 0(a+). tOGDAZ b
aF 0(t) dt = F (b�)� F (a),
GDE INTEGRAL W LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA, WOZMOVNO, IMEET OSOBENNOSTX
W PRAWOM KONCE.
� eSLI INTEGRAL
Z b
aF 0(t) dt SOBSTWENNYJ, TO FORMULA DOKAZANA RANEE
(SM. 52.1). pUSTX IMEETSQ OSOBENNOSTX W TO^KE b. iZ FORMULY nX@TONA-
lEJBNICA DLQ INTEGRALOW rIMANA IMEEM
F (b�)� F (a) = limx!b�
[F (x)� F (a)] = limx!b�
Z x
aF 0(t) dt =
Z b
aF 0(t) dt: >
5. u P R A V N E N I E. nAPISATX FORMULU nX@TONA-lEJBNICA DLQ
INTEGRALA S OSOBENNOSTX@ W LEWOM KONCE I DATX E�E WYWOD.
6. p R I M E R. fUNKCIQ F (x) = 2px NEPRERYWNA NA [0,1] I F 0(x) =
x�1=2 NEPRERYWNA NA (0; 1); F 0(1�) = 1, TAK ^TO
Z 1
0x�1=2 dx = 2
pxj10 = 2:
x128. iNTEGRALY OT NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ
iZU^ENIE PRIZNAKOW SHODIMOSTI INTEGRALOW S OSOBENNOSTX@ NA^N�EM
SO SLU^AQ INTEGRALOW OT NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ.
1. w \TOM x WS@DU PREDPOLAGAETSQ, ^TO PROMEVUTOK [a; b), WOZMOVNO,
NEOGRANI^EN SPRAWA, FUNKCII f(t); g(t) (a � t < b) NEOTRICATELXNY, I
INTEGRALY
(�)Z b
af(t) dt;
Z b
ag(t) dt
IME@T OSOBENNOSTI W PRAWOM KONCE.w SLU^AE NEOTRICATELXNOJ FUNKCII f
BUDEM PISATX
Z b
af(t) dt < +1, ESLI \TOT INTEGRAL SHODITSQ. w UKAZANNYH
SOGLA[ENIQH:
201
2. fUNKCIQ F (x) �Z x
af(t) dt (a � x < b) NE UBYWAET. pRI \TOM F (x)
OGRANI^ENA TTOGDA
Z b
af(t)dt < +1.
3. pUSTX f(t) � g(t) (a � t < b). tOGDA
(A)
Z b
ag(t)dt < +1 )
Z b
af(t)dt < +1; PRI \TOM
Z b
af(t) dt �
Z b
ag(t) dt,
(B) ESLIZ b
af(t) dt RASHODITSQ, TO RASHODITSQ I
Z b
ag(t) dt.
4. pUSTX g(t) > 0 I limt!b�
f(t)g(t)
= � > 0. tOGDA INTEGRALY (�) SHODQTSQILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.
� dOKAVEM P. 3(A) I ^ASTX P. 4 (OSTALXNYE UTWERVDENIQ { (!!)).
eSLI
Z b
ag(t) dt < +1, TO SU]ESTWUETM = lim
x!b�
Z x
ag(t) dt. iZ NERAWEN-
STWA
Z x
af(t) dt �
Z x
ag(t) dt (x < b) SLEDUET, ^TO
Z x
af(t) dt � M (x < b).
pO\TOMU
Z b
af(t) dt = lim
x!b�
Z x
af(t) dt �M < +1.
w USLOWIQH P. 4 PUSTX " (0 < " < �) PROIZWOLXNO. tOGDA SU]ESTWUET
c < b, ^TO � � " <f(t)g(t)
< � + " (c < t < b), TO ESTX (� � ")g(t) <
f(t) < (� + ")g(t) (c < t < b). pUSTX, NAPRIMER,Z b
af(t) dt < +1. tOGDAZ b
cf(t) dt < +1 I
Z b
cg(t) dt � 1
�� "
Z b
cf(t) dt < +1. s U^�ETOM 126.3
OTS@DA SLEDUET, ^TOZ b
ag(t) dt < +1: >
5. p R I M E R.Z +1
1
e�xx dx < +1. fpOLOVIM W P. 3 f(x) = e�x
x ; g(x) =
e�x (1 � x < +1).g6. u P R A V N E N I E. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX SLEDU@]IE INTEG-
RALY
Z +1
1
arctg xx dx;
Z +1
1x�e��x dx (�; � > 0).
202
x129. sWQZX NESOBSTWENNYH INTEGRALOW S RQDAMI1. ~ITATELX, NESOMNENNO, UVE ZAMETIL ANALOGI@ MEVDU INTEGRALAMI
S OSOBENNOSTX@ I ^ISLOWYMI RQDAMI. oTMETIM RQD TO^NYH UTWERVDENIJ
NA \TOT S^�ET. pUSTX INTEGRAL
(1)
Z b
af(t) dt
IMEET OSOBENNOSTX W TO^KE b 2 R[f+1g I POSLEDOWATELXNOSTX xn TAKOWA,^TO a = x0 < x1 < x2 < : : : ; xn ! b. rASSMOTRIM RQD
(2)1Xj=1
Z xj
xj�1
f(t) dt:
2. eSLI INTEGRAL (1) SHODITSQ, TO SHODITSQ I RQD (2), PRI^�EM
(3)Z b
af(t) dt =
1Xj=1
Z xj
xj�1
f(t) dt:
� iMEEM1Pj=1
Z xj
xj�1
f(t)dt = limn
nPj=1
Z xj
xj�1
f(t)dt = limn[
Z x1
x0
+
Z x2
x1
+ : : :+
Z xn
xn�1
]
= limn
Z xn
af(t) dt =
Z b
af(t) dt: >
oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. oDNAKO:
3. eSLI f(x) � 0 (a � x < b), TO IZ SHODIMOSTI RQDA (2) SLEDU@T
SHODIMOSTX INTEGRALA (1) I RAWENSTWO (3).
� pUSTX s = 1Pj=1
Z xj
xj�1
f(t) dt I x 2 (a; b) PROIZWOLXNO. tOGDA NAJD�ETSQ n,
^TO x < xn, I SLEDOWATELXNOZ x
af(t) dt �
Z x
a+Z xn
x=Z xn
af(t) dt;
TO ESTX
Z x
af(t) dt � nP
j=1
Z xj
xj�1
f(t) dt. oSTA�ETSQ U^ESTX 128.2. >
iNTEGRALXNYJ PRIZNAK SHODIMOSTI ^ISLOWOGO RQDA 59.1 MOVNO SFOR-
MULIROWATX W TERMINAH INTEGRALA S OSOBENNOSTX@:
203
4. eSLI FUNKCIQ f(x) � 0 (x � 0) NE WOZRASTAET, TO INTEGRALZ +1
0f(t) dt I RQD
1Pj=1
f(j) SHODQTSQ ILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.
x130. aBSOL@TNO SHODQ]IESQ INTEGRALY1. iNTEGRAL
(1)Z b
af(t) dt;
IME@]IJ OSOBENNOSTX W PRAWOM KONCE, NAZYWAETSQ ABSOL@TNO SHODQ]IM-
SQ , ESLI SHODITSQ INTEGRAL
Z b
ajf(t)j dt.
2. eSLI INTEGRAL SHODITSQ ABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.
� pUSTXZ b
ajf(t)j dt < +1. w SILU KRITERIQ kO[I 127.3
8" > 0 9c < b 8x; y (c < x < y < b) (
Z y
xjf(t)j dt < "):
nO TOGDA DLQ UKAZANNYH x; y :
����Z y
xf(t) dt
���� �Z y
xjf(t)j dt < ". sNOWA W SILU
KRITERIQ kO[I \TO OZNA^AET, ^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ.>
kAK MY UWIDIM NIVE, IZ SHODIMOSTI INTEGRALA (1) EGO ABSOL@TNAQ
SHODIMOSTX NE SLEDUET. pO\TOMU POLEZNO RASPOLAGATX PRIZNAKAMI SHODI-
MOSTI BOLEE TONKIMI, ^EM PRIZNAKI DLQ INTEGRALOW OT ZNAKOPOSTOQNNYH
FUNKCIJ. pRIWED�EM DWA POLEZNYH NA PRAKTIKE PRIZNAKA, KOTORYE W BOLEE
OB]EJ FORME BUDUT DOKAZANY NIVE (SM. 135.4).
3. pUSTX b 2 R[ f+1g, INTEGRAL J =Z b
af(t)g(t) dt IMEET EDINST-
WENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE b 2 R[ f+1g, PRI^�EM f NEPRERYWNA, A g
NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA [a; b). pUSTX, KROME TOGO, WYPOLNENY
USLOWIQ (PRIZNAK dIRIHLE)
1D) FUNKCIQ F (x) =Z x
af(t) dt (a � x < b) OGRANI^ENA,
2D) g(t) UBYWAET I limt!b�
g(t) = 0;
LIBO WYPOLNENY USLOWIQ (PRIZNAK aBELQ)
1A) INTEGRALZ b
af(t) dt SHODITSQ,
204
2A) g OGRANI^ENA I MONOTONNA;
| TOGDA INTEGRAL J SHODITSQ.
4. p R I M E R. iSSLEDUEM NA SHODIMOSTX
Z +1
0
sin tt dt. tAK KAK W LEWOM
KONCE OSOBENNOSTI NET, DOSTATO^NO ISSLEDOWATX NA SHODIMOSTX INTEGRALZ +1
1
sin tt dt. pOLOVIM f(t) = sin t; g(t) = 1=t (t � 1), I MY NAHODIMSQ
W USLOWIQH PRIZNAKA dIRIHLE. iTAK, INTEGRAL SHODITSQ. oDNAKO ON NE
SHODITSQ ABSOL@TNO. fdOSTATO^NO POKAZATX (SM. 129.2), ^TO RASHODITSQ
RQD1Pk=1
Z (k+1)�
k�
j sin tjt dt. |TO SLEDUET IZ OCENKI
Z (k+1)�
k�
j sin tjt
dt � 1
(k + 1)��Z (k+1)�
k�j sin tj dt = 2
�� 1
k + 1:g
u P R A V N E N I Q. sLEDU@]IE INTEGRALY ISSLEDOWATX NA SHODIMOSTX
(W TOM ^ISLE ABSOL@TNU@):
5.
Z +1
0
cos ta2 + t2
dt.
6.
Z +1
1
sin tt�
dt (� > 0). foTWET: PRI � > 1 SHODIMOSTX ABSOL@TNAQ,
PRI � � 1 | [email protected]. nESOBSTWENNYE INTEGRALY (OB]IJ SLU^AJ)
dO SIH POR MY IMELI DELO S INTEGRALAMI, IME@]IMI EDINSTWENNU@
OSOBENNOSTX W ODNOM IZ KONCOW. pRIWED�EM TEPERX OB]EE OPREDELENIE.
1. pUSTX a; b 2 R[ f�1g. fORMALXNYJ SIMWOL
(1)
Z b
af(t) dt
NAZYWAETSQ NESOBSTWENNYM INTEGRALOM, ESLI SU]ESTWUET RAZLOVENIE
�(a = c0 < c1 < : : : < cn = b) TAKOE, ^TO KAVDYJ IZ INTEGRALOWZ cj
cj�1
f(t) dt (1 � j � n) IMEET OSOBENNOSTX W ODNOM IZ KONCOW. pRI \TOM
INTEGRAL (1) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ KAVDYJ IZ INTEGRA-
LOW
Z cj
cj�1
f(t) dt. w \TOM SLU^AE
(2)
Z b
af(t) dt �
nXj=1
Z cj
cj�1
f(t) dt:
205
eSLI HOTQ BY ODIN IZ INTEGRALOW
Z cj
cj�1
f(t) dt RASHODITSQ, TO INTEGRAL (1)
NAZYWAETSQ RASHODQ]IMSQ.
z A M E ^ A N I Q. 2. rAWENSTWO (2) KORREKTNO, TO ESTX EGO PRAWAQ ^ASTX
NE ZAWISIT OT RAZLOVENIQ � . fpOQSNIM \TO NA PRIMERE INTEGRALA (1) S
DWUMQ OSOBENNOSTQMI W TO^KAH a I b. pUSTX a < c < c0 < b. tOGDA
Z c
a+Z b
c=Z c
a+
Z c0
c+Z b
c0
!=
Z c
a+Z c0
c
!+Z b
c0=Z c0
a+Z b
c0;
TAK KAK
Z c0
cf(t) dt | OBY^NYJ (SOBSTWENNYJ) INTEGRAL rIMANA.g
3. w SLU^AE INTEGRALA S OSOBENNOSTX@ WNUTRI PROMEVUTKA INTEGRIRO-
WANIQ SLEDUET SDELATX ODNO PREDOSTEREVENIE. pUSTX INTEGRAL (1) IMEET
EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE c (a < c < b). dLQ ISSLEDOWANIQ EGO
NA SHODIMOSTX MY DOLVNY USTANOWITX SU]ESTWOWANIE PREDELOW
(3) lim"!0+
Z c�"
af(t) dt; lim
"!0+
Z b
c+"f(t) dt:
|TO, ODNAKO, NE \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ PREDELA
(4) lim"!0+
"Z c�"
af(t) dt+
Z b
c+"f(t) dt
#;
KAK MOVET POKAZATXSQ NA PERWYJ WZGLQD. iZ SU]ESTWOWANIQ (3) SLEDU-
ET SU]ESTWOWANIE (4) I ZNA^ENIE INTEGRALA (1) SOWPADAET S PREDELOM (4).
oDNAKO IZ SU]ESTWOWANIQ (4) E]�E NE SLEDUET SU]ESTWOWANIE (3). sU]EST-
WOWANIE PREDELOW (3) SLEDUET IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA
(5) lim";�!0+
"Z c�"
af(t) dt+
Z b
c+�f(t) dt
#
W SMYSLE PREDELA FUNKCIJ DWUH PEREMENNYH (SM. x66). tEM NE MENEE,
ESLI (4) SU]ESTWUET, TO GOWORQT, ^TO INTEGRAL (1) SU]ESTWUET W SMYSLE
GLAWNOGO ZNA^ENIQ (valeur principale):
v.p.Z b
af(t) dt � lim
"!0+
"Z c�"
af(t) dt+
Z b
c+"f(t) dt
#:
206
aNALOGI^NO, ESLI INTEGRALZ +1
�1f(t) dt IMEET OSOBENNOSTX LI[X NA KON-
CAH �1 I +1, TO POD GLAWNYM ZNA^ENIEM PONIMAETSQ PREDEL (ESLI ON
SU]ESTWUET) v.p.
Z +1
�1f(t)dt � lim
N!+1
Z +N
�Nf(t)dt.
4. p R I M E R. iNTEGRALZ 1
�1dxx RASHODITSQ, TAK KAK RASHODITSQ KAV-
DYJ IZ INTEGRALOW
Z 0
�1dxx ;
Z 1
0
dxx . oDNAKO,
v.p.
Z 1
�1
dx
x= lim
"!0+
"Z �"
�1
dx
x+
Z 1
"
dx
x
#= 0:
x132. kRATNYE NESOBSTWENNYE INTEGRALYmY PRIWED�EM NE SAMOE OB]EE OPREDELENIE KRATNOGO INTEGRALA S OSO-
BENNOSTX@. oDNAKO EGO WPOLNE DOSTATO^NO DLQ BOLX[INSTWA PRILOVENIJ.
1.mNOVESTWO � Rn NAZOW�EM LOKALXNO J-IZMERIMYM , ESLI J -IZMERIMO
KAVDOE MNOVESTWO WIDA Br(�)\ (r > 0). o^EWIDNO, WSQKOE J -IZMERIMOE
MNOVESTWO, BUDU^I OGRANI^ENNYM, LOKALXNO J -IZMERIMO.
2. pUSTX (� Rn)J -IZMERIMO I NEWYROVDENO (SM. 118.2), x0 2 �
I f : ! R NE OGRANI^ENA NA , PRI^�EM DLQ L@BOGO " > 0 INTEGRALZnB"(x0)
f(x) dx OPREDEL�EN KAK INTEGRAL rIMANA. fORMALXNYJ SIMWOL
(1)
Z
f(x) dx
NAZYWAETSQ INTEGRALOM S OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0. iNTEGRAL (1) NA-
ZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SU]ESTWUET PREDEL
(2) lim"!0+
ZnB"(x0)
f(x) dx:
pRI \TOM
Z
f(x) dx � lim"!0+
ZnB"(x0)
f(x)dx. eSLI PREDEL (2) NE SU]ESTWUET,
TO INTEGRAL (1) NAZYWAETSQ RASHODQ]IMSQ.
207
pUSTX TEPERX NEOGRANI^ENNOE MNOVESTWO � (Rn) LOKALXNO J -IZMERI-
MO, PRI^�EM MNOVESTWO Br(�)\ NEWYROVDENO, KOLX SKORO m(Br(�)\) >0. pUSTX f : ! R INTEGRIRUEMA PO rIMANU PO L@BOMU MNOVESTWU WIDA
Br(�)\. w \TOM SLU^AE (1) NAZYWAETSQ INTEGRALOM S OSOBENNOSTX@ W1.
iNTEGRAL (1) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SU]ESTWUET PREDEL
limr!+1
ZBr(�)\
f(x) dx (�Z
f(x) dx):
pODOBNO ODNOMERNOMU SLU^A@ OPREDELQETSQ INTEGRAL S KONE^NYM ^ISLOM
OSOBENNOSTEJ (NESOBSTWENNYJ INTEGRAL).
z A M E ^ A N I Q. 3. dANNOE OPREDELENIE SHODQ]EGOSQ INTEGRALA S OSO-
BENNOSTX@ NE SWODITSQ K SOOTWETSTWU@]EMU OPREDELENI@ W ODNOMERNOM
SLU^AE (126.1, 131.1). w SLU^AE OSOBENNOSTI WNUTRI PROMEVUTKA INTEG-
RIROWANIQ PRIWED�ENNOE ZDESX OPREDELENIE DAST NAM INTEGRAL W SMYSLE
GLAWNOGO ZNA^ENIQ.
4. eSLI INTEGRAL (1) SHODITSQ, TO lim"!0+
Z\B"(x0)
f(x) dx = 0, KOGDA OSO-
BENNOSTX W x0 2 �, I limN!+1
ZnBN(�)
f(x) dx = 0, KOGDA OSOBENNOSTX W
1. oTMETIM, ^TO INTEGRALY, STOQ]IE W LEWYH ^ASTQH PRIWED�ENNYH RA-
WENSTW, NESOBSTWENNYE.
oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA WWED�ENNOGO PONQTIQ.
5. pUSTX INTEGRALY
Z
f(x) dx;
Z
g(x) dx IME@T EDINSTWENNU@ OSO-
BENNOSTX W TO^KE x0 2 � [f1g I SHODQTSQ. tOGDA SHODITSQ INTEGRALZ
[�f(x) + �g(x)] dx, PRI^�EM
Z
[�f(x) + �g(x)] dx = �
Z
f(x) dx + �
Z
g(x) dx (�; � 2 R):
6. eSLI f(x) � 0 (x 2 ) I SU]ESTWUET KONSTANTA C > 0 TAKAQ,
^TO
ZnB"(x0)
f(x) dx � C PRI L@BOM " > 0, TO INTEGRAL (1) S EDINST-
WENNOJ OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0 2 � SHODITSQ. (|TO SWOJSTWO LEGKO
SFORMULIROWATX DLQ SLU^AQ x0 =1.)
208
7. [kRITERIJ kO[I (SLU^AJ OSOBENNOSTI x0 2 �)]. iNTEGRAL (1)
SHODITSQ TTOGDA
8" > 0 9� > 0 8r; s�r < s < �) j
Z[Bs(x0)nBr(x0)]\
f(x) dxj < "
�:
8. gOWORQT, ^TO NESOBSTWENNYJ INTEGRAL (1) SHODITSQ ABSOL@TNO, ES-
LI SHODITSQ INTEGRAL
Z
jf(x)j dx. oTMETIM, ^TO ESLI INTEGRAL SHODITSQABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.
� nAPRIMER, W SLU^AE EDINSTWENNOJ OSOBENNOSTI W TO^KE x0 2 � \TO
SLEDUET IZ P. 7 I OCENKI
jZ
[Bs(x0)nBr(x0)]\f(x) dxj �
Z[Bs(x0)nBr(x0)]\
jf(x)j dx (r < s):
p R I M E R Y. 9. iNTEGRAL J =
Z Z Z
(x2 + y2 + z2)�� dxdydz(� > 0),
GDE = f(x; y; z) : x2 + y2 + z2 � 1g, IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W
TO^KE (0; 0; 0). pRI \TOM
lim"!0+
Z Z Z\B"(�)c
(x2 + y2 + z2)�� dxdydz
= lim"!0+
Z 1
"r2�2�dr
Z �=2
��=2cos'd'
Z 2�
0dt = lim
"!0+4�
Z 1
"r2�2� dr.
iTAK, J SHODITSQ PRI � < 3=2 I RASHODITSQ PRI � � 3=2:
10. wY^ISLIM
Z +1
0e�x
2
dx S ISPOLXZOWANIEM DWOJNOGO NESOBSTWENNOGO
INTEGRALA:
Z +1
0e�x
2
dx = limN!+1
[
Z N
0
Z N
0e�x
2�y2 dxdy]1=2 = limR!+1
[
Z �=2
0d'
Z N
0re�r
2
]1=2
=
p�2 :
11. u P R A V N E N I E. dLQ � > 0 ISSLEDOWATX NA SHODIMOSTX INTEGRALZ Z Z
(x2 + y2 + z2)�� dxdydz, GDE = f(x; y; z) : x2 + y2 + z2 � 1g.
209
integraly, zawisq}ie ot parametra
x133. nEPRERYWNOSTX SOBSTWENNYH INTEGRALOW POPARAMETRU
1. pRI SWEDENII KRATNYH INTEGRALOW K POWTORNYM MY WSTRE^ALISX S
INTEGRALAMI WIDA
(�) F (x1; : : : ; xn) =Z00
f(x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym) dy1 : : : dym:
zDESX 00 � Rm, A WEKTOR x = (x1; : : : ; xn) NE ZAWISIT OT PEREMENNYH
y1; : : : ; ym I IGRAET ROLX PARAMETRA. nASTOQ]IJ RAZDEL POSWQ]�EN IZU^E-
NI@ FUNKCIJ, ZADANNYH INTEGRALAMI UKAZANNOGO WIDA (WOZMOVNO, NE-
SOBSTWENNYMI). nAS BUDUT INTERESOWATX WOPROSY TAKOGO SORTA: BUDET LI
NEPRERYWNA FUNKCIQ F , ESLI NEPRERYWNA f? SU]ESTWUET LI @F@xj
, ESLI
SU]ESTWUET@f@xj
? SPRAWEDLIWO LI RAWENSTWO
@F
@xj(x1; : : : ; xn) =
Z00
@f
@xj(x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym) dy1 : : : d ym?
I T. D. nA^N�EM IZU^ENIE SO SLU^AQ SOBSTWENNYH INTEGRALOW.
2. pUSTX MNOVESTWA 0 � Rn; 00 � R
m KOMPAKTNY, 00 J-IZMERIMO, = 0 � 00 (� R
n+m) I f : ! R NEPRERYWNA. tOGDA FUNKCIQ F , ZADAN-
NAQ RAWENSTWOM (�), TAKVE NEPRERYWNA.� uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI m(00) = 0. pUSTX m(00) > 0: mNOVESTWO
0 �00 KOMPAKTNO W Rn+m (SM. x107), TAK ^TO FUNKCIQ f RAWNOMERNO NE-PRERYWNA NA , TO ESTX (OBOZNA^AQ x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; ym); z =
(x; y) 2 Rn+m)
8" > 0 9� > 0 8z; z1 2 (kz � z1k < �) jf(z)� f(z1)j < "
m(00)):
eSLI TEPERX kx � x1k < � (x; x1 2 0), TO DLQ WEKTOROW z = (x; y); z1 =
210
(x1; y) (y 2 0) IMEEM kz � z1k = kx� x1k < � I, SLEDOWATELXNO,
jZ00
f(x; y) dy �Z00
f(x1; y) dyj �Z00
jf(x; y)� f(x1; y)j dy
< "m(00)
�Z00
dy = ": >
w SLEDU@]EM UTWERVDENII PARAMETR WHODIT NE TOLXKO W PODYNTEGRALX-
NU@ FUNKCI@, NO I W PREDELY INTEGRIROWANIQ.
3. pUSTX '; | NEPRERYWNYE FUNKCII NA OTREZKE [a; b]; '(x)� (x)
(a � x � b), I FUNKCIQ f(x; y) ZADANA I NEPRERYWNA NA MNOVESTWE
= f(x; y)j a � x � b; '(x) � y � (x)g. tOGDA FUNKCIQ F (x) �Z (x)
'(x)f(x; y) dy NEPRERYWNA NA [a; b].
� iZ USLOWIJ TEOREMY SLEDUET, ^TO KOMPAKTNO. pUSTX " > 0 PROIZ-
WOLXNO. wWED�EM NESKOLXKO KONSTANT (IH KONE^NOSTX SLEDUET IZ USLOWIJ
TEOREMY): � = infx2[a;b]
'(x); � = supx2[a;b]
(x). dOOPREDELIM f NA PRQMOUGOLX-
NIKE [a; b]� [�; �], POLAGAQ
ef(x; y) =8><>:f(x; y); ESLI (x; y) 2 ,
f(x; (x)); ESLI x 2 [a; b]; (x) < y � �,
f(x; '(x)); ESLI x 2 [a; b]; � � y < '(x)
( ef | NEPRERYWNOE PRODOLVENIE f NA UKAZANNYJ PRQMOUGOLXNIK (!!)).
pUSTX M > 0 TAKOWO, ^TO j ef(x; y)j � M ((x; y) 2 ), A � > 0 TAKOWO,
^TO ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ OCENKI:
8x; x0 2 [a; b] (jx� x0j < � ) j'(x)� '(x0)j ; j (x)� (x0)j < "3M
),
8(u; v); (u0; v0) 2 [a; b]� [�; �] (k(u; v)� (u0; v0)k < �)j ef(u; v)� ef(u0; v0)j < "
3(� � �).
211
eSLI TEPERX jx� x0j < �; (x; x0 2 [a; b]), TO
jF (x)� F (x0)j = jZ (x)
'(x)f(x; y) dy �
Z (x0)
'(x0)f(x0; y) dyj
= jZ (x)
'(x)[ ef(x; y)� ef(x0; y)] dy
+Z (x)
'(x)
ef (x0; y) dy � Z (x0)
'(x0)
ef(x0; y) dyj�
Z (x)
'(x)j ef (x; y)� ef (x0; y)j dy + j
Z '(x0)
'(x)
ef(x0; y) dy+
Z (x0)
'(x0)
ef(x0; y) dy + Z (x)
(x0)
ef(x0; y) dy � Z (x0)
'(x0)
ef(x0; y) dyj� "
3(� � �)[ (x)� '(x)] + j
Z '(x0)
'(x)j ef(x0; y)j dyj
+ jZ (x)
(x0)
ef (x0; y)dyj� "=3 +M j'(x0)� '(x)j+M j (x)� (x0)j < ": >
4. t E O R E M A [OB INTEGRIROWANII PO PARAMETRU]. w USLOWIQH P. 3
Z b
aF (x) dx =
Z b
adx
Z (x)
'(x)f(x; y) dy =
Z Z
f(x; y) dxdy:
w ^ASTNOSTI,Z b
a(Z d
cf(x; y) dy)dx =
Z d
c(Z b
af(x; y) dx)dy.
� |TO SLEDSTWIE P. 3 I x123. oTMETIM, ^TO IZ 123.1 SLEDUET LI[X, ^TOFUNKCIQ F (x) =
Z d
cf(x; y) dy (a � x � b) INTEGRIRUEMA PO x. iZ P. 3
SLEDUET DOPOLNITELXNO, ^TO F NEPRERYWNA.>
5. p R I M E R. wY^ISLIM lim�!0+
1p2��
Z b
aexpf� x2
2�2g dx. nEPOSREDST-
WENNO PRIMENITX TEOREMU P. 2 ZDESX NE UDA�ETSQ. tAK KAK NAS INTERESUET
ZNA^ENIE PREDELA W TO^KE 0, OGRANI^IMSQ PROMEVUTKOM 0 < � � 1. pUSTX
SNA^ALA 0 < a < b. tOGDA FUNKCIQ
f(x; �) =
8<:
1p2��
expf� x2
2�2g dx; ESLI � > 0; a � x � b,
0; ESLI � = 0; a � x � b,
212
| NEPRERYWNOE PRODOLVENIE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA PRQMOUGOLX-
NIK f(x; �)j a � x � b; 0 � � � 1g (!!). iZ P. 2
lim�!0+
1p2��
Z b
aexpf� x2
2�2g dx = lim
�!0+
Z b
af(x; �) dx =
Z b
af(x; 0)dx = 0:
aNALOGI^NO RAWEN NUL@ PREDEL INTEGRALA PRI a < b < 0. pUSTX TEPERX
a = 0 < b. pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W \TOM SLU^AE NE PRODOLVAETSQ PO
NEPRERYWNOSTI NA PRQMOUGOLXNIK [0; b]� [0; 1]. dELAQ W INTEGRALE ZAMENU
t = x=�, IMEEM
lim�!0+
1p2��
Z b
0expf� x2
2�2g dx = lim
�!0+
1p2�
Z b=�
0expf�t22 g dt
= 1p2�
Z +1
0expf�t22 g dt:
s U^�ETOM 132.10 IMEEM OKON^ATELXNO
lim�!0+
1p2��
Z b
aexpf� x2
2�2g dx =
8><>:0; ESLI 0 62 [a; b],
1=2; ESLI a = 0 ILI b = 0,
1; ESLI 0 2 (a; b).
x134. dIFFERENCIROWANIE SOBSTWENNYH INTEGRALOW
1. pUSTX = U � [c; d], GDE U OTKRYTO W R, I f;@f@x
NEPRERYWNY NA
. tOGDAd
dx
Z d
cf(x; y) dy =
Z d
c
@f
@x(x; y) dy (x 2 U):
� pOLOVIM F (x) =Z d
cf(x; y) dy (x 2 U). pUSTX [a; b] � U I a < x < b. pO
FORMULE lAGRANVA IMEEM DLQ MALYH h
F (x+ h)� F (x)
h=Z d
c
f(x + h; y)� f(x; y)
hdy =
Z d
c
@f
@x(x+ �h; y) dy;
ZDESX 0 < � < 1. pRIMENQQ 133.2 K 0 = [a; b]; 00 = [c; d], IMEEM
F 0(x) = limh!0
1
h[F (x+ h)� F (x)] =
Z d
c
@f
@x(x; y) dy: >
213
2. pUSTX '; : [a; b] ! R NEPRERYWNY, DIFFERENCIRUEMY NA (a; b);
'(x) � (x). fUNKCIQ f ZADANA I NEPRERYWNA NA MNOVESTWE = f(x; y) ja � x � b; '(x) � y � (x)g, A @f
@xOPREDELENA I NEPRERYWNA W TO^KAH
(x; y) 2 TAKIH, ^TO a < x < b. tOGDA
ddx
Z (x)
'(x)f(x; y) dy = f(x; (x)) 0(x)� f(x; '(x))'0(x)
+
Z (x)
'(x)
@f@x
(x; y) dy (a < x < b):
� pUSTX ef | PRODOLVENIE f , RASSMOTRENNOE W 133.3. pOLAGAQ F (x) =Z (x)
'(x)f(x; y) dy (a < x < b), IMEEM DLQ MALYH h
1h[F (x+ h) � F (x)] = 1
h[
Z (x+h)
'(x+h)f(x+ h; y) dy �
Z (x)
'(x)f(x; y) dy]
= 1h
Z '(x)
'(x+h)
ef (x+ h; y) dy + 1h
Z (x+h)
(x)
ef(x+ h; y) dy
+
Z (x)
'(x)
1h[ ef(x+ h; y)� ef(x; y)] dy:
iSPOLXZUQ FORMULU lAGRANVA I NEPRERYWNOSTX@f@x
, IMEEM
limh!0
Z (x)
'(x)
1
h[ ef(x+ h; y)� ef(x; y)] dy = Z (x)
'(x)
@f
@x(x; y) dy:
s U^�ETOM TEOREMY O SREDNEM (SM. 50.4) IMEEM PRI h! 0:
1h
Z (x+h)
(x)
ef(x+ h; y) dy
= ef (x+ h; (x) + �[ (x+ h)� (x)]) � (x+ h)� (x)h
! f(x; (x)) 0(x).
aNALOGI^NO, limh!0
1h
Z '(x)
'(x+h)
ef(x+ h; y) dy = �f(x; '(x))'0(x): >
3.p R I M E R.pUSTX J(�) =Z b
aexpf� x2
2�2g dx (� > 0).nAJD�EM d
d�J(�).
mNOVESTWO U = f�j� > 0g OTKRYTO W R I expf� x2
2�2g; d
d�expf� x2
2�2g =
214
x2
�3� expf� x2
2�2g (a � x � b) NEPRERYWNY. sOGLASNO P. 1 d
d�J(�) =
1�3
Z b
ax2 expf� x2
2�2g dx.
x135. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX NESOBSTWENNYH INTEGRALOW,ZAWISQ]IH OT PARAMETRA
dLQ IZU^ENIQ FUNKCIJ, ZADANNYH NESOBSTWENNYMI INTEGRALAMI, ZA-
WISQ]IMI OT PARAMETRA, PRIWLE^�EM (NOWOE DLQ NAS) WAVNOE PONQTIE RAW-
NOMERNOJ SHODIMOSTI TAKIH INTEGRALOW.
1. pUSTX A| ABSTRAKTNOE MNOVESTWO (PARAMETROW) I � Rn LOKALX-
NO J -IZMERIMO. pUSTX f : A� ! R TAKOWA, ^TO INTEGRAL
(1) J(�) =Z
f(�; x) dx; � 2 A
OBLADAET EDINSTWENNOJ OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0 2 � [ f1g, NE ZAWI-SQ]EJ OT �, I SHODITSQ PRI L@BOM � 2 A. gOWORQT, ^TO INTEGRAL J(�)
SHODITSQ RAWNOMERNO, ESLI (SLU^AJ x0 2 � ):
8" > 0 9�0 > 0 8� < �0 8� 2 A (jZ
\B�(x0)
f(�; x)dxj < ")
LIBO (SLU^AJ x0 =1 ):
8" > 0 9N0 > 0 8N > N0 8� 2 A (jZ
nBN (�)
f(�; x) dxj < "):
2. z A M E ^ A N I E. bOLEE SLOVNYM QWLQETSQ SLU^AJ, KOGDA OSOBENNOSTX
ZAWISIT OT PARAMETRA. nAPRIMER, W INTEGRALE
Z 1
0
dxjx� �j OSOBENNOSTX
ZAWISIT OT � = (�; ). |TIM SLU^AEM MY ZANIMATXSQ NE BUDEM.
oTMETIM PROSTOJ, NO POLEZNYJ PRIZNAK RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI.
3. [pRIZNAK wEJER[TRASSA]. pUSTX INTEGRAL (1) OBLADAET EDINST-
WENNOJ OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0 2 �[f1g, PRI^�EM SU]ESTWUET FUNK-
CIQ ' : ! RTAKAQ, ^TO jf(�; x)j � '(x) DLQ L@BYH (�; x) 2 A � I,
KROME TOGO, INTEGRALZ
'(x) dx SHODITSQ. tOGDA INTEGRAL J(�) SHODIT-
SQ RAWNOMERNO.
215
� pUSTX, NAPRIMER, OSOBENNOSTX x0 2 � | SOBSTWENNAQ TO^KA. pO USLO-
WI@ PRIZNAKA 8" > 0 9�0 > 0 (
Z\B�0
(x0)
'(x) dx < "). pO\TOMU 8� < �0:
jZ
\B�(x0)
f(�; x) dxj �Z
\B�(x0)
jf(�; x)jdx �Z
\B�(x0)
'(x) dx
�Z
\B�0(x0)
'(x)dx < ": >
pRIZNAK wEJER[TRASSA MOVET SRABOTATX W SLU^AE, KOGDA INTEGRAL (1)
SHODITSQ ABSOL@TNO. pRIWED�EM DOSTATO^NYJ PRIZNAK RAWNOMERNOJ SHODI-
MOSTI (W SLU^AE | OTREZOK W R1), KOTORYJ MOVET OKAZATXSQ POLEZNYM,
KOGDA ABSOL@TNOJ SHODIMOSTI NET.
4. pUSTX A | MNOVESTWO PARAMETROW I INTEGRAL
K(�) =
Z b
af(�; x)g(�; x) dx (� 2 A)
IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE b 2 R[f+1g, PRI^�EM f(�; x),@g@x
(�; x) NEPRERYWNY PO x PRI KAVDOM �. eSLI, KROME TOGO, WYPOLNENY
USLOWIQ (PRIZNAK dIRIHLE)
1D) SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO
8� < b 8� 2 A�����Z �
af(�; x)dx
���� �M
�;
2D) g(�; x) MONOTONNO UBYWAET PO x PRI KAVDOM �, PRI^�EM
8" > 0 9c < b 8� 2 A (x 2 (c; b)) jg(x)j < ");
LIBO WYPOLNENY USLOWIQ (PRIZNAK aBELQ)
1A) INTEGRAL
Z b
af(�; x)dx SHODITSQ RAWNOMERNO,
2A) g OGRANI^ENA KAK FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH I MONOTON-
NA PO x PRI KAVDOM � 2 A;| TOGDA INTEGRAL K(�) SHODITSQ RAWNOMERNO.
216
� pRIZNAK dIRIHLE. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO, I c WYBRANO SOGLASNO 2D.
iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM, IMEEM PRI c < � < � < bZ �
�f(�; x)g(�; x) dx = g(�; x)
Z x
�f(�; y) dy
�����
�
�Z �
�
�@g(�; x)@x
Z x
�f(y) dy
�dx
(2) = g(�; �)Z �
�f(�; y) dy �
Z �
�
�@g(�; x)@x
Z x
�f(y) dy
�dx.
iZ OCENKI
����Z �
�f(�; x)g(�; x) dx
���� � 2M" + 2M
Z �
�
����@g(�; x)@x
���� dx= 2M" � 2M
Z �
�
@g(�; x)@x
dx
= 2M" + 2M [g(�; �)� g(�; �)] � 4M"
SLEDUET
����Z b
�f(�; x)g(�; x) dx
���� = lim�!b�
����Z �
�f(�; x)g(�; x) dx
���� � 4M":
pRIZNAK aBELQ. pUSTX jg(�; x)j � M (� 2 A; a � x < b); " > 0 PROIZ-
WOLXNO I c TAKOWO, ^TO (SM. 1A)
8�; � (c < � < � < b ) jZ �
�f(�; y) dyj < "):
pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI g(�; x) NE UBYWAET PO x PRI KAVDOM �, TAK
^TO@g(�; x)@x
� 0. iZ RAWENSTWA (2) IMEEM:
����Z �
�f(�; x)g(�; x) dx
���� � M"+
Z �
�
@g(�; x)@x
����Z x
�f(y) dy
���� dx� "
�M +
Z �
�
@g(�; x)@x
dx
�= "[M + g(�; �) � g(�; �)] � 3"M: >
5. p R I M E R. iSSLEDUEM NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX INTEGRAL
I(�) =
Z +1
0e��t � sin tt dt; � 2 A = [0; a]. pRIZNAK wEJER[TRASSA ZDESX
NEPRIMEN�IM, TAK KAK I(0) SHODITSQ NE ABSOL@TNO (SM. 130.4). pRIM�ENIM
217
PRIZNAK dIRIHLE, POLAGAQ f(�; t) = e��t sin t; g(t) = 1=t. uSLOWIE 2D
UDOWLETWORQETSQ. pROWERIM 1D: DLQ L@BYH � > 0; � 2 A:
jZ �
0e��t sin t dtj = j �� sin t� cos t
1 + �2� e��t
�����
0j
= 11 + �2
j(�� sin � � cos �)e��� + 1j � a+ 2:
x136. oPERACII NAD NESOBSTWENNYMI INTEGRALAMI,ZAWISQ]IMI OT PARAMETRA
sNA^ALA USTANOWIM SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI INTEGRALA PO PARAMETRU
I SFORMULIRUEM USLOWIQ, PRI KOTORYH TAKOJ INTEGRAL MOVNO INTEGRI-
ROWATX PO PARAMETRU.
1. pUSTX A � Rm; � R
n ZAMKNUTY, A INTEGRAL
J(�) =
Z
f(�; x) dx; � 2 A;
IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE x0 2 [ f1g I SHODIT-
SQ RAWNOMERNO. dOPUSTIM E]�E, ^TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ f(�; x)
NEPRERYWNA (KROME, BYTX MOVET, TO^EK WIDA (�; x0) W SLU^AE, ESLI OSO-
BENNOSTX x0 2 ). tOGDA
1) J(�) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ PARAMETRA �,
2) ESLI K TOMU VE A J-IZMERIMO, TO
ZA
J(�)d� =Z
dx
ZA
f(�; x)d�:
� uSTANOWIM 1). pUSTX �0 2 A FIKSIROWANO I A0 = Br[�0]\A. dOSTATO^NODOKAZATX NEPRERYWNOSTX J(�) (�0 2 A0) W TO^KE �0. pUSTX, NAPRIMER,
OSOBENNOSTX x0 2 | SOBSTWENNAQ TO^KA. dLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 W
SILU RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA J(�) SU]ESTWUET �0 > 0 TAKOE,
^TO
8� < �0 8� 2 A (jZ
\B�(x0)
f(�; x) dxj < "=3):
218
mNOVESTWA A0; nB�(x0) OGRANI^ENY I ZAMKNUTY, TAK ^TO K INTEGRALUZnB�(x0)
f(�; x) dx PRIMENIMA TEOREMA 133.2. iMENNO, SU]ESTWUET
� > 0 (� < r) TAKOE, ^TO
k�� �0k < �) jZ
nB�(x0)
[f(�; x)� f(�0; x)]dxj < "=3:
tAKIM OBRAZOM, k� � �0k < � WLE^�ET
jJ(�)� J(�0)j � jZ
nB�(x0)
[f(�; x)� f(�0; x)] dxj+ jZ
\B�(x0)
f(�; x) dxj
+ jZ
\B�(x0)
f(�0; x) dxj < ":
pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU SWOJSTWA 2). mY IMEEM
(1)ZA
J(�)d� =ZA
d�
Z\B�(x0)
f(�; x)dx +ZA
d�
ZnB�(x0)
f(�; x)dx:
w SILU RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA J(�)
(2) lim�!0+
jf(�; x) dxj � m(A) lim�!0+
sup�2A
jZ
\B�(x0)
f(�; x) dxj = 0:
wTOROJ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (1) QWLQETSQ SOBSTWENNYM, I W N�EM MOV-
NO IZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ. pEREHODQ ZATEM K PREDELU PRI
�! 0+ W (1), POLU^IM S U^�ETOM (2)ZA
J(�)d� = lim�!0+
ZnB�(x0)
dx
ZA
f(�; x)d� =Z
dx
ZA
f(�; x)d�: >
sLEDU@]EE SWOJSTWO KASAETSQ USLOWIQ DIFFERENCIROWANIQ NESOBST-
WENNOGO INTEGRALA PO PARAMETRU. oGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA MNOVES-
TWO PARAMETROW | OTREZOK ^ISLOWOJ PRQMOJ.
2. pUSTX ZAMKNUTO, INTEGRAL J(�) =Z
f(�; x)dx (a � � � b)
IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE x0 2 [ f1g. dOPUSTIM
219
E]�E, ^TO f(�; x);@f@�
(�; x) NEPRERYWNY NA [a; b]� (KROME TO^EK WIDA
(�; x0) W SLU^AE, KOGDA OSOBENNOSTX x0 2 ). pUSTX
(i) J(�) SHODITSQ PRI L@BOM � 2 [a; b],
(ii) J1(�) =
Z
@f@�
(�; x) dx SHODITSQ RAWNOMERNO NA [a; b],
tOGDA dd�
Z
f(�; x) dx =Z
@f@�
(�; x) dx.
� dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO J(�) | PERWOOBRAZNAQ DLQ J1(�). s U^�ETOM
P. 1 IMEEM
Z �
aJ1(�) d� =
Z
dx
Z �
a
@f@�
(�; x)d� =
Z
[f(�; x)� f(a; x)] dx
=
Z
f(�; x) dx + C = J(�) + C: >
3. p R I M E R. wY^ISLIM J =
Z +1
0
sin tt dt. dLQ \TOGO RASSMOTRIM
INTEGRAL K(�; �) =Z +1
0e��t � sin �tt dt (� 2 R; � � 0). s^ITAQ PODYN-
TEGRALXNU@ FUNKCI@ RAWNOJ � PRI t = 0, IZ 135.5 NAHODIM, ^TO PRI
FIKSIROWANNOM � INTEGRAL K(�; �) SHODITSQ RAWNOMERNO PO � NA KAVDOM
OTREZKE [0; a]. pO\TOMU
(3) J = K(0; 1) = lim�!0+
K(�; 1):
pUSTX � � 0; IZ P. 2 SLEDUET, ^TO@K(�; �)
@�=Z +1
0e��t cos�t dt (TAK
KAK INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ RAWNOMERNO PO � PRI FIKSIRO-
WANNOM �). iNTEGRIRUQ (SM. 43.7), NAHODIM@K(�; �)
@�= ��2 + �2
, OTKUDA
K(�; �) = arctg(�=a) + C(�). oDNAKO, C(�) = K(�; 0) = 0, TAK ^TO IZ (3)
J = lim�!0+
arctg(1=�) = �=2:
220
x137. nEKOTORYE SPECIALXNYE FUNKCIIpRIMENIM POLU^ENNYE REZULXTATY K ANALIZU WAVNYH W PRILOVENIQH
SPECIALXNYH FUNKCIJ, ZADANNYH INTEGRALAMI.
1. b\TA-FUNKCIQ |JLERA ZADA�ETSQ INTEGRALOM
B(a; b) =Z 1
0xa�1(1 � x)b�1 dx (a; b > 0):
w UKAZANNOJ OBLASTI INTEGRAL SHODITSQ.iNTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM
W OBLASTI f(a; b)j a � 1; b � 1g. s POMO]X@ FORMULY nX@TONA-lEJBNICA
INTEGRAL MOVET BYTX WY^ISLEN LI[X PRI NEKOTORYH a; b. pO\TOMU FUNK-
CI@ B(a; b) PRIHODITSQ IZU^ATX KAK INTEGRAL (WOOB]E, NESOBSTWENNYJ),
ZAWISQ]IJ OT PARAMETRA. pOKAVEM SNA^ALA, ^TO B(a; b) NEPRERYWNA.
� pREDSTAWIM B(a; b) W WIDE B(a; b) = B0(a; b) +B1(a; b), GDE
B0(a; b) =Z 1=2
0xa�1(1� x)b�1 dx; B1(a; b) =
Z 1
1=2xa�1(1 � x)b�1 dx:
kAVDYJ IZ INTEGRALOW B0; B1 IMEET OSOBENNOSTX NE BOLEE ^EM W ODNOJ
TO^KE I DOSTATO^NO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX KAVDOGO IZ NIH. uTWERV-
DENIE 136.1 NEPOSREDSTWENNO NE PRIMENIMO, TAK KAK MNOVESTWO PARAMET-
ROW OTKRYTO W R2. pOSKOLXKU NEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE ESTX SWOJ-
STWO LOKALXNOE, MOVNO USTRANITX \TO ZATRUDNENIE. pUSTX a0; b0 > 0 PRO-
IZWOLXNY. pOGRUZIM TO^KU (a0; b0) W NEKOTORYJ ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLX-
NIK � = [a1; a2] � [b1; b2] TAK, ^TOBY 0 < a1 < a0 < a2; 0 < b1 < b0 < b2.
pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO FUNKCIQ B0(a; b) NEPRERYWNA W TO^KE (a0; b0).
w SILU 136.1 DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO INTEGRAL
Z 1=2
0xa�1(1� x)b�1 dx
SHODITSQ RAWNOMERNO W �. pOLAGAQ c = max(x;b)2[0;1=2]�[b1;b2]
(1 � x)b�1, IMEEM
xa�1(1 � x)b�1 � cxa1�1 (0 < x < 1=2; (a; b) 2 �). pO PRIZNAKU wEJER-
[TRASSA OTS@DA SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX. >
wY^ISLIM@B(a; b)@a
. fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOM INTEGRA-
LA, IMEEM
(1)@B(a; b)
@a=Z 1
0xa�1(1� x)b�1 ln x dx (a; b > 0):
pOKAVEM, ^TO DIFFERENCIROWANIE ZAKONNO. dOSTATO^NO UBEDITXSQ (136.2),
^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ RAWNOMERNO NA L@BOM OTREZKE [a1; a2]; a1 > 0:
221
pEREHODQ K INTEGRALAM S ODNOJ OSOBENNOSTX@, DOKAVEM, NAPRIMER, ^TO NA
OTREZKE [a1; a2] RAWNOMERNO SHODITSQ INTEGRAL
Z 1=2
0xa�1(1 � x)b�1 ln x dx.
pREOBRAZUQ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ K WIDU xa�1�"(1 � x)b�1x" ln x(0 < x � 1
2), GDE " > 0 TAKOE, ^TO a1 � " > 0, ZAMETIM, ^TO FUNKCIQ
jx" ln xj OGRANI^ENA NA (0; 12], TO ESTX
jxa�1(1 � x)b�1 ln xj �Mxa1�1�" (x 2 (0;1
2]);
GDEM | PODHODQ]AQ KONSTANTA. tEPERX MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ PRIZNA-
KOM 135.3.
2. gAMMA-FUNKCIQ |JLERA ZADA�ETSQ INTEGRALOM
�(a) =Z +1
0xa�1e�x dx; a > 0:
iNTEGRAL IMEET OSOBENNOSTI W +1 I (PRI a < 1) W TO^KE 0. pRI WSEH
a > 0 INTEGRAL SHODITSQ. pOKAVEM, ^TO NA L@BOM OTREZKE [a1; a2] (0 <
a1 < a2 < +1) INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO. oTS@DA, W ^ASTNOSTI,
SLEDUET NEPRERYWNOSTX FUNKCII �(a).
� pREDSTAWIM �(a) W WIDE �(a) =
Z 1
0xa�1e�x dx +
Z +1
1xa�1e�x dx. iZ
OCENOK
xa�1e�x � xa1�1 (0 < x � 1); xa�1e�x � xa2�1e�x (x � 1)
I PRIZNAKA wEJER[TRASSA SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTEGRALA NA
[a1; a2]: >
iZ 136.2 I PRIZNAKA wEJER[TRASSA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ �(a) DIFFE-
RENCIRUEMA L@BOE ^ISLO RAZ W OBLASTI a > 0:
�(k)(a) =Z +1
0xa�1(lnx)ke�x dx; k = 1; 2; : : : :
3. z A M E ^ A N I E. iMEET MESTO FORMULA
(2) �(a) = (a� 1)�(a� 1); a > 1:
w ^ASTNOSTI, ESLI n 2 N, TO�(n+ 1) = n�(n) = n(n � 1)�(n � 1) = : : : = n!�(1) = n!:
222
tAKIM OBRAZOM, GAMMA-FUNKCIQ QWLQETSQ ESTESTWENNYM OBOB]ENIEM FAK-
TORIALA NA NECELYE ARGUMENTY. ffORMULA (2) SLEDUET IZ WYKLADKI (DLQ
a > 1 INTEGRAL �(a) IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W +1):
�(a) =Z +1
0xa�1e�x dx = lim
N!+1
Z N
0xa�1e�x dx
= limN!+1
[�xa�1e�xjN0 + (a� 1)
Z N
0xa�2e�xdx]
= (a� 1)�(a � 1):g
4. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO INTEGRALY
Z 1
0xa�1(1 � x)b�1 dx;
Z 1
0xa�1(1 � x)b�1 ln x dx (a; b > 0);
Z 1
0xa�1e�x dx;
Z +1
1xa�1e�x dx (a > 0)
NE SHODQTSQ RAWNOMERNO W UKAZANNYH OBLASTQH.
223
posledowatelxnosti i rqdy funkcij
x138. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ
1. pUSTX | MNOVESTWO. pOSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fn : ! C
NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K FUNKCII f : ! C W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA
(PI[EM fn ! f), ESLI ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX fn(!) SHODITSQ K
f(!) PRI KAVDOM ! 2 :
(1) 8! 2 8" > 0 9N 8n > N (jfn(!)� f(!)j < ")
(ZDESX NATURALXNOE N , KONE^NO, ZAWISIT OT ! 2 ).
bOLX[EE ZNA^ENIE PRI IZU^ENII FUNKCIONALXNYH POSLEDOWATELXNOS-
TEJ IGRAET INOJ, BOLEE SILXNYJ WID SHODIMOSTI.
2. pOSLEDOWATELXNOSTX fn : ! C NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]EJSQ
K FUNKCII f : ! C (BUDEM PISATX fn =) f), ESLI
(2) 8" > 0 9N 8n > N 8! 2 (jfn(!)� f(!)j < "):
(w \TOM OPREDELENII ^ISLO N UVE NE ZAWISIT OT !!)
3. z A M E ^ A N I E. eSLI fn =) f , TO fn ! f . oBRATNOE, WOOB]E,
NEWERNO fDLQ POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ fn(t) (0 � t � 1), ZADANNYH
RAWENSTWAMI fn(t) = 0 (t 6= 1=n); fn(1=n) = 1, IMEEM: fn ! 0, NO fn NE
SHODITSQ K 0 RAWNOMERNOg.4. dLQ OGRANI^ENNOJ FUNKCII f : ! C POLOVIM
kfk � sup!2
jf(!)j:
wWED�ENNAQ WELI^INA NAZYWAETSQ RAWNOMERNOJ NORMOJ OGRANI^ENNOJ FUNK-
CII. oNA OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI NORMY:
kfk = 0) f = 0; k�fk = j�jkfk (� 2 C ),kf + gk � kfk + kgk.
w TERMINAH \TOJ NORMY UDOBNO SFORMULIROWATX USLOWIQ RAWNOMERNOJ
SHODIMOSTI.
224
5. pUSTX fn : ! C (n = 1; 2; : : :) | POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ.
sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) fn SHODITSQ RAWNOMERNO (K f),
(B) kfn � fk ! 0 (n!1),
(W) 8" > 0 9N 8n;m > N (kfn � fmk < "),
(G) 8" > 0 9N 8n;m > N 8! 2 (jfn(!)� fm(!)j < ").
� (A)) (B). dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO IZ (2) SLEDUET, ^TO kfn� fk < "
PRI n > N . uMESTNO OBRATITX WNIMANIE ^ITATELQ, ^TO W USLOWII (A)
NE TREBUETSQ OGRANI^ENNOSTI FUNKCIJ. tEM NE MENEE, PRI DOSTATO^NO
BOLX[IH n RAZNOSTX fn � f UVE OBQZANA BYTX OGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ.
(B)) (W). pUSTX N 2 N TAKOWO, ^TO kfn�fk < "=2 PRI n > N . tOGDA
kfn � fmk � kfn � fk + kfm � fk < " (n;m > N):
(W) ) (G) (!!).
(G) ) (A). uSLOWIE (G) OZNA^AET, ^TO PRI KAVDOM ! 2 ^ISLOWAQ
POSLEDOWATELXNOSTX fn(!) FUNDAMENTALXNA, A ZNA^IT, SU]ESTWUET f(!) �limnfn(!). pUSTX N TAKOWO, ^TO jfn(!) � fm(!)j < " (n;m > N; ! 2 ).
pEREHODQ W \TOM NERAWENSTWE K PREDELU PO m, IMEEM jfn(!) � f(!)j �" (n > N; ! 2 ): >
x139. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX I NEPRERYWNOSTX
pRODEMONSTRIRUEM, KAK RABOTAET PONQTIE RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI
POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ, ZADANNYH NA TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANST-
WE.
1. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, FUNKCII fn : E ! C
(n = 1; 2; : : :) NEPRERYWNY W TO^KE !0 2 E I fn =) f . tOGDA f TAKVE
NEPRERYWNA W TO^KE !0.
� pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I N 2 N TAKOWO, ^TO jfN(!)�f(!)j < "=3 (! 2E). tAK KAK fN NEPRERYWNA W !0, NAJD�ETSQ OKRESTNOSTX U TO^KI !0 TAKAQ,
^TO jfN(!) � fN(!0)j < "=3(! 2 U). sLEDOWATELXNO, DLQ L@BOJ TO^KI
! 2 U :jf(!)� f(!0)j � jf(!)� fN (!)j+ jfN(!) � fN (!0)j
+ jfN (!0)� f(!0)j < ": >
225
2. s L E D S T W I E. pUSTX fn : E ! C | POSLEDOWATELXNOSTX
FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E, I fn =) f .
tOGDA f NEPRERYWNA NA E.
3. p R I M E R. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX ^ISLOWYH FUNKCIJ
fn(t) = (1 � nt) � �[0;1=n]
(t) (0 � t � 1). o^EWIDNO fn NEPRERYWNY, PRI^�EM
DLQ L@BOJ TO^KI t 2 [0; 1] SU]ESTWUET PREDEL
f(t) = limnfn(t) =
�0; ESLI 0 < t � 1,
1; ESLI t = 0.
oDNAKO, \TA PREDELXNAQ FUNKCIQ UVE NE NEPRERYWNA.
x140. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX RQDOW FUNKCIJ
1. pUSTX uj : ! C | POSLEDOWATELXNOSTX ^ISLOWYH FUNKCIJ, ZADAN-
NYH NA ABSTRAKTNOM MNOVESTWE , TAK ^TO KAVDOJ TO^KE ! 2 MOVNO
SOPOSTAWITX ^ISLOWOJ RQD
(�)1Xj=1
uj(!):
rQD (�) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]IMSQ, ESLI RAWNOMERNO SHODITSQPOSLEDOWATELXNOSTX
nPj=1
uj(!) EGO ^ASTNYH SUMM.
oTMETIM NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE 139.1.
2. pUSTX | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, I FUNKCII uj : ! C
(j = 1; 2; : : :) NEPRERYWNY W TO^KE !0. pUSTX RQD (�) SHODITSQ RAWNOMER-NO K FUNKCII v : ! C . tOGDA v NEPRERYWNA W TO^KE !0. eSLI, KROME
TOGO, WSE uj NEPRERYWNY NA , TO I SUMMA RQDA v NEPRERYWNA NA .
3. [kRITERIJ kO[I]. rQD (�) SHODITSQ RAWNOMERNO TTOGDA
8" > 0 9N 8n > N 8p 8! 2
0@������n+pXj=n+1
uj(!)
������ < "
1A :
4. [pRIZNAK wEJER[TRASSA]. pUSTX �j > 0; juj(!)j � �j(! 2 ) InPj=1
�j < +1. tOGDA RQD (�) SHODITSQ RAWNOMERNO.
226
� p. 3 QWLQETSQ PEREFORMULIROWKOJ DLQ RQDOW KRITERIQ 138.5(G), P. 4
SLEDUET IZ P. 3 (!!).>
5. u P R A V N E N I E. iSSLEDOWATX NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQD1Pn=1
x2e�nx (0 � x < +1). f pRIMENITE P. 4.g
x141. pRIZNAKI SHODIMOSTI dIRIHLE I aBELQ
sLEDU@]IE NIVE PRIZNAKI PRIGODNY DLQ NEABSOL@TNO SHODQ]IHSQ
RQDOW WE]ESTWENNYH FUNKCIJ. rASSMOTRIM RQD WIDA
(1)1Xj=1
uj(!)vj(!);
GDE uj; vj : ! R| WE]ESTWENNYE FUNKCII.
1. [pRIZNAK dIRIHLE]. pUSTX u1(!) � u2(!) � : : : (! 2 ), PRI^�EM
uk =) 0, I SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO j nPj=1
vj(!)j � M (! 2 ; n 2N). tOGDA RQD (1) SHODITSQ RAWNOMERNO.
2. [pRIZNAK aBELQ]. pUSTX u1(!) � u2(!) � : : : (! 2 ), PRI^�EM
SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO juj(!)j �M (j = 1; 2; : : :). pUSTX, KROME
TOGO, RQD1Pj=1
vj(!) SHODITSQ RAWNOMERNO. tOGDA RQD (1) TAKVE SHODITSQ
RAWNOMERNO.
� p. 1. DLQ FIKSIROWANNOGO n 2 N POLOVIM
wk = vn+1 + : : :+ vn+k (k = 1; 2; : : :):
iMEET MESTO TOVDESTWO
pXk=1
un+kvn+k =p�1Xk=1
(un+k � un+k+1)wk + un+pwp:
sLEDOWATELXNO,
(2)
���� pPk=1
un+k(!)vn+k(!)
���� �p�1Pk=1
jun+k(!) � un+k+1(!)jjwk(!)j+ jun+p(!)wp(!)j:
227
pO USLOWI@ jwk(!)j = j n+kPj=1
vj(!)�nPj=1
vj(!)j � 2M . s U^�ETOM MONOTONNOS-
TI POSLEDOWATELXNOSTI uj(!) IMEEM
jpP
k=1un+k(!)vn+k(!)j � 2M(un+1(!)� un+2(!) + un+2(!)� un+3(!)
+ : : :� un+p(!) + un+p(!)) = 2Mun+1(!) (! 2 ):
tAK KAK uk =) 0, SOGLASNO 140.3 POLU^AEM TREBUEMOE.
p. 2. w UKAZANNYH WY[E OBOZNA^ENIQH DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET
N = N(") TAKOE, ^TO PRI n > N DLQ WSEH ! 2
jwk(!)j = jvn+1(!) + : : :+ vn+k(!)j < " (k = 1; 2; : : :):
(\TO SLEDUET IZ 140.3, PRIMEN�ENNOGO K RQDU1Pj=1
vj(!)). sLEDOWATELXNO, S
U^�ETOM (2) I MONOTONNOSTI fuj(!)g:�����pXk=1
un+k(!)vn+k(!)
����� � "(un+1(!)� un+p(!)) + "jun+p(!)j � 3"M:
sNOWA W SILU 140.3 POLU^AEM TREBUEMOE.>
3. p R I M E R. iSSLEDUEM NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQD
(3)1Xn=1
sin nx
n�(� > 0):
w SLU^AE � > 1 RQD SHODITSQ ABSOL@TNO I RAWNOMERNO (SM. 140.4). w SLU-
^AE � � 1 PRIMENIM PRIZNAK dIRIHLE, POLAGAQ vn(x) = sin nx; un(x) =
n�� (=) 0). oSTA�ETSQ ISSLEDOWATX NA OGRANI^ENNOSTX SUMMY j nPj=1
vj(x)j =j sin x + sin 2x + : : : + sin nxj. s U^�ETOM TOVDESTWA 2 sin � � sin � =
cos(� � �)� cos(�+ �) IMEEM
sin x+ sin 2x + : : :+ sin nx
= (2 sin x2)�1[2 sin x2 � sin x+ : : :+ 2 sin x2 � sin nx]
= (2 sin x2)�1[cos x2 � cos 3x2 + cos 3x2 � : : :� cos(n+ 1
2)x]
= (2 sin x2)�1[cos x2 � cos(n+ 1
2)x]; x 6= 2�k (k 2 Z).
228
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO MALO. tOGDA NA OTREZKE ["; 2� � "] MY IMEEM
j nPj=1
vj(x)j � (sin "2)�1 (n = 1; 2; : : :). tAKIM OBRAZOM, RQD (3) PRI � � 1
SHODITSQ RAWNOMERNO NA L@BOM OTREZKE WIDA ["; 2� � "]; " > 0:
u P R A V N E N I Q. iSSLEDOWATX NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX
4.1Pn=1
(�1)n 1x+ n (0 � x < +1),
5.1Pn=1
(�1)n 1n � xn
1 + xn(0 < x < 1).
6. pOKAZATX, ^TO RQD (3) NA OTREZKE [0; 2�] SHODITSQ NERAWNOMERNO PRI
0 < � � 1.
x142. oPERACII NAD RAWNOMERNO SHODQ]IMISQ RQDAMI
1. pUSTX (� Rn) J-IZMERIMO I ZAMKNUTO, fn : ! R NEPRERYWNY I
fn =) f . tOGDA limn
Z
fn(x) dx =Z
f(x) dx.
� w SILU 139.2 FUNKCIQ f NEPRERYWNA I, W ^ASTNOSTI, INTEGRIRUEMA NA
. sOGLASNO 138.5 kfn � fk ! 0 (n! +1). pO\TOMU
������Z
fn(x) dx�Z
f(x) dx
������ �Z
jfn(x)� f(x)j dx
� kfn � fkm()! 0 (n! +1): >
w KA^ESTWE SLEDSTWIQ PRIWED�EM TEOREMU O PO^LENNOM INTEGRIROWANII
RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ RQDA.
2. pUSTX (� Rn) J-IZMERIMO I ZAMKNUTO, un : ! R NEPRERYWNY,
I RQD1Pn=1
un(x) SHODITSQ RAWNOMERNO NA . tOGDA
Z
(1Xn=1
un(x)) dx =1Xn=1
Z
un(x) dx:
pOLEZNO WYDELITX SLU^AJ, KOGDA FUNKCII ZADANY NA OTREZKE ^ISLOWOJ
PRQMOJ.
229
3. pUSTX un(t) (a � t � b) NEPRERYWNY I RQD1Pn=1
un(t) SHODITSQ RAW-
NOMERNO NA [a; b]. tOGDA
(1)
Z x
a(1Xn=1
un(t)) dt =1Xn=1
Z x
aun(t) dt (a � x � b);
PRI^�EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ RAWNOMERNO.
� w SILU P. 2 W DOKAZATELXSTWE NUVDAETSQ LI[X RAWNOMERNAQ SHODIMOSTXRQDA W PRAWOJ ^ASTI (1). tREBUEMOE SLEDUET IZ OCENKI
jn+pX
k=n+1
Z x
auk(t) dtj �
Z x
ajn+pXk=n+1
uk(t)jdt � (b� a)kn+pXk=n+1
ukk[a;b]: >
4. pUSTX uj : [a; b]! R| GLADKIE FUNKCII, PRI^�EM
(A) PRI NEKOTOROM c (a � c � b) SHODITSQ ^ISLOWOJ RQD1Pj=1
uj(c),
(B) RQD1Pj=1
u0j(x) SHODITSQ RAWNOMERNO NA [a; b].
tOGDA RQD1Pj=1
uj(x) SHODITSQ RAWNOMERNO NA [a; b] I (1Pj=1
uj(x))0=
1Pj=1
u0j(x).
� pOLOVIM
'(x) =1Xj=1
u0j(x) (a � x � b); vj(x) = uj(x)� uj(c) (j 2 N):
sOGLASNO P. 3
Z x
c'(t) dt =
1Pj=1
(
Z x
cu0j(t) dt) =
1Pj=1
vj(x), I RQD1Pj=1
vj(x) SHO-
DITSQ RAWNOMERNO. pO\TOMU RAWNOMERNO SHODITSQ RQD1Pj=1
uj(x) =
1Pj=1
[vj(x) + uj(c)]. pRI \TOM
[1Xj=1
uj(x)]0= [
1Xj=1
vj(x)]0= [
Z x
c'(t) dt]
0= '(x) =
1Xj=1
u0j(x): >
230
5. p R I M E R [�-FUNKCIQ rIMANA]. rASSMOTRIM FUNKCI@, ZADANNU@
RQDOM �(x) � 1Pn=1
1nx
(x > 1). w UKAZANNOJ OBLASTI FUNKCIQ � NEPRERYWNA
(!!). pOKAVEM, ^TO
(2) � 0(x) = �1Xn=1
ln n
nx(x > 1):
dLQ \TOGO WYBEREM a TAK, ^TOBY 1 < a < x. tOGDA IZ OCENKI1Pn=1
ln nnx
<
1Pn=1
ln nna
< C1Pn=1
1na�"
(GDE " > 0 TAKOWO, ^TO 1 < a � ") SLEDUET, ^TO RQD
1Pn=1
ln nnx
SHODITSQ RAWNOMERNO W OBLASTI [a;+1). w SILU P. 4 \TO OZNA^AET
SPRAWEDLIWOSTX (2).
x143. sTEPENNYE RQDY W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI
mY RASSMOTRIM NEKOTORYE \LEMENTARNYE FAKTY IZ TEORII STEPENNYH
RQDOW (W OSNOWNOM SWQZANNYE S OB]EJ TEORIEJ RQDOW FUNKCIJ, IZLOVENNOJ
WY[E) W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI.pODROBNO TAKIE RQDY IZU^A@TSQ W KURSE
TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO.
1. pUSTX a0; a1; : : : | POSLEDOWATELXNOSTX KOMPLEKSNYH ^ISEL. sTE-
PENNYM RQDOM PO STEPENQM z NAZYWAETSQ FORMALXNAQ SUMMA
(�)1Xk=0
akzk; z 2 C :
pERWYJ ESTESTWENNYJ WOPROS | WOPROS OB OBLASTI SHODIMOSTI \TOGO RQ-
DA.
2. [1-AQ TEOREMA aBELQ]. eSLI RQD (�) SHODITSQ W TO^KE z0 2 C , TO ONSHODITSQ ABSOL@TNO I RAWNOMERNO W KRUGE jzj � q PRI L@BOM q (0 < q <
jz0j).� tAK KAK RQD 1P
k=0akz
k0 SHODITSQ, TO akz
k0 ! 0 (k ! +1). sLEDOWATELXNO,
NAJD�ETSQ M > 0 TAKOE, ^TO jakzk0 j � M (k = 0; 1; 2; : : :). w SILU USLO-
WIJ TEOREMY � =qjz0j < 1: sLEDOWATELXNO W KRUGE jzj � q : jakzkj =
231
jakzk0 jj zz0 jk � M�k (k = 0; 1; 2; : : :). oSTALOSX K RQDU
1Pk=0
akzk (jzj � q)
PRIMENITX PRIZNAK 140.4.>
3. dOKAZANNAQ TEOREMA POZWOLQET SRAZU O^ENX MNOGO SKAZATX OB OBLAS-
TI � = fz 2 C j RQD (�) SHODITSQg SHODIMOSTI RQDA (�). nAZOW�EM RADIUSOM
SHODIMOSTI RQDA (�) WELI^INU
R =
(supz2�
jzj; ESLI � OGRANI^ENO,
+1; ESLI � NE OGRANI^ENO,
iZ P. 2 NEPOSREDSTWENNO SLEDUET:
4. (A) eSLI jzj < R, TO z 2 �, TO ESTX (�) SHODITSQ.(B) eSLI jzj > R, TO RQD (�) RASHODITSQ.
tAKIM OBRAZOM, OBLASTX SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA (�) QWLQETSQ KRU-GOM (WOZMOVNO, NESOBSTWENNYM). oTMETIM, ^TO TEOREMA P. 2 NE DA�ET IN-
FORMACII O POWEDENII RQDA NA GRANICE KRUGA SHODIMOSTI jzj = R.
x144. fORMULA kO[I-aDAMARA
dLQ OPREDELENIQ RADIUSA SHODIMOSTI IMEETSQ FORMULA, POZWOLQ@]AQ
INOGDA \FFEKTIWNO WY^ISLQTX \TOT RADIUS ^EREZ KO\FFICIENTY RQDA.
1. R = [limkjakj1=k]�1 (PRI \TOM 1=+1 � 0; 1=0 � +1).
� nARQDU S WELI^INOJ R (x143), POLOVIM r = [limkjakj1=k]�1. tREBUETSQ
UBEDITXSQ, ^TO r = R.
sLU^AJ (A): R > 0. pUSTX 0 < R1 < R. tOGDA SOGLASNO 143.2 RQD1Pk=0
jakRk1j SHODITSQ, I ZNA^IT, SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO jakRk
1j �M (k = 0; 1; 2; : : :). sLEDOWATELXNO, lim
kjakj1=k � 1
R1� lim
kM1=k = 1
R1. oT-
S@DA r � R1, I SLEDOWATELXNO r � R.
sLU^AJ (B): R < +1. w SILU 143.2 W TO^KE z = R1 > R RQD (�)x143 RASHODITSQ. tEM BOLEE RASHODITSQ RQD
1Pk=0
jakjRk1. w SILU PRIZNAKA
kO[I 14.3 limkjakj1=k = R1=r � 1. oTS@DA R=r � 1, I SLEDOWATELXNO
R � r. tAKIM OBRAZOM, RAWENSTWO R = r USTANOWLENO DLQ SLU^AQ, KOGDA
0 < R < +1. oNO, ODNAKO, SPRAWEDLIWO I DLQ ZNA^ENIJ R = 0; +1. eSLI
232
R = 0, TO W SILU SLU^AQ (B) r = 0; ESLI R = +1, TO W SILU SLU^AQ (A)
r = +1: >
2. p R I M E R. rQD1Pn=0
zn
n!SHODITSQ PRI L@BOM z 2 C . fpO FORMULE
kO[I-aDAMARA R = limn(n!)1=n = +1.g
x145. dIFFERENCIROWANIE STEPENNOGO RQDA
1. dLQ STEPENNOGO RQDA
(1)1Xk=0
akzk
KORREKTNO OPREDELENA FUNKCIQ
(2) f(z) =1Xk=0
akzk (jzj < R);
GDE R| RADIUS SHODIMOSTI RQDA (1). |TA FUNKCIQ OBLADAET ZAME^ATELX-
NYM SWOJSTWOM:
2. fUNKCIQ f(z) DIFFERENCIRUEMA W KRUGE jzj < R. pRI \TOM f 0(z) =1Pk=1
kakzk�1 (jzj < R).
� rADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA1Pk=1
kakzk�1 RAWEN R, TAK KAK
limkj(k+1)ak+1j1=k = lim
kjakj1=k . pUSTX jzj < R. tOGDA SU]ESTWU@T R1 < R
I � > 0 TAKIE, ^TO 8t 2 B�(0)(jz + tj < R1), GDE B�(0) = ft 2 C j jtj < �g.oPREDELIM FUNKCII
gk(t) =
(ak � 1t [(z + t)k � zk]; ESLI t 2 �B�(0),
kakzk�1; ESLI t = 0,
(k 2 N):
pRI \TOM gk(t) = ak[(z + t)k�1 + z(z + t)k�2 + : : : + zk�1] (t 2 B�(0))
NEPRERYWNY NA B�(0) I
(3) jgk(t)j � kjakjRk�11 (t 2 B�(0); k 2 N):
233
tOGDA DLQ t 2 �B�(0) :1t [f(z + t)� f(z)] =
1Pk=1
gk(t), PRI^�EM SUMMA RQDA W
PRAWOJ ^ASTI W SILU OCENKI (3) I SWOJSTWA 140.2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ
FUNKCIEJ. sLEDOWATELXNO,
f 0(z) = limt!0
1
t[f(z + t)� f(z)] = lim
t!0
1Xk=1
gk(t) =1Xk=1
gk(0) =1Xk=1
kakzk�1: >
3. fUNKCIQ f(z), ZADANNAQ RAWENSTWOM (2), IMEET W KRUGE jzj < R
PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW. pRI \TOM SPRAWEDLIWA FORMULA tEJLORA
f(z) =1Pk=0
f (k)(0)k!
zk (jzj < R).
� uTWERVDENIE QWLQETSQ NEPOSREDSTWENNYM SLEDSTWIEM P. 2.>
x146. o PONQTII ANALITI^ESKOJ FUNKCII
1. wMESTO RQDOW PO STEPENQM z MOVNO, RAZUMEETSQ, RASSMATRIWATX
STEPENNYE RQDY PO STEPENQM z � z0, GDE z0 | FIKSIROWANNOE ^ISLO. nA
TAKIE RQDY PERENOSQTSQ WSE DOKAZANNYE WY[E REZULXTATY.
pUSTXG � C OTKRYTO. fUNKCIQ f : G! C NAZYWAETSQ ANALITI^ESKOJ
W G, ESLI DLQ L@BOJ TO^KI z0 2 G SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO f(z) =1Pk=ak(z � z0)
k DLQ WSEH z 2 B�(z0). iZ 145.3 SLEDUET, ^TO ANALITI^ESKAQ
FUNKCIQ OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW.
2. p R I M E R [\KSPONENTA]. pOLOVIM PO OPREDELENI@
exp(z) �1Xk=0
1
k!zk; z 2 C :
w SOOTWETSTWII S 144.2 \TA FUNKCIQ KORREKTNO ZADANA W C . sPRAWEDLIWO
WAVNOE TOVDESTWO
(�) exp(z + t) = exp(z) � exp(t); z; t 2 C :� eGO SPRAWEDLIWOSTX SLEDUET IZ WYKLADKI
exp(z) � exp(t) =
� 1Pk=0
1k!zk�� 1P
m=0
1m!tm�=
1Pk;m=0
zktm
k!m!
=1Pr=0
1r!
� Pk+m=r
r!k!m!
zktm�
=1Pr=0
1r!
�rPk=0
�r
k
�zktr�k
�=
1Pr=0
1r!(z + t)r
= exp(z + t)
234
(WSE OPERACII SPRAWEDLIWY W SILU ABSOL@TNOJ SHODIMOSTI U^ASTWU@]IH
W WYKLADKE RQDOW). >
oTMETIM TAKVE, ^TO exp(z) | ANALITI^ESKAQ W C FUNKCIQ. dEJSTWI-
TELXNO, IZ (�) DLQ L@BOJ TO^KI z0 2 C :
exp(z) = exp(z0) � exp(z � z0) =1Xk=0
1
k!exp(z0)(z � z0)
k (z 2 C ):
u P R A V N E N I Q. 3. dOKAZATX, ^TO ANALITI^ESKIMI QWLQ@TSQ SLEDU@-
]IE FUNKCII, ZADANNYE RQDAMI:
sin z � 1Pk=0
(�1)k(2k + 1)!
� z2k+1 (z 2 C );
cos z � 1Pk=0
(�1)k(2k)!
� z2k (z 2 C ):
4.oHARAKTERIZOWATX STEPENNYE RQDY, SHODQ]IESQ RAWNOMERNO WO WSEJ
KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI.
x147. wE]ESTWENNYE STEPENNYE RQDY1. wE]ESTWENNYM STEPENNYM RQDOM PO STEPENQM x NAZYWAETSQ FOR-
MALXNAQ SUMMA
(1)1Xk=0
akxk;
GDE KO\FFICIENTY ak TAKVE WE]ESTWENNY. w SILU SWOJSTW KOMPLEKSNYH
STEPENNYH RQDOW MOVNO GOWORITX O RADIUSER SHODIMOSTI RQDA (1).iMEN-
NO, R (0 � R � +1) HARAKTERIZUETSQ USLOWIQMI: PRI jxj < R RQD (1) SHO-
DITSQ, A PRI jxj > R ZAWEDOMO RASHODITSQ. iZ 1-J TEOREMY aBELQ SLEDUET,
^TO PRI L@BOM q < R RQD (1) SHODITSQ ABSOL@TNO I RAWNOMERNO NA OTREZ-
KE [�q; q]. pOWEDENIE RQDA W TO^KAH �R TREBUET SPECIALXNOGO IZU^ENIQ.
oTMETIM NEKOTORYE SPECIFI^ESKIE SWOJSTWA WE]ESTWENNYH STEPENNYH
RQDOW.
2. [2-Q TEOREMA aBELQ]. pUSTX R(< +1) | RADIUS SHODIMOSTI RQDA
(1) I RQD SHODITSQ W TO^KE x = R. tOGDA FUNKCIQ f , ZADANNAQ RAWENST-
WOM f(x) � 1Pk=0
akxk (�R < x � R), NEPRERYWNA.
235
� fUNKCIQ f NEPRERYWNA NA INTERWALE (�R;R) PO 1-J TEOREME aBELQ,
I NUVDAETSQ W PROWERKE E�E NEPRERYWNOSTX W TO^KE x = R. dLQ \TOGO
RASSMOTRIM NA[ RQD NA OTREZKE [0; R]. pOLAGAQ vk(x) = akRk; uk(x) =�
xR
�k(0 � x � R), POLU^IM
1Pk=0
akxk =
1Pk=0
uk(x)vk(x). k RQDU, STOQ]EMU
W PRAWOJ ^ASTI, PRIMEN�IM PRIZNAK 141.2, TAK ^TO \TOT RQD SHODITSQ RAW-
NOMERNO NA OTREZKE [0; R]. w SILU 140.2 EGO SUMMA QWLQETSQ NEPRERYWNOJ
NA OTREZKE [0; R] FUNKCIEJ. w ^ASTNOSTI, f NEPRERYWNA W TO^KE R: >
3. rQD (1) MOVNO PO^LENNO INTEGRIROWATX WNUTRI INTERWALA SHODI-
MOSTI:Z x
0(1Pk=0
aktk) dt =
1Pk=0
akk + 1
xk+1 (jxj < R). f|TO QWLQETSQ SLEDSTWI-EM 1-J TEOREMY aBELQ I SWOJSTWA 141.3.g
4. p R I M E R. pOKAVEM, ^TO
(2) arctg x =1Xk=0
(�1)k x2k+1
2k + 1(jxj � 1):
w SILU P. 3 IMEEM DLQ jxj < 1:
arctg x =Z x
0
dt
1 + t2=Z x
0(1Xk=0
(�1)kt2k)dt =1Xk=0
(�1)k x2k+1
2k + 1:
pRI jxj = 1 RQD W PRAWOJ ^ASTI (2) SHODITSQ KAK RQD lEJBNICA (13.8).
sLEDOWATELXNO, PO 2-J TEOREME aBELQ RAWENSTWO (2) IMEET MESTO NA WS�EM
OTREZKE [�1; 1].
236
prostranstwa funkcij. rqdy furxe
w \TOM RAZDELE MY BUDEM SMOTRETX NA FUNKCII KAK NA PREDSTAWITE-
LEJ OPREDEL�ENNOGO KLASSA FUNKCIJ.oSNOWNOJ INTERES DLQ NAS BUDET PRED-
STAWLQTX ZADA^A APPROKSIMACII FUNKCIJ TAKOGO, NAPRIMER, TIPA: ZADANA
\HORO[AQ" SISTEMA FUNKCIJ S = ff1(x); f2(x); : : :g; MOVNO LI ZADANNU@FUNKCI@ f(x) PRIBLIZITX LINEJNOJ KOMBINACIEJ FUNKCIJ SISTEMY S?
nUVNO, KONE^NO, E]�E UTO^NITX, ^TO ZNA^IT \PRIBLIZITX". nAPRIMER, ES-
LI S = f1; x; x2; : : :g, I f : [a; b] ! R NEPRERYWNA, TO MOVNO POSTAWITX
WOPROS O RAWNOMERNOJ APPROKSIMACII. iNOGDA RAZUMNO W KA^ESTWE S RAS-
SMATRIWATX TRIGONOMETRI^ESKU@ SISTEMU FUNKCIJ f1; sin x; cosx; sin 2x;cos 2x; : : :g.
x148. nORMIROWANNYE PROSTRANSTWA
1. wEKTORNOE PROSTRANSTWO X NAD POLEM � (= C ILI R) (SM. 62.1)
NAZYWAETSQ NORMIROWANNYM PROSTRANSTWOM, ESLI ZADANO OTOBRAVENIE
(NAZYWAEMOE NORMOJ) k � k : X ! R, OBLADA@]EE SWOJSTWAMI:
(I) kxk = 0) x = �,
(II) k�xk = j�jkxk (� 2 �; x 2 X),
(III) kx+ yk � kxk+ kyk (x; y 2 X).
mY IMELI UVE DELO S NORMIROWANNYMI PROSTRANSTWAMI: WSPOMNIM KO-
NE^NOMERNOE PROSTRANSTWO, SNABV�ENNOE EWKLIDOWOJ NORMOJ, PROSTRANST-
WO LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ ODNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA W DRUGOE S
OPERATORNOJ NORMOJ (74.1).
2. pUSTX X | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO. oTOBRAVENIE
d : X�X ! R, ZADANNOE RAWENSTWOM d(x; y) � kx�yk (x; y 2 X), QWLQETSQ
METRIKOJ WX (!!), I POTOMU NA NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA PERENOSQTSQ
SOOTWETSTWU@]IE METRI^ESKIE I TOPOLOGI^ESKIE PONQTIQ. w ^ASTNOSTI,
MNOVESTWO Y W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE X NAZYWAETSQ OGRANI^EN-
NYM, ESLI 9C > 0 8x 2 Y (kxk � C). nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO X QW-
LQETSQ SEPARABELXNYM (SM. 95.5), ESLI SU]ESTWUET Y = fx1; x2; : : :g � X
TAKOE, ^TO 8x 2 X 8" > 0 9xn 2 Y (kx� xnk < ").
237
nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, POLNOE OTNOSITELXNO WWED�ENNOJ METRI-
KI (x92), NAZYWAETSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM.
3. w NORMIROWANNYH PROSTRANSTWAH MOVNO GOWORITX O SHODIMOSTI
RQDOW. gOWORQT, ^TO RQD
(�)1Xk=1
uk (uk 2 X)
SHODITSQ K \LEMENTU u 2 X, ESLI K u SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX
sn =nPk=1
uk ^ASTNYH SUMM \TOGO RQDA. rQD (�) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ
ABSOL@TNO, ESLI SHODITSQ ^ISLOWOJ RQD1Pk=1
kukk.4. nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO POLNO TTOGDA WSQKIJ ABSOL@TNO
SHODQ]IJSQ RQD SHODITSQ.
� nEOBHODIMOSTX. w SILU POLNOTY DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO POSLEDO-
WATELXNOSTX (sn) ^ASTNYH SUMM RQDA (�) FUNDAMENTALXNA. |TO SLEDUETIZ OCENKI ksn+p � snk = k
n+pPk=n+1
ukk �n+pPk=n+1
kukk S U^�ETOM SHODIMOSTI
RQDA1Pk=1
kukk.dOSTATO^NOSTX. pUSTX WSQKIJ ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ RQD SHODIT-
SQ I (xn) | PROIZWOLXNAQ FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX. pO-
KAVEM SNA^ALA, ^TO ONA SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.
pUSTX �n = supm�n
kxn � xmk. tOGDA lim �n = 0. sLEDOWATELXNO, U POSLE-
DOWATELXNOSTI (�n) SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (�nj ) TAKAQ, ^TO
�nj < j�2 PRI WSEH j. tOGDA kxnj � xnj+1k � j�2, OTKUDA RQDPgj , GDE
g1 = xn1; gj+1 = xnj+1 � xnj (j � 1), ABSOL@TNO SHODITSQ, A SLEDOWATELX-
NO, SHODITSQ. tAK KAK xnk =kPj=1
gj, PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ) SHODIT-
SQ. tEPERX USTANOWIM, ^TO SHODITSQ SAMA POSLEDOWATELXNOSTX (xn): ESLI
limkxnk = x, TO
kxn � xk � kxn � xnkk+ kxnk � xk: >
5. ~ASTO PRI IZU^ENII WEKTORNYH PROSTRANSTW IME@T DELO S OTOBRA-
VENIQMI BOLEE OB]IMI, ^EM NORMA. oTOBRAVENIE k � k : X ! R NAZYWA-
238
ETSQ POLUNORMOJ, ESLI ONO OBLADAET SWOJSTWAMI (II), (III) P. 1. oTMETIM
\LEMENTARNYE SWOJSTWA POLUNORMY (!!):
(A) k�k = 0; 8u 2 X (kuk � 0);
(B) j kuk � kvk j � ku� vk (u; v 2 X).
u P R A V N E N I Q. 6. wSQKAQ FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX
W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE OGRANI^ENA.
7. w BANAHOWOM PROSTRANSTWE PERESTANOWKA ^LENOW ABSOL@TNO SHODQ-
]EGOSQ RQDA NE WLIQET NA EGO SUMMU.
x149. pRIMERY NORMIROWANNYH PROSTRANSTW
1. pUSTX | ABSTRAKTNOE MNOVESTWO. oBOZNA^IM ^EREZ B() NORMI-
ROWANNOE PROSTRANSTWO WSEH OGRANI^ENNYH FUNKCIJ f : ! C S NORMOJ
(�) kfk � sup!2
jf(!)j:
sHODIMOSTX FUNKCIJ PO \TOJ NORME OZNA^AET IH RAWNOMERNU@ SHODI-
MOSTX (x138).2. B() | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
� pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 B() FUNDAMENTALXNA PO NORME (�). iZKRITERIQ 138.5 SLEDUET, ^TO kfn�fk ! 0 (n!1), I OSTA�ETSQ DOKAZATX,
^TO PREDELXNAQ FUNKCIQ f OGRANI^ENA. pUSTX C > 0 TAKOWO, ^TO kfnk �C (n 2 N) (SM. 148.6). tOGDA jf(!)j = lim
njfn(!)j � C (! 2 ): >
3. pUSTX | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, C() | NORMIROWANNOE PRO-
STRANSTWO WSEH NEPRERYWNYH FUNKCIJ f : ! C (ILI R ) S NORMOJ (�).w SILU 106.3 IMEET MESTO WKL@^ENIE C() � B(). iZ SWOJSTWA 139.1
SLEDUET:
4. C() | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
5. pUSTX | NEWYROVDENNYJ (SM. 118.2) J -IZMERIMYJ KOMPAKT W Rn.
fUNKCIQ kfk1 �Z
jf(x)j dx| NORMA NA C() (!!). oDNAKO, C() NE POLNO
PO \TOJ NORME.
239
� nAPRIMER, ESLI = [�1; 1] � R, TO POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ
fn(t) =
8><>:1; ESLI t 2 [�1;�1=n],0; ESLI t 2 [1=n; 1],12(1� nt); ESLI t 2 [�1=n; 1=n]
QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ PO NORME k � k1, NO NE SHODITSQ PO \TOJ NORMENI K KAKOJ FUNKCII f 2 C[�1; 1] (!!). >
6. z A M E ^ A N I E. eSLI kfnk ! 0, TO kfnk1 ! 0. oDNAKO OBRATNOE,
WOOB]E GOWORQ, NEWERNO: W PRIMERE 139.3 POSLEDOWATELXNOSTX fn OBLADAET
SWOJSTWAMI kfnk1 ! 0; NO fn NE STREMITSQ K 0 RAWNOMERNO.
u P R A V N E N I Q. 7. pUSTX | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANST-
WO I C0() | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO WSEH NEPRERYWNYH FUNKCIJ
f : ! C , OBRA]A@]IHSQ W NULX NA 1 (TO ESTX DLQ L@BOGO " > 0 SU-
]ESTWUET KOMPAKTNOE MNOVESTWO K � TAKOE, ^TO jf(!)j < " PRI L@BOM
! 2 nK) S NORMOJ (�)). pOKAZATX, ^TO C0() | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
8. pUSTX A = ff 2 C[0; 1] : 0 < f(t) < 1 (t 2 [0; 1])g, GDE C[0; 1]| PROSTRANSTWO WE]ESTWENNYH NEPRERYWNYH FUNKCIJ. dOKAVITE, ^TO
A | OTKRYTO W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE C[0; 1] S NORMOJ kfk =
max0�t�1
jf(t)j I NE OTKRYTO W C[0; 1] S NORMOJ kfk1 =Z 1
0jf(t)j dt.
x150. fAKTORIZACIQ. pROSTRANSTWO R1()
1. pUSTX k � k | POLUNORMA W WEKTORNOM PROSTRANSTWE X. oTSUTSTWIE
SWOJSTWA 148.1 (I) ^ASTO BYWAET NEUDOBNYM. oDNAKO ESTX STANDARTNAQ
PROCEDURA (FAKTORIZACIQ), POZWOLQ@]AQ POLU^ATX IZ POLUNORMY NOR-
MU. wWED�EM OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI � W X : �(x; y) OZNA^AET, ^TO
kx�yk = 0 (\TO DEJSTWITELXNO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI (!!)).oBOZNA-
^IM \LEMENTY FAKTOR-MNOVESTWA X=� ^EREZ �(x) (\TO SMEVNYE KLASSY).
oPERACII
�(x) + �(y) � �(x+ y); ��(x) � �(�x) (x; y 2 X; � 2 �)
OPREDELQ@T W X=� STRUKTURU WEKTORNOGO PROSTRANSTWA (!!). nULX W X=�
| \TO �(�) = fx 2 Xj kxk = 0g. oTOBRAVENIE k � k� : X=� ! R, ZADANNOE
RAWENSTWOM
(�) k�(x)k� � kxk (�(x) 2 X=�);
240
OPREDELQET NORMU W X=�. oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIE k � k� OPREDELENOKORREKTNO, TO ESTX k�(x)k� NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ x IZ
�(x). dEJSTWITELXNO, PUSTX z| E]�E ODIN \LEMENT MNOVESTWA �(x). tOGDA
kx� zk = 0 I SLEDOWATELXNO,
kxk = kx� z + zk � kx� zk+ kzk = kzk;kzk = kz � x+ xk � kz � xk+ kxk = kxk:
oTOBRAVENIE k � k� UDOWLETWORQET TREBOWANI@ 148.1 (I):
k�(x)k� = 0) kxk = 0) �(x) = �(�):
sWOJSTWA (II) I (III) TAKVE, O^EWIDNO, WYPOLNQ@TSQ.
2. pROILL@STRIRUEM IZLOVENNU@ SHEMU NA HARAKTERNOM PRIMERE.
pUSTX | NEWYROVDENNYJ J -IZMERIMYJ KOMPAKT W Rn. eSTESTWENNO RAS-
PROSTRANITX NORMU k � k1 (SM. 149.5) S PROSTRANSTWA C() NA WEKTORNOEPROSTRANSTWO FUNKCIJ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH PO rIMANU, WOZMOVNO,
W NESOBSTWENNOM SMYSLE. oDNAKO NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FUNK-
CIQ k�k1 UVE NE QWLQETSQ NORMOJ. pRIMENQQ PROCEDURU FAKTORIZACII, MYPRID�EM K NORMIROWANNOMU PROSTRANSTWU (BUDEM OBOZNA^ATX EGO R1()),
\LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ KLASSY FUNKCIJ, ABSOL@TNO INTEGRIRU-
EMYH PO rIMANU. pRI \TOM ESLI DWE FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU
KLASSU, TO
Z
jf(x)�g(x)j dx = 0. w ^ASTNOSTI, NUL�EM PROSTRANSTWA R1()
QWLQETSQ KLASS WSEH FUNKCIJ � : ! C TAKIH, ^TO
Z
j�(x)j dx = 0: dO-
PUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GOWORITX OB \LEMENTAH PROSTRANSTWA R1()
KAK O FUNKCIQH, POMNQ, ^TO NA DELE MY OPERIRUEM S PREDSTAWITELQMI
KLASSOW FUNKCIJ.
3. bOLEE OB]IM OBRAZOM, PUSTX | LOKALXNO J -IZMERIMOE PODMNO-
VESTWO Rn I R1() | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO FUNKCIJ (TO^NEE,
KLASSOW FUNKCIJ), ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH PO rIMANU, WOZMOVNO W NE-
SOBSTWENNOM SMYSLE, S NORMOJ kfk1 �Z
jf(x)j dx.
4. u P R A V N E N I E. pUSTX | LOKALXNO J -IZMERIMOE PODMNOVESTWO
Rn I FUNKCIQ � ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA NA . tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY: (i) �(x) = 0 P.W., (ii)Z
j�(x)j dx = 0.
241
x151. tEOREMA O PLOTNOSTI
mY DOKAVEM WAVNU@ W TEHNI^ESKOM OTNO[ENII TEOREMU, POKAZYWA@-
]U@, ^TO PRI RAS[IRENII ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ NORMY k�k1S PROSTRANSTWA C() NA R1() ISHODNOE PROSTRANSTWO OSTA�ETSQ PLOTNYM
W R1().
1. pUSTX (� Rn) LOKALXNO J -IZMERIMO. nOSITELEM FUNKCII
f : ! C (OBOZNA^AETSQ supp(f)) NAZOW�EM ZAMYKANIE W Rn MNOVESTWA
fx 2 j f(x) 6= 0g.oBOZNA^IM ^EREZ C00() PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH FUNKCIJ
f 2 C(), NOSITELI KOTORYH KOMPAKTNY I LEVAT W � (WNUTRENNOSTI
). qSNO, ^TO C00() � C0(), GDE C0() OPREDELENO W 149.7. pRIWLEKAQ
TOPOLOGI^ESKOE PONQTIE PLOTNOSTI (95.5), PRIWED�EM OBE]ANNU@ TEOREMU.
2. pROSTRANSTWO C00() PLOTNO W R1() PO NORME k � k1.� pRIWED�EM DOKAZATELXSTWO W GEOMETRI^ESKI NAGLQDNOM ^ASTNOM SLU^AE
n = 1; = R, INTEGRAL
Z +1
�1jf(x)j dx IMEET OSOBENNOSTI LI[X W TO^KAH
�1 (DOKAZATELXSTWO OB]EGO SLU^AQ, PO SRAWNENI@ S RAZBIRAEMYM, NE WY-
ZYWAET ZATRUDNENIJ). iTAK, MY DOLVNY DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 SUMETX
PODOBRATX FUNKCI@ ' 2 C00() TAK, ^TOBY
Z +1
�1jf(x)� '(x)j dx < ".
sNA^ALA WYBEREM N > 0 TAK, ^TOBY
Zjxj�N
jf(x)jdx < "=3 (\TO WOZMOVNO
W SILU SHODIMOSTI INTEGRALA
Z +1
�1jf(x)j dx). pOLOVIM g � �
[�N;N ]� f ,
GDE �[�N;N ]
| HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OTREZKA [�N;N ] (SM. 1.10).
fUNKCIQ g INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA OTREZKE [�N;N ] I, SLEDOWATELXNO,
SU]ESTWUET RAZLOVENIE �(�N = x0 < x1 < : : : < xn = N) TAKOE, ^TO
jZ N
�Ng(x) dx�
nXi=1
mi(xi � xi�1)j < "=3; mi = infxi�1�x�xi
g(x):
pOLOVIM h =nPi=1
mi�[xi�1;xi ] I ZAMETIM (rIS. 23), ^TO SU]ESTWUET ' 2
C00() SO SWOJSTWOM
Z N
�Nj'(x)� h(x)j dx < "=3; supp(') � [�N;N ]. fUNK-
242
CIQ ' ISKOMAQ:
Z +1
�1jf(x) � '(x)j dx =
Z �N
�1+Z N
�N+Z +1
N
=
Zjxj�N
jf(x)j dx+Z N
�Njf(x)� '(x)j dx
< "3 +
Z N
�Njg(x)� h(x)j dx+
Z N
�Nj'(x)� h(x)j dx < ": >
x152. uNITARNYE PROSTRANSTWA
1. nA WEKTORNYE PROSTRANSTWA PERENOSITSQ PONQTIE SKALQRNOGO PRO-
IZWEDENIQ W C n. nAPOMNIM (SM. 62.5), ^TO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM WEK-
TOROW u = (u1; : : : ; un); v = (v1; : : : ; vn) IZ C n NAZYWAETSQ ^ISLO hu; vi �nPi=1
uivi . oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA \TOGO SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ:
(I) hu; vi | LINEJNAQ FORMA PO u I ANTILINEJNAQ PO v, TO ESTX
h�1u1 + �2u2; vi = �1hu1; vi+ �2hu2; vi;hu; �1v1 + �2v2i = �1hu; v1i + �2hu; v2i (�i 2 C );
(II) hu; vi = hv; ui;(III) hu; ui � 0,
(IV) hu; ui = 0 ) u = �.
uKAZANNYE SWOJSTWA BERUTSQ W KA^ESTWE POSTULATOW SKALQRNOGO PROIZWE-
DENIQ W OB]EM SLU^AE.
2. wEKTORNOE PROSTRANSTWO E NAD POLEM �(= C ILI R) NAZYWAETSQ UNI-
TARNYM PROSTRANSTWOM, ESLI OPREDELENO OTOBRAVENIE h�; �i : E �E !�, SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOJ PARE fu; vg 2 E�E SKALQR hu; vi 2 �, PRI^�EM
UDOWLETWORQ@TSQ TREBOWANIQ (I)-(IV). w \TOM SLU^AE \TO OTOBRAVENIE
NAZYWAETSQ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM W E. eSLI � = R, UNITARNOE PRO-
STRANSTWO NAZYWAETSQ WE]ESTWENNYM.
243
3. wSQKOE UNITARNOE PROSTRANSTWO E QWLQETSQ NORMIROWANNYM OT-
NOSITELXNO NORMY, INDUCIROWANNOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:
(�) kuk �qhu; ui (u 2 E):
~TOBY DOKAZATX \TO UTWERVDENIE, USTANOWIM SNA^ALA NERAWENSTWO kO[I-
bUNQKOWSKOGO DLQ UNITARNOGO PROSTRANSTWA:
4. jhu; vij � kuk � kvk.� pUSTX hu; vi 6= 0 (INA^E UTWERVDENIE O^EWIDNO). tOGDA PRI � 2 R S
ISPOLXZOWANIEM SWOJSTWA (I) IMEEM
0 � k hv; uijhu; viju+ �vk2 = �2kvk2 + 2�jhu; vij+ kuk2:
iZ NEOTRICATELXNOSTI TREH^LENA PEREMENNOJ � W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NE-
RAWENSTWA SLEDUET, ^TO DISKRIMINANT TREH^LENA NEPOLOVITELEN: jhu; vij2�kuk2kvk2 � 0, ^TO I TREBOWALOSX. >
5. z A M E ^ A N I E. pRI DOKAZATELXSTWE P. 4 SWOJSTWO (IV) NE ISPOLX-
ZOWALOSX.
6. dOKAZATELXSTWO P. 3. w PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SWOJSTWO 148.1
(III). s U^�ETOM P. 4 IMEEM
ku+ vk2 = kuk2 + hu; vi+ hv; ui+ kvk2 = kuk2 + 2Rehu; vi+ kvk2� kuk2 + 2jhu; vij+ kvk2 � kuk2 + 2kukkvk+ kvk2= (kuk+ kvk)2:
7. z A M E ^ A N I E. eSLI FORMA hu; vi OBLADAET SWOJSTWAMI (I) |
(III), TO RAWENSTWO (�) OPREDELQET POLUNORMU W E.8. w DALXNEJ[EM, GOWORQ O TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTWAH UNITARNOGO PRO-
STRANSTWA, MY WSEGDA IMEEM W WIDU, ^TO RE^X ID�ET O TOPOLOGII, OPREDE-
LQEMOJ NORMOJ (�). oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ^TO SKALQRNOE PROIZWEDENIEQWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ SWOIH PEREMENNYH: ESLI un ! u; vn ! v,
TO hun; vni ! hu; vi.� tAK KAK un ! u, SU]ESTWUET KONSTANTA C > 0 TAKAQ, ^TO kunk � C
(n 2 N). sLEDOWATELXNO, S U^�ETOM P. 4 IMEEM
jhu; vi � hun; vnij = jhu; vi � hun; vi+ hun; vi � hun; vnij� jhu� un; vij+ jhun; v � vnij� kun � uk � kvk+ kunk � kv � vnk ! 0 (n!1): >
244
u P R A V N E N I Q. 9. pUSTX � Rn | NEWYROVDENNYJ J -IZMERIMYJ
KOMPAKT. rAWENSTWO hf; gi �Z
f(x)g(x) dx (f; g 2 C()) OPREDELQET SKA-
LQRNOE PROIZWEDENIE W C().
10. pOKAZATX, ^TO W UNITARNOM PROSTRANSTWE
(i) DLQ POPARNO ORTOGONALXNYH WEKTOROW f1; : : : ; fn :
knXi=1
fik2 =nXi=1
kfik2 (TEOREMA pIFAGORA),
(ii) [RAWENSTWO PARALLELOGRAMMA] DLQ L@BYH WEKTOROW f; g:
kf + gk2 + kf � gk2 = 2(kfk2 + kgk2);
(iii) W NERAWENSTWE P. 4 IMEET MESTO RAWENSTWO TTOGDA u I v LINEJNO
ZAWISIMY,
(iv) RAWENSTWO ku + vk = kuk+ kvk WYPOLNQETSQ TTOGDA u = �v; � � 0
(ESLI v 6= �).
x153. pROSTRANSTWO R2()
1. pUSTX (� Rn) | LOKALXNO J -IZMERIMO. rASSMOTRIM MNOVESTWO
WSEH FUNKCIJ f : ! C , OBLADA@]IH SWOJSTWOM: INTEGRAL
Z
f(x) dx
IMEET NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA OSOBENNOSTEJ, A INTEGRALZ
jf(x)j2 dx SHO-
DITSQ KAK NESOBSTWENNYJ INTEGRAL rIMANA. iZ NERAWENSTWA jf(x)g(x)j �12[jf(x)j2+ jg(x)j2] SLEDUET, ^TO DLQ DWUH FUNKCIJ f I g IZ DANNOGO KLAS-SA SHODITSQ INTEGRAL
Z
f(x)g(x) dx, I POTOMU \TOMU VE KLASSU FUNKCIJ
PRINADLEVIT f+g. tAKIM OBRAZOM, RASSMATRIWAEMYJ KLASS FUNKCIJ QW-
LQETSQ WEKTORNYM PROSTRANSTWOM OTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ SLO-
VENIQ FUNKCIJ I UMNOVENIQ IH NA SKALQR. rAWENSTWO
(�) hf; gi �Zf(x)g(x) dx
245
OPREDELQET NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FORMU, OBLADA@]U@, O^E-
WIDNO, SWOJSTWAMI (I) | (III), I W SILU 152.5 IMEET MESTO INTEGRALXNOE
NERAWENSTWO kO[I-bUNQKOWSKOGO
2.
������Z
f(x)g(x) dx
������ � [Z
jf(x)j2 dx]1=2[Z
jg(x)j2 dx]1=2,
A TAKVE INTEGRALXNOE NERAWENSTWO {WARCA (SM. 152.7)
3. [
Z
[f(x) + g(x)]2 dx]1=2 � [
Z
jf(x)j2 dx]1=2 + [
Z
jg(x)j2dx]1=2.
4. fAKTORIZUQ (METODOM x150) NA[E WEKTORNOE PROSTRANSTWO PO PO-LUNORME kfk2 � [
Z
jf(x)j2 dx]1=2, PRID�EM K NORMIROWANNOMU PROSTRANST-
WU R2(), \LEMENTY KOTOROGO | KLASSY FUNKCIJ RASSMOTRENNOGO WY[E
WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. pRI^�EM FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU
KLASSU TTOGDA
Z
jf(x)� g(x)j2dx = 0. dOPUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GO-
WORITX O KLASSAH FUNKCIJ KAK O FUNKCIQH. iTAK, R2() | UNITARNOE
PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM (�).5. z A M E ^ A N I E. eSLI OGRANI^ENO I J -IZMERIMO, TO R2() �
R1() f� 2 R2(), I DLQ f 2 R2() (SM. P. 2):Z
jf(x)j dx =
Z
jf(x)�(x)j dx � [
Z
jf(x)j2 dx]1=2 �m()1=2 < +1g:
dLQ PROSTRANSTWA R2() TAKVE SPRAWEDLIWA TEOREMA O PLOTNOSTI,
ANALOGI^NAQ DOKAZANNOJ W x151.6. pUSTX (� R
n) LOKALXNO J-IZMERIMO. tOGDA PROSTRANSTWO C00()
PLOTNO W R2() PO NORME k � k2.� pUSTX f 2 R2(), I DLQ OPRED�ELENNOSTI INTEGRAL
Z
jf(x)j2 dx IME-
ET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE 1. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I
N > 0 TAKOWO, ^TOZ
nBN(�)
jf(x)j2 dx < "2=2: nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI,
MOVNO S^ITATX, ^TO N � \ BN (�) NEWYROVDENO. tAK KAK
ZN
jf(x)j2dx
246
OPRED�ELEN KAK INTEGRAL rIMANA, SU]ESTWUET K = supx2N jf(x)j. w SILU
P. 5 I 151.2 SU]ESTWUET ' 2 C00(N ) TAKAQ, ^TO
ZN
jf(x)� '(x)jdx < "2
4K.
pRI \TOM (S U^�ETOM SPOSOBA POSTROENIQ FUNKCII ' W 151.2) MOVNO S^I-
TATX, ^TO supx2N j'(x)j � K, TAK ^TO jf(x) � '(x)j � 2K (x 2 N).
pO\TOMU
ZN
jf(x)� '(x)j2dx � 2K
ZN
jf(x)� '(x)jdx < "2
2:
nAKONEC,
kf � 'k2 = [
Z
jf(x)� '(x)j2 dx]1=2
= [
ZN
jf(x)� '(x)j2 dx+Z
nBN (�)
jf(x)j2dx]1=2 � ": >
x154. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO. pROSTRANSTWO `2
1. uNITARNOE PROSTRANSTWO, POLNOE OTNOSITELXNO NORMY, INDUCIRO-
WANNOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM, NAZYWAETSQ GILXBERTOWYM PROSTRAN-
STWOM (ILI PROSTRANSTWOM gILXBERTA).
|TO O^ENX WAVNYJ DLQ ANALIZA KLASS PROSTRANSTW, DETALXNO IZU^A-
EMYJ POZDNEE. zDESX MY TOLXKO W NEBOLX[OJ STEPENI KOSN�EMSQ SWOJSTW
GILXBERTOWYH PROSTRANSTW.
2. p R I M E R [GILXBERTOWO PROSTRANSTWO `2]. |TO PROSTRANSTWO UVE
WWODILOSX (SM. 92.8). nAPOMNIM, ^TO \LEMENTAMI \TOGO PROSTRANSTWA QW-
LQ@TSQ KOMPLEKSNYE POSLEDOWATELXNOSTI u = (u1; u2; : : :), DLQ KOTORYH1Pi=1juij2 < +1. oTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ
NA SKALQR| \TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO, A FORMA hu; vi � 1Pi=1
uivi (u; v 2`2) OPREDELQET W `2 SKALQRNOE PROIZWEDENIE. pOKAVEM, ^TO UNITARNOE
PROSTRANSTWO `2 QWLQETSQ POLNYM OTNOSITELXNO INDUCIROWANNOJ NORMY
kuk = [1Pi=1juij2]1=2.
247
� pUSTX uk = (u1k; u2k; : : :) (k 2 N) | FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELX-
NOSTX IZ `2, TO ESTX
(1) kuk � usk2 =1Xi=1
juik � uisj2 ! 0 (k; s!1):
sLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO i ^ISLOWAQ POSLEDOWATELX-
NOSTX (uik)k2N FUNDAMENTALXNA I POTOMU SHODITSQ. pUSTX ui � limkuik.
~TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO POLNOTY, NUVNO USTANOWITX:
(2) u = (u1; u2; : : :) 2 `2;
(3) kuk � uk ! 0 (k !1):
w SILU (1) DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET k0 TAKOE, ^TO kuk+p � ukk <" (k > k0; p 2 N), TO ESTX PRI L@BOM FIKSIROWANNOM N
NPi=1juik+p�uikj2 �
kuk+p � ukk2 < "2. uSTREMLQQ p K 1, IMEEMNPi=1jui � uikj2 � "2 (k > k0).
iZ PROIZWOLXNOSTI N TEPERX ZAKL@^AEM, ^TO1Pi=1jui � uikj2 � "2 (k > k0),
TO ESTX u = (u� uk) + uk 2 `2, I (2) USTANOWLENO. oTS@DA VE DLQ L@BOGO
k > k0 ku� ukk2 < "2, TAK ^TO (3) TAKVE IMEET MESTO.>
x155. oRTONORMIROWANNYE SISTEMY WEKTOROW
1. s POMO]X@ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ ESTESTWENNO WWODITSQ PONQ-
TIE ORTOGONALXNOSTI: WEKTORY u; v W UNITARNOM PROSTRANSTWE E NAZYWA-
@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI hu; vi = 0. bOLEE OB]IM OBRAZOM, SISTEMA
WEKTOROW (ej)j2J NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ, ESLI WEKTORY E�E POPARNO OR-
TOGONALXNY. eSLI, KROME TOGO, kejk = 1 (j 2 J), TO SISTEMA NAZYWAETSQ
ORTONORMIROWANNOJ.
pUSTX (ej)j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PROSTRAN-
STWE E I u 2 E PROIZWOLEN. ~ISLA hu; eji NAZYWA@TSQ KO\FFICIENTAMIfURXE WEKTORA u OTNOSITELXNO SISTEMY (ej)j2J . sLEDU@]EE SWOJSTWO PO-KAZYWAET, ^TO KO\FFICIENTY fURXE REALIZU@T NAILU^[EE PRIBLIVENIE
\LEMENTA LINEJNYMI KOMBINACIQMI DANNOJ ORTONORMIROWANNOJ SISTE-
MY.
248
2. pUSTX u 2 E I (ej)j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA. tOGDA DLQ
L@BOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA � � J :
min�ku�X
j2��jejk = ku�X
j2�hu; ejiejk = [kuk2 �X
j2�jhu; ejij2]1=2:
� dLQ PROIZWOLXNYH �j (j 2 �) IMEEMku� P
j2��jejk2 = kuk2 � P
j2�[�jhu; eji + �jhu; eji] + P
j2�j�j j2
= kuk2 + Pj2�
j�j � hu; ejij2 � Pj2�
jhu; ejij2
� kuk2 � Pj2�
jhu; ejij2;
OTKUDA SLEDUET TREBUEMOE.>
3. [nERAWENSTWO pARSEWALQ]. w USLOWIQH P. 2:
Xj2�
jhu; ejij2 � kuk2:
� |TO NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE P. 2. >u P R A V N E N I Q. 4. wSQKAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA LINEJNO
NEZAWISIMA.
5. w USLOWIQH P. 2 ^ISLA hu; eji 6= 0 NE BOLEE ^EM DLQ S^�ETNOGO SEMEJ-
STWA INDEKSOW j. fuKAZANIE: WOSPOLXZUJTESX NERAWENSTWOM pARSEWALQ.g6. pUSTX (ej)j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PRO-
STRANSTWE E. kAVDOMU WEKTORU u 2 E SOPOSTAWIM RQDPj2Jhu; ejiej. bUDEM
S^ITATX PO OPREDELENI@, ^TO W FORMALXNOJ SUMMEPj2Jhu; ejiej PRISUT-
STWU@T LI[X TE SLAGAEMYE, U KOTORYH hu; eji 6= 0. w SILU P. 5 TAKIH
SLAGAEMYH NE BOLEE, ^EM S^�ETNOE ^ISLO, TAK ^TO DEJSTWITELXNO MY IMEEM
DELO S OBY^NYM RQDOM W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE. |TOT RQD NAZY-
WAETSQ RQDOM fURXE \LEMENTA u PO SISTEME (ej)j2J . nAJDEM USLOWIQ, PRI
KOTORYH RQD fURXE \LEMENTA SHODITSQ K \TOMU \LEMENTU PO NORME. bUDEM
NAZYWATX PODMNOVESTWO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA E POLNYM, ESLI
EGO LINEJNAQ OBOLO^KA PLOTNA W E.
7. pUSTX (ej)j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PRO-
STRANSTWE E. tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
249
(A) SISTEMA (ej)j2J POLNA W E;
(B) RQD fURXE PROIZWOLXNOGO \LEMENTA u 2 E SHODITSQ K u:
u =Pj2Jhu; ejiej;
(W) hu; vi = Pj2Jhu; ejihv eji DLQ L@BYH u; v 2 E;
(G) kuk2 = Pj2J
jhu; ejij2 DLQ L@BOGO u 2 E [RAWENSTWO pARSEWALQ].
� (A) ) (B). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. pOKAVEM, ^TO NAJD�ETSQ KONE^NOE
PODMNOVESTWO � � J TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO KONE^NOGO �0 � � : ku �Pj2�0
hu; ejiejk < " (\TO I ESTX SHODIMOSTX RQDAPj2Jhu; ejiej K u). w SILU
POLNOTY (ej)j2J SU]ESTWUET KONE^NOE � � J I �j 2 C (j 2 �) TAKIE, ^TO
ku�Pj2�
�jejk < ". tOGDA DLQ L@BOGO KONE^NOGO �0 � � S U^�ETOM P. 2 IMEEM
ku� Pj2�0
hu; ejiejk = min�j
ku� Pj2�0
�jejk � min�j
ku� Pj2�
�jejk� ku� P
j2��jejk < ":
(B) ) (W). pERENUMERUEM NATURALXNYM INDEKSOM k (PROIZWOLXNYM
OBRAZOM) WSE INDEKSY j 2 J , DLQ KOTORYH hu; eji 6= 0; LIBO hv; eji 6= 0 (SM.
P. 5). tOGDA u = limn
nPk=1hu; ekiek; v = lim
n
nPk=1hv; ekiek. iSPOLXZUQ 152.8,
IMEEM
hu; vi = hlimn
nPk=1hu; ekiek; lim
n
nPs=1hv; esiesi
= limn
nPs;k=1
hu; ekihv esihek; esi = limn
nPk=1hu; ekihv; eki
=1Pk=1hu; ekihv; eki = P
j2Jhu; ejihv; eji:
oTMETIM, ^TO SUMMA W PRAWOJ ^ASTI NA SAMOM DELE NE ZAWISIT OT PO-
RQDKA SLEDOWANIQ SLAGAEMYH, TAK ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (W) SHODITSQ
ABSOL@TNO.
(W) ) (G). pOLOVIM W (W) v = u.
250
(G) ) (A). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I � � J KONE^NO I TAKOWO, ^TOPj2Jn�
jhu; ejij2 < ". tOGDA
ku�Xj2�hu; ejiejk2 =
Xj2Jn�
jhu; ejij2 < ";
TAK ^TO SISTEMA (ej)j2J POLNA.>
8. pONQTIEM, BLIZKIM K POLNOTE SISTEMY, QWLQETSQ E�E ZAMKNUTOSTX:
ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA (ej)j2J NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI
hu; eji = 0 (j 2 J) WLE^�ET u = �.
9. pOLNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA (ej)j2J W UNITARNOM PRO-
STRANSTWE E ZAMKNUTA. eSLI E | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, TO OB-
RATNO | ZAMKNUTAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA POLNA.
� iZ POLNOTY SLEDUET ZAMKNUTOSTX W SILU P. 7(G). oBRATNO, PUSTX E
| GILXBERTOWO PROSTRANSTWO I u 2 E PROIZWOLEN. rQD fURXEPj2Jhu; ejiej
WEKTORA u SHODITSQ W E (W SILU POLNOTY E). pUSTX v =Pj2Jhu; ejiej. tOGDA
hu� v; eji = 0 (j 2 J), OTKUDA u� v = �, I ZNA^IT, u = v: >
10. p R I M E R. sISTEMA ej = (0; : : : ; 0 ; 1 ; 0; : : :) (1 NA j-M MESTE) WEK-
TOROW W `2 QWLQETSQ POLNOJ ORTONORMIROWANNOJ SISTEMOJ. f|TO SLEDUET,NAPRIMER, IZ P. 7 (G).g >
x156. 2�-PERIODI^ESKIE FUNKCII1. fUNKCIQ f : R ! R NAZYWAETSQ 2�-PERIODI^ESKOJ, ESLI f(x) =
f(x + 2�) (x 2 R). bUDEM DLQ TAKOJ FUNKCII OBOZNA^ATX ^EREZ ef FUNK-
CI@, QWLQ@]U@SQ OGRANI^ENIEM f NA OTREZOK [0; 2�] : ef (x) = f(x) (0 �x � 2�). oBRATNO, ESLI NEKOTORAQ FUNKCIQ (x) OPREDELENA NA [0; 2�] I
(0) = (2�), TO \TA FUNKCIQ DOPUSKAET PRODOLVENIE PO PERIODI^NOSTI
DO FUNKCII : R! R. kLASS WSEH 2�-PERIODI^ESKIH FUNKCIJ OBOZNA^IM
^EREZ � I WWED�EM SLEDU@]IE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA FUNKCIJ:
eC = ff 2 � j ef 2 C[0; 2�]g S NORMOJ kfk = max0�x�2�
jf(x)j;fR1 = ff 2 � j ef 2 R1[0; 2�]g S NORMOJ kfk1 =
Z 2�
0jf(x)j dx;
fR2 = ff 2 � j ef 2 R2[0; 2�]g S NORMOJ kfk2 = [Z 2�
0jf(x)j2 dx]1=2
251
(fR1;fR2 MYSLQTSQ KAK PROSTRANSTWA KLASSOW \KWIWALENTNYH FUNKCIJ).
2. z A M E ^ A N I E. iME@T MESTO WKL@^ENIQ: eC � fR2 � fR1. oTMETIM
TAKVE PROSTOE, NO POLEZNOE UTWERVDENIE (!!):
3. dLQ f 2 fR1:Z 2�
0f(t)dt =
Z 2�
0f(t� x)dt =
Z x+2�
xf(t)dt (x 2 R):
x157. tRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE1. sISTEMA FUNKCIJ
(1)1p2�;
1p�cos x;
1p�sin x; : : : ;
1p�cos kx;
1p�sin kx; : : :
QWLQETSQ ORTONORMIROWANNOJ SISTEMOJ W UNITARNOM PROSTRANSTWE
R2[0; 2�] (!!). tRIGONOMETRI^ESKIM RQDOM fURXE FUNKCII f 2 fR2 NA-
ZOW�EM RQD fURXE FUNKCII ef OTNOSITELXNO SISTEMY (1). |TOT RQD OBY^NO
ZAPISYWAETSQ W WIDE
(2) f(x) � a0
2+
1Xk=1
(ak cos kx+ bk sin kx);
GDE
ak =1�
Z 2�
0f(t) cos kt dt (k = 0; 1; 2; : : :),
(3)
bk =1�
Z 2�
0f(t) sin kt dt (k = 1; 2; : : :):
nAPRIMER, ^LEN RQDA fURXE, SOOTWETSTWU@]IJ FUNKCII 1p�cos kx
(k � 1), IMEET WID
�Z 2�
0f(t)
1p�cos kt dt
�� 1p
�cos kx = ak cos kx:
z A M E ^ A N I Q. 2. eSLI f ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA NA OTREZKE [0; 2�],
TO INTEGRALY (3) SHODQTSQ I, SLEDOWATELXNO, FORMALXNYJ RQD (1) MOVNO
SOPOSTAWITX FUNKCII IZ KLASSA fR1 (A NE TOLXKO IZ KLASSA fR2).
252
3. mOVNO RASSMATRIWATX PERIODI^ESKIE FUNKCII S KAKIM-LIBO DRU-
GIM PERIODOM 2!. dELAQ PODSTANOWKU x = u!=�, POLU^IM FUNKCI@ F (u) =
f(u!� ) 2�-PERIODI^ESKU@, ESLI f | 2!-PERIODI^ESKAQ. pO\TOMU W DALX-
NEJ[EM OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM 2�-PERIODI^ESKIH FUNKCIJ.
4. iDEQ PREDSTAWLENIQ FUNKCII f RQDOM fURXE PREDSTAWLQETSQ OSO-
BENNO RAZUMNOJ, KOGDA ESTX OSNOWANIQ S^ITATX f(t) KOORDINATOJ KOLEB-
L@]EJSQ TO^KI (t | WREMQ). rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMU RQDA (1) |
TRIGONOMETRI^ESKIJ POLINOM PORQDKA n:
Sn(t) =a0
2+
nXk=1
(ak cos kt+ bk sin kt) =a0
2+
nXk=1
Ak cos(kt� 'k);
GDE Ak = (a2k+ b2k)
1=2; Ak cos'k = ak; Ak sin'k = bk. iTAK, KOLEBATELXNYJ
PROCESS RASPADAETSQ W SUMMU GARMONIK S AMPLITUDAMI Ak I NA^ALXNYMI
FAZAMI 'k, SOOTWETSTWU@]IMI ^ASTOTAM k.
u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO ESLI f | ^�ETNAQ FUNKCIQ, TO
PREDSTAWLENIE (2) PRIOBRETAET WID
f(x) � a0
2+
1Xk=1
ak cos kx; ak =2
�
Z �
0f(t) cos kt dt:
aNALOGI^NO, ESLI f | NE^�ETNAQ FUNKCIQ, TO
f(x) �1Xk=1
bk sin kx; bk =2
�
Z �
0f(t) sin kt dt:
6. eSLI NEKOTORYJ RQD PO SISTEME FUNKCIJ (1) SHODITSQ K FUNKCII
f RAWNOMERNO NA OTREZKE [0; 2�], TO ON QWLQETSQ E�E TRIGONOMETRI^ESKIM
RQDOM fURXE.
x158. oSCILLQCIONNAQ LEMMA
pUSTX FUNKCIQ f ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA NA R. eSLI RASSMOTRETX
PROIZWEDENIE f(x) cos �x, TO PRI BOLX[IH � \TA FUNKCIQ SILXNO OSCIL-
LIRUET, TAK ^TO PLO]ADI, OGRANI^ENNYE GRAFIKOM FUNKCII, LEVA]IE
WY[E I NIVE OSI OX, KOMPENSIRU@TSQ. tO^NOE UTWERVDENIE TAKOWO:
253
1. eSLI f 2 R1(R), TO
lim�!1
Z +1
�1f(x) cos �x dx = lim
�!1
Z +1
�1f(x) sin �x dx = 0:
� oTMETIM SNA^ALA, ^TO (NIVE PI[EMRWMESTO
R+1�1 )
����Zf(x) sin �x dx
���� = 12 jZ[f(x)� f(x+ �
�)] sin �x dxj
� 12
Zjf(x)� f(x + �
�)j dx:
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I ' 2 C00(R) TAKOWA, ^TO (SM. 151.2)Zjf(x) �
'(x)jdx < "=2. iZ 133.2 SLEDUET, ^TO INTEGRAL J(�) �Zj'(x + �
�) �
'(x)j dx QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ PARAMETRA � (NOSITELX FUNKCII' KOMPAKTEN). pRI \TOM lim
�!1J(�) = lim
�!0
Zj'(x + ��) � '(x)j dx = 0.
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET N > 0 TAKOE, ^TO J(�) < "=2 PRI j�j > N .
pO\TOMU
jZf(x) sin �x dxj � 1
2
Zjf(x+ �
�)� f(x)j dx
� 12
Zjf(x+ �
�)� '(x+ �
�)j dx+ J(�)
+ 12
Zjf(x)� '(x)j dx < " (j�j > N): >
2. s L E D S T W I E. kO\FFICIENTY fURXE ak; bk FUNKCII f 2 fR1
STREMQTSQ K NUL@ PRI k !1.
x159. oCENKA OSTATKA RQDA fURXE1. zAJM�EMSQ TEPERX IZU^ENIEM POWEDENIQ TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA
fURXE.pUSTX f 2 fR1. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMU RQDA fURXE \TOJ FUNK-
CII: Sn(x) =a02 +
nPk=1
(ak cos kx+ bk sin kx). iSPOLXZUQ WYRAVENIQ x157 (3)DLQ KO\FFICIENTOW ak I bk, IMEEM
(1) Sn(x) =12�
Z 2�
0
R 2�0 f(t) dt+
nPk=1
1�
Z 2�
0f(t)[cos kt cos kx
+ sin kt sin kx] dt = 1�
Z 2�
0[12 +
nPk=1
cos k(t� x)]f(t) dt
254
= 1�
Z 2�
0Dn(t� x)f(t) dt;
GDE Dn(s) = 12 +
nPk=1
cos ks = 12 �
sin(n+1
2)s
sins
2
| QDRO dIRIHLE PORQD-
KA n (POSLEDNEE RAWENSTWO W EGO WYRAVENII MOVNO POLU^ITX METODOM,
ISPOLXZOWANNYM W 141.3). zAMETIM, ^TO
(2)1
�
Z 2�
0Dn(s)ds = 1 +
nXk=1
Z 2�
0cos ks ds = 1:
2. pOLU^IM TEPERX UDOBNOE WYRAVENIE DLQ OSTATKA APPROKSIMACII
FUNKCII f E�E ^ASTNOJ SUMMOJfURXE.iZ (1) I (2) IMEEM S U^�ETOM ^�ETNOSTI
QDRA dIRIHLE
Sn(x)� f(x) = 1�
Z 2�
0Dn(u)[f(x+ u)� f(x)] du
= 1�
Z �
0Dn(u)�
2u(f(x)) du;
GDE �2u(f(x)) � f(x + u) � 2f(x) + f(x � u). tAKIM OBRAZOM, WOPROS
O SHODIMOSTI Sn(x) K f(x) SWODITSQ K IZU^ENI@ POWEDENIQ INTEGRALA
Jn = 1�
Z �
0Dn(u)�
2u(f(x)) du. pREOBRAZUEM \TOT INTEGRAL. zAFIKSIRUEM
DLQ \TOGO ^ISLO � (0 < � < �). tOGDA
Jn = 1�
Z �
0( sin nu2 tg(u=2)
+ cos nu2 )�2
u(f(x)) du
= 1�
Z �
0
sin nuu �2
u(f(x)) du + �n(x):
zDESX (WS@DU NIVE MY PI[EMRWMESTO
R+1�1 )
�n(x) =Zcosnu � h(u)�2
u(f(x)) du+Zsin nu � g(u)�2
u(f(x)) du;
g(u) = 1� [
12 tg(u=2)
� 1u ]�(0;�)(u) +
12� � 1
tg(u=2)� �
[�;�](u);
h = 12��[0;�]:
fUNKCII g; h| OGRANI^ENNYE I S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI. w ^ASTNOS-
TI, g; h 2 R1(R). iZ OSCILLQCIONNOJ LEMMY TEPERX SLEDUET, ^TO
�n(x)! 0 (n!1). nAPRIMER,
255
(3)Zsin nu � g(u)�2
u(f(x)) du =Zsin nu � g(u)f(x+ u) du
� 2f(x)Zsin nu � g(u) du+
Zsin nu � g(u)f(x� u) du.
tAK KAK supp(g) = [0; �], FUNKCIQ g(u)f(x + u) 2 R1(R) (PO PEREMENNOJ
u). pO\TOMU (158.2)Zsin nu � g(u)f(x+u) du! 0. aNALOGI^NO STREMQTSQ
K NUL@ OSTALXNYE INTEGRALY W PRAWOJ ^ASTI (3). pODWED�EM ITOG PRODE-
LANNOJ RABOTY.
3. dLQ FUNKCII f 2 fR1 IMEET MESTO PREDSTAWLENIE
(4) f(x) = Sn(x)� 1
�
Z �
0
sin nu
u�2u(f(x)) du� �n(x);
PRI^�EM �n(x) = o(1) (n!1).
4. z A M E ^ A N I E. w USLOWIQH P. 3 �n(x)! 0 (n ! 1) RAWNOMERNO
NA KAVDOM OTREZKE [a; b], GDE FUNKCIQ f OGRANI^ENA. |TO OZNA^AET RAWNO-
MERNU@ SHODIMOSTX RQDA fURXE NA TAKIH OTREZKAH. nIVE (SM. 164.3) MY
DOKAVEM \TO UTWERVDENIE DLQ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ FUNKCII f .
x160. fUNKCII KLASSA Lip �
1. wOPROS O SHODIMOSTI Sn(x) K f(x), KAK POKAZANO WY[E, SWODITSQ
K IZU^ENI@ POWEDENIQ INTEGRALA W PRAWOJ ^ASTI (4) x159. mY WWED�EM
KLASS FUNKCIJ, DLQ KOTORYH ISSLEDUEMAQ ZADA^A POLU^AET IS^ERPYWA@-
]EE RE[ENIE. sKAVEM, ^TO FUNKCIQ f : [a; b] ! R PRINADLEVIT KLASSU
Lip� (0 < � � 1) | KLASSU lIP[ICA S POKAZATELEM �, ESLI SU]ESTWUET
KONSTANTA M > 0 TAKAQ, ^TO
(�) jf(x)� f(y)j �M jx� yj� DLQ L@BYH x; y 2 [a; b]:
oTMETIM, ^TO Lip � � C[a; b] (!!).
p R I M E R Y. 2. eSLI f | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ NA OTREZKE
[a; b], TO f 2 Lip 1. fpUSTX M TAKOWO, ^TO jf 0(t)j �M (a � t � b). tOGDA
jf(x)� f(y)j = jZ x
yf 0(t) dtj �M jx� yj:g
256
3. f(x) = jxj� 2 Lip� NA L@BOM OTREZKE [a; b]. fpOLAGAQ DLQ OPRE-DEL�ENNOSTI 0 < jyj < jxj I OBOZNA^IW t = jxy j, IMEEM
jjxj� � jyj�jjx� yj� � jjxj� � jyj�j
jjxj � jyjj� =t� � 1
(t� 1)�� 1:
pOSLEDNEE NERAWENSTWO W NAPISANNOJ CEPO^KE WERNO DLQ L@BOGO � 2 (0; 1].g4. pUSTX FUNKCIQ f 2 fR1 PRINADLEVIT KLASSU Lip� NA OTREZKE
[a; b]. tOGDA E�E TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE SHODITSQ K f RAWNOMERNO
NA KAVDOM OTREZKE [c; d] � (a; b).
� pRI DOSTATO^NO MALYH u TO^KI WIDA x�u 2 [a; b] DLQ L@BYH x 2 [c; d],
TAK ^TO
j�2u(f(x))j � jf(x+ u)� f(x)j+ jf(x)� f(x � u)j � 2M juj�;
GDE M | KONSTANTA, FIGURIRU@]AQ W (�). w SILU PREDSTAWLENIQ (4)x159IMEEM
jSn(x)� f(x)j � 1� jZ �
0
sin nuu �2
u(f(x)) duj+ j�n(x)j� 2M
�
Z �
0
juj�u du+ j�n(x)j = 2M
�� � �� + j�n(x)j:
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. wYBEREM SNA^ALA � > 0 TAK, ^TOBY 2M�� � �� <
"=2, A ZATEM N TAK, ^TOBY j�n(x)j < "=2 PRI n > N DLQ L@BOGO x 2 [c; d]
(\TO MOVNO SDELATX W SILU 159.4). sLEDOWATELXNO, PRI n > N jSn(x) �f(x)j < " DLQ WSEH x 2 [c; d]: >
5. eSLI f 2 eC | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ (NA [0; 2�]) FUNKCIQ,
TO E�E TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE SHODITSQ K NEJ RAWNOMERNO.
� pUSTX � > 0 PROIZWOLXNO. w SILU P. 2 f 2 Lip 1 I OSTA�ETSQ PRIMENITX
P. 4 K OTREZKAM [a; b] = [��; 2� + �]; [c; d] = [0; 2�]: >
u P R A V N E N I Q. 6. eSLI f 2 C[a; b] I f 0(x) OGRANI^ENA NA (a; b),
TO f 2 Lip 1.
7. kAKOW KLASS FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IJ (�) PRI � > 1?
257
x161. pOLNOTA TRIGONOMETRI^ESKOJ SISTEMY FUNKCIJ
tEPERX MOVNO DOKAZATX POLNOTU TRIGONOMETRI^ESKOJ SISTEMY FUNK-
CIJ (1) x157 W UNITARNOM PROSTRANSTWE R2[0; 2�].
1. (A) sISTEMA FUNKCIJ f1; cosx; sin x; cos 2x; sin 2x; : : :g POLNA W PRO-STRANSTWE eC.
(B) sISTEMA FUNKCIJ f1; cos x; cos 2x; : : :g POLNA W C[0; �], A TAKVEW PODPROSTRANSTWE PROSTRANSTWA eC, SOSTOQ]EM IZ ^�ETNYH FUNKCIJ.
(W) sISTEMA FUNKCIJ fsin x; sin 2x; : : :g POLNA W PROSTRANSTWE
ff 2 C[0; �]jf(0) = f(�) = 0g, A TAKVE W PODPROSTRANSTWE PROSTRAN-STWA eC, SOSTOQ]EM IZ NE^�ETNYH FUNKCIJ.
� dOKAVEM, NAPRIMER, (A). fUNKCIQ f 2 eC RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA
[0; 2�]. sLEDOWATELXNO, DLQ L@BOGO " > 0 NAJD�ETSQ POLIGON (TO ESTX NE-
PRERYWNAQ KUSO^NO-LINEJNAQ FUNKCIQ) 2 eC TAKOJ, ^TO max0�x�2�
jf(x) � (x)j < "=2. kAVDYJ POLIGON QWLQETSQ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ
FUNKCIEJ, I W SILU 160.5 j (x)�Sn(x)j < "=2 (x 2 [0; 2�]) PRI DOSTATO^NO
BOLX[OM n (ZDESX Sn(x) | ^ASTNAQ SUMMA RQDA fURXE DLQ FUNKCII ).
tOGDA DLQ L@BOGO x 2 [0; 2�]
jf(x)� Sn(x)j � jf(x)� (x)j+ j (x)� Sn(x)j < ":
oTS@DA kf � Snk � ", GDE k � k | NORMA W eC: >2. tRIGONOMETRI^ESKAQ SISTEMA FUNKCIJ (1) x157 POLNA W fR2, I SLE-
DOWATELXNO TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE FUNKCII f 2 fR2 SHODITSQ
K \TOJ FUNKCII PO NORME k � k2.� pUSTX f 2 fR2. w SILU 153.6 SU]ESTWUET FUNKCIQ ' 2 eC TAKAQ,
^TO
Z 2�
0jf(x) � '(x)j2 dx < "2. w SILU P. 1 MOVNO PODOBRATX TRIGONO-
METRI^ESKIJ POLINOM Sn(x) TAKOJ, ^TO k' � Snk[0;2�] < "p2�
. zNA^IT,
kf � Snk2 � kf � 'k2 + k'� Snk2 < 2": >
3. [rAWENSTWO pARSEWALQ]. dLQ f 2 fR2
1
�
Z 2�
0jf(x)j2 dx =
a202+
1Xk=1
(jakj2 + jbkj2):
� |TO SLEDSTWIE 155.7(G). >
258
z A M E ^ A N I E. 4. l. kARLESON DOKAZAL (1966), ^TO TRIGONOMETRI-
^ESKIE RQDY fURXE FUNKCIJ IZ fR2 SHODQTSQ P.W.
5. p R I M E R. rASSMOTRIM 2�-PERIODI^ESKU@ FUNKCI@ f(x) TAKU@,
^TO
f(x) =
8<:
1; ESLI 0 < x < �,
�1; ESLI �� < x < 0,
0; ESLI x = 0; ��.w SILU 157.5 ak = 0 (k = 0; 1; : : :); bk = 2
�
Z �
0sin kx dx = � 2
�k((�1)k �
1)(k 2 N). tAKIM OBRAZOM, f(x) = 4� � 1P
k=1
sin(2k � 1)x2k � 1
(x 2 R). rQD W
PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ K f(x) W Rnf0; ��; �2�; : : :g SOGLASNO 160.5. w
OSTALXNYH TO^KAH SHODIMOSTX RQDA K 0 | ZNA^ENI@ FUNKCII f(x) DLQ
x = 0; ��; �2�; : : : | O^EWIDNA.
x162. pOLNOTA SISTEMY POLINOMOW W C[a; b]
1. sISTEMA FUNKCIJ f1; x; x2; : : :g POLNA W C[a; b].2. oPREDELIM SNA^ALA WE]ESTWENNYE POLINOMY Qn(x) STEPENI n (ONI
NAZYWA@TSQ POLINOMAMI ~EBY[EWA) RAWENSTWAMI cosnt = Qn(cos t), TAK
^TO Qn(x) = cos(n arccos x) (n = 0; 1; 2; : : :). w ^ASTNOSTI, Q0(x) = 1,
Q1(x) = x; Q2(x) = 2x2�1. pRI PROIZWOLXNOM n DLQ POLU^ENIQ POLINOMA
Qn MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ TOVDESTWOM
cosnt+ i sin nt = eint = (eit)n = (cos t+ i sin t)n
=nPk=0
in�k�n
k
�cosk t � sinn�k t:
iTAK, KAVDYJ ^�ETNYJ TRIGONOMETRI^ESKIJ POLINOM Tn(t) = a02
+nPk=1
ak cos kt PODSTANOWKOJ t = arccos x, KOTORAQ GOMEOMORFNO OTOBRA-
VAET OTREZOK [0; �] NA OTREZOK [�1; 1], PREOBRAZUETSQ W ALGEBRAI^ESKIJ
POLINOM
Pn(x) = Tn(arccosx) =a0
2+
nXk=1
akQk(x):
oBRATNO, L@BOJ WE]ESTWENNYJ POLINOM Pn(x) = a0 + a1x + : : : + anxn
PODSTANOWKOJ x = cos t PREOBRAZUETSQ W ^�ETNYJ TRIGONOMETRI^ESKIJ PO-
259
LINOM Tn(t) = Pn(cos t) =�02 +
nPk=1
�k cos kt. |TO QSNO, ESLI U^ESTX TOV-
DESTWO
cosk t = (1
2(eit + e�it))k = 2�k
kXs=0
k
s
!ei(2s�k)t = 2�k
kXs=0
k
s
!cos(2s � k)t:
3. pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU P. 1. sLU^AJ 1: [a; b] = [�1; 1]. dLQWSQKOJ f 2 C[�1; 1] FUNKCIQ f(cos t) NEPRERYWNA NA [0; �] I SOGLASNO 161.1SU]ESTWUET TRIGONOMETRI^ESKIJ POLINOM Tn(t) = Pn(cos t) TAKOJ, ^TO
jf(cos t)� Tn(t)j < " PRI WSEH t 2 [0; �]. sLEDOWATELXNO, jf(x)�Pn(x)j < "
PRI WSEH jxj � 1:
sLU^AJ 2 (OB]IJ). pREOBRAZOWANIE x = a + b� a2
(z + 1) PEREWODIT
[�1; 1] W [a; b], FUNKCIQ F (z) = f(a+ b� a2
(z + 1)) NEPRERYWNA NA [�1; 1],ESLI f 2 C[a; b]. pRI \TOM W SILU SLU^AQ 1 SU]ESTWUET ALGEBRAI^ESKIJ
POLINOM Pn(x) TAKOJ, ^TO kF�Pnk[�1;1] < ". oBRA]AQ PODSTANOWKU, IMEEM
kf �Rnk[a;b] < "; GDE Rn(x) � Pn(2(x� a)
b� a� 1):
x163. kOMPLEKSNAQ FORMA RQDA fURXE1. wO MNOGIH OTNO[ENIQH UDOBNA KOMPLEKSNAQ FORMA TRIGONOMETRI-
^ESKOGO RQDA fURXE. ~TOBY POLU^ITX E�E, ZAMETIM, ^TO
ak cos kx+ bk sin kx = ak2 (e
ikx + e�ikx) + bk2i (e
ikx � e�ikx)= cke
ikx + c�ke�ikx;
GDE ck = 12(ak � ibk) =
12�
Z 2�
0f(t)e�ikt dt (k 2 Z). eSLI f | WE]ESTWEN-
NAQ FUNKCIQ, TO ck = c�k. iTAK, PREDSTAWLENIE (2) x157 PREOBRAZUETSQ KKOMPLEKSNOJ FORME RQDA fURXE
f(x) �+1X�1
ckeikx:
rQD W PRAWOJ ^ASTI MOVNO RASSMATRIWATX KAK RQD fURXE FUNKCII f
OTNOSITELXNO ORTONORMIROWANNOJ SISTEMY f(2�)�1=2 � eikxgk2Z, POLNOJ WUNITARNOM PROSTRANSTWE fR2.
260
z A M E ^ A N I Q. 2. rAWENSTWO pARSEWALQ 161.3 PRIOBRETAET WID:
1
2�
Z 2�
0jf(x)j2 dx =
+1X�1
jckj2:
3. w SOOTWETSTWII S WE]ESTWENNOJ FORMOJ RQDA fURXE RQD+1P�1
ckeikx
NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ W TO^KE x, ESLI SU]ESTWUET PREDEL limn
nPk=�n
ckeikx
(PREDEL limn;m!1
nPk=�m
ckeikx MOVET NE SU]ESTWOWATX!).
4. kOMPLEKSNAQ FORMA RQDA fURXE UDOBNA DLQ PERENESENIQ PONQTIQ
RQDA fURXE NA MNOGOMERNYJ SLU^AJ. sISTEMA FUNKCIJ f(2�)�n=2eihk;xi :
k = (k1; :::; kn) 2 Zng QWLQETSQ ORTONORMIROWANNOJ W R2(�) S � = fx =
(x1; : : : ; xn)j � � � xi � �; 1 � i � ng. tAKIM OBRAZOM, KAVDOJ FUNK-
CII f 2 R2(�) (I DAVE FUNKCII f 2 R1(�)) MOVNO SOPOSTAWITX RQDPk2Zn
ckeihk;xi, GDE ck = (2�)�n
Z�
f(u)e�ihk;ui du. nA MNOGOMERNYE RQDY PERE-
NOSQTSQ OSNOWNYE TEOREMY ODNOMERNYH RQDOW fURXE.
x164. oPERACII NAD RQDAMI fURXEdOKAVEM UTWERVDENIQ O WOZMOVNOSTI PO^LENNOGO DIFFERENCIROWA-
NIQ I INTEGRIROWANIQ RQDA fURXE. nAM BUDET UDOBNO POLXZOWATXSQ KOMP-
LEKSNOJ FORMOJ RQDA fURXE.
1. pUSTX f 2 eC | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ I+1P�1
ckeikx | E�E RQD
fURXE. tOGDA f 0(x) � +1P�1
ikckeikx.
� fUNKCIQ f 0(x) KUSO^NO-NEPRERYWNAQ, I, SLEDOWATELXNO, EJ MOVNO SOPO-STAWITX RQD fURXE f 0(x) � +1P
�1c0ke
ikx. nAJD�EM WYRAVENIE DLQ KO\FFICI-
ENTOW c0k. s U^�ETOM 2�-PERIODI^NOSTI f :
c00 =1
2�
Z 2�
0f 0(t) dt =
1
2�[f(2�)� f(0)] = 0;
c0k = 12�
Z 2�
0f 0(t)e�iktdt = 1
2� [e�iktf(t)
���2�0+ ik
Z 2�
0f(t)e�ikt dt]
= ikck: >
261
2. pUSTX ' | KUSO^NO-NEPRERYWNAQ 2�-PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ I
'(x) � +1P�1
c0keikx; c00 = 0. tOGDA DLQ f(x) =
Z x
0'(t) dt:
f(x) =1
2�
Z 2�
0f(t) dt+
+1X�1;k 6=0
c0kikeikx:
� fUNKCIQ f NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ NA [0; 2�] I 2�-PERIODI^ESKAQ,TAK KAK f(2�)� f(0) =
Z 2�
0'(t) dt = 2�c00 = 0. sLEDOWATELXNO, RQD fURXE
FUNKCII f SHODITSQ K f RAWNOMERNO. pRI \TOM k-J KO\FFICIENT fURXE
FUNKCII f RAWEN
12�
Z 2�
0f(t)e�ikt dt = � 1
2�ike�iktf(t)
���2�0+ 1ik� 12�
Z 2�
0f 0(t)e�ikt dt
=c0kik: >
nASKOLXKO BYSTRO SHODITSQ RQD fURXE K FUNKCII? pRIWED�EM OCENKU
OSTATKA PRI DOPOLNITELXNOM PREDPOLOVENII GLADKOSTI.
3. pUSTX f 2 eC NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ I Sn | E�E
^ASTNAQ SUMMA RQDA fURXE. tOGDA kf � Snk � 1p�nkf 0k2, GDE k � k |
NORMA W PROSTRANSTWE eC.� dLQ L@BOGO x 2 R IMEEM, ISPOLXZUQ OBOZNA^ENIQ P. 1,
jf(x)� Sn(x)j = j +1Pk=n+1
(ckeikx + c�ke�ikx)j
� +1Pk=n+1
jc0k
ikeikx � c0�k
ike�ikxj � +1P
k=n+1
1k(jc0kj+ jc0�kj)
� [+1P
k=n+1
1k2]1=2�[2 +1P
k=n+1(jc0kj2 + jc0�kj2)]1=2
��Z +1
n
dxx2
�1=2� 1p
�kf 0k2 = 1p
�nkf 0k2: >
x165. wSPOMOGATELXNAQ LEMMA
dOKAVEM ODNU TEHNI^ESKU@ LEMMU, KOTORAQ NEODNOKRATNO BUDET IS-
POLXZOWANA NIVE.
262
pUSTX f; ' 2 R1(R), A FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH �(s; t) (s; t 2 R)
NEPRERYWNA I OGRANI^ENA. tOGDA �(s) �Z�(s; t)f(t) dt (s 2 R) | NEPRE-
RYWNAQ I OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ. pRI \TOM
(1)
Z'(s) ds
Z�(s; t)f(t) dt =
Zf(t) dt
Z�(s; t)'(s) ds:
� oTMETIM, ^TO W DANNOM SLU^AE OBY^NAQ TEOREMA O NEPRERYWNOSTI IN-
TEGRALA PO PARAMETRU NEPRIMENIMA.
pUSTX K > 0 TAKOWO, ^TO j�(s; t)j � K (s; t 2 R). o^EWIDNO, �(s) |
OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO, f1 2 C00(R) TAKOWA,
^TO kf � f1k1 < "=K (SM. 151.2). pOLOVIM �(s) =
Z[f(t)� f1(t)]�(s; t) dt
I OTMETIM, ^TO
(2) j�(s)j � Kkf � f1k1 < " (s 2 R):
dLQ DOSTATO^NO BOLX[OGO N > 0 : supp(f1) � [�N;N ] I
�(s) =Z N
�N�(s; t)f1(t) dt+ �(s):
1-E SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ
s, OTKUDA SLEDUET NEPRERYWNOSTX �(s). fdEJSTWITELXNO, PUSTX s0 2 R I
"1 > 0 PROIZWOLXNY. sNA^ALA WYBEREM f 2 C00(R) TAK, ^TOBY kf � f1k1 <"13K
, A ZATEM WYBEREM � > 0 TAKOE, ^TO
js� s0j < �) jZ N
�Nf1(t)[�(s; t)� �(s0; t)] dtj < "1
3
(ZDESX supp(f1) � [�N;N ]). s U^�ETOM (2) IMEEM DLQ js� s0j < �:
j�(s)� �(s0)j � jZ N
�Nf1(t)[�(s; t)� �(s0; t)] dtj+ j�(s)j+ j�(s0)j < "1:g
tEPERX MOVNO UTWERVDATX SU]ESTWOWANIE INTEGRALOW W LEWOJ I PRAWOJ
^ASTQH (1). dLQ DOKAZATELXSTWA (1) DOPUSTIM DLQ OPREDEL�ENNOSTI, ^TO
INTEGRALY
Zf(t) dt;
Z'(t) dt IME@T OSOBENNOSTI LI[X W TO^KAH �1.
tREBUEMOE RAWENSTWO SLEDUET IZ WYKLADKI (ASIMPTOTIKA BER�ETSQ PRI
263
N ! +1):
Z'(s) ds
Z�(s; t)f(t) dt =
Z N
�N'(s) ds
Z N
�N�(s; t)f(t) dt+ o(1)
=Z N
�Nf(t)dt
Z N
�N�(s; t)'(s)ds+ o(1)
=Zf(t)dt
Z�(s; t)'(s)ds:
zDESX PERWOE RAWENSTWO SPRAWEDLIWO W SILU OCENKI
jZ
jsj�N'(s) ds
Zjtj�N
�(s; t)f(t) dt+
Zjsj�N
Zjtj�N
+
Zjsj�N
Zjtj�N
j
� K� Zjsj�N
j'(s)j dsZ
jtj�Njf(t)j dt+
Zjsj�N
j'(s)j dsZ
jtj�Njf(t)j dt
+
Zjsj�N
j'(s)j dsZ
jtj�Njf(t)j dt
�= o(1),
A PEREMENA PORQDKA INTEGRIROWANIQ WO 2-M RAWENSTWE WOZMOVNA ZA OT-
SUTSTWIEM OSOBENNOSTEJ NA SOBSTWENNOM OTREZKE W R: >
x166. pONQTIE INTEGRALA fURXE
dLQ FUNKCIJ f 2 R1(R) (ZAWEDOMO NEPERIODI^ESKIH, ESLI f 6= 0) BUDET
POSTROIM KONTINUALXNYJ ANALOG RQDA fURXE | INTEGRAL fURXE.
1. pUSTX f 2 R1(R). tOGDA OPREDELENY INTEGRALY
(1) a(�) � 1
�
Zf(t) cos �t dt; b(�) � 1
�
Zf(t) sin �t dt;
c(�) � 1
2�
Zf(t)e�i�t dt;
| KONTINUALXNYE ANALOGI KO\FFICIENTOW fURXE.
2. a(�); b(�); c(�) | NEPRERYWNYE FUNKCII � I
lim�!1
a(�) = lim�!1
b(�) = lim�!1
c(�) = 0:
� 1-E UTWERVDENIE | SLEDSTWIE x165, 2-E | SLEDSTWIE 158.1. >
264
3. iNTEGRAL
(2) N (x) �Z N
0(a(�) cos�x + b(�) sin �x) d�
NAZYWAETSQ PROSTYM INTEGRALOM fURXE FUNKCII f 2 R1(R). |TO ANALOG
^ASTNOJ SUMMY RQDA fURXE PERIODI^ESKOJ FUNKCII. w SILU P. 2 INTEGRAL
(2) KORREKTNO OPREDEL�EN. oTMETIM KOMPLEKSNU@ FORMU \TOGO INTEGRALA:
N(x) =
Z N
�Nc(�)ei�x d� =
1p2�
Z N
�Nei�x d�
1p2�
Zf(t)e�i�t dt:
nAS BUDET INTERESOWATX WOPROS O SHODIMOSTI PROSTOGO INTEGRALA fU-
RXE K FUNKCII. dLQ \TOGO SNA^ALA POLU^IM UDOBNOE ASIMPTOTI^ESKOE
WYRAVENIE DLQ PROSTOGO INTEGRALA fURXE.
4. dLQ WSQKOJ FUNKCII f 2 R1(R) I L@BOGO � > 0
(3) N (x) =1
�
Z �
��f(x+ t)
sinNt
tdt+ o(1) (N ! +1):
pRI \TOM OSTATOK o(1) STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO NA L@BOM OT-
REZKE [a; b].
� iZ PREDSTAWLENIQ (2) MY IMEEM S U^�ETOM (1)
N (x) = 1�
Z N
0d�
Zf(t) cos �(t� x) dt
= 1�
Zf(t) dt
Z N
0cos�(t� x) d�
= 1�
Zf(t)
sinN(t� x)t� x dt = 1
�
Zf(x+ t)
t sinNtdt
(ZDESX 2-E RAWENSTWO SPRAWEDLIWO W SILU x165). wZQW PROIZWOLXNOE � > 0
I POLOVIW h(t) = 1t f(x+ t)�
(�;+1)(t) (t 2 R), POLU^IM jh(t)j � 1
� jf(x+ t)j,OTKUDA h 2 R1(R), I PO LEMME 158.1
(4) J� =Z +1
�
f(x+ t)
tsinNtdt =
Zh(t) sinNtdt = o(1) (N ! +1):
aNALOGI^NO
Z ��
�1f(x+ t)
t sinNtdt = o(1) (N ! +1). tAKIM OBRAZOM,
IMEET MESTO (3).
265
dLQ DOKAZATELXSTWA POSLEDNEGO UTWERVDENIQ POKAVEM, NAPRIMER, ^TO
INTEGRAL (4) STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO NA OTREZKE [a; b]. pUSTX " > 0
PROIZWOLXNO I � > � TAKOWO, ^TO 1�
Z +1
�+ajf(u)j du < ". tOGDA
J� =Z �
�
f(x+ t)
tsinNtdt+
Z +1
�
f(x+ t)
tsinNtdt:
pOLAGAQ g(t) = 1t �[�;�] W FORMULE (5) x159, ZAKL@^AEM, ^TO DLQ DOSTATO^-
NO BOLX[IH N jZ �
�
f(x+ t)t sinNtdtj < " (a � x � b). wMESTE S \TIM
jZ +1
�
f(x+ t)t sinNtdtj � 1
�
Z +1
�jf(x+ t)j dt � 1
�
Z +1
�+ajf(u)j du < ". oTS@-
DA SLEDUET TREBUEMOE.>
x167. sHODIMOSTX INTEGRALA fURXE1. pUSTX f 2 R1(R) NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ NA KAVDOM OT-
REZKE [a; b] � R FUNKCIQ. tOGDA PROSTOJ INTEGRAL fURXE \TOJ FUNKCII
SHODITSQ K NEJ RAWNOMERNO NA KAVDOM OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ.
�nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TO b�a < 2�.pUSTX [a; b] �(�;�+2�) I ' 2 fR1 TAKOWA, ^TO '(x) = f(x)(� � x < �+2�). oBOZNA^AQ
^EREZ SN(x) ^ASTNU@ SUMMU RQDA fURXE FUNKCII ', ZAPI[EM PROSTOJ
INTEGRAL fURXE N (x) FUNKCII f W WIDE N (x) = SN(x)+[ N(x)�SN(x)].w SILU 160.2 DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO
(1) N (x)� SN(x)! 0 (N ! +1) RAWNOMERNO NA [a; b]:
wYBEREM � > 0 TAKIM, ^TOBY [a� �; b+ �] � (�;� + 2�). tOGDA
(2) '(x+ t) = f(x+ t) PRI x 2 [a; b] I jtj � �:
sLEDOWATELXNO ((4) x159),SN (x) = '(x) + 1
�
Z �
0
sinNuu �2
u('(x)) du+ o(1)
= '(x) + 1�
Z �
0
sinNuu ['(x+ u) + '(x� u)] du
� '(x) 2�
Z �
0
sinNuu du+ o(1)
= 1�
Z �
0
sinNuu ['(x+ u) + '(x� u)] du
+ [1 � 2�
Z N�
0
sin tt dt]'(x) + o(1):
266
iZ 136.3 I NEPRERYWNOSTI ' NA [a; b] 1-E SLAGAEMOE W POSLEDNEM RAWEN-
STWE STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO, OSTATOK TAKVE STREMITSQ K NUL@
RAWNOMERNO NA [a; b] (SM. 159.4). s U^�ETOM (2) IMEEM PRI N ! +1
SN(x) = 1�
Z �
0
sinNuu f(x+ u) du+ 1
�
Z �
0
sinNuu f(x� u)du+ o(1)
= 1�
Z �
0
sinNuu f(x+ u) du+ 1
�
Z 0
��sinNuu f(x+ u) du + o(1)
= N (x) + o(1);
GDE NOWYJ OSTATOK o(1) STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO W SILU SKAZANNOGO
WY[E I 166.4. >
2. s L E D S T W I E. w USLOWIQH P. 1
(3) f(x) = v:p:�
1p2�
Zei�x d�
1p2�
Zf(t)e�i�t dt
!:
3. u P R A V N E N I E. uTWERVDENIE P. 1 DOKAZANO NA SAMOM DELE LI[X
DLQ SLU^AQ, KOGDA N ! +1, PROBEGAQ NATURALXNYE ^ISLA. zAWER[ITE
DOKAZATELXSTWO W OB]EM SLU^AE.
x168. pREOBRAZOWANIE fURXE
1. wWED�EM KLASS Rloc1 LOKALXNO INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ NA ^ISLOWOJ
PRQMOJ: \TOT KLASS SOSTOIT IZ FUNKCIJ f , OBLADA@]IH SWOJSTWOM 8a; b 2R(a < b) ) f 2 R1[a; b]. o^EWIDNO, R1(R) � Rloc
1 . dLQ KAVDOJ FUNKCII
f 2 Rloc1 I TO^KI x 2 R OPREDELENY INTEGRALY
f]N (x) �
1p2�
Z N
�Nf(t)e�ixt dt; f[N(x) �
1p2�
Z N
�Nf(t)eixt dt:
2. z A M E ^ A N I E. f[N(x) = f]N(�x).
3. pREOBRAZOWANIEM fURXE (SOOTWETSTWENNO OBRATNYM PREOBRAZOWA-
NIEMfURXE) FUNKCII f 2 Rloc1 NAZYWAETSQ INTEGRAL (ESLI ON SU]ESTWUET)
(1) f](x) � v.p.1p2�
Zf(t)e�ixt dt:
267
(SOOTWETSTWENNO
(2) f[(x) � v.p.1p2�
Zf(t)eixt dt):
z A M E ^ A N I Q. 4. eSLI OPREDELENO f], TO OPREDELENO f[ (I OBRATNO),
PRI^�EM
f[(x) = f](�x); f](x) = limN!+1
f]N(x); f
[(x) = limN!+1
f[N(x):
5. eSLI f 2 R1(R), TO f]; f[ OPREDELENY, PRI^�EM INTEGRALY (1) I (2)
SHODQTSQ W OBY^NOM SMYSLE (A NE W SMYSLE v.p.).
6. eSLI f 2 R1(R) | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ NA KAVDOM OT-
REZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ FUNKCIQ, TO f(x) = f][(x) = f[](x).
� s U^�ETOM 167.2, PP. 4 I 5
f(x) = limN!+1
1p2�
Z N
�Nei�x d�( 1p
2�
Zf(t)e�i�t dt)
= limN!+1
1p2�
Z N
�Nf](�)ei�x d� = lim
N!+1(f])[N (x)
= f][(x):
dALEE,
f[](x) = limN!+1
12�
Z N
�Ne�i�x d�
Zf(t)ei�t dt
= limN!+1
12�
Z N
�Nei�x d� �
Zf(t)e�i�t dt
= f][(x)
(2-E RAWENSTWO POLU^AETSQ ZAMENOJ � NA �� ). >
7. w ZAKL@^ENIE USTANOWIM INTERESNU@ FORMULU, POKAZYWA@]U@,
^TO PREOBRAZOWANIE fURXE SWODIT OPERACI@ DIFFERENCIROWANIQ K OPE-
RACII UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@. dLQ UDOBSTWA OBOZNA-
^IM ^EREZ x) OPERACI@ UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ W KLASSE
Rloc1 : fx(t) � tf(t) (t 2 R).
268
8. pUSTX f 2 R1(R) | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ NA KAVDOM OT-
REZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ FUNKCIQ I f]x 2 R1(R). tOGDA f GLADKAQ (NA
KAVDOM OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ) I
(3) f 0 = if]x[:� tAK KAK f 2 R1(R), IZ x165 SLEDUET, ^TO f] NEPRERYWNA I PRINADLEVITKLASSU R1(Rn(�1; 1)), POSKOLXKU f]x 2 R1(R). oTS@DA S U^�ETOM NEPRE-
RYWNOSTI f] SLEDUET, ^TO f] 2 R1(R). iZ PP. 6 I 5
f(x) = f][(x) =1p2�
Zf](u)eixu du:
iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA MOVNO DIFFERENCIRO-
WATX PO PARAMETRU:
(4) f 0(x) =ip2�
Zf](u)ueixu du:
dEJSTWITELXNO, PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W (4) NEPRERYWNA PO PEREMEN-
NYM x I u, PRI^�EM jf](u)ueixuj = jf]x(u)j 2 R1(R), I PO PRIZNAKU wEJER-
[TRASSA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (4) SHODITSQ RAWNOMERNO; f 0(x) NEPRE-RYWNA PO x W SILU x165. >
9. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE P. 6 OSTA�ETSQ SPRAWEDLIWYM (WY-
^ISLENIQ OPU]ENY) DLQ KUSO^NO-GLADKIH (NE OBQZATELXNO NEPRERYWNYH)
FUNKCIJ f , IME@]IH KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA:
1
2[f(x+) + f(x�)] = v:p:
�
1p2�
Zei�x d�
� 1p2�
Zf(t)e�i�t dt
�:
10. p R I M E R. pUSTX
f(x) =
8><>:1; ESLI jx� aj < ,
1=2; ESLI jx� aj = ,
0; ESLI jx� aj > .
tOGDA f](x) = ( 2� )1=2e�ixa sin xx , TAK ^TO IZ P. 6 S U^�ETOM P. 9 f(x) =
f( 2� )1=2e�ixa sin xx g[. w DANNOM PRIMERE f FINITNA (TO ESTX supp(f) KOM-
PAKTEN), NO f] UVE NE FINITNA I f] 2 R2(R)nR1(R).
269
|lementy teorii obob}�ennyh
funkcij
x169. wWEDENIEoSNOWY MATEMATI^ESKOJ TEORII OBOB]�ENNYH FUNKCIJ ZALOVENY W
30-E GODY s. l. sOBOLEWYM W SWQZI S RE[ENIEM ZADA^I kO[I DLQ GI-
PERBOLI^ESKIH URAWNENIJ. fRANCUZSKIJ MATEMATIK l. {WARC W NA^ALE
50-H GODOW DAL SISTEMATI^ESKOE IZLOVENIE TEORII OBOB]�ENNYH FUNKCIJ
NA BAZE TOPOLOGI^ESKIH LINEJNYH PROSTRANSTW I UKAZAL RQD WAVNYH PRI-
MENENIJ \TOJ TEORII.
tEHNIKA OBOB]�ENNYH FUNKCIJ DA�ET UDOBNYJ APPARAT DLQ OPISANIQ
RASPREDELENIJ FIZI^ESKIH WELI^IN, WKL@^AQ TAKIE IDEALIZIROWANNYE
PONQTIQ, KAK PLOTNOSTX TO^E^NOGO ZARQDA, INTENSIWNOSTX SILY, PRILO-
VENNOJ K TO^KE I T. D. w DANNOM RAZDELE BUDUT PRIWEDENY LI[X PERWO-
NA^ALXNYE PONQTIQ, SWQZANNYE S IDEEJ OBOB]�ENNOJ FUNKCII, I SOWSEM NE
ZATRONUTY WOPROSY IH PRIMENENIJ.
1. s CELX@ LU^[EGO USWOENIQ IDEI OBOB]�ENNOJ FUNKCII NA^N�EM SO
SLU^AQ, PREDSTAWLQ@]EGO LI[X METODI^ESKIJ INTERES. w \TOM PARAGRA-
FE O = C00(R) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO WE]ESTWENNYH NEPRERYWNYH
FUNKCIJ NA ^ISLOWOJ PRQMOJ S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI. bUDEM NAZY-
WATX O PROSTRANSTWOM OSNOWNYH FUNKCIJ. oPREDELIM SHODIMOSTX W O
SLEDU@]IM OBRAZOM: 'n ! ' ('n; ' 2 O), ESLI
(A) 9[a; b] 8n 2 N (supp('n) � [a; b]),
(B) 'n =) '.
lINEJNYJ FUNKCIONAL � : O! R (SM. 71.1) NAZOW�EM NEPRERYWNYM, ESLI
'n ! ' ('n; ' 2 O) WLE^�ET �('n) ! �('). wSQKIJ TAKOJ FUNKCIONAL
BUDEM NAZYWATX OBOB]�ENNOJ FUNKCIEJ NAD O, A WEKTORNOE PROSTRANSTWO
WSEH LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NA PROSTRANSTWE O NAZOW�EM
PROSTRANSTWOM OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NAD O. oNO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
O0.
2. z A M E ^ A N I E. lINEJNYJ FUNKCIONAL � : O ! R NEPRERYWEN
TTOGDA ON NEPRERYWEN W � , T. E. 'n ! � WLE^�ET �('n)! 0.
pOQSNIM TEPERX, ^TO PRIWED�ENNAQ KONSTRUKCIQ W OPREDEL�ENNOM SMYS-
LE RAS[IRQET KLASS FUNKCIJ Rloc1 .
270
3. kAVDOJ FUNKCII f 2 Rloc1 SOOTWETSTWUET OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ
�f 2 O0, OPREDEL�ENNAQ RAWENSTWOM
(�) �f (') �Zf(x)'(x) dx; ' 2 O:
pRI \TOM UKAZANNOE SOOTWETSTWIE IN_EKTIWNO.
� iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI KORREKTNO OPREDEL�EN (!!) I �f | LINEJNYJ
FUNKCIONAL NA O. uSTANOWIM NEPRERYWNOSTX FUNKCIONALA �f . pUSTX
'n ! � ('n 2 O) I OTREZOK [a; b] TAKOW, ^TO supp('n) � [a; b] (n 2 N).
tOGDA �f ('n)! 0 W SILU OCENKI
j�f ('n)j �Z b
ajf(x)jj'n(x)j dx � k'nk[a;b]
Z b
ajf(x)j dx
S U^�ETOM TOGO, ^TO W SILU (B) 'n =) �.
dOKAVEM IN_EKTIWNOSTX. tAK KAK SOOTWETSTWIE f ! �f LINEJNO PO
f , DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f 6= � WLE^�ET �f 6= 0. iTAK, PUSTX � 6=f 2 Rloc
1 . |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OTREZOK [a; b] � R TAKOJ, ^TO IN-
TEGRAL
Z b
af(x) dx NE IMEET OSOBENNOSTEJ NA [a; b] I
Z b
ajf(x)jdx > 0. sLE-
DOWATELXNO, f NEPRERYWNA P.W. NA [a; b], I ZNA^IT, NAJD�ETSQ x0 2 (a; b)
| TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f , W KOTOROJ f(x0) 6= 0; NAPRIMER,
PUSTX f(x0) > 0. sLEDOWATELXNO, f STROGO POLOVITELXNA W NEKOTOROJ
OKRESTNOSTI (x0 � "; x0 + ") � [a; b]. wOZXM�EM ' 2 O; ' � 0; ^TOBY
supp(') � (x0 � "; x0 + "); '(x0) = 1. w SILU 50.3 POLU^IM �f (') =Z x0+"
x0�"f(x)'(x) dx > 0, TO ESTX �f 6= 0: >
tAKIM OBRAZOM, OSU]ESTWLENO WLOVENIE Rloc1 W O0. oKAZYWAETSQ, PRO-
STRANSTWO O0 [IRE, ^EM Rloc1 : SU]ESTWU@T OBOB]�ENNYE FUNKCII, NE QW-
LQ@]IESQ FUNKCIONALAMI WIDA �f (f 2 Rloc1 ).
4. [�-FUNKCIQ].oPREDELIM FUNKCIONAL � NA PROSTRANSTWE O FORMULOJ
�(') = '(0) (' 2 O). tOGDA 0 6= � 2 O0 (!!). pOKAVEM, ^TO NE SU]ESTWUET
f 2 Rloc1 TAKOJ, ^TO � = �f . pUSTX, NAPROTIW, '(0) =
Zf(x)'(x) dx (' 2
O), GDE f | NEKOTORAQ FUNKCIQ IZ Rloc1 . pOKAVEM TOGDA, ^TO f(x) = 0
P.W. (\TO BUDET OZNA^ATX, ^TO �f = 0 W PROTIWORE^IE S TEM, ^TO � 6= 0).
pUSTX x0(6= 0) | TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . eSLI f(x0) 6= 0, TO
LEGKO PODOBRATX ' 2 O TAK, ^TOBY 0 62 supp(') � (x0� "; x0+ "); '(x0) =
271
1, GDE " > 0 TAKOWO, ^TO sgn f(x) = sgn f(x0) (x 2 (x0 � "; x0 + ")). w
\TOM SLU^AE 0 = '(0) =
Z x0+"
x0�"f(x)'(x) dx 6= 0 | PROTIWORE^IE. tAKIM
OBRAZOM, f(x) = 0 P.W.
5. dLQ OBY^NYH FUNKCIJ f : R! R PO SAMOMU OPREDELENI@ MOVNO
GOWORITX O ZNA^ENII f(x) FUNKCII f W TO^KE x. dLQ \LEMENTA f PRO-
STRANSTWA Rloc1 \TO UVE NE TAK (WSPOMNIM, ^TO f | \TO KLASS FUNKCIJ,
OTLI^A@]IHSQ MEVDU SOBOJ NA MNOVESTWE LEBEGOWOJ MERY NULX). wY-
BRAW FUNKCI@ | PREDSTAWITELQ KLASSA, MOVNO GOWORITX O E�E ZNA^ENIQH
W TO^KAH. dLQ OBOB]�ENNYH FUNKCIJ UTRA^IWAETSQ I TAKOE PONIMANIE.
oTMETIM, ODNAKO, ^TO PRI RASSMOTRENNOM WY[E WLOVENII Rloc1 W O0 PO
OBOB]�ENNOJ FUNKCII �f MOVNO WOSSTANOWITX ZNA^ENIE f W E�E TO^KAH
NEPRERYWNOSTI. dEJSTWITELXNO, PUSTX x0 | TO^KA NEPRERYWNOSTI f , I
POSLEDOWATELXNOSTX 'n 2 O OPREDELENA USLOWIQMI 'n � 0; supp('n) �(x0 � 1
n; x0 +1n);
R'n(x) dx = 1. tOGDA PO TEOREME O SREDNEM 50.4
�f ('n) =
Z x0+1n
x0� 1n
f(x)'n(x) dx = �n
Z x0+1n
x0� 1n
'n(x) dx = �n;
GDE �n 2 [ infx0� 1
n�x�x0+ 1
n
f(x); supx0� 1
n�x�x0+ 1
n
f(x)]. tAK KAK f NEPRERYWNA W
TO^KE x0, TO �n � f(x0 +1n)! 0 (n! +1). sLEDOWATELXNO,
f(x0) = limnf(x0+
1
n) = lim
n[f(x0+
1
n)��n] + lim
n�n = lim
n�n = lim
n�f ('n):
x170. pROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ D I SwYBOR PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, KAK PRAWILO, DIKTUETSQ ZA-
DA^AMI, KOTORYE PREDPOLAGAETSQ RE[ATX METODAMI TEORII OBOB]�ENNYH
FUNKCIJ.oBY^NO \TO PROSTRANSTWA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH, BYST-
RO UBYWA@]IH NA BESKONE^NOSTI FUNKCIJ. rASSMOTRIM DWA HARAKTERNYH
PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, OGRANI^IW[ISX SLU^AEM FUNKCIJ OD-
NOGO PEREMENNOGO. tOPOLOGI^ESKIE STRUKTURY W NIH BUDEM OPISYWATX W
TERMINAH SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. |TO WOZMOVNO, TAK KAK PRO-
STRANSTWA OBLADA@T 1-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI (SM. 101.7).
1. pROSTRANSTWOM D NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRAN-
STWO FUNKCIJ, ZADANNYH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ
272
DIFFERENCIRUEMYHI OBLADA@]IH KOMPAKTNYMI NOSITELQMI. sHODIMOSTX
W \TOM PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM: POSLEDOWATELXNOSTX 'nD�! �,
ESLI
(A) 9[a; b] 8n 2 N (supp('n) � [a; b]),
(B) '(k)n =) � (n! +1); k = 0; 1; 2; : : :,
TO ESTX POSLEDOWATELXNOSTX 'n STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO WMESTE SO
WSEMI SWOIMI PROIZWODNYMI.
z A M E ^ A N I Q. 2. pROSTRANSTWO D NETRIWIALXNO. nAPRIMER, W DWHODIT FUNKCIQ '(x) = �
(0;1)(x) � expf� 1
x(1� x)g(x 2 R) (!!).
3. fUNKCII
(�) k'kk � supx2R
j'(k)(x)j (k = 0; 1; 2; : : :)
QWLQ@TSQ POLUNORMAMI W D I USLOWIE (B) P. 1 \KWIWALENTNO TOMU, ^TO
k'nkk ! 0 (n! +1) PRI L@BOM k = 0; 1; 2; : : : .
4. pROSTRANSTWOM S (PROSTRANSTWOM BYSTRO UBYWA@]IH NA BESKO-
NE^NOSTI FUNKCIJ) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NE-
OGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ ', ZADANNYH NA ^I-
SLOWOJ PRQMOJ I UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANI@:
k'kk;m � supx2R
(1 + jxjm)j'(k)(x)j < +1 (k;m = 0; 1; 2; : : :):
sHODIMOSTX W PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM:'nS�! �, ESLI k'kk;m !
0 (n! +1); k;m = 0; 1; 2; : : : .
5. z A M E ^ A N I E. sPRAWEDLIWO WKL@^ENIE D � S, KOTOROE SOGLASU-ETSQ SO STRUKTURAMI SHODIMOSTI: 'n
D�! �) 'nS�! �.
u P R A V N E N I Q. 6. pOKAVITE, ^TO POLUNORMY (�) W PROSTRANSTWED QWLQ@TSQ NORMAMI.
7. pOKAVITE, ^TO IME@T MESTO WKL@^ENIQ S � R1(R); R2(R). bOLEE
TOGO, ' 2 S WLE^�ET '(k) 2 R1(R) \ R2(R) (k 2 N).8. sHODIMOSTX W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH FUNKCIJD I S, OPREDEL�ENNAQ
W PP. 1 I 4, ESTESTWENNO SWQZANA S PODHODQ]IMI TOPOLOGIQMI W \TIH PRO-
STRANSTWAH. oPI[ITE BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI ' 2 D (SOOTWETSTWENNO
273
' 2 S) W SOOTWETSTWU@]EJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA D (SOOTWETSTWENNO
PROSTRANSTWA S).
x171. lINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWAH OSNOWNYHFUNKCIJ
1. wS@DU NIVE ^EREZ O OBOZNA^AETSQ ODNO IZ PROSTRANSTW OSNOWNYH
FUNKCIJ D ILI S. oTOBRAVENIE A : O ! O NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM,
ESLI 'nO�! ' WLE^�ET A('n)
O�! A(').
lINEJNOE OTOBRAVENIE A : O ! O NEPRERYWNO TTOGDA A NEPRERYWNO
W TO^KE � (!!). rASSMOTRIM OSNOWNYE PRIMERY LINEJNYH NEPRERYWNYH
OTOBRAVENIJ.
2. oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ. oTOBRAVENIQ
D(N)(') � '(N) (' 2 O; N 2 N)
| NEPRERYWNYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWE O.
� rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ PROSTRANSTWA S. s U^�ETOM 170.3 IME-
EM 'nS�! � ) k'nkk;m ! 0 (k;m = 0; 1; 2; : : :) ) kD(N)'nkk;m =
k'nkk+N;m ! 0 (n! +1): >
rASSMOTRIM TEPERX OPERACI@ UMNOVENIQ NA FUNKCI@.
3. pUSTX : R! R| PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ
FUNKCIQ. oTOBRAVENIE T : D ! D, ZADANNOE RAWENSTWOM (T ')(x) � (x)'(x); ' 2 D, ESTX LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PROSTRAN-STWA D (!!).
~TOBY KORREKTNO OPREDELITX ANALOGI^NU@ OPERACI@ W PROSTRANSTWE
S NAM PONADOBITSQ NEKOTORAQ PODGOTOWKA.
4. bESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@ : R! R NAZOW�EM FUNK-
CIEJ POLINOMIALXNOGO ROSTA, ESLI DLQ L@BOGO k = 0; 1; 2; : : : NAJDUTSQ
m = m(k) 2 N I KONSTANTA C > 0 TAKIE, ^TO j (k)(x)j � C(1+jxjm); x 2 R.5. p R I M E R. wSQKIJ POLINOM QWLQETSQ FUNKCIEJ POLINOMIALXNOGO
ROSTA.
� dOSTATO^NO USTANOWITX OCENKU ja0 + a1x + : : : + anxnj � C(1 + jxjn).
uTWERVDENIE WERNO PRI n = 0. pUSTX ONO WERNO DLQ POLINOMOW STEPENI
274
� n� 1: tOGDA DLQ p(x) = a0 + a1x+ : : :+ anxn IMEEM
jp(x)j � ja0 + a1x+ : : :+ an�1xn�1j+ janjjxjn � C(1 + jxjn�1)+ janj(1 + jxjn) � C1(1 + jxjn);
GDE C1 = maxfjanj; 2Cg: >6. pUSTX | FUNKCIQ POLINOMIALXNOGO ROSTA. tOGDA OTOBRAVENIE
(T ')(x) � (x)'(x); ' 2 S, QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRA-
VENIEM PROSTRANSTWA S.� pUSTX k;m| PROIZWOLXNYE NEOTRICATELXNYE CELYE ^ISLA. tOGDA PRI
PODHODQ]IH KONSTANTAH C1; C2 I CELYH mj � 0
(1 + jxjm)( (x)'(x))(k) = (1 + jxjm)j kPj=0
�k
j
� (j)(x)'(k�j)(x)j
� C1
kPj=0
(1 + jxjm)(1 + jxjmj)j'(k�j)(x)j
� C2
kPj=0
(1 + jxjm+mj )j'(k�j)(x)j
� C2
kPj=0
k'kk�j;m+mj:
pUSTX TEPERX 'nS�! �. s U^�ETOM DOKAZANNOGO NERAWENSTWA:
kT ('n)kk;m = supx2R
(1 + jxjm)j( (x)'n(x))(k)j
� C2
kPj=0
k'nkk�j;m+mj! 0 (n! +1): >
7. pREOBRAZOWANIE fURXE ]) | LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE,
BIEKTIWNO OTOBRAVA@]EE S NA S.� pUSTX ' 2 S. tOGDA OPREDELENO E�E PREOBRAZOWANIE fURXE '](x) =1p2�
Z'(t)e�ixt dt, PRI^�EM ']| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ (TAK KAK ' 2 R1(R),
SM. 170.7). pOKAVEM, ^TO '] 2 S. fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOMINTEGRALA, IMEEM DLQ k 2 N:
(1) '](k)(x) =
Z (t)e�ixt dt; GDE (t) =
1p2�
(�it)k'(t):
275
w SILU P. 6 2 S, I ZNA^IT, 2 R1(R), OTKUDA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI
(1) SHODITSQ RAWNOMERNO, TAK ^TO RAWENSTWO (1) SPRAWEDLIWO. iTAK,
OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW. pOSLEDOWATELXNO INTEGRIRUQ PO
^ASTQM W (1), IMEEM
'](k)(x) =1
ix
Z 0(t)e�ixt dt = : : : =
1
(ix)m
Z (m)(t)e�ixt dt;
OTKUDA DLQ L@BYH k;m
(2) k']kk;m = supx2R
(1 + jxjm)j'](k)(x)j �Zj (t)j dt+
Zj (m)(t)j dt < +1:
iTAK, '] 2 S. uSTANOWIM TEPERX, ^TO ]) | NEPRERYWNOE LINEJNOE OTO-
BRAVENIE. pUSTX 'nS�! �, TO ESTX k'nkk;m ! 0 (n ! +1) DLQ L@BYH
k; m. tOGDA
(3) k']nkk;m �Zj n(t)j dt+
Zj (m)n (t)j dt;
GDE n(t) =1p2�
(�it)k'n(t). dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO INTEGRALY W PRA-
WOJ ^ASTI (3) STREMQTSQ K NUL@. dEJSTWITELXNO,
Zj (m)
n (t)j dt =Zj (m)n (t)j(1 + t2) dt
1 + t2
� k nkm;2 �Z
dt1 + t2
! 0 (n! +1):
oSTALOSX UBEDITXSQ W BIEKTIWNOSTI OTOBRAVENIQ ]). s U^�ETOM 168.6
'] = � ) ' = '][ = �[ = �, TO ESTX ]) IN_EKTIWNO. pUSTX ' 2 S PROIZ-
WOLXNO. pOLAGAQ = '[, IMEEM 2 S; ' = ], TAK ^TO ]) S@R_EKTIWNO.>
8. u P R A V N E N I E. pUSTX '0 2 S TAKOWA, ^TO '0(0) = 1. pOKAZATX,
^TO OTOBRAVENIE A0 : S ! S, ZADANNOE RAWENSTWOM
(A0')(t) =
(1t ['(t)� '(0)'0(t)]; ESLI t 6= 0,
'0(0)� '(0)'00(0); ESLI t = 0,
QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM. fuKAZANIE: POKAZATXSNA^ALA, ^TO ' 2 S ) A0' 2 S. dLQ PROWERKI NEPRERYWNOSTI DOSTATO^NO
276
POLU^ITX OCENKU WIDA kA0'kk;m � CnPj=1
k'kkj ;mj. pUSTX, NAPRIMER, k = 0.
zAFIKSIRUEM � > 0. tOGDA PRI jtj � �:
(1 + jtjm)j1t['(t)� '(0)'0(t)]j � 1
�(k'k0;m + j'(0)jk'0k0;m) � C1k'k0;m;
PRI jtj < �:
(1 + jtjm)j1t ['(t) � '(0)'0(t)]j = (1 + jtjm)j1t ['(t)� '(0)
+ '(0)(1 � '0(t))]j � C2[k'k1;0 + k'k0;0];TAK ^TO kA0'k0;m � C(k'k0;m + k'k1;0 + k'k0;0). g
x172. oPREDELENIE OBOB]�ENNOJ FUNKCII
1. pUSTX O | PROSTRANSTWO OSNOWNYH FUNKCIJ. wS@DU NIVE O = DILI S. oBOB]�ENNOJ FUNKCIEJ (NAD O) NAZYWAETSQ NEPRERYWNYJ LINEJ-
NYJ FUNKCIONAL � : O! C . pRI \TOM NEPRERYWNOSTX ESTESTWENNO OZNA-
^AET, ^TO 'nO�! �) �('n)! 0.
nAM BUDET UDOBNO NESKOLXKO IZMENITX OBOZNA^ENIQ: WMESTO �(') BUDEM
PISATX h�; 'i. nA 1-M MESTE W FORME h�; �i STAWITSQ OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ,A NA 2-M | OSNOWNAQ FUNKCIQ, ZNA^ENIE W KOTOROJ WY^ISLQETSQ. sOWO-
KUPNOSTX WSEH OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NAD O BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ O0.w O0 ESTESTWENNO OPREDELQETSQ STRUKTURA KOMPLEKSNOGO WEKTORNOGO PRO-STRANSTWA:
h�1 + �2; 'i � h�1; 'i + h�2; 'i; h��; 'i � �h�; 'i (� 2 C ):zDESX 1-E RAWENSTWO OPREDELQET SUMMU �1 + �2 OBOB]�ENNYH FUNKCIJ, A
2-E | PROIZWEDENIE OBOB]�ENNOJ FUNKCII � NA SKALQR �.
2. z A M E ^ A N I E. S 0 � D0. f pUSTX � 2 S 0; 'n D�! � ('n 2 D). wSILU 170.5 'n
S�! �, OTKUDA h�; 'ni ! 0. gp R I M E R Y. 3. dLQ KAVDOJ FUNKCII f 2 Rloc
1 RAWENSTWO hf; 'i �Zf(x)'(x) dx (' 2 D) OPREDELQET OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ hf; �i NAD D.
4. eSLI f 2 Rloc1 TAKOWA, ^TO PRI NEKOTOROMm 2 N SPRAWEDLIWA OCENKA
jf(x)j � C(1 + jxjm) (x 2 R), TO RAWENSTWO hf; 'i �Zf(x)'(x) dx (' 2 S)
OPREDELQET OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ NAD S.
277
5. rAWENSTWO h�; 'i � '(0) (' 2 S) OPREDELQET OBOB]�ENNU@ FUNK-
CI@ NAD S; ONA NAZYWAETSQ �-FUNKCIEJ dIRAKA. �-FUNKCIQ OBOZNA^AETSQTAKVE SIMWOLOM �(x), I UKAZANNOE WY[E RAWENSTWO ZAPISYWA@T W WI-
DE
Z�(x)'(x) dx = '(0): �-FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ MATEMATI^ESKOE
WYRAVENIE PLOTNOSTI EDINI^NOJ MASSY, SOSREDOTO^ENNOJ W TO^KE x = 0.
eSLI TAKAQ MASSA SOSREDOTO^ENA W TO^KE x = a, MY PRIHODIM K �-FUNKCII
�a � �(x� a), OPREDELQEMOJ RAWENSTWOM h�a; 'i � '(a) (' 2 S).6. pUSTX f(x) = 1
x (x 6= 0). pOLOVIM
(1) hf; 'i = v.p.
Z'(x)
xdx (' 2 D):
oTMETIM, ^TO f 62 Rloc1 , TAK ^TO SITUACIQ OTLI^NA OT RASSMOTRENNOJ
W P. 3. rAWENSTWO (1) OPREDELQET OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ NAD D. fpRAWAQ^ASTX (1) OPREDELENA W SILU PREDSTAWLENIQ
(2) hf; 'i =Z'(x)� '(0)
xdx+ v.p.
Z'(0)
xdx;
ESLI U^ESTX, ^TO INTEGRIROWANIE FAKTI^ESKI WED�ETSQ PO KOMPAKTNOMU
MNOVESTWU | NOSITEL@ FUNKCII '. pUSTX TEPERX 'nD�! � I OTREZOK
[a; b] TAKOW, ^TO supp('n) � [a; b]; n 2 N. eSLI 0 62 [a; b], TO
jhf; 'nij = jZ b
a
'n(x)
xdxj � k'nk0j ln b
aj ! 0 (n! +1):
eSLI 0 2 [a; b], TO IZ (2) IMEEM
jhf; 'nij = jZ b
a'0n(�nx)dxj+ jv.p.
Z b
a
'n(0)
xdxj; j�nj < 1:
iTAK, jhf; 'nij � (b� a)k'nk1 + k'nk0 � j v.p.Z b
a
dxx j ! 0 (n! +1).g
7. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO FUNKCIONAL hf; �i IZ P. 6 QWLQETSQOBOB]�ENNOJ FUNKCIEJ NAD S.
x173. sHODIMOSTX OBOB]�ENNYH FUNKCIJ
1. w WEKTORNOM PROSTRANSTWE O0 OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NAD OSNOW-
NYM PROSTRANSTWOM O WWODITSQ PONQTIE SHODIMOSTI: POSLEDOWATELXNOSTX
278
�n 2 O0 NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K OBOB]�ENNOJ FUNKCII � 2 O0, ESLI
limnh�n; 'i = h�; 'i DLQ L@BOJ ' 2 O. w SOOTWETSTWII S \TIM RQD
1Pk=1
k
IZ OBOB]�ENNYH FUNKCIJ k 2 O0 NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ K OBOB]�ENNOJ
FUNKCII 2 O0, ESLI K SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTXnPk=1
k EGO ^AST-
NYH SUMM.
2. p R I M E R. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX OBY^NYH FUNKCIJ
fn = n�(0;1=n)
(n 2 N). w SILU 172.4 hfn; �i 2 S 0. pRI \TOM DLQ L@BOJ
' 2 S hfn; 'i =Z 1=n
0'(t) dt = '( 1n�n) ! '(0) (n ! +1) (0 < �n < 1).
sLEDOWATELXNO, hfn; �i ! � (n! +1), GDE � | �-FUNKCIQ.
x174. uMNOVENIE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NA BESKONE^NO
DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII
1. pUSTX | PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ
I � 2 D0. tOGDA RAWENSTWO
(�) h �; 'i � h�; 'i
OPREDELQET OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ � NAD D.� fUNKCIONAL h �; �i LINEEN NA D (!!). pUSTX 'n
S�! �. w SILU 171.3
h �; 'ni = h�; 'ni = h�; T 'ni ! 0 (n! +1): >
aNALOGI^NO IMEET MESTO UTWERVDENIE
2. eSLI FUNKCIQ POLINOMIALXNOGO ROSTA, TO RAWENSTWO (�) OPRE-DELQET OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ � NAD S (!!).
3. w ^ASTNOSTI, DLQ (x) � x (x 2 R) I � 2 S 0 POLOVIM �x � �, TAK
^TO �x 2 S0.z A M E ^ A N I Q. 4. dANNOE WY[E OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OBY^NYM
UMNOVENIEM FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI | BESKONE^NO DIFFERENCIRUE-
MAQ FUNKCIQ, TO hf; �i = h f; �i; f 2 Rloc1 .
5. pROIZWEDENIE OBOB]�ENNOJ FUNKCII NA OBOB]�ENNU@ FUNKCI@ OPRE-
DELITX NEWOZMOVNO, ESLI TREBOWATX, ^TOBY \TA OPERACIQ BYLA NEPRERYW-
NOJ I NA KLASSE OBY^NYH FUNKCIJ SOWPADALA BY S OBY^NYM UMNOVENIEM
FUNKCIJ.
279
u P R A V N E N I Q. 6. nAJTI �x.7. nAJTI ( 1x)
x, GDE 1x | OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ IZ 172.6.
x175. dIFFERENCIROWANIE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ
1. pUSTX O = D ILI S. pROIZWODNOJ OBOB]�ENNOJ FUNKCII � 2 O0
NAZYWAETSQ OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ �0, OPREDEL�ENNAQ RAWENSTWOM
h�0; 'i � �h�; '0i; ' 2 O:
dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: �0 | LINEJNYJ FUNKCIONAL, EGO NE-
PRERYWNOSTX SLEDUET IZ 171.2. pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE
WYS[IH PORQDKOW: �(n) � (�(n�1))0 (n = 2; 3; : : :).
oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ OBOB]�ENNYH FUNKCIJ SOGLASUETSQ S
DIFFERENCIROWANIEM OBY^NYH FUNKCIJ.
2. pUSTX f 2 Rloc1 | GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [a; b] � R. tOGDA DLQ
OBOB]�ENNOJ FUNKCII hf; �i 2 D0 IMEET MESTO RAWENSTWO hf; �i0 = hf 0; �i.�pUSTX ' 2 D PROIZWOLXNA. oBOZNA^AQ ^EREZ hf; 'i0 ZNA^ENIE OBOB]�ENNOJFUNKCII hf; �i0 W TO^KE ', IMEEM
hf; 'i0 = �hf; '0i = �Zf(x)'0(x) dx
= �f(x)'(x)j+1�1 +
Zf 0(x)'(x) dx = hf 0; 'i: >
3. z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA ZAME^ATELXNOE OBSTOQTELX-
STWO: WSQKAQ OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA (A ZNA^IT, OBLADAET
PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW!). w ^ASTNOSTI, KAVDAQ FUNKCIQ f 2 Rloc1 ,
BUDU^I NE OBQZATELXNO DIFFERENCIRUEMOJ W OBY^NOM SMYSLE, KAK OB-
OB]�ENNAQ FUNKCIQ UVE DIFFERENCIRUEMA I PRITOM SKOLXKO UGODNO RAZ.
4. pUSTX �n ! � (�n;� 2 O0). tOGDA �0n ! �0. eSLI =
1Pn=1
n
(n; 2 O0), TO 0 =1Pn=1
0n, TO ESTX SHODQ]IJSQ RQD IZ OBOB]�ENNYH
FUNKCIJ MOVNO DIFFERENCIROWATX PO^LENNO.
� dLQ ' 2 O: limnh�0
n; 'i = � limnh�n; '0i = �h�; '0i, TO ESTX �0
n ! �0. 2-EUTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ 1-GO.>
280
p R I M E R Y. 5. nAJD�EM PROIZWODNYE �-FUNKCII:
h�0; 'i = �h�; '0i = �'0(0); h�00; 'i = �h�0; '0i = '00(0); : : : ;
h�(k); 'i = (�1)k'(k)(0):
6. nAJD�EM PROIZWODNU@ OT FUNKCII h\WISAJDA h � �(0;+1)
W SMYSLE
OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NAD S. iMEEM
hh0; 'i = �hh; '0i =Z +1
0'0(x) dx = '(0) (' 2 S);
TAK ^TO hh; �i0 = �.
7. pUSTX f | 2�-PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA PERIODE RAWEN-
STWAMI
f(x) =
(� � x2 ; ESLI 0 < x < 2�,
0; ESLI x = 0; 2� .
e�E RQD fURXE (ON SHODITSQ POTO^E^NO) IMEET WID
(�) f(x) =1Xn=1
sin nx
n:
|TOT RQD SHODITSQ W SMYSLE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ NAD D (!!). pO\TOMU
OBOB]�ENNAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f W SOOTWETSTWII S P. 8 (SM. NIVE)
RAWNA hf; �i0 = h�12 + �
+1P�1
�2�j; �i, TO ESTX
hf; 'i0 = �1
2
Z'(x) dx+ � � X
j2supp(')'(2�j) (' 2 D):
s DRUGOJ STORONY, DIFFERENCIRUQ PO^LENNO RQD (�) SOGLASNO P. 4, IMEEMRAWENSTWO W SMYSLE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ f 0(x) =
1Pn=1
cosnx (RQD W PRAWOJ
^ASTI W SMYSLE OBY^NYH FUNKCIJ RASHODITSQ!).
u P R A V N E N I Q. 8.pUSTX f 2 Rloc1 KUSO^NO-GLADKAQ NA KAVDOM OTREZ-
KE, PRI^�EM f 0(xi+)� f 0(xi�) = hi (i = 1; : : : ; s). tOGDA PROIZWODNAQ FUNK-
CII f W SMYSLE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ IMEET WID hf; �i0 = hf 0+ sPi=1
hi�xi; �i(SM. 175.6).
281
9. nAJTI PREDEL lim"!0+
1x sin
x" W D0.
10. dOKAZATX, ^TO RQDY (A)+1P�1
an�n, (B)1Pn=0
an(�n)(n) SHODQTSQ W D0 PRI
L@BYH an.kAKOE USLOWIE SLEDUET NALOVITX NA an, ^TOBY RQD (A) SHODILSQ
W S 0?11. nAJTI PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ: jxj0; jxj00,
[ (x)h(x)]0 ( | GLADKAQ FUNKCIQ, h | FUNKCIQ h\WISAJDA).
x176. pREOBRAZOWANIE fURXE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ
1. pREOBRAZOWANIEM fURXE (OBRATNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE) OB-
OB]�ENNOJ FUNKCII � 2 S 0 NAZYWAETSQ OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ �] (SOOTWET-STWENNO �[), OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM h�]; 'i � h�; ']i; ' 2 S (SOOT-
WETSTWENNO h�[; 'i � h�; '[i).kORREKTNOSTX OPREDELENIQ SLEDUET IZ TOGO, ^TO ]) : S ! S | LI-
NEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE (171.7). oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA
PREOBRAZOWANIQ fURXE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ.
2. �][ = �[] = �.
3. �n ! � (�n;� 2 S 0)) �]n ! �]; �[n ! �[.
4. oTOBRAVENIQ ]);[ ) : S 0 ! S 0 SUTX BIEKCII.� p. 2: h�][; 'i = h�]; '[i = h�; '[]i = h�; 'i (' 2 S).p. 3:
�n ! �) h�]n; 'i = h�n; ']i ! h�; ']i = h�]; 'i(' 2 S)) �]n ! �]:
p. 4. � 2 S 0 ) � = (�[)] ) ]) | S@R_EKCIQ. �] = F](F;� 2 S 0)) � =
�][ = F][ = F ) ]) | IN_EKCIQ. >
iMEET MESTO ANALOG SWOJSTWA 168.8.
5. dLQ KAVDOJ � 2 S 0 : �0 = i�]x[.� dLQ L@BOJ ' 2 S IMEEM (SM. 168.8)
h�0; 'i = �h�; '0i = �h�; i']x[i:
282
oDNAKO
']x[(t) = 12�
Zeits ds � s
Ze�is�'(�) d� [DELAEM ZAMENU s! �s]
= � 12�
Ze�its ds � s
Zeis�'(�) d� = �'[x](t):
pO\TOMU h�0; 'i = ih�; '[x]i = hi�]x[; 'i (' 2 S): >6. p R I M E R. nAJD�EM PREOBRAZOWANIE fURXE �-FUNKCII:
h�]; 'i = h�; ']i = '](0) =1p2�
Z'(t) dt = h 1p
2�; 'i (' 2 S);
OTKUDA �] = 1p2�
. aNALOGI^NO, �[ = 1p2�
.
x177. pROSTEJ[IE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W KLASSEOBOB]�ENNYH FUNKCIJ
1. rASSMOTRIM PROSTEJ[EE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE
(1) �0 = 0:
bUDEM RE[ATX EGO W PROSTRANSTWE OBOB]�ENNYH FUNKCIJ S 0. wOSPOLXZUEM-SQ REZULXTATOM 176.5. iZ NEGO SLEDUET, ^TO (1) \KWIWALENTNO URAWNENI@
�]x = 0 ILI, ^TO WS�E RAWNO, URAWNENI@
(2) h�]; 'xi = 0 (' 2 S):zAFIKSIRUEM FUNKCI@ '0 2 S TAKU@, ^TO '0(0) = 1: tOGDA KAVDAQ FUNK-
CIQ ' 2 S ODNOZNA^NO PREDSTAWIMA W WIDE ' = x + �'0, GDE | PODHO-
DQ]AQ FUNKCIQ IZ S. fdEJSTWITELXNO, � = '(0) I x = '� �'0, PRI^�EM
2 S W SILU 171.8.g tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE URAWNENIQ (2), UDOWLETWO-
RQ@]EGO \NA^ALXNOMU" USLOWI@ h�]; '0i = 1, NAHODITSQ IZ RAWENSTWA
h�]; 'i = '(0)h�]; '0i; ' 2 S:
iTAK, �] = �, TAK ^TO � = �[ = 1p2�
. mY PRI[LI K UTWERVDENI@
2. oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1) W S 0 IMEET WID � = const.
283
z A M E ^ A N I Q. 3. kAK IZWESTNO, OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1) W
OBY^NYH FUNKCIQH TAKVE � = const. pOSKOLXKU, ODNAKO, KLASS S 0 SU-]ESTWENNO [IRE KLASSA OBY^NYH FUNKCIJ, POLU^ENNYJ WY[E REZULXTAT
ZARANEE NE BYL QSEN.
4. mOVNO BYLO BY RE[ATX URAWNENIE (1) W KLASSE D0. uTWERVDENIE P.2 SOHRANQETSQ I DLQ \TOGO SLU^AQ, PRI^EM IZ NEGO W SILU ZAME^ANIQ 172.2
SLEDUET REZULXTAT P. 2 DLQ S 0.rASSMOTRIM TEPERX BOLEE OB]EE URAWNENIE
(3) �0 = F;
GDE W PRAWOJ ^ASTI STOIT IZWESTNAQ OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ.
5. z A M E ^ A N I E. eSLI RE[ENIE (3) SU]ESTWUET, TO W SILU P. 2 ONO
EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO.
6. uRAWNENIE (3) RAZRE[IMO W S 0.� bERQ PREOBRAZOWANIE fURXE OT OBEIH ^ASTEJ (3) I ISPOLXZUQ 176.5,
POLU^IM �0] = i�]x = F]. oBOZNA^AQ = �]; G = �iF ], PRIHODIM K
\KWIWALENTNOMU URAWNENI@ W PROSTRANSTWE S 0:
(4) x = G:
rE[ENIEM \TOGO URAWNENIQ QWLQETSQ, NAPRIMER, OBOB]�ENNAQ FUNKCIQ ,
ZADANNAQ RAWENSTWOM h; 'i = hG; A0'i (' 2 S), GDE A0 | LINEJNOE
NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE, OPREDEL�ENNOE W 171.8. w SAMOM DELE,
hx; 'i = h; 'xi = hG; A0('x)i = hG; 'i (' 2 S)
(TAK KAK A0('x)(t) = '(t); t 2 R): >
u P R A V N E N I Q. 7. rE[ITX URAWNENIE (1) W D0.
8. nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ �(n) = 0 W S 0.
284
|lementy integrirowaniq pomnogoobraziqm
x178. gLADKIE KRIWYE1. gLADKOJ KRIWOJ W Rn NAZYWAETSQ PARA f ; x : [a; b] ! R
ng ILI,KORO^E, f ; x(�)g, GDE(A) = fx(t)j a � t � bg (� R
n),
(B) WEKTOR-FUNKCIQ x GLADKAQ, PRI^�EM 8t 2 [a; b] (x0(t) 6= 0).
nEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ W Rn NAZYWAETSQ PARA f ; x(�)g,PRI^�EM UDOWLETWORQ@TSQ TREBOWANIQ (A) I
(B0 ) WEKTOR-FUNKCIQ x NEPRERYWNA I SU]ESTWUET RAZLOVENIE �(a =
t0 < t1 < : : : < tk = b) TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO i (1 � i � k) PARA
f i; x : [ti�1; ti]! Rng | GLADKAQ KRIWAQ.
nEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ f ; x : [a; b]! Rng NAZYWAETSQ
ZAMKNUTOJ, ESLI x(a) = x(b). fUNKCI@ x(�) BUDEM NZYWATX PARAMETRI-
ZACIEJ KRIWOJ .
2. gLADKIE KRIWYE f ; x : [a; b]! Rng I fe ; ex : [c; d]! R
ng S^ITA@TSQRAWNYMI, ESLI = e I PARAMETR t, S POMO]X@ KOTOROGO OSU]ESTWLQETSQ
PARAMETRIZACIQ , SWQZAN S PARAMETROM � , PARAMETRIZU@]IM e , DOPUS-TIMYM OBRAZOM, TO ESTX FUNKCIQ t = �(� ) (c � � � d) GLADKAQ, STROGO
MONOTONNAQ I �0(� ) 6= 0 (� 2 [c; d]). w SILU DANNOGO SOGLA[ENIQ ODNA I TA
VE KRIWAQ DOPUSKAET RAZLI^NYE PARAMETRIZACII.
3. wWED�EM SPECIALXNU@ PARAMETRIZACI@ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLAD
KOJ KRIWOJ f ; x : [a; b]! Rng. pUSTX s(t) =
Z t
a[nPi=1
xi0(� )2]1=2d� | DLINA
DUGI NA[EJ KRIWOJ OT NA^ALXNOJ TO^KI a DO PEREMENNOJ TO^KI t (\TA WE-
LI^INA W DANNOM SLU^AE KORREKTNO OPREDELENA). oBOZNA^IM ` = s(b) I ZA-
DADIM OTOBRAVENIE p : [0; `]! Rn. pOLOVIM p(0) = x(a); p(s) � x(t) 2 ,
GDE t 2 [a; b] TAKOWO, ^TO s(t) = s. w ^ASTNOSTI, p(`) = x(b). oTOBRAVE-
NIE p : [0; `] ! Rn PARAMETRIZUET , PRI^�EM f ; x : [a; b] ! R
ng = f ;p : [0; `]! R
ng W SMYSLE P. 2, TAK KAK s0(t) = kx0(t)k > 0 (a � t � b).
285
x179. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
1. pUSTX f ; p : [0; `]! Rng | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ,
PARAMETRIZOWANNAQ DLINOJ DUGI s.pUSTX f : ! R| NEPRERYWNAQ FUNK-
CIQ. kRIWOLINEJNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f WDOLX KRIWOJ
NAZYWAETSQ INTEGRAL
(1)
Z
f �Z `
0f(p(s)) ds:
z A M E ^ A N I Q. 2. eSLI KRIWAQ PARAMETRIZOWANA KAKIM-LIBO PA-
RAMETROM t, OTLI^NYM OT s, TO S U^�ETOM 178.3 I FORMULY ZAMENY PE-
REMENNOJ POLU^IM WYRAVENIE DLQ KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA PO KRIWOJ
f ; x : [a; b]! Rng:
(2)
Z
f =
Z `
0f(p(s)) ds =
Z b
af(x(t))kx0(t)k dt:
3. wELI^INA KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA 1-GO RODA NE ZAWISIT OT NA-
PRAWLENIQ OBHODA KRIWOJ: POLAGAQ � = ` � s; ep(�) = p(` � �), IMEEMZ `
0f(ep(�))d � =
Z 0
`f(p(s)) d(�s) =
Z `
0f(p(s))ds.
4. k KRIWOLINEJNOMU INTEGRALU 1-GO RODA MY PRIHODIM, RE[AQ, NA-
PRIMER, ZADA^U OPREDELENIQ MASSY KRIWOLINEJNOGO STERVNQ S ZADANNOJ
LINEJNOJ PLOTNOSTX@ (PLO]ADX SE^ENIQ STERVNQ S^ITAETSQ POSTOQNNOJ).
pUSTX URAWNENIE STERVNQ ZADANO PARAMETRI^ESKI = f(x(t); y(t); z(t)) ja � t � bg, A PLOTNOSTX OPISYWAETSQ FUNKCIEJ �(x; y; z), OPREDEL�ENNOJ WTO^KAH STERVNQ. wZQW NEKOTOROE RAZLOVENIE �(a = t0 < t1 < : : : < tk =
b), PRIMEM PRIBLIV�ENNO MASSU mi i-GO U^ASTKA STERVNQ, ZAKL@^�ENNOGO
MEVDU TO^KAMI (x(ti�1); y(ti�1); z(ti�1)); (x(ti); y(ti); z(ti)), RAWNOJ mi�=
�(x(�i); y(�i); z(�i))�`i, GDE �i | POKA PROIZWOLXNAQ TO^KA IZ [ti�1; ti], A
�`i =Z ti
ti�1
[x0(t)2+ y0(t)2+ z0(t)2]1=2dt | DLINA \TOGO U^ASTKA. pO TEOREME
O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA �i 2 [ti�1; ti], ^TO �`i = [x0(�i)2 + y0(�i)2 +z0(�i)2]1=2(ti � ti�1). pOLAGAQ �i = �i, POLU^IM
m �=kXi=1
mi =kXi=1
�(x(�i); y(�i); z(�i))[x0(�i)2 + y0(�i)2 + z0(�i)2]1=2(ti � ti�1):
286
w KA^ESTWE TO^NOGO ZNA^ENIQ ISKOMOJ MASSY ESTESTWENNO PRINQTX PREDEL
m = limd(�)!0
Xmi =
Z b
a�(x(t); y(t); z(t))kx0(t)k dt =
Z
�:
5. p R I M E R. wY^ISLIMZ
px, GDE | ^ASTX KRIWOJ x = y2,
ZAKL@^�ENNAQ MEVDU TO^KAMI (1;�1); (1; 1). kAK ^A]E WSEGO SLU^AETSQ
NA PRAKTIKE, KRIWAQ ZADA�ETSQ E�E GEOMETRI^ESKIM OBRAZOM , A PARAMET-
RIZACI@ SLEDUET PODOBRATX. oTMETIM, ^TO PARAMETROM x PARAMETRI-
ZOWATX WS@ KRIWU@ W DANNOM SLU^AE NELXZQ ( NE QWLQETSQ GRAFIKOM
FUNKCII WIDA y = f(x)). kRIWU@ MOVNO PARAMETRIZOWATX PEREMENNOJ
y : x(y) = y2; y(y) = y (�1 � y � 1). iMEEM f(x; y) =qx(y) = jyj.
iSPOLXZUQ FORMULU (2), POLU^AEM
Z
px =
Z 1
�1jyj(1 + 4y2)1=2 dy = 2
Z 1
0y(1 + 4y2)1=2 dy =
1
6(5p5 � 1):
x180. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA
1. pUSTX W OBLASTI � R3 fZDESX I NIVE POD OBLASTX@ PONIMAET-
SQ OTKRYTOE LINEJNO SWQZNOE MNOVESTWOg ZADANO WEKTORNOE POLE a (TO
ESTX ZADANO OTOBRAVENIE a : ! R3). |TO MOVET BYTX, NAPRIMER, SI-
LOWOE POLE ILI POLE TQGOTENIQ. ~TOBY SMESTITX MATERIALXNU@ TO^KU S
KOORDINATAMI (x1; x2; x3) 2 NA MALYJ WEKTOR h = (h1; h2; h3), NUVNO
SOWER[ITX \\LEMENTARNU@" RABOTU
W\L. = ha(x); hi = a1(x)h1 + a2(x)h2 + a3(x)h3:
pUSTX NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ f ; r : [c; d] ! R3g CELIKOM
LEVIT W (TO ESTX r(t) 2 (c � t � d)), I TREBUETSQ NAJTI RABOTU POLQ
a PO PEREME]ENI@ MATERIALXNOJ TO^KI WDOLX KRIWOJ OT TO^KI r(c) DO
TO^KI r(d) W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ PARAMETRA t. bUDEM PREDPOLAGATX
WEKTORNOE POLE NEPRERYWNYM. rASSMOTRIM NEKOTOROE RAZLOVENIE �(c =
t0 < t1 < : : : < tN = d). tOGDA PRIBLIV�ENNOE ZNA^ENIE ISKOMOJ RABOTY
287
W =NPj=1ha(r(tj�1)); r(tj)� r(tj�1)i �
NPj=1ha(r(�j)); r0(�j)(tj � tj�1)i;
tj�1 � �j � tj:
uSTREMLQQ d(�) K 0, POLU^IM W =Z d
cha(r(t)); r0(t) dti (W SILU NEPRE-
RYWNOSTI a ZAMENY a(r(tj�1))! a(r(�j)) KORREKTNY; ODNAKO MY OPUSKAEM
DETALI WYKLADOK).
2. pOLU^ENNOE WYRAVENIE MOVNO PEREPISATX INA^E. iMEEM S U^�ETOM
179.2
W =
Z d
cha(r(t)); r0(t)
kr0(t)k � kr0(t)k dti =
Z
ha; �i;
GDE �(t) | ORT KASATELXNOJ K KRIWOJ W TO^KE t W NAPRAWLENII WOZRAS-
TANIQ PARAMETRA t. pOLU^ENNYJ INTEGRAL IMEET SPECIFI^ESKU@ OSOBEN-
NOSTX: ON ZAWISIT NE TOLXKO OT WEKTORNOGO POLQ I KRIWOJ, NO I OT WYBORA
NAPRAWLENIQ, W KOTOROM TO^KA DWIVETSQ PO KRIWOJ. eSLI IZMENITX NA-
PRAWLENIE NA PROTIWOPOLOVNOE, TO KASATELXNYJ WEKTOR PEREJD�ET W (��)I, SLEDOWATELXNO, INTEGRAL IZMENIT ZNAK.
3. uKAZANNOE OBSTOQTELXSTWO PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI WWESTI PO-
NQTIE ORIENTACII KRIWOJ | NAPRAWLENIE WOZRASTANIQ PARAMETRA, U^AS-
TWU@]EGO W PARAMETRIZACII KRIWOJ. eSLI ODNA I TA VE KRIWAQ PARA-
METRIZOWANA DWUMQ WEKTOR-FUNKCIQMI r : [a; b] ! Rn I er : [c; d] ! R
n, A
t = �(� ) (c � � � d) | FUNKCIQ SWQZI PARAMETROW t (a � t � b) I � , TO
(RAWNYE) KRIWYE f ; r(�)g I f ; er(�)g IME@T ODINAKOWU@ (SOOTWETSTWENNO
PROTIWOPOLOVNU@) ORIENTACI@, ESLI �0(� ) > 0 (c � � � d) (SOOTWET-
STWENNO �0(� ) < 0). dALEE ^EREZ � OBOZNA^AETSQ KRIWAQ , U KOTOROJ
ORIENTACIQ ZAMENENA NA PROTIWOPOLOVNU@.
4. tEPERX SWOEWREMENNO DATX OB]EE OPREDELENIE. pUSTX a(x) =
(a1(x); : : : ; an(x)) (x 2 � Rn) | NEPRERYWNOE WEKTORNOE POLE I
f ; r : [a; b] ! Rng | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ W . kRI-
WOLINEJNYM INTEGRALOM 2-GO RODA OT WEKTORNOGO POLQ a WDOLX ORIENTI-
ROWANNOJ KRIWOJ NAZYWAETSQ WELI^INA
Z
a1(x) dx1 + : : :+ an(x) dxn �Z b
aha(r(t)); r0(t) dti:
288
w SILU SKAZANNOGO W P. 2 \TOT INTEGRAL MOVET BYTX ZAPISAN ^EREZ KRI-
WOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODAZ
a1(x) dx1 + : : :+ an(x) dxn =
Z
ha; �i;
GDE �(t) | KASATELXNYJ ORT K KRIWOJ, WY^ISLENNYJ W TO^KE t. oTS@DA,
W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA OPREDEL�EN
KORREKTNO: EGO WELI^INA NE ZAWISIT OT PARAMETRIZACII KRIWOJ, ESLI SO-
HRANQETSQ E�E ORIENTACIQ. pRI IZMENENII ORIENTACII KRIWOJ INTEGRAL
IZMENQET ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ:Z�
nPi=1
ai(x)d xi = �Z
nPi=1
ai(x) dxi.
z A M E ^ A N I Q. 5. nEPRERYWNU@ KUSO^NO-GLADKU@ ZAMKNUTU@ KRI-
WU@ BUDEM NAZYWATX ZAMKNUTYM KONTUROM. iNTEGRAL PO ZAMKNUTOMU
KONTURU OBY^NO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
I
ha; �i I NAZYWAETSQ CIRKULQCI-EJ WEKTORNOGO POLQ a WDOLX KONTURA .
6.oPREDELENIE KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA OBOB]AETSQ NA SLU^AJ KRI-
WYH , PREDSTAWIMYH W WIDE OB_EDINENIQ KONE^NOGO ^ISLA POPARNO NEPE-
RESEKA@]IHSQ NEPRERYWNYH KUSO^NO-GLADKIH ORIENTIROWANNYH KUSKOW:
=k[i=1
i ( i \ j = ;; i 6= j))Z
ha; �i �kXi=1
Z i
ha; �i:
7. p R I M E R. wY^ISLIMZ
(x2 + 2xy)dy, GDE | WERHNQQ POLOWINA
OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1, PROBEGAEMAQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. pARAMET-
RIZUEM : x = cos t; y = sin t (t 2 [0; �]). wEKTORNOE POLE IMEET WID
a(x; y) = (0; x2 + 2xy) ((x; y) 2 R2). pO\TOMUZ
(x2 + 2xy)dy =Z �
0(cos2 t+ 2 cos t � sin t) cos t dt = 4
3:
x181. pOTENCIALXNYE POLQ1. pUSTX FUNKCIQ u : ! R ((� R
n) | OBLASTX) DIFFERENCIRUEMA
W . tOGDA W OPREDELENO WEKTORNOE POLE
(ru)(x) = (@u
@x1(x); : : : ;
@u
@xn(x)); x 2
289
(ZNAK r ^ITAETSQ \NABLA"). fUNKCIQ u NAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE POTEN-
CIALOM WEKTORNOGO POLQ, A SAMO POLE| POTENCIALXNYM. wEKTORNOE POLE
ru NAZYWA@T GRADIENTOM FUNKCII u I OBOZNA^A@T grad u.
2.p R I M E R.nAPRQV�ENNOSTX E \LEKTRI^ESKOGO POLQ (W R3) TO^E^NOGO
ZARQDA q, POME]�ENNOGO W NA^ALO KOORDINAT, W TO^KE PROSTRANSTWA, IME-
@]EJ RADIUS-WEKTOR r, ZADA�ETSQ FORMULOJ (ZAKON kULONA) E = �q rkrk3 ,
GDE � | KONSTANTA, ZAWISQ]AQ OT WYBORA SISTEMY FIZI^ESKIH EDINIC.
|TO POLE POTENCIALXNO:
E = ru; GDE u(x; y; z) = ��q(x2 + y2 + z2)�1=2:
3. pUSTX a : ! Rn | NEPRERYWNOE WEKTORNOE POLE W OBLASTI .
sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(1) SU]ESTWUET NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ u : ! R
TAKAQ, ^TO a = ru,
(2)
I
ha; �i = 0 DLQ KAVDOGO ZAMKNUTOGO KONTURA � .
� (1) ) (2). pUSTX f ; x : [c; d] ! Rng | ZAMKNUTYJ KONTUR (TO ESTX
x(c) = x(d)). tOGDA
I
ha; �i = "
Z d
c[nPi=1
ai(x(t))xi0(t)] dt = "
Z d
c[nPi=1
@u@xi
(x(t))xi0(t)]dt
= "
Z d
c
ddt[u(x(t))] dt = "[u(x(d))� u(x(c))] = 0
(ZDESX " = �1 W ZAWISIMOSTI OT ORIENTACII ).(2) ) (1). eSLI WYPOLNENO (2), TO INTEGRAL
R ha; �i, GDE | L@BAQ
ORIENTIROWANNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ S NA^ALOM W TO^KE x0 I KONCOM
W TO^KE x1, ZAWISIT LI[X OT TO^EK x0 I x1 I NE ZAWISIT OT SAMOJ KRIWOJ.
dEJSTWITELXNO, ESLI 1 | E]�E ODNA TAKAQ KRIWAQ, TO 2 = � 1 [ |
ZAMKNUTYJ KONTUR I SLEDOWATELXNO,Z 2
ha; �i = 0; OTKUDA
Z
=Z
�Z 2
=Z
� [Z
� 1
+Z
] = �Z
� 1
=Z 1
:
290
zAFIKSIRUEM TO^KU x0 2 I POLOVIM
(�) u(x) =Z
(x0;x)
ha; �i (x 2 );
GDE (x0; x) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ, LEVA-
]AQ W I SOEDINQ@]AQ x0 S x (ONA WSEGDA SU]ESTWUET (!!)), ORIENTIROWAN-
NAQ USLOWIEM, ^TO x0 | E�E NA^ALO. pOKAVEM, ^TO u(x) | POTENCIAL POLQ
a. uBEDIMSQ, NAPRIMER, ^TO @u@x1
(x) = a1(x) (x 2 ). pUSTX x POLU^AET
MALOE SME]ENIE h PO 1-J KOORDINATE I �h = [x; x+he1] | PRQMOLINEJNYJ
OTREZOK S KONCAMI W x I x+he1, ORIENTIROWANNYJ USLOWIEM, ^TO x| EGO
NA^ALO. iZ NEZAWISIMOSTI INTEGRALA (�) OT PUTI IMEEM
u(x+ he1)� u(x) =
Z (x0;x+he1)
�Z
(x0;x)
=
Z (x0;x)[�h
�Z
(x0;x)
=Z
(x0;x)
+Z�h
�Z
(x0;x)
=Z
[x0;x+he1]
ha; �i:
pARAMETRIZUQ OTREZOK [x; x + he1] PARAMETROM t = x1 I ZAME^AQ, ^TO W
\TOM SLU^AE KASATELXNYJ WEKTOR � = "e1 (" = sgn h), IMEEM S U^�ETOM
TEOREMY O SREDNEM:
u(x+ he1)� u(x) =
8>>><>>>:
Z x1+h
x1a1(t; x2; : : : ; xn) dt; ESLI h > 0,Z x1
x1+ha1(t; x2; : : : ; xn) dt; ESLI h < 0,
= a1(x1 + �h; x2; : : : ; xn)h (0 � � � 1):
iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII a1 IMEEM OTS@DA @u@x1
(x) = a1(x): >
x182. rOTOR
1. pUSTX a(x) (x 2 � R3) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTOR-
NOE POLE. rOTOROM POLQ a (OBOZNA^AETSQ rot a ) NAZYWAETSQ WEKTORNOE
POLE
rot a = (@a3
@x2� @a2
@x3;@a1
@x3� @a3
@x1;@a2
@x1� @a1
@x2):
291
dLQ UDOBSTWA ZAPOMINANIQ UDOBNO PREDSTAWLENIE ROTORA W WIDE FOR-
MALXNOGO OPREDELITELQ (KAK \WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ" OPERATORA r =
( @@x1
; @@x2
; @@x3
) NA WEKTOR a(x)):
(rot a)(x) = (r� a)(x) �
��������e1 e2 e3@@x1
@@x2
@@x3
a1(x) a2(x) a3(x)
��������;
GDE fe1; e2; e3g | STANDARTNYJ BAZIS W R3.
2. eSLI NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTORNOE POLE a POTENCI-
ALXNO W OBLASTI (� R3), TO rot a = 0.
� pUSTX a = ru. tOGDA, NAPRIMER,@a3
@x2(x)� @a2
@x3(x) =
@2u(x)
@x2@x3� @2u(x)
@x3@x2= 0: >
oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E, NEWERNO. oDNAKO, ONO SPRAWEDLIWO,
KOGDA | PARALLELEPIPED.
3. eSLI a | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTORNOE POLE W � =
[�1; �1] � [�2; �2]� [�3; �3], PRI^�EM rot a = 0 W �, TO W � POLE a POTEN-
CIALXNO.
� pOLOVIM DLQ (x1; x2; x3) 2 �
u(x1; x2; x3) =Z x1
�1a1(�; �2; �3) d� +
Z x2
�2a2(x1; �; �3)d � +
Z x3
�3a3(x1; x2; �) d�:
tOGDA S U^�ETOM 134.1 IMEEM
@u@x1
(x) = a1(x1; �2; �3) +
Z x2
�2
@a2
@x1(x1; �; �3) d� +
Z x3
�3
@a3
@x1(x1; x2; �) d�
= a1(x1; �2; �3) +
Z x2
�2
@a1
@x2(x1; �; �3) d� +
Z x3
�3
@a1
@x3(x1; x2; �) d�
(MY WOSPOLXZOWALISX USLOWIEM rot a = 0). sLEDOWATELXNO, PO FORMULE
nX@TONA-lEJBNICA IMEEM
@u@x1
(x) = a1(x1; �2; �3) + a1(x1; x2; �3) � a1(x1; �2; �3) + a1(x1; x2; x3)
� a1(x1; x2; �3) = a1(x):
292
aNALOGI^NO @u@x2
(x) = a2(x); @u@x3
(x) = a3(x): >
4. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE P. 3 OSTA�ETSQ SPRAWEDLIWYM DLQ
DOWOLXNO [IROKOGO KLASSA OBLASTEJ, TAK NAZYWAEMYH ODNOSWQZNYH. oB-
LASTX � R3 NAZYWAETSQ ODNOSWQZNOJ, ESLI (GRUBO GOWORQ) KAVDYJ ZA-
MKNUTYJ KONTUR, LEVA]IJ W , MOVNO NEPRERYWNO STQNUTX W TO^KU TAK,
^TO PRI STQGIWANII KONTUR OSTA�ETSQ W . mY NE DA�EM TO^NOGO OPREDELE-
NIQ ODNOSWQZNOJ OBLASTI, OGRANI^IW[ISX SKAZANNYM I DWUMQ PRIMERA-
MI: (A) OBLASTX, ZAKL@^�ENNAQ MEVDU DWUMQ KONCENTRI^ESKIMI SFERAMI,
ODNOSWQZNA, (B) OBLASTX R3n(OSXOZ) NE ODNOSWQZNA.
x183. oRIENTACIQ PLOSKOJ OBLASTI
1. wWED�EM PONQTIE ORIENTACII PLOSKOJ OBLASTI, GRANICEJ KOTOROJ QW-
LQETSQ KONE^NAQ SISTEMA ZAMKNUTYH KONTUROW. zAFIKSIRUEM W R2 PRQMO-
UGOLXNU@ SISTEMU KOORDINAT I NAPRAWLENIE OBHODA EDINI^NOJ OKRUVNOS-
TI S CENTROM W 0, PRI KOTOROM PROHODITSQ KRAT^AJ[IJ PUTX OT POLOVI-
TELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI OX K POLOVITELXNOMU NAPRAWLENI@ OSI OY .
eSLI PRI TAKOM OBHODE TO^KI WNUTRENNOSTI KRUGA OSTA@TSQ SLEWA (SO-
OTWETSTWENNO SPRAWA), BUDEM GOWORITX ^TO NA PLOSKOSTI ZADANA POLOVI-
TELXNAQ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNAQ) ORIENTACIQ (SM. rIS. 24). w SO-
OTWETSTWII S \TIM OBLASTX, GRANICEJ KOTOROJ QWLQETSQ KONE^NAQ SISTEMA
ZAMKNUTYH KONTUROW, NAZYWAETSQ POLOVITELXNO ORIENTIROWANNOJ, ESLI
ORIENTACIQ KONTUROW SOGLASOWANA S ORIENTACIEJ PLOSKOSTI, TO ESTX PRI
POLOVITELXNOJ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNOJ) ORIENTACII PRI DWIVE-
NII WDOLX KONTUROW TO^KI OBLASTI OSTA@TSQ SLEWA (SOOTWETSTWENNO SPRA-
WA). aNALOGI^NO OBLASTX OTRICATELXNO ORIENTIROWANA, ESLI PRI POLO-
VITELXNOJ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNOJ) ORIENTACII PRI DWIVENII
WDOLX KONTUROW TO^KI OBLASTI OSTA@TSQ SPRAWA (SOOTWETSTWENNO SLEWA).
2. pRIWED�ENNOE OPREDELENIE ORIENTACII ^ISLOWOJ PLOSKOSTI MOVET
POKAZATXSQ ISKUSSTWENNYM. kROME TOGO, NE SOWSEM QSNO, KAK EGO OBOB-
]ITX NA PROSTRANSTWA WYS[IH RAZMERNOSTEJ. pRIWED�EM OB]EE OPREDE-
LENIE ORIENTACII PROSTRANSTWA Rn, ^ASTNYM SLU^AEM KOTOROGO QWLQETSQ
RASSMOTRENNYJ PLOSKIJ SLU^AJ.
zADATX ORIENTACI@ W PROSTRANSTWE Rn | \TO, PO OPREDELENI@, UKA-
ZATX W \TOM PROSTRANSTWE UPORQDO^ENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS
fe1; : : : ; eng. eSLI W Rn ZADAN E]�E ODIN TAKOJ BAZIS ff1; : : : ; fng, TO OPRE-
293
DELENA MATRICA [aji ] PEREHODA OT 1-GO BAZISA KO 2-MU (fi =
nPj=1
ajiej; 1 �
j � n). pRI \TOM det[aji ] = �1. dWE ORIENTACII, ZADAWAEMYE BAZISAMIfe1; : : : ; eng I ff1; : : : ; fng, NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI (ILI E]�E GOWORQT,^TO \TI BAZISY ZADA@T W Rn ODINAKOWU@ ORIENTACI@), ESLI det[a
ji ] = 1.
eSLI det[aji ] = �1; TO SOOTWETSTWU@]IE ORIENTACII NAZYWA@TSQ RAZLI^-
NYMI. tAKIM OBRAZOM, W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE Rn IMEETSQ WSEGO DWE
ORIENTACII (ILI 2 KLASSA ORIENTACIJ).
x184. fORMULA gRINA1. oBLASTX � R
2 NAZOW�EM PRAWILXNOJ, ESLI \TO OBLASTX ODNOGO IZ
SLEDU@]IH ^ETYR�EH TIPOW: (1) OBLASTX WIDA, IZOBRAV�ENNOGO NA rIS. 25,
GDE '(x) | STROGO WOZRASTA@]AQ NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ;
(2){(4) POLU^A@TSQ IZ (1) POWOROTAMI SOOTWETSTWENNO NA UGLY�
2; �;
3�
2.
2. [fORMULA gRINA]. pUSTX | PLOSKAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX S
NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ POLOVITELXNO ORIENTIROWANNOJ GRANI-
CEJ , I � =nSi=1
i (i \ j �= ; (i 6= j)), GDE i PRAWILXNY. pUSTX
a(x; y) = (u(x; y); v(x; y)) ((x; y) 2 �) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE
WEKTORNOE POLE. tOGDA
Z Z
(@v
@x� @u
@y) dxdy =
Z
u(x; y) dx+ v(x; y) dy
(GDE SPRAWA STOIT KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA).
� pUSTX SNA^ALA OBLASTX SAMA QWLQETSQ PRAWILXNOJ, TO ESTX QWLQETSQ
OBLASTX@ ODNOGO IZ TIPOW (1) { (4). pROWERKA FORMULY OSU]ESTWLQETSQ
NEPOSREDSTWENNYM PROS^�ETOM. pROWERIM, NAPRIMER, FORMULU DLQ OBLAS-
TI TIPA (1) (SM. rIS. 25). iMEEM
Z Z
(�@u@y
) dxdy = �Z b
adx
Z '(x)
'(a)
@u@y
(x; y) dy
= �Z b
a[u(x; '(x))� u(x; '(a)]dx
=Z b
a[u(x; '(a))� u(x; '(x))] dx:
294
s DRUGOJ STORONY,Z
u(x; y) dx =Z 1
+Z 2
+Z 3
. zDESXZ 2
= 0, TAK KAK
KASATELXNAQ K 2 ORTOGONALXNA OSI OX. u^ASTKI 1; 3 PARAMETRIZUEM
PARAMETROM x (a � x � b). iMEEM
Z 1
u(x; y) dx =
Z b
au(x; '(a))dx;
Z 3
u(x; y)dx
= �Z
� 3
u(x; y)dx = �Z b
au(x; '(x))dx:
sLEDOWATELXNO,
Z Z
(�@u@y
) dxdy =
Z b
au(x; '(a)) dx�
Z b
au(x; '(x)) dx =
Z
u(x; y) dx:
aNALOGI^NO
Z Z
@v@x
dxdy =Z
v(x; y) dy, I FORMULA DOKAZANA.
w OB]EM SLU^AE, KOGDA RAZREZAETSQ NA PRAWILXNYE OBLASTI, OS-
TA�ETSQ ZAMETITX, ^TO DWOJNOJ INTEGRALZ Z
=Pi
Z Zi
. dLQ KAVDOGO KUSKA
Z Zi
=
Z i
, GDE i | ORIENTIROWANNAQ GRANICA KUSKA i. nO SOSEDNIE KUSKI
NA OB]EJ ^ASTI IH GRANIC INDUCIRU@T PROTIWOPOLOVNYE ORIENTACII I
PRI SLOVENII KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW W REZULXTATE OSTANETSQ TOLXKO
INTEGRAL PO GRANICE OBLASTI : >
w KA^ESTWE SLEDSTWIQ OTMETIM FORMULU DLQ WY^ISLENIQ PLO]ADI
PLOSKOJ OBLASTI ^EREZ KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL.
3. dLQ OBLASTI W USLOWIQH P. 2 m() = 12
Z
x dy � y dx.
� pOLOVIM W FORMULE gRINA u(x; y) = �y; v(x; y) = x: >
x185. gLADKIE POWERHNOSTI W R3
1. pUSTX (� R2) | OBLASTX W PROSTRANSTWE PARAMETROW. gLADKOJ
POWERHNOSTX@ W R3 NAZYWAETSQ PARA f�; r : � ! R3g, GDE r(u; v) =
(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) I
295
(A) � = fr(u; v) : (u; v) 2 �g (� R3),
(B) KOORDINATNYE FUNKCII x(u; v); y(u; v); z(u; v) GLADKIE W �, PRI^�EM
(1) jJ(x(u; v); y(u; v))j2+ jJ(y(u; v); z(u; v))j2+jJ(z(u; v); x(u; v))j2 6= 0 ((u; v) 2 ).
z A M E ^ A N I Q. 2. uDOBNO POLXZOWATXSQ WEKTORNOJ ZAPISX@, POLAGAQ
r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k, GDE i; j;k | EDINI^NYE ORTY OSEJ
OX;OY;OZ SOOTWETSTWENNO. w \TOM SLU^AE USLOWIE (B) P. 1 OZNA^AET, ^TO
r0u � r0v �
��������i j k@x@u
@y@u
@z@u
@x@v
@y@v
@z@v
��������6= 0;
GDE OPREDELITELX W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA FORMALXNO RASKRYWA-
ETSQ PO PERWOJ STROKE.wEKTOR r0u�r0v QWLQETSQ WEKTOROM NORMALI K DANNOJPOWERHNOSTI, I TREBOWANIQ, NALOVENNYE NA POWERHNOSTX, OZNA^A@T, ^TO
POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NORMALX@. oTMETIM, ^TO
(2) kr0u � r0vk2 = jJ(x(u; v); y(u; v))j2+ jJ(y(u; v); z(u; v))j2+jJ(z(u; v); x(u; v))j2.
3. eSLI (u0; v0) 2 , TO ODIN IZ OPREDELITELEJ W (1) OTLI^EN OT NULQ.
pUSTX, NAPRIMER, J(x(u0; v0); y(u0; v0)) 6= 0: tOGDA PO TEOREME O SU]ESTWO-
WANII NEQWNOJ FUNKCII SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(u0; v0) � TAKAQ, ^TO
URAWNENIQ x = x(u; v); y = y(u; v) W \TOJ OKRESTNOSTI RAZRE[IMY OTNO-
SITELXNO u; v : u = u(x; y); v = v(x; y). pODSTAWIW \TI WYRAVENIQ W URAW-
NENIE z = z(u; v), POLU^IM, ^TO NEKOTORYJ KUSOK s � � OPISYWAETSQ URAW-
NENIEM z = f(x; y), GDE f(x; y) = z(u(x; y); v(x; y)).iTAK, DLQ L@BOJ TO^KI
(u0; v0) 2 SU]ESTWUET NEKOTORAQ OKRESTNOSTX U(u0; v0) � TAKAQ, ^TO
SOOTWETSTWU@]IJ EJ KUSOK s (IMENNO s = fr(u; v) j (u; v) 2 U(u0; v0)g)BIEKTIWNO OTOBRAVAETSQ NA ODNU IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ.
4. gLADKIE POWERHNOSTI f�; r : � ! R3g I fe�; er : e� ! R
3g S^ITA-@TSQ RAWNYMI, ESLI � = e� I PARAMETRY u; v, OPREDELQ@]IE �, SWQZANY
S PARAMETRAMI �; �, OPREDELQ@]IMI e�, DOPUSTIMYM OBRAZOM, TO ESTX
u = u(�; �); v = v(�; �) ((�; �) 2 e�), PRI^�EM (A) \TO BIEKTIWNOE PRE-
OBRAZOWANIE NA e, (B) u(�; �); v(�; �) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY I
jJ(u; v)j 6= 0:
296
5. p R I M E R. eDINI^NAQ SFERA S W R3 OPREDELQETSQ KOORDINATNYMI
FUNKCIQMI
x = cos' � cos ; y = sin' � cos ;z = sin (0 � ' � 2�; ��=2 � � �=2)
= f('; ) j 0 < ' < 2�; ��=2 < < �=2g):
|TO | GLADKAQ POWERHNOSTX (!!).
x186. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
1. w x125 BYLA POLU^ENA FORMULA DLQ PLO]ADI GLADKOJ POWERHNOSTIW PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH. aNALOGI^NAQ FORMULA MOVET BYTX WY-
PISANA W SLU^AE OB]EGO ZADANIQ POWERHNOSTI. iMENNO, W OBOZNA^ENIQH
185.1{2 PLO]ADX S GLADKOJ POWERHNOSTI f�; r : � ! R3g RAWNA
(1) S =
Z Z
kr0u � r0vk dudv:
� w SILU 185.3 NA[A POWERHNOSTX LOKALXNO MOVET BYTX PARAMETRIZOWANA
PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI. pO\TOMU DOSTATO^NO DOKAZATX (1) DLQ
KUSKA, DOPUSKA@]EGO TAKU@ PARAMETRIZACI@. pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI
POWERHNOSTX PARAMETRIZOWANA KOORDINATAMI x; y. iMEEM (SM. x125)
S =
Z Z0
[1 + (@z
@x)2 + (
@z
@y)2]
1=2dxdy;
GDE FUNKCII x = x(u; v); y = y(u; v) ((u; v) 2 ) ZADA@T DOPUSTIMOE PRE-
OBRAZOWANIE PARAMETROW (u; v) 2 ! (x; y) 2 0. pOLXZUQSX FORMULOJZAMENY PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE, IMEEM
(2) S =
Z Z
[1 + (@z
@x(u; v))2 + (
@z
@y(u; v))2]
1=2jJ(u; v)j dudv:
pROIZWODNYE @z@x
(u; v); @z@y
(u; v) NAHODQTSQ IZ SISTEMY
@z
@u=@z
@x� @x@u
+@z
@y� @y@u;@z
@v=@z
@x� @x@v
+@z
@y� @y@v:
297
iMEEM
@z@x
= 1J(u; v)
�������@z@u
@y@u
@z@v
@y@v
������� =J(z(u; v); y(u; v))
J(u; v);
@z@y
=J(x(u; v); z(u; v))
J(u; v):
pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (2) S U^�ETOM (2) x185, POLU^AEM (1)). >
2. pUSTX f�; r : � ! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX I f : � ! R|
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. tOGDA INTEGRAL
(3)
Z�
f �Z Z
f(x(u; v); y(u; v); z(u; v))kr0u� r0vk dudv
NAZYWAETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f PO PO-
WERHNOSTI �.
z A M E ^ A N I Q. 3. dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: WELI^INA (3) NE ZA-
WISIT OT WYBORA DOPUSTIMOJ PARAMETRIZACII POWERHNOSTI (ISPOLXZUJTE
DLQ \TOGO OBY^NU@ PROCEDURU ZAMENY PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE
(!!)).
4. eSLI POWERHNOSTX � ZADANA W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
URAWNENIEM z = z(x; y) ((x; y) 2 �), TO
Z�
f =Z Z
f(x; y; z(x; y))[1 + (@z
@x)2 + (
@z
@y)2]
1=2dxdy:
x187. pOTOK WEKTORA ^EREZ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTX
1. pUSTX f�; r : � ! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX. iSPOLXZUQ WEK-
TORNU@ ZAPISX, POLOVIM r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j+ z(u; v)k. kAK UVE
OTME^ALOSX (185.2), GLADKAQ POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NOR-
MALX@ r0u � r0v. nORMIRUQ \TOT WEKTOR, POLU^IM ORT NORMALI n(u; v) =r0u � r0vkr0u � r0vk . oTMETIM, ^TO NA SAMOM DELE MOVNO GOWORITX O DWUH NORMA-
LQH �n(u; v), KOTORYM SOOTWETSTWU@T DWE \STORONY" POWERHNOSTI. mOV-
NO, ODNAKO, WSEGDA S^ITATX, ^TO WPEREDI STOIT ZNAK +, TAK KAK (ESLI \TO
NEOBHODIMO) MOVNO POMENQTX MESTAMI PARAMETRY u; v.
298
gLADKAQ POWERHNOSTX f�; rg NAZYWAETSQ ORIENTIROWANNOJ, ESLI NA �ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NORMALI n(�) : � ! R
3. bUDEM PISATX ��
(WMESTO �), ESLI POWERHNOSTX ORIENTIROWANA.
2.pUSTXG(� R3) | OBLASTX, W KOTOROJ ZADANO NEPRERYWNOE WEKTORNOE
POLE
a(x; y; z) = �(x; y; z)i+ �(x; y; z)j+ (x; y; z)k ((x; y; z) 2 G);I W G LEVIT GLADKAQ ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX f��; rg, GDE r(u; v) =x(u; v)i + y(u; v)j+ z(u; v)k, A n(u; v) | SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIQ NOR-
MALI. pOTOKOM WEKTORNOGO POLQ a ^EREZ POWERHNOSTX �� NAZYWAETSQ PO-WERHNOSTNYJ INTEGRAL (1-GO RODA)Z�
ha; ni =Z Z
[�(x; y; z)J(y; z)+ �(x; y; z)J(z; x) + (x; y; z)J(x; y)] dudv
(ZDESX x; y; z| FUNKCII u; v).fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ: ESLI W G IMEET
MESTO STACIONARNOE TE^ENIE VIDKOSTI, a(x; y; z) | E�E SKOROSTX W TO^KE
(x; y; z), TO POTOK SKOROSTI ^EREZ POWERHNOSTX �� | KOLI^ESTWO VIDKOS-
TI, PROHODQ]EE ^EREZ POWERHNOSTX � ZA EDINICU WREMENI W NAPRAWLENII
ORIENTACII �.
x188. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA
1. kAK OTME^ALOSX WY[E (183.2), W PROSTRANSTWE R3 IME@TSQ DWE ORI-
ENTACII. nAZOW�EM ORIENTACI@, OPREDELQEMU@ UPORQDO^ENNYM BAZISOM
i; j; k POLOVITELXNOJ (TERMINOLOGIQ USLOWNAQ), A ORIENTACI@, OPREDELQ-
EMU@ BAZISOM j; i; k | OTRICATELXNOJ. pRI POLOVITELXNOJ ORIENTACII
KRAT^AJ[IJ POWOROT OT OSI OX K OSI OY SOWER[AETSQ PO ^ASOWOJ STREL-
KE, ESLI SMOTRETX WDOLX POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI OZ (rIS. 26).
eSLI TEPERX ZADANA ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX ��, TO MOVNO GOWORITXOB ORIENTACII KONTUROW, OGRANI^IWA@]IH \TU POWERHNOSTX ILI KAKU@-
LIBO E�E ^ASTX. dEJSTWITELXNO, ESLI n0 | NORMALX K ^ASTI �, WYREZAEMOJ
[AROM MALOGO RADIUSA " S CENTROM W TO^KE (x0; y0; z0), TO KONTUR , OGRA-
NI^IWA@]IJ \TOT KUSOK, DOLVEN PROBEGATXSQ PO ^ASOWOJ STRELKE (ESLI
SMOTRETX WDOLX NORMALI n0) (rIS. 27).
2. rASSMOTRIM TEPERX ZADA^U WY^ISLENIQ POTOKA WEKTORA ^EREZ ORIEN-
TIROWANNU@ POWERHNOSTX W DEKARTOWYH KOORDINATAH. pUSTX POWERHNOSTX
299
� BIEKTIWNO PROEKTIRUETSQ NA KAVDU@ IZ TREH KOORDINATNYH PLOSKOS-
TEJ, TO ESTX ONA OPISYWAETSQ L@BYM IZ TR�EH URAWNENIJ:
x = f(y; z); (y; z) 2 �x; �x | PROEKCIQ � NA PLOSKOSTX x = 0;
y = g(z; x); (z; x) 2 �y; �y | PROEKCIQ � NA PLOSKOSTX y = 0;
z = h(x; y); (x; y) 2 �z; �z | PROEKCIQ � NA PLOSKOSTX z = 0:
pUSTX �� | TA VE POWERHNOSTX S FIKSIROWANNOJ ORIENTACIEJ, A ��x; ��y; �
�z
| ORIENTIROWANNYE PROEKCII �� NA SOOTWETSTWU@]IE PLOSKOSTI (OBHOD
KONTURA NA �� OPREDELQET OBHODY NA E�E PROEKCIQH �x; �y; �z I TEM SAMYM
ZADA�ET NA NIH ORIENTACII).
pUSTX a | WEKTORNOE POLE WIDA a(x; y; z) = (x; y; z)k. pARAMETRIZO-
WAW � PARAMETRAMI x I y, IMEEM
(�)Z�
ha; ni = "
Z Z�z
(x; y; h(x; y)) dxdy;
GDE " = +1, ESLI ORIENTACIQ ��z SOGLASOWANA S POLOVITELXNOJ ORIENTACI-EJ PLOSKOSTI XOY (SM. 183.1) I " = �1 | W PROTIWNOM SLU^AE. iNTEGRAL
W PRAWOJ ^ASTI (�) NAZYWAETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM
2-GO RODA OT WEKTORNOGO POLQ a = k PO ORIENTIROWANNOJ POWERHNOSTI
�� I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOMZ��
(x; y; z)dxdy. pODOBNYM OBRAZOM OPREDE-
LQ@TSQ INTEGRALY
Z��
�(x; y; z) dydz;Z��
�(x; y; z) dzdx. tAKIM OBRAZOM, DLQ
OB]EGO WEKTORNOGO POLQ POLU^AEM WYRAVENIE POTOKA ^EREZ OB]IJ PO-
WERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA:
Z�ha; ni =
Z��
�(x; y; z) dydz + �(x; y; z) dzdx+ (x; y; z) dxdy:
x189. fORMULA gAUSSA-oSTROGRADSKOGO
1. pUSTX W OBLASTI G(� R3), OGRANI^ENNOJ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-
GLADKOJ POWERHNOSTX@ �, ZADANO WEKTORNOE POLE
a(x; y; z) = �(x; y; z)i+ �(x; y; z)j+ (x; y; z)k
300
TAKOE, ^TO FUNKCII �; �; WMESTE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI @�@x;@�@y;@ @z
OBLADA@T NEPRERYWNYM PRODOLVENIEM NA G�. dIWERGENCIEJ WEKTORNOGOPOLQ a NAZYWAETSQ FUNKCIQ div a : G� ! R, ZADANNAQ FORMULOJ
(div a)(x; y; z) =@�
@x(x; y; z) +
@�
@y(x; y; z) +
@
@z(x; y; z)
(FORMALXNO div a = hr; ai).2. wWED�EM POLEZNOE W TEHNI^ESKOM OTNO[ENII PONQTIE. nAZOW�EM OB-
LASTX@ TIPA (z) OBLASTX G (SM. rIS. 27), OGRANI^ENNU@ POWERHNOSTQMI
�1 : z = f1(x; y); (x; y) 2 � R2; �2 : z = f2(x; y); (x; y) 2 ;
�3 | BOKOWAQ POWERHNOSTX CILINDRA S OSNOWANIEM I OBRAZU@]IMI,
PARALLELXNYMI OSI OZ. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ OBLASTI TIPA (x) I
(y).
3. pUSTX a(x; y; z) | WEKTORNOE POLE W OBLASTI G, UDOWLETWORQ@-
]EE PREDPOLOVENIQM P. 1, �� | POWERHNOSTX, OGRANI^IWA@]AQ OBLASTX
G I ORIENTIROWANNAQ WNE[NEJ (K OBLASTI G) NORMALX@ n. dOPUSTIM,
^TO SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE G =nSk=1
Gk, GDE Gk | OBLASTI TIPOW
(x); (y); (z) ODNOWREMENNO, I Gi \ Gj�= ; (i 6= j). tOGDA
Z Z ZG
(div a) dxdydz =
Z�
ha; ni:
� pUSTX POLE a TAKOWO, ^TO �(x; y; z) = �(x; y; z) = 0 ((x; y; z) 2 G) I G
QWLQETSQ OBLASTX@ TIPA (z), OPISANNOJ W P. 2. iMEEM TOGDA
Z Z ZG
(div a) dxdydz =
Z Z ZG
@ @z
dxdydz =
Z Z
dxdy
Z f1(x;y)
f2(x;y)
@ @z
dz
=
Z Z
[ (x; y; f1(x; y))� (x; y; f2(x; y))] dxdy
=Z��1
(x; y; z) dxdy +Z��2
(x; y; z) dxdy:
301
tAK KAK DLQ KUSKA POWERHNOSTI ��3 ORT NORMALI n ORTOGONALEN WEKTORU
k;
Z��3
(x; y; z) dxdy = 0. pRIBAWLQQ \TOT INTEGRAL K PRAWOJ ^ASTI POLU-
^ENNOGO RAWENSTWA, IMEEM
Z Z ZG
(div a) dxdydz =Z��
(x; y; z) dxdy;
I UTWERVDENIE DOKAZANO.
pUSTX TEPERX G QWLQETSQ OBLASTX@ TIPOW (x); (y) I (z) ODNOWREMEN-
NO, I WEKTORNOE POLE a UDOWLETWORQET USLOWIQM P. 1. tOGDA DLQ OB]EGO
WEKTORNOGO POLQ S U^�ETOM DOKAZANNOGO WY[E
Z Z ZG
(div a) dxdydz =Z Z ZG
@�@x
dxdydz
+
Z Z ZG
@�@y
dxdydz +
Z Z ZG
@ @z
dxdydz
=Z��
�(x; y; z) dydz + �(x; y; z) dzdx+ (x; y; z) dxdy
=
Z��
� dydz + � dzdx+ dxdy:
nAKONEC, W SAMOM OB]EM SLU^AE RASSMOTRIM PREDSTAWLENIE G =nSk=1
Gk W
USLOWIQH TEOREMY. pO DOKAZANNOMU
Z Z ZGk
(div a) dxdydz =
Z�k
ha; ni;
GDE �k | POWERHNOSTI, OGRANI^IWA@]IE Gk I ORIENTIROWANNYE WNE[NEJ
NORMALX@. tOGDA
Z Z ZG
(div a) dxdydz =nXk=1
Z Z ZGk
(div a) dxdydz =nXk=1
Z�k
ha; ni:
pRI \TOM KAVDAQ IZ POWERHNOSTEJ �k RASPADAETSQ NA KUSKI DWUH TIPOW:
(1) KUSKI, QWLQ@]IESQ ^ASTX@ POWERHNOSTI �, (2) NOWYE KUSKI, WOZNIK-
[IE PRI RAZLOVENII G NA ^ASTI Gk. kUSKI TIPA (2) WSTRE^A@TSQ W SUMME
302
nPk=1
Z�k
ha; ni DWAVDY KAK KUSKI, OGRANI^IWA@]IE SMEVNYE OBLASTI (ONI
SNABVENY PROTIWOPOLOVNYMI ORIENTACIQMI), TAK ^TO SOOTWETSTWU@]IE
POWERHNOSTNYE INTEGRALY WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ I OSTA@TSQ LI[X IN-
TEGRALY PO KUSKAM TIPA (1).
4. s L E D S T W I E. dLQ OBLASTI G W USLOWIQH P. 3
m(G) =1
3
Z��
x dydz + y dzdx + z dxdy:
� k WEKTORNOMU POL@ a(x; y; z) = xi+ yj+ zk PRIMENIM FORMULU P. 2. >
tAKIM OBRAZOM, POLU^ENA FORMULA WY^ISLENIQ OB_EMA OBLASTI ^EREZ
POWERHNOSTNYJ INTEGRAL.
5. z A M E ^ A N I E.iZ FORMULY gAUSSA-oSTROGRADSKOGO USMATRIWAETSQ
FIZI^ESKIJ SMYSL DIWERGENCII. pUSTX W G IMEET MESTO STACIONARNOE
TE^ENIE VIDKOSTI, SKOROSTX KOTOROJ W KAVDOJ TO^KE (x; y; z) 2 G RAWNA
a(x; y; z). pUSTX ��" | POWERHNOSTX [ARA B"(x0; y0; z0), ORIENTIROWANNAQ
WNE[NEJ NORMALX@. iMEEM
Z Z ZB"
(div a) dxdydz =Z�"
ha; ni:
pRAWAQ ^ASTX | KOLI^ESTWO VIDKOSTI, WYTEKA@]EE WNE B" ZA EDINICU
WREMENI. pO TEOREME O SREDNEM (div a)(x1; y1; z1) =1V"� R�"
ha; ni, GDE V" |OB_EM [ARA, A (x1; y1; z1) 2 B"(x0; y0; z0). uSTREMLQQ " K 0, IMEEM
(div a)(x0; y0; z0) = lim"!0
1
V"�Z�"
ha; ni:
tAKIM OBRAZOM, (div a)(x0; y0; z0) | PROIZWODITELXNOSTX ISTO^NIKA W TO^-
KE (x0; y0; z0). w ^ASTNOSTI, ESLI (div a)(x0; y0; z0) < 0, TO W TO^KE IMEET
MESTO STOK.
x190. fORMULA sTOKSA
1. pRIWED�EM SNA^ALA FORMULU ZAMENY PEREMENNYH DLQ INTEGRALOW
PO ORIENTIROWANNYM PLOSKIM OBLASTQM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK
303
(u; v) ZADANA ORIENTIROWANNAQ OBLASTX �, OGRANI^ENNAQ KONTUROM , I
ZADANO BIEKTIWNOE NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE PREOBRAZOWANIE x =
x(u; v); y = y(u; v) OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMENNYH (x; y), OGRANI-
^ENNU@ KONTUROM 0, PRI^�EM
J(u; v) =
������@x@u
@x@v
@y@u
@y@v
������ 6= 0:
pRI \TOM PREOBRAZOWANII OBHOD KONTURA INDUCIRUET OBHOD 0 I TEM SA-MYM 0 TAKVE ORIENTIROWANA (PI[EM 0�). eSLI PRI OBHODE OBLASTX OSTA�ETSQ, NAPRIMER, SLEWA I J(u; v) > 0 (SOOTWETSTWENNO J(u; v) < 0), TO
PRI OBHODE KONTURA 0 TO^KI OBLASTI 0 OSTA@TSQ SLEWA (SOOTWETSTWEN-
NO SPRAWA). eSLI f(x; y) | NEPRERYWNAQ NA OBLASTI 0 FUNKCIQ, TO IZSKAZANNOGO IMEEMZ Z
0�
f(x; y) dxdy =
Z Z�
f(x(u; v); y(u; v))J(u; v) dudv
(W \TOJ FORMULE QKOBIAN BER�ETSQ UVE BEZ ZNAKA MODULQ).
2. [fORMULA sTOKSA]. pUSTX �� | ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ POWERH-
NOSTX S NEPRERYWNYM KUSO^NO-GLADKIM KRAEM TAKAQ, ^TO �� =nSk=1
��k
(�k \ �j �= ;; (k 6= j)), GDE �k | GLADKIE KUSKI, BIEKTIWNO PROEKTIRU@-
]IESQ NA WSE TRI KOORDINATNYE PLOSKOSTI. tOGDA
Z�
hrot a; ni =Z
ha; �i;
GDE ORIENTACIQ KRIWOJ SOGLASOWANA S ORIENTACIEJ POWERHNOSTI.
� uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ ODNOGO GLADKOGO KUSKA. dALEE,TAK KAK rot a | ADDITIWNAQ FUNKCIQ WEKTORNOGO ARGUMENTA, DOSTATO^NO
RASSMOTRETX SLU^AJ POLQ a(x; y; z) = �(x; y; z)i (TO ESTX � = = 0).pUSTX
� OPISYWAETSQ URAWNENIQMI
z = h(x; y) (x; y) 2 �z; y = g(z; x) (z; x) 2 �y
304
(KAVDOE IZ UKAZANNYH URAWNENIJ ZADA�ET �). tOGDA
rot a =
�������i j k@@x
@@y
@@z
� 0 0
������� =@�@z
j� @�@y
k;
Z�
hrot a; ni =
Z Z��y
@�@z
(x; g(z; x); z) dzdx�Z Z��z
@�@y
(x; y; h(x; y)) dxdy:
dELAQ W 1-M INTEGRALE ZAMENU PEREMENNYH x ! x; z ! h(x; y), IMEEM
J(z; x) =
�����@h@x
@h@y
1 0
����� = �@h@y
I (S U^�ETOM P. 1)
Z�
hrot a; ni = �Z Z��z
[@�@z
(x; y; h(x; y))@h@y
+ @�@y
(x; y; h(x; y))] dxdy
= �Z Z��z
ddy�(x; y; h(x; y)) dxdy =
Z z
�(x; y; h(x; y)) dx:
w POSLEDNEM RAWENSTWE ISPOLXZOWANA FORMULA gRINA, I z | KONTUR, QW-
LQ@]IJSQ GRANICEJ OBLASTI ��z , OBHOD KOTOROGO SOGLASOWAN S ORIENTACIEJ��z . eSLI PARAMETRIZOWANA DLINOJ DUGI s (W NAPRAWLENII WOZRASTANIQs), TO MY IMEEM PARU f ; p : [0; `]! R
3g, GDE p(s) = f'(s); (s); �(s)g (0 �s � `g I �(s) = h('(s); (s)). tOGDA KONTUR z TAKVE PARAMETRIZUETSQ
PARAMETROM s S POMO]X@ OTOBRAVENIQ pz(s) = ('(s); (s); 0)(0 � s � `)
(\TO UVE NE DLINA DUGI DLQ z!), PRI^�EM ORIENTACII z I SOGLASOWANY,
TAK ^TO
Z z
�(x; y; h(x; y)) dx =
Z `
0�('(s); (s); h('(s); (s))'0(s) ds
=Z `
0�('(s); (s); �(s))'0(s) ds =
Z
ha; �i: >
3. z A M E ^ A N I E. fORMULA sTOKSA WERNA I DLQ SLU^AQ, KOGDA ��
| KUSOK, LEVA]IJ W ODNOJ IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ (BOLEE OB]O,
W PLOSKOSTI, PARALLELXNOJ ODNOJ IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ). eSLI,
305
NAPRIMER, � LEVIT W PLOSKOSTI z = 0, TO
Z�hrot a; ni =
Z�
h�������i j k@@x
@@y
@@z
� �
������� ; ki =Z Z
(@�@x
� @�@y
) dxdy
=
Z
� dx+ � dy =
Z
ha; �i
(POSLEDNEE RAWENSTWO WERNO, TAK KAK WEKTOR � ORTOGONALEN k).
306
mera lebega
w \TOM RAZDELE KURSA MY WOZWRA]AEMSQ K PROBLEME MEROOPREDELENIQ,
NA^ATOJ W RAZDELE \mERA vORDANA". w x113 BYLO DOKAZANO, ^TO PLO]ADXPRQMOUGOLXNIKA W R2 OBLADAET SWOJSTWOM S^�ETNOJ ADDITIWNOSTI (SWOJ-
STWOM SU]ESTWENNO BOLEE GLUBOKIM, ^EM OBY^NAQ ADDITIWNOSTX). |TO
SWOJSTWO LEGLO W OSNOWU PO SU]ESTWU PRINCIPIALXNO NOWOJ TEORII MERO-
OPREDELENIQ I SWQZANNOJ S NEJ TEORII INTEGRIROWANIQ, OSNOWY KOTOROJ
IZLOVENY W MONOGRAFII FRANCUZSKOGO MATEMATIKA a. lEBEGA \lEKCII PO
INTEGRIROWANI@ I OTYSKANI@ PRIMITIWNYH FUNKCIJ" (1904). dALXNEJ-
[IE MNOGO^ISLENNYE I PLODOTWORNYE PRIMENENIQ KONCEPCII a. lEBEGA
(W ^ASTNOSTI, W AKSIOMATIZACII TEORII WEROQTNOSTEJ a. n. kOLMOGORO-
WYM W 1933 G.) STIMULIROWALI RAZWITIE ABSTRAKTNOJ KONCEPCII MERY I
INTEGRALA (NE SWQZANNOJ S TOPOLOGI^ESKOJ STRUKTUROJ PROSTRANSTW, QW-
LQ@]IHSQ OBLASTX@ ZADANIQ MERY). iMENNO TAKOJ PODHOD I PRINQT ZA
OSNOWU W DANNOM RAZDELE KURSA.
w \TOM RAZDELE ZNAKIP
I + W KONTEKSTE OPERACIJ NAD MNOVESTWA-
MI OZNA^A@T, ^TO BER�ETSQ OB_EDINENIE POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNO-
VESTW; DLQ KRATKOSTI MY PI[EM ^ASTO XY WMESTO X \ Y .x191. pOLUKOLXCA MNOVESTW1. pUSTX S| KLASS WSEH PRQMOUGOLXNIKOW W R2 SO STORONAMI, PARAL-
LELXNYMI KOORDINATNYM OSQM, TO ESTX MNOVESTW WIDA X = ha; bi� hc; di,GDE ^EREZ ha; bi OBOZNA^AETSQ ODIN IZ PROMEVUTKOW WIDA (a; b); [a; b]; [a; b);(a; b] (a; b 2 R). |TOT KLASS OBLADAET SWOJSTWAMI (SM. x111):(p1) ESLI X;Y 2 S, TO X
TY 2 S,
(p2) ESLI X � Y (X;Y 2 S), TO SU]ESTWUET KONE^NOE SEMEJSTWO fXig �S TAKOE, ^TO Y = X +
PiXi.
|TI SWOJSTWA BERUTSQ W KA^ESTWE SISTEMY AKSIOM ABSTRAKTNYH PRQ-
MOUGOLXNIKOW.
2. nEPUSTOE SEMEJSTWO S ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ POLUKOLX-
COM W E, ESLI WYPOLNQ@TSQ TREBOWANIQ (p1) I (p2); POLUKOLXCO S NA-
ZYWAETSQ POLUKOLXCOM S 1, ESLI E 2 S.
307
p R I M E R Y. 3. sISTEMA WSEH PROMEVUTKOW W R WIDA [a; b) (a; b 2 R)| POLUKOLXCO W R.
4. sISTEMA PROMEVUTKOW WIDA ha; bi | POLUKOLXCO W R.
5. eSLI K SISTEME WSEH PRQMOUGOLXNIKOW W R2 (P. 1) DOBAWITX NESOBST-
WENNYE PRQMOUGOLXNIKI (TIPA POLUPLOSKOSTI, KWADRANTA, WSEJ PLOSKOS-
TI), POLU^IM POLUKOLXCO S 1 W R2.
6. sISTEMA WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E | POLUKOLXCO S 1 W E.
pEREJDEM TEPERX K SWOJSTWAM POLUKOLEC MNOVESTW.
7. pUSTX X 2 S I MNOVESTWA X1; : : : ;Xn 2 S POPARNO NE PERESE-
KA@TSQ, PRI^�EM Xk � X (k = 1; : : : ; n). tOGDA SU]ESTWUET KONE^NOE
SEMEJSTWO fYjg � S TAKOE, ^TO X =nPk=1
Xk +PjYj .
� pRI n = 1 UTWERVDENIE | (p2). dALEE RASSUVDENIQ DOSLOWNO SOWPA-
DA@T S DOKAZATELXSTWOM PO INDUKCII LEMMY 111.5 (!!). >
8. eSLI X1; : : : ;Xn 2 S, TO SU]ESTWUET KONE^NOE SEMEJSTWO POPARNO
NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW Y1; : : : ; Ym 2 S TAKOE, ^TOXi =Pj2�i
Yj (i =
1; : : : ; n); �i � f1; : : : ;mg.� uTWERVDENIE O^EWIDNO DLQ n = 1. pUSTX ONO WERNO DLQ WSEH NATURALX-
NYH ^ISEL � n�1 I PUSTX Y1; : : : ; Ym | SEMEJSTWO IZ S, SOOTWETSTWU@]EE
X1; : : : ;Xn�1. pOLOVIM Zq = XnYq (q = 1; : : : ;m). mNOVESTWA Zq POPARNO
NE PERESEKA@TSQ, Zq 2 S; Zq � Xn. pO\TOMU SOGLASNO P. 7 IMEET MESTO
PREDSTAWLENIE
(�) Xn =mXq=1
Zq +X
Z 0r;
GDE fZ 0rg| NEKOTOROE KONE^NOE SEMEJSTWO IZ S. w SILU (p2) DLQ KAVDOGO
q SU]ESTWUET TAKOE KONE^NOE SEMEJSTWO fZ(q)i g IZ S, ^TO Yq = Zq+
PiZ(q)i .
mNOVESTWA SEMEJSTWA fZq; Z 0r; Z
(q)i g POPARNO NE PERESEKA@TSQ, I Xk =P
j2�kYj =
Pj2�k
[Zj+PiZ(j)i ] (!!). sOPOSTAWLQQ \TO S (�), WIDIM, ^TO SEMEJSTWO
fZq; Z 0r; Z
(q)i g QWLQETSQ ISKOMYM DLQ fX1; : : :Xn�1;Xng: >
9. u P R A V N E N I Q. pUSTX | MNOVESTWO WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ
! = (!1; !2; : : :), GDE !i = 0 ILI 1. pUSTX
Xj1:::jsi1:::ik
= f! 2 j !i1 = : : : = !ik = 0; !j1 = : : : = !js = 1g:
308
pRI s = k = 0 S^ITAEM, ^TO X = . pOKAVITE, ^TO SEMEJSTWO Z =
fXj1:::jsi1:::ik
g | POLUKOLXCO S 1 W .
10. pOKAVITE, ^TO DLQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (E; T ) SEMEJ-STWO fU \X j U; Xc 2 T g | POLUKOLXCO S 1 W E.
x192. mERA NA POLUKOLXCE
1. pUSTX S | POLUKOLXCO W E. fUNKCIQ m : S ! R+ NAZYWAETSQ
KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ, ESLI
X =nXk=1
Xk (X; Xk 2 S) ) mX =nXk=1
mXk:
2. dLQ POLUKOLXCA PRQMOUGOLXNIKOW W R2 PLO]ADX, OPREDEL�ENNAQ FOR-
MULOJm(ha; bi�hc; di) = (b�a)(d�c), QWLQETSQ KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ(x112).
pEREJDEM K IZU^ENI@ SWOJSTW KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY.
3. eSLI X1; X2; : : : (Xk 2 S) POPARNO NE PERESEKA@TSQ I Xk � X
(X 2 S), TO1Pk=1
mXk � mX.
� dOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO TREBUEMOMU NERAWENSTWU UDOWLETWORQET
L@BAQ ^ASTNAQ SUMMA RQDAPkmXk. pUSTX n 2 N PROIZWOLXNO. w SILU
191.7X =nPk=1
Xk+sPj=1
Yj PRI NEKOTORYH Yj 2 S.sLEDOWATELXNO,nPk=1
mXk �nPk=1
mXk +sP
j=1mYj = mX: >
4. eSLI X � nSk=1
Xk (X; Xk 2 S), TO mX � nPk=1
mXk.
� pUSTX fYjg | KONE^NAQ SISTEMA IZ S, UDOWLETWORQ@]AQ TREBOWANIQM
191.8 DLQ SEMEJSTWA X;X1; : : : ;Xn, TAK ^TO
X =Xj2�0
Yj ; Xk =Xj2�k
Yj (k = 1; : : : ; n):
kAVDYJ INDEKS j 2 �0 WHODIT NE MENEE ODNOGO RAZA W DWOJNU@ SUMMUnPk=1
Pj2�k
mYj(=nPk=1
mXk), TAK ^TO mX =Pj2�0
mYj �nPk=1
mXk: >
309
5. uTWERVDENIE P. 4 NE OBOB]AETSQ NA S^�ETNYE POKRYTIQ MNOVES-
TWA X. rASSMOTRIM POLUKOLXCO PROMEVUTKOW WIDA ha; bi (a; b 2 Q) W Q
S KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ mha; bi = b � a. sEMEJSTWO f[r; r]gr2Q\[0;1]OBRAZUET S^�ETNOE POKRYTIE MNOVESTWA Q. oDNAKO, m[0; 1] = 1 > 0 =Pr2Q\[0;1]
m[r; r].
oDNAKO DLQ SLU^AEW, WAVNYH W PRILOVENIQH, OBOB]ENIE P. 4 NA SLU^AJ
S^�ETNYH POKRYTIJ SPRAWEDLIWO (x113 P. 2):6. pUSTX m | PLO]ADX NA POLUKOLXCE S PRQMOUGOLXNIKOW W R2. eSLI
X � 1Sk=1
Xk (X; Xk 2 S), TO mX � 1Pk=1
mXk.
iZ PP. 3 I 6 SLEDUET, ^TO PLO]ADX W R2 OBLADAET SWOJSTWOM BOLEE
SILXNYM, ^EM KONE^NAQ ADDITIWNOSTX:
(�) X =1Xk=1
Xk (X; Xk 2 S)) mX =1Xk=1
mXk:
|TO WAVNOE SWOJSTWO NAZYWAETSQ �-ADDITIWNOSTX@ I ONO BER�ETSQ W KA-
^ESTWE OPREDELENIQ DLQ ABSTRAKTNYH POLUKOLEC:
7. pUSTX S | POLUKOLXCO. fUNKCIQ m : S ! R+ NAZYWAETSQ MEROJ,
ESLI ONA OBLADAET SWOJSTWOM (�).u P R A V N E N I Q. 8. pUSTX pn � 0, PRI^�EM
Ppn < +1. fUNK-
CIQ m, ZADANNAQ NA POLUKOLXCE WSEH PODMNOVESTW N RAWENSTWOM mX =Pn2X
pn (X � N), QWLQETSQ MEROJ.
9. fUNKCIQ m : Z! R+ (191.9), ZADANNAQ RAWENSTWAMI m; = 0; m =
1; mXj1:::jsi1:::ik
= 2�(s+k) (ESLI Xj1:::jsi1:::ik
6= ;), QWLQETSQ MEROJ.x193. kOLXCA I ALGEBRY MNOVESTW
dLQ ^ISLOWOJ PLOSKOSTI PERWYJ [AG W RE[ENII ZADA^I PRODOLVENIQ
MERY SOSTOIT W PRODOLVENII MERY NA KLASS KONE^NYH OB_EDINENIJ PRQ-
MOUGOLXNIKOW (112.3). pO\TOMU IZU^IM SNA^ALA KLASS MNOVESTW, DOPUSKA-
@]IH PREDSTAWLENIE W WIDE OB_EDINENIQ KONE^NOGO ^ISLA ABSTRAKTNYH
PRQMOUGOLXNIKOW.
1. pUSTX S | POLUKOLXCO W E. kLASS E WSEH ^ASTEJ E, QWLQ@]IHSQ
OB_EDINENIEM KONE^NYH SEMEJSTW POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW
IZ S, OBLADAET SWOJSTWAMI (SM. P. 9):
310
(k1) X;Y 2 E) X [ Y 2 E;
(k2) X;Y 2 E) XnY 2 E.
|TOT KLASS TAKVE UDOBNO AKSIOMATIZIROWATX:
2. nEPUSTAQ SISTEMA E ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ KOLXCOM MNO-
VESTW W E, ESLI WYPOLNENY SWOJSTWA (k1) I (k2). w ^ASTNOSTI, KOLXCO
S 1 W E NAZYWAETSQ ALGEBROJ MNOVESTW.
3. w KOLXCE E:
(i) ; 2 E, (ii) X;Y 2 E) X \ Y 2 E; X�Y 2 E .
4. wSQKOE KOLXCO QWLQETSQ POLUKOLXCOM.
w DALXNEJ[EM NAM PONADOBQTSQ KOLXCA S USILENNYMI STRUKTURNYMI
SWOJSTWAMI:
5. kOLXCO (SOOTWETSTWENNO ALGEBRA) E W E NAZYWAETSQ �-KOLXCOM (SO-
OTWETSTWENNO �-ALGEBROJ), ESLI1Tn=1
Xn 2 E DLQ L@BYH Xn 2 E (n =
1; 2; : : :).
6. sEMEJSTWO A ^ASTEJ MNOVESTWA E QWLQETSQ ALGEBROJ (SOOTWET-
STWENNO �-ALGEBROJ) W E TTOGDA
(i) X 2 A) Xc 2 A,
(ii) OB_EDINENIE WSQKOGO KONE^NOGO (SOOTWETSTWENNO S^�ETNOGO) SE-
MEJSTWA PODMNOVESTW IZ A PRINADLEVIT A.
7. pUSTX fEigi2I | SEMEJSTWO KOLEC W E. tOGDA SEMEJSTWO E MNO-
VESTW, PRINADLEVA]IH WSEM Ei, | TAKVE KOLXCO W E.
� sEMEJSTWO E NE PUSTO, TAK KAK ; 2 E (SM. P. 3(i)). eSLI X;Y 2 Ei
PRI L@BOM i 2 I, TO X [ Y; XnY 2 Ei, TAK KAK Ei | KOLXCA. pO\TOMU
X [ Y; XnY 2 E, TAK ^TO (k1) I (k2) WYPOLNENY. >
8. pUSTX I | NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ MNOVESTWA E. tOGDA SU-
]ESTWUET KOLXCO E(I) W E, SODERVA]EESQ W L@BOM DRUGOM KOLXCE, SO-
DERVA]EM I.
� sEMEJSTWO fEigi2I WSEH KOLEC W E, OB_EML@]IH I, NE PUSTO, TAK KAKTUDA WO WSQKOM SLU^AE WHODIT KOLXCO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E.
tOGDA E(I) =Ti2I
Ei | ISKOMOE KOLXCO. >
311
kOLXCO E(I) | NAIMENX[EE KOLXCO, SODERVA]EE I, I NAZYWAETSQ KOLX-
COM, POROVD�ENNYM SEMEJSTWOM I. w OB]EM SLU^AE STRUKTURA E(I) SLOV-
NA. oDNAKO, ONA OBOZRIMA, ESLI I | POLUKOLXCO:
9. eSLI I | POLUKOLXCO, TO E(I) SOSTOIT IZ MNOVESTW, DOPUSKA@-
]IH PREDSTAWLENIE X =nPk=1
Xk (Xk 2 I).
� oBOZNA^IM ^EREZ E1 KLASS WSEH MNOVESTW X, DOPUSKA@]IH PREDSTAWLE-
NIE X =nPk=1
Xk (Xk 2 I). E1 � E(I) W SILU (K1). ~TOBY POLU^ITX OBRAT-
NOE WKL@^ENIE, POKAVEM, ^TO E1 QWLQETSQ KOLXCOM: ESLI X =nPk=1
Xk; Y =
mPs=1
Ys (Xk; Ys 2 I), TO W SILU 191.8 SU]ESTWUET SEMEJSTWO fZtgt=1;:::;N �I; Zt \ Zp = ; (t 6= p), ^TO Xk =
Pt2�k
Zt (k = 1; n); Ys =Pt2�0s
Zt (s = 1;m),
GDE �k; �0s � f1; : : : ; Ng. pO\TOMU
X [ Y =NXt=1
Zt; XnY =X
t2(Sk
�k)n(Ss
�0s)
Zt;
OTKUDA X [ Y 2 E1; XnY 2 E1, TAK ^TO (K1) I (K2) UDOWLETWORQ@TSQ.
iTAK, E1 | KOLXCO, I � E1. iZ P. 8 ZAKL@^AEM, ^TO E(I) � E1: >
10. u P R A V N E N I E. sFORMULIROWATX I DOKAZATX UTWERVDENIQ
PP. 7{9 DLQ ALGEBR MNOVESTW.
11. uTWERVDENIQ PP. 7-8 OBOB]A@TSQ NA �-ALGEBRY MNOVESTW. w ^AST-
NOSTI, ESLI I| NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ E, TO SU]ESTWUET NAIMENX[AQ
�-ALGEBRA A, SODERVA]AQ I; ONA NAZYWAETSQ �-ALGEBROJ, POROVD�ENNOJ J.
w PRILOVENIQH WAVNOE ZNA^ENIE IME@T �-ALGEBRY, POROVD�ENNYE TOPO-
LOGIQMI. eSLI (E;T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO �-ALGEBRA, PO-
ROVD�ENNAQ SEMEJSTWOM T WSEH OTKRYTYH MNOVESTW, NAZYWAETSQ BORELEW-
SKOJ ALGEBROJ W E I OBOZNA^AETSQ B(E). w ^ASTNOSTI, ^EREZ B(R); B(Rn)
OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO BORELEWSKIE ALGEBRY NA ^ISLOWOJ PRQMOJ
I W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.
12. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO �-ALGEBRA W R, POROVD�ENNAQ
SEMEJSTWOM WSEH PROMEVUTKOW WIDA [a; b) (a; b 2 R) SOWPADAET S B(R).
312
x194. pRODOLVENIE MERY S POLUKOLXCA NA KOLXCO
1. pUSTX S I S0 | POLUKOLXCA W E. mERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA)
m0 : S0 ! R+ NAZYWAETSQ PRODOLVENIEM MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-
ADDITIWNOJ MERY) m : S! R+, ESLI S � S0 I mX = m0X (X 2 S).
2. wSQKAQ MERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA) NA POLUKOLXCE S DOPUS-
KAET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE DO MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-
ADDITIWNOJ MERY) NA KOLXCE E(S).
� pUSTX m : S ! R+ | MERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA). kAVDOE MNO-
VESTWO X 2 E(S) PREDSTAWIMO W WIDE
(1) X =nXi=1
Yi (Yi 2 S):
pOLOVIM m0X =nPi=1
mYi. pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ m0 OPREDELENA ODNO-
ZNA^NO. pUSTX X =sP
k=1Zk (Zk 2 S) | E]�E ODNO PREDSTAWLENIE X. w SILU
(p1) YiZk 2 S, PRI^�EM Yi =PkYiZk; Zk =
PiYiZk. iZ ADDITIWNOSTI m NA
S IMEEM: Xi
mYi =Xi
Xk
mYiZk =Xk
Xi
mYiZk =Xk
mZk:
iTAK, ZNA^ENIE m0 NA MNOVESTWAH KOLXCA E(S) NE ZAWISIT OT SPOSOBA
PREDSTAWLENIQ \TIH MNOVESTW \LEMENTAMI POLUKOLXCA S. pRI \TOM m0
KONE^NO-ADDITIWNA NA E(S) (!!). eSLI DALEE, m00 : E(S)! R+ | E]�E ODNO
PRODOLVENIE MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY) m, TO W
OBOZNA^ENIQH (1) m00X =Pim00Yi =
PimYi = m0X. tAKIM OBRAZOM, m0 |
EDINSTWENNOE PRODOLVENIE m NA E(S). nAKONEC, OSTALOSX PROWERITX, ^TO
m0 �-ADDITIWNA, KOLX SKORO �-ADDITIWNA m. pUSTX X =1Pn=1
Xn (X;Xn 2E(S)), I
X =sXi=1
Yi; Xn =snXj=1
Ynj (n = 1; : : :); Yi; Ynj 2 S:
pOLOVIM Yinj = YiYnj ; fYinjg | SEMEJSTWO POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ
MNOVESTW IZ S, PRI^EM Yi =Pn;jYinj ; Ynj =
PiYinj . w SILU �-ADDITIWNOSTI
313
MERY m : mYi =Pn;jmYinj; mYnj =
PimYinj I
m0X =PimYi =
Pi
Pn;jmYinj =
Pn;j
PimYinj =
Pn;jmYnj
=1Pn=1
snPj=1
mYnj =1Pn=1
m0Xn: >
w KA^ESTWE PRILOVENIQ POLU^ENNOGO REZULXTATA POKAVEM, ^TO WOZMOV-
NOSTX RASPROSTRANITX SWOJSTWO 192.4 NA POSLEDOWATELXNOSTI MNOVESTW
HARAKTERIZUET MERY.
3. kONE^NO-ADDITIWNAQ MERA m : S! R+ NA POLUKOLXCE S QWLQETSQ
MEROJ TTOGDA DLQ WSQKOGO X 2 S I L@BOGO EGO S^�ETNOGO POKRYTIQ
fXng (Xn 2 S) WERNO NERAWENSTWO
(2) mX �1Xn=1
mXn:
� dOSTATO^NOSTX SLEDUET IZ 192.3. dLQ DOKAZATELXSTWA NEOBHODIMOSTI
OGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA S | KOLXCO. fdEJSTWITELXNO, ESLI S |
POLUKOLXCO, TO, PRODOLVIW MERU m DO MERY m0 NA E(S), ZAMETIM, ^TO
NERAWENSTWO (2) BUDET SPRAWEDLIWO, ESLI SPRAWEDLIWO SOOTWETSTWU@]EE
NERAWENSTWO DLQ m0.g dLQ DANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI X1; X2; : : : POLO-
VIM Y1 = X1X; Y2 = (XX2)nX1; : : : ; Yn = (XXn)n(n�1Si=1
Xi); : : : . tOGDA
Yn 2 S; Yn � Xn, TAK ^TO mYn � mXn. pRI \TOM MNOVESTWA Yn PO-
PARNO NE PERESEKA@TSQ I X =1Pn=1
Yn. tAK KAK m �-ADDITIWNA, POLU^AEM
mX =1Pn=1
mYn �1Pn=1
mXn: >
x195. wNE[NQQ MERA
1. pUSTX S | POLUKOLXCO S 1 W E I m | MERA NA S. dLQ WSQKOGO
X � E OPREDELIM
��X � infX�[Xn; Xn2S
XmXn
(inf BER�ETSQ PO WSEM KONE^NYM ILI S^�ETNYM POKRYTIQM X). tAKIM OBRA-
ZOM OPREDEL�ENNAQ FUNKCIQ �� NAZYWAETSQ WNE[NEJ MEROJ (PO OTNO[ENI@
K MERE m). oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA WNE[NEJ MERY:
314
2. ��X + ��Xc � mE (X � E),
3. ��X = infX��Xn; Xn2S
PmXn (X � E),
4. ��(1Si=1
Xi) �1Pi=1
��Xi.
� 2. pUSTX fXng; fYkg | PROIZWOLXNYE S^�ETNYE POKRYTIQ SOOTWET-
STWENNO MNOVESTW X; Xc \LEMENTAMI POLUKOLXCA. w SILU 194.3 mE �PnmXn+
Pk
mYk. bERQ W \TOM NERAWENSTWE inf PO WSEM S^�ETNYM POKRYTI-
QM fXng MNOVESTWA X, POLU^IM mE � ��X +Pk
mYk. sNOWA BERQ inf PO
WSEM S^�ETNYM POKRYTIQM fYkg MNOVESTWA Xc, POLU^AEM TREBUEMOE.
3. zDESX UTWERVDAETSQ, ^TO PRI WY^ISLENII �� MOVNO OGRANI^ITXSQWZQTIEM inf PO S^�ETNYM POKRYTIQM POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ MNOVES-
TWAMI POLUKOLXCA S (!!).
4.pUSTX " > 0 | PROIZWOLXNO, I DLQ KAVDOGO i PUSTX fXni gn | S^�ETNOE
POKRYTIE Xi \LEMENTAMI POLUKOLXCA S TAKOE, ^TOPnmXn
i < ��Xi+ "2�i.
tOGDA X � 1Si=1
Xi � Si;nXni , PRI^�EM
Pi;nmXn
i =Pi
PnmXn
i <Pi(��Xi +
"2�i) = "+Pi��Xi. sLEDOWATELXNO, �
�X < "+Pi��Xi. iZ PROIZWOLXNOSTI
" SLEDUET TREBUEMOE. >
5. u P R A V N E N I E. eSLI X1; X2; : : : | POPARNO NE PERESEKA@TSQ,
Xn � X; Xn 2 S, TO1Pn=1
mXn � ��X.
x196. iZMERIMYE MNOVESTWA
1. pUSTX m | MERA NA POLUKOLXCE S 1 S W MNOVESTWE E I �� | SOOT-
WETSTWU@]AQ WNE[NQQ MERA.mNOVESTWO X (� E) NAZYWAETSQ IZMERIMYM
PO lEBEGU, ESLI ��X + ��Xc = mE. kLASS L WSEH IZMERIMYH PO lEBEGU
MNOVESTW ZAWISIT OT POLUKOLXCA S I MERY m : L = L(S; m). nA[A
CELX | IZU^ENIE WOZMOVNOSTI PRODOLVENIQ MERY m NA KLASS L.
2. E(S) � L(S; m). pRI \TOM m0X = ��X (X 2 E(S)).
� pUSTX X 2 E(S). tOGDA X =PXn, GDE fXng | KONE^NOE SEMEJSTWO
IZ S. sLEDOWATELXNO, ��X � PmXn = m0X. aNALOGI^NO, ��Xc � m0Xc.
oTS@DA
mE � ��X + ��Xc � m0X +m0Xc = mE;
315
TAK ^TO X 2 L(S; m) I, W ^ASTNOSTI, ��X = m0X: >
sFORMULIRUEM OSNOWNOJ REZULXTAT \TOGO PARAGRAFA.
3. t E O R E M A. kLASS L IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW QWLQETSQ
ALGEBROJ, A FUNKCIQ � � ��jL (OGRANI^ENIE �� NA L) | MERA.
dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU.
4. pUSTX X 2 L I
X �XXi; X
c �XX 0j (Xi; X
0j 2 S); " > 0;
PRI^�EM
mX < ��X + "=2; mX 0j < ��Xc + "=2:
tOGDAPi;jmXiX
0j � ".
� pUSTX s; t 2 N | PROIZWOLXNY, fZkg | KONE^NAQ SISTEMA POPARNO
NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW TAKAQ, ^TO
En((sXi=1
Xi) [ (tX
j=1
X 0j)) =
XZk; Zk 2 S:
tOGDA fXs+1; Xs+2; : : : ; X0t+1; X
0t+2; : : :g | POKRYTIE MNOVESTWA
PZk IP
mZk = m0(PZk) �
1Ps+1
mXi +1Pt+1
mX 0j. tAKIM OBRAZOM,
sPi=1
mXiX0j =
sPi=1
mXi +tP
j=1mX 0
j +PkmZk �mE
� 1Pi=1
mXi +1Pj=1
mX 0j �mE < ": >
dOKAZATELXSTWO TEOREMY 3 PROWED�EM PO SLEDU@]EMU PLANU:
5. pOKAVEM, ^TO L ZAMKNUT OTNOSITELXNO OPERACII c).
6. pOKAVEM, ^TO X; Y 2 L WLE^�ET X [ Y 2 L.7. uSTANOWIM, ^TO � = �� j L | KONE^NO-ADDITIWNA.
iZ PP. 5,6 TOGDA SLEDUET, ^TO L | ALGEBRA, A IZ P. 7, 195.4 I 194.3
WYTEKAET, ^TO � �-ADDITIWNA NA L, I TEOREMA DOKAZANA. iTAK, OSTALOSX
USTANOWITX PP. 5{7.
316
dOKAZATELXSTWO P. 5:
X 2 L) ��Xc + ��Xcc = ��Xc + ��X = mE ) Xc 2 L:dOKAZATELXSTWO P. 6. pUSTX X;Y 2 L I fXig; fX 0
jg; fYpg; fY 0qg | PO-
KRYTIQ SOOTWETSTWENNO MNOVESTW X; Xc; Y; Y c \LEMENTAMI S TAKIE, ^TO
WNUTRI KAVDOGO SEMEJSTWA MNOVESTWA POPARNO NE PERESEKA@TSQ I
(1)PmXi < ��X + "=2;
PmX 0
j < ��Xc + "=2,PmYp < ��Y + "=2;
PmY 0
q < ��Y c + "=2.
tOGDA SEMEJSTWA fXi; X0jYpg; fX 0
jY0qg | POKRYTIQ X [ Y I (X [ Y )c
SOOTWETSTWENNO. sLEDOWATELXNO,
(2) ��(X [ Y ) + ��((X [ Y )c) �XmXi +
Xj;p
mX 0jY
0p +
Xj;q
mX 0jY
0q :
oCENIM POSLEDNIE DWA SLAGAEMYH W PRAWOJ ^ASTI (2). pUSTX p0; q0 |
FIKSIROWANNYE ^ISLA. tOGDA
mX 0j �
p0Xp=1
mX 0jYp +
q0Xq=1
mX 0jY
0q �
X1�p�p01�q�q0
mX 0jYpY
0q ;
OTKUDAp0Pp=1
mX 0jYp +
q0Pq=1
mX 0jY
0q � mX 0
j +Pp;qmX 0
jYpY0q . tAK KAK X
0jYpY
0q �
YpY0q I X
0jYpY
0q POPARNO NE PERESEKA@TSQ PO j, IMEEM
PjmX 0
jYpY0q � mYpY
0q .
iZ P. 4 OTS@DAXj
Xp;q
mX 0jYpY
0q =
Xp;q
Xj
mX 0jYpY
0q �
Xp;q
mYpY0q � ":
tEPERX IZ PROIZWOLXNOSTI p0; q0 POLU^AEMXj;p
mX 0jYp +
Xj;q
mX 0jY
0q �
Xj
mX 0j + ":
tAKIM OBRAZOM, IZ (2) SLEDUET S U^�ETOM (1)
��(X [ Y ) + ��((X [ Y )c) < ��X + ��Xc + 2" = mE + 2";
I IZ PROIZWOLXNOSTI " : ��(X [ Y ) + ��((X [ Y )c) = mE, TO ESTX
X [ Y 2 L.
317
dOKAZATELXSTWO P. 7. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO X;Y 2 L; X \ Y =
; WLE^�ET �(X + Y ) = �X + �Y . w SILU 195.4 NUVNO LI[X POKAZATX,
^TO �(X + Y ) � �X + �Y . sNOWA RASSMOTRIM SISTEMU POKRYTIJ, OPRE-
DEL�ENNU@ W (1). tOGDAXi;p
XiYp � (Xj;i
XiX0j) [ (
Xq;p
YpY0q ):
fdEJSTWITELXNO, PUSTX ! 2 XiYp I, NAPRIMER, ! 62 X 0j . tOGDA ! 62 Y
(TAK KAK X \ Y = ;), A ZNA^IT, SU]ESTWUET q TAKOE, ^TO ! 2 Y 0q , TO ESTX
! 2 YpY 0q .g w SILU P. 4
Xp;i
mXiYp �Xi;j
mXiX0j +
Xp;q
mYpY0q � 2":
pUSTX DALEE i0; p0 FIKSIROWANY I fZsg | KONE^NAQ SISTEMA POPARNO NE-
PERESEKA@]IHSQ MNOVESTW IZ S TAKAQ, ^TO
Xs
Zs = (i0Xi=1
Xi) [ (p0Xp=1
Yp):
pUSTX fUkg | POKRYTIE MNOVESTWA X + Y POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ
MNOVESTWAMI IZ S TAKOE, ^TOPkmUk < �(X + Y ) + 3". tOGDA
i0Xi=1
mUkXi +p0Xp=1
mUkYp = m(Uk(Xs
Zs)) +Xi;p
mUkXiYp:
sUMMIRUQ PO k, IMEEM
Xk
i0Xi=1
mUkXi+Xk
p0Xp=1
mUkYp �Xk
mUk+Xi;p
m[(Xk
Uk)XiYp] �Xk
mUk+2":
iZ PROIZWOLXNOSTI i0; p0, POLU^AEMXi;k
mUkXi +Xk;p
mUkYp < �(X + Y ) + 3":
pOSKOLXKU fUkXigk;i; fUkYpgk;p | POKRYTIQ SOOTWETSTWENNO X I Y \LE-
MENTAMI S, POLU^AEM
�(X + Y ) = ��X + ��Y �Xi;k
mUkXi +Xk;p
mUkYp < �(X + Y ) + 3":
318
oSTA�ETSQ U^ESTX PROIZWOLXNOSTX ".
8. mERA �, OPREDEL�ENNAQ USLOWIQMI TEOREMY 3, NAZYWAETSQ MEROJ lE-
BEGA, POSTROENNOJ PO MERE m NA POLUKOLXCE S.
9. oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ESLI E = [0; 1]; S| POLUKOLXCO PROMEVUT-
KOW ha; bi � [0; 1] I mha; bi = b � a, TO KLASS L(S; m) QWLQETSQ ALGEBROJ
IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW NA E, A � = ��jL NAZYWAETSQ MEROJ
lEBEGA NA OTREZKE [0; 1]. aNALOGI^NO, ESLI S | KLASS PRQMOUGOLXNIKOW
W [0; 1] � [0; 1], A m | PLO]ADX, TO SOOTWETSTWU@]AQ MERA NAZYWAETSQ
PLOSKOJ MEROJ lEBEGA NA [0; 1]� [0; 1].
10. p R I M E R [NEIZMERIMOGO PO lEBEGU MNOVESTWA]. pUSTX � |
LINEJNAQ MERA lEBEGA NA PROMEVUTKE [�1; 2), I R | OTNO[ENIE \KWIWA-
LENTNOSTI NA [0; 1) : R(x; y), ESLI x � y 2 Q. tOGDA [0; 1) RAZBIWAETSQ NA
NEPERESEKA@]IESQ SMEVNYE KLASSY. wYBEREM W KAVDOM KLASSE PO ODNOJ
TO^KE I OBRAZUEM IZ NIH MNOVESTWO X � [0; 1). pOKAVEM, ^TO X NEIZ-
MERIMO. pUSTX, NAPROTIW, X IZMERIMO. tOGDA �(X + q) = �X (q 2 Q),
GDE X + q = fx + q j x 2 Xg. eSLI q1; q2; : : : | POSLEDOWATELXNOSTX WSEH
RACIONALXNYH ^ISEL IZ [�1; 1), TO [0; 1) � 1Pk=1
(X + qk) � [�1; 2). sLEDOWA-TELXNO,
1 �1Xk=1
�(X + qk) =1Xk=1
�X � 3;
^TO NEWOZMOVNO (�X = 0 PROTIWORE^IT OCENKE SNIZU, A �X > 0 | OCENKE
SWERHU).
u P R A V N E N I Q. 11. pUSTX m | MERA NA POLUKOLXCE S S 1, A m0
| E�E PRODOLVENIE NA E(S). pOKAVITE, ^TO DLQ X � E:
(A) ��X = infX�[Xn;Xn2E(S)
Pm0Xn,
(B) ESLI A 2 E(S); X \ A = ;, TO ��(X +A) = ��X +m0A.
12. pUSTX � | MERA lEBEGA NA L(S; m) A � | MERA, OPREDEL�ENNAQ NA
L(S; m) I TAKAQ, ^TO � j S = m. uBEDITESX, ^TO � = �.
13. w OBOZNA^ENIQH 192.9: ��f! 2 j 1Pi=1
!i <1g = 0.
319
x197. sLU^AJ POLUKOLXCA BEZ 1
1. pUSTX S | POLUKOLXCO (WOZMOVNO, BEZ 1) W MNOVESTWE E I
m : S! R+ | MERA. dLQ KAVDOGO A 2 S POLOVIM
SA � fBA j B 2 Sg; mAX � mX (X 2 SA):
kLASS SA QWLQETSQ POLUKOLXCOM S 1 W MNOVESTWE A(!!), A FUNKCIQ
mA : SA ! R+ | MERA NA SA. pUSTX �
�A | WNE[NQQ MERA (PO OTNO-
[ENI@ K MERE mA). sLEDU@]EE UTWERVDENIE POKAZYWAET, ^TO SEMEJSTWO
f��AgA2S W ESTESTWENNOM SMYSLE QWLQETSQ SOGLASOWANNYM:
2. pUSTX A;B 2 S I X � AB. tOGDA ��BX = ��AX.
� sLU^AJ: B � A. o^EWIDNO, ��AX � ��BX. oBRATNO, ESLI fXng (� SA) |
S^�ETNOE POKRYTIE X, TO SEMEJSTWO fXnBg � SB I PO-PREVNEMU QWLQETSQ
POKRYTIEM X. kROME TOGO,PnmXnB � P
nmXn. oTS@DA �
�BX � ��AX.
oB]IJ SLU^AJ. s U^�ETOM WKL@^ENIJ AB � A; AB � B IMEEM DLQ
X � AB W SILU 1-GO SLU^AQ: ��AX = ��ABX = ��BX: >
dLQ KAVDOGO A 2 S MY MOVEM RASSMOTRETX LEBEGOWSKOE PRODOLVENIE
�A � ��A j LA, GDE LA � L(SA; mA).
3. mNOVESTWO X(� E) NAZYWAETSQ IZMERIMYM PO lEBEGU, ESLI
XA 2 LA PRI L@BOM A 2 S. oBOZNA^IM SNOWA ^EREZ L = L(S; m) KLASS
WSEH IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW.
4. kLASS L(S; m) QWLQETSQ �-ALGEBROJ.
� 1-J SLU^AJ: S| POLUKOLXCO S 1. dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO DLQ POSLE-
DOWATELXNOSTI Xn 2 L MNOVESTWO X =SnXn PRINADLEVIT L. pOLOVIM
Y1 = X1; Yn = Xnn(n�1Si=1
Xi) (n > 1). qSNO, ^TO Yn 2 L I X =1Pn=1
Yn.
sLEDOWATELXNO,
(1) ��X �1Xn=1
��Yn =1Xn=1
�Yn:
dALEE IZ WKL@^ENIQ Xc � (NPn=1
Yn)c SLEDUET, ^TO
(2) ��Xc � mE �NXn=1
�Yn:
320
sKLADYWAQ (1) I (2), NAHODIM ��X + ��Xc � mE +1P
n=N+1�Yn. pEREHODQ
ZDESX K PREDELU PRI N ! 1, POLU^AEM ��X + ��Xc � mE. s U^�ETOM
SWOJSTWA 195.2 OTS@DA SLEDUET, ^TO X 2 L.2-J SLU^AJ: S | POLUKOLXCO BEZ 1. pUSTX Xn 2 L(S;m) (n = 1; 2; : : :)
I X =1Sn=1
Xn. dLQ L@BOGO A 2 S : AXn 2 LA. pO\TOMU AX =1Sn=1
AXn 2LA, TAK KAK LA �-ALGEBRA. iTAK, X 2 L.
aNALOGI^NO MOVNO POKAZATX, ^TO KLASS L ZAMKNUT OTNOSITELXNO OPE-
RACII TEORETIKO-MNOVESTWENNOGO DOPOLNENIQ. >
5. LA � L PRI L@BOM A 2 S.
� pUSTX X 2 LA I B 2 S| PROIZWOLXNO. tOGDA S U^�ETOM P. 2 I SWOJSTWA
196.11(B) IMEEM:
��B(XB) + ��B(BnX) = ��A(XB) + ��B(A \ (BnX) +BnA)= ��A(XB) + ��B(A(BnX)) + �B(BnA)= �A(XB) + �A(A(BnX)) +mB �m(AB) = mB:
iTAK, BX 2 LB PRI L@BOM B 2 S, TO ESTX X 2 L: >rASPROSTRANIM TEPERX MERU m S POLUKOLXCA S NA KLASS L(S; m).
oGRANI^IMSQ PRI \TOM POLEZNYM DLQ PRILOVENIJ SLU^AEM TAK NAZY-
WAEMOJ �-KONE^NOJ MERY (W \TOM SLU^AE MNOVESTWO E PREDSTAWLQETSQ W
WIDE S^�ETNOJ SUMMY MNOVESTW KONE^NOJ MERY):
6. mERA m : S ! R+ NA POLUKOLXCE S W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ
�-KONE^NOJ, ESLI SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE E =1Pn=1
En, GDE En 2 S.
7. pUSTX m : S! R+ �-KONE^NAQ MERA I En (n = 1; 2; : : :) | MNOVES-
TWA IZ P. 6. fUNKCIQ � : L(S; m)! R+[f+1g, OPREDEL�ENNAQ RAWENSTWOM
�X �1Xn=1
�En(XEn) (X 2 L(S; m));
NAZYWAETSQ MEROJ lEBEGA NA KLASSE L(S; m). (pRI \TOM RASHODQ]EMUSQ
^ISLOWOMU RQDU PRIPISYWAETSQ ZNA^ENIE +1.)
8.mERA lEBEGA NA KLASSE L(S; m) OPREDELENA KORREKTNO I �-ADDITIWNA
(�-ADDITIWNOSTX, ESTESTWENNO, OZNA^AET, ^TO
X =1Xn=1
Xn (X;Xn 2 L(S; m))) �X =1Xn=1
�Xn):
321
� kORREKTNOSTX. pUSTX NARQDU S PREDSTAWLENIEM E W P. 6 ESTX E]�E ODNO
PREDSTAWLENIE E =1Ps=1
Fs (Fs 2 S). tOGDA (SM. P. 2)
Pn�En(XEn) =
Pn�En f
PsXEnFsg =P
n
Ps�En(XEnFs)
=Ps
Pn�Fs(XEnFs) =
Ps�Fs(XFs):
pUSTX DALEE X =1Pk=1
Xk (X;Xk 2 L(S; m)). tOGDA
�X =1Xn=1
�EnXEn =Xn
Xk
�En(XkEn) =Xk
Xn
�EnXkEn =Xk
�Xk: >
oTMETIM OSOBO SLU^AJ MNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX.
9.mNOVESTWO X � E IZMERIMO I IMEET LEBEGOWU MERU NULX TTOGDA
(3) 8" > 0 9Xn 2 S (n 2 N) (X �[n
Xn;Xn
mXn < "):
� nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA (!!). dOKAVEM DOSTATO^NOSTX. pUSTX USLOWIE
(3) WYPOLNENO. eSLI A 2 S PROIZWOLXNO, TO
8" > 0 9Xn 2 S (n = 1; 2; : : :) (XA �[n
XnA;Xn
mXnA < "):
oTS@DA ��A(XA) = 0 I XA 2 LA (SM. P. 3). sLEDOWATELXNO, X 2 L(S; m)
I W SILU P. 7 �X = 0: >
oTMETIM W KA^ESTWE SLEDSTWIQ SWOJSTWO, NAZYWAEMOE OBY^NO POLNOTOJ
MERY lEBEGA.
10. wSQKOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX IZMERI-
MO (I IMEET LEBEGOWU MERU NULX).
11. p R I M E R. pUSTX S| POLUKOLXCO WSEH PROMEVUTKOW ha; bi (a; b 2R) W R; mha; bi � b � a. |TO �-KONE^NAQ MERA W R; SOOTWETSTWU@]AQ
MERA lEBEGA NA KLASSE L(S; m) NAZYWAETSQ LINEJNOJ MEROJ lEBEGA NA
^ISLOWOJ PRQMOJ R. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ PLOSKAQ MERA lEBEGA W
R2 I \OB_�EMNAQ" MERA lEBEGA W Rn. oTMETIM, ^TO BORELEWSKIE ALGEBRY
B(Rn) (n � 1) SODERVATSQ W SOOTWETSTWU@]IH ALGEBRAH IZMERIMYH PO
lEBEGU MNOVESTW.
12. pUSTX A | �-ALGEBRA PODMNOVESTW MNOVESTWA E. fUNKCIQ
� : A! R+ [ f+1g NAZYWAETSQ �-KONE^NOJ MEROJ, ESLI
322
(A) SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE E =1Pn=1
En, GDE En 2 A I �En < +1,
(B) X =1Pn=1
Xn (X 2 A)) �X =1Pn=1
�Xn (RASHODQ]EMUSQ RQDU PRIPI-
SYWAETSQ ZNA^ENIE +1).
pRI \TOM �-KONE^NAQ MERA � NAZYWAETSQ POLNOJ, ESLI Y � X 2 A; �X = 0
WLE^�ET Y 2 A (I ZNA^IT, �Y = 0).
oTMETIM E]�E POLEZNOE SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI MERY OTNOSITELXNO
MONOTONNYH SHODIMOSTEJ MNOVESTW.
13. pUSTX � | �-KONE^NAQ MERA NA �-ALGEBRE MNOVESTW A I
X1 � X2 � : : : ; Y1 � Y2 � : : : (Xn; Yn 2 A). tOGDA
(A) �(1Sn=1
Xn) = limn�Xn,
(B) ESLI �Yk < +1 PRI NEKOTOROM k, TO �(1Tn=1
Yn) = limn�Yn.
� dOKAVEM, NAPRIMER, (B). pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI �Y1 < +1. iZ
RAWENSTWA Y1 =1Tn=1
Yn + Y1nY2 + Y2nY3 + : : : S U^�ETOM P. 12(B) IMEEM
�Y1 = �(1Tn=1
Yn) +1Pk=1
�(YknYk+1) = �(1Tn=1
Yn) + limn
n�1Pk=1
�(YknYk+1);
�(1Tn=1
Yn) = �Y1 � limn
n�1Pk=1
�(YknYk+1) = limn�[Y1n(
n�1Pk=1
(YknYk+1)]= lim
n�Yn: >
14. u P R A V N E N I E. pUSTXm| POLNAQ KONE^NAQ MERA NA �-ALGEBRE
MNOVESTW A. pOKAVITE, ^TO L(A ;m) = A. oBOB]ITE REZULXTAT NA SLU^AJ
�-KONE^NOJ MERY.
x198. mERY lEBEGA-sTILTXESA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ
zDESX MY OBSUDIM ZADA^U PERE^ISLENIQ WSEH MER NA BORELEWSKOJ AL-
GEBRE B(R).
1. oBOZNA^IM ^EREZ F KLASS WSEH FUNKCIJ F (t) (t 2 R) NEUBYWA@]IH,NEPRERYWNYH SLEWA I TAKIH, ^TO
F (+1)� F (�1) � limt!+1F (t)� lim
t!�1F (t) < +1:
323
pUSTX S | POLUKOLXCO (S 1) W R WSEH PROMEVUTKOW WIDA [a; b)(�1� a <
b � +1). oPREDELIM DLQ KAVDOJ FUNKCII F 2 F MERU mF : S! R+
(�) mF [a; b) � F (b)� F (a)
(SM. NIVE UPR. 6). sOGLASNO x196 \TA MERA DOPUSKAET PRODOLVENIE DO
MERY lEBEGA �F : LF ! R+, GDE LF = L(S; mF ). nAZOW�EM �F MEROJ
lEBEGA-sTILTXESA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ . pO POSTROENI@ DLQ KAVDOJ
F 2 F WERNO WKL@^ENIE B(R) � LF .
mERY lEBEGA-sTILTXESA INTERESNY TEM, ^TO IMI IS^ERPYWA@TSQ WSE
MERY NA ALGEBRE B(R).
2. eSLI m : B(R) ! R+ | MERA, TO SU]ESTWUET I OPREDELENA OD-
NOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO, FUNKCIQ F 2 FTAKAQ, ^TO m = �F j B(R).� dLQ MERY m : B(R) ! R
+ OPREDELIM FUNKCI@ F RAWENSTWOM F (t) �m(�1; t); t 2 R. qSNO, ^TO F NE UBYWAET, F (+1)�F (�1) = mR< +1.
kROME TOGO, (�1; t) =1Sn=1
(�1; t � 1n), I W SILU NEPRERYWNOSTI m (SM.
197.13):
F (t) = m(�1; t) = limnm(�1; t� 1
n) = lim
nF (t� 1
n) = F (t�):
iTAK, F 2 F . pUSTX TEPERX G 2 F | E]�E ODNA FUNKCIQ, OBLADA@]AQ
SWOJSTWOM m = �G j B(R). eSLI DOPUSTITX, ^TO G(t) 6= F (t) + const,
TO NAJDUTSQ x; y 2 R (x > y) TAKIE, ^TO G(x) � G(y) 6= F (x) � F (y).
sLEDOWATELXNO (SM. (�)), �F [y; x) 6= �G[y; x), ^TO PROTIWORE^IT RAWENSTWU
�F j B(R) = �G j B(R): >3. aNALOGI^NO MOVNO OPREDELITX MERY lEBEGA-sTILTXESA NA OTREZ-
KE [a; b](� R). |TI MERY MOVNO PERE^ISLITX S POMO]X@ NEUBYWA@]IH,
NEPRERYWNYH SLEWA FUNKCIJ �(t) (a � t � b). w ^ASTNOSTI, PRI �(t) �t (a � t � b) POLU^AETSQ LINEJNAQ MERA lEBEGA NA OTREZKE [a; b].
u P R A V N E N I Q. 4. pUSTX F = �(0;+1)
. uBEDITESX, ^TO (A) �F f0g = 1,
(B) LF SOWPADAET S SEMEJSTWOM WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA R, (W) DLQ
X � R:
�FX =
�1; ESLI 0 2 X,
0; ESLI 0 62 X.
324
5. eSLI FUNKCIQ F 2 F PRINIMAET NE BOLEE ^EM S^�ETNOE ^ISLO ZNA-
^ENIJ, TO LF SOWPADAET S SEMEJSTWOM WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA R.
6. pOKAVITE, ^TO FUNKCIQ mF , OPREDEL�ENNAQ W P. 1 RAWENSTWOM (�),QWLQETSQ �-ADDITIWNOJ.
x199. rAZLOVENIE MERY lEBEGA-sTILTXESA NA DISKRETNU@
I NEPRERYWNU@ KOMPONENTY
1. dLQ FUNKCII F 2 F OPREDELIM NOWU@ FUNKCI@
Fd(t) �Xtk<t
[F (tk+)� F (tk)] (t 2 R);
GDE tk | TO^KI RAZRYWA FUNKCII F (HORO[O IZWESTNO, ^TO IH NE BOLEE
^EM S^�ETNO (SM. 48.2)). nAZOW�EM \TU FUNKCI@ (ONA TAKVE PRINADLEVIT
KLASSU F) DISKRETNOJ KOMPONENTOJ FUNKCII F .2. fUNKCIQ Fc � F � Fd PRINADLEVIT KLASSU F I NEPRERYWNA.
� pOKAVEM SNA^ALA, ^TO Fc NE UBYWAET. dLQ t < s IMEEM:
F (s)� F (t) � Xt�tk<s
F (tk+)� F (tk)] =Xtk<s
�Xtk<t
= Fd(s)� Fd(t):
pO\TOMU Fc(s) = F (s) � Fd(s) � F (t)� Fd(t) = Fc(t). nEPRERYWNOSTX FcSLEDUET IZ RAWENSTWA:
Fc(t+) = F (t+)� Fd(t+) = F (t) + Fd(t+)� Fd(t)� Fd(t+) = Fc(t): >
3. tAKIM OBRAZOM, WSQKAQ FUNKCIQ F 2 F ESTX SUMMA SWOEJ DISKRET-
NOJ I NEPRERYWNOJ KOMPONENT: F = Fd+Fc. pRI \TOM IZ (�)x198 SLEDUET,^TO
(1) mF = md +mc;
GDE md � mFd; mc � mFc. pODOBNOE RAWENSTWO SPRAWEDLIWO I DLQ LE-
BEGOWSKIH PRODOLVENIJ UKAZANNYH MER. pUSTX �c I �d | LEBEGOWSKIE
PRODOLVENIQ SOOTWETSTWENNO MER mc I md.
4. wSQKAQ MERA lEBEGA-sTILTXESA �F PREDSTAWIMA W WIDE SUMMY
�c + �d W TOM SMYSLE, ^TO RAWENSTWO
(2) �FX = �dX + �cX
325
SPRAWEDLIWO WSQKIJ RAZ, KOGDA OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ.
� ~EREZ S OBOZNA^IM POLUKOLXCO, OPREDEL�ENNOE W 198.1. pUSTX X � R I
fXng � S | POKRYTIE X. w SILU (1)
Xn
mFXn =Xn
mcXn +Xn
mdXn � ��cX + �dX
(SOGLASNO 198.5 ZW�EZDO^KA U ��d OPU]ENA). iZ PROIZWOLXNOSTI POKRYTIQ
fXng OTS@DA
(3) ��FX � ��cX + �dX:
s DRUGOJ STORONY, DLQ WSQKOGO " > 0 NAJDUTSQ POKRYTIQ fYng; fZkg MNO-VESTWA X POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ MNOVESTWAMI IZ S TAKIE, ^TO
Xn
mcYn < ��cX + "=2;Xk
mdZk < �dX + "=2:
tOGDA SEMEJSTWO fYnZkgn;k | SNOWA POKRYTIE X, PRI^�EM
Pn
PkmFYnZk =
Pn
PkmcYnZk +
Pk
PnmdYnZk
� PnmcYn +
Pk
mdZk < ��cX + �dX + ":
oTS@DA
(4) ��FX � ��cX + �dX:
iZ (3) I (4) IMEEM
(5) ��FX = ��cX + �dX (X � R):
sKLADYWAQ (5) S TAKIM VE RAWENSTWOM DLQ Xc, POLU^AEM
(6) ��FX + ��FXc = ��cX + ��cX
c + �dR
= ��cX + ��cXc +mFR�mcR:
eSLI OPREDELENA PRAWAQ ^ASTX (2), TO \TO OZNA^AET, ^TO X 2 LFc , TO ESTX��cX + ��cX
c = mcR I POTOMU IZ (6) SLEDUET, ^TO ��FX + ��FXc = mFR,
TO ESTX X 2 LF I SPRAWEDLIWO (2). aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ,KOGDA OPREDELENA LEWAQ ^ASTX (2).>
326
x200. aBSOL@TNO NEPRERYWNYE MERY
zDESX MY KOSN�EMSQ WOPROSA SRAWNENIQ RAZLI^NYH MER, ZADANNYH NA
ODNOJ �-ALGEBRE MNOVESTW; MERY MOGUT BYTX W OPREDEL�ENNOM SMYSLE
\BLIZKIMI" PO SWOIM KA^ESTWENNYM SWOJSTWAM, A MOGUT OKAZATXSQ I \DA-
L�EKIMI" DRUG OT DRUGA.
1. pUSTX � I � |DWE MERY, ZADANNYE NA �-ALGEBRE A W MNOVESTWE
E. mERA � NAZYWAETSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNOJ OTNOSITELXNO MERY �
(OBOZNA^AETSQ � � �), ESLI 8X 2 A (�X = 0 ) �X = 0). mERY � I �
NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI � � � I � � �. mERA � NAZYWAETSQ
SINGULQRNOJ OTNOSITELXNO MERY �, ESLI SU]ESTWUET X 2 A TAKOE, ^TO
�X = �Xc = 0:
2. w USLOWIQH P. 1 � � � TTOGDA
(�) 8" > 0 9� > 0 8X 2 A (�X < � ) �X < "):
� dOSTATO^NOSTX O^EWIDNA. pUSTX TEPERX (�) NE WYPOLNQETSQ, TO ESTX
9" > 0 8k 2 N 9Xk 2 A (�Xk < 2�k; �Xk � "). dLQ MNOVESTW Yn =1S
k=n+1Xk (n = 1; 2; : : :) IMEEM
�Yn �1X
k=n+1
�Xk <1X
k=n+1
2�k = 2�n; �Yn � �Xn+1 � ":
tOGDA DLQ Y =1Tn=1
Yn W SILU 197.13 POLU^IM (S U^�ETOM WKL@^ENIJ Y1 �Y2 � : : :) : �Y = lim
n�Yn = 0; �Y = lim
n�Yn � ", TO ESTX � NE ABSOL@TNO
NEPRERYWNA OTNOSITELXNO �: >
rASSMOTRIM PONQTIE ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI PRIMENITELXNO K BO-
RELEWSKOJ ALGEBRE OTREZKA ^ISLOWOJ PRQMOJ. nAM PONADOBITSQ PONQTIE
ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI DLQ WE]ESTWENNYH FUNKCIJ.
3. wE]ESTWENNAQ FUNKCIQ f(t) (a � t � b) NAZYWAETSQ ABSOL@TNO NE-
PRERYWNOJ, ESLI DLQ WSQKOGO " > 0 SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO KAKOWA
BY NI BYLA SISTEMA POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ INTERWALOW (ak; bk) (k =
1; 2; : : : ; n) SUMMARNOJ DLINY MENX[E �, SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOnPk=1
jf(bk)� f(ak)j < ".
327
4. pUSTX �F | MERA NA B([a; b]), POROVD�ENNAQ FUNKCIEJ F 2 F (SM.
198.3), I � | LINEJNAQ MERA lEBEGA; �F � � TTOGDA FUNKCIQ F ABSO-
L@TNO NEPRERYWNA.
� pUSTX �F � � I � > 0 OPREDELENO PO " > 0 W SOOTWETSTWII S (�).pOLOVIW X =
nPk=1
[ak; bk), IMEEMnPk=1
(bk � ak) = �X < � I PO\TOMU
nXk=1
jF (bk)� F (ak)j =nXk=1
[F (bk)� F (ak)] = �FX < ":
oBRATNO, PUSTX F ABSOL@TNO NEPRERYWNA I �X = 0. dLQ " > 0 WY-
BEREM � > 0 IZ OPREDELENIQ ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI F . sU]ESTWUET
POKRYTIE f[ai; bi)gi=1;2;::: MNOVESTWA X POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ PRO-
MEVUTKAMI TAKOE, ^TO1Pi=1
(bi � ai) < � (SM. 195.3). oTS@DA
1Xi=1
�F [ai; bi) = limn
nXi=1
[F (bi)� F (ai)] � ";
A ZNA^IT, �FX = 0: >
5. z A M E ^ A N I E. nIVE (SM. x212) BUDET POLU^ENO UTO^NENIE UTWERV-DENIQ 199.4, A IMENNO, BUDET USTANOWLENO, ^TO NEPRERYWNAQ KOMPONENTA
�c KAVDOJ MERY lEBEGA-sTILTXESA �F W SWO@ O^EREDX DOPUSKAET (ODNO-
ZNA^NOE) PREDSTAWLENIE W WIDE SUMMY �a+�s, GDE �a | ABSOL@TNO NEPRE-
RYWNA OTNOSITELXNO LINEJNOJ MERY lEBEGA � NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, A �sSINGULQRNA OTNOSITELXNO �. pOKA VE MY PRIWED�EM PRIMER BORELEWSKOJ
MERY �F SINGULQRNOJ OTNOSITELXNO LINEJNOJ MERY lEBEGA, DLQ KOTOROJ
F NEPRERYWNA.
6. p R I M E R. rAZDELIM OTREZOK E = [0; 1] NA TRI ^ASTI [0; 1=3];
(1=3; 2=3); [2=3; 1] I OBOZNA^IM X1 = (1=3; 2=3). kAVDYJ IZ OTREZKOW
[0; 1=3] I [2=3; 1] SNOWA RAZDELIM PODOBNYM OBRAZOM NA TRI ^ASTI I OBO-
ZNA^IM X2 = (1=9; 2=9), X3 = (7=9; 8=9). kAVDYJ IZ OSTAW[IHSQ OTREZ-
KOW [0; 1=9], [2=9; 3=9], [6=9; 7=9], [8=9; 1] SNOWA RAZDELIM NA TRI ^ASTI I
T. D. pOLU^AEM POSLEDOWATELXNOSTX X1; X2; X3; : : : POPARNO NEPERESEKA@-
]IHSQ OTKRYTYH INTERWALOW OTREZKA E. pUSTX Y =PnXn. mNOVESTWO
Y c = EnY NAZYWAETSQ KANTOROWYM MNOVESTWOM (ONO POSTROENO g. kAN-
TOROM | OSNOWATELEM TEORII MNOVESTW). oPREDELIM FUNKCI@ � NA E
328
RAWENSTWOM
�(x) =
8>>>>><>>>>>:
2�1; ESLI x 2 X1,
2�2; ESLI x 2 X2,
3 � 2�2; ESLI x 2 X3,
2�3; ESLI x 2 X4,
: : : : : : : : : .
dLQ x 2 Y c POLOVIM �(x) = supy<x; y2Y
�(y); �(0) � 0. fUNKCIQ � NE UBYWAET
NA E I NEPRERYWNA. w SAMOM DELE, ESLI �(x+)� �(x�) > 0 DLQ NEKOTOROJ
TO^KI x 2 E, TO NAJD�ETSQ DROBX WIDA m �2�n TAKAQ, ^TO �(x�) < m �2�n <�(x+); PO POSTROENI@ SU]ESTWUET x0 TAKOE, ^TO �(x0) = m � 2�n, ^TOPROTIWORE^IT MONOTONNOSTI �.
rASSMOTRIM TEPERX MERU lEBEGA-sTILTXESA �� NA [0; 1]. pRI \TOM DLQ
X = Y c IMEEM (� | LINEJNAQ MERA lEBEGA):
�X = 1 � �Y = 1�Xn
�Xn = 1� (1=3 + 2=9 + 4=27 + : : :) = 0;
��Xc = ��Y =
Pn��Xn
= [�(2=3) � �(1=3)]� [�(2=9) � �(1=9)] + : : : = 0:
z A M E ^ A N I Q. 7. wSQKAQ ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ RAWNO-
MERNO NEPRERYWNA. oBRATNOE NEWERNO: RASSMOTRITE FUNKCI@ � PRIMERA
6 (!!).
8. eSLI W P. 3 POTREBOWATX, ^TOBY SISTEMA POPARNO NEPERESEKA@]IH-
SQ INTERWALOW (ak; bk) SUMMARNOJ DLINY MENX[E �, BYLA NE BOLEE ^EM
S^�ETNOJ, POLU^ITSQ OPREDELENIE, \KWIWALENTNOE ISHODNOMU (!!).
329
izmerimye funkcii
w KLASSI^ESKOM ANALIZE OPERIRU@T GLAWNYM OBRAZOM S NEPRERYWNY-
MI FUNKCIQMI, OPREDEL�ENNYMI W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH. oDNAKO, PO-
TO^E^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI NEPRERYWNYH FUNKCIJ UVE NE BU-
DET, WOOB]E GOWORQ, NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ.sTREMLENIE RABOTATX S KLAS-
SOM FUNKCIJ, ZAMKNUTYM OTNOSITELXNO OPERACIJ ANALIZA (ARIFMETI^ES-
KIE OPERACII, PREDELXNYJ PEREHOD), PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI IZU^ENIQ
FUNKCIJ BOLEE OB]IH, NEVELI NEPRERYWNYE.
x201. pROOBRAZ KOLXCA OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ1. pUSTX E;F | MNOVESTWA I f : E ! F | OTOBRAVENIE. dLQ POL-
NYH PROOBRAZOW MNOVESTW Y (� F ) OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ f (SM. 1.1)
SPRAWEDLIWY RAWENSTWA
(�) f�1(Si2IYi) =
Si2If�1(Yi); f�1(
Ti2IYi) =
Ti2If�1(Yi),
f�1(Y c) = f�1(Y )c.
pUSTX E| SEMEJSTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA F . pROOBRAZOM E OTNO-
SITELXNO OTOBRAVENIQ f : E ! F NAZOW�EM SEMEJSTWO f�1(E) � ff�1(Y ) :Y 2 Eg. iZ RAWENSTW (�) SLEDUET:
2. z A M E ^ A N I E. pROOBRAZ KOLXCA OTNOSITELXNO PROIZWOLXNOGO
OTOBRAVENIQ QWLQETSQ KOLXCOM.
3. pUSTX E | SEMEJSTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA F I f : E ! F .
kOLXCO W E, POROVD�ENNOE SEMEJSTWOM f�1(E), SOWPADAET S PROOBRAZOM
OTNOSITELXNO f KOLXCA, POROVD�ENNOGO SEMEJSTWOM E.
� pUSTX T(E) | KOLXCO, POROVD�ENNOE SEMEJSTWOM E (SM. x193). sEMEJ-STWO f�1(T(E)) QWLQETSQ KOLXCOM, OB_EML@]IM SEMEJSTWO f�1(E). pUSTXK | PROIZWOLXNOE KOLXCO, OB_EML@]EE f�1(E). tOGDA SEMEJSTWO T0(E) �fX 2 T(E) j f�1(X) 2 Kg OBLADAET SWOJSTWAMI:
(A) E � T0(E) � T(E) (PO POSTROENI@),
(B) T0(E) | KOLXCO (!!).
pO\TOMU T0(E) = T(E). iTAK, KOLXCO K NEOBHODIMO OB_EMLET I KOLXCO
f�1(T(E)). tAKIM OBRAZOM, f�1(T(E)) | NAIMENX[EE KOLXCO, OB_EML@]EE
f�1(E) : f�1(T(E)) = T(f�1(E)): >
330
4. u P R A V N E N I E. uTWERVDENIQ PP. 2, 3 OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI
DLQ �-KOLXCA, ALGEBRY, �-ALGEBRY.
x202. oPREDELENIE IZMERIMOJ FUNKCII
bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO E | ABSTRAKTNOE MNOVESTWO S ZADANNOJ NA
N�EM �-ALGEBROJ A.
1. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ IZMERIMOJ, ESLI f�1(Y ) 2 A DLQ
L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA Y (� R). dRUGIMI SLOWAMI, f IZMERIMA,
ESLI f�1(B) � A, GDE B | BORELEWSKAQ ALGEBRA W R.
oBOZNA^IM ^EREZ M = M(E;A) MNOVESTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ
f : E ! R.
2. p R I M E R. fUNKCIQ WIDA �X(X 2 A) IZMERIMA.
3. f 2M(E;A) TTOGDA fx j f(x) < cg 2 A (c 2 R).� eSLI f 2 M , TO fx j f(x) < cg = f�1((�1; c)) 2 A , TAK KAK (�1; c) 2B(R) (c 2 R). oBRATNO, PUSTX
f�1(E) � A; GDE E = f(�1; c)gc2R:
tAK KAK B(R) | �-ALGEBRA, POROVD�ENNAQ SEMEJSTWOM E (SM. 193.11), TO S
U^�ETOM 201.4 IMEEM
f�1(B) = f�1(A�(E)) = A�(f�1(E)) � A�(A) = A
(ZDESX ^EREZ A�(E) OBOZNA^AETSQ �-ALGEBRA, POROVD�ENNAQ SEMEJSTWOM E),
TO ESTX f 2M: >
4. nAPOMNIM TERMINOLOGI@ x138: POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ
fn : E ! R SHODITSQ K f : E ! R (OBOZNA^ENIE fn ! f), ESLI limnfn(x) =
f(x) (x 2 E); fn RAWNOMERNO SHODITSQ K f (fn =) f), ESLI
8" > 0 9N 8n > N 8x 2 E (jfn(x)� f(x)j < "):
5. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ K FUNK-
CII f , TO f TAKVE IZMERIMA.
331
� qSNO, ^TO fx j f(x) < cg =1Sk=1fx j f(x) < c � 1
kg. tAK KAK fn ! f ,
NERAWENSTWO f(x) < c � 1kPRI FIKSIROWANNOM x 2 E OZNA^AET, ^TO DLQ
DOSTATO^NO BOLX[IH m : fm(x) < c� 1k. sLEDOWATELXNO,
fx j f(x) < cg =1[k=1
1[n=1
\m�n
fx j fm(x) < c� 1
kg:
tEPERX UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 3. >
6. iZMERIMYE FUNKCII, PRINIMA@]IE NE BOLEE ^EM S^�ETNOE ^ISLO
ZNA^ENIJ, BUDEM NAZYWATX PROSTYMI FUNKCIQMI. pUSTX �1; �2; : : : |
WSE (POPARNO RAZLI^NYE) ZNA^ENIQ, KOTORYE PRINIMAET PROSTAQ FUNKCIQ
f : E ! R. tAK KAK ODNOTO^E^NYE MNOVESTWA f�ng 2 B(R), TO MNOVESTWA
Xn � fx j f(x) = �ng = f�1(f�ng) 2 A POPARNO NE PERESEKA@TSQ I OBRAZU-
@T RAZBIENIE E. tAKIM OBRAZOM, WSQKAQ PROSTAQ FUNKCIQ f PREDSTAWIMA
W WIDE:
f =Xn
�n�Xn ;Xn
Xn = E; Xn 2 A:
sLEDU@]EE SWOJSTWO MOVNO RASSMATRIWATX KAK KONSTRUKTIWNOE OPRE-
DELENIE IZMERIMOJ FUNKCII.
7. fUNKCIQ f : E ! R IZMERIMA TTOGDA ONA QWLQETSQ RAWNOMERNYM
PREDELOM PROSTYH FUNKCIJ.
� dOSTATO^NOSTX SPRAWEDLIWA W SILU P. 5. dLQ PROWERKI NEOBHODIMOSTIPOLOVIM
fn(x) =k
n; ESLI
k
n� f(x) <
k
n+
1
n(n 2 N; k 2 Z):
qSNO, ^TO fn | PROSTYE FUNKCII I jfn(x)� f(x)j � 1n (x 2 E), TO ESTX
fn =) f: >
u P R A V N E N I Q. 8. pUSTX fn 2 M(E;A) (n = 1; 2; : : :) I fn(x) =
supnf(x) < +1 (x 2 E). tOGDA f 2M(E;A).
9. eSLI f; g 2M(E;A), TO fx j f(x) 6= g(x)g 2 A.
10. pUSTX A�(Z) | �-ALGEBRA W , POROVD�ENNAQ POLUKOLXCOM Z (191.9).
pOKAVITE, ^TO FUNKCIQ f(!) =Pn!n2
�n(! = (!1; !2; : : :) 2 ) PRINADLE-
VIT KLASSU M(;A�(Z)).
332
x203. |LEMENTARNYE SWOJSTWA IZMERIMYH FUNKCIJ1. pUSTX f; g 2 M(E;A). tOGDA f � g; f � g 2 M(E;A). eSLI, KROME
TOGO, f NE OBRA]AETSQ W NULX, TO 1=f 2M(E;A).
� pUSTX f; g | PROSTYE FUNKCII:
f =Xn
�0n�Xn ; g =Xk
�00k�Yk (Xn
Xn =Xk
Yk = E):
tOGDA f+g =Pn;k(�0n+�
00k)�XnYk I, SLEDOWATELXNO, f+g| PROSTAQ FUNKCIQ.
fw SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM PROSTOJ FUNKCII SLEDUET RASSMOTRETX
POSLEDOWATELXNOSTX �1; �2; : : : POPARNO RAZLI^NYH ZNA^ENIJ WSEH SUMM WI-
DA �0n + �00k (n; k = 1; 2; : : :), TAK ^TO
f + g =X
�0n+�00k=�s
�s�Zs ; GDE Zs =X
�0n+�00k=�s
XnYk:
w DALXNEJ[EM BUDEM OPUSKATX STOLX DETALXNYE ARGUMENTY PRI ARIFME-
TI^ESKIH OPERACIQH NAD PROSTYMI FUNKCIQMI.g eSLI f; g | IZMERIMYE,
NO NE PROSTYE, TO IZMERIMOSTX f + g SLEDUET IZ 202.7.
eSLI f 2M(E;A), TO f2 2 M(E;A) W SILU RAWENSTWA
fx j f2(x) < cg = fx j f(x) < pcg\fx j f(x) > �pcg (c � 0):
iZ PREDSTAWLENIQ f � g = 14((f + g)2 � (f � g)2) SLEDUET IZMERIMOSTX
PROIZWEDENIQ IZMERIMYH FUNKCIJ. >
2. eSLI f 2M(E;A) I X 2 A, TO f � �X2M(E;A).
� |TO NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE P. 1. >3. fUNKCIQ f : R ! R NAZYWAETSQ IZMERIMOJ PO bOREL@ (ILI
w-IZMERIMOJ), ESLI f�1(B(R)) � B(R).
4. pUSTX f 2 M(E;A) I ' w-IZMERIMA. tOGDA SUPERPOZICIQ ' � f 2M(E;A).
� dEJSTWITELXNO, '�1(Y ) 2 B(R) DLQ L@BOGO Y 2 B(R). sLEDOWATELXNO,
(' � f)�1(Y ) = f�1('�1(Y )) 2 A: >
5. z A M E ^ A N I E. oPREDELENIE P. 3 MOVNO OBOB]ITX NA SLU^AJ
FUNKCIJ WIDA f : X ! R, GDE X(� R) | NEKOTOROE BORELEWSKOE MNOVEST-
WO. tAKAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ w-IZMERIMOJ, ESLI f�1(B(R)) � B(X), GDE
B(X) = fBTX j B 2 B(R)g.
333
u P R A V N E N I Q. 6. eSLI f : R! RNEPRERYWNA, TO ONA w-IZMERIMA.
7. eSLI f : R! R IMEET KONE^NOE ILI S^�ETNOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA,
TO ONA w-IZMERIMA.
8. eSLI fn 2M(E; A) | POSLEDOWATELXNOSTX IZMERIMYH FUNKCIJ, TO
X = fx 2 E j (fn(x)) SHODITSQ g 2 A).
x204. iZMERIMYE FUNKCII NA PROSTRANSTWE S MEROJ
1. rASSMOTRIM TROJKU (E; A; �), GDE E | MNOVESTWO, A | �-ALGEBRA
W E; � | POLNAQ �-KONE^NAQ MERA NA A (SM.197.12). fUNKCII f; g : E ! R
NAZOW�EM \KWIWALENTNYMI (PI[EM f � g), ESLI �fx j f(x) 6= g(x)g = 0.
tAKIM OBRAZOM, f � g, ESLI f(x) = g(x) P.W. (W SOOTWETSTWII S TERMINO-
LOGIEJ 47.1).
2. eSLI g 2M(E; A) I f � g, TO f 2M(E; A).
� dEJSTWITELXNO,fxj f(x) < cg = fxjf(x) = g(x); g(x) < cg+ fxjf(x) 6= g(x); f(x) < cg
= fx j g(x) < cg \ fx j f(x) 6= g(x)gc+ fx j f(x) 6= g(x); f(x) < cg:
iZ POLNOTY MERY fx j f(x) 6= g(x); f(x) < cg 2 A; fx j f(x) 6= g(x)gc 2 A.
pO\TOMU fx j f(x) < cg 2 A: >
3. eSLI FUNKCII f; g : R! R NEPRERYWNY I \KWIWALENTNY OTNOSI-
TELXNO LINEJNOJ MERY lEBEGA, TO f = g.
� pUSTX, NAPROTIW, f(x0) 6= g(x0); IZ NEPRERYWNOSTI f I g W TO^KE x0SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T a; b (a < x0 < b) TAKIE, ^TO (f � g)(x) 6= 0 DLQ
WSEH x 2 (a; b). pRI \TOM �fx j f(x) 6= g(x)g � �(a; b) = b� a > 0, TO ESTX
f I g NE \KWIWALENTNY. >
4. z A M E ^ A N I E. w KLASSE M(E;A) IZMERIMYH FUNKCIJ OTNO[E-
NIE � QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI. kLASSM(E;A) FORMALXNO
NE ZAWISIT OT MERY � : A ! R+ [ f+1g. w TOM SLU^AE, KOGDA FUNKCII
NAS INTERESU@T S TO^NOSTX@ DO IH ZNA^ENIJ NA MNOVESTWE MERY NULX,
CELESOOBRAZNO FAKTORIZOWATX MNOVESTWOM(E; A) PO OTNO[ENI@ \KWIWA-
LENTNOSTI � (SM. PRIL. I, P. 5). pOLU^ENNOE MNOVESTWO KLASSOW POPARNO
\KWIWALENTNYH IZMERIMYH FUNKCIJ OBOZNA^IM ^EREZ M(E; A; �).
334
x205. sHODIMOSTX PO^TI WS@DU
1. pOSLEDOWATELXNOSTX fn : E ! R NA PROSTRANSTWE S �-KONE^NOJ
MEROJ (E; A; �) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ PO^TI WS@DU K FUNKCII f , ESLI
limnfn(x) = f(x) P.W. (PI[EM fn
P.W.�! f).
2. p R I M E R. pOSLEDOWATELXNOSTX fn(x) = (�1)nxn�[0;1]
(x)(x 2 R)
SHODITSQ K 0 P.W. NA ^ISLOWOJ PRQMOJ S LINEJNOJ MEROJ lEBEGA. oDNAKO,
OTNOSITELXNO MERY lEBEGA-sTILTXESA �F , OPREDELQEMOJ FUNKCIEJ F =
�(1;+1)
, TA VE POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ P.W. RASHODITSQ.
3. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ P.W. K
FUNKCII f , TO f TAKVE IZMERIMA.
� pUSTX FUNKCII ZADANY NA PROSTRANSTWE S MEROJ (E; A; �) I
X = fx j limnfn(x) = f(x)g;
TAK ^TO fn�X ! f�X. pO USLOWI@ �Xc = 0. pO\TOMU X 2 A. sOGLASNO
202.5 f � �X2 M(E; A). pOSKOLXKU fx 2 E j f(x) 6= f(x)�
X(x)g � Xc,
IMEEM f � f � �XI OSTA�ETSQ U^ESTX 204.2. >
sLEDU@]AQ TEOREMA USTANAWLIWAET SWQZX MEVDU SHODIMOSTX@ P.W. I
RAWNOMERNOJ SHODIMOSTX@: OKAZYWAETSQ, ^TO NA PROSTRANSTWE S KONE^NOJ
MEROJ DLQ WSQKOJ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI IZMERIMYH FUNKCIJ
MOVNO UDALITX IZ PROSTRANSTWA MNOVESTWO SKOLX UGODNO MALOJ MERY
TAK, ^TO NA OSTAW[EMSQ MNOVESTWE \TA POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ UVE
RAWNOMERNO.
4. t E O R E M A [d. f. eGOROW]. pUSTX �E < +1; fn 2 M(E; A)
I fnP.W.�! f . tOGDA DLQ WSQKOGO � > 0 SU]ESTWUET X 2 A TAKOE, ^TO
�X < � I fn � �Xc =) f � �Xc .
� iZ P. 3 SLEDUET, ^TO f 2M(E; A). pOLOVIM
Xmn =
\i�nfx : jfi(x)� f(x)j < 1
mg; Xm =
[n
Xmn :
pOSLEDOWATELXNOSTX Xm1 ; X
m2 ; : : : MONOTONNO WOZRASTAET. pO\TOMU W SILU
197.13 DLQ WSQKOGO m NAJD�ETSQ n0 = n0(m) TAKOE, ^TO �(XmnXmn0(m)) <
335
�2�m.pOLOVIMXc =TmXmn0(m). tOGDA fn�Xc =) f�Xc, TAK KAK jfn(x)�Xc(x)�
f(x)�Xc (x)j < 1
m (n � n0). zAMETIM DALEE, ^TO
(Xm)c = ([n
Xmn )
c=\n
[i�nfx : jfi(x)� f(x)j � 1
mg:
pO\TOMU ESLI x 2 (Xm)c, TO SU]ESTWU@T SKOLX UGODNO BOLX[IE n, PRI
KOTORYH jfn(x) � f(x)j � 1m, TO ESTX x 2 (Xm)c ) fn(x) 6! f(x). w SILU
USLOWIQ TEOREMY �(Xm)c = 0. oTS@DA
�X = �([TmXmn0(m)]
c) = �(
Sm(Xm
n0(m))c) � P
m�(Xm
n0(m))c
=Pm�(XmnXm
n0(m)) <Pm�2�m = �: >
5. u P R A V N E N I E. eSLI fn 2 M(E; A) I fnP.W.�! f , TO fn
P.W.�! g
TTOGDA g � f .
x206. sHODIMOSTX PO MERE
1. pOSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ (NA PROSTRANSTWE S
�-KONE^NOJ MEROJ) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ PO MERE K IZMERIMOJ FUNKCII
f (OBOZNA^ENIE fn��! f), ESLI DLQ WSQKOGO " > 0:
limn�fx : jfn(x)� f(x)j � "g = 0:
2. pUSTX fn | POSLEDOWATELXNOSTX IZMERIMYH FUNKCIJ NA PROSTRAN-
STWE E S KONE^NOJ MEROJ �, PRI^�EM fnP.W.�! f . tOGDA fn
��! f .
� w SILU 205.3 f IZMERIMA. pROWERIM, ^TO �Xn(")! 0 (n!1), GDE
(�) Xn(") � fx : jfn(x)� f(x)j � "g:
pUSTX X =1Tn=1
Sk�n
Xk("). eSLI x 2 X, TO x PRINADLEVIT BESKONE^NO
MNOGIM Xn(") I, SLEDOWATELXNO, fn(x) 6! f(x). pO\TOMU
X � fx j fn(x) 6! f(x)g; �fx j fn(x) 6! f(x)g = 0:
336
oTS@DA �X = 0. pOLAGAQ Yn =Sk�n
Xk(") (n 2 N), IMEEM Y1 � Y2 �: : : ;
TnYn = X I �Yn ! 0 (SM. 197.13). o^EWIDNO, Xn(") � Yn, OTKUDA
�Xn(")! 0: >
3. p R I M E R: SHODIMOSTX PO MERE, WOOB]E GOWORQ, NE WLE^�ET SHO-
DIMOSTI P.W. pUSTX E = [0; 1); � | LINEJNAQ MERA lEBEGA. pOLOVIM
fki = �[i� 1k
; ik)
; 1 � i � k (k 2 N):
f11 ;
f21 ; f22 ;
: : : : : : : : :
fn1 ; fn2 ; : : : : : : fnn ;
: : : : : : : : : : : : : : :
zANUMERUEM \TU POSLEDOWATELXNOSTX PODRQD: f1 = f11 ; f2 = f21 ; f3 = f22 ; : : :.
dLQ OB]EGO ^LENA POSLEDOWATELXNOSTI fn = fk(n)
i(n) : k(n)!1 PRI n!1.
pO\TOMU (DLQ 0 < " < 1):
�fx : jfn(x)j � "g = 1
k(n)! 0 (n!1):
tAKIM OBRAZOM, fn��! 0. w TO VE WREMQ DLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO
x 2 E POSLEDOWATELXNOSTX fn(x) ESTX POSLEDOWATELXNOSTX IZ NULEJ I EDI-
NIC, PRI^�EM KAK TEH, TAK I DRUGIH W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NOE
^ISLO. iTAK, fn NE SHODITSQ NI W ODNOJ TO^KE x 2 E.4. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn SHODITSQ PO MERE K f , TO SU]EST-
WUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk) \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI, KOTORAQ
SHODITSQ K f P.W.
� pUSTX "n; �n | DWE POSLEDOWATELXNOSTI POLOVITELXNYH ^ISEL TAKIE,
^TO "n ! 0;Pn�n < +1. iSKOMU@ PODPOSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW STRO-
IM INDUKTIWNO: n1 OPREDELIM IZ USLOWIQ: �Xn1 ("1) < �1, GDE Xn(") OPRE-
DELENY RAWENSTWOM (�); TAKOE n1 SU]ESTWUET, TAK KAK fn ��! f . eSLI nk�1UVE OPREDELENO, TO nk OPREDELIM IZ USLOWIJ: �Xnk ("k) < �k; nk > nk�1.pOLOVIM X =
Ti
Sk�i
Xnk ("k). tOGDA �X � Pk�i
�Xnk ("k) <Pk�i
�k. iZ PRO-
IZWOLXNOSTI i I SHODIMOSTI RQDAPn�n OTS@DA SLEDUET, ^TO �X = 0.
337
eSLI fnk(x) 6! f(x), TO \TO OZNA^AET, ^TO x PRINADLEVIT BESKONE^NO
MNOGIM ^LENAM POSLEDOWATELXNOSTI Xnk ("k), TO ESTX x 2 X. pO\TOMU
�fx j fn(x) 6! f(x)g = 0: >
5. pRIWED�EM SHEMU WZAIMOSWQZEJ MEVDU RAZLI^NYMI TIPAMI SHODI-
MOSTI (�E < +1):
ffn =) fg ) ffn ! fg ) ffn P.W.�! fg ) ffn ��! fg:
w OPREDEL�ENNOM KONTEKSTE IMPLIKACII MOGUT BYTX OBRA]ENY (SM. P. 4 I
205.4).
u P R A V N E N I Q. 6. eSLI fn 2 M(E; A) I fn��! f , TO fn
��! g
TTOGDA g � f .
7. eSLI fn��! f; gn
��! g, TO fn + gn��! f + g.
8. pOSLEDOWATELXNOSTX fn SHODITSQ PO MERE TTOGDA DLQ WSQKOGO
" > 0 : limn;m
�fx : jfn(x)� fm(x)j � "g = 0.
9. iZ POSLEDOWATELXNOSTI fn, POSTROENNOJ W P. 3, WYDELITE PODPOSLE-
DOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ P.W.
10. eSLI �E < +1, TO fnP.W.�! f TTOGDA sup
m�njfm�f j ��! 0 PRI n!1.
338
integral lebega
dLQ IZMERIMYH FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO OPREDELENIE
INTEGRALA rIMANA OKAZYWAETSQ NE O^ENX UDA^NYM. nAPRIMER, IZWESTNAQ
FUNKCIQ dIRIHLE � � �[0;1]\Q
IZMERIMA, OGRANI^ENA, NO NE INTEGRIRUE-
MA PO rIMANU NA OTREZKE [0; 1] (SM. 48.4). nETRUDNO USTANOWITX PRI^INU
\TOGO: PRI SOSTAWLENII RIMANOWOJ SUMMY DLQ FUNKCII f OBLASTX INTEG-
RIROWANIQ RAZBIWAETSQ NA MELKIE OTREZKI �k, I ZNA^ENIE f(x) W KAVDOJ
TO^KE OTREZKA �k ZAMENQETSQ E�E ZNA^ENIEM W NEKOTOROJ TO^KE �k 2 �k.
|TA PROCEDURA ESTESTWENNA, LI[X ESLI ZNA^ENIQ f(x) W BLIZKIH TO^KAH
BLIZKI MEVDU SOBOJ, TO ESTX KOGDA f NEPRERYWNA ILI U NE�E IMEETSQ NE
SLI[KOM MNOGO TO^EK RAZRYWA. oSNOWNAQ IDEQ INTEGRALA lEBEGA ZAKL@-
^AETSQ W TOM, ^TO PRI SOSTAWLENII INTEGRALXNOJ SUMMY TO^KI IZ OBLASTI
INTEGRIROWANIQ GRUPPIRU@TSQ NE PO PRAWILU BLIZOSTI IH MEVDU SOBOJ,
A PO PRIZNAKU BLIZOSTI ZNA^ENIJ FUNKCII W \TIH TO^KAH. pREIMU]ESTWO
TAKOGO PODHODA ZAKL@^AETSQ E]�E I W TOM, ^TO OKAZYWAETSQ WOZMOVNYM
OPREDELITX UNIWERSALXNYM OBRAZOM PONQTIE INTEGRALA DLQ FUNKCIJ, ZA-
DANNYH NA PROIZWOLXNYH MNOVESTWAH, GDE OPREDELENA NEKOTORAQ MERA.
|TO WAVNO WO MNOGIH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, GDE NEOBHODIMO
UMETX INTEGRIROWATX PO BESKONE^NOMERNYM MNOGOOBRAZIQM.
w \TOJ GLAWE (ESLI NE OGOWORENO SPECIALXNO) � | POLNAQ KONE^NAQ
MERA NA NEKOTOROJ �-ALGEBRE A W E; WSE RASSMATRIWAEMYE PODMNOVEST-
WA E S^ITA@TSQ PRINADLEVA]IMI A, A WSE RASSMATRIWAEMYE FUNKCII
S^ITA@TSQ IZMERIMYMI.
x207. oPREDELENIE INTEGRALA lEBEGA
1. pUSTX (E; A; �) | PROSTRANSTWO S MEROJ. pROSTAQ FUNKCIQ f =Pn�n�Xn (
PnXn = E) NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ (PO lEBEGU), ESLIP
nj�nj�Xn < +1; SUMMA RQDA
Pn�n�Xn NAZYWAETSQ INTEGRALOM lEBEGA
OT FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ
Zf d�. tAKIM OBRAZOM,
Z(Xn
�n�Xn )d� �Xn
�n�Xn:
339
iZ ABSOL@TNOJ SHODIMOSTI RQDA W PRAWOJ ^ASTI INTEGRAL OPREDEL�EN OD-
NOZNA^NO.
oTMETIM SWOJSTWA PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.
2. eSLI f; g | PROSTYE INTEGRIRUEMYE FUNKCII, TO INTEGRIRUEMY
f + g; �f (� 2 R), IZ(f + g)d� =
Zf d� +
Zg d�;
Z(�f) d� = �
Zf d�:
� pUSTX f =Pn�n�Xn ; g =
Pk
�k�Yk (PXn =
PYk = E). tOGDA f + g =P
n;k
(�n + �k)�XnYk , PRI^�EM
Pn;kj�n + �kj�XnYk � P
n
Pkj�nj�XnYk +
Pk
Pnj�kj�XnYk
=Pnj�njP
k�XnYk +
Pkj�kjP
n�XnY
0k
=Pnj�nj�Xn +
Pk
j�kj�Yk < +1:
tAKIM OBRAZOM, f + g INTEGRIRUEMA. pRI \TOMZf d� +
Zg d� =
Pn�n�Xn +
Pk�k�Yk =
Pn�nPk�XnYk
+Pk�kPn�XnYk =
Pn;k(�n + �k)�XnYk
=
Z(f + g) d�: >
3. eSLI f | PROSTAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO f INTEGRIRUEMA I
jZf d� j� kfkE�E, GDE kfkE = sup
x2Ejf(x)j.
� iNTEGRIRUEMOSTX f =Pn�n�Xn (
PnXn = E) SLEDUET IZ OCENKIP
nj�nj�Xn � kfkE �P
n�Xn = kfkE�E. pO\TOMU
jZf d�j = jX
n
�n�Xnj �Xn
j�nj�Xn � kfkE�E: >
4. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ, ESLI SU]EST-
WUET POSLEDOWATELXNOSTX PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ fn, SHODQ-
]AQSQ K f RAWNOMERNO. w \TOM SLU^AE WELI^INA limn
Zfn d� NAZYWAETSQ
340
INTEGRALOM lEBEGA FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
Zf d� (ILIZ
E
f d�;
ZE
f(x)�(dx)).
uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ:
(A) limn
Zfn d� SU]ESTWUET;
(B) PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI fn;
(W) DLQ PROSTYH FUNKCIJ \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM
P. 1.
� pUSTX fn | PROSTYE INTEGRIRUEMYE FUNKCII I fn =) f . w SILU PP. 2
I 3 IMEEM OCENKU
jZfn d� �
Zfm d�j = j
Z(fn � fm) d�j � kfn � fmkE�E;
IZ KOTOROJ SLEDUET SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI INTEGRALOW
Zfn d�,
I (A) USTANOWLENO.
pUSTX gn | E]�E ODNA POSLEDOWATELXNOSTX PROSTYH INTEGRIRUEMYH
FUNKCIJ TAKAQ, ^TO gn =) f . tOGDA
jZfn d��
Zgn d�j � kfn � gnkE�E ! 0 (n! +1):
pO\TOMU limn
Zfn d� = lim
n
Zgn d� I (B) USTANOWLENO. uTWERVDENIE (W)
SLEDUET IZ (A) I (B), ESLI POLOVITX fn = f (n 2 N): >sWOJSTWA PP. 2 I 3, USTANOWLENNYE WY[E DLQ PROSTYH FUNKCIJ, OSTA-
@TSQ SPRAWEDLIWYMI W OB]EM SLU^AE (PROWERKA \TOGO, OSU]ESTWLQETSQ S
POMO]X@ PREDELXNOGO PEREHODA (!!)):
5. eSLI FUNKCII f; g INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMY TAKVE
f+g; �f (� 2 R), PRI^�EMZ(�f+g) d� = �
Zf d�+
Zg d�. wSQKAQ OGRANI-
^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, PRI^�EM jZf d�j � kfk
E�E.
6. eSLI f; g INTEGRIRUEMY I f � g, TOZf d� �
Zg d�.
341
� uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ g(x) � 0. |TO TAK, ESLI f � 0
| PROSTAQ (!!). w OB]EM SLU^AE POLOVIM
fn =1Xk=0
k
n�Ak; GDE Ak = f�1([
k
n;k + 1
n)); n 2 N:
tOGDA 0 � f(x) � fn(x) � 1n . oTS@DA fn =) f; f � fn | OGRANI^ENY
I SOGLASNO P. 5 INTEGRIRUEMY. tAK KAK f INTEGRIRUEMA, IZ RAWENSTWA
fn = (fn�f)+f SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX fn. pO POSTROENI@ fn PROSTYE
I fn � 0. sLEDOWATELXNO,
Zf d� = lim
n
Zfn d� � 0: >
7. fUNKCIQ f NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ PO MNOVESTWU A 2 A, ESLI
INTEGRIRUEMA FUNKCIQ f � �A; INTEGRALOM FUNKCII f PO MNOVESTWU A
NAZYWAETSQ ^ISLO
ZA
f d� �Zf�
Ad�.
8. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, TO ONA INTEGRIRUEMA PO KAVDOMU
MNOVESTWU A 2 A.
� eSLI f =Pn�n�Bn | PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO f�
A=P
n�n�BnA I
Pnj�nj�BnA � P
nj�nj�Bn < +1, TO ESTX f�
A| TAKVE PROSTAQ
INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ I
(1)
ZA
(Xn
�n�Bn ) d� =Xn
�n�ABn:
w OB]EM SLU^AE, ESLI f INTEGRIRUEMA I fn | POSLEDOWATELXNOSTX PROS-
TYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, fn =) f , TO fn�A =) f�A. pO\TOMU f�
A
TAKVE INTEGRIRUEMA. >
sLEDU@]EE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ SWOJSTWOM ABSOL@TNOJ NEPRE-
RYWNOSTI INTEGRALA lEBEGA.
9. eSLI �A = 0 I f INTEGRIRUEMA, TOZA
f d� = 0:
� uTWERVDENIE SLEDUET IZ (1) DLQ PROSTOJ f . oB]IJ SLU^AJ POLU^AETSQSTANDARTNYM PREDELXNYM PEREHODOM (!!). >
10. pUSTX f INTEGRIRUEMA I E =PkAk. tOGDA
(2)
Zf d� =
Xk
ZAk
f d�;
342
PRI^�EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.
� dLQ PROSTOJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII f =Pn�n�Bn :
Pk
jZAk
f d�j =Pk
jPn�n�BnAkj � P
k;n
j�nj�BnAk
� Pnj�njP
k�BnAk =
Pnj�nj�Bn < +1:
|TO OZNA^AET ABSOL@TNU@ SHODIMOSTX RQDA W PRAWOJ ^ASTI (2), A TAKVE
RQDAPk;n
j�nj�BnAk. tEPERX
Zf d� =
Xn
�n�Bn =Xn
Xk
�n�BnAk =Xk
Xn
�n�BnAk =Xk
ZAk
f d�:
eSLI f | INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO, PO OPREDELENI@ 4, DLQ WSQKOGO
" > 0 SU]ESTWUET PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ g TAKAQ, ^TO
kf � gkE < ". pO DOKAZANNOMUZg d� =
Pk
ZAk
g d�, PRI^�EM RQDPk
ZAk
g d�
SHODITSQ ABSOL@TNO. iZ OCENKI
Xk
jZAk
f d�j �Xk
jZAk
(f � g) d�j +Xk
jZAk
g d�j � "�E +Xk
jZAk
g d�j
SLEDUET, ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (2) SHODITSQ ABSOL@TNO. iTAK,
jZf d� � P
k
ZAk
f d�j = jZ(f � g) d� +
Pk
ZAk
g d� �Pk
ZAk
f d�j
= jZ(f � g)d� +
Pk
ZAk
(g � f) d�j � 2kf � gkE�E < 2"�E:
iZ PROIZWOLXNOSTI " POLU^AEM (2). >
11. eSLI jf j � ' I ' INTEGRIRUEMA, TO f INTEGRIRUEMA.
� eSLI f I ' PROSTYE, TO SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^�ETNOE RAZBIENIE
fAng MNOVESTWA E, ^TO f =Pn�n�An ; ' =
Pn�n�An , PRI^�EM j�nj � �n (n 2
N). tOGDAPnj�nj�An � P
n�n�An < +1, TO ESTX f INTEGRIRUEMA. ~ITA-
TELX UVE OWLADEL STANDARTNYMI PRI�EMAMI, ^TOBY DOKAZATX UTWERVDENIE
W OB]EM SLU^AE. >
343
12. s L E D S T W I E. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA TTOGDA INTEGRIRUEMA
jf j.� dOSTATO^NOSTX SLEDUET IZ P. 11. nEOBHODIMOSTX W SLU^AE PROSTOJ FUNK-CII f SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ 1. oB]IJ SLU^AJ POLU^A-
ETSQ PREDELXNYM PEREHODOM. >
13. z A M E ^ A N I E.uTWERVDENIE P. 12 W ^ASTI DOSTATO^NOSTI NE WERNO
DLQ FUNKCIJ, INTEGRIRUEMYH PO rIMANU: FUNKCIQ ' = �[0;1]\Q
� �[0;1]nQ
IZMERIMA, NO, PODOBNO FUNKCII dIRIHLE, NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU.
mEVDU TEM E�E MODULX j'j (� 1) INTEGRIRUEM PO rIMANU.
14. eSLI
Zjf j d� = 0, TO f(x) = 0 P.W.
� pUSTX An = fx 2 E : jf(x)j � 1ng. iZ NERAWENSTWA
�An =
ZAn
1 d� � n
ZAn
jf j d� = 0
SLEDUET, ^TO �An = 0. oTS@DA
�fx 2 E j f(x) 6= 0g = �([n
An) �Xn
�An = 0: >
u P R A V N E N I Q. 15. pROINTEGRIRUJTE FUNKCI@ f(!) =1Pn=1
!n2�n
W USLOWIQH 202.10.
16. dOKAVITE SWOJSTWA PP. 5,6,10,11 DLQ INTEGRALOW PO MNOVESTWU
A(� E).
17. eSLI f IZMERIMA I �A = 0; TO f INTEGRIRUEMA PO MNOVESTWU A IZA
f d� = 0.
18. eSLI FUNKCII f1; : : : ; fn INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMA
f(x) = maxff1(x); : : : ; fn(x)g (x 2 E).19. kAKU@ STRUKTURU BUDET IMETX INTEGRAL lEBEGA PO MERE m W USLO-
WIQH 192.8? oPI[ITE KLASS INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.
20. eSLI f INTEGRIRUEMA, TO
8" > 0 9� > 0 8A 2 A(�A < � ) jZA
f d�j < "):
344
x208. pREDELXNYJ PEREHOD POD ZNAKOM INTEGRALA
zADA^A O PREDELXNOM PEREHODE POD ZNAKOM INTEGRALA \KWIWALENTNA ZA-
DA^E O PO^LENNOM INTEGRIROWANII SHODQ]EGOSQ FUNKCIONALXNOGO RQDA. w
PRILOVENIQH TEORII INTEGRALA PODOBNYE ZADA^I IGRA@T PERWOSTEPENNU@
ROLX.
1. t E O R E M A [a. lEBEG]. pUSTX fn ! f; jfnj � '; ' INTEGRIRUEMA.
tOGDA f INTEGRIRUEMA I
Zfn d�!
Zf d�.
� qSNO, ^TO jf j � ' I, SOGLASNO 207.11, f INTEGRIRUEMA. pOLOVIM
Ak = '�1([k;+1)); k = 0; 1; 2; : : : . tOGDA E = A0 � A1 � : : : ;TkAk = ;,
TAK ^TO �Ak ! 0 (k ! +1) (SM. 197.13). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. w
SILU 207.20 NAJD�ETSQ m 2 N TAKOE, ^TOZAm
'd� < ". pO TEOREME eGOROWA
SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE Acm = Y + Z, GDE �Z < "
m; fn =) f NA MNO-
VESTWE Y . w ^ASTNOSTI, NAJD�ETSQ n0 TAKOE, ^TO kf �fnkY < "�Y
(n � n0).
nAKONEC, PRI n � n0:
jZfn d��
Zf d�j = j
ZAm
fn d� �ZAm
f d� +ZZ
fn d� �ZZ
f d�
+ZY
(fn � f)d�j � jZAm
fn d�j + jZAm
f d�j
+ jZZ
fn d�j+ jZZ
f d�j + jZY
(fn � f)d�j
� 2
ZAm
'd� + 2
ZZ
'd� + " < 5":
w SILU PROIZWOLXNOSTI " UTWERVDENIE DOKAZANO. >
2. z A M E ^ A N I E. tEOREMA P. 1 OSTA�ETSQ SPRAWEDLIWOJ, ESLI WMESTO
POTO^E^NOJ SHODIMOSTI PREDPOLOVITX, ^TO fnP.W.�! f . dEJSTWITELXNO, W
SILU 207.17 ZNA^ENIQ, PRINIMAEMYE FUNKCIEJ NA MNOVESTWE MERY NULX,
NE WLIQ@T NA WELI^INU INTEGRALA.
3. s L E D S T W I E. eSLI jfnj � C (n = 1; 2; : : :) I fnP.W.�! f , TO f
INTEGRIRUEMA I
Zfn d�!
Zf d�.
345
4. t E O R E M A [b. lEWI]. pUSTX f1 � f2 � : : : ; fn INTEGRIRUEMY IZfn d� � K (n 2 N). tOGDA(1) SU]ESTWUET f TAKAQ, ^TO fn
P.W.�! f ,
(2) f INTEGRIRUEMA I
Zfn d�!
Zf d�.
� mOVNO S^ITATX, ^TO f1 � 0 (INA^E PEREJD�EM K POSLEDOWATELXNOS-
TI gn = fn � f1 (n = 1; 2; : : :)). pUSTX Anr = fxj fn(x) > rg. tOGDAA = fx 2 E j fn(x)! +1g = T
r�1
Sn�1
Anr. iMEEM
�Anr =
ZAnr
d� �ZAnr
fn
rd� � 1
r
Zfn d� � K
r:
tAK KAK A1r � A2r � : : : ; A � Sn�1
Anr, TO �A � �(Sn�1
Anr) = limn�(Anr) �
Kr . iZ PROIZWOLXNOSTI r OTS@DA �A = 0: pO\TOMU FUNKCIQ
f(x) =
(limnfn(x); ESLI x 2 Ac,
0; ESLI x 2 A,
OTWE^AET TREBOWANI@ (1). oPREDELIM TEPERX FUNKCI@ ' =1Pr=1
r�f�1([r�1;r))
.
qSNO, ^TO f < ' � f + 1. pO\TOMU DLQ PROWERKI INTEGRIRUEMOSTI f DO-
STATO^NO POKAZATX INTEGRIRUEMOSTX ', TO ESTX SHODIMOSTX RQDAPrr�Br,
GDE Br = fx 2 E j '(x) = rg. pOSLEDNEE SLEDUET IZ OGRANI^ENNOSTI ^AST-NYH SUMM \TOGO RQDA (W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII f NA MNOVESTWENPr=1
Br PRIMENIMA TEOREMA P. 1):
NPr=1
r�Br =
ZNPr=1
Br
'd� �Z
NPr=1
Br
f d� + �E
= limn
ZNPr=1
Br
fnd�+ �E � K + �E:
tEPERX UTWERVDENIE (2) SLEDUET IZ TEOREMY P. 1. >
346
5. s L E D S T W I E. pUSTX n � 0 I1Pn=1
Z n d� < +1. tOGDA RQD
Pn n
SHODITSQ P.W. I EGO MOVNO INTEGRIROWATX PO^LENNO:Z(Pn n) d� =
Pn
Z n d�.
� |TO PEREFORMULIROWKA P. 4 W TERMINAH RQDA: DOSTATO^NO POLOVITXfn =
nPk=1
k: >
6. t E O R E M A [p.fATU]. pUSTX fn � 0; fnP.W.�! f , PRI^�EM
Zfn d� � K.
tOGDA f INTEGRIRUEMA I
Zf d� � K.
� pOLOVIM 'n(x) � infk�n
fk(x); 'n IZMERIMY, POSKOLXKU
fxj'n(x) < cg = [k�n
fx j fk(x) < cg; c 2 R;
I INTEGRIRUEMY, POSKOLXKU 0 � 'n � fn. pRI \TOM
Z'n d� �
Zfn d� �
K; '1 � '2 � : : : I 'nP.W.�! f . tREBUEMOE SLEDUET TEPERX IZ P. 4, PRI-
MEN�ENNOGO K ('n): >
7. pUSTX E =PnAn I
Pn
ZAn
jf jd� < +1. tOGDA f INTEGRIRUEMA I
Zf d� =
Pn
ZAn
f d�.
� pOLOVIM n = jf j�An.mY NAHODIMSQ W USLOWIQH P. 5 I, SLEDOWATELXNO,
FUNKCIQ jf j = Pn n INTEGRIRUEMA. iZ 207.12 SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX
f , A ISKOMOE RAWENSTWO WYTEKAET IZ 207.10. >
sOPOSTAWLQQ DOKAZANNOE UTWERVDENIE S 207.10, POLU^AEM:
8. pUSTX E =PnAn. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA TTOGDA SHODITSQ RQDP
n
ZAn
jf j d�.
u P R A V N E N I Q. 9. pOSTROITX POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fn � 0
SO SWOJSTWAMI:
Zfnd�! 0; fn
��! 0; fn NE SHODITSQ K 0 P.W.
347
10. pOKAVITE, ^TOZ jfnj1 + jfnj d�! 0 TTOGDA fn
��! 0:
x209. zAMENA PEREMENNOJ W INTEGRALE lEBEGA
1. bUDEM GOWORITX, ^TO OTOBRAVENIE ' : E ! E IZMERIMO, ESLI
'�1(X) 2 A WSQKIJ RAZ, KOGDA X 2 A. eSLI � | MERA NA �-ALGEBRE
A, TO SO WSQKIM OTOBRAVENIEM ' MNOVESTWA E W SEBQ MOVNO SWQZATX
ESTESTWENNYM OBRAZOM NOWU@ MERU �', OPREDEL�ENNU@ NA A RAWENSTWOM
�'(X) � �'�1(X) (X 2 A).
� �-ADDITIWNOSTX �' SLEDUET IZ RAWENSTWA (ESLI ZAMETITX, ^TO
'�1(X)T'�1(Y ) = ; WSQKIJ RAZ, KOGDA X T
Y = ;):
�'(PnXn) = �('�1(
PnXn)) = �(
Pn'�1(Xn)) =
Pn�('�1(Xn))
=Pn�'(Xn): >
2. pUSTX OTOBRAVENIE ' : E ! E IZMERIMO I f : E ! R| IZMERI-
MAQ FUNKCIQ. tOGDA SPRAWEDLIWO RAWENSTWO
(1)
Zf � 'd� =
Zf d�':
W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ, TO OPREDELENA
I DRUGAQ (I ONI RAWNY).
� pUSTX SNA^ALA f =Pn�n�An | PROSTAQ FUNKCIQ. tOGDA f � ' =P
n�n�
'�1(An), I ESLI LEWAQ ^ASTX (1) OPREDELENA, TO
Zf � 'd� =
Xn
�n�'�1(An) =
Xn
�n�'(An) =Zf d�'
(PRI \TOMPnj�nj�'(An) =
Pnj�nj�'�1(An) < +1). iZ (2) SLEDUET TAK-
VE, ^TO ESLI OPREDELENA EGO PRAWAQ ^ASTX, TO OPREDELENA I LEWAQ (I ONI
RAWNY).
pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@. pUSTX f � ' INTEGRIRUEMA. pOLOVIM
fn(x) =
8<:m� 1n ; ESLI m� 1
n � f(x) < mn I f(x) � 0,
�mn ; ESLI m� 1n � f(x) < m
n I f(x) < 0.
348
pO POSTROENI@ jfnj � jf j, TAK ^TO j(fn � ')(x)j � j(f � ')(x)j(x 2 E).
kROME TOGO, fn =) f , A ZNA^IT, fn �' =) f �'. iZ 207.4 I RAWENSTWA (1)DLQ PROSTYH FUNKCIJ NAHODIM
Zf � 'd� = lim
n
Zfn � 'd� = lim
n
Zfn d�' =
Zf d�':
oTS@DA VE SLEDUET, ^TO ESLI f INTEGRIRUEMA PO MERE �', TO f �' INTEG-RIRUEMA PO � (I INTEGRALY RAWNY). >
x210. sRAWNENIE INTEGRALOW rIMANA I lEBEGA
1. oGRANI^IMSQ SLU^AEM OTREZKA E = [0; 1]. pUSTX f INTEGRIRUEMA
PO rIMANU. tOGDA SOOTWETSTWU@]IJ INTEGRAL MOVNO PREDSTAWITX KAK
PREDEL NIVNEJ ILI WERHNEJ SUMMY dARBU:
(R)
Z 1
0f(x) dx = lim
nSn = lim
nSn, GDE Sn = 2�n
2nPk=1
�(nk),
Sn = 2�n2nPk=1
�(nk); �(nk) = sup
x2�nk
f(x); �(nk) = infx2�nk
f(x);
�nk = [(k � 1)2�n; k2�n); k = 1; : : : ; 2�n � 1;
�n2n = [1� 2�n; 1]:
oPREDELIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ
fn =2nXk=1
�(nk)��nk
; fn=
2nXk=1
�(nk)��nk ;
PRI \TOM f 1 � f2 � : : : ; f1� f
2� : : :. eSLI U^ESTX, ^TO f OGRANI^ENA
(BUDU^I INTEGRIRUEMOJ PO rIMANU), TO OTS@DA SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T
FUNKCII f I f TAKIE , ^TO fn ! f � f; fn) f � f . iZ OPREDELENIQ
207.1
Zfn d� = Sn;
Zfnd� = Sn (ZDESX � | LINEJNAQ MERA lEBEGA). w
SILU 208.4
Zf d� = lim
n
Zfn d� = lim
nSn = (R)
Z 1
0f(x) dx = lim
nSn = lim
n
Zfnd�
=Zf d�:
349
oTS@DA
Zjf �f j d� =
Z(f�f ) d� = 0, TO ESTX (SM. 207.14) f = f = f P.W.
NA [0; 1]. tAKIM OBRAZOM,
Zf d� =
Zf d� = (R)
Z 1
0f(x) dx. sFORMULIRUEM
POLU^ENNYJ REZULXTAT.
2. eSLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE PO rIMANU,TO ONA INTEGRIRUEMA
PO lEBEGU I SOOTWETSTWU@]IE INTEGRALY SOWPADA@T.
z A M E ^ A N I Q. 3.nEOGRANI^ENNYE FUNKCII WOOB]E NE INTEGRIRUEMY
PO rIMANU, NO NEKOTORYE IZ NIH INTEGRIRUEMY PO lEBEGU. nAPRIMER,
f(x) =
(x�1=2; ESLI 0 < x � 1,
0; ESLI x = 0,
NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU. oDNAKO, f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU. dEJST-
WITELXNO, POLOVIM fn(x) = x�1=2�[n�2;1]
(x) (n = 1; 2; : : :). qSNO, ^TO fn ! f
I PO P. 2 Zfn d� = (R)
Z 1
0fn(x) dx = 2 � 2
n� 2:
oSTA�ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ TEOREMOJ fATU.
4. eSLI lim"!0+
(R)
Z 1
"jf(x)j dx < +1 , TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU NA
[0; 1], PRI^�EM
Zf d� = lim
"!0+(R)
Z 1
"f(x) dx (!!).
5. eSLI lim"!0+
(R)Z 1
"jf(x)j dx = +1, TO f NE INTEGRIRUEMA PO lEBEGU,
DAVE ESLI lim"!0+
(R)Z 1
"f(x) dx SU]ESTWUET.
fpOLOVIM fn = f ��(1=n;1]
(n = 1; 2; : : :). tOGDA jfnj � jf j; jfnj P.W.�! jf j. eSLIDOPUSTITX, ^TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU, TO W SILU 207.12
Zjf j d� <
+1; W ^ASTNOSTI,
(R)
Z 1
1=njf(x)j dx =
Zjfnj d� �
Zjf j d�;
ODNAKO, (R)
Z 1
"jf(x)j dx! +1 ("! 0).g
350
x211. zARQDY
1. dO SIH POR PRI IZU^ENII INTEGRALA OSNOWNYM OB_EKTOM NA[EGO
WNIMANIQ BYLI INTEGRIRUEMYE FUNKCII. oBLASTX INTEGRIROWANIQ FIK-
SIROWALASX (\TO BYLO LIBO MNOVESTWO E, LIBO NEKOTOROE EGO IZMERIMOE
PODMNOVESTWO X). eSLI, NAPROTIW, ZAFIKSIROWATX NEKOTORU@ INTEGRI-
RUEMU@ FUNKCI@ f , TO FUNKCIQ
(1) �X �ZX
f d� (X 2 A)
OPREDELENA NA A I SOGLASNO 207.10 �-ADDITIWNA: X =1Pn=1
Xn WLE^�ET �X =
1Pn=1
�Xn. oTLI^IE \TOJ FUNKCII MNOVESTWA OT MERY SOSTOIT W TOM, ^TO
ONA NE OBQZATELXNO POLOVITELXNA.
2. kOMPLEKSNAQ �-ADDITIWNAQ FUNKCIQ, OPREDEL�ENNAQ NA �-ALGEBRE
MNOVESTW, NAZYWAETSQ ZARQDOM. zARQD, PRINIMA@]IJ WE]ESTWENNYE ZNA-
^ENIQ, NAZYWAETSQ WE]ESTWENNYM. zARQD, OPREDEL�ENNYJ RAWENSTWOM (1),
NAZYWAETSQ NEOPREDEL�ENNYM INTEGRALOM lEBEGA FUNKCII f .
dLQ ZARQDA � : A! C , GDE A | �-ALGEBRA PODMNOVESTW MNOVESTWA E,
WWED�EM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@
k�k(A) � supfj�Xj : X � A; X 2 Ag:
|TA FUNKCIQ NE MOVET PRINIMATX NESOBSTWENNOE ZNA^ENIE +1:
3. kAVDYJ ZARQD � : A! C OGRANI^EN: k�k(E) < +1.
� pUSTX, NAPROTIW, NA NEKOTOROM PROSTRANSTWE (E; A) SU]ESTWUET NE-
OGRANI^ENNYJ ZARQD � : A ! C , TO ESTX k�k(E) = +1. pOSTROIM TOGDA
POSLEDOWATELXNOSTX Xn POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW IZ A TAKIH,
^TO j�Xnj > 1 (n = 1; 2; : : :). |TO NEMEDLENNO PRIWODIT K PROTIWORE^I@,
IBO DLQ X =PnXn SLEDUET, ^TO �X =
Pn�Xn; ODNAKO, RQD W PRAWOJ ^ASTI
ZAWEDOMO RASHODITSQ (TAK KAK j�Xnj > 1). nA^N�EM S TOGO, ^TO WYBEREM
Y 2 A TAK, ^TOBY j�Y j > j�Ej+1 (\TO WOZMOVNO, TAK KAK k�k(E) = +1),
I POLOVIM
X1 =
�Y c; ESLI k�k(Y ) = +1,
Y; ESLI k�k(Y ) < +1.
351
(oTMETIM, ^TO k�k(Y ) < +1 ) k�k(Y c) = +1.) nETRUDNO WIDETX, ^TO
j�X1j > 1, PRI^�EM k�k(Xc1) = +1. pUSTX UVE POSTROENY POPARNO NE-
PERESEKA@]IESQ MNOVESTWA X1; : : : ;Xn TAKIE, ^TO j�Xkj > 1 (k 2 N)
I k�k(( nPk=1
Xk)c) = +1. tOGDA SU]ESTWUET Y � (
nPk=1
Xk)c TAKOE, ^TO
j�Y j > j�(( nPk=1
Xk)c)j+ 1. pO\TOMU
j�((nXk=1
Xk)cnY )j = j�(
nXk=1
Xk)c � �Y j � j�Y j � j�((
nXk=1
Xk)c)j > 1;
I W KA^ESTWE Xn+1 MOVNO WZQTX MNOVESTWO
Xn+1 =
8<: (
nPk=1
Xk)cnY; ESLI k�k(Y ) = +1,
Y; ESLI k�k(Y ) < +1.
dEJSTWITELXNO, PO POSTROENI@ X1; : : : ;Xn+1 POPARNO NE PERESEKA@TSQ,
j�Xn+1j > 1 I k�k(( nPk=1
Xk)c) = +1: >
4. z A M E ^ A N I E. eSLI � : A ! C | ZARQD, TO ON ODNOZNA^NO
PREDSTAWIM W WIDE � = �1+ i�2, GDE �k (k = 1; 2) | WE]ESTWENNYE ZARQDY:
�1X � Re�X; �2X � Im�X (X 2 A); FUNKCII �k (k = 1; 2) �-ADDITIWNY
(!!). tAKIM OBRAZOM, IZU^ENIE KOMPLEKSNYH ZARQDOW SWODITSQ K IZU^ENI@
WE]ESTWENNYH ZARQDOW, I MY OGRANI^IMSQ IZU^ENIEM POSLEDNIH.
sLEDU@]EE UTWERVDENIE GLASIT, ^TO KAVDYJ WE]ESTWENNYJ ZARQD
\POLQRIZUETSQ" (\TO, KSTATI, OPRAWDYWAET TERMIN \ZARQD"). ~TOBY EGO
SFORMULIROWATX, WWED�EM DWA KLASSA MNOVESTW, SWQZANNYH S ZARQDOM �:
A+� � fX 2 AjZ � X ) �Z � 0g;A�� � fX 2 AjZ � X ) �Z � 0g:
5. t E O R E M A [g. hAN]. dLQ KAVDOGO WE]ESTWENNOGO ZARQDA �
NAJD�ETSQ MNOVESTWO A 2 A�� TAKOE, ^TO Ac 2 A+� .
� pUSTX � = infX2A��
�X. w SILU P. 3 � 2 R. pUSTX Xn 2 A�� (n 2 N)
TAKOWY, ^TO limn�Xn = �. bUDEM S^ITATX ^TO X1 � X2 � : : : fINA^E
MOVNO PEREJTI K POSLEDOWATELXNOSTI gXn =nSk=1
Xk (n 2 N), KOTORAQ \TIM
352
SWOJSTWOM OBLADAET: gXk 2 A�� ; limn �gXn = �, TAK KAK � � �gXn � �Xn;
�Xn ! �g. pOKAVEM, ^TO A =1Sn=1
Xn | ISKOMOE MNOVESTWO.
1) A 2 A�� : X � A) X =1Sn=1
XXn,
XX1 � XX2 � : : : ; XXn � Xn 2 A�� ) �X = limn�XXn � 0.
2) pOKAVEM, ^TO Ac 2 A+� . zAMETIM SNA^ALA, ^TO �A = � (IBO �A =
limn�Xn = �). eSLI Ac 62 A+� , TO 9Z0 � Ac (�Z0 < 0). kROME TOGO, Z0 62 A��
(INA^E A+ Z0 2 A�� I �(A+ Z0) < �, ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ �):
PO\TOMU 9Z � Z0 (�Z < 0). pUSTX
k1 = minfk 2 N j 9Z1 � Z0 (�Z1 � 1
k)g:
tAK KAK �(Z0nZ1) = �Z0 � �Z1 � �Z0 � 1k1
< 0, TO \TO VE RASSUVDENIE
PRIMENIMO K Z0nZ1: SU]ESTWUET
k2 = minfk 2 N j 9Z2 � Z0nZ1 (�Z2 � 1
k)g:
pRODOLVAQ PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX Zn 2 A I
Z0 = (Z0nPnZn) + Z1 + Z2 + : : : ;
�Z0 = �(Z0nPnZn) +
Pn�Zn �P
n
1kn
+K;
GDE K = �(Z0nPnZn). oTS@DA RQD
Pn
1kn
SHODITSQ I PO\TOMU
(2)1
kn! 0 (n!1):
nETRUDNO WIDETX, ^TO Z� � (Z0nPnZn) 2 A�� fDEJSTWITELXNO, INA^E 9Z �
Z� (�Z > 0), I W SILU (2) 9n 2 N (�Z > 1kn � 1
); S DRUGOJ STORONY,
Z � Z0nn�1Pk=1
Zk, I PO OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI Zn DOLVNO BYTX
�Z < 1kn � 1
g. pRI \TOM �Z� = �Z0 �1Pn=1
�Zn � �Z0 < 0; Z�TA = ; I
353
PO\TOMU Z�+A 2 A�� , TO ESTX �(Z�+A) = �Z�+� < �, ^TO PROTIWORE^IT
OPREDELENI@ �. iTAK, Ac 2 A+� : >
6. s L E D S T W I E. kAVDYJ WE]ESTWENNYJ ZARQD PREDSTAWIM W WIDE
RAZNOSTI DWUH MER.
� pUSTX � : A ! R | ZARQD I A 2 A�� | MNOVESTWO W TEOREME hANA.
oPREDELIM OTOBRAVENIQ �� : A! R+ RAWENSTWAMI:
�+X � �(XAc); ��X � ��(XA) (X 2 A);
�� QWLQ@TSQ, O^EWIDNO, MERAMI. pRI \TOM �X = �(XAc) + �(XA) =
�+X � ��X (X 2 A), TO ESTX � = �+ � ��: >
7. u P R A V N E N I E.nAJDITE MNOVESTWO A, OTWE^A@]EE TREBOWANIQM
TEOREMY hANA DLQ NEOPREDEL�ENNOGO INTEGRALA lEBEGA (1).
8. uBEDITESX, ^TO DLQ KAVDOGO ZARQDA � : A ! C KORREKTNO OPREDE-
LENA EGO WARIACIQ:
k�kv � supnXi=1
j�(Xi)j;nXi=1
Xi = E; Xi 2 A
(WERHNQQ GRANX BER<TSQ PO WSEWOZMOVNYM KONE^NYM RAZBIENIQM MNOVEST-
WA E). pOKAVITE, ^TO DLQ WE]ESTWENNOGO ZARQDA �: k�kv = �+(E)+��(E),GDE � = �+ � �� (SM. P. 6).
9. pOKAVITE, ^TO DLQ NEOPREDEL<NNOGO INTEGRALA (1) S KOMPLEKSNOJ
INTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ f : k�kv =Zjf j d�.
x212. aBSOL@TNO NEPRERYWNYE FUNKCII MNOVESTWA1. pO ANALOGII S 200.1 ZARQD � : A ! C NAZYWAETSQ ABSOL@TNO
NEPRERYWNYM OTNOSITELXNO MERY �, ZADANNOJ NA TOJ VE �-ALGEBRE (OBO-
ZNA^ENIE � � �), ESLI �X = 0) �X = 0.
sWOJSTWO 207.9 OZNA^AET, ^TO NEOPREDEL�ENNYJ INTEGRAL lEBEGA AB-
SOL@TNO NEPRERYWEN OTNOSITELXNO SOOTWETSTWU@]EJ MERY. wOZNIKAET
WOPROS, HARAKTERIZUET LI \TO SWOJSTWO NEOPREDEL�ENNYJ INTEGRAL? pOLO-
VITELXNYJ OTWET DA�ET TEOREMA rADONA-nIKODIMA (P. 3).
2. l E M M A. eSLI � I � | MERY, 0 6� � � �, TO SU]ESTWU@T " > 0
I A 2 A+��"� TAKIE, ^TO �A > 0.
354
� pUSTX An 2 A��� 1
n�| MNOVESTWA, UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM TEOREMY
hANA DLQ ZARQDOW � � 1n�. pOLOVIM
(1) A0 =1[k=1
Ack:
Ac0 =
1Tk=1
Ak � An (n 2 N)) Ac0 2 A
��� 1
n�(n 2 N)) 0 � �Ac
0 � 1n�An (n 2
N) ) �Ac0 = 0 ) �A0 > 0 (T. K. � 6� 0) ) �A0 > 0 (T. K. � � �). iZ (1)
SLEDUET, ^TO 9n (�Acn > 0), I OSTALOSX POLOVITX " = 1
n; A = Acn: >
3. t E O R E M A [i. rADON, o. nIKODIM]. pUSTX � | MERA NA NEKO-
TOROJ �-ALGEBRE A I WE]ESTWENNYJ ZARQD � � �. tOGDA SU]ESTWUET I
OPREDELENA ODNOZNA^NO (S TO^NOSTX@ DO \KWIWALENTNOSTI) IZMERIMAQ
FUNKCIQ f TAKAQ, ^TO
�X =
ZX
f d� (X 2 A):
� tAK KAK KAVDYJ WE]ESTWENNYJ ZARQD PREDSTAWIM W WIDE RAZNOSTI MER
(SM. 211.6), MOVNO S^ITATX, ^TO � | MERA. pUSTX
K = ff 2M(E;A) j f � 0;
ZXf d� � �X (X 2 A)g:
kLASS K NE PUST (!!). pOLOVIM
(2) � = supf2K
Zf d�;
I PUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 K TAKOWA, ^TO limn
Zfn d� = �. pOLOVIM
gn(x) = maxff1(x); : : : ; fn(x)g (x 2 E), I PUSTXX1 = fx 2 Xj gn(x) = f1(x)g; : : : ;Xn = fx 2 Xj gn(x) = fn(x)gn(
n�1Si=1
Xi):
tOGDA X =nPk=1
Xk I, SLEDOWATELXNO (SM. 207.10),
ZX
gn d� =nXk=1
ZXk
fk d� �nXk=1
�Xk = �X (X 2 A):
355
pRI \TOM g1 � g2 � : : :; POLOVIM f0(x) = limngn(x) = sup
nfn(x). w SILU
208.4 f0 INTEGRIRUEMA I, SLEDOWATELXNO, PRINADLEVIT K, PRI^�EM � =
limZfn d� =
Zf0 d�. pOKAVEM, ^TO f0 | ISKOMAQ FUNKCIQ. dLQ \TOGO
DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO
�0X � �X �ZX
f0 d� � 0 (X 2 A):
pO POSTROENI@ �0 | MERA. eSLI, NAPROTIW, �0 6� 0, TO W SILU P. 2
9" > 0 9A 2 A+�0�"� (�A > 0). w ^ASTNOSTI,
(3) "�(AX) � �0(AX) = �(AX)�ZAX
f0 d� (X 2 A):
rASSMOTRIM FUNKCI@ g = f0 + "�A; g 2 K, TAK KAK IZ (3)Z
X
g d� =
ZX
f0 d� + "�XA �Z
XnAf0d� + �(AX) � �(XnA) + �(AX)
= �X (X 2 A):
s DRUGOJ STORONY,Zg d� =
Zf0 d� + "�A > �, ^TO PROTIWORE^IT (2).
oSTALOSX PROWERITX, ^TO f0 OPREDELENA ODNOZNA^NO (S TO^NOSTX@ DO ZNA-
^ENIJ NA MNOVESTWE MERY 0). w SAMOM DELE, PUSTX �X =
ZX
f0 d� =
ZX
f� d� (X 2 A).tOGDA DLQ FUNKCII h = f0�f� IMEEM:ZX
h d� = 0 (X 2 A).
sLEDOWATELXNO,
Zjhj d� =
Zfh�0g
h d� �Z
fh<0ghd� = 0 (ZDESX, NAPRIMER,
fh � 0g = fx 2 Ejh(x) � 0g). w SILU 207.14 h = 0 P. W., TO ESTX f0 � f�: >
rASSMOTRIM ODNO POLEZNOE PRILOVENIE.
4. pUSTX �; � : A ! R+ | MERY. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO
ODNOZNA^NO PREDSTAWLENIE � = �a+�s, GDE �a; �s | MERY, PRI^�EM �a � �,
A �s SINGULQRNA OTNOSITELXNO �.
� zAMETIM, ^TO � � � + �, I PO TEOREME rADONA-nIKODIMA SU]ESTWUET
FUNKCIQ f TAKAQ, ^TO
(4) �X =ZXf d� +
ZXf d� (X 2 A):
356
w SILU UPR. 8 (SM. NIVE) 0 � f � 1 P. W. OTNOSITELXNO � + �, A TAKVE
OTNOSITELXNO �. pOLAGAQ A = fx j f(x) = 1g, POLU^IM IZ (4)
�A =
ZAd� +
ZAd� = �A+ �A;
OTKUDA �A = 0. pOLOVIM �sX � �(XA); �aX � �(XAc) (X 2 A). tOGDA
� = �a+�s; �s SINGULQRNA OTNOSITELXNO � (IBO �A = �sAc = 0) I �a � �:
�X = 0) �(XAc) =Z
XAc
f d�+Z
XAc
f d� =Z
XAc
f d� =Z
f0�f<1gf d�:
eSLI DOPUSTITX, ^TO �(XAc) > 0, TO SU]ESTWUET n 2 N TAKOE, ^TO
�f0 � f � 1� 1ng > 0 I
�(XAc) =Z
XAc
f d� =Z
X\f0�f�1� 1ng
f d� +Z
X\f1� 1n<f<1g
f d�
� (1 � 1n)�(f0 � f � 1 � 1
ngTX) + �(f1 � 1
n < f < 1gTX)
< �(f0 � f < 1gTX) = �(XAc)
| PROTIWORE^IE. iTAK, �X = 0) �aX = �XAc = 0.
pROWERIM EDINSTWENNOSTX POLU^ENNOGO PREDSTAWLENIQ. pUSTX IME@T-
SQ DWA RAZLOVENIQ � = �a + �s = �0a + �0s; �a � �; � 0a � �, PRI^�EM
MERY �s I �0s SINGULQRNY OTNOSITELXNO �. pO TEOREME rADONA-nIKODIMA
SU]ESTWU@T FUNKCII f1 I f2 TAKIE, ^TO
�aX =
ZXf1 d�; �0aX =
ZXf2 d� (X 2 A):
pOLOVIM h(x) = maxff1(x); f2(x)g (x 2 E). tOGDA NEOPREDEL�ENNYJ IN-
TEGRAL �00X =RX h d� (x 2 A) OBLADAET SWOJSTWAMI: �a � �00 � �. lEWOE
NERAWENSTWO O^EWIDNO, A PRAWOE SLEDUET IZ WYKLADKI
�00X =ZX
h d� =Z
X\fh=f1gf1 d� +
ZX\fh=f2 6=f1g
f2 d�
= �a(XTfh = f1g) + �0a(X
Tfh = f2 6= f1g)� �(X
Tfh = f1g) + �(XTfh = f2 6= f1g) = �X:
oBOZNA^AQ ^EREZ � MERU �00��a (�� �), IMEEM PREDSTAWLENIQ � = �a+�s =
�a + � + (� � �00). oTS@DA �s = � + (� � �00). pUSTX A 2 A TAKOE, ^TO
357
�A = �sAc = 0. tOGDA � � �) �A = 0; �Ac � �sA
c ) �Ac = 0, TO ESTX
� � 0; PO\TOMU RAWENSTWO �X =
ZX
h d� �ZX
f1 d� � 0 (X 2 A) OZNA^AET,
^TO h = maxff1; f2g � f1 = 0 P.W., TO ESTX f2 � f1 P. W. aNALOGI^NYE
RASSUVDENIQ PRIWODQT K NERAWENSTWU f1 � f2 P. W., I ZNA^IT, �a = �0a , AOTS@DA �s = �0s: >
pOLU^ENNYJ FAKT POZWOLQET UTO^NITX UTWERVDENIE 199.4.
5. pUSTX �F | MERA NA B([0; 1]), POROVD�ENNAQ FUNKCIEJ F (SM. 198.3),
� | LINEJNAQ MERA lEBEGA. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNOZNA^NO
PREDSTAWLENIE: �F = �d + �a + �s, GDE �d | DISKRETNAQ KOMPONENTA
(199.3), �a � �, A �s SINGULQRNA OTNOSITELXNO �.
� pOLOVIM W P. 4 � = �c, GDE �c | NEPRERYWNAQ KOMPONENTA �F (SM.
199.3), I WOZXM�EM W KA^ESTWE � LINEJNU@ MERU lEBEGA NA [0; 1]: >
6. z A M E ^ A N I E. sOGLASNO 200.3 SU]ESTWUET ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ
NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ �(t) (0 � t � 1) TAKAQ, ^TO �a = ��. pRI \TOM PO
TEOREME rADONA-nIKODIMA SU]ESTWUET INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ f(t) (0 �t � 1) TAKAQ, ^TO �(t) =
Z[0;t]
f d� (0 � t � 1).
u P R A V N E N I Q. 7.pUSTXA 2 A; a; b 2 R; �| MERA NA A.oPREDELIM
ZARQD �X = a�(AX)+ b�(AcX) (X 2 A). pOKAVITE, ^TO � � � I NAJDITE
FUNKCI@ f , OTWE^A@]U@ TREBOWANIQM TEOREMY rADONA-nIKODIMA.
8. eSLI �; � : A ! R+ | MERY I � � � (TO ESTX �X � �X (x 2 A)),
TO � | NEOPREDEL�ENNYJ INTEGRAL lEBEGA NEKOTOROJ FUNKCII f , PRI^�EM
0 � f � 1 P. W. OTNOSITELXNO � (I OTNOSITELXNO �).
x213. pROIZWEDENIE MER1. pUSTX C1; : : : ; Cn | SEMEJSTWA PODMNOVESTW SOOTWETSTWENNO MNO-
VESTW E1; : : : ; En. pROIZWEDENIEM \TIH SEMEJSTWnQk=1
Ck = C1 � : : : � Cn
NAZOW�EM SEMEJSTWO PODMNOVESTW MNOVESTWAnQk=1
Ek, PREDSTAWIMYH W WIDE
Y1 � : : :� Yn (Yk 2 Ck).
2. eSLI S1; : : : ;Sn | POLUKOLXCA W E1; : : : ; En SOOTWETSTWENNO, TOnQk=1
Sk | POLUKOLXCO WnQk=1
Ek.
358
� pRIWED�EM DOKAZATELXSTWO DLQ n = 2. pUSTX S = S1 � S2 I X;Y 2 S,
TO ESTX
(1) X = X1 �X2; Y = Y1 � Y2 (Xk; Yk 2 Sk; k = 1; 2):
tOGDA XY = X1Y1�X2Y2, PRI^�EM W SILU (p1) (SM. 191.1) XkYk 2 Sk (k =
1; 2), TO ESTX (p1) WYPOLNENO DLQ S.pUSTX W OBOZNA^ENIQH (1) X � Y . |TO
OZNA^AET, W ^ASTNOSTI, ^TO X1 � Y1;X2 � Y2 I TAK KAK Sk | POLUKOLXCA,
IMEEM
Y1 = X1 +sXj=1
X1j ; Y2 = X2 +tXi=1
X2j; Xkm 2 Sk (k = 1; 2):
pO\TOMU, Y = (X1+PjX1j)� (X2+
PiX2i) = X +
PjZj +
PiZ 0j +
Pi;jZji, GDE
Zj = X1j �X2 (j = 1; : : : ; s); Z 0j = X1�X2i (i = 1; : : : ; t); Zji = X1j �X2i,
^TO OZNA^AET SPRAWEDLIWOSTX (p2) DLQ S: >
3. z A M E ^ A N I E. eSLI S1 I S2 | KOLXCA MNOVESTW, TO S1 � S2 NE
QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, KOLXCOM (SM. NIVE UPR. 6).
4. pUSTX mk | MERY (KONE^NO-ADDITIWNYE MERY) NA POLUKOLXCAH
Sk (k = 1; : : : ; n). tOGDA RAWENSTWO
(2) m(X1 � : : :�Xn) � m1X1 �m2X2 � : : : �mnXn (Xk 2 Sk)
OPREDELQET MERU (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-ADDITIWNU@ MERU) m NAnQk=1
Sk.
� pRIWED�EM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ n = 2. pUSTX
(3) X = X1 �X2 =PiX(i); X(i) = X
(i)1 �X
(i)2 (i = 1; : : : ; N);
X(i)k 2 Sk (k = 1; 2).
w SILU 191.8 SU]ESTWU@T KONE^NYE RAZBIENIQ fY (j)1 g; fY (k)
2 g SOOTWET-STWENNO MNOVESTW X1 I X2 TAKIE, ^TO X
(i)1 QWLQ@TSQ OB_EDINENIEM NE-
KOTORYH Y(j)1 , A X
(i)2 | OB_EDINENIEM NEKOTORYH Y
(k)2 . aDDITIWNOSTX m
SLEDUET IZ RAWENSTW
mX = m1X1 �mX2 =Xj;k
m1Y(j)1 m2Y
(k)2 =
Xi
m1X(i)1 m2X
(i)2 =
Xi
mX(i):
359
pUSTX m1; m2 �-ADDITIWNY I �1 | LEBEGOWSKOE PRODOLVENIE m1, A IN-
DEKS i W (3) PROBEGAET S^�ETNOE ^ISLO ZNA^ENIJ. oPREDELIM fi : E1 ! R
RAWENSTWAMI fi = m2X(i)2 �
X(i)1
(i 2 N). tOGDA
Pifi(x) =
Pim2X
(i)2 � �
X(i)1
(x) =P
fijx2X(i)1 g
m2X(i)2
= m2X2�X1(x) (x 2 E1):
iZ OCENKI
Xi
ZX1
fi d�1 =Xi
m2X(i)2 m1X
(i)1 =
Xi
mX(i) � mX < +1
I 208.5 IMEEM, NAKONEC,
PimX(i) =
Pi
ZX1
fi d�1 =
ZX1
(Pifi) d�1 = m2X2 �
ZX1
d�1
= m2X2 �m1X1 = mX: >
5. lEBEGOWSKOE PRODOLVENIE � MERY m, OPREDEL�ENNOJ RAWENSTWOM (2),
NAZYWAETSQ PROIZWEDENIEM MER m1; : : : ;mn I OBOZNA^AETSQ m1� : : :�mn.
|TO OPREDELENIE KORREKTNO W SILU P. 4. w ^ASTNOSTI, ESLI � | LI-
NEJNAQ MERA lEBEGA, TO PLOSKAQ MERA lEBEGA SOWPADAET S PROIZWEDENIEM
�� �.
u P R A V N E N I Q. 6. pUSTX S| ALGEBRA KONE^NYH OB_EDINENIJ PRO-
MEVUTKOW WIDA [a; b) (0 � a < b � 1) W MNOVESTWE E = [0; 1). pOKAVITE,
^TO S �S NE QWLQETSQ ALGEBROJ W E � E.
7. pUSTX Sn | POLUKOLXCA S 1 W MNOVESTWAH En (n 2 N). tOGDA
SEMEJSTWO S ^ASTEJ X MNOVESTWA1Qn=1
En, PREDSTAWIMYH W WIDE X =
Y1�Y2�: : : (Yn 2 Sn) I Yn 6= En LI[X DLQ KONE^NOGO MNOVESTWA INDEKSOW
n) | POLUKOLXCO W1Qn=1
En (ONO OBOZNA^AETSQ1Qn=1
Sn). eSLI mn | MERY NA
Sn, PRI^�EM mnEn = 1 (n 2 N), TO RAWENSTWO
(4) mX = m1Y1 �m2Y2 � : : : (X = Y1 � Y2 � : : :)
OPREDELQET MERU NA S.
360
8. pUSTX 2 = f0; 1g (SM. 101.11). tOGDA MNOVESTWO W UPR. 191.9
PREDSTAWIMO W WIDE =1Qn=1
�n (�1 = �2 = : : : = 2), A POLUKOLXCO
Z W PREDSTAWIMO W WIDE Z =1Qn=1
P(2). pRI \TOM MERA m (SM. 192.9)
OPREDELQETSQ FORMULOJ (4), W KOTOROJ m1 = m2 = : : : = m0, A m0 | MERA
NA P(2), ZADANNAQ RAWENSTWAMI m0; = 0; m0f0g = m0f1g = 12.
x214. tEOREMA fUBINI
eSTESTWENNO WYQSNITX, NE UPRO]A@TSQ LI ZADA^I MEROOPREDELENIQ I
INTEGRIROWANIQ W SLU^AE, KOGDA ISHODNAQ MERA QWLQETSQ PROIZWEDENIEM
NESKOLXKIH DRUGIH MER, OPERACII S KOTORYMI BOLEE PROSTY? kAK IZWEST-
NO, W SILU SWQZI KRATNOGO INTEGRALA rIMANA S POWTORNYM ZADA^A NAHOV-
DENIQ PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY SWODITSQ K ZADA^E INTEGRIROWANIQ NE-
KOTOROJ FUNKCII PO LINEJNOJ MERE (SM. x123). mY POLU^IM LEBEGOWSKIJ
ANALOG UKAZANNOGO REZULXTATA.
1. bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO MERY �; � OPREDELENY NA NEKOTORYH
�-ALGEBRAH A1; A2 W MNOVESTWAH E1 I E2 SOOTWETSTWENNO; PUSTX DALEE
� = � � �. w DALXNEJ[EM L = L(A1 � A2; �) | KLASS IZMERIMYH PO
lEBEGU OTNOSITELXNO MERY � MNOVESTW IZ E = E1 � E2. wWED�EM TAKVE
OBOZNA^ENIQ DLQ SE^ENIJ MNOVESTW IZ E; DLQ A � E:
A(x) = fy 2 E2 j (x; y) 2 Ag; A(y) = fx 2 E1 j (x; y) 2 Ag:
nA[EJ CELX@ QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO TEOREMY, SWQZYWA@]EJ INTEG-
RIROWANIE PO PROIZWEDENI@ MER S POWTORNYM INTEGRIROWANIEM PO MERAM-
SOMNOVITELQM.
2. t E O R E M A [g. fUBINI]. pUSTX W OBOZNA^ENIQH P. 1 FUNKCIQ
f : E1 � E2 ! R INTEGRIRUEMA OTNOSITELXNO � � �. tOGDA
Zf d(� � �) =
Z �Zf d�
�d� =
Z �Zfd�
�d�:
w ^ASTNOSTI, TEOREMA UTWERVDAET,^TO INTEGRALYZf d� I
Zf d� OPRE-
DELENY KAK INTEGRIRUEMYE FUNKCII NA MNOVESTWAH E1 I E2 SOOTWET-
STWENNO.
361
3. l E M M A. pUSTX A 2 L. tOGDA SU]ESTWUET MNOVESTWO B, PRED-
STAWIMOE W WIDE B =1Tn=1
Bn, GDE B1 � B2 � : : : | POSLEDOWATELX-
NOSTX MNOVESTW, KAVDOE IZ KOTORYH W SWO@ O^EREDX PREDSTAWIMO W
WIDE Bn =1Sk=1
Bnk, GDE Bn1 � Bn2 � : : : ; Bnk 2 A(A1 � A2) (W SOOTWET-
STWII S PRINQTYMI OBOZNA^ENIQMI A(A1 � A2) | ALGEBRA MNOVESTW,
POROVD�ENNAQ POLUKOLXCOM A1 � A2). pRI \TOM
(1) B � A; �A = �B:
� pO OPREDELENI@ KLASSA L DLQ WSQKOGO n 2 N SU]ESTWUET POKRYTIE
fXnrgr � A1 � A2 MNOVESTWA A TAKOE, ^TO
(2) �([r
Xnr) < �A+1
n:
pOLOVIM Bn =nTk=1
(SrXkr) =
Sr1;:::;rn
(X1r1
T: : :TXnrn) =
SsYsn, GDE Ysn =
X1r1
T: : :TXnrn 2 A1�A2, A INDEKSOM s PERENUMEROWANY NABORY (r1; : : : ; rn).
oSTALOSX POLOVITX Bnk =kSs=1
Ysn. dEJSTWITELXNO, PO POSTROENI@ B � A,
A ZNA^IT, �B � �A. oBRATNO, W SILU (2)
�B � �([r
Xnr) < �A+1
n(n 2 N)) �B = �A: >
4. dOKAZATELXSTWO TEOREMY fUBINI PROWED�EM W DWA \TAPA: SNA^ALA
(P. 5) USTANOWIM E�E SPRAWEDLIWOSTX DLQ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ
f = �A(A 2 L). w SOOTWETSTWII S P. 1 RASSMOTRIM DWE FUNKCII �A(�) :
E1 ! R; �A(�) : E2 ! R (NAPRIMER, �A(x) | �-MERA SE^ENIQ A(x) (x 2E1) MNOVESTWA A); \TI FUNKCII KORREKTNO OPREDELENY, RAZUMEETSQ, LI[X
ESLI A(x) 2 A2; A(y) 2 A1.
5. dLQ WSQKOGO A 2 L FUNKCII �A(�); �A(�) KORREKTNO OPREDELENY,
PRI^�EM �A =Z�A(�) d� =
Z�A(�) d�.
� 1-J SLU^AJ: A = X � Y; X 2 A1; Y 2 A2. w \TOM SLU^AE �A(�) = �Y ��X
(I, W ^ASTNOSTI, KORREKTNO OPREDELENA); SOGLASNO (2) x213
�A = �X � �Y =
ZX
�Y d� =
Z�A(�) d�:
362
2-J SLU^AJ: A 2 A(A1 � A2), TO ESTX A =nPi=1
Ai; Ai 2 A1 � A2. w \TOM
SLU^AE A(�) =PiAi(�) I, SLEDOWATELXNO,
�A =Xi
�Ai =Xi
Z�Ai(�) d� =
Z(Xi
�Ai(�))d� =Z�A(�) d�:
3-J SLU^AJ (OB]IJ): A 2 L. pUSTX SEMEJSTWA (Bnk)n;k I (Bn) UDOWLE-
TWORQ@T USLOWIQM P. 3. pOSKOLXKU Bn1 � Bn2 � : : : ,
�Bn1(�) � �Bn2(�) � : : : ; �Bnk(�) ! �Bn(�) (k !1);
GDE Bn =1Sk=1
Bnk; B1 � B2 � : : :, TO ESTX �B1(�) � �B2(�) � : : : ; �Bn(�) !�B(�). w SILU 197.13 I TEOREMY lEWI POLU^AEM
�B = limnlimk�Bnk = lim
nlimk
Z�Bnk(�) d� = lim
n
Z�Bn(�)d� =
Z�B(�) d�:
pUSTX TEPERX �A = 0. tOGDA �B = 0 I SOGLASNO 207.14 �B(�) = 0 P. W.
(OTNOSITELXNO �). s DRUGOJ STORONY, A(x) � B(x) (x 2 E1) I W SILU POL-
NOTY MERY � : A(�) 2 A2 I �A(�) = 0 P. W. (OTNOSITELXNO �). pO\TOMU
�A = 0 =
Z�A(�) d�. iTAK, RAZOBRAN SLU^AJ �A = 0. eSLI �A 6= 0, PRED-
STAWIM A W WIDE A = BnC, GDE B OPREDELENO WY[E, A �C = 0 (SOGLASNO
(1)). dOKAZATELXSTWO ZAWER[AET WYKLADKA:
�A = �B � �C =
Z�B(�) d� �
Z�C(�) d� =
Z�(B(�)nC(�)) d�
=Z�((BnC)(�)) d� =
Z�A(�) d�: >
6. [dOKAZATELXSTWO TEOREMY fUBINI]. iZ PREDSTAWLENIQ f = f+ � f�,GDE f� =
jf j � f2 , MOVNO S^ITATX, ^TO f � 0. kROME TOGO, DOSTATO^NO
DOKAZATX 1-OE RAWENSTWO W P. 2. eSLI f = �A(A 2 L), TO UTWERVDENIE
DOKAZANO W P. 5:
Z�Ad(� � �) = �A =
Z�A(�)d� =
Z �Z�Ad�
�d�:
363
pUSTX f =Pj�j�Aj (�j � 0) | PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ (PO MERE �) FUNK-
CIQ (TO ESTXPj�j�Aj < +1). tOGDA
(3)Zf d(� � �) =
Xj
�j�Aj =Xj
Z[Z�j�Aj d�] d� =
Xj
Z j d�;
GDE j �Z�j�Aj d� (� 0) INTEGRIRUEMY PO MERE �, I RQD
PZ j d� SHO-
DITSQ. w SILU 208.5
(4)Xj
Z j d� =
Z[Xj
Z�j�Aj d�] d�:
fUNKCII �j�Aj (x; �) : E2 ! R (x 2 E1) INTEGRIRUEMY PO MERE �, I RQD IZ
INTEGRALOW SHODITSQ. sNOWA W SILU 208.5
(5)
Z(Xj
Z�j�Aj d�) d� =
Z(
Z(Xj
�j�Aj ) d�) d� =
Z(
Zf d�) d�:
sOPOSTAWLQQ (3) { (5), ZAKL@^AEM, ^TO TEOREMA fUBINI SPRAWEDLIWA DLQ
PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.
pUSTX, NAKONEC, f � 0 | PROIZWOLXNAQ INTEGRIRUEMAQ (PO MERE ���)FUNKCIQ. wOZXM�EM POSLEDOWATELXNOSTX fn INTEGRIRUEMYH PROSTYH FUNK-
CIJ TAKU@, ^TO fn =) f; f1 � f2 � : : :. tOGDA
Zf d(� � �) = lim
n
Zfn d(� � �) = lim
n
Z �Zfn d�
�d�:
fUNKCII 'n �Zfn d� (n 2 N) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM TEOREMY lEWI
(SM. 208.4). sLEDOWATELXNO,
limn
Z �Zfn d�
�d� =
Z �limn
Zfn d�
�d� =
Z �Zf d�
�d�:
x215. iNTEGRAL PO �-KONE^NOJ MERE
1. pUSTX � : A! R+ [ f+1g | POLNAQ �-KONE^NAQ MERA NA �-ALGEBRE
A W MNOVESTWE E. kLASS R � fA 2 A j �(A) < +1g QWLQETSQ TOGDA
364
�-KOLXCOM W E (SM. 193.5). wWED�EM WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO
K KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ, TO ESTX FUNKCIJ WIDA
(1) f =nXj=1
�j�Aj Aj 2 R; Ai \ Aj = ; (i 6= j)):
2. iNTEGRALOM FUNKCII f 2 K WIDA (1) PO MERE � NAZYWAETSQ WELI^I-
NA
Zf d� � nP
j=1�j�Aj. iNTEGRAL OT FUNKCII f 2 K PO MNOVESTWU X 2 A
OPREDELQETSQ RAWENSTWOM
ZX
f d� �Zf � �
Xd� (\TOT POSLEDNIJ INTEGRAL
KORREKTNO OPREDEL�EN (!!)).
nA KLASSE K SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SWOJSTWA (!!):
3.
Z(�f + �g) d� = �
Zf d� + �
Zg d� (�; � 2 R),
4. f � g P. W. )Zf d� �
Zg d�,
5.
Zjf + gj d� �
Zjf j d� +
Zjgj d�,
6. jZf d�j �
Zjf j d�.
7. wWED�EM NORMU NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE K : kfk1 �Zjf j d�
(\KWIWALENTNYE FUNKCII OTOVDESTWLQ@TSQ).
~TOBY OPREDELITX INTEGRAL NA KLASSE IZMERIMYH FUNKCIJ, NAM PO-
NADOBITSQ SLEDU@]AQ LEMMA:
8. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 K FUNDAMENTALXNA PO NORME
k � k1. tOGDA
(A) 8" > 0 9� > 0 8X 2 R
��X < � ) j
ZX
fn d�j < " (n 2 N)�,
(B) �X � limn
ZX
fn d� (X 2 A) | ZARQD NA �-ALGEBRE A.
365
� dLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 : 9N 8n;m � N (kfn � fmk1 < "2). dALEE,
9� > 0 (�X < � ) jZX
fn d�j < "2 (n = 1; : : : ; N)) (!!). tAK ^TO (A) WYPOL-
NQETSQ DLQ n � N . eSLI n > N , TO
jZX
fn d�j � jZX
(fn � fN )d�j+ jZX
fN d�j �Zjfn � fN jd� + j
ZX
fN d�j < ":
(B). wO-PERWYH, �X OPREDELENO DLQ L@BOGO X 2 A:
jZX
fn d� �ZX
fm d�j �ZX
jfn � fmj d� �Zjfn � fmj d�
= kfn � fmk1 ! 0 (n;m!1):
dALEE, ESLI X =1Pk=1
Xk (X;Xk 2 A), TO
j�X � NPk=1
�Xkj � j�X �ZX
fn d�j+ jZX
fn d��NPk=1
ZXk
fn d�j
+ jZ
NPk=1
Xk
fn d� � �(NPk=1
Xk)j:
1-E I 3-E SLAGAEMYE W PRAWOJ ^ASTI MOVNO SDELATX SKOLX UGODNO MALY-
MI PRI BOLX[IH n. tEPERX, DLQ BOLX[OGO, NO FIKSIROWANNOGO n, MOVNO
WYBRATX N STOLX BOLX[IM, ^TO 2-E SLAGAEMOE TAKVE BUDET SKOLX UGODNO
MALYM. iTAK, �X =1Pk=1
�Xk: >
9. iZMERIMU@ FUNKCI@ f NAZOWEM INTEGRIRUEMOJ OTNOSITELXNO
�-KONE^NOJ MERY �, ESLI SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 K, FUN-
DAMENTALXNAQ PO NORME k � k1, TAKAQ, ^TO fn ��! f . pRI \TOM
Zf d� �
limn
Zfn d�.
10. w USLOWIQH P. 9 INTEGRAL KORREKTNO OPREDEL�EN, TO ESTX
1) limn
Zfn d� SU]ESTWUET I NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELX-
NOSTI fn,
366
2) DLQ KONE^NOJ MERY DANNOE OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM
207.4.
� pREDEL limn
Zfn d� SU]ESTWUET W SILU P. 8(B). pUSTX gn 2 K | E]�E
ODNA k � k1-FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX, gn ��! f . tOGDA hn �fn � gn
��! 0 I hn k � k1-FUNDAMENTALXNA. nUVNO LI[X USTANOWITX, ^TOZhn d�! 0. oPREDELIM ZARQD � RAWENSTWOM
�X � limn
ZX
hn d� (X 2 A):
zAFIKSIRUEM X 2 R; DLQ " > 0 PUSTX � > 0 TAKOWO, ^TO �Y < � )jZYhn d�j < " (n 2 N) (SM. P. 8(A)). wYBEREM N STOLX BOLX[IM, ^TO PRI
n � N �fx : jhn(x)j � "�X
g < �. tOGDA
jZX
hn d�j � jZXZ
hn d�j +Z
XnZjhnj d�;
GDE Z = fx : jhn(x)j � "�X
g. oTS@DA
jZX
hn d�j � "+
ZXnZ
"
�Xd� � 2":
tAKIM OBRAZOM, �X = 0 DLQ L@BOGO X 2 R. eSLI WZQTX PREDSTAWLENIE
E =1Pn=1
Xn (Xn 2 R), POLU^IM limn
Zhn d� = �E =
1Pn=1
�Xn = 0.
2). pUSTX � KONE^NA I f INTEGRIRUEMA W SMYSLE 207.4. pOLOVIM fn =n2P
m=�n2mn � �
f�1([m�1n ;
m+1n ))
(n 2 N). tOGDA fn 2 K; fn��! f I fn
k � k1-FUNDAMENTALXNA, TO ESTX f INTEGRIRUEMA W SMYSLE P. 9.oBRATNO, PUSTX f INTEGRIRUEMA W SMYSLE P. 9 I fn | k�k1-FUNDAMENTALXNA
W K I TAKAQ, ^TO fn��! f . pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I �k > 0 TAKOWY, ^TO
1Pk=1
�k < ". w SILU 206.4 I 205.4 NAJD�ETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ) I
POSLEDOWATELXNOSTX POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTWXk � E TAKIH,
^TO
j(fnk � f)�Xkj < �k; �((
kXj=1
Xj)c) < �k (k 2 N):
367
tOGDA A � (1Pj=1
Xj)c| MNOVESTWO MERY 0 I, ZAMENQQ f NA \KWIWALENTNU@
FUNKCI@ f � �Ac, MOVNO S^ITATX, ^TO f�
A= 0. pOLAGAQ g =
1Pk=1
fnk�Xk ,
POLU^AEM, ^TO g | PROSTAQ FUNKCIQ,
supx2E
jf(x)� g(x)j = supk
supx2Xk
jfnk (x)� f(x)j � supk
�k < ":
w SILU 208.7 INTEGRIRUEMOSTX g SLEDUET IZ OCENKI
1Pk=1
ZXk
jgj d� =1Pk=1
ZXk
jfnk j d� �1Pk=1
ZXk
jfnk � fnj d� +1Pk=1
ZXk
jf jd�
� �E � 1Pk=1
�k +Zjf j d� < +1:
11. p R I M E R. rASSMOTRIM NA �-ALGEBRE P(N) WSEH PODMNOVESTW N
\S^ITYWA@]U@" MERU: �X = CardX (^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA X).
tOGDA � | �-KONE^NAQ MERA, A WSQKAQ FUNKCIQ f : N ! R IZMERIMA.
pOKAVITE, ^TO f : N ! R INTEGRIRUEMA TTOGDA RQD1Pn=1
f(n) SHODITSQ
ABSOL@TNO. pRI \TOMZf d� =
1Pn=1
f(n).
12. u P R A V N E N I E. wOSPOLNITE PROBEL W DOKAZATELXSTWE P. 10:
DOKAVITE, ^TO DLQ KONE^NOJ MERY � SOWPADA@T WELI^INY INTEGRALOW W
SMYSLE OPREDELENIJ P. 9 I 207.4.
368
polnye metri~eskie prostranstwa
x216. pOPOLNENIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA
1. mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA (M; d) I (M 0; d0) (SM. 92.1) NAZYWA@T-SQ IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ j : M ! M 0
TAKAQ, ^TO d0(j(x); j(y)) = d(x; y) (x; y 2 M). uKAZANNAQ BIEKCIQ j NAZY-
WAETSQ IZOMETRIEJ PROSTRANSTWA M NA PROSTRANSTWO M 0.
2. pUSTX (M;d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOLNOE METRI^ESKOE
PROSTRANSTWO (M; �) (SM. 92.10) NAZYWAETSQ POPOLNENIEM (M;d), ESLI M
IZOMETRI^ESKI IZOMORFNO PLOTNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA M.
3. t E O R E M A. kAVDOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET PO-
POLNENIEM, KOTOROE EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMETRII.
� eDINSTWENNOSTX. pUSTX (M; �); (N;�) | DWA POPOLNENIQ METRI^ES-
KOGO PROSTRANSTWA (M;d); j : M ! M; J : M ! N | IZOMETRII M NA
PLOTNYE ^ASTI PROSTRANSTW M I N. oPREDELIM OTOBRAVENIE f : M! N
SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOJ TO^KI � 2 M WOZXM�EM KAKU@-NIBUDX
POSLEDOWATELXNOSTX j(xn), SHODQ]U@SQ K �, I POLOVIM
(1) f(�) � limnJ(xn):
oTOBRAVENIE f KORREKTNO ZADANO: WO-PERWYH, PREDEL W PRAWOJ ^ASTI (1)
SU]ESTWUET, TAK KAK J(xn) FUNDAMENTALXNA fDEJSTWITELXNO,�(J(xn); J(xm)) = d(xn; xm)! 0 (n;m!1)g, WO-WTORYH, \TOT PREDEL NEZAWISIT OT WYBORA (xn): ESLI (x
0n) | E]�E ODNA POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ,
^TO j(x0n)! �, TO d(xn; x0n)! 0 I PO\TOMU �(J(xn); J(x
0n)) = d(xn; x
0n)!
0. pOKAVEM, ^TO f | IZOMETRIQ. pUSTX j(xn) ! �; j(yn) ! � (�; � 2 M
| PROIZWOLXNY). tOGDA
�(f(�); f(�)) = limn�(J(xn); J(yn)) = lim
nd(xn; yn) = lim
n�(j(xn); j(yn))
= �(�; �);
TO ESTX f SOHRANQET RASSTOQNIE. oTS@DA SLEDUET, ^TO f | IN_EKCIQ.
pOKAVEM, NAKONEC, ^TO f | S@R_EKCIQ. pUSTX � 2 N | PROIZWOLEN I
J(xn) ! � (xn 2 M). tOGDA j(xn) | FUNDAMENTALXNA I, SLEDOWATELXNO,
369
SU]ESTWUET � 2 M TAKOE, ^TO j(xn)! �. w SILU (1) OTS@DA SLEDUET, ^TO
f(�) = �.
sU]ESTWOWANIE. pUSTX � | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH PO-
SLEDOWATELXNOSTEJ (xn) W PROSTRANSTWE M . wWED�EM W � OTNO[ENIE \KWI-
WALENTNOSTI � : �((xn); (yn)), ESLI d(xn; yn) ! 0 (n ! 1). wOZXM�EM W
KA^ESTWE M MNOVESTWO SMEVNYH KLASSOW (FAKTOR-MNOVESTWO) �=�. dLQ
L@BYH �; � 2 M POLOVIM
(2) �(�; �) � limnd(xn; yn); GDE (xn) 2 �; (yn) 2 �:
oPREDELENIE � KORREKTNO: WO-PERWYH, PREDEL W (2) SU]ESTWUET, TAK KAK
POSLEDOWATELXNOSTX (d(xn; yn)) FUNDAMENTALXNA:
jd(xn; yn)� d(xm; ym)j � d(xn; xm) + d(yn; ym)! 0 (n;m!1);
(MY ISPOLXZOWALI NERAWENSTWO: jd(a; b) � d(c; e)j � d(a; c) + d(b; e)). wO-
WTORYH, \TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn); (yn):
ESLI (x0n) 2 �; (y0n) 2 � | DRUGIE FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI,
TO
jd(x0n; y0n) � d(xn; yn)j � d(xn; x0n) + d(yn; y
0n)! 0;
IZ ^EGO I SLEDUET TREBUEMOE.
oSTALOSX PROWERITX, ^TO (i) �| METRIKA WM, (ii) SU]ESTWUET IZOMET-
RIQ j PROSTRANSTWAM NA PLOTNU@ ^ASTXM, (iii)M| POLNOE METRI^ESKOE
PROSTRANSTWO.
pROWERKA (i) TRIWIALXNA (!!).~TOBY PROWERITX (ii), POLOVIM j(x) � �,
GDE � 2 M TAKOE, ^TO fx; x; : : :g 2 �. tOGDA
�(j(x); j(y)) = d(x; y) (x; y 2M);
PRI^�EM j(M) PLOTNO W M (DLQ � 2 M WYBEREM (xn) 2 � I ZAMETIM, ^TO
j(xn)! � PO METRIKE �).
pROWERIM, NAKONEC, POLNOTU M. pUSTX (�(n)) | FUNDAMENTALXNAQ PO-
SLEDOWATELXNOSTX W M I PUSTX xn 2 M TAKIE, ^TO �(�(n); j(xn)) < 1=n.
tOGDA (xn) | FUNDAMENTALXNA W M f\TO SLEDUET IZ OCENKI:
d(xn; xm) = �(j(xn); j(xm)) � �(j(xn); �(n)) + �(�(n); �(m)) + �(�(m); j(xm))
< 1n + 1
m + �(�(n); �(m))! 0 (n;m!1)g:
370
pO\TOMU SU]ESTWUET � 2 M TAKOE, ^TO (xn) 2 �. pRI \TOM �(n) ! � PO
METRIKE �:
�(�; �(n)) � �(�; j(xn)) + �(j(xn); �(n)) < lim
kd(xk; xn) +
1
n! 0 (n!1): >
4. p R I M E R. pOPOLNENIE INTERWALA (a; b) � R MOVNO OTOVDESTWITX
S OTREZKOM [a; b].
x217. sWOJSTWA POLNYH METRI^ESKIH PROSTRANSTW1. t E O R E M A [O WLOVENNYH [ARAH]. w POLNOM METRI^ESKOM PRO-
STRANSTWE WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH DRUG W DRUGA ZAMK-
NUTYH [AROW, RADIUSY KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, OBLADAET OB]EJ
TO^KOJ.
� dANO (SM. 92.2): Br1[x1] � Br2 [x2] � : : : ; rn ! 0. tREBUETSQ DOKAZATX:
9x 2 1Tk=1
Brk [xk].
pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) | FUNDAMENTALXNA fTAK KAK xn+p 2 Brn[xn];
d(xn; xn+p) � rn ! 0 g. pUSTX x = lim xn; x | ISKOMAQ TO^KA: DEJSTWI-
TELXNO,
d(x; xn) � d(x; xn+p) + d(xn; xn+p) � d(x; xn+p) + rn;
PEREHODQ K PREDELU PO p, POLU^IM d(x; xn) � rn, OTKUDA x 2 Brn [xn] DLQ
L@BOGO n 2 N: >2. mNOVESTWO S W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NIGDE NE
PLOTNYM (SR. 95.5), ESLI S�� = ; (TO ESTX S� NE IMEET WNUTRENNIH TO^EK).3. p R I M E R Y: f1; 12 ; 13 ; : : :g NIGDE NE PLOTNO W R; Q NE NIGDE NE
PLOTNO W R (ONO PLOTNO W R).
4. t E O R E M A [r. b\R]. pOLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO NE
QWLQETSQ OB_EDINENIEM S^�ETNOGO ^ISLA NIGDE NE PLOTNYH MNOVESTW.
�pUSTX, NAPROTIW, POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWOM =1Sn=1
An; A��n =
; (n 2 N). pOSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX [AROW Br1 [x1] � Br2[x2] � : : :
SO SWOJSTWAMI: rn ! 0; Brn[xn] \ An = ; (n 2 N). tOGDA TO^KA x, PRI-
NADLEVA]AQ WSEM \TIM [ARAM (SU]ESTWU@]AQ PO TEOREME O WLOVENNYH
[ARAH), NE PRINADLEVIT1Sn=1
An, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.
371
pOSTROENIE PROWED�EM PO INDUKCII. tAK KAK A��1 = ;, SU]ESTWUET
x1 2 A�c1 (INA^E A�
1 = M I A��1 = M 6= ;). tAK KAK A�c
1 OTKRYTO I MET-
RI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO (SM. 104.3), NAJD�ETSQ r1 (0 < r1 < 1)
TAKOE, ^TO Br1[x1] � A�c1 . pRI \TOM Br1[x1]\A1 = ;. pUSTX UVE POSTROENY
[ARY
Br1[x1] � : : : � Brk [xk]; 0 < rn <1
n; Brn[xn] \An = ; (1 � n � k):
dLQ POSTROENIQ (k + 1)-GO [ARA ZAMETIM, ^TO Brk(xk) 6� A�k+1 (INA^E
; 6= Brk (xk) � A��k+1 = ;). pO\TOMU NAJD�ETSQ xk+1 2 Brk(xk) \ A�c
k+1;
PRI \TOM MNOVESTWO W PRAWOJ ^ASTI OTKRYTO. w SILU REGULQRNOSTI MET-
RI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAJD�ETSQ rk+1 (0 < rk+1 < 1k + 1
) TAKOE, ^TO
Brk+1 [xk+1] � Brk(xk)\A�ck+1. pRI \TOM Brk+1[xk+1]\Ak+1 = ;. pOSTROENIE
ZAWER[ENO. >
5. u P R A V N E N I E. w MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL POLOVIM
d(x; y) =
�0; ESLI x = y,
1 + (x+ y)�1; ESLI x 6= y.
A) dOKAZATX, ^TO d | METRIKA;
B) (N; d) | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO.
W) POSTROITX W N POSLEDOWATELXNOSTX NEPUSTYH ZAMKNUTYH WLOVEN-
NYH [AROW, RADIUSY KOTORYH NE STREMQTSQ K NUL@, I NE SU]ESTWUET
TO^KI, PRINADLEVA]EJ WSEM [ARAM ODNOWREMENNO (SR. S FORMULIROWKOJ
TEOREMY O WLOVENNYH [ARAH).
x218. pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ
1. oTOBRAVENIE f : M ! M METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA M W SEBQ
NAZYWAETSQ SVIMA@]IM (ILI SVATIEM ), ESLI
9� < 1 8x; y 2M (d(f(x); f(y)) � �d(x; y)):
o^EWIDNO, SVIMA@]EE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO:
xn ! x) d(f(xn); f(x)) � �d(xn; x)! 0:
372
2. eSLI M | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I f : M ! M |
SVIMA@]EE OTOBRAVENIE, TO URAWNENIE
(1) f(x) = x
IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.
�sU]ESTWOWANIE.dLQ PROIZWOLXNOGO x0 2M POLOVIM x1 = f(x0); x2 =
f(x1); : : : tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (xn) FUNDAMENTALXNA:
(2) d(xn+p; xn) � �d(xn+p�1; xn�1) � : : : � �nd(xp; x0)
� �n[d(x0; x1) + �d(x0; x1) + : : :+ �p�1d(x0; x1)]
� �n
1 � �d(x0; x1)! 0 (n!1).
pOLOVIM x = limnxn. iZ NEPRERYWNOSTI f IMEEM:
f(x) = limnf(xn) = lim
nxn+1 = x:
eDINSTWENNOSTX. pUSTX y| E]�E ODIN \LEMENT TAKOJ, ^TO f(y) = y.
tOGDA
d(x; y) = d(f(x); f(y)) � �d(x; y)) d(x; y) = 0 ) x = y: >
3. z A M E ^ A N I E. ~ASTO BYWAET NEOBHODIMO OCENITX POGRE[NOSTX,
S KOTOROJ APPROKSIMIRU@]AQ RE[ENIE POSLEDOWATELXNOSTX PRIBLIVAET-
SQ K RE[ENI@ x URAWNENIQ (1). dLQ \TOGO MOVNO, NAPRIMER, PEREJTI K
PREDELU PO p W OCENKE (2). iMEEM TOGDA d(xn; x) � �n
1 � �d(x0; x1).
4. [oBOB]�ENNYJ PRINCIP]. pUSTX f : M ! M | OTOBRAVENIE POL-
NOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA M W SEBQ, PRI^�EM g = f [n] � f � : : :�f(n-AQ SUPERPOZICIQ) | SVATIE. tOGDA URAWNENIE (1) IMEET EDINSTWEN-
NOE RE[ENIE.
� pUSTX x | (NEOBHODIMO EDINSTWENNOE) RE[ENIE URAWNENIQ g(x) = x.
tOGDA f(x) | TAKVE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ. sLEDOWATELXNO, f(x) = x.
|TO RE[ENIE EDINSTWENNO:
y = f(y) ) y = f [2](y)) : : :) y = f [n](y) = g(y) ) y = x: >
pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ IMEET MNOGO^ISLENNYE PRIMENE-
NIQ W RAZLI^NYH ZADA^AH ANALIZA, DIFFERENCIALXNYH I INTEGRALXNYH
URAWNENIJ. pRIWED�EM DWE ILL@STRACII.
373
5. [iNTEGRALXNOE URAWNENIE fREDGOLXMA 2-GO RODA]. rASSMOTRIM IN-
TEGRALXNOE URAWNENIE W PROSTRANSTWE C[a; b] S METRIKOJ, OPREDELQEMOJ
NORMOJ: kfk = maxt2[a;b]
jf(t)j:
(3) f(t) =
Z b
aK(t; s)f(s)ds + '(t);
GDE FUNKCII '(t);K(t; s) NEPRERYWNY (W ^ASTNOSTI,K OGRANI^ENA: jK(t; s)j �M; (t; s 2 [a; b]). rASSMOTRIM OTOBRAVENIE
(Af)(t) �Z b
aK(t; s)f(s) ds+ '(t):
tOGDA d(Af;Ag) = maxt2[a;b]
j(Af)(t) � (Ag)(t)j � M(b � a)d(f; g). sLEDOWA-
TELXNO, PRI M(b � a) < 1 URAWNENIE (3) IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.
oTMETIM, ^TO SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX PRIBLIVENIJ IME-
ET WID (PRI f0 = 0):
f1(t) � (Af0)(t) = '(t);
f2(t) � (Af1)(t) =
Z b
aK(t; s)'(s)ds+ '(t);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fn(t) � (Afn�1)(t) =Z b
aK(t; s)fn�1(s)ds+ '(t); : : :
6. [iNTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA]. sNOWA W C[a; b] RASSMOTRIM
URAWNENIE (W PREVNIH PREDPOLOVENIQH)
(4) f(t) =Z t
aK(t; s)f(s)ds+ '(t) (� (Af)(t)):
pOSLEDOWATELXNO IMEEM OCENKI:
j(Af)(t)� (Ag)(t)j � M(t� a)kf � gk;j(A[2]f)(t)� (A[2]g)(t)j � 1
2M2(t� a)2kf � gk; : : : ;
j(A[n]f)(t)� (A[n]g)(t)j � 1n!Mn(t� a)nkf � gk � 1
n!Mn(b� a)nkf � gk:
pOSKOLXKU 1n!Mn(b� a)n < 1 DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH n; A[n] | SVATIE,
I W SILU P. 4 URAWNENIE (4) IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.
374
x219. kOMPAKTNYE MNOVESTWA W METRI^ESKOMPROSTRANSTWE
1. pUSTXM | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO; MNOVESTWOX �M NAZYWA-
ETSQ PREDKOMPAKTNYM, ESLIX� KOMPAKTNO. wMETRI^ESKOM PROSTRANSTWES PONQTIEM KOMPAKTNOSTI TESNO SWQZANO PONQTIE POLNOJ OGRANI^ENNOSTI.
2. pUSTX M | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I X � M ; MNOVESTWO A �M NAZYWAETSQ "-SETX@ DLQ X (" > 0), ESLI 8x 2 X 9a 2 A (d(a; x) � ").
oTMETIM, ^TO ESLI A | "-SETX DLQ X, TO X � Sa2A
B"[a].
3. mNOVESTWO W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ OGRANI^EN-
NYM, ESLI ONO SODERVITSQ W NEKOTOROM [ARE; MNOVESTWO NAZYWAETSQ WPOL-
NE OGRANI^ENNYM, ESLI DLQ NEGO PRI L@BOM " > 0 SU]ESTWUET KONE^NAQ
"-SETX.
4. wPOLNE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO OGRANI^ENO.
5. eSLI MNOVESTWO WPOLNE OGRANI^ENO, TO WPOLNE OGRANI^ENO EGO
ZAMYKANIE.
6. eSLI METRI^ESKOE PROSTRANSTWO WPOLNE OGRANI^ENO, TO ONO SE-
PARABELXNO.
� dOKAVEM, NAPRIMER, P. 4. pUSTX X �M WPOLNE OGRANI^ENO I x1; : : : xn| NEKOTORAQ 1-SETX DLQ X; a 2 M | PROIZWOLXNO I C = max
1�k�nd(xk; a).
tOGDA X � B1+C [a]:
x 2 X ) 9k (d(x; xk) � 1) ) d(x; a) � d(x; xk) + d(xk; a) � 1 + C: >
7. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO M KOMPAKTNO TTOGDA ONO POLNO I
WPOLNE OGRANI^ENO.
� nEOBHODIMOSTX. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO; fB"(x)gx2M | OTKRYTOE
POKRYTIE M . sLEDOWATELXNO, ONO OBLADAET KONE^NYM POKRYTIEM
fB"(x1); : : : ; B"(xk)g.tOGDA A = fx1; : : : ; xkg| ISKOMAQ "-SETX (!!).pUSTX,
NAPROTIW, M NE POLNO. tOGDA SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWA-
TELXNOSTX (xn) �M , KOTORAQ NE SHODITSQ, TO ESTX 8a 2M 9"a > 0 9n1 <n2 < : : : 8k (d(a; xnk) � 2"a). oTS@DA
(�) 8a 2M 9"a > 0 9Na 8n > Na (d(a; xn) � "a):
375
feSLI, NAPROTIW, 8Na 9n > Na (d(a; xn) < "a), TO
2"a � d(a; xnk) � d(a; xn) + d(xn; xnk)) "a < d(xn; xnk)
W PROTIWORE^IE S FUNDAMENTALXNOSTX@ (xn).g iZ OTKRYTOGO POKRYTIQfB"a(a)ga2M PROSTRANSTWA M WYDELIM KONE^NOE POKRYTIE fB"1(a1); : : : ;
B"k(ak)g.iZ (�) PRIN > maxsNas SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (xn)n�N
LEVIT WNEkSs=1
B"s(as), | PROTIWORE^IE.
dOSTATO^NOSTX. pUSTX M POLNO, WPOLNE OGRANI^ENO, NO NE KOM-
PAKTNO. pUSTX (U�) | OTKRYTOE POKRYTIE M , NE SODERVA]EE KONE^-
NOGO POKRYTIQ. rASSMOTRIM 1-SETX fx11; : : : ; x1n1g � M . hOTQ BY ODIN
[AR B1[x1j ] (NAPRIMER, B1[x
11]) NE POKRYWAETSQ KONE^NYM ^ISLOM \LE-
MENTOW POKRYTIQ U�. {AR B1[x11] | TAKVE WPOLNE OGRANI^ENNOE MET-
RI^ESKOE PROSTRANSTWO. rASSMOTRIM 12-SETX fx21; : : : ; x2n2g � B1[x
11]. tOG-
DA HOTQ BY ODIN [AR B 12[x2j ] (NAPRIMER, B 1
2[x21]) NE POKRYWAETSQ KONE^-
NYM ^ISLOM U�. aNALOGI^NO DLQ L@BOGO k 2 N SU]ESTWUET 2�k+1-SETXfxk1; : : : ; xknkg � B2�k+2[x
k�11 ] TAKAQ, ^TO B2�k+1[x
k1] NE POKRYWAETSQ KONE^-
NYM ^ISLOM U�. pOSLEDOWATELXNOSTX (xk1) FUNDAMENTALXNA (!!) I, SLEDO-
WATELXNO, SU]ESTWUET x0 = limkxk1. pUSTX �0 TAKOWO, ^TO x0 2 U�0. tOGDA
9" > 0 (B"[x0] � U�0). nO B2�k+1[xk1] � B"[x0] PRI DOSTATO^NO BOLX[IH k,
^TO PROTIWORE^IT KONSTRUKCII (xk1): >
8. pUSTX M | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO; X(� M) PRED-
KOMPAKTNO TTOGDA X WPOLNE OGRANI^ENO.
� pUSTX X PREDKOMPAKTNO. tOGDA X� KOMPAKTNO I W SILU P. 7 X WPOLNE
OGRANI^ENO. oBRATNO, ESLI X WPOLNE OGRANI^ENO, TO X� WPOLNE OGRANI-
^ENO I POLNO (BUDU^I ZAMKNUTYM)) (P. 7) X� KOMPAKTNO. >
rASSMOTRIM WAVNYJ PRIMER: PROSTRANSTWO C[a; b].
9. sEMEJSTWO � (� C[a; b]) NAZYWAETSQ RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNYM,
ESLI
8" > 0 9� > 0 8' 2 � 8x; y 2 [a; b] (jx� yj < � ) j'(x)� '(y)j < "):
10. [kRITERIJ KOMPAKTNOSTI W PROSTRANSTWE C[a; b]].mNOVESTWO �(�C[a; b]) PREDKOMPAKTNO TTOGDA � OGRANI^ENO I RAWNOSTEPENNO NEPRE-
RYWNO.
376
� nEOBHODIMOSTX. w SILU P. 8 � WPOLNE OGRANI^ENO, A ZNA^IT, OGRANI-
^ENO. pUSTX " > 0. rASSMOTRIM "3-SETX '1; : : : ; 's DLQ �. kAVDAQ FUNKCIQ
'j RAWNOMERNO NEPRERYWNA, TO ESTX
8j 9 �j > 0 8x; y 2 [a; b] (jx� yj < �j ) j'j(x)� 'j(y)j < "
3):
pOLOVIM � = min �j (> 0). tOGDA
8' 2 � 9'j (k'� 'jk � "3) )
8x; y 2 [a; b]; jx� yj < � ) j'(x)� '(y)j �� j'(x)� 'j(x)j+ j'j(x)� 'j(y)j+ j'j(y)� '(y)j� k'� 'jk+ j'j(x)� '(y)j+ k'� 'jk � ":
nEOBHODIMOSTX USTANOWLENA (SM. POD^�ERKNUTYJ TEKST).
dOSTATO^NOSTX. pUSTX � OGRANI^ENO I RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO.
tREBUETSQ DOKAZATX (SM. P. 8), ^TO DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KONE^NAQ
"-SETX. pUSTX �(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) | RAZLOVENIE OTREZKA
[a; b]; d(�) < �. w OBOZNA^ENIQH P. 9 (S ZAMENOJ " NA "5) TOGDA j'(xj) �
'(xj�1)j < "5 (' 2 �; 1 � j � n). pUSTX K > 0 TAKOWO, ^TO k'k � K (' 2
�). rASSMOTRIM RAZLOVENIE �(�K = y0 < y1 < : : : < ym = K) OTREZKA
[�K;K] DIAMETRA < "5 . kAVDOJ ' 2 � SOPOSTAWIM POLIGON S UZLAMI
W (xk; yj), GDE DLQ DANNOGO k NOMER j OPREDELQETSQ, NAPRIMER, USLOWIEM
yj � '(xk) < yj+1. tOGDA
j'(xk)� (xk)j < "5 (k = 1; : : : ; n);
j (xk)� (xk+1)j < j (xk)� '(xk)j+ j'(xk)� '(xk+1)j+ j'(xk+1)� (xk+1)j < 3"
5 :
dLQ PROIZWOLXNOGO x 2 [a; b] (xk | BLIVAJ[IJ UZEL K x SLEWA):
j'(x)� (x)j � j'(x)� '(xk)j+ j'(xk)� (xk)j+ j (xk)� (x)j� 2"
5 + j (xk)� (xk+1)j < ":
nAKONEC, ^ISLO POLIGONOW OPISANNOGO WIDA, O^EWIDNO, KONE^NO.>
11. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO MNOVESTWO
� = f' 2 C[0; 1]j 0 � '(x) � 1 (0 � x � 1)gNE RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO W C[0; 1].
377
osnownye principy linejnogoanaliza
mY PEREHODIM K SISTEMATI^ESKOMU IZU^ENI@ NEPRERYWNYH LINEJ-
NYH OTOBRAVENIJ W NORMIROWANNYH PROSTRANSTWAH. w OSNOWE \TOJ TE-
ORII LEVAT TRI FUNDAMENTALXNYH REZULXTATA, POSTOQNNO ISPOLXZUEMYE
W LINEJNOM FUNKCIONALXNOM ANALIZE I EGO PRIMENENIQH: TEOREMA hANA-
bANAHA (PRINCIP PRODOLVENIQ LINEJNYH FUNKCIONALOW), TEOREMA bANAHA-
{TEJNGAUZA (PRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI) I TEOREMA bANAHA
(PRINCIP OTKRYTOSTI OTOBRAVENIQ).
x220. kONE^NOMERNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA1. pUSTX k � k1 I k � k2 | DWE NORMY W KONE^NOMERNOM WEKTORNOM
PROSTRANSTWE E. tOGDA SU]ESTWU@T KONSTANTY m;M > 0TAKIE, ^TO
(�) mkfk1 � kfk2 �Mkfk1 (f 2 E):� pUSTX fe1; : : : ; eng | BAZIS W WEKTORNOM PROSTRANSTWE E; k � ke |
EWKLIDOWA NORMA, A k � k | PROIZWOLXNAQ NORMA W E. pOKAVEM, ^TO SU-
]ESTWU@T KONSTANTY d; D > 0 TAKIE, ^TO
dk � ke � k � k � Dk � ke(OTS@DA, O^EWIDNO, SLEDUET (�)). dLQ PROIZWOLXNOGO WEKTORA f = f1e1 +
: : :+ fnen IMEEM
kfk �Xi
jf ijkeik � [Xi
keik2]1=2[Xi
jf ij]1=2 = Dk � ke;
GDE D = [Pikeik2]1=2.
pUSTX S(� E) | EDINI^NAQ SFERA W EWKLIDOWOJ NORME, TO ESTX S =
ff 2 E j kfke = 1g I '(f) � kfk (f 2 S). fUNKCIQ ' : S ! R |
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA KOMPAKTNOM MNOVESTWE W EWKLIDOWOM
PROSTRANSTWE (E; k � ke) fNEPRERYWNOSTX E�E SLEDUET IZ OCENKI:j'(f)� '(g)j = j kfk � kgk j � kf � gk � Dkf � gkeg:
378
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET f0 2 S, ^TO '(f0) = minf2S
'(f) (> 0). pOLOVIM
d = '(f0). tOGDA f 6= � WLE^�ET
dkfke = '(f0)kfke � '(f
kfke )kfke = kfk: >
2. s L E D S T W I E. wSQKOE KONE^NOMERNOE NORMIROWANNOE PROSTRAN-
STWO POLNO.
3. s L E D S T W I E. wSE NORMY W KONE^NOMERNOM PROSTRANSTWE OPRE-
DELQ@T ODNU I TU VE TOPOLOGI@.
4. z A M E ^ A N I E. w BESKONE^NOMERNYH PROSTRANSTWAH \TO UVE NE
TAK (SM., NAPRIMER, 149.6).
5. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, X | EGO ZAMKNUTOE POD-
PROSTRANSTWO, f 2 EnX; \LEMENT f0 2 X NAZYWAETSQ \LEMENTOM NAILU^-
[EGO PRIBLIVENIQ K f (OTNOSITELXNO X), ESLI
kf � f0k = infg2X
kf � gk (= infg2X
kf + gk):
6. eSLI X | KONE^NOMERNOE PODPROSTRANSTWO E, TO \LEMENT NAI-
LU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO X WSEGDA SU]ESTWUET.
� pUSTX dimX = n I � = infg2X
kf�gk.pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (gk) � X
TAKOWA, ^TO kf � gkk ! � (k ! +1); (gk) OGRANI^ENA PO NORME k � k, TAKKAK kgkk � kgk � fk + kfk (k = 1; 2; : : :). w SILU 65.4 I P. 3 (gk) OBLADAET
SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: gnk ! f0. |LEMENT f0 2 X. pRI
\TOM
kf � f0k = limkkf � gnkk = �: >
u P R A V N E N I Q. 7. wWED�EM W C n SEMEJSTWO NORM
kfkp � [nPk=1
jfkjp]1=p (1 � p < +1);
kfk1 � max1�k�n
jfkj (f = (f1; : : : ; fn) 2 C n):
nAJDITE KONSTANTYmp;Mp (1 � p � 1), UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM
mpk � kp � k � k1 �Mpk � kp.
379
8. w PROSTRANSTWE C 2 S NORMOJ k � k1 (SM. UPR. 7) NAJDITE WSE \LEMEN-TY NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ K WEKTORU f = (1; 0) OTNOSITELXNO PODPRO-
STRANSTWA X = f(u; v) j u = vg.
x221. {KALA PROSTRANSTW Lp(�) (1 � p � 1)
sOGLA[ENIQ: (E;A; �) | PROSTRANSTWO S POLNOJ �-KONE^NOJ MEROJ,
M = M(E;A; �) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ
f : E ! C (ILI R), FAKTORIZOWANNOE PO OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI �(f � g, ESLI f(x) = g(x) P. W.). dOPUSKAQ WOLXNOSTX, \LEMENTY PROSTRAN-
STWA M MY NAZYWAEM FUNKCIQMI.
1. wWED�EM SLEDU@]IE KLASSY FUNKCIJ I ^ISLOWYE FUNKCII NA \TIH
KLASSAH:
Lp(�) � ff 2M jZjf jp d� < +1g;
kfkp � [Zjf jp d�]1=p (f 2 Lp(�)); 1 � p < +1;
L1(�) � ff 2M j 9k > 0 (jf(x)j � k P. W.)g;kfk1 � inffk : jf(x)j � k P. W. (f 2 L1(�)):
nA^N�EM ANALIZ S KLASSA L1(�). pREVDE WSEGO, L1(�) | WEKTORNOE
PROSTRANSTWO NAD POLEM C (!!). dALEE,
2. jf(x)j � kfk1 P. W. NA E.
3. fUNKCIQ kfk1 | NORMA NA L1(�).
� iZ P. 2 SLEDUET NEMEDLENNO, ^TO kfk1 = 0) f(x) = 0 P. W., A ZNA^IT,
f = �. sNOWA S U^�ETOM P. 2 IMEEM DLQ f; g 2 L1(�):
jf(x) + g(x)j � jf(x)j+ jg(x)j � kfk1 + kgk1 P. W.;
OTKUDA kf + gk1 � kfk1 + kgk1: >4. pROSTRANSTWO L1(�) S NORMOJ kfk1 QWLQETSQ BANAHOWYM PRO-
STRANSTWOM.
� pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn) FUNDAMENTALXNA W L1(�). tOGDA IZOCENKI (SM. P. 2)
jfn+p(x)� fn(x)j � kfn+p � fnk1 P. W.
380
SLEDUET, ^TO P. W. SU]ESTWUET f(x) � limnfn(x). iZ FUNDAMENTALXNOSTI
(fn) SLEDUET, ^TO DLQ NEKOTOROGO C > 0 SPRAWEDLIWA OCENKA kfnk1 �C (n 2 N). pO\TOMU jfn(x)j � C P. W. I, SLEDOWATELXNO, jf(x)j � C P. W.,
OTKUDA f 2 L1(�). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I N TAKOWO, ^TO n > N )kfn+p � fnk1 < " (p 2 N). tOGDA jfn+p(x) � fn(x)j � " P. W. (n � N),
A ZNA^IT, (PEREHODQ K PREDELU PO p) jf(x) � fn(x)j � " P. W. (n � N).
pO\TOMU kfn � fk1 � " (n > N). iTAK, kfn � fk1 ! 0 (n!1): >
rASSMOTRIM KLASS L1(�), NAHODQ]IJSQ NA PROTIWOPOLOVNOM KONCE
[KALY. iZ SWOJSTW INTEGRALA lEBEGA SLEDUET, ^TO L1(�) | WEKTORNOE
PROSTRANSTWO I kfk1 �Zjf jd� | NORMA NA L1(�). pRI DOKAZATELXSTWE
SLEDU@]IH NIVE UTWERVDENIJ PREDPOLAGAEM (RADI TEHNI^ESKOJ PROSTO-
TY), ^TO � | KONE^NAQ MERA.
5. L1(�) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
� wOSPOLXZUEMSQ 148.4. pUSTX RQD1Pn=1
fn SHODITSQ ABSOL@TNO W L1(�),
T. E.1Pn=1
Zjfnj d� < +1. pO SLEDSTWI@ K TEOREME lEWI 208.5 RQD
1Pn=1
jfnjSHODITSQ P. W. K NEKOTOROJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII '(� 0). oTS@DA P. W.
SHODITSQ RQD1Pn=1
fn. pUSTX f | EGO SUMMA. pOSKOLXKU j kPn=1
fnj � ' P. W.
(k 2 N), POLU^AEM, ^TO jf j � ' P. W. I PO\TOMU f 2 L1(�). nAKONEC, RQD1Pn=1
fn SHODITSQ W L1(�) (K f):
Zjf �
kXn=1
fnj d� =
Zj
1Xn=k+1
fnjd� �1X
n=k+1
Zjfnj d�! 0 (k ! +1): >
6. z A M E ^ A N I E. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX (fn) SHODITSQ K f PO
NORME PROSTRANSTWA L1(�), TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk),
SHODQ]AQSQ K f P. W.
� pUSTX kfn�fk1 ! 0 (n!1); " > 0 IXn(") � fx 2 E : jfn(x)�f(x)j �"g. tOGDA IZ OCENKI
�Xn(") =
ZXn(")
d� � 1
"
ZXn(")
jfn � f j d� � 1
"kfn � fk1
SLEDUET, ^TO fn��! f . iZ 206.4 TEPERX SLEDUET TREBUEMOE.>
381
7. [iNTEGRALXNYE NERAWENSTWA g�ELXDERA I mINKOWSKOGO].
(A) pUSTX f 2 Lp(�); g 2 Lq(�), PRI^�EM 1p +
1q = 1. tOGDA fg 2 L1(�)
I kfgk1 � kfkp � kgkq.(B) pUSTX f; g 2 Lp(�). tOGDA f + g 2 Lp(�), PRI^�EM
kf + gkp � kfkp + kgkp.� (A). pUSTX f =
P�i�Xi 2 Lp(�); g =
P�i�Xi 2 Lq(�) | PROSTYE
FUNKCII, 1p + 1q = 1 (IZMERIMOE RAZLOVENIE E =
PXi MOVNO S^ITATX,
O^EWIDNO, OB]IM DLQ OBEIH FUNKCIJ). tOGDA fg =P�i�i�Xi I, ISPOLXZUQ
NERAWENSTWO g�ELXDERA DLQ RQDOW (SM. 41.3), IMEEM
P j�i�ij�Xi =P[j�ij�X1=p
i � j�ij�X1=qi ]
� [P j�ijp�Xi]
1=p � [P j�ijq�Xi]1=q < +1:
tAKIM OBRAZOM, fg 2 L1(�) I (a) SPRAWEDLIWO. w OB]EM SLU^AE RASSMOT-
RIM POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ fn ! f 2 Lp(�); gn ! g 2Lq(�) P. W., jfnj � jf j; jgnj � jgj. tOGDA fngn ! fg P. W. I IZ OCENKIZ
jfngnj d� � [Zjfnjp d�]1=p � [
Zjgnjq d�]1=q
� [Zjf jp d�]1=p[
Zjgjqd�]1=q = kfkp � kgkq
SLEDUET, ^TO fngn 2 L1(�). w SILU TEOREMY fATU 208.6 jfgj 2 L1(�) I
SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (A).
(B). dLQ FIKSIROWANNOGO x 2 E SPRAWEDLIWY NERAWENSTWA
jf(x) + g(x)jp � [2maxfjf(x)j; jg(x)jg]p � 2pfjf(x)jp + jg(x)jpg;IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO f + g 2 Lp(�) DLQ f; g 2 Lp(�). pOSKOLXKU
(p � 1)q = p DLQ q TAKOGO, ^TO 1p + 1
q = 1, FUNKCIQ jf + gjp�1 PRINAD-LEVIT KLASSU Lq(�). iSPOLXZUQ (A), IMEEM
kf + gkpp =
Zjf + gjp d� =
Zjf + gj jf + gjp�1 d�
�Zjf j jf + gjp�1 d� +
Zjgj jf + gjp�1 d�
� [Zjf jp d�]1=p[
Zjf + gj(p�1)qd�]1=q
+ [
Zjgjp d�]1=p[
Zjf + gj(p�1)qd�]1=q
= kfkpkf + gkp=qp + kgkpkf + gkp=qp :
382
dELQ OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA NA kf+gkp=qp , POLU^AEM ISKOMOE
NERAWENSTWO: kf + gkp � kfkp + kgkp: >8. nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO Lp(�) POLNO .
� pUSTX (fn) | FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W Lp(�). iZ NERA-
WENSTWA g�ELXDERA
kfn � fmk1 =
Zjfn � fmj d� � [
Zjfn � fmjpd�]1=p[
Z1d�]1=q
= kfn � fmkp(�E)1=q ! 0 (n;m!1):
tAKIM OBRAZOM, (fn) FUNDAMENTALXNA W L1(�) I, SLEDOWATELXNO, OBLADAET
PREDELOM f W L1(�). w SOOTWETSTWII S ZAME^ANIEM 6 SU]ESTWUET PODPO-
SLEDOWATELXNOSTX (fnk) TAKAQ, ^TO fnk ! f P. W. pOKAVEM, ^TO fn ! f
PO NORME Lp(�). dLQ " > 0 SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO n; nk > N )Zjfn � fnk jp d� < ". pEREHODQ ZDESX K PREDELU PO k I PRIMENQQ TEORE-
MU fATU 208.6, POLU^AEM jfn � f jp 2 L1(�), OTKUDA jfn � f j 2 Lp(�), I
ZNA^IT, f 2 Lp(�); kfn � fkp ! 0 (n!1): >
9. z A M E ^ A N I E. dLQ KONE^NOJ MERY � SPRAWEDLIWO WKL@^ENIE
Lp(�) � Lq(�) PRI 1 � q < p � 1.
u P R A V N E N I Q. 10. wWED�EM KLASSY SKALQRNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ
f � (fn) I ^ISLOWYH FUNKCIJ NA NIH:
`p � ff = (fn) j 1Pn=1
jfnjp < +1g;kfkp � [
1Pn=1
jfnjp]1=p (f 2 `p); 1 � p < +1;
`1 � ff = (fn)j supnjfnj < +1g; kfk1 � sup
njfnj (f 2 `1):
pOKAVITE, ^TO \TI KLASSY QWLQ@TSQ WEKTORNYMI PROSTRANSTWAMI, A UKA-
ZANNYE FUNKCII| NORMAMI. dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTW `p (1 � p �+1) A) NE SSYLAQSX NA REZULXTATY PP. 4 I 8, B) OPIRAQSX NA REZULXTATY
PP. 4 I 8.
11. pOKAVITE, ^TO PROSTRANSTWO C00(R) NEPRERYWNYH FUNKCIJ S KOM-
PAKTNYMI NOSITELQMI PLOTNO W PROSTRANSTWE L1(R) FUNKCIJ, INTEGRIRU-
EMYH PO LINEJNOJ MERE lEBEGA. fuKAZANIQ. zAMETITX, ^TO C00(R) PLOTNO
(PO NORME k�k1) W MNOVESTWE HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ MNOVESTW W R,PREDSTAWIMYH W WIDE KONE^NYH OB_EDINENIJ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ
383
SOBSTWENNYH PROMEVUTKOW hai; bii), I OTS@DA | W MNOVESTWE HARAKTE-
RISTI^ESKIH FUNKCIJ OGRANI^ENNYH IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW W
R. zATEM WYWESTI, ^TO C00(R) PLOTNO W MNOVESTWE HARAKTERISTI^ESKIH
FUNKCIJ IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW KONE^NOJ MERY I, SLEDOWATELX-
NO, W MNOVESTWE KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ W R. oSTA�ETSQ WOS-
POLXZOWATXSQ 215.9.g12. pOKAVITE, ^TO C00(R) PLOTNO W PROSTRANSTWE L
2(R).
13. dOKAVITE POLNOTU L2(�) DLQ �-KONE^NOJ MERY �.
x222. oPERACII NAD BANAHOWYMI PROSTRANSTWAMI
1. [pRQMAQ SUMMA BANAHOWYH PROSTRANSTW]. pUSTX (E1; k�k1); (E2; k�k2)| BANAHOWY PROSTRANSTWA. ~EREZ ff; gg(f 2 E1; g 2 E2) OBOZNA^IM \LE-
MENTY DEKARTOWA PROIZWEDENIQ E1�E2. oPREDELIM W E1�E2 WEKTORNYE
OPERACII RAWENSTWAMI:
ff1; g1g+ ff2; g2g � ff1 + f2; g1 + g2g;
�ff; gg � f�f; �gg (ff; gg 2 E1 � E2):
oPREDELIM DALEE NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E1 �E2 NORMU
(�) kff; ggk � kfk1 + kgk2 (ff; gg 2 E1 �E2):
2. nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO E1 �E2 QWLQETSQ POLNYM OTNOSI-
TELXNO NORMY (�).� pUSTX (ffn; gng) | FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W E1 � E2.
iZ RAWENSTW
kffm; gmg � ffn; gngk = kffm � fn; gm � gngk= kfm � fnk1 + kgm � gnk2 ! 0 (m;n!1)
SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTI (fn); (gn) QWLQ@TSQ FUNDAMENTALXNYMI
W E1 I E2 SOOTWETSTWENNO, A ZNA^IT, ONI SHODQTSQ: fn ! f; gn ! g. nO
TOGDA ffn; gng ! ff; gg W E1 � E2: >
3. [fAKTOR-PROSTRANSTWO]. pUSTX L| ZAMKNUTYJ LINEAL W BANAHOWOM
PROSTRANSTWE E (L | BANAHOWO PROSTRANSTWO W INDUCIROWANNOJ TOPOLO-
GII). wWED�EM W E OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI: f � g, ESLI f � g 2 L.
384
|LEMENTY FAKTOR-MNOVESTWA E=L | SMEVNYE KLASSY; ESLI f 2 E, TO
SMEVNYJ KLASS, KUDA WHODIT f , OBOZNA^IM ^EREZ [f ]. o^EWIDNO, [f ] =
ff + g j g 2 Lg � f + L: E=L | WEKTORNOE PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO
WEKTORNYH OPERACIJ
[f ] + [g] � [f + g]; �[f ] � [�f ] (f 2 E; � 2 �):
nULEWOJ \LEMENT | \TO [�] = L. fUNKCIQ
k[f ]k� � infg2L
kf + gk
| NORMA NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E=L (!!).
4. (E=L; k � k�) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
�nUVNO LI[X USTANOWITX POLNOTU E=L. wOSPOLXZUEMSQ KRITERIEM 148.4.
pUSTXP k[fn]k� < +1 I gn 2 L TAKOWY, ^TO kfn + gnk � 2k[fn]k�. tOG-
DA RQDP(fn + gn) SHODITSQ ABSOL@TNO W E I, TAK KAK E | BANAHOWO
PROSTRANSTWO, \TOT RQD SHODITSQ. pUSTX g =P(fn + gn). pOKAVEM, ^TO
[g] =P[fn]. dEJSTWITELXNO,
k[g]�kX
n=1
[fn]k� � kg �kXn=1
(fn + gn)k ! 0 (k!1): >
x223. lINEJNYE OPERATORY W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE
1. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM � (= C ILI
R); LINEJNYJ OPERATOR A : E ! F (SM. 71.1) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM,
ESLI 9C > 0 8f 2 E (kAfk � Ckfk). ~EREZ L(E;F ) OBOZNA^IM MNOVESTWOWSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW IZ NORMIROWANNOGO PROSTRAN-
STWA E W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO F . wELI^INA
(�) kAk � inffC > 0 : kAfk � Ckfk (f 2 E)gNAZYWAETSQ NORMOJ OGRANI^ENNOGO LINEJNOGO OPERATORA A.
2. z A M E ^ A N I E. eSLI A 2 L(E;F ), TO kAfk � kAk kfk(f 2 E).3. pUSTX A : E ! F | LINEJNYJ OPERATOR. sLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY:
(i) A OGRANI^EN,
385
(ii) A NEPRERYWEN,
(iii) A NEPRERYWEN W TO^KE �.
� (i) ) (ii). fn ! f (fn; f 2 E) ) kAfn � Afk = kA(fn � f)k �kAk kfn � fk ! 0 ) Afn ! Af .
(ii) ) (iii) S O^EWIDNOSTX@.
(iii) ) (i). iZ USLOWIQ (iii) SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO
kfk < � ) kAfk < 1. pOLAGAQ C = 2=�, IMEEM (PRI f 6= �):
kAfk = 2
�kfk � kA(�
2� f
kfk)k < Ckfk: >
4. dLQ A 2 L(E;F ) : kAk = supkfk�1
kAfk = supkfk=1
kAfk.� oBOZNA^IM M = sup
kfk�1kAfk; IMEEM: kAfk � Ckfk (f 2 E)) kAfk �
C (kfk � 1) ) M � kAk; kAfk = kA(f=kfk)k �Mkfk ) kAk �M: >
5. pUSTX E; F; G| NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA I A 2 L(E;F ); B 2L(F;G). tOGDA B �A 2 L(E;G). pRI \TOM kB �Ak � kBk kAk.� kB �Ak = sup
kfk�1kB(Af)k � kBk � sup
kfk�1kAfk = kBk kAk: >
6. kLASS L(E;F ) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ NOR-
MIROWANNOGO PROSTRANSTWA E W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO F S ES-
TESTWENNYMI WEKTORNYMI OPERACIQMI I NORMOJ (�) | NORMIROWANNOE
PROSTRANSTWO. bOLEE TOGO, ESLI F | POLNOE PROSTRANSTWO, TO L(E;F )
| TAKVE POLNO.
� fUNKCIQ (�) NA SAMOM DELE QWLQETSQ NORMOJ:
kA+Bk = supkfk�1
k(A+B)fk � supkfk�1
[kAfk+ kBfk]� sup
kfk�1kAfk+ sup
kfk�1kBfk = kAk+ kBk:
pUSTX kAn �Amk ! 0 (n;m! 1). tOGDA DLQ L@BOGO f 2 E POSLEDOWA-
TELXNOSTX (Anf) FUNDAMENTALXNA W F :
kAnf �Amfk = k(An �Am)fk � kAn �Amk kfk ! 0 (n;m!1):
386
eSLI F | POLNO, TO SU]ESTWUET PREDEL Af � limAnf (f 2 E). tAKIM
OBRAZOM OPREDEL�ENNOE OTOBRAVENIE A, O^EWIDNO, QWLQETSQ LINEJNYM OTO-
BRAVENIEM IZ E W F . kROME TOGO, A OGRANI^ENO. dEJSTWITELXNO, PUSTX
C > 0 TAKOWO, ^TO kAnk � C (n 2 N). tOGDAkAfk = lim
nkAnfk � sup
nkAnfk � sup
nkAnk kfk � Ckfk:
iTAK, A 2 L(E;F ). nAKONEC, An ! A PO NORME: PUSTX " > 0 PROIZWOLXNO
I N TAKOWO, ^TO kAn �Amk < " (n;m > N). tOGDA
kAnf �Afk = limmkAnf �Amfk � "kfk (n > N);
TO ESTX 8n > N (kAn �Ak < ") ) kAn �Ak ! 0 (n!1): >
rASSMOTRIM NEKOTORYE SPECIALXNYE WIDY LINEJNYH OTOBRAVENIJ, S
KOTORYMI NAM PRID�ETSQ IMETX DELO.
7. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA I A : E ! F | LI-
NEJNYJ OPERATOR. oN NAZYWAETSQ IZOMETRIEJ, ESLI kAfk = kfk (f 2 E).o^EWIDNO, A 2 L(E;F ) I kAk = 1. iZOMETRIQ, QWLQ@]AQSQ S@R_EKCIEJ
(NA F ), NAZYWAETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM. eSLI SU]ESTWUET
IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM A : E ! F , NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA
E I F NAZYWA@TSQ IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYMI (OBOZNA^AETSQ: E ' F ).
dWA IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA \TO (S TO^-
KI ZRENIQ ALGEBRAI^ESKOJ I METRI^ESKOJ STRUKTUR) PO SU]ESTWU ODNO I
TO VE PROSTRANSTWO.
8. oPERATOR A 2 L(E;F ) NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI A| S@R_EK-
CIQ I SU]ESTWUET OBRATNYJ OPERATOR A�1 2 L(F;E).9. pUSTX E;F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA. lINEJNOE OGRANI^EN-
NOE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE j : E ! F NAZYWAETSQ WLOVENIEM PRO-
STRANSTWA E W PROSTRANSTWO F .
u P R A V N E N I Q. 10. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA
I E | KONE^NOMERNO. tOGDA L@BOE LINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! F
NEPRERYWNO.
11. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO C[0; 1], S NORMOJ kfk1 �Z 1
0jf(t)j dt, A F = C[0; 1] S NORMOJ kfk � max
0�t�1jf(t)j. tOGDA OTOBRAVENIE
j : F ! E, ZADANNOE RAWENSTWOM j(f) � f (f 2 F ), | WLOVENIE, A
387
OTOBRAVENIE i : E ! F , ZADANNOE RAWENSTWOM i(f) � f (f 2 E), NE
QWLQETSQ WLOVENIEM.
12. oPERATOR A 2 L(E;F ), QWLQ@]IJSQ S@R_EKCIEJ, OBRATIM TTOGDA
9C > 0 8f 2 E (kAfk � Ckfk).13. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, A E � E SNABVENO
NORMOJ kfu; vgk � maxfkuk; kvkg. pOKAVITE, ^TO SOOTWETSTWIE A! A#,
GDE A#fu; vg � (Au)v (u; v 2 E), OPREDELQET IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZMMEVDU PROSTRANSTWAMI L(E;L(E;F )) I L(E � E;F ).
14. pUSTX (E;A; �) | PROSTRANSTWO S POLNOJ KONE^NOJ MEROJ, N� |
MNOVESTWO WSEH ZARQDOW � : A! C ABSOL@TNO NEPRERYWNYH OTNOSITELXNO
�. eSTETSWENNYE WEKTORNYE OPERACII I NORMA k � kv (SM. 211.8) OPREDE-
LQ@T W N� STRUKTURU NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA. pOKAVITE, ^TO N�IZOMETRI^ESKI IZOMORFNO BANAHOWU PROSTRANSTWU L1(�). fuKAZANIE: WOS-POLXZUJTESX TEOREMOJ rADONA-nIKODIMA.g
x224. pOPOLNENIE NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA.pROSTEJ[AQ TEOREMA WLOVENIQ
1. pUSTX (E; k � k) | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO. nORMIROWANNOE
PROSTRANSTWO ( eE; k � k�) NAZYWAETSQ POPOLNENIEM (E; k � k), ESLI 1)
( eE; k � k�) | POLNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, 2) SU]ESTWUET IZO-
METRI^ESKIJ IZOMORFIZM j : E ! eE, PRI^�EM j(E) PLOTNO W eE.2. kAVDOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO OBLADAET POPOLNENIEM, KO-
TOROE EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMETRI^ESKOGO IZOMORFIZMA.
� w SILU 216.3 SU]ESTWUET POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO ( eE; �) |POPOLNENIE PROSTRANSTWA (E; d), GDE d OPREDELENA RAWENSTWOM d(f; g) �kf � gk (f; g 2 E). pUSTX j : E ! eE | SOOTWETSTWU@]AQ IZOMETRIQ.
oPREDELIM WEKTORNYE OPERACII W eE. pUSTX �; � 2 eE I (fn); (gn) POSLEDO-
WATELXNOSTI W E TAKIE, ^TO j(fn)! �; j(gn)! � PO METRIKE �. pOLOVIM
� + � � lim j(fn + gn); �� � lim j(�fn) (� 2 �):
wWED�ENNYE OPERACII OPREDELQ@T W eE STRUKTURU WEKTORNOGO PROSTRANST-
WA (!!). oPREDELIM DALEE NA eE NORMU k � k� RAWENSTWOM: k�k� � �(�; �)
(� 2 eE). fpUSTX j(fn)! � (fn 2 E). tOGDAk��k� = �(��; �) = lim
n�(j(�fn); �) = lim
nd(�fn; �) = lim
nk�fnk
= j�j limnkfnk = j�j lim
n�(j(fn); �) = j�jk�k�:
388
oSTALXNYE AKSIOMY NORMY SLEDU@T IZ SOOTWETSTWU@]IH AKSIOM METRI-
KI.g tAKIM OBRAZOM, ( eE; k � k�) | ISKOMOE POPOLNENIE NORMIROWANNOGO
PROSTRANSTWA (E; k � k): >rASSMOTRIM PRILOVENIE PROCEDURY POPOLNENIQ NORMIROWANNOGO PRO-
STRANSTWA K PROSTEJ[EJ TEOREME WLOVENIQ.
3. pUSTX C1[a; b] | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO GLADKIH FUNKCIJ NA
OTREZKE [a; b] S NORMOJ
kuk � [Z b
aju(x)j2 dx+
Z b
aju0(x)j2 dx]1=2:
|TO NE POLNOE PROSTRANSTWO. eGO POPOLNENIE OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
H1[a; b] (ILI W 12 [a; b]).
4. pUSTX (un) � C1[a; b] | FUNDAMENTALXNAQ PO NORME H1 POSLEDO-
WATELXNOSTX. tOGDA (un) FUNDAMENTALXNA W PROSTRANSTWE L2[a; b] (T.K.
k�k2 � k�k) I, SLEDOWATELXNO, un SHODITSQ W L2[a; b] K NEKOTOROJ FUNKCII u.
aNALOGI^NO u0n SHODITSQ PO NORME k � k2 K NEKOTOROJ FUNKCII w 2 L2[a; b];
FUNKCIQ w NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ sOBOLEWA FUNKCII u.
5. z A M E ^ A N I E. pROIZWODNAQ sOBOLEWA OPREDELQETSQ GLOBALXNO
| SRAZU NA WS�EM OTREZKE (W OTLI^IE OT LOKALXNOGO OPREDELENIQ OBY^NOJ
PROIZWODNOJ).
6. sU]ESTWUET WLOVENIE PROSTRANSTWA H1[a; b] W BANAHOWO PROSTRAN-
STWO C[a; b] (S sup-NORMOJ).
� dLQ ZADANNOJ FUNKCII u 2 C1[a; b] PO TEOREME O SREDNEM 50.4 SU]EST-
WUET c 2 [a; b] TAKOE, ^TO
Z b
au(s) ds = (b� a)u(c). tOGDA
u(x) =
Z x
cu0(s) ds + u(c) =
Z x
cu0(s) ds + 1
b� a
Z b
au(s) ds)
ju(x)j � jZ x
cu0(s) dsj + 1
b� ajZ b
au(s)dsj
� pb� a � [j
Z x
cju0(s)j2 dsj]1=2 + 1p
b� a[Z b
aju(s)j2 ds]1=2
� Kkuk; GDE K =p2maxf(b� a)1=2; (b� a)�1=2g
)(�) kuk[a;b] � max
x2[a;b]ju(x)j � Kkuk:
389
nAPOMNIM, ^TO KAVDYJ \LEMENT � 2 H1[a; b] | \TO KLASS \KWIWALENTNYH
k � k-FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ. pUSTX (un) 2 � k � k-FUN-DAMENTALXNA W C1[a; b]. pOLOVIM
(j(�))(x) � limnun(x) (a � x � b):
iZ OCENKI (�) SLEDUET, ^TO (un) | k � k[a;b]-FUNDAMENTALXNA. pO\TOMUj(�) 2 C[a; b]. tAKIM OBRAZOM OPREDEL�ENNOE OTOBRAVENIE j : H1 ! C[a; b],
O^EWIDNO, LINEJNO, PRI^�EM kj(�)k[a;b] � Kk�k, T. E. j 2 L(H1; C[a; b]).
uBEDIMSQ, ^TO j | IN_EKCIQ. dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO j(�) = � )� = �. pUSTX j(�) = � I (un) 2 � k�k-FUNDAMENTALXNA W C1[a; b].iZ (�) SLE-DUET, ^TO un =) 0 (A ZNA^IT, kunk2 ! 0); KROME TOGO, u0nk � k2-FUNDAMENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET FUNKCIQ w 2 L2[a; b]
TAKAQ, ^TO u0n ! w PO NORME k�k2.mY USTANOWIM, ^TO � = �, ESLI POKAVEM,
^TO w = 0 P. W. dEJSTWITELXNO,
ku0n � wk2 ! 0 ) ku0n �wk1 ! 0
) 8x 2 [a; b]
�Z x
au0n(t) dt!
Z x
aw(t) dt
�
)Z x
aw(t) dt = lim
n
Z x
au0n(t) dt = lim
n[un(x)� un(a)] = 0:
fUNKCIQ �[a; x] �Z x
aw(t) dt POROVDAET �-ADDITIWNYJ ZARQD, ABSOL@TNO
NEPRERYWNYJ OTNOSITELXNO MERY lEBEGA. pO TEOREME rADONA-nIKODIMA
w = 0 P. W.>
x225. sOPRQV�ENNOE PROSTRANSTWO
1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM �(= C ILI R).
PROSTRANSTWO L(E;�) (SM. 223.1) NAZYWAETSQ SOPRQV�ENNYM K PROSTRAN-
STWU E I OBOZNA^AETSQ E�. |LEMENTAMI E� QWLQ@TSQ LINEJNYE OGRANI-^ENNYE OTOBRAVENIQ ' : E ! �, NAZYWAEMYE LINEJNYMI OGRANI^ENNYMI
FUNKCIONALAMI. w SOOTWETSTWII S 223.4 NORMA FUNKCIONALA ' 2 E� WY-^ISLQETSQ PO FORMULAM:
k'k � inffC > 0 : j'(f)j � Ckfk (f 2 E)g = supkfk�1
j'(f)j= sup
kfk=1j'(f)j:
390
w SILU 223.6 E� QWLQETSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM.
p R I M E R Y. 2. w PROSTRANSTWE NEPRERYWNYH FUNKCIJ C[0; 1] S sup-
NORMOJ OTOBRAVENIE '(f) = f(0) (f 2 C[0; 1]) QWLQETSQ OGRANI^ENNYM
LINEJNYM FUNKCIONALOM, PRI^�EM k'k = 1. |TOT LINEJNYJ FUNKCIONAL,
ODNAKO, NE QWLQETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI C[0; 1] SNABVENO NORMOJ kfk1 =Z 1
0jf(t)j dt.3.pUSTXE| KONE^NOMERNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, fe1; : : : ; eng
| BAZIS W E, TO ESTX KAVDYJ WEKTOR f 2 E ODNOZNA^NO PREDSTAWIM W WI-
DE f =nPk=1
fkek (fk 2 �). pUSTX f�1; : : : ; �ng | FIKSIROWANNYJ NABOR
SKALQROW, TAK ^TO � = (�1; : : : ; �n) 2 �n. tOGDA FORMULA
'�(f) =nXk=1
fk�k (f = (f1; : : : ; fn) 2 E)
OPREDELQET '� 2 E�. oBRATNO, ESLI ' 2 E�, TO, POLAGAQ �k = '(ek) (1 �k � n), POLU^IM '(f) = '(
nPk=1
fkek) =nPk=1
fk'(ek) = '�(f) (f 2 E).
iTAK, MY POLU^ILI SOOTWETSTWIE (O^EWIDNO, BIEKTIWNOE) � ! '� MEVDU
PROSTRANSTWAMI �n I E�. |TO SOOTWETSTWIE LINEJNO, TAK ^TO E� ALGEBRA-I^ESKI IZOMORFNO WEKTORNOMU PROSTRANSTWU �n. eSLI W �n WWESTI NORMU
k�k � k'�k(� 2 �n), TO E� ' �n.
w PRIMERE 3 MY RAZOBRALI ^ASTNYJ SLU^AJ KLASSI^ESKOJ ZADA^I NA-
HOVDENIQ SOPRQV�ENNOGO PROSTRANSTWA K DANNOMU NORMIROWANNOMU PRO-
STRANSTWU E. |TA ZADA^A IZWESTNA KAK ZADA^A NAHOVDENIQ OB]EGO WIDA
LINEJNOGO FUNKCIONALA; ONA SOSTOIT W OTYSKANII KONKRETNOGO BANAHO-
WA PROSTRANSTWA IZOMETRI^ESKI IZOMORFNOGO PROSTRANSTWU E�. nIVE MYPROILL@STRIRUEM RE[ENIE \TOJ ZADA^I DLQ PROSTRANSTW Lp(�).
u P R A V N E N I E. 4. dLQ KONE^NOMERNOGO PROSTRANSTWA C n, SNABV�EN-
NOGO NORMOJ k � kp (1 � p �1) (SM. 220.7), WY^ISLITE NORMU W PROSTRAN-
STWE (C n)�.
x226. Lp(�)� (1 � p <1)
rASSMOTRIM PROSTRANSTWO (E; A; �) S POLNOJ KONE^NOJ MEROJ �.pUSTX
Lp(�) (1 � p � 1) | [KALA BANAHOWYH PROSTRANSTW NAD POLEM C W
USLOWIQH I OBOZNA^ENIQH 221.1.
391
1. pUSTX g 2 L1(�) I OTOBRAVENIE 'g : L1(�)! C ZADANO FORMULOJ
'g(f) �Zfg d� (f 2 L1(�)):
tOGDA 'g 2 L1(�)�, PRI^�EM k'gk = kgk1.� oTOBRAVENIE 'g KORREKTNO ZADANO, LINEJNO I OGRANI^ENO:
j'g(f)j = jZfg d�j � kgk1 �
Zjf j d� = kgk1kfk1 (f 2 L1(�)):
iZ POLU^ENNOGO NERAWENSTWA SLEDUET TAKVE, ^TO k'gk � kgk1; DLQ DOKA-ZATELXSTWA OBRATNOGO NERAWENSTWA DOSTATO^NO S^ITATX, ^TO g 6= �. pUSTX
" > 0 PROIZWOLXNO, 0 < " < kgk1. oBOZNA^IM X" = fx 2 E : jg(x)j >kgk1� "g. iZ OPREDELENIQ NORMY k � k1 (SM. 221.1) SLEDUET, ^TO �X" > 0.
pOLOVIM f" =g
jgj�X"�X"
(OTMETIM, ^TO kf"k1 =Zjf"j d� = 1). tOGDA
k'gk = supkfk1�1
j'(f)j � j'g(f")j = jZf"g d�j = 1
�X"�ZX"
jgj d�
� kgk1 � ":
iZ PROIZWOLXNOSTI " : k'gk � kgk1: >2. L1(�)� ' L1(�).
� w SILU P. 1 OPREDELENO IZOMETRI^ESKOE OTOBRAVENIE g ! 'g PROSTRAN-
STWA L1(�) W L1(�)�. pOKAVEM, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO. pUSTX' 2 L1(�)�. pOLOVIM
(1) �'(X) � '(�X) (X 2 A):
uBEDIMSQ, ^TO �' | ZARQD. pUSTX X =1Pj=1
Xj (X; Xj 2 A). tOGDA POSLE-
DOWATELXNOSTXnPj=1
�XjSHODITSQ PO NORME k � k1 K �X , TAK KAK
Zj�
X�
nXj=1
�Xjj d� =
Z1P
j=n+1
Xj
d� =1X
j=n+1
�Xj ! 0 (n! +1):
392
pOSKOLXKU ' 2 L1(�)�, IMEEM
�'(X) = '(�X) = lim
n'(� nP
j=1
Xj
) = limn'(
nPj=1
�Xj) = lim
n
nPj=1
'(�Xj)
=1Pj=1
�'(Xj):
zAMETIM, ^TO ZARQD �' ABSOL@TNO NEPRERYWEN OTNOSITELXNO �. fdEJSTWI-TELXNO, �Y = 0) �
Y= 0 P. W.) �'(Y ) = '(�
Y) = '(�) = 0.g pO TEOREME
rADONA-nIKODIMA SU]ESTWUET (I OPREDELENA ODNOZNA^NO) FUNKCIQ g 2L1(�) TAKAQ, ^TO
(2) �'(X) =ZX
g d� (X 2 A)
(OTMETIM, ^TO ZDESX NE WYZYWAET ZATRUDNENIJ SLU^AJ KOMPLEKSNYH FUNK-
CIJ). bUDEM S^ITATX, ^TO g � 0 (INA^E ZARQD �' PREDSTAWIM W WIDE
�' = �+1 ���1 +i(�+2 ���2 ), I MOVNO RASSMOTRETX MERY ��k PO OTDELXNOSTI).~TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY, DOSTATO^NO USTANOWITX:
(A) g 2 L1(�),(B) '(f) =
Zfg d� (f 2 L1(�)).
eSLI (A) NE WERNO, TO POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW Xn = fx 2 E :
g(x) > ng TAKOWA, ^TO �Xn > 0; �Xn ! 0 (n ! +1) (!!). pOLOVIM hn =1n � 1
�Xn� �
Xn(n 2 N). tOGDA khnk1 =
Zjhnj d� = 1
n ! 0 (n!1), NO
'(hn) =1
n� 1
�Xn
'(�Xn) =
1
n� 1
�Xn
ZXn
g d� � 1 (n 2 N);
^TO PROTIWORE^IT NEPRERYWNOSTI '. iTAK, g 2 L1(�).dLQ PROWERKI (B) ZAMETIM SNA^ALA, ^TO RAWENSTWO (f) �
Zfg d�
(f 2 L1(�)) W SILU P. 1 KORREKTNO OPREDELQET FUNKCIONAL 2 L1(�)�, INUVNO LI[X USTANOWITX, ^TO = '. oTMETIM, ^TO = ' NA KLASSE KKONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ:
(nPj=1
�j�Xj ) =nPj=1
�j (�Xj ) =nPj=1
�j
Z�Xjg d� =
nPj=1
�j
ZXj
g d�
=nPj=1
�j�'(Xj) =nPj=1
�j'(�Xj ) = '(nPj=1
�j�Xj ):
393
eSLI TEPERX f 2 L1(�) PROIZWOLXNA, TO SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX
fn 2 K TAKAQ, ^TO kfn � fk1 ! 0 (SM. 215.9). sLEDOWATELXNO, '(f) =
limn'(fn) = lim
n (fn) = (f): >
3. Lp(�)� ' Lq(�) (1p + 1q = 1; 1 < p; q < +1). w ^ASTNOSTI,
L2(�)� ' L2(�).
� dLQ g 2 Lq(�) ZADADIM LINEJNYJ FUNKCIONAL 'g : Lp(�) ! C (ZDESX
1p + 1
q = 1) RAWENSTWOM 'g(f) =Zfg d�. w SILU 221.7 fg 2 L1(�), I
ZNA^IT, 'g KORREKTNO ZADAN. pRI \TOM j'g(f)j �Zjfgj d� � kgkqkfkp.
oTS@DA 'g OGRANI^EN I k'gk � kgkq. wZQW f0 =�gjgj(q=p)�1k jgjq=p kp 2 Lp(�),
IMEEM kf0kp = 1, TAK ^TO k'gk � j'g(f0)j = kgkq. iTAK, OTOBRAVENIEg ! 'g (g 2 Lq(�)) QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM OTOBRAVENIEM Lq(�) W
Lp(�)�. oSTALOSX UBEDITXSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ S@R_EKCI-
EJ. pUSTX ' 2 Lp(�)�. aNALOGI^NO DOKAZATELXSTWU P. 1 USTANAWLIWAEM,
^TO (1) OPREDELQET ZARQD NA A ABSOL@TNO NEPRERYWNYJ OTNOSITELXNO �
I PO TEOREME rADONA-nIKODIMA POLU^AEM FORMULU (2) (!!). pO-PREVNEMU
BUDEM S^ITATX, ^TO g � 0. uBEDIMSQ, ^TO g 2 Lq(�) (TOGDA RAWENSTWO
' = 'g SNOWA POLU^AETSQ PRIWED�ENNYM WY[E SPOSOBOM (!!)). dLQ \TOGO
POLOVIM gn = g � �g�1[0;n]
(n 2 N). tOGDA gqn ! gq, I PO TEOREME fATU NAM
NUVNO LI[X POKAZATX, ^TO INTEGRALY
Zgqn d� OGRANI^ENY W SOWOKUPNOS-
TI. iMEEM:Zgqn d� =
Zgq�1n gn d� =
Zgq�1n g d� = '(gq�1n ) � k'k kgq�1n kp
= k'k[Zgp(q�1)n d�]
1=p= k'k[
Zgqn d�]
1=p:
oTS@DA
Zgqn d� � k'kq (n 2 N): >
4. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO W OBOZNA^ENIQH 221.10 (`1)� '`1; (`p)� ' `q (1p +
1q = 1; 1 < p; q < +1).
x227. pRODOLVENIE OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJPO NEPRERYWNOSTI
t E O R E M A. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I X | LINE-
AL, PLOTNYJ W E. pUSTX F | BANAHOWO PROSTRANSTWO I A : X ! F |
394
OGRANI^ENNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO
ODNOZNA^NO OTOBRAVENIE eA 2 L(E;F ) SO SWOJSTWAMI:A) eAjX = A,
B) k eAk = kAk.� pUSTX f 2 E PROIZWOLEN I fn | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX
TAKAQ, ^TO fn ! f . pOLOVIM eAf � limnAfn. oSTA�ETSQ PROWERITX, ^TO eA|
KORREKTNO OPREDEL�ENNYJ \LEMENT IZ L(E;F ), UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM
A) I B). oTMETIM SNA^ALA, ^TO limnAfn SU]ESTWUET, TAK KAK (Afn) |
FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W BANAHOWOM PROSTRANSTWE F :
kAfn �Afmk = kA(fn � fm)k � kAk kfn � fmk ! 0 (n;m! +1):
|TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI (fn), SHODQ]EJSQ
K f (!!). iZ ARIFMETI^ESKIH SWOJSTW PREDELA SLEDUET, ^TO eA | LINEJNOE
OTOBRAVENIE IZ E W F . uSLOWIE A) WYPOLNENO PO POSTROENI@. nAKONEC,
k eAfk = limnkAfnk � lim
nkAk kfnk = kAk kfk (f 2 E);
OTKUDA SLEDUET, ^TO eA| OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ OPERATOR I k eAk � kAk.oBRATNOE NERAWENSTWO k eAk � kAk SLEDUET IZ TOGO, ^TO eA| PRODOLVENIE
A: >
x228. tEOREMA hANA-bANAHA
tEOREMA hANA-bANAHA USTANAWLIWAET WOZMOVNOSTX PRODOLVENIQ FUNK-
CIONALA S PODPROSTRANSTWA NA WS�E PROSTRANSTWO S SOHRANENIEM OPRE-
DEL�ENNYH SWOJSTW. oTMETIM, NAPRIMER, ^TO S POMO]X@ \TOJ TEOREMY
MOVNO OTWETITX (POLOVITELXNO) NA SLEDU@]IJ WOPROS: SU]ESTWUET LI
HOTQ BY ODIN NENULEWOJ OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA PROIZ-
WOLXNOM NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E (6= f�g)?1. t E O R E M A. [g.hAN, s.bANAH]. pUSTX E | WEKTORNOE PRO-
STRANSTWO NAD POLEM �(= C ILI R) I k � k | POLUNORMA NA E (SM.
148.5), X | LINEAL W E I ' : X ! � | LINEJNYJ FUNKCIONAL TAKOJ,
^TO j'(f)j � kfk (f 2 X). tOGDA SU]ESTWUET LINEJNYJ FUNKCIONAL
: E ! � TAKOJ, ^TO
A) jX = ',
395
B) j (f)j � kfk (f 2 E).� rADI TEHNI^ESKOJ PROSTOTY, DOKAZATELXSTWO PROWED�EM DLQ WE]ESTWEN-NOGO POLQ (� = R). pUSTX g 2 EnX I Y = f�g + f j f 2 Xg | LINEAL,
POROVD�ENNYJ WEKTOROM g I LINEALOM X. pRODOLVIM FUNKCIONAL ' NA
Y TAK, ^TOBY j'(h)j � khk(h 2 Y ). dLQ \TOGO WOZXM�EM PROIZWOLXNYE
WEKTORY f1; f2 2 X I ZAMETIM, ^TO
'(f1) + '(f2) = '(f1 + f2) � kf1 + f2k � kf1 � gk+ kf2 + gk;
OTKUDA '(f1)� kf1 � gk � kf2 + gk � '(f2). pO\TOMU
supf12X
['(f1)� kf1 � gk] � inff22X
[kf2 + gk � '(f2)]:
pUSTX � 2 R| PROIZWOLXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO
(�) supf2X
['(f)� kf � gk] � � � inff2X
[kf + gk � '(f)]:
pOLOVIM e'(�g + f) � �� + '(f) (f 2 X; � 2 R) I UBEDIMSQ, ^TO ~' |
ISKOMOE PRODOLVENIE ' NA LINEAL Y . dEJSTWITELXNO, ESLI, NAPRIMER,
� > 0, TO W SILU (�)
e'(�g + f) = �[�+ '( 1�f)] � �[kg + 1
�fk � '( 1
�f) + '( 1
�f)]
= k�g + fk;e'(�g + f) � �['(�1
�f)� k � 1
�f � gk] + '(f) = �k�g + fk;
TAK ^TO j e'(�g + f)j � k�g+ fk (f 2 X; � 2 R). aNALOGI^NO RASSMATRIWA-ETSQ SLU^AJ � < 0 (!!).
zAWER[ENIE DOKAZATELXSTWA OSNOWANO NA PRIMENENII TEOREMY cORNA
(PRIL. III, P. 11). pUSTX f'i : Xi ! Rg | MNOVESTWO WSEH PRODOLVENIJ
FUNKCIONALA ', UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@
j'i(f)j � kfk (f 2 Xi)
(ZDESX, ESTESTWENNO, Xi � X; 'i(f) = '(f) (f 2 X)). wWED�EM W \TOM MNO-
VESTWE PORQDOK: 'i � 'k, ESLI Xi � Xk I 'i(f) = 'k(f) (f 2 Xk). wSE
396
AKSIOMY PORQDKA NA SAMOM DELE WYPOLNENY (!!). pROWERIM, ^TO MNOVES-
TWO ('i) INDUKTIWNO. pUSTX ('j)j2J | SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE POD-
MNOVESTWO MNOVESTWA ('i). oPREDELIM NA LINEALE X0 � Sj2J
Xj LINEJNYJ
FUNKCIONAL '0(f) � 'j(f), ESLI f 2 Xj . fUNKCIONAL '0 OPREDEL�EN KOR-
REKTNO: ESLI f 2 Xj1 \ Xj2(j1; j2 2 J), TO W SILU SOWER[ENNOJ UPORQDO-
^ENNOSTI SEMEJSTWA ('j)j2J : 'j1 � 'j2 , LIBO 'j2 � 'j1 . pUSTX, NAPRIMER,
'j2 � 'j1 . tOGDA Xj2 � Xj1 I 'j1(f) = 'j2(f) (f 2 Xj2). pRI \TOM '0
| MAVORANTA SEMEJSTWA ('j)j2J , I INDUKTIWNOSTX ('i) USTANOWLENA. pO
TEOREME cORNA SU]ESTWUET MAKSIMALXNOE PRODOLVENIE FUNKCIONALA ',
TO ESTX LINEJNYJ FUNKCIONAL : Y ! R, GDE Y | LINEAL W E, PRI^�EM
jX = '; j (f)j � kfk (f 2 Y ). eSLI Y 6= E, TO SU]ESTWUET g 2 EnY I,
PRIMENQQ K KONSTRUKCI@, IZLOVENNU@ W NA^ALE DOKAZATELXSTWA, PRO-
DOLVIM NA LINEAL f�g+ f j f 2 Y; � 2 Rg W PROTIWORE^IE S MAKSIMALX-NOSTX@ :>
oTMETIM RQD SLEDSTWIJ TEOREMY hANA-bANAHA DLQ NORMIROWANNYH
PROSTRANSTW.
2. pUSTX X | LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E I ' |
OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA X. tOGDA SU]ESTWUET 2 E�
TAKOJ, ^TO j X = '; k k = k'k.� oPREDELIM NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E WYPUKLU@ FUNKCI@ kfk� �k'k kfk, GDE kfk | NORMA WEKTORA f W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E,
A k'k | NORMA FUNKCIONALA ' 2 X�. pRIMENIM P. 1 K (E; k � k�) IFUNKCIONALU ': SU]ESTWUET LINEJNYJ FUNKCIONAL NA E TAKOJ, ^TO
jX = '; j (f)j � kfk� = k'k kfk (f 2 E):oTS@DA SLEDUET, ^TO 2 E� I k k � k'k. nERAWENSTWO k k � k'kSLEDUET IZ TOGO, ^TO | PRODOLVENIE ': >
3. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, � 6= f 2 E. tOGDA
SU]ESTWUET 2 E� TAKOJ, ^TO k k = 1; (f) = kfk.� pOLOVIM X = f�f j � 2 �g; '(�f) � �kfk (�f 2 X). tOGDA
' 2 X�; k'k = 1. oSTA�ETSQ PRIMENITX P. 2. >
4. eSLI NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO E NETRIWIALXNO, TO NETRI-
WIALXNO I PROSTRANSTWO E�.
� |TO SLEDSTWIE P. 3. >
397
5. pUSTX X | LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E; g 2 EnX I
� � inff2X
kg+ fk > 0. tOGDA SU]ESTWUET FUNKCIONAL 2 E� TAKOJ, ^TO
(g) = � I (f) = 0 (f 2 X).
� rASSMOTRIM LINEAL Y = f�g + f j f 2 X; � 2 �g I OPREDELIM NA N�EM
FUNKCIONAL '(�g + f) � ��. iZ OCENKI (PRI � 6= 0)
j'(�g + f)j = j�j� = j�j infh2X
kg + hk � j�jkg + 1
�fk = k�g + fk
SLEDUET, ^TO ' 2 Y �. w KA^ESTWE WOZXMEM PRODOLVENIE ' PO P. 2. >
6. u P R A V N E N I E. zAWER[ITE DOKAZATELXSTWO TEOREMY hANA-
bANAHA W SLU^AE SEPARABELXNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA E, NE IS-
POLXZUQ TEOREMU cORNA fUKAZANIE: ISPOLXZOWATX TEOREMU x227g.
x229. wTOROE SOPRQV�ENNOE PROSTRANSTWO
1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I E� | SOPRQV�ENNOE
K NEMU PROSTRANSTWO, QWLQ@]EESQ BANAHOWYM (SM. 223.6). mOVNO RAS-
SMOTRETX SOPRQV�ENNOE K PROSTRANSTWU E�; ONO NAZYWAETSQ WTORYM SO-
PRQV�ENNYM K PROSTRANSTWU E. tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@ E�� �(E�)� .(mOVNO, RAZUMEETSQ, PRODOLVITX PROCESS I RASSMOTRETX E���; E����
I T. D.)
2. mEVDU ISHODNYM PROSTRANSTWOM E I EGO WTORYM SOPRQV�ENNYM
IMEETSQ TESNAQ SWQZX. ~TOBY PROANALIZIROWATX E�E, WWED�EM OTOBRAVENIEb) : E ! E�� (ONO ^ASTO NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM), SOPOSTAWLQ@]EE
KAVDOMU \LEMENTU f 2 E \LEMENT bf 2 E��, DEJSTWU@]IJ PO FORMULE
(1) bf (') � '(f) (' 2 E�):
w SAMOM DELE, bf | OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA BANAHOWOM
PROSTRANSTWE E�, TAK KAK
j bf(')j = j'(f)j � kfk k'k (' 2 E�):
3. kANONI^ESKOE OTOBRAVENIE b) : E ! E�� | IZOMETRIQ.
� w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 223.7 NUVNO UBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVE-
NIE b) SOHRANQET NORMU. iZ (2) SLEDUET, ^TO k bfk � kfk. oBRATNO, PUSTX
398
f 6= � I '0 2 E� TAKOJ, ^TO k'0k = 1 I '0(f) = kfk ('0 SU]ESTWUET
W SILU 228.3). tOGDA IZ RAWENSTWA j bf('0)j = j'0(f)j = kfk SLEDUET, ^TOk bfk � kfk: >
4. bANAHOWO PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ REFLEKSIWNYM, ESLIb) : E ! E�� | IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM E NA E��.
pRIMERY REFLEKSIWNYH BANAHOWYH PROSTRANSTW: EWKLIDOWY PROSTRAN-
STWA Rn; C n, PROSTRANSTWA Lp(�) (1 < p <1).
u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO KAVDOE KONE^NOMERNOE NORMI-
ROWANNOE PROSTRANSTWO REFLEKSIWNO.
6. uBEDITESX, ^TO PROSTRANSTWO c0 WSEH KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELX-
NOSTEJ f = (f1; f2; : : :) SO SWOJSTWOM limnfn = 0 I S NORMOJ kfk � sup
njfnj,
| NE REFLEKSIWNOE BANAHOWO PROSTRANSTWO.
7. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO, PRI^�EM E� REFLEKSIWNO. pOKA-VITE, ^TO E TAKVE REFLEKSIWNO.
x230. tEOREMA bANAHA-{TEJNGAUZA
1. [pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI]. pUSTX E | BANAHOWO PRO-
STRANSTWO, F | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, F � L(E;F ), PRI^�EM
supT2F
kTfk < +1 PRI KAVDOM f 2 E. tOGDA supT2F
kTk < +1.
� pOLOVIM An =TT2F
ff j kTfk � ng. tOGDA
(i) E =1Sn=1
An, (ii) KAVDOE An ZAMKNUTO.
pO TEOREME b\RA 217.4 KAKOE-LIBO An IMEET NEPUSTU@ WNUTRENNOSTX:
A�n 6= ;. pUSTX B"(a) � A�
n. sU]ESTWUET N1 TAKOE, ^TO B"(�) � A�N1.
fpUSTX supT2F
kTak < k (2 N); POLAGAQ N1 = n + k, IMEEM (TAK KAK f + a 2B"(a)):
kfk < ") kTfk � kT (f + a)k+ kTak � n+ k:gtEPERX
T 2 F ) kTk = supkfk�1
kTfk = 1
"� supkfk�1
kT ("f)k � N1=": >
rASSMOTRIM RQD WAVNYH SLEDSTWIJ.
399
2. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, X(� E) | LINEAL PLOT-
NYJ W E I Tn 2 L(E;F ) | POSLEDOWATELXNOSTX LINEJNYH OGRANI^ENNYH
OPERATOROW. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(i) limnTnf SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f 2 E,
(ii) limnTnf SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f 2 X I sup
nkTnk < +1.
� (i) ) (ii) W SILU P. 1.
(ii) ) (i). pUSTX M = supnkTnk I " > 0 PROIZWOLXNO. pUSTX f0 2 EnX I
f 2 X TAKOWO, ^TO kf � f0k � "=2M ; PUSTX N TAKOWO, ^TO k(Tn�Tm)fk <" (n;m > N). tOGDA DLQ n;m > N
kTnf0 � Tmf0k � k(Tn � Tm)(f0 � f)k + k(Tn � Tm)fk� k(Tn � Tm)(f0 � f)k + " � 2M � ("=2M) + " = 2": >
3. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, OTOBRAVENIE
a : E � F ! C NAZOW�EM 2-LINEJNYM, ESLI LINEJNY OTOBRAVENIQ a(f; �) :F ! C ; a(�; g) : E ! C (f 2 E; g 2 F ).
4. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, a : E � F ! C |
2-LINEJNOE OTOBRAVENIE, I PRI FIKSIROWANNYH f 2 E; g 2 F OTOBRA-
VENIQ a(f; �) : F ! C ; a(�; g) : E ! C NEPRERYWNY. tOGDA a NEPRERYWNO
(PO SOWOKUPNOSTI PEREMENNYH).
� dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO ESLI fn ! �; gn ! � (fn 2 E; gn 2 F ),
TO a(fn; gn) ! 0 (!!). dLQ FIKSIROWANNOGO n 2 N POLOVIM Tn = a(fn; �) :F ! C . |TO POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENNYH LINEJNYH FUNKCIONA-
LOW, PRI^�EM (TAK KAK a(�; g) NEPRERYWNY) limnjTn(g)j = lim
nja(fn; g)j = 0
DLQ L@BOGO g 2 F . pO\TOMU supnjTn(g)j < +1 (g 2 F ). pO TEOREME
bANAHA-{TEJNGAUZA K � supnkTnk < +1, TAK ^TO ja(fn; gn)j = jTn(gn)j �
Kkgnk ! 0: >
5. u P R A V N E N I E. pRIWEDITE PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO TREBO-
WANIE POLNOTY PROSTRANSTWA E W TEOREME P. 1 NE MOVET BYTX OPU]ENO.
x231. tEOREMA bANAHA OB OTKRYTOM OTOBRAVENII
1. t E O R E M A. [s.bANAH]. eSLI E; F BANAHOWY PROSTRANSTWA,
T : E ! F | OGRANI^ENNAQ LINEJNAQ S@R_EKCIQ, TO OBRAZ KAVDOGO
OTKRYTOGO MNOVESTWA PRI OTOBRAVENII T OTKRYT W F .
400
� pUSTXBr = Br(�) � E (r > 0); PO USLOWI@ F =1Sn=1
T (Bn) =1Sn=1
T (Bn)�.
pO TEOREME b\RA 9n 2 N (T (Bn)�� 6= ;). pO\TOMU
(�) 9� 2 T (Bn)� 9" > 0 (B"(�) � T (Bn)
�):
pLAN DOKAZATELXSTWA:
(i) USTANOWIM, ^TO 9� > 0 (B�(�F ) � T (B1)�);
(ii) POKAVEM, ^TO T (B1)� � T (B2);
(iii) ZAMETIM, ^TO 8" > 0 (T (B")� 6= ;);
(iv) NAKONEC, WYWEDEM, ^TO DLQ KAVDOGO OTKRYTOGO U(� E) MNOVESTWO
T (U) OTKRYTO W F .
(i) SLEDUET IZ (�): B"(�) � T (Bn)�; � = Tg ) B"(�) � T (Bn(�g))� �
T (Bn+kgk)� I MOVNO POLOVITX � ="
n+ kgk .
(ii) � 2 T (B1)� ) 9f1 2 B1 (k� � Tf1k < �=2) ) � � Tf1 2 T (B1=2)
�
) 9f2 2 B1=2 (k� � Tf1 � Tf2k < �=22)) � � Tf1 � Tf2 2 T (B1=4)�.
pRODOLVAQ PROCESS, POLU^IM 9fn 2 B2�n (k��Tf1�: : :�Tfnk < ��2�n))� � Tf1 � : : :� Tfn 2 T (B2�n)
�. pO\TOMU f � 1Pi=1
fi 2 B2 ) � =1Pi=1
Tfi =
Tf 2 B2.
(iii) SLEDUET IZ (ii): T (Bn)� � T (B2n) ) T (B2n)
� 6= ; ) T (B")� =
"2nT (B2n)
� 6= ;.(iv) � 2 T (U) ) � = Tf; f 2 U ) 9" > 0 (B"(f) � U) ) (SM. (iii))
� + T (B")� � T (U): >
pOLU^IM TEPERX RQD SLEDSTWIJ DOKAZANNOJ TEOREMY.
2. [nEPRERYWNOSTX OBRATNOGO OTOBRAVENIQ]. pUSTX T : E ! F | NE-
PRERYWNOE BIEKTIWNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE BANAHOWA PROSTRANSTWA
E NA BANAHOWO PROSTRANSTWO F . tOGDA T OBRATIMO.
� dLQ L@BOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA U(� E) OTKRYTO MNOVESTWO
(T�1)�1(U) = T (U), TO ESTX T�1 NEPRERYWNO. >
3. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO KAVDOJ IZ
DWUH NORM k � k1; k � k2, PRI^�EM k � k1 � k � k2. tOGDA SU]ESTWUET C > 0
TAKOE, ^TO k � k2 � Ck � k1.
401
� rASSMOTRIM TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE i : (E; k �k2)! (E; k �k1); ONONEPRERYWNO ffn ! � PO NORME k � k2 ) kifnk1 = kfnk1 � kfnk2 ! 0g )(SM. P. 2) OBRATNOE (TAKVE TOVDESTWENNOE) OTOBRAVENIE j : (E; k � k1) !(E; k � k2) NEPRERYWNO ) kfk2 = kjfk2 � Ckfk1, GDE C = kjk: >
4. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, T : E ! F | LINEJNO.
gRAFIKOM OPERATORA T NAZYWAETSQ MNOVESTWO
�(T ) � fff; Tfg j f 2 Eg (� E � F ):
5. [tEOREMA O ZAMKNUTOM GRAFIKE]. pUSTX E; F | BANAHOWY PRO-
STRANSTWA, T : E ! F | LINEJNO. oTOBRAVENIE T OGRANI^ENO TTOGDA
�(T ) ZAMKNUTO W E�F.� nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA (!!). dOSTATO^NOSTX. pUSTX �(T ) ZAMKNUTO.
tOGDA �(T ) | BANAHOWO PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA E � F . pUSTX
p1 : �(T ) ! E; p2 : �(T ) ! F | KANONI^ESKIE PROEKCII (SM. 99.6),
p1 : �(T ) ! E | BIEKCIQ I PO P. 2 NEPRERYWNO OTOBRAVENIE p�11 , A
ZNA^IT, I T = p2 � p�11 : >
6. z A M E ^ A N I E. rASSMOTRIM 3 UTWERVDENIQ:
(A) fn ! f ;
(B) Tfn ! g;
(W) Tf = g.
dOKAZATX NEPRERYWNOSTX T | ZNA^IT POKAZATX, ^TO IZ (A) SLEDUET (B) I
(W). eSLI WOSPOLXZOWATXSQ TEOREMOJ P. 5 TO DOSTATO^NO DLQ \TOGO POKA-
ZATX, ^TO IZ (A) I (B) SLEDUET (W).
402
ograni~ennye linejnye operatory wgilxbertowom prostranstwe
x232. tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII
1. nAPOMNIM (SM. 154.1), ^TO GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM NAZYWAET-
SQ UNITARNOE PROSTRANSTWO, POLNOE OTNOSITELXNO NORMY, OPREDELQEMOJ
SKALQRNYM PROIZWEDENIEM. zAMKNUTYJ LINEAL W GILXBERTOWOM PROSTRAN-
STWE NAZYWAETSQ PODPROSTRANSTWOM. pODPROSTRANSTWO | SAMO GILXBER-
TOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO INDUCIROWANNOGO SKALQRNOGO PROIZWE-
DENIQ. nESOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO | \TO SAMO PROSTRANSTWO, WSE
OSTALXNYE PODPROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ SOBSTWENNYMI. tRIWIALXNOE POD-
PROSTRANSTWO | \TO PODPROSTRANSTWO f�g, SOSTOQ]EE IZ NULEWOGO WEKTO-RA, WSE OSTALXNYE PODPROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ NETRIWIALXNYMI.
2. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, K | EGO PODPROSTRAN-
STWO, f 2 H. tOGDA SU]ESTWUET I EDINSTWEN \LEMENT g0 2 K NAILU^-
[EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO K (SM. 220.5).
� sU]ESTWOWANIE. pUSTX d = infg2K
kf � gk I gn 2 K TAKOWY, ^TO d =
limnkf � gnk. pOSLEDOWATELXNOSTX (gn) FUNDAMENTALXNA:
kgn � gmk2 = k(gn � f)� (gm � f)k2
= 2kgn � fk2 + 2kgm � fk2 � k � 2f + gn + gmk2
= 2kgn � fk2 + 2kgm � fk2 � 4kf � 12(gn + gm)k2
� 2kgn � fk2 + 2kgm � fk2 � 4d2 ! 0 (m;n!1)
(WO WTOROM RAWENSTWE ISPOLXZOWANO RAWENSTWO PARALLELOGRAMMA 152.10(ii)).
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET g0 = limngn I d = kf � g0k.
eDINSTWENNOSTX: pUSTX f0 2 K | E]�E ODIN \LEMENT NAILU^[EGO
PRIBLIVENIQ: d = kf � f0k. tOGDA
d � kf � f0 + g0
2k � 1
2[kf � f0k+ kf � g0k] = d;
I S U^�ETOM 152.10(iv) 12(f � f0) = �12(f � g0); � > 0; OTKUDA � = 1, I
ZNA^IT, f0 = g0: >
403
3. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, M � H. tOGDA
M? � ff 2 H j 8g 2M (hf; gi = 0)g
| PODPROSTRANSTWO H. eSLIK | PODPROSTRANSTWO H, TOK? NAZYWAETSQORTOGONALXNYM DOPOLNENIEM K K.
4. [tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII].pUSTX K | PODPROSTRAN-
STWO GILXBERTOWA PROSTRANSTWA H. tOGDA
(i) KAVDYJ WEKTOR f 2 H ODNOZNA^NO PREDSTAWIM W WIDE f = g + h,
GDE g 2 K; h 2 K? ,
(ii) K = K??.
� oBOZNA^IM ^EREZ g \LEMENT NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ K f OTNOSITELXNOK I POLOVIM h = f � g. pOKAVEM, ^TO h 2 K?. eSLI d = inf
k2Kkf � kk =
kf � gk, TO
0 � kh� hh; kikkk2 kk
2 � d2 = d2 +jhh; kij2kkk2 � jhh; kij2
kkk2 � jhh; kij2kkk2 � d2
= �jhh; kij2
kkk2 ) hh; ki = 0 (k 2 K) ) h 2 K?:
pOKAVEM TEPERX, ^TO PREDSTAWLENIE W (i) EDINSTWENNO. pUSTX
f = g0 + h0; GDE g0 2 K; h0 2 K?;
| E]�E ODNO PREDSTAWLENIE f . tOGDA � = (g � g0) + (h � h0) I, PRIMENQQTEOREMU pIFAGORA 152.10(i), POLU^AEM, ^TO g = g0; h = h0. o^EWIDNO,K � K?? = ff 2 H j 8g 2 K? (hf; gi = 0)g. oBRATNO, ESLI f 2 K?,TO W SILU P. 4 f = g + h, GDE g 2 K; h 2 K?. uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGORAWENSTWA SKALQRNO NA h, POLU^AEM hh; hi = 0) h = �) f = g 2 K: >
x233. oRTOGONALXNYE SUMMY GILXBERTOWYH PROSTRANSTW
1. pUSTX K1; : : : ;Kn | PODPROSTRANSTWA GILXBERTOWA PROSTRANSTWA
H TAKIE, ^TO KAVDYJ WEKTOR f 2 H PREDSTAWIM W WIDE
f = k1 + : : :+ kn; kj 2 Kj ; hki; kji = 0 (i 6= j):
404
(w \TOM SLU^AE kj OPREDELENY ODNOZNA^NO (!!).) tOGDA GOWORQT, ^TO H
QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ SUMMOJ PODPROSTRANSTW Kj I PI[UT H = K1 �: : :�Kn. w ^ASTNOSTI, H = K �K?.
2. pUSTX Hj (j = 1; : : : ; n) | GILXBERTOWY PROSTRANSTWA (NAD PO-
LEM �). oRTOGONALXNOJ SUMMOJ PROSTRANSTW Hj NAZYWAETSQ GILXBERTOWO
PROSTRANSTWO H, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ UPORQDO^ENNYE NABORY
(f1; : : : ; fn) (fj 2 Hj) SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM
h(f1; : : : ; fn); (g1; : : : ; gn)i �nXj=1
hfj ; gji:
(mY ISPOLXZUEM PREVNEE OBOZNA^ENIE H = H1 � : : :�Hn.)
dOKAZATELXSTWO KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ PROWED<M NIVE W
BOLEE OB]EJ SITUACII:
3. oRTOGONALXNOJ SUMMOJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA (Hj)j2J GILXBER-TOWYH PROSTRANSTW NAZYWAETSQ GILXBERTOWO PROSTRANSTWO H (OBOZNA^A-
ETSQ SIMWOLOM �j2J
Hj), \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ NABORY (fj)j2J ,
OBLADA@]IE SWOJSTWAMI:
(A) W KAVDOM NABORE NE BOLEE ^EM S^�ETNOE ^ISLO \LEMENTOW OTLI^NO OT
NULQ,
(B)Pj2J
kfjk2 < +1.
wEKTORNAQ STRUKTURA W MNOVESTWE NABOROW WWODITSQ ESTESTWENNYM (POKO-
ORDINATNYM) OBRAZOM, A SKALQRNOE PROIZWEDENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ
(�) h(fj); (gj)i �Xj2Jhfj ; gji:
� uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. oTMETIM SNA^ALA, ^TORQD W PRAWOJ ^ASTI (�) SHODITSQ ABSOL@TNO (A ZNA^IT, SHODITSQ). |TO
SLEDUET IZ (A) I OCENKI
Xj2J
jhfj ; gjij �Xj2J
kfjk � kgjk � 1
2
Xj2J
[kfjk2 + kgjk2] < +1:
405
iZ \TOJ VE OCENKI SLEDUET, ^TO f; g 2 �j2J
Hj ) f + g 2 �j2J
Hj (!!), TAK
^TO �j2J
Hj | WEKTORNOE PROSTRANSTWO. pROWERIM POLNOTU �j2J
Hj . pUSTX
POSLEDOWATELXNOSTX f (n) = (f(n)j ) FUNDAMENTALXNA I " > 0 PROIZWOLXNO.
tOGDA SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO kf (n) � f (m)k2 < " PRI n;m > N . tEM
BOLEE, DLQ KAVDOJ KONE^NOJ ^ASTI � � J :Pj2�
kf (n)j � f(m)j k2 < " (n;m >
N). tAK KAK Hj POLNY, SU]ESTWU@T fj = limnf(n)j 2 Hj (j 2 �). uSTREMLQQ
m K +1, NAHODIMPj2�
kf (n)j �fjk2 � " (n > N). tAK KAK � | PROIZWOLXNOE
KONE^NOE PODSEMEJSTWO J , IMEEM S U^�ETOM TREBOWANIQ (A):Pj2J
kf (n)j �fjk2 �". tAKIM OBRAZOM, f (n) � f 2 �
j2JHj , GDE f = (fj). sLEDOWATELXNO, f =
f (n) � (f (n) � f) 2 �j2J
Hj , I IZ PROIZWOLXNOSTI " : f(n) ! f (n!1): >
4. p R I M E R. w ^ASTNOSTI, WZQW ORTOGONALXNU@ SUMMU S^�ETNOGO ^ISLA
\KZEMPLQROW C 1, MY PRIHODIM K IZWESTNOMU KOORDINATNOMU GILXBERTOWU
PROSTRANSTWU `2, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI f =
(f1; f2; : : :) KOMPLEKSNYH ^ISEL SO SWOJSTWOMPj2N
jfjj2 < +1.
x234. rAZMERNOSTX GILXBERTOWA PROSTRANSTWA1. mY UVE WSTRE^ALISX S ORTONORMIROWANNYMI SISTEMAMI WEKTOROW
W UNITARNYH PROSTRANSTWAH (SM. x155). oTME^ALASX TAKVE WAVNAQ ROLXPOLNYH ORTONORMIROWANNYH SISTEM: KAVDYJ WEKTOR RAZLAGAETSQ PO TA-
KOJ SISTEME W RQD fURXE (SM. 155.7(B)). w SOOTWETSTWII S \TIM WSQKU@
POLNU@ ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU WEKTOROW W UNITARNOM PROSTRANST-
WE BUDEM NAZYWATX ORTONORMIROWANNYM BAZISOM. eSTESTWENNO WOZNIKAET
WOPROS O SU]ESTWOWANII ORTONORMIROWANNOGO BAZISA.
2. w KAVDOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET ORTONORMI-
ROWANNYJ BAZIS.
� rASSMOTRIM SEMEJSTWO WSEH ORTONORMIROWANNYH SISTEM WEKTOROW W
GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@. |TO UPORQ-
DO^ENNOE MNOVESTWO INDUKTIWNO (!!), I PO TEOREME cORNA (PRIL. III, P.
11) SU]ESTWUET MAKSIMALXNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA. |TA SISTEMA
NEOBHODIMO ZAMKNUTA W SMYSLE 155.8 fINA^E K NEJ MOVNO BYLO BY PRI-
SOEDINITX E]�E ODIN WEKTOR, ^TO PROTIWORE^ILO BY E�E MAKSIMALXNOSTIg.
406
w SILU 155.9 \TA SISTEMA POLNA, A ZNA^IT, QWLQETSQ ORTONORMIROWANNYM
BAZISOM. >
sLEDU@]EE UTWERVDENIE POZWOLQET GOWORITX OB ORTOGONALXNOJ RAZ-
MERNOSTI GILXBERTOWA PROSTRANSTWA.
3. wSE ORTONORMIROWANNYE BAZISY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
RAWNOMO]NY.
� pUSTX (fj)j2J I (ei)i2I | DWA ORTONORMIROWANNYH BAZISA W GILXBERTO-
WOM PROSTRANSTWE H. eSLI Card J; Card I < @0 (SM. PRIL. III), TO UTWERV-DENIE SLEDUET IZ WYKLADKI (S U^ETOM 155.7(G)):
Card J =Pjkfjk2 = P
j
Pijhfj; eiij2 = P
i
Pjjhfj; eiij2 =P
ikeik2
= Card I:
iTAK, PUSTX Card J;Card I � @0 I Ji = fj 2 J j hfj; eii 6= 0g (i 2 I);
OTMETIM (SM. 155.5), ^TO Card Ji � @0. tOGDA J =Si2IJi I W SILU P. 17
PRIL. III Card J � Card I. pOMENQW MESTAMI W PRIWED�ENNOM RASSUVDENII
BAZISY (fj)j2J I (ei)i2I, POLU^IM Card J � Card I: >
x235. sEPARABELXNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA
w PRILOVENIQH ^A]E WSEGO ISPOLXZU@TSQ SEPARABELXNYE (SM. 95.5)
GILXBERTOWY PROSTRANSTWA. oTMETIM, ^TO E]�E W 30-E GODY TREBOWANIE
SEPARABELXNOSTI DAVE WKL@^ALOSX W AKSIOMATIKU GILXBERTOWYH PROST-
RANSTW. iMEET MESTO SLEDU@]IJ PROSTOJ KRITERIJ SEPARABELXNOSTI:
1. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO SEPARABELXNO TTOGDA ONO OBLADAET
NE BOLEE ^EM S^�ETNYM ORTONORMIROWANNYM BAZISOM.
nA^N�EM S POLEZNOJ KONSTRUKCII ORTOGONALIZACII:
2. [pROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA]. dLQ ZADANNOJ (NE BOLEE ^EM
S^�ETNOJ) LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY ff1; f2; : : :g WEKTOROW UNITARNOGOPROSTRANSTWA MOVNO POSTROITX ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU fe1; e2; : : :gTAK, ^TO SOWPADA@T LINEALY, POROVD�ENNYE \TIMI SISTEMAMI.
� sISTEMA fe1; e2; : : :g STROITSQ INDUKTIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM: e1 =f1kf1k ; ESLI e1; : : : ; ek�1 UVE POSTROENY, POLOVIM
ek = kfk �k�1Xj=1
hfk; ejiejk�1 � (fk �k�1Xj=1
hfk; ejiej): >
407
3. dOKAZATELXSTWO P. 1. dOSTATO^NOSTX. pUSTX fe1; e2; : : :g | OR-
TONORMIROWANNYJ BAZIS W H. tOGDA MNOVESTWO f nPj=1
(pj + iqj)ej j pj ; qj 2Q; n 2 Ng S^�ETNO I PLOTNO W H (!!).
nEOBHODIMOSTX. pUSTX fg1; g2; : : :g | S^�ETNOE PLOTNOE W H MNO-
VESTWO (NE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TO SREDI \LEMENTOW
\TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NET NULEWOGO \LEMENTA �). pUSTX fh1; h2; : : :g |MAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ ^ASTX \TOGO MNOVESTWA (E�E MOVNO
POLU^ITX SLEDU@]IM OBRAZOM: POLOVIM h1 = g1; ESLI h1; : : : ; hk�1 UVEPOSTROENY, POLOVIM hk = gj, GDE j = minfn j SISTEMA fh1; : : : ; hk�1; gngLINEJNO NEZAWISIMA g). pOLU^ENNU@ SISTEMU fh1; h2; : : :g ORTOGONALIZUEMMETODOM gRAMA. pOLU^IM ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU fe1; e2; : : :g. oNAPOLNA. dEJSTWITELXNO, PUSTX f 2 H I " > 0 PROIZWOLXNY. tOGDA NAJD�ETSQ
gk TAKOE, ^TO kf � gkk < ". w SOOTWETSTWII S KONSTRUKCIEJ SISTEMY
fh1; h2; : : :g WEKTOR gk QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW hj , A
ZNA^IT, (W SILU KONSTRUKCII P. 2) LINEJNOJ KOMBINACIEJ ej:
gk =nXj=1
�jej; kf �nXj=1
�jejk < ":
iZ 155.6 SLEDUET, ^TO (ej) | ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H.
4. p R I M E R. L2[0; 1] | SEPARABELXNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO fWSOOTWETSTWII S 161.2 I 221.12 W \TOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET S^�ETNYJ
ORTONORMIROWANNYJ BAZISg.x236. iZOMORFNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA
1. gILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K (NAD ODNIM POLEM �) NAZYWA-
@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET LINEJNAQ BIEKCIQ U : H ! K,
SOHRANQ@]AQ SKALQRNOE PROIZWEDENIE:
(�) hUf;UgiK = hf; giH (f; g 2 H):
2. gILXBERTOWY PROSTRANSTWA IZOMORFNY TTOGDA ONI OBLADA@T
RAWNOMO]NYMI ORTONORMIROWANNYMI BAZISAMI.
� pUSTX GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K IZOMORFNY, U | SOOTWET-
STWU@]IJ IZOMORFIZM I (ej)j2J | POLNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA
W H. tOGDA (Uej)j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W K. pOKAVEM, ^TO
408
(Uej)j2J POLNA W K. pUSTX g 2 K PROIZWOLEN I f 2 H TAKOW, ^TO Uf = g.
tOGDA (SM. 155.7)
Xj2J
jhg; Uejij2 =Xj2J
jhf; ejij2 = kfk2 = kgk2;
OTKUDA SNOWA W SILU 155.7 SLEDUET, ^TO (Uej)j2J POLNA.pUSTX GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K OBLADA@T RAWNOMO]NYMI
POLNYMI ORTONORMIROWANNYMI SISTEMAMI (ej)j2J � H; (hj)j2J � K (IH
MOVNO ZANUMEROWATX ODNIM INDEKSOM). oPREDELIM U : H ! K RAWENST-
WOM
Uf �Xj2Jhf; ejihj (f 2 H):
frQD, STOQ]IJ SPRAWA, SHODITSQ, TAK KAK DLQ L@BOJ KONE^NOJ ^ASTI
� � J : k Pj2�hf; ejihjk2 = P
j2�jhf; ejij2 � kfk2.g oTOBRAVENIE U SOHRANQET
WEKTORNYE OPERACII (!!). pOKAVEM, ^TO U | BIEKCIQ H NA K. dLQ PRO-
IZWOLXNOGO g 2 K : g =Pj2Jhg; hjihj ) g = Uf , GDE f =
Pj2Jhg; hjiej 2 H,
T. E. U | S@R_EKCIQ; U SOHRANQET SKALQRNOE PROIZWEDENIE:
hUf;UgiK = hXj2Jhf; ejihj ;
Xj2Jhg; ejihji =
Xj2Jhf; ejihg; eji = hf; giH :
oTS@DA VE SLEDUET, ^TO U | IN_EKCIQ. >
3. s L E D S T W I E. wSE BESKONE^NOMERNYE SEPARABELXNYE GILXBERTOWY
PROSTRANSTWA IZOMORFNY MEVDU SOBOJ I IZOMORFNY PROSTRANSTWU `2.
x237. tEOREMA rISSA
1. t E O R E M A [f. rISS]. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO.
tOGDA DLQ L@BOGO ' 2 H� SU]ESTWUET I OPREDEL�EN ODNOZNA^NO WEKTOR
g 2 H TAKOJ, ^TO
(�) '(f) = hf; gi (f 2 H):
pRI \TOM k'k = kgk.� oTMETIM SNA^ALA, ^TO LINEAL M � ff 2 H j '(f) = 0g | POD-
PROSTRANSTWO H (SM. 232.1). dOSTATO^NO, O^EWIDNO, RASSMOTRETX SLU^AJ,
409
KOGDA M | SOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO H. pUSTX � 6= h 2 M?. pOLO-
VIM g ='(h)
khk2h. zAMETIW, ^TO '(h)f � '(f)h 2 M PRI L@BOM f 2 H,
IMEEM
'(f) =1
khk2 h'(h)f � '(f)h+ '(f)h; hi = '(h)
khk2 hf; hi = hf; gi (f 2 H):
eSLI k | E]�E ODIN WEKTOR, UDOWLETWORQ@]IJ (�), TO
kg � kk2 = hg � k; gi � hg � k; ki = '(g � k)� '(g � k) = 0:
nAKONEC, RAWENSTWO NORM SLEDUET IZ OCENOK:
k'k � kgk = j'( h
khk)j � k'k: >
2. sOOTWETSTWIE '(2 H�) ! g(2 H) W TEOREME rISSA ANTILINEJNO:
' ! g; ! h ) �' + � ! �g + �h (�; � 2 C ). oNO, KROME TOGO,
BIEKTIWNO I IZOMETRI^NO, A RAWENSTWO
h'; i � hh; giH (GDE ' ! g; ! h ('; 2 H�))
ZADA�ET W H� STRUKTURU GILXBERTOWA PROSTRANSTWA, I UKAZANNOE W TEORE-ME rISSA SOOTWETSTWIE OSU]ESTWLQET ANTIIZOMORFNOE OTOBRAVENIE GILX-
BERTOWA PROSTRANSTWA H� NA H (!!).
iZ TEOREMY rISSA WYTEKAET SLEDSTWIE PRINCIPA RAWNOMERNOJ OGRA-
NI^ENNOSTI 230.1 DLQ GILXBERTOWA PROSTRANSTWA:
3. pUSTX L � H I supg2L
jhf; gij < +1 DLQ L@BOGO f 2 H. tOGDA
supg2L
kgk < +1.
� dLQ g 2 L POLOVIM 'g � h�; gi. tOGDA M � f'g j g 2 Lg � H� Isup'g2M
j'g(f)j = supg2L
jhf; gij < +1 DLQ KAVDOGO f 2 H. iZ 230.1 I TEOREMY
rISSA supg2L
kgk = sup'g2M
k'gk < +1: >
4. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I
H� IZOMORFNY. dLQ H = `2 UKAVITE QWNYJ WID \TOGO IZOMORFIZMA.
410
x238. bILINEJNYE FORMY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
1. fUNKCI@ a : H � H ! C , GDE H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO,
NAZOW�EM BILINEJNOJ FORMOJ (B. F.) W H, ESLI ONA LINEJNA PO PERWOMU
ARGUMENTU I ANTILINEJNA PO WTOROMU:
a(�f1 + �f2; g) = �a(f1; g) + �a(f2; g);
a(g; �f1 + �f2) = �a(g; f1) + �a(g; f2); (fi; g 2 H; �; � 2 C ):
(sRAWNITE \TO OPREDELENIE S OPREDELENIEM 2-LINEJNOJ FORMY 230.3.)
b. F. a NAZYWAETSQ \RMITOWOJ, ESLI a(f; g) = a(g; f)(f; g 2 H). b. F.
a NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI SU]ESTWUET C > 0 TAKOE, ^TO ja(f; g)j �Ckfk kgk (f; g 2 H). wELI^INA
kak � inffC > 0 : ja(f; g)j � Ckfk kgk (f; g 2 H)g
NAZYWAETSQ NORMOJ OGRANI^ENNOJ B. F. a.
u P R A V N E N I Q. 2. pOKAVITE, ^TO kak = supkfk=kgk=1
ja(f; g)j.3. b. F. OGRANI^ENA TTOGDA ONA NEPRERYWNA (PO SOWOKUPNOSTI PERE-
MENNYH).
4. eSLI A | LINEJNYJ OGRANI^ENNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PRO-
STRANSTWE H (T. E. A 2 L(H;H), SM. 223.1), TO RAWENSTWO a(f; g) = hAf; gi(f; g 2 H) OPREDELQET OGRANI^ENNU@ B. F. oKAZYWAETSQ, SPRAWEDLIWO I
OBRATNOE:
5. dLQ WSQKOJ OGRANI^ENNOJ B. F. a W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
H SU]ESTWUET I OPREDEL�EN ODNOZNA^NO OPERATOR A 2 L(H;H) TAKOJ,
^TO a(f; g) = hAf; gi (f; g 2 H). pRI \TOM kak = kAk.� dLQ FIKSIROWANNOGO \LEMENTA f 2 H RASSMOTRIM FUNKCIONAL
F : H ! C , DEJSTWU@]IJ PO FORMULE F (g) = a(f; g) (g 2 H). oN LINEEN
I OGRANI^EN, PRI^�EM kFk � kak kfk (!!). pO TEOREME rISSA SU]ESTWUET
I OPREDEL�EN ODNOZNA^NO \LEMENT h 2 H TAKOJ, ^TO F (g) = hg; hi (g 2H), T. E. a(f; g) = hh; gi (g 2 H). tAKIM OBRAZOM, WOZNIKAET OPERATOR
A : H ! H, OPREDEL�ENNYJ RAWENSTWOM Af = h. pRI \TOM a(f; g) =
hAf; gi (f; g 2 H). pOKAVEM, ^TO A 2 L(H;H). oPERATOR A LINEEN W SILU
411
WYKLADKI
hA(�f1 + �f2); gi = a(�f1 + �f2; g) = �a(f1; g) + �a(f2; g)
= h�Af1 + �Af2; gi (g 2 H):
oPERATOR A OGRANI^EN W SILU OCENKI kAfk = khk = kFk � kak kfk. pRI\TOM kAk � kak. s DRUGOJ STORONY,
ja(f; g)j = jhAf; gij � kAfk kgk � kAk kfk kgk ) kak � kAk:
oPERATOR A OPREDEL�EN ODNOZNA^NO. feSLI, NAPROTIW, B | E]�E ODIN OPE-
RATOR TAKOJ, ^TO a(f; g) = hBf; gi (f; g 2 H), TO DLQ L@BOGO g 2 H :
hAf �Bf; gi = 0, OTKUDA Af = Bf (f 2 H), T. E. A = B.g >
x239. sOPRQV�ENNYJ OPERATOR
1. pUSTX A 2 L(H;H) I a | SOOTWETSTWU@]AQ EMU B. F., TO ESTX
a(f; g) = hAf; gi(f; g 2 H). rASSMOTRIM NOWU@ B. F. a�(f; g) � hf;Agi (f; g 2H). |TA B. F. OGRANI^ENA, PRI^�EM ka�k = kak (!!). pO\TOMU (SM. 237.5)
SU]ESTWUET I OPREDEL�EN ODNOZNA^NO OPERATOR A� 2 L(H;H) TAKOJ, ^TO
a�(f; g) = hA�f; gi (f; g 2 H). pRI \TOM kA�k = kAk. oPERATOR A� NA-ZYWAETSQ SOPRQV�ENNYM K A. |TOT OPERATOR, TAKIM OBRAZOM, ODNOZNA^NO
OPREDEL�EN RAWENSTWOM hAf; gi = hf;A�gi (f; g 2 H).
2.oTMETIM NEKOTORYE LEGKO PROWERQEMYE SWOJSTWA SOPRQV�ENNOGO OPE-
RATORA:
(A) (A+B)� = A� +B�; (�A)� = ��A�;
(B) A�� = A;
(W) I� = I (I | TOVDESTWENNYJ OPERATOR).
3. oPERATOR A 2 L(H;H) NAZYWAETSQ SAMOSOPRQV�ENNYM, ESLI A =
A�. oPERATOR A SAMOSOPRQV�EN TTOGDA B. F., SOOTWETSTWU@]AQ \TOMU OPE-
RATORU W SILU 238.4, QWLQETSQ \RMITOWOJ (!!). oTMETIM, ^TO MNOVESTWO
WSEH OGRANI^ENNYH SAMOSOPRQV�ENNYH OPERATOROW OBRAZUET WE]ESTWENNOE
WEKTORNOE PROSTRANSTWO.
4. dLQ KAVDOGO OGRANI^ENNOGO SAMOSOPRQV�ENNOGO OPERATORA A :
kAk = supkfk=1
jhAf; fij.
412
� oBOZNA^IM kAk0 = supkfk=1
jhAf; fij. o^EWIDNO, kAk0 � kAk. dLQ DOKA-ZATELXSTWA OBRATNOGO NERAWENSTWA ZAMETIM (NEPOSREDSTWENNYJ PODS^�ET),
^TO
(�) hA(f + g); f + gi � hA(f � g); f � gi = 4RehAf; gi:pUSTX TEPERX kfk = kgk = 1; hAf; gi = rei', GDE r = jhAf; gij. pUSTXg1 = ei'g (W ^ASTNOSTI, kg1k = 1). tOGDA hAf; g1i = r I, PRIMENQQ (�) KPARE ff; g1g, IMEEM S U^�ETOM 152.10(ii)
4r = 4hAf; g1i = 4RehAf; g1i= hA(f + g1); f + g1i � hA(f � g1); f � g1i� kAk0(kf + g1k2 + kf � g1k2)= 2kAk0(kfk2 + kg1k2) = 4kAk0:
iZ PROIZWOLXNOSTI f; g OTS@DA
kAk = supkfk=kgk=1
jhAf; gij � kAk0: >
u P R A V N E N I Q. 5. uBEDITESX, ^TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO (NAD
POLEM R) WSEH OGRANI^ENNYH SAMOSOPRQV�ENNYH OPERATOROW W GILXBERTO-
WOM PROSTRANSTWE H QWLQETSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM OTNOSITELXNO
OPERATORNOJ NORMY.
6. dLQ OPERATORA A 2 L(H;H) POLOVIM
R(A) = fAf j f 2 Hg; Ker(A) = ff 2 H j Af = �g:pOKAVITE, ^TO H = R(A�)�Ker(A).
x240. aLGEBRA B(H)
1. pUSTX H | KOMPLEKSNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO. w SOOTWET-
STWII S 223.6 L(H;H) | BANAHOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO OPERATOR-
NOJ NORMY. oPERACIQ SUPERPOZICII DWUH OPERATOROW (A � B)f � A(Bf)
(f 2 H) NE WYWODIT IZ L(H;H) (SM. 223.5), PRI^�EM kA � Bk � kAk kBk.bUDEM W DALXNEJ[EM A �B NAZYWATX PROIZWEDENIEM OPERATOROW A I B I
OBOZNA^ATX SIMWOLOM AB, A KLASS L(H;H) OBOZNA^ATX ^EREZ B(H).
413
2. oPERACIQ PROIZWEDENIQ OPREDELQET W B(H) STRUKTURU ALGEBRY NAD
POLEM C , T. E. DLQ L@BYH A;B;C 2 B(H) (!!):
A(B + C) = AB +AC; (B + C)A = BA+ CA;
A(BC) = (AB)C; A(�B) = (�A)B = �(AB); � 2 C :
tOVDESTWENNYJ OPERATOR I QWLQETSQ EDINICEJ ALGEBRY B(H) : AI =
IA = A (A 2 B(H)). oTMETIM, ^TO ESLI dimH > 1, ALGEBRA B(H) NEKOM-
MUTATIWNA. oPERATOR A 2 B(H) NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI SU]EST-
WUET B 2 B(H) TAKOJ, ^TO AB = BA = I. w \TOM SLU^AE B NAZYWAETSQ
OBRATNYM K A I OBOZNA^AETSQ A�1.
w SILU 239.1 �) | OPERACIQ W B(H). w SLEDU@]EM NIVE UTWERVDENII
SOBRANY W OSNOWNOM IZWESTNYE NAM FAKTY:
3. bANAHOWO PROSTRANSTWO B(H) QWLQETSQ ALGEBROJ S EDINICEJ. oPE-
RACIQ SOPRQVENIQ �) OBLADAET SWOJSTWAMI:
(A+B)� = A� +B�; (�A)� = ��A� (� 2 C );A�� = A; (AB)� = B�A�
pRI \TOM DLQ L@BYH A;B 2 B(H):
(1) kABk � kAk kBk,(2) kA�Ak = kAk2.� dOKAVEM LI[X POSLEDNEE RAWENSTWO. oTMETIM, ^TO OPERATOR A�A SA-
MOSOPRQV�EN. w SILU 239.4
kA�Ak = supkfk=1
jhA�Af; fij = supkfk=1
kAfk2 = kAk2: >
u P R A V N E N I Q. 4. eSLI A 2 B(H) OBRATIM, TO OBRATIM I A�,PRI^�EM (A�)�1 = (A�1)�.
5. oPERACIQ �) NEPRERYWNA W B(H).
6. pROIZWEDENIE OPERATOROW NEPRERYWNO W B(H) PO SOWOKUPNOSTI PE-
REMENNYH, T. E. An ! A;Bn ! B ) AnBn ! AB.
414
x241. oRTOPROEKTORY1. oRTOPROEKTOROM NA PODPROSTRANSTWO K � H NAZYWAETSQ OTOBRA-
VENIE P : H ! H, OPREDEL�ENNOE RAWENSTWOM
(�) Pf � f1; GDE f = f1 + f2 (f1 2 K; f2 2 K?)
| RAZLOVENIE, OPREDELQEMOE 232.4. pRI \TOM P 2 B(H) I kPk = 1, ESLI
P 6= 0; ESLI P | ORTOPROEKTOR NA PODPROSTRANSTWO K, TO I � P |
ORTOPROEKTOR NA PODPROSTRANSTWO K?.
� w OBOZNA^ENIQH (�) I S U^�ETOM 152.10(i) kPfk2 = kf1k2 � kf1k2+kf2k2 =kfk2 (f 2 H). sLEDOWATELXNO, P 2 B(H) I kPk � 1. eSLI P 6= 0 I
� 6= f 2 K, TO kPfk = kfk, T. E. kPk = 1: >
sLEDU@]EE SWOJSTWO HARAKTERIZUET ORTOPROEKTORY W KLASSE WSEH LI-
NEJNYH OGRANI^ENNYH OPERATOROW.
2. P 2 B(H) | ORTOPROEKTOR TTOGDA P 2 = P = P �.
� pUSTX P | ORTOPROEKTOR NA PODPROSTRANSTWO K. iZ (�) SLEDUET, ^TOP 2 = P . pUSTX g 2 H PROIZWOLEN I g = g1 + g2 (g1 2 K; g2 2 K?) | EGO
RAZLOVENIE SOGLASNO (�). tOGDAhPf; gi = hf1; g1 + g2i = hf1; g1i = hf1 + f2; g1i = hf; Pgi;
TO ESTX P = P �.oBRATNO, PUSTX P 2 B(H) I P 2 = P = P �. lINEAL K = fPf j f 2 Hg
ZAMKNUT: ESLI Pfn ! f0, TO Pfn = P (Pfn) ! Pf0, A IZ EDINSTWENNOSTI
PREDELA f0 = Pf0 2 K. iTAK, K | PODPROSTRANSTWO. pOKAVEM, ^TO P
| ORTOPROEKTOR NA K. dEJSTWITELXNO, DLQ L@BOGO f 2 H : f = Pf +
(f �Pf) I f � Pf 2 K?, TAK KAK DLQ L@BOGO g 2 K (S U^�ETOM RAWENSTWA
P = P � ):
hg; f � Pfi = hPg; f � Pfi = hg; P (f � Pf)i = hg; Pf � Pfi = 0: >
3. p R I M E R. pUSTX X � R IZMERIMO PO lEBEGU. tOGDA OTOBRAVENIE
P : L2(R) ! L2(R), OPREDEL�ENNOE RAWENSTWOM Pf � �X� f (f 2 L2(R)) |
ORTOPROEKTOR W L2(R): IZ OCENKIZj�
X(x)f(x)j2dx =
ZX
jf(x)j2dx �Zjf(x)j2dx (f 2 L2(R))
415
SLEDUET, ^TO P 2 B(L2(R)). kROME TOGO, QSNO, ^TO P 2 = P . nAKONEC,
P = P �, TAK KAK DLQ L@BYH f; g 2 L2(R):
hPf; gi =Z�X(x)f(x)g(x) dx =
Zf(x)�
X(x)g(x)dx = hf; Pgi:
4. oRTOPROEKTORY P1 I P2 NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI P1P2 =
0 (W \TOM SLU^AE I P2P1 = (P1P2)� = 0).
u P R A V N E N I Q. 5. oRTOPROEKTORY P1; P2 (NA PODPROSTRANSTWA K1
I K2 SOOTWETSTWENNO) ORTOGONALXNY TTOGDA ORTOGONALXNY K1 I K2.
6. pUSTX P1 I P2 | ORTOPROEKTORY. oPERATOR P � P1 + P2 | ORTO-
PROEKTOR TTOGDA P1P2 = 0.
7. pROIZWEDENIE P = P1P2 ORTOPROEKTOROW P1; P2 (NA PODPROSTRANSTWA
K1 I K2 SOOTWETSTWENNO) ESTX ORTOPROEKTOR TTOGDA P1P2 = P2P1. pRI
\TOM R(P ) = K1 \K2.
x242. uNITARNYE OPERATORY
1. lINEJNAQ S@R_EKCIQ U : H ! H NAZYWAETSQ UNITARNYM OPERATO-
ROM, ESLI hUf;Ugi = hf; gi (f; g 2 H). o^EWIDNO, U 2 B(H); kUk = 1.
sLEDU@]EE SWOJSTWO HARAKTERIZUET UNITARNYE OPERATORY W KLASSE
WSEH LINEJNYH OGRANI^ENNYH OPERATOROW.
2. pUSTX U 2 B(H). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) U | UNITARNYJ OPERATOR,
(B) U�U = UU� = I.
� (A) ) (B). iZ RAWENSTWA hf; gi = hUf;Ugi = hU�Uf; gi (f; g 2 H)
SLEDUET, ^TO U�U = I. tAK KAK U | S@R_EKCIQ, DLQ PROIZWOLXNOGO f 2 HNAJD�ETSQ h 2 H TAKOJ, ^TO f = Uh. rAWENSTWO UU� = I SLEDUET IZ
WYKLADKI (S U^�ETOM DOKAZANNOGO UVE RAWENSTWA U�U = I):
hUU�f; gi = hUU�Uh; gi = hU(U�U)h; gi = hUh; gi = hf; gi (f; g 2 H):
(B) ) (A). U�U = I ) hUf;Ugi = hU�Uf; gi = hf; gi (f; g 2 H). s@R_EK-
TIWNOSTX U : f 2 H ) f = UU�f = U(U�f) 2 R(U): >3. p R I M E R. [oPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ W L2(R).] rASSMOTRIM
PROSTRANSTWO {WARCA S (SM. 170.4). |TO PLOTNYJ W L2(R) LINEAL (!!).
416
kAK IZWESTNO (SM. 171.7), OTOBRAVENIE f ! f](t) = (2�)�1=2Zf(x)e�ixt dx
(t 2 R) | BIEKCIQ S NA S. pOKAVEM, ^TO ]) | IZOMETRIQ. mY IMEEM
kf]k2 =Zf](t)f](t) dt =
Zf](t)((2�)�1=2
Zf(x)e�ixt dx) dt
=Zf(x)((2�)�1=2
Zf](t)eixt dt) dx =
Zf(x)f][(x) dx
=
Zf(x)f(x) dx = kfk2:
(W TRETXEM RAWENSTWE MY ISPOLXZOWALI LEMMU x165).tAKIM OBRAZOM, ]) PRODOLVAETSQ DO OGRANI^ENNOGO LINEJNOGO OTOBRA-
VENIQ U : L2(R)! L2(R). iZ WYKLADKI
hf]; gi =
Zf](t)g(t) dt =
Z(2�)�1=2
Zf(x)e�ixt dx � g(t)dt
=Zf(x)((2�)�1=2
Zg(t)eixt dt) =
Zf(x)g[(x) dx
= hf; g[i (f; g 2 S)I NEPRERYWNOSTI SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ, POLU^IM
hUf; gi = hf; g[i (f 2 L2(R); g 2 S);
OTKUDA U�g = g[ (g 2 S). oPERATOR U QWLQETSQ UNITARNYM OPERATOROM W
L2(R) I NAZYWAETSQ OPERATOROM fURXE-pLAN[ERELQ. f dOSTATO^NO UBE-DITXSQ, ^TO U UDOWLETWORQET USLOWI@ 2(B). pUSTX f 2 L2(R) PROIZWOLEN
I POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 S TAKOWA, ^TO fn ! f W L2(R). tOGDA
UU�f = limnUU�fn = lim
nU(f[n) = lim
nf[]n = lim
nfn = f:
tAKIM OBRAZOM, UU� = I. aNALOGI^NO, U�U = I.g4. z A M E ^ A N I E. pRIWED�EM FORMULU DLQ \WY^ISLENIQ" OPERATORA U
NA FUNKCIQH IZ L2(R). oBOZNA^AQ f]N (t) = (2�)�1=2
Z N
�Nf(x)e�ixt dx (t 2 R)
(W PRAWOJ ^ASTI STOIT INTEGRAL lEBEGA), IMEEM
kUf � f]Nk2 = kUf � U�
[�N;N ]fk2 = kU(f � �
[�N;N ]f)k2
= kf � �[�N;N ]
fk2 =Z
jtj�Njf(t)j2dt! 0 (N ! +1):
417
tAKIM OBRAZOM,
(Uf)(t) = l:i:m:N!+1
(2�)�1=2Z N
�Nf(x)e�ixt dx (t 2 R);
GDE RAWENSTWO, ESTESTWENNO, PONIMAETSQ P. W. W R, I SIMWOL l:i:m:N!+1
(limes in
medio | PREDEL W SREDNEM) PONIMAETSQ KAK PREDEL PO NORME PROSTRANSTWA
L2(R).
p R I M E R Y. 5. w GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE `2(Z) SUMMIRUEMYH S
KWADRATOM POSLEDOWATELXNOSTEJ (fn)n2ZOPERATOR V , ZADANNYJ RAWENST-WOM V (fn) � (fn+1), QWLQETSQ UNITARNYM.
6. oPERATOR V W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE `2 = `2(N), OPREDEL�ENNYJ
RAWENSTWOM V (f1; f2; : : :) � (0; f1; f2; : : :) OBLADAET SWOJSTWOM hV f; V gi =hf; gi (f; g 2 `2), NO NE QWLQETSQ UNITARNYM (!!).
u P R A V N E N I E. 7.pUSTXX | LINEAL W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE,
U | UNITARNYJ OPERATOR. tOGDA U(X?) = (UX)?.
x243. kONE^NOMERNYE OPERATORY1. pUSTX E I F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA. oPERATOR A 2
L(E;F ) NAZYWAETSQ KONE^NOMERNYM, ESLI R(A) � fAf j f 2 Eg | KO-
NE^NOMERNOE PODPROSTRANSTWO W F .
2. kAVDYJ KONE^NOMERNYJ OPERATOR A 2 L(E;F ) DOPUSKAET PRED-
STAWLENIE A =nPj=1
'j(�)gj (gj 2 F; 'j 2 E�).
� pUSTX fg1; : : : ; gng | NEKOTORYJ FIKSIROWANNYJ ALGEBRAI^ESKIJ BA-
ZIS W R(A). dLQ PROIZWOLXNOGO WEKTORA f 2 E OBOZNA^IM ^EREZ 'j(f)
KO\FFICIENTY PRI RAZLOVENII WEKTORA Af PO UKAZANNOMU BAZISU: Af =nPj=1
'j(f)gj . iZ LINEJNOSTI A SLEDUET, ^TO FUNKCIONALY 'j : E ! �
LINEJNY. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fk ! � W E, (TO IZ NEPRERYWNOSTI
OPERATORA A) Afk =nPj=1
'j(fk)gj ! �. iZ SWOJSTW KONE^NOMERNOGO PRO-
STRANSTWA (220.3) 'j(fk)! 0 PRI KAVDOM j, TAK ^TO 'j 2 E�: >
3. s L E D S T W I E. kAVDYJ KONE^NOMERNYJ OPERATOR A 2 B(H)
DOPUSKAET PREDSTAWLENIE
(�) A =nXj=1
h�; fjigj (fj;gj 2 H);
418
GDE WEKTORY gj MOVNO WYBRATX POPARNO ORTOGONALXNYMI.
� pREDSTAWLENIE (�) SLEDUET IZ P. 2 I TEOREMY rISSA. pRIMENQQ PROCE-
DURU ORTOGONALIZACII gRAMA (SM. 235.2) K SISTEME fgjg, MY DOBX�EMSQ IH
POPARNOJ ORTOGONALXNOSTI. >
u P R A V N E N I Q. 4. dLQ KONE^NOMERNOGO OPERATORA A 2 B(H) NAJTI
PREDSTAWLENIE A� W OBOZNA^ENIQH P. 3.
5. nAJTI PREDSTAWLENIE KONE^NOMERNOGO ORTOPROEKTORA W GILXBERTO-
WOM PROSTRANSTWE H.
x244. kOMPAKTNYE OPERATORY1. pUSTX E;F | BANAHOWY PROSTRANSTWA. oPERATOR A 2 L(E;F ) NA-
ZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI OBRAZ A(B1[�]) EDINI^NOGO [ARA PRI OTO-
BRAVENII A | PREDKOMPAKTNOE MNOVESTWO W F . iZ OB]EGO UTWERVDENIQ
105.2 SLEDUET:
2. A 2 L(E;F ) KOMPAKTEN TTOGDA DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDO-WATELXNOSTI (fn) � E POSLEDOWATELXNOSTX (Afn) OBLADAET SHODQ]EJSQ
PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
3. p R I M E R. kAVDYJ KONE^NOMERNYJ OPERATOR QWLQETSQ KOMPAKT-
NYM. w ^ASTNOSTI, KOMPAKTEN TOVDESTWENNYJ OPERATOR W KONE^NOMERNOM
NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE. mEVDU TEM:
4. tOVDESTWENNYJ OPERATOR, DEJSTWU@]IJ W BESKONE^NOMERNOM BA-
NAHOWOM PROSTRANSTWE, NE QWLQETSQ KOMPAKTNYM.
uSTANOWIM PREDWARITELXNO ODIN GEOMETRI^ESKIJ FAKT (O^EWIDNYJ,
WPRO^EM, DLQ GILXBERTOWYH PROSTRANSTW):
5. l E M M A. pUSTX X | ZAMKNUTOE PODPROSTRANSTWO NORMIROWAN-
NOGO PROSTRANSTWA E; X 6= E. tOGDA SU]ESTWUET WEKTOR f 2 EnXTAKOJ, ^TO kfk = 1; kf � gk � 1=2 DLQ WSEH g 2X.� pUSTX f0 2 EnX | PROIZWOLEN. tOGDA d � inf
g2Xkf0 � gk > 0. wYBEREM
g0 2 X TAK, ^TOBY kf0�g0k < 2d. tOGDA WEKTOR f � f0 � g0kf0 � g0k | ISKOMYJ,
TAK KAK DLQ L@BOGO g 2 Xkf � gk = k f0 � g0
kf0 � g0k � gk= 1
kf0 � g0kkf0 � g0 � kf0 � g0kg k > d2d
= 12 : >
419
� [dOKAZATELXSTWO P. 4.] dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO EDINI^NYJ [AR
B1[�] W BESKONE^NOMERNOM BANAHOWOM PROSTRANSTWE NE KOMPAKTEN.pOSTRO-
IM INDUKTIWNO POSLEDOWATELXNOSTX (fn) � B1[�] : f1 2 B1[�] (kf1k = 1)
| PROIZWOLEN; ESLI ff1; : : : ; fng � B1[�] UVE POSTROENY I Xn | PODPRO-
STRANSTWO E (NEOBHODIMO ZAMKNUTOE), POROVD�ENNOE WEKTORAMI ff1; : : : ; fng,TO WEKTOR fn+1 WYBEREM PO LEMME P. 5. pO POSTROENI@ kfn � fmk �1=2 (n;m 2 N), I PO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (fn) � B1[�] NE OBLADAET
SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@, TAK ^TO [AR B1[�] NE KOMPAKTEN.>
6. u P R A V N E N I E. eDINI^NYJ [AR B1[�] NORMIROWANNOGO PRO-
STRANSTWA KOMPAKTEN TTOGDA PROSTRANSTWO KONE^NOMERNO.
x245. sWOJSTWA KOMPAKTNYH OPERATOROW W GILXBERTOWOMPROSTRANSTWE
1. dALEE BUDEM RASSMATRIWATX KOMPAKTNYE OPERATORY, DEJSTWU@]IE
W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H. oBOZNA^IM ^EREZ C(H) KLASS WSEH KOM-
PAKTNYH OPERATOROW W H. oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA KLASSA C(H):
2. An 2 C(H); A 2 B(H); kAn �Ak ! 0) A 2 C(H).
3. C(H) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
4. eSLI H SEPARABELXNO, TO A 2 C(H) TTOGDA A QWLQETSQ PREDELOM
PO NORME KONE^NOMERNYH OPERATOROW.
5. A 2 C(H)) A� 2 C(H).
6. A 2 C(H); B 2 B(H) ) AB; BA 2 C(H).
7. A 2 C(H) ) R(I �A) ZAMKNUTO.
� 2. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn) OGRANI^ENA I (f1n) | E�E PODPOSLEDOWA-
TELXNOSTX TAKAQ, ^TO (A1f1n) SHODITSQ. pUSTX (f2n) | PODPOSLEDOWATELX-
NOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (f1n) TAKAQ, ^TO (A2f2n) SHODITSQ. pRODOLVIW
\TOT PROCESS, POLU^IM SISTEMU (fkn ) (k = 1; 2; : : :) PODPOSLEDOWATELXNOS-
TEJ TAKU@, ^TO (fkn ) | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (fk�1n )
I (Akfkn) SHODITSQ. tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (fnn ) | PODPOSLEDOWATELX-
NOSTX ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI (fn), PRI^�EM (Afnn ) SHODITSQ. |TO
SLEDUET IZ OCENKI
(1) kA(fnn � fmm )k � k(A�As)(fnn � fmm )k+ kAs(f
nn � fmm )k:
420
dEJSTWITELXNO, W SILU OGRANI^ENNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI (fn) I USLO-
WIQ kAn �Ak ! 0 PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI (1) MOVET BYTX SDE-
LANO MENX[E NAPERED ZADANNOGO ^ISLA PRI DOSTATO^NO BOLX[OM s. dLQ
\TOGO s POSLEDOWATELXNOSTX (Asfsn) SHODITSQ, A ZNA^IT, SHODITSQ POSLEDO-
WATELXNOSTX Asfnn , POSKOLXKU PRI n > s (fnn ) | PODPOSLEDOWATELXNOSTX
POSLEDOWATELXNOSTI (f sn). sLEDOWATELXNO, WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^AS-
TI (1) TAKVE MOVET BYTX SDELANO MENX[E NAPER�ED ZADANNOGO ^ISLA PRI
BOLX[IH n. oSTA�ETSQ U^ESTX 244.2.
3. pUSTX PODPOSLEDOWATELXNOSTX An 2 C(H) FUNDAMENTALXNA. w SILU
POLNOTY B(H) SU]ESTWUET A 2 B(H), ^TO kAn �Ak ! 0. iZ P. 2 TEPERX
SLEDUET, ^TO A 2 C(H).
4. dOSTATO^NOSTX UVE USTANOWLENA (SM. P. 2 I 244.3). dOKAVEM NEOB-
HODIMOSTX. pUSTX fe1; e2; : : :g | ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H I Pn �nPk=1h�; ekiek | KONE^NOMERNYE OPERATORY (ORTOPROEKTORY). tOGDA APn =
nPk=1h�; ekiAek | TAKVE POSLEDOWATELXNOSTX KONE^NOMERNYH OPERATOROW I
DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO �n � kA�APnk ! 0 (n!1). rASSMOTRIM
RQD fURXE f =1Pk=1hf; ekiek PROIZWOLXNOGO WEKTORA f 2 H I ZAMETIM, ^TO
(A�APn)f =1P
k=n+1hf; ekiAek;
�n = supkfk=1
k(A�APn)fk = supkfk=1;f2(I�Pn)H
kAfk;
TAK ^TO �1 � �2 � : : :, I PO\TOMU SU]ESTWUET � � limn�n � 0. pUSTX,
NAPROTIW, � > 0: tOGDA NAJD�ETSQ TAKAQ POSLEDOWATELXNOSTX gn 2 (I �Pn)H; kgnk = 1, ^TO
(2) kAgnk > �=2:
zAMETIM, ^TO DLQ L@BOGO f 2 H
(3) hgn; fi ! 0 (n!1):
421
dEJSTWITELXNO,
jhgn; fij2 = jhgn;1Pk=1hf; ekiekij2 = jhgn;
1Pk=n+1
hf; ekiekij2
= j 1Pk=n+1
hf; ekihgn; ekij2
� [1P
k=n+1jhf; ekij2][
1Pk=n+1
jhgn; ekij2]� 1P
k=n+1jhf; ekij2 ! 0 (n!1):
w SILU KOMPAKTNOSTI A NAJD�ETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (gnk ) POSLEDO-
WATELXNOSTI (gn) TAKAQ, ^TO (Agnk) SHODITSQ: Agnk ! h. w SILU (2) h 6= �.
s DRUGOJ STORONY (S U^�ETOM (3),
khk2 = limkhAgnk ; hi = lim
khgnk ; A�hi = 0:
| PROTIWORE^IE.
5. pROWERIM UTWERVDENIE DLQ SEPARABELXNOGO PROSTRANSTWA. pUSTX
(An) | POSLEDOWATELXNOSTX KONE^NOMERNYH OPERATOROW, SHODQ]AQSQ K
A(2 C(H)) PO NORME (P. 4). w SILU 243.3{4 (A�n) | POSLEDOWATELXNOSTX
KONE^NOMERNYH OPERATOROW, PRI^�EM kA�n �A�k = kAn �Ak ! 0. sNOWA W
SILU P. 4 A� 2 C(H).
6. sLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ. nAPRIMER, IZ USLOWIJ
A 2 C(H); B 2 B(H) SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDO-
WATELXNOSTI (fn) W H POSLEDOWATELXNOSTX (Bfn) TAKVE OGRANI^ENA. w
SILU 244.2 POSLEDOWATELXNOSTX (ABfn) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDO-
WATELXNOSTX@ (ABfnk). sNOWA W SILU 244.2 AB 2 C(H).
7. pUSTX (I �A)fn ! g. mOVNO S^ITATX, ^TO fn 2 [Ker(I �A)]?. fiZPREDSTAWLENIQ (232.4) fn = f 0n + f 00n (f 0n 2 Ker(I �A); f 00n 2 [Ker(I �A)]?)POLU^AEM (I �A)f 00n ! g. oSTA�ETSQ POMENQTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn) NA
POSLEDOWATELXNOSTX (f 00n ).gpOKAVEM TEPERX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (fn) OGRANI^ENA. eSLI (fn),
NAPROTIW, NE OGRANI^ENA, TO, PEREHODQ K PODPOSLEDOWATELXNOSTI, MOVNO
S^ITATX, ^TO kfnk ! +1 I TOGDA (IZ SHODIMOSTI (I � A)fn) SLEDUET,
^TO (I � A)kn ! �, GDE kn � fnkfnk (!!). pOSKOLXKU A | KOMPAKTNYJ
OPERATOR, MOVNO S^ITATX (PEREHODQ SNOWA K PODPOSLEDOWATELXNOSTI), ^TO
422
Akn SHODITSQ. pO\TOMU SHODITSQ I POSLEDOWATELXNOSTX kn = (I �A)kn +
Akn. pUSTX kn ! h. tOGDA h 2 [Ker(I�A)]? I khk = 1. s DRUGOJ STORONY,
(I � A)h = limn(I � A)kn = �, I ZNA^IT, h 2 Ker(I � A). pO\TOMU h 2
[Ker(I�A)]T[Ker(I�A)]? ) h = �, ^TO PROTIWORE^IT RAWENSTWU khk = 1.
pUSTX C > 0 TAKOWO, ^TO kfnk � C (n 2 N). tAK KAK A| KOMPAKTNYJ
OPERATOR, SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ) TAKAQ, ^TO (Afnk) SHO-
DITSQ, A ZNA^IT, SU]ESTWUET f � limkfnk (= lim
k[(I � A)fnk + Afnk ]), TAK
^TO g = limn(I �A)fn = lim
k(I �A)fnk = (I �A)f: >
8. u P R A V N E N I E.pUSTXA 2 C(H) I P | ORTOPROEKTOR. pOKAVITE,
^TO R((I +A)P ) ZAMKNUTO.
x246. iNTEGRALXNYE KOMPAKTNYE OPERATORY
w TEORII LINEJNYH INTEGRALXNYH URAWNENIJ KL@^EWU@ ROLX IGRA@T
INTEGRALXNYE OPERATORY T WIDA
(�) (Tf)(t) =
ZM
K(t; s)f(s)�(ds);
GDE FUNKCIQ K(t; s) NAZYWAETSQ QDROM OPERATORA T , OPREDEL�ENNOGO NA
PODHODQ]EM PROSTRANSTWE FUNKCIJ f , KOTORYE W SWO@ O^EREDX ZADANY
NA NEKOTOROM PROSTRANSTWE S MEROJ (M;�).
1. pUSTX SNA^ALA K(t; s) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA KWADRATE
0 � t; s � 1. tOGDA T KORREKTNO OPREDEL�EN NA PROSTRANSTWE NEPRERYW-
NYH FUNKCIJ C[0; 1]. pRI \TOM T | OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ OPERATOR.
(w \TOM SLU^AE M = [0; 1]; � | LINEJNAQ MERA lEBEGA.) dEJSTWITELXNO,
OGRANI^ENNOSTX T SLEDUET IZ OCENKI
j(Tf)(t)j � max0�t;s�1
jK(t; s)j � kfk (t 2 [0; 1]):
(zDESX kfk = max0�t�1
jf(t)j | IZWESTNAQ NORMA W C[0; 1].)
2. w USLOWIQH P. 1 T | KOMPAKTNYJ OPERATOR.
� w SILU 219.10 DOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO TB1[�] | RAWNOSTEPENNO NE-
PRERYWNOE SEMEJSTWO FUNKCIJ (SM. 219.9). tAK KAK K RAWNOMERNO NEPRE-
RYWNA NA KWADRATE M �M ,
423
8" > 0 9� > 0 8t; s; t0; s0 2M (k(t; s)� (t0; s0)k < �)jK(t; s)�K(t0; s0)j < ").
w ^ASTNOSTI,
8" > 0 9� > 0 8t; t0; s 2M (jt� t0j < � ) jK(t; s)�K(t0; s)j < "):
sLEDOWATELXNO,
8" > 0 9� > 0 8f 2 B1[�] 8t; t0 2M (jt� t0j < � )j(Tf)(t)� (Tf)(t0)j � max
0�s�1jK(t; s)�K(t0; s)j kfk < ").
^TO I TREBOWALOSX. >
mY PEREJD�EM TEPERX K USLOWIQM KOMPAKTNOSTI OPERATORA T W GILX-
BERTOWOM PROSTRANSTWE FUNKCIJ L2(M;�). pREDWARITELXNO USTANOWIM
LEMMU.
3. pUSTX ffj(t)gj2N; fgk(s)gk2N | ORTONORMIROWANNYE BAZISY W SE-
PARABELXNYH GILXBERTOWYH PROSTRANSTWAH L2(M1; �1) I L2(M2; �2) SO-
OTWETSTWENNO. tOGDA SISTEMA FUNKCIJ ffj(t)gk(s)g QWLQETSQ ORTONOR-MIROWANNYM BAZISOM W L2(M1 �M2; �1 � �2).
� dLQ UDOBSTWA MY PROWED�EM DOKAZATELXSTWO PRI PREDPOLOVENII, ^TO
MERY �1; �2 KONE^NY. pREVDE WSEGO, ffj(t)gk(s)g | ORTONORMIROWANNAQ
SISTEMA W L2(M1�M2; �1��2). oSTA�ETSQ LI[X UBEDITXSQ, ^TO ONA ZAMK-NUTA. pUSTX Z
M1�M2
f(t; s)fj(t)gk(s)�1(dt)�2(ds) = 0:
pO TEOREME fUBINI 214.2ZM1�M2
f(t; s)fj(t)gk(s)�1(dt)�2(ds)
=ZM2
�ZM1
f(t; s)fj(t)�1(dt)
�gk(s)�2(ds) = 0 (j; k 2 N).
s U^�ETOM ZAMKNUTOSTI SISTEMY fgk(s)g W L2(M2; �2) SLEDUET, ^TO DLQ
PROIZWOLXNOGO FIKSIROWANNOGO j SU]ESTWUET Sj �M2 TAKOE, ^TOZM1
f(t; s)fj(t)�1(dt) = 0 (s 62 Sj); �2(Sj) = 0:
424
pOLAGAQ S � SjSj , POLU^AEM OTS@DA
ZM1
f(t; s)fj(t)�1(dt) = 0 (s 62 S; j 2 N); �2(S) = 0:
tAK KAK SISTEMA ffj(t)g ZAMKNUTA, s 62 S ) f(t; s) = 0 P. W. OTNOSITELXNO
�1. pUSTX A = f(t; s) 2 M1 �M2jf(t; s) 6= 0g. wOSPOLXZUEMSQ TEOREMOJfUBINI W FORME 214.5. tAK KAK
At � fs 2M2 j (t; s) 2 Ag = fs 2M2 j f(t; s) 6= 0g � S
P. W. OTNOSITELXNO �1, IMEEM
�1 � �2(A) =ZM2
�ZM1
�2(At)�1(dt)
��2(ds) = 0;
OTKUDA f(t; s) = 0 P. W. OTNOSITELXNO �1 � �2: >
4. pUSTX L2(M;�) | SEPARABELXNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO,
K 2 L2(M �M;� � �). tOGDA W USLOWIQH P. 1 T | KOMPAKTNYJ OPE-
RATOR.
� sLEDUET PROWERITX SLEDU@]IE TRI FAKTA:(1) f 2 L2(M;�)) Tf 2 L2(M;�) (KORREKTNOSTX OPREDELENIQ T ),
(2) kTfk � Ckfk (f 2 L2(M;�)) (OGRANI^ENNOSTX T ),
(3) SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX Tn KONE^NOMERNYH OPERATOROW W
L2(M;�) TAKAQ, ^TO Tn ! T PO NORME (KOMPAKTNOSTX T ).
uTWERVDENIE (1) SLEDUET IZ OCENKI
ZM
j(Tf)(t)j2�(dt) =
ZM
jZM
K(t; s)f(s)�(ds)j2�(dt)
�ZM
�ZM
jK(t; s)j2�(ds) �ZM
jf(s)j2�(ds)��(dt)
=
ZM
ZM
jK(t; s)j2�(ds)�(dt) � kfk2 < +1:
425
oTS@DA VE SLEDUET (2) S
C = kKk = [ZM
ZM
jK(t; s)j2�(ds)�(dt)]1=2:
dLQ POSTROENIQ POSLEDOWATELXNOSTI Tn RASSMOTRIM ORTONORMIROWANNYJ
BAZIS ffj(t)g W L2(M;�). w SILU P. 3 ffj(t)fk(s)g | ORTONORMIROWANNYJ
BAZIS W L2(M �M;� � �). pO\TOMU
K(t; s) =Xjk
�jkfj(t)fk(s);
GDE �jk | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCII K OTNOSITELXNO BAZISA
ffj(t)fk(s)g, I RQD SHODITSQ PO NORME L2(M � M;� � �). pUSTX Kn =nP
j;k=1�jkfj(t)fk(s). tOGDA
(Tnf)(t) �ZM
Kn(t; s)f(s)�(ds)
| KONE^NOMERNYJ OPERATOR (T. K. Tn =nP
j;k=1�jkh�; fkifj). pRI \TOM (SM.
PUNKT (2) NASTOQ]EGO DOKAZATELXSTWA)
kT � Tnk2 � kK �Knk2 =1X
j;k=1
j�jkj2 �nX
j;k=1
j�jkj2 ! 0 (n!1);
^TO I TREBOWALOSX. >
5. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO W USLOWIQH P. 4 (T �f)(t) =ZM
K(s; t)f(s)�(ds) (f 2 L2(M;�)).
426
|lementy teorii neograni~ennyh
operatorow
x247. pONQTIE ZAMKNUTOGO OPERATORA
1. lINEJNYM OPERATOROM (W DALXNEJ[EM PROSTO OPERATOROM) T W
GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H NAZYWAETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE
T : D(T ) ! H, GDE D(T ) | LINEAL W H (ON NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPRE-
DELENIQ T ). oTMETIM, ^TO DLQ L@BOGO LINEJNOGO OPERATORA T� = �. oPE-
RATOR T NAZYWAETSQ PLOTNO ZADANNYM, ESLI LINEAL D(T ) PLOTEN W H.
lINEALY KerT � ff 2 D(T )jTf = �g I R(T ) � fTf j f 2 D(T )g NAZYWA-@TSQ SOOTWETSTWENNO QDROM I OBRAZOM OPERATORA T .
p R I M E R Y. 2. w GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H = L2[0; 1] OPREDELIM
OPERATOR M : (Mf)(t) � tf(t) (0 � t � 1); M OPREDEL�EN WS@DU W H I
OGRANI^EN.
3. w GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H = L2(R) SNOWA POLOVIM (Mf)(t) �tf(t) (t 2 R), GDE D(M) = ff 2 L2(R)j tf(t) 2 L2(R)g; M PLOTNO ZADAN, NO
NE OGRANI^EN: fn � �[n;n+1]
2 D(M), kfnk = 1, NO kMfnk2 =Z n+1
nt2 dt >
n2 (n 2 N). oPERATORY W PRIMERAH 2,3 NAZYWA@TSQ OPERATORAMI UMNOVE-
NIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@.
u P R A V N E N I Q. 4.pOKAVITE, ^TO T (fn) � (nfn) | NEOGRANI^ENNYJ
PLOTNO ZADANNYJ LINEJNYJ OPERATOR W `2.
5. w GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2(R) POLOVIM (Tf)(t) = f 0(t) (f 2D(T ) � D), GDE PROSTRANSTWO D OPREDELENO W 170.1. uBEDITESX, ^TO T |
NEOGRANI^ENNYJ PLOTNO ZADANNYJ LINEJNYJ OPERATOR.
6. aLGEBRAI^ESKIE OPERACII NAD LINEJNYMI OPERATORAMI W GILXBER-
TOWOM PROSTRANSTWE H OPREDELQ@TSQ SOGLA[ENIQMI:
D(A+B) � D(A) \D(B); (A+B)f � Af +Bf ;
D(�A) � D(A); (�A)f � �Af (� 2 C );D(AB) � ff 2 D(B)jBf 2 D(A)g; (AB)f � A(Bf):
427
eSLI Ker A = f�g, TO OPREDEL�EN OPERATOR A�1, OBRATNYJ K A : D(A�1) �R(A); A�1(Af) � f . pRI \TOM R(A�1) = D(A) I AA�1 = iR(A); A
�1A =
iD(A) (SM. 1.2). lINEJNYJ OPERATOR A NAZOW�EM OBRATIMYM, ESLI OPERATOR
A�1 OPREDEL�EN WS@DU I OGRANI^EN.
7. gRAFIKOM LINEJNOGO OPERATORA T W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
H NAZYWAETSQ MNOVESTWO �(T ) � fff; Tfgj f 2 D(T )g(� H �H) | POD-
MNOVESTWO ORTOGONALXNOJ SUMMY GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (SM. 233.2).
8. z A M E ^ A N I E. mNOVESTWO � � H � H QWLQETSQ GRAFIKOM
NEKOTOROGO OPERATORA W H TTOGDA � | LINEAL W H �H, NE SODERVA]IJ
PAR WIDA f�; gg; g 6= � (!!).
9. lINEJNYJ OPERATOR S : D(S) ! H NAZYWAETSQ RAS[IRENIEM OPE-
RATORA T (PI[EM T � S), ESLI D(T ) � D(S) I Tf = Sf (f 2 D(T )).
oTMETIM, ^TO T � S TTOGDA �(T ) � �(S).
10. lINEJNYJ OPERATOR T W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWEH NAZYWAETSQ
ZAMKNUTYM, ESLI �(T ) ZAMKNUTO W H �H (T. E. �(T ) | PODPROSTRANSTWO
GILXBERTOWA PROSTRANSTWA H�H); OPERATOR T NAZYWAETSQ ZAMYKAEMYM,
ESLI ON OBLADAET ZAMKNUTYM RAS[IRENIEM.
11. z A M E ^ A N I E. kLASS ZAMYKAEMYH OPERATOROW WKL@^AET W SE-
BQ KLASS OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW. fuBEDIMSQ, ^TO DLQ OGRA-NI^ENNOGO LINEJNOGO OPERATORA T EGO PRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI
S (x227) QWLQETSQ ZAMKNUTYM OPERATOROM. pUSTX ffn; Sfng ! ff; hg WH �H. tOGDA fn ! f; Sfn ! h, I W SILU KONSTRUKCII OPERATORA S (SM.
x227) f 2 D(S). iZ NEPRERYWNOSTI S OTS@DA SLEDUET, ^TO h = Sf , T. E.
ff; hg = ff; Sfg 2 �(S):g12. wS@DU OPREDEL�ENNYJ OPERATOR ZAMKNUT TTOGDA ON OGRANI^EN.
� dOSTATO^NOSTX USTANOWLENA W PREDYDU]EM PUNKTE. nEOBHODIMOSTX QW-LQETSQ SLEDSTWIEM TEOREMY O ZAMKNUTOM GRAFIKE 231.5. >
~ASTO UDOBNOJ BYWAET \POKOORDINATNAQ" FORMA SWOJSTWA ZAMKNUTOS-
TI OPERATORA:
13. (i) oPERATOR T ZAMKNUT TTOGDA
fn 2 D(T ); fn ! f; Tfn ! g WLE^�ET f 2 D(T ); T f = g:
(ii) oPERATOR T ZAMYKAEM TTOGDA
fn 2 D(T ); fn ! �; Tfn ! g WLE^�ET g = �:
428
� (i) | PROSTAQ PEREFORMULIROWKA OPREDELENIQ IZ P. 10.iZ ZAMYKAEMOSTI
T NEMEDLENNO SLEDUET USLOWIE W (ii). oBRATNO, PUSTX WYPOLNENO USLOWIE
W (ii). oPREDELIM OPERATOR S:
D(S) � ff 2 Hj 9(fn) � D(T ) 9g 2 H (fn ! f; Tfn ! g)g;Sf � g:
S OPREDEL�EN KORREKTNO: DEJSTWITELXNO, PUSTX f 0n 2 D(T ) | E]�E ODNA
POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ, ^TO f 0n ! f; Tf 0n ! g0. tOGDA
fn � f 0n 2 D(T ); fn � f 0n ! �; T (fn � f 0n)! g � g0:
iZ (ii) SLEDUET, ^TO g = g0. dALEE PO POSTROENI@ S � T; �(S) = �(T )� ,
TAK ^TO S ZAMKNUT. >
14. kAVDYJ ZAMYKAEMYJ OPERATOR T OBLADAET NAIMENX[IM ZAMK-
NUTYM RAS[IRENIEM (ONO OBOZNA^AETSQ T I NAZYWAETSQ ZAMYKANIEM
OPERATORA T ). pRI \TOM �(T ) = �(T )�.
� iSPOLXZUEM KONSTRUKCI@ OPERATORA S IZ PREDYDU]EGO PUNKTA I POLO-
VIM T � S. tOGDA (KAK OTME^ENO WY[E) SPRAWEDLIWO RAWENSTWO �(T ) =
�(T )� . eSLI R | E]�E ODNO ZAMKNUTOE RAS[IRENIE OPERATORA T , TO
�(T ) � �(R), A ZNA^IT, �(T ) = �(T )� � �(R)� = �(R). sLEDOWATELX-
NO, T � R, TAK ^TO T | NAIMENX[EE ZAMKNUTOE RAS[IRENIE OPERATORA
T: >
15. p R I M E R [NEZAMYKAEMOGO OPERATORA]. oPREDELIM W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE L2[0; 1] OPERATOR T : D(T ) � C[0; 1]; (Tf)(�) � f(1)�.
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX NEPRERYWNYH FUNKCIJ fn , SHODQ]U@SQ
W L2[0; 1] K �, I W TO VE WREMQ TAKIH, ^TO fn(1) = 1. tOGDA Tfn ! , GDE
(�) = � (0 � � � 1). iZ 13(ii) SLEDUET, ^TO T NE ZAMYKAEM.
u P R A V N E N I Q. pUSTX T | ZAMKNUTYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE H.
16. Ker T | ZAMKNUTOE PODPROSTRANSTWO W H.
17. eSLI OPREDEL�EN T�1 , TO ON TAKVE ZAMKNUT.
18. eSLI A 2 B(H), TO A+ T I TA ZAMKNUTY. wERNO LI ANALOGI^NOE
UTWERVDENIE, ESLI T | ZAMYKAEMYJ OPERATOR?
429
x248. sOPRQV�ENNYJ OPERATOR
1. pUSTX T | PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PROSTRAN-
STWE H. oPREDELIM SOPRQV�ENNYJ OPERATOR T � :
D(T �) � fg 2 H j 9g� 2 H 8f 2 D(T ) (hTf; gi = hf; g�i)g;T �g � g� (g 2 D(T �)):
�uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. sLEDUET PROWERITX, ^TO(A) \LEMENT g� 2 H OPREDEL�EN ODNOZNA^NO, (B) POLU^ENNYJ OPERATOR T �
LINEEN (!!). pROWERIM (A). pUSTX, NAPROTIW, ESTX E]�E ODIN \LEMENT h�
TAKOJ, ^TO WYPOLNENO RAWENSTWO
hTf; gi = hf; h�i (f 2 D(T )):wY^ITAQ IZ NEGO PODOBNOE RAWENSTWO DLQ \LEMENTA g� , IMEEM:
0 = hf; h�i � hf; g�i = hf; h� � g�i (f 2 D(T )):tAK KAK LINEAL D(T ) PLOTEN W H, POLU^AEM, ^TO h� = g�: >
oTMETIM, ^TO DLQ T 2 B(H) DANNOE OPREDELENIE SOGLASUETSQ S PREV-
NIM OPREDELENIEM SOPRQV�ENNOGO OPERATORA (239.1).
2. z A M E ^ A N I E. oPERATOR T � MOVET I NE BYTX PLOTNO ZADANNYM.rASSMOTRIM W KA^ESTWE ILL@STRACII OPERATOR T IZ PRIMERA 247.15. eSLI
g 2 D(T �), TO DLQ WEKTORA g� W P. 1:
f(1)
Z 1
0�g(�) d� = hTf; gi = hf; g�i =
Z 1
0f(�)g�(�) d�:
tAK KAK LINEAL ff 2 C[0; 1] : f(1) = 0g PLOTEN W L2[0; 1], OTS@DA SLEDUET,
^TO g� = �. pO\TOMU DLQ f1(�) � 1 (0 � � � 1) IMEEM
h ; gi =Z 1
0�g(�) d� = f1(1)
Z 1
0�g(�) d� = hf1; �i = 0:
tAKIM OBRAZOM, LINEAL D(T �) � f g?, I ZNA^IT, NE PLOTEN W L2[0; 1].
3. pOLU^IM WYRAVENIE DLQ GRAFIKA OPERATORA T � ^EREZ GRAFIK OPE-RATORA T . oPREDELIM DLQ \TOGO OPERATOR U W PROSTRANSTWE H � H RA-
WENSTWOM
Uff; gg � fg;�fg (f; g 2 H):
430
U | UNITARNYJ OPERATOR (!!).
eSLI T | PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PROSTRANST-
WE H, TO �(T �) = [U�(T )]?.
� fg; g�g 2 �(T �) TTOGDA hTf; gi � hf; g�i = 0 (f 2 D(T )) TTOGDAhUff; Tfg; fg; g�gi = hfTf;�fg; fg; g�gi = hTf; gi�hf; g�i = 0 (f 2 D(T ))TTOGDA fg; g�g 2 [U�(T )]?: >
4. uSTANOWIM SWOJSTWA SOPRQV�ENNOGO OPERATORA:
(i) ESLI OPERATORY T; S PLOTNO ZADANY I S � T , TO T � � S�,
(ii) ESLI T | PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR, TO T � ZAMKNUT.
(iii) PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR T ZAMYKAEM TTOGDA T � | PLOTNO ZA-
DAN. pRI \TOM T = T ��.
(iv) eSLI T PLOTNO ZADAN, TO H = Ker(T �)� [R(T )]�.� (i). S � T ) (SM. 247.9) �(S) � �(T ) ) U�(S) � U�(T ) ) �(S�) =[U�(S)]? � [U�(T )]? = �(T �)) S� � T �.
(ii). sLEDUET NEMEDLENNO IZ P. 3.
(iii). oTMETIM, ^TO OPERATOR U IZ P. 3 UDOWLETWORQET RAWENSTWU
U2 = �I. sLEDOWATELXNO (SM. TAKVE 242.7),�(T )� = �(T )?? = [U2�(T )]?? = [U(U�(T ))?]? = [U�(T �)]?:
eSLI T � PLOTNO ZADAN, TO W SILU (ii) IZ DANNOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO
LINEAL �(T ) = �(T )� | GRAFIK OPERATORA T ��, TAK ^TO T = T ��.oBRATNO,PUSTX T � ZADAN NE PLOTNO. tOGDA NAJD�ETSQ g 2 D(T �)?; g 6= �. tOGDA
fg; �g 2 [�(T �)]?, A ZNA^IT,
f�; gg 2 U [�(T �)?] = [U�(T �)]? = �(T )�:
|TO OZNA^AET, ^TO �(T )� | NE GRAFIK, TO ESTX T NE ZAMYKAEM.
(iv). g 2 R(T )? TTOGDA hTf; gi = 0 = hf; �i (f 2 D(T )) TTOGDA (SM. P.
1) g 2 D(T �); T �g = � TTOGDA g 2 KerT �: >
u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO W USLOWIQH P. 1 g 2 D(T �)TTOGDA LINEJNYJ FUNKCIONAL f ! hTf; gi, ZADANNYJ NA LINEALE D(T ),
OGRANI^EN.
431
6. pUSTX T | PLOTNO ZADAN, A S 2 B(H). tOGDA (S + T )� = S� + T �.
7. pUSTX S; T; ST PLOTNO ZADANY. tOGDA (ST )� � T �S�. eSLI, W ^AST-NOSTI, S 2 B(H), TO (ST )� = T �S�.
8. pUSTX T; T�1 PLOTNO ZADANY. tOGDA (T �)�1 = (T�1)�.
x249. |RMITOWY I SAMOSOPRQV�ENNYE OPERATORY
1. pLOTNO ZADANNYJ OPERATOR T NAZYWAETSQ \RMITOWYM (ILI SIM-
METRI^ESKIM), ESLI T � T �, ILI, ^TO \KWIWALENTNO,
hTf; gi = hf; Tgi (f; g 2 D(T )):
oPERATOR T NAZYWAETSQ SAMOSOPRQV�ENNYM, ESLI T = T �.
2. z A M E ^ A N I E. w SILU 248.4 (ii) WSQKIJ \RMITOW OPERATOR ZAMY-
KAEM.
3. pUSTX T | SAMOSOPRQV�ENNYJ OPERATOR, A OPERATOR U | UNI-
TARNYJ. tOGDA OPERATOR UTU� SAMOSOPRQV�EN.
� iZ 248.7 SLEDUET, ^TO S � UTU� \RMITOW, T. E. S � S�. oBRATNO (SNOWAS U^�ETOM 248.7),
U�SU = T = T � = (U�(SU))� = (SU)�U � U�S�U ) S � S�: >
p R I M E R Y. 4. [oPERATOR UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@].
rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE L2(R) OPERATOR M :
D(M) � ff 2 L2(R)j�f(�) 2 L2(R)g;(Mf)(�) � �f(�) (� 2 R; f 2 D(M)):
pOKAVEM, ^TO M | SAMOSOPRQV�ENNYJ OPERATOR. qSNO, ^TO M � M�.pUSTX g 2 D(M�); g� =M�g. tOGDA DLQ WSEH f 2 D(M)
Z�f(�)g(�)d� = hMf; gi = hf; g�i =
Zf(�)g�(�)d�)
Zf(�)[g�(�) � �g(�)]d� = 0:
432
oTMETIM, ^TO L2[�N;N ] PRI KAVDOM N > 0 MOVNO RASSMATRIWATX KAK
PODPROSTRANSTWO L2(R) (FUNKCIQ NA OTREZKE [�N;N ] DOOPREDELQETSQ NUL�EM
WNE \TOGO OTREZKA). pRI \TOM L2[�N;N ] � D(M). tEPERX
Z N
�Nf(�)[g�(�)� �g(�)]d� = 0 (f 2 L2[�N;N ])
WLE^�ET g�(�) � �g(�) = 0 P. W. NA [�N;N ] ) (IZ PROIZWOLXNOSTI N)
g�(�) = �g(�) P. W. W R) �g(�) 2 L2(R); g�(�) = �g(�) = (Mg)(�). iTAK,
M =M�: >
5. [oPERATOR DIFFERENCIROWANIQ]. oPERATOROM DIFFERENCIROWANIQ
W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2(R) NAZOW�EM OPERATOR Q � U�MU , GDE
U | UNITARNYJ OPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ (SM. 242.3), A M | OPE-
RATOR UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, RASSMOTRENNYJ WY[E. w
SILU 247.5 I P. 3 Q| SAMOSOPRQV�ENNYJ NEOGRANI^ENNYJ OPERATOR. pOLU-
^IM FORMULU WY^ISLENIQ \TOGO OPERATORA NA FUNKCIQH IZ PROSTRANSTWA
{WARCA S (SM. 170.4), KOTORYE OBRAZU@T PLOTNYJ W L2(R) LINEAL. oTME-
TIM SNA^ALA, ^TO FUNKCII IZ S UDOWLETWORQ@T USLOWIQM P. 168.8. pRI
\TOM W OBOZNA^ENIQH 168.7 S � D(M);Mf = fx (f 2 S). sOGLASNO 171.7
US = U�S = S. pO\TOMU S � D(Q) I
(Qf)(t) = (U�MUf)(t) =1
i(iU�MUf)(t) =
1
if 0(t); (f 2 S; t 2 R):
|TOJ FORMULOJ OPRAWDYWAETSQ NAZWANIE OPERATORA Q, KOTORYJ QWLQET-
SQ, TAKIM OBRAZOM, SAMOSOPRQV�ENNYM RAS[IRENIEM OBY^NOGO OPERATO-
RA DIFFERENCIROWANIQ (S POPRAWO^NYM SKALQRNYM MNOVITELEM), OPRE-
DEL�ENNOGO IZNA^ALXNO NA S.sAMOSOPRQV�ENNYE OPERATORY IGRA@T ISKL@^ITELXNO WAVNU@ ROLX W
TEORII OPERATOROW I IH PRILOVENIJ, W SWQZI S ^EM POLEZNY KRITERII I
DOSTATO^NYE USLOWIQ SAMOSOPRQV�ENNOSTI. pRIWED�EM W KA^ESTWE ILL@ST-
RACII ODNO IZ DOSTATO^NYH USLOWIJ I EGO PRIMENENIE K USTANOWLENI@
SAMOSOPRQV�ENNOSTI ODNOGO KLASSA OPERATOROW.
6. eSLI T | \RMITOW I R(T ) = H, TO T SAMOSOPRQV�EN.
� dOSTATO^NO USTANOWITX WKL@^ENIE D(T �) � D(T ) (IZ P. 1 TOGDA SLE-
DUET, ^TO T = T �). dLQ PROIZWOLXNOGO g 2 D(T �) NAJD�ETSQ g� 2 H, ^TO
433
hTf; gi = hf; g�i (f 2 D(T )). tAK KAK R(T ) = H, NAJD�ETSQ h 2 D(T ) TA-
KOJ, ^TO Th = g�. pO\TOMU hTf; gi = hf; Thi = hTf; hi (f 2 D(T )), OTKUDAg = h 2 D(T ): >
7. pUSTX OPERATOR T PLOTNO ZADAN I ZAMKNUT. tOGDA T �T SAMOSO-
PRQV�EN.
� pLAN DOKAZATELXSTWA: (i) POKAVEM, ^TO URAWNENIE (I + T �T )f = g
RAZRE[IMO OTNOSITELXNO f PRI L@BOM g 2 H, (ii) POKAVEM, ^TO LINE-
AL D(T �T ) PLOTEN W H, (iii) USTANOWIM, ^TO OPERATOR T �T \RMITOW I
R(I + T �T ) = H. w SILU P. 6 \TO ZAWER[IT DOKAZATELXSTWO.
(i). wOSPOLXZUEMSQ METODOM GRAFIKA. w OBOZNA^ENIQH 248.3
H �H = �(T )� �(T )? = �(T )� U��(T �):
pO\TOMU DLQ PROIZWOLXNOGO g 2 H NAJDUTSQ TAKIE f 2 H; h 2 D(T �),^TO
fg; �g = ff; Tfg+ U�fh; T �hg = ff; Tfg+ f�T �h; hg;OTKUDA Tf = �h I g = f + T �Tf = (I + T �T )f .
(ii). pUSTX, NAPROTIW, NAJD�ETSQ \LEMENT g 6= � ORTOGONALXNYJ LINEALU
D(T �T ).pUSTX f UDOWLETWORQET URAWNENI@ (I+T �T )f = g (W \TOM SLU^AE
f 2 D(T �T ); f 6= �). tOGDA
0 = h(I + T �T )f; fi = kfk2 + hT �Tf; fi = kfk2 + hTf; T ��fi= kfk2 + hTf; Tfi > 0;
| PROTIWORE^IE.
(iii). iZ WKL@^ENIQ (T �T )� � T �T �� = T �T SLEDUET, ^TO T �T \RMITOW,
A ZNA^IT, TAKOW VE I I + T �T . w SILU (i) R(I + T �T ) = H. w SILU P. 6
OPERATOR I + T �T SAMOSOPRQV�EN, A ZNA^IT, SAMOSOPRQV�EN I T �T: >
8. u P R A V N E N I E. zAMKNUTYJ \RMITOW OPERATOR T SAMOSOPRQV�EN
TTOGDA T � \RMITOW.
x250. o PONQTII ANALITI^ESKOJ WEKTOR-FUNKCII
1. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO, �(� C ) OTKRYTO. fUNKCIQ
F : �! E NAZYWAETSQ SILXNO-ANALITI^ESKOJ, ESLI
8�0 2 � 9" > 0 8� 2 B"(�0) (F (�) =1Xn=0
(� � �0)nfn);
434
GDE \LEMENTY fn 2 E NE ZAWISQT OT � W KRUGE B"(�0).
2. z A M E ^ A N I E. eSLI ' 2 E� I F : �! E SILXNO ANALITI^ESKAQ,
TO ' � F : �! C | OBY^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ.
� dEJSTWITELXNO, W OBOZNA^ENIQH P. 1 IMEEM:
' � F (�) = '(F (�)) = '(1Pn=0
(�� �0)nfn)
= '(limk
kPn=0
(�� �0)nfn) = lim
k'(
kPn=0
(� � �0)nfn)
= limk
kPn=0
'((�� �0)nfn) =
1Pn=0
'(fn)(� � �0)n; � 2 B"(�0): >
3. u P R A V N E N I E. pUSTX F : �! B(H) | SILXNO ANALITI^ESKAQ
FUNKCIQ, A 2 B(H), TO A � F; F � A SILXNO ANALITI^ESKIE (ZDESX (A �F )(�) � AF (�); (F �A)(�) � F (�)A).
x251. sPEKTR OPERATORA I EGO SWOJSTWA
1. pUSTX SNA^ALA H | KONE^NOMERNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO RAZ-
MERNOSTI n. kAK UVE NAM IZWESTNO, IMEETSQ BIEKTIWNOE SOOTWETSTWIE
MEVDU ALGEBROJ B(H) WSEH LINEJNYH OPERATOROW W H I ALGEBROJ n � n-
MATRIC: ZAFIKSIROWAW ORTONORMIROWANNYJ BAZIS (ej), SOPOSTAWIM OPERA-
TORU A MATRICU [aij], GDE aij = hAej; eii. w ^ASTNOSTI, ESLI OPERATOR A
SAMOSOPRQV�ENNYJ, ^ISLA aij SWQZANY RAWENSTWAMI: aij = aji (TAKIE MAT-
RICY W KURSE LINEJNOJ ALGEBRY NAZYWA@TSQ \RMITOWYMI). nAPOMNIM,
^TO WEKTOR f 2 H (f 6= �) NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA
A, OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ � 2 C , ESLI Af = �f . mNOVES-
TWO WSEH SOBSTWENNYH ^ISEL OBRAZUET TAK NAZYWAEMYJ SPEKTR OPERATORA
A. dLQ SAMOSOPRQV�ENNYH OPERATOROW IMEET MESTO ZAME^ATELXNYJ FAKT:
MATRICA OPERATORA A W ORTONORMIROWANNOM BAZISE IZ SOBSTWENNYH WEK-
TOROW \TOGO OPERATORA IMEET DIAGONALXNYJ WID; DRUGIMI SLOWAMI (W OBO-
ZNA^ENIQH 243.3),
A =nXj=1
�jh�; ejiej (TO ESTX ajj = �j ; aij = 0 (i 6= j)):
dALEE MY OBOB]IM (DALEKO NE W POLNOJ MERE) \TI PONQTIQ NA BESKONE^-
NOMERNYJ SLU^AJ.
435
2. pUSTX T | ZAMKNUTYJ PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE H. mNOVESTWO
�(T ) � f� 2 C j �I � T | OBRATIMg
NAZYWAETSQ REZOLXWENTNYM MNOVESTWOM OPERATORA T . w SOOTWETSTWII
S 247.6 � 2 �(T ) OZNA^AET, ^TO (�I � T )�1 OGRANI^EN I OPREDEL�EN WS@DUW H. mNOVESTWO �(T ) � C n�(T ) NAZYWAETSQ SPEKTROM OPERATORA T .
wEKTOR f 2 D(T )nf�g NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM, OTWE^A@]IM
SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ �, ESLI Tf = �f . eSLI W ^ASTNOSTI, � 6= 0 |
SOBSTWENNOE ZNA^ENIE T , TO � 2 �(T ).3. pUSTX T ZAMKNUT I PLOTNO ZADAN. tOGDA �(T ) OTKRYTO (W C ) I
R(�) � (�I � T )�1 (� 2 �(T )) | SILXNO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ. sE-
MEJSTWO fR(�)g�2�(T ) SOSTOIT IZ POPARNO KOMMUTIRU@]IH OPERATO-
ROW, PRI^�EM
R(�) �R(�) = (�� �)R(�)R(�) (�; � 2 �(T )):
� pUSTX �0 2 �(T ). pROWERIM, ^TO W KRUGE j�� �0j < kR(�0)k�1:
R(�) =1Xn=0
(�1)n(� � �0)nR(�0)
n+1:
tAK KAK (�0I � T )R(�0) = I, IMEEM DLQ UKAZANNYH �
(�I � T )1Pn=0
(�1)n(�� �0)nR(�0)
n+1
= (�0I � T )1Pn=0
(�1)n(� � �0)nR(�0)
n+1
+ (� � �0)1Pn=0
(�1)n(� � �0)nR(�0)
n+1
= I +1Pn=1
(�1)n(�� �0)nR(�0)
n +1Pn=0
(�1)n(� � �0)n+1R(�0)
n+1 = I:
tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI PERWU@ ^ASTX UTWERVDENIQ. dALEE DLQ
�; � 2 �(T ) IMEEMR(�) �R(�) = R(�)(�I � T )R(�)�R(�)(�I � T )R(�)
= R(�)(� � �)R(�) = (� � �)R(�)R(�):
436
nAKONEC, ISPOLXZUQ DOKAZANNOE RAWENSTWO, POLU^AEM
R(�)R(�) = 1�� �
[R(�) �R(�)] = 1�� �
[R(�) �R(�)]
= R(�)R(�) (� 6= �): >
4. sPEKTR WSQKOGO OGRANI^ENNOGO OPERATORA QWLQETSQ NEPUSTYM
KOMPAKTNYM MNOVESTWOM W C .
� pUSTX T 2 B(H). dLQ j�j > kTk RQD 1Pn=0
��n�1T n SHODITSQ ABSOL@TNO
W BANAHOWOM PROSTRANSTWE B(H). pRQMYE WY^ISLENIQ DA@T:
(�I � T )(1Xn=0
��n�1T n) = (1Xn=0
��n�1T n)(�I � T ) = I:
iTAK, (1Pn=0
��n�1T n) = R(�) ) � 2 �(T ). oTS@DA �(T ) OGRANI^ENO I,
BUDU^I ZAMKNUTYM (SM. P. 3), KOMPAKTNO.
dLQ PROWERKI NEPUSTOTY SPEKTRA ZAMETIM, ^TO j�j > kTk )
kR(�)k = k1�
1Xn=0
��nT nk � 1
j�j1Xn=0
(kTkj�j )
n=
1
j�j �1
1� kTkj�j:
oTS@DA kR(�)k ! 0 (� ! 1). dLQ PROIZWOLXNYH f; g 2 H RASSMOTRIM
FUNKCIONAL 'f;g � h(�)f; gi 2 B(H)�. w SILU 250.2 'f;g � R | OBY^NAQ
ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ NA �(T ). eSLI DOPUSTITX, ^TO �(T ) = ; (A ZNA^IT,�(T ) = C ), TO 'f;g � R | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ WO WSEJ KOMPLEKSNOJ
PLOSKOSTI, PRI^�EM
'f;g(R(�)) = jhR(�)f; gij � kR(�)k kfk kgk ! 0 (�!1):
pO TEOREME lIUWILLQ IZ KOMPLEKSNOGO ANALIZA 'f;g � R � 0, TO ESTX
hR(�)f; gi � 0 (f; g 2 H), OTKUDA R(�) � 0, | PROTIWORE^IE.>
5. z A M E ^ A N I E. iZ DOKAZATELXSTWA P. 4 SLEDUET, ^TO DLQ T 2 B(H):
�(T ) � f� 2 C : j�j � kTkg.6. sPEKTR UNITARNOGO OPERATORA U LEVIT NA EDINI^NOJ OKRUVNOS-
TI S CENTROM W 0.
� w SILU P. 5 � 2 �(U) ) j�j � 1: j�j < 1 ) 1�I � U� | OBRATIM,
�I � U = (�U)(U� � 1�I) ) (�I � U)�1 = (U� � 1
�I)�1(�U)�1 2 B(H) )
� 2 �(U), TO ESTX � 2 �(U)) j�j = 1: >
437
7. eSLI T SAMOSOPRQV�EN, TO �(T ) � R.
� dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO Im� 6= 0) � 2 �(T ). pUSTX � = a+ ib; b =
Im� 6= 0. dLQ L@BOGO f 2 D(T ) (S U^�ETOM SAMOSOPRQV�ENNOSTI T )
k(�I � T )fk2 = h(aI � T )f + ibf; (aI � T )f + ibfi= k(aI � T )fk2 + b2kfk2 � b2kfk2:
iZ \TOJ OCENKI SLEDUET, ^TO Ker (�I � T ) = f�g, A ZNA^IT, (�I � T )�1
OPREDEL�EN I LINEAL D((�I�T )�1) = R(�I�T ) PLOTEN W H (SM. 248.4(iv)).
dALEE IZ \TOJ VE OCENKI IMEEM
k(�I � T )�1(�I � T )fk = kfk � 1
jbjk(�I � T )fk (f 2 D(T ));
\TO OZNA^AET, ^TO OPERATOR (�I�T )�1 OGRANI^EN. kROME TOGO, \TOT OPERA-TOR ZAMKNUT (KAK OBRATNYJ K ZAMKNUTOMU OPERATORU), A ZNA^IT,
D((�I � T )�1) = H. iTAK, (�I � T )�1 2 B(H): >
z A M E ^ A N I Q. 8. w P. 7 DLQ SAMOSOPRQV�ENNOGO OPERATORA T POLU^ENA
OCENKA: kR(�)k � 1=jIm�j (Im� 6= 0).
9. sOBSTWENNYE WEKTORY, OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA-
^ENIQM SAMOSOPRQV�ENNOGO OPERATORA ORTOGONALXNY: ESLI Af = �f; Ag =
�g (� 6= �), TO
hf; gi = 1
�h�f; gi = 1
�hAf; gi = 1
�hf;Agi = �
�hf; gi
WLE^�ET hf; gi = 0.
u P R A V N E N I Q. 10. dLQ ORTOPROEKTORA P : �(P ) � f0; 1g.11. eSLI T | ZAMKNUTYJ I PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR, A U | UNI-
TARNYJ OPERATOR, TO �(UTU�) = �(T ).
12. pOKAVITE, ^TO SPEKTR OPERATORA M UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@
PEREMENNU@ (SM. 249.4) W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2(R) SOWPADAET SO
WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ.
438
urawneniq s kompaktnymi
operatorami
x252. tEOREMA fREDGOLXMA
bUDEM RASSMATRIWATX W \TOM RAZDELE SEPARABELXNOE GILXBERTOWO PRO-
STRANSTWO H. sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ OSNOWOPOLAGA@]EJ DLQ DAN-
NOGO RAZDELA.
pUSTX A | KOMPAKTNYJ OPERATOR W PROSTRANSTWE H. rASSMOTRIM
URAWNENIE
(1) �A = ;
GDE � 2 C | PARAMETR. tOGDA MNOVESTWO
� � f� 2 C j URAWNENIE (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg
DISKRETNO (TO ESTX NE IMEET PREDELXNYH TO^EK), I ESLI � 2 C n�, TOI � �A OBRATIM.
� uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI A = 0. pUSTX A 6= 0: pOLOVIM r =1
2kAk (> 0), ZAFIKSIRUEM �0 2 C I POKAVEM, ^TO
�0 � f� 2 Br(�0) j URAWNENIE(1) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg
| KONE^NOE MNOVESTWO, PRI^�EM � 2 Br(�0)n�0 ) I��A OBRATIM. oTS@DA
I SLEDUET TEOREMA (W SILU PROIZWOLXNOSTI �0).
pLAN DOKAZATELXSTWA: DLQ KRUGA Br(�0) POSTROIM SEMEJSTWO KONE^NO-
MERNYH OPERATOROW fC(�)g�2Br(�0)SO SWOJSTWAMI:
(i) I � �A OBRATIM TTOGDA I � C(�) OBRATIM,
(ii) URAWNENIE (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIE TTOGDA \TIM SWOJSTWOM OB-
LADAET URAWNENIE
(2) C(�)' = '
439
(iii) �1 � f� 2 Br(�0) j (2) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg | KONE^NOE MNO-
VESTWO,
(iv) � 2 Br(�0)n�1 ) I � C(�) OBRATIM.
w SILU (ii) OKAZYWAETSQ, ^TO �1 = �0, ^TO ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO TEO-
REMY. pRISTUPIM K POSTROENI@ SEMEJSTWA fC(�)g.pUSTX B =
NPi=1h�; fiigi (fgig | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA) | KONE^-
NOMERNYJ OPERATOR TAKOJ, ^TO k�0A�Bk < 12.
zAMETIM, ^TO � 2 Br(�0)) I ��A+B OBRATIM. f dEJSTWITELXNO, IZOCENKI k�A�Bk � k�A� �0Ak+ k�0A�Bk < 1 I PREDSTAWLENIQ
I � �A+B = k�A�Bk�
1
k�A�BkI ��A�B
k�A�Bk�
SLEDUET, ^TO 1k�A�Bk(> 1) | REZOLXWENTNAQ TO^KA OPERATORA �A�B
k�A�Bk :g
pOLOVIM C(�) = B(I � �A + B)�1 =NPi=1h�; hi(�)igi, GDE hi(�) = (I �
�A + B)�1�fi (� 2 Br(�0)), I UBEDIMSQ, ^TO C(�) | ISKOMOE SEMEJSTWO
KONE^NOMERNYH OPERATOROW.
(i) SLEDUET IZ RAWENSTWA I � �A = (I � C(�))(I � �A + B). dEJSTWI-
TELXNO, NEOBHODIMOSTX O^EWIDNA. dLQ PROWERKI DOSTATO^NOSTI POLOVIM
X = (I � �A+B)(I � �A)�1. tOGDA
(I � C(�))X = X(I � C(�)) = (I � �A+B)(I � �A)�1�� [(I � C(�))(I � �A+B)](I � �A+B)�1 = I:
(ii). pUSTX � 6= = �A . tOGDA WEKTOR ' � (I � �A + B) UDOW-
LETWORQET URAWNENI@ (2), ' 6= �, T.K. (I � �A + B) OBRATIM; OBRATNO,
� 6= ' = C(�)') � 6= � (I � �A+ B)�1' = �A .
(iii) uRAWNENIE (2) SLEDUET RASSMATRIWATX W KONE^NOMERNOM PODPRO-
STRANSTWE K = lin fg1; : : : ; gng, W KOTOROM ONO IMEET NENULEWOE RE[E-
NIE TTOGDA IK � C(�) NE OBRATIM, T. E. TTOGDA (W BAZISE fg1; : : : ; gng)d(�) � det[IK � C(�)] = det[�ij � hgj ; hj(�)i] = 0. fUNKCII �ij(�) �hgj ; hj(�)i (� 2 Br(�0)) | ANALITI^ESKIE PO � (!!), A ZNA^IT, W SILU TEORE-
MY EDINSTWENNOSTI DLQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ, LIBO �1 = f� 2 Br(�0) j
440
d(�) = 0g | KONE^NO, LIBO �1 = Br(�0). wTOROE, ODNAKO, NEWOZMOVNO.
f|TO NEWOZMOVNO PRI �0 = 0, IBO INA^E URAWNENIE (2) IMEET NENULEWOE
RE[ENIE PRI � = 0, A ZNA^IT (SM. (ii)), PRI � = 0 URAWNENIE (1) IMEET
NENULEWOE RE[ENIE. pRI � 6= 0 ISPOLXZUJTE SWQZNOSTX C (!!).g(iv). pOKAVEM, ^TO d(�) 6= 0 (T. E. � 2 Br(�0)n�1) OZNA^AET, ^TO URAW-
NENIE
(I � C(�))' =
ODNOZNA^NO RAZRE[IMO PRI L@BOM . pOLOVIM ' = + N , GDE N |
RE[ENIE URAWNENIQ
(IK � C(�)) N = C(�) :
|TO POSLEDNEE URAWNENIE | URAWNENIE W K, I ONO RAZRE[IMO, TAK KAK
det[I � C(�)] = d(�) 6= 0. tOGDA
[I � C(�)]( + N) = � C(�) + C(�) = ;
^TO I TREBOWALOSX. tAKIM OBRAZOM, I � C(�) OBRATIM, IBO [I � C(�)]�1
OPREDEL�EN WS@DU W H (I ZAMKNUT). >
x253. sPEKTRALXNAQ TEOREMA DLQ SAMOSOPRQV�ENNOGO
KOMPAKTNOGO OPERATORA
1. [tEOREMA rISSA-{AUDERA]. pUSTX A 2 C(H). tOGDA DLQ L@BOGO
" > 0 MNOVESTWO �(A)nB"(0) KONE^NO, PRI^�EM ESLI 0 6= � 2 �(A), TO �
| SOBSTWENNOE ZNA^ENIE OPERATORA A KONE^NOJ KRATNOSTI.
� pUSTX � | DISKRETNOE MNOVESTWO IZ TEOREMY x252. pRI \TOM
� 2 �(A)nB"(0) TTOGDA 1=� 2 �TB1="[0]. iZ DISKRETNOSTI � OTS@DA
SLEDUET, ^TO �(A)nB"(0) KONE^NO. dALEE, ESLI K | PODPROSTRANSTWO
WSEH SOBSTWENNYH WEKTOROW IZ H, PRINADLEVA]IH SOBSTWENNOMU ZNA^E-
NI@ � 6= 0; TO OGRANI^ENIE NA K KOMPAKTNOGO OPERATORA 1�A QWLQETSQ
TOVDESTWENNYM I KOMPAKTNYM OPERATOROM W K. iZ 244.4 SLEDUET, ^TO K
KONE^NOMERNO.>
2. eSLI A 2 C(H) | SAMOSOPRQV�ENNYJ OPERATOR I �(A) = f0g, TOA = 0.
�pUSTX kAk = supkfk=1
jhAf; fij 6= 0 I DLQ OPREDEL�ENNOSTI kAk = supkfk=1
hAf; fi(MY POMNIM, ^TO KWADRATI^NAQ FORMA hAf; fi W DANNOM SLU^AE PRINIMA-ET WE]ESTWENNYE ZNA^ENIQ). tOGDA SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (gn),
441
TAKAQ, ^TO kgnk = 1 I hAgn; gni ! kAk. tAK KAK A 2 C(H); (Agn) OBLA-
DAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ (OBOZNA^AEMOJ TAKVE (Agn)) :
Agn ! h. iMEEM
kAgn � kAkgn k2 = kAgnk2 � 2kAkhAgn; gni + kAk2� 2[kAk2 � kAkhAgn; gni]! 0 (n!1):
oTS@DA gn =1kAk(kAkgn�Agn+Agn)!
1kAkh 6= �. sLEDOWATELXNO, Ah =
kAk limnAgn = kAkh WLE^�ET, ^TO h | SOBSTWENNYJ WEKTOR OPERATORA A, A
kAk | OTWE^A@]EE EMU SOBSTWENNOE ZNA^ENIE. pO\TOMU kAk 2 �(A): >3. z A M E ^ A N I E. eSLI dimH =1, TO 0 2 �(A) DLQ L@BOGO A 2 C(H)
(!!).
4. [tEOREMA gILXBERTA-{MIDTA (SPEKTRALXNAQ TEOREMA DLQ SAMOSO-
PRQV�ENNOGO KOMPAKTNOGO OPERATORA)]. pUSTX A| SAMOSOPRQV�ENNYJ KOM-
PAKTNYJ OPERATOR W SEPARABELXNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H.
tOGDA SU]ESTWUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS (fn) W H TAKOJ, ^TO
A =Xn
�nh�; fnifn; �n 2 R; �n ! 0:
� pUSTX �k | NENULEWYE TO^KI SPEKTRA A. w SOOTWETSTWII S 251.7 I PP.
1,3 �(A) = f0g [ f�1; �2; : : :g; �k 2 R. kAVDOE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE �kIMEET KONE^NU@ KRATNOSTX:
dimHk < +1; GDE Hk = ff 2 H j Af = �kfg:
w KAVDOM Hk WYBEREM ORTONORMIROWANNYJ BAZIS I RASSMOTRIM SISTEMU
(fn) | OB_EDINENIE \TIH BAZISOW. |TO ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA, TAK
KAK SOBSTWENNYE WEKTORY, OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^E-
NIQM ORTOGONALXNY (SM. 251.9). pUSTX K | ZAMYKANIE LINEJNOJ OBOLO^-
KI SISTEMY (fn). tOGDA AK � K; AK? � K? (!!). pO\TOMU OPERATOReA � AjK? | SAMOSOPRQV�ENNYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR (W K?). sNOWA WSILU P. 1 0 6= � 2 �( eA) OZNA^AET, ^TO � | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE OPERA-
TORA eA, A ZNA^IT, I OPERATORA A. nO PO POSTROENI@ NE SU]ESTWUET NI
ODNOGO NENULEWOGO SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ, NE PRINADLEVA]EGO SEMEJSTWU
f�1; �2; : : :g. pO\TOMU �( eA) = f0g I SOGLASNO P. 2 eA = 0.
442
dOPOLNIM ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU (fn) DO ORTONORMIROWANNOGO
BAZISA W H (T. E. PRISOEDINIM K (fn) BAZIS W K?). oBRAZUEM TEPERX POSLE-
DOWATELXNOSTX: �1; �1; : : : ; �1; �2; : : : , W KOTOROJ KAVDOE SOBSTWENNOE ^ISLO
�k DUBLIRUETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX, I, ZANOWO PERENUMERO-
WYWAQ POLU^ENNU@ POSLEDOWATELXNOSTX, MY POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX
(�n), PRI^�EM �n ! 0. |TA POSLEDOWATELXNOSTX ISKOMAQ. dEJSTWITELXNO,
PREDSTAWIW L@BOJ WEKTOR f 2 H W WIDE f =Phf; fnifn (RAZLOVENIE f W
RQD fURXE), IMEEM
Af = A(Xn
hf; fnifn) =Xn
hf; fniAfn =Xn
�nhf; fnifn: >
5. [kANONI^ESKAQ FORMA KOMPAKTNOGO OPERATORA]. pUSTX A | KOM-
PAKTNYJ OPERATOR W SEPARABELXNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H.
tOGDA SU]ESTWU@T ORTONORMIROWANNYE SISTEMY (fn); (gn) I ^ISLA �n �0 TAKIE, ^TO
A =Pn�nh�; gnifn (RQD SHODITSQ PO OPERATORNOJ NORME).
� uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI A = 0. pUSTX A| KOMPAKTNYJ OPERATOR,
A 6= 0. tOGDA A�A | SAMOSOPRQV�ENNYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR, I PO TEO-
REME gILXBERTA-{MIDTA SU]ESTWUET ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA (gn) I
^ISLA �n > 0 TAKIE, ^TO
A�A =Xn
�nh�; gnign; �n ! 0:
fw PREDSTAWLENII OPERATORA A�A SOGLASNO P. 4 MY OSTAWLQEM LI[X NE-
NULEWYE SLAGAEMYE; �n > 0 W SILU WYKLADKI:
�n = �nkgnk2 = h�ngn; gni = hA�Agn; gni = kAgnk2:goTMETIM DALEE, ^TO Ker (A�A) = fg1; g2; : : :g?. pOLOVIM �n =
p�n; fn =
Agn�n
. pOLU^ENNAQ SISTEMA WEKTOROW (fn) | ORTONORMIROWANNAQ:
hfn; fmi = 1�n�m
hAgn; Agmi = 1�n�m
hA�Agn; gmi = �2n�n�m
hgn; gmi= �nm:
pROIZWOLXNYJ WEKTOR f 2 H PREDSTAWIM W WIDE f =Pnhf; gnign + h, GDE
h 2 Ker (A�A). nO TOGDA h 2 Ker(A), OTKUDA
Af =Xn
hf; gniAgn =Xn
�nhf; gnifn (f 2 H):
443
iSKOMOE PREDSTAWLENIE A POLU^ENO. pRI \TOM �n ! 0 WLE^�ET SHODIMOSTX
POLU^ENNOGO RQDA PO OPERATORNOJ NORME (!!). >
x254. pRILOVENIQ K LINEJNYM INTEGRALXNYM URAWNENIQM
1. bUDEM RASSMATRIWATX INTEGRALXNYE OPERATORY WIDA (Tf)(t) =ZM
K(t; s)f(s)�(ds) W PROSTRANSTWE H = L2(M;�). pRI \TOM PREDPOLAGA-
ETSQ, ^TO K 2 L2(M �M;� � �). uRAWNENIE
ZM
K(t; s)f(s)�(ds) = g(t)
(OTNOSITELXNO f) NAZYWAETSQ URAWNENIEM fREDGOLXMA 1-GO RODA. fUNK-
CIQ K(t; s) NAZYWAETSQ QDROM INTEGRALXNOGO URAWNENIQ (QDRO gILXBERTA-
{MIDTA), A OPERATOR T (ON QWLQETSQ KOMPAKTNYM) NAZYWAETSQ OPERATO-
ROM gILXBERTA-{MIDTA. pRI \TOM (SM. 246.5)
(T �f)(t) =ZM
K(s; t)f(s)�(ds):
2. z A M E ^ A N I E. bOLEE OB]IM OBRAZOM MOVNO RASSMATRIWATX
OPERATORNOE URAWNENIE
(1) Tf = g;
GDE T | NEKOTORYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR. oNO NAZYWAETSQ OPERATORNYM
URAWNENIEM fREDGOLXMA 1-GO RODA. uRAWNENIE (1) NE KORREKTNO W SLEDU@-
]EM SMYSLE: ESLI g1; g2 | BLIZKIE (PO NORME) PRAWYE ^ASTI, TO SOOTWET-
STWU@]IE RE[ENIQ f1; f2 (ESLI ONI SU]ESTWU@T) MOGUT BYTX DAL�EKIMI
DRUG OT DRUGA. dEJSTWITELXNO, OPERATOR T ZAWEDOMO NE OBRATIM (T.K.
0 2 �(T )), I DAVE ESLI T�1 OPREDEL�EN, ON QWLQETSQ ZAMKNUTYM, NO NE NE-PRERYWNYM OPERATOROM. pO\TOMU SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX gn ! �
TAKAQ, ^TO T�1gn NE STREMITSQ K �.
3. uRAWNENIE WIDA
f(t)�ZM
K(t; s)f(s)�(ds) = g(t)
444
(OTNOSITELXNO NEIZWESTNOJ FUNKCII f) NAZYWAETSQ URAWNENIEM fRED-
GOLXMA 2-GO RODA. mY BUDEM ZAPISYWATX EGO W OPERATORNOJ FORME:
(2) (I � T )f = g;
GDE T | KOMPAKTNYJ OPERATOR. eSLI g 6= �, TO URAWNENIE (2) NAZYWAETSQ
NEODNORODNYM; ESLI g = �, | ODNORODNYM:
(3) (I � T )f = �:
uRAWNENIE
(4) (I � T �)f = �
NAZYWAETSQ SOPRQV�ENNYM ODNORODNYM URAWNENIEM.
oSNOWNYE REZULXTATY, KASA@]IESQ RAZRE[IMOSTI URAWNENIJ fRED-
GOLXMA 2-GO RODA, SOBRANY W SLEDU@]IH TREH TEOREMAH (TAKVE NAZYWAE-
MYH TEOREMAMI fREDGOLXMA):
4. uRAWNENIE (2) RAZRE[IMO TTOGDA g ORTOGONALXNO KAVDOMU RE-
[ENI@ SOPRQV�ENNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ (4).
5. [aLXTERNATIWA fREDGOLXMA]. lIBO URAWNENIE (2) IMEET PRI L@BOM
g EDINSTWENNOE RE[ENIE, LIBO ODNORODNOE URAWNENIE (3) IMEET NENULE-
WOE RE[ENIE.
6. oDNORODNYE URAWNENIQ (3), (4) IME@T ODNO I TO VE KONE^NOE
^ISLO LINEJNO NEZAWISIMYH RE[ENIJ.
� 4. sLEDUET NEMEDLENNO IZ PREDSTAWLENIQ(5) H = Ker (I � T �)�R(I � T )
(SM. 248.4(iv)), W KOTOROM U^TENO, ^TO R(I � T ) ZAMKNUTO (SM. 245.7).
5. |TO SLEDSTWIE TEOREMY x252 PRI � = 1.
6. pUSTX ff1; : : : ; fmg; fh1; : : : ; hng | ORTONORMIROWANNYE BAZISY IZ
RE[ENIJ URAWNENIJ (3) I (4) SOOTWETSTWENNO I PUSTX, NAPROTIW, n 6= m.
rASSMOTRIM DLQ OPREDEL�ENNOSTI SLU^AJ n > m (SLU^AJ n < m RASSMAT-
RIWAETSQ ANALOGI^NO). oPREDELIM KOMPAKTNYJ OPERATOR S RAWENSTWOM
S = T �mXk=1
h�; fkihk
445
I ZAMETIM, ^TO URAWNENIE Sf = f IMEET LI[X TRIWIALXNOE RE[ENIE.
fdEJSTWITELXNO, ESLI f | RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ, TO WSE SLAGAEMYE W
LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA
(I � T )f +mXk=1
hf; fkihk = �
POPARNO ORTOGONALXNY (SM. (5)). w SILU 152.10
(I � T )f = �; hf; fki = 0 (1 � k � m):
tOGDA IZ PERWOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO WEKTOR f | LINEJNAQ KOMBINA-
CIQ WEKTOROW (fk), A IZ OSTALXNYH, | ^TO f = �.gsOGLASNO ALXTERNATIWE fREDGOLXMA ZAKL@^AEM, ^TO URAWNENIE
(I � S)f = hm+1 ODNOZNA^NO RAZRE[IMO. uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO URAW-
NENIQ SKALQRNO NA WEKTOR hm+1, POLU^AEM (SNOWA SM. (5)) PROTIWORE^IE:
1 = hhm+1; hm+1i = h(I � S)f; hm+1i= h(I � T )f; hm+1i+
mPk=1hf; fkihhk; hm+1i = 0: > :
x255. sLU^AJ SIMMETRI^NYH I WYROVDENNYH QDER1. rASSMOTRIM INTEGRALXNOE URAWNENIE fREDGOLXMA 2-GO RODA S SIM-
METRI^NYM QDROM gILXBERTA-{MIDTA K(t; s)(= K(s; t)):
f(t)�ZM
K(t; s)f(s)�(ds) = g(t):
w SOOTWETSTWII S x254 \TO URAWNENIE S KOMPAKTNYM SAMOSOPRQV�ENNYM
OPERATOROM (Tf)(t) �ZM
K(t; s)f(s)�(ds):
(�) (I � T )f = g:
oTMETIM SLEDSTWIQ TEOREM fREDGOLXMA PRIMENITELXNO K DANNOMU SLU-
^A@:
2. (i) eSLI ^ISLO 1 NE ESTX SOBSTWENNOE ZNA^ENIE OPERATORA T , TO
URAWNENIE (�) ODNOZNA^NO RAZRE[IMO.
446
(ii) eSLI 1 | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE T , TO URAWNENIE (�) RAZRE[IMO,ESLI FUNKCIQ g ORTOGONALXNA WSEM SOBSTWENNYM FUNKCIQM, PRINADLE-
VA]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1.
3. pOLU^IM RE[ENIE URAWNENIQ (�), ISPOLXZUQ SPEKTRALXNU@ TEOREMU
DLQ KOMPAKTNOGO SAMOSOPRQV�ENNOGO OPERATORA. pUSTX (fn) | ORTONORMI-
ROWANNYJ BAZIS IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW OPERATORA T I
T =Xn
�nh�; fnifn; �n 2 R; �n ! 0;
| EGO PREDSTAWLENIE PO SPEKTRALXNOJ TEOREME 253.4. pUSTX
�0 = fn 2 N j �n = 0g; �1 = fn 2 N j �n = 1g;� = Nn(�0 [ �1):
rE[ENIE URAWNENIQ (�) I]EM W WIDE f =Pn�nfn, GDE �n = hf; fni | NEIZ-
WESTNYE KO\FFICIENTYfURXE WEKTORA f . tOGDA RAWENSTWO (I�T )Pn�nfn =P
nhg; fnifn PEREPI[ETSQ W WIDE
(I � T )Pn�nfn =
Pn2�0
�n(I � T )fn +Pn2�1
�n(I � T )fn
+Pn2�
�n(I � T )fn =Pn2�0
�nfn +Pn2�
�n(1 � �n)fn
=Pn2�0
hg; fnifn + Pn2�1
hg; fnifn + Pn2�hg; fnifn:
s U^�ETOM EDINSTWENNOSTI PREDSTAWLENIQ \LEMENTA RQDOM fURXE POLU^A-
EM W SLU^AE 2(i) (TOGDA �1 = ;):
�n =
8<:hg; fni; ESLI n 2 �0,hg; fni1� �n
; ESLI n 2 �.iSKOMOE RE[ENIE IMEET WID
f =Xn2�0
hg; fnifn +Xn2�
(1 � �n)�1hg; fnifn:
w SLU^AE 2(ii) (TOGDA �1 6= ; I NEOBHODIMO hg; fni = 0 (n 2 �1)) ISKOMOE
RE[ENIE IMEET WID
f =Xn2�0
hg; fnifn +Xn2�1
�nfn +Xn2�
(1� �n)�1hg; fnifn;
447
GDE �n (n 2 �1) | PROIZWOLXNYE KONSTANTY.
4. rASSMOTRIM W ZAKL@^ENIE SLU^AJ WYROVDENNOGO QDRA. iMENNO,
PUSTX K(t; s) =nPj=1
Pj(t)Qj(s), GDE fPjg; fQjg | NABORY LINEJNO NEZA-
WISIMYH FUNKCIJ. tOGDA
(Tf)(t) =
ZM
[nXj=1
Pj(t)Qj(s)]f(s)�(ds) =nXj=1
hf;QjiPj(t):
iTAK, T | KONE^NOMERNYJ OPERATOR. oBOZNA^IM
xj = hf;Qji; bj = hg;Qji; aij =ZM
Pi(t)Qj(t)�(dt) = hPi; Qji:
tOGDA (�) PREWRATITSQ W URAWNENIE f(t) = g(t) +nPj=1
xjPj(t). sNOWA POD-
STAWLQQ f(t) W (�), POLU^IM
g(t) +nXj=1
xjPj(t)�nXj=1
hg +nXi=1
xiPi; QjiPj(t) = g(t);
ILInPj=1fxj � bj �
nPi=1
aijxigPj(t) = 0. tAK KAK fPjg | LINEJNO NEZAWISI-
MYE FUNKCII, PRIHODIM K SLEDU@]EJ SISTEME URAWNENIJ OTNOSITELXNO
NEIZWESTNYH xj : xj �nPi=1
aijxi = bj(1 � j � n). tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE
INTEGRALXNOGO URAWNENIQ S WYROVDENNYM QDROM SWEDENO K RE[ENI@ SIS-
TEMY LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ, USLOWIQ RAZRE[IMOSTI KOTO-
ROJ HORO[O IZWESTNY IZ KURSA LINEJNOJ ALGEBRY.
448
|lementy nelinejnogo analiza w
normirowannyh prostranstwah
zAKL@^ITELXNYJ RAZDEL KURSA MOVNO RASSMATRIWATX KAK WOZWRA]E-
NIE K EGO NA^ALU W KONTEKSTE NORMIROWANNYH PROSTRANSTW. pO SU]ESTWU
RE^X ID�ET O LOKALXNOM IZU^ENII NELINEJNYH OTOBRAVENIJ POSREDSTWOM
OTOBRAVENIJ LINEJNYH. w \TOM SMYSLE \TOT ZAKL@^ITELXNYJ RAZDEL MO-
VET SLUVITX OTPRAWNOJ TO^KOJ DLQ NELINEJNOGO FUNKCIONALXNOGO ANA-
LIZA, WKL@^A@]EGO W SEBQ, S ODNOJ STORONY, KLASSI^ESKOE WARIACIONNOE
IS^ISLENIE, WOSHODQ]EE K TRUDAM |JLERA I lAGRANVA, S DRUGOJ STORONY,
\TO | SOWREMENNYE RAZDELY FUNKCIONALXNOGO ANALIZA, INTENSIWNO RAZ-
WIWA@]IESQ I DALEKO E]�E NE ZAWER[�ENNYE. zDESX MY OGRANI^IMSQ LI[X
SAMYMI PERWONA^ALXNYMI SWEDENIQMI.
x256. pROIZWODNAQ fRE[E I E�E SWOJSTWA
1. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM �(= C ILI
R); U(� E) | OTKRYTO. oTOBRAVENIE A : U ! F NAZYWAETSQ DIFFE-
RENCIRUEMYM W TO^KE x 2 U , ESLI SU]ESTWUET OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ
OPERATOR Lx 2 L(E;F ) TAKOJ, ^TO SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE RAWEN-
STWO
(�) A(x+ h)�A(x) = Lxh+ o(h) (h! �):
fzDESX, KAK OBY^NO, RAWENSTWO r(h) = o(h) (h ! �) OZNA^AET, ^TO
limh!�
kr(h)kkhk = 0, SM. 103.1.g oPERATOR Lx NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ fRE-
[E OTOBRAVENIQ A I OBOZNA^AETSQ TAKVE A0(x); Lxh | DIFFERENCIAL
fRE[E OTOBRAVENIQ A W TO^KE x.
oTMETIM \LEMENTARNYE SWOJSTWA PROIZWODNOJ fRE[E.
2. eSLI A DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO PROIZWODNAQ fRE[E LxOPREDELENA ODNOZNA^NO.
3. eSLI OTOBRAVENIE A DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO ONO NEPRE-
RYWNO W \TOJ TO^KE.
449
4. eSLI OTOBRAVENIE A POSTOQNNO, TO EGO PROIZWODNAQ fRE[E RAWNA
NUL@ (TO ESTX NULEWOMU LINEJNOMU OPERATORU).
5. eSLI A 2 L(E;F ), TO A DIFFERENCIRUEMO W KAVDOJ TO^KE x 2 EI A0(x) = A.
6. eSLI A;B : U ! F DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x 2 U , TO W \TOJ
TO^KE DIFFERENCIRUEMY OTOBRAVENIQ A+B; �A (� 2 �), PRI^�EM
(A+B)0(x) = A0(x) +B0(x); (�A)0(x) = �A0(x):
7. pUSTX E; F; G | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA U(� E); V (� F )
OTKRYTY, A : U ! F DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x 2 U; A(U) � V I
B : V ! G DIFFERENCIRUEMO W TO^KE A(x). tOGDA W TO^KE x DIFFEREN-
CIRUEMO OTOBRAVENIE B �A, PRI^�EM (B �A)0(x) = B0(A(x))A0(x).
dOKAZATELXSTWO UKAZANNYH UTWERVDENIJ PROWODITSQ PO IZWESTNYM
SHEMAM (SM. x75) BEZ KAKIH-LIBO PRINCIPIALXNYH IZMENENIJ. tEM NE ME-
NEE, REKOMENDUETSQ PROWESTI \TI DOKAZATELXSTWA W KONTEKSTE uPRAVNE-
NIQ 10 (SM. NIVE).
p R I M E R Y. 8. pUSTX f(u; v) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ DWUH PEREMEN-
NYH, OBLADA@]AQ NEPRERYWNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ f 0v(u; v). iSSLEDUEMNA DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCIONAL � : C[a; b]! R, ZADANNYJ INTEGRA-
LOM �(x) =
Z b
af(t; x(t)) dt. iMEEM
�(x+ h) ��(x) =
Z b
a[f(t; x(t) + h(t))� f(t; x(t))] dt
=Z b
a[f 0v(t; x(t))h(t) + o(h(t))] dt (h! �):
kROME TOGO, IZ RAWENSTWA
f(t; x(t) + h(t))� f(t; x(t)) = f 0v(t; x(t))h(t) + o(h(t)) (h! �)
SLEDUET, ^TO OSTATOK o(h(t)) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I PO\TOMU INTEGRALZ b
ao(h(t)) dt KORREKTNO OPREDEL�EN. pRI \TOM
limh!�
1khk �
���Z b
ao(h(t)) dt
��� � limh!�
Z b
a
jo(h(t))jjh(t)j � jh(t)jkhk dt
� limh!�
Z b
a
jo(h(t))jjh(t)j dt = 0;
450
TAK KAK SHODIMOSTX h! � W C[a; b] OZNA^AET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX K
NUL@. iTAK,
Z b
ao(h(t)) dt = o(h) (h! �). pO\TOMU
�0(x)(h) =Z b
af 0v(t; x(t))h(t)dt (h 2 C[a; b]):
fdLQ ZNA^ENIQ FUNKCIONALA �0(x) NA WEKTORE h MY ISPOLXZUEM BOLEE
PRIWY^NU@ DLQ GLAZ ZAPISX �0(x)(h) WMESTO �0(x)h.g9. w WE]ESTWENNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H PRODIFFERENCIRU-
EM FUNKCIONAL A(f) = kfk2 (f 2 H). iMEEM
A(f + h) �A(f) = 2hh; fi + khk2:pO\TOMU A0(f) = 2h�; fi (2 H�).
u P R A V N E N I Q. 10. iZMENIM OSNOWNOE OPREDELENIE P. 1, POTREBO-
WAW, ^TOBY W RAWENSTWE (�) OPERATOR Lx : E ! F BYL PROSTO LINEJNYM
(NE OBQZATELXNO OGRANI^ENNYM). pROANALIZIROWATX, KAKIE SWOJSTWA (IZ
SWOJSTW 2{7) PROIZWODNOJ OSTA@TSQ W SILE DLQ TAKOGO OPREDELENIQ.
11. w WE]ESTWENNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE ISSLEDOWATX NA DIF-
FERENCIRUEMOSTX FUNKCIONAL B(f) = kfk.x257. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I � : E ! R| WE]EST-
WENNYJ FUNKCIONAL. pODOBNO 84.1 WWODITSQ PONQTIE LOKALXNOGO \KSTRE-
MUMA. gOWORQT, ^TO FUNKCIONAL � OBLADAET LOKALXNYM MAKSIMUMOM W
TO^KE f0, ESLI NAJDETSQ " > 0 TAKOE, ^TO f 2 B"(f0) WLE^ET �(f) � �(f0).
aNALOGI^NO OPREDELQETSQ LOKALXNYJ MINIMUM. iZWESTNOE NEOBHODIMOE
USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA DLQ FUNKCIJ (SM. 84.2) OBOB]AETSQ NA
SLU^AJ NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA:
2. eSLI FUNKCIONAL � : E ! R DIFFERENCIRUEM I OBLADAET LOKALX-
NYM \KSTREMUMOM W TO^KE f0, TO �0(f0) = 0.
� pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI � OBLADAET W TO^KE f0 LOKALXNYM MAKSIMU-
MOM. pUSTX, NAPROTIW, �0(f0) 6= 0. tOGDA NAJD�ETSQ WEKTOR h TAKOJ, ^TO
�0(f0)h 6= 0: pUSTX DLQ OPREDEL�ENNOSTI �0(f0)h > 0. w USLOWII DIFFEREN-
CIRUEMOSTI FUNKCIONALA
�(f0 + g)� �(f0) = �0(f0)g + o(g) (g ! �)
451
BUDEM BRATX WEKTORY g WIDA th (t ! 0; t > 0). tOGDA DLQ DOSTATO^NO
MALYH t > 0 :jo(th)jkthk <
�0(f0)h2khk . dLQ TAKIH t POLU^IM
�(f0 + th)� �(f0) = kthk[�0(f0)thkthk +
o(th)kthk ]
= kthk[�0(f0)hkhk +
o(th)kthk ]
� kthk[�0(f0)hkhk � jo(th)j
kthk ] > 0;
| PROTIWORE^IE S LOKALXNYM MAKSIMUMOM W TO^KE f0: >
3. p R I M E R. wERN�EMSQ K PRIMERU 256.8. eSLI NA[ FUNKCIONAL
�(x) =Z b
af(t; x(t)) dt OBLADAET LOKALXNYM \KSTREMUMOM W TO^KE x0, TO
�0(x0)h =Z b
af 0v(t; x0(t))h(t) dt = 0 (h 2 C[a; b]):
oTS@DA SLEDUET, ^TO f 0v(t; x0(t)) = 0 (!!).
x258. oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA
pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM �(= C ILI
R); U(� E) | OTKRYTO, OTREZOK [x; x + h] = fx + th j 0 � t � 1gSODERVITSQ W U I OTOBRAVENIE A : U ! F DIFFERENCIRUEMO NA \TOM
OTREZKE. tOGDA
kA(x+ h)�A(x)k � sup�2[0;1]
kA0(x+ �h)k khk:
�pUSTX FUNKCIONAL ' 2 F � PROIZWOLEN.pOLOVIM f(t) � '(A(x+th)) (0 �t � 1). |TA ^ISLOWAQ FUNKCIQ ^ISLOWOGO ARGUMENTA DIFFERENCIRUEMA PO
t NA INTERWALE (0; 1) W SILU 256.7, PRI^�EM f 0(t) = '(A0(x + th)h) (0 <
t < 1). pRIMENQQ K f FORMULU KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, IMEEM
f(1) � f(0) = f 0(�) (0 < � < 1); � = �('), TO ESTX
j'(A(x+ h)�A(x))j = j'(A0(x+ �h)h)j � k'k sup0���1
kA0(x+ �h)k khk:
452
pO SLEDSTWI@ K TEOREME hANA-bANAHA 228.3, SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT
2 F �; k k = 1, ^TO (A(x+ h)�A(x)) = kA(x+ h)�A(x)k. pRIMENQQPOLU^ENNU@ WY[E OCENKU K FUNKCIONALU , POLU^IM
kA(x+ h)�A(x)k � sup0���1
kA0(x+ �h)k khk: >
x259. iNTEGRAL OT WEKTOR-FUNKCII SO ZNA^ENIQMI WBANAHOWOM PROSTRANSTWE
1. pUSTX F | BANAHOWO PROSTRANSTWO I A : [a; b] ! F | WEKTOR-
FUNKCIQ. bUDEM GOWORITX, ^TO \TA FUNKCIQ INTEGRIRUEMA PO OTREZKU
[a; b], ESLI SU]ESTWUET PREDEL INTEGRALXNYH SUMM rIMANA
limn
nXk=1
(tk � tk�1)A(�k); (tk�1 � �k � tk)
PRI L@BOM WYBORE RAZLOVENIJ �(a = t0 < t1 < : : : < tn = b), POD^I-
NENNYH USLOWI@ max(tk � tk�1) ! 0 (n ! 1). w \TOM SLU^AE UKAZAN-
NYJ PREDEL NAZYWAETSQ INTEGRALOM rIMANA OT WEKTOR-FUNKCII A I
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
Z b
aA(t) dt. kORREKTNOSTX OPREDELENIQ INTEGRALA
SLEDUET IZ ARGUMENTOW, ISPOLXZOWANNYH W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 46.4).
oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA INTEGRALA (SR. x81).2. nEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ INTEGRIRUEMA.
3. eSLI A : [a; b] ! F INTEGRIRUEMA, A B 2 L(F;G), GDE G | E]�E
ODNO BANAHOWO PROSTRANSTWO, TO BA INTEGRIRUEMA I
Z b
aBA(t) dt = B
Z b
aA(t) dt:
4. eSLI WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRERYWNA, TO
kZ b
aA(t)dtk �
Z b
akA(t)k dt:
5. [fORMULA nX@TONA-lEJBNICA]. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRE-
RYWNO DIFFERENCIRUEMA. tOGDA
Z b
aA0(t) dt = A(b)�A(a):
453
� 2. w SILU POLNOTY PROSTRANSTWA F DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO POSLE-
DOWATELXNOSTX SUMM rIMANA S�k=
nkPj=1
(tj � tj�1)A(�j) FUNDAMENTALXNA.
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I � > 0 TAKOWO, ^TO 8t; s 2 [a; b] (jt � sj <� ) kA(t) � A(s)k < "). wYBEREM TEPERX N 2 N STOLX BOLX[IM, ^TOBY
d(�k) < �=2 (k > N). pUSTX m;k > N I �(a = �0 < �1 < : : : < �n = b) |
RAZLOVENIE, UZLY KOTOROGO QWLQ@TSQ OB_EDINENIEM UZLOW RAZLOVENIJ
�k(a = t0 < t1 < : : : < tnk = b) I �s(a = s0 < s1 < : : : < snm = b):
iMEEM
kS�k� S�mk = k
nkPj=1
(tj � tj�1)A(�j)�nmPi=1
(si � si�1)A(�i)k
= k nPr=1
(�r � �r�1)[A(�rj )�A(�ri )]k;GDE �rj = �j , ESLI [�r�1; �r] � [tj�1; tj], I �ri = �i, ESLI [�r�1; �r] � [si�1; si].tOGDA
j�rj � �ri j � j�rj � �rj+ j�r � �ri j � jtj � tj�1j+ jsi � si�1j < �
WLE^�ET kA(�rj )�A(�ri )k < ", A ZNA^IT,
kS�k� S�mk �
nXr=1
kA(�rj )�A(�ri )k(�r � �r�1) < "(b� a): >
3. tAK KAK LINEJNOE OTOBRAVENIE B NEPRERYWNO, IMEEM DLQ L@BOJ PO-
SLEDOWATELXNOSTI RAZLOVENIJ�(a = t0 < t1 < : : : < tn = b), POD^IN�ENNYH
USLOWI@ max(tk � tk�1)! 0 PRI n!1, I L@BOM WYBORE �k 2 [tk�1; tk]:
B
Z b
aA(t) dt = B(lim
n
nPk=1
(tk � tk�1)A(�k)) = limn
nPk=1
(tk � tk�1)BA(�k)
=
Z b
aBA(t) dt:
4.iZ NEPRERYWNOSTI WEKTOR-FUNKCIIA(t) SLEDUET NEPRERYWNOSTX SKA-
LQRNOJ FUNKCII kA(t)k I, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWOWANIE INTEGRALAZ b
akA(t)k dt. tEPERX
kZ b
aA(t)dtk = k lim
n
nPk=1
(tk � tk�1)A(�k)k = limnk nPk=1
(tk � tk�1)A(�k)k
� limn
nPk=1
kA(�k)k(tk � tk�1) =Z b
akA(t)k dt:
454
5. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. pO USLOWI@ WEKTOR-FUNKCIQ A0(t) NE-PRERYWNA I W SILU P. 2 ONA INTEGRIRUEMA. tOGDA NAJD�ETSQ RAZLOVENIE
�(a = t0 < t1 < : : : < tn = b) TAKOE, ^TO
kZ b
aA0(t) dt�
nXk=1
(tk � tk�1)A0(tk)k < ":
sLEDOWATELXNO,
kZ b
aA0(t)dt � [A(b)�A(a)]k = k
Z b
aA0(t)dt� nP
k=1[A(tk)�A(tk�1)]k
� kZ b
aA0(t) dt� nP
k=1A0(tk)(tk � tk�1)k
+ k nPk=1
[A(tk)�A(tk�1)�A0(tk)(tk � tk�1)]k� "+
nPk=1
kA(tk)�A(tk�1)�A0(tk)(tk � tk�1)k:
pRIMENQQ OCENO^NU@ FORMULU lAGRANVA x258 K FUNKCII B(t) = A(t) +
A0(tk)(tk � t), POLU^IM
kA(tk)�A(tk�1) � A0(tk)(tk � tk�1)k = kB(tk)�B(tk�1)k� (tk � tk�1) sup
�2[tk�1;tk]kA0(�) �A0(tk)k
. iZ RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI WEKTOR-FUNKCII A0(t) SLEDUET, ^TO PRIRAZLOVENIQH � DOSTATO^NO MALOGO DIAMETRA
sup�2[tk�1;tk]
kA0(�) �A0(tk)k < "
b� a(k = 1; : : : ; n):
pO\TOMU kZ b
aA0(t)dt� [A(b)� A(a)]k < 2". iZ PROIZWOLXNOSTI " UTWERV-
DENIE DOKAZANO. >
x260. pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. fORMULA tEJLORA
1. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, U(� E) | OTKRYTO.
pUSTX OTOBRAVENIE A : U ! F DIFFERENCIRUEMO W U , PRI^�EM PROIZ-
WODNOE OTOBRAVENIE A0 : U ! L(E;F ) DIFFERENCIRUEMO W TO^KE
455
x 2 U . tOGDA W SOOTWETSTWII S 256.1 ODNOZNA^NO OPREDELENO OTOBRAVE-
NIE A00(x) 2 L(E;L(E;F )), NAZYWAEMOE 2-J PROIZWODNOJ OTOBRAVENIQ A.
uDOBNO OTOVDESTWLQTX A00(x) S \LEMENTOM PROSTRANSTWA L(E�E;F ) (SM.223.13) KAK 2-LINEJNYM OTOBRAVENIEM, DEJSTWU@]IM PO FORMULE
A00(x)fh; kg � (A00(x)h)k (h; k 2 E):
aNALOGI^NO WWODQTSQ PROIZWODNYE BOLEE WYSOKIH PORQDKOW.
w ZAKL@^ENIE MY PRIWED�EM ANALOG FORMULY tEJLORA, OGRANI^IW[ISX
SLU^AEM OSTATKA W FORME pEANO PRI n = 2, I UKAVEM E�E PRIMENENIE K
NAHOVDENI@ DOSTATO^NYH USLOWIJ LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCIONALA.
2. pUSTX W USLOWIQH P. 1 OTOBRAVENIE A00 OPREDELENO I NEPRERYWNOW U . eSLI fx+ th j 0 � t � 1g � U , TO
A(x+ h) = A(x) +A0(x)h+1
2A00(x)fh; hg+ o(khk2) (h! �):
� tAK KAK A0 DIFFERENCIRUEMO W U , IMEEM
(�) A0(x+ h)�A0(x) = A00(x)h+ o(h) (h! �):
pRIMENQQ FORMULU nX@TONA-lEJBNICA 259.5 K WEKTOR-FUNKCII
t! [A(x+ th)]0 = A0(x+ th)h (0 � t � 1), IMEEM (S U^�ETOM (�))
A(x+ h)�A(x) =
Z 1
0A0(x+ th)h dt
=Z 1
0[A0(x)h+ (A00(x)th)h+ o(th)h] dt
= A0(x)h+ 12A
00(x)fh; hg+ r(h);
GDE r(h) =Z 1
0o(th)hdt. pOKAVEM, ^TO r(h) = o(khk2) (h! �). dLQ PROIZ-
WOLXNOGO " > 0 SU]ESTWUET � > 0 TAKOE, ^TO khk < � WLE^�ETko(h)kkhk < ",
OTKUDA1
khk2 � kZ 1
0o(th)hdtk � 1
khk2 �Z 1
0ko(th)k khk dt < ":
|TO I OZNA^AET, ^TO limh!�
kr(h)kkhk2 = 0: >
456
3. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W BANAHOWOM PROSTRANSTWE E I
FUNKCIONAL � : U ! R IMEET 2-@ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@
�00 : U ! L(E � E;R). eSLI f0 2 U | TO^KA LOKALXNOGO MINIMU-
MA DLQ �, TO �00(f0)fh; hg � 0 (h 2 E). oBRATNO, ESLI �0(f0) = 0 I
�00(f0)fh; hg � Ckhk2 PRI NEKOTOROM C > 0; TO f0 | TO^KA LOKALXNOGO
MINIMUMA DLQ �.
� pUSTX f0 | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA DLQ �. tOGDA �0(f0) = 0 I PO
FORMULE tEJLORA (P. 2)
0 � �(f0 + h)� �(f0) =1
2�00(f0)fh; hg+ o(khk2) (h! �):
wWEDQ ^ISLOWOJ PARAMETR t > 0, POLU^IM OTS@DA
�00(f0)fh; hg = 2
t2[�(f0 + th)� �(f0) + o(kthk2)]:
pEREHODQ ZDESX K PREDELU PRI t! 0, POLU^IM, ^TO �00(f0)fh; hg � 0.
oBRATNO, PUSTX " > 0 TAKOWO, ^TOjo(khk2)jkhk2 < C
4 (khk < "), GDE o(khk2)| OSTATOK W FORMULE tEJLORA (P. 2) DLQ FUNKCIONALA �. tOGDA
�(f0 + h)� �(f0) = 12�
00(f0)fh; hg+ o(khk2)� C
2 khk2 + o(khk2) > C4 khk2 > 0 (khk < ");
^TO I TREBOWALOSX. >
457
pRILOVENIE I.modeli ~islowoj prqmoj
dANNOE PRILOVENIE POSWQ]ENO DETALXNOMU IZLOVENI@ ODNOJ MODELI ^I-
SLOWOJ PRQMOJ. pOPUTNO IZLOVENY NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII OTNO[ENIJ,
POLEZNYE DLQ OSNOWNOGO KURSA. w ZAKL@^ENIE PRIWED�EN \SKIZ MODELI ^ISLO-
WOJ PRQMOJ, PREDLOVENNOJ a. n. kOLMOGOROWYM (uSPEHI MAT. NAUK, 1946, WYP.
1, S. 217-219). |TA MODELX INTERESNA TEM, ^TO DLQ POSTROENIQ DEJSTWITELX-
NYH ^ISEL ISPOLXZU@TSQ TOLXKO NATURALXNYE ^ISLA (A RACIONALXNYE ^ISLA W
KA^ESTWE PROMEVUTO^NOGO [AGA NE WWODQTSQ).
1. pUSTX E | MNOVESTWO. nEPUSTAQ ^ASTX � MNOVESTWA E �E NAZYWAETSQ
(BINARNYM) OTNO[ENIEM W MNOVESTWE E. eSLI (x; y) 2 �, TO GOWORQT, ^TO
\LEMENTY x I y NAHODQTSQ W OTNO[ENII � I PI[UT �(x; y) (SU]ESTWEN PORQDOK
SLEDOWANIQ \LEMENTOW x I y W \TOM OBOZNA^ENII!). pUSTX � | OTNO[ENIE W E.
sMEVNYM KLASSOM \LEMENTA x 2 E NAZYWAETSQ MNOVESTWO �(x) � fy 2 E j
�(y; x)g. ~A]E WSEGO IME@T DELO S OTNO[ENIQMI, OBLADA@]IMI NEKOTORYMI
IZ NIVESLEDU@]IH SWOJSTW:
REFLEKSIWNOSTX: 8x 2 E (�(x; x)),
SIMMETRIQ: �(x; y)) �(y; x),
ANTISIMMETRIQ: \�(x; y); �(y; x)") x = y,
TRANZITIWNOSTX: \�(x; y); �(y; z)") �(x; z).
2. rEFLEKSIWNOE SIMMETRI^NOE TRANZITIWNOE OTNO[ENIE NAZYWAETSQ OTNO-
[ENIEM \KWIWALENTNOSTI.nAM PONADOBITSQ TEOREMA, HARAKTERIZU@]AQ OTNO-
[ENIQ \KWIWALENTNOSTI. ~TOBY E�E SFORMULIROWATX, WWED�EM PONQTIE RAZBIENIQ
MNOVESTWA.
3. sEMEJSTWO (Ai)i2I NEPUSTYH ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ RAZBIENIEM
E, ESLI Ai \ Aj = ; (i 6= j);Si2I
Ai = E.
4. t E O R E M A. kAVDOMU OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI � W MNOVESTWE
E OTWE^AET RAZBIENIE (Ai)i2I MNOVESTWA E TAKOE, ^TO
(1) �(x; y) TTOGDA 9i 2 I (x; y 2 Ai):
oBRATNO, KAVDOMU RAZBIENI@ (Ai)i2I MNOVESTWA E OTWE^AET OTNO[ENIE
\KWIWALENTNOSTI W E, HARAKTERIZUEMOE SWOJSTWOM (1).
� pUSTX � | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI. w SILU REFLEKSIWNOSTI � NI ODIN
IZ SMEVNYH KLASSOW SEMEJSTWA f�(x)gx2E NE PUST. iZ SIMMETRII I TRANZI-
TIWNOSTI � SLEDUET, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH x; y 2 E KLASSY �(x) I �(y) LIBO
458
SOWPADA@T, LIBO NE PERESEKA@TSQ (!!). w KA^ESTWE ISKOMOGO RAZBIENIQ WOZXM�EM
POPARNO RAZLI^NYE SMEVNYE KLASSY SEMEJSTWA f�(x)gx2E. oBRATNOE UTWERV-DENIE O^EWIDNO (!!). >
5. mNOVESTWO, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ POPARNO RAZLI^NYE SMEV-
NYE KLASSY OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI � W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ FAKTOR-
MNOVESTWOM MNOVESTWA E PO OTNO[ENI@ �. oNO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM E=�.
oTOBRAVENIE x! �(x), STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE KAVDOMU \LEMENTU x 2 E EGO
SMEVNYJ KLASS, NAZYWAETSQ KANONI^ESKOJ S@R_EKCIEJ MNOVESTWA E NA E=�.
6. rEFLEKSIWNOE ANTISIMMETRI^NOE TRANZITIWNOE OTNO[ENIE W MNOVESTWE
E NAZYWAETSQ OTNO[ENIEM PORQDKA. mNOVESTWO E, W KOTOROM FIKSIROWANO
NEKOTOROE OTNO[ENIE PORQDKA � NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM. w
\TOM SLU^AE OBY^NO PI[UT x � y WMESTO �(x; y). eSLI x � y I x 6= y, TO PI[UT
x < y. |LEMENTY x; y UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA NAZYWA@TSQ SRAWNIMYMI,
ESLI x � y ILI y � x.pORQDOK WE NAZYWAETSQ SOWER[ENNYM, ESLI WSE \LEMENTY
E POPARNO SRAWNIMY; W \TOM SLU^AE E NAZYWAETSQ SOWER[ENNO UPORQDO^ENNYM.
7. z A M E ^ A N I E. eSLI E SOWER[ENNO UPORQDO^ENO, TO DLQ L@BYH x; y 2 E
IMEET MESTO ODNO IZ TR�EH: x < y; x = y; y < x.
8. pUSTX � | POLE BESKONE^NOJ HARAKTERISTIKI (IZ AKSIOM (I){(III) SLE-
DUET, ^TO IMENNO TAKOWYM DOLVNO BYTX R). w 6.1 BYLO SKAZANO, KAK WOZ-
NIKAET PRI \TOM MNOVESTWO N NATURALXNYH ^ISEL. pODGRUPPU ADDITIWNOJ
GRUPPY KOLXCA �, POROVD�ENNU@ EDINICEJ KOLXCA, OBOZNA^IM ^EREZ Z. o^EWID-
NO, Z= f0; �1; �2; : : :g. mNOVESTWO ZSOWER[ENNO UPORQDO^ENO OTNO[ENIEM:
n �m, ESLI 9p 2 N (m = n+ p� 1).
9. rASSMOTRIM MNOVESTWO E =Z� N, \LEMENTY KOTOROGO USLOWIMSQ ZAPI-
SYWATX W WIDE p=q (p 2 Z; q 2 N). pUSTX �(p=q; p1=q1) OZNA^AET, ^TO pq1 = p1q.
oTNO[ENIE � | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E, A E=� ESTESTWENNO OTOV-
DESTWLQETSQ S MNOVESTWOM Q.
10. mNOVESTWO Q SOWER[ENNO UPORQDO^ENO OTNO[ENIEM: p=q � r=s, ESLI
ps � rq W SMYSLE PORQDKA W Z(ZDESX p; r 2Z; q; s 2 N).
11. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO W UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE OTNO-
[ENIE < TRANZITIWNO.
12. pOD POSLEDOWATELXNOSTX@ W Q MY PONIMAEM, KAK OBY^NO, FUNKCI@
f : N ! Q. pODOBNO TOMU, KAK \TO BYLO SDELANO W RAZDELE \pREDEL ^ISLOWOJ
POSLEDOWATELXNOSTI", MOVNO WWESTI PONQTIE SHODQ]EJSQ (W Q) POSLEDOWATELX-
NOSTI, FUNDAMENTALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI I T. P. w ^ASTNOSTI, POSLEDOWA-
459
TELXNOSTX f : N! Q NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI
8" > 0 (" 2 Q) 9N 2 N 8n > N 8p 2 N (jf(n+ p)� f(n)j < "):
nETRUDNO WIDETX, ^TO FUNDAMENTALXNYMI QWLQ@TSQ WSE SHODQ]IESQ POSLE-
DOWATELXNOSTI. o^ENX SU]ESTWENNO, ^TO OBRATNOE UTWERVDENIE UVE NEWERNO:
SU]ESTWU@T FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI W Q, KOTORYE NE SHODQTSQ
NI K ODNOMU RACIONALXNOMU ^ISLU (SM. NIVE P. 18). dLQ SHODQ]IHSQ POSLEDO-
WATELXNOSTEJ W Q IME@T MESTO OBY^NYE ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA. aNALOGI
\TIH SWOJSTW IME@T MESTO I DLQ FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W Q
(IH DOKAZATELXSTWO QWLQETSQ RUTINNYM POWTORENIEM SOOTWETSTWU@]IH RAS-
SUVDENIJ DLQ OB]IH ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ).
13. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA, TO ONA OGRANI^ENA.
14. eSLI POSLEDOWATELXNOSTI f I g FUNDAMENTALXNY, TO FUNDAMENTALX-
NYMI QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI f � g; f � g.
15. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA I NE SHODITSQ K 0, TO
I POSLEDOWATELXNOSTX 1=f FUNDAMENTALXNA.
16. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, TO
ONA FUNDAMENTALXNA.
17. z A M E ^ A N I E. w \TOM PRILOVENII PRI RASSMOTRENII ^ASTNOGO DWUH
POSLEDOWATELXNOSTEJ f=g NE ISKL@^AETSQ, ^TO g(n) = 0 DLQ NEKOTORYH n. dLQ
TAKIH n RAZRE[AETSQ S^ITATX ^ISLA (f=g)(n) PROIZWOLXNYMI.
18. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f W Q, ZA-
DANNAQ RAWENSTWAMI f(1) = 2; f(n + 1) = 12(f(n) +
2f(n)
) (n � 1), QWLQETSQ
FUNDAMENTALXNOJ, NO NE SHODITSQ K RACIONALXNOMU ^ISLU. fuBEDITESX, ^TO f
NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, U^TITE P. 16 I WOSPOLXZUJTESX ARIFMETI-
^ESKIMI SWOJSTWAMI SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. g
19. pUSTX � | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W
Q. oTNO[ENIE �, ZADANNOE SWOJSTWOM: �(f; g), ESLI (f � g)(n) ! 0 (n ! 1),
| QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI W �. tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY MNO-
VESTWA �=� QWLQ@TSQ POPARNO RAZLI^NYMI KLASSAMI �(f)(f 2 �). w KA^ESTWE
MNOVESTWA R DEJSTWITELXNYH ^ISEL WOZXM�EM FAKTOR-MNOVESTWO �=�. oPREDE-
LIM W �=� OPERACII (+) I (�):
�(f) + �(g) � �(f + g); �(f) � �(g)� �(f � g):
w SILU P. 14 \TI OPREDELENIQ KORREKTNY. sMEVNYJ KLASS, OBRAZOWANNYJ PO-
SLEDOWATELXNOSTQMI, SHODQ]IMISQ K ^ISLU q 2 Q, NAZOW�EM �-RACIONALXNYM
460
^ISLOM I OBOZNA^IM �(q); W \TOT KLASS WHODIT \POSTOQNNAQ" POSLEDOWATELX-
NOSTX (q; q; : : :).
iTAK, OPREDELENO WLOVENIE q ! �(q) MNOVESTWA Q W �=�. |TO WLOVENIE
IN_EKTIWNO (!!).
oPREDELIM W �=� OTNO[ENIE PORQDKA
�(f) � �(g); ESLI 8" > 0 9N 2 N 8n > N (f(n)� g(n) < "):
� uBEDIMSQ, ^TO � ZADA�ET PORQDOK. |TO OTNO[ENIE REFLEKSIWNO I TRANZITIW-
NO (!!). pROWERIM, ^TO ONO ANTISIMMETRI^NO. eSLI �(f) � �(g) I �(g) � �(f),
TO IZ (2) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO UKAZATX N 2 N TAKOE, ^TO
PRI L@BOM n > N f(n) � g(n) < "; g(n) � f(n) < ". sLEDOWATELXNO, PRI
n > N jf(n)� g(n)j < ". tAKIM OBRAZOM, (f � g)(n)! 0 (n!1). pO OPREDE-
LENI@ � OTS@DA SLEDUET, ^TO �(f; g), TO ESTX �(f) = �(g): >
pEREJD�EM TEPERX K PROWERKE AKSIOM DLQ NA[EJ MODELI.
20. nA^N�EM S AKSIOMY (II). oPERACIQ � +� OPREDELQET W �=� STRUKTURU
KOMMUTATIWNOJ GRUPPY (!!). rOLX EDINICY \TOJ GRUPPY (TO ESTX NULQ POLQ)
ISPOLNQET �-RACIONALXNOE ^ISLO �(0). nAPRIMER, DISTRIBUTIWNOSTX � + �
OTNOSITELXNO � � � SLEDUET IZ WYKLADKI
�(f) � [�(g)+ �(h)] = �(f) � �(g+ h) = �(f � (g + h))
= �(f � g + f � h) = �(f � g) + �(f � h)
= �(f)�(g)+ �(f)�(h) (f; g; h 2 �):
~TOBY ZAWER[ITX PROWERKU AKSIOMY (II), OSTALOSX UBEDITXSQ, ^TO NENULEWYE
\LEMENTY �=� OBRATIMY OTNOSITELXNO OPERACII � � �. pUSTX �(f) 6= �(0),
TO ESTX FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX f NE SHODITSQ K 0. w SILU P. 15
g = 1=f 2 �. kROME TOGO, �(f) � �(g) = �(f � (1=f)) = �(1), ^TO I TREBOWALOSX.
21. pEREJD�EM TEPERX K AKSIOME (I). oTMETIM, ^TO W SILU (2) OTNO[ENIE <
W �=� HARAKTERIZUETSQ SWOJSTWOM
(3) �(f) < �(g) TTOGDA 9" > 0 (" 2 Q) 9N 2 N 8n > N (" < g(n)� f(n)):
kROME TOGO,
(4) �(f) < �(g) TTOGDA �(f � g) < �(0):
w SILU PP. 7, 11 AKSIOMY (I1), (I2) SPRAWEDLIWY. w SILU 6.7 AKSIOMU (I3) MOVNO
NE PROWERQTX.
461
22. aKSIOMA (III). pUSTX �(f) < �(0) I h(2 �) PROIZWOLXNO. pUSTX " > 0 I
N 2 N TAKOWO, ^TO
(5) " < �f(n) (n > N):
tOGDA " < h(n)� [f(n)+h(n)] (n > N), TO ESTX �(f)+�(h) = �(f +h) < �(h). s
U^�ETOM (4) OTS@DA SLEDUET SWOJSTWO (III1 ). pUSTX, KROME TOGO, 0 < �(h). tOGDA
SU]ESTWUET q 2 Q (0 < q) I N1 2 N TAKIE, ^TO
(6) q < h(n) (n > N1):
iZ (5) I (6) SLEDUET: q" < �f(n)h(n) (n > N2 = maxfN1; N2g), TO ESTX
�(f) � �(h) < �(0). s U^�ETOM (4) OTS@DA WYTEKAET (III2).
w SILU 6.9 MOVNO NE ZANIMATXSQ PROWERKOJ AKSIOMY (IV).
23. aKSIOMA (V). pUSTX E(� �=�) NE PUSTO I OGRANI^ENO SWERHU. bEZ
OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX (I MY BUDEM S^ITATX), ^TO �(0) �
�(f) (�(f) 2 E).pUSTX F | MNOVESTWO WSEH MAVORANT MNOVESTWA E.pUSTXm0
| NAIBOLX[EE CELOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO �(m0) | NE MAVORANTA
E, TAK ^TO �(m0 + 1) | NAIMENX[EE �-NATURALXNOE ^ISLO IZ F . rASSMOTRIM
10 �-RACIONALXNYH ^ISEL
(7) �(m0:0); �(m0:1); : : : ; �(m0:9)
(NAPRIMER, PRI m0 = 5 WTOROE �-RACIONALXNOE ^ISLO W \TOM RQDU | \TO
�-RACIONALXNOE ^ISLO �(51=10)). pUSTX �(m0:m1) | NAIBOLX[EE IZ TEH �-
RACIONALXNYH ^ISEL RQDA (7), KOTOROE NE WHODIT W F (ZDESX m1 | ODNA IZ
CIFR 0; 1; : : : ; 9). rASSMOTRIM SNOWA 10 �-RACIONALXNYH ^ISEL �(m0:m10); : : : ;
�(m0:m19), I PODOBNO SDELANNOMU WY[E WYBEREM IZ NIH ^ISLO �(m0:m1m2).
pRODOLVAQ \TOT PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX
�(m0); �(m0:m1); �(m0:m1m2); : : :
�-RACIONALXNYH ^ISEL, OBLADA@]IH SWOJSTWAMI:
(8) PRI L@BOM k (= 0; 1; 2; : : :) �-RACIONALXNOE ^ISLO �(m0:m1 : : :mk) | NE
MAVORANTA E,
(9) PRI qk =m0:m1 : : :mk +10�k �-RACIONALXNOE ^ISLO �(qk) | MAVORANTA
E.
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX f W Q, ZADANNU@ RAWENSTWAMI
f(1) =m0; f(2) =m0:m1; f(3) =m0:m1m2; : : :
462
nETRUDNO WIDETX, ^TO f 2 �. dLQ ZAWER[ENIQ PROWERKI AKSIOMY (V) NUVNO
LI[X UBEDITXSQ, ^TO �(f) | ISKOMAQ NAIMENX[AQ MAVORANTA MNOVESTWA E.
iTAK, NUVNO USTANOWITX, ^TO
(A) �(f) 2 F ,
(B) ESLI �(g) | MAVORANTA E, TO �(f) � �(g).
pROWERIM (A). pUSTX, NAPROTIW, �(f) | NE MAVORANTA E. tOGDA 9�(g) 2
E (�(f) < �(g)). sLEDOWATELXNO, SU]ESTWU@T " > 0 (" 2 Q) I N1 2 N TAKIE, ^TO
" < g(n)�m0:m1m2 : : :mn�1(n > N1). pUSTX N2 2 N TAKOE, ^TO 10�N2 < ", I
PUSTX N = maxfN1; N2g. tOGDA DLQ n > N + 1 (SM. (9))
g(n)� qN = g(n)�m0:m1m2 : : :mN � 10�N
= g(n)�m0:m1m2 : : :mn�1 +m0:m1m2 : : :mn�1� m0:m1m2 : : :mN � 10�N
> "+ 0:0 : : :mN+1 : : :mn�1 � 10�N � "� 10�N2 ;
TO ESTX �(qN) < �(g) I ZNA^IT �(qN) | NE MAVORANTA E. |TO PROTIWORE^IT
(9).
pROWERIM (B). pUSTX, NAPROTIW, �(g) | MAVORANTA E, PRI^�EM �(g) < �(f).
tOGDA SU]ESTWU@T " > 0 (" 2 Q) I N1 2 N TAKIE, ^TO " < m0:m1m2 : : :mn�1 �g(n) PRI n > N1. wYBEREM N2 2 N TAKOE, ^TO 10�N2 < ", I PUSTX N =
maxfN1; N2g. tOGDA DLQ n > N + 1
m0:m1m2 : : :mN � g(n) = m0:m1m2 : : :mN �m0:m1m2 : : :mn�1+ m0:m1m2 : : :mn�1 � g(n)> �0:0 : : :mN+1 : : :mn�1 + "
> "� 10�N � " � 10�N2 :
oTS@DA �-RACIONALXNOE ^ISLO �(m0:m1m2 : : :mN) | MAVORANTA E, ^TO PRO-
TIWORE^IT (9). iTAK, MODELX R POSTROENA.
w ZAKL@^ENIE OTMETIM E]�E DWA WAVNYH FAKTA.
24. t E O R E M A [EDINSTWENNOSTI]. pUSTX (R; +; �; �) I (bR; b+; b�; b�) |
DWE MODELI MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL. tOGDA SU]ESTWUET BIEKCIQ
j : R! bRTAKAQ, ^TO DLQ L@BYH �; � 2 R
(A) j(�+ �) = j(�)b+j(�),(B) j(� � �) = j(�)b�j(�),(W) � � � TTOGDA j(�)b�j(�).
463
� iDEQ DOKAZATELXSTWA: W SILU AKSIOMY (II) W KAVDOJ IZ DWUH MODELEJ ESTX
MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL (Q I bQ), PRI^�EM SU]ESTWUET ESTESTWENNAQ BI-EKCIQ j1 : Q! bQ, OBLADA@]AQ SWOJSTWAMI (A) { (W). oSTALOSX PRODOLVITX j1DO BIEKCII j : R! bR S SOHRANENIEM SWOJSTW (A) { (W). mOVNO POKAZATX, ^TO
W AKSIOME (I3) PROMEVUTO^NOE ^ISLO WSEGDA MOVNO WYBRATX RACIONALXNYM
(SM. 6.8). oTS@DA � = supfq 2 Q j q � �g. iSKOMAQ BIEKCIQ j MOVET BYTX
OPREDELENA RAWENSTWOM j(�) = supfj1(q) j q � �g: >
25. t E O R E M A [g. kANTOR]. mNOVESTWO R DEJSTWITELXNYH ^ISEL NE-
S^�ETNO.
� dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO NES^�ETEN OTREZOK [0,1].pUSTX, NAPROTIW, [0; 1] =
f�1; �2; : : :g. rASSMOTRIM TRI OTREZKA [0; 1=3], [1=3; 2=3], [2=3; 1]. pUSTX [a1; b1]
| ODIN IZ NIH, WYBRANNYJ IZ USLOWIQ �1 62 [a1; b1] (�1 NE MOVET, O^EWIDNO,
PRINADLEVATX WSEM TR�EM OTREZKAM). oTREZOK [a1; b1] RAZOBX�EM NA TRI OTREZKA
TAK VE, KAK MY \TO PRODELALI S OTREZKOM [0; 1] I PUSTX [a2; b2] | ODIN IZ TR�EH
PODOTREZKOW OTREZKA [a1; b1], KOTOROMU NE PRINADLEVIT ^ISLO �2. pRODOLVAQ
PROCESS, MY POLU^IM SISTEMU OTREZKOW [a1; b1]; [a2; b2]; : : :, UDOWLETWORQ@]U@
USLOWIQM LEMMY 11.4. pUSTX � | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, PRINADLEVA]EE WSEM
OTREZKAM [an; bn] (n 2 N). |TOGO ^ISLA NET, ODNAKO, SREDI ^LENOW POSLEDOWA-
TELXNOSTI �1; �2; : : : : >
26. pRIWED�EM \SKIZ E]�E ODNOJ MODELI ^ISLOWOJ PRQMOJ, PREDLOVENNOJ
a. n. kOLMOGOROWYM.pROWERKA WSEH AKSIOM PREDLAGAETSQ W KA^ESTWE TEM SAMO-
STOQTELXNYH ISSLEDOWANIJ. bUDEM S^ITATX IZWESTNYMI TOLXKO NEOTRICATELX-
NYE CELYE ^ISLA: N0 = f0gSN = f0; 1; 2; : : :g. eSLI m 2 N0; n 2 N, TO ^EREZ
[mn ] OBOZNA^IM NAIBOLX[EE ^ISLO k 2 N0, DLQ KOTOROGO kn �m.
pUSTX F | MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ f : N! N0. rASSMOTRIM PODMNOVES-
TWO � MNOVESTWA F , SOSTOQ]EE IZ FUNKCIJ ', OBLADA@]IH SWOJSTWAMI:
(10) 8k 2 N
�'(n) =
�'(kn)
k
��;
(11) 8n 2 N 9k 2 N('(kn) > k'(n)) :
pRISOEDINIM K � FUNKCI@ � 2 F ; �(n) = 0 (n 2 N), I OBOZNA^IM �0 = �Sf�g.
zADADIM W �0 OTNO[ENIE PORQDKA SLEDU@]IM OBRAZOM:
' < OZNA^AET, ^TO 9n 2 N ('(n) < (n)) :
zADADIM W �0 OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ RAWENSTWAMI:
('+ )(n) � maxk2N
�'(kn) + (kn)
k
�(n 2 N);
464
(' � )(n) � maxs;k2N
�'(kn) (sn)
nks
�(n 2 N):
zADA^A SOSTOIT W DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO MNOVESTWO �0 OBLADAET WSEMI SWOJ-
STWAMI MNOVESTWA NEOTRICATELXNYH WE]ESTWENNYH ^ISEL.
27. z A M E ^ A N I E. oSNOWNAQ IDEQ PREDLOVENNOJ WY[E MODELI SOSTOIT
W ISPOLXZOWANII \NATURALXNOI^NOJ" SISTEMY PREDSTAWLENIQ DEJSTWITELXNYH
^ISEL (W OTLI^IE OT IZWESTNYH DESQTI^NOJ I DWOI^NOJ SISTEM). iMENNO, NEOT-
RICATELXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO ' HARAKTERIZUETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@
'(n) = maxfk 2 N j k < 'ng (n 2 N). w ^ASTNOSTI, NATURALXNOMU ^ISLU � W
DANNOJ MODELI SOOTWETSTWUET POSLEDOWATELXNOSTX �(n) = �n� 1 (n 2 N).
465
pRILOVENIE II. kompleksnye ~isla
1. rASSMOTRIM MNOVESTWO R2. eGO \LEMENTY z = (x; y), GDE x; y 2 R, BUDEM
ZAPISYWATX W WIDE FORMALXNOJ SUMMY z = x+ iy (ZDESX i QWLQETSQ POKA PROSTO
SIMWOLOM). oPREDELIM NAD \TIMI FORMALXNYMI SUMMAMI OPERACII SLOVENIQ
(+) I UMNOVENIQ (�) RAWENSTWAMI
(1) (x1 + iy1) + (x2 + iy2) � (x1 + x2) + i(y1 + y2),
(x1 + iy1) � (x2 + iy2) � (x1x2 � y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
uKAZANNYE OPERACII OPREDELQ@T W R2 STRUKTURU KOMMUTATIWNOGO KOLXCA S
EDINICEJ (NUL�EM KOLXCA QWLQETSQ \LEMENT 0+ i0, A EDINICEJ | \LEMENT 1+ i0)
(!!). bOLEE TOGO, NENULEWYE \LEMENTY \TOGO KOLXCA OBRAZU@T GRUPPU PO UM-
NOVENI@. fw PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SU]ESTWOWANIE OBRATNOGO U KAVDOGO
\LEMENTA z = x+ iy 6= 0. w \TOM SLU^AE x2+ y2 6= 0 I, KAK POKAZYWAET PROSTOJ
PODS^�ET, ISKOMYM OBRATNYM QWLQETSQ \LEMENT z�1 = xx2 + y2
� iy
x2 + y2.g tA-
KIM OBRAZOM, NA[E KOLXCO QWLQETSQ POLEM. oNO NAZYWAETSQ POLEM KOMPLEKSNYH
^ISEL I OBOZNA^AETSQ ^EREZ C . pOLE WE]ESTWENNYH ^ISEL RMOVNO RASSMATRI-
WATX KAK PODPOLE C , ESLI OTOVDESTWITX ^ISLO x 2 R S ^ISLOM x + i0 2 C .
|LEMENT 0+ i1 NAZYWAETSQ MNIMOJ EDINICEJ (MY PI[EM DALEE i WMESTO 0+ i1).
oTMETIM, ^TO i2 = i � i = (0+ i1)(0 + i1) = �1. s U^ETOM \TOGO ZAME^ANIQ OPE-
RACII (1) PEREHODQT W PRIWY^NYE OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ, DISTRIBU-
TIWNOGO OTNOSITELXNO SLOVENIQ, S ZAMENOJ i2 NA �1. ~ISLO x � iy NAZYWAETSQ
SOPRQV�ENNYM K ^ISLU x + iy I OBOZNA^AETSQ �z.
2. kOMPLEKSNYE ^ISLA ESTESTWENNO IZOBRAVATX TO^KAMI ^ISLOWOJ PLOSKOS-
TI R2 : z = x + iy ! (x; y) 2 R2. pRI \TOM x � Rez NAZYWAETSQ DEJSTWITELX-
NOJ ^ASTX@ ^ISLA z; y � Imz | MNIMOJ ^ASTX@ z (Real | DEJSTWITELXNYJ,
Imaginary | MNIMYJ, ANGL.). w TAKOJ INTERPRETACII POKOORDINATNOE SLOVE-
NIE (1) KOMPLEKSNYH ^ISEL SOOTWETSTWUET PRAWILU SLOVENIQ WEKTOROW. mODU-
LEM KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = x + iy NAZYWAETSQ WELI^INA jzj �px2 + y2. w
SOOTWETSTWII S UKAZANNOJ INTERPRETACIEJ C NAZYWAETSQ TAKVE KOMPLEKSNOJ
PLOSKOSTX@. pEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, ^ISLO z = x+ iy 2 C ZADADIM
KOORDINATAMI (r; '):
x = r cos'; y = r sin';
TAK ^TO z = r(cos' + i sin'). |TO TRIGONOMETRI^ESKAQ FORMA KOMPLEKSNOGO
^ISLA. zDESX r = jzj, A UGOL ' NAZYWAETSQ ARGUMENTOM ^ISLA z. aRGUMENT OPRE-
DELQETSQ S TO^NOSTX@ DO WELI^INY, KRATNOJ 2�. oTMETIM, ^TO PRI UMNOVENII
466
KOMPLEKSNYH ^ISEL IH MODULI PEREMNOVA@TSQ, A ARGUMENTY SKLADYWA@TSQ:
zj = rj(cos'j + i sin'j) (j = 1; 2))
z1z2 = r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 +'2)):
� r1(cos'1 + i sin'1) � r2(cos'2 + i sin'2)
= r1r2(cos'1 cos'2 � sin'1 sin'2) + i(sin'1 cos'2 + cos'1 sin'2)
= r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 +'2)): >
3. nA KOMPLEKSNYE ^ISLA PERENOSITSQ PONQTIE PREDELA POSLEDOWATELXNOS-
TI. pO OPREDELENI@ z0 = limnzn (ILI zn ! z0), ESLI
8" > 0 9N 8n > N (jzn � z0j < "):
pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN. pOSLEDOWATELXNOSTX (zn) KOMPLEKSNYH
^ISEL NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI 9M > 0 8n 2 N (jznj �M). wSQKAQ SHODQ-
]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA. iME@T MESTO ANALOGI ARIFMETI^ESKIH
SWOJSTW PREDELA (SM. 10.7). sOOTWETSTWU@]IE DOKAZATELXSTWA BEZ IZMENENIQ
PERENOSQTSQ NA SLU^AJ KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ.
4. [tEOREMA wEJER[TRASSA]. kAVDAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX
KOMPLEKSNYH ^ISEL OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
� pUSTX zn = xn + iyn | OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W C . pOSLEDOWA-
TELXNOSTI (xn) ; (yn) W R OGRANI^ENY W SILU OCENOK
(2) jxnj; jynj �qx2n + y2n = jznj:
pO TEOREME wEJER[TRASSA DLQ RPOSLEDOWATELXNOSTX (xn) OBLADAET SHODQ]EJSQ
PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: xnk ! x0. pOSLEDOWATELXNOSTX (ynk), BUDU^I OGRA-
NI^ENNOJ, TAKVE OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: ynkj ! y0
(j ! +1). tOGDA znkj ! z0 = x0 + iy0 (j ! +1): >
5. pOSLEDOWATELXNOSTX zn 2 C NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI
8" > 0 9N 8n;m > N (jzn � zmj < "):
iMEET MESTO KRITERIJ kO[I: POSLEDOWATELXNOSTX (zn) W C FUNDAMENTALXNA
TTOGDA ONA SHODITSQ.
� w SILU NERAWENSTW (2) IZ FUNDAMENTALXNOSTI zn = xn + iyn SLEDUET FUNDA-
MENTALXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTEJ DEJSTWITELXNYH ^ISEL (xn); (yn). w SILU
467
KRITERIQ kO[I DLQ R SU]ESTWU@T x0 = limnxn; y0 = lim
nyn. sLEDOWATELXNO,
zn ! z0 = x0 + iy0: >
6. rQDOM W C NAZOW�EM FORMALXNU@ SUMMU
(3) z1 + z2 + : : : (zk 2 C ):
rQD (3) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO ^AST-
NYH SUMM sn � z1 + : : :+ zn; PRI \TOM1Pk=1
zk = limnsn. dLQ RQDOW W C OSTA@TSQ
SPRAWEDLIWYMI UTWERVDENIQ 13.3 I 13.5. rQD (3) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ AB-
SOL@TNO, ESLI SHODITSQ RQD1Pk=1
jzkj. iZ KRITERIQ kO[I SLEDUET, ^TO WSQKIJ
ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ RQD SHODITSQ.
468
pRILOVENIE III. porqdkowye struktury
1. pUSTX (E;�)| UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO (SM. PRIL. I.6). |LEMENT a 2 E
NAZYWAETSQ MAVORANTOJ (MINORANTOJ) MNOVESTWA X , ESLI 8x 2 X (x � a)
(SOOTWETSTWENNO 8x 2 X (a � x)). |LEMENT a 2 E NAZYWAETSQ WERHNEJ (NIVNEJ)
GRANX@ X , ESLI a | NAIMENX[IJ (SOOTWETSTWENNO NAIBOLX[IJ) \LEMENT MNO-
VESTWA WSEH MAVORANT (SOOTWETSTWENNO MINORANT) X ; PI[UT a = supX (SO-
OTWETSTWENNO a = inf X). |LEMENT a 2 X(� E) NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM
(MINIMALXNYM) \LEMENTOM X , ESLI 8x 2 X (a � x ) a = x) (SOOTWETSTWENNO
8x 2 X (x � a) a = x)).
uPORQDO^ENNOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ INDUKTIWNYM, ESLI WSQKAQ SOWER-
[ENNO UPORQDO^ENNAQ EGO ^ASTX OBLADAET MAVORANTOJ.
2. p R I M E R. mNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E, UPORQDO^ENNOE
PO WKL@^ENI@, INDUKTIWNO.
3. sOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO E NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO-
^ENNYM (A PORQDOK W E NAZYWAETSQ POLNYM), ESLI KAVDAQ NEPUSTAQ ^ASTX E
OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM.
p R I M E R Y. 4. mNOVESTWO N WPOLNE UPORQDO^ENO.
5. mNOVESTWO R (S ESTESTWENNYM PORQDKOM) NE QWLQETSQ WPOLNE UPORQDO-
^ENNYM.
6. pUSTX (Ei)i2I | SEMEJSTWO MNOVESTW. dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM MNO-
VESTW Ei NAZYWAETSQ MNOVESTWOQi2I
Ei, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ WSEWOZ-
MOVNYE, UPORQDO^ENNYE INDEKSOM i, NABORY (xi)i2I , GDE xi 2 Ei. w ^ASTNOSTI,
ESLI Ei = E (i 2 I), TOQi2I
Ei OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM EI . qSNO, ^TO ESLI ODNO
IZ MNOVESTW Ei PUSTO, TOQi2I
Ei = ;. kAVETSQ STOLX VE QSNYM, ^TO ESLI WSE
Ei 6= ;, TOQi2I
Ei 6= ;. dEJSTWITELXNO, WYBRAW W KAVDOM Ei PO ODNOMU \LEMENTU
xi (\TO MOVNO SDELATX, TAK KAKEi 6= ; (i 2 I)), POLU^IM \LEMENT (xi)i2I 2Qi2I
Ei.
oDNAKO, QSNOSTX PROPADAET, ESLI NALOVITX NA \WYBOR" RAZUMNOE TREBOWANIE
SU]ESTWOWANIQ PRAWILA, RUKOWODSTWUQSX KOTORYM KAVDYJ IZ NAS WYBIRAL BY
ODNI I TE VE \LEMENTY xi 2 Ei. sU]ESTWOWANIE TAKOGO PRAWILA UTWERVDAETSQ
W SLEDU@]EJ AKSIOME:
7. [aKSIOMA WYBORA]. eSLI (Ai)i2I | SEMEJSTWO NEPUSTYH ^ASTEJ MNO-
VESTWA E, TO SU]ESTWUET PRAWILO, PO KOTOROMU KAVDOMU MNOVESTWU AiSOPOSTAWLQETSQ NEKOTORYJ \LEMENT xi 2 Ai.
|TO PRAWILO NAZOW�EM FUNKCIEJ WYBORA DLQ SEMEJSTWA (Ai)i2I .
469
8. u P R A V N E N I E. pROWERITX SPRAWEDLIWOSTX AKSIOMY WYBORA DLQ
PODMNOVESTW (Ai)i2I MNOVESTWA N NATURALXNYH ^ISEL (UKAZATX PRAWILO, FI-
GURIRU@]EE W AKSIOME WYBORA).
9. t E O R E M A [e. cERMELO]. wSQKOE MNOVESTWO MOVET BYTX WPOLNE
UPORQDO^ENO.
� pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA
WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E. nEPUSTOE PODMNOVESTWO X MNO-
VESTWA E NAZOW�EM f -MNOVESTWOM, ESLI W X MOVNO WWESTI STRUKTURU WPOLNE
UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, PRI^�EM
8x 2 X (x = f(En(�; x))); GDE (�; x)� fy 2 X j y < xg:
f -MNOVESTWA SU]ESTWU@T: NAPRIMER, TAKOWYM QWLQETSQ ODNO\LEMENTNOE MNO-
VESTWO ff(E)g.
dOKAZATELXSTWO PROWEDEM W NESKOLXKO \TAPOW:
(i). uSTANOWIM, ^TO ESLI X; Y | RAZLI^NYE f -MNOVESTWA I X � Y , TO
9b 2 Y (X = (�; b)).
dEJSTWITELXNO, PUSTX b | NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA Y nX . tOGDA
X � (�; b).eSLI DOPUSTITX, ^TO X 6= (�; b), TO OPREDEL�EN NAIMENX[IJ \LEMENT
a MNOVESTWA (�; b)nX; a < b, TAK KAK a 2 Y nX , ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@
\LEMENTA b. iTAK X = (�; b), I (i) USTANOWLENO.
(ii). eSLI X; Y | f -MNOVESTWA TO X � Y ILI Y � X .
eSLI, NAPROTIW, X 6� Y I Y 6� X , TO Y nX 6= ;; XnY 6= ; I SU]ESTWU@T:
a | NAIMENX[IJ (W X) \LEMENT MNOVESTWA XnY ,
b | NAIMENX[IJ (W Y ) \LEMENT MNOVESTWA Y nX .
oTMETIM, ^TO X\Y 6= ; (NAPRIMER, f(E) 2 X\Y ), I SPRAWEDLIWY RAWENSTWA:
X \ Y = (�; a) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE X),
X \ Y = (�; b) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE Y ).
fdEJSTWITELXNO, ESLI z 2 X \ Y , TO PO OPREDELENI@ \LEMENTOW a I b : z < a
(W X), z < b (W Y ). oBRATNO, ESLI, NAPRIMER, z 2 X; z < a, TO z 2 Y , TAK
KAK INA^E z 2 XnY I ZNA^IT z � a | PROTIWORE^IE. iTAK, X \ Y = (�; a).
aNALOGI^NO, X \ Y = (�; b).g
tEPERX PO OPREDELENI@ f -MNOVESTW:
a = f(En(�; a)) = f(En(X \ Y )) = f(En(�; b)) = b
| PROTIWORE^IE.
470
(iii). pUSTX (X�) | SEMEJSTWO WSEH f -MNOVESTW I Z =SX� | IH OB_EDI-
NENIE. w SILU (ii) W Z KORREKTNO OPREDELENA STRUKTURA SOWER[ENNO UPORQDO-
^ENNOGO MNOVESTWA (x � y W Z OZNA^AET, ^TO x � y W PODHODQ]EM f -MNOVESTWE
X�).
(iv). mNOVESTWO Z QWLQETSQ f -MNOVESTWOM.
dEJSTWITELXNO, WO-PERWYH, 8x 2 Z 9� (x 2 X�) ) x = f(En(�; x)), TAK
KAK X� f -MNOVESTWO, A W SILU (iii) PROMEVUTOK (�; x) W X� SOWPADAET S PROME-
VUTKOM (�; x) W Z.
wO-WTORYH, Z QWLQETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM. dEJSTWITELX-
NO, PUSTX X | NEPUSTOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA Z. ~TOBY POKAZATX ^TO X
OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM, WWED�EM \LEMENTY a� | NAIMENX[IE \LE-
MENTY MNOVESTW X \X� (W SLU^AE, ESLI X \X� 6= ; ). dOSTATO^NO POKAZATX,
^TO NAIMENX[IM \LEMENTOM OBLADAET (SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE) MNOVESTWO
(a�). zAFIKSIRUEM \LEMENT a�0 . eSLI a�0 | NE NAIMENX[IJ \LEMENT SEMEJ-
STWA (a�), TO NAJD�ETSQ INDEKS � TAKOJ, ^TO a� < a�0 , A ZNA^IT X�nX�0 6= ;.
w SILU (ii) X�0 � X�, A TEPERX W SILU (i) 9b 2 Z (X�0 = (�; b)). pO\TOMU
fa� j a� < a�0g � X�0 . tAK KAK X�0 WPOLNE UPORQDO^ENO, (a�) OBLADAET NAI-
MENX[IM \LEMENTOM.
(v). pO POSTROENI@ Z QWLQETSQ NAIBOLX[IM (OTNOSITELXNO PORQDKA, OPRE-
DELQEMOGO WKL@^ENIEM) f -MNOVESTWOM W E.
(vi). uSTANOWIM W ZAKL@^ENIE, ^TO Z = E. (|TO ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO
TEOREMY.)
pUSTX, NAPROTIW, EnZ 6= ; I a = f(EnZ) 2 EnZ). oPREDELIM OTNO[ENIE
PORQDKA �0 W MNOVESTWE Z [ fag SLEDU@]IM OBRAZOM:
x �0 y, ESLI x; y 2 Z I x � y,
8x 2 Z (x �0 a).
tOGDA Z [ fag WPOLNE UPORQDO^ENO. pRI \TOM Z = (�; a) I
f(En(�; a)) = f(EnZ) = a:
iTAK, Z [ fag | f -MNOVESTWO. |TO, ODNAKO, PROTIWORE^IT TOMU, ^TO Z |
NAIBOLX[EE f -MNOVESTWO. >
10. s PONQTIEM POLNOGO PORQDKA SWQZANO SLEDU@]EE OBOB]ENIE IZWESTNOGO
PRINCIPA MATEMATI^ESKOJ INDUKCII.
[pRINCIP TRANSFINITNOJ INDUKCII]. pUSTX (E;�)| WPOLNE UPORQDO^EN-
NOE MNOVESTWO, I EGO PODMNOVESTWO A OBLADAET SWOJSTWAMI:
(1) NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA E PRINADLEVIT A,
471
(2) DLQ PROIZWOLXNOGO x 2 E IZ PRINADLEVNOSTI MNOVESTWU A KAVDOGO
\LEMENTA y < x SLEDUET, ^TO x 2 A.
tOGDA A=E.
� pUSTX, NAPROTIW, Ac 6= ;, I b | NAIMENX[IJ \LEMENT Ac. tOGDA 8y < b (y 2
A) I IZ (2) SLEDUET, ^TO b 2 A | PROTIWORE^IE. >
zAMETIM, ^TO ESLI W MNOVESTWE UVE ZADAN NEKOTORYJ PORQDOK, TO SU]ESTWU-
@]IJ PO TEOREME cERMELO POLNYJ PORQDOK S ISHODNYM, WOOB]E GOWORQ, NIKAK
NE SWQZAN. pO\TOMU W PRILOVENIQH ^A]E ISPOLXZU@T NE TEOREMU cERMELO, A
SLEDU@]EE EE WAVNOE SLEDSTWIE.
11. t E O R E M A [m. cORN]. wSQKOE INDUKTIWNOE MNOVESTWO OBLADAET
MAKSIMALXNYM \LEMENTOM.
� pUSTX (E;�) INDUKTIWNO I �� | POLNYJ PORQDOK W E, SU]ESTWU@]IJ PO
TEOREME cERMELO, a| NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO �� ) \LEMENT W E.pOSTROIMINDUKTIWNO MNOVESTWO D.
(1) \LEMENT a OTNES�EM W MNOVESTWO D,
(2) ESLI x 2 E I WSE \LEMENTY y <� x UVE RASKLASSIFICIROWANY (TO ESTX
OTNESENY W D ILI W Dc ), TO PO OPREDELENI@ x 2 D, ESLI x SRAWNIM (OTNOSI-
TELXNO � ) SO WSEMI \LEMENTAMI MNOVESTWA fz 2 D j z <� xg, I x 62 D | W
PROTIWNOM SLU^AE.
iZ PRINCIPA TRANSFINITNOJ INDUKCII SLEDUET, ^TO UKAZANNYMI USLOWI-
QMI MNOVESTWO D KORREKTNO ZADANO, TO ESTX KAVDYJ \LEMENT x 2 E LIBO
OTNES�EN W D, LIBO OTNES�EN W Dc. pO POSTROENI@ MNOVESTWO D SOWER[ENNO
UPORQDO^ENO (OTNOSITELXNO �), PRI^�EM
(1) 8y 2 Dc 9z 2 D (y NE SRAWNIM S z OTNOSITELXNO �):
fw SAMOM DELE, ESLI (1) NE WYPOLNENO, TO
X � fy 2 Dc j 8z 2 D (y SRAWNIM S z OTNOSITELXNO �)g 6= ;:
pUSTX y0 | NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO ��) \LEMENT MNOVESTWA X . tOGDA SO-
GLASNO KONSTRUKCII D (SM. (2)) y0 2 D | PROTIWORE^IE.g
tAK KAK E INDUKTIWNO, MNOVESTWO D OBLADAET MAVORANTOJ b. |TO IS-
KOMYJ MAKSIMALXNYJ \LEMENT E. (eSLI, NAPROTIW, SU]ESTWUET c > b, TO
8z 2 D (z < c), TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, c SRAWNIM (OTNOSITELXNO � ) SO WSE-
MI \LEMENTAMI MNOVESTWA D. pO\TOMU (SM. (1)) c 2 D I, SLEDOWATELXNO, c � b
| PROTIWORE^IE.) >
472
tEOREMA cORNA BYLA POLU^ENA KAK SLEDSTWIE AKSIOMY WYBORA. nA SAMOM
DELE \TI DWA UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY:
12. uTWERVDENIE TEOREMY cORNA \KWIWALENTNO AKSIOME WYBORA.
� pOKAVEM, ^TO IZ UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA SLEDUET AKSIOMA WYBORA.
pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I A | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO EGO NE-
PUSTYH PODMNOVESTW. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO 9f : A! E 8a 2 A (f(a) 2 a).
mY DOKAVEM UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ A = A(E) � P(E)nf;g. tOGDA ISKOMAQ
FUNKCIQ POLU^ITSQ KAK OGRANI^ENIE POSTROENNOJ FUNKCII WYBORA NA A .
pUSTX Z | SEMEJSTWO WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E, OBLADA@-
]IH NUVNYM NAM SWOJSTWOM:
8X 2 Z 9fX : A(X)! X 8a 2 A(X) (fX(a) 2 a):
sEMEJSTWO Z 6= ; (ONO SODERVIT ODNO\LEMENTNYE PODMNOVESTWA MNOVESTWA
E). pUSTX � | SEMEJSTWO WSEH FUNKCIJ WYBORA, UDOWLETWORQ@]IH (2). bUDEM
S^ITATX, ^TO fX � gY (fX ; gY 2 �), ESLI X � Y I 8Z � X (fX(Z) = gY (Z)).
tOGDA � | OTNO[ENIE PORQDKA W � (!!). uBEDIMSQ, ^TO � INDUKTIWNO. pUSTX
(fXi)i2I | SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE PODMNOVESTWO �. tOGDA FUNKCIQ fX ,
OPREDEL�ENNAQ DLQ MNOVESTWA X =Si2I
Xi RAWENSTWOM
fX(a) = fXi(a); ESLI a 2 A(Xi);
QWLQETSQ MAVORANTOJ �. tEPERX W SILU UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA � OBLA-
DAET MAKSIMALXNYM \LEMENTOM fA. oSTALOSX LI[X USTANOWITX, ^TO A = E.
pUSTX, NAPROTIW, 9x 2 EnA. rASSMOTRIM MNOVESTWO X � A[fxg I OPREDELIM
FUNKCI@ f : A(X)! X RAWENSTWOM:
f(Y ) =
�fA(Y ); ESLI x 62 Y ,
fxg; ESLI x 2 Y .
f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA A(X), PRI^�EM f j A(A) = fA. iTAK, fA < f ,
^TO PROTIWORE^IT MAKSIMALXNOSTI fA: >
13. ~ASTO WSTRE^A@TSQ SITUACII, KOGDA PRIHODITSQ SRAWNIWATX MNOVESTWA
PO KOLI^ESTWU \LEMENTOW W NIH SODERVA]IHSQ.dLQ DWUH MNOVESTW E I F BUDEM
PISATX CardE � CardF (SOOTWETSTWENNO CardE > CardF ), ESLI SU]ESTWUET
IN_EKCIQ f : F ! E (SOOTWETSTWENNO SU]ESTWUET IN_EKCIQ f : F ! E, NO
NE SU]ESTWUET IN_EKCII IZ E W F ). sLEDU@]EE UTWERVDENIE GLASIT, ^TO DLQ
DWUH MNOVESTW IMEET MESTO ODNO IZ TR�EH: LIBO CardE > CardF , LIBO CardF >
CardE, LIBO E I F RAWNOMO]NY (W \TOM SLU^AE PI[EM CardE = CardF ):
473
14. u P R A V N E N I E. pUSTX E I F | DWA MNOVESTWA, PRI^�EM SU]ESTWU@T
IN_EKCII f : E ! F I g : F ! E. tOGDA E I F RAWNOMO]NY. fuKAZANIE:
RASSMOTRETX MNOVESTWO A �1Sn=0
An, GDE A0 = Eng(F ); An � g � f(An�1) (n 2
N). uBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVENIE
h(x) �
�f(x); ESLI x 2 A,
g�1(x); ESLI x 2 EnA
QWLQETSQ BIEKCIEJ E NA F .g
15. pO OPREDELENI@ CardE = n (n 2 f0g [ N) OZNA^AET, ^TO E | KONE^NOE
MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ n \LEMENTOW; CardE = @0 (SOOTWETSTWENNO CardE �
@0) OZNA^AET, ^TO E S^�ETNO (SOOTWETSTWENNO NE BOLEE ^EM S^�ETNO); CardE > @0OZNA^AET, ^TO E NES^�ETNO.
16. u P R A V N E N I E. pUSTX Card E > @0, Card F � @0 I F � E. tOGDA
Card(EnF ) = CardE.
17. pUSTX Card I; CardJ � @0; J =Si2I
Ji I PRI KAVDOM i 2 I Card Ji � @0.
tOGDA CardJ � Card I .
� pUSTX �| POLNYJ PORQDOK W I . wOSPOLXZUEMSQ TRANSFINITNOJ INDUKCIEJ.
pUSTX i0 = inf I . pOSTROIM IN_EKCI@ 0 : Ji0 ! I TAK, ^TOBY In 0(Ji0) BYLO
RAWNOMO]NO I . pUSTX DLQ � 2 I UVE POSTROENA IN_EKCIQ �� :Si<�
Ji ! I ,
PRI^�EM In �� (Si<�
Ji) RAWNOMO]NO I . wOZMOVNY DWA SLU^AQ:
1) J� �Si<�
Ji. pOLOVIM � � �� ; TOGDA � | IN_EKCIQ IZSi��
Ji W I (PRI
\TOM In �(Si��
Ji) RAWNOMO]NO I),
2) J� 6�Si<�
Ji. tAK KAK J� S^�ETNO, OPREDELIM IN_EKCI@
'� : J�n[i<�
Ji ! In �� ([i<�
Ji):
zATEM OPREDELIM IN_EKCI@ � :Si��
Ji ! I , POLAGAQ � jSi<�
Ji � �� ,
� j J�nSi<�
Ji � '�. pRI \TOM In �(Si��
Ji) RAWNOMO]NO I . tEPERX OTOBRAVE-
NIE :Si2I
Ji ! I , OPREDEL�ENNOE RAWENSTWOM (j) � �(j), GDE � = minfi 2 I j
j 2 Jig, QWLQETSQ ISKOMOJ IN_EKCIEJ IZ J W I .
474
pRILOVENIE IV.differencialxnye formy
i teorema stoksa
pRILOVENIE SODERVIT KRATKOE WWEDENIE W TEORI@ DIFFERENCIALXNYH FORM,
ONO ZAWER[AETSQ WYWODOM OB]EJ FORMULY sTOKSA DLQ CEPEJ. eGO MOVNO RAS-
SMATRIWATX KAK \SKIZ SOWREMENNOGO IZLOVENIQ RAZDELA \|LEMENTY INTEGRI-
ROWANIQ PO MNOGOOBRAZIQM".
k-LINEJNYE FORMY
1. oTOBRAVENIE f : Rn� : : :�Rn ! R (GDE Rn� : : :�Rn = Rnk) NAZYWAETSQ
k-LINEJNOJ FORMOJ NA Rn, ESLI PRI PROIZWOLXNYH as 2 Rn (s = 1; : : : ; j � 1;
j + 1; : : : ; k) OTOBRAVENIE
x! f(a1; : : : ; aj�1; x; aj+1; : : : ; ak)
LINEJNO PRI L@BOM j (1 � j � k).
2. z A M E ^ A N I E. iZ OB]EGO WIDA LINEJNOJ FORMY W Rn (SM. 72.1{2)
SLEDUET, ^TO KAVDAQ k-LINEJNAQ FORMA PREDSTAWIMA W WIDE
(1) f(x1; : : : ; xk) =X
i1;:::;ik
ci1:::ikxi11 : : :x
ikk ;
GDE x�� | �-Q KOORDINATA WEKTORA x� W EGO RAZLOVENII PO STANDARTNOMU BAZISU
e1; : : : ; en, A ci1:::ik | KONSTANTY, ODNOZNA^NO OPREDELQEMYE FORMOJ f (1 � is �
n; 1 � s � k).
� dEJSTWITELXNO, PODSTAWLQQ WYRAVENIQ x� =Px��e� (� = 1; : : : ; k) W LEWU@
^ASTX (1) I POLXZUQSX LINEJNOSTX@ f PO KAVDOMU ARGUMENTU, POLU^IM PRAWU@
^ASTX (1), GDE ci1:::ik = f(ei1 ; : : : ; eik): >
3. w MNOVESTWE WSEH k-LINEJNYH FORM NA Rn ESTESTWENNO WWODITSQ STRUK-
TURA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. oNO OBOZNA^AETSQ T k(Rn) ILI T k; k-LINEJNYE
FORMY, KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA T k, NAZYWA@TSQ TAKVE KOWARIANTNYMI
k-TENZORAMI. w ^ASTNOSTI, LINEJNYE FORMY, KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA T 1 =
L(Rn;R) NAZYWA@TSQ KOWEKTORAMI.
wNE[NIE FORMY
4. k-LINEJNAQ FORMA f NA Rn NAZYWAETSQ WNE[NEJ, ESLI
f(x�(1); : : : ; x�(k)) = "(�)f(x1; : : : ; xk);
475
GDE "(�) (= �1) | SIGNATURA PERESTANOWKI � =
�1 : : : k
�(1) : : : �(k)
�. wSQKAQ
LINEJNAQ FORMA NA Rn | 1-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA.
5. z A M E ^ A N I E. eSLI f | WNE[NQQ FORMA I xi = xj DLQ NEKOTORYH
INDEKSOW i I j (i 6= j), TO f(x1; : : : ; xk) = 0.
6. pUSTX u1; : : : ; uk | LINEJNYE FORMY NA Rn. wNE[NIM PROIZWEDENIEM
\TIH FORM (W UKAZANNOM PORQDKE) NAZYWAETSQ WNE[NQQ k-LINEJNAQ FORMA NA
Rn, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM
u1 ^ : : :^ uk(x1; : : : ; xk) = det[ui(xj)]:
7. pUSTX y1; : : : ; yn | BAZIS W Rn. bAZIS f1; : : : ; fn W L(Rn;R) NAZOW�EM DU-
ALXNYM K BAZISU y1; : : : ; yn, ESLI fi(yj) = �ij (1 � i; j � n). w ^ASTNOSTI, DLQ
STANDARTNOGO BAZISA e1; : : : ; en DUALXNYJ BAZIS OBRAZUET SISTEMA dx1; : : : ; dxn
DIFFERENCIALOW NEZAWISIMYH PEREMENNYH xi.
8. wSQKAQ WNE[NQQ k-LINEJNAQ FORMA NA Rn PREDSTAWIMA W WIDE
f =�Xci1:::ikdx
i1 ^ : : :^ dxik �X
i1<:::<ik
ci1:::ikdxi1 ^ : : :^ dxik :
� pREDSTAWIM f W WIDE (1). w \TOM PREDSTAWLENII xjs = dxj(xs). tAK KAK f
WNE[NQQ, IMEEM
(2) ci�(1):::i�(k) = "(�)ci1:::ik :
(oBRATNO, IZ (2) SLEDUET, ^TO f WNE[NQQ.) gRUPPIRUQ ^LENY, OTLI^A@]IESQ
PERESTANOWKOJ INDEKSOW, IMEEM
f(x1; : : : ; xk) =�Pci1:::ik(
P�"(�)xi1�(1) : : :x
ik�(k))
=�Pci1:::ik det[dx
im(xj)]
= (�Pci1:::ikdx
i1 ^ : : :^ dxik)(x1; : : : ; xk): >
oTMETIM SPECIALXNYE SLU^AI WNE[NIH FORM.
9. eSLI k > n, TO WSQKAQ k-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA Rn NULEWAQ.
� w PREDSTAWLENII P. 8 W \TOM SLU^AE SREDI KAVDOGO NABORA INDEKSOW i1; : : : ; ikOBQZATELXNO NAJDETSQ PARA ODINAKOWYH. w SILU P. 5 POLU^AEM TREBUEMOE. >
10. wSQKAQ n-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA Rn PREDSTAWIMA W WIDE
f = �dx1 ^ : : :^ dxn; � 2 R.
476
uMNOVENIE WNE[NIH FORM
11. w MNOVESTWE �k(Rn) WSEH k-LINEJNYH WNE[NIH FORM NA Rn ESTESTWEN-
NO WWODITSQ STRUKTURA WE]ESTWENNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. oPREDELIM
E]�E ODNU WAVNU@ OPERACI@ NAD WNE[NIMI FORMAMI, NAZYWAEMU@ WNE[NIM
UMNOVENIEM. pUSTX f 2 �k(Rn); g 2 �s(Rn) I
f =�Xci1:::ikdx
i1 ^ : : :^ dxik ; g =�Xdj1:::jsdx
j1 ^ : : :^ dxjs
| IH KANONI^ESKIE PREDSTAWLENIQ. wNE[NIM PROIZWEDENIEM FORM f I g NA-
ZYWAETSQ FORMA f ^ g 2 �k+s(Rn), OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM
f ^ g �X
i1<:::<ikj1<:::<js
ci1:::ikdj1:::jsdxi1 ^ : : :^ dxik ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs:
oTMETIM SWOJSTWA OPERACII UMNOVENIQ FORM.
12. (�f)^ g = f ^ (�g) = �(f ^ g); � 2 R,
13. (f + g) ^ h = f ^ h + g ^ h,
14. f ^ g = (�1)ksg ^ f ,
15. (f ^ g)^ h = f ^ (g ^ h).
� p.12,13 O^EWIDNY, PP. 14,15 DOSTATO^NO PROWERITX DLQ \BAZISNYH" FORM
f = dxi1^ : : :^dxik ; g = dxj1 ^ : : :^dxjs; h = dx`1 ^ : : :^dx`t (i1 < : : : < ik; j1 <
: : : < js; `1 < : : : < `t). s U^�ETOM P. 6 IMEEM
(f ^ g)^ h = (dxi1 ^ : : :^ dxik ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs)(dx`1 ^ : : :^ dx`t)
= ("dxm1 ^ : : : dxmk+s)(dx`1 : : :^ dx`t)
= dxi1 ^ : : :^ dxik ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs ^ dx`1 ^ : : :^ dx`t
= f ^ (g ^ h);
GDE " | SIGNATURA PERESTANOWKI�i1 : : : ik j1 : : : jsm1 : : : mk mk+1 : : : mk+s
�;
W KOTOROJ m1; m2; : : : ; mk+s | INDEKSY NABOROW fi1; : : : ; ikg; fj1; : : : ; jsg WZQ-
TYE W PORQDKE WOZRASTANIQ. iTAK, P. 15 DOKAZAN. sIGNATURA PERESTANOWKI�i1 : : : ik j1 : : : jsj1 : : : js i1 : : : ik
�RAWNA (�1)ks I P. 14 USTANOWLEN.>
477
zAMENA PEREMENNYH WO WNE[NIH FORMAH
16. pUSTX : Rm ! Rn | LINEJNOE OTOBRAVENIE I f | WNE[NQQ
k-LINEJNAQ FORMA NA Rn. tOGDA RAWENSTWO
� f(x1; : : : ; xk) � f( (x1); : : : ; (xk)); xj 2 Rm (1 � j � k);
OPREDELQET FORMU � f 2 �k(Rm).
� dLQ L@BOJ PERESTANOWKI � =
�1 : : : k
�(1) : : : �(k)
�IMEEM
� f(x�(1); : : : ; x�(k)) = f( (x�(1)); : : : ; (x�(k)))
= "(�)f( (x1); : : : ; (xk))
= "(�) � f(x1; : : : ; xk): >
17. u P R A V N E N I E. dOKAZATX RAWENSTWO � (f ^ g) = ( � f) ^ ( � g).
fpOKAVITE SNA^ALA, ^TO � (dxi1 ^ : : :^ dxik) = ( � dxi1) ^ : : :^ ( � dxik).g
dIFFERENCIALXNYE FORMY
18. kASATELXNYM PROSTRANSTWOM K EWKLIDOWU PROSTRANSTWU Rn W TO^KE
x 2 Rn NAZOW�EM PROSTRANSTWO Rn, WSE TO^KI KOTOROGO \OTME^ENY" INDEKSOM x.
bUDEM OBOZNA^ATX KASATELXNOE PROSTRANSTWO SIMWOLOM Rnx: KAVDOMU WEKTORU
u 2 Rn SOPOSTAWLQETSQ WEKTOR ux 2 Rnx | TOT VE WEKTOR u, OTME^ENNYJ TO^-
KOJ x. gOWORQT, ^TO ux | WEKTOR u, PRILOVENNYJ K TO^KE x. pO OPREDELENI@
Rnx NASLEDUET EWKLIDOWU STRUKTURU IZ Rn, TO ESTX W Rnx OPREDELENO SKALQRNOE
PROIZWEDENIE hux; vxi � hu; vi (u; v 2 Rn).
19. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rn. gOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE U
ZADANA DIFFERENCIALXNAQ FORMA ! STEPENI k (ILI, KORO^E, k-FORMA), ESLI
OPREDELENO OTOBRAVENIE x 2 U ! !(x) 2 �k(Rnx), TO ESTX KAVDOJ TO^KE x 2 U
SOPOSTAWLENA NEKOTORAQ k-LINEJNAQ WNE[NQQ FORMA NA KASATELXNOM PROSTRAN-
STWE Rnx ; 0-FORMOJ , PO OPREDELENI@, NAZYWAETSQ WSQKAQ FUNKCIQ ! : U ! R.
w SILU P. 8 WSQKAQ k-FORMA NA U � Rn IMEET WID
!(x) =�Xci1:::ik(x)dx
i1 ^ : : :^ dxik ; x 2 U;
GDE dx1; : : : ; dxn | BAZIS W PROSTRANSTWE L(Rnx;R), DUALXNYJ K STANDARTNOMU
BAZISU e1; : : : ; en W Rnx . kO\FFICIENTY ci1:::ik(x) | ^ISLOWYE FUNKCII TO^KI
x. eSLI \TI FUNKCII PRINADLEVAT KLASSU Cp(U) (p = 0; 1; : : : ;1), TO ESTX
p RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY (KLASS C0(U) SOSTOIT IZ NEPRERYWNYH
478
^ISLOWYH FUNKCIJ, ZADANNYH NA U), TO k-FORMA ! NAZYWAETSQ k-FORMOJ KLASSA
Cp. w ^ASTNOSTI, 0-FORMA KLASSA Cp | \TO FUNKCIQ ! 2 Cp(U).
p R I M E R Y. 20. wSQKAQ 1-FORMA NA U(� Rn) IMEET WID !(x) =nPi=1
ci(x)dxi
(x 2 U). zNA^ENIE E�E NA WEKTORE � = (�1; : : : ; �n) 2 Rn:
!(x)(�) =nXi=1
ci(x)dxi(�) =
nXi=1
ci(x)�i:
21. pUSTX U(� Rn) OTKRYTO I ' 2 C1(U). pROIZWODNOE OTOBRAVENIE '0
OPREDELQET 1-FORMU NA U : x 2 U ! '0 : Rnx ! R. |TA 1-FORMA NAZYWAET-
SQ DIFFERENCIALOM OTOBRAVENIQ ' I OBOZNA^AETSQ d'. iTAK, W KANONI^ESKOJ
ZAPISI d' �nPi=1
@'
@xidxi, PRI^�EM
d'(x)(�) =nX @'
@xi(x)�i; x 2 U; � 2 Rnx :
uMNOVENIE DIFFERENCIALXNYH FORM
22. bUDEM OBOZNA^ATX k(U) ^EREZ MNOVESTWO WSEH k-FORM NA OTKRYTOM
MNOVESTWE U � Rn. sOOTWETSTWENNO ^EREZ k;p(U) OBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH
k-FORM IZ k(U) KLASSA Cp. wWED�ENNYE MNOVESTWA ESTESTWENNO NADELQ@TSQ
STRUKTURAMI WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. nA DIFFERENCIALXNYE FORMY ESTES-
TWENNO PERENOSITSQ TAKVE OPERACIQ WNE[NEGO UMNOVENIQ. pUSTX ! 2 k(U);
� 2 s(U). tOGDA RAWENSTWO (!^�)(x) � !(x)^�(x) (x 2 U) OPREDELQET FORMU
!^� 2 k+s(U). w ^ASTNOSTI, ESLI ' : U ! R| FUNKCIQ (TO ESTX 0-FORMA), TO
'^ ! BUDEM OBOZNA^ATX TAKVE ^EREZ ' � !. iZ PP. 14, 15 SLEDUET, ^TO OPERACIQ
UMNOVENIQ DIFFERENCIALXNYH FORM OBLADAET SWOJSTWAMI:
23. ! 2 k(U); � 2 s(U)) ! ^ � = (�1)ks� ^ !.
24. (! ^ �)^ � = ! ^ (�^ �).
25. p R I M E R. rASSMOTRIM 1-FORMY �; � 2 1(U); U � Rn : �(x) =nPi=1
ai(x)dxi; �(x) =
nPi=1
bi(x)dxi (x 2 U).
tOGDA
(� ^ �)(x) =Xi;j
ai(x)bj(x)dxi ^ dxj =
Xi<j
[ai(x)bj(x)� aj(x)bi(x)]dxi ^ dxj :
479
wZQW �k = (�1k; : : : ; �nk ) 2 R
nx (k = 1; 2), IMEEM
(� ^ �)(x)(�1; �2) =Pi<j
[ai(x)bj(x)� aj(x)bi(x)]�i1�j2
=Pi<j
�����ai(x)�i1 bi(x)�
i1
aj(x)�j2 bj(x)�
j2
����� :
wNE[NEE DIFFERENCIROWANIE
26. pEREHODIM K OSNOWNOJ OPERACII NAD DIFFERENCIALXNYMI FORMAMI
| OPERACII WNE[NEGO DIFFERENCIROWANIQ. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVES-
TWO W Rn. wNE[NIM DIFFERENCIROWANIEM NAZYWAETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE
d : k;p(U)! k+1;p�1(U) (k � 0; p � 1), ODNOZNA^NO OPREDELQEMOE USLOWIQMI:
(i) ESLI ' 2 0;p(U); p � 1 (TO ESTX ' 2 Cp(U)), TO d' | DIFFERENCIAL
FORMY ' (SM. P. 21),
(ii) DLQ ODNO^LENNOJ FORMY !(x) = c(x)dxi1 ^ : : :^ dxik(! 2 k;p(U)):
d!(x) �nXj=1
@c
@xj(x)dxj ^ dxi1 ^ : : :^ dxik (x 2 U):
oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA WWED�ENNOJ OPERACII.
27. eSLI ! 2 k;1(U); � 2 s;1(U), TO
d(! ^ �) = d! ^ �+ (�1)k! ^ d�:
28. eSLI ! 2 k;2(U) (k � 0), TO d2! � d(d!) = 0.
� p. 28 DOSTATO^NO USTANOWITX DLQ FORMY WIDA !(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik .
iMEEM
(d2!)(x) = dfnPj=1
@c@xj
(x)dxj ^ dxi1 : : :^ dxikg(x)
=nP
j;s=1
@2c(x)
@xs@xjdxs ^ dxj ^ dxi1 : : :^ dxik
=Ps<j
[@2c(x)
@xs@xj�@2c(x)
@xj@xs]dxs ^ dxj ^ dxi1 ^ : : :^ dxik = 0:
480
sWOJSTWO P. 27 TAKVE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ FORM WIDA !(x) = b(x)dxi1 ^
: : :^ dxik ; �(x) = c(x)dxj1 ^ : : :^ dxjs . iMEEM
d(! ^ �)(x) =nP
m=1
@@xm
(b(x)c(x))dxm ^ dxi1 ^ : : :dxik ^ dxj1 ^ : : : dxjs
=nP
m=1b(x) @c
@xm(x)dxm ^ dxi1 ^ : : :^ dxik ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs
+nP
m=1c(x) @b
@xm(x)dxm ^ dxi1 ^ : : :^ dxik ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs
= (�1)kb(x)dxi1 ^ : : :^ dxik ^ (nP
m=1
@c@xm
(x)dxm ^ dxj1 ^ : : :^ dxjs)
+ (nP
m=1
@b@xm
(x)dxm ^ dxi1 ^ : : :^ dxik)^ (c(x)dxj1 ^ : : :^ dxjs)
= (�1)k! ^ d�+ d! ^ �: >
29. p R I M E R. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W R3 I ! | 1-FORMA
KLASSA C1 NA U : !(x) = p(x)dx1 + q(x)dx2 + r(x)dx3; x = (x1; x2; x3) 2 U .
wY^ISLIM d!. iMEEM
d! = (@p
@x1dx1 +
@p
@x2dx2 +
@p
@x3dx3) ^ dx1 + (
@q
@x1dx1 +
@q
@x2dx2
+ @q
@x3dx3) ^ dx2 + ( @r
@x1dx1 + @r
@x2dx2 + @r
@x3dx3) ^ dx3
= (@q
@x1�
@p
@x2)dx1 ^ dx2 + ( @r
@x1�
@p
@x3)dx1 ^ dx3
+ ( @r@x2
�@q
@x3)dx2 ^ dx3:
30. u P R A V N E N I E. pUSTX ! | 2-FORMA KLASSA C1 NA U � R3 : ! =
pdx1 ^ dx2 + qdx1 ^ dx3 + rdx2 ^ dx3. pOKAZATX, ^TO
d! = (@p
@x3+
@q
@x2+ @r@x1
)dx1 ^ dx2 ^ dx3.
zAMENA PEREMENNYH W DIFFERENCIALXNYH FORMAH
31. pUSTX U OTKRYTO W Rn; V OTKRYTO W Rm, OTOBRAVENIE ' : U ! V
NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO. tOGDA W KAVDOJ TO^KE x 2 U OPREDELENO KASA-
TELXNOE OTOBRAVENIE '0(x) : Rnx ! Rm'(x). pO\TOMU KAVDOJ FORME ! 2 k(V )
MOVNO SOPOSTAWITX FORMU�'! 2 k(U):
�'! �
�!('(x)); ESLI k = 0,
'0(x) � !('(x)); ESLI k � 1(x 2 ):
481
oTMETIM, ^TO
! 2 0;p(V ); ' 2 Cp )�'! 2 0;p(U);
! 2 k;p(V ); ' 2 Cp+1 )�'! 2 k;p(U); k � 1:
pERE^ISLIM OSNOWNYE SWOJSTWA WWED�ENNOJ OPERACII (PREDPOLAGAETSQ, ^TO
WYPOLNQ@TSQ PODHODQ]IE OGRANI^ENIQ NA U^ASTWU@]IE W \TIH SWOJSTWAH OTO-
BRAVENIQ).
32.�'(!1 + !2) =
�'!1 +
�'!2,
33.�'(c � !)(x) = c('(x)) �
�'!(x),
34.�'(! ^ �) =
�'! ^
�'�,
35.�'dyi =
Pj
@'i
@xj(x)dxj = d'i(x), GDE 'i� i-Q KOORDINATNAQ FUNKCIQ OTO-
BRAVENIQ ', A dy1; : : : ; dym | BAZIS W L(Rm'(x);R), DUALXNYJ K STANDARTNOMU
BAZISU W Rm'(x).
36.�'d! = d(
�'!).
� p. 32 O^EWIDEN, P. 33 | SLEDSTWIE P. 34, P. 34 | SLEDSTWIE P. 17. uSTANOWIM
P. 35. dLQ � 2 Rnx IMEEM
�'dyi(�) = dyi('(x))('0(x)�) = ('0(x))i =
Xj
@'i
@xj�j = d'i(x)(�):
dOKAVEM P. 36. pUSTX SNA^ALA ! | 0-FORMA. tOGDA�'! = ! � ' I
d(�'!)(x) = d(! � ')(x) = d!('(x)) �'0(x)
= '0(x) � d!('(x)) = d(! � ')(x) =�'d!(x):
dLQ DOKAZATELXSTWA OB]EGO SLU^AQ DOSTATO^NO RASSMOTRETX FORMU WIDA !(y) =
c(y)dyi1 ^ : : : ^ dyik . dLQ NE�E (S U^�ETOM P. 33{35)
�'! = c('(x))
�'(dyi1 ^ : : :^ dyik)(x) = c('(x))d'i1 ^ : : :^ d'ik(x):
482
pO\TOMU (S U^�ETOM P. 28 I RAZOBRANNOGO SLU^AQ 0-FORMY)
d(�'!)(x) = d(
�'c)(x)^ (d'i1(x) ^ : : :^ d'ik(x))
+�'c(x)^ d(d'i1(x)^ : : :^ d'ik(x))
= (�'dc)(x)^ d'i1(x)^ : : :^ d'ik(x)
= (�'dc)(x)^ (
�'dyi1 ^ : : :^
�'dyik(x))
=�'d(cdyi1 ^ : : :^ dyik)(x) = (
�'d!)(x):>
37. u P R A V N E N I E. eSLI m = n, TO
�'(c ^ dx1 ^ : : :^ dxn) = c � ' � det'0 � dx1 ^ : : :^ dxn:
38. p R I M E R. pUSTX U OTKRYTO W R2, GDE ZADANY POLQRNYE KOORDINATY
(�; �), PRI^�EM U \ f(�; �) j � = 0g = ;; V | OTKRYTOE MNOVESTWO W DRUGOM
\KZEMPLQRE R2, GDE ZADANY PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY (y1; y2), I OTOBRAVENIE
' ZADANO FORMULAMI
y1 = '1(�; �) = � cos�; y2 = '2(�; �) = � sin�:
pUSTX ! = dy1 ^ dy2. tOGDA
�'! = d'1 ^ d'2 = (cos �d�� � sin �d�) ^ (sin �d�+ � cos �d�) = �d�^ d�:
tEOREMA pUANKARE
39. fORMA ! 2 k;1(U) NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI d! = 0. dIFFEREN-
CIALXNAQ FORMA ! NAZYWAETSQ TO^NOJ, ESLI SU]ESTWUET FORMA � TAKAQ, ^TO
! = d�. w SILU P. 28 KAVDAQ TO^NAQ FORMA ! 2 k;1(U) QWLQETSQ ZAMKNUTOJ.
wOZNIKAET WOPROS, NE SLEDUET LI IZ ZAMKNUTOSTI FORMY E�E TO^NOSTX? oTWET
POLOVITELEN LI[X PRI NEKOTORYH OGRANI^ENIQH NA OBLASTX U .
40. nAZOW�EM OBLASTX U 2 Rn ZW�EZDNOJ, ESLI 9a 2 U 8x 2 U ([a; x] � U), GDE
[a; x] = fta + (1 � t)x j t 2 [0; 1]g | OTREZOK W Rn. o^EWIDNO, KAVDOE ZW�EZDNOE
MNOVESTWO LINEJNO SWQZNO, A KAVDOE WYPUKLOE MNOVESTWO ZW�EZDNO.
41. t E O R E M A. pUSTX U � Rn | OTKRYTOE ZW�EZDNOE MNOVESTWO. tOGDA
WSQKAQ ZAMKNUTAQ FORMA ! 2 k(U) TO^NA.
483
� bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI S^ITAEM, ^TO W OPREDELENII P. 40 a = �. oPRE-
DELIM LINEJNOE OTOBRAVENIE J : k(U)! k�1(U), ZADAW EGO NA ODNO^LENNYHFORMAH RAWENSTWOM
(3) Jfc(x)dxi1 ^ : : :^ dxikg �kX
�=1
(�1)�(
Z 1
0tk�1c(tx) dt)xi� � !
�;
GDE OBOZNA^ENO !�= dxi1 ^ : : :^ dxi��1 ^ dxi�+1 ^ : : :^ dxik . pRI \TOM J(0) = 0.
uTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ TOVDESTWA
(4) ! = J(d!) + d(J!);
KOTOROE PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI. w SILU LINEJNOSTI
OTOBRAVENIQ J DOSTATO^NO DOKAZATX (4) DLQ ODNO^LENNOJ FORMY !(x) =
c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik . iMEEM (SM. (3))
d(J!)(x) =kX
�=1
nXj=1
(�1)�[
Z 1
0tk@c
@xj(tx) dt � xi� +
Z 1
0tk�1c(tx) dt �
@xi�
@xj]dxj ^ !
�:
oBOZNA^AQP
1 =kP
�=1
nPj=1
(�1)�(
Z 1
0tk @c@xj
(tx) dt � xi�)dxj ^ !�, POLU^AEM
d(J!)(x) =P
1+
Z 1
0tk�1c(tx) dt �
kP�=1
(�1)��1 dxi� ^ !�
=P
1+k
Z 1
0tk�1c(tx) dt dxi1 ^ : : :^ dxik :
s DRUGOJ STORONY,
J(d!)(x) =nPj=1
Jf @c@xj
(x) dxj ^ dxi1 : : :^ dxikg
=nPj=1
(
Z 1
0tk @c@xj
(tx) dt � xj)dxi1 ^ : : :^ dxik
�nPj=1
kP�=1
(�1)��1(Z 1
0tk @c@xj
(tx) dt � xi�)dxj ^ !�
= (nPj=1
Z 1
0tk @c@xj
(tx) dt � xj)dxi1 ^ : : :^ dxik �P
1 :
sKLADYWAQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, IMEEM
J(d!)(x) + d(J!)(x) =
Z 1
0
ddt[tkc(tx)] dt dxi1 ^ : : :^ dxik
= c(x)dxi1 ^ : : :^ dxik = !(x): >
484
sINGULQRNYE KUBY
42. pUSTX Ik = [0; 1]k � Rk ; U | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rk TAKOE, ^TO
Ik � U . pUSTX � : U ! Rn (n � k) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE OTOBRA-
VENIE. oGRANI^ENIE \TOGO OTOBRAVENIQ NA Ik NAZYWAETSQ k-MERNYM SINGULQR-
NYM KUBOM W Rn. dOPUSKAQ NEKOTORU@ WOLXNOSTX, BUDEM OBOZNA^ATX \TO OGRA-
NI^ENIE PO-PREVNEMU BUKWOJ � (� : Ik ! Rn). eSLI OTOBRAVENIE DEJSTWUET W
OTKRYTU@ OBLASTX V � Rn, TO GOWORQT O k-MERNOM SINGULQRNOM KUBE W OBLASTI
V . nULXMERNYM SINGULQRNYM KUBOM NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE � : f0g ! Rn. w
^ASTNOSTI, SAM STANDARTNYJ KUB Ik RASSMATRIWAETSQ KAK k-MERNYJ SINGULQR-
NYJ KUB, QWLQ@]IJSQ OGRANI^ENIEM NA Ik TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ Rk NA
SEBQ.
43. pUSTX �; �0 : Ik ! Rn | DWA k-MERNYH SINGULQRNYH KUBA. bUDEM GO-
WORITX, ^TO �0 POLU^EN IZ � IZMENENIEM PARAMETRIZACII (PI[EM � � �0),
ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : Ik ! Ik (TO ESTX p| BIEKCIQ, NEPRERYW-
NO DIFFERENCIRUEMAQ WMESTE S p�1, PRI^�EM p0; (p�1)0 DOPUSKA@T NEPRERYWNYEPRODOLVENIQ NA GRANICU Ik) TAKOJ, ^TO
(i) �0 = � � p,
(ii) det p0 > 0.
bUDEM PISATX � � ��0, ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : Ik ! Ik TAKOJ,
^TO WYPOLNENO (i) I
(iii) det p0 < 0.
w ^ASTNOSTI, 1-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W Rn ESTX GLADKAQ KRIWAQ W Rn W
SMYSLE 178.1, A 2-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W R3 ESTX GLADKAQ POWERHNOSTX W
R3 W SMYSLE 185.1.
44. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO � | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI
W MNOVESTWE k-MERNYH SINGULQRNYH KUBOW.
iNTEGRAL FORMY PO SINGULQRNOMU KUBU
45. pUSTX ! | 0-FORMA KLASSA C0 W OBLASTI U � Rn (TO ESTX ! : U ! R|
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ) I � : f0g ! U | 0-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB. pOLOVIM
PO OPREDELENI@
Z�
! � !(�(0)).
46. pUSTX TEPERX ! 2 k;0(U) | ODNO^LENNAQ k-FORMA, TO ESTX !(x) =
c(x)dx1 ^ : : : ^ dxk; x = (x1; : : : ; xk) 2 U , GDE U � Rk | OTKRYTAQ OBLASTX,
485
SODERVA]AQ STANDARTNYJ KUB Ik. pO OPREDELENI@
ZIk
! �
ZIk
c(x) dx =
Z 1
0: : :
Z 1
0c(x1; : : : ; xk) dx1 : : : dxk
(SPRAWA STOIT OBY^NYJ KRATNYJ INTEGRAL rIMANA).
47. (oB]IJ SLU^AJ). pUSTX ! 2 k(V ); V � Rn; n � k I � : Ik ! V |
k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W OBLASTI V . sOGLASNO P. 31 S KAVDOJ k-FORMOJ
! 2 k(V ) ASSOCIIROWANA k-FORMA��! 2 k(U); Ik � U . iNTEGRAL OT k-FORMY
! PO SINGULQRNOMU k-MERNOMU KUBU � : Ik ! V OPREDELQETSQ RAWENSTWOM
(5)
Z�
! �
ZIk
��!:
48. zAPI[EM QWNOE WYRAVENIE INTEGRALA (5) OT ODNO^LENNOJ k-FORMY
!(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik (i1 < i2 < : : : < ik). pUSTX � : Ik ! V , TO ESTX
t = (t1; : : : ; tk) 2 Ik ! �(t) = (�1(t); : : : ; �n(t)) 2 V . tOGDA (SM. PP. 33,34)
��!(t) = c(�(t))
��(dxi1 ^ : : :^ dxik)
= c(�(t))��(dxi1)^ : : :^
��(dxik);
��(dxis) =
kPj=1
@�is
@tjdtj ; 1 � s � k:
oTS@DA (SM. P. 37)
��!(t) = c(�(t)) det
��i1 : : : �ik
t1 : : : tk
�dt1 ^ : : :^ dtk;
GDE
��i1 : : : �ik
t1 : : : tk
�=
26664@�i1
@t1: : : @�i1
@tk: : : : : : : : :
@�ik
@t1: : : @�ik
@tk
37775, TAK ^TO
(6)
Z�
! =
ZIk
c(�(t)) det
��i1 : : : �ik
t1 : : : tk
�dt1 : : :dtk :
oTMETIM SWOJSTWA INTEGRALA.
49. eSLI � � �0, TO DLQ L@BOJ k-FORMY !
Z�
! =
Z�0
!.
486
50. eSLI � � ��0, TO
Z�
! = �
Z�0
!.
� pUSTX, NAPRIMER, � � �0. rAWENSTWO P. 49 DOSTATO^NO USTANOWITX DLQ OD-
NO^LENNYH FORM. pUSTX p : Ik ! Ik | DIFFEOMORFIZM TAKOJ, ^TO �0 =
� � p; det p0 > 0. w OBOZNA^ENIQH P. 49 IMEEM (ISPOLXZUEM TEOREMU O ZAMENE
PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE)Z�0
! =
Z��p
! =
ZIk
c(�(p(t)) det(� � p)0(t) dt
=
ZIk
c(�(p(t)) � det �0(p(t)) � det p0(t) dt
=
ZIk
c(�(x)) � det �0(x) dx =Z�
!: >
pROSTRANSTWO CEPEJ
51. rASSMOTRIM WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO Sk, ALGEBRAI^ESKIM
BAZISOM KOTOROGO QWLQETSQ MNOVESTWO WSEH k-MERNYH SINGULQRNYH KUBOW W Rn.
tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY Sk | \TO FORMALXNYE SUMMY WIDA
(7) s = �1�1 + : : :+ �p�p; �i 2 R;
GDE �1; : : : ; �p | k-MERNYE SINGULQRNYE KUBY W Rn. pOLOVIM PO OPREDELENI@
DLQ L@BOJ k-FORMY ! Zs
! =
pXi=1
�i
Z�i
!:
pUSTX NARQDU S (7) ZADAN E]�E ODIN \LEMENT t = �1~�1 + : : :+ �q~�q PROSTRAN-
STWA Sk. |LEMENTY s I t NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI (s � t), ESLI
Zs
! =
Zt
!
DLQ L@BOJ k-FORMY !; �| OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W Sk (!!). pUSTX Sk |
FAKTOR-PROSTRANSTWO PROSTRANSTWA Sk PO UKAZANNOMU OTNO[ENI@ \KWIWALENT-
NOSTI. |LEMENTY \TOGO FAKTOR-PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ k-MERNYMI CEPQMI
W Rn. mY PO-PREVNEMU BUDEM OBOZNA^ATX k-MERNYE CEPI SIMWOLOM (7). w ^AST-
NOSTI, k-MERNAQ CEPX � NAZYWAETSQ NULEWOJ, ESLI
Z�
! = 0 DLQ L@BOJ k-MERNOJ
FORMY !.
52. z A M E ^ A N I E. eSLI � | NULEWAQ k-MERNAQ CEPX I �1; : : : ; �p | L@BYE
k-MERNYE SINGULQRNYE KUBY, TO � = 0 � �1 + : : :+ 0 � �p.
487
53. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO PROSTRANSTWO Sk BESKONE^NOMERNO.
fuKAZANIE: PUSTX p 2 N PROIZWOLXNO I U1; : : : ; Up | PROIZWOLXNYE POPARNO
NEPERESEKA@]IESQ OTKRYTYE MNOVESTWA W Rn. rASSMOTRETX k-MERNYE SINGU-
LQRNYE KUBY �1; : : : ; �p TAKIE, ^TO �i(Ik) � Ui (1 � i � p); CEPI 1 ��i (1 � i � p)
NENULEWYE. pOKAZATX, ^TO \TI CEPI LINEJNO NEZAWISIMY.g
54. rASSMOTRIM PROSTRANSTWO k;0 = k;0(Rn). nA PROIZWEDENII k;0 �Sk
OPREDELIM WE]ESTWENNU@ BILINEJNU@ FORMU
(8) h!; si �
Zs
! (! 2 k;0; s 2 Sk):
55. bILINEJNAQ FORMA (8) NEWYROVDENA, TO ESTX
(A) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ ! 2 k;0, TO s = �,
(B) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ s 2 Sk, TO ! = 0.
� (A) SLEDUET IZ OPREDELENIQ NULEWOJ CEPI (SM. P. 51).
(B). eSLI ! =P� ci1:::ik(x) dx
i1^: : :^dxik 6= 0, TO HOTQ BY ODIN KO\FFICIENT
\TOJ FORMY 6= 0 W NEKOTOROJ TO^KE x0 2 Rn. pUSTX, NAPRIMER, c1:::k(0) > 0.
wOZXM�EM k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB � W Rn, ZADANNYJ RAWENSTWOM
�(t1; : : : ; tk) = (�t1; : : : ; �tk; 0; : : : ; 0); t = (t1; : : : ; tk) 2 Ik;
GDE U WEKTORA W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA n � k NULEJ. pRI DOSTATO^NO MALOM
� > 0 c1:::k(�(t)) > 0; t 2 Ik. sLEDOWATELXNO, DLQ CEPI s = 1 � � IMEEM
h!; si =
Zs
! =
ZIk
��! =
RIkc(�(t)) det
��t1 : : : �tk
t1 : : : tk
�dt
= �kZIk
c(�(t)) > 0;
^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@. >
gRANICA CEPI
56. oPREDELIM SNA^ALA GRANICU SINGULQRNOGO KUBA � : Ik ! Rn, TO ESTX
CEPI WIDA s = 1 � �. pUSTX
Rk�1i;0 � ft = (t1; : : : ; tk) 2 Rk j ti = 0g
| GIPERPLOSKOSTX W Rk. bUDEM RASSMATRIWATX \TU GIPERPLOSKOSTX KAK (k�1)-
MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO S KOORDINATNYM PREDSTAWLENIEM, INDUCIRO-
WANNYM IZ Rk . tAK ^TO ^ISLA t1; : : : ; ti�1; ti+1; : : : ; tk SUTX KOORDINATY TO^-
KI (t1; : : : ; ti�1; 0; ti+1; : : : ; tk) 2 Rk�1i;0 . aNALOGI^NO OPREDELIM GIPERPLOSKOSTX
488
Rk�1i;1 � ft 2 Rk j ti = 1g. pUSTX Ik�1i;� | SOOTWETSTWU@]IE STANDARTNYE GIPER-
KUBY W Rk�1i;� (� = 0; 1); ONI QWLQ@TSQ PROTIWOPOLOVNYMI GRANQMI ISHODNOGO
GIPERKUBA Ik � Rk. tOGDA OTOBRAVENIQ �i;� = � j Ik�1i;� SUTX (k � 1)-MERNYE
SINGULQRNYE KUBY (� = 0; 1; i = 1; : : :k). gRANICEJ SINGULQRNOGO KUBA �
NAZYWAETSQ CEPX @� �kPi=1
1P�=0
(�1)i+��i;�. cEPI (�1)i+��i;� NAZYWA@TSQ ORIEN-
TIROWANNYMI (k � 1)-MERNYMI GRANQMI SINGULQRNOGO GIPERKUBA �.
57. p R I M E R. pRI k = 2 RASSMOTRIM STANDARTNYJ KUB I2 KAK SINGULQR-
NYJ 2-MERNYJ KUB (TO ESTX EDINI^NYJ KWADRAT W R2), OPREDEL�ENNYJ TOVDEST-
WENNYM OTOBRAVENIEM R2 NA SEBQ. tOGDA (SM. rIS. 29)
@I2 = �I11;0 + I11;1 + I12;0 � I12;3:
58. w OB]EM SLU^AE DLQ PROIZWOLXNOJ k-MERNOJ CEPI � =pPi=1
�i�i OPREDELIM
E�E GRANICU RAWENSTWOM @� =pPi=1
�i@�i. iTAK, OPREDELENO LINEJNOE OTOBRAVENIE
@ : Sk ! Sk�1.
tEOREMA sTOKSA DLQ CEPI
nARQDU S LINEJNYM OTOBRAVENIEM @ : Sk ! Sk�1 RASSMOTRIM OPERATOR
DIFFERENCIROWANIQ d : k�1;1(Rn)! k;0(Rn). iMEET MESTO SLEDU@]AQ OSNOW-
NAQ TEOREMA MNOGOMERNOGO ANALIZA.
59. t E O R E M A. dLQ L@BOJ CEPI s 2 Sk (k � 1) I L@BOJ FORMY
! 2 k�1;1(Rn)
(9)
Zs
! =
Z@s
!:
60. z A M E ^ A N I E. rAWENSTWO (9), ZAPISANNOE ^EREZ BILINEJNU@ FORMU,
WWED�ENNU@ W P. 54, IMEET WID
(10) hd!; si = h!; @si:
(tO ESTX OPERATORY d I @ QWLQ@TSQ WZAIMNO SOPRQV�ENNYMI.)
61. dOKAZATELXSTWO TEOREMY. dOSTATO^NO OGRANI^ITXSQ SLU^AEM, KOGDA
s = 1 � �, GDE � | k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB. bOLEE TOGO, MOVNO S^ITATX,
489
^TO KUB � STANDARTEN (� = Ik), TAK KAK OB]IJ SLU^AJ TOGDA SLEDUET IZ WY-
KLADKI Z@�
! =
Z@Ik
��! =
ZIk
d(��!) =
ZIk
�� d! =
Z�
d!:
mOVNO S^ITATX, ^TO STANDARTNYJ KUB � = Ik ESTESTWENNO WLOVEN W Rn, TO
ESTX �(t1; : : : ; tk) = (t1; : : : ; tk; 0 : : : ; 0), GDE U WEKTORA W PRAWOJ ^ASTI n � k
NULEJ SPRAWA. eSLI E]�E PRINQTX WO WNIMANIE LINEJNOSTX INTEGRALA (9) PO !,
TO DOSTATO^NO RASSMOTRETX ODNO^LENNU@ FORMU WIDA
! = c(x1; : : : ; xk)^
1�j�kj 6=i
dxj :
mY IMEEM
Z@�
! =kX`=1
1X�=0
(�1)`+�Z�`;�
! =kX`=1
1X�=0
(�1)`+�Z
Ik�1
��`;�!:
u^ITYWAQ P. 49, POLU^IMZIk�1
��`;�! =
=
8><>:0; ESLI ` 6= i,ZIk�1
c(x1; : : : ; xi�1; �; xi+1; : : : ; xk)Q
1�j�k;i6=j
dxj ; ESLI ` = i,
TAK ^TO
Z@�
! =1X
�=0
(�1)i+�Z 1
0: : :
Z 1
0c(x1; : : : ; xi�1; �; xi+1; : : : ; xk)
Y1�j�k;i6=j
dxj :
s DRUGOJ STORONY,
Z�
d! =kX`=1
Z�
@c
@x`(x1; : : : ; xk)dx`(
^1�j�k;i6=j
dxj):
w PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA OTLI^EN OT NULQ EDINSTWENNYJ ^LEN (PRI
490
` = i), TAK ^TO
Z�
d! =
Z�
@c@xi
dxi ^ (V
1�j�k;i6=j
dxj) = (�1)i�1R�
@c@xi
dx1 ^ : : :^ dxk
= (�1)i�11Z0
: : :
1Z0
@c@xi
(x1; : : : ; xk)dx1 : : :dxk (SM. 123:3)
= (�1)i+11Z0
: : :
1Z0
( @c@xi
(x1; : : : ; xk) dxi)dx1 : : : dxi�1dxi+1 : : : dxk
= (�1)i+11Z0
: : :
1Z0
[c(x1; : : : ; xi�1; 1; xi+1; : : : ; xn)
� c(x1; : : : ; xi�1; 0; xi+1; : : : ; xk)] � dx1 : : :dxi�1dxi+1 : : : dxk
=1P
�=0(�1)i+�
1Z0
: : :
1Z0
c(x1; : : : ; xi�1; �; xi+1; : : : ; xk)
dx1 : : :dxi�1dxi+1 : : :dxk.
491
ukazatelx im�en
�aBELX n. (Abel N., 1802 { 1829) | NORWEVSKIJ MATEMATIK 204 4
aDAM�AR v. (Hadamard J., 1865 { 1963) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 232
aLEKS�ANDROW p. (1896 { 1982) | RUSSKIJ MATEMATIK 172
aRHIM�ED (A�������&, OK. 287 { 212 DO N. \.) | DREWNEGRE^ESKIJ MATEMATIK
I MEHANIK 20
b�ANAH s. (Banach S., 1892 { 1945) | POLXSKIJ MATEMATIK 378
bOR�ELX |. (Borel E., 1871 { 1956) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 333
bUNQK�OWSKIJ w. (1804 { 1889) | RUSSKIJ MATEMATIK 73
b\R r. (Baire R., 1874 { 1932) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 371
w�EJER[TRASS k. (Weierstra� K., 1815 { 1897) | NEMECKIJ MATEMATIK 23
wOLXT�ERRA w. (Volterra V., 1860 { 1940) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK 374
gAUSS k. (Gauss C., 1777 { 1855) | NEMECKIJ MATEMATIK 300
g�ELXDER l. (H�older L., 1859 { 1937) | NEMECKIJ MATEMATIK 73
g�ILXBERT d. (Hilbert D., 1862 { 1943) | NEMECKIJ MATEMATIK 247
gRAM j. (Gram J., 1850 { 1916) | DATSKIJ MATEMATIK 407
gRIN d. (Green G., 1793 { 1841) | ANGLIJSKIJ MATEMATIK 294
dALAMB�ER v. (D'Alembert J., 1717 { 1783) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK I
FILOSOF 34
dARB�U g. (Darboux J.G., 1842 { 1917) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 93
dIR�AK p. (Dirac P., 1902 { 1984) | ANGLIJSKIJ FIZIK 278
dIRIHL�E p. (Dirichlet P., 1805 { 1859) | NEMECKIJ MATEMATIK 86
eWKL�ID (E���"���& , 3 WEK DO N. \.) | DREWNEGRE^ESKIJ MATEMATIK 79
eG�OROW d. (1869 { 1931) | RUSSKIJ MATEMATIK 335
k�ANTOR g. (Cantor G., 1845 { 1918) | NEMECKIJ MATEMATIK 328
vORD�AN k. (Jordan K., 1838 { 1922) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 176
k�ARLESON l. (Carleson L., R. 1928) | [WEDSKIJ MATEMATIK 259
kOLMOG�OROW a. (1903 { 1987) | RUSSKIJ MATEMATIK 22
kO[�I o. (Cauchy A., 1789 { 1857) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 29
lAGR�ANV v. (Lagrange J., 1736 { 1813) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK I
MEHANIK 60
lEB�EG a. (Lebesgue H., 1875 { 1941) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 85
l�EWI b. (Levi B., 1875 { 1961) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK 346
l�EJBNIC g. (Leibniz G., 1646 { 1716) | NEMECKIJ MATEMATIK 33
4uKAZANA STRANICA PERWOGO UPOMINANIQ IMENI W TEKSTE
492
l�IP[IC r. (Lipschitz R., 1832 { 1903) | NEMECKIJ MATEMATIK 256
lIUW�ILLX v. (Liouville J., 1809 { 1882) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 437
lOBA^�EWSKIJ n. (1792 { 1856) | RUSSKIJ MATEMATIK 16
lOPIT�ALX g. (L'Hospital G., 1661 { 1704) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 62
mINK�OWSKIJ g. (Minkowski H., 1864 { 1909) | NEMECKIJ MATEMATIK I
FIZIK 73
nIKOD�IM o. (Nikodym O., 1887 { 1974) | POLXSKIJ MATEMATIK, RABOTAL
W s{a 355
nX�@TON i. (Newton I., 1643 { 1727) | ANGLIJSKIJ FIZIK I MATEMATIK 46
oSTROGR�ADSKIJ m. (1801 { 1861) | RUSSKIJ MATEMATIK 300
pARSEW�ALX m. (Parseval M., 1755 { 1836) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 249
pE�ANO d. (Peano G., 1858 { 1932) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK 66
pIFAG�OR (��#� o���, OK. 570 { OK. 500 DO N.\.) | DREWNEGRE^ESKIJ
MYSLITELX 245
pLAN[ER�ELX M. (Plancherel M., 1885 { 1967) | [WEJCARSKIJ MATEMATIK 416
pUANKAR�E v. (Poincar�e J., 1854 { 1912) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK I
ASTRONOM 483
rAD�ON (Radon J., 1877 { 1956) | AWSTRIJSKIJ MATEMATIK 355
r�IMAN b. (Riemann B., 1826 { 1866) | NEMECKIJ MATEMATIK 48
rISS f. (Riesz F., 1880 { 1956) | WENGERSKIJ MATEMATIK 409
rOLLX m. (Rolle M., 1652 { 1719) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 59
s�IMPSON t. (Simpson T., 1710 { 1761) | ANGLIJSKIJ MATEMATIK 97
s�OBOLEW s. (1908 { 1989) | RUSSKIJ MATEMATIK 270
sT�ILTXES t. (Stieltijes T., 1856 { 1894) | NIDERLANDSKIJ MATEMATIK 323
sTOKS d. (Stokes G., 1819 { 1923) | ANGLIJSKIJ FIZIK I MATEMATIK 303
t�EJLOR b. (Taylor B., 1685 { 1731) | ANGLIJSKIJ MATEMATIK 64
t�IHONOW a. (1906 { 1993) | RUSSKIJ MATEMATIK 170
fAT�U (Fatou P., 1878 { 1929) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 347
fERM�A p. (Fermat P., 1601 { 1665) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 70
fR�EDGOLXM |. (Fredholm E., 1866 { 1927) | [WEDSKIJ MATEMATIK 374
fRE[�E m. (Fr�echet M., 1878 { 1973) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 449
fUB�INI g. (Fubini G., 1879 { 1943) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK 361
fURX�E v. (Fourier J., 1768 { 1830) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 248
hAN g. (Hahn H., 1879 { 1934) | AWSTRIJSKIJ MATEMATIK 352
h�\WISAJD o. (Heaviside O., 1850 { 1925) | ANGLIJSKIJ FIZIK I
MATEMATIK 281
c�ERMELO |. (Zermelo E., 1871 { 1953) | NEMECKIJ MATEMATIK 470
cORN m. (Zorn M., 1906 { 1993) | NEMECKIJ MATEMATIK, RABOTAL W s{a 396
493
~EBY[EW p. (PROIZNOSITSQ ~EBY[�EW, 1821 { 1894) | RUSSKIJ MATEMATIK I
MEHANIK 259
{�AUDER `. (Schauder J., 1899 { 1943) | POLXSKIJ MATEMATIK 441
{WARC k. (Schwarz K., 1843 { 1921) | NEMECKIJ MATEMATIK 73
{WARC l. (Schwartz L., R. 1915) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK 270
{MIDT |. (Schmidt E., 1876 { 1959) | NEMECKIJ MATEMATIK 442
{TEJNG�AUZ (Steinhaus H., 1887 { 1972) | POLXSKIJ MATEMATIK 378�|JLER l. (Euler L., 1707 { 1783) | [WEJCARSKIJ MATEMATIK, MEHANIK I
FIZIK, RABOTAL W rOSSII 221
qK�OBI k. (Jacobi K., 1804 { 1851) | NEMECKIJ MATEMATIK 123
494
predmetnyj ukazatelx
�-ADDITIWNOSTX MERY 3105
AKSIOMA aRHIMEDA 20
{ WYBORA 469
{ NEPRERYWNOSTI 21
{ S^�ETNOSTI 1-AQ 162
{ { 2-AQ 158
ALGEBRA BORELEWSKAQ 312
{ MNOVESTW 311
�-ALGEBRA 311
ALXTERNATIWA fREDGOLXMA 445
bAZA TOPOLOGII 158
BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI 152
{ ORTONORMIROWANNYJ 406
BIEKCIQ 14
BILINEJNAQ FORMA 411
{ { OGRANI^ENNAQ 411
{ { \RMITOWA 411
B\TA-FUNKCIQ |JLERA 221
wEKTOR SOBSTWENNYJ 435
WEKTOR-FUNKCIQ 110
{ GLADKAQ 129
{ NEPRERYWNAQ
KUSO^NO-GLADKAQ 129
WLOVENIE 387
WNE[NOSTX MNOVESTWA 153
WNUTRENNOSTX MNOVESTWA 153
gAMMA-FUNKCIQ |JLERA 222
GOMEOMORFIZM 156
5uKAZYWAETSQ STRANICA, GDE WWODITSQ
DANNOE PONQTIE
GRADIENT 290
GRANICA MNOVESTWA 153
{ SINGULQRNOGO KUBA 489
{ CEPI 489
GRANX WERHNQQ 21
{ NIVNQQ 21
GRAFIK LINEJNOGO OPERATORA 402
{ FUNKCII 16
dZ\TA-FUNKCIQ (�-FUNKCIQ rIMANA)
231
DIWERGENCIQ 301
DIFFERENCIAL OTOBRAVENIQ 121
{ n-GO PORQDKA 59
{ fRE[E 449
{ FUNKCII 54
DIFFERENCIROWANIE WNE[NEE 480
DLINA PLOSKOJ KRIWOJ 101
{ PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ
102, 131
�-FUNKCIQ dIRAKA 278
zAMYKANIE MNOVESTWA 153
ZARQD 351
{ ABSOL@TNO NEPRERYWNYJ 354
iERARHIQ 161
IZOMETRIQ 369, 387
IZOMORFIZM IZOMETRI^ESKIJ 387
INTEGRAL ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ
204, 209
{ W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ
(v.p.) 206
495
INTEGRAL WERHNIJ (NIVNIJ) dARBU 94
{ KRIWOLINEJNYJ 1-GO RODA 286
{ { 2-GO RODA 288
{ lEBEGA 341
{ { NEOPREDEL�ENNYJ 351
{ NEOPREDEL�ENNYJ 75
{ NESOBSTWENNYJ 205
{ PO �-KONE^NOJ MERE 366
{ PO SINGULQRNOMU KUBU 486
{ POWERHNOSTNYJ 1-GO RODA 298
{ { 2-GO RODA 299
{ RASHODQ]IJSQ 199, 207
{ rIMANA 82
{ { KRATNYJ 185
{ { WEKTOR-FUNKCII 129, 453
{ S OSOBENNOSTX@ 199, 207
{ SHODQ]IJSQ 199, 207
{ fURXE PROSTOJ 265
INTERWAL 22
IN_EKCIQ 14
kASATELXNAQ PRQMAQ 53
{ PLOSKOSTX 127
KASATELXNOE OTOBRAVENIE 54
KOLEBANIE FUNKCII 188
KOLXCO (�-KOLXCO) MNOVESTW 311
KONTUR ZAMKNUTYJ 289
KORMU[KA SETI 162
KO\FFICIENTY fURXE 248
KRIWAQ 16
{ GLADKAQ 285
{ ZAMKNUTAQ 285
{ NEPRERYWNAQ
KUSO^NO-GLADKAQ 285
KRITERIJ dARBU 94, 187
{ KOMPAKTNOSTI W
PROSTRANSTWE C[a; b] 376
{ kO[I SHODIMOSTI
POSLEDOWATELXNOSTI 29
KRITERIJ kO[I SHODIMOSTI
^ISLOWOGO RQDA 32
KUB SINGULQRNYJ 485
lEMMA O WLOVENNYH OTREZKAH 28
{ OSCILLQCIONNAQ 254
LOWU[KA SETI 162
mAVORANTA MNOVESTWA 20, 469
MAKSIMUM LOKALXNYJ 69
MATRICA qKOBI 124
MERA 310
{ ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ 327
{ WNE[NQQ 314
{ vORDANA 180
{ { WNE[NQQ 180
{ { WNUTRENNQQ 180
{ �-KONE^NAQ 321, 322
{ KONE^NO-ADDITIWNAQ 309
{ lEBEGA 319
{ lEBEGA-sTILTXESA 324
{ POLNAQ 323
{ PRQMOUGOLXNIKA 178
{ SINGULQRNAQ 327
METOD lAGRANVA 145
METRIKA 148
{ DISKRETNAQ 149
MINIMUM LOKALXNYJ 69, 451
MINORANTA MNOVESTWA 20, 469
MNOVESTWO WPOLNE OGRANI^ENNOE 375
{ { UPORQDO^ENNOE 469
{ WYPUKLOE 71
{ DEJSTWITELXNYH ^ISEL 20
{ ZAMKNUTOE 23, 107, 152
{ INDUKTIWNOE 469
{ IZMERIMOE PO vORDANU
(J-IZMERIMOE) 180
{ IZMERIMOE PO lEBEGU 315, 320
{ KANTOROWO 328
496
MNOVESTWO KOMPAKTNOE 108
{ LEBEGOWOJ MERY NULX 84
{ LINEJNO SWQZNOE 115
{ LOKALXNO J-IZMERIMOE 207
{ NEWYROVDENNOE 186
{ NIGDE NE PLOTNOE 371
{ OGRANI^ENNOE 21,107
{ SWERHU (SNIZU) 20
{ OTKRYTOE 23, 107, 150
{ PREDKOMPAKTNOE 375
{ REZOLXWENTNOE 436
{ SWQZNOE 173
{ S^�ETNOE 14
{ SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE 459
{ UPORQDO^ENNOE 459
{ \LEMENTARNOE 176
nAPRAWLENIE 161
NEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE 46
NERAWENSTWO g�ELXDERA 73
{ { INTEGRALXNOE 382
{ kO[I-bUNQKOWSKOGO 73, 244, 246
{ mINKOWSKOGO 73
{ { INTEGRALXNOE 382
{ pARSEWALQ 249
{ {WARCA 76, 246
NORMA 106, 237
{ EWKLIDOWA 106
{ OPERATORNAQ 119
NOSITELX FUNKCII 242
oBLASTX 287
{ ZW�EZDNAQ 483
OB_�EM TELA WRA]ENIQ 103
OKRESTNOSTX 22, 151
�-OKRESTNOSTX 22
OPERATOR gILXBERTA-{MIDTA 442
{ DIFFERENCIROWANIQ 433
{ ZAMKNUTYJ 428
OPERATOR ZAMYKAEMYJ 428
{ KOMPAKTNYJ 419
{ KONE^NOMERNYJ 418
{ LINEJNYJ 427
{ OBRATIMYJ 387, 428
{ OGRANI^ENNYJ 385
{ PLOTNO ZADANNYJ 427
{ SAMOSOPRQV�ENNYJ 412, 432
{ SOPRQV�ENNYJ 412, 430
{ UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@
PEREMENNU@ 427, 432
{ UNITARNYJ 416
{ fURXE-pLAN[ERELQ 417
{ \RMITOWYJ 432
ORIENTACIQ OBLASTI 293
{ PROSTRANSTWA 293
ORTOGONALXNAQ SUMMA
PROSTRANSTW 405
ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE 404
ORTOPROEKTOR 415
OTNO[ENIE (BINARNOE) 458
{ ANTISIMMETRI^NOE 458
{ PORQDKA 459
{ SIMMETRI^NOE 458
{ REFLEKSIWNOE 458
{ TRANZITIWNOE 458
{ \KWIWALENTNOSTI 458
OTOBRAVENIE 14
{ DIFFERENCIRUEMOE 121, 449
{ KASATELXNOE 121
{ LINEJNOE 117
{ 2-LINEJNOE 400
{ NEPRERYWNOE 114, 155
{ NEPRERYWNO
DIFFERENCIRUEMOE 128
OTOBRAVENIE SVIMA@]EE 372
OTREZOK 22
pARAMETRIZACIQ KRIWOJ 285
497
PARAMETRIZACIQ POWERHNOSTI 296
P.W. (PO^TI WS@DU) 84
PERWOOBRAZNAQ 75
PERESE^ENIE TOPOLOGIJ 158
PLOSKOSTX KASATELXNAQ 127
PLO]ADX W POLQRNOJ SISTEME
KOORDINAT 101
{ KRIWOLINEJNOJ TRAPECII 81, 100
{ POWERHNOSTI 198
{ { WRA]ENIQ 102
POWERHNOSTX GLADKAQ 295
{ { ORIENTIROWANNAQ 299
PODPOSLEDOWATELXNOSTX 25
POLE WEKTORNOE 287
{ KOMPLEKSNYH ^ISEL 466
{ POTENCIALXNOE 290
POLINOMY ~EBY[EWA 259
POLUKOLXCO 307
POPOLNENIE METRI^ESKOGO
PROSTRANSTWA 369
{ NORMIROWANNOGO
PROSTRANSTWA 388
POSLEDOWATELXNOSTX 16
{ WEKTORNAQ 110
{ kO[I 29
{ MONOTONNAQ 28
{ OGRANI^ENNAQ 26, 111
{ FUNDAMENTALXNAQ 29, 149
POTENCIAL 290
POTOK WEKTORA 300
PRAWILO lOPITALQ 62
PREDEL WEKTOR-FUNKCII 112
{ PO NAPRAWLENI@ 113
{ POSLEDOWATELXNOSTI 25
{ { WERHNIJ 31
{ { NIVNIJ 31
{ FUNKCII (OTOBRAVENIQ) 40, 111,
164
PREOBRAZOWANIE fURXE 267
PREOBRAZOWANIE fURXE OBOB]�ENNYH
FUNKCIJ 282
PRIZNAK aBELQ 204, 216, 227
{ wEJER[TRASSA RAWNOMERNOJ
SHODIMOSTI INTEGRALA 215
{ { { { RQDA 226
{ dALAMBERA 34
{ dIRIHLE 204, 216, 227
{ kO[I SHODIMOSTI RQDA 34
PRINCIP RAWNOMERNOJ
OGRANI^ENNOSTI 399
{ { { DLQ GILXBERTOWA
PROSTRANSTWA 410
{ SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ 373
{ { { OBOB]�ENNYJ 373
{ TRANSFINITNOJ INDUKCII 471
PROIZWEDENIE WNE[NIH FORM 477
{ MER 360
{ OPERATOROW 414
{ SKALQRNOE 106, 243
{ TOPOLOGI^ESKIH
PROSTRANSTW 159
PROIZWODNAQ WEKTOR-FUNKCII 124
{ OBOB]�ENNOJ FUNKCII 280
{ FUNKCII W TO^KE 54
{ { n PEREMENNYH 124
{ ^ASTNAQ 123
PROOBRAZ KOLXCA 330
{ TOPOLOGII 159
PROSTRANSTWO BANAHOWO 238
{ WEKTORNOE 105
{ GILXBERTOWO 148, 247
{ { SEPARABELXNOE 407
{ EWKLIDOWO 106
{ KASATELXNOE 478
{ KOMPAKTNOE 166
{ LINEJNO-SWQZNOE 174
{ LOKALXNO KOMPAKTNOE 171
{ METRI^ESKOE 148
498
{ NORMIROWANNOE 238
{ OSNOWNYH FUNKCIJ D 272
{ { { S 273
{ OTDELIMOE 163
{ POLNOE 140
{ REGULQRNOE 165
{ REFLEKSIWNOE 399
{ { S 1-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI 162
{ { SO 2-J AKSIOMOJ S^�ETNOSTI 158
{ SEPARABELXNOE 154, 237
{ SWQZNOE 173
{ SOPRQV�ENNOE 390
{ TOPOLOGI^ESKOE 150
{ UNITARNOE 243
{ CEPEJ 487
PROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA 407
PRQMOUGOLXNIK (W R2) 176
rAWENSTWO pARSEWALQ 250, 261
RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNOE
SEMEJSTWO 376
RADIUS SHODIMOSTI 232
RAZMERNOSTX GILXBERTOWA
PROSTRANSTWA 407
RAS[IRENIE OPERATORA 428
ROTOR 291
RQD 32
{ ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ 35
{ GARMONI^ESKIJ 33
{ DWOJNOJ 36
{ lEJBNICA 33
{ POWTORNYJ 38
{ STEPENNOJ 231
{ tEJLORA 67
{ fURXE 249
{ { TRIGONOMETRI^ESKIJ 252
{ ^ISLOWOJ 32
sETX 162
"-SETX 375
SISTEMA ZAMKNUTAQ 251
{ OBRAZU@]IH TOPOLOGII 158
{ ORTONORMIROWANNAQ 248
{ POLNAQ 249
SPEKTR OPERATORA 436
{ { OGRANI^ENNOGO 437
{ { SAMOSOPRQV�ENNOGO 438
{ { UNITARNOGO 437
SUMMA WERHNQQ (NIVNQQ) dARBU
93, 187
{ PRQMAQ BANAHOWYH PROSTRANSTW
384
SUPERPOZICIQ FUNKCIJ 19
S@R_EKCIQ 14
SHODIMOSTX PO MERE 336
{ PO^TI WS@DU 335
{ OBOB]�ENNYH FUNKCIJ 279
{ RAWNOMERNAQ NESOBSTWENNYH
INTEGRALOW 215
{ { POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ
224
{ { RQDA 226
{ RQDA 32
tEOREMA aBELQ 1{AQ 231
{ { 2-AQ 235
{ aLEKSANDROWA 172
{ bANAHA 400
{ bANAHA-{TEJNGAUZA 399
{ b\RA 371
{ wEJER[TRASSA 23, 110
{ gILXBERTA-{MIDTA 442
{ eGOROWA 335
{ kO[I 60
{ lEBEGA 85, 188
{ { O PREDELXNOM PEREHODE POD
ZNAKOM INTEGRALA 345
{ lEWI 346
499
TEOREMA O WLOVENNYH [ARAH 371
{ O ZAMENE PEREMENNYH 197
{ O ZAMKNUTOM GRAFIKE 402
{ O PLOTNOSTI 242, 246
{ O SREDNEM ZNA^ENII 88, 192
{ O SU]ESTWOWANII NEQWNOJ
FUNKCII 142
{ OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII
404
{ pUANKARE 483
{ rADONA-nIKODIMA 355
{ rISSA 409
{ rISSA-{AUDERA 441
{ rOLLQ 59
{ sTOKSA DLQ CEPI 489
{ tIHONOWA 170
{ fATU 347
{ fREDGOLXMA 439
{ fUBINI 361
{ hANA 352
{ hANA-bANAHA 395
{ cERMELO 470
{ cORNA 472
TOPOLOGIQ 150
{ DISKRETNAQ 151
{ INDUCIROWANNAQ 159
{ POROVD�ENNAQ SISTEMOJ
MNOVESTW 158
{ TRIWIALXNAQ 151
{ FINALXNAQ 160
TOR ODNOMERNYJ 161
TO^KA WNUTRENNQQ 153
{ GRANI^NAQ 153
{ IZOLIROWANNAQ 23, 107
{ NESOBSTWENNAQ (1) 23, 108
{ PEREGIBA 71
{ PREDELXNAQ 23, 107, 153
{ { SETI 162
{ PRIKOSNOWENIQ 153
TO^KA RAZRYWA 1-GO (2-GO) RODA 47
uRAWNENIE wOLXTERRA 374
{ NEODNORODNOE 445
{ ODNORODNOE 445
{ fREDGOLXMA 1-GO RODA 444
{ fREDGOLXMA 2-GO RODA 374, 453
fAKTORIZACIQ 240
FAKTOR-MNOVESTWO 459
FAKTOR-PROSTRANSTWO 160, 385
FAKTOR-TOPOLOGIQ 160
FORMA WNE[NQQ 475
{ DIFFERENCIALXNAQ 478
{ ZAMKNUTAQ 483
{ k-LINEJNAQ 475
{ TO^NAQ 483
FORMULA gAUSSA-oSTROGRADSKOGO 301
{ gRINA 294
{ lAGRANVA 60
{ { OCENO^NAQ 130, 452
{ ZAMENY PEREMENNOJ 76, 92
{ INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM 76, 92
{ kO[I-aDAMARA 232
{ lEJBNICA 59
{ nX@TONA-lEJBNICA 90, 201, 453
{ { OBOB]�ENNAQ 91
{ PRQMOUGOLXNIKOW 96
{ sIMPSONA 97
{ sTOKSA 304
{ tEJLORA S OSTATKOM W
INTEGRALXNOJ FORME 99
{ { { { FORME lAGRANVA 64, 137
{ { { { FORME pEANO 66, 138, 456
{ TRAPECIJ 97
FUNKCIONAL LINEJNYJ 117
{ { OGRANI^ENNYJ 390
FUNKCIQ 14
{ ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ 327
{ ANALITI^ESKAQ 68, 234
500
FUNKCIQ WOGNUTAQ W TO^KE 71
{ WYPUKLAQ W TO^KE 71
{ GLADKAQ 91
{ dIRIHLE 86
{ DIFFERENCIRUEMAQ 53
{ IZMERIMAQ 331
{ { PO bOREL@ (w-IZMERIMAQ) 333
{ INTEGRIRUEMAQ PO lEBEGU 340
{ INTEGRIRUEMAQ PO MNOVESTWU 342
{ INTEGRIRUEMAQ PO rIMANU
82, 185
{ LOGARIFMI^ESKAQ 52, 104
{ NEPRERYWNAQ 47, 114
{ { KUSO^NO-GLADKAQ 91
{ OBOB]�ENNAQ 277
{ OBRATNAQ 17
{ OGRANI^ENNAQ 41
{ 2�-PERIODI^ESKAQ 251
{ POKAZATELXNAQ 51, 104
{ POLINOMIALXNOGO ROSTA 274
{ PROSTAQ 332
{ RAWNOMERNO NEPRERYWNAQ 49, 114
{ rIMANA 48
FUNKCIQ SILXNO-ANALITI^ESKAQ 434
{ STEPENNAQ 52
{ HARAKTERISTI^ESKAQ 15
{ h\WISAJDA 281
{ \LEMENTARNAQ 52
cEPX k-MERNAQ 487
~ISLO e 29
^ISLOWAQ PRQMAQ 21
{ { RAS[IRENNAQ 24
|KSTREMUM LOKALXNYJ 69, 133,
139, 451
{ { OTNOSITELXNYJ 144
{ { FUNKCIONALA 451
\LEMENT MAKSIMALXNYJ 469
{ MINIMALXNYJ 469
{ NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ 379
qDRO WYROVDENNOE 448
{ gILXBERTA-{MIDTA 444
{ OPERATORA 427
{ SIMMETRI^NOE 446
501
ukazatelx obozna~enij
A�; A�; AG 153 6
B"(x) 107, 148
B"[x] 148
B(R); B(Rn) 312
B() 239
B(H) 413eC 251
C() 239
C0() 240
C00() 242
D 272
D�(f); D�(f) 94
D(T ) 427
f j A 14
fn =) f 224
fnP.W.�! f 335
fn��! f 336
f ^ g 477
f](x); f[(x) 267{268
�]; �[ 282
�(T ) 428
� f 478
(E; A; �) 334
K? 404
6uKAZANY STRANICY, GDE WWODQTSQ DAN-NYE OBOZNA^ENIQ
Ker (A) 413, 427
L(E; F ) 385
L(S; m) 315
Lp(�) (1 � p �1) 380
`p (1 � p �1) 383
Lip� 256
��X 314
M(E;A) 331
� � � 327
R(A) 413, 427
R1(); R2() 241, 245
~R1; ~R2 251
Rloc1 267
�(T ) 436
S 273
S�(�); S�(�) 93
supp(f) 242
�(T ) 436
�U(a) 22
�A 15�'! 481
!�
484
k � k 224
k � kp (1 � p � +1) 380
502
sodervanie
pREDISLOWIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
pROGRAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
pONQTIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
dEJSTWITELXNYE ^ISLA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . . . . . . 25
~ISLOWYE RQDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
pREDEL I NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . . 40
dIFFERENCIROWANIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
pRILOVENIQ PONQTIQ PROIZWODNOJ . . . . . . . . . . . . . . . 62
pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDELENNYJ INTEGRAL . . . . . . . . 75
iNTEGRAL rIMANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
nEKOTORYE PRILOVENIQ INTEGRALA rIMANA . . . . . . . . 99
oTOBRAVENIQ W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH . . . . . . . 105
lINEJNYE OTOBRAVENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
dIFFERENCIROWANIE OTOBRAVENIJ . . . . . . . . . . . . . . 121
|LEMENTY OB]EJ TOPOLOGII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
mERA vORDANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
kRATNYE INTEGRALY rIMANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
nESOBSTWENNYE INTEGRALY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
iNTEGRALY, ZAWISQ]IE OT PARAMETRA. . . . . . . . . . . . 210
pOSLEDOWATELXNOSTI I RQDY FUNKCIJ. . . . . . . . . . . . 224
pROSTRANSTWA FUNKCIJ. rQDY fURXE. . . . . . . . . . . . 237
|LEMENTY TEORII OBOB]�ENNYH FUNKCIJ . . . . . . . . . 270
|LEMENTY INTEGRIROWANIQ PO MNOGOOBRAZIQM. . . . . . 285
mERA lEBEGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
iZMERIMYE FUNKCII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
iNTEGRAL lEBEGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
503
pOLNYE METRI^ESKIE PROSTRANSTWA . . . . . . . . . . . . . 369
oSNOWNYE PRINCIPY LINEJNOGO ANALIZA. . . . . . . . . . 378
oGRANI^ENNYE LINEJNYE OPERATORY W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
|LEMENTY TEORII NEOGRANI^ENNYH LINEJNYH
OPERATOROW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
uRAWNENIQ S KOMPAKTNYMI OPERATORAMI. . . . . . . . . . 439
|LEMENTY NELINEJNOGO ANALIZA W NORMIROWANNYH
PROSTRANSTWAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
pRILOVENIE 1. mODELI ^ISLOWOJ PRQMOJ. . . . . . . . . . 458
pRILOVENIE 2. kOMPLEKSNYE ^ISLA. . . . . . . . . . . . . . 466
pRILOVENIE 3. pORQDKOWYE STRUKTURY W MNOVESTWAH 469
pRILOVENIE 4. dIFFERENCIALXNYE FORMY I TEOREMA
sTOKSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
uKAZATELX IM<N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
pREDMETNYJ UKAZATELX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
uKAZATELX OBOZNA^ENIJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
rISUNKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
504